Anàlisi matemàtica I. Problemes

EST AMl p R o B L E M E s 000 000 000 DIPLOMATURA D'ESTADÍSTICA ANALISI MATEMATICA I Ma a Pé ez:-Casany CURS 93-94 UPQ FACULTAT DE MATEMÁTIQUES I ESTADÍSTICA ÜNIVEA$ITAT POLITECNICA DE CATALUNYA Biblio eca 1111 m l�l lllll l ll llll lll lllll llll l li 1400184795 ���ª CENTOE 1'1,81.ICACIO"S OASAST (),_,.i147-ETSEIB 00026- ANALISI MATEMATICA 1 PROBLEMES Ma a Pé ez- asnny • • lb Facul a de Ma 1 a-¡111!!1 1 Es adís ica -, IIO,(H.:" Anallsl Ma ema lca 1 P ime a imp essi6 oc ub e 1993 Núm. edició cpda 807 Dipósi legal: B: 32.074-93 Les copies s'han !e a una maquina Rank Xe ox 5090 n9 1103781430 Imp ime :cpda-e selb Diagonal 647 08028 Ba celona P in ed Spain Nomb es Complexos 1.-Exp esseu els nomb es complexos següen s de la o ma a+ bi: ? 3· a) ( 1 +3i )3 ; b); � 4> ½P + il el)-=--- ] + j-8 2.-Si z, z1, z2 ep esen en nomb es complexos, comp o eu que sa is an les p opie a s se güen s: z-z e)-.-= 2b. d) z + z = 2a; 3.-Calculeu el conjuga d'uu nomb e complex exp essa en o ma pola . 4.-E ec ueu les ope acions indicades: 2 - 3¡ a) (2 + 31)(1 +·i) e) (3i -3)1; e)(l-i)l; 3+ i 4(2 -i)' 1 5.-Dcsc i iu geome icu ncu el co11jn11 deb 11om1J es complexos z que sa is an cadascuna <le les següe11 s co11dicious: a) 1.::1 = 2; e) lzl :S l; <l) z +z= l; e)z-z=i; J z + z = lzl2. 6.-Dona un nomb e complex w di e en de ze o, de e miueu pe a quins complexos z . Z + II! d1 e en s de w el quocieu és uu nomb e eal, de e mineu ambé pe a quins és z-' il imaginan pu . 7 .-Si z1 i zi són uumh es complexos, p o eu: b) si z1 és no uul, lz1 + z2 I = lz11 + lz21 su � és eal i no nega iu. 8.-Demos eu el eo ema de De Moi·u e, que <liu que si a és un en e lla o s (cos B + i sinB)° = cos(aB) + i sin(«B). 9.-Calculeu les 7 a els se enes de la uni a . 10.-a) Una a el cúbica d'un nomb e és 3i. Calculeu aques nomb e i les sc es al es a els cúbiques. b) Saben que 3i és una a e! n-essima d'un nomb e complex. Calculeu aques nomb e les se es al es n - 1 a els. 11.-Resoleu a C les equacious següen s: a) x2 +ix + 1 = O; e) x3 -x2 -J.' - 2 = O; d) x3 +(1 + i)x2 + (i - 2)x - 2i = O. 12.-Calculeu els loga i mes deis nomb es complexos següen s: 2 a) 1 + i; e) -5; 13.-Sigui 21 = 3 -2i a) logz1; z2 =-ii. Calculeu: b) z;'; 3 b) -i; d) -½ + 5i. Successions Nume iques 14.-Sigui Xn = -5n + 10 i y,, = n2 dues successions de nomb es eals. Calculeu el e me gene al i els cinc p ime s e mes de: (x,.). (y,.); -2(xn) - 5(y,.); Jus i iqueu pe que és possible di idi pe la successió y,.. 16.-Demos eu que di que la successió (xn )nEN é pe lími el alo x és equi alen adi que pe a o m E N exis eix un n0 al que si n � no lla o s jx,. -xi $ �. 16.-Demos eu que si x, y E IR i lx -yj $ ¼ pe a o n E N, lla o s x = y. Demos eu a pa i de l'a i mació an e io que si una successió é lími aques és únic. 17.-P o eu que lim(xn) = O si i només si lim(lxnl) = O. Doneu un exemple pe demos a que la con e gencia de (lxnDnEN no implica necessa iamen la de (xn)nEN· 18.-Sigui (xn)nEN una successió de eals al que (x�)nEN és cou e gen a O. Con e gi a. ambé a ze o la successió inicial? 1 19.-Donacla la successió que é pe e me gene al Xn = -3 1 demos eu que con e geix n+ a ze o. Demos eu que ambé con e geix a ze o la successió que é pe e me gene al Xn =.!. - -1-. T obeu els n0 de la <lc inició de lími co esponen s a = 5, =1 i n n + 1 E= 0.03 pe a aques es dues successions. 4 2O.-Demos eu, u íli zan la de inicíó de límí : a) lim � = O, on e : O i p > O són cons an s índependen s de n; n-oo nP b) Si lxl < l lla o s lím x" = O. n-oo 21.-Siguín (x,.)nEN i (Yn)nEN dues successions de nomb es eals. a) Suposan que (xn )nEN + (Yn )nEN és con e gen , demos eu que no necessa. iamen han de se con e gen s la (xn)nEN í la (y,.)nEN pe sepa a . b)El ma eix d'abans en el casque (xn)nEN • (yn)nEN sigui con e gen . 22.-Siguin (xn) i (Yn) dues successions con e gen s de nomb es eals als que Xn � Yn pe a o n E N. Demos eu que lim Xn � lim Yn. n-CX) n-oo Demos eu que el lími d'una su cessió eal con e gen de e mes posi ius ambé és un nomb e posi iu. 23.-Demos eu que si enim una successió de nomb es eals als que les pa cials pa ell i sena con e geixen al ma eix alo , alesho es la successió ambé con e geix cap a aques alo . 24.-Doneu un exemple de successió di e gen i un exemple de successíó con e gen als que lim (Xn+1 ) = l. n-oo Xn 25.-El ma eix que en l'exe cicí an e io , pe o a a amb lim (xn)¼. n-oo 26.-Calculeu el lími de les successions següen s: 6n3 + 4n + 1 a) 211 ., e) Jn/ñ -,/ñ; 5 112 -611 - 2 b}---¡ 311-911 /n+l d) ( JñTI - .jñ) V --;¡-; e) 2" + 3" 1 1 211 -311 ' ) -,--, --1--1; ;,1' .. ¡�;; -;;:; -; g) l11(c!11 + l-11) n" h)-· , , 11 n. � i) a" j) (n2 +n + 1) n+ --· lnn!' n2 -n + 1 k) smn l)(1 + /ñ+T - Jñ) lñ_ --¡ n 27 D l . . . l 2n - 7 .- emos eu que a successm que e pe e me gene a Xn = --- 3n + 2 a)és monó ona c eixen , b)es a i ada supe io men , e)es a i o.da in e io men , d)es a i ada, e) é lími ini . 28.-Si Xn és una successió mono ona c eixen ( esp. dec eixen ), lla o s ( Sn) , on n nEN S,. = x1 + x2 + · • · + x .. , ambé és una successió monó ona c eixen ( esp. dec eixen ). 29.-Sigui ( ª" )neN la successió de inida pe Es udieu si són ce es les a i macions següen s: a)(an)neN és es ic amen c eixen ; b)(an)neN és c eixen ; e) ( ª" )neN és dec eixen ; d)(an)neN no c eix ni dec eix. 6 Lími s i con inuº i a de uncions 52.-Calculeu els lími s següen s: . x·1 + x3 + x a) hm 2 2 ; :1:-0 X - X ) l. J3: +I - 'x+3 C l i :1:-1 J5x + 3 -J3.. + 5' ) l• (3x+2)2"' e l i -- :1:-00 3x - 1 ' (x2 + 2x -1)"+1 g) lim ---- ; z-(-2) X+ 3 ") 1. sin2 x + sin x -2 1 l i -------· .,_½ si112 x -4 sin x + 3' k)lim x2 -(a+l)x+a. : :-a x3 - a3 ' ) l. ( 1 -cos x) a c an x m l i . 2 j x-0 XSID X xm -1 o)lim ---¡ z-1 X -1 q)lim(2x2 -3x + l) an(n); z-½ . az+bz-l ( .l. .l. )" s) hm 2 -oo b)lim J +x-J[-=x; -O X )lim(co x -co 2x)¡ : :-o h)lim an(ax). : :-o bx ' ') J' X J l i ,==�=:::;;i -oo Jx + jx + i 1 l 1)limx•-2x• +1 . -1 (x -1)2 x" -y" n)lim • ; -� X - y ) l. J(l + a: )(l + bx) -1 l i j : :-0 X ) l. !neos x l i --2-. : :-0 X 53.-Es udieu la con inui' a de la unció següen : (x) = { 5' -5, 13 si x S l¡ si x > l. 54.-Demos eu la con imü a de les uncions següen s a pa i de la de inició: a) /(x) = 3x2 + 5x; b) (x) = lxl + 10. 56.-Demos eu que o a unció pe odica i con ínua és i ada. 56.-Doneu un exemple de unció de inida a l'in e al (O, lj que no es igui i ada. 57.-Sigui : R.---+ R. una unció con inua al que /(x) =O pe a o x E Q. Demos eu que / ha de se la undó cons an igual a ze o. 58.-Demos eu que la unció (x) = { 1, si x E Q¡ O, si x E R- Q¡ és discon ínua en o nomb e eal. 59.-Demos eu que o a unció cons an sob e els acionals, si oleu que sigui con inua en els eals, ha de se igual a la ma eixa cons an sob e els i acionals. 60.-Sigui : R --+ R de inida pe J(x) = { x, 1-x, si x E R-Q; si x E Q. demos eu que únicamen és con inua en el pun x = ½. 14 61.-Siguin , g i h es uncions eals de a iable eal de inides de la o ma següen : J(x) = g(x) = h(x) = O, J(x) = 1, g(x) = x, 1 h(x) = -, si X E JR.-IQ; si x E IQ¡ • 111 ,n, • ' • d 'bl s1 x = - E 'l I es 1 e uc 1 e; 71 h(O) = l. Demos eu que J no és con ínua en cap pun de !O, 1], que g és únicamen con ínua en ze o i que h és con ínua únicamen en els pun s i acionals de !O, 1]. 62.-Es udieu i locali zeu les discon inui' a s de les uncions següen s: { smx . (x) = -X-, SI X :. 0; O, al amen ; { e½ si x :. O; g(x) = ' O, al amen ; h( x) = { e!-+ sin ¼, si x :. O; O, al amen ; m(x) -{ ---.1., 1 -ez o, si x :. O; al amen . 63.-De inim h(x) =sin¼ pe a o x-:/- O. Demos eu que no impo a com la de inim en ze o pe que semp e se a discon ínua. 64.-Fen se i que I sin xi � lxl pe a o x E lR, demos eu que la unció y = sin x és con ínua en ze o. Tenin en comp e a a que . • . . 1( ) 1( ) sm x -sm u = sm 2 x -u cos 2 x -u , demos eu que és con ínua en o R. 15 65.-Di em que una u11ció és adi i a ssi cumpleix (x +y)= (x) + (y) pe a qualsse ol x, y E IR. Demos eu que uua unció adi i a que és con ínua en ze o ho és en o s els eals. 66.-Sigui g una unció eal de a iable eal que compleix g(x +y)= g(x)g(y) pee a o s x, y E R. Demos eu que si és cou ínua en el ze o ho se a ambé en o s els al es pun s. Demos eu ambé que si exis eix un nomb e eal a al que g(a) = O lla o s g(x) =Ope a o x E IR. 67 .-T acen les g a iques i obeu cls pun s <le discon inui' a de les uncions: (x) = [x]¡ (x) = x -[x]¡ (x) = [x] -[-xJ; (x) = [2sin xJ; J(x) = sin ½[xJ; on [x] indica la pa en e a del nomb e x, és adi , el nomb e en e immedia amen més pe i o igual que x. 68.-Sigui / una unció con ínua de [O, 2 ] a IR al que /(O) = (2 ). Demos eu que exis eix un nomb e e E [0,21 ] al que (c) = (c + 1 ) (indicació: conside en la unció g(x) = J(x) - (x -1 )). 69.-Siguin / i g dues uncions con ínues en [a, bJ als que im( ) C im(g) = [O, lj. De mos eu que exis eix e E [a, b] al que (c) = g(c). 70.-Sigui (x) = ½(x+�) una unció de inida en [l, +oo ). Demos eu que és una con acció en el seu domini de de inició i que é pe pun ix x = ./2. 71.-Demos eu que si una unció és con ínua ambé ho ha de se el seu alo absolu , i doneu un exemple que iHus i que no és ce el ecí poc. 16 72.-Doneu un exemple de dues uncions discon ínues en el pun x = -3 als que la se a suma sigui con inua a o a eu. 73,-Conside eu les uncions següen s: J(x) = { x, -x + 1, si x > O¡ si x $ O; g(x) = { 1, si x > l; -10, si X$ l. Es udieu la con inui' a de g o en el pun O. Con a.diu aixo el esul a eo ic sob e con inu'i a i composició? 74.-Sigui (x) una unció al que 1/(x)I :S lxl pe a o x eal. Demos eu que (x) és con ínua en ze o. 75.-T obeu els alo s A, B i C a ique les uncions següen s siguin con ínues: /(x) = { x2 -4 X -2' A, si X 'F 2¡ si X= 2; g(x) ={ (l+x)"-1 �----, si x :: :. O; X B, si x = O; { x5 + 3x2 + x h(x) =x2 + 1 'si x :: :. O; SÍ X= 0. e, 76.-Digueu pe a quins alo s de a és con ínua la unció {X+ 1, (x) =2 2 3-a X, SÍ X $ l¡ si X > 1. 77 .-Busqueu i classi iqueu els pun s de discon inui a de les uncions següen s: 17 :i:-3 (x)= : 2-. -G' h(x) -{ 1, 2, .i-"2 -3: + 2 g(x) = i·3 +:1:z:2 +2: ; si x < l; si J' = l¡ 2x, si X> 1. 78.-Demos eu que la unció (x) = x3 + x -1 é una a el eal en l'in e al (-1, 1). 79.-Sigui : [O, 1] --+ lR una unció con ínua al que (O) = (l ). Demos eu que exis eix un x E [O, 1] al que /(x) = (x + ½). 80.-Es udieu la con in Ü a de les uncions següen s en el pun O: .1. e a) (x) = -- .1.; 5+e b) (x)=sin(¼)+x. 81.-T obeu quan ha de ale la unció següen en el pun 2 pe al que sigui con ínua en o R: 'l (x)=4x -7: -2 3x -G si X ' ' 2. 82.-Demos eu que si : [O, l] --+ [O, 1] és una unció con ínua, lla o s exis eix un x E lR a.1 que /(x) = x (aques pun s'anomena pun ix). 83.-Conside eu la unció (x) = x3 -3x2 + 3x - 1 de inida a l'in e al [O, 3]. Demos eu que hi ha algún elemen d'aques in e al que é pe ima ge el ze o. 84.-Demos eu que l'equació sin x = x - 1 é una solució eal. 86.-Demos eu que o nomb e eal a é una a el quad ada (indicació: conside eu la unció g(x) = x2 -a). 18 86.-Conside eu le. unció /{x) = x3 -2x2 + 3 de inida a l'in e al [-1, 2]. Demos eu que exis eix algun elemen que a a pa a al 2. 87.-Conside eu la unció /(x) = -1-•. 1 - , a) Calculeu-ne el domini i la imaLge. b) Si g(x) = lnx, obeu el dominí de go . e) És possible aplica el eo ema de Bolzano a la unció y= (x) en l'in e al [-1, l)?. d) Demos eu que l'equació (x)- ½=O é solució, i obeu un in e al de longi ud meno oigual a ½ que la con ingui. 19 De i abili a 88.-Sigui { x2 si x E Q¡ (x) = ' 0, si X� IQ. Demos eu que és de i able en }'o igen. 89.-Suposem que /(a) = g(a) i que la de i ada pe }'esque a de en a és igual a la de i ada pe la d e a de g en a. De inim h(x) = { (x), g(x), Demos eu que h és de i able en a. si x � a; si x 2: a. 90.-a) Siguin o> 1 i J al que 1/(x)I � lxlº, Demos eu que/ és de i able en ze o. b) Sigui O< /J < l. Demos eu que si sa is a 1/(x)I 2: lxlP i (O) = O lla o s no és de i able en ze o. 91.-Sigui J(x) la undó de inida pe (x) =' { x2 ax+ b, si X� 2¡ si X> 2. De e mineu els alo s de les cons an s a i b pe al que la undó sigui de i able en el pun X= 2. 92.-Demos eu que si y= (x) és de i able en el pun x = a lla o s ambé ho és la unció y= l (x)I, semp e que J(a) i-O. Doneu un con aexemple pe al cas de J(a) = O. 20 93.-Suposeu que ( x) = x • g( x) pe alguna unció g con ínua en O. Demos eu que és de i able en ze o i obeu '(O) en e mes de g. 94.-T obeu ' en e mes de g' en els casos següen s: a) (x) = g(x + g(a)); e) (x) = g(x + g(x)); e) (x) = g(a) • (x -a). b) (x) = g(x • g(a)); d) (x) = g(x) • (x -a); 95.-Calculeu les de i a<les de les uncions següen s: x2 -1 a) y =In--· x2 +l' e) y= a c an .Jx +l; lnz e)y=x"' ; b) y= sin(lnx)¡ d) y= a csin *¡ )Y= e•in((2 )i)_ 96.-Busqueu una unció polinomica de g au an pe i com sigui possible al que compleixi que (x¡) = a1, (x2) = a2, '(xi) = b1, '(x2) = b2; on a1, a2, b1, b2, X1, i x2 són sis nomb es eals qualse ol i x 1 -/- J:2. 97.-Demos eu que sigui quin sigui el alo de m, la unció polinomica m(x) = x3-3x+m mai no po eni dues a els en [O, l]. 98.-Suposeu que és con ínua i de i able en [O, lJ, que (x) es a en [O, lj pe a o x, i que ' ( x) : . 1 pe a o x de [O, 1]. Demos eu que exis eix exac amen un núme o x en [O, l] al que (x) = x. 99.-Demos eu que si i g són con ínues en [a,b] i de i ables en (a,b) i g'(x) : . Ope a 21 o x de (a, b), lla o s exis eix algun x de (a, b) ami, J'(x) J(x) - J(a) 9'(x) = 9(b) -9(x) • 1OO.-Suposeu que és de i able en la, b]. Demos eu que si el mínim de sob e la, b] es a en a lla o s J'(a) 2:: O i que si es a en b lla o s J'(b) $ O. 101.-Siguin 1, h, 91 i 92 qua e uncions de i ables a l'in e al (a, b). Mi ja n;an el de e minan següen , de inim en (a, b) una no a unció F: i(x) h(x) F(x) = P o eu que F'(x) exis eix pe a o x E (a, b) i que J)(x) n(x) /i(x) h(x) F'(x) = + 102.-Sigui una unció de i able de IR en IR amb in lJ' ( x) 1 > O. Demos eu que si ( ª" )neN és una successió al que ( (an))neN és con e gen , lla o s ambé ho és (an)nEN· 103.-Sigui una unció de i able de IR en IR al que lim x '(x) = O. P o eu que -oo lim ( (3x + 2) - (x)) = O. Z--+00 104,-Demos eu que o a unció J de inida en un ce in e al la, b] i de i able en (a, b) que compleixi pe a una ce a cons an m > 1 és una unció cons an . 22 P e iamen locali zeu les a els aplican el eo ema de Bolzano i a ineu-les a a és del me ode de la bisecció. 134.-Demos eu que d'en ada no podem assegu a la con e gencia del p océs i e a iu Xn+I = ..!:_, n í de soluciona l1cquació: xm = a. To segui eieu que sí es a assegu ada 3,m 11 la con e genci L si p eucm la successió ecu en següenL: 1 a Xn+I = -l(m - l)xn + ----;;.::-¡-]. n .1; 11 Calculeu-ne ambé l'o d e de con e gencia. 135,-Demos eu que x,.+1 = Xn(2 -ax,.) de ineix un p océs i e a iu d'o d e de con e gencia igual a 2 i se eix pe a calcula a-1. x3 + 3ax 136.-Demos eu que la unció g(x) = ---- de ineix un p océs i e a iu d'o d e 3 pe 3x1 + 1 a calcula ,/a. 137.-L'equació x3 + 2x -2 = O po esc iu e's com: a) x = 1 - 0.5x3; b) x=2(x2 +2)-1; c) x = (2 -2x) ½. Es udieu quines d'aques es exp esions donen lloc a me odes con e gen s. 29 In eg ació 138.- a) Conside em el conjun o ma pe o s els nomb es acionals <le l'in e al [a, b]: o men una pa ició? b) Doneu dues pa icions de l'in e al 1-n,n] que no siguin compa ables. e) Dona un l'in e al la, bJ cons ui"u una pa ició que ens el di ideixi en n subin e als de la ma eixa longi ud. 139.-Sigui J: la,bJ -- Runa unció i a<la, i P = {xo,X¡ ... xn} una pa ició de la,bJ. De inim la suma de Riemann de la unció associada a la pa ició P com n-1 S(P,J) = L ( k)(xk+1 -xk) k=O on i. és un elemen qualse ol de l'in e al [xk,Xk+d- Demos eu que qualse ol suma de Riemann associa<la a la pa ició P es a comp esa en e la suma supe io i la suma in e io . Quina condició s'ha de compli a ique les sumes supe io i in e io siguin ambé sumes de Riemann? 140.-Sigui : (a, b] -- lR una unció i ada al que Vx E (a, b] (x) � O, <lemos eu que L( ) � O. 141.-Demos eu que si P, és una pa ició que compleix que U(P., ) -L(P., /) � E on E és una cons an posi i a, lla o s hi ha in ini es pa icions complin la ma eixa condició. 30 142.-Sigui : [-a, aj --+ IR on a > O una undó in eg able. Demos eu que: a) si és una undó pa ell, (x)dx = 2 (x)dx; }_ª Jo b) si J és una unció sena , 1-: (x)dx = O. 143.-Siguin I = [a, bJ un in e al eal i : J --+ lR una uució c eixen en l. Si Pn és la pa ició de I que ens de e minan subin e als de la ma eixa longi ud, demos eu que: b-a os U(Pn, ) -L(Pn, ) s -( (b) - (a}). 11 144.-Sigui y= (x) una unció con ínua en [a,bJ, que compleix que J: (x) = O i no nega i a. Demos eu que no hi ha cap subin e al de l'in e al [a, bj on la undó és di e en de ze o. 145.-P o eu que y = [xi és una undó in eg able en [O, 5) i calculeu el alo de la in eg al. 146.-Decidiu si les uncions següen s son o no in eg ables en l'in e al [O, 2]: a) (x)= b) (x)= x+[x]. { 1, o, si x = a+b '3 on a, b E Q al amen . 147.-Siguin : lR--+ lR una undó con inua i o> O un nomb e eal, de inim /x E IR una unció g : lR--+ lR mi jan1,an +°' g(x) = lz-o, J( )d demos eu que g( x) és de i able i calculeu el alo de la se a de i ada. 31 148.-Siguin I = [O, 1] i : I --- IR una unció con inua, suposem que Vx E J 1 ( )d = ¡1 ( )d demos eu que (x) = O Vx E J. 149.-Siguin I = [a, b] un in e al qualse ol de IR i , g dues uncions con inues de inides en l'in e al an e io a alo s eals, complin que Demos eu que exis eix e E [a,b] al que (c) = g(c). 15O.-U ili zan el eo ema onamen al del calcul, calculeu les de i ades de les uncions: .,2 a) F(x) = 1 (sin 2)ln(l + 2)d ; b) G(x) = 1sin 2 cos(ln(2 2))d . llH.-Comp o eu que no hi ha cap nomb e eal x0 O< x0 < 21 , que compleixi que ¡2 ¡2 lo xsinxdx = x0 lo sinxdx És aixo una con adicció amb el eo ema de alo mi ja de la in eg al? {"'2 152.-T obeu una unció (x) de inida en [O, +oo] al que lo (1 + ) ( ) d = 6x4• 153.-Calculeu les in eg als immedia es següen s: a)/(7)2dx; b)/ x/:1dx; / a csinx d ¡ e) 1 _ x2 x;d) x./x dx; e) /- 1-d: ; xlnx g) /-- 1-dx 1 -16x2 )/ x52 2 dx; 154.-T obeu el alo de les in eg als següen s u ili zan el eo ema del can i de a iables: a)/ x(5x2 -7)1028 dx; b) / l; e d.c; e) / x-1/2 co ( x) dx;<l) J Jx �113 d: ¡ Je . e) �dx; 4 -e2 155.-Calculeu pe pa s: a)/ lnxdx; e)/ xln( 1 -x) dx; I+x e) J a csinx dx; ) /COS X c a:. J1 + sin2 . b) J e2 sinxdx; d)/ 17x dx; ) J xsin2x dx. 156.-Calculeu les in eg als acionals següen s: J2x + 3 a) 1 d: ; :¡; -51·+6 e) -1-dx· 1- x3 ' J 3: 2 + 1 e) (x2 -1)3 d: ¡ b)¡ 3x2 + 5x + 2 dx· (x -1)3 ' d) / (x + 1)2�x2 + 1) dx; )J x" � 1 dx. 157.-Calculeu les in eg als igonome iques següen s: a) / an4 x dx; J sin2 x e) ---dx; l - a.n X 33 b) J sin2 xcos6xdx; d)¡ sin_x dx; 1-sinx / cos3J: e) .d:1'; 9 + siu2 3x ) / sin2 J: cos4 J: dx. 158.-Calculeu les in eg als i acionals següen s: )!Jx2+1d. a x, !11*'.+2 d e x· ) 3·3 + : 2 1 e dx· /1 ) J4x2 -1 ' J ·c2 b) • clx· �· d)/ 3x -6 dx· Jx2 -4x +5 ) / j x dx. 3- , o 159.-T obeu !'a. ea de e minada pe la in e secció de les ci cum e encies de cen e (O, O) i adi 1 i de cen e ( 1, O) i ambé a<li 1. 160.-T obeu l'a ea de e minada pe la pa abola y = x2 + 7 i la ec a y= 10. 161.-T obeu !'a. ea que de e mina la in e secció de la ci cum e encia x2 +y2 = 25 i l'el.lipse 1 3x2 + -y2 = l. 5 162.-T obeu el olum gene al pe la o ació de: a) la egió del p ime quad an limi ada pe la pa a.bola y2 = 8x i la ec a x= 2 espec e l'eix d'absices. b)la egió limi ada pe la pa abola y2 = 8x i la ec a x= 2 espec e l'eix d'o denades. c)la egió limi ada pe la pa abola y2 = 8x i la ec a x= 2 al ol an de la ec a x =2. 2 2 163.-T obeu el olum de l'el.lipsoide gene a pe la o ació de l'el.lipse :2 + �2= 1 al ol an de l'eix de les x. In e polació. In eg ació ap oximada 169.-Calculeu a pa i del me ode de Lag ange el polinomi que in e pola la unció y= e" en el pun s -1, -0.75, -0.5, -0.25, O. Doneu una i a de l'e o comes. Repe iu el ma eix p océs d'abans pe o a a in e polan la unció y = cos( ), p enen com a alo s d'in e polació O, i, 2 3 7'{, 11', e alueu-lo em el pun x• = 0.97241. 170.-T obeu un polinomi que passi pels pun s A= (O, -1), B= (1, -1) i C= (2, 1) i que ingui en A pendeu 1, en B penclen 2 i en C penden 5. 171.-Desc ibiu de o ma ma icial el me ode d'in e polació de Lag ange. 172.-Calculeu el diag ama de les di e encies di idides de New on deis pun s (i, 2i; 1) iE 1, 2, 3, 4, 5. 173.-Calculeu (3) pe in e polació quad e. ica dels pun s (1, O), (2, 2), ( 4, 12). Feu el ma eix u ili zan a a els pun s (2, 2), ( 4, 12), (5, 21). 174.-ln e polan pe! me ode de New on obeu el alo de '(e). Les absices d'in e polació a u ili za son O.O, 0.2, 0.4, 0.6. Doneu una i a de !'e o comes. 175.-T obeu el polinomi in e polado de g au 3 de la unció (x) = e"2 en l'in e al ¡o, 1] p enen absices equidis an s. Feu el ma eix d'abans pe o a a en in e pole.ció de g au qua e de la unció y= sin(x) en l'in e al ¡o, ]. .,,. 176.-Calculeu d o ma ap oximada u ili zan el me o<le del ec angle les in eg als: u2(l + x◄) ½ dx J; si:�· ) dx :!. 1 1 2 Jo2 • ( )dx Jo cos(x )dx l + Slll : 177,-Demos eu que T2n(/) = ½[Mn(/) + Tn(/}], on M i ep esen en espec i amen les in eg als ap oximades de la unció / pe! me ode del pun mi ja i el me odedel ec angle iels subíndex indiquen el nomb e de subin e als u ili za s. 178.-Demos eu que S2n = ½[2Mn( ) + T,.(/)1, ou M i T ep esen en el ma eix d'abans i S ep esen a la in eg al ap oximada calculada pe! me ode de Simpson. 179.-Calculeu les in eg als següen s pe! me ode deis T apecis (pa in p e iamen l'in e al en dos i aplican el me ode en cada un deis subin e als) i pe el me ode de Simpson. Compa eu els esul a s. Calculeu ambé di ec amen les in eg als i comp o eu !'e o comes amb el p e is pe les co es d'e o . J/ sin(x)dx 2 -: :d Jo e x / ln(x)dx 1.6 1 d Jo Jl + X X 180.-Demos eu que I:ono:::?=o(X¡ -xo))dx = O sin és pa ell i els X¡ es an equiespaia s. 37 Successions i se ies de uncions 181.-Es udieu el domini de con e gencia i obeu la unció lími de les successions de uncions següen s: a) n(x) = x<2n 1 -lJ j e) n(x) = sin(nx)¡ x" e) (x) = --· n 1 + x"' 1- x" b) n(x) = - 1-; -X nx d) ,.(x) =1+n2x2 í 182.-Demos eu que la successió de uncions de l'apa a a de l'exe cici an e io , no con e geix uni o memen en l'in e al (O, 1) i que si ho a en qualse ol in e al [a, bj amb O< a< b. 183.-Demos eu que la successió de uncions de l'apa a b de l'exe cici an e io no con e geix un io memen en l'in e al (-1, 1) i si que ho a en [-a, a] amb O< a< l. 2 184.-Donada la successió de uncions n(x) = ( ; x 2, demos eu que: X +n a) con e geix pun ualmen a o IR i obeu la unció lími . b) no con e geix uni onnemen a o R. e) 0 " (x)dx = lim " ,.(x)dx. n-+oo Ío 185.-Donada la successió de uncions: n(x) = (1 + n2x)lnn demos eu que: