One-Story Buildings as Tensigrity Frameworks. Past II

43 And as Recski Technical Uni e si y Budapes Depa men o Ma hema ics Budapes , S oczek u. 2-4 H-1111, Hunga y Pa I o his pape was published in S uc u al Topology, numbe 12. La pa ie I de ce a icle a B b publibe dans le numB o 12 de la e ue Topologie s uc u ale. F ench ansla ion: T aduc ion ancaise : Jean-Luc Raymond "11111" 'llll~l'~ ONE-STORY BUILDINM AS TENSEGRIN FRAMEWORKS CHARPENTES DE TENSEGRl E PART11 * PARTIEII * DES EDIFICES D'UN ETAGE COMME ABSIHACT The minimum numbe o diagonal cables o makeaone-s o y build- ing in ini esimally igid was de e mined in Pa I. The cha ac e iza- ion o he minimum sys ems is now gi en in wo special cases: I he unde lying g aph is no a ee, and i all he cables a e pa allel. .ill. 1. INTRODUCTION Conside a 1-s o y building on a squa e g id, wi h he e ical ba s ixed o he ea h ia join s. I each o he ou ex e nal e ical wall con ains a diagonal, he ou co ne s o he oom become ixed. Hence ques ions ela ed o he in ini esimal igidi y o one-s o y buildings a e educed [2] o hose ela ed o he in ini esimal igidi y o 2-dimensional squa e g ids whe e he co ne s a e pinned down. Suppose a i s ha he co ne s o he g id a e no pinned down. I such a g id has k ows and e columns hen k+P-1 is he minimum numbe o diagonal ods o igidi y he g id, and a sys em o k+e-l odsisapp op ia e i andonly i heco esponding subg aph o he comple e bipa i e g aph Kk,( is a ee [2]. In wha ollows, he wo subse s o he e ex se o Kk,( will be deno ed by A and B wi h lAl= k and IBl= e. Dans la pa ie I, on a ai de e mine le nomb e minimal de cilbles diagonauxpou end e in ini esimalemen igide un edi ice d'un e age. On donne main enan la ca ac e isa ion des sys emes minimaux dans deuxcas speciaux : celui ou le g aphe sous-jacen n'es pas un a b e, e celui 00 ous les cAbles son pa alleles. .# i. 1. INTRODUCTION Conside ons un edi ice d'un e age cons ui su une g ille ca ee, ses ba es e icales e an ixees au sol a I'aide de join s. Si chacun des qua e mu s e icaux ex e ieu s con ien une diagonale, les qua e coins du oi son alo s ixes. Les ques ions ela i es a la igidi e in ini esimale des edi ices d'un e age se eduisen donc a celles liees a la igidi e in ini esimale des g illes ca ees bidimensionnelles don les coins son ixes au plan [2]. Supposons ou d'abo d que les coins de la g ille ne son pas ixes au plan. Si une elle g ille possede k lignes e e colonnes, alo s k+ -l es le nomb e minimal de igesdiagonales necessai es pou igidi ie la g ille, e un sys eme de k+ -l iges es app op ie si e seulemen si le sous-g aphe co espondan du g aphe bipa i co n- ple Kk,[ es un a b e [2]. Dans ce qui sui , les deux sous-ensembles 44 I we apply diagonal cables a he han ods hen connec edness o he co esponding di ec ed subg aph is eplaced by s ong connec - edness, and he minimum numbe becomes 2,max(k,e), see [I, Theo em 10,151. I he co ne s o he g id a e pinned down, he minimum numbe o necessa y diagonal ods educes o k+ -2 [2] and such a sys em is app op ia e i and only i he co esponding subg aph is an asym- me ic 2-componen o es [4]. Recall ha a 2-componen o es wi h e ex se s V,, V, o he componen s is called asymme ic i I Y.n BI . I (n A 1. Finally, i we use diagonal cables, he necessa y minimum was p o ed o be i k=e=l i k=e=2 i" k+ -1 o he wise [3]. Howe e , he p oblem o cha ac e izing all minimal in ini esi- mally igid sys ems (i k, 2 and k+ 2 5) seems o be open. Fo example, he eade may y o guess, which o he wo sys ems on Figu e 4 below is in ini esimally igid. We a e going o p o e he ollowing wo pa ial esul s. Theo em 1: Conside asys emo k+e-l diagonal cablesin he kx squa eg id whe e he co ne s a e pinned down. Suppose he co esponding subg aph is no a ee. Then he sys em o cables makes he g id in i- ni esimally igid i and only i k-e =+1 and he co esponding sub- g aph is a di ec ed ci cui wi h 2.min (k,C) e ices (see Figu e 2). Theo em 2: Conside asys emo k+e-l diagonalcablesin he kx squa eg id whe e he co ne s a e pinned down, and suppose ha all he diago- nals a e pa allel (i.e. he o ien a ion o e e y edge is he same, say om A owa ds B). Then he sys em makes he g id in ini esimally igid i and only i lN(%)I > .I%/ holds o e e y p ope subse %o de I'ensemble des somme s de Kk,? se on designes pa A e B ou IA~ = k e = e. Si on applique des cables diagonaux en lieu e place des iges, la connexi e du sous-g aphe o ien e co espondan es alo s em- placee pa une connexi e o e, e le nomb e minimal de ien 2*max(k, ), oi [l, heo eme 10.151. Si lescoins de la g ille son ixesau plan, le nomb e minimal de iges diagonales necessai es es edui a k+e- 2 [2], e un el sys eme es app op ie si e seulemen si le sous-g aphe co espondan es une o & asy ne iquea2 composan esconnexes [4]. Rappelonsqu'une o & a 2 composan es connexes don les ensembles de somme s son V, e V,es di easyme iquesiI(nBi#-/ .Iy,nA(. IIaB b demon e, en in, que si on u ilise des cables diagonaux, le nomb e minimal necessai e es sik=e=l sik=e=2 F k+ -l au emen [3]. Tou e ois, le p obleme de laca ac e isa ion de ous les sys emes in ini esimalemen igides minimaux (si k,e 2 2 e k+ 2 5) semble Q e ou e . Pa exemple, le lec eu peu en e de de ine lequel des deux sys emes de la igu e 4 es in ini esi nalemen igide. Voici deux esul a s pa iels don on donne a les demons a ions. Thdo eme 1 Conside ons un sys eme de k+e-l cables diagonaux dans la g ille ca ee kxe don les coins son ixes au plan. Si le sous-g aphe co espondan n'es pas un a b e, alo s le sys eme de cables end la g ille in ini esimalemen igide si e seulemen si k-e=+l e le sous-g aphe co espondan es un ci cui o ien e su 2.min (k, ) somme s ( oi la igu e 2). 45 FIGURE 1 FIGURE 4 :(-==A 4 A FIGURE 2 sa 1234 0 123 FIGURE 3 3 4m lU 723 1234 & 12345 OM 46 A, whe e N(X) deno es he se o hose e ices o B which a e adjacen o a leas one e ex o X. 2. PROOF OF THEOREM 1 Following he no a ion o [3] le x,, x2, .. ., xk deno e he ho izon al ansla ions o he ows and y,, y2, . . ., y, he e ical ansla ions o he columns. Fixing he ou co ne s o he g id means (1) x,+x2+ ...+ x,=O and y,+y,+ ...+ye= 0 [2],andadi ec ededge(i,j) meansx,2$. Hence he di ec ed ci cui wi h e ices, say, (x,, y,, x,, y2, ... , xk, yk) means ha all he 2k quan i ies a e equal. Thus x, = y, = 0 o i = 1, 2, .I ., k by (1) and yk+, = 0 also ollows. We mus show ha his is he only possibili y o a minimum sys em o cables, i he co esponding subg aph G is no a ee. Since we ha ek+e e icesand henumbe o edgesin Gisk+C-l,i Gis no a ee, i has c >1 connec ed componen s. A i s we p o e ha hesys emcanno bein ini esimally igidi c> 2. Recall ha he di ec ed edges wi hin a componen imply ela ions among x,’s and 4’s o ha componen only. Hence he mos one can expec is ha all hese quan i ies a e equal o a common alue z, wi hin a componen G,o G. Then we s ill ha e cquan i ies zl, z,, . . ., z, and only wo u he equa ions, namely (1). Hence he z,’s can be chosen so ha a leas one o hem is di e en om ze o. Thus c=2 and one o he componen s, say G,, con ains no ci cui . Hence i has a sou ce s (wi h indeg ee ze o) and a sink (wi h ou deg ee ze o). Lemma 1 I a sou ce s and a sink a e dis inc and hey a e in he same e ex se A hen he sys em canno be igid. ThBo Bme 2 Conside ons un sys eme de k+C-1 cables diagonaux dans la g ille ca ee kxC don les coins son ixes au plan, e supposons que ou es les diagonales soien pa alleles (c’es -&di e que I’o ien a ion de ou es les a e es es la meme, disons de A e s B). Alo s le sys eme end la g ille in ini esimalemen igide si e seulemen si IN(X)I > - 1x1 es alide pou ou sous-ensemble p op e Xde A, oh N(X) designe I’ensemble des somme s de B qui son adjacen s A au moins un somme de X 2. DEMONS^ TION DU THEOREME 1 Selon la no a ion u ilise dans [3], soien x,, x2, . . ,, xk les ansla ions ho izon ales des lignes, e y,, y,, . . ., ye les ansla ions e icales des colonnes. Fixe les qua e coins de la g ille signi ie (1) x,+x2+ ... +x,=O e y1+y2+ ... +y,=O [2], e unea e eo ien ee (ill) signi iex,>$. L’exis ence d’un ci cui o ien 6 de somme s, disons, (x,, y,, x,, y2, . . . , x,, y,) signi ie donc que ou es les 2k quan i es son egales. Ainsi xi = yi = 0 pou i = 1, 2, . . ., k pa (1) e yk+, = 0 s’ensui egalemen . On doi demon e que c’es la seule possibili e pou un sys kme minimal de cables, si le sous-g aphe co espondan G n’es pas un a b e. Puisqu’on a k+C somme s e que le nomb e d’a b es de G es k + C - 1, si G n’es pas un a b e, il possbde c > 1 composan es connexes. Dans un p emie emps, on demon e que le sys eme ne peu & e in ini esimalemen igide si c >2. II au se appele que les a e es o ien ees a I’in e ieu d’une composan e n’impliquen des ela ions qu’en e les xi e les , de ce e composan e. Le mieux qu’on puisse espe e es donc que ou es ces quan i es soien egales a une aleu commune z, a I’in e ieu d’une composan e Gi de G. I1 nous es e alo s enco e c quan i es z,, z2, . . ., z,e seulemen deux equa ions, 47 P oo Simply pu x, = +I, x, = -1 and ze o o e e ywhe e else, o ob ain a de o ma ion (see Figu e 1). Suppose a i s ha G, has a single e ex s= only, in one o he e ex se s, say in A. Then G, can ha e nei he sinks no sou ces in A, bylemma1,andi V(G,)nB hasasink, i canno ha eany sou ce, o he same eason. Hence he only ci cui Co G,mus be di ec ed wi h V(C) n A = V(G,) n A and all he poin s in D= B- V(C) mus hen be sinks. I D=0, we ob ained case (ii) o Theo em 1, see Figu e2. O he wise assign a nega i e alue u o e e y xi, , o C, assign -u a I V( C) n A I o s and -u - 1 V(C) n BI /ID/ o he poin s o 0, o ob ain a de o ma- ion, see Figu e 3. Now suppose ha G1 has se e al e ices and SEA and ~ B. Le a= 1 V(G,) n A 1-1, b= I V(G,) n Bl -1 and c= k- a-1 , d= -b- 1. We pu xi=yi= u2 o e e y poin in G,, q=yi= u, o e e y poin excep s and in G1, and x, = u, + E, y = u, - 6. Then all he in- equali iesde e mined by hecablesa e me i ~,620and he ollow- ing sys em o equa ions gi en by (1) is sa is ied: (a+l)x + cy = -E This is uniquely sol able o any ~,6 i I ;;; , I #O. I he de e minan anishes hen i is also sol able wi h E = 6 = 0. (b + 1 )x + dy = 6 3. PROOF OF THEOREM2 a. Necessi y Suppose ha lN(X)l I .IXI o some XC A (X# 0; X+ A). We cons uc a de o ma ion as ollows. Le Y= A-X. Assign xi=-lY o he poin s in Xand q=(XI o he poin s in K In he o he e ex se assign yi=-lYl o he poin s in N(X) and yi=c o he poin s in celles de (1). Les zi peu en donc Q e choisis de elle so e qu’au moins I’un d’en e eux soi di e en de ze o. Ainsi, c=2 e I’une des composan es, disons G,, ne con ien aucun ci cui . II possede donc une sou ce s (de deg k in k ieu ze o) e un pui s (de deg e ex e ieu ze o). Lemme 1 Si une sou ces e un pui s son dis inc s e qu’ils appa iennen au meme ensemble desomme s A, alo s le sys eme ne peu e e igide. Demons a ion II s’agi simplemen de ai e en so e que x, = +1, x,= -1 e ze o pa ou ailleu s, e on ob ien une de o ma ion ( oi igu e 1). Supposons ou d’abo d que G, ne possede qu’un seul somme s = , dans I’un des ensembles de somme s, disons dans A. Alo s G, peu n’a oi ni pui s, ni sou ce dans A, pa le Lemme 1, e si V( G,) n B possede un pui s, il ne peu a oi aucune sou ce, pou la meme aison. Le seul ci cui C de G, doi donc e e o ien e OD V(C)nA= V(G,)nA e ouslespoin sappa enan d D=B-V(C) doi en alo s & e des pui s. Si D= 0, on ob ien le cas (ii) du heo eme 1, oi igu e 2. Au e- men , on assigne une aleu nega i e u a ous les xi, , de C, on assigne-u.IV(C)nAl as e -u.IV(C)nBI/lDl auxpoin sde D, pou ob eni une de o ma ion, oi igu e 3. Supposons main enan que G, possede plusieu s somme s e SEA e ~ B. Soien a= /V(G,) n A1 - 1, b = IV(Gl) n BI - 1 e c=k-a-I, d=e-b-l. On poseq=yi=u,pou ou poin deG2, q=yi=u, pou ou poin deG,sau se ,e x,=u,+~,y,=u,-6. Tou es les inegali es dk e minees pa les cables son alo s e i iees siE,610e lesys kmed’equa ionssui an donnk pa (1) es sa is ai : (a+l)x+cy=-E (b + 1 )x + dy = 6 B-N(X). In o de o mee (1) we need IN(X)l. lY1= IB-l (X)l- c which gi es The condi ions xi> , implied by he cables a e clea ly me i iE A, j E I (X). The case ie X, jE B-I (X) is impossible by he de ini ion o N(X). Hence only he case iE Y, j. B-N(X). is le , i.e. we ha e o p o e CI 1x1. Howe e , by (2) i is jus equi alen o IN(%) 2 .l%i. b. Su iciency We ex end ou g aph G in o a la ge g aph Go as ollows. Le us conside C copies A,, A,, . . ., A, o A and k copies B,, B,, . . ., B, o B. The unions A, = A, u.. . u A and B, = 6, u.. . u B, o hese se s de ine he bipa i ion o he e ex se o Go and he i h e ex x;o a subse A, is adjacen o he jih e ex &+' o a subse Bq in Go i and only i x, is adjacen o 4 in G. Bo h subse s A,and 6, ha e ca dinali y C. k, hence Go has a pe ec ma ching i and only i IN(X)I 2 1x1 o e e y X A, [5]. Fo any subse X o A, we de ine he in e se image /(X) o i as a subse o A so ha xi€ /(X) i and only i xp~X o some p. Clea ly, l/(X)l> 1x1 / e o any X Conside now an a bi a y subse X o A,. Obse e ha IN(X)I = k. IN(/(X))I by hede ini iono Go. On heo he hand, IN(/(%))l> i/(%)l by he condi ion. Hence IIV(X)~ = k+ (/(x))l> e. I/(x)l z 1x1, hus Go hasa pe ec ma ching M=((5,, 8,); =1,2, ..., k.C). Each edge o M implies an inequali y ,, I 5, ; each quan i y $a ises C imes and each , a ises k imes in his se o inequali ies. Hence he equali y On ou e a une solu ion unique pou ou &, i si I ;;; ;I # 0. Si le de e minan s'annule, le sys eme possede alo s aussi une solu ion pou E = 6 = 0. 3. DEMONSTRATlol DU WEOREME 2 a. Necessi d SupposonsqueIIV(X)II~IXl pou unce ainXcA(X# ZI;X#A). On peu cons ui e une de o ma ion de la aqon sui an e. Soi Y= A-X. Posons x,= -1Y pou les poin s de Xe x,=IXl pou les poin s de Y. Dans I'au e ensemble de somme s, posons y, = -1YI pou les poin s de N(X) e y, = c pou les poin s appa enan a B-N(X). Pou que les equa ions de (1) soien sa is ai es, il au que IN(X)I 0 /YI = /B-N(X)( - c, ce qui donne Les condi ions x, z y, amenees pa les ciibles son clai emen e i- iees si ie A, j. N(X). Le cas ie X, je B-N(X) es impossible pa de ini ion de I(%). II ne es e donc que le cas iE Y, j. B-N(X). On a donc a demon e que CI 1x1. Tou e ois, on oi pa (2) que c'es equi alen a IN(%)I I - 1x1. b. Su isance On e end le g aphe G en un plus g and g aphe, Go, de la aqon sui an e. Conside ons e copies A,, A,, . . ., A, de A e k copies B,, B,, . . ., B, de B. Les eunions A, = A, u.. . u A, e B, = 8, u.. . u B, de ces ensembles de e minen une bipa i ion de I'ensemble de somme s de Go e le i-e ne somme x,p d'un sous-ensemble A, es adjacen au j-ieme somme JQd'un sous-ensemble BQ dans Go si e seulemen si x, es adjacen a J dans G. Les deux sous-ensembles A, e B, e an de ca dinali e C. k, Go pos- sede un couplage pa ai si e seulemen si 1N(X)12 1x1 pou ou Xc_ A, [5]. Pou ou sous-ensemble X de A,, on de ini son image 49 P k o=k.& I e.Cx,=o I .1 / .1 can hold only i each o he abo e inequali ies y,, I 5, a e in ac equali ies. Lemma 2 I IN(X)I>#IXI holds o e e yp ope subse Xo A hen hedele ion o any one edge o G leads o an asymme ic 2-componen o es . P oo Le e= (x, y) be an a bi a y edge and le G,, G2 be he componen s o G - e, wi h espec i e e ex se s V,, V,. Should Iy n BI = -IynA/hold, hechoiceX= V,nAi x~V; o X= V,nAi XEV,, leads o a con adic ion. In o de o inish he p oo , conside hose edges o G only whe e equali y holds. I he esul ing subg aph F is he whole g aph G hen he sys em is in ini esimally igid and he p oo is comple e. O he - wise Fis a o es wi h se e al componen s 6, F2, . . . and he sys em is in ini esimally non- igid. We show ha his is impossible. Le IV(F;) n A1 and IV(F;) n BI be deno ed by k, and el, espec i ely. I kl = . el o e e y i, we ob ain a con adic ion by Lemma 2. O he wise he e exis s a subsc ip i so ha k, > . el holds. Then he choice X= V(F;) nA leads o a con adic ion. 4. EXAMPLES AND REMARKS a. In o de o illus a e Theo em 2, conside he wo amewo ks o Figu e 4. The i s one is in ini esimally igid, he second one is no . One can see his di e ence by le ing X be he subse o med by he i s i e ows. Then N(X) is o he ca dinali y 13 in he i s case and 12 in he second one, and 12 <y< 13. b. The end o he p oo o Theo em 2 (Lemma 2 and he las wo in e se I(%) comme un sous-ensemble de A el que xl E /(X) si e seulemen si X~EX pou un ce ain p. De aqon B iden e, I/(X)l 2 1x1 / e pou ou X. Conside ons main enan un sous-ensemble a bi ai e X de A,. On no e que IN(X)l = k. IN(/(X))I pa de ini ion de Go. D'au e pa , lN(/(X))l> j. l/(X)l pa la condi ion. Donc IN(x)~ = ~.IN(I(X))~ > e. II(X)~ 2 1x1 ; ainsi Go possede un couplage pa ai M={(5,, x,); =l, 2, . . ., k4. Chaque a e e de M implique une inegali e ,, I x,, ; chaque quan i e 5 su ien e ois e chaque , su ien k ois dans ce ensemble d'inegali es. Donc, I'egali e k O=k.C , I "&=O I .1 / .1 ne ien que si chacune des inegali es , I x,, son en ai desegali es. emme 2 Si I'inegali e IN(X)l > . 1x1 es e i iee pou ou sous-ensemble p op e X de A, alo s la supp ession d'une a e e quelconque de G mene a une o & asyme ique a 2 composan es. D6mons a ion Soi e= (x, y) une a e e a bi ai e, e soien G, e G2 lescomposan es de G-e, don les ensembles de somme s son espec i emen V, e V,. Si I'egali e I I( n Bl = - 1 ( n A1 e ai sa is ai e, le choix de X = V,nAsixE V,,oudeX= V,nA sixEV,, mene ai aunecon adic ion. Dans le bu de e mine la demons a ion, conside ons seulemen lesa e es de G pou lesquelles I'egali ees e i iee. Si le sous-g aphe esul an Fes le g aphe en ie G, alo s le sys bme es in ini esima- lemen igide e la demons a ion es comple ee. Au emen , F es une o & ayan plusieu s composan es 6, 2, . . . e le sys eme es pa ag aphs) can besigni ican lysho ened. By a heo em o He yei [6] e e y edge is con ained in a pe ec ma ching i he Hall- condi ion holds wi h s ic inequali y o e e y p ope subse o A (see also P oblem 7.7 in [8]). Then he connec i i y o G imme- dia ely implies in ini esimal igidi y. c. The e a e plen y o e icien algo i hms o check whe he a bipa - i e g aph has a pe ec ma ching, see [7] o example. Hence he condi ion o Theo em 2 can easily be checked. d. The p ope y desc ibed in Lemma 2 ( he dele ion o any one edge eo G leads o an asymme ic 2-componen o es ) is necessa y o he in ini esimal igidi ye en i hecablesa e no pa allel. E en i all he cables o G-e a e eplaced by ods, he e a e wo ypes o de o ma ions and one o hem is a de o ma ion o ou o iginal sys em (see Figu e 5). FIGURE 5 123 12 456 w 34 Case x, + y, Cas ou x3 + y, Case y, + x, Cas OD ~3 + x, in ini esimalemen lexible. On a mon e que c'e ai impossible. Soi lV(5)nAl e IV(5)nBl ep esen es pa k, e e,, espec i emen . Si k, = . e, pou ou i, on ob ien une con adic ion pa le lemme 2. Au emen , il exis e un indice i el que k, > a el. Le choix de X= V(F;)nA amene alo s une con adic ion. 4. EXEMPES ET REMARQUES a. A in d'illus e le heo eme 2, conside ons les deuxs uc u es de la igu e 4. La p emie e es in ini esimalemen igide, la seconde ne I'es pas. On peu oi ce e di e ence en designan pa X le sous-ensemble cons i ue des cinq p emie es lignes. l(X) es alo s de ca dinali e 13 dans le p emie cas e 12 dans le second, e 12 <?< 13. b. La in de lademons a ion du heo eme 2 (le lemme 2 e les deux de nie s pa ag aphes) peu d e signi ica i emen kcou ee. Se- Ion un heo eme de He yei [6], ou e a d e es con enue dans un couplage pa ai si la condi ion de Hall es e i iee a ec des in& gali es s ic es pou ou sous-ensemble p op e de A ( oi aussi le p obleme 7.7 dans [€I]). La connexi e de G implique alo s immedia emen la igidi e in ini esimale. c. II exis e un g and nomb e d'algo i hmes e icaces pou e i ie si un g aphe bipa i possede un couplage pa ai , oi [7] pa exem- ple. Ainsi, la condi ion du heo eme 2 es acilemen e i iable. d. La p op ie e dec i e dans le lemme 2 (la supp ession d'une a d e quelconque e de G mene A une o & asyme ique a 2 compo- san es) es necessai e a la igidi e in ini esimale, mdme si les cAbles ne son pas ous pa alleles. Mdme lo sque ous les cPbles de G- e son emplaces pa des iges, il exis e deux ypes de de o ma ions e I'un d'eux es une de o ma ion du sys eme o i- ginal ( oi igu e 5). 51 e. A de o ma ion is called elemen a y i he e exis s a bipa i ion XuY o A and a cons an c such ha x, = c.lYl o icX and x,=-c.lXl o ieY, and a simila condi ion holds o he y,’s as well. (Tha is, only wo dis inc alues a ise among he x,’s and also wo among he XIS.) The de o ma ions, illus a ed on Fig- u es3and5a eelemen a y.A byp oduc o hep oo o Theo em 2 is ha i he k+e-l cables a e all pa allel hen he sys em is ei he in ini esimally igid o possesses elemen a y de o ma ions. Figu e 6 shows a sys em which is in ini esimally non- igid (see Figu e7) bu hasnoelemen a yde o ma ions(asi can beshown by a s aigh o wa d calcula ion). Acknowledgemen This wo k was pa ially suppo ed by he Ins i u e u Ope a ions Resea ch and by he Alexande - on-Humbold S i ung (Bonn, FRG). .11111. e. Une de o ma ion es di e elemen ai e s’il exis e une bipa i ion XuY de A e une cons an e c elles que x,=c.lYI pou iEXe x,=-c.lXl pou ieY e elles que des condi ions similai es soien e i iees pou lesy, aussi. (C’es -a-di eque lesx, nep ennen que deux aleu s dis inc es, de meme que les y, .) Les de o ma ions illus ees aux igu es 3 e 5 son elkmen ai es. La p eu e du heo eme 2 amene le esul a secondai e sui an : si les k+e-l cables son ous pa all6les, alo s, ou bien le sys eme es in ini e- simalemen igide, ou bien il possede des de o ma ions elemen- ai es. La igu e 6 mon e un sys kme qui es in ini esimalemen lexible ( oi igu e 7) mais ne possede pas de de o ma ions Blemen ai es (comme on peu le mon e pa un calcul di ec ). Reme ciemen s Ce e eche che a e e ealisee en pa ie g ace a des sub en ions de I’lns i u e u Ope a ions Resea ch e de I’Alexande - on-Humbold S i ung (Bonn, RFA). .11111. FIGURE 6 FIGURE 7