Contribució a l'estudi dels morfismes entre operadors d'indistingibilitat. Aplicació al raonament aproximat

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA P og ama de doc o a de Ma emà ica Aplicada CONTRIBUCIÓ A L’ESTUDI DELS MORFISMES ENTRE OPERADORS D’INDISTINGIBILITAT. APLICACIÓ AL RAONAMENT APROXIMAT. Au o : Dionís Boixade Ibáñez Di ec o : Joan Jacas Mo al SEGONA PART OPERADORS D'INDISTINGIBILITAT I RAONAMENT APROXIMAT Capí ol 4. In e encia com a Raonamen Ap oxima en Lògica Di usa. Suma i: S'in odueix el coneixemen basa en egles en Lògica Di usa, i la Regla Com- posicional d'In e ència (CRI) com a mecanisme d'in e ència. A con inuació, es quan i ica la semblança en e e s agues mi jançan la T-indis ingibili a na u al a aluada sob e les se es uncions ca ac e ís iques, i es mos a així que o es les o mes de CRI sa is an el p incipi gene al de dedui esis semblan s d'hipò esis semblan s. A pa i d'aquí s'in e eix el p océs, i es busca quins són els mecanismes de deducció òp ims espec e a aques p incipi, ob enin com a esul a l'Ope ado Na u al d'In e ència. P oblemes del ma eix es il enen com a solució al es ope ado s (l'Ope ado Na u al Sime i za , i al- es). Finalmen , el capí ol s'acaba amb la e isió de dos models de deducció en Lògica Di usa que condueixen de o ma independen a l'Ope ado Na u al d'In e ència. Apo acions d'aques a memò ia: - CRI és ope ado ex ensional pe qualse ol elació emp ada (Teo emes 4.2.7 i 4.2.8). - L'ex ensió de uncions és ope ado ex ensional (Teo ema 4.2.10). 95 96 Capí ol 4 - De inició de l'Ope ado Na u al d'In e ència (De inició 4.3.1). - Ca ac e i zació de l'Ope ado Na u al d'In e ència com a òp im es- pec e l'ex ensionali a i l'o d e pun ual (Teo ema 4.3.2). - De inició d'al es ope ado s (Ope ado Na u al Sime i za ,...) i la se a ca ac e i zació com a solució de p oblemes d'op imali a espec e a l'ex ensionali a (Teo emes 4.3.11, 4.3.15 i 4.3.16). In e encia com a Raonamen Ap oxima en Lògica Di usa 97 4.1 Coneixemen basa en egles i CRI Llegim en [Dubois & P ade, 97] que "les egles si/lla o s (i / hen ules) o e eixen un o ma adequa pe exp essa agmen s de coneixemen ". De e , quan un home pa la d'un sis ema ex e io amb l'ànim de desc iu e'l, ho a a a és de es es adis: 1) Selecciona un conjun de a iables que apa eixen ben di e enciades a l'en enimen . Mol es egades, es ac a de a iables assequibles als sen- i s d'una o ma immedia a (sensacions), o bé de de e minacions més p ecises d'aques es a iables a a és de sis emes de mesu a. D'al es egades són en i a s abs ac es c eades pel p opi en enimen humà, de les quals es é la ce esa que apa eixen so a la ma eixa o ma i es uc- u a en cada home (en i a s a p io i en el llengua ge kan ià [Kan , 89]). Tan pe les unes com pe les al es, pe què hi pugui ha e coneixemen o desc ipció e ec i a del sis ema, s'ha de disposa , a més, d'un sis ema de con as a -les en o ma de e s. Així, una sensació po apa èixe o no e -ho, una mesu a po p end e un ce alo o ang de alo s, o una successió d'expe iències en la ida d'una pe sona sa is à alguna o denació c onològica de e minada. 2) Es ableix elacions en e els e s en o ma de egles si/lla o s. Una egla lligà dos e s A i B es ablin que "si (Fe A) lla o s (Fe J3)", o simplemen , "si A lla o s J3". 3) Finalmen , p o a d'o gani za les egles en o ma de eo ia. L'objec iu inal és ob eni un conjun eduï de egles a pa i de les quals es puguin dedui , pe aonamen , o es les al es egles, i es pugui espond e a qualse ol p egun a o mulada sob e el sis ema desc i . Pe ò si algunes -po se o es- de les a iables seleccionades són de na u alesa g adual (pe exemple, escal o , al u a, quan i a ,...), a al a de de e mina- cions més p ecises, l'en enimen humà les con as a en o ma de e s ambé g aduals i implíci amen agues. Així, si la a iable és la empe a u a, po- dem con as a -la a a és d'una sensació è mica pe con ac e, i els e s que se'n de i en són del ipus "se calen ", "se ed", "se mol calen ",... En el con ex de la Lògica Di usa, aques es eben el nom de a iables lingüís iques, els e s associa s es e e eixen pe exp essions del ipus "X és A", on A és un possible es a de la a iable X, que es ep esen a pe un subconjun di ús HA de l'uni e s de discu s on X p en alo s [Zadeh, 77]. 98 Capí ol 4 Si aques s e s agues es elacionen mi jançan egles, s'ob enen les egles si/lla o s di uses, que s'esc iuen "si (X és A) lla o s (Y és J3)". Pe simpli- ci a , ens e e i em ambé a aques es egles com "si A lla o s B" en la es a d'aques a memò ia. Les egles di uses, enca a que àmpliamen u ili zades en el llengua ge humà, no enen un signi ica cla uní ocamen de e mi- na , i des que L.A. Zadeh a posa de mani es la se a impo ància en el camp de l'Au omà ica i el Con ol, s'ha publica g an quan i a de eballs d'in es igació que en donen in e p e acions mol di e ses. (Veu e [Godo, e al., 97], [Dubois & P ade, 97], pe un ecull d'aques es in e p e acions). Un e comú a o es elles és que a ibueixen a aques ipus de egles p opie a s d'in e polació del coneixemen . Pel e de se aga, una egla po se aplicada amb més o menys p opie a a si uacions di e ses i, pe an , ha de pe me e la in e polació p ojec an la in o mació a si uacions pe a les quals, en sen i es ic e, la egla no ha es a inicialmen o mulada. La o mali zació més accep ada de com e ec ua aques a in e polació i, en gene al, de com ac uen aques es egles la p opo ciona la Regla Composicional d'In e ència (CRI). La Regla Composicional d'In e ència es én una egla di usa "si A lla o s B" (on A i B són subconjun s di usos de ini s sob e dos uni e sos de discu s di e en s, U i V espec i amen ), a hipò esis A' ("X és A'") di e en s de A, i ho a segons el següen esquema: si A lla o s 5 A,A'e(Q,l]u si A1 B, B1 e [O,1}V lla o s B' on B'( ) =CRI(A')(í>) = SUP«€i, T(A'(u), RAB(U,V)), pe o ü e V. On T és una -no ma, i RAB '• U x V — >• [0, 1] una elació di usa, que han ana a ian depenen de l'època i l'au o [Dubois & P ade, 91] des que L.A. Zadeh a in odui GRI pe p ime a egada [Zadeh, 73]. En o es les e sions, pe ò, T a el pape de conjunció, men e que RAB ep esen a la elació de dependència en e els uni e sos U i V que indueix la egla "si A lla o s B" . Enca a que CRI ha es a àmpliamen u ili zada, no exis eix una base eò ica que inclogui, d'una mane a cla a, o es les possibles elacions RAB <lue ac~ ualmen es an se i en di e en s con ex os d'aplicació. Els in en s de ona- men a CRI es poden ag upa segons dues línies d'explicació: in e ència com a Raonamen Ap oxima en Lògica Di usa 99 1) In e p e ació de CRI com a Modus Ponens Gene ali za . Podem eu e e lec i en l'esquema de CRI el Modus Ponens clàssic (i.e. de A, i A =$• B, es dedueix B), si l'in e p e em semàn icamen pe A A (A =*• B), i conside em connec i es mul i aluades en [0,1]: una -no ma T pe la conjunció A i una unció d'implicació R pe la implicació =*-. Aques a in e p e ació po a [IVillas &; Val e de, 85b] a de ini R(u, ) = T (A(u) B( )), (la implicació esiduada associada a la -no ma T), esul an -ne algunes millo es sob e al es ipus de elacions. Una a i- an d'aques pun de is a, que consis eix en inco po a alo s de e i a di usos, es oba en [Baldwin, 79] i [Godo e al., 91]. A aques a línia es poden in e posa , almenys, dues objeccions. Des del pun de is a eò ic, in e p e a a "i" del Modus Ponens com a elemen del llengua ge a l'in odui la connec i a A (T) pe modeli za a ni- ell semàn ic "de A i A =3- B es dedueix B", quan cla amen aques a conjunció (i o a la egla del Modus Ponens) o ma pa del Me allen- gua ge. I des del pun de is a de les aplicacions, deixa o a mol es ela- cions que, ha en es a àmpliamen u ili zades amb èxi , són di ícilmen in e p e ables com a elacions d'implicació (el cas pa adigmà ic és, sense cap dub e, la de Mamdani RAB(U,V) = MIN{A(u),B( )}). 2) In e p e ació de CRI com a aonamen basa en p oximi a (Raona- men Ap oxima ) en con ex di ús. Es basen en el e que les esis B' ob ingudes pe CRI (i.e. B' =CRI(.A')) no can ien caò icamen depenen de les hipò esis A' sinó que, a hipò esis "semblan s" co es- ponen esis "semblan s". El p oblema p incipal es à en o mali za el signi ica del e me semblan s. "- A la li e a u a hi ha mol es ap oximacions di e en s al ema. Pe exem- ple, les "Resemblance Rela ions" en [Bouchon, Meunie & Val e de, 93], la in e p e ació d'algunes ècniques de Fuzzy Con ol en e mes de simili uds en [Klawoon & K use, 93], gene ali zacions de CRI al camp dels in e als [IHi ksen & Zhang, 90] i, ins i o , la p opos a de nous o - malismes o ça di e en s de CRI, que es basen en la idea d'in e polació di usa [Kóczy & Hi o a, 93]. Els eballs exposa s en aques a memò ia s'inclouen en aques a se- gona línia d'explicacions, p enen com a mesu a de la semblança en- e dos'subconjun s di usos la T-indis ingibili a na u al, in oduïda al Capí ol 3 (De inició 3.2.7). 100 Capí ol 4 4.2 Ope ado s d'in e ència ex ensionals En la secció an e io s'ha is que la Regla Composicional d'In e ència es po in e p e a com a Modus Ponens (gene ali za ) en el ma c de la Lògica Di usa. Aques pun de is a es basa en la conside ació dels alo s de e i a que ¡ÍA (la unció ca ac e ís ica del di ús A), p en sob e els elemen s de l'uni e s de discu s, i en el seu ac amen uncional a a és de les connec i es conjunció i implicació ma e ial de la lògica mul i aluada. Com se ia, pe ò, el Modus Ponens gene ali za en el ma c d'un Raonamen Ap oxima basa exclusi amen en la noció de p oximi a ? Una possible espos a la p opo ciona el següen esquema: "si (Fe A) lla o s (Fe B)" "(Fe A') ap oximadamen igual a (Fe A)" : „ (4.2.1.) "(Fe B') ap oximadamen igual a (Fe B)". Aques esquema p esen a dos e s ema cables. En p ime lloc l'exp essió "ap oximadamen igual" és in encionadamen equí oca, i, a aques ni ell, només é un sen i in uï iu. Cald à especi ica , en cada domini d'aplicació, que s'en én pe "ap oximadamen igual". En segon lloc, aques esquema només es ableix una condició sob e les possi- bles esis B1', (això és: que siguin ap oximadamen iguals a JB, la esi de la egla), en comp es de selecciona una B' en pa icula al i com ho a CRI o el Modus Ponens clàssic. Així doncs, aques Modus Ponens que es p oposa pel Raonamen Ap oxima no és en si ma eix un mecanisme d'in e ència, sinó una condició que han de sa is e els mecanismes d'in e ència. En gene al, com a mecanismes d'in e ència conside a em aplicacions amb domini en l'espai de les possibles hipò esis, i ima ge en l'espai de les possibles esis a de i a . En la es a d'aques apa a es dona à o ma conc e a a les an e io s conside acions quan els e s conside a s enen desc i s pe conjun s di usos, i el g au amb que dos e s són ap oximadamen iguals es quan i ica mi jançan la T-indis ingibili a na u al. In e ència com a Raonamen Ap oxima en Lògica Di usa 101 De inició 4.2.2. Un ope ado en e els uni e sos U i V és una aplicació C: [0,1]*-* [0,1]". A pa i de la de inició 4.2.2 in oduïm el concep e d'ope ado ex ensional. De inició 4.2.3. Un ope ado C : [O, l]u —» [O, l] és ex ensional espec e a la -no ma T, o T-ex ensional, si és una aplicació ex ensional espec e a EV Í Ey. Si no hi ha ambigüi a , pa la em simplemen d'ope ado s ex ensionals, sense cap e e ència a la -no ma T. No ació: OET - {C : [O, l]u —»• [O, l] / C és ope ado T-ex ensional}. NOTA. Reco dem que la condició mínima que s'ha d'exigi a la -no ma "^~~T T pe assegu a que ET i E són T-indis ingibili a s és la con inuï a pe l'esque a espec e les dues a iables pe sepa a , (b eumen , T con ínua pe l'esque a). En la es a d'aques capí ol, (i de o a la memò ia) suposem que aques a condició es dóna, si no s'especi ica el con a i. Els ope ado s ex ensionals són compa ibles amb l'esquema 4.2.1 si in e - p e em l'exp essió "ap oximadamen igual" pe "indis ingibili a na u al més g an o igual que". D'aques a mane a, pe cada a 6 [0,1] ob enim: "si A lla o s B" (4.2.4.) P oposició 4.2.5. Pe un ope ado C : [O, l] —» [O, l] són equi alen s: a) C és ex ensional. b) Pe o a e [0,1], les esis ob ingudes a a és de C (i.e. B = C (A), B' = C(A'),...) són compa ibles amb l'esquema 4.1.4. Demos ació, (a) =$• (b) és i ial. 108 Capí ol 4 En p ime lloc es ac a el p oblema din e de la classe dels De inició 4.3.1. L'Ope ado Na u al d'In e ència associa a la egla "si A lla o s B" , i a la -no ma T, se à: A' on B'( ) = T lNFue / (A'(u) A(u)) eTAB(A') Figu a 4.1. Ope ado Na u al d'In e ència El següen eo ema es ableix de quina mane a l'Ope ado Na u al d'In e èn- cia és l'òp im din e de la classe dels OI ET- Teo ema 4.3.2. (a) CAB és ope ado d'in e ència. (b) Pe o A1 e [O.l]17, B < CTAB(A'). A més, si A' < A lla o s CAB(A') = B. (c) CAB in e pola la egla "si A lla o s B". in e ència com a Raonamen Ap oxima en Lògica Di usa 109 -~T (d) CAB és ope ado T-ex ensional. ~"X (e) CAB és l'ope ado més g an espec e < (i.e. menys especí ic) sa is en (a), (b), (c) i (d). Demos ació. (a) Es conseqüència immedia a de la mono onia de T i del INF. (b) Pe qualsse ol o;, y € [0,1], T(x y) > y Pe an , dona A' € [O, l]ü, pe o e V es é: CTAB(A')( ) = (lW (A'(u} A(u))B( )} > B( ). íéU J D'al a banda, si x < y lla o s T(x y) = 1. Així, si A' <u A, esul a CTAB(A')( ) = (iNF^ (A'( i)M< i)) |B( ;)) = (l¡B( }) = B( ), pe o £V. (c) Segueix immedia amen de (b). (d) Dona A' i A" € [0,1}U, conside em B1 - CTAB(A'} i B" = CTAB(A"}. S'ha de p o a que E%(A',An) < £%(B' B"). Pe cada E V, es é: T(B» | B»j«)) = l'(w) j A(u)) B( ) T INF (A"(u} A(u)) B( ) J uÇ.U / / g ^INF (A»(u) A(u)) WFT(A'(u) A(u))} = im (A»( ) A( }) (A-( i) A(u)} (A'(u) A(u)}) (,*») «€ / / I > INFT(A'(u) A(u)) > (****) i6Ü > INFMlN{T(A'(u) A"(u)},T(An(u) A'(u))} u€U = IW u€ / 110 Capí ol 4 on les igual a s i desigual a s segueixen dels següen s e s: (*) i (****) són conseqüència del lema de simpli icació 1.2.17. (**) T(x y} és monò ona c eixen i con ínua pe la d e a espec e la a iable y- (***) T(x y) és monò ona dec eixen espec e la a iable x. De o ma semblan s'ob ind ia que (B" ( ) B'( )) > 1<%(A',A") i, de les dues, ET(B'( lB»( }} = MlN{T(B'( ) B" ( )), (B" ( ) B'( ))} > E^A'.A"). Finalmen , donada l'a bi a ie a de € V, ETV(B',B») = WFET(B'( ),B»( )) > El(A',A»). (e) Sigui T> : [O, l]u —+ [0, 1}V un ope ado sa is en (a), (b), (c) i (d). T Dona A' € (O, l]u, olem eu e que T>(A') < CAB(A'). Conside em A" = SUP<u(A,A'), (i.e. A" (u) = SVP{A(u),A'(u)} pe o u € U). Òb iamen A < A" i, pe an , !<%(£', A) = lNFueU ET(A"(u),A(u)) = Com que "D sa is à (b), (c) i (d), se segueix: lW (D(A")( ) B( )) = INFMIN{Í ÇD(A')( ) B( )), (B( ) 'D(A»)( )} (b) «e W (d) = INFT(A»(u) A(u)). Pe an , pe cada 6 V, TÇD(An)( ) B( )) > lNFu€U (An(u) A(u)) i, com a conseqüència del lema 1.2.23, V(A"}( ) < sup{a€lO,l]/T(a|J3( ;))>INFT(-A'>(M)|A(«)} = = (lW (A»(u) A(u)} B( ^ in e ència com a iaonamení Ap oxima en Lògica Di usa 111 "} < CTAB(A"}. -•-T Pe ò com que A" = A V A', i CAB és ope ado d'in e ència, es é W i, d'al a banda, com que £> sa is à (a) i A' < A" es é T>(A') < T>(A"), esul an inalmen V(A') < T>(A" ) < C B (A" ) = CTAB (A1). M Una conseqüència immedia a dels eo emes 4,3.2 i 4.2.7 és que si in e pola la egla "si A lla o s B" (pe exemple si RAB — T(A(u) B( ))), —'T* lla o s CRI^B < CAB- ^e ^» e^ ^ema 1-2.21 es ableix que, a ni ell de l'in e al [0,1] es é la desigual a ( (x y) z > T(x (y z)), i que no al, —/P en gene al, la igual a . Pe an , la igual a ampoc ald à si conside em CAB en e subconjun s di usos. Exemple 4.3.3. Conside em U = {uo,Ui,u2,u3}, V = A = (0,0'25,1,0), A1 = (0,0'5,1,0) i B = (0'5,0'3,1). Les esis B' que s'ob enen són: > T-p oduc e >T = L B' = CRiïB(A'} = (0'5, 0'5, Ja s'ha is a la secció an e io que CRI|^B, quan RAB = T(A(u) B( )} s'ob é d'es end e als di usos de [O, I]17 i [0,l] el model T(x,T(y z)) de l'in e al uni a , i que això es a ia sup ems ( CRITRAB(A'))( ) = SUP^T (¿'(u), (A(u) B( )))y. En can i, si el model a es end e als di usos és T (T(x y) z], hi ha dues possibili a s: SUPue / T ( (A'(u) A(u)) B( ) i 112 Capí ol 4 (lNFu£UT(A'(u) A(u)) B( }) Com que T(xjy) és monò ona dec eixen i con ínua pe l'esque a espec e la a iable x, pe ò no és (en gene al) con ínua pe la d e a, esul a que SVP ( (A'(u) A(u)) B( )) < T(wF (A'(u) A(u)) B( } = C B(A'}. La igual a , en gene al, no al. Exemple 4.3.4. Conside em T =MIN, U - {un} .eN, V = { }, B( ) € [0, 1] al que B( ) < 1, A € [Q,l]u al que AM I B( ), i A' € [0,1]" al que A!(un} — 1, pe o n € N. Lla o s S JP ( (A'(un) A(un)) B( )) = SVP (T(l A(un)) B( )) = = SUP (A(un) B( )) = n€N neN = (INF A(un) B( }} = n€N / Segons s'ha is al Capí ol 1 si la -no ma T és a quimediana no es ic a, lla o s T(x y) és con ínua pe la d e a espec e de la p ime a a iable £, i ambdós ope ado s coincideixen. Més en gene al, pe una -no ma T con ínua pe l'esque a, es é: Lema 4.3.5. Si exis eix UQ E U al que ÏNFu£UT(A'(u) A(u)) = ), lla o s SUP ( (A'(u) A(u)) B( )} = T (im (A'(u) A(u)} B( )^ . In e encia com a .Raonamen Ap oxima en Lògica Di usa 113 Demos ació. SVPT( (A'(u} A(u)) B( )) < < S JP ( (A'(u) A(u)) B( ) No ació: CTAB = SUPU€UT ( (A'(u) A(u}} B( )J. Lema 4.3.6. Pe qualse ol -no ma T con ínua, pe l'esque a, i pe RAB = T(A(u} B( )} es é: Demos ació. Es desp èn de les conside acions p eceden s. • A més, l'ope ado C^B p esen a impo an s p opie a s es uc u als. Teo ema 4.3.7. (a) Cjg és ope ado d'in e ència. (b) Pe o A' <E [O,!]", B < CTAB(A'}. A més, si A' < A lla o s ClB(A'} = B. (c) CTAB in e pola la egla "si A lla o s B" . (d) CjB és ope ado T-ex ensional. Demos ació. y ' ^ (a) Es conseqüència immedia a de la mono onia de T i del SUP. (b) Pe qualse ol x,y,z € [0,1] es é que T(T(x y) z) > z, (a ès que T(T(x y) z) és monò ona c eixen espec e x, i que T(T(0|y)|z) = z). 114 Capí ol 4 Pe an , pe o €. V es é: , i I CAB(A')( ) = SVP C (A'(u) A(u)) B( )) > SUP B ( ) = B ( ). D'al a banda, si x < y es é ( (x y) z) = z, (pe què T(z|y) = 1). Així, si A' <u A, esul a CAB(A')( ) = SUP ( (A'(u) A(u)) B( )} = SUPB( ;) = B( ), pe o G V. (c) Segueix immedia amen de (b). (d) Dona s A1 i A" € [O, I]", conside em B1 = CAU (¿O i B" = S'ha de p o a que T%j(A',A") < ~E (B', B"). Pe cada 6 V, es é: (B'( ) B"( )) = T SVPT( (A"(u) A(u)) B( )] = im (T(T(A'(u} A(u)) B( )) > im (T( (A'(u) A(u))B( )) („) ueu / ( (A"(u) A(u)) B( )}}> INFÍ > INF í1 (A'(u) A"(u)) > (««»») ie > INF MIN u€í/ U€Í/ on les igual a s i desigual a s segueixen dels següen s e s: (*) T(x y] és monò ona dec eixen i con ínua pe l'esque a espec e la a iable x. (**) T(x y) és monò ona c eixen espec e la a iable y. (***) i (****) són conseqüència del lema de simpli icació (1.2.17). In e ència com a Haonamení Ap oxima en Lògica Di usa 115 De o ma semblan s'ob ind ia que (B"( ) B'( )) > E^A'^A"), i, de les dues, ET(B'(V),B"(V)) = - > £T (A' A") Finalmen , donada l'a bi a ie a de € V, ,££(B', B") = INF ET (B'( B"( )) > ËÎ(A', A"). • ue A con inuació es esol el p oblema de de e mina l'ope ado òp im espec e l'o d e pun ual < (i.e. menys especí ic), din e de la classe dels ope ado s ex- ensionals OE (no necessà iamen ope ado s d'in e ència), que anomena em ope ado na u al sime i za . ' De inició 4.3.8. L'Ope ado Na u al Sime i za associa a la egla "si A lla o s B" i a la -no ma T, se à: A' H-» STAB(A')=B' on B'( ) = (lNFuey ET(A'(U), A(u)) B( )}. U B' ,c-";- ,,;s ( !,'-; V-^ ',^;:-'-^?''"; ' ::,:. ' -' ^V!i:-aV:T.'V;'» 7 i - .-•:.-. i •••••. •-••••i . s .; V Figu a 4.2. Ope ado Na u al Sime i za 116 Capí ol 4 L'adjec iu "sime i za " en la de inició an e io a e e ència al e que la >P ima ge d'un di ús A' pe SAB depèn només de la semblança en e A' i A, i no de l'o denació pun ual. En pa icula , l'Ope ado Na u al Sime i za no és un ope ado d'in e ència. Lema 4.3.8. STAB(A'}( } =T(É^(A',A) B( ) pe o e V. Demos ació. E iden . • Lema 4.3.10. STAB(A')( ) = {cTAB(A') VCTA,B(A}}. Demos ació. Pe o 6 V, SAB(A')(V) = (lNFET(A'(u),A(u)) B( )J = = (U ( = SUP { (iNFÍ (A'(u) A(u)) B( )J , (lNFT(A(u) A'(u)) B( )) } = SUP •'"' '(u) À(u)) ,WF (A(u),A'(u))} B( )J = El següen eo ema es ableix de quina mane a l'ope ado na u al sime i za és òp im din e de la classe OEx dels ope ado s ex ensionals. Teo ema 4.3.11. (a) STAB(A') > B, pe o A' e [O, í]u. _ (b) SAB in e pola la egla "si A lla o s B" . _ (c) SAB és ope ado T-ex ensional. —T SAB és l'ope (a) (b) i (c). —T (d) SAB és l'ope ado més g an espec e < (i.e. menys especí ic) sa is on In e ència com a Raonamen Ap oxima en Lògica Di usa, 117 Demos ació. (a) T(x y) és monò ona c eixen espec e la a iable x, i T(l B{ )) = B( ). (b) T i ial, (c) Dona A' i A" £ [O.lp, conside em B1 = STAB(A'} i B" = S'ha de p o a que E%(A',A") < Ëy(B',B"). Pe cada G V, es é: (*) ' <»*) on (*) i (**) són conseqüència dels lemes 1.2.17 i 2.1.9 espec i amen . (d) Dona D : [O, l]u — > [O, l] sa is en (a), (b) i (c), s'ha de eu e que V(A') < T>TAB(A'}, pe o A1 € [O, i . Pe cada € V es é, degu al lema 1.2.23. = SUP {a e [O, l]/ (a|B(ü)) > Ël(A',A)} Pe ò ')( ;)|B( ;)) - ET(D(A')( },B( }} (c) i, pe an , X>(A')(^) < «5jñ(A')(í;), i donada l'a bi a ie a de e V, ' < 5 > L'Ope ado Na i al Sime i za S AB s'ob é d'es end e ais di usos de [O, I]17, [O, l] la ó mula T(ET(x,y) z) de l'in e al uni a . Com ja passa a amb l'ope ado na u al d'in e ència, hi ha dues possibili a s pe e això: No ació: SÜPu€ / (ET(A'(u) A(u)) B( )} = 124 ^^_^_ Capí ol 4 (c) S^B és ope ado ex ensional. (d) «S^jg és l'ope ado més pe i espec e < (i.e. més especí ic) sa is en (a), (b) i (c). Demos ació. (a) Pe qualsse ol x, y € [0, 1], T(x,y) < y. Pe an , dona A1 € [O, l]u, pe o € V es é: STAB(A')( ) = T E(A',A},B( } < B( ). (b) Segueix immedia amen de (a). S'ha de eu e que E^ (S^B( A', A" e [O, l]u. Dona e V qualse ol, (c) S'ha de eu e que E^ (S^B(A'),S^B(A")) > El(A',A"), pe o (**) on les desigual a s són conseqüència de: (*) Lema 1.2.10. (**) Lema 2.1.9. Semblan men , (^(^(^^(A'^ )) > E%(A',A"), i, d'ambdues, Finalmen , donada l'a bi a ie a de € V, B,AB > EV(SAB(A')(V),STAB(A")(V)) = INF ET (STAB(A')( ),STAB(A")( )) In e ència com a Raonamen Ap oxima en Lògica Di usa 125 (d) Dona T) sa is en (a), (b) i (c), s'ha de eu e que V(A') > S_AB(A'), Pe la p oposició 1.2.9 ]*€[0,1] i pe an , com que (B( ) V(A'}( )) = T(D(A}( } T>(A'}( )} > Êy(A, A'), es é T>(A'}( ) > T(B( ),^(A, A1). • __ L'ope ado d'in e ència na u al CAB i l'ope ado na u al sime i za SAB associa s a la egla "si A lla o s B" s'han ob ingu com a solució d'un p o- blema d'op imali a . La p egun a na u al a e -se és: són aques s ope ado s la e sió di usa d'algun model clàssic d'in e ència?. Tenin en comp e que T i ET an el pape de •••¿T1 la implicació i de l'equi alència, espec i amen , esul a cla que CAB(A'} • *T* esul a d'es end e a con ex di ús (A1 —»• A] -» B, i SAB esul a d'es end e (A1 ~ A) -> B. En con ex clàssic, si A i B són p oposicions "c isp", i si al la egla "si A lla o s B", lla o s ambé són àlides o es les egles "si A' lla o s B'", "si A" lla o s B"",... on A <* A1 <=» A"... i B ^ B' <*> B"... (on «» deno a l'equi alència clàssica en e p oposicions). En aques cas, un esquema g à ic del aonamen se ia: si A lla o s B A&A' (4.3.17) si A1 lla o s B' El esul a d'aques esquema de aonamen no és una simple esi B', sinó una no a egla àlida. Així, (4.3.17) pe me gene a un conjun de egles "si A1 lla o s B'", "si A" lla o s B""... a pa i d'una donada "si A lla o s B", basan -se en l'equi alència de p oposicions. Aques es no es egles, es enen el coneixemen a si uacions di e en s de la que ha pe mès o mula la egla 126 Capí ol 4 o iginal "si A lla o s B", i aques és p ecisamen un dels e s ca ac e ís ics del Raonamen Ap oxima . Al gene ali za aques p ocedimen a con ex di ús, s'ha de can ia la elació d'equi alència en e p oposicions •<=>• pe una elació d'equi alència di usa, o sigui, un ope ado de T-indis ingibili a E. Una possible mane a de e -ho és eballan amb i es in e io s d'indis ingibili a i demana que si a és una i a in e io pel g au d'indis ingibili a de les hipò esis, ho sigui ambé pe les esis, i.e. que pe o a € [0,1], si È(A,A') > a lla o s E(B,B') > a. Pe ò aques a condició és del o equi alen a demana E(B,B') > E(A, A') que és, jus amen , la condició d'ex ensionali a . Des d'aques pun de is a, l'esquema (3) es con e eix en: si A lla o s B E(A,A')<E(B,B') _ _ _ (4.3.18) si A' lla o s B' Així, si pe ex end e una egla "si A lla o s B" a no es egles u ili zem un ope ado C, (ob enin "si A' lla o s C(A')n ), lla o s els ope ado s ex ensionals esponen jus amen a l'esquema (4.3.18): només cal posa B' = C(A') en (4.3.18), i pe an , les egles que gene en els ope ado s ex ensionals són la e sió di usa (g aduada en [0,1] pe un ope ado de T-indis ingibili a ) de les egles clàssiques compa ibles amb l'esquema (4.3.17). A a bé: l'ex ensionali a pe si sola no ga an eix el bon compo amen dels ope ado s. Conside em el cas ex em en què E (A, A') — 0. Si es ol gene a una egla "si A' lla o s B"' a pa i de la egla "si A lla o s B" que es basi exclusi amen en l'esquema (4.3.18) (o sigui, no es disposa de cap ope ado especí ic C), qualse ol B' se eix, i pe an , la egla ob inguda no é cap alo . De e , E(A, A') — O es co espon al cas clàssic en que A ¿b A', i lla o s no es po aplica (4.3.17). Aques p oblema c í ic es mos a ambé en meno g au pe alo s in e medis Q<a<liE(A,A') = a. La solució que es p oposa és associa a A1 el conseqüen B' menys especí ic (i.e. con enin menys in o mació) en e o s els que sa is an L'ope ado que pe me ob eni B' d'aco d amb les conside acions p eceden s In e encia com a Raonamen Ap oxima en Lògica Di usa 127 és l'Ope ado Na u al Sime i za , segons el eo ema 4.3.11. Si, a més s'exigeix que al a ia A' sob e o [0, l]u el que s'ob ingui sigui ope ado d'in e ència, el que s'ob é, segons el eo ema 4.3.2, és l'Ope ado Na u al d'In e ència. Conside acions o almen anàlogues a les an e io s mos en que si en comp es de l'esquema (4.3.17) conside em: si A lla o s B (4.3.19) si A1 lla o s B1 La co esponen ex ensió a con ex di ús, can ian indis ingibili a pe im- plicació esiduada, ens po a a Y Ope ado Na u al d'In e ència. 4,4 Dues e e ències sob e l'Ope ado Na u al d'In e ència Pe acaba aques capí ol, comen a em b eumen dos eballs en què apa eix, so a mo i acions que es enen a eu e amb l'ex ensionali a , l'Ope ado Na- u al d'In e ència [Godo & Hajek, 96,97] i [Mag ez & Sme s, 89], En l'a icle de Lluís Godo i Pe Hajek "On deduc ion in Zadeh's Fuzzy Logic", s'emp èn la o mali zació de la Lògica Di usa com a sis ema deduc iu en sen i clàssic, en una lògica mul i aluada de quan i icació acional amb múl iples ipus, del ipus Pa elka-Lukasiewicz. En aques con ex , a pa i d'una egla "si (X és A) lla o s (Y és £)" in e p e ada com (V*) (X(x) -» A(x)) -» (Vy) (Y(y) -+ B(y)) i d'una p emisa (X és A) amb A' di e en d'A, es po dedui (X és B') on (Vy)(B')(y) = (Vx)(A'(x) -> A(x)) -» B(y). A ni ell semàn ic, B1 = CTA í(A'),(T = L). Aques a deducció de B' es po du a e me in e p e an el alo de e i a de A dona A' com V(A' -» A) = TNFueU (A'(u) A(u)). Lla o s, B' = CTAB(A') 128 Capí ol 4 és la menys especí ica de les conclusions sa is on V(B' — » B) = V(A' -» A) [Godo, e al., 97bj. El e so p enen és que, en can i, no es po dedui B' =CRI(.«4') sense imposa hipò esis addicionals al model que, si bé són aonables des d'un pun de is a in uï iu, són de di ícil in e p e ació lògica. Conc e amen , cal imposa l'exis ència d'una dis ibució de possibili a conjun a pe a la a iable X x Y sob e el p oduc e ca esià U x V dels uni e sos de discu s U i V on p enen alo s X i Y. Mol més llunyà en el emps és el eball de Mag ez i Smé s "Fuzzy Modus Ponens: A New Model...". Desp és d'un es udi sob e CRI conside an di e - en s uncions d'implicació, es ableix un conjun de p opie a s in ui i es que hau ia de sa is e la deducció en Lògica Di usa, i a iba a la conclusió que cap de les o mes de CRI es udiades les sa is à plenamen . A pa i d'aquí, g àcies a una acu ada dis inció en e llengua ge i me allengua ge, es ableix que la deducció segons Modus Ponens clàssic és uncional espec e la neces- si a , cosa que es én a con ex di ús com: N(B) = ®[N(A),N(A -> B)], on ® és -no ma. A aluan les necessi a s N{A), N (B), N (A -» B) i N(A A*) (i.e. necessi a d'A dona A*) a iba a d'on inalmen esol el p oblema de oba B* sa is en N(B B*) = ò, que és p ecisamen B*( ) = SUP {u € [O, l]/<8> (1 - B*( ),u) < 1 - ¿}. —T En el cas en què ® = L, es po comp o a que B* no és al e que CAB(A*). No hi ha cap elació apa en quan ® ^ L Cal ema ca que, en aques a memò ia, l'Ope ado Na u al d'In e ència s'ha in oduï en base a conside acions comple amen di e en s a les adduïdes en els dos models an e io s, i que el seu àmbi d'aplicació s'es én a qualse ol -no ma T1, con ínua pe l'esque a espec e les dues a iables pe sepa a .