Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes

Treball de Fi de Grau Grau en Enginyeria en Tecnologies Industrials ANÀLISI FREQÜENCIAL EN LA DINÀMICA DE SISTEMES MEMÒRIA Autor/a: Víctor Rakosnik Mas Director/a: Cristina Lampón Diestre Co-director/a: Enric Fossas Colet Convocatòria: Abril 2025 Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Industrial de Barcelona Pàg. 2 Memòria Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 3 Resum L’objectiu d’aquest treball és aconseguir una nova pràctica de laboratori de l’assignatura Dinàmica de Sistemes del grau Enginyeria en Tecnologies Industrial de l’ETSEIB en el domini freqüencial. Aquesta pràctica consisteix a controlar un motor de corrent continu que fa de planta del sistema amb un compensador. Per tant, per assolir aquest objectiu s’han realitzat diferents estudis: modelització de la planta a controlar, definició dels objectius de control del sistema, estudi, disseny i simulació del compensador tant per avanç de fase com per retard de fase, muntatge del circuit, anàlisi experimental del compensador i del sistema compensat. Un cop realitzats tots aquests estudis s’han aconseguit dissenyar els dos tipus de compensadors i s’ha realitzat el muntatge del circuit del compensador per avanç de fase. També s’ha aconseguit la realització d’un nou model de pràctiques on es proposen tot un recull de preguntes i de codis de MATLAB perquè l’estudiant pugui realitzar la pràctica, així com la solució de totes aquestes preguntes i la teoria de l’assignatura que es treballa en cadascuna d’elles. Pàg. 4 Memòria Resumen El objetivo de este trabajo es conseguir una nueva práctica de laboratorio de la asignatura Dinámica de Sistemas del grado Ingeniería en Tecnologías Industrial de la ETSEIB en el dominio de la frecuencia. Esta práctica consiste en controlar un motor de corriente continuo que hace de planta del sistema con un compensador. Por lo tanto, para lograr este objetivo se han realizado diferentes estudios: modelización de la planta a controlar, definición de los objetivos de control del sistema, estudio, diseño y simulación del compensador tanto por avance de fase como por retraso de fase, montaje del circuito, análisis experimental del compensador y del sistema compensado. Una vez realizados todos estos estudios se han conseguido diseñar los dos tipos de compensadores y se ha realizado el montaje del circuito del compensador por avance de fase. También se ha conseguido la realización de un nuevo modelo de prácticas donde se proponen toda una compilación de preguntas y de códigos de MATLAB para que el estudiante pueda realizar la práctica, así como la solución de todas estas preguntas y la teoría de la asignatura que se trabaja en cada una de ellas. Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 5 Abstract The aim of this work is to achieve a new laboratory practice of the Dynamic Systems subject of the degree in Industrial Technology Engineering at the ETSEIB in the frequency domain. This practice consists of controlling a motor that acts as a plant of the system with a compensator. Therefore, to achieve this objective, different studies have been carried out: modeling of the plant to be controlled, definition of the control objectives of the system, study, design and simulation of the compensator both for phase-lead and for phase-lag, assembly of the circuit, experimental analysis of the compensator and the compensated system. Once all these studies have been carried out, the two types of compensators have been designed and the assembly of the compensator circuit by phase-lead. It has also been achieved the realization of a new model of practices where a collection of questions and MATLAB codes are proposed so that the student can carry out the practice, as well as the solution of all these questions and the theory of the subject that is worked on in each of them. Pàg. 6 Memòria Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 7 Contingut Resum .................................................................................................................................. 3 Resumen .............................................................................................................................. 4 Abstract................................................................................................................................. 5 Contingut .............................................................................................................................. 7 Glossari i nomenclatura ........................................................................................................ 9 Llistat de figures .................................................................................................................. 10 Llistat de taules ................................................................................................................... 12 1-Prefaci ............................................................................................................................. 13 2-Introducció ....................................................................................................................... 14 2.1-Motivació ................................................................................................................... 14 2.2-Abast del treball ......................................................................................................... 14 2.3-Requeriments previs ................................................................................................. 14 2.4-Objectius del treball ................................................................................................... 14 3-Marc teòric ....................................................................................................................... 16 3.1-Dinàmica de sistemes ............................................................................................... 16 3.1.1-Sistema ............................................................................................................... 16 3.1.2-Model matemàtic ................................................................................................. 16 3.1.3-Sistema genèric .................................................................................................. 16 3.2Resposta temporal ................................................................................................... 17 3.2.1-Entrades típiques ................................................................................................ 18 3.2.2-Sistemes de primer ordre .................................................................................... 18 3.2.3-Sistemes de segon ordre .................................................................................... 20 3.2.4-Estabilitat ............................................................................................................ 22 3.2.5-Internament estable ............................................................................................ 23 3.2.6-Error en estat estacionari .................................................................................... 23 3.2.7-Controladors PID ................................................................................................ 24 3.3-Resposta freqüencial ................................................................................................. 25 3.4-Diagrama de Bode .................................................................................................... 27 3.4.1-Ressonància ....................................................................................................... 28 3.5-Diagrama de Nyquist ................................................................................................. 29 3.6-Criteri de Nyquist ....................................................................................................... 29 3.7-Criteri simplificat de Bode .......................................................................................... 29 3.7.1-Marge de guany .................................................................................................. 29 3.7.2-Marge de fase ..................................................................................................... 30 3.8-Compensadors .......................................................................................................... 31 Pàg. 8 Memòria 3.8.1-Avanç de fase ..................................................................................................... 32 3.8.1.1-Mètode exacte .............................................................................................. 32 3.8.1.2-Mètode iteratiu .............................................................................................. 32 3.8.2-Retard de fase .................................................................................................... 33 3.8.2.1-Mètode exacte .............................................................................................. 33 3.8.2.2-Mètode iteratiu .............................................................................................. 33 3.9-Amplificadors operacionals ........................................................................................ 34 4-Marc Pràctic ..................................................................................................................... 36 4.1-Introducció ................................................................................................................. 36 4.2-Material del laboratori ................................................................................................ 36 4.3-Estudi de la planta ..................................................................................................... 37 4.3.1-Modelitzar sistema .............................................................................................. 38 4.3.2-Estudi freqüencial del sistema en velocitat .......................................................... 40 4.3.3-Estudi freqüencial del sistema en posició ............................................................ 44 4.3.4-Conclusió de l’estudi ........................................................................................... 46 4.4-Disseny del compensador ......................................................................................... 47 4.4.1-Model desitjat ...................................................................................................... 47 4.4.2-Disseny del circuit ............................................................................................... 48 4.4.2.1-AO Guany .................................................................................................... 48 4.4.2.2-AO zero i pol................................................................................................. 49 4.4.2.3-AO Compensador ......................................................................................... 49 4.4.3-Comparació model amb circuit ............................................................................ 50 4.5-Muntatge del compensador ....................................................................................... 52 4.6-Prova del compensador ............................................................................................. 54 4.6.1-Compensador ..................................................................................................... 54 4.6.2-Sistema compensat ............................................................................................ 55 4.6.2.1-Sistema compensat en velocitat ................................................................... 55 4.6.2.1-Sistema compensat en posició ..................................................................... 60 4.7-Plantejar nova pràctica .............................................................................................. 62 5-Resultats i discussió ........................................................................................................ 65 6-Planificació ...................................................................................................................... 66 7-Estudi econòmic .............................................................................................................. 67 8-Estudi ambiental .............................................................................................................. 68 9-Estudi social i d’igualtat de gènere ................................................................................... 69 10-Conclusió ....................................................................................................................... 70 11-Agraïments .................................................................................................................... 71 12-Bibliografia ..................................................................................................................... 72 Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 9 Glossari i nomenclatura PID: Controladors Proporcionals Integrals Derivatius AF: Avanç de Fase RF: Retard de Fase EDO: Equació Diferencial Ordinària 𝐾𝑒 : Amplitud de l’entrada impuls i graó K: Guany canònic 𝜏 : constant de temps VF: Valor Final 𝜔𝑛: Freqüència natural ξ: Coeficient d’esmorteïment TVF: Teorema de Valor Final GLA(s): Funció de transferència en llaç obert dB: Decibels 𝜔𝑅: Freqüència de ressonància 𝑀𝑅: Mòdul de ressonància 𝑧: Freqüència del zero del compensador 𝑝: Freqüència del pol del compensador 𝛾𝑑: Marge de fase desitjat ∆𝑃: Marge de seguretat 𝛾𝑠𝑐: Marge de fase del sistema sense compensador 𝛾𝐴𝑐: Marge de fase del sistema amb compensador AO: Amplificador Operacional Pàg. 16 Memòria 3-Marc teòric 3.1-Dinàmica de sistemes 3.1.1-Sistema En la Dinàmica de Sistemes s’estudien sistemes lineals, és a dir que la relació entre l’entrada i la sortida esta definida per una equació diferencial lineal o, el que és equivalent, per relacions entre transformades de Laplace. 3.1.2-Model matemàtic El model matemàtic general que permet definir sistemes lineals i invariants amb el temps i que relaciona l’entrada 𝑥(𝑡) i la sortida 𝑦(𝑡) és una equació diferencial d’ordre 𝑛 que presenta la següent forma: 𝑎𝑛⋅𝑑 𝑛 𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 𝑛 + ··· + 𝑎1⋅𝑑 𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 +𝑎0⋅𝑦(𝑡) = 𝑏𝑚⋅𝑑 𝑚 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 𝑚 + ··· + 𝑏1⋅𝑑 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 +𝑏0⋅𝑥(𝑡) (Eq. 1.1) Aplicant transformada de Laplace a banda i banda de la igualtat i suposant condicions inicials nul·les, s’obté: 𝑎𝑛⋅𝑠𝑛⋅𝑌(𝑠) + ··· + 𝑎1⋅𝑠⋅𝑌(𝑠) + 𝑎0⋅𝑌(𝑠)= 𝑏𝑚⋅𝑠𝑚⋅𝑋(𝑠) + ··· + 𝑏1⋅𝑠⋅𝑋(𝑠) + 𝑏0⋅𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠) ⋅ ( 𝑎𝑛⋅𝑠𝑛 + ··· + 𝑎1⋅𝑠 + 𝑎0 ) = 𝑋(𝑠) ⋅ ( 𝑏𝑚⋅𝑠𝑚 + ··· + 𝑏1⋅𝑠 + 𝑏0 ) 𝑊(𝑠) = 𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠)= 𝑏𝑚⋅𝑠 𝑚 + ··· + 𝑏1⋅𝑠 + 𝑏0 𝑎𝑛⋅𝑠 𝑛 + ··· + 𝑎1⋅𝑠 + 𝑎0 (Eq. 1.2) Així en lloc de treballar amb una equació diferencial ordinària (EDO) es passa a treballar amb una divisió de polinomis en l’espai de Laplace que s’anomena funció de transferència o transmitància. Relaciona l’entrada amb la sortida i normalment, es representa com a 𝑊(𝑠). Figura 1: Sistema 𝑋(𝑠) ⋅ 𝑊(𝑠) = 𝑌(𝑠) → 𝑊(𝑠) = 𝑌(𝑠) 𝑋(𝑠) (Eq. 1.3) 3.1.3-Sistema genèric Figura 2: Sistema genèric Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 17 En un sistema principalment es diferencien tres components que estan definits per blocs: el controlador 𝐺𝐶(𝑠), la planta 𝐺𝑃(𝑠) i el sensor 𝐻(𝑠). El controlador és l’element del sistema que permet fer el control del sistema. La planta és l’element del sistema que genera la variable de sortida i sol ser la part del sistema que s’intenta controlar. El sensor que és la part del sistema que permet recollir la variable de sortida per a poder-la comparar amb l’entrada. També es diferencien cinc variables importants: l’entrada consigna del sistema, 𝑋(𝑠), l’entrada pertorbació, 𝑃(𝑠), el soroll, 𝑁(𝑠), la variable de sortida, 𝑌(𝑠), i la variable error, 𝐸(𝑠). La consigna és la variable d’entrada que es pot sintonitzar per aconseguir el valor esperat en la sortida i la pertorbació és una entrada del sistema desconeguda que en el millors dels casos se’n coneixen els límits i la forma. La sortida és la variable que es desitja controlar i l’error és una variable interna. Finalment, pot ser que aparegui una altra pertorbació deguda al soroll de la mesura, normalment situada a la realimentació. En la dinàmica de sistemes s’estudien els sistemes en dos dominis: el règim temporal i el règim freqüencial. La diferència principal està a veure com es comporta el sistema en funció de les diferents entrades que s’introdueixen. En aquest treball ens centrarem en el règim freqüencial encara així s’ha de fer una breu pinzellada del règim temporal per a poder entendre com modelitzem la planta i com és el sistema que intentarem controlar a la part pràctica. 3.2Resposta temporal La resposta temporal, com bé indica el seu nom, consisteix a estudiar la sortida del sistema excitant-lo amb una entrada que depèn del temps. La sortida es pot calcular fent la transformada inversa de Laplace de 𝑌(𝑠) de la següent manera. 𝑦(𝑡)=ℒ−1[𝑌(𝑠)] (Eq. 2.1) En el cas del diagrama de la Figura 2 es pot aplicar el principi de superposició, ja que el sistema és lineal i calcular per una part la sortida deguda únicament a la consigna i per l’altra part la sortida deguda únicament a la pertorbació. En ambdós casos la sortida es pot calcular com el producte de la transmitància per l’entrada corresponent. 𝑌(𝑠)=𝑌𝑥(𝑠)+𝑌𝑝(𝑠)= 𝑊𝑥(𝑠)·𝑋(𝑠)+𝑊𝑝(𝑠)·𝑃(𝑠) (Eq. 2.2) Les transmitàncies WX(s) i WP(s) es poden calcular de la següent manera: 𝑊𝑥(𝑠)=𝑌𝑥(𝑠) 𝑋(𝑠) =𝐺𝐶(𝑠)·𝐺𝑃(𝑠) 1+𝐺𝐶(𝑠)·𝐺𝑃(𝑠)·𝐻(𝑠) (Eq. 2.3) 𝑊𝑝(𝑠)=𝑌𝑝(𝑠) 𝑃(𝑠) =𝐺𝑃(𝑠) 1+𝐺𝐶(𝑠)·𝐺𝑃(𝑠)·𝐻(𝑠) (Eq. 2.4) S’observa que en les dues funcions de transferència, un cop estiguin simplificades, el denominador anomenat polinomi característic serà el mateix. La raó és que el denominador no depèn ni de l’entrada ni de la sortida, depèn únicament del sistema. Finalment, s’identifiquen quines són les entrades amb les quals es pot excitar el sistema. Pàg. 18 Memòria 3.2.1-Entrades típiques En el règim temporal es tenen diferents tipus d’entrades, les més importants són l’entrada impuls i l’entrada graó que es mostren a continuació. Es considera que l’amplitud de l’entrada és 𝐾𝑒. -Entrada impuls: 𝑥(𝑡)= 𝐾𝑒·𝛿(𝑡) →𝑋(𝑠)=𝐾𝑒 (Eq. 3.1) Figura 3: Entrada impuls -Entrada graó: 𝑥(𝑡)= 𝐾𝑒·𝑢(𝑡) →𝑋(𝑠)=𝐾𝑒 𝑠 (Eq. 3.2) Figura 4: Entrada graó 3.2.2-Sistemes de primer ordre La resposta dels diferents sistemes es caracteritza principalment per com és el polinomi característic. És important conèixer el concepte d’ordre del sistema que és precisament el grau del polinomi i també ho és el pol o pols del sistema, que són les arrels del denominador. Els sistemes de primer ordre presenten aquesta transmitància genèrica, on s’observen els diferents paràmetres que la defineixen; el guany canònic (𝐾) i la constant de temps (𝜏), positiva i expressada en segons. Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 19 𝑊(𝑠)= 𝐾 𝜏·𝑠+1 (Eq. 4.1) A continuació es mostren les respostes d’aquest sistema davant d’entrada impuls i graó. Aquestes respostes s’obtenen de fer la transformada inversa de Laplace de la transmitància multiplicada per l’entrada. -Resposta impulsional: 𝑦(𝑡)=𝐾·𝐾𝑒 𝜏·𝑒−𝑡 𝜏· 𝑢(𝑡) (Eq. 4.2) Figura 5: Resposta impulsional -Resposta indicial: 𝑦(𝑡)=𝐾·𝐾𝑒·(1−𝑒−𝑡 𝜏)·𝑢(𝑡) (Eq. 4.3) Figura 6: Resposta indicial Aquesta resposta presenta dos valors força importants: el primer és el valor final que assoleix la sortida que es pot calcular com el producte de l’amplitud de l’entrada per el guany canònic del sistema. També és rellevant el temps que tarda la resposta a assolir certs percentatges del valor final (VF), aquesta informació queda recollida en la taula següent. Percentatge VF 63% 86% 95% 98% Temps (s) 𝜏 2𝜏 3𝜏 4𝜏 Taula 1: Temps de la resposta indicial en sistemes de primer ordre Pàg. 20 Memòria 3.2.3-Sistemes de segon ordre Els sistemes de segon ordre presenten dues transmitàncies genèriques equivalents, on es poden observar els diferents paràmetres que les defineixen; el guany canònic (𝐾), la constant de temps (𝜏), la freqüència natural (𝜔𝑛), expressada en rad/s i el coeficient d’esmorteïment (ξ). 𝑊(𝑠)=𝐾 𝜏2·𝑠2+2·𝜏·ξ+1 =𝐾·𝜔𝑛2 𝑠2+2·𝜔𝑛·ξ+𝜔𝑛2 (Eq. 5.1) La primera forma canònica i la segona forma canònica són equivalents, ja que la freqüència natural i la constant de temps són l’invers l'una de l’altra. 𝜔𝑛=1 𝜏 (Eq. 5.2) Els sistemes de segon ordre tenen dos pols i en funció de com siguin es poden classificar en diferents tipus de sistemes. En la taula següent es mostra la classificació. Classificació Pols Estabilitat Sobresmorteït Reals, amb part real negativa i diferents. Estable Esmorteïment crític Reals, amb part real negativa i iguals. Estable Subesmorteït Complexos amb part real i imaginària. Estable Oscil·lant Complexos solament amb part imaginària. Marginalment estable Marginalment estable Reals, un amb part real nul·la i l’altre negativa. Marginalment estable Inestable Part real positiva o pol repetit amb part real nul·la. Inestable Taula 2: Sistemes de segon ordre Ens interessa conèixer la resposta temporal d’aquests diferents sistemes de segon ordre davant d’entrada graó, és a dir la resposta indicial. Val la pena destacar que la resposta del sistema va directament relacionada amb la posició dels pols en el pla complex, la part real s’encarrega del esmorteïment i la part imaginària de la freqüència oscil·lació. En els gràfics que es mostren a continuació estan representats diferents sistemes de segon ordre amb guany canònic unitari. -Sistema sobresmorteït: 𝑦(𝑡)=𝐾·𝐾𝑒·(1+ 𝜔𝑛 2√ξ2−1·(−𝑒𝑠1·𝑡 𝑠1+𝑒𝑠2·𝑡 𝑠2))·𝑢(𝑡) (Eq. 5.3) Figura 7: Sistema sobresmorteït Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 21 -Sistema esmorteïment crític: 𝑦(𝑡)=𝐾·𝐾𝑒·(1−𝑒−𝜔𝑛·𝑡 ·(1+𝜔𝑛·𝑡))·𝑢(𝑡) (Eq. 5.4) Figura 8: Sistema esmorteïment crític -Sistema subesmorteït: 𝑦(𝑡)=𝐾·𝐾𝑒·(1−𝑒−ξ 𝜔𝑛𝑡 √1−ξ2·sin(𝜔𝑛√1−ξ2+tan−1√1−ξ2 ξ))·𝑢(𝑡) (Eq. 5.5) Figura 9: Sistema subesmorteït -Sistema oscil·lant: 𝑦(𝑡)=𝐾·𝐾𝑒·(1−cos(𝜔𝑛𝑡))·𝑢(𝑡) (Eq. 5.6) Figura 10: Sistema oscil·lant Pàg. 22 Memòria 3.2.4-Estabilitat Les solucions d’una EDO venen definides per unes condicions de contorn o condicions inicials. En sistemes no lineals aquestes solucions poden ser tant estables com inestables és per això que no es parla de l’estabilitat del sistema sinó de l’estabilitat de la solució. En EDO lineals a coeficients constants es pot demostrar que si una solució és estable totes ho seran, per aquest motiu, es pot parlar de l’estabilitat del sistema. Un sistema lineal a coeficients constants és estable si, i només si, la resposta impulsional convergeix a zero quan el temps tendeix a infinit. A efectes pràctics per saber l’estabilitat d’un sistema ens fixem en el polinomi característic, depenent de com siguin les arrels d’aquest polinomi podrem saber si el sistema és estable, marginalment estable o inestable. -Sistema estable: Aquell sistema que davant d’una entrada impuls s’obté una resposta que convergeix a zero. Un sistema estable té tots els pols amb part real negativa. Figura 11: Exemple sistema estable -Sistema marginalment estable: Es parla d’estabilitat marginal quan la resposta impulsional no tendeix a zero ni a infinit, és a dir, es manté fitada. Un sistema marginalment estable té algun pol sense part real i multiplicitat u, si té més pols, aquests han de ser estables. Cal remarcar que un integrador pur és un sistema marginalment estable. Figura 12: Exemple sistema marginalment estable Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 23 -Sistema inestable: Aquell sistema que davant d’una entrada acotada la seva resposta s’escapa a l'infinit. Un sistema inestable, o bé pot presentar un pol amb part real positiva, o bé algun pol sense part real i multiplicitat superior a u. Figura 13: Exemple sistema inestable 3.2.5-Internament estable Un sistema de llaç tancat és internament estable quan es garanteix que el sistema és estable indiferentment de quina variable s’utilitzi com entrada i de quina variable com a sortida. A la pràctica perquè es pugui assegurar que un sistema és internament estable, una de les funcions que relacioni una entrada qualsevol amb una sortida qualsevol ha de ser estable i no es poden cancel·lar pols marginalment estables o inestables amb els zeros corresponents dels diferents components que formen el sistema. 3.2.6-Error en estat estacionari Per a calcular errors en estat estacionari s’utilitza el teorema de valor final (TVF), que permet transformar un límit temporal a Laplace. Perquè es pugui fer servir, el producte 𝑠·𝐸(𝑠) ha de tenir tots els pols de part real negativa, altrament no assolirà el règim permanent. 𝑒𝑠𝑠 = lim 𝑡→∞𝑒(𝑡)=𝑇𝑉𝐹= lim 𝑠 →0 𝑠·𝐸(𝑠)=lim 𝑠 →0 𝑠·𝑊𝐸(𝑠)·𝑋(𝑠) (Eq. 6.1) D’aquest límit es pot deduir la taula d’errors on es recull el càlcul de l’error en funció de l’entrada i del tipus del sistema, que és el nombre d’integradors purs en la funció de transferència de llaç obert. Tipus 0 Tipus 1 Tipus 2 Graó 𝐾𝑒 1 + 𝐾𝑃 0 0 Rampa ∞ 𝐾𝑒 𝐾𝑣 0 Paràbola ∞ ∞ 𝐾𝑒 𝐾𝑎 Taula 3: Error en estat estacionari Els càlculs de 𝐾𝑝, 𝐾𝑣 i 𝐾𝑎 es poden realitzar a partir de la funció de transferència de llaç obert (𝐺𝐿𝐴(𝑠)) amb les següents fórmules: Pàg. 24 Memòria 𝐾𝑝= lim 𝑠 →0 𝐺𝐿𝐴(𝑠) (Eq. 6.2) 𝐾𝑣= lim 𝑠 →0 𝑠·𝐺𝐿𝐴(𝑠) (Eq. 6.3) 𝐾𝑎= lim 𝑠 →0 𝑠2·𝐺𝐿𝐴(𝑠) (Eq. 6.4) 3.2.7-Controladors PID Els controladors tenen la funció principal de minimitzar o anul·lar l’error que genera el sistema si no tinguéssim aquest controlador. També d’estabilitzar sistemes si es dona el cas. En general, tenen la funció d’assegurar que el comportament del sistema en llaç tancat és el desitjat. Per aconseguir-ho hi ha diferents tipus de controladors. -Controlador proporcional (P): 𝐺𝐶(𝑠)=𝐾𝑃 (Eq. 7.1) Un controlador proporcional principalment permet fer variar el guany canònic del sistema i en conseqüència poder assolir el valor final desitjat. -Controlador integral (I): 𝐺𝐶(𝑠)=𝐾𝐼 𝑠 (Eq. 7.2) El controlador integral permet augmentar el tipus del sistema i en conseqüència permet reduir l’error a zero. En contra, pot fer augmentar l’ordre del sistema, per tant, que aparegui un nou pol i aquest fer variar la resposta del sistema de forma indesitjada. -Controlador derivatiu (D): 𝐺𝐶(𝑠)=𝐾𝐷·𝑠 (Eq. 7.3) Un controlador derivatiu permet regular la velocitat del sistema, és a dir el temps que tarda el sistema a arribar al valor final desitjat. En contra, aquest tipus de controlador poden amplificar el soroll del sistema. -Controlador Proporcional Integral (PI): 𝐺𝐶(𝑠)=𝐾𝑃·𝑠+ 𝐾𝐼 𝑠 (Eq. 7.4) -Controlador Proporcional Derivatiu (PD): 𝐺𝐶(𝑠)=𝐾𝐷· 𝑠+ 𝐾𝑃 (Eq. 7.5) -Controlador Proporcional Integral Derivatiu (PID): 𝐺𝐶(𝑠)=𝐾𝐷·𝑠2+ 𝐾𝑃·𝑠+ 𝐾𝐼 𝑠 (Eq. 7.6) Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 25 3.3-Resposta freqüencial La resposta freqüencial d'un sistema consisteix en l'anàlisi de les respostes del sistema davant de funcions sinusoidals. Atès que es treballa amb sistemes lineals, la resposta en règim permanent (suposant que el sistema sigui estable) és una combinació lineal de sinus i cosinus de la mateixa freqüència i, tal com es veu a continuació, es pot calcular fàcilment a partir de la funció de transferència. L’entrada amb la qual s’excita el sistema presenta la següent forma: 𝑥(𝑡) = 𝐴sin(𝜔 𝑡) → 𝑋(𝑠) = 𝐴 𝜔 𝑠2 + 𝜔2 = 𝐴 𝜔 (𝑠 + 𝑗𝜔)(𝑠 − 𝑗𝜔) (Eq. 8.1) A partir d’aquesta entrada, suposant que el sistema presenta la següent estructura, que és un sistema estable i presenta pols reals, obtenim la següent resposta en règim permanent. Figura 14: Sistema 𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠) ⋅ 𝑊(𝑠) = 𝐴 𝜔 (𝑠+𝑗𝜔)(𝑠−𝑗𝜔)⋅𝑊(𝑠)= = 𝐴 𝜔 (𝑠+𝑗𝜔)(𝑠−𝑗𝜔)⋅(𝑠−𝑧1)(𝑠−𝑧2) ··· (𝑠−𝑧𝑚) (𝑠−𝑠1) (𝑠−𝑠2) ··· (𝑠−𝑠𝑛) = = 𝐴1 𝑠+𝑗𝜔 + 𝐴2 𝑠−𝑗𝜔 + 𝐵1 𝑠−𝑠1 + 𝐵2 𝑠−𝑠2 + ··· + 𝐵𝑛 𝑠−𝑠𝑛 (Eq. 8.2) Aplicant la transformada de Laplace i tenint en compte que el sistema és estable, les exponencials degudes als pols del sistema tendeixen a zero en règim permanent i així s’obté la següent expressió: 𝑦(𝑡) = 𝐴1⋅𝑒 −𝑗𝜔𝑡 + 𝐴2⋅𝑒 𝑗𝜔𝑡 + 𝐵1⋅𝑒 𝑠1𝑡 + 𝐵2⋅𝑒 𝑠2𝑡+ ··· + 𝐵𝑛⋅𝑒 𝑠𝑛𝑡= = 𝐴1⋅𝑒 −𝑗𝜔𝑡 + 𝐴2⋅𝑒 𝑗𝜔𝑡 (Eq. 8.3) A continuació es troben els paràmetres 𝐴1 i 𝐴2. 𝑌(𝑠) = 𝑋(𝑠) ⋅ 𝑊(𝑠) → 𝐴1 𝑠+𝑗𝜔+𝐴2 𝑠−𝑗𝜔 = 𝐴 𝜔 (𝑠+𝑗𝜔)(𝑠−𝑗𝜔)⋅𝑊(𝑠) → 𝐴1 ⋅ (𝑠−𝑗𝜔) + 𝐴2 ⋅ (𝑠+𝑗𝜔) (𝑠+𝑗𝜔)(𝑠−𝑗𝜔) = 𝐴 𝜔 (𝑠+𝑗𝜔)(𝑠−𝑗𝜔)⋅𝑊(𝑠) 𝐴1 ⋅ (𝑠−𝑗𝜔) + 𝐴2 ⋅ (𝑠+𝑗𝜔) = 𝐴 𝜔⋅𝑊(𝑠) (Eq. 8.4) Avaluant a 𝑠=𝑗·𝜔 i 𝑠=−𝑗·𝜔, s’obté: 𝐴1 ⋅ (𝑗𝜔−𝑗𝜔) + 𝐴2 ⋅ (𝑗𝜔+𝑗𝜔) = 𝐴 𝜔⋅𝑊(𝑗𝜔) → 𝐴2= 𝐴 2𝑗⋅𝑊(𝑗𝜔) (Eq. 8.5) 𝐴1 ⋅ (−𝑗𝜔−𝑗𝜔) + 𝐴2 ⋅ (−𝑗𝜔+𝑗𝜔) = 𝐴 𝜔⋅𝑊(−𝑗𝜔) → 𝐴1= −𝐴 2𝑗⋅𝑊(−𝑗𝜔) (Eq. 8.6) Substituint a l’equació un cop transformada obtenim. 𝑦(𝑡) =−𝐴 2𝑗⋅𝑊(−𝑗𝜔) ⋅ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡 + 𝐴 2𝑗⋅𝑊(𝑗𝜔) ⋅ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = = 𝐴 2𝑗⋅(𝑊(𝑗𝜔) ⋅ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 −𝑊(−𝑗𝜔) ⋅ 𝑒 −𝑗𝜔𝑡) (Eq. 8.7) Pàg. 32 Memòria 𝐺𝑐𝑜𝑚(𝑠)= 𝐾·𝑠 𝑧+1 𝑠 𝑝+1 (Eq. 14) Per a dissenyar un compensador es disposa d’almenys dues especificacions: un marge de fase desitjat (𝛾𝑑) i en el cas d’utilitzar els mètodes iteratius, d’un marge de seguretat (∆𝑃). El valor de 𝐾 s’utilitza per satisfer alguna especificació relativa a l’estat estacionari com podria ser el valor d’un error. Si es dona el cas, no es pèrdua de generalitat incorporar-la a la planta i a efectes de disseny considera que val un. 3.8.1-Avanç de fase Un compensador per avanç de fase actua al voltant de la freqüència on el sistema sense el compensador presenta un mòdul d’un, el que pretén és augmentar la fase en aquest rang i així aconseguir un marge de fase més gran, en conseqüència augmentant l’estabilitat del sistema. Un compensador per avanç de fase té 𝑧<𝑝, d’aquesta manera primer augmentar la fase i després la recupera. En l’annex 1 es troben diferents exemples de sistemes abans i desprès de calcular compensadors per avanç de fase. 3.8.1.1-Mètode exacte En un compensador per avanç de fase es pretén que la freqüència on el sistema compensat tingui un mòdul unitari sigui la freqüència central (𝜔𝐶) del compensador. El possible guany del compensador s’ha de calcular prèviament al càlcul de 𝑧 i 𝑝 i incloure’l en el llaç obert. El sistema es regeix per les següents equacions. 𝑀(𝐺𝑐𝑜𝑚(𝜔𝐶·𝑗))·𝑀(𝐺𝐿𝐴(𝜔𝐶·𝑗))=1 (Eq. 15.1) 𝑎𝑟𝑔(𝐺𝑐𝑜𝑚(𝜔𝐶·𝑗))+𝑎𝑟𝑔(𝐺𝐿𝐴(𝜔𝐶·𝑗))+180=𝛾𝑑 (Eq. 15.2) 𝜔𝐶= √𝑧·𝑝 (Eq. 15.3) 3.8.1.2-Mètode iteratiu Per a facilitar el càlcul s’utilitza el mètode iteratiu, que consta dels següents passos. El possible guany del compensador s’ha de calcular prèviament al càlcul de 𝑧 i 𝑝 i incloure’l en el llaç obert. 1Calcular el marge de fase del sistema sense el compensador (𝛾𝑠𝑐). 𝛾𝑠𝑐 =180+ ∅ (𝜔 𝑡𝑞 𝑀(𝜔)=1) (Eq. 16.1) 2Si el marge de fase del sistema sense el compensador és inferior al marge desitjat, cal dissenyar el compensador, altrament, ja es compleixen les especificacions necessàries. Calcular l’aportació del compensador (∅𝐶𝑀). ∅𝐶𝑀 = 𝛾𝑑−𝛾𝑠𝑐 +∆𝑃 (Eq. 16.2) Cal assegurar-se que ∅𝐶𝑀 <60, altrament, s’haurà de dividir per nombres naturals fins que sigui menor. El natural pel qual s’ha dividit, serà el nombre de compensadors (𝑛) que haurem de col·locar per a complir l’especificació. 3Calcular la zona d’actuació del compensador (𝛼). 𝛼=1+sin∅𝐶𝑀 1−sin∅𝐶𝑀 (Eq. 16.3) Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 33 4Calcular la freqüència mitja del compensador (𝜔𝑚). 𝑀(𝜔𝑚)=(√1 𝛼)𝑛 (Eq. 16.4) 5Calcular la freqüència del zero (z) i del pol (p). 𝑧= 𝜔𝑚 √𝛼 (Eq. 16.5) 𝑝= 𝜔𝑚·√𝛼 (Eq. 16.6) 6Calcular el marge amb el compensador dissenyat (𝛾𝐴𝑐) i comprovar que sigui superior al desitjat, si és així, ja es té el compensador dissenyat, altrament, repetir el procés augmentant el marge de seguretat. 3.8.2-Retard de fase Un compensador per retard de fase el que pretén és que el mòdul disminueixi molt més ràpid, per tant, que la freqüència on el mòdul és un sigui menor que en el cas sense compensador i la fase encara sigui superior a menys 180. Un compensador per retard de fase te 𝑧 > 𝑝, d’aquesta manera primer retarda la fase i després la recupera. En l’annex 1 es troben diferents exemples de sistemes abans i desprès de calcular compensadors per retard de fase. 3.8.2.1-Mètode exacte En un compensador per retard de fase es pretén que la freqüència on el sistema compensat té un mòdul unitari es trobi a una dècada superior de la del zero del compensador. El possible guany del compensador s’ha de calcular prèviament al càlcul de 𝑧 i 𝑝 i incloure’l en el llaç obert. El sistema es regeix per les següents equacions. 𝑀(𝐺𝑐𝑜𝑚(𝜔𝐶·𝑗))·𝑀(𝐺𝐿𝐴(𝜔𝐶·𝑗))=1 (Eq. 17.1) 𝑎𝑟𝑔(𝐺𝑐𝑜𝑚(𝜔𝐶·𝑗))+𝑎𝑟𝑔(𝐺𝐿𝐴(𝜔𝐶·𝑗))+180=𝛾𝑑 (Eq. 17.2) 𝜔𝐶= 10·𝑧 (Eq. 17.3) 3.8.2.2-Mètode iteratiu Per a facilitar el càlcul s’utilitza el mètode iteratiu, que consta dels següents passos. El possible guany del compensador s’ha de calcular prèviament al càlcul de 𝑧 i 𝑝 i incloure’l en el llaç obert. 1Calcular el marge de fase del sistema sense el compensador. 𝛾𝑠𝑐 =180+ ∅ (𝜔 𝑡𝑞 𝑀(𝜔)=1) (Eq. 18.1) 2Si el marge de fase del sistema sense el compensador és inferior al marge desitjat, cal dissenyar el compensador, altrament, ja es compleixen les especificacions necessàries. Calcular 𝜔𝐶. ∅ (𝜔𝐶)= −180+𝛾𝑑+∆𝑃 (Eq. 18.2) Cal destacar que depenen de com sigui el sistema pot ser que aquesta freqüència no existeixi i, per tant, que no es pugui dissenyar un compensador per retard de fase. De fet, si el sistema sense el compensador no té el marge desitjat en la seva corba de fase, no es podrà dissenyar. Pàg. 34 Memòria 3Calcular la zona d’actuació del compensador (𝛼). 𝛼=𝑀(𝜔𝐶) (Eq. 18.3) 4Calcular la freqüència del zero (𝑧) i del pol (𝑝). 𝑧= 𝜔𝐶 10 (Eq. 18.4) 𝑝= 𝑧 𝛼 (Eq. 18.5) 5Calcular el marge amb el compensador dissenyat (𝛾𝐴𝑐) i comprovar que sigui superior al desitjat, si és així, ja es té el compensador dissenyat, altrament, repetir el procés augmentant el marge de seguretat. 3.9-Amplificadors operacionals Un amplificador operacional (AO) és un dispositiu electrònic que serveix per amplificar la diferència de tensió entre dues entrades: una entrada no inversora (𝑉+) i una entrada inversora (𝑉−). Un AO té un guany (𝐴) de tensió molt elevat (idealment infinit) i les entrades consumeixen un corrent molt petita (idealment zero). Perquè pugui funcionar necessita que les tensions d’alimentació estiguin connectades: l’alimentació positiva (𝑉𝑐𝑐+) i l’alimentació negativa (𝑉𝑐𝑐−). Figura 22: Amplificador operacional 𝑉𝑜𝑢𝑡 =𝐴·(𝑉+−𝑉−) (Eq. 19.1) Per a poder estudiar el comportament dels circuits en els quals intervenen i poder calcular les funcions de transferència que relacionen els potencials a l’entrada i sortida d’aquests circuits s’utilitza el mètode del curtcircuit virtual. El mètode del curtcircuit virtual es basa en dues hipòtesis: la primera és que les tensions a les entrades són iguals, 𝑉+=𝑉− , això es pot assumir, ja que el guany és molt gran (tendeix a infinit). La segona és que els corrents a les entrades són nul·les, 𝐼+=𝐼−=0, això és pot assumir, ja que la resistència en l’entrada és molt gran (tendeix a infinit). Hi ha una gran diversitat de circuits que involucren AO, resistències, condensadors i altres components, els que val la pena destacar perquè després seran útils al marc pràctic són els següents: -Amplificador inversor: Com indica el nom, és un circuit que permet amplificar el potencial d’entrada a la vegada que el canvia de signe. 𝐺(𝑠)= 𝑉𝑜 𝑉𝑖=−𝑅2 𝑅1 (Eq. 19.2) Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 35 Figura 23: Cricuit AO amplificador inversor -Integrador: És un circuit que permet integrar el potencial d’entrada, amplificar-lo i canviar-li el signe. La relació entre els potencials està en règim temporal i en transformada de Laplace. −1 R·c∫Vi(t) dt= Vo(t) (Eq. 19.3) 𝐺(𝑠)= 𝑉𝑜 𝑉𝑖=− 1 𝑅·𝑐·𝑠 (Eq. 19.4) Figura 24: Circuit AO integrador -Derivador: És un circuit que permet derivar el potencial d’entrada, amplificar-lo i canviar-li el signe. La relació entre els potencials està en règim temporal i en transformada de Laplace. 𝑉𝑜(𝑡)= −𝑅·𝑐· 𝑑𝑉𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 (Eq. 19.5) 𝐺(𝑠)= 𝑉𝑜 𝑉𝑖=−𝑅·𝑐·𝑠 (Eq. 19.6) Figura 25: Circuit AO derivador Pàg. 36 Memòria 4-Marc Pràctic 4.1-Introducció El que es pretén fer en aquesta part pràctica és presentar una nova pràctica de l’assignatura Dinàmica de Sistemes on es pugui controlar la posició d’un sistema d’accionament angular accionat per un motor de corrent continu mitjançant anàlisi freqüencial. Per a poder fer aquest control s’han realitzat diferents estudis, el primer d’ells ha sigut l’estudi de la planta que es vol controlar, on s’ha modelitzat i analitzat com es comporta. També s’ha fet un estudi de com hauria de ser un compensador tant per avanç com retard de fase que permetés complir certes especificacions desitjades del control de posició. Això inclou la selecció del circuit, la simulació del mateix i la selecció del rang de valors dels paràmetres dels compensadors. A continuació s’ha realitzat el muntatge del circuit, s’ha validat el correcte funcionament i s’ha comprovat que controles la planta de la forma desitjada. En últim lloc, s’ha dissenyat una nova pràctica de l’assignatura, incloent-hi el muntatge de l’experiment, les qüestions i les solucions d’aquestes. 4.2-Material del laboratori En aquest apartat s’expliquen els diferents elements que intervenen en l’estudi que s’ha realitzat en el laboratori, a part del compensador que veurem detalladament més endavant. -Font d'alimentació: Serveix per alimentar la planta i el compensador dissenyat. -Ordinador: Permet fer les funcions de generador de senyals de consigna i d'oscil·loscopi utilitzant MATLAB/Simulink. -Planta: Aquesta planta és un motor de corrent continu que, mitjançant un sistema de corretges, produeix moviment a un eix de sortida, la posició del qual es pretén controlar. Figura 26: Planta -El microcontrolador Arduino Due: Realitza les conversions analògic-digital (A/D) i digitalanalògic (D/A). Com que aquesta placa i la planta operen a tensions diferents, s’ha dissenyat un shield d’adaptació de nivells que també incorpora les fonts d’alimentació de l’Arduino i del Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 37 shield. Aquest shield ajusta guany i offset en cascada per minimitzar acoblaments. La comunicació amb l’ordinador es fa via USB, i tota la programació i configuració es gestiona des de MATLAB/Simulink. Figura 27: Arduino Due 4.3-Estudi de la planta La planta consisteix en un sistema d’accionament angular accionat per un motor de corrent continu. Per accionar el motor s’ha d’aplicar una tensió a l'entrada, que en funció de si és positiva o negativa, el motor gira en un sentit o en l’altre. Aquestes tensions no poden passar de 5 volts o bé el sistema se satura. D’aquest motor es pot mesurar tant la velocitat com la posició angular. La velocitat es pot mesurar mitjançant un tacòmetre, solidari a l’eix del motor, que dona una tensió proporcional a la velocitat. La posició es pot mesurar gràcies a un potenciòmetre que està connectat al motor mitjançant dues corretges reductores. El potenciòmetre, si està embragat, converteix la posició angular a una tensió proporcional. 𝑲𝑻 Constant del tacòmetre 0,017 𝑉·𝑠 𝑟𝑎𝑑 𝑲𝑷𝑶𝑻 Constant del potenciòmetre 1,62 𝑉 𝑟𝑎𝑑 Taula 5: Valors tacòmetre i potenciòmetre També es pot utilitzar un fre magnètic, que s’aplica a l’eix del motor, que permet augmentar el parell resistent i disminuir el guany de la planta. La planta es pot representar amb un diagrama de blocs de la manera següent: Pàg. 38 Memòria Figura 28: Diagrama de blocs de la planta Com es pot observar en el diagrama de blocs anterior, el motor està representat com un sistema de primer ordre, les corretges reductores com una constant i la conversió de velocitat a posició com un integrador pur. Per a convertir la velocitat i la posició angular en tensió que es pugui llegir a l’ordinador tenim les constants del tacòmetre i potenciòmetre respectivament. 4.3.1-Modelitzar sistema El primer pas en l’estudi de la planta consisteix a modelitzar la planta, en aquest cas s'ha de validar que el motor amb sortida velocitat es comporta com un sistema de primer ordre i trobar els paràmetres que el defineixen. El model de la planta en velocitat en llaç obert és el següent: 𝐺Ω(𝑠)= 𝑉Ω 𝑉𝐼𝑁 =𝐾·𝐾𝑇 𝜏·𝑠+1 (Eq. 20.1) Per a poder fer-ho, s’ha excitat el sistema utilitzant el Simulink model de MATLAB SM1_Oscilloscopi.slx que ens permet, mitjançant el selector de consigna, introduir una entrada en forma de graó. Aquest model també permet llegir la resposta del sistema fent servir l’oscil·loscopi. Figura 29: Generador d’entrades i oscil·loscopi Inicialment, es va excitar el sistema amb un graó unitari i es va observar que la resposta sí que tenia la forma característica d’un sistema de primer ordre, però que en el rang inicial del transitori no es comportava de la forma esperada. Per a corregir aquesta situació es va augmentar l’amplitud a tres i es va introduir un offset que permetés evitar la zona morta del motor i tenir una resposta més precisa. Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 39 Figura 30: Resposta indicial planta Un cop validat el sistema, es va procedir al càlcul del guany (𝐾) de la planta i la constant de temps (𝜏). Per a calcular el guany, s’ha utilitzat la fórmula del valor final del sistema i per llegir els valors experimentals les eines de l’oscil·loscopi. 𝑉𝐹=𝐾·𝐾𝑇·𝐾𝑒 → 2,391=𝐾·0,017· 3 →𝐾=46,8823 (Eq. 20.2) Figura 31: Càlcul guany Per a fer el càlcul de la constant de temps, se sap que en la resposta indicial d’un sistema de primer ordre, el temps que tarda el sistema a assolir el 63% del valor final és (𝜏). Sabent que 𝑉𝐹=2,391 volts es pot calcular el 63%𝑉𝐹, col·locar l’eina de l’oscil·loscopi justament en aquest valor i mirar la diferència temporal entre aquest punt i l’inici del transitori. 𝑡(63%𝑉𝐹)= 𝜏=0,2561 s (Eq. 20.3) Pàg. 40 Memòria Figura 32: Càlcul de la constant de temps Finalment s’obté el següent sistema: 𝐺Ω(𝑠)= 𝑉Ω 𝑉𝐼𝑁 =𝐾·𝐾𝑇 𝜏·𝑠+1= 0,7970 0,2561·𝑠+1 (Eq. 20.4) 4.3.2-Estudi freqüencial del sistema en velocitat En aquest apartat es fa l’estudi del sistema posant la velocitat com a sortida de la planta en llaç obert. Aquest estudi es realitza principalment de dues maneres: el que s’anomena teòric i el que s’anomena experimental. En el teòric, s’estudia el comportament de la resposta a partir del model obtingut prèviament. Principalment, es realitzen els diagrames de Bode i de Nyquist, i es calculen els marges de guany i de fase del sistema. En el que s’anomena experimental, s’excita el sistema amb sinus de diferents freqüències i es calcula el guany i la fase per a cada freqüència. Després es comparen els diferents punts experimentals amb els teòrics. Aquests dos estudis es van realitzar en paral·lel. De fet, primer es van realitzar els diagrames de Bode i Nyquist a partir del model i en acabat es van seleccionar les freqüències amb les quals es considerava interessant excitar la planta directament. Aquestes freqüències van ser seleccionades per a cobrir punts repartits al llarg de les corbes de Nyquist i de Bode. Finalment, es van representar els punts experimentals sobre les corbes teòriques del sistema i es va comprovar que el comportament del model i de la planta és el mateix. Encara així s’ha decidit primer explicar el càlcul dels punts experimentals, per a no duplicar diagrames de Bode i Nyquist, tant amb els punts experimentals representats com no. Per a poder excitar la planta i llegir les respostes s’ha utilitzat el Simulink model SM1_Oscilloscopi.slx canviant el selector de consigna per introduir un sinus. A continuació es mostren les respostes de la planta davant de sinus a les freqüències seleccionades. Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 41 Figura 33: Sortida freqüencial planta en velocitat per 𝜔 = 0,1 Figura 34: Sortida freqüencial planta en velocitat per 𝜔 = 1 Figura 35: Sortida freqüencial planta en velocitat per 𝜔 = 4 Pàg. 48 Memòria Especificacions Valors obtinguts amb MATLAB Mètode 𝛾𝑑 [º] ∆𝑃 [º] 𝐾 𝛾𝐴𝐶 [º] 𝑧 𝑝 1 AF 45 5 1 46,3737 4,6838 7,313 2 AF 70 5 1 64,4402 3,8021 15,7451 3 AF 70 10 1 68,0106 3,6129 18,8034 4 AF 70 15 1 71,5401 3,4159 22,7769 5 AF 90 5 1 78,4075 2,9891 35,5542 6 AF 90 10 1 81,6982 2,7524 46,5315 7 AF 90 15 1 84,8458 2,4932 63,947 8 AF 90 20 1 87,7879 2,2021 94,7152 9 AF 90 25 1 90,421 1,8639 159,506 10 RF 45 5 1 47,1249 0,3276 0,1661 11 RF 70 5 1 69,982 0,1046 0,0134 12 RF 70 10 1 74,7421 0,0689 0,0057 13 RF 80 5 1 79,5245 0,0342 0,0014 14 RF 80 10 1 80,4826 0,0273 0,00088 Taula 9: Marges desitjats i els equivalents valors de 𝑧 i 𝑝 Com es pot observar a la taula, en el mètode de AF els valors de 𝑧 disminueixen a la vegada que els de 𝑝 augmenten a mesura que el marge desitjat es fa més gran. En el cas del compensador per RF tant els valors de 𝑧 com els de 𝑝 disminueixen a mesura que augmenta el marge desitjat, però cal remarcar que la diferència entre 𝑧 i 𝑝 si que augmenta igual que en l’AF. 4.4.2-Disseny del circuit Com s’ha pogut observar en el marc teòric existeixen diferents circuits electrònics que permeten el disseny de diferents funcions de transferència. En el cas del compensador es vol aconseguir, per una banda, un circuit tal que la seva transmitància sigui una constant i per l’altra un circuit tal que la seva transmitància sigui un sistema de primer ordre amb un zero i un pol. Per a poder simplificar l’estudi, es va separar el compensador en dues parts i a posteriori es va analitzar el sistema complet. 4.4.2.1-AO Guany La primera part del compensador que es va estudiar va ser la constant que genera el guany del compensador. Es va buscar un circuit tal que la seva transmitància fos un únic valor i proporcional a resistències. El circuit que s’ha analitzat és l’amplificador inversor, ja que permet aquesta característica i es pot trobar al Simulink model SM4_AO_Guany.slx. Figura 45: AO guany Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 49 Aquest model genera la següent transmitància: 𝐺(𝑠)= 𝑉𝑜 𝑉𝑖=−𝑅2 𝑅1 (Eq. 24.1) 4.4.2.2-AO zero i pol La segona part del compensador que es va estudiar van ser el zero i el pol. Es va buscar un circuit tal que la seva transmitància fos un sistema de primer ordre amb una arrel al numerador i una arrel en el denominador. Es va pensar en el circuit integrador per aconseguir el pol i en el derivador per aconseguir el zero. Per altra banda, es va observar que si es posava una resistència en paral·lel al respectiu condensador es podia aconseguir un terme sumant que permetia tenir una arrel diferent de zero. El circuit que s’ha analitzat i que permet aquesta característica és el següent i es pot trobar al Simulink model SM5_AO_Zero_Pol.slx. Figura 46: AO zero-pol Aquest model genera la següent transmitància: 𝐺(𝑠)=𝑉𝑜 𝑉𝑖=−𝑅2 𝑅1·𝑐1·𝑅1·𝑠+1 𝑐2·𝑅2·𝑠+1 (Eq. 24.2) 4.4.2.3-AO Compensador Una vegada estudiats els dos circuits anteriors, es posa tot en comú i s’arriba al circuit següent: Figura 47: AO compensador Els dos sistemes anteriors eren inversors, destacar el negatiu en les dues transmitàncies, en connectar els dos circuits aquests negatius es compensen. Aquest sistema ens permet aconseguir una funció de transferència com la d’un compensador, com es pot observar en el càlcul que es mostra a continuació. Pàg. 50 Memòria Aplicant el mètode del curtcircuit virtual en el primer amplificador operacional (𝐴1) s’obté: 𝑉𝑖−0 𝑅1+𝑉𝑖−0 1 𝑐1·𝑠 =0−𝑉𝑎 𝑅2+0−𝑉𝑎 1 𝑐2·𝑠 (Eq. 24.3) 𝑉𝑖·(1 𝑅1+𝑐1· 𝑠)=− 𝑉𝑎·(1 𝑅2+𝑐2·𝑠) (Eq. 24.4) 𝑉𝑎 𝑉𝑖=−𝑐1·𝑅1·𝑠+1 𝑅1 𝑐2·𝑅2·𝑠+1 𝑅2=−𝑅2 𝑅1·𝑐1·𝑅1·𝑠+1 𝑐2·𝑅2·𝑠+1 (Eq. 24.5) Aplicant el mètode del curtcircuit virtual en el segon amplificador operacional (𝐴2) s’obté: 𝑉𝑎−0 𝑅3=0−𝑉𝑜 𝑅4 (Eq. 24.6) 𝑉𝑜 𝑉𝑎=−𝑅2 𝑅1 (Eq. 24.7) Unint les relacions obtingudes en els dos amplificadors operacionals s’obté: 𝐺(𝑠)= 𝑉𝑜 𝑉𝑖 =𝑅2·𝑅4 𝑅1·𝑅3·𝑐1·𝑅1·𝑠+1 𝑐2·𝑅2·𝑠+1 (Eq. 24.8) 4.4.3-Comparació model amb circuit Una vegada s’ha obtingut la transmitància del circuit dissenyat es pot procedir a la comparació d’aquesta amb la transmitància d’un compensador. 𝐺𝑐𝑜𝑚(𝑠)= 𝐾·𝑠 𝑧+1 𝑠 𝑝+1 (Eq. 25.1) 𝐺𝑐𝑜𝑚(𝑠)=𝑅2·𝑅4 𝑅1·𝑅3·𝑐1·𝑅1·𝑠+1 𝑐2·𝑅2·𝑠+1 (Eq. 25.2) Per comparació directa entre la transmitància del compensador i l’obtinguda mitjançant el curtcircuit virtual en el circuit anterior es poden obtenir les següents relacions: 𝑧= 1 𝑐1𝑅1 (Eq. 25.3) 𝑝= 1 𝑐2𝑅2 (Eq. 25.4) 𝐾= 𝑅2𝑅4 𝑅1𝑅3 (Eq. 25.5) Una vegada s’han obtingut aquestes relacions es pot deduir que per a poder controlar el rang de valors del zero del compensador, ja sigui 𝑅1 o 𝑐1 ha de ser variable. Es decideix utilitzar un potenciòmetre per regular el rang de valors de 𝑅1. Perquè es pugui controlar el rang de valors del pol del compensador ens trobem amb la mateixa situació i es decideix que 𝑅2 ha de ser un potenciòmetre també. Per a poder controlar el guany del compensador es poden ajustar totes les resistències, com que 𝑅1 i 𝑅2 ja regulen 𝑧 i 𝑝 respectivament i que 𝑅3 té la funció de no igualar els potencials entre la sortida del primer amplificador operacional i l’entrada del segon es decideix que 𝑅4 serà el paràmetre regulable i, per tant, un potenciòmetre. Per a poder calcular el rang de valors que prendran els potenciòmetres s’aïllen els valors de 𝑅1, 𝑅2 i 𝑅3, i es deixen en funció de la resta de paràmetres. Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 51 𝑅1= 1 𝑐1·𝑧 (Eq. 25.6) 𝑅2= 1 𝑐2·𝑝 (Eq. 25.7) 𝑅4= 𝐾·𝑅1·𝑅3 𝑅2 (Eq. 25.8) Una vegada es té la relació entre els paràmetres del compensador teòric i real, es poden calcular tots els valors de les resistències pels casos plantejats anteriorment en el model desitjat. Per a fer el càlcul es considera que el guany del compensador ha de ser unitari i així que el compensador no afecti el guany de la planta. Els càlculs que es mostren a la taula següent s’han realitzat amb Excel. Especificacions Circuit Mètode 𝛾𝑑 [º] ∆𝑃 [º] C1(nF) C2(nF) R3(𝑘Ω) R1(𝑘Ω) R2(𝑘Ω) R4(𝑘Ω) 1 AF 45 5 470 470 1 454,259 290,942 1,561 2 AF 70 5 470 470 1 559,601 135,132 4,141 3 AF 70 10 470 470 1 588,906 113,153 5,205 4 AF 70 15 470 470 1 622,869 93,413 6,668 5 AF 90 5 470 470 1 711,806 59,843 11,895 6 AF 90 10 470 470 1 773,020 45,725 16,906 7 AF 90 15 470 470 1 853,385 33,272 25,649 8 AF 90 20 470 470 1 966,195 22,464 43,011 9 AF 90 25 470 470 1 1.141,51 13,339 85,576 10 RF 45 5 470 470 1 6.494,69 12.809,51 0,507 11 RF 70 5 470 470 1 20.340,9 158.780,6 0,128 12 RF 70 10 470 470 1 30.880,4 373.273,6 0,083 13 RF 80 5 470 470 1 62.212,3 1.519.756 0,041 14 RF 80 10 470 470 1 77.936,2 2.417.794 0,032 Taula 10: Valor de les resistències i condensadors a partir de 𝑧, 𝑝 i 𝐾 Els valors que interessen especialment són els valors màxims i mínims de les resistències 𝑅1, 𝑅2 i 𝑅3, que permeten conèixer el rang de valors dels potenciòmetres. Aquests valors es mostren a la taula següent: R1(𝑘Ω) R2(𝑘Ω) R4(𝑘Ω) Valor mínim 454,259 13,339 0,032 Valor màxim 77.936,2 2.417.794 85,576 Taula 11: Valors mínims i màxims de les resistències Val la pena destacar que els valors dels condensadors i 𝑅3 no són aleatoris, aquesta taula ha sigut actualitzada i calculada a mesura que s’anava fent el muntatge i es veia de quin material es disposava. Pàg. 52 Memòria 4.5-Muntatge del compensador Una vegada seleccionats el rang de valors desitjats i conseqüentment trobats els valors de les resistències es pot procedir al muntatge del circuit. Inicialment, es va anar al laboratori i es van agafar diferents valors de condensadors i potenciòmetres. Tenint en compte el material del qual es disposava es va fer un primer càlcul de la taula amb el material disponible i així seleccionar un cas concret. Es va fer el muntatge utilitzant resistències per a validar que el disseny del circuit és correcte i que els diferents components del circuit funcionessin adequadament. Malauradament, no es van realitzar fotografies d’aquest muntatge, ja que ràpidament es va validar i es va fer el muntatge amb potenciòmetres. Un cop validat el primer muntatge del circuit es va analitzar amb més profunditat el rang de valors de la taula. El primer que es va observar va ser que els valors màxims de 𝑅1 i 𝑅2 eren molt grans, de 76 𝑀Ω i de 2 𝐺Ω. Per a disminuir els valors d’aquestes resistències es va pensar a agafar condensadors amb capacitats més grans. El problema és que utilitzar condensadors amb capacitats més grans provocava el mal funcionament del sistema. Per altra banda, això tampoc permetia solucionar que la diferència entre els valors màxims i mínims de cada resistència eren molt elevats. Per a poder continuar amb el muntatge del compensador, s’havien de reduir els casos plantejats inicialment, i per tant es va decidir que no es realitzaria el muntatge del compensador per retard de fase. Aquesta decisió es va prendre principalment per dos motius: primer, augmentar la capacitat dels condensadors provocava que el sistema fos més lent a causa de la càrrega i descàrrega dels condensadors. Segon, mantenir les capacitats petites obligava a utilitzar resistències molt elevades que provocaven molt soroll. I en qualsevol cas, no es podia disminuir el rang de valors dels potenciòmetres. Una vegada s’han descartat els casos on s’utilitza el mètode per RF, es van seleccionar els valors de les resistències i condensadors de les que es disposen al laboratori i que permeten un bon funcionament del circuit. Es poden observar en la taula següent: Especificacions Circuit Mètode 𝛾𝑑 [º] ∆𝑃 [º] C1(nF) C2(nF) R3(𝑘Ω) R1(𝑘Ω) R2(𝑘Ω) R4(𝑘Ω) 1 AF 45 5 470 470 1 454,259 290,942 1,561 2 AF 70 5 470 470 1 559,601 135,132 4,141 3 AF 70 10 470 470 1 588,906 113,153 5,205 4 AF 70 15 470 470 1 622,869 93,413 6,668 5 AF 90 5 470 470 1 711,806 59,843 11,895 6 AF 90 10 470 470 1 773,020 45,725 16,906 7 AF 90 15 470 470 1 853,385 33,272 25,649 8 AF 90 20 470 470 1 966,195 22,464 43,011 9 AF 90 25 470 470 1 1.141,51 13,339 85,576 Taula 12: Valor definitius de les resistències i condensadors a partir de 𝑧, 𝑝 i 𝐾 Els valors mínims i màxims de les resistències són els següents: R1(𝑘Ω) R2(𝑘𝛺) R4(𝑘Ω) Valor mínim 454,259 13,339 1,561 Valor màxim 1.141,51 290,942 85,576 Taula 13: Valors definitius mínims i màxims de les resistències Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 53 Val la pena destacar que el rang de valors de les resistències és molt més contingut, i que el valor màxim es troba en 𝑅1 que és aproximadament de 1,1 𝑀Ω. A continuació es mostra una llista de tots els elements que finalment s’han utilitzat pel muntatge del compensador. -2 Amplificadors operacionals: OP07CP. -2 Condensadors: 47J63 de 470 nF. -3 Potenciòmetres: -2: 3266 de 1 𝑀Ω. -1: T93 de 100 𝑘Ω. -3 Resistències: -1 de 1 𝑘Ω. -2 de 82 𝑘Ω. Per a la realització del muntatge s’ha seguit el circuit proposat anteriorment i per aconseguir el rang de valors de 𝑅1 s’ha utilitzat un potenciòmetre de 1 𝑀Ω en sèrie amb dues resistències de 82 𝑘Ω. A continuació es mostra una imatge del circuit muntat en una placa de proves: Figura 48: Compensador Pàg. 54 Memòria 4.6-Prova del compensador Una vegada muntat el circuit del compensador s’ha estudiat el comportament. Per a poder validar el funcionament s’han realitzat dos estudis: al primer s’ha provat el compensador per si sol i en el segon s’ha connectat a la planta. 4.6.1-Compensador Per a validar el funcionament del circuit, s’ha realitzat el model de Simulink SM7_Comp_teoric.slx i s’ha comparat amb l’experimental. El model teòric consisteix en el diagrama de blocs del compensador, un generador de funcions per a poder excitar el sistema amb un sinus i un scope per a poder visualitzar la resposta del sistema. Per a poder excitar el compensador dissenyat s’utilitza el Simulink model SM1_Oscilloscope.slx. Per a fer aquesta validació se selecciona el quart cas dels desitjats i es regulen els valors dels potenciòmetres fins als valors calculats. En el model de Simulink se seleccionen els valors de 𝑧 i 𝑝 corresponents i es comprova que les gràfiques quan s’excita el sistema amb diferents sinus siguin iguals. 𝐺𝑐𝑜𝑚(𝑠)= 𝑠 3,4159+1 𝑠 22,7769+1 (Eq. 26) Figura 49: Resposta freqüencial a partir del model a 𝜔 = 0,1 Figura 50: Resposta freqüencial experimental a 𝜔 = 0,1 Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 55 Figura 51: Resposta freqüencial a partir del model a 𝜔 = 1 Figura 52: Resposta freqüencial experimental a 𝜔 = 1 Com es pot observar en les gràfiques les respostes davant dels sinus són les mateixes, cal destacar que les respostes presenten soroll. 4.6.2-Sistema compensat El compensador està dissenyat per funcionar en posició, però a causa de l’integrador pur s’ha hagut de treballar en velocitat i després fer les conversions pertinents a posició, s’ha seguit el mateix procediment que en l’estudi de la planta. Per a fer aquest estudi s’ha seleccionat el quart cas dels desitjats. 4.6.2.1-Sistema compensat en velocitat A continuació es fa l’estudi del sistema compensat posant la velocitat com a sortida del sistema. Per a fer aquest estudi s’ha seleccionat el quart cas dels desitjats. 𝐺𝐿𝐴(𝑠)= 0,7970·( 𝑠 3,4159+1) (0,2561·𝑠+1)(𝑠 22,7769+1) (Eq. 27) Aquest estudi es realitza principalment de dues maneres: el que s’anomena teòric i el que s’anomena experimental. En el teòric, s’estudia el comportament de la resposta a partir del model. Principalment, es realitzen els diagrames de Bode i de Nyquist del sistema. En el que s’anomena experimental, s’excita el sistema amb sinus de diferents freqüències i es calcula el guany i la fase per a cada freqüència. Després es comparen els diferents punts experimentals amb els teòrics. Pàg. 56 Memòria Aquests dos estudis es van realitzar en paral·lel. De fet, primer es van realitzar els diagrames de Bode i Nyquist a partir del model i en acabat es van seleccionar les freqüències amb les quals es considerava interessant excitar la planta directament. Finalment, es van representar els punts experimentals sobre les corbes teòriques del sistema i es va comprovar que el comportament del model i de la planta és el mateix. Encara així s’ha decidit primer explicar el càlcul dels punts experimentals, per a no duplicar diagrames de Bode i Nyquist, tant amb els punts experimentals representats com no. Per a poder excitar el sistema i llegir les respostes s’ha utilitzat el Simulink model SM1_Oscilloscopi.slx canviant el selector de consigna per introduir un sinus. S’ha connectat el sistema de la forma següent: Figura 53: Muntatge del sistema compensat en velocitat A continuació es mostren les respostes de la planta davant de sinus a les freqüències seleccionades. Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 57 Figura 54: Sortida freqüencial sistema compensat en velocitat per 𝜔 = 1 Figura 55: Sortida freqüencial sistema compensat en velocitat per 𝜔 = 3 Figura 56: Sortida freqüencial sistema compensat en velocitat per 𝜔 = 10 Pàg. 64 Memòria L4.7 – Estudi del sistema compensat amb sortida posició En aquesta pràctica es podria fer la conversió dels punts experimentals del sistema compensat amb sortida velocitat a posició. Realitzar els diagrames de Bode i Nyquist a partir del model i comprovar que els punts obtinguts experimentalment a la pràctica anterior es dibuixen a sobre de les corbes de Bode i de Nyquist. Comprovar que el compensador dissenyat permet complir les especificacions prèviament mencionades. Amb aquesta pràctica l’estudiant es podria familiaritzar amb el funcionament d’un compensador per avanç de fase, visualitzar com afecta en els diagrames de Bode i Nyquist i verificar l’experiment realitzat. Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 65 5-Resultats i discussió En aquest apartat es discuteixen els resultats obtinguts en el marc pràctic del treball, els diferents problemes que s’han hagut de solucionar al llarg de tot l’estudi de la planta i en el disseny, muntatge i validació de funcionament del compensador. El primer problema que es va haver de solucionar va ser que la planta presenta una banda morta quan la velocitat és propera a zero, justament en el moment d’arrencar. En l’apartat 4.3.1 es modelitza la planta del sistema i per a poder-ho fer s’excita el sistema amb una entrada graó. Per evitar aquesta banda morta i aconseguir un model del sistema més precís, s’introdueix un offset en l’entrada, així el sistema ja no passa per velocitat zero i simplement es fa variar la velocitat entre dos valors. Aquest no va ser un problema especialment greu i es va trobar una solució relativament senzilla. També es va fer front al fet que la planta quan es posa la posició com a sortida, té un integrador pur. En l’apartat 4.3.3 es fa l’estudi freqüencial del sistema en posició, per a poderlo fer s’ha d’excitar el sistema amb un sinus, i en el moment de llegir la resposta no s’obté un altre sinus amb diferent amplitud i desfasat. Per a solucionar aquest problema es va mirar la relació que té la planta en velocitat i en posició i es van convertir els punts obtinguts experimentalment de velocitat a posició. La solució mencionada es va trobar a posteriori als estudis freqüencials realitzats a partir del model. Juntament amb el fet que el sistema on tenia sentit dissenyar el compensador era el de posició, no va fer més que agreujar la sensació d’incertesa fins que no es va pensar en la conversió dels punts. Un altre problema que es va haver d’afrontar va ser pensar i seleccionar el circuit adequat per a poder dissenyar un compensador tant per avanç com per retard de fase. Concretament, la manera d’aconseguir un zero diferent de zero i un pol diferent de zero. Per a poder-lo solucionar es van haver de fer diferents proves amb circuits fins que es va esbrinar que una resistència en paral·lel amb el condensador permetia regular les arrels. El principal problema en el disseny i muntatge del compensador que es va haver d’afrontar va ser la limitació dels valors dels potenciòmetres i condensadors per a complir amb totes les especificacions inicialment desitjades. L’única manera viable que es va trobar per solucionar aquest problema va ser limitar el rang de casos que es volia tractar i haver de descartar el disseny del compensador per retard de fase. Una altra situació que es va haver de solucionar va ser en l’estudi del compensador. El compensador està dissenyat per a complir certes especificacions del control de posició. A causa de l’integrador en el sistema amb sortida posició es va haver de tornar a fer les conversions fetes en l’estudi de la planta prèviament mencionat. Finalment, s’ha tingut el problema que el disseny del compensador s’ha quedat en un prototip i no s’han pogut plantejar noves pràctiques on se’n pugui fer ús. Aquest és un problema que queda fora de l’abast temporal del treball i es proposa per a treball futur. Al llarg de tot el marc pràctic s’han trobat diferents problemes i s’han buscat les millors maneres per a poder-los solucionar. En general, els experiments realitzats han sigut satisfactoris i s’han realitzat tots els estudis que es van plantejar inicialment. Es conclou que encara que el compensador s’hagi quedat en un prototip, funciona i permet complir les especificacions desitjades. També es vol destacar que malgrat que en la nova pràctica (L4) no s’utilitzi el compensador dissenyat sí que s’han pogut plantejar certs exercicis que ja es podrien implementar. Finalment, també s’han plantejat com podrien ser alguns exercicis més un cop es tingués un compensador manipulable per l’estudiant. Pàg. 66 Memòria 6-Planificació Aquest treball inicialment es va matricular el febrer del 2024, però per diversos motius personals no es va començar la seva realització fins al novembre del 2024. En el diagrama de Gantt que es mostra a continuació es pot veure en quin moment temporal s’han acomplert les tasques que s’han dut a terme al llarg d’aquest projecte. Figura 66: Diagrama de Gantt En general, es considera que les tasques han sigut realitzades amb una quantitat de setmanes raonable i que han estat repartides correctament. Es considera que la realització de la part experimental s’ha realitzat amb un marge especialment correcte, però que la redacció de la memòria s’hauria d’haver repartit una mica millor en el transcurs del treball. Es vol destacar que la quantitat d’hores dedicades al llarg del març i especialment de l’abril ha sigut molt superior a la resta de mesos. Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 67 7-Estudi econòmic El projecte desenvolupat presenta una orientació acadèmica amb un enfocament d’optimització de recursos, minimitzant costos addicionals i aprofitant la infraestructura de la qual ja es disposa a l’ETSEIB. Els costos han sigut agrupats en diferents grups. -Costos d’equipament: L’ús d’equipaments com la font d'alimentació, l’ordinador, la planta a controlar i el microcontrolador Arduino Due no ha suposat cap despesa addicional, ja que són equips ja presents als laboratoris de la universitat. En el cas que s’haguessin hagut de comprar el cost seria de 3272,69 €. -Costos de programari: Les simulacions i estudis computacionals s'han dut a terme utilitzant MATLAB, programari per al qual l'Escola disposa de llicències educatives. Per a la redacció i desenvolupament del treball també s’han fet servir programes del paquet Microsoft Office dels quals també es disposa llicència educativa. En el cas que s’haguessin hagut de comprar el cost estimat seria d’uns 100 €. -Costos materials: Per a la construcció del compensador de fase i el muntatge experimental, s'han utilitzat components electrònics com amplificadors operacionals, resistències, condensadors, una placa de proves, cables i altres petits elements electrònics. El cost estimat d’aquests materials ha estat de 50 €. -Costos humans: Per a calcular els costos humans s’ha realitzat el següent càlcul: el treball de final de grau representen 12 crèdits ECTS, cada crèdit correspon a unes 25 hores de dedicació per part de l’estudiant i l’hora de l’estudiant es valora a 15 €/hora, per tant, el cost humà és de 4500 €. En resum, els costos totals del projecte ascendeixen a 7922,69 €. Es considera que el desenvolupament d’aquesta nova pràctica representa un important estalvi per a l'escola en comparació amb la possible adquisició del compensador. A més, es genera un model de pràctica personalitzat que s'ajusta als continguts de l'assignatura i millora l'aprenentatge de l'estudiant. Per tant, el valor d’aquest projecte que va més enllà de l’econòmic és doble: per una banda, s’optimitzen recursos, i per altra, es millora la qualitat de la docència. Pàg. 68 Memòria 8-Estudi ambiental Durant la realització del projecte, s'han generat impactes ambientals associats principalment al consum elèctric i a l'ús de components electrònics. A continuació, es quantifiquen aquests impactes mitjançant diferents indicadors ambientals: Primer es calcula el consum energètic i les emissions de gasos d'efecte hivernacle (CO₂e). S'estima que, al llarg dels sis mesos de durada del treball, s'ha utilitzat un ordinador personal unes 300 hores. Considerant un consum d'uns 60 W/h el consum total ha estat aproximadament de 18 kWh. Afegint-hi el consum puntual del laboratori que pot haver generat la font d’alimentació, el motor de corrent continu i el microcontrolador Arduino Due s'estima un consum addicional de 30 kWh, resultant un consum total aproximat de 48 kWh. Segons el mix energètic espanyol actual, amb una emissió mitjana de 0,2 kg CO₂e/kWh, les emissions associades serien de 9,6 kg CO₂e. Quant a residus generats, l'ús de components electrònics ha estat moderat, per tant, es calcula que la quantitat de residus electrònics generats és inferior a 1 kg, considerant substitucions i proves de muntatge. L'impacte ambiental generat és relativament baix en termes absoluts. Per posar-ho en perspectiva, compensar les emissions de CO₂ equivalents (9,6 kg) requeriria plantar aproximadament un arbre (recordant que un arbre absorbeix entre 20-30 kg de CO₂ durant el seu creixement). Per reduir encara més l’impacte, es podrien: optimitzar les hores d'ús d'ordinador i equips electrònics, utilitzar fonts d'energia renovable en la mesura del possible i continuar reutilitzant els components electrònics. En conclusió, l'impacte ambiental del projecte ha estat baix, però sempre és recomanable adoptar bones pràctiques ambientals per reduir-lo encara més. Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 69 9-Estudi social i d’igualtat de gènere Aquest projecte no genera, ni pretén generar, diferenciacions discriminatòries de gènere ni d’estatus social. L’accés a la tecnologia treballada no presenta barreres específiques ni per a homes ni dones, persones no binàries, ni per a cap altre col·lectiu vulnerable. No obstant això, la barrera econòmica per a la compra d’equipament electrònic bàsic (l’ordinador, motor a controlar, font d’alimentació, l’Arduino Due i el material de laboratori) podria suposar un repte per a col·lectius amb recursos limitats. L’equip de treball del projecte (estudiant, directora i codirector) presenta una composició relativament equilibrada de gènere (presència de dona i d’homes), tot i que podria millorar-se per assolir una paritat total. El resultat no ha estat buscat específicament, i seria convenient que futurs projectes potenciessin equips més igualitaris. No s’han detectat impactes diferents entre homes i dones derivats de la proposta feta, atès que el desenvolupament d'una nova pràctica educativa no discrimina l’alumnat per raons de gènere ni per altres condicions socials. Tampoc s’ha necessitat reajustar la proposta per equilibrar impactes. Pel que fa al llenguatge, s’ha procurat utilitzar una expressió neutra i inclusiva al llarg de la memòria del treball. No s’ha enaltit cap política ni idea diferenciadora per raons de raça, cultura o nivell econòmic. Quant als objectius de desenvolupament sostenible (ODS), el treball contribueix especialment a: -ODS 4: Educació de qualitat, promovent pràctiques d'aprenentatge innovadores. -ODS 5: Igualtat de gènere, en fomentar un accés igualitari al coneixement. -ODS 9: Indústria, innovació i infraestructura, en fomentar l’ús de tecnologia avançada en la formació d’enginyers i enginyeres. En conclusió, el projecte té un impacte social positiu i es mostra respectuós i inclusiu amb la diversitat de gènere i condicions socials. Pàg. 70 Memòria 10-Conclusió En aquest apartat es troben les conclusions a les que s’han arribat un cop finalitzat tot el projecte. Per a poder-ho fer es recuperen els objectius definits en l’inici del treball i es comenten punt a punt, valorant si s’han pogut assolir parcial o completament i raonant els motius. L’objectiu general d’aquest treball és aconseguir plantejar una nova pràctica de l’assignatura Dinàmica de Sistemes on s’estudiï la planta del laboratori en domin freqüencial. Es considera que aquest objectiu s’ha assolit de forma parcial, s’ha pogut realitzar una nova pràctica de l’assignatura on es treballa en domini freqüencial i s’ha dissenyat el compensador que permet fer aquest estudi. El compensador que s’ha dissenyat és un prototip i no està preparat per a poder ser manipulat per l’estudiant és per aquest motiu s’han pogut plantejar diferents exercicis experimentals però que encara no es poden realitzar tots. Per a poder dissenyar aquestes pràctiques primer s’havien d’estudiar tots els conceptes que hi estaven relacionats i que es volien treballar en els exercicis proposats. Aquests conceptes són la resposta freqüencial, els diagrames de Bode i Nyquist, el criteri de Nyquist i el simplificat de Bode, els marges de guany i de fase, i els compensadors per AF i RF. Es considera que aquests conceptes han sigut estudiats tant en el marc teòric amb l’annex corresponent com en el marc pràctic. Pel que fa l’estudi del motor del laboratori es considera que s’ha estudiat amb profunditat. S’ha pogut realitzar el model a partir de la seva resposta temporal i s’ha estudiat el comportament del sistema tant amb sortida velocitat com amb sortida posició en el domini freqüencial. Gràcies a aquests estudis s’ha pogut prendre la decisió de en quina sortida valia la pena dissenyar un compensador. Respecte l’objectiu principal d’aquest treball, que és el disseny, muntatge i anàlisi del compensador que permet el control del motor, es considera que s’ha assolit de forma parcial. S’ha realitzat l’estudi de quins paràmetres hauria de tenir el compensador dissenyat tant per AF com per RF per a complir certes especificacions. També s’ha dissenyat el circuit mitjançant AO que permet obtenir la transmitància d’un compensador. En la fase de muntatge i degut a els valors de les resistències i condensadors es va haver de descartar el disseny del compensador per retard de fase. En relació amb el disseny, muntatge i anàlisi del compensador es considera que aquesta és la única part que provoca que s’hagi assolit l’objectiu parcialment. Pel que fa a la simulació i a les proves experimentals es consideren un èxit ja que el compensador per AF funciona de la forma esperada. Un altre objectiu important és comprovar que el compensador per AF és capaç de controlar la planta de la forma desitjada i que permet assolir les especificacions pels quals ha sigut dissenyat. Es considera que gràcies als estudis realitzats s’ha pogut comprovar i que el compensador funciona perfectament. En resum, es considera que s’han complert tots els objectius encara que alguns no s’han pogut assolir de forma completa. Les dues situacions que no han permès la realització completa de tots els objectius inicialment plantejats han sigut: el problema en el disseny del compensador per RF i que el compensador per AF és un prototip i encara no es pot manipular per a poder-lo incloure en les pràctiques de l’assignatura. Aquestes dues situacions no es veuen com una limitació del treball sinó com un aprenentatge i com a línies obertes per a poder seguir investigant i treballant. Anàlisi freqüencial en la dinàmica de sistemes Pàg. 71 11-Agraïments Aquest treball ha sigut un repte per mi, especialment en les últimes setmanes abans de l’entrega a causa del volum de feina, per haver de compaginar els estudis, amb les pràctiques en empresa i la feina a l’acadèmia. M’agradaria donar les gràcies als tutors que m’han acompanyat i ajudat al llarg de tot el treball, no solament en l’àmbit acadèmic sinó també personal. Vull agrair a l’Enric en especial, que tot i que fa un parell de mesos que s’ha jubilat ha continuat ajudant-me i guiant-me. Vull agrair a la Cristina que, a més a més, de totes les hores dedicades al laboratori, m’ha fet una mica de “coaching” i m’ha motivat a continuar treballant. També m’agradaria donar les gràcies als meus pares, pel suport, la motivació i en especial per totes les gestions logístiques que s’han de continuar fent; rentadores, tapers i altres. Finalment, vull agrair a la meva parella la comprensió per la falta de temps, la motivació proporcionada i per fer-me costat, en especial, en els moments més durs del treball. Pàg. 72 Memòria 12-Bibliografia [1] Vilà, Ricard. Dinàmica de Sistemes. Versió 21. [2] Fossas, Enric i Griñó, Robert. Disseny de controladors en el domini freqüencial. Setembre 2023. [3] E.Lupon i S.Busquets. Amplificador Operacional. Setembre 2022. [4] E.Lupon, L.Balado, S.Busquets, A.Gómez i J.A.Carrasco. Processament lineal avançat. Setembre 2022. [5] Lerma, Eneko. Development of a MATLAB/Simulink Arduino environment for experimental practices in control engineering teaching. Juliol 2019. [6] The MathWorks, Inc. MATLAB Documentation. [En línia] Disponible a: https://es.mathworks.com/help/matlab/ [7] Texas instruments. OP07x Precision Operational Amplifiers. Revisat al Març 2023. [8] Departament d’Enginyeria de Sistemes, Automàtica i Informàtica Industrial. Treballs pràctics de Control digital. Setembre 2021. [9] Departament ESAII, UPC. Dinàmica de Sistemes, Pràctiques. Desembre 2024. [10] Departament ESAII, UPC. Dinàmica de Sistemes, Introducció a l’oscil·loscopi i Generador de senyals. Desembre 2024.