L'equació d'Einstein de la relativitat general i la seva relació amb l'equació d'ona

L’equació d’Einstein de la relativitat general i la seva relació amb l’equació d’ona 9 de febrer de 2005 JOAN GIRBAU – p.1 Esquema de la conferència •Nocions de relativitat especial a l’espai de Minkowski •Fonaments de la relativitat general i equació d’Einstein •Relació de l’equació d’Einstein amb l’equació d’ona clàssica •Breus pinzellades de la meva recerca personal en aquest camp – p.2 Esquema de la conferència •Nocions de relativitat especial a l’espai de Minkowski •Fonaments de la relativitat general i equació d’Einstein •Relació de l’equació d’Einstein amb l’equació d’ona clàssica •Breus pinzellades de la meva recerca personal en aquest camp – p.2 Esquema de la conferència •Nocions de relativitat especial a l’espai de Minkowski •Fonaments de la relativitat general i equació d’Einstein •Relació de l’equació d’Einstein amb l’equació d’ona clàssica •Breus pinzellades de la meva recerca personal en aquest camp – p.2 Esquema de la conferència •Nocions de relativitat especial a l’espai de Minkowski •Fonaments de la relativitat general i equació d’Einstein •Relació de l’equació d’Einstein amb l’equació d’ona clàssica •Breus pinzellades de la meva recerca personal en aquest camp – p.2 Esquema de la conferència •Nocions de relativitat especial a l’espai de Minkowski •Fonaments de la relativitat general i equació d’Einstein •Relació de l’equació d’Einstein amb l’equació d’ona clàssica •Breus pinzellades de la meva recerca personal en aquest camp – p.2 Nocions de relativitat especial Relativitat especial (articles originals): Einstein: •Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik, 17, 1905. •Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?, Annalen der Physik, 17, 1905. Minkoswski: Comunicació a la 80 Assemblea de Físics alemanys, 21 de setembre de 1908. – p.3 Nocions de relativitat especial Relativitat especial (articles originals): Einstein: •Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik, 17, 1905. •Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?, Annalen der Physik, 17, 1905. Minkoswski: Comunicació a la 80 Assemblea de Físics alemanys, 21 de setembre de 1908. – p.3 Nocions de relativitat especial Relativitat especial (articles originals): Einstein: •Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik, 17, 1905. •Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?, Annalen der Physik, 17, 1905. Minkoswski: Comunicació a la 80 Assemblea de Físics alemanys, 21 de setembre de 1908. – p.3 Nocions de relativitat especial (Cinemàtica) Postulats: 1. Existeixen sistemes inercials. 2. Dos s.i. es mouen un respecte a l’altre amb vel. constant. Recíprocament si viatgen amb vel. const. i un és inercial, l’altre també. 3. Tots els s.i. juguen el mateix paper a la teoria. 4. L’ordre temporal d’esdeveniments ocorreguts en un mateix punt d’un s.i. és el mateix quan es canvia de s.i. 5. Invariància de la velocitat de la llum. – p.5 Nocions de relativitat especial (Cinemàtica) Postulats: 1. Existeixen sistemes inercials. 2. Dos s.i. es mouen un respecte a l’altre amb vel. constant. Recíprocament si viatgen amb vel. const. i un és inercial, l’altre també. 3. Tots els s.i. juguen el mateix paper a la teoria. 4. L’ordre temporal d’esdeveniments ocorreguts en un mateix punt d’un s.i. és el mateix quan es canvia de s.i. 5. Invariància de la velocitat de la llum. – p.5 Nocions de relativitat especial (Cinemàtica) Postulats: 1. Existeixen sistemes inercials. 2. Dos s.i. es mouen un respecte a l’altre amb vel. constant. Recíprocament si viatgen amb vel. const. i un és inercial, l’altre també. 3. Tots els s.i. juguen el mateix paper a la teoria. 4. L’ordre temporal d’esdeveniments ocorreguts en un mateix punt d’un s.i. és el mateix quan es canvia de s.i. 5. Invariància de la velocitat de la llum. – p.5 Nocions de relativitat especial (Cinemàtica) Postulats: 1. Existeixen sistemes inercials. 2. Dos s.i. es mouen un respecte a l’altre amb vel. constant. Recíprocament si viatgen amb vel. const. i un és inercial, l’altre també. 3. Tots els s.i. juguen el mateix paper a la teoria. 4. L’ordre temporal d’esdeveniments ocorreguts en un mateix punt d’un s.i. és el mateix quan es canvia de s.i. 5. Invariància de la velocitat de la llum. – p.5 Nocions de relativitat especial (Cinemàtica) Postulats: 1. Existeixen sistemes inercials. 2. Dos s.i. es mouen un respecte a l’altre amb vel. constant. Recíprocament si viatgen amb vel. const. i un és inercial, l’altre també. 3. Tots els s.i. juguen el mateix paper a la teoria. 4. L’ordre temporal d’esdeveniments ocorreguts en un mateix punt d’un s.i. és el mateix quan es canvia de s.i. 5. Invariància de la velocitat de la llum. – p.5 Nocions de relativitat especial (Cinemàtica) Postulats: 1. Existeixen sistemes inercials. 2. Dos s.i. es mouen un respecte a l’altre amb vel. constant. Recíprocament si viatgen amb vel. const. i un és inercial, l’altre també. 3. Tots els s.i. juguen el mateix paper a la teoria. 4. L’ordre temporal d’esdeveniments ocorreguts en un mateix punt d’un s.i. és el mateix quan es canvia de s.i. 5. Invariància de la velocitat de la llum. – p.5 Nocions de relativitat especial Si estem en un s.i, cada esdeveniment dóna lloc a un punt (x1, x2, x3, t)∈R4. Transformacions de Lorentz: SiS0dos s.i. f:R4−→ R4 (x1, x2, x3, t)−→ (x0 1, x0 2, x0 3, t0) esdeveniment el mateix esdev. La mateixa definició de tr. de Lorentz implica la bijectivitat – p.6 Nocions de relativitat especial Si estem en un s.i, cada esdeveniment dóna lloc a un punt (x1, x2, x3, t)∈R4. Transformacions de Lorentz: SiS0dos s.i. f:R4−→ R4 (x1, x2, x3, t)−→ (x0 1, x0 2, x0 3, t0) esdeveniment el mateix esdev. La mateixa definició de tr. de Lorentz implica la bijectivitat – p.6 Nocions de relativitat especial Si estem en un s.i, cada esdeveniment dóna lloc a un punt (x1, x2, x3, t)∈R4. Transformacions de Lorentz: SiS0dos s.i. f:R4−→ R4 (x1, x2, x3, t)−→ (x0 1, x0 2, x0 3, t0) esdeveniment el mateix esdev. La mateixa definició de tr. de Lorentz implica la bijectivitat – p.6 Nocions de relativitat especial Si estem en un s.i, cada esdeveniment dóna lloc a un punt (x1, x2, x3, t)∈R4. Transformacions de Lorentz: SiS0dos s.i. f:R4−→ R4 (x1, x2, x3, t)−→ (x0 1, x0 2, x0 3, t0) esdeveniment el mateix esdev. La mateixa definició de tr. de Lorentz implica la bijectivitat – p.6 Nocions de relativitat especial C=conjunt de vectors temporals={(x1, x2, x3, t)∈R4 tals que x2 1+x2 2+x2 3−c2t2<0}. Cés un con amb dues components connexes, C+i C−. – p.10 Nocions de relativitat especial Les transformacions de Lorentz, per ser isometries, transformen vectors temp. en vectors temp. El postulat 4 implica que transformen vectors de C+ en vectors de C+. – p.11 Nocions de relativitat especial Les transformacions de Lorentz, per ser isometries, transformen vectors temp. en vectors temp. El postulat 4 implica que transformen vectors de C+ en vectors de C+. – p.11 Nocions de relativitat especial Definició: Una base {v1, v2, v3, v4}de R4direm que és ortonormal respecte a ηsi η(vi, vj) = δij,i, j = 1,2,3, η(vi, v4) = 0,η(v4, v4) = −c2. La base canònica de R4,{e1, e2, e3, e4}, és ortonormal respecte a ηi, a més, e4∈C+. – p.12 Nocions de relativitat especial Definició: Una base {v1, v2, v3, v4}de R4direm que és ortonormal respecte a ηsi η(vi, vj) = δij,i, j = 1,2,3, η(vi, v4) = 0,η(v4, v4) = −c2. La base canònica de R4,{e1, e2, e3, e4}, és ortonormal respecte a ηi, a més, e4∈C+. – p.12 Nocions de relativitat especial Dos punts de vista equivalents: Punt de vista 1: Cada sistema inercial usa un R4 diferent per representar els esdeveniments. Es passa d’un a l’altre per una tr. de Lorentz. Punt de vista 2: – p.13 Nocions de relativitat especial Dos punts de vista equivalents: Punt de vista 1: Cada sistema inercial usa un R4 diferent per representar els esdeveniments. Es passa d’un a l’altre per una tr. de Lorentz. Punt de vista 2: – p.13 Nocions de relativitat especial Dos punts de vista equivalents: Punt de vista 1: Cada sistema inercial usa un R4 diferent per representar els esdeveniments. Es passa d’un a l’altre per una tr. de Lorentz. Punt de vista 2: – p.13 Nocions de relativitat especial Siguin SiS0dos sistemes inercials. f:R4→R4transformació de Lorentz corresponent (fés de la forma f(x) = F(x) + pamb Flineal). – p.14 Nocions de relativitat especial R4f −→ R4 6 À - Á ¼ 6 - À e1 e2 e4 e0 1 e0 2 e0 4 P P0 ε1 ε2 ε4 f−1(0) ~ – p.15 Fonaments de la relativitat general Relativitat general: Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Annalen der Physik, 49, 1916. – p.19 Fonaments de la relativitat general Relativitat general: Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie, Annalen der Physik, 49, 1916. – p.19 Fonaments de la relativitat general Relativitat general: Les forces gravitatòries no existeixen: són fruit d’una elecció de coordenades. – p.20 Fonaments de la relativitat general Principi fonamental: Substituir l’espai de Minkowski (R4, η)per un espai-temps (V, g). Una v. de Lorentz (V, g)és com una v. de Riemann de dimensió 4 en la qual en cada espai tangent Tx(V)es pot trobar una base respecte a la qual g=     1 1 1 −1      – p.21 Fonaments de la relativitat general Principi fonamental: Substituir l’espai de Minkowski (R4, η)per un espai-temps (V, g). Una v. de Lorentz (V, g)és com una v. de Riemann de dimensió 4 en la qual en cada espai tangent Tx(V)es pot trobar una base respecte a la qual g=     1 1 1 −1      – p.21 Fonaments de la relativitat general En cada punt x∈Vhi ha el concepte de vect. temporal: v∈Tx(V)és temporal si gx(v,v)<0. Sigui Cxel conjunt de vectors temporals de Tx(V)(té dues comp. connexes). (V, g)es diu orientable respecte al temps si per a cada x∈Ves pot escollir C+ xde manera que es compleixi la següent condició de coherència: Existeix un camp vect. dif. Xtal que Xx∈C+ xper a cada x∈V. Un espai temps és una v. de Lorentz orientada respecte al temps. – p.22 Fonaments de la relativitat general En cada punt x∈Vhi ha el concepte de vect. temporal: v∈Tx(V)és temporal si gx(v,v)<0. Sigui Cxel conjunt de vectors temporals de Tx(V)(té dues comp. connexes). (V, g)es diu orientable respecte al temps si per a cada x∈Ves pot escollir C+ xde manera que es compleixi la següent condició de coherència: Existeix un camp vect. dif. Xtal que Xx∈C+ xper a cada x∈V. Un espai temps és una v. de Lorentz orientada respecte al temps. – p.22 Fonaments de la relativitat general En cada punt x∈Vhi ha el concepte de vect. temporal: v∈Tx(V)és temporal si gx(v,v)<0. Sigui Cxel conjunt de vectors temporals de Tx(V)(té dues comp. connexes). (V, g)es diu orientable respecte al temps si per a cada x∈Ves pot escollir C+ xde manera que es compleixi la següent condició de coherència: Existeix un camp vect. dif. Xtal que Xx∈C+ xper a cada x∈V. Un espai temps és una v. de Lorentz orientada respecte al temps. – p.22 Fonaments de la relativitat general En cada punt x∈Vhi ha el concepte de vect. temporal: v∈Tx(V)és temporal si gx(v,v)<0. Sigui Cxel conjunt de vectors temporals de Tx(V)(té dues comp. connexes). (V, g)es diu orientable respecte al temps si per a cada x∈Ves pot escollir C+ xde manera que es compleixi la següent condició de coherència: Existeix un camp vect. dif. Xtal que Xx∈C+ xper a cada x∈V. Un espai temps és una v. de Lorentz orientada respecte al temps. – p.22 Fonaments de la relativitat general Principi fonamental: Substituir l’espai de Minkowski (R4, η)per un espai-temps (V, g). •Però, i les forces gravitatòries? •Per quina mètrica gs’ha de substituir η? – p.23 Fonaments de la relativitat general En Física clàssica les acceleracions d’un camp gravitarori que deriva d’un potencial Vvénen donades per −grad V=−(∂V/∂x1, ∂V/∂x2, ∂V/∂x3) i depenen de les primeres derivades de V. Les gij són com la Vclàssica. Però n’hi ha 10:      ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗      – p.26 Fonaments de la relativitat general En Física clàssica les acceleracions d’un camp gravitarori que deriva d’un potencial Vvénen donades per −grad V=−(∂V/∂x1, ∂V/∂x2, ∂V/∂x3) i depenen de les primeres derivades de V. Les gij són com la Vclàssica. Però n’hi ha 10:      ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗      – p.26 Fonaments de la relativitat general En Física clàssica les acceleracions d’un camp gravitarori que deriva d’un potencial Vvénen donades per −grad V=−(∂V/∂x1, ∂V/∂x2, ∂V/∂x3) i depenen de les primeres derivades de V. Les gij són com la Vclàssica. Però n’hi ha 10:      ∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗∗ ∗ ∗ ∗      – p.26 Fonaments de la relativitat general Segona pregunta: com es determina g? En Física clàssica, equació de Poisson: ∆V= 4πKρ ∆ = 3 X i=1 ∂2 ∂x2 i Però en relativitat hi ha 10 gij ! Equació tensorial G(g) = χT G(g)iTtensors simètrics d’ordre 2, Tdescriu la matèria i G(g)depèn de gi de les seves derivades fins a l’ordre 2. – p.27 Fonaments de la relativitat general Segona pregunta: com es determina g? En Física clàssica, equació de Poisson: ∆V= 4πKρ ∆ = 3 X i=1 ∂2 ∂x2 i Però en relativitat hi ha 10 gij ! Equació tensorial G(g) = χT G(g)iTtensors simètrics d’ordre 2, Tdescriu la matèria i G(g)depèn de gi de les seves derivades fins a l’ordre 2. – p.27 Fonaments de la relativitat general Segona pregunta: com es determina g? En Física clàssica, equació de Poisson: ∆V= 4πKρ ∆ = 3 X i=1 ∂2 ∂x2 i Però en relativitat hi ha 10 gij ! Equació tensorial G(g) = χT G(g)iTtensors simètrics d’ordre 2, Tdescriu la matèria i G(g)depèn de gi de les seves derivades fins a l’ordre 2. – p.27 Fonaments de la relativitat general Segona pregunta: com es determina g? En Física clàssica, equació de Poisson: ∆V= 4πKρ ∆ = 3 X i=1 ∂2 ∂x2 i Però en relativitat hi ha 10 gij ! Equació tensorial G(g) = χT G(g)iTtensors simètrics d’ordre 2, Tdescriu la matèria i G(g)depèn de gi de les seves derivades fins a l’ordre 2. – p.27 Fonaments de la relativitat general Per descriure Tes necessita saber bé la mecànica clàssica de fluids. div T= 0 Per tant, div G(g) = 0. Coneixeu algun tensor (de la geometria riemanniana) que depengui de les derivades fins a l’ordre 2 de g, que sigui d’ordre 2, simètric i tingui divergència nul.la? – p.28 Fonaments de la relativitat general Per descriure Tes necessita saber bé la mecànica clàssica de fluids. div T= 0 Per tant, div G(g) = 0. Coneixeu algun tensor (de la geometria riemanniana) que depengui de les derivades fins a l’ordre 2 de g, que sigui d’ordre 2, simètric i tingui divergència nul.la? – p.28 Fonaments de la relativitat general El tensor de curvatura: (X, Y, Z)→R(X, Y )Z=∇X∇YZ− ∇Y∇X− ∇[X,Y ]Z depèn de les derivades fins a l’ordre 2 de g. R(∂ ∂xi,∂ ∂xj)∂ ∂xk=Rr kij ∂ ∂xr Rr ijk =∂Γr ki ∂xj−∂Γr ji ∂xk+ (Γs kiΓr js −Γs jiΓr ks) – p.29 Fonaments de la relativitat general Poincaré va demostrar que els únics tensors que complien totes les condicions volgudes eren de la forma Ric−1 2Rg + Λg amb Λconstant. Equació d’Einstein: G(g) = Ric(g)−1 2R(g)g=χT amb χ= 8Kπ/c2. – p.31 Fonaments de la relativitat general Per als fluids perfectes T=1 c2³ρ+p c2´u∗⊗u∗+p c2g amb u∗la 1-forma associada (a través de g) a un camp vect. temporal (de velocitats). – p.32 Relació entre l’equació d’Einstein i l’equació d’ona Material previ: Una altra expressió de l’eq. d’Einstein L’equació d’Einstein diu Ric(g)−1 2R(g)g=χT Es pot escriure d’aquesta altra manera: Ric(g) = χ(T−1 2(trgT)g) – p.33 Relació entre l’equació d’Einstein i l’equació d’ona Material previ: Una altra expressió de l’eq. d’Einstein L’equació d’Einstein diu Ric(g)−1 2R(g)g=χT Es pot escriure d’aquesta altra manera: Ric(g) = χ(T−1 2(trgT)g) – p.33 Relació entre l’equació d’Einstein i l’equació d’ona Material previ: Una altra expressió de l’eq. d’Einstein L’equació d’Einstein diu Ric(g)−1 2R(g)g=χT Es pot escriure d’aquesta altra manera: Ric(g) = χ(T−1 2(trgT)g) – p.33 Relació entre l’equació d’Einstein i l’equació d’ona Material previ: Una altra expressió de l’eq. d’Einstein Demostració: Multiplico Rij −1 2Rgij =Tij per gij i sumo: R−2R=χtrgT O sigui R=−χtrgT. Substitueixo això a Einstein i surt. – p.34 Relació entre l’equació d’Einstein i l’equació d’ona Material previ: Com canvia Ricci sota una pertorbació de g Parteixo d’una mètrica de Lorentz g, i considero les g0=g+hamb hpetit (gfixa i hvariable). Sigui E(h) = Ric(g0)−Ric(g). Sigui L(h)la part lineal en hde E(h). Tindrem Ric(g0)≃Ric(g) + L(h) L(h)ij =1 2(−∇k∇khij+ +∇k∇ihjk +∇k∇jhik − ∇i∇jtrgh) on ∇és la dif. cov. associada a g. – p.35 Relació entre l’equació d’Einstein i l’equació d’ona Material previ: Com canvia Ricci sota una pertorbació de g Parteixo d’una mètrica de Lorentz g, i considero les g0=g+hamb hpetit (gfixa i hvariable). Sigui E(h) = Ric(g0)−Ric(g). Sigui L(h)la part lineal en hde E(h). Tindrem Ric(g0)≃Ric(g) + L(h) L(h)ij =1 2(−∇k∇khij+ +∇k∇ihjk +∇k∇jhik − ∇i∇jtrgh) on ∇és la dif. cov. associada a g. – p.35 Relació entre l’equació d’Einstein i l’equació d’ona Material previ: Com canvia Ricci sota una pertorbació de g Parteixo d’una mètrica de Lorentz g, i considero les g0=g+hamb hpetit (gfixa i hvariable). Sigui E(h) = Ric(g0)−Ric(g). Sigui L(h)la part lineal en hde E(h). Tindrem Ric(g0)≃Ric(g) + L(h) L(h)ij =1 2(−∇k∇khij+ +∇k∇ihjk +∇k∇jhik − ∇i∇jtrgh) on ∇és la dif. cov. associada a g. – p.35 Relació entre l’equació d’Einstein i l’equació d’ona Material previ: Com canvia Ricci sota una pertorbació de g Parteixo d’una mètrica de Lorentz g, i considero les g0=g+hamb hpetit (gfixa i hvariable). Sigui E(h) = Ric(g0)−Ric(g). Sigui L(h)la part lineal en hde E(h). Tindrem Ric(g0)≃Ric(g) + L(h) L(h)ij =1 2(−∇k∇khij+ +∇k∇ihjk +∇k∇jhik − ∇i∇jtrgh) on ∇és la dif. cov. associada a g.– p.35 Relació entre l’equació d’Einstein i l’equació d’ona Amb aquesta expressió tan complicada no vaig enlloc. Per a les hque compleixen la condició suplementària ∇khik =1 2∇itr h(div h=1 2dtr h)queda: −1 2∇k∇khij =χSij – p.38 Relació entre l’equació d’Einstein i l’equació d’ona Amb aquesta expressió tan complicada no vaig enlloc. Per a les hque compleixen la condició suplementària ∇khik =1 2∇itr h(div h=1 2dtr h)queda: −1 2∇k∇khij =χSij – p.38 Relació entre l’equació d’Einstein i l’equació d’ona Sempre puc aconseguir que es compleixi la condició div h=1 2dtr hque m’he tret de la màniga, utilitzant un difeomorfisme adequat. Em queda, doncs, −1 2∇k∇khij =χSij que equival a 1 2¤hij =1 2µ1 c2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2 1 −∂2 ∂x2 2 −∂2 ∂x2 3¶hij =χSij – p.39 Relació entre l’equació d’Einstein i l’equació d’ona Sempre puc aconseguir que es compleixi la condició div h=1 2dtr hque m’he tret de la màniga, utilitzant un difeomorfisme adequat. Em queda, doncs, −1 2∇k∇khij =χSij que equival a 1 2¤hij =1 2µ1 c2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2 1 −∂2 ∂x2 2 −∂2 ∂x2 3¶hij =χSij – p.39