Un método integrado de actualización de modelos de elementos finitos utilizando datos procedentes del análisis modal experimental

UN MÉTODO INTEGRADO DE ACTUALIZACI~N DE MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS UTILIZANDO DATOS PROCEDENTES DEL ANÁLISIS MODAL EXPERIMENTAL J.M HERNÁNDEZ J.I. LLORENTE M.H. FERNANDES Depa amen o de Ingeniem'a Mecánica, E.T.S.I. Indus iales y de Ingenie os de Telecomunicación de Bilbao, Uni e sidad del País Vasco, c/Alda. U quijo s/n, 48013 Bilbao, España, Tel: 34-4-4278055, Fax: 34-4-4414041 RESUMEN En es e a ículo se p esen a una écnica comple a de ac ualización de modelos de elemen os ini os de acue do con los esul ados ob enidos con el análisis modal expe imen al, incidiéndose en la in eg ación del p oceso y en la necesidad de calidad de los da os de pa ida. SUMMARY In his a icle, a comple e upda ing echnique o ini e elemen models on he basis o esul s om expe imen al modal analysis is p esen ed, wi h a en ion ocused on he in eg a ion o he p ocess and on he necessi y o quali y in he basic da a. La u ilización del mé odo de los Elemen os Fini os (M.E.F.) se encuen a en la ac ualidad ampliamen e ex endida pa a la esolución de p oblemas mecánicos, an o es á icos como dinámicos. En el caso de los p oblemas dinámicos, exis en oda ía incon enien es que no ienen una ácil solución: la modelización de las uniones, la inclusión del amo iguamien o, la elección de la densidad adecuada de mallado, la p ecisión en el alo de los pa áme os de diseño-espeso es, secciones ans e sales, módulo de elas icidad, densidad, e c.- son aspec os que de e minan g andemen e la calidad del modelo de elemen os ini os, y en consecuencia la iabilidad de los esul ados que se pueden alcanza con él. Resul a, en onces, de g an in e és, pa a cada caso conc e o, comp oba si el modelo de E.F. es álido, es deci , si se ajus a a la ealidad, y si no es así, mejo a lo o ac ualiza lo. Es e p oceso se ealiza en a ias e apas. En p ime luga se cons uye un Recibido: Diciemb e 1994 OUni e si a Poli bcnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 54 J.M. HERNÁNDEZ, J.I. LLORENTE, M.H. FERNANDES Y R. AVILÉS p o o ipo del sis ema mecánico modelizado y se calculan sus ca ac e ís icas dinámicas; a con inuación, se es udia la co elación en e ecuencias y modos de ib ación ob enidos numé ica y expe imen almen e. Es a co elación se á la que p opo ciona á una p ime a indicación sob e la alidez del modelo de E.F. Es impo an e des aca aquí la necesidad de habe ealizado un co ec o análisis moda1 expe imen al, que gene e unas ecuencias expe imen ales acep ables, y de dispone de un modelo de E.F. cuya densidad de mallado sea adecuada14, pa a ob ene unas ecuencias na u ales con el mínimo e o . Si el modelo no ue a álido, el siguien e paso consis i ía en de e mina cuáles son las zonas de e o , y en consecuencia, decidi qué a iables de diseño han sido in oducidas de o ma inco ec a. Pa a ealiza es a es imación se u ilizan écnicas de localización de e o es. Finalmen e, la úl ima e apa consis e en ac ualiza el modelo en las zonas inidicadas po la écnica de localización. La ac ualización se ealiza po medio de una ap oximación en se ie de Taylo de p ime o den del alo de las a iables de diseño que la localización de e o es ha indicado que pueden es a in oducidas o es imadas e óneamen e. Pa a ello, pa iendo de los alo es iniciales, median e un p oceso i e a i o basado en el cálculo de las sensibilidades de los alo es p opios se ac ualizan es as a iables elegidas de o ma que el modelo de E.F. inal ep esen e la mejo ap oximación a los alo es eales del sis ema, ob enidos expe imen almen e. En es e a ículo se incide en la impo ancia de odas las ases del p oceso: co elación, expansión, localización de e o es y ac ualización15. Asimismo, se p es a especial a ención a la calidad de los da os, poniendo especial én asis en la co ec a de e minación de las ecuencias na u ales. En la Figu a 1 é odo de los Elemen os Fini o 1 LOCALIZACION DE ERRORES Modelo Achializado a Figu a 1. Esquema de p oceso de ac ualización implemen ado. se mues a en o ma esquemá ica el p oceso que se sigue16, cada una de es as e apas se explican de alladamen e en los apa ados pos e io es. En la Figu a 1, MAC co esponde a las siglas de Moda1 Assu ance C i e ion y FBM a Fo ce Balance Me hod. Los c i e ios que a con inuación se desa ollan a an de calcula la co elación exis en e en e los esul ados analí icos y expe imen ales po medio de la compa ación de los ec o es que ep esen an los modos de ib ación. Así, se puede es ablece que si dos ec o es ep esen an el mismo modo de ib ación, ambos ec o es debe ían se p opo cionales en e sí. Basándose en es a idea, se de ine el ac o de escala modal (modal scale ac o - MSF) en e dos ec o es, uno analí ico {@},, y o o expe imen al {@}exp como1 y de aquí un coe icien e de co elación, el c i e io de con ianza modal (modal assu ance c i e ion - MAC) como donde [W] es una ma iz cons i uida po coe icien es de ponde ación. Los alo es del MAC oscilan en e O y 1. Un alo de ce o indica ía que no exis e ninguna elación de p opo cionalidad en e ambos ec o es. Po lo an o, se puede deci que ep esen an modos de ib ación di e en es. Po el con a io, un alo de uno indica ía una p opo cionalidad pe ec a en e ambos ec o es. La in oducción de la ma iz [W] pe mi e ponde a los alo es del MAC y MSF median e la ma iz de masa o la de igidez; es as di e en es posibilidades pueden p opo ciona un mayo conocimien o de la al a de co elación en e ec o es y en consecuencia en e modelos. A la ho a de lle a a cabo el cálculo del MAC su ge un p oblema undamen al, que es la di e encia de amaño exis en e en e el modelo expe imen al y el modelo de E.F. En e ec o, es bien conocido que los modelos analí icos necesi an de un ele ado núme o de g ados de libe ad pa a conduci a ecuencias na u ales co ec as14. Po o a pa e, los modelos expe imen ales no p ecisan de an os g ados de libe ad pa a de e mina adecuadamen e las ecuencias, y además, no esul a ácilmen e ealizable la medición de los g ados de libe ad de o ación. Po lo an o, pa a e alua el MAC es necesa io compa ibiliza de alguna o ma el di e en e núme o de g ados de libe ad de ambos modelos, lo cual se puede ealiza median e condensación o median e expansión, siendo és a la écnica más indicada a emplea . No obs an e, la expansión no es una écnica "limpia" y puede dis o siona los esul ados si el mé odo a emplea no es el adecuado o si la elación gdl expe ./gdl analí icos es in e io a 113, lo cual es muy habi ual, al como demos ó Gysin12. Po ello, el c i e io empleado en los ejemplos ealizados en es e abajo ha consis ido en e alua el MAC omando como modos de ib ación del modelo E.F. únicamen e los g ados de libe ad coinciden es en los dos modelos. P obablemen e, los esul ados ob enidos hayan sido menos espec acula es pues o que di ícilmen e se podía llega a una co elación del 0.99. No obs an e, de es a o ma no se han añadido dis o siones al p oceso. EXPANSI~N DE MODOS DE VIBRACI~N EXPERIMENTALES " LOS GRADOS DE LIBERTAD NO MEDIDOS A pesa de habe podido e i a la expansión en el paso co espondien e a la co elación, no ocu e lo mismo pa a la localización de e o es. En e ec o, en algún caso, es p eciso ealiza una expansión de modos expe imen ales a los g ados de libe ad no medidos. La écnica de expansión es á o almen e elacionada con las écnicas de condensación. És a se puede o mula bajo la hipó esis de que exis en n2 g ados de libe ad ''escla os" {x2) que se pueden exp esa en unción ni g ados de libe ad "maes os" {xl). Es deci , se pod ía esc ibi que {x2) = [L]{xl), en donde [L] es una ma iz de dimensiones n2 x ni, cuya exp esión conc e a depende del ipo de condensación empleado. Po an o, en donde [1] es la ma iz iden idad. La ma iz de ans o mación [TI (o su equi alen e, la ma iz [L]) se de e minan bajo di e en es hipó esis sob e el compo amien o dinámico de la es uc u a. Una ez de e minada la ma iz de ans o mación [TI, se puede ya u iliza ácilmen e pa a ealiza ambién la expansión de modos expe imen ales. En es e abajo se ha empleado, undamen almen e, el Mé odo de las Coo denadas Modales (MCM) p opues o po Lipkens4, aunque ambién se ealiza on p uebas con el mé odo IRSIO que conduje on a esul ados más des a o ables. De es a o ma se con i ma on las a i maciones de Gysin13 según las cuales, el mé odo MCM es uno de los pocos que minimiza el " uido" en el p oceso de expansión. En dicho mé odo la ma iz de ans o mación [TI se puede de ini como es deci , la ma iz modal expe imen al se conside a una combinación lineal de la co espondien e ma iz modal calculada median e el MEF. En onces, se puede ob ene Es a ma iz de ans o mación, de dimensiones m,, x meXp es una ma iz ap oximada median e mínimos cuad ados a [TI, a a és de una pseudo-in e sión, y se u iliza pa a comple a los ec o es modales expe imen ales. La expe iencia ha demos ado que la ac ualización de modelos, po sí sola, es di ícilmen e ealizable po el núme o de pa áme os de diseño que se in oduci án en la unción obje i o. En e ec o, se pod ían p oduci modi icaciones en a iables que nada ienen que e con el e o eal en el modelo numé ico. Po ello es imp escindible ealiza un p oceso de búsqueda del e o . La localización de e o es dominan es a a conduci , en p ime luga , a un p oceso de ac ualización basado en aquellas egiones en donde se p oduce mayo e o . Además, a a ayuda a educi el g ado de inde e minación en el p oblema de ac ualización, ya que se an a selecciona aquellos pa áme os que son más sensibles en las zonas de e o dominan e o peo modelizadas. Es e aspec o es undamen al a la ho a de asegu a la con e gencia del p oceso. Es necesa io hace no a , y más a de se demos a á, que si la localización de e o es no es buena, a a se muy di ícil ob ene un modelo co ec amen e ac ualizado. Po lo an o, se ha decidido implemen a a ios mé odos de localización de e o es, pa a con i ma los esul ados. Fue, po an o, necesa io ealiza una ex ensa búsqueda y comp obación de mé odos, op ándose inalmen e po los siguien es: Mé odo FBM (Fo ce Balance Me hod) Fue el p ime o de los mé odos de localización que p esen aba cie a iabilidad. P esen ado po Fisse e7 se de inía un ec o de e o {E) según Es e ec o de e o indica ía las egiones en las que se encuen an los e o es dominan es. Además, es cla o di e i , a pa i de la exp esión an e io que, únicamen e con el cálculo del ec o de e o {E3) pa a un modo, se puede de e mina con cla idad dónde se encuen a el e o dominan e. Una mejo a de es e mé odo ue suge ida pos e io men el1. En ella se p oponía, en luga de un es udio modo a modo, calcula una media del e o pa a el conjun o de los modos. De es a o ma, quedaba eno memen e disminuida la posibilidad de que una inco ec a o educida selección de modos die a luga a una es imación inadecuada de las zonas de e o dominan e. Como se obse a de la exp esión (6), se emplean las ma ices de masa y de igidez del modelo numé ico, y las ecuencias y modos de ib ación expe imen ales. Lógicamen e, exis e una incompa ibilidad en el núme o de g ados de libe ad que hay que sol en a . Es aquí donde es iba la debilidad de es e mé odo, pues es necesa io lle a a cabo la expansión de los modos expe imen ales a los g ados de libe ad no medidos, con la consiguien e dis o sión. Además, exis e o o pelig o impo an e, que es la p opia u ilización de los modos expe imen ales. Di e en es es udios han concluido que en la 58 J.M. HERNÁNDEZ, J.I. LLORENTE, M.H. FERNANDES Y R. AVILÉS es imación de las componen es de los modos de ib ación expe imen ales pueden exis i e o es de has a el 10%. E iden emen e, no se puede p e ende encon a e o es en un modelo pa iendo de unos da os que ya son e óneos. De ahí la necesidad de emplea más mé odos de localización de e o es, en o ma pa alela, pa a pode aco a lo mejo posible dicho e o . Mé odos Basados en el Análisis de Sensibilidad Exis en dis in os mé odos de localización de e o es basados en el análisis de sensibilidad. Han sido dos, Lallemen 5 y Wei6, los empleados en es e abajo. El p ime o de ellos, que b e emen e se expone a con inuación, al que se a a denomina Mé odo de Lallemen conside a que las ma ices elemen ales del modelo ac ualizado [MiuplexP Y [KiuplexP se pueden exp esa como sigue [M. lup Iexp = mi . [MiIexp ; [KiuplexP = ki . [KiIexp (7) en donde m; y ki son los indicado es de e o pa a cada elemen o. De aquí se puede esc ibi mi = 1 + Ami ; k; = 1 + Ak; (8) Además, los modos de ib ación expe imen ales se pueden exp esa como expansión en se ie de Taylo según e a{Qi}an {Qi)exp = {Qi)an + E e a . Ami dk; Aki + i=l i=l ami (9) y análogamen e las ecuencias expe imen ales como {w2}exp = {w2}an + E e a{w2}~n . ski + e . ami (10) i=l dki i=l ami Ag upando (9) y (10) y exp esando en o ma ma icial se ob end ía {AY) = [SI {AP) (11) en donde {Ay) es el ec o o mado po las di e encias en e ecuencias y modos de ib ación analí icos y expe imen ales; [S] es la ma iz de sensibilidad y {Ap) es el ec o o mado po las a iaciones Ami y Aki. Resol iendo es a ecuación median e mínimos cuad ados se ob ienen los alo es de {Ap). Aunque és e se ía el p oceso eó ico, según Lallemen , nues a expe iencia demues a que no es ecomendable emplea los modos de ib ación expe imen ales16, po lo que únicamen e se han u ilizado las ecuencias en la exp esión (11). El segundo mé odo empleado, que se a a denomina Mé odo de Cincina i', es muy simila al an e io , pe o en es e caso se sus i uye Ami y Ak; po una a iación en los pa áme os ísicos que o man pa e del modelo de E.F., como el módulo de elas icidad, la densidad, el espeso , e c. De nue o queda ía la exp esión en donde, en es e caso, [S] es la ma iz de sensibilidades espec o a las a iables de diseño. También, en es e mé odo, se han empleado sólo las ecuencias de ib ación. El incon enien e undamen al de ambas écnicas es que pueden dis o siona los esul ados conside ablemen e. En e ec o, se es á suponiendo que las zonas de e o son p ecisamen e aquellas más sensibles a la a iación de las ecuencias y de los modos. Pe o es o no es o almen e cie o. Aunque la a iación de un pa áme o de diseño especí ico p oduzca un cambio ap eciable en una ecuencia na u al, ello no quie e deci que sea es e pa áme o el que se encuen e e óneamen e modelizado16. Median e el es udio de la co elación en e esul ados analí icos y expe imen ales se ha podido e i ica si los modelos con los que se es á abajando conducen a las mismas ca ac e ís icas dinámicas. Pos e io men e se ha lle ado a cabo la búsqueda de las zonas de e o pa a lo cual se ha empleado una combinación de mé odos: FBM, Lallemen y Cincinna i. Se es á, en onces, en disposición de ealiza la ac ualización del modelo de E.F. En es e apa ado se a a p esen a un mé odo de ac ualización de modelos basado en la co ección de las a iables de diseño que de inen el modelo de E.F. y que han sido de ec adas en los pasos p e ios como e óneas. Como se sabe, es as a iables son: el módulo de elas icidad, la densidad, el espeso , el á ea de las secciones ans e sales, los momen os de ine cia, e c. La idea consis e en co egi el alo de es as a iables de diseño de o ma que omen el alo que hace que la di e encia en e las ecuencias calculadas median e el MEF y las es imadas median e el análisis moda1 expe imen al, sea mínima. El p oceso ha de se necesa iamen e i e a i o, po a ias azones, en e las que se pod ían des aca las siguien es: siemp e an a exis i e o es en la es imación expe imen al de los pa áme os modales del sis ema mecánico, y - la ap oximación en se ie de Taylo de p ime o den que se ealiza á pa a la ac ualización no pe mi e a ia demasiado las a iables de diseño, pa a que dicha ap oximación no pie da alidez. Sea en onces n d el núme o de pa áme os independien es de diseño elegido pa a la ac ualización {p) y m,,,, el núme o de ecuencias expe imen ales. Conside ando las ecuencias na u ales ac ualizadas como un desa ollo en se ie de Taylo de p ime o den de las ecuencias del modelo de elemen os ini os, se puede esc ibi a,? n d 2 - 2 awi, w,",, - wian+-Apl+-". Ap2+. . .+-a awin Apn = u;an + --Apj awi",n (13) aPi 3~2 aPn j=i 8Pj Como lo que se p e ende es que el modelo ac ualizado p esen e unas ecuencias na u ales lo más simila es posible a las expe imen ales, exp esando ma emá icamen e es a a i mación se iene la siguien e unción a minimiza mexp 0.J = - Wiup )2 o bien, en o ma adimensional ~ o sus i uyendo la ecuación (13) se ob iene 2 n d OBJ = E u:xp - Wi,n i=l ~?exp Po lo an o, el p oblema a esol e se con ie e en un p oblema ma emá ico de minimización de unciones que se ha solucionado empleando di e en es u inas come ciales (DOT, 1989' y NAG, 19863). La expe iencia ha demos ado que el mé odo más adecuado pa a esol e es e p oblema es la écnica BFGS (B oyden-Fle che - Goold a b-Shanno) implemen ada en las sub u inas DOT2. Además, se han in oducido una se ie de mejo as p ác icas pa a la esolución de es e p oblema de minimización. Así, en cada paso i e a i o sólo se pe mi e una a iación del &5% en los pa áme os de diseño elegidos pa a la ac ualización, con lo cual se quie en e i a posibles ines abilidades y asegu a la alidez del desa ollo en se ie de la exp esión (13). O o aspec o que se ha in oducido a la ho a de de ini el p oblema es lo que se conoce en la bibliog a ía como "design a iable linking" que no es o a cosa que la ag upación de las p opiedades de los elemen os. En e ec o, como se equie e un modelo de E.F. con un núme o ele ado de elemen os, pa a pode ob ene así unas ecuencias na u ales lo más co ec as posible, puede ocu i que el núme o de a iables de diseño elemen ales que la localización de e o es indica que se deben modi ica sea demasiado ele adq, po lo que es necesa io ag upa las pa a que la u ina de minimización conduzca a esul ados acep ables. Además, cabe indica que se ha in oducido la eliminación de a iables de diseño con o me se p oduce la con e gencia de las mismas. En es e sen ido se ha p opues o como c i e io de con e gencia un alo de la a iación ela i a en e i e aciones consecu i as in e io al 0,5%, al como se exp esa en la siguien e ecuación Po úl imo, indica que se han implemen ado como posibles a iables de diseño a ac ualiza las siguien es: módulo de elas icidad, densidad, sección ans e sal (cuad ada, ci cula y ubula ), espeso y masas concen adas. Además, es in e esan e eco da que debido a la o ma en que se c ean las ma ices de masa y de igidez del modelo, y pos e io men e sus ma ices de sensibilidad, no es necesa io calcula es as ma ices en cada paso i e a i o pa a las siguien es a iables de diseño: módulo de elas icidad, densidad, espeso y masas concen adas. EJEMPLO: CUADRO DE BICICLETA De en e odos los ejemplos ealizados se ha escogido como más ep esen a i o el de un cuad o de bicicle a. Se a a de ac ualiza su modelo de elemen os ini os con las siguien es ca ac e ís icas. El ma e ial es ace o, con módulo de elas icidad E = 2.1E + 06 kg/cm2 y de densidad uni o me de alo 7800 kg/ n3. Las secciones del cuad o son ubula es, en su mayo pa e; aho a bien, el espeso es en muchas de ellas desconocido, pues o que no se poseen da os de ab icación. Es deci , se a a de un modelo incomple o y cuya modelización no es muy iable. El modelo de elemen os ini os de pa ida se ealizó en base a 61 elemen os ipo iga de 6 g ados de libe ad po nudo, de al o ma que el núme o o al de g ados de libe ad e a 348, al no exis i ninguna condición de ligadu a. La Figu a 2 mues a dicho modelo. Figu a 2. Modelo de Elemen os Fini os del cuad o de la bicicle a. l Figu a 8. E o en las ma ices elemen ales de igidez. Figu a 9. E o en las ma ices elemen ales de masa. De la obse ación de la Figu a 8 se ob u ie on las siguien es conclusiones: e sigue apa eciendo e o en los elemen os 6, 7, 8 y 9, al como ocu ía an es, lo cual no iene, en p incipio, una explicación cla a. De o ma simila ocu e con los elemen os 23 y 24. e el elemen o 28 p esen a un e o que pod ía debe se a la igidez de la unión, al igual que en el modelo an e io . e en los elemen os 38, 39, 40, 54, 55 y 56 apa ece un e o que puede debe se al espeso de los ubos, pe o cuyo alo es in e io al del modelo an e io , lo que indica que la co ección ealizada ha sido ace ada. e desapa ecen los e o es en los elemen os 44 y 60. e en gene al, el ni el de e o en cada elemen o es in e io al modelo an e io . Po o a pa e, de la obse ación de la Figu a 9 se ob u ie on las siguien es conclusiones: e de nue o apa ece e o en los elemen os 24 y 25, lo cual no iene un cla o signi icado ísico. e se pod ía conside a que los e o es en los elemen os 28, 34, 35, 50 y 51 se deben undamen almen e a la p esencia de masas concen adas que no han sido bien es imadas. e el e o que pod ía debe se a una inadecuada sección ubula pa ece subsanado, pues o que aquí no apa ecen los mismos elemen os que pa a la ma iz de igidez. En unción de es os esul ados se p ocedió a ealiza la ac ualización de es e modelo de elemen os ini os. Debido a la eno me in luencia que p esen aban las masas concen adas a la ho a de de e mina las ecuencias del modelo, y eniendo en cuen a la ince idumb e que exis ía en su alo , se omó dicha a iable de diseño pa a los nudos 1, 2, 55 y 58, que e an aquellos en los que se habían si uado inicialmen e masas concen adas, ag upados en cua o g upos, uno po cada nudo. Pa a lle a a cabo la ac ualización se empleó el mé odo BFGS, con es icciones la e ales en cada i e ación que sólo pe mi ían una a iación de los pa áme os de diseño del 5 %. T as 50 i e aciones, se conside ó que el p oceso p esen aba esul ados acep ables, y se co ó. Los alo es de las ecuencias ac ualizadas e an los siguien es: F' ec. expe im. F' ec. o iginal Di e encia(%) F' ec. ac ualizada Di e encia(%) 177.32 Hz 217.71 Hz 22.78 % 181.43 Hz 2.32% 207.83 Hz 227.91 Hz 9.66 % 214.08 Hz 3.01 % 246.05 Hz 310.53 Hz 26.21 % 244.10 Hz -0.79 % 289.99 Hz 305.09 Hz 5.21 % 280.93 Hz -3.12 % 308.92 Hz 344.61 Hz 11.55 % 294.60 Hz -4.64 % 325.51 Hz 351.41 Hz 7.96 % 319.31 Hz -1.90 % Tabla IX. F ecuencias ac ualizadas del modelo de elemen os ini os. Como se obse a de dicha abla, las ecuencias se han ace cado conside ablemen e a su alo expe imen al, en algunos casos has a alo es in e io es al 1 %. Además, el o den en el que apa ecen las ecuencias analí icas es aho a el mismo que en el modelo expe imen al, lo que asegu a aún más la bondad del modelo ac ualizado. En cuan o a los alo es que oma on las masas concen adas, se p esen an en la siguien e abla. Tabla X. Valo es ac ualizados de las masas concen adas. CONCLUSIONES Se ha p esen ado un mé odo de ac ualización de modelos de E.F. en base a esul ados p oceden es del análisis modal expe imen al. El ejemplo mues a que es e p oceso p opo ciona esul ados acep ables de al o ma que el modelo numé ico esul an e esponde de una o ma más co ec a que el modelo o iginal a los modos y ecuencias que el sis ema mecánico posee, y que han sido de e minados median e el análisis modal expe imen al. Es de des aca que el modelo ac ualizado es un modelo cuyo signi icado ísico se man iene; es deci , no se ha gene ado un modelo que esponda únicamen e a la minimización de una unción. A ese paso se ha llegado as una se ie de ases que aco an el p oblema y que, en de ini i a conducen a la adap ación a un modelo ísico ac ible. En la ac ualidad se es á in oduciendo la posibilidad de inclui las di e encias en e los modos de ib ación den o de la unción obje i o a minimiza , eniendo en cuen a las mejo as que se es án p oduciendo y que se p oduci án en el u u o en la es imación de los mismos. Además, ambién se conside a que la in oducción de la segunda de i ada en el desa ollo en se ie de Taylo de los pa áme os modales puede acele a la con e gencia. Po úl imo, cabe des aca que, hoy po hoy, es p ác icamen e imposible au oma iza el p oceso de ac ualización si se quie e man ene el sen ido ísico del modelo. Además, eniendo en cuen a el ni el ac ual de decisiones que debe oma el usua io pa ece, a co o plazo, muy di ícil que dicha au oma ización se pueda consegui . REFERENCIAS 1. R.J. Allemang, "In es iga ion o Some Mul iple Inpu /Ou pu F equency Response Expe imen al Modal Analysis Techniques", Tesis Doc o al, Depa men o Mechanical Enginee ing, Uni e si y o Cincinna i, Ohio, EEUU, (1980). 2. P.E. Gill, W. 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