Optimización de formas en elasticidad bidimensional en medios homogéneos mediante el método de los elementos de contorno

OPTIMIZACION DE FORMAS EN ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL EN MEDIOS HOMOGENEOS MEDIANTE EL METODO DE LOS ELEMENTOS DE CONTORNO F. ESPIGA L. GRACIA Y M. DOBLARE Dp o. de Ingenie ía Mecánica, E. T.S. Ingenie os Indus iales, Uni e sidad de Za agoza, Luciano G acia s/n, 5001 5 Za agoza RESUMEN En es e abajo se abo da el p oblema de la op imización de o ma de sólidos elás icos bidimensionales, conside ando ma e ial isó opo u o ó opo, de ca a a ob ene una dis ibución de e~siones lo más uni o me posible en zonas del con o no especi icadas. Pa a ello se calcula la ensión de Von Mises en la zona del con o no a op imiza , y a pa i de és a y de la ensión de e e encia especi icada se de ine la unción obje i o. Como es icción se impone que el á ea del sólido en cues ión sea igual a un alo p e ijado, aunque se con empla ambién la posibilidad de que no haya es icciones. Se de alla igualmen e el algo i mo u ilizado pa a esol e el p oblema de op imización no lineal esul an e, incluyendo po úl imo algunos ejemplos que ponen de mani ies o la alidez de la o mulación p esen ada. SUMMARY In his wo k, he shape op imiza ion p oblem o 2-D elas ic o ho opic solids is o mula ed. The objec i e unc ion is de ined in o de o ob ain an almos uni o m Von Mises s ess dis ibu ion along speci ied bounda y zones. The only cons ain is he weigh o he solid, al hough he uncons ained p oblem is also conside ed. The me hod used o he analysis o he sec ion is he B.E.M. which has impo an ad an ages in his kind o p oblems. The comple e o mula ion is also included as is he explana ion in de ail o he nonlinea op imiza ion algo i hm. Finaliy se e a1 examples and hei conclusions a e also p esen ed. Recibido: No iemb e 88 @Uni e si a Poli hcnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 5, 4, 453-471( 1989) F. ESPIGA. L. GRACIA Y M. DOBLARE INTRODUCCION La necesidad de diseños mecánicos óp imos no es una exigencia ecien e. Ya Galileo en su amosa ob a "Disco si e Dimos azioni Ma ema iche in o no a Due Nuo e Scienze" (1638) plan ea el p oblema de encon a la o ma de una iga en la que la ensión sea la misma en cualquie sección ans~e sal~~. Pos e io men e, di e sos p oblemas de op imización a aje on el in e és de D. Be noulli, L. Eule , Lag ange y Sain -Venan , en e o os. Las apo aciones de los di e en es au o es han hecho que las o mas de los elemen os que cons i uyen cualquie sis ema mecánico hayan ido e olucionando en el sen ido de ob ene una ansmisión de es ue zos óp ima con unos cos es lo más educidos posibles. Es a e olución en el diseño se ha p oducido, has a hace un pa de décadas, de o ma len a y discon inua, impulsada más po la in uición y expe iencia del diseñado que po una aplicación gene al. y igu osa de los concep os de Teo ía de Op imización. No ha sido has a muy ecien emen e que el ema de la ob ención de diseños mecánicos óp imos ha despe ado una a ención impo an e en la comunidad cien í ica in e nacional. Di e en es azones cabe conside a en es e c ecien e in e és sob e es e ema: el desa ollo de écnicas gene ales y po en es pa a el análisis de p oblemas complejos (mé odo de los elemen os mé odo de los elemen os de c~n o nol~~); la apa ición de nue os algo i mos numé icos pa a op i nización lineal y no lineal con una g an a iedad de es icciones; y el uso de écnicas expe imen ales que pe mi en el chequeo de los esul ados numé icos p e iosg. Den o del amplio campo de la op imización de elemen os mecánicos, un ipo de p oblema que se encuen a ac ualmen e en pleno auge es el de la op i nización de o mas. El mé odo de los elemen os ini os ha sido ampliamen e u ilizado en los úl imos años en la op imización de o mas. Así, Zienkiewicz y Cam~bell~~ oman como a iables de diseño las posiciones de los nodos de la malla de elemen os ini os, de i an la ma iz de igidez y el ec o de ca gas con espec o a las a iables de diseño, ob eniendo las de i adas de las a iables de es ado. Finalmen e, u ilizan una secuencia de p oblemas de p og amación lineal como écnica de op imización. Más ecien emen e, Chun y Haug6 u ilizan un mé odo de p oyección del g adien e como el p esen ado en [13], calculando los g adien es de mane a análoga a Roussele y Haug2'. El obje i o es minimiza el peso con es icciones conce nien es a la ensión de J on Mises en el con o no. Dems y M oz718 han desa ollado ambién una écnica gene al pa a es uc u as elás icas lineales, basada en el cálculo a iacional y el p oblema adjun o. Basándose en la la eo ía de [14], Choi y Haug5 ob ienen las exp esiones necesa ias pa a calcula el e ec o de las a iaciones de o ma sob e los uncionales que apa ecen en el diseño óp imo de o mas es uc u ales. Como aplicación p ác ica, Yoo e al." y Yang e al.23 op imizan la o ma de di e sos elemen os. El obje i o es minimiza el peso, eniendo en cuen a es icciones en ensión. Una o mulación a iacional pa a la op imización de o mas de cue pos elas icos bidimensionales es p esen ada po Kikuchi y Taylo 16. B aiban y Fleu y2 han desa ollado un modelo pa a el diseño óp imo de elemen os bidimensionales basado en elemen os ini os cuad á icos isopa amé icos. La o ma del I ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL EN MEDIOS HOMOGENEOS 455 elemen o se desc ibe po medio de cu as de Bezie y P-splines. El obje i o es minimiza el peso, con es icciones en ensiones y desplazamien os. Zochowski y Mizukamiae p esen an a ios ejemplos en Elas icidad bidimensional. U ilizan elemen os iangda es con in e polación lineal. El obje i o es minimiza el peso, con es icciones en desplazamien os. Sin emba go, a pesa de su p o usa u ilización, es e mé odo p esen a se ias des en ajas en la op imización de o mas. En p ime luga , es necesa io disc e iza odo el dominio, mien as que las a iables de diseño pe enecen al con o no, lo cual implica un impo an e aumen o del iempo necesa io pa a gene a los da os y esol e el p oblema, ob eniendo una g an can idad de esul ados innecesa ios. En segundo luga , y más impo an e, la ede inición de la malla es muy cos osa y con múl iples p oblemas en o den a e i a in e pene aciones y consegui una malla egula . Po ul imo, la p ecisión en el cálculo de las de i adas de las a iables de es ado, undamen almen e a la ho a de aplica cualquie mé odo de op imización, no es odo lo buena que cab ía desea , a menos que se u ilicen pa a las a iables de es ado ap oximaciones de o den l supe io a las que se u iliza ían si se a ase simplemen e de un p oblema de análisis. Todas es as des en ajas pueden e i a se en g an medida u ilizando el mé odo de los elemen os de con o no. Es po ello que la endencia ac ual en la op imización de o mas se o ien a hacia el uso de dicho mé odo, habiendo apa ecido la p ác ica o alidad de las publicaciones sob e el ema en los Úl imos años. Así, Zochowski y Mizukami2' han desa ollado modelos basados en elemen os de con o no y écnicas de p og amación Lineal. El obje i o es minimiza el á ea, suje o a es icciones en desplazamien os y a o as de ipo geomé ico. Mo a e al.18919 han desa ollado modelos basados en elemen os lineales y cuad á icos y en écnicas de op imización no lineal. El obje i o, en es e caso, es minimiza la lexibilidad, man eniendo el á ea cons an e. Recien emen e, Bu czynski y Adamczyk4 han desa ollado ambién modelos pa a Elas icidad bidimensional basados en elemen os de con o no. Su obje i o es maximiza la igidez, man eniendo el á ea cons an e. Se plan ean las condiciones de op imalidad, y el sis ema no lineal esul an e se esuel e median e el mé odo de New on-Raphson. Eizadian y T ompe elo han desa ollado igualmen e modelos basados en elemen os de con o no y écnicas de op imización no lineal. El obje i o que plan ean es minimiza la ensión angencia1 a lo la go del con o no mó il, suje o a es icciones geomé icas. La geome ía se de ine median e elemen os lineales y ci cula es. El p oblema de op imización no lineal se esuel e median e el mé odo de los mul iplicado es de Lag ange. Po Úl imo, Kane" u iliza elemen os cuad á icos no con o mes pa a op imiza la o ma de sólidos elás icos bidimensionales. El obje i o es uni o ma la dis ibución de ensiones a lo la go de una zona del con o no, con es icciones de ipo geomé ico. U iliza como a iables de diseño una se ie de pa áme os que de inen la geome ía de la zona en es udio. No obs an e, aunque el mé odo de los elemen os de con o no ha comenzado a u iliza se en g an medida en la op imización de o mas, debido a las en ajas que apo a, su uso se ha es ingido a p oblemas pa icula es, an o en lo conce nien e a la geome ía como en lo que se e ie e a la elección de las a iables de diseño. Tampoco se F. ESPIGA, L. GRACIA Y M. DOBLARE ha plan eado de una mane a gene al el p oblema de op imización de o mas en medios o ó opos. Po es e mo i o, el obje i o de es e abajo es abo da el p oblema de op i nización de o ma de sólidos elás icos bidimensionales, simple y múl iplemen e conexos, bajo condiciones de con o no cualesquie a, sin es icciones en cuan o a la geome ía inicial y las sucesi as geome ías que puedan i apa eciendo a lo la go del p oceso de op imización, conside ando medios homogéneos y ma e iales isó opos u o ó opos. Con obje o de ob ene una comple a gene alidad, an o pa a la geome ía inicial como pa a las sucesi as geome ías que an apa eciendo a lo la go del p oceso de op imización, se han elegido como a iables de diseño las coo denadas de los nodos de la malla de elemen os de con o no. En cuan o al mé odo de op imización u ilizado, sigue la idea de los mé odos de "di ecciones posibles", pe o in en ando que los sucesi os diseños sa is agan las es icciones, de mane a que sea posible de ene el p oceso de op imización en cualquie momen o, de al o ma que el diseño ob enido en ese ins an e sea álido (aunque no óp imo). FORMULACION DEL M.E.C. EN ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL La ecuación de pai ida del mé odo de los elemen os de con o no en Elas icidad es la bien conocida iden idad de S~ nigliana'~, la cual exp esa el ec o de desplazamien os u;(Q) en un pun o Q de un dominio i como una unción de los desplazamien os u;(Q) y las ensiones ;(P) en los pun os del con o no de dicho dominio, y de las ue zas po unidad de olumen Xi: Cik W(Q) = J Uik(Q, P) i(P) m - (1) - Z~(Q, P) dl-l + ( Uik(Q, P) Xi(P) di-2 " n donde Uik es la solución undamen al de la ecuación de Na ie , Tik son las ensiones co espondien es a dicha solución undamen al, y Cik depende de la si uación del pun o Q con espec o al dominio R12. En el p esen e abajo, no se an a conside a ue zas de olumen, po lo que disc e izando el con o no en Ne elemen os, y u ilizando una ap oximación lineal en ensiones y desplazamien os den o de cada elemen o, la exp esión (1) queda inalmen e en la o ma: u1(k) + [E:: E::] [U,,k)l Al11 A211 A112 A212 (u;)l kj kj kj kj ] [[:!;;] = A121 A221 A122 A222 j=l kj kj kj kj (u212 ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL EN MEDIOS HOMOGENEOS donde (~1:)~ es el desplazamien o en la di ección i del nodo k del elemen o j, ( :)k es la ensión en la di ección i en el nodo k del elemen o j, y: Aplicando las ecuacisnes (2) en cada nodo del con o no, e in oduciendo las condiciones de con o no, se ob iene inalmen e un sis ema algeb aico de la o maz0: con incógni as en ensiones y/o desplazamien os, dependiendo de las condiciones de con o no . EL PROBLEMA DE OPTIMIZACION En Elas icidad pueden plan ea se di e en es obje i os a la ho a de abo da el p oblema de op imización de o mas. El p oblema de op imización elegido en es e caso consis e en ob ene la o ma del con o no mó il que de luga a una dis ibución de ensiones lo más uni o me posible sob e el mismo, en endiendo po con o no mó il la zona del con o no que se modi ica a lo la go del p oceso de op imización. Pa a ello, se de ine la unción obje i o como: donde u,, es la ensión de Von Mises y u0 es la ensión de e e encia. Si no se impone ninguna es icción, se ob iene la o ma del con o no mó il al que la ensión de Von Mises a lo la go del mismo es á lo más p óxima posible en o no a la ensión de e e encia. O a al e na i a consis e en impone como es icción el alo del á ea, eligiendo en cada i e ación el alo de u0 como la media ponde ada de las ensiones de Von Mises sob e el con o no mo il. Con es o se ob iene la o ma de á ea dada al que las ensiones de Von Mises a lo la go del con o no mó il son lo más uni o mes posibles, como se e á en los ejemplos p esen ados. Dicha es icción se de ine como: donde es el adio- ec o que une el o igen de coo denadas con un pun o cualquie a del con o no y n es la no mal ex e io al con o no en dicho pun o. F. ESPIGA, L. GRACIA Y M. DOBLARE Teniendo en cuen a la disc e ización del con o no, la unción obje i o se e alúa como: Nem (zi, yi) = E J (uum - gol2 aj j=i i donde Nem es el núme o de elemen os mó iles, en endiendo po ales aquellos en los que las coo denadas de alguno de sus nodos pueden modi ica se a lo la go del p oceso de op imización. Del mismo modo, la es icción se ans o ma en: Nem h(zi,yi) = A. - - E ( j nj) Lj = O j=i En las exp esiones an e io es se obse a que, mien as la es icción depende exclusi amen e de a iables geomé icas, siendo una unción explíci a de las a iables ¿e diseño, la unción obje i o depende de és as de mane a implíci a, a a és de la a iable in e media u,,, que es unción de las a iables de es ado, siendo su alo en el caso bidimensional: donde los alo es de a, P y 7 a ían según se a e de ensión o de o mación plana, y ma e ial isó opo u o ó opol'. En de ini i a, pa a e alua la unción obje i o, es p eciso exp esa las componen es del enso de ensiones en cada pun o del con o no mó il en unción de las a iables de es ado del p oblema (desplazamien os y ensiones en el con o no). De dicho enso de ensiones se conocen en cualquie pun o del elemen o, una ez ealizado el análisis, dos de sus componen es en coo denadas locales del mismo: siendo n.ecesa io ecu i a las elaciones ensiones-de o maciones pa a ob ene la e ce a. Como sólo es posible ob ene la de o mación a lo la go del elemen o en coo denadas locales de és e, se á p eciso ans o ma dichas elaciones a es as coo denadas. Así, pa a coo denadas locales se ob iene: E' = H-' D Hu' (11) donde D es la ma iz que elaciona de o maciones con ensiones en coo denadas globales y H es una ma iz que depende de la geome ía, y iene po componen es: ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL EN MEDIOS HOMOGENEOS 459 En el caso en que el con o no mó il es é desca gado, la ensión no mal en un plano pe pendicula al con o no iene dada po : donde Bll, B22, B12 y C ienen dadas en unción de las cons an es elás icas del ma e ial". El alo de &i2 se ob iene median e la exp esión: Sus i uyendo es e alo en la exp esión (13), se ob iene el alo de la ensión en un plano pe pendicula al con o no, y una ez conocido el mismo, es posible calcula las componen es del enso de ensiones en coo denadas globales median e: Po Úl imo, po medio de (9) se ob iene la ensión de Von Mises en cada elemen o. Según se deduce de (14), la de o mación en sen ido longi udinal es cons an e den o de cada elemen o, po lo que cuando el con o no mó il es á desca gado, el alo que se ob iene pa a la ensión de Von Mises es cons an e den o de cada elemen o, y la unción obje i o puede exp esa se en onces como: Nem (zi,Yi) = (~um -00)~ Lj j=l donde Nem es el nume o de elemen os del con o no mó il. El g adien e de la unción obje i o se ob iene po de i ación de la exp esión (16) espec o de las coo denadas de cada nodo: d (~i,Yi) - Nem - axk (17) y pa a ob ene la de i ada del p ime ac o es p eciso aplica la egla de la cadena comenzando po la exp esión (9), has a llega a las de i adas de las a iables de es ado, en es e caso los desplazamien os, las cuales se calculan po de i ación implíci a del sis ema (4) en la o ma: Como el ec o de esul ados y la in e sa de la ma iz de coe icien es es án disponibles una ez ealizado el análisis, solamen e es necesa io calcula las de i adas de la ma iz de coe icien es y del ec o de é minos independien es. Hay que ad e i que al de i a la ma iz de coe icien es, sólo se e án a ec adas aquellas cons an es F. ESPIGA, L. GRACIA Y M. DOBLARE que co espondan a la in eg ación desde el nodo espec o a cuyas coo denadas se de i a, y a la in eg ación sob e los elemen os adyacen es a dicho nodo. Las de i adas co espondien es pueden encon a se en [ll]. El g adien e de la es icción se ob iene po de i ación de la exp esión (8) espec o a las coo denadas de cada uno de los nodos mó iles esul ando: ah(z;, Y;) - - - Yk l - Yk-1 ah(xi7 Y;) - - - Xk-1 - Xk+l axk 2 ayk 2 (19) exp esiones que dependen explíci amen e de las a iables de diseño, po lo que no es necesa io ningún cálculo adicional. Las condiciones de Kuhn-Tucke que deben cumpli se en el mínimo pueden exp esa se en la o ma: g ad (x*) g adh(x*) = -1 Ig ad (x*)l . Ig adh(x*)l Numé icamen e, es a condición se es ablece ijando una co a de e o en el mínimo, &m 7 de al o ma que si: g ad (x*) . g adh(x*) = COS('IF - e,) IPd (x*)l lg adh(x*)l se cumple, x* se conside a solución del p oblema de op imización. El mé odo de op i nización u ilizado necesi a ambién la de inición de o a co a de e o pa a la es icción, E,, de al o ma que la es icción o iginal se sus i uye po una "banda de es icción7', den o de la cual se conside a esuel o el p oblema si se cumple la condición (21) (Figu a 1): o lo que es lo mismo: Si el pun o ac ual, xk, no es el óp imo, se á p eciso de e mina el nue o diseño, pudiendo p esen a se es si uaciones di e en es: 1) xk es á en el in e io de la egión de diseño (Pun o 1 en Figu a 1). La di ección de op imización co esponde al menos g adien e de la unción obje i o en xk. Po consiguien e, el nue o pun o de diseño iene dado po : Si se obliga a que xk+~ sa is aga la es icción h, y ap oximamos és a linealmen e en xk, es a condición se exp esa como: ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL EN MEDIOS HOMOGENEOS ............ - g ad ......... ........ ..................... h=h, ....... ...... h =o .... ........................................................ .......... - g ad h h = h, Mínimo (cp 2 R) - g ad ...... ....... ........ .... ....... I - Figu a 1. Di e en es si uaciones a lo la go del p oceso de op imización. h(xk+i) = h(xk) - ag ad (xk) . g adh(xk) = O y a pa i de ella se ob iene el amaño de e apa: 2) xk es á ue a de la egión de diseño (Pun o 2 en Figu a 1). La línea que une xk con xk+l es en.es e caso el menos g adien e de la es icción, -g adh(xk). De es a o ma, se alcanza la banda de es icción lo más ápidamen e posible. Exp esando es as condiciones, se ob ienen el amaño de e apa y el nue o pun o de diseño: a = h(xk g ad h(xk) . g adh(xk) 3) xk es á en el in e io de la banda de es icción (Pun o 3 en Figu a 1). En es e caso, se ha seguido un p oceso bie apa, que ha demos ado un buen compo amien o. La p ime a di ección co esponde al menos g adien e de la unción obje i o, y la segunda, S, a la p oyección de g adh sob e el ,Kpe plano angen e a (xK). Asi, Xx l puede esc ibi se como: con: F. ESPIGA, L. GRACIA Y M. DOBLARE Las dis ibuciones de ensiones pa a los diseños inicial y inal ienen e lejadas en la Figu a 10b. En la Figu a loa puede obse a se la e olución de la unción obje i o. El siguien e ejemplo co esponde a una placa de ma e ial o ó opo some ida a una acción biaxial de igual alo en ambos ejes, con un aguje o in e io (Figu a 11). Se ha disc e izado una cua a pa e de la placa, median e una malla de 24 elemen os, 12 en el ex e io y 12 en el in e io . La dimensión del aguje o en e al o al de la placa es de 1/20. Figu a 11. Placa o ó opa soiiie ida a acción biaxial. Las ca ac e ís icas del ma e ial son: Se a a de op imiza la o ma del aguje o pa a consegui una dis ibución uni o me de ensiones, man eniendo el á ea cons an e. El esul ado ob enido se mues a en la Figu a 12. El diseño óp imo se alcanza después de once i e aciones. La dis ibución de ensiones en el diseño inal puede obse a se en la Figu a 13. CONCLUSIONES Se ha p esen ado la o mulación del p oblema de op imización de o mas en Elas icidad bidimensional pa a medios homogéneos, an o pa a ma e iales isó opos como o ó opos, habiéndose p obado la alidez de dicha o mulación a la luz de los ejemplos p esen ados. La elección del mé odo de los elemen os de con o no como mé odo numé ico pa a la ob ención de los a,lo es de las a iables de es ado in oluc adas en la o mulación pe mi e maneja un olumen de in o mación ela i amen e pequeño, y conce nien e ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL EN MEDIOS HOMOGENEOS Figu a 12. Diseño inal de aguje o en placa o ó opa. Figu a 13. Resul ados ob enidos pa a placa o ó opa. exclusi amen e al con o no, que en de ini i a es el que de ine la geome ía. Además, la p ecisión conseguida en el cálculo de los g adien es es ele ada y la ede inición de malla en e i e aciones, en el caso en que sea necesa io, sencilla y poco cos osa. La elección de las coo denadas de los nodos de la malla de elemen os de con o no como a iables de diseño, pe mi e ob ene una comple a gene alidad, an o pa a la geome ía inicial como pa a las sucesi as geome ías que an apa eciendo a lo la go del p oceso de op imización, haciendo posible modeliza o mas eales u ilizando mallas an inas como sea p eciso. Se ha elegido un mé odo de op i nización que ha p obado su e icacia en los casos expues os, si bien una lige a elajación de los pa áme os de e o hace disminui conside ablemen e el nume o de i e aciones necesa ias, debido a la baja elocidad de con e gencia en las p oximidades del óp imo. A pesa de ello, el hecho de que casi en la o alidad de los casos se man enga el pun o de diseño en el in e io de la banda de es icción, hace posible la de ención del p oceso en cualquie momen o, con la segu idad de un diseño álido. La es uc u a de la o mulación p esen ada, hace ealmen e simple la modi icación de la unción obje i o y de la es icción, siemp e y cuando sus exp esiones dependan F. ESPIGA, L. GRACIA Y M. DOBLARE exclusi amen e de las a iables de diseño o de es ado, es deci , de alo es en el con o no, con lo cual es posible abo da di e en es p oblemas eales de op imización de o mas. REFERENCIAS 1. P.K. Bane jee y R. 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