Modus ponens on Boolean algebras revisited
Abstract
In a Boolean Algebra B, an inequality f(x,x -> y))<=y satisfying the condition f(1,1)=1, is considered for defining operations a->b among the elements of B. These operations are called ``Conditionals'' for f. In this paper, we obtain all the boolean Conditionals and Internal Conditionals, and some of their properties as, for example, monotonicity are briefly discussed.
Full text
!" # ! ! $ % & ' ' ' ! ( ! ) !* & ! " " !#$ % ! " !" & '% !#$ () % & & # ' % % % % * + ,'% - + & + % + %& ' & % % % . & % & /
0 % % 1 !" %2& * 2& . + (3) % 4 % ,'% - ,5- % + + + + 6 2& 7 & + % & & + & & + .%& 2& * + ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ & ¼ ¼ %& + 4 + ¼ .4 ¼ + 2& 2& + . & + + ¼ ¼ + ¼ ¼ ¼ ¼ ' + ¼ ¼ 8 % % + + ¼ ¼ + ¼ + ¼ + 0 + + + % & + ¼ ¼ ¼ 0 + + + % & 9. # % * + * % !"#% % #5 . % & : 2& 2 + ! ' " "#% % !'"#% ;
#' 5 <% & #' 5 5 . & ' 8 ' . % !"#% !"# % % !'"# % !"#% ' . #5 % !"#% % #5 % 8 = & !"#% + ¼ ¼ Æ ¼ ¼ % Æ '% + ¼ ¼ + ¼ ¼ * ¼ + 7 + + + + Æ ¼ ¼ 52& % + ¼ & !'"#%* + + ¼ ¼ % + ¼ ¼ 7 ¼ ¼ 7 ¼ ¼ ¼ + 7 + + 52& + Æ ¼ ¼ !"#% + + ¼ ¼ + ¼ ¼ . + ¼ ¼ + & !"#% 7 !" !'"#% ' % + + ¼ Æ ¼ % '% + ¼ ¼ ¼ ¼ + ¼ ¼ ¼ Æ ¼ * ¼ ¼ + 7 + + + Æ + + & !'"# % % + ¼ ¼ ¼ ¼ 7 ¼ ¼ ¼ + 7 + + + Æ ¼ ¼ + + ¼ ¼ & !"#% % + ¼ ¼ & % !'"#% >
4 % + %& ' + + ¼ % ¼ ¼ + ¼ + 2 ¼ + 52& & Æ % ' 5 . + + ¼ ¼ Æ ¼ ¼ Æ % % ¼ Æ ¼ ¼ + + Æ + ' 5 + ¼ ?8 + + & + ¼ % 4 + .& + ' 5 @ '% & .%& & % ¼ + ¼ ¼ ¼ Æ ¼ ¼ + 2. ¼ ¼ Æ ¼ ¼ + . .4 % ? : % + &A + %& ' + ¼ ¼ ¼ ¼ + ¼ ¼ Æ ¼ ¼ Æ + + + ¼ ¼ ¼ ¼ * + ¼ ¼ ¼ ¼ . + + Æ ¼ + Æ + + ¼ ¼ ¼ ¼ + ¼ ¼ ¼ + ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ B
* + ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ + ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ + 2. ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ + ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ + 52&* + + + + ¼ ¼ + ¼ ¼ ¼ + ¼ * + + ¼ 3 + + ¼ C + ¼ ¼ + ¼ + ¼ ¼ + ¼ % % # + ¼ 7 !'"# % (C) % % & & ? 2& = 8 % & ? % % & . % + ¼ % * + ¼ ¼ ¼ + ¼ + &A + = + ¼ ¼ ¼ ¼ + ¼ ¼ Æ ¼ ¼ % + ¼ ¼ Æ ¼ ¼ D
¼ ¼ ¼ Æ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Æ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Æ ¼ + ¼ ¼ Æ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Æ ¼ %* ¼ Æ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Æ ¼ + ¼ Æ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Æ ¼ + ¼ ¼ Æ Æ ¼ ¼ ¼ + % & % + E + E Æ + E Æ ¼ + % + ¼ Æ ¼ ¼ !"#% % % Æ + + % Æ + + 6 % 8& !"#% = 8 % + Æ + + !"#% + + ¼ + % % + % & % & Æ + 1 1 F F ¼ 1 F 1 1 ¼ ¼ 1 F ¼ ¼ 1 1 ¼ + 1 F 1 F ¼ ¼ 1 1 ¼ ¼ 1 F ¼ ¼ ¼ + ¼ F F ¼ ¼ 1 1 ¼ F F ¼ ¼ F F
' () % % * + : & !"#% + ¼ ¼ ¼ ¼ + ¼ ¼ ¼ ¼ + & Æ % & * ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ + 6 + + + ¼ = % + + + ¼ + <.& % + + < % + + + 6 & + + ¼ !"#% 0 + % + + + + % + + 6 + % : .%& @ '% Æ + ¼ ¼ Æ ¼ ¼ + ¼ ¼ Æ ¼ ¼ + ¼ + ' ¼ * ¼ + % + 6 + + * + +
+ ¼ + + ¼ ¼ + ¼ ¼ + ¼ + ¼ ¼ ¼ + ¼ ¼ + ¼ + + ¼ =& 0 % + + ¼ ¼ Æ ¼ ¼ % & + ¼ Æ ¼ ¼ Æ %* + ¼ G G ¼ ¼ G ¼ G G ¼ G ¼ ¼ :. 5 ' 5 % %& + .& !"#% !'"#% . 5 & %.%& + % & % #5 % % = & !"#% () $ H D> I. " 1 F0 (3) ? DDC ' J % K# &=AA L# 6& M 3 >#C> (C) ? 5 6 DD J % 1#5 3 3#3 () ? 5 6 5 J DD/ =AA& 6 6& >3 //#;/ 3