Hacia una teoría de las transformaciones en campos receptivos y campos de datos. Implicaciones en teoría retinal y proceso de imágenes

Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Facultad de Informática DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA Y SISTEMAS •ss^ mi TESIS DOCTORAL Hacia una Teoría de las Transformaciones en Campos Receptivos y Campos de Datos. Implicaciones en Teoría Retinal y Proceso de Imágenes. MEMORIA S^HG AUTORA: OLGA BOLÍVAR TOLEDO DIRECTORES: Dr. ROBERTO MORENO DÍAZ Dr. SANTIAGO CANDELA SOLA OCTUBRE, 1989 Universidad Politécnica de Canarias DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA Y SISTEMAS DON ROBERTO MORENO DÍAZ, CATEDRÁTICO DE UNIVERSIDAD Y DON SANTIAGO CANDELA SOLA PROFESOR TITULAR DE UNIVERSIDAD, PERTENECIENTES AL ÁREA DE CIENCIA DE LA COMPUTACIÓN E INTELIGENCIA ARTIFICIAL DEL DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA Y SISTEMAS DE LA UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA. CERTIFICAN: Que la memoria titulada HACIA UNA TEORÍA DE LAS TRANSFORMA CIONES EN CAMPOS RECEPTIVOS Y CAMPOS DE DATOS: IMPLICACIONES EN TEORÍA RETINAL Y PROCESO DE IMÁGENES", ha sido realizada por D. OlgaBolivar Toledo bajo mi dirección en el Departamento de Informática y Sistemas de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria. Esta memoria constituye la Tesis que presenta para optar al grado de Doctora en Informática. Las Palmas , a 27 de Octubre de 1.989. V5 B5 E TESIS EL DIREC^g^^ DPTO DE INFOM^íSf^S^'raTEMAS. FDo.- Santíái ándela Sola. A mis Padres AGRADECIMIENTOS Quiero expresar profunda y sinceramente mi agradecimiento al Profesor D. Roberto Moreno Diaz por haberme permitido colaborar con él durante estos años. Sus trabajos, sus ideas y sus amenas reuniones científicas han constituido tanto la base de mi formación científica como las directrices fundamentales de este trabajo. Su categoría científica, su apoyo constante y su inmensa calidad humana me han aportado el estímulo y la seguridad que he necesitado en todo momento. Al Profesor D. Santiago Candela Sola, mi agradecimiento especial por | haberme animado siempre. Gracias a sus reflexiones, consejos y dirección he | podido realizar esta Tesis. j •o 1 También quiero agradecer a mis compañeros del Departamento de Informática I y Sistemas de la Universidad de Las Palmas la colaboración, ayuda y | disponibilidad que siempre me han prestado. ** Particularmente quiero a agradecer a Vicente Umpiérrez su gran predisposición y esmero en todas las tareas de edición. Por último y por ser el mas entrañable, quiero agradecer a José Antonio Muñoz Blanco, su ayuda incondicional a lo largo de todo el trabajo. A él le debo mucho. RESUMEN RESUMEN La presente memoria está estructurada en 4 capítulos. El primero de ellos constituye una exposición de conceptos básicos sobre Visión Artificial y Visión Natural, en los que se fundamenta gran parte del trabajo realizado. En la primera parte de este capítulo, presentamos los planteamientos básicos de la visión artificial. La idea central consiste en utilizar las imágenes para obtener representaciones visuales y considerar que la caracterización de formas en un espacio de representación es anterior a la interacción con una estructura de conocimiento. Presentamos una de las mas fuertes tendencias actuales en visión artificial, | i cuyos puntos básicos se refieren a una doble existencia de niveles en el aspecto I o a. funcional y/o estructural y en el aspecto metodológico. i i •o 1 A continuación se presenta un esquema para la visión artificial, donde el f objetivo central es de obtener información sobre formas a partir de las imágenes, J imponiendo restricciones que vienen determinadas por la propia naturaleza del | mundo exterior. Se plantea el concepto de visión multimodal, en el que el sistema realiza representaciones usando distintos modos visuales, donde se ha de llegar a un diagnóstico final a partir de la conversación cruzada entre las modalidades. En el segundo apartado de este capítulo dentro de los métodos mas utilizados en el reconocimiento de formas, hacemos un énfasis especial en la Transformada de Fourier y en la teoría de momentos, por constituir éstos las bases funcionales de las transformaciones empleadas fundamentalmente en el trabajo realizado. R-1 En el tercer apartado de este capitulo presentamos las bases e hipótesis fundamentales de los procesos retínales. La característica funcional mas relevante de la retina de los vertebrados, y posiblemente de la corteza, es su estructura operativa por capas. Las capas externas proporcionan a las ganglionares el mínimo conjunto de señales que les permita construir sus respuestas especializadas. Estos niveles de señales son entregados a la capa plexiforme interna. Señalamos la importancia y relevancia de la CPI como lugar definitivo donde ocurre la especializadon, a través de una interacción lateral no lineal, en la que las células amacrinas son importantes. A continuación presentamos un esquema conceptual de la operación retinal. i que incluye las ideas fundamentales de los trabajos de Moreno-Díaz y i i colaboradores. I ü o. i En el segundo capítulo titulado Transformaciones no Lineales introducimos los | •o conceptos de Linealidad, no Linealidad y Complitud, con relación al campo s receptivo y a la función. Posteriormente presentamos un marco general para las s transformaciones globales, basado en la aplicación de un conjunto de reglas de | G @ distinta naturaleza a un campo de datos. El aspecto mas interesante ha sido el incluir las convoluciones generalizadas como caso particular de una única regla aplicada a todos o parte de los "lugares de memoria "contenidos en un campo de datos. A partir de esta nueva formulación, se deduce de forma elegante la convolución convencional, en el caso de que la regla pueda expresarse de forma algebraica y lineal. De la misma manera se incluyen en la formulación típicas transformaciones no lineales correspondientes ahora a convoluciones generalizadas de naturaleza analítica y algorítmica. R-2 Dentro de las convoluciones generalizadas por reglas analíticas nos centramos en los sistemas no lineales polinómicos y teniendo en cuenta que dichos sistemas son equivalentes a un expansor del número de funciones de entrada seguido de un sistema lineal, aplicamos este esquema a la generación de transformaciones no lineales en proceso de imágenes. Finalmente desarrollamos de forma práctica un teorema propuesto por J.A. Muñoz relativo a transformaciones no lineales en preproceso de imágenes y estudiamos su incidencia en teoría cortical. El tercer capítulo de esta tesis, titulado Campos de Datos y Particiones, constituye el núcleo fundamental del trabajo realizado. Como continuación del estudio realizado por Candela en 1987 sobre las Transformaciones de resolución progresiva, realizamos una imple mentación de las Transformaciones Foveales, denominadas asi porque para una retina (campo de datos) proporcionan la máxima resolución en la parte central ó fovea. Desde el punto de vista teórico, nos replantemos el concepto de complitud, de forma que al considerar un campo de datos hemos de tener en cuenta los lugares de memoria y la resolución de los mismos. Después de un análisis de las T.R.P, proponemos un enfoque alternativo de las mismas. Para ello, en lugar de fijarnos solamente en las particiones independientes de los campos receptivos, nos centramos en el concepto de descripción completa de un campo de datos, tanto en el aspecto funcional como en el del campo receptivo. R-3 Analizamos primero, por razones de sencillez las transformaciones homogéneas de campo receptivo, que corresponderían a las particiones foveales de una capa, y establecemos y demostramos un Teorema, relativo al conjunto no redundante de funcionales que actuando sobre las direcciones de cada partición, genera una representación completa. A partir de este teorema, que constituye en núcleo fundamental del trabajo práctico realizado, presentamos una aplicación del mismo al estudio de la complitud en proceso de imágenes. Los funcionales elegidos en este caso fueron los descriptores de Fourier. Posteriormente analizamos las transformaciones no homogéneas de campo i i receptivo, que en definitiva son aquellas en las que el número de grados de libertad i ü o. de cada subpartición no es constante. í i •o Este análisis nos lleva a formular y demostrar un nuevo teorema que facilita la s elección de un conjunto mínimo de funcionales, que garantice la complitud en estos s casos. Realizamos una aplicación al proceso de imágenes utilizando los núcleos de I G @ la transformada de Haar. En el último apartado de este capitulo introducimos un plantemiento general de las Redes Neuronales, a partir del cual aclaramos la limitación y alcance de los algoritmos rápidos de computación. Por último en el capítulo 4, presentamos la estructura computacional concreta que se ha implementado en ordenador y detallamos las pruebas experimentales llevadas a cabo en el reconocimiento y clasificación de formas. R-4 datos". Su tesis mantiene que los conocimientos adquiridos apenas desempeñan papel alguno en las primeras etapas del procesamiento visual, de manera que la visión puede ser considerada como una tarea de procesamiento de información, es decir de extracción a partir de las imágenes, de los diferentes aspectos de la escena observada que son útiles para el observador, y de una representación interna de esta información con toda su profusión de detalle, disponiéndose así de una base para decidir, en interacción con la estructura de conocimiento, sobre pensamientos y acciones. La idea central de Marr es que las imágenes han de ser usadas para obtener representaciones visuales y que la caracterización de formas en un espacio de representación es anterior a la interacción con la estructura de conocimiento. Los puntos básicos de las ideas de Marr se refieren a una doble existencia de niveles en el aspecto funcional y/o estructural y en el aspecto metodológico. En el aspecto funcional/estructural, la existencia de niveles corresponde, en el caso particular de la visión, a la distribución de niveles más general que caracteriza a la Biocibernética y en el reconocimiento de que cada nivel requiere sus propias herramientas formales que impone limitaciones a lo que se puede obtener [4]. Los niveles funcionales van desde el bioquímico - o físico -, al neuronal o de componentes, al de operaciones lógicas, hasta el nivel simbólico, con el establecimiento de fines. En el aspecto metodológico, la estructura de tres niveles de Marr se refiere al nivel computacional, al nivel de los algoritmos y al nivel de la realización con hardware. Marr y sus seguidores, argumentan que al nivel computacional, las teorías de visión natural y artificial interactúan fuertemente, de tal forma que la visión por computador puede: 1-3 a) Proporcionar un lenguaje para expresar las teorías del proceso de datos visuales. b) Tener capacidad de establecer experimentos claramente, sin las confusiones que se suelen derivar de la consideración de la visión humana. c) Permitir que las evidencias de la percepción visual humana proporcionen pistas para la visión artificial. d) Establecer que las teorías a distintos niveles son apropiadas para imponer restricciones en el aspector teórico y experimental, tanto en visión artificial como | en la percepción humana. | I ü O Esquema de Visión Artificial | i •o En el modelo computacional de visión, el objetivo central consiste en conseguir | aquellos métodos computacionales efectivos para pasar de imágenes a I representaciones, a través de la imposición de las restricciones suficientes. Se | G @ ilustra con la búsqueda de métodos para pasar desde imágenes a superficies y desde superficies a formas, con el problema final de la representación de formas para el reconocimiento. Este modelo, mas que una teoría completa es una propuesta general de un procedimiento para investigar en visión artificial. El objetivo central es obtener información sobre formas a partir de las imágenes, imponiendo restricciones que vienen determinadas por la propia naturaleza del mundo exterior, y no por la estructura del conocimiento impuesta a priori. 1-4 Partiendo de las imágenes, la teoría computacional propone obtener un "boceto primario", de aquí un boceto en 2 1/2 dimensiones y finalmente, una representación de las formas en 3-D. El conocimiento final de que éste es un enfoque apropiado para analizar el proceso visual les vino a Marr y Poggío del hecho de que es posible encontrar un procedimiento computacional efectivo para interpretar estereogramas formados por puntos al azar y que por consiguiente, tal representación debe ser anterior al reconocimiento. El programa de trabajo de la teoría computacional de la visión se presenta a continuación. Según este esquema, el marco representacional presenta al menos cuatro niveles, en el que cada representación se ha de expresar en términos de unas primitivas propias. Las primitivas correspondientes a la imagen son el valor de la intensidad en cada punto. El boceto primario tiene como finalidad explicitar información relevante acerca de la imagen bidimensional, esencialmente los cambios de intensidad, y su distribución geométrica y organización. Sus primitivas incluyen cruces por cero, terminaciones y discontinuidades, segmentos de bordes, líneas virtuales, grupos, organización curvilínea y 1 imites. El boceto 2 1/2 D tiene por objeto explicitar la orientación y profundidad aproximada de las superficies visuales, y los contornos y discontinuidades en estas magnitudes, en un sistema de coordenadas centrado en el observador. Sus primitivas incluyen la orientación local de superficies, distancia hasta el observador, discontinuidades en profundidad y en orientación de superficies. Finalmente, está la representación en forma de modelo 3D, cuyo objetivo es describir formas y su organización espacial referidas a un sistema de coordenadas centrado en el objeto, usando una representación modular jerarquizada que incluye descriptores volumétricos tanto como descriptores superficiales. Las primitivas son un conjunto de modelos 3-D dispuestos jerárquicamente, cada uno 1-5 de los cuales posee un propio sistema de referencias intrínseco, al que se refieren los descriptores superficiales y de volumen. El esquema anterior se completa con un procedimiento de reconocimiento visual, comandado fundamentalmente por conocimiento visual pre-estructurado y que echa mano de bases de datos conteniendo los modelos standard. El esquema total se ilustra en la fíg. 1. MODELOS STANDARD 3D IMÁGENES BOCETO PRIMARIO BOCETOO 2 1/2 D MODELOS 3D RECONOC. Fig. 1. Esquema de visión artificial (adaptado de Marr). La correspondencia entre las primitivas y los descriptores y las formas que representan, es directa según lo anterior. En realidad, esto no es un requisito esencial aunque ayuda a un metaobservador a entender el proceso subyacente de una forma más próxima a la intuitiva. Las propiedades de las superficies y de las formas a las que refiere el esquema de la fig. 1 son propiedades deducibles y expresables en un lenguaje formal muy próximo al de la geometría diferencial e integral. En esencia, las restricciones impuestas son debidas a las propiedades 1-6 físicas del mundo exterior, sin llegar a implicar niveles simbólicos o semánticos hasta que se llega al reconocimiento. La citada correspondencia no tiene en principio por que ser directa y podría llevarse a cabo en un espacio transformado, donde ciertas primitivas de interés pueden ser determinadas y manejadas con mayor flexibilidad. De hecho, ésto no pasa de ser una suposición y una esperanza. En muchos casos, el trabajar con descriptores procedentes de espacios transformados en sistemas de visión artificial descansa solamente en la adecuación posterior comprobada experimentalmente, tanto en tiempo de cómputo como en aciertos. Esto ha de tomarse con cierto cuidado, porque, normalmente, los investigadores no dan cuenta de los errores, sino de los aciertos. En todo caso, es muy difícil, hoy por hoy, proporcionar un teorema negativo acerca de la inutilidad de pasar a espacios transformados. Una transformada integral biunívoca que ha tenido gran aceptación en la representación visual ha sido la transformada de Fourier espacio-temporal. Incluso se la intentó justificar fisiológicamente por Campbell y otros [5], llegándose a afirmar que el objetivo de la retina es realizar una descomposición en frecuencias espacio-temporales, que es transmitida al cortex. Posteriormente, se ha visto que esa afirmación no tiene más fundamento que la de Hubel y Wiesel acerca de las células corticales especializadas en detectar líneas y bordes orientados, es decir, ninguno. El que un sistema tenga una cierta respuesta espectral, no implica nunca que el que usa la información resultante esté interesado en descomposiciones espectrales. Sin proseguir en la cuestión de que si algunos sistemas naturales de visión usan o no descriptores procedentes de transformaciones integrales, es cierto que 1-7 estos descriptores tienen propiedades que los hacen atractivos, al menos para un sistema de visión artificial. Uno de ellos es la desaparición de los escotomas que aparecen en las representaciones punto a punto. Otra es la posibilidad de lograr invarianzas en la representación de una forma rápida y elegante [6],[7]. Como consecuencia de admitir la potencial utilidad de una representación múltiple se llega a los conceptos correspondientes a la representación visual multimodal. En este caso, el sistema visualiza representaciones usando modos visuales y de la conversación cruzada entre las modalidades se ha de llegar a un diagnóstico final. Convergemos así en una propuesta de esquema de visión artificial, que se ilustra en la fíg 1.2. TRANSFORM REPRESEN!. INVARIANT CLAS. Y RECONOC. El DIAGNOSTICO En Fig. 1.2. Esquema de visión artificial Según éste, las transformaciones básicas iniciales actúan directamente sobre las imágenes para proporcionar descriptores relevantes de los mismos, con las 1-8 correspondientes etiquetas. De acuerdo con la idea básica del reconocimiento multimodal, las transformaciones deben utilizar descriptores invariantes, si bien los parámetros para determinar las invarianzas, deben, en general, proceder de una modalidad diferente. En todo caso, ha de tenerse en cuenta que las transformaciones no corresponden a una única expresión, sino a una cascada de ellas, como se ilustró en el esquema de la fíg. 1.1. El significado concreto de alguna de las transformaciones posibles será considerado en capítulos posteriores. Por último, conviene destacar que la ausencia de una teoria completa a cerca de la percepción visual, ha dado lugar a que el área de investigación en Visión Artificial (que utilizando la definición de R.Nevatia [8] es "el área dedicada a permitir a las máquinas la percepción de su entorno visual tal y como lo hacen los humanos y los animales"), sea, como ocurre en la mayoría de las áreas de Inteligencia Artificial, una ciencia fundamentalmente experimental. Evidentemente que se hace uso en ella de principios de Óptica, Electrónica e Infomática en la adquisición y procesamiento de imágenes, pero la interpretación de las imágenes para hacer un uso pragmático de las mismas, depende en gran medida de un elevado y creciente número de algoritmos y métodos, que son concebidos heurísticamente, utilizados racionalmente y verificados experimentalmente [9]. En este entorno es precisamente en el que hay que entender las aportaciones del presente trabajo. 1.2 MÉTODOS EN RECONOCIMrENTQ I)K FORMAS , En este apartado presentamos una revisión de las técnicas y métodos más utilizados en el recononocimiento automático de formas. Hacemos un énfasis especial en la Transformada de Fourier y en la Teoría de Momentos ya que estas 1-9 han sido las transformaciones mas frecuentemente utilizadas en la realización de este trabajo. El estado del arte en reconocimiento de formas ha avanzado, desde el uso de esquemas primitivos para el reconocimiento de un conjunto limitado de formas estándar, generadas por software, a la de sofisticadas aplicaciones técnicas para el reconocimiento de una gran variedad de formas reales adquiridas mediante cámaras de video. Las técnicas de reconocimiento varían mucho dependiendo de los descriptores elegidos para caracterizar las formas, el modo en que se obtienen estos descriptores y los métodos de clasificación empleados. Las técnicas utilizadas en reconocimiento de formas pueden agruparse en tres grandes categorías: a) Características Locales. b) Características Globales. c) Características Geométricas y Topológicas. L2.1 Características Locales Una forma de caracterizar una imagen es obtener características de la distribución de los puntos de la misma [10-14]. Los descriptores locales elementales coinciden con los valores de los pixels de la imagen. El más empleado, principalmente por su economía y por existir comercialmente los 1-10 sensores apropiados, es el nivel de luminancia (o nivel de gris) de los puntos que forman la imagen formada en una cámara de vídeo. La señal analógica generada se digitaliza en forma matricial. La mayoría de los objetos de la escena tendrán unas características distintas de luminosidad, y se encontrarán respecto de la fuente de luz en situaciones distintas, lo que dará lugar a cambios relativamente bruscos de nivel, que serán una de las principales pistas para la segmentación. Por ello, el borde es un tipo de descriptor local muy interesante. Un método para calcular bordes suele consistir en calcular la convolución con algún núcleo I apropiado, que de valores máximos para determinado tipo de transiciones. En f i general, al ser las transiciones de distinto valor y de distinta pendiente, suele ser | o. conveniente utilizar una variedad de núcleos de distintas características. | i •o 1 En el caso particular de imágenes muy contrastadas, un simple análisis del f histograma frecuencia/tono, nos permitirá calcular el valor de umbral adecuado | £ 3 que separe piezas de fondo. Existen diversos métodos: ajuste a dos gaussianas, i ajuste por el método de la cuartica, suavizado progresivo hasta encontrar un solo mínimo entre dos únicos máximos, etc. Hay que tener en cuenta que, si se pretende obtener las fronteras definitivas entre regiones en un solo paso, es muy conveniente reducir el ruido que acompaña toda imagen mediante algún filtrado pasa baja, por ejemplo; e incluso, posteriormente al umbralizado, desechar regiones pequeñas o "poco conexas" (poco densas en número de puntos de pieza/número puntos fondo) etc. Se ha de tener en cuenta que en la determinación del umbral se ha despreciado la información espacial. Esta es evidentemente importante, pudiéndose atacar la umbralización como clusterización en espacio tridimensional (las dos dimensiones 1-11 tridimensional (las dos dimensiones espaciales, más la de tono de gris). Este procedimiento es de aplicación mucho más general (suponiendo que las distintas partes de la imagen poseen tono uniformes o de variación lenta, y localmente distintos). Cualquier método de clusterización que no precise información adicional es en teoría aplicable, aunque de gran lentitud de proceso. Calculando histogramas locales cada cierta distancia e interpolando posibles umbrales, se obtendrían umbrales dependientes de la posición que podrían servir para la clusterización tridimensional antes apuntada. En el caso general de que las distintas partes no tengan tonos homogéneos, ni aún ligeramente variables, sino que estén formados por texturas distintas u orientadas diferentemente, los métodos vistos anteriormente pueden aplicarse aisladamente (aunque su validez es reducida) o incluso en paralelo con otros. En este tipo de imágenes se pueden extraer descriptores locales en forma de valores de transformadas aplicadas localmente o de medidas locales de textura. Cualquier resultado de cualquier transformada bidimensional, aplicada en una zona pequeña alrededor de un punto puede considerarse como descriptor local asociado a ese punto de forma análoga al proceso de convolución, con la diferencia de que para hacer tratables los resultados, es preciso disminuir el volumen de datos resultante, tomando los más significativos. En el caso de los coeficientes de una transformada, se pueden tomar aquéllos de mayor módulo, o ajustar la superficie a una predeterminada cuyos parámetros serían los descriptores locales. Como ejemplo de estos procesos lineales, se pueden citar las conocidas transformadas de Fourier, Coseno, Seno, Hadamard, Haar y Karhunen-Loeve. 1-12 que es el producto escalar de la función a transformar f(x, y) por la función a(x,y,Uo Vo) definido sobre el mismo espacio. F(u„, VQ) representa la proporción de la función a(x, y, UQ, VQ) que está presente en la función f(x, y). I I a(x, y, uj, v¡) a(x, y, Uj, vj) = d¡j D¡j Donde: dij es un número y Dij representa la delta de Kronecker. En este caso, hay conservación de la energía a partir de la transformación. Existe un gran número de transformaciones que presentan propiedades de ortogonalidad y de separabilidad [16,17,18]. Transformada De Fourier La transformada de Fourier es la más conocida de las transformaciones ortogonales, por el hecho del significado físico de sus componentes en el caso de tratamiento de señales que son función del tiempo. También pueden aplicarse a las imágenes, lo que conduce a la noción de frecuencias espaciales. La definición de la transformada de Fourier directa e inversa viene dada por la expresión: 1-19 1 2|TÍ F(u, v) = I I f(x, y) exp [ (ux + Vy)] 1 2TY¡ F(x, y) = I I F(u, v) exp [ (ux + Vy)] l\l u V N La transformación es de núcleo separable y simétrico, por lo que se puede reemplazar por una secuencia de transformaciones unidimensionales, definida por la matriz de transformación. 1 2]Y iux [A] = ^=^exp[ N/N N Si hacemos w = exp [-2TTÍ N 1 [A] = ^wk VN conk = ux, siendo O ^ u, x^N-l. 1-20 La siguiente figura da la expresión de esta matriz para N = 8. ^ wO wO wO wO wO wO wO wO wO w1 w2 w3 w^ w5 w6 w7 wO w2 w^ w6 w8 w10 w12 \/\j'\^ wO \/\/3 wS \/\/9 w12 w^^ w^S w21 wO W^ w8 wl2 wl6 w20 w24 w28 wO w5 w^O w15 w20 w25 w30 w^S wO w6 w12 \A/18 w24 w30 w36 w^^ wO w7 w14 w21 w28 w35 w42 w49 2]Ti w = exp [ ] 8 Propiedades de la transformación.- De todas las propiedades de la transformada de Fourier, hay que señalar dos características que es preciso tener en cuenta en su empleo: a) La imagen inicial comporta N2 puntos y después de la transformación se encuentran N2 coeficientes complejos, por lo tanto N2 coeficientes reales. Este 1-21 efecto proviene de la hipótesis de la anulación de la parte imaginaria del brillo para cada punto de la imagen. Existe una relación entre los coeficientes de la transformada. F(-u,-v) = F*(u,v). Basta con guardar N2 coeficientes reales (correspondientes a u > O, por ejemplo), puesto que los N2 restantes se pueden deducir de estos últimos. b) La transformada de Fourier discreta bidimensional es esencialmente una representación de Fourier de un campo bidimensional. La representación sólo es § válida si el campo es periódico. La imagen original no es únicamente el conjunto | i de los N2 puntos dados, sino que comporta también las imágenes trasladadas ¡ ü o. vertical y horizontalmente de estos N2 puntos. Esta propiedad puede conducir a | i efectos parásitos de recubrimiento en ciertas operaciones sobre las transformadas | •o de Fourier, con aparición de estructuras no reales. I i I £ Algoritmo de cálculo rápido.- I G @ El desarrollo del cálculo numérico de las transformadas de Fourier, que hacen intervenir un número elevado de puntos, como es el caso de las imágenes, está ligado a la descripción por Cooley y Turkey de un algoritmo de cálculo rápido. En lugar de tener N2 operaciones aritméticas para la transformación, el método de la transformada rápida sólo necesita 2 N log2 N operaciones, para N = 2". La existencia de una transformada rápida de Fourier es debida a la simetría de la matriz de transformación [A], que no comporta, finalmente más que N términos diferentes para transformar N puntos. Los términos son las diferentes potencias. 1-22 conk = 0, l,...,N-l. 2|TÍ \N^ = {exp [ ] }k N 2|Ti 2iTÍ pues: exp [ k] = exp [ (k + N) ] N N La siguiente figura 1.3 representa la matriz de transformación reducida para | i N = 8. Esta matriz puede ser factorizada en un producto de matrices más simples, I o. teniendo numerosos coeficientes nulos. I \/8 wO wO wO wO wO wO wO wO wO w1 w2 w3 w4 w5 w5 w7 \/\/0 w2 \/\/4 \/\/6 \/\/0 \/\/2 \/\/4 \/\/6 wO w3 w6 w1 w4 vj7 \j\j2 \j\i5 wO w4 wO w^ wO vv* wO w^ wO w5 w2 w7 w4 wl w6 w3 wO w^ w4 w2 wO w6 w4 w2 wO w7 w6 w5 w4 w3 w2 wl Fig 1.3: Matriz de la transformada de Fourier con N = 8. 1-23 Ya que la DFT es una transformación lineal reversible, no hay ni ganacia ni pérdida de información en este proceso. Sin embargo, ciertas manipulaciones simples de esta representación de la forma en el dominio de la frecuencia pueden eliminar la dependencia con la posición, tamaño y orientación. Momentos La Teoría de los Momentos fue aplicada por primera vez al reconocimiento de formas bidimensionales por Hu en el año 1962, [19], el cual obtuvo un sistema completo de invarianzas frente a traslaciones, homotecias y giros. Posteriormente se han realizado distintos trabajos en este tema por miembros de nuestro Departamento [20-21]. Según dicha teoría, cualquier imagen bidimensional puede representarse mediante una función f(x,y), respecto de un par de ejes fijos en el campo visual. Una imagen puede representarse por los momentos espaciales de su función de distribución, definiéndose el momento generaliado jk, de orden j + k, de la siguiente forma mjk = -I j r CD Njk(x, y) f(x, y) dxdy 00 donde Njk (x,y) es una función general de x e y, por ejemplo xj yk, en cuyo caso la ecuación anterior constituye la definición usual de los momentos, que es la que se utiliza en la mayoría de los casos, quedando entonces la ecuación anterior de la forma: 1-24 rnik = r 00 xi ykf(x,y) dxdy; j,k = 0,1,2, 00 Si f(x,y) es continua, acotada y puede tomar valores distintos de cero sólo en la parte finita del plano xy, entonces existen momentos de cualquier orden y se verifica el teorema de unicidad: La secuencia de momentos {mji^} e, inversamente, f(x,y) está unívocamente determinada por {mjk}. Es decir, podemos reemplazar una descripción total f(x,y), correspondiente a un conjunto infinito de intensidades, por una descripción equivalente {mjk}, un conjunto infinito de momentos, y viceversa. Los momentos anteriormente citados no resultan, por definición, ser invariantes frente a transformaciones afines (traslaciones, homotecias y giros) del objeto a caracterizar. No obstante es posible definir a partir de los mismos un espacio de representación que sí lo sea. Para la normalización frente a traslaciones se calculan los momentos centrales jk definidos como: >^ik = (x-Xc)J (y-yc)k f(x,y) dxdy que son invariantes frente a traslaciones. 1-25 Respecto a la normalización frente a homotecias, existen diferentes formas de llevarlo a cabo, la más extendida de las cuales consiste en trabajar con los nuevos momentos: Hjk = |A (j + k + 2) /2 que son invariantes frente a traslaciones y homotecias. Por último para la obtención de momentos normalizados frente a giros son dos los métodos más utilizados, a saber: a) Método de los ejes principales, que son aquellos solidarios a la imagen y que forman un ángulo respecto de los ejes (x,y). Los momentos determinados respecto de dichos ejes son independientes de la orientación de la imagen. b) Método de los invariantes absolutos, desarrollado por Hu a partir de la teoría de invariantes algebraicos. En la construcción de estos momentos se emplean los momentos centrales normalizados frente a homotecias, y para los momentos de orden dos y tres, éstos son: 1-26 Ii = n2o + no2 b = (n2o-no2)^ + 4n 11 I3 = (030-3n,2)2 + (3n2i - noB)^ 14= (n3i + 0,2)2 + (n2i + no3)2 I5 = (n3o-3ni2) (njo + 0,2) [(njo + ni2)2 - 3(n2i + 003)-] + (3n2i - no3) (n2i + 093) [3 (030 + 1112)2 - ( nji + 003)2] le = ("20-"02) [("30 + "12)2 - (n2i + "03)2] + 4nii (n3o + "12) ("21 + no3) I7 = (3ni2-n3o) ("30+ 11,2) [(030 + 0,2)2 -3(n2, + "03)^] + (3n,2-no3) ("21 + "03) [3 ("30 + "12)^ - ("21 + "03)^] 1-27 1.3 PROCESO DE DATOS EN RETINA Y PROYECCIÓN AL CORTEX VISUAL Distintos trabajos de Moreno-Diaz y sus colaboradores [22,23,24] han puesto de manifiesto que el análisis apropiado de los procesos retínales ha de basarse en los conceptos de computación por capas, contenidos en germen en los escritos de McCulloch y Pitts [25], en relación a la corteza visual. En este sentido, la retina de los vertebrados puede considerarse como un sistema que procesa por capas la información visual procedente del exterior; ésta información progresa tanto longitudinal como transversalmente, implicando en este recorrido a todas las neuronas retínales, desde las células fotorreceptoras a las ganglionares. El § objetivo final de una teoría de proceso de datos en la retina consiste en explicar los i i mecanismos que ocurren en las diferentes capas y la codificación de las i ü o. correspondientes células retínales. Desde el punto de vista neurofisiológico, la | i codificación está soportada por los registros de señales eléctricas (trenes de pulsos | •o de las ganglionares y potenciales lentos de las células intrarretinales). Debido a la I dificultad de obtener registros de la actividad eléctrica en casi todas las neuronas s i £ retínales con excepción de las ganglionares y parcialmente de las horizontales, los I G @ estudios retínales se centran fundamentalmente en dichas células. L3.1 h^structura por capas: relevancia de la C.l^.l. La retina de los vertebrados en un amplio espectro de especies desde los peces, anfibios, reptiles y aves, hasta los mamíferos como el gato, el mono y el hombre, presenta una estructura anatómica por capas de células, que tiene un claro sentido funcional. Hay abundante evidencia sobre las peculiaridades funcionales de las capas nucleares externa e interna, plexiforme y ganglionar. Esta estructura operativa por capas ha sido también encontrada en vías más altas 1-28 1.3.4 Esquema conceptual de la Operación retinal. Acción de las capas exteriores Con los conceptos anteriores y a modo de resumen, el funcionamiento hipotético de la retina puede sintetizarse como sigue: Los datos espacio-temporales de entrada a la retina son procesados por los fotorreceptores, bipolares y horizontales de las capas exteriores, ofreciendo canales o niveles de propiedades espacio-temporales, según la especie en cuestión. La información de cada canal es el resultado de operaciones que pueden ser cualitativamente descompuestas en una transformación lineal espacio-temporal seguida de umbrales adaptivos. En la CPI cada uno de los canales interactúa lateralmente de un modo peculiar para cada tipo de ganglionar. Esta interacción lateral no lineal estaría gobernada por las sinapsis bipolar-ganglionar y amacrina-ganglionar. Tal como se ha concluido en trabajos anteriores [26,27], las capas exteriores generan versiones con diversos retardos de las señales que al interactuar en la capa plexiforme interna explican las propiedades tanto de las ganglionares simples como de las complejas y codificadoras de color. Las retinas simples y no especializadas como por ejemplo la del gato, indican que las señales procedentes de las capas exteriores son dos versiones espacio temporales de datos de entrada transformados cuasi linealmente: una señal rápida y una señal retardada. Aunque el papel de las células horizontales no está del todo clarificado, es posible que estas desempeñen un papel en la generación de las versiones retardadas, las cuales son trasladadas lateralmente. 1-35 Para una retina continua, bajo simples suposiciones espacio temporales y considerando solo términos de primer orden, la expresión de lo anterior según la notación convencional del análisis de sistemas es: fF(r,s) = HF(S) WF(r, r')l(r',s)dr (i) fR(r,s) =fF(r,s)/(1+rs) (2) donde r y r' son las correspondientes coordenadas espaciales, fp y FR son las i transformadas de Laplace de las señales rápidas y retardadas, y I(r',s) es la g o. transformada de alguna función no lineal de la intensidad de la luz incidente en el ! i punto r' (e.g una función logarítmica). Wp y Hp corresponden a una i 1 transformación espacio temporales de las capas externas, que corresponde | esencialmente a un filtro paso baja espacio temporal. ¡ £ 3 G @ Posteriormente, las señales fp y fR interactuan lateralmente en la capa plexiforme interna. Esta interacción puede descomponerse en una inhibición lateral lineal seguida de una no linealidad local de rectificación. Las dos posibilidades resultantes son inhibición lateral lineal de fp por fR y viceversa. La inhibición resulta de pequeñas superficies SR o Sp, de áreas AR y Ap. U(r',r)es una función de valor 1 sobre dichas superficies y O en el exterior; KR y Kp son los pesos constantes de la inhibición es decir: 1-36 xi(r, s) = fpír.s)- (kR/AR) U(r,r')fR(r',s) dr-ía) X2(r,s) = fR(r, s)- (kp/Ap) U(r,r')fp(r",s)dr (4) La no linealidad local de rectificación, genera las señales xi' y X2' dadas por: x'i(r,t) = Pos(L-i(xi(r,s))) (5) x'2(r,t) =Pos(L-l(x2(r,s))) (6) L-í es la transformada de Laplace inversa y Pos x se define por: Pos x = x para x>0 y cero en otro caso. Las señales xi' y X2' son posteriormente pesadas y sumadas, tal que para una célula ganglionar en el origen, su frecuencia instantánea de disparo G(t) está dada por: G(t) = Pos { ki(t-t',r)xi(r,t')dt'dr + r -^f k2(t-f,r) x'2(r,f)dt'dr + Go} (7) r -^f 1-37 siendo Go la respuesta espontánea, cuando existe. Estas bases, unificadas por la formalización matemática [28] son apropiadas a nivel conceptual para elucidar los mecanismos que determinan la totalidad de los procesos retínales en los vertebrados, tal como han sido registrados en neurofísiología. La completa sistematización y generalización de estos conceptos no ha sido realizada por anatomistas y neurofísiólogos posiblemente por no poseer - o quizá no estar interesados en ellas - las herramientas de la moderna teoría de sistemas (lineales y no lineales), que son precisas para la formulación de una verdadera teoría del sistema visual de la retina. En efecto, algunos aspectos (los aspectos puramente temporales) de la formulación matemática caen de lleno dentro de la ortodoxa o clásica teoría general de análisis de sistemas de la ingeniería eléctrica y de comunicaciones. Pero la dificultad más importante ocurre con el carácter altamente no lineal de los procesos espacio-temporales de las neuronas. La teoría de sistemas (análisis e identificación) ofrece gran ayuda, y también los conceptos de codificación y transmisión familiares en las técnicas de telecomunicaciones. Sin embargo, el sistema vivo de proceso en la retina tiene una complejidad poco habitual en los sistemas físicos, añadiendo aspectos nuevos, espaciales, con los que el ingeniero eléctrico no se había enfrentado. De esta complejidad se beneficia, asimismo, la teoría de sistemas, que encuentra así una fuerte motivación adicional en su desarrollo para cubrir las necesidades surgidas en la descripción de la operación retinal. 1-38 Generalización de ia operación retinal a nivel de las ganglionares.- Los retardos de la señal en las capas exteriores son suficientes para explicar con éxito las operaciones retínales a nivel de las ganglionares simples y complejas en el gato, las aves e incluso en la rana esculenta. Sin embargo, para la rana pipiens ha sido necesario introducir altas no linealidades, como son la facilitación y desfacilitación multiplicativas. ¿Cómo pasar de esas no linealidades drásticas a las expresiones casi lineales de las ganglionares del gato, el mono y quizá el hombre? Un primer enfoque será proveer el sistema con desarrollo funcional en serie de potencias, pudiéndose restringir, para el caso lineal, a los primeros términos. Esto equivale a efectuar una descripción del sistema no lineal del tipo de las propuestas por Volterra y Wiener o Marmarellis. Sin embargo, es muy difícil de justificar y verificar experimental el que por el hecho de que menos amacrinas conecten con una ganglionar, o porque haya pocas fibras centrífugas, ésta se decida por los primeros términos de una desarrollo de potencias que en definitiva afecta a productos múltiples de las señales. En cambio, por otro lado, está el probado efecto de las fibras centrífugas aferentes a la retina sobre la extensión de los campos receptivos ganglionares, si bien no sobre su cualidad. Es claro que este efecto no se refiere a las señales, sino a la naturaleza del sistema. Las formulaciones clásicas de Volterra o Wiener de la teoría de sistemas no lineales mantienen una descripción externa del sistema, como si fuera una "caja negra". Este modo de operación apenas resulta útil en la teoría que, pese a su generalidad, puede calificarse desde nuestro enfoque como "ciega", en cuanto ignora la naturaleza del sistema. En el mejor de los casos sabremos (incluso en detalle) qué hace el sistema, pero muy poco cómo lo hace. 1-39 Surge también la limitación de trabajar con señales monocanales o en todo caso multicanales (multientrada), pero pocas e independientes entre sí, sin interacción espacio temporal de importancia. Más en realidad muchos sistemas biológicos presentan aspectos espaciales no abordables desde esa perspectiva. Por otra parte, partiendo de una representación geométrica cualquiera de un sistema, ¿cómo pensar que para procesar la señal requiera la realización de convoluciones sobre los productos dobles, triples, etc. de las señales de entrada? ¿No será que esa representación encubre un proceso adaptativo no lineal? En ese caso tales productos deben corresponder a núcleos de interacción y no a las señales. Supongamos un proceso discreto en el tiempo. Entonces en el instante t el núcleo de interacción es función de lo procesado en instantes anteriores, o bien está controlado por los resultados de un proceso superior. (Esto es precisamente lo que los resultados experimentales en la retina de las aves sugieren.) En la representación funcional de Volterra o la de Wiener lo más característico del procesamiento de un sistema no lineal es el núcleo o peso con que contribuye el valor que tiene la señal en cada uno de los puntos de su espacio de variabilidad expandido, en la construcción de la salida. Esta construcción es una suma (lineal) en cualquier caso. Esta expansión del espacio de entrada en 1,2,...n espacios superpuestos se precisa para tratar adecuadamente la influencia (peso) que tiene no sólo la señal puntualmente considerada, sino como un todo, que incluye todas sus tendencias propias (derivadas espaciales y temporales) y forma definitiva y peculiar de sucederse a sí misma en espacio y tiempo. Ahora bien, esto no es debido a la señal, sino que viene impuesto por el sistema siempre que éste tenga sensibilidad a la señal, es decir, tenga alguna capacidad de discriminar sus valores (respondiendo a ellos selectivamente), y tenga quizá también capacidad de compararlos o relacionarlos. 1-40 Se precisa, pues, en primer lugar, sensibilidad a la señal, lo que requiere núcleos adaptivos. En segundo lugar, puede existir capacidad de relacionar los valores de la señal que han penetrado en el sistema, lo que ocurre si tiene "memoria" temporal o espacial. La ausencia de memoria temporal indica que los núcleos se adaptan instantáneamente al valor de la señal. La falta de memoria espacial indica que los núcleos se adaptan puntualmente al valor de la señal: son locales. El grado de adaptación o sensibilidad es, precisamente, el grado de no linealidad del sistema. En particular, si no se adaptan a la señal, el sistema es lineal. La transparencia y la consistencia ha conducido a los núcleos de interacción. | Pero una vez allí el socorrido desarrollo en funciones ortonormales no es i utilizable. I i •o Así pues, se ha de abandonar el enfoque de desarrollo funcional en serie de | potencias de Volterra. Es preciso considerar que los núcleos de operación son I núcleos adaptivos, de acuerdo con la señal de entrada, aunque invariantes (no | a evolutivos). Para ello una reciente formulación de Moreno-Díaz [29], nos pone en el camino adecuado de lograr la generalización de la operación retinal de las ganglionares. A nivel cualitativo, podemos llegar a algunas consecuencias relevantes. En los vertebrados superiores la mayoría de los núcleos de interacción - las propias ganglionares - toman escasa cuenta de lo que se hace en centros superiores o en ellas mismas, al contrario que en los vertebrados inferiores. Se plantea entonces una cuestión experimental: ¿a medida que avanzamos en la escala biológica visual disminuye la influencia de las ñbras centrífugas sobre las ganglionares de la retina? 1-41 Según ello, una ganglionar es "casi lineal", cuando su propia realimentación sobre el núcleo o la realimentación desde la corteza es casi nula. En otro caso sus propias funciones de peso sinápticas dependen o de la historia global tal como sea interpretada por los centros visuales superiores o de su propia historia si estas ganglionares muy especializadas - como en la rana pipiens - son sus propios centros superiores. La mayor realimentación procederá en estos casos del téctum ópticum. Entonces, los aparentes efectos de facilitación y desfacilitación que dan lugar a los resultados experimentales de "gating" en la rana pipiens pueden proceder del i téctum vía las fibras centrífugas. Si se seccionan éstas aparecerán los efectos más I i localistas y cuantitativos. I ü o. i Y otra consecuencia. Los resultados en la rana pipiens se refieren a registros | •o en el téctum ópticum. Así, esta retina y la del gato parecen muy lejanas. Pero un S" bloqueo de las fibras centrífugas y el registro en los propios axones ganglionares i han de llevar a que la función retinal de animales tan lejanos en la escala como el | G @ gato y la rana presentan, en esencia, el mismo tipo de operaciones, aunque con muy distinta distribución entre fibras especializadas o no en cada especie. 1-42 CAPITULO 2 TRANSFORMACIONES NO LINEALES 2.1 LINEALIDAD, NO LINKALIDAI) Y COMPLITUD Un concepto básico en proceso de imágenes y en visión es el de "descripción completa". Una descripción se admite que es "completa" en su entorno visual, si la descripción contiene todos los datos, y propiedades de los datos, necesarios para cubrir unos objetivos. A nivel analítico, los objetivos que se establecen con frecuencia consisten en admitir que una descripción es completa cuando de ella puede recuperarse el entorno visual. Dentro de la teoría de sistemas, una transformación corresponde a la acción de | 8 un sistema sobre el espacio de las entradas y quizás el de las salidas, para generar | ü un nuevo "slide" del espacio de salidas. | i •o Los conceptos de complitud de una transformación con relación al campo | receptivo y a la función fueron introducidos por Candela en 1987 [30]. Según dicho | autor, y desde el punto de vista analítico, la descripción completa (que, según la | G @ heurística y el experimento, podrían ser "cortados" para un sistema de V.A. práctico), requiere "a priori", la conservación del número de grados de libertad, o del número de propiedades independientes, N, del entorno visual. Dicha constancia permitió establecer una especie de principio de conservación que viene determinado por los funcionales computados por F y por los campos receptivos, que, además reflejan una situación de dualidad, en el sentido de que la complitud requiere aumentar el número de ellos si el otro disminuye. Seguiremos profundizando en estos conceptos en el capítulo 3 al tratar las transformaciones de campos de datos, donde además generalizaremos el concepto de complitud. 2-1 Ro: {Calcular a = F6*F]4; si a>F22 entonces FQ- =F22 si a 1 F22 entonces Fo' = 0} con lo que: F'k = Ro {Fe + k, F]4 + k, F22 + k} Una transformación multidimensional en la que existe una convolución generalizada para una (o mas) dimensiones, es invariante en esas dimensiones. Así, si la dimensión en la que existe la convolución generalizada es el tiempo, se tiene una transformación "invariante en el tiempo", es decir, en la que no existe aprendizaje. La regla de decisión en las ecuaciones anteriores puede considerarse como una relación sobre los Fi; y de hecho, en general, adopta la forma de un "programa" que, para el caso unidimensional, trabaja sobre los datos contenidos en los N (i = 1...N) "lugares" de memoria, Fi. Consideremos algunas otras ilustraciones de convoluciones generalizadas que servirán para establecer con claridad el alcance de la formulación. Primero, es inmediato ver que en el caso de que la regla Ri' sea una regla algebraica y lineal, se tiene la convolución convencional. En efecto, la regla: F'i' = {I o:¡',i Fi} Ec. 2.6 2-8 corresponde a una transformación lineal arbitraria. Poniendo la condición de la ecuación 2.5, resulta la regla RQ Ro ^ ^ OCQÍ Fi que con la condición 2.4: F'k = I oÍQi Fi + k = = Z o:¡ Fi + k = (o=oi =o=i) 2.7 El proceso se ilustra en la figura 2.2. Los o( \ son los "factores de peso", o el I núcleo de la convolución, referidos al origen. I i Fi + k F" i' = O Ro i' = k Figura 2.2: Ilustración de una convolución standar como un caso particular (lineal) de una convolución generalizada. 2-9 El cambio de subíndices: i + k=j; i = j-k permite escribir la ecuación 2.7 en la forma mas usual: F'k = loci.k Fj que en el caso continuo, queda: F*(x) = o: (x'-x) F(x') dx' ecuación familiar de la convolución, con el núcleo de diferenciaso< (x'-x). Casos interesantes -que asimismo se corresponden con convoluciones lineales que actúan localmenteson los operadores diferenciales. Por ejemplo, el operador laplaciana, detector de contrastes, en una dimensión es: 1 ci2F ci 1 re r 1 = Fi- [F¡.i + Fi + iJ 2 dx2 es decir, en términos de convolución: 2-10 1 F'k = Fk- [F-i +k + Fi +k] 2 Ilustraciones de convoluciones generalizadas no algebraicas (algorítmicas) han sido desarrolladas por Moreno-Diaz Y Mira [33] y por Santana et al, [34]. A título de ejemplo presentamos un proceso correspondiente a una inhibición lateral simbólica: Sean C y P las áreas central y periférica correspondientes a un punto (x,y) de una imagen. La inhibición lateral simbólica requiere la definición de un proceso A en C y un proceso B en P. De esta forma P inhibe a C de acuerdo con una regla de decisión que tiene en cuenta los resultados de los procesos A y B. Este algoritmo simple pero potente para la inhibición lateral simbólica es tal que los procesos A y B son procesos de selección del máximo. Es decir: Proceso A .... Select Max (C) = C, Proceso B .... Select Max (Abs(P)) = P m Cm(x,y) es el valor máximo de las señales presentes en el área central del punto (x,y). Pni(x,y) es el correspondiente máximo de los valores absolutos en la periferia. La regla de decisión (D,R) es tal que si F(x,y) es la salida en el punto (x,y): 2-11 Regla de decisión — Si Cm >.Pm entonces F(x,y) = C(x,y) en otro caso F(x,y) = -P m Este algoritmo es apropiado para la generación de ondas, como ha sido apuntado por los citados autores. . 2.2.3 t*roducclón de Convoluciones Generalizadas por reglas analíticas j ü o. Como se ha visto en la sección anterior, una convolución generalizada se basa f •o en una única regla que se aplica a todos o parte de los valores Fi contenidos en los i lugares i. A partir de la regla del elemento en posición cero (F'o), Ro, la regla para | el elemento en la posición k se obtiene sustituyendo cada Fi en la regla por F¡ + k. | G @ Una familia importante de convoluciones generalizadas es la que caracteriza los sistemas no lineales polinómicos, invariantes en el tiempo-espacio, que corresponde a la caracterización Volterra-Wiener. En esta situación, se admite una regla, Ro, expresable por una función analítica de los Fi (que aparecen como variables). Nótese que, estrictamente, la regla Ro es un funcional, ya que, desde el punto de vista del análisis clásico, las variables no son las Fi, sino los subíndices i, ésto es las direcciones de "memoria". Las incidencias análisis-estructura computacional serán reconsideradas en el capítulo 3. 2-12 Si la regla Ro es una expresión analítica, puede desrrollarse en serie de potencias. Para una dimensión es un desarrollo en N variables (subíndices), de tal forma que Ro es: Ro = Ro(0,...0) + I fcRo/5F¡)Fi = oFi + E I (82Ro/6Fi 6Fi) F, = Fj =OFÍFJ +... i j donde Wi, Wij, etc, son: Wi = (6Ro/8F,)F,.o ; Wij = (&2Ro/6F¡&Fj)Fi = Fj = 0 correspondientes a los Kernels de 1° orden, 2° orden,... introducidos en la teoría s de sistemas no lineales. I 2.3 SISTEMAS NO LINEALES POLINOIVUCOS Como ya indicamos, un caso particular interesante de sistema no lineales son los sistemas polinómicos, descriptibles por medio de los núcleos de orden l,2,....,n de Wiener. Moreno-Diaz y Rubio [28], demuestran fácilmente gracias a la notación sencilla -la misma aquí usadaque un sistema polinómico es equivalente a un expansor del número de funciones de entrada seguido de un sistema lineal, tal como se ilustra en la figura 2.3 2-13 h h fN2 fi h Sistema Lineal fN2 E xnan5or fi .. fN2 fif2 fif3-- hhh- • T • T T h Figura 2.3 1 •o 1 Investigar, en general, las condiciones necesarias y suficientes para la I existencia del sistema inverso a uno polinómico dado cae fuera de los objetivos de | G @ este trabajo, aunque es una cuestión a estudiar y a investigar experimentalmente sobre imágenes, en el futuro. Consideraremos, como ilustración, el caso de un sistema de segundo orden, es decir, un sistema que vendría caracterizado hasta los núcleos de Wiener de orden dos. Desde el punto de vista de la Teoría de Sistemas, preocuparía determinar si la clase de sistemas representables por este polinomio, en la vida real justifica su estudio. Desde nuestro punto de vista, esta preocupación no existe, por la misma razón que la representación por Fourier o Momentos en proceso de imágenes no descansa en la existencia de sistemas naturales o artificiales que a priori realizan tal transformación, sino en su utilidad posterior. 2-14 Un sistema no lineal polinómico de orden dos comporta los coeficientes Fi: Fi = Zoc¡j fj + I Zocjjkf, f|, j i k Introduciendo las nuevas variables funcionales P jk = íj fk y redenominando los Índices tales que, a cada pareja jk le hacemos corresponder un nuevo índice 1 (1 = 1,....N4), resulta r I = T'ik = f, fk Es decir N2 N4 Fi = Zociifi -f Ioc¡| Pi j = 1 ^ ' 1 = 1 o sea, un sistema lineal expandido y redundante, tal como preveé el teorema sobre representación lineal de sistemas polinómicos ya citado. Renombrando las variables, resulta: N2 + N4 = 5 1 Ioc¡. Tj (i = 1,....,N2) donde o( ¡j es una matriz de N2 x(N2 + N-i). 2-15 En principio, la solución inversa de la ecuación anterior, con más incógnitas funcionales -Pjque variables funcionales -Filleva a un problema diofantino en funcionales. Aunque ello pueda ser estrictamente el caso, el número de variables funcionales independientes no es N2 + N4 ya que, obviamente, por encima del índice N2, las nuevas variables funcionales no son independientes de las anteriores. Pueden hallarse con cierta facilidad condiciones suficientes para la existencia del sistema inverso. 1°) Las variables funcionales presentes en la expansión han de ser | independientes, para evitar redundancia. Por ejemplo, si fi y fj están | presentes, no lo puede estar fi fj. Igualmente, si fi está presente, no lo podrá I estar f2¡ y viceversa. f •o 1 2°) Lo anterior reduce a N2, número original de grados de libertad, el número | de los r ¡j que están presentes en la expansión. Además, si i '¡j es la matriz | a reducida, debe cumplirse | P 'ij|#0. 3°) En general, ningún fi debe ser cero. Este es un requisito fácil de conseguir en el preproceso de imágenes, por medio de una traslación del origen de intensidades. Según ésto, si se cumplen los requisitos anteriores, la transformación no lineal inversa existe tal como ha indicado J.A. Muñoz en su Tesis Doctoral [35]. 2-16 TEOREMA: Si una representación polinómica de segundo grado cumple 1°, 2° y 3°, existe la transformación inversa, que viene dada por las expansiones y reglas de solución expresadas a continuación: En efecto, partimos de la representación F¡ = locji Pi con a'ii #0 1 ' computamos ^i = ^ 3¡jFj donde 3 =o:-i Puesto que V \ contiene los fk,fi como fk o bien fu fi y según las condiciones | (1,2,3) resulta: | a @ Si fk está presente, así como fk f|, entonces ^k = fky l^k' = fkfi, de donde f| = rkVr^ De forma semejante se procede para otras combinaciones de productos de las funciones de origen. 2-17 que tiene como expresión el cociente de dos transformaciones lineales, cuyos núcleos cumplen la propiedad W(x,y,x',y')dx'dy' = O -'c donde C es, como antes, el dominio para cada (x,y), ésto es, el campo receptivo. En el lenguaje de las estucturas computacionales paralelas, la expresión anterior requiere que el campo receptivo C de cada unidad computacional tenga partes excitadoras e inhibidoras que se cancelen. Lo anterior permitió establecer y demostrar con gran facilidad a Muñoz [35], el siguiente teorema : Teorema. Si Ti y T2 son dos transformaciones lineales, caracterizadas por ios núcleos Wi y W2, tales que Wi(x,y;x",y")dx'dy' = O y W2(x,y;x',y') dx'dy' = O C la transformación no lineal T, definida por Ti (f(x,y)) T(f(x,y)) = ' \ = f(x,y) T2 (f(x,y)) 2-24 es tal que f(x,y) es invariante frente a traslaciones y homotecias en intensidades. Este teorema tiene especial interés y repercusión en el proceso de imágenes para su estandarización y abre un campo experimental apreciable, porque amplía considerablemente el abanico de los métodos para esos fines, con la inclusión de las propiedades que son deseables de ciertas transformaciones lineales. La transformación no lineal anterior tiene la dificultad de presentar singularidades cuando se han realizado transformaciones previas según los núcleos con las propiedades de cancelación expresadas. Ello se solventa „ imponiendo sólo la condición de invarianza homotética y posteriormente la de | desplazamientos. j ü o. Este teorema, aunque demostrado teóricamente por Muñoz (1987), no se f •o desarrolló de forma practica, tarea que hemos llevado a cabo en el presente | trabajo. j I £ i a Un ejemplo de aplicación, de entre los muchos posibles, se muestra en la figura 2.5. En este caso hemos utilizado un operador diferencial de segundo orden, que como ya dijimos corresponde a un tipo particular de convoluciones generalizadas. En la figura 2.5 a) podemos observar una imagen directamente adquirida a través de una cámara de video B/N, cuyos niveles de grises están comprendidos entre a = O y b = 80. En la figura b) puede observarse la imagen resultante de procesar la anterior, proceso consistente en llevar a cabo una homotecia de valor 2 mas una traslación de valor 50 sobre la imagen anterior. 2-25 Por último en las figuras c) y d) puede verse el resultado de preprocesar las imágenes anteriores según la transformación no lineal T expuesta anteriormente, que también corresponde a una convolución generalizada. ^rc¡^^m^^ a) b) c) d) Figura 2.5 2-26 2.5 INCIDENCIA EN TEORÍA DE REDES NEURONALES. El efecto no lineal clave en el teorema anterior es un proceso divisivo. En términos de la computación en redes de elementos neuronales, el proceso divisivo es un proceso de inhibición presináptica y fué reconocido como tal hace más de veinte años [36]. Ello sugiere de inmediato que tal mecanismo de inhibición puede ser usado en una estructura computacional en paralelo, para conseguir representaciones que sean invariantes ante las transformaciones citadas. El logro de representaciones invariantes sigue siendo, a distintos niveles, una cuestión abierta en la teoría de la función cerebral, y por ello resulta de interés el desarrollar el modelo neuronal correspondiente a la transformación T antes citada. f(x,y) Dominio C (Campos Receptivos) Píx.y) Espacio de Entrada Capa Computacional 1 (Transformaciones TI vT2) Capa de Inhibición Presináptica (Plexo) Capa Computacional II (Transformaciones T) Espacio de Salida Figura 2.6 2-27 Como tal estructura computacional en paralelo, el proceso es representado en la figura 2.6. Los datos del espacio de entrada son tomados, de los campos receptivos, por dos tipos de unidades de computación en la capa computacional I, de tal forma que cada pareja de unidades de computación tienen un campo receptivo apoximadamnete igual. La capa de inhibición presinaptica tiene estructura de plexo, en el sentido neuronal. Las representaciones invariantes aparecen en la salida de la capa computacional II, que, a los efectos que nos ocupan, es una simple transmisión o a lo más, codificación, de los datos de la capa anterior. Este mecanismo poporciona un esquema sencillo para explicar la adaptación g neuronal, por ejemplo en retina. En este caso, el espacio de entrada es la imagen | i incidente sobre los receptores, o bien las salidas de éstos. La capa computacional I | ü es la correspondiente a dos tipos de bipolares, que, en teoría, debía doblar en | número a los fotoreceptores (tal como ocurre en la fovea). La capa de inhibición 1 •o presinaptica se localiza en la capa plexiforme interna. La capa computacional II | es, a los efectos de adaptación neuronal indicados, la formada por las células | ganglionares. | G @ Esta estructura de computación retinal se representa en el diagrama de la figura 2.7. Tal como acabamos de indicar, la fovea es la única región que en la retina de los vertebrados superiores cumple el hecho (requerido por este planteamiento teórico) de que el número de bipolares doble (al menos) al de fotoreceptores. Como consecuencia, se deduce de inmediato la siguiente predicción teórica, que habrá de ser constrastada experimentalmente : la adaptación neuronal (no pupilar) a cambios a referencias y escalas de la intensidad incidente sólo tiene lugar 2-28 de forma notoria en las regiojies foveales, o en las parafoveales con estructura cuasi-foveal. Fotoreceptores BI Bipolares, Tipos BI y Bu Gangiionares Axones (Nervio Óptico) Figura 2.7 2-29 CAPITULO 3 CAMPOS DE DATOS Y PARTICIONES 3.1 SOBRE LAS TRANSFORMACIONKS CAMPO RECEPTIVOFUNCIONAL 3.1.1 Transformaciones de Campo Receptivo variable. El concepto de TCRV fué introducido por Candela, [30] en su Tesis Doctoral y desarrollado allí y en trabajos posteriores [37,38], partiendo de la definición de transformaciones de campo receptivo constante y en su negación posterior. Los argumentos proceden de la siguiente forma: Dentro de la Teoría de Sistemas, una transformación corresponde a la acción de un sistema sobre el espacio de las entradas y quizá el de las salidas, para generar un nuevo "slide" del espacio de salidas. En tal estructura, no es difícil definir y visualizar lo que se entiende por "campo receptivo". Trabajaremos en una dimensión, que es extensible a varias dimensiones sin esfuerzo conceptual adicional importante. El sistema bajo consideración transforma f(x) en F(x'), donde x y x' son dominios que pueden coincidir, a través de una transformación arbitraria: $S«-^Í% F(x')=T[f(x)] ;:- ^:^''-:^^ i Ahora bien, admitimos que existe un "dominio máximo" de definición de f(x), en lo que respecta a la variable independiente x. 3-1 Por ejemplo, si x = t (el tiempo), x va de -oO(ó 0) a t (instante actual), igual que x', "toma nota" de todos los valores posibles de f(t) antes de t para "decidir" su valor F(t). Si la variable es espacial, el anterior "principio" de causalidad puede ser roto es decir x' puede ser tal que x' > x, tal como se ilustra en la figura 3.1. f(x) i F(x") Dominio total f (a) Dominio total F (b) Figura 3.1 Ilustración de sistema causal (a) y de sistema incausal (b). 3-2 Primeramente, hablaremos de "dominios totales" de las variables x y x' (que pueden ir de -<o a +«0, o de -oo a Xo, o viceversa o de xi a X2). Este se corresponde al dominio de x donde f(x) (como familia) puede existir. Lo que esto quiere decir es claro en el caso de una retina con una imagen estática, pero también queda claro si X es el tiempo. Para una "operación" F(x'), en la posición x', su dominio es la "zona" de x donde se adquieren valores de f(x) para tomar la decisión F(x'). Asi, tenemos la siguiente condición (Ci), obvia como condición suficiente: Ci. Establecido el dominio total de f(x), una transformación F(x') es TCRC si, para todo x', el dominio de F(x') es el dominio total de x. (Condición suficiente). Por ejemplo, todo sistema causal lineal en el tiempo realiza una transformación TCRC, cosa que es muy fácil de demostrar. Siguiendo con lo anterior, es fácil llegar a una condición más restrictiva para las TCRC. Para ello, se define el concepto de "tamaño" del campo receptivo de una transformación F(x'). Admitimos que x soporta una métrica de distancias tal que la distancia entre dos puntos xi y X2 es el valor numérico d(xi Xj). Asi, pasamos a la condición más restrictiva de TCRC siguiente: C2. Dada una distancia d(xi x¡) medida en x, una transformación F(x') es TCRC si F(x') decide sobre el dominio comprendido por (Xi<x<xj) tal que d(xi xj) = cte para todo x*. Así, la generalización de lo anterior resulta en cierto modo trivial. En efecto: 3-3 3.2. CAMPOS DE DATOS. TRANSFORMACIONES Y REPRESENTACIONES COMIM.ETAS. El procedimiento defínitorio de las TCRV, introducidos anteriormente, aunque formalmente correcto, adolece del inconveniente de dejar con cotas demasiado extensas el conjunto de transformaciones que son considerables como TCRV. Es algo similar a lo que ocurriría si, para definir una transformación no lineal, definiéramos "ad principium", las transformaciones lineales y se procediese a la negación posterior. Aquí se ve que resulta apropiado acotar el campo de formulación, por ejemplo, restringiéndonos a las transformaciones formulables en analítica. En este caso, se procedería definiendo primero como tales, las I transformaciones analíticas y, con posterioridad, la subclase de transformaciones i I lineales. S ü CD a, i 1 Si bien estamos de acuerdo en la importancia de separar el campo receptivo y I 1 la función en proceso visual y en general en computación paralela, coincidiendo f plenamente en ello con los argumentos de los citados autores, creemos que un 5 enfoque alternativo permite converger en una amplia, pero manejable, clase de ? transformaciones de campos receptivos, de las que las TCRC son un caso particular. Para ello, en lugar de fijarnos solamente en las particiones independientes de los campos receptivos, centraremos nuestra atención en el concepto de descripción completa de un "campo de datos", tanto en el aspecto funcional como en el del campo receptivo. El concepto de Campo de Datos se obtiene como generalización inmediata de la representación de imágenes en una, dos, o mas dimensiones. Trabajaremos en una dimensión, ya que los resultados son generalizables a mas dimensiones sin dificultad conceptual adicional. 3-10 Un Campo de Datos Unidimensional, de longitud N y resolución R es un conjunto ordenado de N lugares, i, (i = 1,...,N), tal que a cada lugar es asignable un número li (real, complejo o de otra índole) con resolución R. Los lugares, i, deben entenderse como "hojas en archivo" mientras que R debe entenderse como el máximo número de huecos binarios necesarios para alojar los posibles datos li. Según ello, podemos hablar del número de grados de libertad "extendido" de un campo de datos, que, es en general N*R. Este enfoque permite replantear el concepto de "complitud", que en formulaciones anteriores se centraban en N, número de lugares. Así, dado un campo de datos: D = (N,R) Cuando los valores N están llenos con valores concretos para una situación, decimos que existe una realización del campo, Dr. Una transformación de D es una regla, r, que permite pasar de D a D'. r D(N,R) • D"(N',R") para toda Dr. Así, podemos centrarnos en el concepto de complitud. 3-11 DEFINICIÓN 3.1 Una transformación r proporciona una representación completa si y solo si la transformación inversa r', tal que: D*(N',R') • D(N,R) existe. El planteamiento anterior, aunque aparentemente "naiv", tiene sin embargo | consecuencias inmediatas en el uso óptimo de las memorias, cuando debe existir i i un compromiso de uso en direcciones y contenidos, aparte de las implicaciones que ^ o. son esperables en el problema inicial de proceso de imágenes, como es la I i representación de transformaciones de histogramas. I 1 Sin desarrollar las cuestionesde inter-relación entre dirección-contenido (o de ¡ £ 3 memorias relaciónales), nos centraremos en una subclase de transformaciones de i Campos de Datos para los cuales: R = R' No es conveniente olvidar que estamos tratando la Visión Artificial dentro de la Visión por computadora, como herramienta. De hecho, en la práctica totalidad de los trabajos actuales se supone R = R'= suficientemente grande para albergarlo que sea según la resolución buscada, lo cual puede no ser el casoy posiblemente, debe no ser el caso, en Visión Natural. 3-12 En tal situación, sin embargo, si la complitud requiere como condición necesaria que N*R = N'*R' resultaría N = N', aunque la suficiencia no se concluye. Sea Tr la subclase de transformaciones tales que R = R'. Entonces: DEFINICIÓN 3.2 Una transformación r,- tal que: y» D(N,R) • D'(N',R) es completa si existe r\- tal que: r D'(N',R) • D(N,R) existe. Por lo tanto, y siguiendo con la analogía inspiradora de la relación entre transformaciones analíticas y analíticas-lineales, introduciremos el concepto de transformaciones de lugares de resolución constante, es decir, transformaciones de la forma de r,-, según la definición 3.2. 3-13 3.2.1 Una Reconsideración de la Capacidad de los Lugares de Memoria Volvamos por el momento al caso: r D(N,R) • D'(N',R') con la condición de complitud, N*R =N'*R'. Como ilustración del método inductivo que se usa aquí, proponemos el | siguiente problema elemental: Dada una imagen D de N lugares y una resolución | 1 (0,1), ¿existe una representación completa D', de N = l [lugar(0,l)] y resolución j N ? La respuesta es también elemental: No, al menos que exista un proceso de | codificación, con reglas codificadoras bien establecidas. (Por regla codificadora | i bien establecida se entiende una regla común, al dato inicial y a su transformado. i G @ Por consiguiente, una posible tentación, que es el asignar a los lugares i, una capacidad resolutiva mayor tal que si R' > > R entonces N < < N', solo sería posible a través de una estructura adicional de asignación de significados, lo que supone un cierto salto de nivel. Y viceversa, si en un proceso (natural o artificial) encontramos una situación en la que R'> >Ry, como consecuencia N< <N', debe existir una estructura adicional que se encarga del establecimiento del código necesario, a un nivel superior. Estas consideraciones tienen una incidencia conceptual interesante en las líneas actuales de investigación de codificación retinal, en los llamados "múltiples 3-14 significados" de las salidas de proceso visual en la retina de los vertebrados. Así, parece que las células retínales "comprimen" el número de "lugares" necesario a expensas de un aumento de resolución en tectum (rana) o cortical (gato), con la ayuda de un mecanismo codificador - descifi-ador de mayor nivel existente en los dichos tectum o corteza. 3.2.2 Los Casos Usuales en Visión Artificial (K = K') Si se plantea la cuestión de complitud de una representación, tal que de: D(N,R) L_^ D'(N',R) se pueda recuperar D(N,R) por r',., se llega, obviamente, a que una transformación f •o completa es un proceso de rellenado de N' = N lugares (ordenados, cada uno a su | manera), partiendo de una realización Dr a otra D'r y tal que desde D'r se puede t recuperar Dr, para todo r. | G @ A nuestro entender, éste es un problema de transformaciones reversibles de lugares, según la monenclatura de la Visión Artificial). Según ésto, el problema de complitud debe plantearse, en general, de la siguiente forma conceptual: Dado un Campo de Datos D, accesible según el n° de orden i(i = l,...,N), ¿Se puede construir otro campo de datos D', accesible por el n° de orden j (j = 1....N), tal que de D' se pueda recuperar D?. ¿Cuales son las condiciones necesarias y suficientes?. 3-15 La visión artificial impone otras condiciones más poderosas que, usuálmente, vienen dictadas por razones de aplicabilidad o de reducción, en definitiva, de la dimensión del campo inicial. Así, se tiene el factor adicional proporcionado por el conocimiento condicionante exterior, que en su forma más sencilla supone el siguiente planteamiento: Dado un campo de datos D, según el n° de orden i (i = l....N), ¿es posible construir otro campo D'de j (j —1....M) (donde M< <N) tal que una tarea visual se complete con sólo consultas ai campo D'? La típica solución de la visión artificial consiste en ordenar adecuadamente los D'j_ tal que, siguiendo los condicionantes exteriores, el número de consultas a D'j sea nítidamente inferior a los que se requerirían si se consultase a Dj, para los casos en cuestión, con una prueba de validez, que suele ser, en definitiva, heurística. Según lo anteriormente expuesto, se replantean dos problemas de interés teórico-práctico: a)El relativo a las transformaciones reversibles de campos de datos, accediendo por uno o varios números de índice. b)El de selección del conjunto de índices óptimo (mínimo en coste computacional) a través del cual acceder al campo de datos correspondiente para resolver una tarea visual. 3-16 3.3 EXPRESIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES COMPLETAS. CAMPO RECEPTIVO FUNCIONAL.- Consideremos un campo de datos D(N) de resolución R y consideremos un conjunto de L particiones independientes de las direcciones i (i = l,...,N). Este conjunto se puede representar por una matriz binaria, Pik, de N filas y L columnas tal que el elemento ik (k = 1....L) es uno si la dirección i está en la partición K y cero en otro caso. Los vectores verticales Pik (para cada k) son independientes en el sentido de que ninguno de ellos puede obtenerse por unión de los otros. Por ejemplo, la matriz Pik correspondiente a una transformación de resolución progresiva, para N = L =: 8, es: 1 2 N 1110 10 0 0 1110 0 0 0 0 110 0 0 10 0 1 10 0 0 0 0 0 10 0 10 0 10 10 0 10 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 0 1, 2, L Ec. 3.3.1 Una partición para L = 4, es por ejemplo, representable por la matriz. 3-17 N 1110 1110 110 0 110 0 10 0 1 10 0 1 10 0 0 10 0 0 Ec. 3.3.2 1. ., L Otra partición - que usaremos profusamente más adelante - es la I correspondiente a una "capa" de una transformación foveal. Por ejemplo, para f •o campos receptivos de cuatro lugares, se obtendría. | 10 0 0 0 110 0 0 1110 0 11110 0 1111 0 0 111 0 0 0 11 N 0 0 0 0 1 N = 8 Ec. 3.3.3 L = 5 3-18 Nótese que estas particiones no son, a priori, completas por ser en general L<N, aunque sean independientes. Consideremos una subclase de particiones de las direcciones i, donde cada dirección se toma, al menos, una vez. La partición cubre entonces, todo el campo de datos - es decir, no hay ninguna dirección que sea "desconsiderada". Tal ocurre en las dos particiones anteriores. En general, consideraremos solamente particiones de este tipo, que llamaremos particiones P. Se plantea, entonces, la siguiente cuestión. Dada una partición P de un campo de datos de dimensión N, ¿cuál es un conjunto de funcionales que actuando sobre las direcciones de cada partición genera una representación completa? 3.3.1 Transformaciones Homogéneas de Campo Receptivo Por razones de sencillez, consideramos primeramente las particiones foveales de 1 capa, que llamaremos Pi. Para una de estas particiones de campo d, existen d grados de libertad, mientras que se genera un número de ellas, L=:N-d + l. Es decir la matriz correspondiente será de N*(N-d +1). Como cada partición tiene d grados de libertad, se precisarían, para cada partición un funcional que generase d coeficientes independientes, si los contenidos de las direcciones de cada partición fuesen a ser recuperados independientemente. Puesto que ese no es el caso, se requieren, en media M = N/L coeficientes diferentes por cada partición. Así, en el ejemplo anterior, se requieren, en media (N = 8; L = 5), M = 8/5 coeficientes independientes en media, valor no entero que, lógicamente, ha de ser obviado, calculando, por ejemplo, dos coeficientes (los mismos) para tres de las particiones y 1 coeficiente para cada una de las dos particiones restantes. El cómputo por exceso nos da una redundancia, que en general, puede no ser fácil de eliminar. 3-19 (1,1)-; ( + 1,-1) y se generan dos funcionales nuevos de dimensión el de la columna mas grande por yuxtaposicón, es decir los, (1,1,1,1,1,1,1,1,) (1,-1,+1,-1,+1,-1,+1,-1,) es fácil ver que los números que se generan ya son independientes. La correspondiente matriz de transformación es: 1111111 -1 1-1 1-1 1 -1 1110 0 0 0 -11-10 0 0 0 10 0 0 0 0 0 -10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 0 1-10 0 y tal que todos los vectores fíla son independientes. La transformada inversa es trivial: de las filas 5 y 6 se recuperarían los datos de las direcciones 1 y 2. De ellos y de las filas 3 y 4, los datos de las direcciones 3 y 4. De las filas 7 y 8 se recuperan las direcciones 5 y 6. Es decir, se han recuperado los datos de las direcciones 1,2,3,4,5 y 6. Entonces, de las dos primeras filas y de éstos se recuperan los datos 3-26 de las direcciones 7 y 8. Esta transformación es semejante a la de resolución progresiva detectora de contrastes introducida por Candela [30]. En las figuras 3.6 se muestra una aplicación de este ejemplo a un caso de una imagen bidimensional. La figura 3.6 a) corresponde a la imagen original y la b) corresponde a la imagen transformada. a) b) Figura 3.6 La solución encontrada en este ejemplo ha sido posible porque el número medio de funcionales a calcular por columna de la partición es igual (o menor) a la resolución de la columna de menor dimensión. Porque, evidentemente, no tiene sentido calcular tres descriptores, por ejemplo, de las columnas 3 y 4 de la partición, que contienen solo dos direcciones. Lo anterior nos lleva, con claridad y sencillez, a formular y demostrar el siguiente teorema: 3-27 TEOREMA 3.2. Sea un campo de datos de dimensión N. Sea una partición arbitraria P, de L columnas y tal que dm es la dimensión de la columna de menor dimensión (dm > 1) y además, N/L^ d, Entonces, un conjunto de N/L funcionales independientes de longitud dm, yuxtapuestos, hasta la longitud de la columna de mayor dimensión proporciona una transformación completa. La demostración del teorema se sigue con facilidad, según lo indicado en el ejemplo anterior. En efecto, formemos la matriz de transformación r : r = c. VC\ corresponde al conjunto de columnas de menor dimensión, afectadas por los factores de peso correspondientes, que son independientes por construcción; 3-28 mientrs que C2.-.Ci corresponden, a las restantes columnas, que, serán independientes por la condición adicional de independencia de las particiones y/o del funcional "extendido" que se ha usado. Este teorema puede demostrarse de una forma quizás mas elegante (o purista), formulando y demostrando el siguiente teorema auxiliar: Teorema Auxiliar 3.2 Sean dos dimensiones a y b tales que a<b. Sea {a} un conjunto de n vectores linealmente independientes de dimensión a. Sea el conjunto {b} de vectores de dimensión b construido por el siguiente proceso: 1) Se yuxtaponen las componentes de cada vector de {a} hasta lograr vectores de dimensión b, en total n. 2) Se completan los vectores de {a} hasta la dimensión b (b-a lugares) con ceros. Entonces, el conjunto {b} forma un conjunto de 2n vectores (de dimensión b) que son linealmente independientes (obviamente, 2n<b). La demostración es obvia. No se requiere que b/a sea entero. Del teorema auxiliar 3.2 sigue de inmediato T.2 ya, que el proceso seguido en T.2 es el mismo. [Ejemplo trivial: Tomemos el vector unitario en la dirección x (n = l,a=: 1)=: 1. Consideremos el espacio tridimensional (x,y,z),b = 3. El conjunto de 2n = 2 vectores formado por yuxtaposición (1,1,1) y por el original completado con ceros (1,0,0) es independiente.] 3-29 Algunos Casos Límites. En el desarrollo de las transformaciones de campos de datos-funcional queda, por razones de complitud, considerar las situaciones en las que la dimensión de las columnas de dimensión mínima (dm) sea tal que dm < N/L. Pero en este caso se pierde la simetría que es una de las razones básicas para la separación del campo de datos y la función , en el sentido de que, dependiendo de la longitud de la partición, habría que disponer de mas o menos vectores de factor de peso. En este caso, resulta cuestionable la utilidad de la separación realizada, frente a considerar la matriz de transformación directamente, con la condición de independencia entre sus vectores. Es decir, al necesitarse número N' > N/L vectores de peso (que forman el funcional), el producto N'*L supera el número inicial de grados de libertad, y para evitar redundancias, la aplicación de esos vectores a las columnas debe hacerse selectivamente. Sin embargo, se pueden realizar algunas consideraciones que proporcionan métodos de generación de transformaciones completas. Según se ha indicado esta situación corresponde a particiones donde, en media, es preciso, para la complitud, extraer N/L descriptores independientes, pero ciertas de las columnas correspondientes no pueden proporcionarlos. Ello puede ser debido obviamente, a que: 1) Existen columnas donde es posible extraer un número de descriptores superior a la media. 2) Existen direcciones perdidas del campo de datos, con datos no recuperables por ninguna función del conjunto de procesadores. 3-30 El caso 1) corresponde a una partición tipo P. El caso 2) corresponde siempre a una situación de incomplitud. Nótese que el caso 2) tiene interés teórico en reliabilidad o seguridad de funcionamiento en cuanto corresponde al problema de los "escotomas" (desaparición local de datos), frente al problema de la "disfunción" (desparición local de procesadores). Este segundo problema corresponde, en situación límite, al típico método usado en visión artificial de "cortar" el número de descriptores que, en una aplicación práctica, es suficiente, aunque no exista complitud. Volviendo a la situación de particiones tipo P, donde cada dirección es I considerada al menos una vez (caso 1 anterior), se pueden encontrar | i formulaciones para generar transformaciones completas. Consideremos un I ü o. ejemplo, deducido de la partición de la ecuación 3.2.1. Sea la partición de L = 4 I i representada por la matriz: | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 obtenida con las columnas 1,2,5,8 de la matriz de la ecuación 3.2.1. El número medio de descriptores por columna es N/L = 8/4=:2. Pero como las columnas 3 y 4 no pueden proporcionarlos, las columnas 1 y 2 deberán proporcionar el número adicional de descriptores para mantener la media. Concretamente las columnas 3 3-31 y 4 pueden generar, a lo mas, un descriptor cada una, restando 6 a repartir entre las columnas 1 y 2. Puesto que las dimensiones en cada una de ellas es igual o superior a la media restante (6/2 = 3), para dichas columnas es aplicable el teorema T.3.2. Desde el punto de vista de la teoría retinal actual, la solución anterior no parece, a priori, sostenible, puesto que equivaldría a admitir que las células ganglionares con campos receptivos amplios deben realizar una función de proceso y codificación muy superior a las que realizan las células con campo receptivo restringido. Pero, en definitiva, eso sería así, si y solo si se requiere la complitud para la totalidad de la retina, asunto cuestionable, e incluso rebatible a través del hecho de que es en la fóvea (donde la precisión es alta) donde están las células de campo receptivo restringido. Consideremos como ilustración, la construcción de una posible solución a la partición anterior. En efecto, podemos usar un único vector para obtener los descriptores correspondientes a las dos últimas columnas, por ejemplo el mas sencillo: (1,1,1,1,1,1,1,1) Mientras que los seis descriptores de las dos primeras columnas los podemos calcular por el teorema 3.2, es decir, generamos tres vectores de dimensión 4, independientes, por ejemplo los: 3-32 (1 1 1 1) (1 1 -1 -1) (1 -1 1 -1) los que, por yuxtaposición, proporcionan: (11111111) (11-1-111 -1 -1) (1 -11-1 1-1 1 -1) Como se ve, el primero coincide, por lo que estos tres vectores, junto con las particiones, L, generan la transformación completa: r = 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 -1 1 1 -1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 0 1 -1 1 0 0 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 Notemos que para obtener la transformación se han aplicado los tres vectores F a las dos primeras columnas de P, mientras que a las dos últimas se le aplica solo 3-33 el primero (en realidad se le podría haber aplicado uno cualquiera de los tres). Esto ilustra claramente la rotura de la simetría a la que antes nos referíamos. En todas las transformaciones anteriores, se ha ignorado la ortogonalidad, y de hecho, la práctica totalidad no lo son, estando nuestro interés centrado precisamente en levantar la restricción de ortogonalidad. De hecho, el origen de los conceptos relativos a las transformaciones de campo receptivo variable, [30], fué precisamente utilizar una matriz ortogonal para generar otras no ortogonales. Los métodos de generación de coeficientes de peso para los funcionales, utilizados en la sección anterior, sugieren otros procedimientos sistemáticos para i generar transformadas no ortogonales. Nos referiremos, en lo que sigue , a un i i campo de datos donde no se realiza ninguna partición. i ü o. i Consideremos el espacio de tres dimensiones y el cubo de lado 2 centrado en el | •o origen: I i I £ Sea el vector (1,1,1) el vértice del cubo. Una forma rápida de generar vectores | G @ no ortogonales pero independientes, usado en las secciones anteriores, es movernos en la dirección de las tres aristas confluyentes en (1,1,1), para obtener los vectores: (-1,1,1), (1,-1,1), (1,1,-1) que forman una nueva base, pero no ortogonal. Su representación matricial es : 3-34 -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 Una matriz de todos +1, excepto en la diagonal. Obviamente, los l's pueden ser números cualesquiera (distintos de cero). 3.4 REDES NEURONALKS Y KEDKS POR CAPAS 3.4.1 Planteamiento General.- Una red neuronal en el sentido generalizado de McCulloch, Pitts, i^ium, [39,40] es un conjunto N de módulos computacionales, donde, aparte de las M entradas exteriores a la red, cada módulo recibe entradas de si misma y de todas las demás en la red, computando una operación lógica, funcional o algorítmica, o combinación de ellas, arbitraria. La red se puede suponer síncrona sin pérdida notoria de generalidad. La estrutura de tal red se muestra en la figura 3.7. Como se ve, cada módulo computacional proporciona la salida (en el dominio adecuado), después de un retardo único (sincronizado), resultado de su operación sobre las N + M entradas en el instante anterior. Como ya ha sido demostrado, [39], si la operación de cada módulo consiste en una función lógica arbitraria, la red duplica cualquier autómata arbitrario, determinista o probabilista según sea la naturaleza de la operación de unos o todas los módulos. La practicabilidad de este tipo de redes queda limitada por su generalidad. Al imponer restricciones se converge en redes que permiten duplicar 3-35 II 12 13 14 15 16 17 18 H = 1/8 1/4 1/2 1/2 1/8 1/4 1/2 1/2 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 -1 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 -1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 -1 0 0 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 Esta matriz puede expresarse como producto de matrices mas sencillas con gran número de ceros: 11000000 00110000 00001100 0 0 0 0 0 0 11 1-1000000 001-10000 0 0 0 0 1-10 0 0 0 0 0 0 0 1-1 A 110 0 0 0 0 0 0 0 110 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 110 0 0 0 0 0 0 011 00001000 00000010 B 11000000 10000000 00100000 00010000 00001100 00001000 00000010 00000001 ~ c H = A*B*C Una característica atractiva de este tipo de transformaciones es que efectúan operaciones muy sencillas de tipo aritmético; podemos analizar los pasos del proceso de cálculo para un caso sencillo de 8 elementos: 3-42 Sean Ii, I2,13,14,15, le, I?, Is los valores de la función original. Se procederá a calcular la suma y la resta promediadas por parejas consecutivas, de forma que obtendremos unos nuevos valores: Ai=(Ii+l2)/2 A5 = (Ii-l2)/2 A2 = (l3+l4)/2 A6 = (l3-l4)/2 A3 = (l5+l6)/2 A7 = (l5-l6)/2 A4 = (l7 + l8)/2 A8 = (l7-l8)/2 Con estos valores Ai se procederá a realizar el valor medio por parejas consecutivas, generando: Bi=(A,+A2)/2 B2 = (A3 + A4)/2 B3 = (A5 + A6)/2 B4^(A7 + A8)/2 Y así sucesivamente hasta llegar a un solo valor, en el que se finaliza. En este ejemplo obtendríamos los siguientes valores transformados: Fi =(Bi+B2)/2 = {Ai+A2 + A3 + Ap/4 = (Ii+l2 + l3 + l4 + l5+l6 + l7 + l8)/8 F2 = Bi =(Ai+A2)/2 = (Ii+l2 + l3 + l4)/4 F3 = Al =(Ii+l2)/2 F4 = A3 = (l5+l6)/2 F5 = (B3 + B4)/2 = (A5 + A6 + A7 + A8)/4 = (Ii-J2 + l3-l4 + l5-l6 + l7-l8)/8 Fe = B3 = (A5 + A6)/2 = (Ii-l2 + l3-l4)/4 F7 = A5 = (Il-l2)/2 Fg = A7 = (l5-l6)/2 En forma algorítmica el cálculo de esta transformada se podría escribir de la siguiente forma: 3-43 Generar un vector A calculando sumas y restas ponderadas. Mientras n° de elementos del vector > — 2 hacer tomar los elementos impares del vector como coeficientes, generar un nuevo vector promediando parejas de elementos Fin mientras Tomar los dos elementos del vector como coeficientes. En al figura 3.11 se presenta un esquema de computación distribuida correspondiente a la transformación anterior. F3 l1 I2 I3 5 16 l8 Figura 3.11 3-44 El núcleo de la transformada inversa puede expresarse mediante la siguiente matriz: Fi F2 F3 F4 F5 Fe F7 Fs 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 2 2 0 0 -2 -2 1 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 4 -4 0 0 2 -2 0 0 -2 2 1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 matriz para N = 8 Primero se procederá a calcular sumas y diferencias de parejas: Al A2 A3 A4 Fi +F5 F2 + Fe F3 + F7 F4 + F8 A5-F1-F5 Ae = F2Fe A7 = F3-F7 As = F4 - Fg Con estos valores Ai se generan los nuevos B¡ mediante asignación directa y restando ponderadamente parejas alternadas, resultando: 3-45 Bi =A3 B2 = A7 B3 = 2*A2 B4 = 2*A6 B5 = A4 Be-Ag B7 = 4*Ai - 2*A2 B8 = 4*A5-2*A6 A partir de los Bi obtenemos de forma análoga los CÍ: Ci C2 C3 C4 Bi B2 B3-B1 B4-B2 C5 Ce C7 Cs B5 Be B7-B5 Bs-Be Luego la matriz núcleo de la transformada inversa se puede descomponer en el producto de tres matrices escasas: 10 0 0 10 0 0 0 10 0 0 10 0 0 0 10 0 0 10 0 0 0 10 0 0 1 10 0 0-1000 0 10 0 0-100 0 0 10 0 0-10 0 0 0 10 0 0-1 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 02000000 0 0 0 0 0 2 00 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4-2 000000 00004-2 00 10 0 0 0 0 00 0 10 0 0 0 0 0 •10 10 0 00 0 0-1010000 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0-1010 0 0 0 0 0-101 H = A B 3-46 Lo que hace que esta transformación sea susceptible, igualmente, de algoritmo rápido: Generar un vector calculando sumas y diferencias de parejas Colocar F coeficiente multiplicado por N/2 Para 1 = 1, log2 N colocar coeficientes restar parejas Fin para En la figura 3.12 se muestra el esquema correspondiente a la computación distribuida. 3-47 F4 Fs F3 F7 F2 F6 Fi F5 Figura 3.12 3-48 CAPITULO 4 APLICACIÓN AL PROCESO Y RECONOCIMIENTO VISUAL 4.1 UN SISTEMA PRACTICO PARA VMSIQN ARTIFICIAL En este capítulo describimos las aplicaciones realizadas en base un sistema reducido de inferencia realizado por J.A Muñoz y S. Candela bajo la orientación de R.Moreno-Díaz [35]. Todas las aplicaciones desarrolladas, lo han sido en los sistemas existentes en el Departamento de Informática y Sistemas de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, cuyo esquema se presenta en la figura 4.1. j-c VAX II 4 Mbyte 70 Mbyte Q-BUS RedL Ethei HP-9300 12 Mbyte 640 Mbyte VAX 750 8 Mbyte 600 Mbyte .ocal •net FG-100 512x512x12 X M K X X M X Figura 4.1 4-.1 Como puede apreciarse en dicha figura existe una amplia proliferación de equipos en los cuales se ha ido desarrollando el software utilizado para llevar a cabo estas aplicaciones. Cronológicamente el proceso ha sido el siguiente: l°)En el sistema VAX 11 y con las placas de adquisición FG-100 de Imaging Tec, así como cámaras de estado sólido, se realizó la adquisición de un banco de imágenes, que fueron preprocesadas para obtener imágenes invariantes frente a intensidades 2°) Tras la adquisición del VAX 750, las imágenes adquiridas fueron trasvasadas a dicho sistemas, donde se continuó con el proceso de las mismas. Sistemas Reducidos de Inferencia. En esta sección expondremos una extructura general de sistemas de inferencia que toman decisiones acerca del mundo visual directamente a partir de los datos visuales. Un sistema reducido de inferencia (SRI) tiene la naturaleza de un Sistema Experto con ios siguientes componentes: a) Una base de datos referencial, que contiene un conjunto de frases descriptoras de referencia, a cada una de las cuales hay asignada una etiqueta. Esta base de datos está construida a priori, en base de conocimiento inyectado, y/o se construye a partir de un proceso de aprendizaje, donde se inyecta parcialmente el conocimiento que permite etiquetar las frases descriptoras. 4-.2 corte y umbralizado, pero tiene la ventaja de ser automático, esto es, no intervien el operador, y los resultados son aceptables como lo ilustra la ílg. 4.6. 4.2.2 Normalizacióti.- Una transformación afin es una transformación lineal cuya expresión genera tiene la forma. c d e f X + a y + b donde a, b, c, d, e y f son constantes. j ü o. El estudio de este tipo de transformaciones y sus invariantes algebraico^ •o fueron iniciados por Boole, Cayley y Sylvester hace más de cien años. Aqu| consideraremos las transformaciones afines con representación directa [30]. Si pretendemos la conservación del numero de grados de libertad, el procedimientcf a es sencillo, mientras que si no coinciden, es preciso introducir reglas de** transformación de los funcionales. Como veremos, las traslaciones y giros son del primer tipo, mientras que las homotecias son del segundo. Traslaciones. En el caso particular c = f= I, e-d = 0 la expresión general de la transformada añn torna la forma: 4.9 a) Transformación de dominios X + a y' = y + b b) Transformación funcional f(x'y') = f{xy) Cuando se trabaja con imágenes, que representan piezas aisladas, una s transformación que tiene especial interés es la traslación de la pieza al origen | i decoordenadas, esto es el caso que a y b coinciden con el centro de gravedad de la ¡ ü pieza Xg, Yg. I i •o Las coordenadas del centro de gravedad de una pieza,son de fácil obtención | como lo apunta la teoría general de momentos, ya que precisamente una de las I propiedades de los momentos de bajo orden es que nos dan las coordenadas del | G @ centro de gravedad, así que estas pueden ser calculadas mediante las expresiones. XG = MIO/MOÜ YC. = Mül/.MüO Aplicando este tipo de transformación, conseguimos que las imágenes sean invariantes frente a cualquier tipo de traslación de coordenadas. 4-,10 Rotaciones. La expresión de una transformación que gire la imagen un ángulo cp se consigue dando a las constantes los siguientes valores: a = b = O c = d = eos <|) d = sen «p e= -Sen <j^ que nos dan la expresión: a) Transformación de dominio t Cos 0 Sen 0 Sen 0 Cos 0 b) Transformación funcional f(x'y') = f(x y), donde J = Cos 0 Sen 9 Sen 0 Cos 0 + 1 Para conseguir invarianza algebraica respecto a rotaciones debemos calcular el parámetro <Jb. Una forma f<ácil de cálculo es la que aporta la teoria de momentos. Cuando una imagen se caracteriza sólo con momentos de hasta segundo orden, 4-.11 esta es equivalente a una elipse homogénea, con un tamaño, orientación y excentricidad definidos. Los ejes (x'y') solidarios a esta elipse (figura) y por tanto, a la imagen, se denominan ejes principales. Es posible calcular el ángulo que forman los ejes (x' y') y (x,y) en función de los momentos determinados respecto a (x,y). Si a continuación se rota la imagen un ángulo 0 en el sentido adecuado, habremos llevado la imagen a una posición estándar en la que coinciden los ejes (x', y') y (x,y); y de este modo habremos normalizado frente a rotaciones. El ángulo se determina mediante los momentos de bajo orden normalizados respecto al centro de gravedad, utilizando la expresión: 2Mii 0 = yarctg M20-M02 Existe una ambigüedad en el calculo del ángulo <fi , a partir de la expresión anterior, la cual puede evitarse de diversas formas, entre otras, la siguiente consiste en elegir (f) de tal forma que este sea el ángulo entre el eje x y el semieje mayor de la elipse a (a > =: b) y eligiendo el valor principal del arcotangente, es decir: 4-.12 n'/2 <= ^rcíg (j>< = ^ 12 con estas consideraciones, obtenemos para p los valores de la tabla: M£0-MO£ 0 0 0 + - + + — — Mil 0 + - 0 0 + — + — ( ( ( ( "2 Yl ^2 yz & 0° 45° - 45" O" - 90" arctg a arctg a arctg a arctg a ) ) ) ) + - 90 0 90° a = SMll/(M20-M02) ( 0" (-45^ ( 450 (-90 0 < 0 < 45") < 0 < 0° ) < 0 < 90°) < 0 <-45'') Realizadas varias pruebas con distintas piezas, se observa que el ángulo calculado mediante momentos tiene un cierto error, que se acentúa en aquellas piezas que tienen formas alargadas. Un nuevo método, que hemos desarrollado, consiste en calcular dicho ángulo como el formado por el vector que une el punto más alejado del contorno de la forma y el centro de gravedad de la misma con respecto a un eje horizontal. Este método, como es fácil de comprobar, solo es válido en aquellos casos en que la forma no tenga ningún tipo de simetría respecto al centro de gravedad ni respecto a los ejes cartesianos que pasan por él, como es nuestro caso. 4-.13 Para el cálculo de dicho vector nos hemos ayudado del código cadena del contorno de la forma, como puede verse en la figura 4.7. Figura 4.7 | i La ventaja encontrada en este método frente al de los momentos es doble : Por | un lado su mayor precisión y por otro su mayor velocidad de cómputo. | •o 1 Homotecias. I Haciendo que las constantes a, b, d, e, sean cero la expresión general de la ® transformada añn se reduce a la ecuación: a) Transformación de dominio c o o f 4-.14 que representa la transformación de dominios para una homotécia. En el caso particular que las constantes c y f sean iguales, la relación de homotécia es la misma tanto para el eje x, como para el eje y. b) Transformación funcional. Los criterios de transformación del funcional, se pueden conseguir imponiendo invarianza respecto a amplificaciones, calculando el factor de homotécia c, imponiendo la condición de que la imagen transformada tenga un área predefinida constante Ak, esto es c = SQRT(Ak/A) donde A es el área de la pieza calculada mediante el momento MooMencionemos los casos. 1) Cuando Ak> A, existe una expansión apareciendo nuevos puntos, tendremos que definir un criterio para "rellenar" funcionalmente estos puntos que antes no existían. Un criterio utilizado, consiste en barrer la imagen transformada y asociar a cada punto el valor del pixel de la imagen original calculado por las expresiones x=:x'/c; y = y'/c, esto es, se esta efectuando una aplicación inyectiva en la que a varios pixels de la imagen transformada le corresponde un único punto en la imagen original. b) Caso en que Ak < A, existe una contracción, por lo que hay puntos que desaparecen, tendremos que definir un criterio para ver como estos puntos 4-.15 que desaparecen, los hacemos intervenir, en la imagen transformada. Un criterio consiste en hacer un enrejado en la imagen original, y calcular para un punto transformado la media de los valores de una cuadricula del enrejado. 4.3 GKNERACION DE t.A BASE DE DATOS REFERENCIAL Y DE LA MAQUINA DE INFERENCIA Generación de Frases Descriptoras Para la generación de las frases descriptoras que deben etiquetar a cada una de las clases que conforman las formas, tanto patrones como incógnitas, para su posterior reconocimiento, de entre todas las transformadas posibles expuestas en el capítulo anterior, hemos elegido una transformación de campo de datos homogénea caracterizada por los siguientes parámetros: Dimensión : N = 128 N° Particiones : L = 7 Grados de libertad de cada partición : d = 32 Desplazamiento interparticiones: = 16 N° Funcionales por partición : Particiones 1,2,3,5,6,7 18 Partición 4 20 Funcionales: Momentos En la fí gura 4.8 se muestra el núcleo de la transformación, así como el esquema de las particiones. 4-. 16 Figura 4.8 Una vez elegida la transformación, para la generación de las frases descriptoras, solo falta definir que coeficientes se eligen para su construcción. Para ello se han llevado a cabo diferentes elecciones con el fin de buscar cual es la que da mejores resultados a la hora de clasificar. Antes de indicar cuales han sido cada una de las elecciones, y con vistas a una mejor comprensión de las mismas, vamos a indicar en la figura 4.9 cual es la ordenación que se ha llevado a cabo para cada uno de los funcionales (momentos) de cada una de la particiones. Como puede observarse, en la figura 4.9, se han agrupado los momentos de orden ij de cada una de las particiones. La colocación del momento ij correspondiente a las disintas particiones es la siguiente Po,o Po Pl,0 Pl 1 P0,2 1,2 P0,6 Pl,6 Pe,O Pfi,! P6,2 Pfi.e 4-.17 Moo Mío Mi7,0 Mi 8,0 Mi9,0 Moi Mil Ml7,1 Mi8,l Mi9,l Mo,i7 Mi,17 Mi7,i7 Mi8,l7 Mi9,l7 Mo,l8 Mi,18 Mi7,18 Mi8,18 Mi9,i8 Mo,19 Mi,19 Mi7,19 Mi8,19 Mi9,i9 Figura 4.9 Los momentos utlizados para la generación de las frases descriptoras han sido los momentos M03, M04, M]2 y Mi3 propuestos por Alt [7] como aquellos que dan mejores resultados a la hora de clasificar. 4-. 18