Análisis por elementos finitos de procesos de embutición de chapa mediante un modelo viscoplástico con degradación por huecos

Re is a In e nacionai de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 6, 1, 7-23( 1990) ANALISIS POR ELEMENTOS FINITOS DE PROCESOS DE EMBUTICION DE CHAPA MEDIANTE UN MODELO VISCOPLASTICO CON DEGRADACION POR HUECOS EUGENIO ORATE CARLOS AGELET DE SARACIBAR Y JEAN BAPTISTE DALIN E.T.S. de Ingenie os de Caminos, Canales y Pue os, Uni e sidad Poli écnica de Ca aluña, Jo di Gi ona Salgado 31, 08034 Ba celona. RESUMEN En es e abajo se p esen a una analogía o mal en e las ecuaciones de la eo ía de lujo plás ico y iscoplás ico pa a me ales con huecos y las de la elas icidad no lineal. Se mues a como po simpli icación de las ecuaciones gene ales se ob iene la o ma incomp esible de las exp esiones pa a me ales sin huecos. La o mulación gene al se pa icula iza pa a el análisis de p oblemas de embu ición de chapa de allándose las o mulaciones de lámina y memb ana pa a a a del p oblema de e olución. Finalmen e, se p esen an ejemplos de aplicación de es i ado y embu ición de una plancha ci cula . SUMMARY A o mal analogy be ween he equa ions o pu e plas ic and iscoplas ic low heo y o oid con aining me als and hose o s anda d non linea elas ici y is p esen ed. I is shown how by di ec simpli ica ion o he gene al equa ions, he s anda d incomp essible low exp essions o non oided me als a e ob ained. The gene al o mula ion is pa icula ized o he analysis o shee me al o ming p oblems and de ails o he iscous oided shell and memb ane o mula ions o dealing wi h he axisymme ic case a e gi en. Finally, some examples o applica ions o pu e ex ension, hemisphe ical s e ching and deep d awing o a ci cula shee a e p esen ed. INTRODUCCION Es bien conocido que un mé odo e ec i o pa a es udia la de o mación con inua de me ales es u iliza un modelo de lujo ígido plás ico en el que se p escinden de los e ec os elás icos. El modelo más sencillo, y quizás ambién el más usado, u iliza el c i e io de luencia de on Mises, lo que se aduce en que el lujo es de na u aleza incomp esible. Las ecuaciones del p oblema son, en es e caso, o almen e análogas a las de la elas icidad Recibido: Ma zo 1989 @Uni e si a Poli bcnica de Ca alunya (Espaíía) ISSN 0213-1315 7 incomp esible, pudiendo in e cambia se los concep os de desplazamien o, de o mación y módulo de igidez en el p oblema elás ico, po los de elocidad, elocidad de de o mación y iscosidad (no New oniana) en el p oblema de lujo1. Es a analogía ha pe mi ido esol e p oblemas complejos de con o mado de me ales u ilizando p og amas de elemen os ini os esc i os o iginalmen e pa a elas icidad incomp esible en dos y es dimensiones8. La ex ensión de es a analogía pa a análisis de p oblemas de con o mado condujo a la ob ención de la denominada omulación de láminas iscosas basada en la modi icación de la eo ía in ini esimal de láminas elás icas u ilizando la analogía lujo-elas icidad an es mencionada6*'. Recien emen e Oña e y o os7 han ex endido el modelo de láminas iscosas pa a ene en cuen a e ec os de deg adación del ma e ial po nucleación, c ecimien o y coalescencia de huecos mic oscópicos. El modelo esul an e de láminas iscosas con huecos in oduce el e ec o de comp esibilidad del ma e ial en la o ma de un modelo cons i u i o de dos pa áme os que pueden iden i ica se sencillamen e como el módulo de igidez y el coe icien e de Poisson de un ma e ial elás ico no lineal análogo. Ello pe mi e esol e po elemen os ini os es os p oblemas, po encialmen e más complejos, u ilizando di ec amen e p og amas esc i os pa a los clásicos p oblemas de elas icidad (comp esible)'. El obje i o de es e a ículo es p esen a de o ma uni icada los concep os básicos del modelo de láminas iscosas pa a ma e iales plás icos/ iscoplás icos incluyendo el e ec o de deg adación del ma e ial po desa ollo de huecos mic oscópicos. La o mulación se pa icula iza á pa a el caso de e olución u ilizando sencillos elemen os de lámina y memb ana de e olución de dos nodos. Finalmen e se p esen a án ejemplos de aplicación de la o mulación a p oblemas de es i ado y embu ición de una plancha ci cula . CONCEPTOS BASICOS La base de la o mulación del lujo plás ico/ iscoplás ico es supone que du an e el p oceso de de o mación las de o maciones elás icas son desp eciables1-=. Es a hipó esis pe mi e esc ibi la siguien e ecuación pa a la elocidad de de o mación donde i;j y iZL indican las ensiones de elocidad de de o mación o al y no lineal - plás ica/ iscoplás ica- espec i amen e. La o ma de la unción depende del ipo de modelo cons i u i o plás ico/ iscoplás ico que se u ilice. En cualquie caso, la ecuación (1) desc ibe el compo amien o de un luido equi alen e en el que las elocidades de de o mación se elacionan con las elocidades u; po y las ensiones sa is acen las clásicas condiciones de equilib io PROCESOS DE EMBUTICION DE CHAPA L~u+~=o en el olumen V ddTu = en el con o no I' (3) donde b y son ec o es de ue zas másicas y de supe icie, espec i amen e, y M es una ma iz que con iene las componen es de la no mal al con o no 8. En los siguien es apa ados se p esen a án o mas pa icula es de la ecuación (1) pa a un ma e ial plás ico/ iscoplás ico con y sin e ec os de deg adación po huecos. FLUJO RIGIDO PLASTICO DE METALES CON HUECOS El c i e io de luencia de un ma e ial me álico con huecos a bi a iamen e dis ibuídos de o ma es é ica (en p oblemas idimensionales) o cilínd ica en p oblemas planos puede esc ibi se siguiendo a Gu song como a;j y s;j son la ensión y la ensión des iado a de Cauchy mac oscópicas, espec i amen e, UM es el lími e de luencia del ma e ial ma iz (supues o incomp esible), es la po osidad del ma e ial (po cen aje olumé ico de huecos) y Ad ié ase que pa a alo es nulos de la po osidad ( = O) w = 1 y la ecuación (4) se educe al conocido c i e io de on Misesz. El cambio en la po osidad du an e un inc emen o de de o mación se oma comog-l1 donde los subíndices g, n y c indican c ecimien o, nucleación y coalescencia de huecos. Asimismo, es usual supone quelOJ1 siendo el pa áme o de nucleación k el po cen aje olumé ico de pa ículas que se con ie en en huecos po inc emen o uni a io de ensión. Po o a pa e, la nucleación se supone que ocu e sólo si el alo ap oximado de la ensión no mal máxima UM + excede en el inc emen o de iempo el alo máximo ob enido en el inc emen o an e io . Finalmen e, el é mino c puede ene se en cuen a numé icamen e de la o ma siguien e. De acue do con T e gaa d", la coalescencia iene luga pa a 2 0.20. Po consiguien e, un esquema sencillo y e ec i o pa a ep oduci es e enómeno, consis e en inc emen a p opo cionalmen e el alo de , en los pun os en que = 0.2, en un núme o ijo de inc emen os (E 5) has a que = 1, momen o en que la capacidad po an e del ma e ial se anula. Haciendo uso de la eo ía clásica de la puede ob ene se la siguien e exp esión pa a las elocidades de de o mación no lineales (plás icas) de la ecuación (1) donde con B = A = *, S = senhA y k = iij 2A' 2u~ Compa ando (8) con la clásica ecuación cons i u i a de la elas icidad Lineal, y eniendo en cuen a las ecuaciones (2) y (3) puede conclui se ácilmen e que exis e una pe ec a analogía en e las ecuaciones del lujo plás ico de un me al con huecos y las de la elas icidad clásica. Po an o, los desplazamien os y las de o maciones del modelo elás ico pueden in e p e a se como las elocidades y elocidades de de o mación del, modelo de lujo plás ico, y el módulo de igidez elás ico y el coe icien e de Poisson como los pa áme os G y Y de las ecuaciones (8) y (9), y ice e sa. Ad ié ase la dependencia de los pa áme os G y F en las ensionesJde o maciones lo que hace que el modelo elás ico análogo sea no lineal y, po consiguien e, la solución numé ica debe encon a se de o ma i e a i a. FLUJO PLASTICO DE MATERIALES SIN HUECOS Pa a ma e iales plás icos sin huecos = O y w = 1 y, po lo an o, de las ecuaciones (8)-(10) se deduce que Así, pues, se ecupe a la incomp ensibilidad de la de o mación, ípica de es os casos, y la exp esión del módulo de igidez equi alen e G coincide con la de la iscosidad no New oniana del clásico p oblema de lujo plás ico216. PROCESOS DE EMBUTICION DE CHAPA INCLUSION DE EFECTOS VISCOPLASTICOS La exp esión pa a la elocidad de de o mación iscoplás ica puede pos ula se como8 pa a x > O <ij = 7xn- 80; iij =O pa a x=0 donde 7 es el pa áme o de luidez y x ep esen a el "exceso de ensión iscoplás ica" de inido po Nó ese que pa a un p oblema no iscoso x = 0, cumpliéndose la ecuación (4). Sus i uyendo la ecuación (14) en la (13) y haciendo uso del concep o de abajo iscoplás ico e ec i o del ma e ial deg adado ZP de inido po se ob iene, as ope a , una exp esión pa a la elocidad de de o mación iscoplás ica idén ica a la ecuación (8) con Ad ié ase que pa a x = O se ecupe an las exp esiones de G y ü de la ecuación (9) pa a el p oblema no iscoso. Po o a pa e, es in e esan e ad e i que si se conside a el ma e ial sin huecos ( = O, w = 1) las exp esiones de la ecuación (16) se con ie en en coincidiendo el alo de G con el de la iscosidad del lujo iscoplás ico incomp esible ob enida en [2], [6]. Hay que des aca que las exp esiones de G y ü de la ecuación (16) di ie en de las ob enidas ecien emen e po los au o es en [7] en base a un p ocedimien o más simpli icado. Se ema ca, no obs an e, que las exp esiones aquí p esen adas E. ORATE, C. AGELET DE SARACIBAR Y J. DALIN no in oducen ninguna simpli icación en las ecuaciones iscoplás icas y pueden, po consiguien e, conside a se exac as. APLICACION A PROBLEMAS DE EMBUTICION DE CHAPA La analogía p esen ada en los apa ados an e io es pe mi e esol e p oblemas de g andes de o maciones plás icas/ iscoplás icas en la embu ición de chapa, haciendo uso di ec amen e de la eo ía in ini esimal de láminas elás icas. El esquema de solución sigue las e apas siguien es: 1) Selecciona una o mulación pa a análisis in ini esimal de láminas con ma e ial elás ico. Si se u iliza el mé odo de los elemen os ini os la solución numé ica del p oblema implica esol e , as la disc e ización, un sis ema de ecuaciones algeb aicas que en o ma ma icial se esc ibe comos donde K es la ma iz de igidez de la lámina y a y son los ec o es de desplazamien os y ue zas nodales, espec i amen e. El modelo de láminas iscosas con huecos equi alen e se o mula iden i icando desplazamien os y de o maciones con elocidades y elocidades de de o mación, espec i amen e, y el módulo de igidez y el coe icien e de Poisson son los pa áme os G y ü dados en los apa ados an e io es. Pa a el caso de ma e ial sin huecos ü = 112 y G iene dado po las ecuaciones (9) y (17 b) pa a el caso iscoso y no iscoso, espec i amen e. La ecuación (18) se con ie e en onces en un sis ema de ecuaciones no lineales que debe esol e se i e a i amen e. En la p ime a i e ación deben de ini se los alo es de las elocidades a0 y po osidad 0 iniciales. Calcula a'. Si se u iliza i e ación di ec a la p ime a i e ación es 3) Calcula la con e gencia del campo de elocidades u ilizando una no ma adecuada5. Si no se ob iene con e gencia se uel e a la e apa 2. 4) Una ez ob enida la con e gencia se ac ualiza la geome ía po a A , donde A es un inc emen o de iempo adecuado que puede oma se como un alo cons an e, o igual al inc emen o de iempo pa a el que el p ime nodo lib e de la plancha en a en con ac o con el punzón o la ma izb. Asimismo, si uno o más nodos en an en con ac o con el punzón o la ma iz deben cambia se las condiciones de con o no. Finalmen e, deben ac ualiza se los alo es del espeso y la po osidad de los pun os de la plancha, de acue do con los alo es calculados pa a las de o maciones a a és del espeso y olumé ica, espec i amen e. 5) El p oceso de solución se inicia con los nue os alo es de la geome ía y po osidad de la plancha. El algo i mo es, po an o, muy simple y pe mi e inclui o os enómenos como PROCESOS DE EMBUTICION DE CHAPA endu ecimien o po de o mación y ozamien o de una o ma muy sencilla5-' (El p oblema del ozamien o se a a á asimismo en un apa ado pos e io ). Es in e esan e ad e i que en es ados a anzados de la de o mación de la plancha el campo espacial de elocidades no cambia signi ica i amen e en e dos con igu aciones sucesi as. Po consiguien e, pueden ob ene se aho os impo an es en el iempo de cálculo ac ualizando la geome ía de la plancha u ilizando el mismo campo espacial de elocidades pa a a ios inc emen os de iempo7. Hemos de des aca asimismo, que en p oblemas de lujo plás ico la i e ación di ec a p opo ciona con e gencia del campo de elocidades en pocas i e a~iones'O-~. Sin emba go, si se conside a un ma e ial iscoplás ico la no linealidad del p oblema aumen a y pa a consegui con e gencia en un núme o azonable de i e aciones es necesa io acudi a un algo i mo de solución de New on-Raphson. En cualquie caso, deben oma se p ecauciones pa a p e ee un alo lími e máximo del módulo de igidez en zonas de la plancha donde se p oduzcan mo imien os de sólido ígido pa a e i a el mal condicionamien o de la ma iz de igidez. En los apa ados siguien es se p esen an de alles de la o mulación de elemen os ini os de láminas iscosas con huecos pa a p oblemas de embu ición con sime ía de e olución. FORMULACION DE LAMINAS VISCOSAS El éxi o de la o mulación de láminas iscosas se basa, como se ha indicado con an e io idad, en la e iciencia de la o mulación de láminas elás icas análoga. En es e apa ado se p esen an b e emen e las exp esiones undamen ales de la o mulación de láminas iscosas de e olución con e ec os de deg adación po huecos desa ollada po Oña e y o os7, pa a análisis de p oblemas de embu ición de chapa. La o mulación se basa en la eo ía de láminas de Reisnne -Mindlin y u iliza el sencillo elemen o de e olución de dos nodos. Los de alles de es a eo ía de láminas pueden encon a se en las e e encias [5], [7] y [14]. Una ez disc e izada la lámina de e olución en elemen os Lineales ( e Figu a 1) el campo de elocidades de un elemen o puede exp esa se po 2 u; u={~}=xNia; con ; y a;={;} (20) i=l donde u;, w; y 8; son las dos elocidades ca esianas y la elocidad angula del nodo i, espec i amen e, y N; es la unción de o ma del nodo i ( e . Figu a 1). Los ec o es de elocidad de de o mación y de ensiones se exp esan po 7 E. ORATE, C. AGELET DE SARACIBAR Y J. DALIN Figu a 1. Lámina de e olución. Disc e ización en elemen os lineales. donde pa a un ma e ial isó opo donde G y son los pa áme os de la o mulación del lujo plás ico/ iscoplás ico con huecos, dados en apa ados p e ios y B es la ma iz de elocidad de de o mación cuya exp esión se mues a en el Apéndice jun o con la de la ma iz S. La ma iz de igidez K(~) y el ec o de ue zas nodales (e) del elemen o se ob ienen Po donde I(~) es la longi ud del elemen o, la coo denada adial, y p ec o es de ca ga epa idas y pun uales, espec i amen e y la exp esión de la ma iz D se da en el Apéndice. Se ha demos ado que pa a la u ilización con éxi o de es e sencillo elemen o oncocónico la ma iz de igidez debe calcula se u ilizando una cuad a u a de Gauss de un solo pun o1*. Es o pe mi e ob ene una exp esión incluso más simple y explíci a (e) de Kij como donde (y) indica alo es calculados en el cen o del elemen o. La exp esión de B; se ob iene de o ma inmedia a sus i uyendo los é minos N; y % en la ecuación (A.l) po y 9, espec i amen e. PROCESOS DE EMBUTICION DE CHAPA FORMULACION DE MEMBRANA DE REVOLUCION En muchos p oblemas de embu ición puede deduci se una buena ap oximación u ilizando una o mulación de memb ana. Dicha o mulación puede deduci se ácilmen e pa a el caso de e olución p escindiendo de los é minos de lexión y co an e en las exp esiones ob enidas en la o mulación gene al p esen ada en el apa ado an e io . Los ec o es y ma ices de in e és son aho a los siguien es Vec o de elocidades: Vec o de de o maciones gene alizadas: Vec o de es ue zos aziles: con donde es el espeso , los coe icien es d;j se die on en la ecuación (24) y Finalmen e, la o ma explíci a de la ma iz de igidez pa a el elemen o lineal se ob iene en es e caso po una exp esión idén ica a la (27) con B,; y D, en ez de B; y D, espec i amen e. TRATAMIENTO DEL ROZAMIENTO Un algo i mo sencillo pa a simula el e ec o del ozamien o en e las supe icies en con ac o de la plancha con el punzón o la ma iz puede basa se en un ajus e de las eacciones nodales en los nodos en con ac o en cada i e ación has a que sa is agan la condición de ozamien o de Coulomb. Es e p ocedimien o se ha u ilizado con éxi o po los au o es5~' y se á el empleado en los ejemplos que se mues an en es e a ículo. Un algo i mo al e na i o pa a simula el con ac o en e plancha/punzón/ma iz y el ozamien o en e dichas supe icies se basa en impone las condiciones de con ac o po un mé odo de penalización, pa iendo de la ene gía po encial o al de las ue zas de con ac o con las condiciones de compa ibilidad geomé ica. De mane a gene al, las condiciones de con ac o pueden esc ibi se como E. ORATE, C. AGELET DE SARACIBAR Y J. DALIN REFERENCIAS 1 . O.C. Zienkiewicz y P.N.Godbole, "Flow o Plas ic and Viscoplas ic Solids wi h Special Re e ence o Ex usion and Fo ming P ocesses", In . J. Num. Me h. Engng., Vol. 8, pp. 3-16, (1979). 2 . O.C. Zienkiewicz, P.C. Jain y E. Oña e, "Flow o Solids Du ing Fo ming and Ex usion. Some Aspec s o Nume ical Solu ions", In . J. Solids S uc ., Vol. 14, pp. 15-38, (1978). 3 . O.C. Zienkiewicz, E. Oña e y J.C. Hein ich, "A Gene al Fo mula ion o Coupled The mal Flow o Me als Using Fini e Elemen s", In . J. Num. Me h. Engng., Vol. 17, pp. 1497- 1514, (1981). 4 . J.F.T. Pi man, O.C. Zienkiewicz, R.D. Wood y J.M. Alexande (eds.), Nume ical Analysis o Fo ming P ocesses, Wiley, New Yo k, (1984). 5 . E. Oña e y O.C. Zienkiewicz, "A Viscous Shell Fo mula ion o he Analysis o Thin Shee Me al Fo ming", In . J. Mech. Sc., Vol. 25, pp. 305-335, (1983). 6 . E. Oña e, "Análisis de P oblemas de Con o mado de Me ales po el Mé odo de los Elemen os Fini os U ilizando una Fo mulación de Flujo Viscoplás ico", Mecánica Compu acional, Edi ado po Luis A. Godoy, Asociación A gen ina de Mecánica Compu acional (AMCA), pp. 152-178, (1986). 7 . E. Oña e, M. Kleibe y C. Agele de Sa aciba , "Plas ic and Viscoplas ic Flow o Void Con aining Me als. Applica ions o Axisymme ic Shee Fo ming P oblems", In . J. Num. Me h. Engng., Vol. 25, pp. 225-251, (1988). 8 . O.C. Zienkiewicz, The Fini e Elemen Me hod, McG aw-Hill, (1979). 9 . A.L. Gu son, "Con inuum Theo y o Duc ile Rup u e by Void Nuclea ion and G ow h. 1. Yield C i e ia and Flow Rules o Po ous Duc ile Media", J. Eng. Ma e . Tech., Vol. 99, pp. 2-15, (1977). 10 . A. Needleman, y J.R. Rice, "Limi s o Duc ili y Se by Plas ic Flow Localiza ion", Mechanics o Shee Me al Fo ming, D.P. Kois inen and N.-M. Wang (eds.), pp. 237-266, Plenum, N.Y., (1978). 11 . V. T e gaa d, "On Localiza ion in Duc ile Ma e ials Con aining Sphe ical Voids", In . J. F ac u e, Vol. 18, pp. 237-252, (1982). 12 . M. Kleibe , "Nume ical S udy on Necking- ype Bi u ca ions in Void-con aining Elas ic- plas ic Ma e ial", In . J. Solids S uc ., Vol. 20, pp. 191-210, (1984). 13 . J.M.W. Baynham y O.C. Zienkiewicz, "De elopmen s in he Fini e Elemen Analysis o Thin Shee D awing and Di ec Red awing P ocesses Using he Rigid Plas ic App oach", P oceedings o In e na ional Con e ence on Nume ical Me hods in Indus ial Fo ming Pmcesses, BJ.F.T. Pi man e al. (eds.), Pine idge P ess, Swansea, (1982). 14 . O.C. Zienkiewicz, J. Baue , K. Mo gan y E. Oña e, "A Simple and E icien SheU Elemen o Axisymme ic Shells", In . J. Num. Me h. Engng., Vol. 11, pp. 1545-1559, (1977). 15 . K.J. Ba he, K.J. y A. Chauda y, "A Solu ion Me hod o Plana and Axisymme ic Con ac P oblems", In . J. Num. Me h. Engng., Vol. 21, pp. 65-88, (1985). 16 . D.M. Woo, "The S e ch Fo ming Tes ", The Enginee , Vol. 220, pp. 876-889, (1965). 17 . D.M. Woo, "On The Comple e Solu ion o he Deep-d awing P oblem", In . J. Mech. Sci., Vol. 10, pp. 83-94, (1968). 18 . Agele de Sa acibas , C. , "Análisis po el Mé odo de los Elemen os Fini os de P ocesos de Con o mado de Láminas Me álicasn, Tesis Doc o al, E.T.S. Ingenie os de Caminos, Uni e sidad Poli écnica de Ca aluña, (1990). PROCESOS DE EMBUTICION DE CHAPA 23 APENDICE MATRICES DE VELOCIDAD DE DEFORMACION CONSTITUTIVA PARA LA FORMULACION DE LAMINAS VISCOSAS DE REVOLUCION Ma iz de elocidad de de o mación B; = el ángulo 4 puede e se en la Figu a 1. Ma iz cons i u i a í) = j_ sT~sdz .2) 2 1oz10o S=O1 oz1o [o o o o 11 D= d21 d22 (A.3) 0 d33 [o1 d12 1 donde z1 es la coo denada en la di ección del espeso y los alo es de d;j se dan en la ec.(24). Ad ié ase que el cálculo de D exige una in eg ación sob e el espeso , lo que se e ec úa en la p ác ica u ilizando in eg ación - cos 4% se.#% - o Ni Z o o o O -aN; a8 -N; O o aN. -+en+& cosq59 -N; _ (A.1)