Aplicación de la rectificación controlada en los convertidores DC-DC de varios interruptores de tanque resonante serie

UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA Departament d’Enginyeria Electrònica TESIS DOCTORAL APLICACIÓN DE LA RECTIFICACIÓN CONTROLADA EN LOS CONVERTIDORES DC-DC DE VARIOS INTERRUPTORES DE TANQUE RESONANTE SERIE Alfonso Conesa Roca Tesis Doctoral Aplicación de la rectificación controlada en los convertidores DC-DC de varios interruptores de tanque resonante serie por Alfonso Conesa Roca presentada en el Departament d’Enginyeria Electrònica de la Universitat Politècnica de Catalunya Directores de Tesis: Robert Piqué López Enric Fossas Colet Barcelona, Septiembre de 2005 Presentación de la Tesis Doctoral En el presente trabajo se estudia la aplicación de la rectificación controlada en los convertidores DC-DC de varios interruptores de tanque resonante serie. Los convertidores estudiados son el PRC, el SRC y el SPRC. En estas estructuras se va a analizar las posibilidades de regulación que ofrecen dichos convertidores, con la finalidad de obtener la máxima robustez ante variaciones de la carga y de la tensión de entrada. Tras el primer capítulo de introducción a la temática de la tesis, en el capítulo segundo se deducen unos nuevos convertidores derivados de los clásicos. Se obtienen los modelos matemáticos de los convertidores resultantes de la sustitución de las etapas rectificadoras y se sintetizan las nuevas estructuras rectificadoras. Los nuevos convertidores van a denominarse PRC-CR, SRC-CR y SPRC-CR, en clara alusión a su nueva etapa de rectificación controlada (Controlled Rectification). En el tercer capítulo se introducen los controladores desarrollados para los nuevos convertidores. El control del convertidor se va a realizar actuando en el bloque rectificador mediante dos tipos básicos de actuación. El primero con realimentación de variable de estado del tanque resonante, mediante un controlador no lineal One-Cycle. El segundo con realimentación de variable de estado de salida, mediante un regulador lineal PI. En el cuarto capítulo se analiza la estructura del convertidor PRC-CR mediante dos métodos de análisis. El primer método propuesto es el de aproximación al primer armónico, y de su análisis se deducirán interesantes conclusiones. En primer lugar puntos de trabajo óptimos para posibilitar la regulación en el convertidor dadas las condiciones de carga del mismo. Se obtendrá la dependencia de la variable propia de salida de cada convertidor respecto a la relación de conducción del bloque rectificador y se propondrán criterios de diseño del convertidor. La metodología planteada se verifica mediante la simulación del convertidor. El segundo método de análisis se basa en la solución del modelo matemático en espacio de estado del convertidor. Bajo este análisis se obtendrá nuevamente la relación de la tensión de salida respecto a la relación de conducción de la etapa rectificadora y los parámetros del convertidor. Finalmente se comparan los resultados obtenidos por ambos métodos de análisis. En el quinto y sexto capítulo se analizan los convertidores SRC-CR y SPRC-CR, respectivamente, de igual forma a la propuesta en el capítulo cuarto del PRC-CR. En el séptimo capítulo se presentan los resultados experimentales obtenidos de los prototipos de los convertidores desarrollados. Finalmente en el capítulo octavo se presentan las conclusiones obtenidas de la tesis doctoral. Se evalúan los beneficios y limitaciones observadas en las estructuras desarrolladas. Se propone el planteamiento de posibles mejoras en función de las no idealidades del convertidor y del controlador propuesto, abriendo futuras líneas de investigación que servirán de complemento al presente trabajo. Agradecimientos Quiero presentar mis agradecimientos a todas las personas que han confiado en mí para la realización de este trabajo. A Juan Martín de la Universidad de Oviedo por su apoyo y amistad. También a Arturo por sus sabios consejos. A todos los profesores que he tenido en mi formación como ingeniero desde la diplomatura, pasando por la licenciatura, hasta el doctorado. En especial a los de la EUETIB, pues además de maestros míos ahora son unos fantásticos compañeros. A Francesc Guinjoan, que aunque siempre ha estado en el anonimato en este trabajo, su ayuda y apoyo ha sido de capital importancia para mí. De forma especial a Guillermo Velasco su apoyo ofrecido durante todo el proceso de realización de esta Tesis y a Manuel Manzanares su ayuda en el pesado trabajo diario. Gracias sinceras. A mis directores de tesis por la paciencia demostrada y ayuda ofrecida en la realización de este trabajo. No obstante los mayores agradecimiento tengo que hacérselos a mi mujer Marta, y a mis hijos Blanca y Martí, por su paciencia, comprensión, ayuda, favor, apoyo, confianza, ... en el duro día a día. ÍNDICE Lista de Símbolos 1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................1 1.1 Convertidores resonantes de varios interruptores y su control ...............................4 1.2 Problemática de los convertidores resonantes de varios interruptores....................8 1.3 Objetivos del presente trabajo...............................................................................10 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS................................................13 2.1 Introducción ..........................................................................................................15 2.2 El PRC con rectificación controlada.....................................................................18 2.3 El SRC con rectificación controlada.....................................................................24 2.4 El SPRC con rectificación controlada...................................................................30 2.5 Resumen de las estructuras y modelos obtenidos .................................................36 3. CONTROLES PROPUESTOS...................................................................................39 3.1 Introducción ..........................................................................................................41 3.2 Controlador One-Cycle .........................................................................................42 3.2.1 Caso del PRC-CR...........................................................................................44 3.2.2 Caso del SRC-CR...........................................................................................47 3.2.3 Caso del SPRC-CR ........................................................................................49 3.3 Controlador lineal..................................................................................................49 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR ..........................................................................................51 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico.....................................................53 4.1.1 Comportamiento del PRC clásico a la frecuencia de resonancia...................53 4.1.2 Impedancia de entrada del PRC clásico.........................................................55 4.1.3 Impedancia efectiva dependiente de la relación de conducción del rectificador.......................................................................61 4.1.4 Impedancia de entrada del PRC-CR ..............................................................65 4.1.5 Función de transferencia del tanque resonante ..............................................70 4.1.6 Tensión de salida normalizada.......................................................................76 4.1.7 Criterios de cálculo del convertidor...............................................................80 4.1.8 Resultados de simulación...............................................................................83 4.2 Solución del modelo en espacio de estado............................................................87 4.2.1 Introducción ...................................................................................................87 4.2.2 Referencias para el análisis de las formas de onda ........................................88 4.2.3 Solución general de las variables resonantes .................................................91 4.2.4 Valores del vector de estado en los instantes de cambio de intervalo ...........95 4.2.5 Duración del intervalo de t0 a t1 .................................................................100 4.2.6 Tensión de salida..........................................................................................102 4.2.7 Cambio de variables y normalización de las ecuaciones.............................105 1. INTRODUCCIÓN 3 Los convertidores de energía conmutados han ido gradualmente reemplazando a los sistemas lineales de alimentación de los equipos electrónicos actuales, debido a que son una solución más adecuada a los problemas de alimentación de dichos equipos. El rendimiento en la conversión de la energía de los sistemas conmutados es muy superior al de los sistemas lineales, pues estos últimos son claramente disipativos, mientras que los conmutados idealmente no lo son. Esta consideración está de acuerdo, también, con la tendencia actual de la electrónica de integración y optimización de sistemas, pues los convertidores conmutados van a presentar una mayor relación potencia/peso y potencia/volumen que los sistemas de alimentación electrónicos lineales. No obstante, pese a las evidentes ventajas de los convertidores conmutados, presentan ciertos aspectos en los que se ha de contribuir a su mejora, tanto en el convertidor por su comportamiento no lineal y variante con el tiempo, por sus cambios cíclicos de topología ([MOH95],[RAS95]), como en el controlador del mismo pues plantea controles no lineales y complejos dada la estructura. Aún presentando un alto rendimiento en el proceso de conversión de energía, éste se puede optimizar mediante las estrategias de conmutación denominadas de tensión cero, Zero-Voltage Switching (ZVS), o de corriente cero, Zero-Current Switching (ZCS), con las que reducir las pérdidas por conmutación de los interruptores del convertidor. En el conjunto de pérdidas atribuibles a los interruptores de un determinado convertidor PWM un importante tanto por ciento es debido a la disipación de energía que sucede en el proceso de encendido y apagado. Con el objetivo de minimizar dicha energía de pérdidas en conmutación, se plantea una actuación en el gobierno del interruptor cuando al menos una de las magnitudes que afectan a la potencia disipada, tensión o corriente, presente un valor nulo. Dependiendo del tipo de convertidor, dichos pasos por cero son propios de la estructura, tal como en los convertidores de tanque resonante, o se han de imponer mediante un circuito auxiliar. En ningún caso va existir un funcionamiento completamente óptimo, pues o se incrementa la complejidad del convertidor o se incrementan las pérdidas en conducción de los interruptores o se pierde agilidad para seguir una determinada ley de control. Todo ello, la mayoría de las veces, con clara dependencia del valor de la carga y el punto de trabajo del convertidor. Mención aparte conviene citar el incremento de complejidad y análisis de las estructuras de conversión de energía resonantes, que hace que su diseño sea difícil y con excesiva dependencia de los efectos parásitos de los componentes del convertidor. Pese a las dificultades citadas, los convertidores resonantes pueden aportar un incremento en el rendimiento energético de conversión eléctrica además de hacer disminuir la generación de interferencias electromagnéticas, EMI, tanto radiadas como conducidas, que puede afectar de forma importante a otros equipos del entorno. El incremento notable de las necesidades energéticas en nuestra sociedad ha hecho aumentar la demanda de sistemas de alimentación y de tratamiento de la energía eléctrica. Por tanto, cualquier iniciativa encaminada a conseguir un incremento del rendimiento en el proceso de conversión eléctrica, o mejora en algunos de los aspectos planteados, repercutirá en una reducción enorme en las pérdidas y optimización del uso de los actuales recursos energéticos, debido a la enorme difusión y uso de los actuales convertidores conmutados en nuestra sociedad. 1. INTRODUCCIÓN 4 La disminución de pérdidas en conmutación va a posibilitar aumentar el rendimiento de conversión energética o, asumiendo un rendimiento aceptable, incrementar la frecuencia de conmutación del convertidor. Esta última posibilidad es una tendencia clara en la evolución actual de todas las estructuras de conversión de energía en el ámbito de electrónica de potencia. Se contribuye a la disminución de volumen y peso de capacidades, de inductancias y transformadores en el equipo, incrementando la relación potencia/volumen o potencia/peso del convertidor hasta límites muy superiores a los posibles mediante los primeros convertidores lineales. Los actuales convertidores DC-DC trabajan a elevadas frecuencias de conmutación (centenares de kHz) por lo que son sistemas de dinámica rápida. Esto facilita la posibilidad de regulación de la tensión o corriente de salida, y la actuación ante transitorios o perturbaciones en la carga y alimentación del convertidor, siempre mediante un control adecuado. Esta última condición justifica la importante vía de investigación actual que es el estudio de controles no lineales aplicados en los campos de la automática y electrónica de potencia, [MAR95], [KHA96]. El objetivo buscado en todo este área de conocimiento es optimizar, respecto a los controles lineales clásicos, el sistema o planta en estudio, mejorando su respuesta dinámica, su robustez ante variaciones en la carga e inmunidad ante las perturbaciones de la fuente de alimentación. 1.1 Convertidores resonantes de varios interruptores y su control Existe gran cantidad de convertidores DC-DC resonantes y no resulta fácil realizar una clasificación clara de los diferentes tipos. Dependiendo del autor, la clasificación se podrá realizar respecto al número de transistores, tipo de conmutación, tipo de estructura, etc. Sin embargo, parece claro que para manejar media o alta potencia en la conversión DCDC, y en general para cualquier forma de conversión de energía, es necesario actualmente acudir a las topologías de varios interruptores [JAC04]. Estos convertidores resonantes están basados en los denominados inversores resonantes, pues excitan un circuito completamente resonante en un punto de funcionamiento típicamente próximo a su frecuencia de resonancia. Estos circuitos están constituidos por diferentes etapas, por lo que dentro de estas estructuras existen diferentes configuraciones en función de cómo son las etapas que constituyen el convertidor. A continuación se citan las diferentes posibilidades: • con la fuente de alimentación del convertidor de tensión o de corriente, • si el inversor es de puente completo o medio puente, • según el número y la forma de asociación de los inductores y condensadores que forman el tanque resonante, • si la colocación de la carga respecto al circuito resonante es en serie con el tanque resonante o en paralelo a un componente del mismo, y • el tipo de filtro de salida usado. 1. INTRODUCCIÓN 5 Todas estas posibilidades dan una gran variedad de convertidores. Sin embargo las tres estructuras más utilizadas en la industria son las estudiadas en esta tesis (PRC, SRC y SPRC) y presentadas en las figuras 1.1, 1.2, 1.3. Fig. 1.1. Esquema del PRC (Parallel-loaded Resonant Converter) Fig. 1.2. Esquema del SRC (Series-loaded Resonant Converter) Gran parte de esta popularidad es debida a que en la implementación física del convertidor, los efectos parásitos de los componentes se pueden incorporar a la estructura del convertidor. Por ejemplo la inductancia de dispersión del transformador 1. INTRODUCCIÓN 6 de enlace o su capacidad en los devanados, puede dejar de ser un inconveniente y pasar a ser parte activa del circuito resonante [JOH88b]. Fig. 1.3. Esquema del SPRC (Series Parallel-loaded Resonant Converter) El primer análisis de un convertidor resonante DC-DC apareció en el año 1982 presentado por V. Vorperian y S. Ćuk, en el que se realiza un análisis estático y dinámico del SRC. El siguiente trabajo importante fue el de R. L. Steigerwald [STE84] en el año 1984, con la primera clasificación importante de los convertidores de tanque resonante y la introducción del método de aproximación al primer armónico. Posteriores trabajos fueron el de A.F. Witulski y R.W. Erickson [WIT86] para el SRC y S.D. Johnson y R.W. Erickson [JOH88a] para el PRC. A partir de este momento empiezan a aparecer gran cantidad de aportaciones en la bibliografía, tanto en aplicaciones de los convertidores, como en el diseño y optimización de la planta y su control. La aparición del convertidor SPRC fue posterior, en 1988, pero su uso se ha extendido rápidamente pese al incremento de componentes reactivos, por presentar los beneficios del convertidor serie y del paralelo. El control de los convertidores resonantes siempre se ha realizado mediante el gobierno de los interruptores de la etapa inversora que hace de enlace de la fuente de alimentación con el tanque resonante. De esta forma, para realizar una variación de una determinada magnitud del convertidor, como por ejemplo la tensión en la carga, en los interruptores del conjunto inversor se plantean como acciones posibles a realizar en la forma de onda de tensión de salida del puente la: • variación de su frecuencia, • variación de su fase o intervalo de actuación (clamped-mode) y • cuantificación de las secuencias de activación (Quantum Sequence Control). 1. INTRODUCCIÓN 7 Mediante la primera estrategia de actuación, los interruptores que excitan el tanque resonante son activados de manera que se aplique una forma de onda de tensión cuadrada, de frecuencia fs y de amplitud E (figura 1.4). Con la segunda estrategia se aplica una forma de onda semicuadrada o tren de pulsos bipolares, de frecuencia fs, de amplitud E y de tiempo muerto T/2-ton de tensión cero (figura 1.5). En la tercera se combinan unos periodos de tensión cuadrada, tal como en la actuación de frecuencia variable, con unos periodos de ausencia completa de tensión (figura 1.6). En las siguientes figuras se representan las formas de tensión de excitación del tanque resonante bajo las diferentes estrategias. Fig. 1.4. Forma de onda en el inversor con actuación por variación de frecuencia Fig. 1.5. Forma de onda en el inversor con actuación por variación de fase Fig. 1.6. Forma de onda en el inversor con actuación por cuantificación de las secuencias de activación La gran variedad de aportaciones que se encuentran en la bibliografía técnica corresponden a trabajos de modelado de las citadas estructuras, de análisis del comportamiento estacionario, de aproximaciones de pequeña señal para analizar su comportamiento dinámico, de diferentes consideraciones de diseño físico del convertidor, propuestas de estrategias de control y presentación de aplicaciones industriales óptimas de estos convertidores. En 1982 en [RAN82] ya era propuesta una regulación de la tensión de salida del PRC mediante la variación de la frecuencia de conmutación del tanque resonante. 1. INTRODUCCIÓN 8 El estudio del plano de fase que presentan los convertidores resonantes, supuso un punto de partida básico y referencia obligada en el estudio de estos convertidores. Dentro de este contexto, en gran cantidad de trabajos se ha estudiado el comportamiento y dinámica de dichos convertidores, y propuesto diferentes métodos de control tal como en [ORU85a],[ORU85b], [ORU85c], [ROS92], [TSA88a]. El estudio de la energía asociada al tanque resonante, también ha conducido a la propuesta de estrategias de control tal como en [KIM91b]. El estudio de la dinámica de forma discreta de estos convertidores ha hecho aparecer modelos y controles discretos, tal como los propuestos en [ELB88], [KIM91a]. Una propuesta interesante fue la aparecida en 1984 en [HAA84] con la aplicación de la Integral Pulse Modulation en el SRC. En él se estudia la dinámica del convertidor bajo esta nueva propuesta de control y se proponen mejoras de funcionamiento. Así mismo, en [KLA86], [KLA89] aparece una nueva e interesante topología que permite un flujo de energía bidireccional, entre entrada y salida del convertidor SRC, posibilitando su uso como convertidor DC-AC mediante una técnica de modulación de pulsos de potencia (power pulse modulation). También, en [BID90] se presenta un ondulador mediante un convertidor SRC, y el lazo de control que lo posibilita. Juntamente con los estudios relativos a las estructuras clásicas a tanque resonante, en [GU88] se proponen nuevas estructuras que permitan mejores métodos de regulación en los convertidores resonantes. Para el convertidor SPRC también han habido aportaciones, como [BAT89], [BAT90], [BAT91], que desde el estudio del plano de fase han analizado la dinámica del convertidor y su control. La introducción de controladores no lineales en estos convertidores a partir de los años 90, generó una gran variedad de aportaciones en la bibliografía [CAR00], [CAS00], [VEN04], siendo los controles más estudiados el de deslizamiento y el de pasividad. También gran cantidad de publicaciones se encuentran abordando la problemática de las pérdidas en conmutación y de conducción de los interruptores controlados del bloque inversor [BUR01]. Mediante alternativas de control se pretenden minimizar dichas pérdidas para mejorar el rendimiento del convertidor. 1.2 Problemática de los convertidores resonantes de varios interruptores Un primer aspecto está relacionado con el control de estas estructuras. El número de elementos almacenadores de energía en un convertidor indica el orden del convertidor, que resulta en un grado o estimación de su complejidad en su control. En los convertidores resonantes en estudio, el de menor orden es el SRC de orden tres por poseer tres elementos reactivos, el PRC es de orden cuatro y el SPRC de orden cinco. Pese a ser convertidores de elevado orden son sistemas del tipo SISO (Single Input 1. INTRODUCCIÓN 9 Single Output). La única actuación disponible para el control es desde los interruptores tipo MOSFET o IGBT del inversor, que es la primera etapa que forma el convertidor. Las acciones de control realizadas en el inversor tienen que propagarse a través del tanque resonante y el filtro de salida, hasta llegar a la carga. Esta propagación va a conllevar un retardo en la respuesta del sistema, que es tanto mayor cuanto menor sea el ancho de banda del filtro de salida de los convertidores y por tanto de dinámica más lenta. Otro aspecto crítico es la excesiva influencia del valor de la carga en las formas de onda de las magnitudes resonantes de los convertidores. Dado que el tanque resonante es un circuito serie trabajando en torno a su frecuencia natural, el valor de la carga del convertidor afecta en enorme medida al valor de la corriente por la bobina resonante y al valor del voltaje del condensador resonante [ERI01]. Asumiendo una estrategia de control por variación de frecuencia, las variaciones del punto de trabajo del convertidor y las variaciones de carga pueden ocasionar variaciones enormes en las magnitudes resonantes. Si se han de soportar estas condiciones de trabajo en el convertidor, se ha de realizar un sobredimensionado de los interruptores y de los componentes resonantes. Los costes de diseño y de fabricación del convertidor se han de incrementar notablemente, y se verá disminuida su relación potencia/volumen (o peso). También el rendimiento de conversión energética del convertidor disminuirá pues las pérdidas de conducción en los interruptores se incrementarán. Respecto a la conmutación de los transistores del puente inversor de estos convertidores de tanque resonante, las mínimas pérdidas de conmutación suceden en dos condiciones de trabajo diferentes. Una primera cuando el paso por cero de la tensión de excitación del tanque resonante coincide con el de la corriente resonante y una segunda cuando se consigue una conmutación del tipo ZVS que garantice el apagado de los transistores a tensión nula. La primera condición de trabajo corresponde al caso particular que la frecuencia de conmutación del inversor impone un comportamiento resistivo a la entrada del tanque resonante. Esta frecuencia de conmutación coincide con la frecuencia natural del tanque resonante para el SRC, pero experimenta pequeñas variaciones dependiendo del valor de la carga para el PRC y del SPRC. Por tanto, si el margen de regulación y carga es amplio, no se puede garantizar una mínima disipación de potencia en todas las condiciones de trabajo de estos dos últimos convertidores. Para el caso de una conmutación tipo ZVS, se puede garantizar el encendido y apagado de los transistores a tensión nula para un amplio margen de valores de carga. Pero, si la corriente resonante experimenta gran variación en sus valores, el apagado a tensión nula no se va a poder garantizar para todos los valores posibles de corriente resonante. Por tanto, fuera de las condiciones de conmutación optimas, en dichos convertidores pueden suceder conmutaciones con importante disipación de energía, tal como en un convertidor tipo PWM. Además las pérdidas en conducción pueden fácilmente incrementarse exponencialmente, hecho éste que cuestiona el uso de los convertidores de tanque resonante en aplicaciones con gran variación en el punto de trabajo y en la carga. 1. INTRODUCCIÓN 10 Para el caso particular del PRC, las aplicaciones típicas de uso son para generar una tensión continua fija a la salida sin grandes márgenes de regulación y en sistemas que presenten pocas perturbaciones entorno al punto de trabajo deseado. De esta forma, el lazo de control de los interruptores del inversor del tanque resonante regula pequeñas variaciones de frecuencia o ángulo de activación, según sea la estrategia de actuación. De hecho, la propia estructura del tanque resonante y la característica no lineal del conjunto de la carga provocan una pobre regulación de la tensión de salida en condiciones de gran variación de la carga. Es interesante también comentar que el campo típico de uso de estos convertidores suele ser ante cargas que necesiten grandes niveles de voltaje [JOH88b], siendo poco usado en aplicaciones por debajo de los 48 V. Por último, comentar que el método de actuación más utilizado es por variación de la frecuencia de la forma de onda de tensión cuadrada de excitación del tanque resonante. El circuito controlador necesita un oscilador controlado por tensión de alta sensibilidad en el control para corregir adecuadamente pequeñas perturbaciones, dada la respuesta en frecuencia del tanque resonante, que no es fácil de implementar y supone una dificultad añadida a la concepción del sistema. 1.3 Objetivos del presente trabajo El estudio de la presente Tesis Doctoral va dirigido a las estructuras de convertidores continua-continua de tanque resonante serie de varios interruptores. Estas son: • el Convertidor Resonante Paralelo, PRC (figura 1.1), • el Convertidor Resonante Serie, SRC (figura 1.2) y • el Convertidor Resonante con dos condensadores, SPRC o LCC (figura 1.3). En estas estructuras se va a sustituir la actual etapa rectificadora no controlada que poseen por una etapa rectificadora controlada. La síntesis de cada nueva etapa vendrá determinada por las magnitudes resonantes que intervengan en el bloque rectificador de cada convertidor. Desde las nuevas etapas rectificadoras se va a realizar el control del convertidor, por lo que se va a pasar de controlar mediante el bloque inversor del convertidor a controlar por el bloque rectificador. En este trabajo no se contempla la posibilidad de controlar los dos bloques a la vez. Nos centraremos en estudiar las posibilidades que ofrece el control desde la etapa rectificadora de los convertidores presentados, dejando el control simultáneo de los dos bloques como una posible continuación de la presente tesis. Mediante el análisis de las nuevas estructuras obtenidas se ha de determinar para cada una de ellas en qué condiciones se consigue la máxima regulación de las magnitudes de salida. También para qué valores de carga, valores de los componentes del convertidor y condiciones de trabajo la regulación de las magnitudes de salida son óptimas. Además, se han de deducir las frecuencias de conmutación del bloque inversor y las condiciones de carga que minimicen los problemas asociados a estos convertidores comentados en el anterior apartado 1.2. Se tendrán que determinar las condiciones 1. INTRODUCCIÓN 11 óptimas de diseño que garanticen la mínima variación de las magnitudes resonantes, todo ello aunque las magnitudes de salida del convertidor y su carga puedan experimentar gran variación. Se propondrán dos tipos de controladores a los convertidores en estudio. El primero mediante realimentación de las variables de estado resonantes, deducido de la teoría de promediado de sistemas [KHA96] y que corresponde con un controlador no lineal tipo One-Cycle. El segundo controlador propuesto es el clásico lineal mediante la realimentación de variables de estado de salida y un regulador Proporcional Integral. Otro tipo de controladores no lineales, como el de modo deslizante, han sido previamente estudiados y desestimados para los convertidores desarrollados en esta tesis, por su difícil implementación física y escasa aportación práctica [CON00]. De los dos controladores propuestos, el segundo citado es el típico feedback ampliamente utilizado en el control de convertidores DC-DC, mientras que el primero es un control feedforward. El uso del controlador One-Cycle es posible de implementar dada la nueva estrategia de control del convertidor mediante el rectificador controlado. Esta va a ser una nueva aportación del control de ciclo único, cuyo uso y aplicación se ha extendido enormemente en los convertidores de potencia desde su presentación en 1995 por Keyue M. Smedley y Slobodan Ćuk, [SME95a]. La rápida extensión de este control no lineal viene justificada por las excelentes ventajas que teóricamente plantea, que van desde el rechazo a perturbaciones de línea y de carga de forma rápida, hasta la eliminación de error dinámico y estacionario entre la referencia y la magnitud conmutada promediada. Debido a su rapidez de acción, teóricamente se puede obtener un excelente comportamiento dinámico en tiempos transitorios y garantizar estados estacionarios robustos del convertidor. Se ha de estudiar la influencia de los diferentes lazos de control propuestos en las nuevas estructuras sintetizadas y verificar las expectativas que a priori presentan dichos controladores en las prestaciones dinámicas de los nuevos convertidores. 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS 18 () ∫ =2 0 2 1s T rp s odt n tv T V (2.6) En forma de esquema de bloques el SPRC se considera como aparece en la figura 2.6. Fig. 2.6. Esquema de bloques del SPRC Dadas las similitudes en la etapa rectificadora del SPRC clásico y el PRC clásico, el control u2 va a ser el mismo que el de la ecuación (2.3), pero considerando la variable de transmisión de energía vrp. 2.2 El PRC con rectificación controlada En la figura 2.7 se representa el convertidor resonante paralelo de puente completo (Full-Bridge Parallel-loaded Resonant Converter) objeto de estudio. Para posibilitar una regulación de la tensión de salida, vo, definida como la tensión en la resistencia de carga RL, se precisa una actuación adecuada en los interruptores Sa, Sa’, Sb y Sb’, mediante las estrategias comentadas en el capítulo 1.1 de introducción. Fig. 2.7. Convertidor resonante paralelo de puente completo (FB-PRC) Se trata de un convertidor de cuarto orden, por tener cuatro elementos que almacenan energía. En la figura 2.8 se presenta el convertidor con la etapa inversora parcialmente modelada. El sistema es del tipo SISO (Single Input Single Output), pues la tensión 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS 19 aplicada al tanque resonante dependerá únicamente de la función de control u1, la cual puede tomar los valores { } 1,0,1 1 − ∈u. Fig. 2.8. Modelo del PRC clásico Para posibilitar el control del convertidor mediante la etapa rectificadora se sustituyen los interruptores no controlados (diodos D1, D1’, D2 y D2’) por interruptores controlados. El nuevo esquema será el propuesto en la figura 2.9. Fig. 2.9. Sustitución de interruptores no controlados por controlados en el PRC clásico A partir de la anterior figura se analiza el conjunto de casos de interés, en función de la estructura que toma el circuito, mediante las diferentes posiciones (ON/OFF) que pueden tomar los interruptores. Previamente es importante tener presente la naturaleza de las magnitudes eléctricas que van a afectar a dichos interruptores: si van a tener un comportamiento como fuente de tensión o como fuente de corriente. Esta consideración se indica en la figura 2.10. Fig. 2.10. Naturaleza de las magnitudes que intervienen en los nuevos interruptores controlados del PRC 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS 20 Se observa que la nueva matriz de conmutación rectificadora es excitada por una fuente de tensión, tensión en extremos del condensador Cr ponderada por la relación de espiras del transformador, y presenta una salida por fuente de corriente, corriente por el inductor Lf. Esto condiciona que sean necesarios interruptores unidireccionales en corriente y bidireccionales en tensión en la nueva etapa rectificadora controlada, tal como se muestra en la misma figura 2.10. Se proponen tres casos de interés, de los que se deduce un modelo general del PRC que incluye la nueva variable de control u2. • Caso A, con los interruptores S1: ON S1’: OFF S2: OFF S2’: ON Se describe con las ecuaciones L oo fL o L f r L r rr r r r R v dt dv Ci v dt di L n v i ndt dv Ci v dt di LEu += += += += 1 1 (2.7) que en notación de espacio de estados resulta fL o f L o f o f rL r L r rr r r r r CR v C i dt dv L v L v ndt di C i nC i dt dv L v u L E dt di −= −= −= −= 1 1 1 (2.8) • Caso B, con los interruptores S1: OFF S1’: ON S2: ON S2’: OFF Con las ecuaciones 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS 21 L oo fL o L f r L r rr r r r R v dt dv Ci v dt di L n v i ndt dv Ci v dt di LEu += +=− −= += 1 1 (2.9) y en términos de espacio de estado fL o f L o f o f rL r L r rr r r r r CR v C i dt dv L v L v ndt di C i nC i dt dv L v u L E dt di −= −−= += −= 1 1 1 (2.10) • Caso C. Presenta dos opciones de interruptores, y ambas se describen por las mismas ecuaciones: a) S1: ON S1’: ON S2: OFF S2’: OFF b) S1: OFF S1’: OFF S2: ON S2’: ON Queda descrito por las ecuaciones L oo fL o L f r rr r r r R v dt dv Ci v dt di L dt dv Ci v dt di LEu += += = += 0 1 (2.11) y en espacio de estado como 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS 22 fL o f L o f oL r rr r r r r CR v C i dt dv L v dt di C i dt dv L v u L E dt di −= −= = −= 1 (2.12) Considerando (2.8), (2.10) y (2.12) el caso general para el PRC es de la forma fL o f L o f r f oL r L r rr rr rr CR v C i dt dv u L v nL v dt di u C i nC i dt dv u L E L v dt di −= +−= −= +−= 2 2 1 1 1 (2.13) Los valores permitidos en las entradas u1 y u2 para el funcionamiento del PRC son los siguientes: {} 1,0,1 1 + −∈u {} 1,0,1 2 + −∈u Se observa que la variable de control u1 está desacoplada de la variable u2. Esta última toma los siguientes valores en los tres diferentes casos de estudio: Caso A : u2 = +1 Caso B : u2 = -1 Caso C : u2 = 0 Con el nuevo modelo matemático del PRC deducido y para los casos en que se ha establecido su funcionamiento, la estructura clásica del convertidor se ha de modificar hacia una nueva estructura representada en la figura 2.11. Se observa en la figura que, en el bloque rectificador, con sólo dos interruptores controlados y dos espontáneos tipo diodo se consiguen los tres casos de interés para el funcionamiento deseado del convertidor. Además, se observa que la implementación física de los nuevos interruptores controlados se ha propuesto mediante el uso de transistores tipo MOSFET y diodos. El nuevo convertidor presentado es denominado Convertidor de tanque Resonante Paralelo con Rectificación Controlada, Parallel-loaded Resonant Converter with 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS 23 Controlled Rectification (PRC-CR), por contener en su estructura un rectificador controlado en vez del clásico rectificador no controlado. Para garantizar la continuidad de la corriente por el inductor Lf para cualquier valor de la variable de control u2, se incluye un diodo de libre circulación en el bloque rectificador. Fig. 2.11. Convertidor PRC-CR Es importante comentar que el nuevo convertidor propuesto va a evitar el modo de conducción discontinua de la tensión en el condensador resonante por la acción del control u2. El controlador diseñado para el convertidor puede evitar la entrada en conducción de todos los interruptores del puente rectificador dado que no es un caso de interés de los planteados. Se evita así un modo de conducción indeseado del PRC clásico para la aplicación en estudio. Al sistema de ecuaciones (2.13) se le puede realizar una normalización de variables con el fin de obtener un sistema de ecuaciones genérico formado por variables normalizadas. Para ello se proponen los siguientes cambios de variables: r r r ri C L E x1 1= (2.14) rr v E x1 2= (2.15) L f f fi C L E x1 1= (2.16) of v E x1 2= (2.17) Se propone también un cambio en la variable temporal de la forma τ rrCLt = (2.18) 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS 24 El sistema de ecuaciones resultante es 21 2 222 1 211 2 12 1 1 1 f fL rr f ff rr f r ff rr f ff rr f f f f r r r r r r x CR CL x CL CL d dx ux CL CL n x CL CL d dx ux L C C L n x d dx ux d dx −= +−= −= +−= τ τ τ τ (2.19) Tomando r f C C = α (2.20) ff rr CL CL = β (2.21) f f LC L R 1 = δ (2.22) resulta el siguiente sistema normalizado para el PRC-CR () 21 2 222 1 211 2 12 1 1 1 ff f rf f fr r r r xx d dx ux n x d dx ux n x d dx ux d dx δβ τ β τ αβ τ τ −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+−= −= +−= (2.23) 2.3 El SRC con rectificación controlada En la figura 2.12 se presenta el convertidor resonante serie de puente completo (Full- Bridge Series-loaded Resonant Converter). La operativa de análisis es idéntica a la de la anterior estructura. 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS 25 Fig. 2.12. Convertidor resonante serie de puente completo (FB-SRC) Se observa que es un convertidor de tercer orden. En la figura 2.13 se sustituye el conjunto inversor por su circuito equivalente para simplificar el estudio del convertidor. Fig. 2.13. Modelo del SRC Nuevamente, el sistema es del tipo SISO en la corriente por la carga, IL, con la función de control u1. Para posibilitar el control del convertidor desde la etapa rectificadora, se vuelven a sustituir los interruptores no controlados (diodos D1, D1’, D2 y D2’) por interruptores controlados, resultando el esquema propuesto en la figura 2.14. Fig. 2.14. Sustitución de interruptores no controlados por controlados en el SRC En el SRC, la naturaleza de las magnitudes eléctricas que afectan a los nuevos interruptores tienen un comportamiento tal como el presentado en la figura 2.15. La nueva matriz de conmutación es excitada por una fuente de corriente, corriente por el inductor resonante Lr ponderada por la relación de espiras del transformador, y presenta una salida por fuente de tensión, tensión en extremos del condensador de salida Cf. Ésto 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS 26 determina que los interruptores deben ser bidireccionales en corriente y unidireccionales en tensión, tal como se indica en la siguiente figura. Fig. 2.15. Naturaleza de las magnitudes que intervienen en los nuevos interruptores controlados del SRC Se presentan de nuevo tres casos de interés de los que se deduce un modelo general del SRC que incluye una variable nueva de control: u2. • Caso A, con los interruptores S1: ON S1’: OFF S2: OFF S2’: ON Se describe con las ecuaciones L oo fr r rr or r r R v dt dv Cin dt dv Ci vnv dt di LuE += = ++= 1 (2.24) que en notación de espacio de estado es fL o f ro r rr rr o r rr CR v C i n dt dv C i dt dv u L E L v n L v dt di −= = +−−= 1 (2.25) • Caso B, con los interruptores S1: OFF S1’: ON S2: ON S2’: OFF Se describe con las ecuaciones 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS 27 L oo fr r rr or r r R v dt dv Cin dt dv Ci vnv dt di LuE +=− = −+= 1 (2.26) que en espacio de estado es fL o f ro r rr rr o r rr CR v C i n dt dv C i dt dv u L E L v n L v dt di −−= = ++−= 1 (2.27) • Caso C, con los interruptores S1: OFF S1’: ON S2: OFF S2’: ON Se describe con las ecuaciones L oo f r rr r r r R v dt dv C dt dv Ci v dt di LuE += = += 0 1 (2.28) que en espacio de estado queda como fL oo r rr rr rr CR v dt dv C i dt dv u L E L v dt di −= = +−= 1 (2.29) El caso general para el SRC resulta 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS 34 Con (2.41), (2.43) y (2.45) se presenta como caso general para el SPRC: fL o f L o f rp f oL rs r rs rp L rp r rp rr rp r rsr CR v C i dt dv u L v nL v dt di C i dt dv u C i nC i dt dv u L E L v L v dt di −= +−= = −= +−−= 2 2 1 1 1 (2.46) Los valores permitidos en las entradas u1 y u2 para el funcionamiento del SPRC son de nuevo los siguientes: {} 1,0,1 1 + −∈u {} 1,0,1 2 + −∈u La variable de control u1 continua desacoplada de la variable u2, la cual toma los siguientes valores en los tres diferentes casos de interés: Caso A : u2 = +1 Caso B : u2 = -1 Caso C : u2 = 0 Dado el nuevo modelo del SPRC deducido y para los casos de funcionamiento en que está establecido su funcionamiento, la estructura del convertidor clásica se ha de modificar hacia una nueva estructura como la propuesta a continuación. Fig. 2.21. Convertidor SPRC-CR 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS 35 El nuevo convertidor presentado se denominada Convertidor de tanque Resonante Serie Paralelo con Rectificación Controlada, Series Parallel loaded Resonant Converter with Controlled Rectification (SPRC-CR). Se observa que la topología del rectificador de salida es idéntica a la del PRC. Esto es así por la coincidencia que existe entre ambos convertidores en la naturaleza de las variables que intervienen en su bloque rectificador. Finalmente, con la normalización de variables se presenta un sistema de ecuaciones genérico del sistema (2.46). Para ello se realizan los siguientes cambios de variables. r r r ri C L E x′ =1 1 (2.47) rpr v E x1 2= (2.48) rsr v E x1 2= (2.49) L f f fi C L E x1 1= (2.50) of v E x1 2= (2.51) siendo rprs rprs rCC CC C+ = ′ (2.52) Se realiza también un cambio en la variable temporal de la forma τ ' rrCLt = (2.53) El sistema de ecuaciones que resulta es 21 2 222 1 1 3 211 2 132 1 1 1 f fL rr f ff rr f r ff rr f ff rr f r rs r r f f f rp rr r rp rr rr r x CR CL x CL CL d dx ux CL CL n x CL CL d dx x C C d dx ux L C C CL n x C C d dx uxx d dx ′ − ′ = ′ + ′ −= ′ = ′ − ′ = +−−= τ τ τ τ τ (2.54) Si se aplica el siguiente cambio de constantes 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS 36 rp f C C = α (2.55) ff rr CL CL ′ = β (2.56) f f LC L R⋅= 1 δ (2.57) rp r C C ′ = γ (2.58) rs r C C ′ = ρ (2.59) Resulta finalmente el sistema normalizado para el SPRC-CR () 21 2 222 1 1 3 211 2 132 1 1 1 ff f rf f r r fr r rr r xx d dx ux n x d dx x d dx ux n x d dx uxx d dx δβ τ β τ ρ τ βαγ τ τ −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+−= = −= +−−= (2.60) 2.5 Resumen de las estructuras y modelos obtenidos Como resumen se presentan las tres nuevas estructuras obtenidas y sus modelos matemáticos deducidos en notación de espacio de estado. Para el PRC-CR corresponde la siguiente estructura y descripción matemática: fL o f L o f r f oL r L r rr rr rr CR v C i dt dv u L v nL v dt di u C i nC i dt dv u L E L v dt di −= +−= −= +−= 2 2 1 1 1 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS 37 Para el SRC-CR: 2 21 u C i n CR v dt dv C i dt dv u L v nu L E L v dt di f r fL oo r rr r o rr rr +−= = −+−= Para el SPRC-CR: fL o f L o f rp f oL rs r rs rp L rp r rp rr rp r rsr CR v C i dt dv u L v nL v dt di C i dt dv u C i nC i dt dv u L E L v L v dt di −= +−= = −= +−−= 2 2 1 1 1 2. OBTENCIÓN DE LAS NUEVAS ESTRUCTURAS 38 CAPÍTULO 3 CONTROLES PROPUESTOS Subíndice: 3. CONTROLES PROPUESTOS...................................................................................39 3.1 Introducción ..........................................................................................................41 3.2 Controlador One-Cycle .........................................................................................42 3.2.1 Caso del PRC-CR...........................................................................................44 3.2.2 Caso del SRC-CR...........................................................................................47 3.2.3 Caso del SPRC-CR ........................................................................................49 3.3 Controlador lineal..................................................................................................49 3. CONTROLES PROPUESTOS 41 3.1 Introducción A continuación se analizan las condiciones que han de cumplir los posibles controladores de la nueva etapa rectificadora controlada. El objetivo de dichos controladores es regular la variable propia de la carga de cada convertidor a un valor constante deseado y garantizar robustez ante variaciones de carga y de la tensión de entrada. Tal como se ha comentado en el capítulo 2, cada una de las nuevas estructuras de convertidores presentadas se puede dividir en dos subsistemas. El primer subsistema corresponde al circuito del tanque resonante y el segundo corresponde al circuito del filtro de salida, estando ambos enlazados mediante los interruptores del rectificador. Ambos subsistemas presentan dinámicas bien diferentes debido a los valores típicos de diseño de los condensadores e inductores de cada circuito, resultando que las magnitudes eléctricas del tanque resonante tienen una evolución mucho más rápida que las del filtro de salida. Como hipótesis de análisis se va a considerar en estado estacionario la evolución de la tensión en los condensadores resonantes y la corriente por los inductores resonantes una forma de onda de alta frecuencia y periódica. Y para los filtros de salida, la evolución de la corriente por el inductor y la tensión en el condensador como formas de onda de baja frecuencia. En nuestra propuesta de estudio se excita el subsistema del tanque resonante mediante una variable de control u1 de frecuencia fija próxima a la frecuencia de resonancia con forma de onda cuadrada tomando como posibles valores {-1, 1}. Esta forma de trabajo es típica en la bibliografía [FOS95], pues hace evolucionar las magnitudes resonantes en régimen estacionario de forma estable y periódica. Gracias a esta periodicidad de las magnitudes del tanque resonante, en la segunda variable de control u2 se pueden proponer diversas estrategias de control con las que conseguir la regulación y robustez deseadas en el convertidor. En la figura 3.1 se representan las dos posibles estrategias que se pueden implementar con un controlador para el control de u2: • mediante el sensado de la variable de estado del tanque resonante (opción 1), o • mediante el sensado de la variable de estado de salida (opción 2). La primera estrategia propuesta se puede conseguir con un controlador tipo One-Cycle. En este caso, la ley de control u2 se obtendrá mediante el sensado de la variable resonante de transmisión de energía del convertidor en cuestión. La segunda estrategia propuesta es la clásica de realimentación de la variable de salida con un regulador lineal o no lineal. La variable de control u2 se obtendrá ahora mediante el sensado de la variable propia de la carga del convertidor. 3. CONTROLES PROPUESTOS 42 Fig.3.1. Posibles estrategias para determinar el control u2 3.2 Controlador One-Cycle Este controlador se deduce de la aplicación de la teoría de promediado de sistemas [KHA96] ampliamente utilizada en el análisis de sistema complejos. El método de promediado se aplica a sistemas de la forma ( ) ε ε ,, xtfx = & (3.1) donde ε es un parámetro positivo pequeño y f(t,x, ε ) es T-periódica en t. Esto es ()() ( ) [ ) [ ) o DxtxtfxTtf ε ε ε ε ,0,0,,,,,,, × × ∞ ∈ ∀ =+ para un dominio n R D∈. El método aproxima la solución de este sistema por la solución de un “sistema promediado”, obtenido del promediado de f(t,x, ε ) en ε =0. El lado derecho de la igualdad presentada en (3.1) está multiplicado por una constante positiva ε . Cuando ε es pequeña, la solución x variará “lentamente” respecto a las fluctuaciones periódicas de f(t,x, ε ). Es intuitivamente claro que si la respuesta de un sistema es mucho más lenta que la excitación, la respuesta será determinada básicamente por el valor medio de la excitación. Esta intuición tiene sus orígenes en la teoría de sistemas lineales, donde es conocido que si el ancho de banda de un sistema es mucho más pequeño que el ancho de banda de la entrada, entonces el sistema actuará como un filtro pasa bajos que rechazará la componente de alta frecuencia de la entrada. Esta interpretación del promediado de un sistema supone un escalado temporal de la evolución de las variables del mismo por la eliminación de las componentes de alta frecuencia, realizando por tanto una interpretación de la dinámica del sistema más lenta. Estas ideas son también aplicables a los sistemas no lineales, tales como los sistemas de conversión de energía conmutados en estudio. 3. CONTROLES PROPUESTOS 43 Se asocia con el sistema (3.1) el denominado sistema promediado autónomo ( ) xfx av ε = & (3.2) donde () () ∫ = T av dxtf T xf 0 ,, 1 τε (3.3) El problema básico en el método de promediado es determinar hasta que punto el comportamiento del sistema autónomo (3.2) se aproxima al comportamiento del sistema más complejo no autónomo (3.1). Mediante un cambio de variables adecuado se puede demostrar que el sistema no autónomo se comporta como una perturbación del sistema autónomo. Por tanto, la aproximación de un sistema no autónomo por uno autónomo será tanto más válida cuanto menos efecto presenten las perturbaciones del sistema, es decir, cuanto más atenuadas sean las componentes de entrada de alta frecuencia por el sistema. La teoría de promediado nos presenta el siguiente teorema: Sea f(t,x, ε ) continua y acotada, con derivadas parciales también continuas y acotadas hasta de segundo orden respecto a (x, ε ) para (t,x, ε )∈[0,∞)×D×[0,εo). Se supone que f es T periódica en t para t>0 y ε es un parámetro positivo. Sean x(t, ε ) y xav(t, ε ) soluciones de (3.1) y (3.2), respectivamente. • Si () ],0[, ε ε b tDtxav ∈∀∈ y () () εεε kxx av ≤− ,0,0 , entonces () ( ) εεε ktxtx av ≤− ,, en ],0[ ε b • Si Dp ∈ * es un punto de equilibrio exponencialmente estable para el sistema promediado (3.2) , entonces existe una constante positiva ρ tal que si () ρε <− * ,0 pxav y () () εεε kxx av ≤− ,0,0 , entonces () ( ) εεε ktxtx av ≤− ,, para todo t ∈ [0,∞) 3. CONTROLES PROPUESTOS 50 Fig. 3.6. Sincronización de formas de onda En color verde, mr, aparece la magnitud resonante sensada, en color azul, vc, la rampa sincronizada con dicha variable resonante, en rojo, vm, la salida del regulador lineal a modular y en rosa, vgs, la señal de activación de los interruptores controlados del bloque rectificador. Mediante esta sincronización se aprovechan los pasos por cero de la variable resonante de transmisión de energía para conmutar los interruptores y conseguir conmutaciones con la menor disipación de energía posible. CAPÍTULO 4 ANÁLISIS DEL PRC-CR Subíndice: 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR ..........................................................................................51 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico.....................................................53 4.1.1 Comportamiento del PRC clásico a la frecuencia de resonancia...................53 4.1.2 Impedancia de entrada del PRC clásico.........................................................55 4.1.3 Impedancia efectiva dependiente de la relación de conducción del rectificador ...............................................................................................61 4.1.4 Impedancia de entrada del PRC-CR ..............................................................65 4.1.5 Función de transferencia del tanque resonante ..............................................70 4.1.6 Tensión de salida normalizada.......................................................................76 4.1.7 Criterios de cálculo del convertidor...............................................................80 4.1.8 Resultados de simulación...............................................................................83 4.2 Solución del modelo en espacio de estado............................................................87 4.2.1 Introducción ...................................................................................................87 4.2.2 Referencias para el análisis de las formas de onda ........................................88 4.2.3 Solución general de las variables resonantes .................................................91 4.2.4 Valores del vector de estado en los instantes de cambio de intervalo ...........95 4.2.5 Duración del intervalo de t0 a t1 .................................................................100 4.2.6 Tensión de salida..........................................................................................102 4.2.7 Cambio de variables y normalización de las ecuaciones.............................105 4.2.8 Resultados de simulación de la tensión de salida normalizada....................108 4.3 Comparación de resultados.................................................................................110 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 53 Es necesario analizar esta nueva propuesta de convertidor de tanque resonante denominada PRC-CR, pues una gran cantidad de variables son las que intervienen y condicionan su dinámica. Tal como sucede para los convertidores de tanque resonante clásicos, va a existir en el comportamiento del convertidor gran dependencia de la frecuencia de conmutación del inversor, de la impedancia característica del tanque resonante, de la relación de transformación del transformador de enlace y del valor de la carga. Del análisis de la estructura se obtiene la dependencia de las formas de onda de tensión y corriente del convertidor respecto a los valores de componentes y parámetros del circuito antes mencionados. Como resultados se obtendrán 9 frecuencias de conmutación óptimas de funcionamiento, 9 márgenes óptimos de regulación, 9 relación tensión de salida respecto a la carga del convertidor y el ciclo de trabajo del rectificador y 9 criterios de cálculo del convertidor. El estudio de la estructura es abordado, en primer lugar, mediante un análisis por aproximación al primer armónico. Este método, pese a su simplicidad, va a ofrecer unos resultados interesantes y con un pequeño error. Para corroborar este análisis se solucionan las ecuaciones del modelo matemático en variable de estado, obteniendo las ecuaciones temporales del convertidor. Finalmente son comparadas las soluciones obtenidas por ambos métodos de análisis y se observan sus similitudes. 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico Este método fue propuesto en los trabajos de Steigerwarld [STE88] y considera de las diferentes formas de onda del convertidor únicamente el valor medio y el primer armónico. Esta visión de las formas de onda permite simplicidad y el considerar lineal un comportamiento claramente no lineal. No obstante el error que se comete en el análisis es pequeño para las condiciones habituales de trabajo de estos convertidores, con una frecuencia de conmutación entorno a la frecuencia de resonancia. La conocida respuesta selectiva del tanque resonante hace que los armónicos superiores al fundamental de la frecuencia de conmutación resulten excesivamente atenuados y apenas influyan en el comportamiento del convertidor. 4.1.1 Comportamiento del PRC clásico a la frecuencia de resonancia Para cualquiera de los modos de actuación para el PRC clásico citados en el anterior apartado 1.1, se recomienda el trabajo en frecuencias ligeramente superiores a la de resonancia del tanque LC. Esta es una zona de funcionamiento estable del convertidor y que garantiza una conmutación ZVS en los interruptores del inversor que excitan el tanque. Así se limita el stress de dichos componentes y se reduce el tamaño de las redes snubbers, las cuales pueden ser no disipativas mediante condensadores. 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 54 No obstante, dentro de un contexto de máxima regulación posible de la tensión de salida del convertidor o ante variaciones importantes de la resistencia de carga, una frecuencia de trabajo entorno a la de resonancia tiene varios aspectos negativos. Todos ellos están relacionados con la impedancia de entrada ZIN(j ω ) que presenta el conjunto tanque LC, transformador de aislamiento, puente rectificador, filtro de salida y resistencia de carga, a dicha frecuencia de trabajo. En la figura 4.1 se indica el punto de evaluación de dicha impedancia en el convertidor. Figura 4.1. PRC clásico indicando los terminales de evaluación de la ZIN(j ω ) Esta impedancia de entrada, ZIN(j ω ), es una impedancia no lineal y que puede variar enormemente de un punto de trabajo a otro si la frecuencia del inversor es próxima a la frecuencia de resonancia del tanque LC. Es evidente que el punto de trabajo viene dado por la tensión y corriente de salida del convertidor. Por tanto, en nuestro estudio dentro del contexto de máxima regulación, se han de suponer gran cantidad de posibles puntos de trabajo o, lo que es lo mismo, suponer gran cantidad de posibles ZIN(j ω ) en el convertidor. En torno a la frecuencia de resonancia, la ZIN(j ω ) puede tomar valores desde cercanos a la impedancia característica del tanque LC, ZC, hasta valores nulos. Valores de impedancia próximos a este último caso presentan puntos de trabajo con corrientes idealmente infinitas. Esto implica un sobredimensionado de los interruptores del puente inversor y de los elementos reactivos del tanque por las elevadas corrientes que van a poder circular, así como por las tensiones que van a aparecer. Como medida de seguridad, será necesario acotar los puntos de trabajo que provoquen una ZIN(j ω ) nula o excesivamente baja, reduciendo en la medida necesaria el margen de regulación del convertidor. Si se considera el PRC-CR [CON01], la ZIN(j ω ) será igualmente no lineal. Dependerá del conjunto resistencia de carga, filtro de salida, rectificador controlado, transformador de aislamiento y tanque resonante. Ahora, además del valor de la resistencia de carga del convertidor, afectará el ciclo de trabajo de los interruptores del puente rectificador. En la figura 4.2 se presenta el PRC-CR indicando los terminales de evaluación de la ZIN(j ω ). 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 55 Nos encontramos con la misma problemática por las grandes variaciones de la ZIN(j ω ), acentuada por los efectos de la relación de conducción del rectificador. Cuando dicha relación de conducción sea un valor pequeño el tanque resonante estará sin carga, resultando un módulo de ZIN(j ω ) excesivamente bajo si la frecuencia de conmutación es próxima a la de resonancia. Para garantizar en estas condiciones el margen de regulación es necesario nuevamente un sobredimensionado de los componentes del convertidor, por lo que el diseño se convierte en poco eficiente, excesivamente voluminoso y pesado, y poco rentable económicamente. Fig. 4.2. PRC-CR indicando los terminales de evaluación de la ZIN(j ω ) Otro aspecto es la evolución inestable a la que va a tender el controlador cuando el ciclo de trabajo sea pequeño. Para ciclos de trabajo pequeños la ZIN(j ω ) tiende a ser igualmente pequeña, haciendo que las magnitudes resonantes, corriente por el inductor Lr y tensión en el condensador Cr, aumenten tal como se ha comentado anteriormente. Dado que el controlador del convertidor tenderá a garantizar la tensión de salida constante, ante un incremento de la tensión en el condensador resonante se reducirá el ciclo de trabajo del rectificador. Esta acción lleva nuevamente a disminuir la ZIN(j ω ) con una tendencia indeseada de corrientes infinitas en el inversor y ciclos de activación nulos en el puente rectificador. Esta tendencia sólo puede ser evitada por las no idealidades del control en forma de retardos y tiempos de respuesta, o por las resistencias parásitas de los componentes del convertidor (resistencias en conducción de los interruptores, resistencias parásitas de los componentes resonantes, etc ...) De todas estas consideraciones se concluye que para el PRC-CR no es un margen de frecuencias de conmutación óptimo las frecuencias muy próximas a la de resonancia. Del estudio de la ZIN(j ω ) del convertidor serán deducidas frecuencias adecuadas de trabajo que posibiliten la regulación y robustez deseadas del convertidor, manteniendo acotada la impedancia de entrada del mismo. 4.1.2 Impedancia de entrada del PRC clásico A modo de introducción al análisis del PRC-CR, se presenta la evolución de la impedancia de entrada, ZIN(j ω ), del PRC clásico. Del estudio de dicha impedancia, se 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 56 determinan las frecuencias óptimas de trabajo del inversor del convertidor que nos minimizan la problemática de la ZIN(j ω ) citada en el anterior apartado, ante las posibilidades de grandes variaciones en el punto de trabajo del convertidor por variaciones de carga o de tensión de salida. Consideramos como punto de inicio del estudio el indicado en la figura 4.3 como Re. Dicha resistencia se encuentra ya analizada en la bibliografía [STE88, ERI01] para un PRC clásico, mediante la aproximación del primer armónico de las formas de onda implicadas en ese punto del convertidor. Fig. 4.3. PRC clásico indicando la Re De todo el conjunto resistencia de carga, filtro de salida, rectificador no controlado y transformador de aislamiento se deduce un equivalente denominado resistencia efectiva Re de valor Le RnR 2 2 8 π = (4.1) Dicho conjunto es un sistema no lineal de difícil modelado si no se analiza desde la aproximación de primer armónico. Con dicho análisis, el modelo de comportamiento que se obtiene como resistencia óhmica lineal da unas posibilidades de análisis muy interesantes con gran aproximación al comportamiento real del convertidor. En el estudio del convertidor PRC-CR esa resistencia efectiva Re será una impedancia efectiva, Ze(d), dependiente del ciclo de trabajo del puente rectificador, siendo esto demostrado más adelante. Pero, mientras tanto, consideremos el caso del PRC clásico. Se observa que la tensión resultante del puente inversor excita un filtro pasa bajos RLC formado por Lr , Cr y Re, tal como en la figura 4.4. Fig. 4.4. Modelo circuital para el análisis de primer armónico 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 57 La excitación del circuito es el primer armónico de la forma de onda de tensión de salida del puente inversor vgen,1. La impedancia de entrada del circuito viene dada por la expresión () 1 //)( + +=−+= er e rCeLIN RCj R LjjXRjXjZ ω ωω (4.2) Es evidente que el valor de dicha impedancia, para una inductancia y capacidad constantes, depende de la frecuencia de trabajo y del valor de Re. Si se normaliza la función (4.2) respecto a la impedancia característica del tanque, ZC =(Lr/Cr)1/2 , se obtiene e C o oC IN R Z j j Z jZ + += ω ω ω ω ω 1 )( (4.3) En la figura 4.5 se representa el módulo de (4.3) respecto a la pulsación normalizada a la pulsación natural del tanque, ωo. Se consideran cuatro posibles casos de carga normalizada Re/ZC. El valor límite ∞, correspondiente a una Re infinita (en color verde), el valor límite 0, correspondiente a una Re nula (en color azul), el valor 0,5 (en color rojo) y el valor 2 (en color magenta). De la representación de la ecuación (4.3) se obtienen las siguientes conclusiones:  Para cualquier valor de Re/ZC el módulo de la impedancia de entrada, ⏐ZIN(j ω )⏐, estará acotado a un valor perteneciente a la región que encierran las curvas de valor 0 e ∞, tal como se representa en color en la figura 4.6.  Existe una frecuencia en el margen inferior de resonancia denominada fm, en la que el módulo de la impedancia de entrada del circuito es independiente del valor resistivo de Re, sólo variando su fase. Dicho valor de frecuencia se representa en la figura 4.7.  Para valores de frecuencia inferiores a fm el módulo de la impedancia de entrada es siempre superior al caso de resistencia nula. Para frecuencias superiores a fm el módulo ⏐ZIN(j ω )⏐ es siempre inferior al caso de resistencia nula. Las conclusiones primera y tercera indicadas se demuestran matemáticamente mediante el Teorema de Elementos Extras de Middlebrook [ERI01, MID89]. Pese a la simplicidad del modelo analizado, se observa que justifica la problemática comentada en el anterior apartado (apartado 4.1.1) respecto al PRC clásico trabajando el inversor en torno a la frecuencia de resonancia. Mediante la ecuación (4.3) o mediante la figura 4.5, se deduce que para frecuencias próximas a fo existen valores de impedancia de entrada muy pequeños para ciertos valores de Re/ZC. En concreto, para la frecuencia fo y para los valores de carga normalizada de 10 y 100 la impedancia de entrada normalizada corresponde prácticamente con los valores de 0,1 y 0,01, respectivamente. 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 58 Se da la circunstancia indeseada que conforme aumenta el valor de la resistencia de carga, disminuye dicha impedancia de entrada. Por tanto, se incrementa la corriente por el tanque resonante, la corriente por los interruptores del puente inversor y la corriente por la fuente de alimentación. Este comportamiento es particular del PRC y documentado en la bibliografía [STE88, ERI01] por su problemática asociada. Fig. 4.5. Módulo de ZIN(j ω ) normalizado para diferentes valores de Re/ZC Fig. 4.6. Regiones de posibles valores de ZIN(j ω ) 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 59 Fig. 4.7. Indicación de la fm y de la Zm La posible aparición de puntos de trabajo que generen una baja impedancia ZIN(j ω ) es un efecto indeseable. Se van a incrementar las pérdidas en conducción de los interruptores, incrementar el desgaste o stress en los componentes pasivos (incluidos condensadores) y afecta también negativamente a la batería o fuente de entrada de alimentación. El diseño del convertidor pasa a ser un aspecto muy crítico, sobre todo para el inductor resonante y la selección del condensador resonante. Es necesario que el comportamiento de dichos componentes sea óptimo en todo el elevado margen dinámico de variación de las tensiones y corrientes que han de soportar, si se desea un rendimiento aceptable en el convertidor, multiplicándose la problemática si se desea aumentar la potencia de trabajo. Por tanto desde la perspectiva que ofrece este análisis, para reducir las variaciones de ZIN(j ω ), las frecuencias de trabajo del inversor interesantes son: I. para valores por encima de resonancia, el margen de frecuencias de fs>1,5fo , y II. para valores por debajo de resonancia, el punto fs=fm . El caso I corresponde a un margen de frecuencias ligeramente superior al típico recomendado para el PRC y presenta como ventaja el garantizar una conmutación ZVS de los interruptores del puente inversor para cualquier valor de carga. El caso II es un punto concreto y en él no se garantizan conmutaciones ZVS, pues la conmutación va a depender del valor de la carga. La frecuencia fm es aquella en la que se iguala el módulo de la impedancia del caso de resistencia nula y el de resistencia infinita. rm rrm rm rrm rm rmrm Cj CL Cj CLj Cj LjLj ω ω ω ω ω ωω 11 1222 +− = + =+= (4.4) 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 66 La ecuación (4.19) depende de n, RL y d, por el término de Ze(d), y depende de la frecuencia de trabajo. Dado que el módulo de ZIN(j ω ) depende de varias variables, para caracterizar su comportamiento se representa para los siguientes casos con valores normalizados: i. respecto a la frecuencia de conmutación fs para diferentes índices de carga, considerando varias relaciones de conducción, d, y ii. respecto a fs para diferentes d, considerando varios índices de carga. 9 Caso i. Corresponde a las figuras 4.14, 4.15, 4.16, 4.17 y 4.18. Cada gráfica presenta una relación de conducción diferente en el convertidor, de 0,2 , 0,4 , 0,6 , 0,8 y 1,0. En cada gráfica aparecen los valores de índice de carga de 0,1 , 0,5 , 1 , 2 y 10. 9 Caso ii. Corresponde a las figuras 4.19, 4.20, 4.21, 4.22 y 4.23. Cada gráfica presenta un índice de carga de 0,1 , 0,5 , 1 , 2 y 10. En cada gráfica aparecen los valores de relación de conducción de 0,2 , 0,4 , 0,6 , 0,8 y 1,0. En las gráficas puede apreciarse que para frecuencias de trabajo próximas a la de resonancia, 0,9fo ≤ fs ≤ 1,1fo, el módulo de la impedancia decrece enormemente, tal como era de esperar. Su valor está condicionado por el índice de carga y ciclo de trabajo considerado, pero, en cualquier caso, este comportamiento afecta de forma importante al funcionamiento y rendimiento del convertidor, caso que se desee trabajar en este rango de frecuencias. En el rango de frecuencias próximo a fs=1,5fo, se observa en las gráficas que las variaciones que experimenta el ⏐ZIN(j ω )⏐ del PRC-CR son pequeñas. El comportamiento es muy parecido al del PRC clásico, e incluso para valores del índice de carga grandes las variaciones pueden ser mínimas, tal como se aprecia en las figuras 4.22 y 4.23. La variación es prácticamente nula y de valor próximo al caso de resistencia de carga del convertidor infinita. Sin embargo para ms ff = sí que existen variaciones apreciables respecto a las conclusiones extraídas de la figura 4.7 para el PRC clásico. La impedancia compleja Ze(d) afecta de forma importante en la ZIN(j ω ), cosa que no sucedía para el caso de la resistencia óhmica Re. Se observa que la impedancia de entrada ZIN(j ω ) no es un valor concreto a la fm independientemente de la carga del convertidor, ni tampoco es un valor acotado en todo el margen de frecuencias entre los valores de índice de carga nulo e infinito. Los resultados en la fm no son tan concluyentes como los obtenidos según el modelo de la figura 4.4. No obstante, se observa en las figuras 4.14 a 4.23 que la frecuencia fm es el punto de trabajo en el margen de frecuencias inferiores a la de resonancia en el que se producen menores variaciones del ⏐ZIN(j ω )⏐. Por tanto, dada la estrategia de funcionamiento planteada en el convertidor, queda justificado su interés como frecuencia de activación del tanque resonante por las ventajas que comporta: la corriente por el inductor resonante va a tender a ser constante, así como la corriente por los interruptores del puente inversor y, por consiguiente, la tensión en el condensador resonante. 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 67 Fig. 4.14. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada con d = 0,2 Fig. 4.15. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada con d = 0,4 Fig. 4.16. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada con d = 0,6 Fig. 4.17. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada con d = 0,8 Fig. 4.18. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada con d = 1,0 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 68 Fig. 4.19. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada para un índice de carga de 0,1 Fig. 4.20. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada para un índice de carga de 0,5 Fig. 4.21. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada para un índice de carga de 1 Fig. 4.22. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada para un índice de carga de 2 Fig. 4.23. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada para un índice de carga de 10 A continuación se analiza en detalle el comportamiento de la ZIN(j ω ) para el caso de ms ff =. Evaluando la ecuación (4.19) a la frecuencia fm resulta () dZ Z j j Z jZ e C C mIN + += 2 1 1 2 1)( ω (4.20) 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 69 En la figura 4.24 se presenta el módulo de la impedancia de entrada normalizada a la frecuencia fm, obtenido de la ecuación (4.20), respecto al índice de carga para diferentes relaciones de conducción en el puente rectificador. Fig. 4.24. Módulo de la ZIN(j ω ) normalizada en el convertidor a la fm, respecto al índice de carga. Se observa en la figura que:  para un gran margen de valores del índice de carga, dicho módulo permanece acotado en torno al valor de Zm normalizado: 2 1 = C m Z Z (4.21)  considerando el caso de índice de carga unitario, la variación que va a existir en la impedancia de entrada va a ser inferior al 50 %, y si se garantiza un índice de carga de valor 5 o superior, las variaciones van a ser inferiores al 15%.  la máxima desviación respecto al valor de Zm sucede con relaciones de conducción en torno al 0,5. Por tanto, va a resultar adecuado el uso de un transformador reductor en el convertidor. El término relación de transformación, n, pasa a ser superior a la unidad, influyendo notablemente en la impedancia ZIN(j ω ) porque, como se observa en la ecuación (4.14), la impedancia reflejada en el primario de la Ze(d) queda multiplicada por el cuadrado de la relación de transformación. Este resultado es beneficioso en el contexto de la problemática analizada, pues el tanque resonante se hace más inmune a las variaciones de carga y de relación de conducción, permaneciendo la ZIN(j ω ) mucho más acotada al valor de diseño de Zm. 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 70 4.1.5 Función de transferencia del tanque resonante Una vez caracterizada la impedancia efectiva Ze(d) del convertidor, se procede a conseguir una ecuación que relacione las tensiones de entrada y salida en el tanque LC resonante. Se obtendrá, por tanto, la función de transferencia que relaciona las magnitudes que excitan el tanque resonante. Considerando el primer armónico de la tensión de excitación del tanque resonante, vgen,1, y la tensión vr y la impedancia Ze(d), la función de transferencia que relaciona ambas magnitudes corresponde, como es obvio, con un filtro pasa–bajos de segundo orden, pero con una carga que es una impedancia. La ecuación es la siguiente: () 1 1 )( )( )( 22 1, ++ == dZ L jCLj jv jv jH e r rr gen r ωω ω ω ω (4.22) que se puede rescribir como () dZ Z j jH e C oo ω ω ω ω ω + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =2 1 1 )( (4.23) El término Ze(d)/ZC que aparece en (4.23) es el deducido en (4.16), por lo que la función de transferencia del tanque resonante es una función del índice de carga. Para el caso que la frecuencia de conmutación sea fo, la función de transferencia resulta ( ) C e oZ dZ jjH −=)( ω (4.24) que es representada en la figura 4.25 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 71 Fig. 4.25. Módulo de la función de transferencia del tanque resonante a fo El resultado obtenido en la figura 4.25 tiene relación con el presentado en las figuras 4.11 y 4.12 pues las tres figuras son una misma representación de la ecuación (4.16). Si se considera la ecuación (4.24) normalizada al índice de carga se obtiene ( )() L e C L C e C L o Rn dZ j Z R n Z dZ j Z R n jH 2 22 )( −=−= ω (4.25) Por tanto, las gráficas representadas en la figura 4.25 son casos particulares para diferentes índices de carga de la figura 4.11. Es interesante comentar que, para cualquier índice de carga, el sistema se vuelve inestable para d pequeñas, pues el módulo de la función de transferencia tiende a infinito. Se verifica nuevamente que una frecuencia próxima a la de resonancia en el inversor del convertidor no va a ser un punto de trabajo adecuado. A continuación se evalúa la ecuación (4.23) en el margen de frecuencias entorno a 1,5fo. En las figuras 4.26 y 4.27 se presenta el caso de 1,2fo . 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 72 Fig. 4.26. Módulo de H(j ω ) respecto a la relación de conducción para 1,2fo Fig. 4.27. Módulo de H(j ω ) respecto al índice de carga para 1,2fo En las figuras 4.28 y 4.29 se presenta el caso de 1,5fo . Fig. 4.28. Módulo de H(j ω ) respecto a la relación de conducción para 1,5fo Fig. 4.29. Módulo de H(j ω ) respecto al índice de carga para 1,5fo En las figuras 4.30 y 4.31 se presenta el caso de 2fo . Fig. 4.30. Módulo de H(j ω ) respecto a la relación de conducción para 2fo Fig. 4.31. Módulo de H(j ω ) respecto al índice de carga para 2fo En las figuras 4.32 y 4.33 se presenta el caso de 2,5fo . 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 73 Fig. 4.32. Módulo de H(j ω ) respecto a la relación de conducción para 2,5fo Fig. 4.33. Módulo de H(j ω ) respecto al índice de carga para 2,5fo Finalmente se evalúa la ecuación (4.23) a la frecuencia fm . Considerando el valor de pulsación presentado en la ecuación (4.5) se obtiene () dZ Z j jH e C m 21 2 )( + = ω (4.26) En las figuras 4.34 y 4.35 se presenta el módulo de la ecuación (4.26), tal como se ha realizado para las anteriores posibles frecuencias de trabajo. Fig. 4.34. Módulo de H(j ω ) respecto a la relación de conducción para fm Fig. 4.35. Módulo de H(j ω ) respecto al índice de carga para fm Comparando los resultados obtenidos en las diferentes frecuencias propuestas, se aprecia que conforme aumenta la frecuencia, el módulo de la función de transferencia del tanque resonante es menor. Por tanto, no es deseable incrementar en exceso la frecuencia de conmutación del convertidor, pues la transferencia del nivel de tensión desde la entrada del tanque resonante hacia la carga va a resultar atenuada, limitando el valor de tensión máxima posible a la salida del convertidor. Por otra parte, se observa que la función de transferencia del tanque resonante permanece prácticamente constante para índices de carga elevados. El valor a que tiende dicho módulo en cada una de las frecuencias consideradas se obtiene de la ecuación (4.23) considerando la condición 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 74 () dZ Z e C oo ω ω ω ω >> ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 2 1 (4.27) Mediante la condición (4.27) el módulo de la función de transferencia presentada en (4.23) resulta 2 1 1 )( ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = o jH ω ω ω (4.28) En la Tabla 4.1 se presentan los valores de la ecuación (4.28) para las frecuencias tomadas como ejemplo. o ω ω 2 1 1,2 1,5 2,0 2,5 )( ω jH 2,00 2,27 0,80 0,33 0,19 Tabla 4.1. Valores del módulo de la función de transferencia del tanque resonante para índices de carga elevados Que la función de transferencia sea prácticamente constante es un efecto beneficioso para el convertidor ya que garantiza que las magnitudes resonantes van a estar acotadas en torno a valores concretos. Por tanto, se continúa analizando este efecto. La condición (4.27) se puede organizar como () 2 1⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − >> o o C e Z dZ ω ω ω ω (4.29) Considerando la frecuencia normalizada a la frecuencia natural o F ω ω = (4.30) y la relación de la frecuencia de trabajo rF como 2 1 F F rF − = (4.31) la condición (4.29) queda de la forma 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 75 ( ) rF Z dZ C e>> (4.32) Si se considera un valor en la impedancia efectiva normalizada tal como ( ) rF Z dZ C e3= (4.33) la máxima desviación que se va a producir en el ⏐H(j ω )⏐de la ecuación (4.23) es de tan solo el 5%. Este error es suficientemente pequeño y evidentemente decrece conforme se incrementa el módulo de Ze(d). Considerando los puntos que cumplen con el valor (4.33) como los puntos frontera que van a satisfacer la desigualdad (4.29), mediante el módulo de Ze(d) de la ecuación (4.16) se obtiene () rF d Z R n C L3 cos18 3 2 2= −⋅ π π (4.34) Despejando la relación de conducción de (4.34), se obtiene el valor máximo de d que mantiene el ⏐H(j ω )⏐ constante respecto al índice de carga y a la relación de frecuencia. Viene dado por ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅⋅ −= 3 1 2 2 22 4 38 1arccos 1 C L Z R n rF d π π (4.35) En la figura 4.36 se representa la ecuación (4.35). En ella aparecen las zonas en las que el módulo de la función de transferencia del tanque es prácticamente constante para la frecuencia en consideración. En dichas zonas están contenidos los valores de índice de carga y d que cumplen la condición (4.27). Para la frecuencia fs=1,2fo la zona de ganancia constante es el área de color azul claro. El resto de puntos del plano no van a cumplir con la condición (4.27). De todos los casos contemplados este es el de menor zona de ganancia constante. Para la frecuencia fs=fm=fo/2 la zona óptima se incrementa hasta el límite indicado. Conforme se incrementa la frecuencia de trabajo se incrementa la zona de ganancia constante, siendo el caso fs=2,5fo el de máxima área óptima de las frecuencias consideradas. En todas las frecuencias estudiadas se observa que la condición (4.27) no se cumple únicamente cuando el índice de carga es pequeño y con relaciones de conducción elevadas. 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 82 que también se puede expresar por () C o o IN ZjZ ω ω ω ω ω 1 (min) 2 − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = (4.43) Los valores que toma el módulo de la impedancia de entrada para las frecuencias en estudio se indican en la Tabla 4.2. o ω ω 2 1 1,2 1,5 2,0 2,5 () (min) ω jZIN 2 1·ZC 0,36·ZC 0,83·ZC 1,50·ZC 2,10·ZC Tabla 4.2. Impedancia de entrada mínima para diferentes frecuencias de trabajo Dado el valor de (4.41), mediante la Tabla 4.2 se obtiene para la frecuencia de trabajo seleccionada el valor necesario de la impedancia característica del convertidor. Quedan por tanto seleccionados a partir de este momento la fs y ZC del convertidor. Llegados a este punto conviene determinar si el convertidor va a tener un índice de carga que garantice la poca dispersión en los valores de las variables resonantes. Para ello se ha de saber la relación de transformación del transformador de aislamiento n. Se obtiene mediante la ecuación (4.38) despejando la n y considerando el caso de relación de conducción máxima () )(2 4 2 ω π jH máxV E n o = (4.44) En la ecuación (4.44) el valor del módulo de la función de transferencia del tanque resonante, tal como se observa, depende de la frecuencia de trabajo. Se debe elegir el valor que corresponda según la Tabla 4.1, para la frecuencia de conmutación seleccionada en el convertidor. Una vez determinada la relación n, se calcula el índice de carga, n2RL/ZC. Este valor ha de ser suficientemente grande para garantizar regulación de la tensión de salida y ganancia constante en la función de transferencia del tanque resonante. Esta comprobación se ha de realizar con las gráficas que relacionan la tensión de salida normalizada y el ⏐H(j ω )⏐ respecto al índice de carga, para la frecuencia de conmutación seleccionada. Finalmente es interesante hacer la estimación del valor de tensión en el condensador resonante para su dimensionado y selección. Dada la frecuencia de trabajo elegida y el valor del módulo de la función de transferencia correspondiente, mediante la ecuación (4.36) y (4.37) se obtiene 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 83 EjHvr π ω 4 )( ˆ= (4.45) 4.1.8 Resultados de simulación Mediante el software simulador PSIM v 4.1, de Powersim Technologies Inc., se verifican los resultados obtenidos de las ecuaciones y gráficas deducidas en los apartados anteriores. Conviene recordar que dichos resultados provienen del análisis aproximado al primer armónico de las formas de onda en estudio, por lo que es necesario validar dicha hipótesis y observar si el error que introduce es aceptable o desproporcionado. El esquema PSIM del convertidor PRC-CR se presenta en la figura 4.50. Se observa que la tensión de entrada del convertidor es de 100V. La relación de transformación del transformador de aislamiento es n = 4. La impedancia característica del tanque resonante es de 46,9 Ω, dados los valores de inductancia y condensador resonante utilizados. La resistencia de carga del convertidor es de 14 Ω. Con estos datos resulta un índice de carga de valor 4,77 . Fig. 4.50. Esquemático del convertidor Se simula el convertidor a la frecuencia fm y a la frecuencia 1,5fo. Para cada frecuencia se presentan dos posibles relaciones de conducción del conjunto rectificador. • Simulación a la frecuencia fm: 9 El ⏐ZIN(j ω )⏐ esperado, mediante la ecuación (4.6) o la Tabla 4.2, es de 33,1 Ω. 9 El valor del índice de carga del convertidor es suficientemente grande para suponer la función de transferencia prácticamente constante. Mediante la gráfica 4.35 se puede apreciar esta afirmación. El valor de ⏐H(j ω )⏐ es, según la misma gráfica 4.35 o la Tabla 4.1, de 2. 9 El valor de pico esperado de la corriente resonante, mediante la ecuación (4.41), es de 3,84 A. 9 El valor de pico esperado de la tensión resonante, mediante la ecuación (4.45), es de 254 V. 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 84 En la figura 4.51 se representan las formas de onda obtenidas de la simulación correspondientes a una relación de conducción de 0,3. En la gráfica superior se presenta la tensión resonante en el secundario del transformador, vr’, (en rojo) y la tensión de salida del puente rectificador semicontrolado, vrec, (en azul) En la gráfica inferior aparece la corriente resonante, ir, (en rojo) y la corriente por el inductor del filtro de salida, IL, (en azul). Fig.4.51. Resultados de simulación para fm y d = 0,3 Fig.4.52. Resultados de simulación para fm y d = 0,7 El valor de pico de la tensión resonante es de 276 V y el valor de pico de la corriente resonante es de 3,86 A. Se observa en la gráfica que estos dos valores son muy 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 85 próximos a los esperados, teniendo en cuenta que la tensión resonante representada es dividida por 4 por ser en extremos del secundario del transformador. Respecto a la tensión de salida, el valor obtenido es de 11 V, siendo el valor esperado de 10 V mediante la gráfica 4.46. En la figura 4.52 se presentan las formas de onda obtenidas de la simulación correspondientes a una relación de conducción de 0,7. El valor de pico de la tensión resonante es de 272 V y el valor de pico de la corriente resonante es de 4,26 A. Se observa nuevamente que estos valores son muy próximos a los esperados, considerando la relación de transformación n en la tensión resonante. El valor obtenido de tensión de salida es de 32 V, siendo el valor esperado de 35 V mediante la gráfica 4.46. • Simulación a la frecuencia 1,5fo: 9 El ⏐ZIN(j ω )⏐ esperado, mediante la Tabla 4.2, es de 38,9 Ω. 9 Para el valor del índice de carga del convertidor, se puede suponer la función de transferencia prácticamente constante e igual a 0,8. Este valor se deduce de la gráfica 4.29 y la Tabla 4.1. 9 El valor de pico esperado de la corriente resonante, mediante la ecuación (4.41), es de 3,27 A. 9 El valor de pico esperado de la tensión resonante, mediante la ecuación (4.45), es de 102 V. Fig.4.53. Resultados de simulación para 1,5fo y d = 0,3 En la figura 4.53 se presentan las formas de onda obtenidas de la simulación correspondientes a una relación de conducción de 0,3. El valor de pico de la tensión resonante es de 103 V y el valor de pico de la corriente resonante de 3,75 A. Se observa también que estos valores son muy próximos a los esperados, considerando la relación n 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.1 Análisis por aproximación al primer armónico 86 del transformador. Respecto a la tensión de salida, el valor obtenido es de 4 V, siendo el valor esperado de 3,8 V mediante la gráfica 4.40. Fig.4.54. Resultados de simulación para 1,5fo y d = 0,7 En la figura 4.54 se presentan las formas de onda obtenidas de la simulación correspondientes a una relación de conducción de 0,7. El valor de pico de la tensión resonante es de 94,4 V y el valor de pico de la corriente resonante es de 3,58 A. Se observa nuevamente que estos valores son muy próximos a los esperados, considerando la n. El valor obtenido de tensión de salida es de 12 V, siendo el valor esperado de 12 V mediante la gráfica 4.40. Se observa que los valores de corriente y tensión deducidos de las ecuaciones (4.41) y (4.45) coinciden en gran medida con los obtenidos en las simulaciones. La máxima desviación observada en las formas de onda presentadas es de sólo el 15%. Si la frecuencia de trabajo del PRC fuese entorno a la frecuencia de resonancia, las variaciones que se pueden producir en las variables del tanque resonante pueden llegar a ser del 100%. Por tanto, dentro de este contexto, se entiende que una variación del 15% pueda ser denominada como acotada. Se puede concluir con que el análisis presentado aporta información para: 9 predecir con pequeño error la evolución de las magnitudes del convertidor. De forma fácil se pueden obtener las variables de tensión y corriente resonantes, y la tensión de salida. 9 deducir las frecuencias óptimas de trabajo. La frecuencia fm para un funcionamiento por debajo de resonancia y la frecuencia 1,5fo por encima de resonancia. 9 diseñar adecuadamente el convertidor para garantizar que las variables resonantes permanezcan acotadas en sus valores de diseño, posibilitando la regulación de la tensión de salida. 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 87 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 4.2.1 Introducción Un paso adelante en el análisis del PRC-CR en estado estacionario es determinar la evolución de las formas de onda de las magnitudes resonantes en el dominio del tiempo. Existen gran cantidad de trabajos en la bibliografía que analizan la evolución en estado estacionario de las formas de onda del convertidor PRC clásico, obtienen ecuaciones cerradas de la tensión de salida del convertidor, presentan pautas de diseño e incluso análisis en régimen transitorio del convertidor. Algunos de estos trabajos son los de [JOH88a], [ JOH88b], [BHA89], [RIC89], ... Pero la dinámica del convertidor PRC-CR se hace diferente a la del PRC clásico por la presencia del rectificador controlado, no siendo válidas las ecuaciones de estos trabajos citados en el nuevo convertidor que se está analizando. La metodología que se va a seguir en el análisis es la misma que A. K. S. Bhat y M. M. Swamy propusieron en su trabajo [BHA89]. Se van a obtener las ecuaciones de evolución en el dominio del tiempo, pero implícitamente existen ciertas aproximaciones en el análisis, ya utilizadas en este trabajo y ampliamente utilizadas en la bibliografía: • tensión constante en la carga, • corriente constante por la bobina del filtro de salida. Estas aproximaciones hacen que el convertidor pueda ser modelado tal como aparece en la figura 4.55, en la que todo el conjunto filtro de salida carga es sustituido por una fuente de corriente de valor constante IL. Fig. 4.55. Modelo circuital de comportamiento del PRC-CR 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 88 4.2.2 Referencias para el análisis de las formas de onda En la mayoría de trabajos que existen en la bibliografía para el análisis del PRC clásico se toma como referencia de análisis la tensión cuadrada del puente inversor. Este planteamiento es lógico y adecuado pues las formas de onda de tensión y corriente del convertidor están condicionadas por la excitación del puente inversor. En la figura 4.56 se presenta un resultado de simulación para la frecuencia de conmutación fm. Aparece en la figura una evolución de las formas de ondas típicas en el convertidor, tomando como referencia la tensión de salida del puente inversor, vgen, (en azul). En rojo también aparece la corriente por la bobina resonante, ir, en verde la tensión en el condensador resonante, vr, y en rosa la corriente de entrada al transformador de aislamiento, itrf . Se observa en la figura que dentro de un semiperiodo de funcionamiento aparecen dos modos topológicos en el convertidor, en los intervalos señalados de t0 a t1 y de t1 a t2, condicionadas por el signo de la tensión resonante. Fig. 4.56. Formas de onda en régimen estacionario del PRC clásico con referencia en la tensión del inversor En la figura 4.57 se presentan unas formas de onda para el PRC-CR con la misma referencia clásica de la figura 4.56. En la figura se observa que las formas de onda de tensión y corriente resonantes son bastante parecidas, pero la corriente itrf presenta un tiempo de conducción tON, que es variable e impuesto por la rectificación controlada. En este caso, dentro de un semiperiodo de funcionamiento se observan tres modos topológicos en el convertidor para los intervalos señalados de t0 a t1, de t1 a t2 y de t2 a t3. Este aumento de modos topológicos provoca un incremento de la complejidad del análisis, siendo importante establecer un criterio de referencia adecuado al estudio. La variable de control es el tiempo tON , o duración del intervalo de t1 a t2, que se encuentra entre dos intervalos de funcionamiento de duración variable según el punto de trabajo del convertidor, el intervalo de t0 a t1 y el intervalo de t2 a t3. Este aspecto incrementa la complejidad del análisis para establecer una referencia adecuada y se propone un cambio de referencia, tal como el presentado en la figura 4.58. 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 89 Fig. 4.57. Formas de onda en régimen estacionario del PRC-CR con referencia en la tensión del inversor La nueva referencia de análisis propuesta es la tensión del condensador resonante. Para los controladores presentados en el capítulo 3, la entrada en conducción de los interruptores de la etapa rectificadora se realiza en los pasos por cero de la tensión vr, estando la relación de conducción de los interruptores del rectificador determinada por el tiempo tON y la distancia temporal entre pasos por cero de dicha tensión. Es evidente que dicha distancia temporal coincidirá con los semiperiodos de la frecuencia de conmutación del puente inversor, en estado estacionario del convertidor. Los controladores necesitan una sincronización con dicha tensión resonante, por lo que es interesante que sea la referencia de análisis, tal como aparece en la figura 4.58. Dada la simetría que existe entre semiperiodos de la tensión vr, el estudio queda simplificado al semiperiodo positivo en el que, como se observa en la figura 4.58, aparecen tres intervalos de estudio: 9 de t0 a td, de duración impuesta por el controlador, 9 de td a t1, de duración no controlada y variable dependiente del punto de trabajo del convertidor, y 9 de t1 a t2, también de duración variable por depender del segundo intervalo, y calculable una vez conocido el periodo de la tensión de excitación y la duración del primer y segundo intervalo. Esta secuencia de intervalos es denominada Caso 1, y se observa que existe corriente itrf de valor IL/n desde el instante t0 hasta el instante td, siempre antes del instante t1. No obstante puede existir otra secuencia de intervalos en el convertidor, tal como se presenta en la figura 4.59, estableciendo esta nueva secuencia el denominado Caso 2. 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 90 Fig. 4.58. Formas de onda en estacionario del PRC-CR con referencia en la tensión del condensador resonante. Caso 1 Fig. 4.59. Caso 2 de formas de onda del PRC-CR En esta última secuencia sucede, tal como se aprecia en la figura, que td es posterior a t1, siendo los intervalos de estudio: 9 de t0 a t1, de duración no controlada y variable dependiente del punto de trabajo del convertidor, 9 de t1 a td, de duración variable dependiente del punto de trabajo del convertidor, pero deducible conocido el tON impuesto por el control y la duración del primer intervalo. 9 de t1 a t2, de duración conocida por depender del tON y del periodo de la tensión de excitación del tanque resonante. Conviene mencionar que las formas de ondas de las anteriores figuras corresponden a la frecuencia de conmutación fm. No obstante, siempre que la frecuencia de conmutación sea superior a fo/2, la secuencia de intervalos sólo podrán ser de Caso 1 o de Caso 2. 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 91 Por ejemplo, en la figura 4.60 se presentan las formas de onda para una frecuencia de 1,5fo, que corresponde, como se puede observar, al Caso 2 de funcionamiento. Frecuencias de conmutación inferiores a fo/2no tienen interés en nuestro análisis, por lo que a partir de ahora nos centramos en la solución de las ecuaciones para ambos casos de funcionamiento. Fig. 4.60. Formas de onda del PRC-CR a la frecuencia de 1,5fo 4.2.3 Solución general de las variables resonantes Comenzando por el Caso 1 de estudio representado en la figura 4.58, se analizan las tres topologías por las que evoluciona el convertidor. • Primera, de t0 a td con el modelo circuital equivalente de la figura 4.61 y las ecuaciones (4.46): ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ += += n I dt dv Ci v dt di LE Lr rr r r r (4.46) Fig. 4.61. Modelo de t0 a td • Segunda, de td a t1 con el modelo circuital equivalente de la figura 4.62 y las ecuaciones (4.47): 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 98 ∫′ += − −1 0 1 01 01 )( 0 )( 1)()( t t t tt detet τ τ uBxx A A (4.82) El vector de estado en el instante td es de igual forma ∫′ += −− d dd t t d ttt ddetet 1 11 )( 1 )( )()( τ τ uBxx AA (4.83) Y en el instante t2 ∫′ += − −2 2 22 )( )( 2)()( t t d t d tt d ddetet τ τ uBxx A A (4.84) Imponiendo nuevamente la condición de estado estacionario, )()( 02 tt xx −= , y reordenando, se obtiene el valor inicial para este caso como [] ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ′ + ′ + ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧′ +−= ∫∫ ∫ − −− −− − − 2 2 1 2 1 0 112 02 2 )( 1 )()( 01 )()( 1 )( 0)( t t d t t t d ttt t t ttt tt d d dd dedee deeet ττ τ τ τ τ uBuB uBIx A AA AA AL (4.85) del que se obtienen las soluciones siguientes: ()() ( ) ( ) ()() ()()()() ()() ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ −−− + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+ −+− −= 02 0112 02 02 0 cos1 sinsin cos1 coscos 2 1 2 1 )( tt tttt Z E tt tttt n I n I ti o oo C o dodo LL r ω ωω ω ωω L (4.86) ()()()() ()() ()() ()() ()()()() ()() ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −+ −−− − −+ − + ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −+ −+− −= 02 02 02 02 02 0112 0 cos1 sinsin 2 1 cos1 sin 2 1 cos1 coscos )( tt tttt Z n I tt tt Z n I tt tttt EEtv o dodo C L o o C L o oo r ω ωω ω ω ω ωω L (4.87) Es de notar que tanto el término ir(t0) como el término vr(t0) son idénticos en ambos casos de análisis. Conocidas ahora las componentes del vector de estado en el instante t0 se puede calcular mediante (4.82) las componentes del vector de estado en el instante t1 . 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 99 ( )() ( ) ( ) ()() ()() ()() ()() ()() ()() ()() 02 02 02 02 1 1 02 0112 1 cos1 sin cos1 sin sin 2 cos 2cos1 coscos 2 )( tt tt Z E tt tt tt n I tt n I tt tttt n I n I ti o o Co o do L do L o ooLL r −+ − + −+ − −− −− ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −+ −+− −+= ω ω ω ω ω ω ω ωω L (4.88) ()() ( ) ( ) ()() ()() ()() ()() ()() 02 02 1 1 02 0112 1 cos1 sin cos 2 sin 2cos1 sinsin 2 )( tt tt ttZ n I ttZ n I tt tttt Z n I tv o o doC L doC L o oo C L r −+ − −− −+ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −+ −−− += ω ω ω ω ω ωω L (4.89) Mediante (4.83) se obtiene el vector de estado en el instante td, con las componentes ( ) ( ) ( ) ( ) ()() ()() ()() ()() ()() 02 02 11 02 02 cos1 sin cossin cos1 coscos 2 1 2 1 )( tt tt tt Z E tt Z E tt tttt n I n I ti o o do C do C o dodo LL dr −+ − −+−− ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −+ −+− −+= ω ω ωω ω ωω L (4.90) ()() ()() ( ) ( ) ()() ()()()() ()() ()() ()() 02 02 02 02 02 02 11 cos1 sin 2cos1 sinsin 2 cos1 sin sincos)( tt tt Z n I tt tttt Z n I tt tt ttEttEEtv o o C L o dodo C L o o dododr −+ − − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −+ −−− + −+ − −+−+−= ω ω ω ωω ω ω ωω L (4.91) Finalmente con (4.84) se calculan las componentes para el instante t2. El resultado, como es de esperar, es idéntico al instante t0 del Caso 2 pero con el signo cambiado e idéntico al instante t2 del Caso 1. ( )() ( ) ( ) ()() ()()()() ()() ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −+ −−− − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −+ −+− +−= 02 0112 02 02 2 cos1 sinsin cos1 coscos 2 1 2 1 )( tt tttt Z E tt tttt n I n I ti o oo C o dodoLL r ω ωω ω ωω L (4.92) ()() ( ) ( ) ()() ()() ()() ()()()() ()() ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −+ −−− + −+ − − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −+ −+− +−= 02 02 02 02 02 0112 2 cos1 sinsin 2 1 cos1 sin 2 1 cos1 coscos )( tt tttt Z n I tt tt Z n I tt tttt EEtv o dodo C L o o C L o oo r ω ωω ω ω ω ωω L (4.93) En las figura 4.68 y figura 4.69 se indican los valores calculados en las ecuaciones de la (4.86) a la (4.93), para diferentes frecuencias de conmutación. 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 100 Fig.4.68. Valores del vector de estado en los instantes de cambio de intervalo para el Caso 2 a la frecuencia fm Fig.4.69. Valores del vector de estado en los instantes de cambio de intervalo para el Caso 2 a la frecuencia 1,5fo 4.2.5 Duración del intervalo de t0 a t1 . Para ambos casos de análisis en el instante t0 la tensión vr(t0) es nula. Por tanto, imponiendo tal condición en la ecuación (4.75) ó (4.87) y reordenando se obtiene 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 101 () ( ) [] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ()() [] ()() ()()()() [] 02 0202 01020102 sinsin 2 1 sin 2 1 cos1 sinsincoscos1 tttt E Z n I tt E Z n I tt tttttttt dodo C L o CL o oooo −−−− −+−+= =−−+−−+ ωω ωω ωωωω L L (4.94) Si se define ()() 02 cos1 tta o − + = ω (4.95) ()() 02 sin ttb o− = ω (4.96) ()()()()()() [] {} 0202 sinsinsin 2 1tttttt E Z n I ac dodoo CL −−−−−+= ωωω (4.97) resulta ( )() ( ) ( ) cttbtta oo = − + − 0101 sincos ω ω (4.98) que se puede rescribir como ()() 22 01 sin ba c tt o+ =+− φω (4.99) donde ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =− b a 1 tan φ (4.100) Aplicando posibles cambios trigonométricos se llega a la expresión ( ) 22 02 tt o − −= ω π φ (4.101) En la ecuación (4.99) se ha de tener en cuenta el cuadrante de trabajo pues siempre hay dos posibles soluciones matemáticas y sólo una física. Con esta consideración, la duración del intervalo de t0 a t1 , como diferencia de ángulos, será () () ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <+− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + =− >− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + =− − − oSo oSo ffsi ba c sintt ffsi ba c sintt πφω φω 22 1 01 22 1 01 (4.102) 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 102 4.2.6 Tensión de salida La tensión de salida del convertidor, Vo, es el valor medio de la tensión de salida del puente rectificador controlado, vrec. Por tanto, su cálculo se realiza evaluando vrec sobre un semiperiodo del periodo de conmutación, dada la rectificación y periodicidad de la tensión resonante vr . Se obtendrá mediante ∫ − =2 0 )( 1 02 t t reco dttv tt V (4.103) Para cada uno de los dos casos de funcionamiento propuestos, la evolución de los intervalos es diferente y, por tanto, la ecuación de cálculo de la tensión Vo también. Dados los intervalos de evolución de la tensión resonante y la acción del control, la tensión de salida se expresa para el Caso 1 como ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡+ − =∫∫ 2 0 0 )(1 0 02 1 t t t td r C o d d dtdt n tv tt V (4.104) resultando finalmente () ∫ − =d t t d r C odttv ttn V 0 0 02 1)( 1 (4.105) De igual forma, para el Caso 2 la tensión de salida se expresa como ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡++ − =∫∫∫ 2 1 1 0 0 )()(1 101 02 2 t t t td r t t r C o d d dtdt n tv dt n tv tt V (4.106) resultando finalmente () ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡+ − =∫∫ d t t d r t t r C odttvdttv ttn V 1 1 0 101 02 2)()( 1 (4.107) Tensión de salida para el Caso 1. La tensión en el condensador resonante, vr, hay que considerarla solamente en el intervalo de t0 a td. Por tanto operando en la ecuación (4.57) con los términos iniciales de (4.74) y (4.75), y el vector de control de (4.53), se obtiene 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 103 ()() ( ) ( ) ()() ()()()() ()() ()() ()() ()() ()() ()() ()() ()()()() ()() ()() ()() ()() ()() ()() 0202 2 0 02 2 0 02 2 02 0 02 1 02 12 0 02 12 0 1 cos1 sin 2 1 cos1 sin cos 2 1 cos1 cos sin 2 1 cos1 sin 2 1 cos1 sin 2 1 cos1 cos cos1 cos cos cos1 sin sin)( tt tt Z n I tt tt ttZ n I tt tt ttZ n I tt tt Z n I tt tt Z n I tt tt E tt tt ttE tt tt ttEEtv o do C L o do oC L o do oC L o o C L o o C L o o o o o o o o C od r −+ − − −+ − −− −+ − −− −+ − − −+ − − −+ − − −+ − −− −+ − −+= ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω L L L L (4.108) Resolviendo la integral de la ecuación (4.105) con (4.108), la tensión de salida resulta () () ()() ( ) ( )()() ()() ()() [] ()()()() ()() ⎭ ⎬ ⎫ −+ −−− −−+ ⎩ ⎨ ⎧ −+ −+− −−− − = 02 0112 0 02 0112 00 02 1 cos1 sinsin cos1 cos1 coscos sin 1 tt tttt tt E tt tttt tt E ttE ttn V o oo do o o oo do o d C o ω ωω ω ω ω ωω ω ω L (4.109) Esta ecuación presenta como variable de cálculo el ángulo ( ) 0 ttdo − ω que es impuesto directamente por el controlador. Depende también del ángulo () 01 tt o− ω , el cual depende del punto de trabajo del convertidor y que debe ser calculado mediante la ecuación (4.102) del apartado 4.2.5. Tensión de salida para el Caso 2. En este caso la tensión vr debe ser evaluada para los intervalos de t0 a t1 y de t1 a td . Para el intervalo de t0 a t1 , operando en la ecuación (4.69) con los términos iniciales de (4.86) y (4.87), y el vector de control de (4.65), se obtiene ()() ( ) ( ) ()() ()()()() ()() ()() ()() ()() ()() ()() ()() ()()()() ()() ()() ()() ()() ()() ()() 02 02 2 0 02 2 0 02 2 02 0 02 1 02 12 0 02 12 0 2 01 cos1 sin 2 1 cos1 sin cos 2 1 cos1 cos sin 2 1 cos1 sin 2 1 cos1 sin 2 1 cos1 cos cos1 cos cos cos1 sin sin)( tt tt Z n I tt tt ttZ n I tt tt ttZ n I tt tt Z n I tt tt Z n I tt tt E tt tt ttE tt tt ttEEtv o do C L o do oC L o do oC L o o C L o o C L o o o o o o o o C r −+ − − −+ − −− −+ − −− −+ − − −+ − − −+ − − −+ − −− −+ − −+= ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω L L L L L (4.110) Se observa que ésta última ecuación es idéntica a la ecuación (4.108), por ser las ecuaciones y vectores de control utilizados en su obtención iguales. 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 104 De igual forma, para el intervalo de t1 a td , con la ecuación (4.69), con los términos (4.88) y (4.89) y con el vector (4.66), se obtiene ()() ()() ( ) ( ) ()() ()() ()() ()() ()() ()() ()() ()() ()() ()() ()()()() ()() 02 2 0 02 2 0 02 02 0 02 2 02 02 11 2 1 cos1 cos sin 2 1 cos1 sin cos 2 1 cos1 sin 2 1 cos1 sin 2 1 cos1 sin 2 1 cos1 sin sincos)( tt tt ttZ n I tt tt ttZ n I tt tt Z n I tt tt Z n I tt tt Z n I tt tt ttEttEEtv o do oC L o do oC L o do C L o o C L o o C L o o oo C d r −+ − −− −+ − −− −+ − − −+ − − −+ − − −+ − −+−+−= ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ωω L L L (4.111) Resolviendo la integral de la ecuación (4.107) con (4.110) y (4.111), la tensión de salida resulta () ()() ( ) ( ) ( ) ( ) ()() [] ()() ()()()()()() ()() ()() ()()()()()() ()() ⎭ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−+ − −+− − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +−+ − −−− − + ⎩ ⎨ ⎧ +−+ −−− +−−− − = 02 02 0101 0 02 02 0101 0 02 0112 001 02 2 cos1 sin cossin cos cos1 sin sincos sin cos1 sinsin 2 tt tt tttt tt tt tt tttt tt tt tttt tttt ttn E V o o oo o do o o oo o do oo oo d C o ω ω ωω ω ω ω ω ωω ω ω ωω ωω L L (4.112) Conocidas ahora las dos ecuaciones posibles de la tensión de salida del convertidor, (4.109) para el Caso 1 y (4.112) para el Caso 2, la operativa de cálculo de la tensión Vo queda descrita en el diagrama de flujo de la figura 4.70. Fig. 4.70. Diagrama de flujo para la obtención de la Vo adecuada 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 105 4.2.7 Cambio de variables y normalización de las ecuaciones Dada la complejidad de las ecuaciones obtenidas se proponen los siguientes cambios de variables que faciliten la notación matemática. Se sustituye 2 02 S T tt =− (4.113) y considerando el concepto de relación de conducción, se obtienen ( ) 2 0 0 S d dT tt d − = (4.114) ( ) 2 01 01 S T tt d − = (4.115) ( ) 2 12 12 S T tt d − = (4.116) donde ( ) ( ) 011202 tttttt − + − = − (4.117) por tanto 1 1201 = + dd (4.118) 1 20 = + dd dd (4.119) En el Caso 1 de análisis se cumple 1 1210 = + + ddd dd (4.120) y para el Caso 2 1 2101 = + + dd ddd (4.121) cumpliendo ambos modos que dd ddd 0101 = + (4.122) La relación entre la frecuencia de conmutación fs del puente inversor respecto a la frecuencia natural fo, tal como se había presentado en (4.30), queda definida como s o o s T T f f F== (4.123) 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 106 Reordenando los términos de ángulos resultan () Ff f f f T tt s o s o s oo π ππωω ====− 2 1 2 2 02 (4.124) () () () ( ) ( ) 12 1212 121212 2 2 22 d F T tt FT tt F tt F f ttftt s s s oo π π π ππω = − = − =−=−=− (4.125) () () () ( ) ( ) 01 0101 010101 2 2 22 d F T tt FT tt F tt F f ttftt s s s oo π π π ππω = − = − =−=−=− (4.126) () () () ( ) ( ) d s d s d d s dodo d F T tt FT tt F tt F f ttftt 0 00 000 2 2 22 π π π ππω = − = − =−=−=− (4.127) Se define también 2 s o T F ω π γ == (4.128) Para el Caso 1, la ecuación (4.109) de la tensión de salida del convertidor en términos de las nuevas variables es () ( ) ( ) () () [] ()() () ⎭ ⎬ ⎫ + − −+ ⎩ ⎨ ⎧ + + −= γ γγ γ γ γ γγ γ γ cos1 sinsin cos1 cos1 coscos sin 1 0112 0 0112 00 1 dd d E dd d E Ed n V d dd C oL (4.129) que presentando en forma normalizada resulta () ( ) ( ) () () [] ()() () γ γγ γ γ γ γγ γ γ cos1 sinsin cos1 1 cos1 coscos sin 1 0112 0 0112 00 1 + − −+ + + −= dd d dd dd E V n d dd C oL (4.130) Para el Caso 2 la ecuación (4.112) resulta ( ) ( ) () ()()()() () ()()()() () ⎭ ⎬ ⎫ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + −− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + −+ ⎩ ⎨ ⎧ + − +−= γ γ γγγ γ γ γ γγγ γ γ γγ γ cos1 sin cossincos cos1 sin sincossin cos1 sinsin 2 1 01010 01010 0112 001 2 ddd E ddd E dd E EdEd n V d d d C o L L (4.131) que también en forma normalizada es 4. ANÁLISIS DEL PRC-CR 4.2 Solución del modelo en espacio de estado 107 ( ) ( ) () ()()()() () ()() ()() () ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + +− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + −+ + − +−= γ γ γγγ γ γ γ γγγ γ γ γγ γ cos1 sin cossincos 1 cos1 sin sincossin 1 cos1 sinsin 1 2 01010 01010 0112 001 2 ddd ddd dd dd E V n d d d C o L L (4.132) Las ecuaciones (4.130) y (4.132) dependen, además de la relación de la frecuencia de trabajo del inversor γ , de • el ciclo de trabajo d0d impuesto por el control, y • el ciclo de trabajo d01 que depende de la corriente de salida IL del convertidor. El ciclo de trabajo d01 se calcula mediante la siguiente ecuación, deducida de (4.102) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧+− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = > ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = − − os os ffsi ba c d ffsi ba c d πφ γ φ γ 22 1 01 22 1 01 sin 1 sin 1 (4.133) A los términos que afectan a (4.133) se les efectúan los cambios de variables propuestos y son normalizados respecto a E, resultando ( ) γ cos1+=a (4.134) () γ sin=b (4.135) () ( )()() [] {} γγγ dd CL dd E Z n I ac 00 sin1sinsin 2 1−−−+= (4.136) 22 γ π φ −= (4.137) La solución de la tensión de salida se puede representar en un plano de estado, es decir, respecto a la corriente de salida normalizada, o también respecto a la resistencia de carga del convertidor. Para el primer caso, el conjunto de ecuaciones se compacta como una función del tipo ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = base L d o I I df E V n, 0 (4.138) siendo C base Z E nI = (4.139) 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.1 Análisis por aproximación al primer armónico 115 5.1 Análisis por aproximación al primer armónico De igual forma que para el PRC-CR, se analiza el SRC-CR con el método de la aproximación al primer armónico. Nuevamente, ante grandes variaciones en la regulación de las magnitudes eléctricas en la salida del convertidor o ante grandes variaciones de la resistencia de carga, si el inversor trabaja a frecuencias de conmutación cercanas a la de resonancia del tanque, van a existir grandes variaciones en la impedancia de entrada, ZIN(j ω ), del convertidor. Para determinados valores de carga o de relación de conducción del bloque rectificador, el valor del ⏐ZIN(j ω )⏐ será muy pequeño, con lo que la corriente por el bloque inversor y el tanque resonante puede ser un valor excesivamente alto. De nuevo tenemos, en estas frecuencias de trabajo, el problema de las pérdidas en conducción y del diseño del convertidor citados en el apartado 4.1.1. El análisis que se realiza seguidamente, se orienta a caracterizar el comportamiento del convertidor con rectificación controlada y a encontrar los puntos de trabajo óptimos que minimicen los efectos indeseados comentados anteriormente. Esta perspectiva de garantizar un comportamiento constante a las magnitudes resonantes no es considerada en [ROS98], siendo fundamental en este trabajo. El punto de partida del análisis se establece en el SRC clásico. En la figura 5.1 se presenta dicho convertidor indicando los terminales de evaluación de la impedancia de entrada. Fig. 5.1. SRC clásico indicando los terminales de evaluación de la ZIN(j ω ) 5.1.1 Impedancia de entrada del SRC clásico Consideramos de nuevo como punto de inicio al estudio de la impedancia de entrada, ZIN(j ω ), el indicado en la figura 5.2 como Re. Dicho término se encuentra ya analizado en la bibliografía [STE88] [ERI01] y se presenta como una resistencia efectiva, Re, que modela todo el conjunto resistencia de carga, filtro de salida, rectificador no controlado y transformador de aislamiento. El valor de la citada resistencia es 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.1 Análisis por aproximación al primer armónico 116 Le RnR 2 2 8 π = (5.1) Fig. 5.2. SRC clásico indicando los terminales de evaluación de la Re Para el SRC clásico, la tensión de salida del puente inversor, y en concreto su primer armónico, vgen,1, excita un sistema RLC serie formado por Lr, Cr y Re , tal como se presenta en la figura 5.3. Fig. 5.3. Modelo de comportamiento en el análisis de primer armónico Considerando Re como una resistencia lineal óhmica, la impedancia de entrada del circuito se obtiene con la expresión: () e r reCLIN R Cj LjRjXjXjZ rr ++=+−= ω ωω 1 (5.2) Normalizando la ecuación (5.2) resulta () ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−+= ω ω ω ωω o oC e C IN j Z R Z jZ (5.3) En la figura 5.4 se representa el módulo de ZIN(j ω ) normalizado respecto a la frecuencia normalizada, para diferentes valores de Re/ZC. Las tres curvas que aparecen en la figura son el valor límite 0, correspondiente a una Re nula (en color azul), el valor 0,5 (en color rojo) y el valor 2 (en color magenta). Un valor de Re infinito es evidente que provocará en el valor de ⏐ZIN(j ω )⏐ un valor infinito para cualquier frecuencia. 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.1 Análisis por aproximación al primer armónico 117 Fig. 5.4. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada De la ecuación (5.3), en la que se considera una resistencia Re lineal, se deducen las siguientes conclusiones:  Para cualquier valor de resistencia efectiva, Re, el módulo de la impedancia de entrada ZIN(j ω ) estará acotado a un valor perteneciente a la región que encierran las curvas Re = 0 y Re = ∞.  Para cualquier frecuencia si disminuye la Re, el ⏐ZIN(j ω )⏐ tiende a disminuir y viceversa. Esta última conclusión muestra, afortunadamente, en el SRC un comportamiento propio de un convertidor PWM. Un incremento del valor de la carga en el convertidor va a provocar una disminución de las corrientes por el convertidor, y viceversa. Conviene recordar que en el PRC este efecto sucede a la inversa, ocasionando una importante problemática que ha sido comentada en el anterior apartado. El peor margen de frecuencias de trabajo continúa siendo el próximo a la frecuencia de resonancia, no existiendo puntos tal como la fm que aparecen en el PRC. Esto hace que la determinación de un punto de frecuencia óptimo de trabajo no sea evidente y sea más propio hablar de una franja óptima. 5.1.2 Impedancia efectiva dependiente de la relación de conducción del rectificador En la figura 5.5 se presenta el esquema del SRC-CR en estudio. En este convertidor la resistencia efectiva, Re, será una impedancia efectiva dependiente del ángulo, Ze(d), tal como se demostrará a continuación. 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.1 Análisis por aproximación al primer armónico 118 Fig. 5.5. SRC-CR indicando los terminales de evaluación de ZIN(j ω )y Ze(d) Se procede a determinar una expresión de la impedancia efectiva dependiente de la relación de conducción del rectificador, Ze(d), dada la evolución de las formas de onda del convertidor. En la figura 5.6 se presenta el convertidor SRC-CR con un modelado parcial del bloque inversor de excitación del tanque resonante y del bloque rectificador. Fig. 5.6. Modelo del convertidor SRC-CR Se considera el supuesto de rizado nulo en la tensión del condensador del filtro de salida. De esta forma, la tensión en la carga, Vo, es de valor constante. También, la corriente que circula por la resistencia de carga, IL, es de valor constante e igual al valor medio de la corriente iL. La tensión vp tendrá forma de semicuadrada con una duración de su tiempo muerto impuesta por la relación de conducción de los interruptores del puente rectificador. Fuera de los instantes de valor nulo en vp, su signo vendrá impuesto por el signo de la corriente ir. En la figura 5.7 se presenta una posible evolución de las formas de onda de corriente y tensión más significativas. Corresponden a una evolución ideal en estado estacionario y para una relación de transformación unitaria. Aparece la corriente resonante ir (en verde), la tensión de salida Vo (en rojo), la tensión de entrada del transformador, vp, o del puente rectificador, vp/n (en azul) y su correspondiente primer armónico como vp,1 (en rosa discontinuo). Se observa que la tensión vp es semicuadrada de valor de pico Vo y con un determinado ciclo de trabajo d impuesto por el rectificador. Se observa, además, que entre el primer armónico de vp e ir existe un desfase, por lo que nuevamente, para el SRC-CR, se ha de 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.1 Análisis por aproximación al primer armónico 119 hablar de una impedancia efectiva dependiente de la relación de conducción, Ze(d), en lugar de Re. Fig. 5.7. Formas de onda ideales en el convertidor El rectificador controlado y el filtro de salida hacen que la corriente por la carga cumpla ( ) π π d inI rL cos1 ˆ − = (5.4) El primer armónico de vp , vp,1 , mediante la descomposición en Serie de Fourier, viene dado por la siguiente expresión ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−+⋅−= 22 sincos1 22 )( 1, d tdVntv op ππ ωπ π (5.5) como función del valor de tensión constante Vo y de la relación de conducción, d, de los interruptores del rectificador. Dado que LLo RIV = (5.6) se sustituye (5.4) en (5.6) ( ) rLo i d RnV ˆ cos1 π π − = (5.7) y posteriormente en (5.5) para obtener 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.1 Análisis por aproximación al primer armónico 120 () ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−+⋅−= 22 sincos1 22 ˆ )( 2 3 2 2 1, d tdRnitv Lrp ππ ωπ π (5.8) Mediante una representación fasorial de la tensión vp,1 y la corriente ir, se obtiene la impedancia efectiva como () () () () () 0 22 2 3 2 2 0 22 1, ˆ cos1 22 ˆ ˆ ˆ j r d j Lr j r d j p j ee ei edRni ei ev edZdZ d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−− === ππ ππ ϕ π π (5.9) resultando () () ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− −⋅ =22 2 3 2cos18 d j Le e d nRdZ ππ π π (5.10) La representación gráfica de la ecuación (5.10) normalizada al valor de la resistencia de carga RL y la relación de transformación al cuadrado, se representa en las siguientes figuras. En la figura 5.8 se presenta el módulo y en la figura 5.9 el argumento. Se aprecia que cuando los valores de la relación de conducción, d, tienden a cero el módulo de la impedancia efectiva tiende también a cero, y para valores de d que tienden a 1 dicho módulo tiende al valor de la resistencia efectiva de la ecuación (5.1). Fig. 5.8. Módulo de Ze(d) normalizado en RL y n2 Se observa también que la evolución del argumento de la impedancia efectiva es lineal desde 0º a 90º. 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.1 Análisis por aproximación al primer armónico 121 Fig. 5.9. Argumento de Ze(d) Normalizando la ecuación (5.10) respecto a la impedancia característica del tanque resonante, ZC, se obtiene la ecuación (5.11) nuevamente en términos del índice de carga, n2RL/ZC, que será utilizada en posteriores deducciones. () () ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− −⋅ =22 2 3 2cos18 d j C L C ee d Z R n Z dZ ππ π π (5.11) 5.1.3 Impedancia de entrada del SRC-CR La impedancia de entrada ZIN(j ω ) queda definida por la ecuación () () () dZ Cj LjdZjXjXjZ e r reCLIN rr ++=+−= ω ωω 1 (5.12) que se puede normalizar de la forma ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−+= ω ω ω ω ω o o eIN j Zc dZ Zc jZ (5.13) Esta última ecuación depende de RL y d, por el término de Ze(d), y depende de la frecuencia de trabajo, fs. En este momento del análisis aún no hay definido un punto de frecuencia óptimo del convertidor, por lo que existen tres variables en juego en dicha ecuación para su presentación gráfica. Para caracterizar el comportamiento de la ZIN(j ω ) se propone representar su módulo para los siguientes casos con valores normalizados: 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.1 Análisis por aproximación al primer armónico 122 i. respecto a la frecuencia de conmutación fs para diferentes índices de carga, considerando varias relaciones de conducción, d, y ii. respecto a fs para diferentes d, considerando varios índices de carga. 9 Caso i. Corresponde a las figuras 5.10 a 5.14. Cada gráfica presenta una relación de conducción, d, diferente en el convertidor, de 0,2 , 0,4 , 0,6 , 0,8 y 1,0. En cada gráfica aparecen los valores de índice de carga de 0,5 , 1, 2, 5 y 10. Fig. 5.10. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada con d = 0,2 Fig. 5.11. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada con d = 0,4 Fig. 5.12. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada con d = 0,6 Fig. 5.13. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada con d = 0,8 Fig. 5.14. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada con d = 1,0 Se observa que, debido al efecto de la Ze(d), se desplaza el punto de resonancia del convertidor. Esto hace que si la frecuencia fs es superior a la de resonancia del tanque 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.1 Análisis por aproximación al primer armónico 123 LC se garantiza en la ZIN(j ω ) un comportamiento inductivo en el tanque resonante. Si fs es inferior a la frecuencia de resonancia fo, dependiendo del valor de resistencia RL, el comportamiento puede ser capacitivo, resistivo o inductivo. 9 Caso ii. Corresponde a las figuras 5.15 a 5.19. Cada gráfica presenta el comportamiento para un índice de carga de 0,5 , 1, 2, 5 y 10. En cada gráfica se observa la evolución para las relaciones de conducción de 0,2 , 0,4 , 0,6 , 0,8 y 1,0. Fig. 5.15. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada para un índice de carga de 0,5 Fig. 5.16. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada para un índice de carga de 1 Fig. 5.17. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada para un índice de carga de 2 Fig. 5.18. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada para un índice de carga de 5 Fig. 5.19. Módulo de ZIN(j ω ) normalizada para un índice de carga de 10 Se observa, tal como en el anterior caso presentado, que para determinados índices de carga, la variación del ángulo de conducción del bloque rectificador hace variar la 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.1 Análisis por aproximación al primer armónico 130 Fig. 5.28. Resultado de simulación para d = 0,3 Fig. 5.29. Resultado de simulación para d = 0,6 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.2 Solución del modelo en espacio de estado 131 5.2 Solución del modelo en espacio de estado 5.2.1 Introducción A continuación se va a determinar la evolución de las formas de onda en estado estacionario de las magnitudes resonantes en el dominio del tiempo del SRC-CR. La metodología de análisis es la misma que la realizada para el convertidor PRC-CR. Dada la periodicidad y simetría de las formas de onda, el análisis se realizará sólo para el semiperiodo positivo de la corriente resonante, ir, siendo sus conclusiones extensibles al semiperiodo negativo. Mediante la aproximación típica de tensión constante en la carga, el convertidor se modela tal como aparece en la figura 5.30, en la que el filtro de salida se considera ideal y se sustituye por su equivalente como fuente de tensión. Fig. 5.30. Modelo de comportamiento del SRC-CR En la figura 5.31 se representa una evolución típica de las formas de ondas en el convertidor. Como es lógico, la forma de onda que se toma como referencia es la corriente resonante, ir, (en rojo), pues con su paso por cero se inicia el intervalo de conducción de la etapa rectificadora de salida. Además, en la figura aparece en azul la tensión de salida del puente inversor, vgen, en verde la corriente de salida del rectificador, iL, y en rosa la tensión en el condensador resonante, vr. Se observa en la misma figura 5.31 que dentro de un semiperíodo de funcionamiento aparecen tres intervalos de estudio: 9 de t0 a td, de duración impuesta por el controlador, que establece el tiempo tON , del rectificador, 9 de td a t1, de duración no controlada y variable dependiente del punto de trabajo del convertidor, y 9 de t1 a t2, también de duración variable por depender del segundo intervalo. 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.2 Solución del modelo en espacio de estado 132 Fig. 5.31. Formas de onda en estado estacionario del SRC-CR con referencia en la corriente resonante. Caso 1 Esta secuencia de intervalos es denominada Caso 1, y se observa que existe corriente iL, de valor n ⋅ ir, desde el instante t0 hasta el instante td, siempre antes del instante t1. No obstante, puede existir otra secuencia de intervalos en el convertidor, tal como se presenta en la figura 5.32, estableciendo esta nueva secuencia el denominado Caso 2. Fig. 5.32. Formas de onda en estado estacionario del SRC-CR con referencia en la corriente resonante. Caso 2 En esta última secuencia sucede, tal como se aprecia en la figura 5.32, que td es posterior a t1, siendo los intervalos de estudio: 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.2 Solución del modelo en espacio de estado 133 9 de t0 a t1, de duración no controlada y variable dependiente del punto de trabajo del convertidor, 9 de t1 a td, de duración variable dependiente del punto de trabajo del convertidor, pero deducible conocidos el tON impuesto por el control y la duración del primer intervalo. 9 de t1 a t2, de duración conocida por depender de tON y del período de la tensión de excitación del tanque resonante. 5.2.2 Solución general de las variables resonantes Comenzando por el Caso 1 de estudio indicado en la figura 5.31, se analizan los tres modos topológicos por los que evoluciona el convertidor. • Primero, de t0 a td con el modelo circuital de la figura 5.33 y las ecuaciones (5.21): ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ++= dt dv Ci nVv dt di LE r rr or r r (5.21) Fig. 5.33. Modelo de t0 a td • Segundo, de td a t1 con el modelo circuital de la figura 5.34 y las ecuaciones (5.22): ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = += dt dv Ci v dt di LE r rr r r r (5.22) Fig. 5.34. Modelo de td a t1 • Tercero, de t1 a t2 con el modelo circuital de la figura 5.35 y las ecuaciones (5.23): ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = +=− dt dv Ci v dt di LE r rr r r r (5.23) Fig. 5.35. Modelo de t1 a t2 El sistema modelado se puede describir en notación de espacio de estado, a partir de las ecuaciones (5.21) a (5.23), como ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 00 0 1 1 0 u u L Vn L E v i C L dt dv dt di r o r r r r r r r (5.24) 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.2 Solución del modelo en espacio de estado 134 donde {} 1,1 1 − + =u (5.25) y { } 0,1 2 + =u (5.26) Se observa que es un sistema de la forma uBxAx + = & (5.27) donde de t0 a td : [] T d11 0++== uu (5.28) de td a t1 : [] T d01 1+== uu (5.29) de t1 a t2 : [] T 01 12 −== uu (5.30) con solución dentro de cada intervalo mediante la ecuación 0,d,1,2idetet t t t i tt i i=+= ∫− −:,)()()( )( )( ττ τ uBxx A A (5.31) La solución general de (5.27) usando (5.31) en el intervalo adecuado es () () ()() ()() ()() ()() ()() ()() ()()() ()()() u ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−− + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−− = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ iooio io C o io C ir ir ioioC io C io r r ttVnttE tt Z Vn tt Z E v i ttttZ tt Z tt tv ti ωω ωω ωω ωω cos1cos1 sinsin cossin sin 1 cos L (5.32) Continuando con el Caso 2 de estudio de la figura 5.32, y con igual metodología que la planteada para el Caso 1, se analizan sus tres modos topológicos. • Primero, de t0 a t1 con el modelo circuital de la figura 5.36 y las ecuaciones (5.33): ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ++= dt dv Ci Vnv dt di LE r rr or r r (5.33) Fig. 5.36. Modelo de t0 a t1 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.2 Solución del modelo en espacio de estado 135 • Segundo, de t1 a td con el modelo circuital de la figura 5.37 y las ecuaciones (5.34): ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ++=− dt dv Ci Vnv dt di LE r rr or r r (5.34) Fig. 5.37. Modelo de t1 a td • Tercero, de td a t2 con el modelo circuital de la figura 5.38 y las ecuaciones (5.35): ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = +=− dt dv Ci v dt di LE r rr r r r (5.35) Fig. 5.38. Modelo de td a t2 El sistema descrito en ecuaciones de estado es, ahora, ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ′ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡− = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 00 0 1 1 0 u u L Vn L E v i C L dt dv dt di r o r r r r r r r (5.36) donde { } 1,1 1 − + = ′ u (5.37) y { } 0,1 2 + = ′ u (5.38) Se observa que, idénticamente al Caso 1, es un sistema de la forma uBxAx ′ + = & (5.39) donde de t0 a t1 : [ ] T 11 01 ++= ′ = ′uu (5.40) de t1 a td : [ ] T d11 1+−= ′ = ′uu (5.41) de td a t2 : [ ] T d01 2−= ′ = ′uu (5.42) con solución dentro de cada intervalo mediante la ecuación 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.2 Solución del modelo en espacio de estado 136 0,1,d,2idetet t t t i tt i i= ′ += ∫− −:,)()()( )( )( ττ τ uBxx A A (5.43) De igual forma, se obtendrá la solución general de (5.39) usando (5.43) en el intervalo adecuado, resultando () () ()() ()() ()() ()() ()() ()() ()()() ()()() u′ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−− + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−− = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ iooio io C o io C ir ir ioioC io C io r r ttVnttE tt Z Vn tt Z E v i ttttZ tt Z tt tv ti ωω ωω ωω ωω cos1cos1 sinsin cossin sin 1 cos L (5.44) 5.2.3 Valores del vector de estado en los instantes de cambio de intervalo Procediendo de forma similar a la realizada para el PRC-CR, mediante las ecuaciones (5.31) y (5.43) se obtienen las soluciones en estado estacionario para el SRC-CR de los valores del vector de estado, en cada uno de los dos casos en estudio. Para ello, se comienza calculando el valor de las variables de estado al principio del intervalo de análisis, instante 0, sabiendo que su valor es igual y de signo opuesto a los valores del final de intervalo, instante 2 de cada caso, dada la simetría existente en las formas de onda. Caso 1 de estudio El vector de estado en el instante td es, mediante (5.31), ∫−− += d dd t t d ttt ddetet 0 00 )( 0 )( )()( τ τ uBxx AA (5.45) El vector de estado en el instante t1 viene dado por ∫− −+= 1 1 11 )( )( 1)()( t t d t d tt d ddetet τ τ uBxx A A (5.46) Y en el instante t2 ∫−− += 2 1 212 12 )( 1 )( 2)()( t t ttt detet τ τ uBxx AA (5.47) Imponiendo la condición de estado estacionario que )()( 02 tt xx − = y reordenando, se obtiene el valor inicial como 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.2 Solución del modelo en espacio de estado 137 [] ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ++ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +−= ∫∫ ∫ −−− −− − − 2 1 2 1 112 0 202 12 )( 1 )()( 0 )()( 1 )( 0)( t t t t t d ttt t t d ttttt dedee deeet d d dd ττ τ ττ τ uBuB uBIx AAA AAA L (5.48) del que se obtienen las siguientes soluciones para las componentes del vector de estado: ()() ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ()() ()()()() ()() 02 02 02 02 02 0112 0 cos1 sinsin 2 cos1 sin 2cos1 sinsin )( tt tttt Zc nV tt tt Zc nV tt tttt Zc E ti o dodoo o oo o oo r −+ −−− − −+ − + −+ − − − = ω ωω ω ω ω ω ω L (5.49) ( )() ( ) ( ) ()() ()()()() ()() 02 02 02 0112 0 cos1 coscos 22 cos1 coscos )( tt ttttnVnV tt tttt EEtv o dodooo o oo r −+ −+− +− −+ − + − −= ω ωω ω ω ω L (5.50) Conocido ahora el vector de estado en el instante t0, se puede calcular mediante (5.45) las componentes del vector de estado en el instante td, resultando ()() ()() ( ) ( ) ()() ()()()() ()() ()() ()() 02 02 02 02 02 1 02 120 cos1 sin 2cos1 sinsin 2 cos1 sin cos1 sin )( tt tt Zc nV tt tttt Zc nV tt tt Zc E tt tttt Zc E ti o oo o dodoo o do o do dr −+ − − −+ −−− + −+ − − −+ − + + − += ω ω ω ωω ω ω ω ω L (5.51) ()() ()() ( ) ( ) ()() ()()()() ()() 02 02 02 1 02 120 cos1 coscos 22 cos1 cos cos1 cos )( tt ttttnVnV tt tt E tt tttt EEtv o dodooo o do o do dr −+ −+− +− −+ − − −+ − + + − −+= ω ωω ω ω ω ω L (5.52) De idéntica forma mediante (5.46) se obtiene el vector de estado en el instante t1, de componentes ()() ()() ( ) ( )() ( ) ()() ()() ()() ()() ()() 02 1 02 120 02 0112 02 02 1 cos1 sin 2cos1 sin 2 cos1 sinsin 2cos1 sin )( tt tt Zc nV tt tttt Zc nV tt tttt Zc nV tt tt Zc E ti o doo o doo o ooo o o r −+ − + −+ −+− − −+ − − − + −+ − = ω ω ω ω ω ω ω ω ω L (5.53) 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.2 Solución del modelo en espacio de estado 138 ()() ( ) ( ) ()() ()() ()() ()() ()() 02 1 02 120 02 0112 1 cos1 cos 2cos1 cos 2 cos1 coscos 2 )( tt ttnV tt ttttnV tt ttttnV tv o doo o doo o ooo r −+ − − −+ −+− − −+ − +− += ω ω ω ω ω ω ω L (5.54) Mediante (5.47) se calculan las componentes para el instante t2, siendo el resultado, como era de esperar, idéntico al instante t0 pero con el signo cambiado. ( )() ( )() ()() ()()()() ()() ()() ()() 02 02 02 02 02 0112 2 cos1 sin 2cos1 sinsin 2 cos1 sinsin )( tt tt Zc nV tt tttt Zc nV tt tttt Zc E ti o oo o dodoo o oo r −+ − − −+ −−− + −+ − −− −= ω ω ω ωω ω ω ω L (5.55) ()() ( ) ( ) ()() ()()()() ()() 02 02 02 0112 2 cos1 coscos 22 cos1 coscos )( tt ttttnVnV tt tttt EEtv o dodooo o oo r −+ −+− −+ −+ − +− +−= ω ωω ω ω ω L (5.56) En la figura 5.39 se indican los valores calculados en las ecuaciones de la (5.49) a la (5.56). Fig. 5.39. Valores del vector de estado en los instantes de cambio de intervalo para el Caso 1 Caso 2 de estudio Operando de igual forma, el vector de estado en el instante t1 es, mediante (5.43), ∫′ += − −1 0 1 01 01 )( 0 )( 1)()( t t t tt detet τ τ uBxx A A (5.57) 5. ANÁLISIS DEL SRC-CR 5.2 Solución del modelo en espacio de estado 139 El vector de estado en el instante td es, de igual forma, ∫′ += −− d dd t t d ttt ddetet 1 11 )( 1 )( )()( τ τ uBxx AA (5.58) Y en el instante t2 ∫′ += − −2 2 22 )( )( 2)()( t t d t d tt d ddetet τ τ uBxx A A (5.59) Imponiendo nuevamente la condición de estado estacionario, )()( 02 tt xx −= , y reordenando, se obtiene el valor inicial para este caso como [] ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ′ + ′ + ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧′ +−= ∫∫ ∫ − −− −− − − 2 2 1 2 1 0 112 02 2 )( 1 )()( 01 )()( 1 )( 0)( t t d t t t d ttt t t ttt tt d d dd dedee deeet ττ τ τ τ τ uBuB uBIx A AA AA AL (5.60) del que se obtienen las soluciones siguientes para sus componentes ()() ( ) ( ) ()() ( ) ( ) ()() ()()()() ()() 02 02 02 02 02 0112 0 cos1 sinsin 2 cos1 sin 2cos1 sinsin )( tt tttt Zc nV tt tt Zc nV tt tttt Zc E ti o dodoo o oo o oo r −+ −−− − −+ − + −+ − − − = ω ωω ω ω ω ω ω L (5.61) ( )() ( ) ( ) ()() ()()()() ()() 02 02 02 0112 0 cos1 coscos 22 cos1 coscos )( tt ttttnVnV tt tttt EEtv o dodooo o oo r −+ −+− +− −+ − + − −= ω ωω ω ω ω L (5.62) Es de notar que tanto el término ir(t0) como el término vr(t0) son idénticos en ambos casos de análisis. Conocido ahora el vector de estado en el instante t0 se puede calcular mediante (5.57), el vector de estado en el instante t1 . Sus componentes resultan ser ()() ()() ( ) ( )() ( ) ()() ()() ()() ()() ()() 02 210 02 1 02 0112 02 02 1 cos1 sin 2cos1 sin 2 cos1 sinsin 2cos1 sin )( tt tttt Zc nV tt tt Zc nV tt tttt Zc nV tt tt Zc E ti o doo o doo o ooo o o r −+ −++− − −+ − + −+ − − − + −+ − += ω ω ω ω ω ω ω ω ω L (5.63)