Estudio comparativo de distintos modelos de condiciones de contorno de impedancia en problemas acústicos

Compa a i e s udy o models o impedance bounda y condi ions in acous ic p oblems A. Ga iga11, C. Spa22, L.P. Pozo3 1 Cen e In e nacional de Mè odes Numè ics en Enginye ia (CIMNE), C/ Aza a 4, 07800 Ibiza, España 2 Depa amen o de Ma emá icas, Uni e sidad Técnica Fede ico San a Ma ía (UTFSM), A . Vicuña Mackenna 3939, San Joaquín, San iago, Chile 3 Depa amen o de Mecánica, Uni e sidad Técnica Fede ico San a Ma ía (UTFSM), A . España 1680, Valpa aíso, Chile Abs ac In his pape , di e en implemen a ions o nume ical locally eac ing bounda y condi ions a e s udied o acous ic p oblems. In his compa a i e s udy we analyze wo ypes o equa ions, he Eule equa ions and he wa e equa ion. We also analyze bo h ini e- di e ences ime-domain (FDTD) algo i hms, and pseudo-spec al ime domain (PSTD) nume ical schemes. We compa e di e en nume ical implemen a ions exis ing in he li e a u e by means o exhaus i e nume ical expe imen s. These nume ical expe imen s allow o he s udy o he abso bing p ope ies o he di e en schemes as a unc ion o he equency and he angle o he inciden sound wa es. This no el compa a i e s udy will help he acous ic enginee in o de o choose he p ope nume ical scheme o his/he simula ions. OPEN ACCESS Published: 01/12/2012 Accep ed: 04/07/2011 Submi ed: 18/02/2011 DOI: 10.1016/j. imni.2012.08.004 Keywo ds: Room Acous ics Fini e Di e ences Bounda y Condi ions Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía Co espondence: A. Ga iga ([email p o ec ed]), C. Spa ([email p o ec ed]), L.P. Pozo ([email p o ec ed]). This is an a icle dis ibu ed unde he e ms o he C ea i e Commons BY-NC-SA license 1 Resumen En es e a ículo se p esen an dis in as soluciones pa a la implemen ación numé ica de condiciones de con o no de impedancia ( eac ancia local) en p oblemas acús icos. Pa a ello se analizan 2 ipos de ecuaciones: las ecuaciones de Eule y la ecuación de ondas, y se es udian di e en es soluciones pa a los con o nos an o en algo i mos de di e encias ini as en el dominio del iempo (FDTD) como en algo i mos pseudo- espec ales en el dominio del iempo (PSTD). El análisis de las dis in as p opues as numé icas exis en es en la li e a u a se ealiza median e exhaus i os expe imen os numé icos que pe mi en es udia el compo amien o abso ben e de las dis in as condiciones de con o no en unción de la ecuencia y del ángulo de las ondas inciden es. Es e no edoso es udio compa a i o pe mi e al ingenie io acús ico escoge el modelo numé ico que más se adap e a sus necesidades. Palab as cla e Acús ica de salas ; Di e encias ini as ; Condiciones de con o no 1. In oducción La dis ibución del sonido en una habi ación es un enómeno complejo que depende de la geome ía del ecin o y de las p opiedades abso ben es de las pa edes, del echo y del suelo (así como de los ma e iales que los ecub en) [1] . Además, enómenos an ípicamen e acús icos como la di acción o las in e e encias p o ocan que la dis ibución de las a iables acús icas dependa ue emen e de la posición y del iempo. Así pues, los enómenos acús icos en gene al son muy complejos y esul a ex emadamen e complicado encon a soluciones analí icas pa a ca ac e iza el campo acús ico. Es po ello que el uso de o denado es pa a p edeci el compo amien o del campo acús ico se ha con e ido en una he amien a undamen al. En gene al, las simulaciones po o denado en campos como la acús ica a qui ec ónica, la ae oacús ica o la acús ica medioambien al se di iden en 2 g andes g upos [2] : los mé odos geomé icos y los mé odos numé icos que solucionan la ecuación de ondas. El p ime g upo comp ende un conjun o de algo i mos basados en la hipó esis de que las longi udes de onda del sonido son signi ica i amen e más pequeñas que las dimensiones de los obje os p esen es en el dominio de simulación. De en e es os mé odos, los más popula es son los mé odos de azado de ayos ( ay- acing en inglés) [3] , los conocidos como image-sou ce me hods[4] y los más ecien es mé odos llamados beam acing me hods[5] . Todos es os mé odos p esen an la des en aja de que no ep oducen de o ma na u al enómenos ondula o ios an impo an es como las in e e encias o la di acción. Así pues, los esul ados ob enidos con es os algo i mos son imp ecisos en el ango de ecuencias bajas, p opo cionando p edicciones e óneas en es e égimen. Es po ello que los mé odos numé icos de in eg ación de las ecuaciones di e enciales que gobie nan la e olución del campo acús ico son la al e na i a p e e ida po in es igado es e ingenie os. Desde el pun o de is a ma emá ico se a a de esol e un p oblema con condiciones iniciales y con condiciones de con o no. Pa a esol e es e ipo de p oblemas hay di e en es al e na i as: desde el uso de elemen os ini os (FEM) [6] and [7] o elemen os de on e a (BEM) [8] , mé odos h ps://www.scipedia.com/public/Ga iga_e _al_2012aa 2 A. Ga iga, C. Spa, L.P. Pozo, Es udio compa a i o de dis in os modelos de condiciones de con o no de impedancia en p oblemas acús icos, Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing., 28(4) (2012), p 214-224. que o iginalmen e ue on desa ollados pa a a a p oblemas en el dominio ecuencial, has a los mé odos en di e encias ini as en el dominio del iempo (FDTD) [9] o los conocidos como digi al wa eguide mesh me hods (DWM) [10] usados habi ualmen e pa a esol e p oblemas ansi o ios. Todos es os mé odos p opo cionan di e en es en ajas y des en ajas en é minos compu acionales dependiendo de su cos e y complejidad. Sin emba go, la di e encia más acusada es iba en su ango de aplicabilidad: los mé odos como FEM o BEM se cen an en el análisis ecuencial y, po an o, p opo cionan esul ados pa a si uaciones es aciona ias; po o o lado, los mé odos como FDTD o DWM se usan p incipalmen e pa a el cálculo de la espues a impulsional, que es un ema cen al en acús ica a qui ec ónica [1] y acús ica ambien al [11] . Cabe deci , sin emba go, que en los úl imos años han apa ecido a ian es de FEM y de BEM pa a a a p oblemas acús icos en el dominio del iempo [12] . Recien emen e han apa ecido como al e na i a unos nue os algo i mos conocidos como mé odos pseudo-espec ales en el dominio del iempo (PSTD) [13] que usan ans o madas de Fou ie pa a calcula las de i adas espaciales. Los algo i mos PSTD hacen un uso exhaus i o de la as ou ie ans o m[14] po lo que, en algunas si uaciones, son mucho más ápidos que los clásicos FDTD. O a en aja que ienen los mé odos PSTD espec o a los FDTD es el hecho de que p esen an una dispe sión muy baja (en la p ác ica se conside an isó opos) [13] , [15] and [16] . En los úl imos años, los algo i mos PSTD se han usado en di e en es campos ales como la p opagación de ondas de sonido [17] and [18] , el modelado de ansduc o es piezoeléc icos [19] o la simulación de disposi i os o ónicos [20] . Pa a la aplicación de los algo i mos PSTD en si uaciones de in e és p ác ico es necesa ia la o mulación de modelos numé icos pa a las condiciones de con o no. A lo la go de la úl ima década se ha p es ado mucha a ención a es e p oblema en el campo de los algo i mos FDTD, y en pa icula a la ob ención de modelos de impedancia local pa a ca ac e iza pa edes e lec an es. Básicamen e, es e modelo asume que la p esión acús ica y la componen e no mal del la elocidad de pa ícula es án linealmen e elacionadas po una impedancia acús ica Z[21] . Es a elación pe mi e ob ene exp esiones analí icas del coe icien e de e lexión, R , ob enido en el égimen en el que una onda plana impac a con una pa ed de es as ca ac e ís icas. El desa ollo de condiciones de con o no de impedancia local pa a algo i mos PSTD es un ema muy ecien e [18] and [22] y que pe mi i á el uso de es os algo i mos en múl iples campos de in es igación. En el p esen e a ículo se p esen a po p ime a ez un es udio compa a i o de allado de los modelos de impedancia local an o pa a algo i mos FDTD como PSTD aplicados an o a las ecuaciones de Eule como a la ecuación de ondas. El a ículo es á o ganizado como sigue: en la sección 2 se explica en de alle lo que signi ica el modelo de impedancia local pa a las condiciones de con o no; en la sección 3 se p esen an los expe imen os numé icos que se i án pa a cuan i ica el compo amien o de los dis in os modelos numé icos; en la sección 4 se analiza án di e en es algo i mos pa a las ecuaciones de Eule an o en FDTD como en PSTD; en la sección 5 se ealiza el mismo es udio pa a la ecuación de ondas; inalmen e, la sección 6 es á des inada a las conclusiones y a las líneas de in es igación abie as. 2. Modelo de impedancia local En gene al exis en muchas clases de ma e iales con p opiedades acús icas di e en es. Exis en algunos ma e iales po osos capaces de abso be mucha ene gía [23] ; ambién exis en ma e iales en los que apa ece el enómeno de e lexión acús ica ca ac e izados po su impedancia supe icial[24] . Pa a es e úl imo ipo de ma e iales es azonable asumi que las pa ículas del ma e ial ienen un compo amien o local e independien e unas con o as. Conside emos el caso de una supe icie plana ca ac e izada po una impedancia de con o no especí ica. Si una onda plana impac a con a una supe icie uni o me de ex ensión in ini a, una pa e de la ene gía acús ica se e leja á en o ma de o a onda plana, de ampli ud y ase dis in a con espec o de la onda inciden e. Los cambios en la ampli ud y en la ase que suceden du an e la e lexión de una onda plana ienen de inidos po el ac o de e lexión complejo, R , R= | |R| |e(ιϕ ),( 1) donde ||R || ≤ 1, ι es la unidad imagina ia y ϕ es la ase. El ac o de e lexión iene ue emen e in luenciado po las p opiedades acús icas del ma e ial. Además, an o su alo absolu o como su ase son dependien es de la ecuencia y di ección de la onda inciden e. En o as palab as, la in ensidad de una onda e lejada se e disminuida un ac o ||R ||2 compa ada con la onda inciden e, pe diendo la acción 1 − ||R ||2 de ene gía. Es a can idad es conocida como «coe icien e de abso ción acús ico», α , α= 1 − | |R| |2.( 2) Pa a una pa ed de e lec i idad ce o, R = 0, el coe icien e abso ción oma su alo máximo 1. Es as pa edes son conocidas como pa edes o almen e abso ben es. Si R = 1 (en ase), se conocen como pa edes «du as» o « ígidas»; en el caso que R = −1 ( ase in e sa), se habla de pa edes «blandas». En ambos casos no hay abso ción del sonido. Como se ha mencionado an es, R depende ue emen e de las p opiedades acús icas del ma e ial. Más conc e amen e, odas las p opiedades acús icas ienen de inidas po la impedancia acús ica Z . La impedancia Z se de ine, en el caso de una onda plana, como el cocien e en e la ampli ud compleja y la componen e no mal de la elocidad de la pa ícula . En gene al, es a impedancia p esen a una espues a pa icula dependiendo de la o ma de la onda inciden e, además de que puede se ue emen e dependien e de la ecuencia. En es e a ículo se conside a á el caso en el que Z es independien e de la ecuencia. Pa a se más conc e os, de inamos un dominio dos-dimensional V . La p esión acús ica, p (x , ), y la elocidad de pa ícula, (x , ), den o del dominio se án ca ac e izadas po la ecuación de ondas (o, equi alen emen e, po las ecuaciones de Eule ), excep o en esas posiciones, x , que es én localizadas en el con o no ∂V ( éase ig. 1 ). La elación empo al en e la p esión acús ica y la elocidad en ∂V iene dada po p(x, )=Z (x, )⋅n ˆ,( 3) donde nˆ es el ec o no mal de la pa ed [1] y Z es una cons an e posi i a eal (i.e. la impedancia). Po o o lado, en las supe icies de impedancia local se asume que la ecuación de conse ación lineal de masa se cumple en la di ección no mal: ∂ (x, )⋅n ˆ ∂ = − 1 ρ(∇ ⋅ n ˆ)p(x, ) . ( 4) h ps://www.scipedia.com/public/Ga iga_e _al_2012aa 3 A. Ga iga, C. Spa, L.P. Pozo, Es udio compa a i o de dis in os modelos de condiciones de con o no de impedancia en p oblemas acús icos, Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing., 28(4) (2012), p 214-224. donde ∇ es el ec o g adien e en coo denadas ca esianas. Figu a 1. Re lexión p oducida po una supe icie de impedancia, ∂V , en el dominio 2D, V . nˆ es el ec o no mal asociado al con o no. Si una onda plana que iaja hacia una supe icie de impedancia local impac a con a ella con un ángulo de incidencia θ , se de ine el coe icien e de e lexión R como el cocien e en e la onda e lejada y la inciden e, p e y pinc espec i amen e. Es e cocien e es á elacionado con la impedancia acús ica Z a a és de [21] : R(θ) = Zcosθ −ρc Zcosθ +ρc ,( 5) donde ρ es la densidad del ai e, c ep esen a la elocidad de p opagación del sonido y θ es el ángulo ep esen ado en la ig 1 . A pesa de que se puedan u iliza an o las ecuaciones de Eule como la de ondas pa a ca ac e iza la p opagación del sonido en el ai e, la elección en e una u o a ecuación di e encial condiciona á la o ma de la ecuación numé ica del modelo de impedancia. Po ejemplo, si se u ilizan las ecuaciones de Eule , las condiciones de con o no se deduci án di ec amen e de las ecuaciones (3) y (4) . Po el con a io, si se u ilizan algo i mos basados en la ecuación de ondas pa a desc ibi la p opagación del sonido en el ai e, se deben in oduci unas a iaciones a las ecuaciones (3) y (4) pa a que puedan se aplicadas a es os algo i mos conc e os. Po ejemplo, si se in oduce la ecuación (3) en la ecuación de conse ación de masa, ecuación (4) , se ob iene una exp esion más ap opiada pa a la ecuación de ondas, ∂p(x, ) ∂ = − Z ρ(∇⋅n ˆ)p(x, ) . ( 6) Nó ese que la ecuación (6) solo depende de la p esión acús ica, en luga de la ecuación (4) que elaciona la p esión con la componen e no mal de la elocidad. 3. Expe imen o numé ico En es a sección se de ine el expe imen o numé ico que se u iliza á pa a es ea la p ecisión de a ias condiciones de con o no numé icas en los mé odos FDTD y PSTD desa ollados pa a simula el modelo de impedancia local. El diseño del expe imen o es á inspi ado en Kelloniemi e al. [25] and [26] y es á de allado en [18] . El expe imen o consis e en una malla dos-dimensional ec angula con una uen e localizada en xs . Va ios ecep o es, xτξ y xτξ ′ , donde ξ = 1, 2, 3…, se si úan a lo la go de líneas pa alelas τ y τ ′ al y como se mues a en la igu a 2 . Figu a 2. Una ep esen ación esquemá ica del expe imen o numé ico: la uen e se localiza en xs , los ecep o es se si uan en τ y τ ′. ∂V ep esen a una supe icie plana que es á a la misma dis ancia de xτ que de xτ′ . U ilizando el expe imen o ilus ado en la igu a 2 , 2 simulaciones dis in as se lle an a cabo: una simulación incluyendo una línea de nodos de con o no, ∂V , localizado jus o en el medio; y una segunda simulación en el espacio lib e sin ninguna pa ed en medio. En ambas simulaciones, la uen e de sonido pun ual, xs , emi e un impulso acús ico que se ap oxima po : p uen e n=sin(2π (n−n0)Δ ) 2π (n−n0)Δ n≤n .( 7) Nó ese que es a unción iene un espec o plano desde 0 has a . n ep esen a el paso de iempo y n es el iempo en el que el impulso acús ico cesa. En la p ime a simulación, la p esión acús ica se mide en odas las posiciones, xτξ , ξ = 1, 2, 3…. Es as señales con ienen no solo el sonido di ec o, sino ambién el sonido e lejado po la supe icie, ∂V . Po o o lado, en la segunda simulación (en el espacio lib e) las señales se miden en ambas localizacions, en xτξ y en xτξ ′ . De es a o ma, se puede elimina el sonido di ec o en los ecep o es xτξ de la p ime a simulación u ilizando la in o mación ob enida en las mismas posiciones pe o en la segunda simulación. Finalmen e, pa a pode medi el coe icien e de e lexión en los ecep o es xτξ , la espues a al impulso en el espacio de ecuencias ob enida en la p ime a simulación (una ez eliminado el sonido di ec o) se compa a con los esul ados ob enidos en la segunda simulación en las posiciones xτξ ′ . En esumen: pa a cada ecep o xτξ es posible ob ene el h ps://www.scipedia.com/public/Ga iga_e _al_2012aa 4 A. Ga iga, C. Spa, L.P. Pozo, Es udio compa a i o de dis in os modelos de condiciones de con o no de impedancia en p oblemas acús icos, Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing., 28(4) (2012), p 214-224. coe icien e de e lexión compa ando el espec o de las señales medidas en las posiciones xτξ con las posiciones especula es xτξ ′ . Debido al hecho de que dis in os ecep o es co esponden a dis in os ángulos, con es e expe imen o somos capaces de medi en una única simulación el e o absolu o ϵ= 20log10 ∥R eo −Rmed ∥,( 8) pa a cada ecuencia y ángulo, simplemen e compa ando el coe icien e de e lexión medido Rmed con su alo eó ico R eo deducido de la ecuación (5) . Po úl imo, la pa e de echa de la unción Hann se ha usado pa a p omedia la mi ad de la señal y así elimina e o es de uncamien o en el cálculo del espec o. A lo la go del p esen e a ículo conside a emos un dominio dos-dimensional V de 2000 × 2000 nodos con una pa ed de impedancia local localizada en los nodos (i , 1000). En es e caso, la uen e de sonido se localiza á en el nodo (520, 900). Además, la señal de en ada es un impulso acús ico gene ado con una uen e blanda. Todos los casos han sido es eados con = 2.500 Hz, n0 = 40, n = 80, Δ = 1/16.000 s en la ecuación (7) . En odos los casos se ha conside ado el mínimo núme o de es abilidad de Cou an pe mi ido pa a cada esquema numé ico, ya sea FDTD o PSTD. Los ángulos de incidencia conside ados en el p esen e expe imen o es án comp endidos en θ ∈ [0, 80∘ ], ap oximadamen e. Cabe menciona que no hay una dis ibución homogénea de ángulos en es e expe imen o pe o que, po mo i os ilus a i os, los ángulos desconocidos se han ob enido median e in e polaciones lineales. Finalmen e, pa a e i a e o es de con o no que pudiesen a ec a a la medida, la simulación se ha lle ado a cabo en has a 1.024 i e aciones empo ales. 4. Condiciones de con o no pa a las ecuaciones de Eule En es a sección conside a emos las ecuaciones de Eule en 2 dimensiones, usadas en mul i ud de p oblemas acús icos ya que desc iben ielmen e la p opagación espacio- empo al del campo acús ico [21] en en o nos ce ados: ∂ x ∂ +1 ρ ∂p ∂x= 0 ∂ y ∂ +1 ρ ∂p ∂y= 0 ∂p ∂ +ρc2 [ ∂ x ∂x+∂ y ∂y ] = 0, ( 9) donde ρ es la densidad del ai e y c es la elocidad de p opagación del sonido. A pa i de aho a, conside a emos que an o ρ como c son cons an es. La elocidad de las pa ículas del ai e iene dada po el ec o =( x, y) y p es la p esión acús ica ela i a. Las p ime as 2 ecuaciones a i man que un g adien e de p esión p oduce una acele ación del luido (en es e caso, el ai e), mien as que la e ce a ecuación nos dice que la di e gencia de la elocidad p oduce una comp esión en el luido. Finalmen e, deci que es as ecuaciones son álidas pa a pequeñas elocidades y pa a alo es pequeños de la p esión ela i a. 4.1. Modelos de impedancia local pa a algo i mos FDTD En 1995 [9] se p esen ó una exp esión numé ica de condiciones gene ales de con o no pa a el algo i mo leap- og o mulado en una malla escalonada. Los algo i mos basados en es e ipo de mallas ienen la ca ac e ís ica de que an o la p esión acús ica como la elocidad de pa ícula se calculan al e na i amen e en posiciones y iempos disc e os dis in os. Es deci , la p esión p ( x , y , ) y las 2 componen es de la elocidad x(x,y, ) y y(x,y, ) pasan a se las can idades disc e as p|i,j n , x|i+1/2,j n+1/2 y y|i+j+1/2 n+1/2 . Consecuen emen e, po como es á de inido el algo i mo, en la supe icie ∂V ( e ig. 2 ) solo pod á habe nodos que compu en x|i+1/2,j n+1/2 . Las ecuaciones numé icas que desc iben el compo amien o de impedancia local se de i an de las ecuaciones (3) y (4) p esen adas en la sección 2 . Pa a ob ene el esquema numé ico se asume un ope ado asimé ico de di e encias ini as pa a las de i adas espaciales. El esul ado inal es una ecuación capaz de simula an o impedancias que dependen de la ecuencia como impedancias cons an es. Es e documen o se ocaliza en el es udio de modelos de impedancia local Z independien es de la ecuencia. El esquema numé ico pa a los nodos de elocidad x|i+1/2,j n+1/2 que pe enecen a ∂V iene la siguien e o ma x|i+1/2,j n+1/2 =γ x|i+1/2,j n−1/2 −βp |i,j n,( 10) con γ=1−Z/ZFDTD 1+Z/ZFDTD β=1 1+Z/ZFDTD ZFDTD =ρΔ Δ . ( 11) No a que γ y β son cons an es adimensionales que dependen muy ue emen e de la impedancia de los ma e iales. Debido al hecho de que Z ∈ [0, + ∞], es más con enien e mos a los esul ados u ilizando el coe icien e de e lexión en la di ección no mal, Rn . Es deci , la ecuación (5) cuando θ = 0 ya que Rn es á de inido en e [− 1, 1]. Pa a e el compo amien o de las condicones de con o no, se han es udiado los casos Rn = −1, − 0,9, …, 1 (ΔRn = 0,1). Finalmen e, se ha medido el e o absolu o compa ando los esul ados expe imen ales con el coe icien e de e lexión eó ico, R eo , exp esado en dB. Las simulaciones pa a medi el coe icien e de e lexión se han lle ado a cabo con Δ = 1/16.000 y el núme o de s abilidad de Cou an óp imo pa a el algo i mo leap- og , S= 1/ 2 . Es os esul ados se mues an en la igu a 3 . Cada g á ica ep esen a el e o absolu o ijado po la ecuación (8) en unción del ángulo de incidencia, θ , y la ecuencia. Es e e o se ep esen a en una escala de g ises donde el neg o ep esen a alo es de pocos dB nega i os y el colo blanco equi ale a e o es meno es de −40 dB. h ps://www.scipedia.com/public/Ga iga_e _al_2012aa 5 A. Ga iga, C. Spa, L.P. Pozo, Es udio compa a i o de dis in os modelos de condiciones de con o no de impedancia en p oblemas acús icos, Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing., 28(4) (2012), p 214-224. h ps://www.scipedia.com/public/Ga iga_e _al_2012aa 5 A. Ga iga, C. Spa, L.P. Pozo, Es udio compa a i o de dis in os modelos de condiciones de con o no de impedancia en p oblemas acús icos, Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing., 28(4) (2012), p 214-224. Figu a 3. El e o absolu o exp esado en decibelios pa a dis in os alo es del coe icien e de e lexión no mal Rn ob enidos con el esquema numé ico, ecuación (10) , combinado con el algo i mo leap- og . De a iba abajo y de izquie da a de echa: a) Rn = 1, b) Rn = 0,9, c)Rn = 0,8, d) Rn = 0,7, e) Rn = 0,6, ) Rn = 0,5, g) Rn = 0,4, h) Rn = 0,3, i) Rn = 0,2, j) Rn = 0,1, k) Rn = 0, m) Rn = −0,1, n) Rn = −0,2, o) Rn = −0,3, p) Rn = −0,4, q) Rn = −0,5, ) Rn = −0,6, s) Rn = −0,7, ) Rn = −0,8, u) Rn = −0,9 y ) Rn = −1. Cada g á ica iene e ique ada po el coe icien e de e lexión no mal que, como se ha dicho an es, ija un alo de la impedancia Z a a és de la ecuación (5) con θ = 0. Po an o, pa a cada alo de Rn (i.e. de Z ) se ha ob enido el e o absolu o en dis in os ángulos, co espondien es a los ecep o es xτξ , pa a odas las ecuencias meno es de 2.500 Hz. Como se puede e , la p ecisión de es e modelo de impedancia local es muy al a obse ando e o es meno es de 30 dB en casi odo el ango de Rn y pa a odas las ecuencias. Solo pa a Rn → 0,3, es e e o aumen a de o ma homogénea a −20 dB, que es un e o su icien emen e pequeño pa a se igno ado. En conclusión, es e modelo es ap opiado pa a simula el modelo de impedancia local en odo el ango de Z . A pesa de odo, se debe menciona que es e algo i mo es á de inido en una malla escalonada, limi ando conside ablemen e la de inición de pa edes, sob e odo en en o nos complejos. 4.2. Modelo de impedancia local pa a el mé odo pseudo-espec ales La p ime a impleme ación de condiciones de con o no pa cialmen e abso ben es pa a mé odos pseudo-espec ales con las ecuaciones de Eule ha sido p opues a ecien emen e [22] . Pa a pode de ini es as condiciones de con o no, se p esen a un esquema PSTD basado en una malla cen ada, lo que implica que las can idades acús icas se e alúan en el mismo ins an e y en el misma posición. La idea de de ini un algo i mo o mulado en una malla cen ada pe mi e, de mane a muy simple, c ea un modelo de impedancia local simplemen e eniendo en cuen a la di ección no mal de la pa ed a ca ac e iza median e un pa áme o adimensional ξ . Así pues, las condiciones de e olución pa a aquellos nodos de la ed que es án en la on e a oman la siguien e o ma: Pa a ξ ≤ 1 : x|i,j n+1 = x|i,j n−Δ ρFx −1 [ ι2πnx NxΔFx[p|:,j n] ] , y|i,j n+1 = y|i,j n−Δ ρFy −1 [ ι2πny NyΔFy[p|i,: n] ] , p|i,j n+1 =ξ ( p|i,j n−ρc2Δ Fx −1 [ ι2πnx NxΔFx[ x|:,j n+1] ] ) , Pa a ξ > 1 : x|i,j n+1 =1 ξ ( x|i,j n−Δ ρFx −1 [ ι2πnx NxΔFx[p|:,j n] ] ) , y|i,j n+1 = y|i,j n−Δ ρFy −1 [ ι2πny NyΔFy[p|i,: n] ] , p|i,j n+1 =p|i,j n−ρc2Δ Fx −1 [ ι2πnx NxΔFx[ x|:,j n+1] ] . ( 12) donde (i , j ) son las coo denadas espaciales; Δ = Δx = Δy ep esen a la disc e ización espacial de la malla dos- dimensional. Fμ y Fμ −1 deno an la ans o mada disc e a de Fou ie sob e el eje μ y su in e sa espec i amen e; nx y ny son los índices de las ans o madas de Fou ie ; y el símbolo: deno a odas las coo denadas según el eje μ . Finalmen e, ι= − 1 y Nμ es el núme o o al de pun os de la malla sob e el eje μ . La cons an e de es abilidad de Cou an pa a es e esquema numé ico iene dada po [13] : S=cΔ Δ≤2 π D ,( 13) donde D ep esen a la dimensión. De es e esquema se obse a que las 3 can idades acús icas, p y , es án e aluadas en el mismo iempo, n , y luga (i , j ). Obse amos que se man iene el esquema PSTD en la on e a donde las de i adas espaciales se calculan median e an o madas disc e as de Fou ie (pa a más de alles de es a o mulación, el lec o puede emi i se a la e e encia [22] ). Además, nó ese que las ecuaciones que ac ualizan la p esión acús ica solo calculan el g adien e en la di ección x , ya que pa a es e expe imen o conc e o, la pa ed de impedancia local es pa alela al eje y . Po úl imo, se debe esal a que el pa áme o, ξ , es á elacionado con el coe icien e de e lexión, R , a a és de una unción que depende ue emen e del núme o de es abilidad de Cou an S . Es a elación ha sido ob enida a numé icamen e [22] y su demos ación analí ica sigue, a día de hoy, abie a, Pa a ξ ≤ 1 : ξ=1 + R 1 + R+Scos(θ)(1 − R)−S(1 + R),( 14) Pa a ξ > 1 : ξ=RS +S+cos(θ)(RS −S+1−R) cos(θ)(1 − R).( 15) Pa a e i ica numé icamen e la elación en e el pa áme o ξ y h ps://www.scipedia.com/public/Ga iga_e _al_2012aa 6 A. Ga iga, C. Spa, L.P. Pozo, Es udio compa a i o de dis in os modelos de condiciones de con o no de impedancia en p oblemas acús icos, Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing., 28(4) (2012), p 214-224. el coe icien e de e lexión, ecuaciones (14) y (15) , se ealiza on los expe imen os explicados en la sección 3 . Pa a es os expe imen os se ha u ilizado un esquema PSTD o mulado en una malla cen ada combinado con las ecuaciones que ca ac e izan es e modelo semiempí ico [22] . Compa ando el coe icien e de e lexión analí ico ob enido a a és de las ecuaciones (14) y (15) con los esul ados del expe imen o, se ob end á el e o absolu o que gene a el modelo pa a odos los ángulos y has a 2.500 Hz. En la igu a 4 se g a ican los esul ados pa a nue e alo es de ξ : 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1, 2,5, 5, 7,5 y 10 (de a ) a i ) espec i amen e, cub iendo así odo el ango de alo es de Rn . Figu a 4. La unción e o pa a dis in os alo es de ξ en unción del ángulo de incidencia y la ecuencia. Las g á icas co esponden a: a )ξ = 0; b )ξ = 0,25; c )ξ = 0,5; d )ξ = 0,75; e )ξ = 1; ) ξ = 2,5; g )ξ = 5; h )ξ = 7,5; i )ξ = 10. Las simulaciones dan esul ados muy buenos en odo el ango de ξ pa a ángulos de incidencia pequeños (θ ≤ 40∘ ) donde la des iación espec o el compo amien o analí ico es meno de −30 dB. Las des iaciones más ele an es espec o al compo amien o analí ico apa ecen en las zonas en que ξ → 1. A pesa de odo, el compo amien o en casi odo el ango de ecuencias y ángulos es acep able. Po úl imo, no a que pa a ξ → ∞, apa ece un e o a al as ecuencias que pa ece inc emen a con el alo de ξ . Como e emos a con inuación es e e o apa ece única y exclusi amen e po o mula el esquema en PSTD. 4.3. Reseñas adicionales En la sección an e io se acaba de p esen a un modelo semi- empí ico pa a el mé odo de PSTD, de iniendo un pa áme o adimensional ξ y compu ando únicamen e el g adien e en la di ección no mal en la ecuación que ac ualiza la p esión. Además, se ha p esen ado una exp esión analí ica que elaciona es e pa áme o con el coe icien e de e lexión, el ángulo y el núme o de es abilidad de Cou an ( e ecuaciones (14) y (15) ). Es as elaciones se puede esc ibi en é minos de la impedancia de la pa ed: Pa a ξ ≤ 1 : ξ=Z/(ρc) S+Z/(ρc) − ZS /(ρc),( 16) Pa a ξ > 1 : ξ=ZS /(ρc)−S+ 1, ( 17) El compo amien o de eac ancia local de las ecuaciones (16) y (17) se ha es eado en 2 dimensiones a a és del expe imen o de inido en la sección 3 . Los bajos e o es mos ados po el mé odo sugie en que es e esquema puede se u ilizado en muchas si uaciones p ác icas de p oblemas acús icos con el mé odo de PSTD. Cabe menciona , sin emba go, que a pesa de los buenos esul ados, es e mé odo debe se complemen ado con condiciones de con o no pe ec amen e abso ben es, ales como las bien conocidas pe ec ly ma ched laye s (PML) [27] and [28] , con el in de e i a el enómeno de Gibbs que apa ece cuando se de i a espec almen e una unción pe iódica no con inua [29] . Po o o lado, o o ac o muy impo an e a conside a de es e esquema es su ema cable lexibilidad debido al hecho de que puede se ex endido de o ma muy simple y di ec a a cualquie algo i mo eule iano FDTD o mulado en una malla cen ada. Po ejemplo, pa a ob ene el esquema numé ico de condiciones de con o no pa a el algo i mo leap- og se debe sus i ui los é minos que compu an la de i ada espacial de la ecuación (12) po ope ado es de di e encias ini as backwa d/ o wa d. Po an o, el esquema numé ico de condiciones de con o no pa a el mé odo de FDTD es ánda iene dado po , Pa a ξ ≤ 1 : x|i,j n+1 = x|i,j n−a1(p|i+1,j n−p|i,j n), y|i,j n+1 = y|i,j n−a1(p|i,j+1 n−p|i,j n), p|i,j n+1 =ξ[p|i,j n−a2( x|i,j n+1 − x|i−1,j n+1 )], Pa a ξ > 1 : x|i,j n+1 =1 ξ[ x|i,j n−a1(p|i+1,j n−p|i,j n)], y|i,j n+1 = y|i,j n−a1(p|i,j+1 n−p|i,j n), p|i,j n+1 =p|i,j n−a2( x|i,j n+1 − x|i−1,j n+1 ), ( 18) donde a1=Δ ρΔ y a2=ρc2Δ Δ . Se puede obse a que las de i adas espaciales de es as condiciones de con o no se calculan con ope ado es de di e encias ini as en luga de las de i adas espec ales que se u ilizaban en el esquema PSTD, ecuación (12) . Sop enden emen e, el pa áme o ξ que apa ece en las condiciones de con o no (18) man iene exac amen e la misma elación con la impedancia acús ica Z que la que man enía el modelo o mulado en PSTD ( e ecuaciones (16) y (17) ). Es o implica que es as condiciones de con o no son comple amen e independien es del mé odo numé ico u ilizado pa a ap oxima la de i ada espacial de la EDP. Es e hecho en a iza aún más la emenda u ilidad que end ía encon a una de i ación analí ica pa a demos a la gene alidad de las ecuaciones (16) y (17) . Igual que an es, se ha ealizado el mismo expe imen o pa a es ea las p opiedades abso ben es del esquema numé ico. En es e caso, la ecuación 18 se ha combinado con un algo i mo FDTD cen ado. Como en el expe imen o p esen ado en la sección 4.1 , se ha ijado Δ = 1/16.000 s y S= 1/ 2 , que es el núme o de es abilidad máximo pe mi ido pa a es e mé odo. Los esul ados del expe imen o se mues an en la igu a 5 . Se puede obse a que el e o absolu o es meno de −20 dB en casi odo el ango de ξ . Solo pa a ξ = 1, se obse an e o es mayo es de −20 dB a g andes ángulos, θ > 40. Como en el modelo PSTD, el mé odo p esen a di icul ades pa a simula zonas muy abso ben es ( e ig. 5e ). Al pa ece , es e e o que apa ece en las zonas que ξ → 1 es o almen e independien e del mé odo empleado e in ínseco del esquema semi-empí ico. Po o o lado, los esul ados ( ig. 5 ) son cla amen e mejo es en el ango de ξ → ∞ si se compa an con los ob enidos con el mé odo h ps://www.scipedia.com/public/Ga iga_e _al_2012aa 7 A. Ga iga, C. Spa, L.P. Pozo, Es udio compa a i o de dis in os modelos de condiciones de con o no de impedancia en p oblemas acús icos, Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing., 28(4) (2012), p 214-224. PSTD ( e ig. 4 ). Figu a 5. La unción e o pa a dis in os alo es de ξ en unción del ángulo de incidencia y la ecuencia. Las g á icas co esponden a: a )ξ = 0; b )ξ = 0,25; c )ξ = 0,5; d )ξ = 0,75; e )ξ = 1; ) ξ = 2,5; g )ξ = 5; h )ξ = 7,5; i )ξ = 10. No obs an e, hay que menciona que los esul ados ob enidos con los mé odos FDTD y PSTD no han sido ealizados bajo las mismas condiciones. Básicamen e, la di e encia adica en el núme o de es abilidad de Cou an , que pa a FDTD es S= 1/ 2 y pa a PSTD es S= 2/(π2) . Es o implica que la disc e ización espacial, Δ , en FDTD se e educida un ac o 2/π , lo que lle a a mallados más e inados que en las simulaciones PSTD. En o as palab as, si las simulaciones FDTD se hubiesen ealizado con un S= 2/(π2) , se hubie a is o e lejado en un inc emen o de los e o es absolu os en las mismas zonas que en los esul ados PSTD. 5. Condiciones de con o no pa a la ecuación de ondas En es a sección nos cen a emos en el compo amien o de dis in os modelos numé icos de impedancia local pa a la ecuación de ondas pa a la p esión acús ica: ∂2p(x, ) ∂ 2−c2△p(x, ) = 0, ( 19) También pa i emos de la ecuación de eac ancia local, ecuación (6) . La ecuación de ondas es la más u ilizada en p oblemas de acús ica de salas [1] y en simulaciones de acús ica i ual [7] . 5.1. Modelo de impedancia local pa a algo i mos FDTD La p ime a ap oximación de condiciones de con o no en acús ica de salas pa a el mé odo de di e encias ini as ue p esen ada po Huopaniemi e al. [30] , siendo la p ime a de inición 1-D pa a el mé odo de guía de onda digi al. Básicamen e, es e mé odo de ine su ecuación numé ica eniendo en cuen a el concep o de coe icien e de e lexión. El esquema numé ico iene la siguien e o ma explici a p|i,j n+1 = (1 + Rn)p|i−1,j n−Rnp|i,j n−1 .( 20) Se ha elegido es udia es as condiciones de con o no po que el análisis de su compo amien o de eac ancia local nunca se había lle ado a cabo en una simulación 2-D. En es e caso, los nodos que no pe enezcan a ∂V son ac ualizados con el algo i mo disc e o FDTD basado en la ecuación de ondas ijando Δ = 1/16.000 s y el núme o máximo de es abilidad S pe mi ido po el algo i mo. Los esul ados se mues an en la igu a 6 . Se puede obse a que solo pa a Rn ≥ 0,8 y Rn ≤ −0,6 las condiciones de con o no numé icas, ecuación (20) , dan e o es absolu os meno es que −20 dB. Pa a el es o de Rn , el e o absolu o es conside ablemen e mayo de −20 dB. Cabe menciona que los ma e iales abso ben es son poco comunes en simulaciones de es e ipo. En o as palab as, el coe icien e de abso ción α (α = 1 − ||Rn ||2 ) a ía solo en e 0 y 0,5. En conclusión, bajo es as ci cuns ancias se puede a i ma que es e modelo numé ico iene esul ados ela i amen e acep ables pa a aplicaciones como acús ica, acús ica de salas, ae oacús ica … Figu a 6. El e o absolu o exp esado en decibelios pa a dis in os alo es del coe icien e de e lexión no mal Rn ob enidos con el esquema numé ico, ecuación (20) , combinado con un esquema FDTD. De a iba abajo y de izquie da a de echa: a) Rn = 1, b) Rn = 0,9, c)Rn = 0,8, d) Rn = 0,7, e) Rn = 0,6, ) Rn = 0,5, g) Rn = 0,4, h) Rn = 0,3, i) Rn = 0,2, j) Rn = 0,1, k) Rn = 0, m) Rn = −0,1, n) Rn = −0,2, o) Rn = −0,3, p) Rn = −0,4, q) Rn = −0,5, ) Rn = −0,6, s) Rn = −0,7, ) Rn = −0,8, u) Rn = −0,9 y ) Rn = −1. No obs an e, exis en o as condiciones de con o no p esen adas po Kowalczyk y an Wals ijn [31] que mejo an incluso las condiciones de con o no p esen adas en la igu a 3 . Es e modelo es á basado en 2 ecuaciones: la ecuación de ondas y la ecuación (6) . Ambas ecuaciones se ap oximan median e ope ado es de di e encias cen adas. La ecuación esul an e se puede esc ibi en é minos de un nodo de inido ue a de V , conocido como ghos poin , que pa a una pa ed de las ca ac e ís icas de nues o expe imen o iene dada po p|i,j n+1 =1 (1 + Zλ )2(1 − 2λ2)p|i−1,j n+λ2(p|i,j+1 n−1 ( 21) h ps://www.scipedia.com/public/Ga iga_e _al_2012aa 8 A. Ga iga, C. Spa, L.P. Pozo, Es udio compa a i o de dis in os modelos de condiciones de con o no de impedancia en p oblemas acús icos, Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing., 28(4) (2012), p 214-224. h ps://www.scipedia.com/public/Ga iga_e _al_2012aa 8 A. Ga iga, C. Spa, L.P. Pozo, Es udio compa a i o de dis in os modelos de condiciones de con o no de impedancia en p oblemas acús icos, Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing., 28(4) (2012), p 214-224. +p|i,j−1 n−1 ) + 2λ2p|i−1,j n+ (Zλ − 1)p|i,j n−1 . Como se puede e , es a ecuación depende ue emen e de un pa áme o λ que pa a simulaciones 2D su núme o óp imo coincide con S (i.e. λ= 1/ 2 ). Luego se e án las limi aciones p oducidas po λ en simulaciones híb idas con algo i mos PSTD pa a los nodos de p opagación ( éase sección 5.3 ). Los expe imen os numé icos ealizados con la ecuación (21) se han lle ado a cabo bajo las mismas condiciones que los hechos pa a la ecuación (20) . Los esul ados se mues an en la igu a 7 , donde las g á icas de colo mues an p ecisiones casi pe ec as en odo el ango acús ico de impedancia incluso pa a al as ecuencias. Po an o, cla amen e es as condiciones son mucho mas adecuadas que las de la ecuación (20) , pudiendo simula incluso Rn → 0 a muy al a p ecisión. Figu a 7. El e o absolu o exp esado en decibelios pa a dis in os alo es del coe icien e de e lexión no mal Rn ob enidos con el esquema numé ico, ecuación (21) , combinado con un esquema FDTD. De a iba abajo y de izquie da a de echa: a) Rn = 1, b) Rn = 0,9, c)Rn = 0,8, d) Rn = 0,7, e) Rn = 0,6, ) Rn = 0,5, g) Rn = 0,4, h) Rn = 0,3, i) Rn = 0,2, j) Rn = 0,1, k) Rn = 0, m) Rn = −0,1, n) Rn = −0,2, o) Rn = −0,3, p) Rn = −0,4, q) Rn = −0,5, ) Rn = −0,6, s) Rn = −0,7, ) Rn = −0,8, u) Rn = −0,9 y ) Rn = −1. 5.2. Modelo de impedancia local pa a algo i mos PSTD En es a sección se p esen a la única o mulación ealizada po el momen o de un modelo de impedancia local pa a algo i mos PSTD [18] . La o mulación del esquema numé ico se basa en mezcla la écnica de PSTD pa a el algo i mo de p opagación con una ecuación numé ica cons uida con ope ado es de di e encias ini as pa a modela el con o no. Como se mues a en la e e encia [18] es e algo i mo híb ido pe mi e ene un esquema compu acional capaz de modela la p opagación del sonido en espacios ce ados con un ni el de p ecisión bas an e acep able. El pun o de pa ida del esquema de condiciones de con o no de impedancia local es la ecuación (6) p esen ada en la sección 2 . Po mo i os de es abilidad de i amos es a ecuación espec o del iempo, con lo que nos queda: ∂2p(x, ) ∂ 2= − Z ρ(∇ ⋅ n ˆ)∂p(x, ) ∂ . ( 22) Una ez al e ada la ecuación (6) , el esquema numé ico se ob iene u ilizando ope ado es de di e encias ini as pa a ap oxima los ope ado es de de i adas pa ciales de la ecuación (22) . Pa a las de i adas empo ales se u ilizan los ope ado es de p ime a y segunda de i ada cen ados de segundo o den, y pa a la de i ada espacial se u iliza un ope ado o wa d / backwa d dependiendo de la di ección no mal de la pa ed a simula . En el caso conc e o del expe imen o que se es á a ando, el esquema numé ico de impedancia local se exp esa de la siguien e mane a p|i,j n+1 =2ρΔ ρΔ + 0, 5ZΔ p|i,j n−ρΔ − 0, 5ZΔ ρΔ + 0, 5ZΔ p|i,j n−1 +0, 5Δ Z ρΔ + 0, 5ZΔ (p|i−1,j n+1 −p|i−1,j n−1 ) . ( 23) A di e encia de o os modelos basados en la ecuación (6) , es e modelo es es able en odo el ango Z . Es a conclusión se saca as hace un análisis de Von Neumann que ambién se puede encon a en [18] . Con el obje i o de es udia la idoneidad de las condiciones de con o no, ecuación (23) , combinado con una simulación mul idimensional de PSTD, se han lle ado a cabo dis in os expe imen os numé icos de acue do con lo de inido en la sección 3 . El iempo de disc e ización se ha ijado a Δ = 1/16.000 s y el núme o de es abilidad de Cou an ha sido el máximo pe mi ido pa a el mé odo de PSTD cuyo alo es S= 2/(π2) . La conco dancia de los esul ados con las p edicciones eó icas es bas an e buena en la mayo ía de casos a ados. Del ango Rn = −1 a Rn = −0,3 se pueden conside a esul ados muy buenos, ya que el e o absolu o es ϵ ≤ −25 dB pa a cualquie ángulo y ecuencia. Pa a el ango Rn = −0,2 a Rn = 0,2 el e o absolu o c ece a al as ecuencias y ángulos de incidencia pequeños. Po o o lado, de Rn = 0,2 a Rn = 0,8 el e o absolu o uel e a se más que acep able ya que alcanza alo es ϵ ≤ −20 dB. Finalmen e, pa a Rn = 0,9 y Rn = 1 el e o absolu o es homogéneo con e o es del o den de −15 dB, los cuales se conside an demasiado g andes pa a se un e o acep able. Es os esul ados no son pa a nada inespe ados: po un lado, las egiones con alo es del e o absolu o mayo es que −10 dB coinciden con aquellas egiones cuyo coe icien e de e lexión eó ico, R eo , esul a meno que −35 dB en escala loga í mica. Es sabido que es as egiones casi abso ben es son muy di íciles de ca ac e iza median e cualquie mé odo numé ico mul idimensional (se puede encon a en la li e a u a écnica po ejemplo en [15] ); po o o lado, el aumen o del e o absolu o en el ango de Rn > 0,8 sugie e que el uso de algo i mos híb idos (PSTD pa a la p opagación y FDTD pa a el modelo de impedancia local) in oduce un e o numé ico inhe en e que llega a se inacep able solo pa a Rn → 1. h ps://www.scipedia.com/public/Ga iga_e _al_2012aa 9 A. Ga iga, C. Spa, L.P. Pozo, Es udio compa a i o de dis in os modelos de condiciones de con o no de impedancia en p oblemas acús icos, Re . in . mé odos numé . cálc. diseño ing., 28(4) (2012), p 214-224. Pa a pode en ende mejo el compo amien o de las condiciones de con o no (23) , se ha ealizado el mismo expe imen o pe o u ilizando el algo i mo de p opagación FDTD. Las simulaciones se han lle ado a cabo con el mismo Δ , pe o con el núme o de es abilidad dis in o y consecuen emen e con dis in a disc e ización espacial. Pa a es os expe imen os, se ha ijado el núme o de es abilidad de Cou an óp imo pa a el algo i mo FDTD, que es S= 1/ 2 . Los esul ados se p esen an en la igu a 9 . Se obse a que la p ecisión mejo a conside ablemen e espec o de los esul ados ob enidos con el algo i mo híb ido. Más conc e amen e, los esul ados son cla amen e mejo es en el ango de Rn > 0,3. Po an o, se puede a i ma que la combinación de FDTD pa a el con o no y PSTD pa a el algo i mo de p opagación in oduce un e o inhe en e que, como hemos is o, pa a Rn → 1 es su icien emen e c í ico pa a que sea conside ado inacep able. Po o o lado, el e o absolu o o a ez es mayo cuando el coe icien e de e lexión iende a 0, al con a io de p opues as como la de [31] que dan esul ados casi pe ec os en odo el ango de Rn , incluso pa a alo es muy abso ben es. Po an o, se puede conclui que, independien emen e del algo i mo de p opagación, las condiciones de con o no, ecuación (23) , dan sus mayo es e o es cuando Rn es ce cano a 0. El e o que apa ece en el ango Rn > 0,3 es debido a la o mulación de un esquema numé ico híb ido. Figu a 9. El e o absolu o exp esado en decibelios pa a dis in os alo es del coe icien e de e lexión no mal Rn ob enidos con el esquema numé ico, ecuación (23) combinada con la ecuación de ondas disc e a en FDTD. De a iba abajo y de izquie da a de echa: a) Rn = 1, b) Rn = 0,9, c)Rn = 0,8, d) Rn = 0,7, e) Rn = 0,6, ) Rn = 0,5, g) Rn = 0,4, h) Rn = 0,3, i) Rn = 0,2, j) Rn = 0,1, k) Rn = 0, m) Rn = −0,1, n) Rn = −0,2, o) Rn = −0,3, p) Rn = −0,4, q) Rn = −0,5, ) Rn = −0,6, s) Rn = −0,7, ) Rn = −0,8, u) Rn = −0,9 y ) Rn = −1. 5.3. Discusión Como se acaba de e , las condiciones de con o no, ecuación (23) , son ap opiadas pa a se u ilizadas en simulaciones PSTD. A pesa de odo, ambién se ha is o que debido al hecho de que el esquema iene una o mulación híb ida, apa ece un e o que a pa i de un cie o ango de Rn inc emen a y que es solamen e c í ico en Rn = 1. Además, la ecuación (23) p esen a di icul ades in ínsecas pa a simula zonas más abso ben es. Po an o, una posible duda que apa ece se ía sabe si la ecuación (23) es la mejo opción en simulaciones PSTD, eniendo en cuen a que los esul ados ob enidos con la o mulación en e a en FDTD ambién p esen aban un inc emen o del e o en las zonas más abso ben es ( e ig. 9 ) que no apa ecían en los p esen ados en la sección 5.1 ( e ig. 7 ). Llegados a es e pun o y siguiendo con la misma es a egia de o mulación híb ida, se ía in e esan e sabe si las o mulaciones p esen adas en la sección 5.1 combinadas con un algo i mo PSTD son más ap opiadas que las p esen adas po Spa e al. [18] . P ime amen e, se analizan las condiciones de con o no ecuación (20) combinadas con un algo i mo PSTD que, como en el expe imen o de la sección an e io , Δ = 1/16.000 s y S= 2/π2 . A pesa de los malos esul ados ob enidos con es e modelo en un esquema FDTD ( e ig. 6 ) y sumado al e o que se espe a po o mula un modelo híb ido, c eemos opo uno es udia su compo amien o pa a saca conclusiones más a iadas sob e las o mulaciones híb idas en aplicaciones acús icas. Los esul ados se p esen an en la igu a 10 . Como se espe aba, el e o absolu o en casi odo el ango de Rn es mayo de −15 dB, el cual es demasiado al o como pa a se igno ado. Cabe menciona que el e o se inc emen a en odo Rn espec o a los esul ados ob enidos con el esquema pu amen e FDTD. Po an o, es o co obo a lo dicho an es de que las o mulaciones híb idas in oducen un e o numé ico que en es e caso conc e o es c í ico en odo el ango de Rn .