La integración de la fórmula de asiento de Mindlin para carga anular

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 9, 1, 35-57( 1993) LA INTEGRACION DE Lb FORMULA DE ASIENTOS DE MINDLIN PARA CARGA ANULAR J.L. JUSTO Depa amen o de Mecánica de Medios Con inuos, E. T.S. A qui ec u a, Uni e sidad de Se illa, A da. Reina Me cedes, 2 - 41012 Se illa. 'RESUMEN Se ha hallado el asien o p oducido po una p esión cons an e, ac uando sob e una supe icie anula p o unda en un pun o cualquie a median e in eg ación de la ecuación de Mindlin. Se hace un es udio a ondo de es a in eg al, indicando cuando se puede exp esa po medio de unciones explíci as conocidas. Basándose en ella se esuel en los p oblemas del asien o de placas ci cula es lexibles o ígidas. SUMMARY The se lemen p oduced by a cons an p essu e ac ing on a ing-shaped deep su ace is ound by in eg a ion o Mindlin equa ion. A ho ough s udy o his in eg al has been ca ied ou , indica ing when i may be exp essed by explici known unc ions. Based on ha , he se lemen o ci cula lexible o igid pla es a e sol ed. INTRODUCCION Los es udios igu osos sob e asien os, dis ibución de ensiones en cimen aciones p o undas e in e acción suelo-es uc u a-cimen ación p o unda, equie en la in eg ación de la exp esión del asien o p oducido po una ue za en el in e io de un semiespacio elás ico, ob enida po Mindlin (1936), sob e de e minadas supe icies elemen ales, en e las que se encuen a la supe icie anula . Si bien una ó mula de in eg ación pa cial de es a exp esión es á incluida en el lib o de Poulos y Da is (1980), dicha ó mula equie e simpli icación, en dicho lib o no se indica cómo se ha ealizado la in eg ación, ni se demues a en qué casos la in eg al se puede exp esa median e unciones explíci as o hay que p ocede a una in eg ación numé ica. Recibido: Oc ub e 1991 OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España) ISSN 021 3-1315 ' I 36 J.L. JUSTO Es in e esan e ambién comp oba la exac i ud de algunas p e endidas ó mulas elás icas pa a placas p o undas, como la indicada po Bu land y Cooke (1974). Se es udian ambién aquí los pun os singula es p esen es en la in eg ación, cosa que no se había hecho con an e io idad. Es o es un pun o impo an e y en él se cen a una de nues as apo aciones al ema, ya que la exp esión (3) alcanza alo es in ini os en algunos pun os den o del in e alo de in eg ación de (9). En nues o es udio se demues a que, si los pilo es son delgados, la solución se puede exp esa de o ma explíci a median e unciones conocidas. Po o o lado, se ha ob enido aquí la exp esión explíci a del asien o p oducido po una co ona ci cula p o unda uni o memen e ca gada en un pun o si uado en la e ical de su eje. Po úl imo, se ha esuel o aquí el p oblema del asien o de una placa ci cula ígida p o unda, que iene una aplicación inmedia a como es halla el asien o y las ensiones a las que es á some ida la placa de un pilo e de ba ena, en un suelo suscep ible. Se u ilizan los símbolos ecomendados po la Sociedad In e nacional de Mecánica del Suelo siemp e que és os hayan sido no malizados. ASIENTO PRODUCIDO POR UNA TENSION UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA EN UN ANILLO CIRCULAR HORIZONTAL Pa imos p ime amen e de un anillo elemen al de espeso d . Rep oducimos el anillo elemen al y el pun o i en la Figu a 1. X Figu a 1. Geome ía del anillo elemen al. LA INTEGRACION DE LA FORMULA DE ASIENTOS DE MINDLIN PARA CARGA ANULAR 37 Sea i' la p oyección de i sob e el plano del anillo. Sea L la p o undidad del plano del anillo. Pa imos de la exp esión de Mindlin: siendo El asien o p oducido po el ec ángulo elemen al es: P dsi = C- ded Ii ( , 8) E 1 l siendo: I Asien o p oducido po la co ona ci cula : 1 La in eg ación se ealiza en el apéndice no 1. La in eg al (2) espec o a se calcula en el apéndice no 1, ob gniéndose la exp esión: 2Ma ' Ka ' K Ma ' M +- +---+--- c4 R2 c2R2 R2 c2 Ri Ri + Haln( 1 + R2) (3) siendo: 38 J.L. JUSTO Six =O Si, además z = L y j-1 = 0: La exp esión 9 equie e in eg ación numé ica. Dicha in eg ación se de alla en el apéndice no 1. LA INTEGRACION DE LA FORMULA DE ASIENTOS DE MINDLIN PARA CARGA ANULAR 39 ASIENTO PRODUCIDO POR UNA PLACA CIRCULAR FLEXIBLE PROFUNDA EN LA VERTICAL DE SU CENTRO El asien o p o ocado po una p esión uni o me de alo p, sob e una placa ci cula lexible de adio R, si uada a la p o undidad L, en un pun o de su eje si uado a la p o undidad , se ob end á a pa i de la ecuación 6: Llamamos: El asien o en el cen o de una placa ci cula lexible p o ocado po su p opia ca ga uni o me se ob end á haciendo: 40 J.L. JUSTO En o ma adimensional se á: Si hacemos g a = 2X, enemos: so E - - - H l + [B(I - g a sen a) + -- Rp 4(1-u) ~os a Cuando X - oo La ecuación 16 bis se ep esen a en la Figu a 2, y algunos alo es se incluyen en la Tabla 1. Tabla 1. Asien o adi nensional (e) pa a placa ci cula some ida a p esión uni o me p. Si el es a o elás ico si uado bajo la pun a del pilo e es ini o, se puede halla el asien o, u ilizando la ap oximación de S einb enne , como di e encia en e el de la ecuación 16 bis y el que esul a ía de sus i ui en (10) la z del ondo del es a o. Pa a placa supe icial es L = O. Sus i uyendo en (13): LA INTEGRACION DE LA FORMULA DE ASIENTOS DE MINDLIN PARA CARGA ANULAR 41 Figu a 2. cons an e. y ob enemos la conocida ó mula del asien o en el cen o de una laca supe icial ci cula lexible. Puede e se en la Figu a 2 que el asien o adimensional depende poco de u pa a L/R > 0,6. Po el con a io exis e una ue e dependencia espec o a LlR, a di e encia de lo que sugie en o os au o es ( . Bu land y Cooke, 1974). PLACA CIRCULAR RIGIDA PROFUNDA La solución del p oblema esul a de exp esa que el asien o en un pun o cualquie a de la placa es cons an e (S) y que la p esión depende sólo de T (Figu a 1). En la exp esión 1 hacemos: siendo: T: = T2 - ~TX COS 0 + X 2 Po o o lado la ecuación de equilib io se á: El sis ema de ecuaciones in eg ales o mado po (17) y (18) pe mi i ía calcula p( ) Y s. Es e sis ema equie e solución numé ica, que se de alla en el apéndice no 2. PILOTES DELGADOS Las dimensiones ho izon ales de un pilo e delgado suelen se desp eciables en e a las e icales. Vamos a u iliza es a p opiedad pa a consegui que la in eg al (9) se pueda exp esa median e unciones explíci as. En la ecuación (3), podemos sus i ui T:, a, b2 y c2 po sus alo es medios. LA INTEGRACION DE LA FORMULA DE ASIENTOS DE MINDLIN PARA CARGA ANULAR 43 - 1 x b2 = l[(,z? + x2 sen '0)d~ = -[z?a + [-(a - sen BcosRI~] a o a 2 Con ello: Con lo cual, el asien o p oducido po una co ona ci cula uni o memen e ca gada iene dado po : siendo: I,!(x) = I;( j7 X) - I;(T~-~~ X) (24) I;( , x) iene dado po (22) con (20) y (21). CONCLUSIONES Se ha hallado el asien o p oducido po una p esión cons an e ac uando sob e una supe icie anula p o unda en un pun o cualquie a, median e in eg ación de la ecuación de Mindlin de asien os. Se ha hecho un es udio a ondo de es a in eg al, indicando cuando se puede exp esa po medio de unciones explíci as conocidas, median e in eg ales elíp icas comple as o median e se ies. Se ha p epa ado el ema pa a el cálculo numé ico, incluida la especi icación de e o es. 1 Se han hecho a ias aplicaciones conc e as de dicha in eg al, El asien o en el cen o de una placa ci cula lexible p o unda, ca gada, iene dado po las ecuaciones (13), (16) ó (16bis). I La Figu a 2 mues a dicho asien o, en o ma adimensional. Como puede e se dicho asien o depende poco de u pa a LIR > 0,6, pe o sí depende ub emen e de LIR. 50 J.L. JUSTO d (1 + 2)[1 + Y '] =1 2z: (R1) (Rl) I2 = -[I a c g 1 - -1 a c g [-]I ] (R1) z 1 1.1 I 22: [E - * 3 1 1 I2 = - -( ] = T.;(- - -) (Rl) 2 2 lzil R1 IziI da I~ = -I;lT- = -2z1 o R1 I 2 ,/(~x1)2 - ~ x seo2a da I3 = -- siendo K(kl) la in eg al elíp ica de p ime a especie comple a. siendo: Si omamos: n X K(kl) = 'u, E o absolu o: T I Si - = O k1 = Ú K(kl) = 5 x Si zl = O se á I3 = O (Ap. 1.25) (Ap. 1.26) (Ap. 1.27) (Ap. 1.28) (Ap. 1.29) (Ap. 1.30) (Ap. 1.31) LA INTEGRACION DE LA FORMULA DE ASIENTOS DE MiNDLIN PARA CARGA ANULAR -51 ? I4 = BX Jo cos 8 ín( l + RI) do l Si zl = O (z = L), in eg ando po pa es: 1 l I4 = Bx [I sen 8 ln( - x cos 8 + J 2 + x2 - 2 b cos 818- 1 sen 8 TX sen 8 (x sen 8 + -//*T-xcos 8+J 2+x2-2 xcos8 4 2 x2 - 2 x COSO 14 = Bz[Ia + Ib] 1, = O excep o si: 1 8=0 Y SX I En es e caso Ia es inde e minado. l l A sen28( - cos 8) - J 2 + x2 - 2 x cos 8, Ib = -xL ~-2 xcos~+x2cos20- 2-x2+2 xcis~(~ + 7. + JT2 + x2 - 27'2 COS 8 l 1 A 1 T = 1 5 J O ( -xcos~-J 2+x2-2 xcos0)(1+ d 2 4- x2 - 2 x cos 8 >de A ( - x cos 8) Ib = (T-xcos8+ - d 2 + m2 - 2 x cos8 )di x o J 2 + x2 - 2 x COSO 1 "12 T + x - 2xsen2a I I~ . = - [I - xsen 01; + 2 Jo ( - , x (T + x)&- k2sen2a 1 siendo: 1 Vamos a examina , aho a, los pun os singula es. Si 5 x, cuando 8 4 O, aplicando la egla de 1'Hbpi al: 52 J.L. JUSTO T-xco~~-,/T~+x~-~Txcos~ ' 1, = lim 040 " xsen e (l+ JT~ + 22 - ~TX COSO 1 de 2sen20/2 - 2senO/2 I, = lim x ~2sene/2 cos 8/2(1+ 0-+0 - e O sea que en cualquie caso 1, = 0. Si T = x el p ime é mino de Ib es inde e minado, I4 = Bx [( sen $12 - 2 sen 0/2)dO = -2Bx [12 cos ada En de ini i a: Sizl=O (z=L): I4 = B [(T - x) K(k) - (T + s)E(k)] (Ap. 1.32) Si, además, T = x: Sizl=O y T=O se á k = 0: Si llamamos: Son álidas (Ap. 1.22), (Ap. 1.23) y (Ap. 1.24) sin más que sus i ui k po kz. Igualmen e: 1 1 LA INTEGRACION DE LA FORMULA DE ASIENTOS DE MINDLIN P4RA CARGA ANULAR 53 1 1 1 1 1 1 Ig = -2K ~1~'~ da 1 - 1 - J(RY~)~ - 4 x sen2 a , 2K da - -- - (Ap. 1.33) 2K I - -- 8 - (RX~) K(k2) (Ap. 1.34) Son álidos (Ap. l.%), (Ap. 1.27) (Ap. 1.28) y (Ap. 1.29), sus i uyendo kl po k2 Si =O k2=0 K(k2)=$ a ' Siz=O M=O e Ig = O , 1 2M I~~ = - ~~'~(1- ki sen2a)-S/? da (RX2)3 o 2M "12" -312 Iio = - (RX2)3 1 E(-')" ( ) 'Zn sen2n a da ! n=O n 2M " Il0 = - C(-l)" ( -312 (2n - 1)(2n - 3)..:.l n - (~~213 n=O n lkn 2n(2n-2) ..Y 2 nM " 2n 2 - 12 - 3). -$(-$.{(-S - n + 1) 110 = (~~2)3 n=O k2 2n(2n - 2)..2 N n! nM " C un Il0 = - (RX~)~ n=O 1 siendo: u0 = 1 4n2 - 1 un = un-1 k2 n~1 4n2 un 1 -- 4n2 - 1 - k; < k; 4n2 un-1 1 Si omamos: 1 1 54 J.L. JUSTO E o absolu o: I~*+ll 14 < i-q (Ap. 1.35) (Ap. 1.36) Si z = O Ilo = O Se puede oma , en odos los casos, un e o ela i o de 0,001. Al halla las di e encias co espondien es a la ecuación Ap. 1.14, el minuendo y el sus aendo es a án ap oximados en el mismo sen ido, siemp e que se u ilice en las se ies Ap. 1.23, Ap. 1.28 y Ap. 1.35 el mismo alo de n. Po ello, el e o absolu o de la di e encia se á in e io al mayo de los alo es absolu os de los e o es de minuendo y sus aendo, deducidos a pa i de Ap. 1.24, Ap. 1.29 y Ap. 1.36. APENDICE No 2: CALCULO NUMERICO DE UNA PLACA CIRCULAR RIGIDA CARGADA Pa a halla el asien o p oducido po una co ona ci cula ho izon al uni o memen e ca gada, en un pun o de su plano, hacemos, en la exp esión (3): K y M oman los alo es (11) y (12) Pa a pone lo en o ma adimensional hacemos: LA INTEGRACION DE LA FORMULA DE ASIENTOS DE MINDLIN PARA CARGA ANULAR 55 + GX2 q cos Bp' -- GX2 8X4q cos Bp' 8X4 P2 b + Pb p2 P; - x+ +H q cos 0 In(pl + pb) 1 (Ap. 2.1) I- 2 R 1 1 1 Figu a Ap. 2.1. Di isión de la placa ci cula ígida en co onas ci cula es de igual Di idimos la placa en n co onas ci cula es, co espondien es a inc emen os iguales de adio. Suponemos cada co ona uni o memen e ca gada con uiia p esión pj (Figu a Ap. 2.1). Suponemos que en la placa exis en n ci cun e en4ias nodales (nodos), co espondien es a n alo es de i que si uamos en el ex e io de aada co ona. El asien o p oducido po la co ona j en el nodo i se ob dnd á a pa i de las ecuaciones 8 y 9: 1 I1(pj,q;,e) = 12(pj,qi,e) - I~(~j-i,qi,e)' (Ap. 2.2) j p. = - (Ap. 2.3) ' n 56 J.L. JUSTO Llamamos: ( = j$ asien o uni a io de la placa Hacemos: El asien o o al del nodo i se á: (Ap. 2.4) (Ap. 2.5) (Ap. 2.6) Si Q es la ue za o al e ical que ac úa sob e la placa, la ecuación de equilib io nos da: Sus i uimos (Ap. 2.3) en (Ap. 2.7), y hacemos: Con ello se ob iene: (Ap. 2.7) (Ap. 2.8) (Ap. 2.9) Las n ecuaciones (Ap. 2.6) y la ecuación (Ap. 2.9) nos dan un sis ema de n + 1 ecuaciones con n $- 1 incógni as que, exp esadas de o ma ma icial, nos da: [IijIn+l {aj}n+i = n{xi)n+i (Ap. 2.10) Iij oma el alo (Ap. 2.5) pa a i 5 n j 5 n j oma el alo (Ap. 2.4) pa a j 5 n La solución de (Ap. 2.10) es: , Que nos da la dis ibución de p esiones y el asien o de la placa, ambos en o ma adimensional, en unción de X y . Conc e amen e el asien o de la placa se á: I (Ap. 2.12) REFERENCIAS 1. J.B. Bu land y R.W. Cooke, "The design o bo ed pila in s i clayp", G ound Enginee ing, Vol. 7, NO. 4, pp. 28-30, 33-35, (1974). 2. J.L. Jus o, ('Asien o p oducido po una ensión co an e uni o mdmen e dis ibuida sob e una supe icie cilínd ica e ical", Bole ín de la Sociedad Españold de Mecánica del Suelo, Vol. 106, pp. 23-35, Ingenie z'a Ci il, Vol. 84, pp. 103-117, (1991). 3. R.D. Mindlin, "Fo ce a poin in he in e io o a semi-in ini e solid", Physics, 7:195, (1936). 4. H.G. Poulos y E.H. Da is, "Pile Founda ion Analysis and Design", Wiley (1980). 5. D. Pui Adam, "Cálculo In eg al", Biblio eca Ma emá ica Rey Pas o -Puig Adam, Mad id (1966).