Modelo dinámico Harrod-Domar

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES GRADO EN ECONOMÍA MODELO DINÁMICO HARROD-DOMAR Trabajo Fin de Grado presentado por Encarnación Belén Domínguez Ramos, siendo el tutor del mismo el profesor Francisco Velasco Morente. Vº. Bº. del Tutor: Alumna: Dr. D.Francisco Velasco Morente D.ª Encarnación Belén Domínguez Ramos Sevilla, 2 Junio de 2017 Domínguez Ramos, Encarnación Belén ~ 2 ~ GRADO EN ECONOMÍA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES TRABAJO FIN DE GRADO CURSO ACADÉMICO [2016-2017] TÍTULO: MODELO DINÁMICO HARROD-DOMAR AUTOR: ENCARNACIÓN BELÉN DOMÍNGUEZ RAMOS TUTOR: D. FRANCISCO VELASCO MORENTE DEPARTAMENTO: DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA I ÁREA DE CONOCIMIENTO: MÉODOS CUANTITATIVOS PARA LA ECONOMÍA Y LA EMPRESA RESUMEN: En el trabajo se expone el modelo de dinámico de Harrod-Domar. Se comienza con una breve introducción, siguiendo así previamente con su desarrollo. El objetivo de dicho modelo se basa en la idea del crecimiento económico en la teoría económica y proporcional. Para finalizar la exposición se presenta casos prácticos del modelo, cuya aplicación se ha hecho mediante el Wolfram Mathematica 11. PALABRAS CLAVE: Tasa garantizada; relación trabajo-producto; problema de inestabilidad. TFG-ECOModelo Dinámico Harrod-Domar ~ 3 ~ ÍNDICE CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN………………………………………………………………5 CAPÍTULO 2 MODELO DE HARRO………………………………………………………….7 CAPÍTULO 3…………………………………………………………………………………..13 SECCIÓN 1: PRIMER PROBLEMA DE HARROD………………………………..13 SECCIÓN 2: PROBLEMA DE ESTABILIDAD DE HARROD……………………14 SECCIÓN 3: RELACIÓN CAPITAL-PRODUCTO CONSTANTE……………….17 CAPÍTULO 4…………………..………………………………………………………………19 SECCIÓN 1: MODELO DE CRECIMIENTO DE DOMAR……………………….19 SECCIÓN 2: COMPARACIONES DE HARROD Y DOMAR…………………….21 CAPÍTULO 5 APLICACIÓN PRÁCTICA……………………………………………………23 SECCIÓN 1: MODELO DISCRETO DE HARROD-DOMAR……………………………..23 SECCIÓN 2: MODELO CONTINUO DE HARROD-DOMAR……………………………..27 CAPÍTULO 6 CONCLUISONES……….……………………………………………………31 BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………………..33 Domínguez Ramos, Encarnación Belén ~ 4 ~ TFG-ECOModelo Dinámico Harrod-Domar ~ 5 ~ CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN AL MODELO DE CRECIMIENTO ECONOMICO DE HARROD-DOMAR Para empezar a desarrollar dicho modelo, antes es necesario saber que el planteamiento de esta teoría no es la muestra exacta del pensamiento de Harrod, puesto que existen muchas formalizaciones de dicho autor. Desde que Harrod publicó la conocida obra Hacia una Economía Dinámica, sus puntos de vista de éste se han visto ampliados y modificados. A causa de esto, Harrod en su época ya mostraba su enfado por la falsa representación que se hacía de sus ideas. El hincapié más importante que se le hizo a la teoría de Harrod, fue la aportación de Domar. Este presentaba un objetivo más limitado en lo referente al problema del equilibrio de una economía capitalista en crecimiento, puesto que en el análisis de Harrod, esto no fue tratado como un problema central. El Planteamiento de Harrod sobre el crecimiento fue elaborado en sus clases en la universidad de London University, y este era expresamente keynesiano. Dado que este fue uno de los economistas que leyó y discutió con detalles diferentes borradores de la Teoría General, el enfoque de Harrod se centra en las condiciones imprescindibles para la estabilidad entre el ahorro y la inversión agregados a una economía dinámica, puesto que esto estaba elaborado en base a los conceptos y métodos de la macroeconomía keynesiana a corto plazo. Es útil señalar que cuando Harrod redactó, el concepto de Tasa de Crecimiento de los primordiales elementos de la macroeconomía, o de cualquier variable económica, era desplazado a las notas a pie de página, para así quedar excluido del cuerpo central del análisis. En definitiva, el significado del análisis de Harrod, no debería haberse juzgado precisamente en relación a la validez o interés de un sistema concreto de ecuaciones, pues supone algo más, es un método de deducción, una forma de encaminar ciertos problemas. También es necesario pensar en términos dinámico, ya que debería incluirse en la ciencia de la dinámica económica una teoría de las perturbaciones y de la variación, aunque lo más importante sea la teoría del progreso. De la misma manera, Domar dice que: “En la teoría económica, el crecimiento ha ocupado un espacio singular; siempre próximo, pero nunca presente como un auténtico invitado.” Tras la segunda guerra mundial, se despertó el interés por conseguir altas tasa de crecimiento, y también por los límites del crecimiento posterior a dicha guerra; por tanto es difícil entender que el interés teórico por las causas y mecanismos del crecimiento económico, hayan tenido una vida pública tan corta. Domínguez Ramos, Encarnación Belén ~ 6 ~ TFG-ECOModelo Dinámico Harrod-Domar ~ 7 ~ CAPÍTULO 2 EL MODELO DE HARROD Se puede considerar la “Teoría Dinámica” de Harrod como sencilla o sutil. Dado que entre sus objetivos esenciales se encontraba la elaboración del “Principio Dinámico Fundamental”. Principio que causó el interés de este debido a su simplicidad extrema y por el desconocimiento hacia una formulación alternativa, en el mundo de la teoría económica moderna, de un principio dinámico que gozase de una generalidad comparable. También Harrod, coordinó la búsqueda de la sencillez teórica con la primacía por el realismo descriptivo y la aplicación práctica inminente. Siguiendo con el modelo, el estudio formal de Harrod se elabora en un contexto altamente agregado, sin embargo la conducta de agregación no es evidente en ningún momento. Por tanto, las variables macroeconómicas de Harrod son agregados heroicos, que se interpretan como un modelo que enfrenta a una economía en la que solo se produce un bien. Este recurso se define como la parábola de un solo bien, que es evidentemente, una interpretación errónea del espíritu y de algunas de las conclusiones fundamentales del modelo de Harrod. A estas contrariedades de la agregación se le asigna una salida mediante el supuesto de que los precios relativos son constantes, en dicha cuestión las principales variables macroeconómicas del modelo de Harrod pueden explicarse como agregados expresados en términos de valor. Hicks también ha opinado sobre dicho modelo, llamando al enfoque “El Método del Precio Fijo” y percibe que se confunde con la llamada “Revolución Keynesiana”; por lo que este lo argumenta diciendo: “Cuando los precio son constantes, pueden agregarse las cantidades de bienes y servicios sumando sus valores monetarios, que se convierten en índices de cantidad”. Este supuesto es impropio en el contexto de la teoría general del crecimiento económico, aunque concede un concepto más preciso a los agregados en el modelo de Harrod. Obsérvense los casos más claros en la versión más sencilla del modelo de Harrod:  Caso A. En este caso se considera que el ahorro, representado por 𝑆, es una función proporcional de la renta nacional, representada por 𝑌. Donde la propensión marginal y media al ahorro viene representada por 𝑠. Por lo que analíticamente queda: 𝑆=𝑠𝑌 Pero Harrod no consideró que 𝑠 fuera constante, aunque en su análisis extenso del ahorro agregado, ve como en casos cruciales del ahorro una fracción de renta no tiene por qué ser constante. Aun así, el supuesto claro de que la propensión meda al ahorro es constante no altera el espíritu del enfoque de Harrod. Domínguez Ramos, Encarnación Belén ~ 8 ~  Caso B. En dicho supuesto se tiene que la fuerza de trabajo es representada por 𝐿, y esta crece a una tasa exógena (que no existe influencia de otros sistemas económicos sobre la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo) y continúa denominada 𝑛: 𝑛=𝐿󰇗 𝐿  Caso C. Se supone que no existe progreso técnico y no se deprecia el stock de capital, representado este por 𝐾. Estos casos no son necesarios para el desarrollo de un modelo de crecimiento de Harrod, pero si son útiles para que dicho modelo se entienda mejor.  Caso D. Este caso si es necesario para el modelo de Harrod. Por lo que se dice que existe una única combinación de capital y trabajo, para obtener una precisa cantidad de producto, representada por 𝐿, considerando una función de producción de proporciones invariables, quedando de este modo como: 𝑌=min⁡[𝐾 𝑣,𝐿 𝑢] donde 𝑢⁡y 𝑣, son dos constantes. De aquí se tiene que: - Trabajo (𝐿): se repesentra por 𝑢, la relación constante del trabajo y el producto total, por lo que si todo el trabajo está empleado, el flujo de output máximo producido necesita 𝐿𝑢 ⁄, en cualquier stock de capital. Por tanto si 𝐿 crece, el flujo máximo de producción alcanzable puede crecer. Si la relación trabajo-producción es constante, la tasa de crecimiento de la renta o de la producción, representada por 𝑌󰇗𝑌 ⁄, no puede superar a la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo, representada por la constante 𝑛. Si la fuerza del trabajo, 𝐿, está ocupada al comenzar el periodo, y con ausencia de progreso técnico, la tasa máxima de crecimiento de la renta, es igual a la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo en forma exógena. - Capital (𝐾): con la variable 𝑣, se denomina a la relación capital-producto, cuyo significado es la relación existente entre el stock del capital y el flujo de producción o renta, representado por 𝐾𝑌 ⁄, o lo que es lo mismo es una adición al stock de capital. Harrod se interesó en el incremento en el stock de capital asociado a un incremento en la producción. Quedando: 𝐾=𝑣𝑌 Para pequeños incrementos: ∆𝐾=𝑣∆𝑌 o lo que es lo mismo: 𝐾󰇗=𝑣𝑌󰇗 TFG-ECOModelo Dinámico Harrod-Domar ~ 9 ~ En modo de supuesto, se tiene que si la relación media capitalproducto (𝐾𝑌 ⁄), es igual a su relación marginal (∆𝐾 ∆𝑌 ⁄); pueden señalarse dos definiciones distintas: A. En un determinado momento, un aumento efectivo en el stock de capital queda dividido por el aumento efectivo en la producción. Siendo al final de año 𝑣 el aumento medio en el stock del capital durante el año, dividido por el aumento medio de la producción o renta. B. Al final de año, esta relación será el nuevo stock de capital igual a la cantidad que los empresarios consideran apropiados para el nuevo nivel de producción y renta. Para esta definición se utiliza 𝑣𝑟. Otro supuesto es que el stock de capital no se deprecie, entonces la tasa de cambio del stock de capital,𝐾󰇗, si es positiva, es igual al flujo de inversión agregada, representada por 𝐼, quedando de esta forma la ecuación 𝐾󰇗=𝑣𝑌󰇗: 𝐼=𝑣𝑌󰇗 Una vez visto estos supuestos ya se pueden entender fácilmente las conclusiones básicas del análisis de Harrod sobre el crecimiento económico. La condición de equilibrio de la macroeconomía elemental hay que tenerla siempre presente. Es aquella donde el ahorro agregado planeado debe ser igual a la inversión agregada planteada: 𝐼=𝑆 Con anterioridad aparecieron la función del ahorro proporcional y el acelerador de la ecuación, por tanto la condición de equilibrio de la macroeconomía elemental se vuelve a escribir de esta forma: 𝑣𝑌󰇗=𝑠𝑌 o también se expresa; 𝑌󰇗 𝑌=𝑠 𝑣 Una vez aquí se hace lo siguiente; ln𝑌(𝑡)=∫𝑠 𝑣⁡𝑑𝑡; ln𝑌(𝑡)=𝑠 𝑣⁡𝑡+𝐶 de este modo; 𝑌(𝑡)=𝑒[𝑠 𝑣(𝑡)+𝐶]=𝑒𝐶𝑒𝑠 𝑣𝑡=𝑌(0)𝑒𝑠 𝑣𝑡 quedando que: 𝑌(𝑡)=𝑌(0)𝑒𝑠 𝑣𝑡 Domínguez Ramos, Encarnación Belén ~ 16 ~ En definitiva cualquier análisis que ponga en duda la validez de un problema no afecta obligatoriamente al otro. Pero aun así, los dos problemas intervienen de manera conjunta en un mismo sistema económico real. Un ejemplo a eso sería, la situación en la que el crecimiento equilibrado con pleno empleo da lugar a la tasa natural sabiendo que 𝐺𝐴=𝐺𝑤=𝐺𝑛: - Si un aumento en 𝑠, hace que crezca la tasa garantizada, se sitúa por encima de la tasa natural. La tasa efectiva (𝐺𝐴), debe separarse de la tasa garantizada. - Si además la tasa garantizada es mayor que la efectiva, 𝑣𝑟 será menor que 𝑣,y esto provocará que los empresarios se encuentren dispuestos a invertir menos, originando una reducción de la tasa efectiva y que la economía entre en un periodo de recesión. Dicha situación ocasiona que los problemas de Harrod se compaginan para generar recesión y desempleo. Aunque lógicamente tanto el primero como el segundo problema han de resolverse por separado. TFG-ECOModelo Dinámico Harrod-Domar ~ 17 ~ SECCIÓN 3: RELACIÓN CAPITAL-PRODUCTO COSNTANTE Todo lo anteriormente visto analiza las características de las proporciones fijas en el modelo de Harrod como consecuencias de una tecnología fija. Por tanto en este apartado se va a mencionar dicha relación capital-producto fijo en el modelo de Harrod, como si fuese una propiedad tecnológica, que no hace más que confundir unas de las cuestiones más fundamentales de su análisis. Igualmente, Harrod en el caso de que la relación capital-renta es constante pone hincapié en que esto es una derivación del supuesto de que el tipo de interés es constante. De tal manera que si el tipo de interés es similar a la tasa de beneficio, sin riesgo y en condiciones competitivas y a la teoría de productividad marginal, la cual dice que la competencia hace que la tasa de beneficios sea la misma que la productividad marginal del capital, la tasa de variación del producto con respecto a un incremento del capital es igual a; 𝑟=∆𝑌 ∆𝐾 donde 𝜕𝑌 𝜕𝐾 =𝑟; ∆𝑌 denomina el aumento en la producción y ∆𝐾 denomina el aumento en el capital. Evidentemente la relación capital-producto constante, considera un tipo de interés constante y viceversa. Pudiendo así estudiarse que con un tipo de interés fijo, la relación capital-producto (𝑣) es fijo y la relación capital-producto constante tiene su solución en un dispositivo económico y no en caso tecnológico arbitrario. Dando lugar de este modo a que cambios en 𝑣 necesitan cambios en el tipo de interés. Los problemas de Harrod podrán aparecer, incluso si 𝑣 es tecnológicamente variable, siempre que se impida la libre movilidad del tipo de interés como lo hace la trapa de la liquidez de Keynes, obstaculizando la variación libre de la relación capital-producto. Se comentan a continuación cuatro planteamientos de la relación capital-producto fijo consistentes con las conclusiones de Harrod:  La relación capital-producto puede cambiar, pero no lo bastante para garantizar la igualdad necesaria entre la tasa natural y la tasa garantizada de crecimiento.  La relación capital-producto es permanente a efecto de la tecnología.  En la práctica la relación capital-producto es fija requerida por la inflexibilidad de los precios de los factores, es decir, de la tasa de interés, sin embargo desde el punto de vista técnico se puede sustituir capital por trabajo.  El tipo de interés a largo plazo se precisa por razones relativas al bienestar, pero no hay motivos para que el ajuste se produzca a un nivel que comprenda el valor apropiado de la relación capital-producto en la igualdad entre la tasa garantizada y la tasa natural. Harrod, era completamente consecuente de las posibilidades de sustitución de la tecnología, pero aun así consideró que era beneficioso un análisis de la relación capitalproducto, cuando los mercados de dinero y de capitales no aceptan cambios en el tipo de interés lo bastantemente grandes como para asegurar la existencia y la adquisición de una Era de Oro. Domínguez Ramos, Encarnación Belén ~ 18 ~ TFG-ECOModelo Dinámico Harrod-Domar ~ 19 ~ CAPÍTULO 4 SECICIÓN 1: MODELO DE CRECIMIENTO DE DOMAR Junto con el modelo de Harrod, hay que estudiar el modelo de crecimiento de Domar por las semejanzas entre la ecuación fundamental de Harrod y los efectos primordiales de Domar. Domar centra su enfoque en la esencia dual de la tasa de inversión en una economía capitalista: - La inversión señala el nivel efectivo de la renta a través del multiplicador keynesiano. - La inversión, suponiendo la ausencia de depreciación, aumenta el stock de capital y por tanto aumenta el máximo nivel de renta potencial. El desarrollo del propio modelo de Domar, teniendo en cuenta las siguientes variables: - El nivel efectivo de renta o de producción se conoce por 𝑌 - El producto nacional o el máximo nivel potencial de renta se representa con 𝑌  - La propensión media y marginal al ahorro constante llamará 𝑠 - El flujo de inversión viene definido por 𝐼 - La productividad media de la inversión social potencial se interpreta con 𝜎 La productividad media de la inversión social potencial, la desarrolla Domar como la tasa de cambio de la capacidad potencial para la producción del output, a un concreto nivel de inversión, quedando por tanto analíticamente: 𝜎=𝑌 󰇗 𝐼 Pero si se tiene que la productividad media de la inversión social potencial es constante, la ecuación anterior quedaría como una descripción de la economía del lado de la oferta donde: 𝑌 󰇗=𝜎𝐼 Con el multiplicador convencional se puede determinar el nivel efectivo de renta en un determinado período de tiempo, siendo por tanto: 𝑌=1 𝑠𝐼 Aunque si depende de la tasa de variación de la renta, entonces queda que: 𝑌󰇗=1 𝑠𝐼󰇗 De tal manera que según las referencias de Domar, si inicialmente la economía se enfrenta a una situación de equilibrio con pleno empleo, lo que conlleva a que 𝑌=𝑌 ; y que consiguientemente 𝑌󰇗=𝑌 󰇗. Domínguez Ramos, Encarnación Belén ~ 20 ~ Si se une la ecuación 𝑌 󰇗=𝜎𝐼, con la 𝑌󰇗=1 𝑠𝐼󰇗⁡, y siempre sabiendo que 𝜎 y 𝑠, son constantes, se consigue: 𝜎𝐼=1 𝑠𝐼󰇗 o también 𝐼󰇗 𝐼=𝜎𝑠 De esta última ecuación se demuestra que la tasa de crecimiento de la inversión, que provoca que la renta efectiva se mantenga igual a su máximo nivel potencial, da una tasa proporcional constante 𝑠𝜎. Recordando la ecuación fundamental de Harrod, 𝑌󰇗 𝑌=𝑠 𝑣; se observa la similitud entre esta y la ecuación de Domar. Asimismo, dejando a un lado las variables constantes, las restantes crecen a la misma tasa para que el equilibrio se mantenga. TFG-ECOModelo Dinámico Harrod-Domar ~ 21 ~ SECCIÓN 2: ALGUNAS COMPARACIONES DE HARROD Y DOMAR Como ya se ha mencionado, el modelo de Harrod y el modelo de Domar, tienen semejanza en sus resultados fundamentales de los modelos de crecimiento económicos, por lo cual recibe el nombre de Harrod-Domar el enfoque de crecimiento de ambos. En consecuencia para la unión de ambos modelos ha de tenerse en cuenta, que para que en Harrod el crecimiento sea equilibrado, entonces; 𝐺𝐴=𝑠 𝑣𝑟 en concreto 𝐼󰇗 𝐼=𝑠 𝑣𝑟 A lo que Domar, expone que la tasa de crecimiento de la inversión tiene que ser igual a 𝑠𝜎, para que exista un equilibrio dinámico. Sin olvidar que: 𝜎:⁡Define el incremento potencial del producto por unidad de inversión 𝑣𝑟: Muestra el número en unidades de nueva inversión necesaria para producir una unidad adicional de producto Estos conceptos consideran que la inversión emplea de manera correcta. Evidenciando así que como 𝜎=1 𝑣, si se sustituye, se tiene que ambas ecuaciones son idénticas. Entonces: Domar; 𝐼󰇗 𝐼=𝑠𝜎 𝐼󰇗 𝐼=𝑠1 𝑣 Harrod; 𝐼󰇗 𝐼=𝑠 𝑣𝑟 quedando así analíticamente demostrado. Aun así, no hay plena concordancia puesto que para Domar 𝑠𝜎, es la tasa de crecimiento de equilibrio que confirma el sostenimiento del pleno empleo, sin ninguna referencia a la tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo. Mientras tanto para Harrod, Domínguez Ramos, Encarnación Belén ~ 22 ~ la tasa natural, 𝑛,⁡debe ser igual a la tasa garantizada, 𝑠/𝑣𝑟, para que el crecimiento sea equilibrado con pleno empleo. Aunque Domar añade a su explicación, el máximo absoluto de la productividad media de la inversión potencial que determina con, 𝛿. De este modo, mantiene que 𝛿 estará por encima de 𝛿, a razón del crecimiento de otros factores como la fuerza de trabajo. Por tanto se puede interpretar, que como 𝛿 no puede ser igual que 𝛿, entonces 𝑠𝛿 comprende la tasa natural, 𝑛, de Harrod; siempre y cuando exista suficiente trabajo para que la economía crezca a un nivel 𝑠𝛿 similar a la tasa garantizada. Además en el modelo de Domar, la tasa de crecimiento de equilibrio es la tasa con la que se asegura la prolongación de la renta potencial y la efectiva, sin contar con el nivel efectivo de la inversión. Por lo cual, este trabaja con unas condiciones dinámicas de consistencias sin llegar a concluir en una teoría del crecimiento. Sin embargo Harrod bajo la formulad del acelerador incluye la función de inversión concreta. Desde un punto de vista keynesiano los dos modelos comienzan bajo sus esquemas, pero en un largo plazo desaparece los razonamientos de Keynes debido a que la tasa de inversión no aumenta el tamaño del stock de capital. Tanto el modelo de Domar con el de Harrod alcanzan una situación de equilibrio con una tasa de crecimiento proporcional y constante para la economía. Además ambos también tienen dificultades para alcanzar el crecimiento equilibrado con pleno empleo. También se encuentran las dificultades de inestabilidad en dichos modelos; siendo la inestabilidad de Harrod producida por la unión entre la función de inversión y la ecuación fundamental con las expectativas empresariales. Mientras tanto la de Domar expone que los estímulos para invertir están limitados constantemente. Como también se ha visto, ambos autores incorporan en sus modelos el equivalente a una relación capital-producto constante. Finalmente se llega a una situación a largo plazo, donde el desempleo resulta crónico y la capacidad no es utilizada eficientemente, en la que ambos modelos no saben cómo solucionar. TFG-ECOModelo Dinámico Harrod-Domar ~ 23 ~ CAPÍTULO 5 APLICACIÓN PRÁCTICA. SECCIÓN 1: MODELO DISCRETO HARROD-DOMAR Para considerar el modelo de crecimiento de Harrod-Domar en tiempo discreto, se estudia mediante un ejemplo. Recordando la condición de equilibrio de macroeconomía elemental, se tiene que el ahorro agregado, 𝑆, tiene que ser igual que la inversión agregada planeada, 𝐼; quedando: 𝑆𝑡=𝑠𝑌𝑡 𝐼𝑡=𝑣(𝑌𝑡−𝑌𝑡−1) 𝑆𝑡=𝐼𝑡 donde como ya se ha visto, la propensión al ahorro se define como 𝑠, con 𝑌,⁡el ahorro proporcional al ahorro y la relación capital-producto como 𝑣. De tal forma que a trasvés de dicha ecuación se obtiene una ecuación diferencial homogénea de primer orden, siendo representada: 𝑌𝑡=( 𝑣 𝑣−𝑠)𝑌𝑡−1 de esta se obtiene la solución, 𝑌𝑡=(𝑣 𝑣−𝑠)𝑡𝑌0 Siempre teniendo en cuenta que, si 𝑣>0 y 𝑣>𝑠 luego 𝑣 (𝑣−𝑠)<1 dando una solución explosiva y no oscilatoria. De esta manera, incluso si ⁡𝑣>0 y 𝑣>𝑠 la solución oscila, siendo frenada si 𝑠<2𝑣, y explosiva si 𝑠>2𝑣 o constante si 𝑠=2𝑣. Se tiene que la solución analítica a las ecuaciones lineales homogéneas de primer orden es útil ya que también ayuda a resolver las no homogéneas lineales de primer orden. Así, se considera la ecuación lineal no homogénea de primer orden; 𝑦𝑡+1 =𝑎𝑦𝑡+𝑐 Domínguez Ramos, Encarnación Belén ~ 24 ~ De forma sencilla para resolver dicha ecuación, y que sea concretamente apropiado para el economista, hay que modificar el sistema en desviaciones de su punto fijo y en desviaciones del equilibrio. Por lo que, si 𝑦∗ representa el punto fijo del sistema, entonces se tiene; 𝑦∗=𝑎𝑦∗+𝑐 𝑦∗=𝑐 1−𝑎 Una vez aquí se le resta la ecuación de equilibrio a la ecuación de equilibrio recurrente, quedando; 𝑦𝑡+1 −𝑦∗=𝑎(𝑦𝑡−𝑦∗) Si suponemos que 𝑥𝑡+1 =𝑦𝑡+1, y, 𝑥𝑡=𝑦𝑡−𝑦∗, entonces esto no es más que una simple ecuación diferencial homogénea en 𝑥, 𝑥𝑡+1 =𝑎𝑥𝑡 Donde la solución sería; 𝑥𝑡=𝑎𝑡𝑥0 Por lo tanto, se queda que; 𝑦𝑡−𝑦∗=𝑎𝑡(𝑦0−𝑦∗) o 𝑦𝑡=𝑐 1−𝑎+𝑎𝑡(𝑦0−𝑐 1−𝑎) Ecuación que satisface abiertamente la condición inicial. TFG-ECOModelo Dinámico Harrod-Domar ~ 25 ~ APLICACIÓN PRÁCTICA DEL MODELO DISCRETO HARROD-DOMAR A través, del programa Mathematicas, se resuelve el modelo Harrod-Domar, para la ecuación: 𝑌𝑡⁡ =(𝑣 𝑣+𝑠)⁡𝑌𝑡−1 Solución:  Para esta ecuación y con los valores de las variables b= 2, v=1, y s= 1, se tiene que: Clear[𝑏,𝑣,𝑠] sol=RSolve[{Y[t+1]==v/(v+s)Y[t],Y[0]==b},Y[t],t] {{Y[t]->b (v/(s+v))t}} 𝑏=2;𝑣=3.2;𝑠=1; Plot[𝑌[𝑡]/.sol,{𝑡,1,5}] 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Domínguez Ramos, Encarnación Belén ~ 32 ~ TFG-ECOModelo Dinámico Harrod-Domar ~ 33 ~ BIBLIOGRAFÍA. Libros: Shone, R. (2002): Economic Dynamics. Phase diagrams and their economic application. Cambridge University Press. Cambridge. Hywell, J. (1983): Introducción a las teorías modernas del crecimiento económico. Antoni Bosh, editor. G. Gandolfo: Economic Dynamics. Berlin [etc.]Springer-Verlag. Study edition Sen, A. K. (1986): “The Money Rate of Interest in the Pure Theory of Growht” en Hahn y Brechlilng (ed.) Programa Matemático: Wolfram Mathematica 11