Combinatòria d'escales musicals i acords

Tí ol: Combina ò ia d’escales musicals i aco ds Au o : Alejand o Ga cia He e a Di ec o : Xa ie G àcia Saba é Depa amen : Depa amen de Ma emà iques Con oca ò ia: 2020 - 2021 : G au en Ma emà iques Uni e si a Poli ècnica de Ca alunya Facul a de Ma emà iques i Es adís ica G au de Ma emà iques T eball de i de g au Combina ò ia d’escales musicals i aco ds Alejand o Ga cia He e a Di ec o : Xa ie G àcia Saba é Depa amen de Ma emà iques Maig 2021 Resum En aques eball es eali za un es udi de di e en s conjun s i successions de no es musicals, com són les escales, els aco ds i les ile es de ons. Fen se i eines ma emà iques de la b anca de la combina ò ia es esolen di e sos p oblemes de comp a ge, com a a la deducció del nomb e d’escales i aco ds di e en s que exis eixen. També es an di e ses classi icacions d’aques s segons les p opie a s que poden eni , i es alo en les implicacions musicals que se’n desp enen. Pa aules clau: música, aco d, escala, ile a de ons, in e al, pa ició, combina ò ia. Abs ac Along his p ojec , di e en se s and sequences o musical no es such as scales, cho ds and one ows a e s udied. Va ious coun ing p oblems, like he numbe o possible scales and cho ds, a e sol ed using ools om combina o ics. Besides, classi ica ions by musical p ope ies a e also aken in o accoun and he implica ions ha eme ge om hem a e app oached. Keywo ds: music, cho d, scale, one ow, in e al, pa i ion, combina o ics. Resumen En es e abajo se ealiza un es udio de di e en es conjun os y sucesiones de no as musicales, como las escalas, los aco des y las se ies de onos. Usando he amien as ma emá icas de la ama de la combina o ia se esuel en a ios p oblemas de con aje, como po ejemplo la deducción del núme o de escalas y aco des di e en es que exis en. También se ealizan di e sas clasi icaciones según las p opiedades que pueden ene , y se alo an sus implicaciones musicales. Palab as cla e: música, aco de, escala, se ie de onos, in e alo, pa ición, combina o ia. MSC: 00A65 ii Índex In oducció 1 1 Concep es musicals p e is 3 1.1 Soino esmusicals ................................... 3 1.2 Aco ds.......................................... 4 1.3 Escales.......................................... 5 2 Colla s i cadenes 6 2.1 Connexiómusical.................................... 6 2.2 Comp a cadenes.................................... 8 2.3 Comp a colla s..................................... 9 3 Es udi dels aco ds 14 3.1 Anàlisi de l’in e al mínim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Anàlisid’adjacències.................................. 17 3.3 Anàlisidelpe íode ................................... 20 3.4 Anàlisi d’amplada i in e als màxims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.5 Conjun sd’in e als .................................. 25 3.6 Aco dselegan s..................................... 26 4 Es udi de les escales 29 4.1 Resul a sbàsics..................................... 29 4.1.1 Relació en e aco ds i escales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2 Lesescalesde7no es ................................. 31 4.3 Regula i a d’una escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.4 Ideali a d’unaescala.................................. 33 4.5 Mesu esdedis ància.................................. 35 5 File es de ons 38 5.1 De inicionsbàsiques .................................. 38 5.2 Resul a s de eo ia de g ups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3 Comp a ge de ile es de ons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Conclusions 43 Bibliog a ia 45 iii Índex de igu es 1.1 Rep esen ació ci cula de les 12 no es musicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1 Exemples de cadena i colla amb n= 8 im= 2 ................... 6 2.2 Di e en s ipus de no acions equi alen s. (Ima ge de [1]) . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Les 6 cadenes possibles pe a n= 4 ik= 2 ...................... 8 2.4 Les 12 cadenes possibles pe a n= 4 ik= 3 amb k1= 2 ik2=k3= 1 ...... 8 2.5 Els dos colla s possibles amb 2 boles neg es i 3 boles blanques . . . . . . . . . . . 11 2.6 Els 10 colla s possibles pe a n= 8 ik= 4 ...................... 13 3.1 Els dos ipus de subcadenes (a)i(b)......................... 16 3.2 Els es ipus de subcadenes que o men els aco ds amb a= 1 ........... 18 3.3 Demos ació g à ica de D(n) = D(n−1) + D(n−2) ................. 19 3.4 Les dues mane es di e en s de c ea aco ds amb a= 2 ............... 20 3.5 Un colla de Lboles amb nneg es i de pe íode p(o possiblemen igual a un di iso de p), que consis eix en L/p peces idèn iques amb pboles cadascuna. . . . . . . . 21 3.6 Un colla de Lboles amb nboles neg es i amplada s................ 23 3.7 Nume ació elegan del g a comple K5........................ 27 4.1 Les 10 escales més ideals. Els alo s de Ees mos en en e pa èn esi pe a cada escala. Les escales en cu si a enen dues no es di e en s espec e l’escala Dò ica, men e que les al es, només una. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 (a) La egió del pla co esponen a les escales amb n= 3, pe a La bi à ia. (b) El cas especí ic n= 3,L= 5 .............................. 36 4.3 Po ció de l’espai de les 462 escales. Es mos en les 9 escales a dis ància T= 1 de la Majo , i en els ec angles a odoni s 6 de les 31 que es oben a dis ància T= 2. 37 5.1 Diag ama ci cula i ep esen ació en no ació musical de la ile a de ons p, ex e a de Schoenbe g’s Se enade, opus 24, Mo emen 5. (Ima ge de [6]) . . . . . . . . . 38 5.2 Diag ames ci cula s de les di e en s ope acions aplicades a la ile a de ons p. . . 39 i In oducció “La música i les ma emà iques es an mol elacionades”. To hom ha sen i una ase d’aques es il alguna egada. Pe ò com ho es an, i pe què? La música és un a que se eix pe ansme e sen imen s i emocions, una o ma d’exp essió de l’ésse humà i un elemen p esen a o es les cul u es a eu del món. És ce que exis eixen mol es ca ac e ís iques subjec i es de la música que no poden se es udiades pe la ciència. Pe ò el enomen musical succeeix en una eali a que segueix unes egles ísiques, i en la que exis eixen mol s elemen s mesu ables. És en aques pun , p ecisamen , on es p odueix la in e secció en e la música i les ma emà iques. Són aques s elemen s, com a a la eqüència d’un so o la cadència d’un i me, els que es poden anali za i quan i ica , i en e els quals es poden es abli elacions. En de ini i a, els que es poden ac a amb eines ma emà iques. Els pi agò ics an se dels p ime s en in ui una d’aques es elacions: el so de dues co des de la ma eixa na u alesa ocades simul àniamen és més ag adable quan les se es longi uds o men aons d’en e s pe i s. Aques es longi uds, com sabem, són in e samen p opo cionals a les eqüències de les no es espec i es. Així, expe imen an amb di e en s aons en e en e s, com a a 2:1 o 3:2, i escol an els sons que es p oduïen, es a cons ui la p ime a escala musical. Des d’alesho es, s’han ana desen olupan di e en s eo ies en elació als in e als en e no es musicals, es e amen elaciona s amb els nomb es acionals. Aques s di e en s co en s musicals han ana modi ican les escales emp ades a l’ho a de compond e peces i d’a ina els ins umen s. Des de les mencionades escales pi agò iques, passan pe les escales meso òniques i les escales amb empe amen s i egula s. No a se ins al segle XIX que es a imposa de ini i amen l’escala que es a se i en l’ac uali a : l’escala de 12 ons amb empe amen igual. La p incipal ca ac e ís ica d’aques a escala és que la aó en e les eqüències de qualse ol pa ell de no es adjacen s és la ma eixa. Això suposa di e sos a an a ges. El que més ens in e essa és que aques a egula i a en e no es do a d’una es uc u a cíclica l’espai de eqüències. Així, és mol més àcil es abli connexions en e aques s in e als i di e en s objec es ma emà ics. Aques a és p ecisamen una de les bases d’aques eball, que é pe objec iu es udia des d’un pun de is a ma emà ic di e en s conjun s i successions de no es musicals, com són les escales, els aco ds i les ile es de ons. P ime de o , és necessa i de ini amb cla eda els objec es que es olen eballa . Un cop es able el con ex ma emà ic, es an se i eines de la b anca de la combina ò ia pe al de esold e di e en s p oblemes de comp a ge i de classi icació. Volem conèixe el nomb e d’aco ds i escales di e en s que exis eixen i oba di e en s classi- icacions d’aques s que inguin implicacions musicals. Pe exemple, que expliquin pe què alguns aco ds i escales es an se i més que d’al es, o que p opo cionin una mane a de quan i ica aspec es an subjec ius com a a la “ a esa” d’aques s aco ds i escales. 1 Con ingu i ecu sos El eball cons a de cinc capí ols, que es poden pensa com es blocs p ou di e encia s. A con inuació, es p esen a un b eu esum dels con ingu s de cadascun d’ells, jun amen amb la bibliog a ia que s’ha e se i . Capí ols 1 i 2 En aques s capí ols s’assen en les bases necessà ies pe als pos e io s. En el p ime s’in odueixen els concep es musicals que es ac en al lla g del eball: el so i les no es musicals, els aco ds i les escales. Es an se i ecu sos di e sos. En e els més des aca s es oben els llib es [2, 4], i l’apèndix musical de l’a icle [3]. En el segon capí ol es p esen en dos objec es ma emà ics, els colla s i les cadenes, que es poden incula amb els concep es musicals p e is. També es desen olupa la combina ò ia que els en ol a i pe me comp a -los. Es à basa en el llib e [1] i en alguns esul a s de la eo ia de g ups com el eo ema de Pólya. Capí ols 3 i 4 Es po di que componen el cos del eball. Al lla g dels dos capí ols es a un anàlisi dels dos ipus de conjun s de no es musicals que es ac en en aques eball, les escales i els aco ds. Ambdós capí ols segueixen els aonamen s exposa s pe Michael Kei h a [1], i ecullen les idees que hi apa eixen. En el capí ol 3, dedica a l’es udi dels aco ds, s’iden i iquen ce es p opie a s que aques s poden eni , com a a l’in e al mínim o el nomb e d’adjacències en e les no es d’un aco d, i es classi ica el nomb e o al d’aco ds segons aques es di e en s p opie a s. Al lla g de o el capí ol es a especial èm asi en el cas de l’escala de do ze ons. Al capí ol 4 es a un anàlisi de les escales musicals, en especial de les o mades pe se no es. S’es ableix una elació amb els aco ds pe al de pode ap o i a l’es udi eali za al capí ol an e io . A més, s’explo en di e en s mesu es pe ac a de quan i ica el seu g au de “ a esa”. Capí ol 5 A l’úl im capí ol can ia lleuge amen el pa adigma. Malg a que seguim pa lan de no es musi- cals, en lloc de conjun s es passa a conside a successions. En pa icula , s’es udia un cas senzill com són les ile es de ons. P ime es do a d’es uc u a ma emà ica aques objec e musical, pe desp és e -ne un es udi combina o i en se i eines de la eo ía de g ups. El capí ol es à basa en [2], sob e o pel que a al igo ma emà ic, pe ò ambé s’han e se i l’a icle [6] i un capí ol de [5], que an e e ència a la música dodeca onal. Al es ecu sos A banda d’aques es e e ències bilbiog à iques, s’han e se i apun s i esul a s de la eo ia de g ups de l’assigna u a d’es uc u es algeb aiques, impa ida a la FME pel p o esso F ancesc Planas. Al lla g del eball s’ha e ús del paque TikZ de L A TEX pe al de gene a di e en s igu es, amb la in enció de acili a la comp ensió del con ingu i de e els aonamen s més isuals. També s’han eali za di e sos algo ismes senzills, p og ama s en llengua ge Py hon, pe calcula els alo s d’algunes de les ó mules explíci es que es demos en al lla g del eball. 2 Capí ol 1 Concep es musicals p e is 1.1 So i no es musicals Pe ap oxima -nos al concep e de no a musical, és in e essan eni p ime una noció de què és el so, i com el pe cebem els humans. Com a concep e ísic, el so és un enomen incula a la di usió d’ones elàs iques p oduïdes pe la ib ació d’un cos. Pe als ésse s humans, el so audible consis eix en les a iacions que es p odueixen en la p essió de l’ai e, que l’oïda con e eix en ones mecàniques pe al que el ce ell pugui eb e-les i p ocessa -les. Deixan de banda la se a du ada, el so é es ca ac e ís iques p incipals: la in ensi a , el o (o alçada) i el imb e. Aques es es an elacionades amb les p opie a s ísiques de l’ona en qües ió: amplada, eqüència i espec e, espec i amen . La in ensi a és la amplada de la ib ació de l’ona, que es pe cep com el olum del so. El o e de e mina pe la eqüència de l’ona, que a que els sons siguin més agu s o més g eus. El imb e co espon a la o ma que é cada pe íode de l’ona, que po se mol di e sa, i és el que a que dis ingim unes eus d’unes al es, o que iden i iquem dos ins umen s di e en s enca a que oquin la ma eixa no a. Pe di e encia bé aques s concep es és in e essan eu e un exemple. La ona d’un so pu amb eqüència i amplada Aés una unció sinusoïdal. Ve donada pe Asin(2π ), i podem iden i ica el o amb la se a eqüència. Pe ò el so no malmen és una supe posició de ons pu s amb eqüències i amplades di e en s, que s’anomenen pa cials. Aques s són els que o men el que coneixem com el imb e del so. Una no a musical és qualse ol so amb una eqüència ben de inida. Pe an podem compa a les no es en e elles en se i les se es eqüències. Siguin du- es no es amb eqüències ig espec i amen , conside em el quocien /g, que anomena em l’in e al en e aques es dues no es. És impo an no a aques a co espondència loga í mica: quan es pa la d’addició d’in e als, s’es à pa lan ambé de p oduc e de eqüències. Així, si /g = 1, és cla que les dues no es són, en eali a , la ma eixa. El següen cas més simple (i in e essan ) és quan el quocien és /g = 2. En aques cas la eqüència d’una no a és el doble que la de l’al e. Quan això passa, les dues no es sonen mol semblan i a aques in e al se li diu oc a a. Dues no es sepa ades pe una oc a a són essencialmen la ma eixa, i enen el ma eix nom. En aques sen i , les conside a em equi alen s (p incipi d’equi alència d’oc a es). Les escales es c een seleccionan no es a pa i d’aques es elacions. El cas més impo an i amb el que eballa em és el de les escales de L ons amb empe amen igual, és a di , 3 Veiem un exemple pe al d’acla i aques es de inicions. Conside em di ec amen un g up de pe mu acions com els que necessi em, pel cas n= 5. G=(1 1 2 2 3 3 4 4 5 5,1 2 2 3 3 4 4 5 5 1,1 3 2 4 3 5 4 1 5 2,1 4 2 5 3 1 4 2 5 3,1 5 2 1 3 2 4 3 5 4) Obse em que la p ime a pe mu ació é 5 cicles de mida 1, pe an el seu monomi d’índexs cíclics és z5 1. Les al es qua e pe mu acions són cicles de mida 5, així els seus monomis se an o s z5. Alesho es, ob enim el següen polinomi d’índexs cíclics associa al g up G P(G;z1, z2, ..., zn) = z5 1+z5+z5+z5+z5=z5 1+ 4z5 A a ja es em en condicions d’in odui el eo ema que necessi em pe a esold e el p oblema. Teo ema 1. Pólya. El nomb e de con igu acions ( en se i ncaixes i m ipus d’objec es di e en s) amb pes k1w1+k2w2+... +kmwm, on dues con igu acions es conside en equi alen s si són la ma eixa so a alguna pe mu ació d’un g up de pe mu acions G, és igual al coe icien de wk1 1wk2 2...wkm men el polinomi 1 |G|P(G;Xwi,Xw2 i, ..., Xwn i)(2.3) No es dona à una demos ació explíci a, pe ò es po oba a [2, 7]. El eo ema ens diu com oba el nomb e de con igu acions di e en s del p oblema plan eja . Hem de can ia cada z en el polinomi d’índexs cíclics pe Pw ii desp és di idi el coe icien del e me wk1 1wk2 2...wkm men e |G|, que és el nomb e de pe mu acions conside ades. To nem a l’exemple an e io pe en end e millo com unciona. Ens p egun em quan s colla s di e en s amb 5 boles hi ha, pe exemple, amb 2 boles neg es i 3 de blanques. Es em ixan , doncs, n= 5 im= 2, i els hi assignem als dos ipus de boles di e en s (neg es i blanques) els pesos w1 iw2. Pe an , olem sabe el nomb e de con igu acions amb pes 2w1+ 3w2. Com hem is , el polinomi associa al g up G=C5és z5 1+ 4z5. Subs i uin els z pels Pw i= (w 1+w 2)i di idin en e |G|= 5 ob enim 1 5h(w1+w2)5+ 4(w5 1+w5 2)i I en la se a expansió binomial ob enim w5 1+w4 1w2+ 2w3 1w2 2+ 2w2 1w3 2+w1w4 2+w5 2 Dona que el coe icien del e me w2 1w3 2és 2, el eo ema de Pólya ens diu que exis eixen dues con igu acions amb exac amen 2 boles neg es i 3 de blanques. Són les que es mos en a la igu a 2.5. Es po comp o a que la es a de colla s amb dues boles neg es són, en eali a , una o ació d’aques s dos. També és in e essan obse a que el eo ema de Pólya alho a esol el p oblema de comp a cadenes, on a a el nos e g up de pe mu acions Gse à el g up i ial o ma només pe la pe mu ació iden i a , dona que quan comp em cadenes no pe me em e cap can i en e les caixes. Pe an , el polinomi d’índexs cíclics pe a Gse à zn 1, ja que la pe mu ació iden i a é n cicles de mida 1. Subs i uin el z1pe Pwi enim el nou polinomi Xwin= (w1+w2+... +wm)n 10 Figu a 2.5: Els dos colla s possibles amb 2 boles neg es i 3 boles blanques Del qual podem calcula els coe icien s wk1 1wk2 2...wkm mque ulguem conèixe . Això és po e àcilmen obse an que l’exp essió és la suma de m e mes ele a s a una po ència n. Sabem que els coe icien s enen dona s p ecisamen pel coe icien mul inomial n k1,k2,...,km. Així, hem ob ingu el ma eix esul a que amb l’anàlisi de la secció an e io : el nomb e de cadenes dona el nomb e de boles de cada colo és igual al coe icien mul inomial. Fó mules pe a N(n, k)iN(n, k1, k2, ..., km) Finalmen , ja disposem de o es les eines necessà ies pe esold e el p oblema de comp a co- lla s. No em pe N(n, k)el nomb e de n-colla s de dos colo s amb kboles neg es, i pe N(n, k1, k2, ..., km)el nomb e de n-colla s de boles de mcolo s amb kiboles de cada colo i (amb 1≤i≤m). Aques s nomb es són anàlegs als coe icien s binomials i mul inomials, pe ò a a comp en colla s en comp es de cadenes. Fen se i el eo ema de Pólya olem ob eni una ó mula pe a N(n, k)i pe al cas més gene al N(n, k1, k2, ..., km). Pe al d’aplica el eo ema, necessi em calcula el polinomi d’índexs cíclics del g up de pe mu acions Cnassocia als colla s amb nboles. Pe simplici a , conside em p ime el cas amb dos colo s. Conside em l’elemen de Cnque co espon a e un desplaçamen de kposicions. En aques a pe mu ació, la longi ud del cicle d’un elemen de la pe mu ació dona , és l’en e dmés pe i al que dk =mn pe a algun en e m. Com que la ope ació de pe mu a consis eix en a ança cada elemen kposicions, i dona que dope acions p odueixen un desplaçamen d’un múl iple de nposicions, alesho es hau em o na a la pe mu ació inicial, que és la de inició de cicle. El alo dk =mn és, de e , el mínim comú múl iple de kin, o mcm(k, n). Si kés cop ime amb n, alesho es ind em mcm(k, n) = kn, que ol di que d=n. Pe an , si kés cop ime amb n, la longi ud del cicle de la pe mu ació se à exac amen n. A a suposem que kinno són cop ime s, i que enen un ac o en comú s. Alesho es l’equació an e io esde é dk s=mn s=mcm k s,n s Com abans, si aques s alo s k sin ssón cop ime s, alesho es d=n s. No em que en o s els casos dés un di iso de n. Pe a un ddona , si s=n d, el nomb e d’elemen s de Cnamb longi ud de cicle dés el nomb e d’en e s meno s que i cop ime s amb n s=d. De inim una unció que exp essa aques ma eix concep e i ens se à mol ú il a ni ell de no ació. De inició 6. La unció phi de Eule , o φ(d), es à de inida com el nomb e d’en e s meno s 11 que di cop ime s amb d. També e donada pe la ó mula: φ(d) = dY p p ime p|d p−1 p A més, en una pe mu ació amb longi ud de cicle d, a cada cicle hi es an in oluc a s delemen s de la pe mu ació, i pe an hi ha n dcicles així. Pe an , hem is que la longi ud possible dels cicles dels elemen s de Cnsón o s els di iso s dde n. Pe a cada d, hi ha φ(d)elemen s amb aques a longi ud de cicle. A més, a cadascun d’aques s elemen s li co esponen n dcicles. Alesho es ob enim l’exp essió P(Cn;z1, z2, ..., zn) = X d|n φ(d)z n d d(2.4) Aplican el eo ema de Pólya, subs i uïm a a cada z en el polinomi pe Pw i. En aques cas només enim dos pesos w1iw2, que anomena em xiype simpli ica la no ació. Alesho es, subs i uïn cada z pe (x +y )ob enim 1 nX d|n φ(d)(xd+yd)n d(2.5) Pe an , el alo de N(n, k)és el coe icien de xkyn−ken aques polinomi. Depenen dels alo s de d, hi ha dos casos a conside a : 1. Suposem que dno és un di iso de k. A a o es les po ències de xque apa eixen a la expansió del polinomi se an de la o ma x , on és un múl iple de d. Si dno és un di iso de k, alesho es cap múl iple de dpo se igual a k. Pe an , no es po gene a cap e me de la o ma xkyn−ksi dno és un di iso de k. 2. Suposem a a que dés un di iso de k. En comp es de ixa -nos en el coe icien de xkyn−k en la expansió de (xd+yd)n d, podem mi a di ec amen el coe icien de xk dyn−k d=xk dyn d−k d en la expansió de (x+y)n d. Pe ò això és simplemen el coe icien binomial n/d k/d. Així, hem ob ingu una ó mula pe a N(n, k), i donem pe demos ada la següen p oposició. P oposició 1. El nomb e de n-colla s amb boles de dos colo s i exac amen kboles d’un colo e dona pe la ó mula: N(n, k) = 1 nX d|n,k φ(d)n/d k/d(2.6) Pe eu e un exemple, calculem el alo de N(8,4). És a di , el nomb e de colla s de 8 boles amb 4 de neg es i 4 de blanques. La dp en alo s 1, 2 i 4; que són els di iso s de n= 8 ik= 4. Així N(8,4) = 1 8hφ(1)8 4+φ(2)4 2+φ(4)2 1i=1 8[1 ·70 + 1 ·6+2·2] = 10 A la aula 2.1. es mos en els alo s de N(n, k)i de N(n, ∗)pe a n, k ≤12. Es po obse a que els alo s de cada ila són simè ics. És a di , que N(n, n −k) = N(n, k) 12 Figu a 2.6: Els 10 colla s possibles pe a n= 8 ik= 4 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 To al 1 1 1 ··········· 2 2 1 1 1 ·········· 3 3 1 1 1 1 ········· 4 4 1 1 2 1 1 ········ 6 5 1 1 2 2 1 1 ······· 8 6 1 1 3 4 3 1 1 ······ 14 n 7 1 1 3 5 5 3 1 1 ····· 20 8 1 1 4 7 10 7 4 1 1 · · · · 36 9 1 1 4 10 14 14 10 4 1 1 ··· 60 10 1 1 5 12 22 26 22 12 5 1 1 · · 108 11 1 1 5 15 30 42 42 30 15 5 1 1 ·188 12 1 1 6 19 43 66 80 66 43 19 6 1 1 352 Taula 2.1: Valo s de N(n, k)pe a 1≤n≤12 i pe a 0≤k≤12 Aques a p opie a ambé és ce a pe als coe icien s binomials que comp en les cadenes, i ho és pel ma eix mo iu. Veiem una de inició que il·lus a aques e . De inició 7. El colla dual d’un colla dona amb m= 2, és el colla co esponen a in e can- ia les boles neg es pe boles blanques i ice e sa. S’es ableix de mane a immedia a una bijecció en e uns colla s i els seus duals. Pe an , el nomb e de colla s di e en s amb nboles neg es és igual al nomb e de colla s di e en s amb n boles blanques (i n−kneg es). Pe al de oba una ó mula pe al cas gene ali za de comp a colla s amb boles de colo s di e en s, el p ocedimen és anàleg a l’an e io . P oposició 2. El nomb e N(n, k1, ..., km)de colla s de nboles de mcolo s di e en s amb ki boles de cada colo i e dona pe la ó mula: N(n, k1, ..., km) = 1 nX d|n d|ki(1≤i≤m) φ(d)n/d k1/d, k2/d, ..., km/d(2.7) 13 Capí ol 3 Es udi dels aco ds Al lla g d’aques capí ol a em se i un pun de is a ma emà ic pe p oposa di e en s classi- icacions dels aco ds, basan -nos en di e ses p opie a s que poden eni . També es discu i à la connexió en e aques es classi icacions ma emà iques i les se es implicacions musicals. Pe al de comença l’anàlisi dels aco ds, p ime de o olem sabe el nomb e d’aco ds di e- en s de nno es que exis eixen en una escala de empe amen igual amb Lno es, que deno a em pe Ch(L, n). Reco dem que aques s aco ds són equi alen s a colla s amb Lboles de 2 colo s. Fa em co espond e a les nno es e es se i a l’aco d el colo neg e, i a les no es que no hi apa eixen el colo blanc. Així, enim que Ch(L, n) = N(L, n), on els alo s de N(L, n)es poden calcula en se i la ó mula de la p oposició 1. 1Alesho es el nomb e o al d’aco ds en una escala amb Lno es és Ch(L, ∗) = N(L, ∗) = X 1≤n≤L N(L, n)(3.1) No em que no es em comp an l’aco d sense cap no a, és a di quan n= 0, dona que no é cap in e ès musical en pa icula . Fem doncs el càlcul pe al cas habi ual en que L= 12. Els alo s de Ch(12, n)pe a cada nes mos en a la aula 3.1. Nomb e de no es (n) Nomb e d’aco ds 12 1 1 o 11 1 2 o 10 6 3 o 9 19 4 o 8 43 5 o 7 66 6 80 Taula 3.1: Valo s de Ch(12, n)pe a 1≤n≤12 Obse em que o nem a oba la sime ia deguda a la duali a dels colla s en els alo s de 1Es p odueix un can i de no ació espec e el capí ol an e io . Pe comodi a , d’a a enda an nse à semp e el nomb e de no es d’un aco d o escala. 14 Ch(L, n). Alesho es, el nomb e que olíem calcula és Ch(12,∗) = 1 + 2 ·(1 + 6 + 19 + 42 + 66) + 80 = 351 I a ibem a la conclusió que exis eixen 351 aco ds essencialmen di e en s en l’escala de 12 no es que es a se i habi ualmen . L’objec iu d’aques capí ol és el de classi ica aques s Ch(L, ∗)aco ds en unció de di e en s p opie a s que poden eni . De ini em un segui de uncions F(L, n, p)que comp in el nomb e d’aco ds de nno es d’en e una escala de Lpossibles i que compleixin la condició addicional del pa àme e p, que s’especi ica à en cada cas. Vold em oba ó mules explíci es pe a aques es uncions F. De la ma eixa mane a que s’ha e en aques a secció, habi ualmen ixa em L= 12. Així se à possible e els càlculs només en unció de les dues a iables nip. Semp e s’in en a à, pe ò, dedui les ó mules explíci es pe al cas gene al on Lés a bi à ia. 3.1 Anàlisi de l’in e al mínim De inició 8. L’in e al mínim en e les no es d’un aco d és la dis ància, mesu ada en semi ons, en e les dues no es més p ope es de l’aco d. Deno a em el nomb e d’aco ds amb n no es i in e al mínim més g an o igual que mcom I(L, n, m). Hi ha di e sos mo ius pels quals aques a p opie a dels aco ds és elle an . El més impo an és que els in e als en e les no es de l’aco d de e minen les eqüències ela i es i, pe an , l’es uc u a ha mònica de la o ma de l’ona esul an . A més, exis eix un enomen ísic anomena ba imen es e amen elaciona amb el mínim in e al en e dues no es d’un aco d. Veiem-ne un exemple. Conside em un aco d simple o ma pe dues no es, i suposem que cada no a e donada pe una ona cosinusoidal. Si la p ime a no a é eqüència i la segona +d, la ona esul an quan les dues sonin alho a ind à la o ma y( ) = cos 2π + cos 2π( +d) On és el emps i yés la amplada de l’ona esul an . Alesho es en se i que cos a+cos b= 2 cos b−a 2cos b+a 2, ob enim la següen exp essió y( ) = [2 cos πd ] cos 2π +d 2 =Acos 2π +d 2 On A= 2 cos πd és l’amplada de l’ona compos a. Pe an , eiem que l’amplada a ia amb eqüència d, que és la di e ència en e les eqüències de les dues no es. Pe an , cada pa ell de no es d’un aco d p odueixen un ba imen p opo cional a l’in e al en e aques es. Pe exemple, suposem que o mem aco ds al ol an de la no a La = 440 Hz. Un mínim in e al de una no a (m= 1) gene a à una eqüència de ba imen d’uns 26 Hz, que es à mol pe so a del ang de eqüències onamen als que o men l’aco d, i pe an és mol àcil de pe ceb e. Exis eixen al es aons pe les quals es udia l’in e al mínim d’un aco d po se in e essan , aques es són més a ia his ò iques o ins i o psicològiques. Pe exemple, els aco ds amb alo s pe i s de msón més p opensos a gene a sensacions com a a ensió o mis e i. 15 Pe al de comp a aques s aco ds u ili za em un aonamen que es epe i à més egades al lla g del capí ol. La idea és que un aco d amb in e al mínim mes po pensa com un colla de Lboles compos conca enan dos ipus de subcadenes di e en s: (a) Compos a pe una bola neg a seguida de m−1boles blanques, ep esen an així la no a escollida en l’aco d seguida de m−1que no es an se i . Ens assegu en que e ec i amen l’in e al mínim en e no es se à m. (b) Fo mada simplemen pe una bola blanca, ep esen an una no a buida. Ens habili en la possibili a de que l’in e al sigui més g an que m. no a de l’aco d m−1 Figu a 3.1: Els dos ipus de subcadenes (a)i(b) Alesho es el colla ha de eni exac amen nsubcadenes del ipus (a), dona que cadascuna con é una no a. Com que cadascuna d’aques es subcadenes é mboles, ja enim un o al de nm boles. Pe al que el colla que ep esen i l’aco d, ha de eni Lboles en o al. Així, hi ha d’ha e L−nm subcadenes del ipus (b). Pe an , el nomb e o al de subcadenes e es se i se à n+L−nm =L−n(m−1). En aques pun , és impo an obse a que en el colla o ma pe subcadenes, en eali a aques es ac uen com si ossin boles. Això passa pe què les subcadenes (a)i(b)no poden se isomo es so a o acions, dona que una con é una bola neg a i l’al e cap. Així, el nomb e de colla s di e en s o ma s pe subcadenes és p ecisamen el nomb e d’aco ds di e en s. Alesho es saben quan es subcadenes de cada ipus hi ha, i en se i la ó mula pe aN(L, n)de la p oposició 1 is a al capí ol an e io , donem pe demos a el següen eo ema. Teo ema 2. El nomb e d’aco ds amb nno es i in e al mínim més g an o igual que m e dona pe la ó mula: I(L, n, m) = N(L−n(m−1), n)(3.2) És cla que I(L, n, m)=0si nm > L, ja que necessi em un mínim de nm posicions pe pode eni nno es a una dis ància mínima de mposicions. To nem a a al cas habi ual en que L= 12. Els alo s pe a I(12, n, m)es mos en a la aula 3.2. Veiem que només hi ha 30 aco ds di e en s amb un in e al mínim de 2 semi ons en e no es. P ecisamen aques s 30 aco ds són els que so in més es an se i a l’ho a de e música. Una p o a d’això és que la majo ia d’ells enen noms p opis, com a a l’aco d majo i el meno , o els aco ds disminuï i augmen a . Una al a p opie a d’in e ès és el nomb e d’aco ds di e en s amb mínim in e al exac amen igual a m. De e , aques esul a és immedia a pa i del eo ema 2 an e io . Co ol·la i 1. El nomb e d’aco ds amb nno es i in e al mínim exac amen igual a m, que deno a em pe K(L, n, m), e dona pe la ó mula: K(L, n, m) = I(L, n, m)−I(L, n, m + 1) (3.3) 16 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 To al 1 1 6 19 43 66 80 66 43 19 6 1 1 351 2 1 5 10 10 3 1 ······ 30 3 1 4 4 1 ········ 10 m 4 1 3 1 ········· 5 5 1 2 ·········· 3 6 1 1 ·········· 2 7,...,12 1 ··········· 1 Taula 3.2: Valo s de I(12, n, m): nomb e d’aco ds de nno es amb in e al mínim en e no es m. Pe an , a pa i els alo s calcula s pe al cas L= 12 de la aula 3.2, podem calcula el nomb e o al d’aco ds di e en s amb mínim in e al m= 1. X n K(12, n, 1) = X n (L(12, n, 1) −L(12, n, 2)) = 351 −30 = 321 Així, hem oba un p ime ni ell de classi icació dels 351 aco ds en dos g ups: els 30 en que o s els in e als supe en el semi ò, i els 321 que enen com a mínim un in e al d’un semi ò. A la següen secció es udia em i classi ica em aques s úl ims aco ds amb més de all. 3.2 Anàlisi d’adjacències De inició 9. Quan en un aco d hi ha un in e al d’un semi ò di em que con é una adjacèn- cia. Deno a em pe A(L, n, a)el nomb e d’aco ds amb nno es d’en e Lpossibles que inguin exac amen aadjacències. Volem e una classi icació dels 351 aco ds en unció del nomb e exac e d’adjacències que con inguin. És un e es ès que els aco ds que con enen adjacències es poden conside a es anys, mis e iosos, o ins i o moles os. Una p o a d’això és que els aco ds de la g an majo ia de peces musicals enen un nomb e mi jà d’adjacències in e io a 1, i de e , so in mol p ope a 0. Només algunes composicions con empo ànies enen alo s mi jans de asupe io s a 1. Pe an , comp a el nomb e d’adjacències po se una mane a de classi ica els aco ds segons el seu g au de a esa. El cas a= 1 és de pa icula in e ès, dona que els aco ds amb una adjacència són només lleuge amen més es anys que els 30 aco ds amb a= 0. Pe al de calcula els alo s de A(L, n, a), a em se i un aonamen semblan al de la secció an e io . A a, pe ò, hau em de eballa amb colla s de 3 o més colo s. Conside em p ime el cas més simple en que a= 1. Dona que aques s aco ds enen exac a- men una adjacència, els podem cons ui a pa i de es subcadenes di e en s: (a) Dues boles neg es seguides d’una bola blanca. Aquí és on es p odueix l’adjacència. (b) Una bola neg a ep esen an una no a e a se i seguida d’una blanca. Aques es boles blanques al inal ens assegu en que no hi hau à més adjacències a l’aco d. (c) Fo mada simplemen pe una bola blanca, ep esen an una no a buida. 17 (a) (b) (c) Figu a 3.2: Els es ipus de subcadenes que o men els aco ds amb a= 1 Alesho es el colla ind à exac amen una subcadena de ipus (a). Pe al de sa is e que l’aco d ingui nno es, hi hau à d’ha e n−2subcadenes de ipus (b). Pe an , dona que hi ha Lno es a l’escala, el nomb e de subcadenes de ipus (c)és L−3−2(n−2) = L−2n+ 1. Així, el nomb e o al de subcadenes e es se i és de 1+(n−2) + (L−2n+ 1) = L−n. Com abans, podem pensa els subcolla s com a boles. D’aques a mane a el nomb e d’aco ds di e en s se à el nomb e de colla s o ma s pe subcadenes. Pe ò a a, dona que enim es ipus de subcadenes di e en s, el colla es à o ma pe boles de es colo s di e en s. Pe an ens queda A(L, n, 1) = N(L−n, 1, n −2, L + 1 −2n) Es em en se i la ó mula N(L, k1, ..., km,)de la p oposició 2 que hem is al capí ol an e io . Els pesos són (k1, k2, k3) = (1, n −2, L + 1 −2n). Com que dha de di idi o s els ki, l’únic di iso possible és d= 1. Així, només ob ind em un e me al suma o i A(L, n, 1) = 1 L−n (L−n)! 1! (n−2)! (L+ 1 −2n)! =(L−n−1)! (n−2)! (L+ 1 −2n)! Aques a úl ima exp essió és, en eali a , un coe icien binomial. Alesho es, a ibem a la següen ó mula A(L, n, 1) = L−n−1 n−2pe 2 ≤n≤L+ 1 2(3.4) Si ho pensem bé, aques a solució binomial é mol sen i . Dona que només hi ha una adjacència, sense pè dua de gene ali a , la podem ixa al p incipi de l’aco d. Desp és podem selecciona les n−2no es es an s, pe ò complin la es icció que cada no a ha d’ana seguida d’una al a que no es aci se i . Pe an , ind em L−1−(n−2) = L−n−1espais disponibles pe escolli . També ens in e essa conèixe el nomb e o al d’aco ds amb només una adjacència, indepen- den men del nomb e de no es n. T obem una so p enen connexió amb la successió de Fibonacci. Teo ema 3. El nomb e o al d’aco ds amb només una adjacència en una escala de Lno es és igual al e me L−3de la successió de Fibonacci. A(L, ∗,1) = F(L−3) (3.5) Demos ació. A(L, ∗,1) = bL+1 2c X n=2 L−n−1 n−2=X i≥0L−3−i i En aques a úl ima exp essió, obse em que el p ime e me de la suma és L−3 0i que cada e me pos e io és un coe icien binomial n kon la n a disminuin , men e que la k a augmen an . Alesho es, eiem que A(L, ∗,1) és igual a la suma de la diagonal L−3del iangle de Pascal. 18 Sigui doncs D(n)la suma de la diagonal del iangle de Pascal que comença a n 0, eco dem una p opie a impo an dels coe icien s binomials: n k=n−1 k+n−1 k−1 Tal com es mos a de mane a isual a la igu a 3.3, en se i aques a iden i a es po dedui que D(n) = D(n−1) + D(n−2) D(n) D(n−1) D(n−2) n k n−1 k−1n−1 k k n T iangle de Pascal Figu a 3.3: Demos ació g à ica de D(n) = D(n−1) + D(n−2) Obse em que aques a és p ecisamen la ecu ència que de ineix els nomb es de Fibonacci. A més, els e mes inicials de la successió ambé són els ma eixos, ja que D(0) = D(1) = 1. Pe an , és ce que D(n) = F(n),∀n. Amb això, donem pe demos a el eo ema. Alesho es podem calcula , pe a l’escala amb L= 12 no es, el nomb e d’aco ds amb exac- amen 1 adjacència. Aques nomb e és F(9) = 55. Només uns quan s d’aques s aco ds es an se i habi ualmen . P obablemen el més comú sigui l’aco d majo sèp ima, mol es ès en la música jazz, i que é in e als (4 3 4 1) en e les se es no es. El cas a= 2 és lleuge amen més complex. Això es deu a que aques s aco ds els podem sepa a en dos ipus: els que inguin les dues adjacències consecu i es i els que no. Així, a l’ho a de cons ui els aco ds, cada ipus pod à es a o ma pe di e en s subcadenes. Aques es es mos en a la igu a 3.4, on ambé s’indica quan es d’aques es subcadenes de cada ipus hi ha d’ha e pe al de o ma l’aco d, que es calculen de mane a anàloga al cas an e io . Pe an , en se i el ma eix aonamen que pel cas a= 1, ob enim la següen ó mula: A(L, n, 2) = N(L−n, 1, n −3, L + 2 −2n) + N(L−n, 2, n −4, L + 2 −2n)(3.6) 19 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 To al L = 12 1 6 12 15 13 11 7 5 3 2 1 1 77 Taula 3.5: Valo s de p(12, n), amb 1≤n≤12. És mol impo an en end e que cadascuna d’aques es pa icions gene a un nomb e d’aco ds di e en , dona que als aco ds sí que és impo an l’o d e dels in e als. Aques nomb e es po calcula en se i la ó mula de la p oposició 2 pe a comp a colla s de mcolo s, on podem conside a cada alo di e en dels in e als com un colo di e en al colla , i el cop de egades que hi apa eixen com el nomb e de boles d’aques colo . Veiem a a un ipus in e essan de conjun d’in e als, que enen un in e ès musical especial i que o na em a eu e al capí ol següen , dedica a les escales. De inició 14. Els conjun s d’in e als k-à ons són aquells en què o s els in e als en e 1 ikqueden ep esen a s. Pe a k= 2, els anomena em conjun s d’in e als dia ònics. Pe a k= 3 ia ònics, i així successi amen . És na u al p egun a -nos, pe a un alo de Ldona , quins conjun s d’in e als k-à ons són possibles d’assoli . Sigui σ(k) = k(k+1) 2la suma dels en e s des de 1 ins a k, és cla que s’ha de compli σ(k)≤L. Si aillem la kd’aques a equació ob enim k≤"√8L+ 1 −1 2# Pe an , pe al cas en que L= 12 enim k≤4. És a di , que com a mol exis eixen conjun s d’in e als quad a ònics. 3.6 Aco ds elegan s A la secció an e io hem conside a que, quan un aco d de nno es sona, hi ha nin e als p esen s. Exis eix, pe ò, una al a mane a d’anali za els in e als que ambé po se musicalmen in e essan . Dona que les nno es sonen de mane a simul ània, es o ma un in e al en e cada pa ell de no es de l’aco d, i no només en e les no es adjacen s. Pe an , es po conside a que en eali a hi ha n 2in e als, i que el so d’un aco d es à in luencia pe cadascun d’aques s in e als. De inició 15. El conjun d’in e als comple d’un aco d o ma pe les no es {m1, m2, ..., mn} amb m1< m2< ... < mn, és el conjun de alo s mi−mj, pe o i<j. De inició 16. La a ie a d’un aco d, que deno a em pe , és el nomb e d’in e als di e en s en el seu conjun d’in e als comple . Com passa a amb l’anàlisi d’amplada dels aco ds, la a ie a ampoc és la ma eixa pe a o es les in e sions d’un ma eix aco d. Això és degu a que les in e sions can ien l’o d e dels mi, i pe an ambé modi iquen el conjun de alo s mi−mjamb i < j. Així, en eali a ens e e i em en o momen a la a ie a màxima d’en e o es les in e sions de l’aco d. 26 El alo de la a ie a és una mane a de comp abili za la complexi a d’un aco d. Com més g an sigui , hi hau à p esen s més in e als di e en s. Pe an , la o ma de la ona del so esul an se à més complexa, degu a la in e acció en e les ones pe iòdiques de les di e en s elacions en e eqüències. La a ie a es à es e amen lligada a un concep e de la eo ia de g a s: g ace ul g aph num- be ing, o nume ació elegan de g a s. El p oblema demana una nume ació dels nodes d’un g a amb en e s (≥0) di e en s als que: 1. To s els núme os de les a es es siguin di e en s, on el núme o associa a cada a es a és la di e ència en e els núme os dels dos nodes que uneix. 2. El núme o del node més g an és el més pe i possible. 4 9 11 0 1 52 11 1 3 8 7 9 10 4 Figu a 3.7: Nume ació elegan del g a comple K5 La clau d’aques p oblema au en de e mina quin és el mínim alo possible pe al núme o del node més g an, que deno a em pe M. No em que el node mínim semp e se à 0. Sigui a el nomb e d’a es es, és cla que Mha de se més g an o igual que a. Al amen , dona que la màxima di e ència en e nodes se à M, hau íem d’assigna a les aa es es un nomb e de en e s in e io a a. Així, pod íem conside a com la nume ació “més elegan “ aquella en què M=a. En aques cas, els en e s co esponen s a les a es es no només són di e en s, sinó que són exac amen el conjun {1,2, ..., a}. Aques cas pa icula és mol poc habi ual. En l’exemple de la igu a 3.7 es po eu e que en la nume ació elegan del g a K5 enim e= 10 iM= 11. Com que es em conside an o s els in e als en e no es, iden i ica em els aco ds de nno es amb els g a s comple s Kn, on els nodes nume a s equi alen als en e s co esponen s a cada no a de la escala i les a es es nume ades als in e als. Aques a elació és consis en pe què els in e als són les di e ències en e no es. De inició 17. Un aco d elegan és aquell en que o s els in e als en el seu conjun d’in e als comple són di e en s. Pe an , pe al de oba un aco d de nno es amb el alo de el més g an possible, hem de oba una nume ació elegan del g a comple Kn. 27 Pe a alo s pe i s de n, el alo més g an possible pe a és n 2. Aques s són p ecisamen els aco ds elegan s, ja que és el cas en què o s els in e als en el conjun d’in e als comple són di e en s. No obs an , hem de eni en comp e la es icció que imposa el nomb e de no es Lde la escala. Només se à possible assoli aques alo màxim pe a la a ie a quan el g a co esponen ingui una nume ació elegan que compleixi que M < L. La seqüència de alo s de Mpe als di e en s Knés: n: 2 3 4 5 6 7 8 M: 1 3 6 11 17 25 34 Veiem doncs que M < 12 pe a n≤5. Pe an , en l’escala amb L= 12, els aco ds elegan s només es poden o ma amb cinc o menys no es. Pe n > 5, el màxim alo de és L−1 = 11. Anomenem V(L, n, )la unció que comp a el nomb e d’aco ds de nno es amb exac amen in e als di e en s en el seu conjun d’in e als comple . Dona que la nume ació elegan de g a s és un p oblema ma emà ic no ablemen di ícil, no exis eix cap ó mula pe a V(L, n, ). A la aula 3.6, ex e a de [1], es mos en els alo s pe a L= 12 calcula s pe un algo isme in o mà ic. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 To al 0 1 · · · ········ 1 1·6* 6 2· · 1· ········ 1 3· · 18* 1 ········ 19 4· · · 2········ 2 5· · · 7 1 1 ······ 9 6 · · · 33* 1 ······· 34 7· · · · 7 1 ······ 8 8· · · · 19 1 ······ 20 9· · · · 34 9 ······ 43 10 · · · · 4* 42 7 1 · · · · 54 11 · · · · · 26 59 42 19 6 1 1 154 To al 1 6 19 43 66 80 66 43 19 6 1 1 351 Taula 3.6: Valo s de V(12, n, ): nomb e d’aco ds amb nno es i a ie a . Els alo s amb as e isc co esponen als aco ds elegan s. Obse em que els alo s amb as e isc són aquells en que =n 2, i pe an iden i iquen els aco ds elegan s. És a di , aquells amb o s els in e als di e en s. En o al hi ha 6+18+33+4 = 61 aco ds elegan s. Els més in e essan s p obablemen són els 4 amb n= 5, co esponen s a les 4 nume acions elegan s di e en s del g a K5. Un d’aques s és l’aco d de la igu a 3.7, o ma pe les no es {0,1,4,9,11}i amb conjun d’in e als comple {1,2,3,4,5,7,8,9,10,11}. 28 Capí ol 4 Es udi de les escales En aques capí ol a em un anàlisi ma emà ic de les escales. Ens cen a em en les escales de se no es, que són de les més impo an s al món de la música occiden al. Conside a em mol es de les p opie a s del capí ol an e io , a a anàlogues pe a les escales, i p oposa em di e en s mane es de quan i ica el seu g au de pa icula i a . 4.1 Resul a s bàsics Reco dem que una escala és un subconjun de les Lno es d’una escala amb empe amen igual, és a di , un subconjun dels en e s {0,1, ..., L −1}. La di e ència amb els aco ds és que a a no enim isomo isme o acional, i pe an les podem iden i ica amb les cadenes. Pe de inició, la ònica o la clau de l’escala semp e ha de se la p ime a no a. La ep esen a em com l’elemen {0}i semp e demana em que es igui p esen . Volem sabe el nomb e d’escales di e en s de nno es que es poden o ma amb una escala de empe amen igual de Lno es. Dona que la p ime a no a {0}es à ixada i les al es n−1no es es poden escolli d’en e les L−1no es es an s, el nomb e d’escales di e en s amb nno es és Sc(L, n) = L−1 n−1 Alesho es el nomb e o al d’escales di e en s en una escala de empe amen igual amb Lno es és Sc(L, ∗) = X 1≤n≤LL−1 n−1=X 0≤n≤L−1L−1 n= 2L−1(4.1) No em que això é sen i dona que, excep e la p ime a no a, cadascuna de les L−1 es an s po se a l’escala o bé no se -hi. Pe an hi ha 2L−1escales di e en s. Així, pe al cas més habi ual en que L= 12, podem di que exis eixen 2048 escales essencialmen di e en s. A la aula 4.1 es mos en els di e en s alo s de Sc(12, n). Com passa a amb els aco ds, obse em una sime ia en els alo s, pe ò amb una lleuge a di e ència. A a enim que Sc(L, n) = Sc(L, L + 1 −n) En can i, a la aula 3.1 del capí ol an e io hem is que Ch(L, n) = Ch(L, L −n) 29 Nomb e de no es (n) Nomb e d’escales 1 o 12 1 2 o 11 11 3 o 10 55 4 o 9 165 5 o 8 330 6 o 7 462 Taula 4.1: Valo s de Sc(12, n)pe a 1≤n≤12 Això és degu a que el nomb e d’aco ds l’hem calcula amb la ó mula dels colla s N(L, n), que in oluc a coe icien s binomials de la o ma L ∗. En can i, els coe icien s pe a calcula el nomb e d’escales di e en s són de la o ma L−1 ∗. Així, o na a ellui la impo ància d’imposa que la ònica sigui semp e la p ime a no a de l’escala. 4.1.1 Relació en e aco ds i escales Volem eu e si hi ha alguna elació en e el nomb e d’aco ds i escales amb nno es. A l’ho a de comp a aco ds, els objec es que són isomo s so a o acions es conside en només una egada. Pe a les escales, en can i, es comp en de mane a sepa ada. Aques e a pensa que a pa i dels di e en s aco ds es po gene a el conjun de les di e en s escales. Pe al de gene a el conjun d’escales de nno es, podem pa i del conjun d’aco ds amb n no es i o a cada aco d n egades pe al de si ua cadascuna de les no es a la p ime a posició. Degu a l’isomo isme o acional dels aco ds, es po assegu a que la o ació d’un aco d no p odui à la ma eixa escala que cap o ació d’un al e aco d. Al amen , aques s dos aco ds se ien el ma eix. El que sí que po passa és que dues o acions del ma eix aco d p odueixin la ma eixa escala. Pe al de sabe quan es dona à aques cas, podem e se i la p opie a del pe íode del aco ds. El pe íode ens indica el nomb e de o acions desp és de les quals l’aco d es epe eix. Pe an , ambé és el nomb e de posicions desp és de les quals ja no es gene a an més escales di e en s. A la igu a 3.5 hem is que aques s aco ds enen L/p pa s idèn iques, i pe an n (L/p)boles neg es a cada pa . Cadascuna d’aques es boles es po si ua a la posició inicial pe al de gene a una escala di e en . Sigui Sp(L, n, p)el nomb e d’escales de nno es o mades a pa i dels di e en s aco ds de nno es amb pe íode p, donem pe demos a el següen eo ema. Teo ema 6. El nomb e o al d’escales de nno es en una escala de empe amen igual de Lno es és: Sc(L, n) = X 1≤p≤L Sp(L, n, p) = X 1≤p≤L n L/pP(L, n, p)(4.2) En el capí ol an e io hem is que si nés cop ime amb L, el pe íode només po p end e el alo p=L. En aques cas, la acció de la ó mula an e io al n, i ob enim que Sc(L, n) = n Ch(L, n)(4.3) És a di , si nés cop ime amb L, el nomb e de escales de nno es és n egades el nomb e d’aco ds de nno es. Pel cas L= 12, els en e s cop ime s són 1, 5, 7 i 11. A la secció següen es udia em el cas n= 7, que é un in e ès musical pa icula . 30 4.2 Les escales de 7 no es Hi ha di e ses aons his ò iques pe les quals les escales de 7 no es són impo an s. La més ob ia és que la majo ia de la música (almenys l’occiden al) a se i escales de 7 no es, en pa icula les escales majo i meno . Una p o a d’això és que els noms de les no es que o hom coneix són p ecisamen els de les 7 no es de l’escala majo en clau de do: do, e, mi, a, sol, la, si. Una excepció des acada és l’escala de 5 no es {0,2,4,7,9}, co esponen a les ecles neg es del piano. Aques a escala s’anomena pen a ònica i és la base d’alguns ipus de música o ien als. Un al e mo iu pel qual el cas n= 7 és especialmen in e essan és que 7és cop ime amb L= 12. Pe an , podem e se i el eo ema 6 que acabem de eu e pe elaciona àcilmen els aco ds amb aques es escales. Sabem que hi ha 462 escales de 7 no es, gene ades pe les 7 o acions dels 66 aco ds. Dona que es an gene ades pe 66 aco ds di e en s, di em que hi ha 66 ipus d’escales. A més, a la aula 3.5 del capí ol an e io hem is que hi ha 7 conjun s d’in e als pe a n= 7, que gene en els 66 aco ds. Ens e e i em a aques s conjun s d’in e als com classes d’escales. n = 7 Escales 462 Tipus d’escales 66 Classes d’escales 7 Taula 4.2: Nomb e d’escales, ipus d’escales, i classes d’escales pe als casos n= 5 in= 7. Alesho es di em que les classes d’escales són isomo es als 7 conjun s d’in e als dels aco ds, i que els ipus d’escales són isomo s als 66 aco ds que gene en el conjun de o es les escales. Aques isomo isme amb els aco ds és el que a que les escales que pe anyen a un ipus d’escala en pa icula , inguin exac amen les ma eixes p opie a s que l’aco d que gene a aques es escales, ja que enen es conse en els ma eixos in e als en e no es. Així, en se i els esul a s del capí ol an e io , obem de mane a di ec a mol s esul a s sob e els 66 ipus d’escales. Aques es p opie a s es oben esumides a la aula 4.3. In e al mínim To es enen in e al mínim m= 1 Pe íode To es enen pe íode p= 12 Conjun d’in e als (classes d’escales) El nomb e de conjun s d’in e als és 7 Adjacències a2 3 4 5 6 Nomb e d’escales 3 20 30 12 1 In e al màxim m2 3 4 5 6 Nomb e d’escales 3 35 21 6 1 Taula 4.3: P opie a s bàsiques dels 66 ipus d’escales pe a n= 7 De la ma eixa mane a que al capí ol an e io s’han mos a esul a s especí ics de les di e en s p opie a s dels aco ds pe al cas L= 12, en aques ens cen a em ambé en el cas n= 7. És a di , es udia em les p opie a s de les escales de 7 no es o mades amb les no es de l’escala de empe amen igual de 12 no es. No obs an , ambé es a à e e ència al cas gene al. 31 4.3 Regula i a d’una escala Iden i ica els ipus d’escales ens ha pe mès e una p ime a classi icació de les 462 escales segons a quin dels 66 ipus di e en s pe anyin. A a olem ixa -nos en les classes d’escales, pe oba una classi icació més gene al. Pe an , es em pa lan de conjun s d’in e als (sense o d e). Dels 7 di e en s possibles pe a n= 7, el dia ònic (2 2 2 2 2 1 1) és el que més es a se i a l’ho a de e música. Quina p opie a é aques que no inguin al es? Una possible espos a és que de o s 7, és el que é els in e als més uni o mes. Apa en men , és més ag adable pe a l’oïda humana sen i escales equilib ades o egula s. És a di , escales en les quals els in e als en e les successi es no es de l’escala són el més simila s possible. Aques e es à elaciona amb l’ús de les escales quan es o men melodies. Habi ualmen es an se i seqüències de no es consecu i es de l’escala, ja siguin ascenden s o bé descenden s. Quan això passa, és p ou desconce an que hi hagin sal s mol g ans en e no es. No malmen és impossible ob eni una escala pe ec amen equilib ada, ja que nno és neces- sà iamen un di iso de L, i els in e als són en e s pe de inició. Pel cas L= 12 in= 7, l’escala ideal hau ia de eni o s el in e als de mida L/n = 12/7, que no és un en e . Si que podem, pe ò, calcula la p oximi a de cada conjun d’in e als amb aques conjun ideal. De inició 18. La egula i a d’un conjun d’in e als és la dis ància en e aques conjun i el conjun d’in e als ideal (L/n, L/n, ..., L/n). Pe mesu a aques a dis ància a em se i l’e o quad à ic mig, de ini com la mi ja dels quad a s de les di e ències. Així, la egula i a d’un conjun d’in e als (I1, I2, ..., In)és el alo 1 nX 1≤i≤nIi−L n2 Pe con eniència, a em que aques alo sigui un en e mul iplican -lo pe n2. Alesho es el alo de egula i a eés e=1 nX 1≤i≤n (n Ii−L)2=nX 1≤i≤n Ii2−L2 On s’ha e se i que PIi=L. En aques a ó mula es eu cla amen que el alo de eno depèn de l’o d e de les Ii. Això é sen i , ja que els conjun s d’in e als no són conjun s o dena s. El alo de la egula i a eens p opo ciona una mane a d’o dena els conjun s d’in e als segons el seu g au de a esa. És simila al alo d’adjacències adels aco ds. Com més poc egula sigui un conjun d’in e als, més es anyes musicalmen pa lan se an les escales cons uïdes amb aques in e al. Els alo s de edels 7 conjun s d’in e als pe a n= 7 iL= 12 es mos en a la aula 4.4, o dena s en unció de e. Aques ma eix o d e és ambé, de e , la eqüència amb que es an se i en la música aques s conjun d’in e als. Veiem que el conjun dia ònic és el p ime , segui pels ia ònics, i així successi amen . L’escala meno , que és la més emp ada de les escales ia òniques, es cons ueix a pa i del conjun ia ònic més egula (3 2 2 2 1 1 1). L’e o mi jà pe in e al és l’a el de l’e o quad à ic mi jà. Dona que hem mul iplica pe n2al de ini el alo de e, enim que l’e o mi jà al pe/n2. Pe al conjun d’in e als dia ònic aques alo és p10/49 ≈0,45. És a di que, en mi jana, cada in e al d’una escala dia ònica es oba ap oximadamen a mig semi ò de dis ància de l’in e al ideal de 12/7. 32 Conjun d’in e als e 2222211 10 3222111 24 3321111 38 4221111 52 4311111 66 5211111 94 6 1 1 1 1 1 1 150 Taula 4.4: Els se conjun s d’in e als pe n= 7, o dena s pel seu g au de egula i a 4.4 Ideali a d’una escala La egula i a ens apo a una mane a de quan i ica el g au de a esa de les classes d’escales. Aques alo , pe ò, és el ma eix pe a o es les escales a dins d’una ma eixa classe, que es poden gene a a pa i dels conjun s d’in e als. No obs an , en e els 66 ipus d’escales di e en s pel cas n= 7, ambé hi ha alguns més popula s que d’al es. El ma eix succeeix pe a les di e en s escales gene ades a pa i de les 7 o acions d’aques s ipus d’escales. Pe an , olem oba una mesu a més o a que ens pe me i o dena o es les 462 escales pe o d e de a esa o peculia i a . El p oblema amb la eés que mesu a la egula i a dels in e als sense o dena . Una al a mane a de mesu a la uni o mi a d’una escala po se calcula la dis ància en e cada no a de l’escala i la no a ideal. En una escala ideal o s els in e als enen mida L/n, i pe an cada no a ideal es oba a un múl iple de L/n de la p ime a no a. De inició 19. La ideali a d’una escala és la dis ància de cada no a de l’escala a la no a ideal co esponen . De inim l’e o quad à ic mig acumula iu d’una escala amb in e als (I1, I2, ..., In) com 1 nX 1≤i<n  X 0≤j<i Ij−i L n  2 Com abans, mul ipliquem pe n2pe al que aques nomb e sigui un en e . Alesho es el alo d’ideali a Ed’una escala és E=1 nX 1≤i<n  nX 0≤j<i Ij−i L  2 És mol con enien e una in e p e ació geomè ica de E. Podem conside a un sis ema de coo denades on cada uni a de l’eix de les x ep esen i les no es de l’escala de nno es, i cada uni a de l’eix de les y ep esen i cadascuna de les no es de l’escala d’igual empe amen de mida L. En aques es coo denades, l’escala ideal amb in e als de mida L/n és una ec a amb penden L/n. Així, una escala amb in e als en e s és una ap oximació disc e a a aques a ec a. El alo de Eés una mesu a de l’e o en e els pun s d’aques a ap oximació i l’escala ideal ep esen ada pe la ec a amb penden L/n. Alesho es, dona s alo s de Lin, ens in e essa sabe quines escales enen el mínim alo de E. 33 Pe al de minimi za l’e o quad à ic mig acumula iu, podem minimi za l’e o de cada e me de mane a local. És a di , l’e o en e cada no a i la ec a L/n. Pe al de e això, simplemen hem d’escolli l’en e més p òxim a cada no a ideal iL/n pe 0≤i<n. Obse em que l’escala esul an po no se única, dona que algun alo decimal de iL/n po ale 1 2. En aques cas l’e o esul an se à el ma eix an si a odonim a la pa en e a in e io com si ho em a la supe io . Les millo s escales Apliquem a a aques p ocedimen pel cas L= 12 in= 7. Les posicions de les no es de l’escala ideal són els múl iples de L/n = 12/7. {0,1 + 5 7,3 + 3 7,5 + 1 7,6 + 6 7,8 + 4 7,10 + 2 7} A odonin als en e s més p ope s i in e can ian les no es de l’escala a la no ació d’in e als en e no es ens queda {0,2,3,5,7,9,10}= (2 1 2 2 2 1 2) Aques a és l’anomenada escala Dò ica. El seu alo d’ideali a és E=1 70+22+ 32+ 12+ 12+ 32+ 22= 28/7=4 Alesho es el seu e o mi jà pe no a és pE/n2=p4/49 ≈0,29. És a di que, en mi jana, cada no a de l’escala dò ica es oba a 0,29 semi ons de la no a co esponen en l’escala ideal. També és in e essan obse a que el alo d’ideali a Ed’una escala no can ia si p enem els in e als en l’o d e in e s. Siguin Niles no es d’una escala, les no es de l’escala en l’o d e in e s són Mi=L−Nn−i. Alesho es E(M) = 1 nX i (n Mi−i L)2=1 nX ih−n Nn−1−(n−i)Li2=E(N) Pe an , eiem que les escales amb un alo de Edona semp e an en pa elles. Excep e aquelles escales que enen conjun s d’in e als palínd oms. L’escala que hem is que é el mínim alo de Eés palínd oma, i pe an , és única. Té sen i p egun a -nos quines són les següen s escales amb els alo s més pe i s de E. Aques- a qües ió s’il·lus a g à icamen a la igu a 4.1, que mos a les 10 “millo s” escales en unció del seu alo d’ideali a E. És un bon exemple de la in e p e ació geomè ica de E. Els ce cles neg es co esponen a la millo ap oximació, que hem is que és l’escala Dò ica. Els blancs ep esen en les següen s millo s opcions pe a les qua e no es que es oben més allunyades de la ec a. Escollin només una, o bé dues d’aques es no es al e na i es ob enim les següen s escales amb alo s més pe i s de E. No em la sime ia en aques diag ama, donada pel e que s’ha exposa an e io men que el alo de Eés el ma eix pe a l’escala in e sa. Les escales Dò ica i B6 són palínd omes, pe ò les al es 8 escales són, en eali a , 4 pa elles d’escales simè iques. És in e essan eu e que l’escala ia ònica més ideal és l’escala meno o dinà ia (i la se a in e sa). De mane a sa is ac ò ia, eiem que les dues escales més e es se i a la música oc- ciden al, la majo i la meno , es oben en e aques es 10 escales d’en e o es les 462 escales 34 Dò ica (4) F ígia (8) B6 (6) Meno (8) Na u al meno (5) Melòdica meno (7) (1312212) (8) Majo (8) B3 (7) Mixolidia (5) Figu a 4.1: Les 10 escales més ideals. Els alo s de Ees mos en en e pa èn esi pe a cada escala. Les escales en cu si a enen dues no es di e en s espec e l’escala Dò ica, men e que les al es, només una. di e en s. Pe an , sembla que aques és un bon mè ode pe classi ica les escales segons la se a a esa. Això no ol di , pe ò, que mol es al es escales que es iguin lluny d’aques s pa àme es no siguin àlides pe al de e música i de c ea bones composicions. 4.5 Mesu es de dis ància Així com hem e amb la mesu a d’ideali a E, el conjun de o es les escales Sc(L, n) ambé es po conceb e de mane a geomè ica pe al d’ex eu e aplicacions musicals. Dona que la p ime a no a d’una escala és semp e {0}, cada escala és un conjun de la o ma {0, a1, a2, ..., an−1}. Això es po in e p e a com un pun en un espai de dimensió n−1. De e , aques espai és disc e , ja que o es les coo denades del pun {a1, a2, ..., an−1}són en e es. El conjun de o es les escales possibles Sc(L, n)consis eix, doncs, en o s els conjun s de pun s de la o ma {0, a1, a2, ..., an−1} als que 0< a1< a2< ... < an−1< L Geomè icamen , això co espon a o s els pun s disc e s con ingu s en la in e secció dels semiplans {0< a1},{a1< a2}, ... , {an−1< L} Això es mos a a la igu a 4.2 pe al cas n= 3, que co espon a un espai de dues dimensions. El nomb e de pun s disc e s a dins del iangle, que é dos cos a s de mida L−2, és igual a 35 o al de ile es de ons conside an aques a noció d’equi alència és una do zena pa del nomb e o al, és a di 11! = 39.916.800. Si olem e la si uació enca a més in e essan , podem conside a que dues ile es de ons són la ma eixa si es po ob eni una d’elles a pa i de l’al a en se i o es les ope acions Tn,Ii R. A a l’incon enien és que algunes de les ile es es an ixades pe al es elemen s del g up, i el p oblema de comp a ge degene a en mol s casos pa icula s. Pe soluciona això, és con enien e una o mulació més abs ac a. Sabem que enim un g up ini Gac uan com un g up de pe mu acions sob e un conjun ini X. Dues ile es de ons es oba an a la ma eixa ò bi a quan és pugui e una ans o mació d’una en l’al a mi jançan les ope acions de G. Pe an , el que olem sabe és el nomb e d’ò bi es de Gen X. El lema següen ens pe me comp a el nomb e d’ò bi es, suposan que coneixem el nomb e de pun s ixos de cada elemen g∈G. Ens diu que el nomb e d’ò bi es és la mi ja del nomb e de pun s ixos. Lema 1. Bu nside. Sigui Gun g up ini ac uan sob e pe mu acions d’un conjun ini X. Pe un elemen g∈G, di em n(g)el nomb e de pun s ixos de gen X. Alesho es, el nomb e d’ò bi es de Gen Xés igual a 1 |G|X g∈G n(g)(5.2) Demos ació. Comp em de dues mane es di e en s el nomb e de pa elles (g, x) o mades pe un elemen g∈Gi un pun x∈X als que g(x) = x. Si comp em p ime els elemen s del g up G, alesho es pe a cada elemen del g up hau em de comp a el nomb e de pun s ixos, i ind em Pg∈Gn(g). D’al a banda, si p ime comp em els elemen s de X, pe a cada xpodem aplica l’equació (5.1). Alesho es eiem que el nomb e d’elemen s g∈Gque es abili zen el g up és igual a|G|di idi en e la mida de la ò bi a a la que pe any x. Pe an , cada ò bi a con ibueix en |G|al ecomp e. To nem doncs al p oblema de comp a ile es de ons amb equi alència so a les ope acions T,IiR. Com ja hem is , olem comp a el nomb e d’ò bi es del g up G=D24 ×Z/2gene a pe T,IiRen el conjun Xde o es les ile es de ons. Pe al de pode aplica el lema, hem de oba el nomb e de ile es de ons ixades pe cada ope ació del g up. La més àcil és l’ope ació iden i a , dona que ixa o es les ile es. Les ope acions Tnamb 1≤n≤11 no deixen in a ian cap ile a de ons, així que aques es ambé són àcils. Els pun s ixos de l’ope ació Rsón aquelles ile es de ons en què les classes de les sis úl imes no es siguin les classes en o d e in e s de les sis p ime es, pe ò alesho es hi ha epe icions, i pe an no comp en com a ile es de ons. Pe a l’ope ació T6R, els pun s ixos són les ile es en que les classes de les sis úl imes no es són les sis p ime es en o d e in e s, pe ò a a ansposades 6semi ons. Pe an , les sis p ime es s’han d’escolli de mane a que només acin se i una de cada pa ella de no es elacionades pe aques a dis ància de mi ja oc a a. El nomb e de mane es de e això és 12 ·10 ·8·6·4·2 = 46.080 Pe a al es alo s de ndi e en s de 6, TnRno deixa ixa cap ile a de ons. Obse em que epe i aques a ope ació dos cops esul a en T2n, que ja hem is que no é pun s ixos. 42 Conside em a a les in e sions. L’ope ació I ixa només aquelles ile es de ons compos es amb les classes de ons en e 0 i 6. Pe ò una al a egada, dona que no es po epe i cap classe de ons, aques a ope ació no deixa in a ian cap ile a àlida. El ma eix passa pe a les in e sions en la o ma genè ica TnI. Finalmen , conside em l’ope ació del ipus TnIR. De nou, les classes que de e minen si la ile a de ons és un pun ix són les sis p ime es. Pe an , enim una ile a de la o ma { 0, 1, 2, 3, 4, 5, n − 5, n − 4, n − 3, n − 2, n − 1, n − 0} Si nés pa ella, hi ha alguna classe ixada pe TnI, el que ens o ça a epe i de o, i pe an no hi ha ile es in a ian s. Si nés sena , en can i, passa el ma eix que amb l’ope ació T6R, i el nomb e de ile es de ons que omanen ixes és 46.080. A la aula 5.1 es mos a un ecull de o a aques a casuís ica de pun s ixos. Ope ació Elem. di e en s en G Pun s ixos iden i a 1 479.001.600 Tn(1 ≤n≤11) 11 0 T6R1 46.080 TnR(n6= 6) 11 0 TnI12 0 TnIR (n pa ell)6 0 Tn(n sena )6 46.080 Taula 5.1: Fo ma dels di e en s elemen s de Gi els seus pun s ixos sob e el conjun X. Pe an , a a ja podem e se i el lema de Bu nside 1. La suma dels pun s ixos de gen X pe a o s els g∈Gés 479.001.600 ·1 + 46.080 ·(1 + 6) = 479.324.160 A a, di idin en e el ca dinal de |G|= 48, ob enim que el nomb e o al d’ò bi es de Gsob e el conjun de o es les ile es de ons Xés 9.985.920. Amb o això, es dona pe demos a el següen eo ema: Teo ema 7. Da id Reine . Si dues ile es de ons es conside en la ma eixa quan una es po ob eni a pa i de l’al e en se i les ope acions T,I, i R; alesho es exis eixen 9.985.920 ile es de ons di e en s. 43 Conclusions Al lla g del eball hem e un es udi exhaus iu de les escales, els aco ds i les ile es de ons. Al ac a -se de concep es que pe anyen a una al a disciplina, hem necessi a dona -ne una desc ipció ma emà ica, pe al de pode ac a -los amb les eines adequades. S’han de ini di e en s p opie a s que poden sa is e an els aco ds com les escales. Pe a cadascuna d’aques es, hem pogu e una classi icació i alo a les se es implicacions musicals. En el cas del aco ds, pe exemple, hem is que el nomb e d’adjacències en e no es es à es e amen elaciona amb el seu ipus de so. Això ens ha p opo ciona una idea de pe què alguns es an se i més que d’al es. També els hem pogu classi ica segons si són àcils de oca amb un ecla o no, o en unció de si es epe eixen de mane a pe iòdica al lla g del mànec d’una gui a a. D’al a banda, hem is com les escales es poden gene a a pa i dels di e en s in e als que o men els aco ds. Així, hem deduï de mane a di ec a mol es de les p opie a s es able es pe als aco ds. També s’han es udia els concep es de egula i a i ideali a , que ens han dona mè odes pe quan i ica les ca ac e ís iques musicals d’una escala. Les ile es de ons suposen un en oc di e en , ja que en comp es d’anali za objec es p opis de la música, s’in en a posa aques a a disposició de les ma emà iques. Un bon exe cici po se e se i les di e en s classes de ons que hem oba pe compond e melodies i explo a les qües ions que puguin so gi , com a a quines són les que gene en sons més ag adables, i pe què. S’ha comp o a que, en eali a , només es a se i una pe i a pa de o a la música exis en . Així, s’han e se i e mes subjec ius com “ a esa” d’un aco d, “millo ” escala o “ideali a ”, semp e en unció de la eqüència amb què s’u ili zen. No obs an , cap d’aques es classi icacions p e én se una es icció, sinó més a ia al con a i, s’han d’en end e com un en all d’eines que poden ajuda en el p océs c ea iu. To s els esul a s explíci s s’han dona pel cas més es ès en la música occiden al ac ual, l’escala de L= 12 ons equiespaia s. Com a eina pos e io a la eali zació d’aques eball, es po aplica aques ma eix anàlisi pe a di e sos alo s de L, amb l’objec iu de oba al es objec es musicalmen in e essan s. En qualse ol cas, amb eines ma emà iques o sense elles, la clau de o a ob a musical segueix es an en mans de l’a is a. És aquí on au, en úl ima ins ància, el alo que les ma emà iques apo en a l’es udi de la música: la possibili a d’anali za l’es uc u a d’una o ma a ís ica, p opo cionan una no a pe spec i a d’allò que ja c èiem conèixe . 44 Bibliog a ia [1] Michael Kei h. F om polycho ds o Pólya. Vinculum P ess, P ince on, 1991. [2] Da id J. Benson. Music: A ma hema ical o e ing. Camb idge Uni e si y P ess, Abe deen, 2008. [3] Xa ie G àcia and Tomás Sanz-Pe ela, “The wa e equa ion o s i s ings and piano uning”, Repo s@SCM 3(2017) 1–16. DOI: 10.2436/20.2002.02.11 [4] William A. Se ha es. Tuning, Timb e, Spec um, Scale. Sp inge , Madison, 1999. [5] Ja ie A bonés, Pablo Mil ud. La a monía es numé ica. RBA, Mad id, 2010. [6] Da id J. Hun e and Paul T. on Hippel, “How Ra e Is Symme y in Musical 12-Tone Rows”, The Ame ican Ma hema ical Mon hly Vol. 110, No. 2 (Feb., 2003), pp. 124-132 [7] Ma ias on Bell. “Pólya’s enume a ion heo em and i s applica ions”, Uni e si y o Helsinki, 2015. 45