Notes de FDM - Tema 4: Física quàntica

1 4.1 Introducció -Precedents de la Mecànica Quàntica -Naturalesa corpuscular de la llum: efecte fotoelèctric i efecte Compton. Fonaments de la Teoria Especial de la Relativitat -Espectres atòmics. Model de Bohr 4.2 Propietats ondulatòries de les partícules -Experiment de Young amb electrons: el “Dr. Quàntic” 4.3 Principi d’incertesa de Heisenberg -Altres principis fonamentals: principi d’exclusió de Pauli -Exemple: efecte Casimir 4.4 Equació de Schrödinger -Exemples: partícula en una caixa 1D, barrera de potencial, oscil·lador harmònic. 4.5 Efecte túnel -Scanning Tunneling Microscope (STM) -Díode d’efecte túnel 4.6 Teoria quàntica atòmica -Àtom d’hidrogen -Spin de l’electró -Taula periòdica dels elements 4.7 Aplicacions -Magnetoresistència gegant -Ressonància Magnètica Nuclear (RMN) 4. FÍSICA QUÀNTICA Assignatura: ”Física dels dispositius de Memòria” Autor: Jordi Martí Rabassa 2 ■Precedents: Radiació del cos negre. Cos negre: Sistema ideal que absorbeix tota la radiació que li arriba ■Llei de Rayleigh-Jeans: distribució espectral clàssica: P(,T) = 8kBT -4 ■Max Planck (1900): Hipòtesi del quantum d’energia ■E= hf, on h=6.625·10-34 Js 4.1 Introducció ■Però…catàstrofe ultra-violeta 3 -L’energia dels eemesos no augmenta amb I -El nombre d’eemesos depèn de f i no de . Naturalesa corpuscular de la llum!!! E = h f = h c / λ Teoria: Einstein 1905 Experiment: Hertz 1887, Lennard 1900, Millikan 1914 ■Efecte fotoelèctric Hi ha una llindar d’emissió E.cinètica màxima Potencial de frenada Funció de treball del metall 4 Exercici 1. Efecte fotoelèctric. La funció de treball del tungstè (un metall que trobareu a la taula periòdica com a wolframi) és de 4.58 eV. (a) Calculeu la freqüència llindar i la longitud d’ona llindar per l’efecte fotoelèctric. (b) Avalueu el potencial de frenada si la longitud d’ona incident és de 2000 Å. (c) Idem si és de 2500 Å. (a) Per tal de trobar la freqüència llindar, cal suposar que els electrons arrencats surten amb energia cinètica 0: aleshores, tenim que: que correspòn a llum ultravioleta (b) De l’equació d’Einstein deduïm: (c) Si posem una longitud d’ona de 2500 Å, ens queda: Nota: Proveu de fer l’exercici 3. Entregable 5 ■Relativitat especial, Einstein (1905) ■Postulats: 1) No existeix un sistema de referència absolut 2) Velocitat de la llum = independent de l’estat de moviment de la font i l’observador c = 300000 km/s ■Transformació de Lorentz: Y Z Y’ Z’ XX’v ■Conseqüències: 1) Contracció de longituds 2) Dilatació del temps 3) Augment de la massa (X,Y,Z): sistema fix (X’,Y’,Z’): sistema mòbil 6 ■Dilatació del Temps Model: un rellotge de llum…dins un tren tic tac v d (1) (moviment a velocitat constant !) Si l’observador és a dintre…cas (1) -> sistema mòbil 7 Però si l’observador és a fora…cas (2): sistema fix D’on podem deduir fàcilment… Dilatació del temps !!! < 1 tic tac v (2) d v·Δt(2)tic c·Δt(2)tic Per la qual cosa… En definitiva, si definim , ens queda: 8 El fenomen de la dilatació del temps ens facilitaria molt els viatges espacials… Terra Planeta X d v Suposem: d=300 anys-llum = 2.8x1015 km, v=295000 km/s (0.9833 c) Resulta: Δtnau= 10.1 anys! (1) (2) 9 Exercici 4. Paradoxa dels bessons. Siguin 2 bessons A i B. Si el primer d’ells, A, roman a la Terra i el segon, B, viatja a un planeta llunyà, situat a 8 anys-llum de distància a una velocitat v = 0.8 c, quin serà més vell a la tornada? Si actualment tenen 20 anys, quina edat tindrà cadascun? Un esquema simplificat seria: Terra Planeta X A B d = 8 anys-llum = 8c v = 0.8 c Des del punt de vista de B, triga un temps: per arrivar al planeta X. Quan torni a la Terra, tindrà 20+2*10 = 40 anys. Des del punt de vista d’A, el viatger triga un temps: per arrivar al planeta X. Quan torni a la Terra, tindrà 20+2*16.7 = 53.4 anys. En definitiva, A serà més vell. 16 “Energia total (de l’electró) = Cinètica + Potencial” Ze m v r -e 17 Exercici 10. Model de Bohr. Quina energia, moment i longitud d’ona té un fotó emès per un àtom d’hidrogen quan l’electró passa de l’estat amb n=3 a l’estat amb n=1. Si ens fixem en la fórmula de Bohr per les transicions entre nivells, on la freqüència d’un fotó (absorbit o emès) és: On hem fet ús de (per l’atom de Bohr de l’hidrogen): Pel moment lineal ens queda: Tenim que l’energia del fotó emès serà: i la longitud d’ona: o també: Nota: Proveu de fer l’exercici 11. Entregable 18 ■Partícules macroscòpiques ■Ones/electrons 4.2 Propietats ondulatòries de les partícules 19 ■Dualitat ona-partícula: De Broglie (1924) ■Experiment de Davisson & Germer: difracció d’electrons (1926-27) ■Exemples, per escletxa de tamany d = 1 Angströem Pilota de tennis: Electró en un cable elèctric: Només en el segon cas, com que , es produeix difracció -> es veuen efectes ondulatoris 20 Experiment de Young amb electrons: el “Dr. Quàntic” https://www.youtube.com/watch?v=82Ea0_6T-Mw (Versió doblada al castellà) 21 ■Enunciat: L’incertesa en el valor de variables conjugades és intrínseca i sempre superior a una cota inferior: 4.3 Principi d’incertesa de Heisenberg Exemple: Polarització del buit = Creació de parelles partícula-antipartícula en intervals de temps molt curts Experiment: Efecte Casimir (proposat 1948, detectat 1996) ■Principi d’exclusió de Pauli: Dos electrons no poden estar en el mateix estat quàntic 22 Exemple. Principi d’incertesa de Heisenberg. Un jugador de beisbol llana una pilota de 200 g. Tenint en compte que es pot determinar la seva posició amb un error de l'ordre de la longitud d'ona de la llum emprada (500 pm), determina quina ser la incertesa que s'obtindria en la mesura simultnia de la seva velocitat. Tenim que les dades són: Segons el principi d’incertesa de Heisenberg: Finalment: Nota: Proveu de fer l’exercici 12. 23 ■Cada eté associada una funció d’ona Ψ(x,t) que satisfà l’equació de Schrödinger dependent del temps: ■Si l’energia potencial U és independent del temps (considerem només direcció X), aleshores podem escriure: on: i ens queda l’equació de Schrödinger independent del temps: ■Cada Ψ inclou la representació dels estats permesos per un e-, introduint-se la quantització de forma natural. ■|Ψ(x)|2 és proporcional a la probabilitat de trobar un een un punt x de l’espai. 4.4 Equació de Schrödinger 24 ■Exemple 1: Partícula en una caixa 1D (pou infinit) x L U(x) 0 e- ■Particularitzant l’eq. Schrödinger indep. del temps… ■Queda una equació “anàloga” a la de l’oscil·lador harmònic amb solució: on 2 25 ■Si ho adaptem al cas: ■I sabent que (condicions de contorn): on ara la constant k és: ■Les solucions són: (1) (2) Condició (1) ■Es pot deduir una solució general del tipus: Condició (2) aleshores, aïllant la kn tenim: Estat fonamental (n = 1): 32 ■Exemple 3: Oscil·lador harmònic Clàssic Solució: on I l’energia és: Equació Newtoniana del moviment: 33 Quàntic L’energia potencial és: i l’equació de Schrödinger esdevé: Es demostra que, en l’estat d’energia més baixa Ψ0: La solució és: amb nivell energètic: Solució general: amb nivells energètics: 34 ■Eisberg, R., Resnick, R. Quantum Physics of atoms, molecules, solids, nuclei and particles, J.Wiley and Sons (1985) 35 ■Petita sonda metàl·lica que estableix un corrent amb els àtoms d’una superfície. 4.5 Efecte túnel ■Basat en el potencial de barrera Scanning Tunneling Microscope (STM) 36 Cu-111: permet “mesurar” la longitud d’ona dels eNiquel Imatges preses amb STM: 37 STM: Microscopi d’efecte túnel. Més exemples Fe en Cu-111 38 Díode d’efecte túnel ■En situació de polarització (directa), el corrent de túnel es pot incrementar (camp petit, esquerra) o reduir (camp gran, dreta) Per a valors grans del camp extern, el díode es comporta com un díode pn estàndard Efecte túnel 39 ■Àtom d’hidrogen: cas particular de l’equació de Schrödinger amb el potencial de Coulomb ■Solució: Þ apareixen 3 nombres quàntics (n,l,m) R(r) és la part radial, que depen de la distància electró-nucli, mentre que les parts angulars depenen de coordenades esfèriques. 4.6 Teoria quàntica atòmica. } (x,y,z) ( ) 2 40 ■L’estat d’un een un àtom ve definit pels nombres quàntics: n: 1, 2, 3 n.q. principal l: 0,1,2,…n-1 n.q. orbital ml: -l,-l+1,….,l-1,l n.q. magnètic ms: 1/2, -1/2 n.q. spin ■Per àtoms plurielectrònics: ■L’energia d’un edepèn de n i l. ■Principi d’exclusió de Pauli. ■Orbitals s, p, d, f ■Estructura electrònica: 1s2, 2s2, 2p6… ■Com es compten els estats? 41 Classes d’orbitals 48 2. Ressonància Magnètica Nuclear (RMN) -Fou descoberta el 1946 per Felix Bloch i Edward Mills Purcell, que van guanyar el Premi Nobel de Física per aquest descobriment el 1952. -Els nuclis atòmics tenen spin. Els nuclis (enlloc dels electrons exteriors) són els que intervenen en el procés d’absorció de radiació. -El valor del spin nuclear depèn del nombre atòmic: els protons i neutrons són fermions de spin ± 1/2, de manera que el spin total pot ser: 0, 1/2, -1/2, 1, etc. -RMN mesura l’absorció de radiació electromagnètica en la regió de ràdio-frequència (~4 a 900 MHz). -La mostra ha d’estar en un camp magnètic -> estats d’energia diferents. 49 De l’energia d’interacció spin-nucli ∆E, podem obtenir la freqüència de radiació 𝜈0: 𝛾 és la raó giromagnètica: RMN: Quan s’aplica un B sobre els nuclis, canvien els spins, absorbint i emetent radiació electromagnètica 50 Principals aplicacions: 1. Captura d’imatges de l’interior del cos per a diagnòstic mèdic 2. Determinació d’estructures moleculars: proteïnes, polímers, macromolècules… 3. Disseny i anàlisi de fàrmacs: llocs de connexió de medicaments a enzims, receptors, proteïnes, etc. 2015, National Institute for Materials Science (Japan): The NMR with world's highest magnetic field, 1020 MHz.