Tribuna Plural monográfico número 8 : JBV paper "Planificación y secuenciación Heijunka con métodos electorales"

RAED - TRIBUNA PLURAL 22 RAED TRIBUNA PLURAL La revista científica  MonográficoNúm.8 IVENCUENTROCIENTÍFICORAEDIVENCUENTROCIENTÍFICORAED CONFERENCIASDEESTUDIOSACADÉMICOSCONFERENCIASDEESTUDIOSACADÉMICOS PARAELMUNDOACTUALPARAELMUNDOACTUAL VICHYCATALÁN(CaldesdeMalavella-Girona)VICHYCATALÁN(CaldesdeMalavella-Girona) 28defebreroal1demarzode202028defebreroal1demarzode2020 RAED 1914-2021 RAED TRIBUNA PLURAL La revista científica Monográfico Núm. 8 77 PLANIFICACIÓN Y SECUENCIACIÓN HEIJUNKA CON MÉTODOS ELECTORALES Dr. Bautista Valhondo, Joaquín Académico de Número de la Real Academia Europea de Doctores Resumen La regularidad de la producción está vinculada al término Heijunka asociado, a su vez, a una propiedad deseable en todo plan de producción por facilitar la gestión de operaciones con la reducción de stocks, la capacidad productiva requerida, los plazos de entrega y el volumen de la información precisada, suavizando además la relación del sistema principal con los proveedores. En este contexto, establecemos tres propiedades deseables que debe satisfacer un método Heijunka de planificación y de secuenciación, imponiendo tales condiciones a planes y secuencias regulares que deben ser accesibles, dentro de lo posible, cuando se apliquen dichos métodos: (1) Cuota, (2) Homogeneidad y (3) Monotonía en producción. Tras una breve introducción sobre el entorno productivo que nos ocupa, se formula un programa matemático, PM-Heijunka-Cuotas, para obtener planes regulares por cuotas de producción y se ofrece un método de resolución inspirado en el procedimiento de los Restos mayores de Hamilton. Esta herramienta de decisión se aplica a un ejemplo sencillo vinculado a la fabricación de motores. 78 secuenciación HEIJUNKA con métodos divisores electorales Después, se definen los conceptos de periodicidad ideal de productos y de secuenciación regular por fechas idóneas de fabricación, quedando representados en un programa matemático, PM-Heijunka-Fechas, cuyo objetivo es minimizar la suma de discrepancias cuadráticas entre fechas reales e ideales de fabricación. También, se ofrece una familia de algoritmos: los Métodos de los Multiplicadores, y se establece una correspondencia con los Métodos de los Divisores electorales, justificando así una analogía entre los sistemas de representación proporcional por listas electorales y los sistemas de secuenciación de productos en contexto Justo a Tiempo. Se concluye con la idea de que los métodos multiplicadores propuestos son útiles para secuenciar productos bajo el ideario Heijunka, puesto que todos ellos verifican al menos dos de las tres propiedades deseables impuestas. Palabras clave: Algoritmos; Cámara de representantes; Heijunka; Justo a Tiempo; Métodos de los Divisores; Métodos de los Multiplicadores; Procesos electorales; Programación matemática; Reparto Proporcional. 1. Introducción Atendiendo al título de este trabajo, el lector podría preguntarse: Qué relación existe entre repartir escaños en una cámara de representantes y secuenciar y temporizar diversos tipos de productos (v.gr. coches, motores, bastidores, etc.) en una línea de montaje de modelos mixtos. Como se verá, en determinados sistemas fabricación sujetos al ideario de la producción Justo a Tiempo (JIT: Just in Time), el problema del Reparto Proporcional (Apportionment Problem), así como los métodos empleados para resolverlo, resultan útiles tanto para planificar como para secuenciar y temporizar los lanzamientos de los productos a una línea de montaje de modelos mixtos. La anterior afirmación requiere sin duda una explicación, por lo que recurriremos a la historia reciente de la Producción Industrial con el propósito de concretar los atributos principales del entorno productivo al que nos referimos. Entre principios y mediados del pasado siglo, muchas empresas de automoción producían un solo producto, sin variantes y en grandes cantidades. No obs- 79 Joaquín Bautista Valhondo tante, en los años en que la empresa Ford (paradigma de la producción masiva e indiferenciada) había adquirido una hegemonía indiscutible en la industria del automóvil mediante su modelo T ya se producían en sus fábricas algunas variantes del modelo T (turismos, furgonetas, camiones de ligero tonelaje, etc.); de hecho, el propio modelo T iba evolucionando con el paso del tiempo. Pero, llegó el momento en que la hegemonía de Ford se derrumbó con General Motors, pues tuvo la capacidad de ofrecer una amplia gama de marcas y modelos, y así propiciar que el consumidor pudiera satisfacer adecuadamente necesidades y apetencias. El fenómeno de la amplia gama (personalización del producto con la oferta de opciones) se incorporó a la mayoría de industrias clásicas y servicios. Las empresas más hábiles fueron capaces de ganar cuota de mercado, generando nuevos productos, ofreciendo variedad de bienes y servicios, mientras que las que no lo hicieron se vieron condenadas a desaparecer. Evidentemente, el “ansia”, por no decir necesidad, de producir una amplia variedad de productos generó nuevos problemas de gestión. La variedad propició la aparición de los sistemas de producción de modelos mixtos, en los que, por ejemplo, una línea de montaje se dedica a fabricar diversos productos que se parecen entre sí sin llegar a ser idénticos. Empleamos el término variantes de un producto para denominar conceptualmente esta semblanza relativa entre ciertos bienes o servicios (v.gr. motores – ver Figura 1-). La fabricación de variantes de un producto en un mismo sistema productivo (planta, taller, línea de montaje, etc.) implica llevar a cabo tareas de preparación cada vez que arranca la fabricación de una de ellas. Si los tiempos de preparación de una a otra variante son elevados, entonces, la fabricación se efectúa por lotes de gran magnitud, lo que implica más stocks y poca flexibilidad para hacer frente a desviaciones de la demanda real frente a las previsiones. En estas circunstancias, la apuesta por la variedad obliga a reducir los tiempos de preparación. Tal reducción se convierte en objetivo a la hora de diseñar el producto y el proceso, y obliga a estudiar al detalle los métodos de trabajo e instrumentos a utilizar en las tareas de preparación del sistema productivo. Cuando los tiempos de preparación del sistema productivo (v.gr. línea de montaje) se reducen a valores poco significativos, se dice que se dispone de un sistema de producción flexible. Disponer de un sistema de producción flexible es condición necesaria para afrontar la variedad, pero no suficiente. En efecto, la flexibilidad requiere he- 80 secuenciación HEIJUNKA con métodos divisores electorales rramientas matemáticas que permitan obtener y evaluar planes regulares de producción y secuencias regulares de modelos mixtos. El vocablo “regular” se emplea para expresar que el objeto referido presenta similitud o continuidad en su conjunto, desarrollo, distribución o duración. Para el presente trabajo, se proponen dos definiciones que vinculan la organización de la producción con dicho término. d1. Plan regular de producción mixta: Diremos que un plan de producción es regular cuando, teniendo en cuenta la demanda y las restricciones de capacidad del sistema productivo, las cantidades a fabricar de los tipos de producto son lo más parecidas posible en todos los períodos (días, semanas o meses) del horizonte de planificación. d2. Secuencia regular de productos mixtos: Diremos que una secuencia es regular en producción cuando su concatenación repetida, el número de veces que sea necesario, permite construir un plan regular de producción mixta, preservando así el mix de producción en la medida de lo posible1. La regularidad de la producción está vinculada al término japonés Heijunka2. Esta propiedad es deseable en todo plan de producción, independientemente de su horizonte, puesto que facilita la dirección de operaciones y permite reducir las ineficiencias. Algunas ventajas que ofrece Heijunka son: (1) Reducción de stocks, produciendo sólo lo necesario para satisfacer la demanda. (2) Reducción de la capacidad productiva requerida, ajustando los equipos, maquinaria, instrumentos, materiales componentes y mano de obra. 1 Se ha de tener en cuenta los inconvenientes causados por números primos en el problema del Reparto Proporcional y por la unidad de tiempo que se establezca para medir la regularidad. 2 En Just in Time, Heijunka (nivelación) se emplea para designar el alisado del plan o programa de producción a partir del mix de productos y el volumen a fabricar en un horizonte determinado. El propósito de Heijunka es fabricar cada día la misma cantidad manteniendo el mix de producción, repartiendo de manera uniforme la fabricación de los productos a lo largo de un día, una semana y un mes. 81 Joaquín Bautista Valhondo (3) Reducción de plazos de entrega al proceso siguiente y desde procesos anteriores. (4) Reducción del volumen de información para dirigir las operaciones productivas y logísticas, tanto a nivel interno como en lo concerniente a proveedores externos. (5) Transparencia en la relación con proveedores (externos e internos), propiciando un esfuerzo uniforme a lo largo del tiempo para todos. Los próximos apartados están orientados a ilustrar cómo aplicar algunos métodos del problema del Reparto Proporcional a la planificación y secuenciación de modelos mixtos, cuando incorporamos la propiedad de regularidad de la producción. 2. Planificación Heijunka mediante el método de Hamilton (1792) Para ilustrar la aplicación del método de reparto proporcional de Alexander Hamilton3 al problema de la planificación Heijunka nos apoyaremos en el Ejemplo 1. Ejemplo 1: En una línea de modelos mixtos (L1) se deben ensamblar, durante 8 turnos de trabajo, 1080 motores de 9 tipos (P1 a P9) clasificados en 3 familias: SUV, VAN y TRUCK (ver ejemplo en Figura 1). Las demandas planificadas por tipo de motor para un horizonte de 8 turnos se muestran en la Tabla 1. Considerando un contexto de fabricación JIT, se debe determinar un plan Heijunka preservando el mix de producción a lo largo del horizonte y manteniendo constante el volumen diario de producción. 3 Alexander Hamilton (1755-1824) fue el primer secretario del tesoro y ayudante del presidente George Washington de los entonces emergentes EEUU. En el problema del reparto de poder entre estados, la propuesta de Hamilton consistió en asignar a cada estado: primero, la parte entera de su cuota (proporcional al número de habitantes) y, después, repartir de uno en uno los escaños no repartidos siguiendo el orden de mayor a menor de la parte decimal de su cuota. 82 secuenciación HEIJUNKA con métodos divisores electorales 4  Ejemplo 1: En una línea de modelos mixtos (L1) se deben ensamblar, durante 8 turnos de trabajo, 1080 motores de 9 tipos (P1 a P9) clasificados en 3 familias: SUV, VAN y TRUCK (ver ejemplo en Figura 1). Las demandas planificadas por tipo de motor para un horizonte de 8 turnos se muestran en la Tabla 1. Considerando un contexto de fabricación JIT, se debe determinar un plan Heijunka preservando el mix de producción a lo largo del horizonte y manteniendo constante el volumen diario de producción.  Figura 1. Características producto-proceso: (i) 747 piezas y 330 referencias ꞏ (ii) 140 operaciones de montaje ꞏ (iii) 42 operarios para un turno de 135 motores ꞏ (iv) 9 tipos de motores de 3 familias: SUV (p1 a p3), furgonetas (p4, p5) y camiones MT (p6 a p9) ꞏ (v) Turno efectivo 6h 45’ y ciclo de 3’. Motor P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 Total Demanda (8T) 12 12 25 37 61 98 160 258 417 1080 Tabla 1. Demanda de motores por tipo con un horizonte de 8 turnos de trabajo en la Línea de producción. Informalmente, el problema consiste en determinar 72 números enteros y colocarlos en una tabla, a modo de sudoku (ver Tabla 2), de manera que por filas sumen las demandas  3 Alexander Hamilton (1755-1824) fue el primer secretario del tesoro y ayudante del presidente George Washington de los entonces emergentes EEUU. En el problema del reparto de poder entre estados, la propuesta de Hamilton consistió en asignar a cada estado: primero, la parte entera de su cuota (proporcional al número de habitantes) y, después, repartir de uno en uno los escaños no repartidos siguiendo el orden de mayor a menor de la parte decimal de su cuota. Figura 1. Características producto-proceso: (i) 747 piezas y 330 referencias (ii) 140 operaciones de montaje · (iii) 42 operarios para un turno de 135 motores · (iv) 9 tipos de motores de 3 familias: SUV (p1 a p3), furgonetas (p4, p5) y camiones MT (p6 a p9) (v) Turno efectivo 6h 45’ y ciclo de 3’. Motor P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 Total Demanda (8T) 12 12 25 37 61 98 160 258 417 1080 Tabla 1. Demanda de motores por tipo con un horizonte de 8 turnos de trabajo en la Línea de producción. Informalmente, el problema consiste en determinar 72 números enteros y colocarlos en una tabla, a modo de sudoku (ver Tabla 2), de manera que por filas sumen las demandas de los productos (Tabla 1), y por columnas sumen la capacidad de producción de un turno de trabajo (135 motores); además, los valores por filas deben ser lo más parecidos posible. Plan H.1 Plantilla sudoku para construir el plan H.1 - Heijunka (Qi,t) Motor/Turno 1 2 3 4 5 6 7 8 Total P1 12 P2 12 P3 25 P4 37 P5 61 Cont… 83 Joaquín Bautista Valhondo Plan H.1 Plantilla sudoku para construir el plan H.1 - Heijunka (Qi,t) Motor/Turno 1 2 3 4 5 6 7 8 Total P6 98 P7 160 P8 258 P9 417 Total 135 135 135 135 135 135 135 135 1080 Tabla 2. Ejemplo de sudoku para construir un plan Heijunka con 9 filas que corresponden a tipos de motor (P1 a P9) y 8 columnas que corresponden a turnos de trabajo (t = 1,…,8). La vaguedad de la expresión “los valores por filas deben ser lo más parecidos posible” deja abierta la posibilidad de que exista más de una solución. Un plan Heijunka posible para el Ejemplo 1 es el que se muestra en la Tabla 3. Plan H.1 Plan de producción por turnos de trabajo: Motor/Turno 1 2 3 4 5 6 7 8 Total P1 2121212112 P2 1212121212 P3 3334333325 P4 5455454537 P5 8787887861 P6 12 13 12 12 12 12 13 12 98 P7 20 20 20 20 20 20 20 20 160 P8 32 33 32 32 32 32 33 32 258 P9 52 52 52 52 53 52 52 52 417 Total 135 135 135 135 135 135 135 135 1080 Tabla 3. Plan Heijunka 1: Producción de cada tipo de motor (P1 a P9) en cada turno de trabajo (t = 1,…,8) del horizonte de planificación. Producciones totales por turno (fila “Total”). Para hallar una solución del problema, se puede recurrir al tanteo por prueba y error en hoja de cálculo, ensayando con valores enteros en la Tabla 2 hasta conseguir que todos los números cuadren en el sudoku. Obviamente, esta no es la forma más cartesiana para resolver el problema, así que, después de algunas definiciones previas, utilizaremos la programación matemática para formalizar el problema que nos ocupa. 90 secuenciación HEIJUNKA con métodos divisores electorales PM-Divisores: 10 . Los métodos divisores clásicos siguen el principio “una persona, un voto”, haciendo una interpretación sobre la condición de que los valores � (escaños asignados a la fuerza 𝑖𝑖𝑖 𝑀𝑀) sean lo más parecidos posible a sus correspondientes cuotas 𝑞𝑞�, cuando se consigue una asignación tal que el valor máximo de los cocientes 𝑞𝑞�/𝑑𝑑�𝑥𝑥��adopta el valor mínimo. Se trata por tanto de un problema de optimización minimax con variables enteras, tal como se representa en el siguiente programa matemático. PM-Divisores: (6) Sujeto a: (7) (8) Donde: 𝑀𝑀Conjunto de fuerzas políticas (comunidades, partidos políticos, etc.). 𝑚𝑚Número de fuerzas políticas del conjunto 𝑀𝑀. 𝑞𝑞�Cuota correspondiente a la fuerza política 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀: 𝑞𝑞����� ��∀𝑖𝑖�𝑥 𝑣𝑣�Número de personas representadas por la fuerza política 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀, 𝑖𝑖�1,𝑥𝑥,𝑚𝑚 𝑉𝑉Número de personas representadas por todas las fuerzas: 𝑉𝑉�∑𝑣𝑣� � ��� ℎNúmero de escaños de la Cámara. 𝑥𝑥�Número de escaños asignados a la fuerza política 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀. 𝑑𝑑�𝑥𝑥��Divisor asociado a la fuerza política 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀. Es una función real definida sobre los escaños asignados 𝑥𝑥��0,1,2,…,ℎ�, cumpliéndose la condición: 𝑑𝑑�𝑥𝑥��� 𝑑𝑑�𝑥𝑥��1�𝑥En los métodos clásicos, 𝑑𝑑�𝑥𝑥��adopta valores reales que cumplen: 𝑥𝑥��𝑑𝑑�𝑥𝑥���𝑥𝑥 ��1,∀𝑖𝑖 𝑖 𝑀𝑀, 𝑥𝑥��0,1,…,ℎ. En el modelo PM-Divisores, la igualdad (7) fuerza el reparto de los ℎescaños de la cámara entre todas las fuerzas, y las condiciones (8) establecen la integridad no negativa de las (6) Sujeto a: 10 . Los métodos divisores clásicos siguen el principio “una persona, un voto”, haciendo una interpretación sobre la condición de que los valores 𝑥𝑥� (escaños asignados a la fuerza 𝑖𝑖𝑖 𝑀𝑀) sean lo más parecidos posible a sus correspondientes cuotas 𝑞𝑞�, cuando se consigue una asignación tal que el valor máximo de los cocientes 𝑞𝑞�/𝑑𝑑�𝑥𝑥��adopta el valor mínimo. Se trata por tanto de un problema de optimización minimax con variables enteras, tal como se representa en el siguiente programa matemático. PM-Divisores: (6) Sujeto a: (7) (8) Donde: 𝑀𝑀Conjunto de fuerzas políticas (comunidades, partidos políticos, etc.). 𝑚𝑚Número de fuerzas políticas del conjunto 𝑀𝑀. 𝑞𝑞�Cuota correspondiente a la fuerza política 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀: 𝑞𝑞����� ��∀𝑖𝑖�𝑥 𝑣𝑣�Número de personas representadas por la fuerza política 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀, 𝑖𝑖�1,𝑥𝑥,𝑚𝑚 𝑉𝑉Número de personas representadas por todas las fuerzas: 𝑉𝑉�∑𝑣𝑣� � ��� ℎNúmero de escaños de la Cámara. 𝑥𝑥�Número de escaños asignados a la fuerza política 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀. 𝑑𝑑�𝑥𝑥��Divisor asociado a la fuerza política 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀. Es una función real definida sobre los escaños asignados 𝑥𝑥��0,1,2,…,ℎ�, cumpliéndose la condición: 𝑑𝑑�𝑥𝑥��� 𝑑𝑑�𝑥𝑥��1�𝑥En los métodos clásicos, 𝑑𝑑�𝑥𝑥��adopta valores reales que cumplen: 𝑥𝑥��𝑑𝑑�𝑥𝑥���𝑥𝑥 ��1,∀𝑖𝑖 𝑖 𝑀𝑀, 𝑥𝑥��0,1,…,ℎ. En el modelo PM-Divisores, la igualdad (7) fuerza el reparto de los ℎescaños de la cámara entre todas las fuerzas, y las condiciones (8) establecen la integridad no negativa de las (7) 10 . Los métodos divisores clásicos siguen el principio “una persona, un voto”, haciendo una interpretación sobre la condición de que los valores 𝑥𝑥� (escaños asignados a la fuerza 𝑖𝑖𝑖 𝑀𝑀) sean lo más parecidos posible a sus correspondientes cuotas 𝑞𝑞�, cuando se consigue una asignación tal que el valor máximo de los cocientes 𝑞𝑞�/𝑑𝑑�𝑥𝑥��adopta el valor mínimo. Se trata por tanto de un problema de optimización minimax con variables enteras, tal como se representa en el siguiente programa matemático. PM-Divisores: (6) Sujeto a: (7) (8) Donde: 𝑀𝑀Conjunto de fuerzas políticas (comunidades, partidos políticos, etc.). 𝑚𝑚Número de fuerzas políticas del conjunto 𝑀𝑀. 𝑞𝑞�Cuota correspondiente a la fuerza política 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀: 𝑞𝑞����� ��∀𝑖𝑖�𝑥 𝑣𝑣�Número de personas representadas por la fuerza política 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀, 𝑖𝑖�1,𝑥𝑥,𝑚𝑚 𝑉𝑉Número de personas representadas por todas las fuerzas: 𝑉𝑉�∑𝑣𝑣� � ��� ℎNúmero de escaños de la Cámara. 𝑥𝑥�Número de escaños asignados a la fuerza política 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀. 𝑑𝑑�𝑥𝑥��Divisor asociado a la fuerza política 𝑖𝑖𝑖𝑀𝑀. Es una función real definida sobre los escaños asignados 𝑥𝑥��0,1,2,…,ℎ�, cumpliéndose la condición: 𝑑𝑑�𝑥𝑥��� 𝑑𝑑�𝑥𝑥��1�𝑥En los métodos clásicos, 𝑑𝑑�𝑥𝑥��adopta valores reales que cumplen: 𝑥𝑥��𝑑𝑑�𝑥𝑥���𝑥𝑥 ��1,∀𝑖𝑖 𝑖 𝑀𝑀, 𝑥𝑥��0,1,…,ℎ. En el modelo PM-Divisores, la igualdad (7) fuerza el reparto de los ℎescaños de la cámara entre todas las fuerzas, y las condiciones (8) establecen la integridad no negativa de las (8) Donde: MConjunto de fuerzas políticas (comunidades, partidos políticos, etc.). mNúmero de fuerzas políticas del conjunto M. qiCuota correspondiente a la fuerza política i ∈ M: qi = (∀i). viNúmero de personas representadas por la fuerza política i ∈ M, i = 1,..,m VNúmero de personas representadas por todas las fuerzas: V = vi hNúmero de escaños de la Cámara. xiNúmero de escaños asignados a la fuerza política i ∈ M. d (xi) Divisor asociado a la fuerza política i ∈ M. Es una función real definida sobre los escaños asignados xi (0,1,2,…,h), cumpliéndose la condición: d (xi ) < d (xi + 1) En los métodos clásicos, d (xi ) adopta valores reales que cumplen: xi ≤ d (xi) ≤ xi + 1, ∀i ∈ M, xi = 0,1…, h. En el modelo PM-Divisores, la igualdad (7) fuerza el reparto de los h escaños de la cámara entre todas las fuerzas, y las condiciones (8) establecen la integridad no negativa de las variables xi asociadas al número de escaños asignados a cada fuerza. Por su parte, la función objetivo (6) representa la minimización del máximo de los cocientes qi /d(xi) o, alternativamente, la minimización de los cocientes vi/ d (xi). Para obtener una solución óptima del problema, basta con aplicar el algoritmo siguiente: 91 Joaquín Bautista Valhondo Algoritmo A2: Método de los Divisores Paso 1 Hacer xi = 0 ∀ i ∈ M. Poner a cero el contador de reparto de escaños: k = 0 . Paso 2: Calcular las cuotas de cada fuerza política: qi = (h × vi) ⁄ V (∀i ∈ M). Paso 3: Calcular los cocientes: ci = qi /d (xi ) (∀i ∈ M). Si d (xi ) = 0, Hacer ci → ∞ (por ejemplo, ci = 1012) Paso 4: Determinar la fuerza política con mayor cociente: i* = argmaxi∈M (ci) Paso 5: Asignar escaño a la fuerza i*: Hacer xi* = xi* + 1. Hacer . Actualizar el contador de escaños: k = k +1 . Paso 6 Test de finalización: Si k ≤ h, Ir a Paso 3; Si no, Finalizar. Nótese que A2 es en realidad una familia de algoritmos compuesta por infinitos métodos. Obviamente, para aplicar un método divisor concreto es necesario definir las funciones d (xi) asociadas a las fuerzas políticas i ∈ M . Entre los infinitos métodos divisores (i.e. xi ≤ d (xi) ≤ xi + 1,∀i ∈ M, xi = 0,1,…,h), se muestran en la Tabla 9 aquellos casos particulares que han tenido especial relevancia histórica en el problema del reparto proporcional o tienen en la actualidad su aplicabilidad en los sistemas electorales de los países occidentales. Nombre Método Divisor d (xi) xi = 0,1, …, hSucesión de divisores Propiedad Cuota Adams xi0 1 2 3 4 … Superior Dean xi (xi + 1) / (xi + 0,5) 0 1,33 2,40 3,43 … Hill 0 1,41 2,45 3,46 … Webster5xi + 0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 … Cercano Jefferson6xi + 11 2 3 4 5 … Inferior Belga (xi + 2) / 2 1 1,5 2 2,5 3 … Sainte-Laguë 2xi + 11 3 5 7 9 … Cercano Sainte-LaguëM(10xi + 5) / 7 0,71 2,14 3,57 5 … Cercano Tabla 9. Métodos clásicos (A, D, H, W, J) y otros métodos (B, SL, SLM). La columna Divisor d (xi) recoge las fórmulas que se aplican en el Algoritmo A2: Método de los Divisores. 5 El método de Webster equivale en ordenación a los métodos de Sainte-Laguë (genuino y modificado). 6 El método de Jefferson se conoce también con el nombre ley de D’Hondt. Se aplica en España, Suiza, Austria, Bélgica, Croacia, Dinamarca, Eslovenia, Estonia, Finlandia, Francia, Holanda, Hungría, Islandia, Portugal, Reino Unido y República Checa. 92 secuenciación HEIJUNKA con métodos divisores electorales A diferencia con el método de Hamilton, todos los métodos divisores son monótonos en cuanto a la asignación de escaños. Esto significa que todo procedimiento que cumpla las propiedades generales de los métodos divisores evitará la paradoja de Alabama y la paradoja de los votos. Por otra parte, Hamilton cumple la propiedad cuota (⌊qi⌋ ≤ xi ≤ ⌈qi⌉ ∀i ∈ M), mientras que Adams solo cumple la propiedad cuota superior (xi ≤ ⌈qi⌉ ∀i ∈ M), Jefferson (ley de D’Hondt) cumple la propiedad cuota inferior (⌊qi⌋ ≤ xi ∀i ∈ M) y Webster y métodos de Sainte-Laguë ofrecen soluciones cercanas a las que cumplen la propiedad cuota. En la Tabla 10 se muestra un resumen del comportamiento de los métodos expuestos frente a 4 propiedades deseables en el problema de reparto proporcional: (i) cuota, (ii) monotonía en escaños, (iii) monotonía en votos y (iv) homogeneidad. Nombre Método Cuota Monotonía escaños Monotonía votos Homogeneidad Hamilton Verifica No verifica No verifica Verifica Adams Superior Verifica Verifica Verifica Dean No verifica Verifica Verifica Verifica Hill No verifica Verifica Verifica Verifica Webster Cercano Verifica Verifica Verifica Jefferson Inferior Verifica Verifica Verifica Belga No verifica Verifica Verifica Verifica Sainte-Laguë Cercano Verifica Verifica Verifica Sainte-LaguëMCercano Verifica Verifica Verifica Tabla 10. Verificación de propiedades deseables7: Cuota, Monotonía en escaños, Monotonía en votos y Homogeneidad, por parte de 9 métodos de reparto proporcional (H, A, D, H, W, J, B, SL, SLM) 7 El Teorema de Imposibilidad de Balinski y Young (1982) demuestra que no existe ningún criterio de asignación que cumpla simultáneamente las 4 propiedades deseables para el reparto proporcional. 93 Joaquín Bautista Valhondo 4. Métodos de los Multiplicadores en Ingeniería Industrial Volviendo a la Ingeniería Industrial, se puede interpretar que Heijunka alcanza su punto extremo con las secuencias regulares de fabricación, de forma que, tras el cálculo de las cantidades a fabricar de cada tipo de producto para un día o turno de producción, se establece una secuencia de fabricación lo más regular posible. Este proceso se denomina alisado de la secuencia de producción y al problema en cuestión, cuando afecta solo a los tipos de producto ignorando el resto de atributos de fabricación (componentes, cargas de trabajo, etc.), se le conoce con el nombre del Problema de la Variación de las Tasas de Producción (PRV: Product Rate Variation Problem). Por ejemplo, para el turno 1 del plan Heijunka mostrado en la Tabla 8, el primer problema a resolver consiste en hallar una secuencia de 135 motores de 9 tipos (P1 a P9) con un plan de demanda = (2, 1, 3, 5, 8, 12, 20, 32, 52), procediendo de manera análoga con el resto de turnos de trabajo (2 al 8). Por tanto, con la información de la Tabla 8, la solución final del problema de secuenciación para el plan H.1 consiste en hallar una secuencia global de fabricación de 1080 motores, compuesta por 8 secuencias parciales de 135 motores cada una, cubriendo así un horizonte temporal de 8 turnos de trabajo. La primera interpretación del concepto “alisado de la secuencia de producción” nos lleva a funciones objetivo basadas en las discrepancias entre las cantidades de cada producto fabricadas hasta un determinado momento t (ciclo) y las cantidades ideales que, según las cuotas, deberían estar consolidadas en dicho momento (ver fórmula (2)). Pero, existen otras formas de interpretar el término “regularidad”, tan como veremos a continuación. En efecto, la regularidad también se puede cuantificar mediante las discrepancias entre los ciclos de entrada (o salida) de los productos en la línea de producción y unos ciclos o fechas ideales de entrada (o salida). Frente a esta idea, podemos considerar que una secuencia es regular si entre cualquier par consecutivo de unidades de un mismo tipo de producto existe una separación, medida en ciclos, “lo más similar posible”. Por tanto, una secuencia se puede considerar regular si existe una periodicidad en la entrada (o salida) de unidades de cada tipo de producto en la línea de producción, exceptuando el caso en que un producto tenga demanda unitaria. 94 secuenciación HEIJUNKA con métodos divisores electorales Determinar la separación ideal entre unidades de un mismo tipo de producto es elemental a partir del número total de unidades de la secuencia, T = D , y el vector plan de demanda . En efecto, dado un tipo de producto i ∈ I, su demanda di y el horizonte de la secuencia T, el período en ciclos,Ti, que debe transcurrir entre la entrada a la línea de dos unidades consecutivas de i ∈ I, así como la frecuencia de entrada correspondiente vi se calculan de la forma siguiente: 13  (ciclo) y las cantidades ideales que, según las cuotas, deberían estar consolidadas en dicho momento (ver fórmula (2)). Pero, existen otras formas de interpretar el término “regularidad”, tan como veremos a continuación. En efecto, la regularidad también se puede cuantificar mediante las discrepancias entre los ciclos de entrada (o salida) de los productos en la línea de producción y unos ciclos o fechas ideales de entrada (o salida). Frente a esta idea, podemos considerar que una secuencia es regular si entre cualquier par consecutivo de unidades de un mismo tipo de producto existe una separación, medida en ciclos, “lo más similar posible”. Por tanto, una secuencia se puede considerar regular si existe una periodicidad en la entrada (o salida) de unidades de cada tipo de producto en la línea de producción, exceptuando el caso en que un producto tenga demanda unitaria. Determinar la separación ideal entre unidades de un mismo tipo de producto es elemental a partir del número total de unidades de la secuencia, 𝑇𝑇��, y el vector plan de demanda 𝑑𝑑 . En efecto, dado un tipo de producto 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖, su demanda 𝑑𝑑� y el horizonte de la secuencia 𝑇𝑇, el período en ciclos, 𝑇𝑇�, que debe transcurrir entre la entrada a la línea de dos unidades consecutivas de 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖, así como la frecuencia de entrada correspondiente 𝜈𝜈� se calculan de la forma siguiente: (9) En la Figura 2, se ilustra la separación ideal entre unidades de un mismo tipo de producto, así como una posible localización en la secuencia de las unidades del producto 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖.  Figura 2. Localización de unidades de un mismo tipo en la secuencia para el enfoque Periodicidad por fechas con desplazamiento de unidades. La separación entre unidades consecutivas es igual a 1/𝜆𝜆�. Existen múltiples opciones para determinar tanto las fechas y como los ciclos idóneos de fabricación; entre dichas opciones son válidas las 5 siguientes: (1) Fechas mínimas de inicio: corresponden al avance de la producción, por lo que la primera unidad de un tipo de producto 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 entrará a la línea en el instante 0 (primer ciclo: 𝑡𝑡�1). Las fechas idóneas de fabricación de todas las unidades de un mismo tipo de producto se determinan según (10): (9) En la Figura 2, se ilustra la separación ideal entre unidades de un mismo tipo de producto, así como una posible localización en la secuencia de las unidades del producto i ∈ I. 13  secuencia global de fabricación de 1080 motores, compuesta por 8 secuencias parciales de 135 motores cada una, cubriendo así un horizonte temporal de 8 turnos de trabajo. La primera interpretación del concepto “alisado de la secuencia de producción” nos lleva a funciones objetivo basadas en las discrepancias entre las cantidades de cada producto fabricadas hasta un determinado momento 𝑡𝑡 (ciclo) y las cantidades ideales que, según las cuotas, deberían estar consolidadas en dicho momento (ver fórmula (2)). Pero, existen otras formas de interpretar el término “regularidad”, tan como veremos a continuación. En efecto, la regularidad también se puede cuantificar mediante las discrepancias entre los ciclos de entrada (o salida) de los productos en la línea de producción y unos ciclos o fechas ideales de entrada (o salida). Frente a esta idea, podemos considerar que una secuencia es regular si entre cualquier par consecutivo de unidades de un mismo tipo de producto existe una separación, medida en ciclos, “lo más similar posible”. Por tanto, una secuencia se puede considerar regular si existe una periodicidad en la entrada (o salida) de unidades de cada tipo de producto en la línea de producción, exceptuando el caso en que un producto tenga demanda unitaria. Determinar la separación ideal entre unidades de un mismo tipo de producto es elemental a partir del número total de unidades de la secuencia, 𝑇𝑇��, y el vector plan de demanda 𝑑𝑑 . En efecto, dado un tipo de producto 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖, su demanda 𝑑𝑑� y el horizonte de la secuencia 𝑇𝑇, el período en ciclos, 𝑇𝑇�, que debe transcurrir entre la entrada a la línea de dos unidades consecutivas de 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖, así como la frecuencia de entrada correspondiente 𝜈𝜈� se calculan de la forma siguiente: 𝑇𝑇��𝑇𝑇 𝑑𝑑��1 𝜆𝜆�;𝜈𝜈 ��𝑑𝑑� 𝑇𝑇�𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (9) En la Figura 2, se ilustra la separación ideal entre unidades de un mismo tipo de producto, así como una posible localización en la secuencia de las unidades del producto 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖.  Figura 2. Localización de unidades de un mismo tipo en la secuencia para el enfoque Periodicidad por fechas con desplazamiento de unidades. La separación entre unidades consecutivas es igual a 1/𝜆𝜆 � . Existen múltiples opciones para determinar tanto las fechas y como los ciclos idóneos de fabricación; entre dichas opciones son válidas las 5 siguientes: (1) Fechas mínimas de inicio: corresponden al avance de la producción, por lo que la primera unidad de un tipo de producto 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 entrará a la línea en el instante 0 (primer ciclo: 𝑡𝑡�1). Las fechas idóneas de fabricación de todas las unidades de un mismo tipo de producto se determinan según (10): Figura 2. Localización de unidades de un mismo tipo en la secuencia para el enfoque Periodicidad por fechas con desplazamiento de unidades. La separación entre unidades consecutivas es igual a 1/λi. Existen múltiples opciones para determinar tanto las fechas y como los ciclos idóneos de fabricación; entre dichas opciones son válidas las 5 siguientes: (1) Fechas mínimas de inicio: corresponden al avance de la producción, por lo que la primera unidad de un tipo de producto i ∈ I entrará a la línea en el instante 0 (primer ciclo: t = 1). Las fechas idóneas de fabricación de todas las unidades de un mismo tipo de producto se determinan según (10): (10) Donde: 𝑢𝑢� Número de orden de las unidades de tipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1,��,�� (1ª, 2ª,…, etc.) 𝑓𝑓 �� Fecha de fabricación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖) (2) Fechas máximas de finalización: corresponden al retraso de la producción, por lo que la última unidad de un tipo de producto 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 sale de la línea de producción en el instante 𝑇𝑇 (último ciclo: ��𝑇𝑇). En este caso, las fechas idóneas de fabricación de todas las unidades de un mismo tipo se determinan según (11): (10) 95 Joaquín Bautista Valhondo Donde: uiNúmero de orden de las unidades de tipo i ∈ I: ui = 1,..,di (1ª, 2ª,…, etc.) fuiFecha de fabricación idónea de la unidad ui (i ∈ I ) (2) Fechas máximas de finalización: corresponden al retraso de la producción, por lo que la última unidad de un tipo de producto i ∈ I sale de la línea de producción en el instante T (último ciclo: t = T ). En este caso, las fechas idóneas de fabricación de todas las unidades de un mismo tipo se determinan según (11): 𝑓𝑓 ��≡�𝑢𝑢��1��𝑇𝑇 ��𝑢𝑢��1 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (10) Donde: 𝑢𝑢� Número de orden de las unidades de tipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1,��,�� (1ª, 2ª,…, etc.) 𝑓𝑓 �� Fecha de fabricación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖) (2) Fechas máximas de finalización: corresponden al retraso de la producción, por lo que la última unidad de un tipo de producto 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 sale de la línea de producción en el instante 𝑇𝑇 (último ciclo: ��𝑇𝑇). En este caso, las fechas idóneas de fabricación de todas las unidades de un mismo tipo se determinan según (11): (11) (3) Fechas aritméticas de fabricación: corresponden a las medias aritméticas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de 𝑢𝑢�. Las fechas idóneas de fabricación se determinan según (12): 𝑓𝑓 ��≡�𝑢𝑢���,���𝑇𝑇��𝑢𝑢���,� 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (12) (4) Fechas geométricas de fabricación: corresponden a las medias geométricas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de 𝑢𝑢�. Los instantes idóneos de fabricación se determinan según (13): 𝑓𝑓 ��≡�𝑢𝑢��𝑢𝑢��1��𝑇𝑇 ���𝑢𝑢��𝑢𝑢��1� 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (13) (5) Fechas armónicas de fabricación: corresponden a las medias armónicas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de 𝑢𝑢�. Los instantes idóneos de fabricación se determinan según (14): 𝑓𝑓 ��≡𝑢𝑢��𝑢𝑢��1� 𝑢𝑢���,� �𝑇𝑇 ��𝑢𝑢��𝑢𝑢��1� 𝑢𝑢���,� �1 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (14) Nótese que las expresiones para el cálculo de instantes idóneos (ver fórmulas (10) a (14)) admiten una generalización inmediata. En efecto, en todas ellas aparecen el valor del mix de producción 𝜆𝜆� como divisor, o el período 𝑇𝑇� multiplicando, y, además, un factor multiplicativo, al que llamaremos 𝑏𝑏�𝑢𝑢��, que depende del número de orden de la unidad �𝑢𝑢��. Por consiguiente, el cálculo de fechas y ciclos idóneos de fabricación, para el caso de periodicidad por fechas con desplazamiento de unidades, se puede generalizar así: 𝑓𝑓 ��≡𝑏𝑏�𝑢𝑢���𝑇𝑇 ��𝑏𝑏�𝑢𝑢�� 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (15) (11) (3) Fechas aritméticas de fabricación: corresponden a las medias aritméticas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de ui. Las fechas idóneas de fabricación se determinan según (12): 𝑓𝑓 ��≡�𝑢𝑢��1��𝑇𝑇 ��𝑢𝑢��1 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (10) Donde: 𝑢𝑢� Número de orden de las unidades de tipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1,��,�� (1ª, 2ª,…, etc.) 𝑓𝑓 �� Fecha de fabricación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖) (2) Fechas máximas de finalización: corresponden al retraso de la producción, por lo que la última unidad de un tipo de producto 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 sale de la línea de producción en el instante 𝑇𝑇 (último ciclo: ��𝑇𝑇). En este caso, las fechas idóneas de fabricación de todas las unidades de un mismo tipo se determinan según (11): 𝑓𝑓 ��≡𝑢𝑢��𝑇𝑇 ��𝑢𝑢� 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (11) (3) Fechas aritméticas de fabricación: corresponden a las medias aritméticas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de 𝑢𝑢�. Las fechas idóneas de fabricación se determinan según (12): (12) (4) Fechas geométricas de fabricación: corresponden a las medias geométricas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de 𝑢𝑢�. Los instantes idóneos de fabricación se determinan según (13): 𝑓𝑓 ��≡�𝑢𝑢��𝑢𝑢��1��𝑇𝑇 ���𝑢𝑢��𝑢𝑢��1� 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (13) (5) Fechas armónicas de fabricación: corresponden a las medias armónicas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de 𝑢𝑢�. Los instantes idóneos de fabricación se determinan según (14): 𝑓𝑓 ��≡𝑢𝑢��𝑢𝑢��1� 𝑢𝑢���,� �𝑇𝑇 ��𝑢𝑢��𝑢𝑢��1� 𝑢𝑢���,� �1 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (14) Nótese que las expresiones para el cálculo de instantes idóneos (ver fórmulas (10) a (14)) admiten una generalización inmediata. En efecto, en todas ellas aparecen el valor del mix de producción 𝜆𝜆� como divisor, o el período 𝑇𝑇� multiplicando, y, además, un factor multiplicativo, al que llamaremos 𝑏𝑏�𝑢𝑢��, que depende del número de orden de la unidad �𝑢𝑢��. Por consiguiente, el cálculo de fechas y ciclos idóneos de fabricación, para el caso de periodicidad por fechas con desplazamiento de unidades, se puede generalizar así: 𝑓𝑓 ��≡𝑏𝑏�𝑢𝑢���𝑇𝑇 ��𝑏𝑏�𝑢𝑢�� 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (15) (12) (4) Fechas geométricas de fabricación: corresponden a las medias geométricas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de ui. Los instantes idóneos de fabricación se determinan según (13): 𝑓𝑓 ��≡�𝑢𝑢��1��𝑇𝑇 ��𝑢𝑢��1 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (10) Donde: 𝑢𝑢� Número de orden de las unidades de tipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1,��,�� (1ª, 2ª,…, etc.) 𝑓𝑓 �� Fecha de fabricación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖) (2) Fechas máximas de finalización: corresponden al retraso de la producción, por lo que la última unidad de un tipo de producto 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 sale de la línea de producción en el instante 𝑇𝑇 (último ciclo: ��𝑇𝑇). En este caso, las fechas idóneas de fabricación de todas las unidades de un mismo tipo se determinan según (11): 𝑓𝑓 ��≡𝑢𝑢��𝑇𝑇 ��𝑢𝑢� 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (11) (3) Fechas aritméticas de fabricación: corresponden a las medias aritméticas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de 𝑢𝑢�. Las fechas idóneas de fabricación se determinan según (12): 𝑓𝑓 ��≡�𝑢𝑢���,���𝑇𝑇��𝑢𝑢���,� 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (12) (4) Fechas geométricas de fabricación: corresponden a las medias geométricas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de 𝑢𝑢�. Los instantes idóneos de fabricación se determinan según (13): (13) (5) Fechas armónicas de fabricación: corresponden a las medias armónicas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de 𝑢𝑢�. Los instantes idóneos de fabricación se determinan según (14): 𝑓𝑓 ��≡𝑢𝑢��𝑢𝑢��1� 𝑢𝑢���,� �𝑇𝑇 ��𝑢𝑢��𝑢𝑢��1� 𝑢𝑢���,� �1 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (14) Nótese que las expresiones para el cálculo de instantes idóneos (ver fórmulas (10) a (14)) admiten una generalización inmediata. En efecto, en todas ellas aparecen el valor del mix de producción 𝜆𝜆� como divisor, o el período 𝑇𝑇� multiplicando, y, además, un factor multiplicativo, al que llamaremos 𝑏𝑏�𝑢𝑢��, que depende del número de orden de la unidad �𝑢𝑢��. Por consiguiente, el cálculo de fechas y ciclos idóneos de fabricación, para el caso de periodicidad por fechas con desplazamiento de unidades, se puede generalizar así: 𝑓𝑓 ��≡𝑏𝑏�𝑢𝑢���𝑇𝑇 ��𝑏𝑏�𝑢𝑢�� 𝜆𝜆∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (15) (13) (5) Fechas armónicas de fabricación: corresponden a las medias armónicas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de ui. Los instantes idóneos de fabricación se determinan según (14): 𝑓𝑓 ��≡�𝑢𝑢�����𝑇𝑇 ��𝑢𝑢��� 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (10) Donde: 𝑢𝑢� Número de orden de las unidades de tipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢���,��,�� (1ª, 2ª,…, etc.) 𝑓𝑓 �� Fecha de fabricación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖) (2) Fechas máximas de finalización: corresponden al retraso de la producción, por lo que la última unidad de un tipo de producto 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 sale de la línea de producción en el instante 𝑇𝑇 (último ciclo: ��𝑇𝑇). En este caso, las fechas idóneas de fabricación de todas las unidades de un mismo tipo se determinan según (11): 𝑓𝑓 ��≡𝑢𝑢��𝑇𝑇 ��𝑢𝑢� 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (11) (3) Fechas aritméticas de fabricación: corresponden a las medias aritméticas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de 𝑢𝑢�. Las fechas idóneas de fabricación se determinan según (12): 𝑓𝑓 ��≡�𝑢𝑢���,���𝑇𝑇��𝑢𝑢���,� 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (12) (4) Fechas geométricas de fabricación: corresponden a las medias geométricas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de 𝑢𝑢�. Los instantes idóneos de fabricación se determinan según (13): 𝑓𝑓 ��≡�𝑢𝑢��𝑢𝑢�����𝑇𝑇 ���𝑢𝑢��𝑢𝑢���� 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (13) (5) Fechas armónicas de fabricación: corresponden a las medias armónicas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de 𝑢𝑢�. Los instantes idóneos de fabricación se determinan según (14): (14) Nótese que las expresiones para el cálculo de instantes idóneos (ver fórmulas (10) a (14)) admiten una generalización inmediata. En efecto, en todas ellas aparecen el valor del mix de producción 𝜆𝜆� como divisor, o el período 𝑇𝑇� multiplicando, y, además, un factor multiplicativo, al que llamaremos 𝑏𝑏�𝑢𝑢��, que depende del número de orden de la unidad �𝑢𝑢��. Por consiguiente, el cálculo de fechas y ciclos idóneos de fabricación, para el caso de periodicidad por fechas con desplazamiento de unidades, se puede generalizar así: (14) Nótese que las expresiones para el cálculo de instantes idóneos (ver fórmulas (10) a (14)) admiten una generalización inmediata. 96 secuenciación HEIJUNKA con métodos divisores electorales En efecto, en todas ellas aparecen el valor del mix de producción λi como divisor, o el período Ti multiplicando, y, además, un factor multiplicativo, al que llamaremos b (ui), que depende del número de orden de la unidad . Por consiguiente, el cálculo de fechas y ciclos idóneos de fabricación, para el caso de periodicidad por fechas con desplazamiento de unidades, se puede generalizar así: 14  : corresponden a las medias armónicas entre la fecha mínima de inicio y la fecha máxima de finalización para cada valor de 𝑢𝑢�. Los instantes idóneos de fabricación se determinan según (14): 𝑓𝑓 ��≡𝑢𝑢��𝑢𝑢��1� 𝑢𝑢���,� �𝑇𝑇 ��𝑢𝑢��𝑢𝑢��1� 𝑢𝑢���,� �1 𝜆𝜆�∀𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 (14) Nótese que las expresiones para el cálculo de instantes idóneos (ver fórmulas (10) a (14)) admiten una generalización inmediata. En efecto, en todas ellas aparecen el valor del mix de producción 𝜆𝜆� como divisor, o el período 𝑇𝑇� multiplicando, y, además, un factor multiplicativo, al que llamaremos 𝑏𝑏�𝑢𝑢��, que depende del número de orden de la unidad �𝑢𝑢��. Por consiguiente, el cálculo de fechas y ciclos idóneos de fabricación, para el caso de periodicidad por fechas con desplazamiento de unidades, se puede generalizar así: (15) (15) Donde el multiplicador b (ui) lo definimos como una función real sobre los números naturales ui (1, 2,…, d i ) satisfaciendo dos condiciones: (i) monotonía respecto a ui, es decir, b (ui – 1) < b (ui), y (ii) acotación respecto a ui, esto es, ui – 1 ≤ b (ui) ≤ ui. Esta generalización permite disponer de infinitos métodos de asignación de las fechas idóneas de fabricación, resultando que cada uno de los métodos está asociado a un criterio multiplicativo que se caracteriza por el multiplicador . Para ilustrar la aplicación de las fórmulas (10) a (14), consideremos una secuencia de 12 motores de 3 tipos (P1, P2 y P3) sujeta a un plan de demanda = (6,5,1) y un mix = (0,50; 0,42; 0,08). Los resultados se muestran en la Tabla 11. i ∈ I uifmin fmax fmed fgeo fhar tmin tmax tmed tgeo thar P1 1 0,0 2,0 1,0 0,0 0,0 1 2 1 1 1 2 2,0 4,0 3,0 2,8 2,7 24333 3 4,0 6,0 5,0 4,9 4,8 4 6 555 4 6,0 8,0 7,0 6,9 6,9 6 8 7 7 7 58,0 10,0 9,0 8,9 8,9 8 10 9 9 9 610,0 12,0 11,0 11,0 10,9 10 12 11 11 11 P2 1 0,0 2,4 1,2 0,0 0,0 1 3211 22,4 4,8 3,6 3,4 3,2 3 5444 3 4,8 7,2 6,0 5,9 5,8 58666 4 7,2 9,6 8,4 8,3 8,2 8 10 9 9 9 59,6 12,0 10,8 10,7 10,7 10 12 11 11 11 P3 1 0,0 12,0 6,0 0,0 0,0 1 12 61 1 Tabla 11. Fechas y ciclos idóneos de producción para Periodicidad por fechas desplazando unidades. Fechas: mínima (min), máxima (max), media aritmética (med), geométrica (geo) y armónica (har). 97 Joaquín Bautista Valhondo Los conceptos Periodicidad ideal y Fechas idóneas de fabricación dan lugar a una interpretación del problema de la variación de las tasas de producción (PRV) algo distinta a la correspondiente a su planteo y formulación originales. En efecto, el PRV puede verse como un problema de programación de operaciones en una sola máquina asignando, a cada unidad de producto, una fecha contractual de entrada (o salida) en la cadena de producción, con el propósito de reducir al mínimo los adelantos y los retrasos entre las fechas reales de entrada (o salida) y las fechas idóneas calculadas. Un programa matemático representante del problema es el que sigue. PM-Heijunka-Fechas: 15  3 4,8 7,2 6,0 5,9 5,8 5 8 6 6 6 4 7,2 9,6 8,4 8,3 8,2 8 10 9 9 9 5 9,6 12,0 10,8 10,7 10,7 10 12 11 11 11 P3 1 0,0 12,0 6,0 0,0 0,0 1 12 6 1 1 Tabla 11. Fechas y ciclos idóneos de producción para Periodicidad por fechas desplazando unidades. Fechas: mínima (min), máxima (max), media aritmética (med), geométrica (geo) y armónica (har). Los conceptos Periodicidad ideal y Fechas idóneas de fabricación dan lugar a una interpretación del problema de la variación de las tasas de producción (PRV) algo distinta a la correspondiente a su planteo y formulación originales. En efecto, el PRV puede verse como un problema de programación de operaciones en una sola máquina asignando, a cada unidad de producto, una fecha contractual de entrada (o salida) en la cadena de producción, con el propósito de reducir al mínimo los adelantos y los retrasos entre las fechas reales de entrada (o salida) y las fechas idóneas calculadas. Un programa matemático representante del problema es el que sigue. PM-Heijunka-Fechas: (16) Sujeto a: (16) Sujeto a: (17) (18) (19) Donde: 𝑢𝑢� Número de orden de las unidades de tipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1𝐶��𝐶��. 𝑓𝑓 �� Fecha de fabricación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖) ℱ Conjunto de fechas de fabricación idóneas: � 𝑓𝑓 ��𝑖�𝑢𝑢��1𝐶�𝐶�����𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖�� 𝐶𝐶�� Ciclo de fabricación o compleción real de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖) 𝐶𝐶 Conjunto de ciclos de compleción reales: �𝐶𝐶��𝑖�𝑢𝑢��1𝐶�𝐶�����𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖�� 𝑥𝑥��𝐶� Variable binaria que adopta el valor 1 si la 𝑢𝑢-ésima unidad de producto de tipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ocupa la posición 𝑡𝑡 �𝑡𝑡�1𝐶��𝐶�� de la secuencia, y vale 0 en caso contrario. La relación entre la secuencia 𝜋𝜋 �  y las variables 𝑥𝑥��𝐶� es: 𝑥𝑥��𝐶� � 1⟹𝜋𝜋�� 𝑖𝑖𝐶∀𝑢𝑢�∀𝑡𝑡. En el modelo PM-Heijunka-Fechas, la función objetivo (16) expresa la minimización de la suma de las desviaciones cuadráticas entre los ciclos de compleción real �𝐶𝐶��� de las unidades 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖), y las fechas de fabricación idóneas (𝑓𝑓��� de dichas unidades. Las igualdades (17) sirven para determinar los ciclos de compleción real. Las restricciones (18) fuerzan la monotonía creciente de los ciclos de compleción en función del número de orden de las unidades de cada tipo de producto 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. Finalmente, las condiciones (19) establecen como binarias las variables 𝑥𝑥��𝐶�. Otra alternativa a (16) como función objetivo es la minimización de la suma de desviaciones absolutas entre las fechas idóneas de fabricación y los ciclos en los que realmente se completan las unidades en secuencia - ver fórmula (20) -. (17) (17) (18) (19) Donde: 𝑢𝑢� Número de orden de las unidades de tipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1𝐶��𝐶��. 𝑓𝑓 �� Fecha de fabricación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖) ℱ Conjunto de fechas de fabricación idóneas: � 𝑓𝑓 ��𝑖�𝑢𝑢��1𝐶�𝐶�����𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖�� 𝐶𝐶�� Ciclo de fabricación o compleción real de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖) 𝐶𝐶 Conjunto de ciclos de compleción reales: �𝐶𝐶��𝑖�𝑢𝑢��1𝐶�𝐶�����𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖�� 𝑥𝑥��𝐶� Variable binaria que adopta el valor 1 si la 𝑢𝑢-ésima unidad de producto de tipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ocupa la posición 𝑡𝑡 �𝑡𝑡�1𝐶��𝐶�� de la secuencia, y vale 0 en caso contrario. La relación entre la secuencia 𝜋𝜋 �  y las variables 𝑥𝑥��𝐶� es: 𝑥𝑥��𝐶� � 1⟹𝜋𝜋�� 𝑖𝑖𝐶∀𝑢𝑢�∀𝑡𝑡. En el modelo PM-Heijunka-Fechas, la función objetivo (16) expresa la minimización de la suma de las desviaciones cuadráticas entre los ciclos de compleción real �𝐶𝐶��� de las unidades 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖), y las fechas de fabricación idóneas (𝑓𝑓��� de dichas unidades. Las igualdades (17) sirven para determinar los ciclos de compleción real. Las restricciones (18) fuerzan la monotonía creciente de los ciclos de compleción en función del número de orden de las unidades de cada tipo de producto 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. Finalmente, las condiciones (19) establecen como binarias las variables 𝑥𝑥��𝐶�. Otra alternativa a (16) como función objetivo es la minimización de la suma de desviaciones absolutas entre las fechas idóneas de fabricación y los ciclos en los que realmente se completan las unidades en secuencia - ver fórmula (20) -. (18) (17) (18) (19) Donde: 𝑢𝑢� Número de orden de las unidades de tipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1𝐶��𝐶��. 𝑓𝑓 �� Fecha de fabricación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖) ℱ Conjunto de fechas de fabricación idóneas: � 𝑓𝑓 ��𝑖�𝑢𝑢��1𝐶�𝐶�����𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖�� 𝐶𝐶�� Ciclo de fabricación o compleción real de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖 𝑖𝑖) 𝐶𝐶 Conjunto de ciclos de compleción reales: �𝐶𝐶��𝑖�𝑢𝑢��1𝐶�𝐶�����𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖�� 𝑥𝑥��𝐶� Variable binaria que adopta el valor 1 si la 𝑢𝑢-ésima unidad de producto de tipo 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ocupa la posición 𝑡𝑡 �𝑡𝑡�1𝐶��𝐶�� de la secuencia, y vale 0 en caso contrario. La relación entre la secuencia 𝜋𝜋 �  y las variables 𝑥𝑥��𝐶� es: 𝑥𝑥��𝐶� � 1⟹𝜋𝜋�� 𝑖𝑖𝐶∀𝑢𝑢�∀𝑡𝑡. En el modelo PM-Heijunka-Fechas, la función objetivo (16) expresa la minimización de la suma de las desviaciones cuadráticas entre los ciclos de compleción real �𝐶𝐶��� de las unidades 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑖), y las fechas de fabricación idóneas (𝑓𝑓��� de dichas unidades. Las igualdades (17) sirven para determinar los ciclos de compleción real. Las restricciones (18) fuerzan la monotonía creciente de los ciclos de compleción en función del número de orden de las unidades de cada tipo de producto 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖. Finalmente, las condiciones (19) establecen como binarias las variables 𝑥𝑥��𝐶�. Otra alternativa a (16) como función objetivo es la minimización de la suma de desviaciones absolutas entre las fechas idóneas de fabricación y los ciclos en los que realmente se completan las unidades en secuencia - ver fórmula (20) -. (19) Donde: uiNúmero de orden de las unidades de tipo i ∈ I: ui = 1,.., di. fuiFecha de fabricación idónea de la unidad ui (i ∈ I) FConjunto de fechas de fabricación idóneas: {fui: (ui = 1,…, di) ⋏ (i ∈ I)} C uiCiclo de fabricación o compleción real de la unidad ui (i ∈ I) C Conjunto de ciclos de compleción reales: { C ui : (ui = 1 ,…, di) ⋏ (i ∈ I)} 98 secuenciación HEIJUNKA con métodos divisores electorales xui,t Variable binaria que adopta el valor 1 si la u-ésima unidad de producto de tipo i ∈ I ocupa la posición t ( t = 1,..,T) de la secuencia, y vale 0 en caso contrario. La relación entre la secuencia y las variables xui,t es: xui,t = 1 ⟹ πt = i,∀ui ∀t. En el modelo PM-Heijunka-Fechas, la función objetivo (16) expresa la minimización de la suma de las desviaciones cuadráticas entre los ciclos de compleción real ( C ui) de las unidades ui (i ∈ I), y las fechas de fabricación idóneas (fui) de dichas unidades. Las igualdades (17) sirven para determinar los ciclos de compleción real. Las restricciones (18) fuerzan la monotonía creciente de los ciclos de compleción en función del número de orden de las unidades de cada tipo de producto i ∈ I. Finalmente, las condiciones (19) establecen como binarias las variables xui,t. Otra alternativa a (16) como función objetivo es la minimización de la suma de desviaciones absolutas entre las fechas idóneas de fabricación y los ciclos en los que realmente se completan las unidades en secuencia - ver fórmula (20) -. 16  (19) Donde: 𝑢𝑢� Número de orden de las unidades de tipo 𝑖𝑖∈𝑖𝑖𝑖𝑢𝑢��1,��,��. 𝑓𝑓 �� Fecha de fabricación idónea de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 ∈𝑖𝑖) ℱ Conjunto de fechas de fabricación idóneas: � 𝑓𝑓 ��𝑖�𝑢𝑢��1,�,�����𝑖𝑖 ∈𝑖𝑖�� 𝐶𝐶�� Ciclo de fabricación o compleción real de la unidad 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 ∈ 𝑖𝑖) 𝐶𝐶 Conjunto de ciclos de compleción reales: �𝐶𝐶��𝑖�𝑢𝑢��1,�,�����𝑖𝑖 ∈𝑖𝑖�� 𝑥𝑥��,� Variable binaria que adopta el valor 1 si la 𝑢𝑢-ésima unidad de producto de tipo 𝑖𝑖∈𝑖𝑖 ocupa la posición 𝑡𝑡 �𝑡𝑡�1,��,�� de la secuencia, y vale 0 en caso contrario. La relación entre la secuencia 𝜋𝜋 �  y las variables 𝑥𝑥��,� es: 𝑥𝑥��,� � 1⟹𝜋𝜋�� 𝑖𝑖,∀𝑢𝑢�∀𝑡𝑡. En el modelo PM-Heijunka-Fechas, la función objetivo (16) expresa la minimización de la suma de las desviaciones cuadráticas entre los ciclos de compleción real �𝐶𝐶��� de las unidades 𝑢𝑢� �𝑖𝑖 ∈𝑖𝑖), y las fechas de fabricación idóneas (𝑓𝑓��� de dichas unidades. Las igualdades (17) sirven para determinar los ciclos de compleción real. Las restricciones (18) fuerzan la monotonía creciente de los ciclos de compleción en función del número de orden de las unidades de cada tipo de producto 𝑖𝑖∈𝑖𝑖. Finalmente, las condiciones (19) establecen como binarias las variables 𝑥𝑥��,�. Otra alternativa a (16) como función objetivo es la minimización de la suma de desviaciones absolutas entre las fechas idóneas de fabricación y los ciclos en los que realmente se completan las unidades en secuencia - ver fórmula (20) -. (20) Concretamente, la función (20) se refiere a la suma de adelantos y retrasos en las entregas respecto a las fechas establecidas �𝑓𝑓���, y la función (16) corresponde a la suma de dichos adelantos y retrasos elevados al cuadrado. En definitiva, se pretende que las unidades de un mismo tipo de producto ocupen en la secuencia posiciones equidistantes en la medida de lo posible. Es fácil demostrar que el óptimo para la función objetivo (16) se consigue ordenando las unidades de producto (secuenciación) según el orden no decreciente de las fechas de fabricación idóneas 𝑓𝑓��; es decir, ordenando las unidades por fechas según la regla EDD (Earliest Due Date). En efecto, desarrollando Δ��𝐶𝐶,ℱ�, tenemos: (20) Concretamente, la función (20) se refiere a la suma de adelantos y retrasos en las entregas respecto a las fechas establecidas (fui), y la función (16) corresponde a la suma de dichos adelantos y retrasos elevados al cuadrado. En definitiva, se pretende que las unidades de un mismo tipo de producto ocupen en la secuencia posiciones equidistantes en la medida de lo posible. Es fácil demostrar que el óptimo para la función objetivo (16) se consigue ordenando las unidades de producto (secuenciación) según el orden no decreciente de las fechas de fabricación idóneas fui; es decir, ordenando las unidades por fechas según la regla EDD (Earliest Due Date). En efecto, desarrollando Δ Q ( C, F ), tenemos: En el desarrollo anterior, la suma de los términos 𝐶𝐶�� � es una constante, puesto que esta corresponde a la suma de los cuadrados de los 𝑇𝑇 primeros números naturales, teniendo en cuenta que cada unidad de producto �𝑢𝑢�� ocupa una (y solo una) posición en la secuencia de fabricación 𝜋𝜋�  ��𝜋𝜋�,𝜋𝜋�,…,𝜋𝜋��. Por otra parte, es obvio que la suma de los cuadrados de las fechas idóneas (𝑓𝑓�� �� es una constante. Por tanto, podemos escribir la siguiente equivalencia entre funciones objetivo: 99 Joaquín Bautista Valhondo 17  En el desarrollo anterior, la suma de los términos 𝐶𝐶�� � es una constante, puesto que esta corresponde a la suma de los cuadrados de los 𝑇𝑇 primeros números naturales, teniendo en cuenta que cada unidad de producto �𝑢𝑢�� ocupa una (y solo una) posición en la secuencia de fabricación 𝜋𝜋�  ��𝜋𝜋�,𝜋𝜋�,…,𝜋𝜋��. Por otra parte, es obvio que la suma de los cuadrados de las fechas idóneas (𝑓𝑓�� �� es una constante. Por tanto, podemos escribir la siguiente equivalencia entre funciones objetivo: 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚��𝐶𝐶,𝐶��� � �𝐶𝐶���𝑓𝑓 ���� �� ���� � ��� ⟺𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝐶𝐶,𝐶��� � 𝐶𝐶 ���𝑓𝑓 �� �� ���� � ��� En tales condiciones, la maximización de la función objetivo 𝑚�𝐶𝐶,𝐶� corresponde a la suma de productos binarios de los elementos de dos sucesiones numéricas �𝐶𝐶��,𝑓𝑓 ��), ambas con valores no negativos, resultando que el valor máximo de dicha suma-producto se consigue ordenando las sucesiones en el mismo orden (no decreciente, en nuestro caso) y multiplicando, posición a posición, sus elementos emparejados. En definitiva, la función objetivo 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚�𝐶𝐶,𝐶�, equivalente a 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚��𝐶𝐶,𝐶�, alcanza el óptimo con secuencias 𝜋𝜋�  ��𝜋𝜋�,𝜋𝜋�,…,𝜋𝜋�� ordenadas por fechas 𝑓𝑓��, según la regla EDD. Así, el programa matemático PM-Heijunka-Fechas se puede resolver tal como sigue. (1) Determinar el conjunto de fechas ideales 𝐶 ��𝑓𝑓����𝑢𝑢���,…,���⋏�𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖�� (2) Ordenar las fechas ideales del conjunto 𝐶 de menor a mayor: Regla EDD. (3) Secuenciar las unidades �𝑢𝑢���,…,��,∀𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖� siguiendo el orden Regla EDD. Las propiedades de la regla EDD son extensivas a cualquier conjunto 𝐶 de fechas idóneas, no obstante, para fijar ideas, nos centraremos en conjuntos de fechas idóneas que adoptan el siguiente formato: 𝑓𝑓 �����𝑢𝑢���𝑇𝑇 ����𝑢𝑢�� 𝜈𝜈��𝑢𝑢���,…,���⋏�𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖� Cumpliendo: ���𝑢𝑢���� ���𝑢𝑢���⋏ �𝑢𝑢��� ���𝑢𝑢���𝑢𝑢�� ∀𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖 (21) Cada conjunto de fechas (21) da lugar a un método que llamaremos “multiplicador”, teniendo en cuenta que los valores ��𝑢𝑢�� actúan como factores multiplicativos de la periodicidad representada por los períodos ideales 𝑇𝑇�. Entre los infinitos Métodos de los Multiplicadores posibles, en la Tabla 12 se muestran los correspondientes a las fechas básicas (10) a (14). Nótese que los métodos de la Tabla 12 presentan sucesiones de multiplicadores que coinciden, respectivamente, con las sucesiones de divisores de los cinco métodos clásicos del problema de reparto proporcional vinculados al reparto de escaños (ver Tabla 9). Esta coincidencia permite establecer conexiones interesantes entre problemas de áreas de conocimiento aparentemente dispares como son la Política y la Ingeniería Industrial. En el desarrollo anterior, la suma de los términos es una constante, puesto que esta corresponde a la suma de los cuadrados de los T primeros números naturales, teniendo en cuenta que cada unidad de producto (ui) ocupa una (y solo una) posición en la secuencia de fabricación = (π1,π2, …,πT). Por otra parte, es obvio que la suma de los cuadrados de las fechas idóneas es una constante. Por tanto, podemos escribir la siguiente equivalencia entre funciones objetivo: 17  Δ��𝐶𝐶𝐶𝐶�� � � �𝐶𝐶���𝑓𝑓 ���� �� ���� � ��� � �� � 𝐶𝐶 �� � �� ���� � ��� �� � 𝑓𝑓 �� � �� ���� � ��� ��� � 𝐶𝐶���𝑓𝑓 �� �� ���� � ��� En el desarrollo anterior, la suma de los términos 𝐶𝐶�� � es una constante, puesto que esta corresponde a la suma de los cuadrados de los 𝑇𝑇 primeros números naturales, teniendo en cuenta que cada unidad de producto �𝑢𝑢�� ocupa una (y solo una) posición en la secuencia de fabricación 𝜋𝜋�  ��𝜋𝜋�𝐶𝜋𝜋�𝐶…𝐶𝜋𝜋��. Por otra parte, es obvio que la suma de los cuadrados de las fechas idóneas (𝑓𝑓�� �� es una constante. Por tanto, podemos escribir la siguiente equivalencia entre funciones objetivo: En tales condiciones, la maximización de la función objetivo Π�𝐶𝐶𝐶𝐶� corresponde a la suma de productos binarios de los elementos de dos sucesiones numéricas �𝐶𝐶��𝐶𝑓𝑓 ��), ambas con valores no negativos, resultando que el valor máximo de dicha suma-producto se consigue ordenando las sucesiones en el mismo orden (no decreciente, en nuestro caso) y multiplicando, posición a posición, sus elementos emparejados. En definitiva, la función objetivo 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚Π�𝐶𝐶𝐶𝐶�, equivalente a 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚Δ��𝐶𝐶𝐶𝐶�, alcanza el óptimo con secuencias 𝜋𝜋�  ��𝜋𝜋�𝐶𝜋𝜋�𝐶…𝐶𝜋𝜋�� ordenadas por fechas 𝑓𝑓��, según la regla EDD. Así, el programa matemático PM-Heijunka-Fechas se puede resolver tal como sigue. (1) Determinar el conjunto de fechas ideales 𝐶 ��𝑓𝑓����𝑢𝑢���𝐶…𝐶���⋏�𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖�� (2) Ordenar las fechas ideales del conjunto 𝐶 de menor a mayor: Regla EDD. (3) Secuenciar las unidades �𝑢𝑢���𝐶…𝐶��𝐶∀𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖� siguiendo el orden Regla EDD. Las propiedades de la regla EDD son extensivas a cualquier conjunto 𝐶 de fechas idóneas, no obstante, para fijar ideas, nos centraremos en conjuntos de fechas idóneas que adoptan el siguiente formato: 𝑓𝑓 �����𝑢𝑢���𝑇𝑇 ����𝑢𝑢�� 𝜈𝜈��𝑢𝑢���𝐶…𝐶���⋏�𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖� Cumpliendo: ���𝑢𝑢����� ��𝑢𝑢���⋏ �𝑢𝑢������𝑢𝑢���𝑢𝑢�� ∀𝑚𝑚𝑖𝑖𝑖 (21) Cada conjunto de fechas (21) da lugar a un método que llamaremos “multiplicador”, teniendo en cuenta que los valores ��𝑢𝑢�� actúan como factores multiplicativos de la periodicidad representada por los períodos ideales 𝑇𝑇�. Entre los infinitos Métodos de los Multiplicadores posibles, en la Tabla 12 se muestran los correspondientes a las fechas básicas (10) a (14). Nótese que los métodos de la Tabla 12 presentan sucesiones de multiplicadores que coinciden, respectivamente, con las sucesiones de divisores de los cinco métodos clásicos del problema de reparto proporcional vinculados al reparto de escaños (ver Tabla 9). Esta coincidencia permite establecer conexiones interesantes entre problemas de áreas de conocimiento aparentemente dispares como son la Política y la Ingeniería Industrial. En tales condiciones, la maximización de la función objetivo Π( C,F ) corresponde a la suma de productos binarios de los elementos de dos sucesiones numéricas ( C ui, f ui), ambas con valores no negativos, resultando que el valor máximo de dicha suma-producto se consigue ordenando las sucesiones en el mismo orden (no decreciente, en nuestro caso) y multiplicando, posición a posición, sus elementos emparejados. En definitiva, la función objetivo max Π ( C,F ), equivalente a min Δ Q ( C,F ), alcanza el óptimo con secuencias = (π1,π2, …,πT) ordenadas por fechas fui, según la regla EDD. Así, el programa matemático PM-Heijunka-Fechas se puede resolver tal como sigue. (1) Determinar el conjunto de fechas ideales F = {fui : (ui = 1,…,di) ⋏(i ∈ I)} (2) Ordenar las fechas ideales del conjunto F de menor a mayor: Regla EDD. (3) Secuenciar las unidades (ui = 1,…,di,∀i ∈ I ) siguiendo el orden Regla EDD. Las propiedades de la regla EDD son extensivas a cualquier conjunto F de fechas idóneas, no obstante, para fijar ideas, nos centraremos en conjuntos de fechas idóneas que adoptan el siguiente formato: © Real Academia Europea de Doctores. La Real Academia Europea de Doctores, respetando como criterio de autor las opiniones expuestas en sus publicaciones, no se hace ni responsable ni solidaria. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamos públicos. Producción Gráfica: Ediciones Gráficas Rey, S.L. Impreso en papel offset de 90grm. Edición impresa ISSN: 2339-997X Edición electrónica ISSN: 2385-345X Depósito Legal: B 12510 - 2014 Impreso en España –Printed in SpainBarcelona Fecha de publicación: marzo 2021 www.raed.academy © Reial Acadèmia Europea de Doctors. La Reial Acadèmia Europea de Doctors, bo i respectant com a criteri d’autor les opinions exposades en les seves publicacions, no se’n fan responsable ni solidaria. Queden rigorosament prohibides, sense l’autorització escrita dels titulars del «Copyright», sota les sancions establertes en les lleis, la reproducció total o parcial d’aquesta obra per qualsevol mitjà o procediment, compresos la reprografia i el tractament informàtic i la distribució d’exemplars d’ella mitjançant lloguer o préstecs públics. Producció Gràfica: Ediciones Gráficas Rey, S.L. Imprès en paper offset de 90grm. 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