Problemes Resolts Tema 4 (teoria global de Cauchy)
Full text
Resolucions de p oblemes, an`alisi complexa
12 de maig de 2022
1 Teo ia Global de Cauchy
1. Sigui :C {0} → Cholomo a. Si γ´es una co ba simple amb n(γ; 0) = 1 i ´es i ada en la
componen connexa no aco ada de e minada pe γ, alesho es ∀z∈C al que n(γ;z) = 0:
(z) = −1
2πi Zγ
z (w)
w(w−z)dw.
Resoluci´o: Sigui Ω = C {0}, enim que ´es holomo a a Ω i γ´es una co ba ancada al que
n(γ, 0) = 1. P enem un z∈C al que n(γ, z) = 0, en pa icula z6= 0.
P enem un Rqualse ol p ou g an pe al de que γ⊂DR(0) i |z|< R.
Conside em el cicle Γ = γ−∂DR(0) ⊂Ω i la unci´o g(w) = z (w)
w, que ´es holomo a a Ω.
Obse em que Γ ≃0, ja que n(Γ,0) = n(γ, 0) −n(∂DR(0),0) = 1 −1 = 0 i 0 ´es l’´unic pun que
pe any a C Ω. Pe an , com z∈Ω Γ, podem aplica la ´o mula de Cauchy:
1
2πi ZΓ
g(w)
w−zdw =n(Γ, z)g(z) = −g(z) = −z (z)
z=− (z),
on hem usa que n(Γ, z)=0−1 = −1.
Aix´ı doncs, hem p o a que pe a qualse ol R > 0 p ou g an:
(z) = −1
2πi ZΓ
g(w)
w−zdw =−1
2πi ZΓ
z (w)
w(w−z)dw
=−1
2πi Zγ
z (w)
w(w−z)dw −−1
2πi Z∂DR(0)
z (w)
w(w−z)dw.
Veiem a a que la segona in eg al ´es, de e , ze o. No eu amb´e que la igual a no dep`en de R, pe
an pod em e R→ ∞. Anem a i a la segona in eg al. Pe hip`o esi enim que | (w)| ≤ M
si |w|> R. Pe an :
−1
2πi Z∂DR(0)
z (w)
w(w−z)dw=−1
2πi Z2π
0
z (Reiθ)
Reiθ(Reiθ −z)iReiθ dθ
≤1
2πZ2π
0
|z|| (Reiθ)|
|Reiθ −z|dθ ≤|z|
2πZ2π
0
M
|Reiθ −z|dθ
1
No em a a que, com R > |z|, enim que |z−Reiθ| ≥ R−|z|>0, pe an :
−1
2πi Z∂DR(0)
z (w)
w(w−z)dw≤|z|
2π
2πM
R−|z|=M|z|
R−|z|.
Com aques a i a ´es ce a pe a o Rp ou g an, en R→ ∞ enim que:
−1
2πi Z∂DR(0)
z (w)
w(w−z)dw = 0
i lla o s:
(z) = −1
2πi ZΓ
g(w)
w−zdw =−1
2πi Zγ
z (w)
w(w−z)dw
com ol´ıem demos a .
2. T obeu les mul iplici a s dels ze os de
(i) (z) = ez−1 , en z0= 2πki,k∈Z.
(ii) (z) = sin z− an z, en z0= 0 .
(iii) (z) = cos z−1 + 1
2sin2z, en z0= 0 .
Resoluci´o:
(i) (z) = ez−1, z0= 2πki,k∈Z. Obse em que 0(z) = ezi que:
(2πki) = e2πki −1 = 0, 0(2πki) = e2πki = 1.
Pe an , pe cada k∈Z,z0= 2πki ´es un ze o d’o d e 1.
(ii) (z) = sin z− an z,z0= 0. No em que
(z) = sin z− an z, (0) = 0;
0(z) = cos z−1−( an z)2, 0(0) = 0;
00(z) = −sin z−2 an z(1 + ( an z)2) = −sin z−2 an z−2( an z)3, 00(0) = 0;
000(z) = −cos z−2(1 + ( an z)2)−6( an z)2(1 + ( an z)2), 000(0) = −3.
Pe an ´e un ze o de mu iplici a 3 a z0= 0.
(iii) (z) = cos z−1 + 1
2(sin z)2iz0= 0:
(z) = cos z−1 + 1
2(sin z)2, (0) = 0;
0(z) = −sin z+ sin zcos z=−sin z+1
2sin(2z), 0(0) = 0;
00(z) = −cos z+ cos(2z), 00(0) = 0;
000(z) = sin z−2 sin(2z), 000(0) = 0;
i (z) = cos z−4 cos(2z), i (0) = −3.
2
Tamb´e es po e usan les s`e ies de Taylo . Es millo usa una ´o mula al e na i a de (z).
Com (sin z)2=1−cos(2z)
2:
(z) = cos z−1 + 1
4(1 −cos 2z) = X
n≥0
(−1)nz2n
(2n)! −1 + 1
4
1−X
n≥0
(−1)n(2z)2n
(2n)!
=X
n≥1
(−1)nz2n
(2n)! −X
n≥1
(−1)n22n−2z2n
(2n)! =X
n≥1
(−1)n(1 −22n−2)
(2n)! z2n
=−3
4!z4+O(z6).
Aix´ı z0= 0, ´es un ze o de mul iplici a 4 de i i (0) = −3.
3. T obeu els ze os i les se es mul iplici a s de
(i) (z) = (1 + z2)4.
(ii) (z) = sin2z.
(iii) (z) = 1 + ez.
(i ) (z) = z3cos z.
Resoluci´o:
(i) (z) = (1 + z2)4= (z−i)4(z+i)4, pe an ´e ze os a z=±ide mul iplici a 4.
(ii) (z) = sin2z. Busquem els ze os de sin z= 0: sin z=eiz −e−iz
2i= 0 si i nom´es si e2iz = 1,
´es a di 2iz = 2kπi, pe k∈Z, ´es a di z=kπ. A m´es, com
sin kπ = 0,cos kπ = (−1)k,
la unci´o sin z ´e un ze o simple a z=kπ i, en conseq¨u`encia, sin2z ´e un ze o doble a kπ.
De e :
sin z= (−1)k(z−kπ) + O(z−kπ)2= (−1)k(z−kπ)(1 + O(z−kπ)),
(z) = sin2z= (z−kπ)2(1 + O(z−kπ))2= (z−kπ)2(1 + O(z−kπ)).
Pe an ´e un ze o de mu iplici a 2 a z0= 0.
(iii) (z) = 1 + ez= 0, ez=−1 = 1eiπ, pe an , igualan m`oduls i a gumen s:
eRe z= 1 =⇒Re z= 0
Im z=π+ 2kπ, k ∈Z.
Aix´ı, els ze os de (z) s´on z= (2k+ 1)iπ. Com 0(z) = ez, enim que 0((2k+ 1)iπ) = −1i
pe an o s els ze os de (z) s´on simples.
(i ) (z) = z3cos z= 0 si o b´e z= 0, o b´e cos z= 0. Tenim que cos z= 0 si eiz +e−iz = 0 o
equi alen men si e2iz =−1. Tal com hem is a l’apa a an e io , cal que 2iz = (2k+1)iπ,
´es a di z=2k+1
2π.
En z0= 0 cla amen la mul iplici a ´es es. En e ec e, (z) = z3cos zi cos 0 = 1 6= 0, pe
an ´e mul iplici a 3.
Conside em a a els ze os z0=2k+1
2π. En aques cas la mul iplici a ´es 1 pe qu`e: 0(z0) =
−z3
0sin z0+ 3z2
0cos z0=z3
0(−1)k+1 6= 0.
3
4. Classi iqueu la singula i a de les uncions seg¨uen s en z= 0. Si ´es e i able, digueu quin alo
l’e i a. Si ´es un pol, obeu la pa p incipal de la unci´o en z= 0.
(i) (z) = 1
an z−1
sin z.
(ii) (z) = sin z
z.
(iii) (z) = sin z
z4.
(i ) (z) = cos z
z.
( ) (z) = cos z−1
z.
( i) (z) = cos z−1
z2.
( ii) (z) = zcos(1/z).
( iii) (z) = e1/z.
(ix) (z) = 1
1−ez.
Resoluci´o:
(i) (z) = 1
an z−1
sin z=cos z
sin z−1
sin z=cos z−1
sin z, pe an ´e una singula i a a z0= 0, ja que
sin 0 = 0. Com cos 0 −1 = 0, ´es una possible singula i a e i able, pe eu e-ho usem les
s`e ies de Taylo del nume ado i el denominado :
cos z−1 = X
n≥0
(−1)n
(2n)! z2n−1 = X
n≥1
(−1)n
(2n)! z2n=z2X
n≥1
(−1)n
(2n)! z2n−2=z2g1(z),(1.1)
amb g1(0) = −1
26= 0 i
sin z=X
n≥0
(−1)n
(2n+ 1)!z2n+1 =zX
n≥0
(−1)n
(2n+ 1)!z2n=zg2(z),(1.2)
amb g2(0) = 1 6= 0.
Usan aques s desen olupamen s pe e el l´ımi (de e , en aques cas les uncions s´on
en e es, pe an els desen olupamen s s´on iguals a les uncions a o el pla complex):
lim
z→0 (z) = lim
z→0
cos z−1
sin z= lim
z→0
z2g1(z)
zg2(z)= 0.
Pe an (z) ´e una singula i a e i able en z0= 0 i el alo que la a holomo a, de e
en e a, ´es de ini (0) = 0.
No a: obse em que usa els desen olupamen s de Taylo pe e el l´ımi ´es equi alen a
usa la egla de l’Hˆopi al:
lim
z→0 (z) = lim
z→0
cos z−1
sin z= lim
z→0−sin z
cos z= 0.
4
(ii) (z) = sin z
z. Tal com hem e a l’apa a an e io , usem la s`e ie de Taylo de la unci´o sin z,
donada a (1.2):
lim
z→0 (z) = lim
z→0
sin z
z= lim
z→0
zg2(z)
z= 1.
Pe an la singula i a ´es e i able i el alo que a la unci´o holomo a (en e a) ´es (0) = 1.
(iii) (z) = sin z
z4. Tal com hem e a l’apa a an e io , usem la s`e ie de Taylo de la unci´o sin z,
donada a (1.2):
lim
z→0 (z) = lim
z→0
sin z
z4= lim
z→0
zg2(z)
z4= lim
z→0
g2(z)
z3=⇒lim
z→0| (z)|=∞
ja que g2(0) = 1. Pe eu e que ´es un pol i calcula la se a pa p incipal, usem un al e
cop la s`e ie de Taylo :
(z) = sin z
z4=1
z4zX
n≥0
(−1)n
(2n+ 1)!z2n=1
z31−z2
6+O(z4)=1
z3−1
6z+O(z).
Dedu¨ım pe an que z= 0 ´es un pol d’o d e 3 i la se a pa p incipal ´es 1
z3−1
6z.
(i ) (z) = cos z
z. Cla amen , com cos 0 = 1,
lim
z→0| (z)|= lim
z→0|cos z|
|z|=∞.
Pe eu e que z= 0 ´es un pol i calcula la se a pa p incipal, usem la s`e ie de Taylo de
la unci´o cos z, donada a (1.1) que de ineix una unci´o en e a:
(z) = cos z
z=1
zX
n≥0
(−1)n
(2n)! z2n=1
z(1 + O(z2)) = 1
z+O(z).
Pe an z= 0 ´es un pol d’o d e 1 i la se a pa p incipal ´es 1
z.
( ) (z) = cos z−1
z, pe an ´e una singula i a a z0= 0. Com cos 0 −1 = 0, ´es una possible
singula i a e i able. Pe eu e-ho usem un al e cop la s`e ie de Taylo del cos zdonada a
(1.1):
lim
z→0 (z) = lim
z→0
cos z−1
z= lim
z→0
z2g1(z)
z= 0.
Pe an (z) ´e una singula i a e i able en z0= 0 i el alo que la a holomo a, de e
en e a, ´es de ini (0) = 0.
( i) (z) = cos z−1
z2, pe an ´e una singula i a a z0= 0. Com cos 0 −1 = 0, ´es una possible
singula i a e i able. Usan la s`e ie de Taylo del cos zdonada a (1.1):
lim
z→0 (z) = lim
z→0
cos z−1
z2= lim
z→0
z2g1(z)
z2=g1(0) = −1
2
Pe an (z) ´e una singula i a e i able en z0= 0 i el alo que la a holomo a, de e
en e a, ´es de ini (0) = −1
2.
5
( ii) La unci´o (z) = zcos 1
z=zei1
z+e−i1
z
2 ´e una singula i a a z0= 0. Pe eu e que ´es
una singula i a essencial, eu em que el l´ımi de (z) quan z→0, no exis eix p enen
dos camins di e en s al pla complex. Pe una banda, si z=x+iy, em el l´ımi quan
Re z=x= 0 i Im z=y < 0:
lim
x=0, y<0, y→0zei1
z+e−i1
z
2= lim
y<0, y→0iy e1
y+e−1
y
2=−i∞.
Pe al a banda, em el l´ımi quan Re z=x→0 i Im z=y= 0:
lim
y=0,x→0zei1
z+e−i1
z
2= lim
x→0xcos 1
x= 0.
Pe an el limz→0 (z) no exis eix i enim a z0= 0 una singula i a essencial.
( iii) Igual que a l’apa a an e io (z) = e1
z, ind `a una singula i a essencial a l’o igen. Pe
comp o a -ho, eiem que el l´ımi a l’o igen no exis eix p enen dos camins di e en s al pla
complex. Pe una banda, si z=x+iy, em el l´ımi quan Re z=x > 0 i Im z=y= 0:
lim
x>0, y=0, x→0e1
z= lim
x>0, x→0e1
x=e+∞= +∞
Si a a em el l´ımi quan Re z=x < 0 i Im z=y= 0:
lim
x<0, y=0, x→0e1
z= lim
x<0, x→0e1
x=e−∞ = 0.
Pe an el limz→0 (z) no exis eix i enim a z0= 0 una singula i a essencial.
(ix) Cla amen : limz→0| (z)|= limz→01
|1−ez|=∞. Pe eu e que ´es un pol i calcula la se a
pa p incipal, usem la s`e ie de Taylo de ez:
1−ez= 1 −X
n≥0
zn
n!=−X
n≥1
zn
n!=−zX
n≥1
zn−1
n!=−z1 + z
2+O(z2)=−zg(z).
Obse em que g(0) = 1 6= 0. Pe an 1
g(z)´es holomo a i 1
g(z)= 1 + O(z). Amb aix`o ja en
enim p ou pe oba la pa p incipal de la unci´o (z):
(z) = 1
1−ez=1
−zg(z)=−1
z
1
g(z)=−1
z(1 + O(z)) = −1
z+O(1).
Aix´ı, z= 0 ´es un pol d’o d e 1 i la se a pa p incipal ´es −1
z.
6
5. T obeu les singula i a s de les uncions seg¨uen s i classi iqueu-les: digueu si s´on e i ables, pols
(i de quin o d e) o essencials.
(i) (z) = (cos z−1)3sin(z2) sin(πz)
(ez−1)(z2+ 1) .
(ii) (z) = z(z−1)3
sin2(πz).
Resoluci´o:
(i) (z) = (cos z−1)3sin z2sin πz
(ez−1)(z2+1) , com aques a unci´o ´es el quocien de dues uncions en e es, les
´uniques singula i a s s´on els ze os del denominado que s´on: z= 2kπi,k∈Zon s’anul·a
ez−1, i z=±ion s’anul·az2+ 1.
•z0= 0. Obse em que el nume ado amb´e s’anul.la a z0= 0 pe an pod ia se
una singula i a e i able. Ho comp o em usan les s`e ies de Taylo a l’o igen de les
uncions:
(cos z−1)3=
z2X
n≥1
(−1)n
(2n)! z2n−2
3
=z6(g1(z))3,
amb g1(0) = −1
26= 0.
sin z2=X
n≥0
(−1)n
(2n+ 1)!(z2)2n+1 =z2X
n≥0
(−1)n
(2n+ 1)!(z2)2n=z2g2(z2),
sin πz =X
n≥0
(−1)n
(2n+ 1)!(πz)2n+1 =πz X
n≥0
(−1)n
(2n+ 1)!(πz)2n=πzg2(πz),
amb g2(0) = 1 6= 0.
ez−1 = X
n≥1
1
n!zn=zX
n≥1
1
n!zn−1=zg3(z),
amb g3(0) = 1 6= 0.
Usan aques s desen olupamen s pe e el l´ımi (de e , en aques cas les uncions s´on
en e es, pe an els desen olupamen s s´on iguals a les uncions a o el pla complex):
lim
z→0 (z) = lim
z→0
(cos z−1)3sin z2sin πz
(ez−1)(z2+ 1) = lim
z→0
z6(g1(z))3z2g2(z2)πzg2(πz)
zg3(z)(z2+ 1)
= lim
z→0
z8(g1(z))3g2(z2)πg2(πz)
g3(z)(z2+ 1) = 0.
Pe an (z) ´e una singula i a e i able en z0= 0 i el alo que la a holomo a ´es
de ini (0) = 0.
•z0= 2kπi,k∈Z {0}. En aques cas deno em pe G(z) = (cos z−1)3sin z2sin πz
(z2+1) i
obse em que G(z0)6= 0, pe an , G(z) = G(z0) + O(z−z0). Pe al a banda, com
ez0= 1, i usan que la unci´o ez´es en e a:
ez−1 = ez−z0−1 = X
n≥1
(z−z0)n
n!= (z−z0)X
n≥1
(z−z0)n−1
n!= (z−z0)g3(z−z0),
7
amb g3(0) = 1 i pe an 1
g3(z−z0)= 1+O(z−z0). Amb aques es dades ja podem eu e
que z0´es un pol d’o d e 1 i oba la se a pa p incipal:
(z) = G(z)
ez−1=1
(z−z0)G(z)1
g3(z−z0)=1
(z−z0)(G(z0) + O(z−z0))(1 + O(z−z0))
=1
(z−z0)(G(z0) + O(z−z0)) = G(z0)
(z−z0)+O(1).
Pe an z0´es un pol d’o d e 1 i la se a pa p incipal ´es G(z0)
(z−z0).
•Pe es udia les singula i a s z0=±i, em com a l’apa a an e io . De allem el
cas z0=i, l’al e es a exac amen igual. Deno em pe b
G(z) = (cos z−1)3sin z2sin πz
(ez−1)(z+i)i
obse em que b
G(i)6= 0. Lla o s b
G(z) = b
G(i)+O(z−i). Amb aques es dades ja podem
eu e que z0=i´es un pol d’o d e 1 i oba la se a pa p incipal:
(z) = b
G(z)
z−i=1
z−i(b
G(i) + O(z−i)) = b
G(i)
(z−i)+O(1).
Aix´ı enim que z0=i´es un pol d’o d e 1 i la se a pa p incipal ´es
b
G(i)
(z−i).
(ii) (z) = z(z−1)3
sin2πz . Les possibles singula i a s son els ze os de sin πz, que son les solucions
de eiπz −e−iπz = 0, o , equi alen men les de e2iπz = 1. Aques es enen donades pe
2iπz = 2πki,k∈Z, ´es a di : zk=k,k∈Z.
Desen olupan pe Taylo g(z) = sin πz enim:
g(k) = sin πk = 0, g0(πk) = πcos πk =π(−1)k
sin πz =π(−1)k(z−k) + O(z−k)2=π(−1)k(z−k)(1 + O(z−k))
sin2πz =π2(z−k)2(1 + O(z−k))2=π2(z−k)2(1 + O(z−k))
•z0= 0, obse em que el nume ado amb´e s’anul·az0= 0. Calculem el l´ımi :
lim
z→0 (z) = lim
z→0
z(z−1)3
sin2πz = lim
z→0
z(z−1)3
π2z2(1 + O(z)) = lim
z→0
(z−1)3
π2z(1 + O(z)).
Aix´ı limz→0| (z)|=∞. Pe an (z) ´e un pol a z0= 0. Pe calcula la se a pa
p incipal, usem el desen olupamen de Taylo un al e cop:
(z) = z(z−1)3
π2z2(1 + O(z)) =(z−1)3
π2z(1 + O(z)) =−1 + O(z)
π2z(1 + O(z)) =−1
π2
1
z+O(1).
Pe an (z) ´e un pol d’o d e 1 a z0= 0 i la se a pa p incipal ´es −1
π2
1
z.
•z1= 1, obse em que el nume ado amb´e s’anul.la a z1= 1. Calculem el l´ımi :
lim
z→1 (z) = lim
z→1
z(z−1)3
sin2πz = lim
z→1
z(z−1)3
π2(z−1)2(1 + O(z−1)) = lim
z→1
z(z−1)
π2(1 + O(z−1))
= 0.
Veiem pe an que (z) ´e una singula i a e i able a z1= 1 i el alo que hem de
dona a (z) pe al que sigui holomo a a z1= 1 ´es (1) = 0.
8
•zk=k,k6= 0,1. El nume ado no s’anul.la a zk, pe an ind em un pol d’o d e dos,
com pod em eu e usan el desen olupamen de Taylo . Pe una banda:
z(z−1)3=a0+a1(z−k) + O(z−k)2, a0, a16= 0,
´es `acil ob eni ´o mules pels coe icien s a0, a1, pe `o no ho em aqu´ı pe que no ´es
elle an . D’al a banda:
(z) =z(z−1)3
sin2πz =a0+a1(z−k) + O(z−k)2
π2(z−k)2(1 + O(z−k))
=1
(z−k)2
a0+a1(z−k) + O(z−k)2
π2(1 + O(z−k)) .
Amb aix`o ja eiem que ´e un pol d’o d e dos a zk=k. Si olgu`essim calcula la pa
p incipal necessi a ´ıem m´es dades sob e el desen olupamen del sin2πz:
sin2πz =π2(z−k)2(1 + b1(z−k) + O(z−k)2)
on els n´ume o b1´es `acil de calcula :
(z) = 1
π2(z−k)2
a0+a1(z−k) + O(z−k)2
1 + b1(z−k) + O(z−k)2)
== 1
π2(z−k)2(a0+a1(z−k) + O(z−k)2)(1 −b1(z−k) + O(z−k)2))
=1
π2(z−k)2(a0+ (a1−a0b1)(z−k) + O(z−k)2).
Pe an la pa p incipal ind ia donada pe :
a0
π2(z−k)2+a1−a0b1
π2(z−k).
6. Demos eu que si (z) ´es una unci´o en e a i injec i a, alesho es (z) = az +bpe ce s a, b ∈C,
a6= 0. (Indicaci´o: Useu els eo emes de Liou ille, Caso a i-Weie s ass i de l’aplicaci´o obe a
pe eu e que z= 0 ha de se un pol de g(z) = (1/z).)
Resoluci´o: Pe una banda, sabem que ´es en e a. Pe an (z) = Pn≥0anzn, pe a o
z∈C. Conseq¨uen men :
1
z=X
n≥0
an
zn, z 6= 0.
Aix`o deixa cla que g(z) = (1
z) ´e una singula i a en z= 0.
Veiem que no ´es una singula i a e i able. Si ho os, cald ia que limz→0g(z) = L < ∞, pe `o
aix`o implica ia, en pa icula , que exis i ia un ε1 i una cons an M > 0, als que:
∀z∈Bε(0) {0},|g(z)| ≤ M.
Veiem que aques e implica que ´es i ada a o C:
•Com ´es con inua exis i `a M1 al que si |z| ≤ 1
ε, alesho es | (z)| ≤ M1.
9
(ii) En el cas que (z), g(z) inguin un pol a z0, lla o s
(z) = 1
(z−z0)ne
(z), g(z) = 1
(z−z0)meg(z),amb e
(z0),eg(z0)6= 0
ie
, egholomo o mes en un en o n de z0. Tamb´e
0(z) = 1
(z−z0)n+1 (−ne
(z)+(z−z0)e
0(z)), g0(z) = 1
(z−z0)m+1 (−meg(z)+(z−z0)eg0(z)).
Aix´ı
(z)
g(z)= (z−z0)m−ne
(z)
eg(z), 0(z)
g0(z)= (z−z0)m−n−ne
(z)+(z−z0)e
0(z)
−meg(z)+(z−z0)eg0(z).
Pe an :
•Si n<m,
lim
z→z0
(z)
g(z)= lim
z→z0
0(z)
g0(z)= 0.
•Si n=m,
lim
z→z0
(z)
g(z)= lim
z→z0
0(z)
g0(z)=e
(z0)
eg(z0).
•Si n>m,
lim
z→z0
(z)
g(z)= lim
z→z0
0(z)
g0(z)=∞.
12. Si (z) ´e un pol simple en z=aig(z) ´es holomo a en z=ademos eu que
Res ( ·g, a) = g(a)Res ( , a).
Resoluci´o: Reco deu que una mane a senzilla de calcula el esidu d’una unci´o en un pol z=a
´es calcula la s`e ie de Lau en
h(z) = c−N
(z−a)N+···+c−1
z−a+X
n≥0
cn(z−a)n.
Lla o s Res (h, a) = c−1.
Pe e se i aques a o ma de calcula el esidu, cal calcula les s`e ies de Lau en de igque,
so a les nos es hip`o esis, s´on:
(z) = c
z−a(1 + O(z−a)), g(z) = g(a) + O(z−a)
amb c6= 0. Tenim lla o s que Res ( , a) = ci, com
(z)g(z) = c
z−a(1 + O(z−a))[g(a) + O(z−a)] = cg(a)
z−a(1 + O(z−a)),
lla o s Res ( ·g, a) = cg(a) = g(a)Res ( , a).
16
Al e na i amen , si el pol ´es d’o d e N,
Res (h, a) = lim
z→a
1
(N−1)!
dN−1
dzN−1(z−a)Nh(z).
Lla o s, en el nos e cas, com N= 1 i g´es holomo a a z=a:
Res ( ·g, a) = lim
z→a(z−a) (z)g(z) = g(a) lim
z→a(z−a) (z) = g(a)Res ( , a).
13. T obeu els pols, el seu o d e i esidu de les uncions seg¨uen s:
(i) 1
z2+ 5z+ 6.
(ii) 1
(z2−1)2.
(iii) 1
sin2z.
(i ) 1
zm(1 −z)n,n, m ∈N.
( ) zco z
( i) sin z
z5.
( ii) 1
1−ez.
Resoluci´o: Anomena em (z) a cadascuna de les uncions en els di e en s apa a s.
(i) Com z2+ 5z+ 6 = (z+ 2)(z+ 3), la unci´o ´e pols d’o d e 1 a z=−2,−3. A m´es
lim
z→−2(z+ 2) 1
z2+ 5z+ 6 = lim
z→−2
1
z+ 3 =1=⇒Res ( , −2) = 1,
lim
z→−3(z+ 3) 1
z2+ 5z+ 6 = lim
z→−3
1
z+ 2 =−1 =⇒Res ( , −3) = −1.
(ii) En aques cas (z2−1)2= (z+ 1)2(z−1)2. Pe an z= 1,−1 s´on pols d’o d e 2. Lla o s
Res ( , 1) = lim
z→1
1
(2 −1)!
d
dz (z−1)2
(z2−1)2= lim
z→1
d
dz
1
(z+ 1)2= lim
z→1−2
(z+ 1)3=−1
4
i an`alogamen
Res ( , −1) = lim
z→−1
1
(2 −1)!
d
dz (z+ 1)2
(z2−1)2= lim
z→−1
d
dz
1
(z−1)2= lim
z→−1−2
(z−1)3=1
4.
(iii) La unci´o sin zs’anul.la pe z=kπ amb k∈Z. Tenim que
sin z= sin(kπ +z−kπ)=(−1)ksin(z−kπ)=(−1)k(z−kπ)[1 + O(z−kπ)2]
i pe an , al ol an de cada singula i a z0=kπ, sin2z= (z−kπ)2(1 + O(z−kπ)2).
Obse eu que lla o s dedu¨ım que (z) = 1/sin2z ´e un pol d’o d e 2. A m´es:
(z) = 1
sin2z=1
z2(1 + O(z−kπ)2)=1
(z−kπ)2(1 + O(z−kπ)2) = 1
(z−kπ)2+O(1).
Pe an Res ( , kπ) = 0.
17
(i ) La unci´o (z) = z−m(1 −z)−n ´e un pol d’o d e maz= 0 i un d’o d e naz= 1.
Res ( , 0) = 1
(m−1)! lim
z→0
dm−1
dzm−1zm
zm(1 −z)n=1
(m−1)! lim
z→
dm−1
dzm−1
1
(1 −z)n
=n(n+ 1) ···(n+m−2)
(m−1)! =n+m−2
m−1.
No eu que, quan m= 1, hi ha un p oblema no acional en la pen´ul ima igual a , que queda
soluciona amb la da e a exp essi´o ja que k
0= 1.
Respec e Res ( , 1):
Res ( , 1) = 1
(n−1)! lim
z→1
dn−1
dzn−1(z−1)n
zm(1 −z)n=(−1)n
(n−1)! lim
z→
dn−1
dzn−1
1
zm
= (−1)n(−1)n−1m(m+ 1) ···(m+n−2)
(n−1)! =−m+n−2
n−1.
Al e na i amen podem e se i el desen olupamen de Taylo
(1 + ω)α=X
k≥0α
k.
Lla o s si em el desen olupamen de Lau en al ol an de z= 0:
(z) = 1
zm
1
(1 −z)n=1
zmX
k≥0
(−1)kn
kzk
enim que
Res ( , 0) = (−1)m−1n
m−1= (−1)m−1(−n)(−n−1) ···(−n−m+ 2)
(m−1)!
=n(n+ 1) ···(n+m−2)
(m−1)! =n+m−2
m−1.
An`alogamen el desen olupamen de Lau en al ol an de z= 1:
(z) = 1
(1 −z)n
1
zm=(−1)n
(z−1)n
1
(1 + (z−1))m=(−1)n
(z−1)nX
k≥0−m
k(z−1)k
enim que
Res ( , 1) = (−1)nm
n−1= (−1)n(−m)(−m−1) ···(−m−n+ 2)
(n−1)!
= (−1)n(−1)n−1m(m+ 1) ···(m+n−2)
(n−1)! =−m+n−2
n−1.
( ) Obse eu que co z=cos z
sin z, pe an (z) = zco z ´e singula i a s a z=kπ. Igual que em
abans (apa a (iii)), al ol an de z=kπ, sin z= (−1)k(z−kπ)(1 + O(z−kπ)2) i a m´es
cos z= cos(kπ + (z−π)) = (−1)kcos(z−kπ) = (−1)k(1 + O(z−kπ)2).
Lla o s, dis ingin en e k= 0 i k6= 0, ja que el nume ado zcos zs’anul.la a z= 0, pe `o
no a z=kπ:
18
•Quan k= 0, ´es a di , singula i a a z= 0:
(z) = zco z=z1 + O(z2)
z(1 + O(z2)= (1 + O(z2)).
´
Es a di z= 0 ´es una singula i a e i able.
•Quan k6= 0, singula i a z=kπ:
(z) = zco z= (kπ + (z−kπ)) (−1)k(1 + O(z−kπ)2)
(−1)k(z−kπ)(1 + O(z−kπ)2)
=1
z−kπ [kπ +O(z−kπ)].
Pe an kπ ´es un pol d’o d e 1 i Res ( , kπ) = kπ.
( i) La unci´o (z) = z−5sin znom´es ´e una singula i a a z= 0. Tenim que:
(z) = sin z
z5=1
z5X
n≥0
(−1)n
(2n+ 1)!z2n+1.
Pe an Res ( , 0) = 0 ja que el coe icien que acompanya a z4del desen olupamen de
Taylo de sin z´es 0.
( ii) La unci´o (z) = (1 −ez)−1 ´e singula i a s a z= 2πik.´
Es cla que
ez−1 = ez−2πik −1=(z−2πik) + X
n≥2
1
n!(z−2πik)n= (z−2πik)(1 + O(z−2πik)).
Aix´ı, sabem que
(z) = 1
1−ez=−1
(z−2πik)(1 + O(z−2πik)) =−1
z−2πik (1 + O(z−2πik))
i pe an ´e un pol simple a z= 2πik. Lla o s
Res ( , 2πik) = lim
z→2πik(z−2πik) (z) = −1.
14. T obeu les singula i a s a¨ıllades i els esidus en els seus pols de les uncions seg¨uen s:
(i) √z
z3−4z2+ 4z. (U ili zeu la de e minaci´o p incipal de l’a el.)
(ii) e2z
z2−z+ 1.
(iii) cos(1/z)
sin z.
(i ) 1
(log(z/e)−1)2. (U ili zeu la de e minaci´o p incipal del loga i me.)
Resoluci´o: Deno a em pe (z) les uncions en els di e en s apa a s.
19
(i) La unci´o (z) es `a de inida en C {z∈C: Re z < 0,Im z= 0}.´
Es cla que enim que
(z) = 1
√z(z−2)2.
Les singula i a s s´on z= 0,2, pe `o z= 0 no ´es una singula i a a¨ıllada. Pe an la ´unica
singula i a a¨ıllada ´es z= 2. Com √z´es holomo a en un en o n de z= 2, ind em un pol
d’o d e 2 a z= 2. Aix´ı
Res ( , 2) = 1
(2 −1)! lim
z→2
d
dz (z−2)2 (z)= lim
z→2
d
dz
1
√z=−1
2·23/2=−√2
8.
(ii) Les singula i a s de es donen en les a els del polinomi z2−z+ 1 que s´on
z±=1±i√3
2.
La unci´o e2z´es en e a, pe an z±s´on pols d’o d e 1 de i
Res ( , z±) = lim
z→z±
(z−z±) (z) lim
z→z±
(z−z±)e2z
(z−z+)(z−z−)=e2z±
z±−z∓
.
Com z+−z−=i√3 i z−−z+=−i√3, enim que
Res ( , z±) = ∓ie
√3e±i√3.
(iii) Com cos(1/z) ´e un singula i a essencial a z= 0 i sin z=zPm≥0(−1)mz2m1
(2m+1)! ,
(z) = 1
zX
m≥0
a2mz2mX
n≥0
(−1)n1
z2n(2n)!
i pe an (z) ´e una singula i a essencial, a¨ıllada, a z= 0. El esidu se ia
Res ( , 0) = X
n≥0
a2n(−1)n1
(2n)!.
Les al es singula i a s de (z) s´on z=kπ,k6= 0 que s´on els pun s on sin(z) s’anul.la.
Com cos(1/z) ´es holomo a a z=kπ,k6= 0 i sin z= (−1)k(z−kπ)(1 + O(z−kπ)2), les
singula i a s z=kπ s´on pols d’o d e 1. Lla o s
Res ( , kπ) = lim
z→kπ(z−kπ)cos(1/z)
sin z= lim
z→kπ(z−kπ)cos(1/z)
(−1)k(z−kπ)(1 + O(z−kπ))
= (−1)kcos 1
kπ .
(i ) Com aga em la de e minaci´o p incipal del loga i me, la unci´o (z) es `a de inida a
C {z∈C: Re z < 0,Im z= 0}.
20
Di idi zpe un nomb e possi iu no a ec a al domini.
Abans pe aix`o obse em que si a > 0, lla o s
log az = log |az|+ia g(az) = log |a|+ log |z|+ia g(z) = log z+ log a.
Reco deu que no semp e log(z1/z2) = log z1−log z2. Pe an
(z) = 1
(log z−2)2.
´
Es cla que el denominado nom´es s’anul.la a z=e2. Pe an aques pun ´es la singula i a
de (z) que, a m´es, ´es a¨ıllada. Obse eu que, en l’Hˆopi al:
lim
z→e2
z−e2
log z
e−1= lim
z→e2
z−e2
log z−2= lim
z→e2z=e2,
pe an (log(z)−2)−1 ´e un pol d’o d e 1 a z=e2que implica que (z) ´e un pol d’o d e
2 a z=e2. Pe calcula el esidu calculem la s`e ie de Lau en de (z) al ol an de z=e2.
Fen se i el desen olupamen de Taylo
log(1 + ω) = X
n≥1
(−1)n−1ωn
n
enim que:
log z= log e21 + z−e2
e2= log e2+ log 1 + z−e2
e2
= 2 + X
n≥1
(−1)n−11
nz−e2
e2n
= 2 + z−e2
e2−(z−e2)2
2e4+O(z−e2)3
= 2 + z−e2
e21−1
2e2(z−e2) + O(z−e2)2.
Pe an
(z) = 1
(log z−2)2=e4
(z−e2)21−1
2(z−e2) + O(z−e2)22
=e4
(z−e2)21−z−e2
e2+O(z−e2)2
=e4
(z−e2)21 + z−e2
e2+O(z−e2)2
i lla o s ob enim Res ( , e2) = e2.
15. T obeu Res ( , z0) pe a:
(i) (z) = z−1
ze1/z , en z0= 0 .
(ii) (z) = 1
sin(z(ez−1)) , en z0= 0 .
21
(iii) (z) = 1
sinh(2 log z), en z0=i. (U ili zeu la de e minaci´o p incipal del loga i me.)
(i ) (z) = sin z
(z+i)5, en z0=−i.
( ) (z) = ez
z4, en z0= 0 .
( i) (z) = ez+1/z .
Resoluci´o:
(i) (z) = z−1
ze1
z. Com la exponencial ´es en e a enim:
(z) = 1−1
zX
n≥0
1
n!zn=X
n≥0
1
n!zn−X
n≥0
1
n!zn+1 = 1 + X
j≤−1
zj
(−j)! −X
j≤−1
zj
(−j−1)!
1 + X
j≤−11
(−j)! −1
(−j−1)!zj.
El coe icien de g au z−1´es 0, pe an Res( , 0) = 0.
(ii) (z) = 1
sin(z(ez−1)) . Obse em que el denominado s’anul.la a z= 0.
ez−1 = X
n≥1
zn
n!=z+z2
2+O(z3)
z(ez−1) = zX
n≥1
zn
n!=z2+z3
2+O(z4)
sin w=X
n≥0
w2n+1
(2n+ 1)! =w+O(w3)
sin z(ez−1) = z(ez−1) + O((z(ez−1))3)
=z2+z3
2+O(z4) + O(z6) = z21 + z
2+O(z2)
1
sin z(ez−1) =1
z2(1 + z
2+O(z2)) =1
z2
1
1 + z
2+O(z2)
=1
z21−z
2+O(z2)
Pe an Res( , 0) = −1
2.
(iii) (z) = 1
sinh(2 log(z)) . Com log i=iπ
2, i sinh(iπ) = eiπ −e−iπ
2= 0, (z) ´e un pol a z=ii ´es
d’o d e 1 ja que iπ ´es un ze o d’o d e 1 de sinh z.
En aques cas, pod iem desen olupa en s`e ie pe `o ´es m´es senzill usa la ´o mula que d´ona
el esidu:
Res( , i) = lim
z→i(z−i) (z) = lim
z→i
z−i
sinh(2 log(z)) = lim
z→i
1
2
zcosh(2 log(z))
=i
2 cosh(iπ)=−i
2
22
(i ) (z) = sin z
(z+i)5, que ´e un pol a z=−id’o d e 5 ja que sin(−i) = e−e−1
2i=−isinh 1 6= 0.
Desen olupan pe Taylo :
sin z= sin(−i) + cos(−i)(z+i)−sin(−i)
2! (z+i)2−cos(−i)
3! (z+i)3+sin(−i)
4! (z+i)4+O((z+i)5).
Pe an Res( , −i) = sin(−i)
4! =−isinh 1
4!
( ) (z) = ez
z4, ´e un pol a z= 0 d’o d e 4 i:
(z) = ez
z4=1
z4X
n≥0
zn
n!=X
n≥0
zn−4
n!.
Aga an n= 3 a la s´e ie, enim que el esidu Res( , 0) = 1
3! .
( i) (z) = ez+1
z, ´e una singula i a essencial a z= 0 i
(z) = eze1
z=
X
n≥0
zn
n!
X
j≥0
1
j!zj
=X
n≥0,j≥0
1
n!
1
j!zn−j.
Si em n−j=−1, enim que, si j= 0 aix`o no ´e soluci´o pe cap n≥0 i si j≥1,
n=j−1≥0. Pe an el coe icien de g au −1 e dona pe :
Res( , 0) = X
j≥1
1
(j−1)!
1
j!=X
j≥1
j
(j!)2.
17. Calculeu, p enen els ce cles amb o ien aci´o posi i a:
(i) Zz3cos 1
zdz sob e |z+1+i|= 4.
(ii) Zsin z−sinh z
z8dz sob e |z|= 1.
(iii) Zdz
log z−1dz sob e |z−e|= 1. (U ili zeu la de e minaci´o p incipal del loga i me.)
Resoluci´o: En aques p oblema semp e u ili za em el eo ema dels esidus pe calcula les
in eg als.
(i) Rz3cos 1
zdz al ce cle |z+1+i|= 4 (cen a al pun z=−1−ii de adi 4). Aques ce cle
con ´e el pun z= 0 que ´es la ´unica singula i a de la unci´o (z) = z3cos 1
z. Aix´ı doncs
Zz3cos 1
zdz = 2πiRes( , 0).
Pe al a banda:
z3cos 1
z=z3X
n≥0
(−1)n
(2n)!z2n=z31−1
2z2+1
4!z4+O(z6)
Pe an Res( , 0) = 1
4! i lla o s
Zz3cos 1
zdz = 2πi 1
4! =πi
12.
23
(ii) Rsin z−sinh z
z8dz al ce cle |z|= 1 (cen a al pun z= 0 i de adi 1). Aques ce cle con ´e el
pun z= 0 que ´es la ´unica singula i a de la unci´o (z) = sin z−sinh z
z8. Aix´ı doncs
Zsin z−sinh z
z8dz = 2πiRes( , 0).
Pe al a banda:
sin z=z−z3
3! +z5
5! −z7
7! +O(z9)
sinh z=ez−e−z
2=z+z3
3! +z5
5! +z7
7! +O(z9)
sin z−sinh z
z8=1
z8−2z3
3! −2z7
7! +O(z9).
Pe an Res( , 0) = −2
7! i lla o s
Zsin z−sinh z
z8dz = 2πi−2
7! =−4πi
7! .
(iii) R1
log z−1dz al ce cle |z−e|= 1 (cen a al pun z=ei de adi 1). Obse em que aques
ce cle no con ´e el pun z= 0 que ´es una singula i a no aillada del log z, pe an la unci´o
log z´es holomo a a l’in e io del disc. A a b´e, el ce cle |z−e|= 1, si que con ´e en el seu
in e io el pun z=ei en aques pun la unci´o (z) = 1
log z−1 ´e un pol ja que log e−1 = 0.
Aix´ı doncs Z1
log z−1dz = 2πiRes( , e).
Pe al a banda:
Res( , e) = lim
z→e
z−e
log z−1= lim
z→e
1
1
z
=e
i pe an Z1
log z−1dz = 2πie.
20. Calculeu les in eg als acionals seg¨uen s in eg an sob e el cam´ı anca γRde ini pel segmen
[−R, R] i el semi-ce cle de cen e l’o igen i adi Ren el semi-pla supe io .
(i) Z∞
−∞
1
1 + x4dx. (Soluci´o: π/√2.)
(ii) Z∞
0
1
1 + x6dx. (Soluci´o: π/3.)
(iii) Z+∞
−∞
x2−x+ 2
x4+ 10x2+ 9dx. (Soluci´o: 5π/12.)
(i ) Z∞
−∞
dx
(1 + x2)n+1 (n∈N). (Soluci´o: π(2n−1)!!/(2n)!!.)
( ) Z∞
0
dx
ax6+b(a, b > 0). (Soluci´o: π
3a(a/b)5/6.)
24
Resoluci´o: En aques p oblema semp e u ili za em el eo ema dels esidus pe calcula les
in eg als en el ecin e γ=γ1∪γ2que ens indiquen i alesho es:
Zγ
(z)dz =Zγ1
(z)dz +Zγ2
(z)dz =ZR
−R
( )d +Zπ
0
(Reiθ)Reiθi dθ
Alesho es a em R→ ∞ i p o a em que
lim
R→∞Zπ
0
(Reiθ)Reiθi dθ= 0
i pe an ind em que: Zγ
(z)dz =Z∞
−∞
( )d .
(i) Volem calcula R∞
−∞
1
1+x4dx. Aques a unci´o ´e singula i a s a les a els qua es de −1:
x4=−1,=⇒xk=ei(π+2kπ)/4, k = 0,1,2,3.
´
Es a di , les singula i a s de 1/(1 + x4) s´on:
x0=√2
2(1 + i), x1=√2
2(−1 + i), x2=√2
2(−1−i), x3=√2
2(1 −i).
Si p enem Rp ou g an (de e R > 1 ´es su icien )nom´es x0ix1s´on a l’in e io de γ.
Lla o s: Zγ
1
1 + z4dz = 2πi(Res ( , x0) + Res ( , x1)).
A a b´e:
Res ( , xi) = lim
z→xi
z−xi
1 + z4= lim
z→xi
1
4z3=1
4x3
i
=xi
4x4
i
=−xi
4
pe an Zγ
1
1 + z4dz = 2πi −x0+x1
4=π
√2.
A a eiem que la in eg al a γ2 endeix a ze o quan R→ ∞. En e ec e:
Zγ2
1
1 + z4dz=Zπ
0
1
1 + R4e4iθ Reiθi dθ≤Zπ
0
1
|1 + R4e4iθ||Reiθi|dθ
≤πR 1
R4−1→0 quan R→ ∞.
On a la da e a desigual a hem usa que |1 + R4e4iθ| ≥ R4−1. Conclu¨ım doncs que:
Z∞
−∞
1
1 + x4dx = lim
R→∞Zγ
1
1 + z4dz =π
√2.
(ii) Aques apa a ´es simila a l’an e io . Volem calcula R∞
0
1
1+x6dx, usan que la unci´o ´es
pa ell enim que Z∞
0
1
1 + x6dx =1
2Z∞
−∞
1
1 + x6dx.
25
(i) Z2π
0
dx
(a+ cos x)2
Fen el can i z=eix eiem que
Z2π
0
1
(a+ cos x)2dx =Z2π
0
1
ieix a+eix+e−ix
22eixi dx =Z|z|=1
dz
iz a+z+1
z
22
=4
iZ|z|=1
z dz
(2az +z2+ 1)2.
La unci´o (z) = z
(2az+z2+1)2 ´e singula i a s a¨ıllades als ze os del denominado , z±=
−a±√a2−1, que, de e , s´on pols de o d e 2.
Obse em que z+·z−= 1 i que com a > 1 o es dues s´on eals i nega i es. De e enim
que z−=−a−√a2−1<−1. Pe an −1< z+<0 pe any al ce cle uni a i lla o s:
Z2π
0
1
(a+ cos x)2dx =4
iZ|z|=1
z dz
(2az +z2+ 1)2=4
i2πiRes( , z+)
= 8πlim
z→z+
d
dz (z−z+)2 (z)= 8πlim
z→z+
d
dz z
(z−z−)2
=8πa
4(a2−1)3
2
=2πa
(a2−1)3
2
.
(ii) Obse em que:
Zπ
2
0
dx
a+ sin2x=1
2Zπ
0
dx
a+ sin2x=1
2Zπ
0
dx
a+e2ix+e−2ix−2
−4
=−2Zπ
0
dx
−4a+e2ix +e−2ix −2.
Fen el can i z=e2ix eiem que (obse eu que dz =e2ix2i)
−2Zπ
0
dx
−4a+e2ix +e−2ix −2=−1
iZ|z|=1
dz
z(−4a+z+1
z−2)
=−1
iZ|z|=1
dz
−(4a+ 2)z+z2+ 1.
La unci´o (z) = 1
−(4a+2)z+z2+1 ´e singula i a s a¨ıllades als ze os del denominado , z±=
2a+ 1 ±p(2a+ 1)2−1, que, de e , s´on pols de o d e 1.
Obse em que z+·z−= 1 i que com a > 0 o es dues s´on eals i posi i es. De e enim que
z+= 2a+1+p(2a+ 1)2−1>1, pe an 0 < z−<1 ´es dins el ce cle uni a . Lla o s:
Zπ
2
0
1
a+ sin2xdx =−1
iZ|z|=1
dz
−(4a+ 2)z+z2+ 1 =−1
i2πiRes( , z−)
=−2πlim
z→z−
(z−z−) (z) = −2π1
z−−z+
=2π
2p(2a+ 1)2−1=π
2√a2+a.
32
(iii) Obse em que:
(x+π) = cos2(3x+ 3π)
5−4 cos(2x+ 2π)=(−cos 3x)2
5−4 cos 2x=cos23x
5−4 cos 2x= (x).
´
Es a di ´es π−pe i`odica i pe an :
Z2π
0
cos23x
5−4 cos 2xdx = 2 Zπ
0
cos23x
5−4 cos 2xdx.
Fen el can i z=e2ix eiem que (obse eu que dz =e2ix2i)
Z2π
0
cos23x
5−4 cos 2xdx = 2 Zπ
0
e6ix+e−6ix+2
4
5−2e2ix −2e−2ix dx =1
iZ|z|=1
z3+z−3+2
4
z(5 −2z−2z−1)dz
=1
4iZ|z|=1
z6+ 2z3+ 1
z3(−2z2+ 5z−2) dz.
La unci´o (z) = z6+2z3+1
z3(−2z2+5z−2) ´e singula i a s aillades als ze os del denominado , z= 0,
z= 2, z=1
2, que, de e , s´on pols. En conc e z= 0 ´es un pol d’o d e 3 i els al es dos s´on
d’o d e 1. Nom´es z= 0 i z=1
2con ibui an a la in eg al pe qu`e z= 2 no ´es a l’in e io
del ce cle uni a .
Pe calcula el esidu a z= 0, em la s`e ie de Lau en :
1
−2z2+ 5z−2=−1
2
1
1−5
2z+z2=−1
2
1
1−(5
2z−z2)
=−1
2 1 + 5
2z−z2+5
2z−z22
+O(z3)!
=−1
21 + 5
2z+21
4z2+O(z3).
Pe an :
(z) = −1
21 + 5
2z+21
4z2+O(z3)1+2z3+z61
z3
i podem calcula el esidu com el coe icien de z−1que ´es Res ( , 0) = −21
8.
Pe al a banda, com 1
2´es un pol simple:
Res , 1
2= lim
z→1
2z−1
2 (z) = 1 + 2(1
2)3+ (1
2)6
(1
2)3(−2)(1
2−2) =27
8.
A a ja podem calcula la in eg al:
Z2π
0
cos23x
5−4 cos 2xdx =1
4iZ|z|=1
z6+ 2z3+ 1
z3(−2z2+ 5z−2dz
=1
4i2πi Res ( , 0) + Res , 1
2=π
2−21
8+27
8
=3π
8.
33
23. Calculeu les in eg als seg¨uen s in eg an sob e el cam´ı anca γε,R (0 < ε 1 i R1) de ini
pe la uni´o dels dos segmen s [ε, R]i[−R, −ε] amb les mi jes ci cum e `encies de cen e l’o igen
i adis εiRcon ingudes en el semi-pl`a supe io .
(i) Z∞
0
log x
x2+a2dx (a > 0). (Soluci´o (π/2a) log(a).)
(ii) Z∞
0
log2x
x2+ 1dx. (Soluci´o π3/8.)
(iii) Z∞
0
log x
(x2+ 1)2dx. (Soluci´o −π/4.)
Resoluci´o:
(i) In eg em, al com ens indiquen: Zγ
log z
z2+a2dz.
Pe al que la unci´o (z) = log z
z2+a2sigui holomo a (excep e singula i a s a¨ıllades) en l’in-
e io del cam´ı ia , p enem la de e minaci´o del loga i me eien , pe exemple, la semi-
ec a ={z∈C,Im z < 0,Re z= 0}, ´es a di p enem els a gumen s de zsa is en
−π
2<a g z < +3π
2. Aix´ı al domini Ω = C i ´e una singula i a a¨ıllada a Ω als pun
z=ai, que ´es un pol simple i pe any a l’in e io de γsi ε´es p ou pe i i R´es p ou g an.
Pe an , pe una banda:
Zγ
log z
z2+a2dz = 2πiRes( , ai)=2πi lim
z→ai(z−ai)log z
z2+a2= 2πi lim
z→ai
log z
z+ai
= 2πilog ai
2ai =πlog a+iπ
2
a=π
alog a+iπ2
2a
Pe al a banda, com γ=γ1+γ2+γ3+γ4, descomposem la in eg al sob e γde la o ma:
Zγ
(z)dz =Zγ1
(z)dz +Zγ2
(z)dz +Zγ3
(z)dz +Zγ4
(z)dz.
Tind em que:
•Aγ1pa ame i zem pe z= i lla o s:
Zγ1
(z)dz =ZR
ε
log
2+a2d .
•Aγ2pa ame i zan pe z=Reiθ:
Zγ2
(z)dz =Zπ
0
log(Reiθ)
R2e2iθ +a2Reiθi dθ =Zπ
0
log R+iθ
R2e2iθ +a2Reiθi dθ.
•Aγ3pa ame i zan pe z= eiπ:
Zγ3
(z)dz =−ZR
ε
log( eiπ)
2e2iπ +a2eiπ d =ZR
ε
log +iπ
2+a2d .
34
•Aγ4pa ame i zan pe z=εeiθ :
Zγ4
(z)dz =−Zπ
0
log(εeiθ)
ε2e2iθ +a2εeiθi dθ =−Zπ
0
log ε+iθ
ε2e2iθ +a2εeiθi dθ.
El seg¨uen pas ´es p end e els l´ımi s ε→0 i R→ ∞. Obse em que:
•Aγ1, p enen R→ ∞ iε→0:
Zγ1
(z)dz →Z∞
0
log
2+a2d .
•Aγ2, usan que, si R´es p ou g an: π≤log R
Zγ2
(z)dz≤Zπ
0p(log R)2+θ2
R2−a2R dθ ≤Zπ
0p(log R)2+π2
R2−a2R dθ
≤√2πlog R
R2−a2R dθ →0, R → ∞.
•Aγ3, p enen ε→0, R→ ∞:
Zγ3
(z)dz →Z∞
0
log +iπ
2+a2d =Z∞
0
log
2+a2d +iπ Z∞
0
1
2+a2d
=Z∞
0
log
2+a2d +iπ2
2a,
on hem usa que R∞
0
d
2+a2=1
a[a c an
a]∞
0=π
2a.
•Aγ4, usa que, si ε´es p ou pe i , π≤ |log ε|:
Zγ4
(z)dz≤Zπ
0p(log ε)2+θ2
a2−ε2ε dθ ≤πp(log ε)2+π2
a2−ε2ε
≤√2πlog ε
a2−ε2ε→0, ε →0.
Tenim doncs:
π
alog a+iπ2
2a=Z∞
0
log
2+a2d +Z∞
0
log
2+a2d +iπ2
2a
i conclu¨ım que: Z∞
0
log
2+a2d =π
2alog a.
(ii) In eg em, al com ens indiquen: Zγ
log2z
z2+ 1 dz.
Pe al que la unci´o (z) = log2z
z2+1 sigui holomo a (excep e un nomb e ini de singula i a s
a¨ıllades) en l’in e io del cam´ı ia , p enem la de e minaci´o del loga i me eien , pe
exemple, la semi ec a ={z∈C,Im z < 0,Re z= 0}, ´es a di els a gumen s sa is an :
35
−π
2<a g z < +3π
2. Aix´ı al domini Ω = C i ´e una singula i a aillada a Ω al pun
z=i, que ´es un pol simple i pe any a l’in e io de γsi ε´es p ou pe i i R´es p ou g an.
Pe an , pe una banda:
Zγ
log2z
z2+ 1 dz = 2πiRes( , i)=2πi lim
z→i(z−i)log2z
z2+ 1 = 2πi lim
z→i
log2z
z+i
= 2πilog2i
2i=πlog 1 + iπ
22=−π3
4.
Pe al a banda, com γ=γ1+γ2+γ3+γ4, descomposem la in eg al sob e el cam´ı γcom:
Zγ
(z)dz =Zγ1
(z)dz +Zγ2
(z)dz +Zγ3
(z)dz +Zγ4
(z)dz.
Lla o s
•Aγ1pa ame i zan pe z= :
Zγ1
(z)dz =ZR
ε
log2
2+ 1 d .
•Aγ2pa ame i zan pe z=Reiθ:
Zγ2
(z)dz =Zπ
0
log2(Reiθ)
R2e2iθ + 1Reiθi dθ =Zπ
0
(log R+iθ)2
R2e2iθ + 1 Reiθi dθ.
•Aγ3pa ame i zan pe z= eiπ:
Zγ3
(z)dz =−ZR
ε
log2( eiπ)
2e2iπ + 1eiπ d =ZR
ε
(log +iπ)2
2+ 1 d
=ZR
ε
log2
2+ 1 d −π2ZR
ε
1
2+ 1 d + 2iπ ZR
ε
log
2+ 1 d .
•Aγ4pa ame i zan pe z=εeiθ:
Zγ4
(z)dz =−Zπ
0
log2(εeiθ)
ε2e2iθ + 1εeiθi dθ =−Zπ
0
(log ε+iθ)2
ε2e2iθ + 1 εeiθi dθ.
El seg¨uen pas ´es p end e els l´ımi s ε→0 i R→ ∞. Obse em que:
•Aγ1, quan R→ ∞ iε→0:
Zγ1
(z)dz →Z∞
0
log2
2+ 1 d .
•Aγ2, u ili zan que si R´es p ou g an, π≤log R:
Zγ2
(z)dz≤Zπ
0
(log R)2+θ2
R2−1R dθ ≤Zπ
0
(log R)2+π2
R2−1R dθ
≤2πlog2R
R2−1R dθ →0, R → ∞.
36
•Aγ3, p enen ε→0 i R→ ∞:
Zγ3
(z)dz →Z∞
0
log2
2+ 1 d −π2Z∞
0
1
2+ 1 d + 2iπ Z∞
0
log
2+ 1 d
=Z∞
0
log2
2+ 1 d −π3
2+ 2πiπ
2log 1 = Z∞
0
log2
2+ 1 d −π3
2,
on hem usa que R∞
0
d
2+1 =π
2i el esul a de l’apa a i) pe calcula la e ce a in eg al
amb a= 1.
•Aγ4, u ili zan que si ε´es p ou pe i , lla o s π≤ |log ε|:
Zγ4
(z)dz≤Zπ
0
(log ε)2+θ2
1−ε2ε dθ ≤π(log ε)2+π2
1−ε2ε
≤2πlog2ε
1−ε2ε→0, ε →0.
Tenim doncs:
−π3
4=Z∞
0
log2
2+ 1 d +Z∞
0
log2
2+ 1 d −π3
2
i pe an Z∞
0
log2
2+ 1 d =π3
8.
(iii) In eg em, al com ens indiquen: Zγ
log z
(z2+ 1)2dz.
Pe al que la unci´o (z) = log z
(z2+1)2sigui holomo a (excep e en un nomb e ini de singu-
la i a s a¨ıllades) en l’in e io del cam´ı ia , p enem la de e minaci´o del loga i me eien ,
pe exemple, la semi ec a ={z∈C,Im z < 0,Re z= 0}, ´es a di p enem els a gumen s
−π
2<a g z < +3π
2. Aix´ı al domini Ω = C i ´e singula i a a¨ıllada a Ω al pun z=i,
que ´es un pol doble i pe any a l’in e io de γsi ε´es p ou pe i i R´es p ou g an. Pe an ,
pe una banda:
Zγ
log z
(z2+ 1)2dz = 2πiRes( , i)=2πi lim
z→i
d
dz (z−i)2log z
(z2+ 1)2= 2πi lim
z→i
d
dz
log z
(z+i)2
= 2πi lim
z→i
(z+i)1
z−2 log z
(z+i)3= 2πi2−2 log i
(2i)3=−π
2+π2
4i.
A a descomposem la in eg al sob e γu ili zan que γ=γ1+γ2+γ3+γ4:
Zγ
(z)dz =Zγ1
(z)dz +Zγ2
(z)dz +Zγ3
(z)dz +Zγ4
(z)dz.
Tind em:
•Aγ1pa ame i zan z= :
Zγ1
(z)dz =ZR
ε
log
( 2+ 1)2d .
37
•Aγ2pa ame i zan z=Reiθ:
Zγ2
(z)dz =Zπ
0
log(Reiθ)
(R2e2iθ + 1)2Reiθi dθ =Zπ
0
log R+iθ
(R2e2iθ + 1)2Reiθi dθ.
•Aγ3pa ame i zan z= eiπ:
Zγ3
(z)dz =−ZR
ε
log( eiπ)
( 2e2iπ + 1)2eiπ d =ZR
ε
(log +iπ)
( 2+ 1)2d
=ZR
ε
log
( 2+ 1)2d +iπ ZR
ε
1
( 2+ 1)2d .
•Aγ4pa ame i zan z=εeiθ:
Zγ4
(z)dz =−Zπ
0
log(εeiθ)
(ε2e2iθ + 1)2εeiθi dθ =−Zπ
0
(log ε+iθ)
(ε2e2iθ + 1)2εeiθi dθ.
El seg¨uen pas ´es p end e els l´ımi s ε→0 i R→ ∞. Obse em que:
•Aγ1, p enen R→ ∞ iε→0:
Zγ1
(z)dz →Z∞
0
log
( 2+ 1)2d .
•Aγ2, usan que, si R´es p ou g an, π≤log R:
Zγ2
(z)dz≤Zπ
0p(log R)2+θ2
(R2−1)2R dθ ≤Zπ
0p(log R)2+π2
(R2−1)2R dθ
≤√2πlog R
(R2−1)2R dθ →0R→ ∞.
•Aγ3, p enen R→ ∞ iε→0:
Zγ3
(z)dz →Z∞
0
log +iπ
( 2+ 1)2d =Z∞
0
log
( 2+ 1)2d +iπ Z∞
0
1
( 2+ 1)2d
=Z∞
0
log
( 2+ 1)2d +iπ2
4,
on hem usa que R∞
0
d
( 2+1)2=1
2[a c an +
1+ 2]∞
0=π
4.
•Aγ4, usan que si ε´es p ou pe i , π≤ |log ε|:
Zγ4
(z)dz≤Zπ
0p(log ε)2+θ2
(1 −ε2)2ε dθ ≤πp(log ε)2+π2
(1 −ε2)2ε
≤√2πlog ε
(1 −ε2)2ε→0ε→0.
Tenim doncs:
−π
2+π2
4i=Z∞
0
log
( 2+ 1)2d +Z∞
0
log
( 2+ 1)2d +iπ2
4
i pe an : Z∞
0
log
( 2+ 1)2d =−π
4.
38
24. Calculeu les in eg als seg¨uen s in eg an la unci´o (z) sob e el cam´ı γRde ini pel segmen
[−R, R] i la semi-ci cum e `encia de cen e l’o igen i adi Ren el semi-pl`a supe io .
(i) Z∞
0
cos x
x2+a2dx (a > 0) en (z) = eiz
z2+a2. (Soluci´o: πe−a/(2a).)
(ii) Z∞
0
xsin x
x2+a2dx (a > 0) en (z) = zeiz
z2+a2. (Soluci´o: πe−a/2.)
(iii) Z∞
0
sin x
x(x2+a2)dx (a > 0) en (z) = eiz −1
z(z2+a2). (Soluci´o: π(1 −e−a)/(2a2).)
(i ) Z+∞
0
x2−a2
x2+a2
sin x
xdx combinan els dos apa a s an e io s. (Soluci´o: −π/2 + πe−a.)
Resoluci´o:
(iii) In eg em, al com ens indiquen: Zγ
eiz −1
z(z2+a2)dz.
La unci´o (z) = eiz −1
z(z2+a2) ´e singula i a s a¨ıllades als pun s z= 0 i z=±ai i ´es holomo a,
excep e z= 0,±ai, a l’in e io del cam´ı ia . La singula i a z= 0 ´es e i able ja que:
lim
z→0
eiz −1
z(z2+a2)= lim
z→0
ieiz
3z2+a2=i
a2.
Les singula i a s z=±ia s´on pols simples i nom´es ai pe any a lin e io de γsi R´es p ou
g an. Pe an :
Zγ
eiz −1
z(z2+a2)dz = 2πiRes( , ai)=2πi lim
z→ai(z−ai)eiz −1
z(z2+a2)= 2πi lim
z→ai
eiz −1
z(z+ai)
= 2πie−a−1
−2a2.
A a descomposem la in eg al u ili zan que γ=γ1+γ2.´
Es a di :
Zγ
(z)dz =Zγ1
(z)dz +Zγ2
(z)dz.
Tind em:
•Aγ1pa ame i zan z= :
Zγ1
(z)dz =ZR
−R
ei −1
( 2+a2)d =ZR
−R
cos −1
( 2+a2)d +iZR
−R
sin
( 2+a2)d .
•Aγ2pa ame i zan z=Reiθ:
Zγ2
(z)dz =Zπ
0
eiReiθ −1
Reiθ(R2e2iθ +a2)Reiθi dθ =Zπ
0
eiR cos θ−Rsin θ−1
R2e2iθ +a2i dθ.
El seg¨uen pas ´es p end e el l´ımi R→ ∞. Obse em que:
39
•Pe la in eg al sob e γ1, quan R→ ∞:
Zγ1
(z)dz →Z∞
−∞
cos −1
( 2+a2)d +iZ∞
−∞
sin
( 2+a2)d .
•Pe la in eg al sob e γ2, com sin θ≥0 pe θ∈[0, π]:
Zγ2
(z)dz≤Zπ
0
e−Rsin θ+ 1
R2−a2dθ ≤Zπ
0
2R
R2−a2dθ
≤π2
R2−a2→0, R → ∞.
Tenim doncs:
2πie−a−1
−2a2=Z∞
−∞
cos −1
( 2+a2)d +iZ∞
−∞
sin
( 2+a2)d
i pe an : Z∞
−∞
cos −1
( 2+a2)d = 0,Z∞
−∞
sin
( 2+a2)d = 2πe−a−1
−2a2.
Obse em que la unci´o cos −1
( 2+a2)´es sena , pe an el esul a sob e la se a in eg al ´es
cohe en . D’al a banda, com la unci´o sin
( 2+a2)´es pa ell, enim que:
Z∞
0
sin
( 2+a2)d =πe−a−1
−2a2=π1−e−a
2a2.
26. Sigui g(x) una unci´o holomo a a o el pla complex menys en un conjun ini de pols F=
{z1, . . . , zm} ⊂ C Z´es un conjun ini de pols, i complin que lim|z|→+∞|zg(z)|= 0. P o eu
que:
X
n∈Z
g(n) = −π
m
X
j=1
Res(g(z) co (πz); zj),
X
n∈Z
(−1)ng(n) = −π
m
X
j=1
Res(g(z)cosec(πz); zj).
(Indicaci´o: Conside eu la unci´o (z) = g(z) co (πz) i (z) = g(z)cosec(πz), segons el cas, i
in eg eu-la en el cam´ı anca γNde ini pel quad a de `e exs (N+1
2)(±1±i), N∈N.
Resoluci´o: Conside em la unci´o (z) = g(z)co πz =g(z)cos πz
sin πz . Obse em que aques a unci´o
´e in ini s pols:
•Als ze os del sin πz, ´es a di a z∗
n=n, n ∈Z.
•Als pols de g(z), ´es a di a z1,...zm.
Com z1,··· , zm/∈Z, la ´o mula ´e sen i . Alesho es quan in eg em al cam´ı indica , si N´es
p ou g an, podem suposa que els pols z1,...zms´on a l’in e io de γN. Pe al a banda z∗
n
pe |n| ≤ N ambe hi se `an i podem aplica el eo ema dels esidus a la unci´o (z) ja que les
40
se es singula i a s s´on a¨ıllades i ´es holomo a a l’in e io del cam´ı (excep e les singula i a s).
Ob ind em: ZγN
(z)dz =
N
X
n=−N
Res ( , n) +
m
X
j=1
Res ( , zj).
Calculem els esidus Res ( , n):
Res ( , n) = lim
z→n(z−n) (z) = lim
z→n(z−n)g(z)cos πz
sin πz = lim
z→ng(z) lim
z→n(z−n)cos πz
sin πz
=g(n) lim
z→n−π(z−n) sin πz + cos πz
πcos πz =g(n)
π.
A a, p enen N→ ∞, eu em que
ZγN
(z)dz →0, N → ∞,(1.4)
alesho es ind em:
0 = ∞
X
n=−∞
Res ( , n) +
m
X
j=1
Res ( , zj) = ∞
X
n=−∞
g(n)
π+
m
X
j=1
Res ( , zj)
que ´es el esul a que oliem p o a .
Pe demos a (1.4) obse em que la unci´o cos πz
sin πz es `a aco ada al nos e cam´ı. En e ec e:
cos πz
sin πz =
eiz +e−iz
eiz −e−iz ≤e−Im z+eIm z
|e−Im z−eIm z|.
Alesho es
•Si Im z≥1 enim
cos πz
sin πz ≤2eIm z
eIm z−e−Im z≤2eIm z
eIm z(1 −e−2 Im z)≤2
(1 −e−2)≤4.
•An`alogamen , quan Im z≤ −1 enim
cos πz
sin πz ≤2e−Im z
e−Im z−eIm z≤2e−Im z
e−Im z(1 −e2 Im z)≤2
(1 −e−2)≤4
Pe an podem a i ma que, a les on e es ho i zon als de γN:
cos πz
sin πz ≤4.
A les on e es e icals, z= (N+1
2)(±1 + i ), ∈[−1,1]. U ili zan que h(z) = cos πz
sin πz ´es
1−pe i`odica, ind em que:
hN+1
2(±1 + i )=h±1
2+iN+1
2 =
cos ±π
2+iπ N+1
2
sin ±π
2+iπ N+1
2
=
sin iπ N+1
2
cos iπ N+1
2 =
sinh πN+1
2
cosh πN+1
2 ≤1
41
33. Demos eu que la unci´o 2 + z2−eiz nom´es ´e un ze o en el semipl`a supe io .
Resoluci´o: Volem eu e que la unci´o g(z) = 2 + z2−eiz, nom´es ´e un ze o al semipl`a supe io
{Im z≥0}.
El que demos a em se `a que, si R´es p ou g an, la unci´o g(z) nom´es ´e un ze o a l’in e io del
semice cle co esponen a la in e secci´o del ce cle CRcen a al 0 i de adi R > 0 amb el semipl`a
supe io . La o a d’aques semice cle Γ = Γ1∪Γ2on
Γ1={z∈C, z =Reiθ,0≤θ≤π},Γ2={z∈C,Im z= 0,−R≤Re z≤R}.
Veu em que, si R1 (de e demos a em que cal R > 2), g(z) ´e o s un ´unic ze o a CR
aplican el eo ema de Rouch´e a les uncions g(z) i (z) = 2 + z2i sob e el cam´ı Γ. Obse eu
que, si podem aplica el eo ema de Rouch´e, dedu¨ım que g(z) ´e els ma eixos ze os a l’in e io
de CRque (z) = 2 + z2, ´es a di 1 (l’al e ze o de no ´es a l’in e io CR). Com aix`o ´es ce
∀R > 2, gnom´es ´e un ze o a Im z≥0 i hau em acaba .
Anem doncs a comp o a que les hip`o esis del eo ema de Rouch´e es sa is an. ´
Es cla que les
dues uncions s´on holomo es a C. Respec e al cam´ı, cla amen Γ ∼0 i o pun z∈C Γ sa is `a
que o b´e n(Γ, z) ´es 0 (si zpe any a l’in e io de Γ) o 1 (en cas con a i). Nom´es ens queda pe
demos a que si z∈Γ, |g(z)− (z)|<| (z)|. Com |g(z)− (z)|=|eiz|=e−Im zens cal eu e
que si z∈Γ
|g(z)− (z)|<| (z)| ⇐⇒ e−Im z<|2 + z2|.(1.5)
Obse em que, si z∈Γ, lla o s Im z≥0 i pe an una condici´o su icien pe qu`e (1.5) sigui
ce a ´es que
1<|2 + z2|.(1.6)
Veiem (1.6) p ime pe z∈Γ1. A Γ1 enim que |z|=Ri si R > 2:
|2 + z2| ≥ ||z|2−2|=|R2−2|=R2−2>4−2=2>1.
Pe an (1.6) ´es ce a Γ1. La condici´o (1.6) ´es ce a i ialmen pe z∈Γ2ja que z∈Ri
lla o s:
|2 + z2|= 2 + z2≥2>1.
En conclusi´o, hem demos a que pe a o z∈Γ es e i ica |g(z)− (z)|<| (z)|, i pe an les
hip`o esis del eo ema de Rouch´e es sa is an.
48