Cotas para la transmisión de calor turbulenta de los metales líquidos en conductos rectangulares calentados asimétricamente

Re is a h e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 8, 2, 103-119( 1992) COTAS PARA LA TRANSMISION DE CALOR TURBULENTA DE LOS METALES LIQUIDOS EN CONDUCTOS RECTANGULARES CALENTADOS ASIMETRICAMENTE ABRAHAM SALAZAR* Y ANTONIO CAMPO** *Dep . o Mechanical Enginee ing, Uni e si y o Ken ucky, Lexing on, KY 40506, USA. **College o Enginee ing, Idaho S a e Uni e si y, Pocaiello, ID 83209, USA. RESUMEN En es e abajo se explo a un aco amien o del p oblema de la ansmisión de calo pa a me ales líquidos en conduc os con o mados po dos placas pa alelas. El lujo se conside a u bulen o y es á hid odinámicamen e desa ollado a la en ada de la p ime a egión adiabá ica del conduc o. El calen amien o se e ec úa en una pa ed de la segunda egión, pe maneciendo la o a aislada. A la ecuación de la ene gía incluyendo el é mino de conducción molecula axial, se la inco po an dos pa ones ex emos de elocidad que si en de co as: uno uni o me y o o pa abólico lamina . La simulación numé ica del p oblema conjugado elíp ico, se ealiza po di e encias ini as u ilizando olúmenes de con ol conjun amen e con el algo i mo de Thomas, TDMA, pa a la esolución del sis ema de ecuaciones algeb aicas. Los esul ados numé icos, en é minos del núme o de Nussel , se p esen an pa a dos casos ca ac e izados po Re = 7060 y 73620 y una gama amplia de P asociada a los me ales líquidos. En gene al, la in luencia que eje ce el mecanismo conduc i o axial se mani ies a en un sensible descenso del núme o de Nussel al inicio de la zona de en ada é mica. Los esul ados que se apoyan en el aco amien o hid odinámico mues an buena conco dancia con los escasos da os expe imen ales epo ados en la li e a u a. Es e p ocedimien o basado en las co as p opo ciona una g an simpli icación al p oblema e mohid áulico. SUMMARY This wo k se s bound o he o ced hea ansmission o liquid me als h ough pa allel- pla e channels. The u bulen low is hyd odynamically de eloped a he inle o he i s egion o he channel and he hea ing akes place in he second egion o he channel. The ene gy equa ion accoun ing o axial molecula conduc ion embodies wo ex eme bounds o he u bulen eloci y p o ile: one is uni o m and he o he is pa abolic (lamina ). The nume ical simula ion o he ellip ic conjuga e p oblem is ca ied ou by ini e-di e ences ia Recibido: Mayo 1990 QUni e si a Poli kcnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 A. SALAZAR Y A. CAMPO con ol olumes. Nume ical esul s, in e ms o he Reynolds numbe , a e p esen ed o wo cases, Re = 7060 and Re = 73620 and a wide spec um o P associa ed wi h liquid me als. The compu ed esul s elying on he hyd odynamic bounds show good ag eemen wi h he scan expe imen al da a epo ed in he li e a u e. This compu a ional p ocedu e based on bounded eloci ies p o ides a g ea simpli ica ion o he solu ion o he he mohyd aulic p oblem. INTRODUCCION Es bien sabido que los conduc os anula es concén icos cons i uyen una geome ía de g an impo ancia en equipos de in e cambio de calo . El in e cambiado de calo más simple es á cons uido po un pa de ubos ci cula es dispues os de mane a concén ica: un luido se anspo a po la egión ci cula , mien as que al o o lo hace po la egión anula . O a geome ía de igual impo ancia la cons i uyen los conduc os de sección ec angula que son u ilizados en los canales de en iamien o de algunos eac o es nuclea es. Un caso lími e de la geome ía anula an es ci ada co esponde al de los conduc os limi ados po dos placas planas pa alelas cuando el cocien e de los adios iende a uno. De igual o ma, el conduc o ec angula se educe a uno de placas planas pa alelas cuando el espaciamien o en e ambas placas iende a ce o. La ansmisión del calo u bulen a de los luidos co ien es (P > 0.7) ha sido es udiada ampliamen e a a és de los años. Es os es udios aba can si uaciones en donde la elocidad se encuen a plenamen e desa ollada, en an o que la empe a u a es á desa ollándose. En gene al, ha quedado demos ado que cuando P > 0.7 los mé odos p edic i os suelen conco da con los da os expe imen ales den o de un pequeño ma gen de ole ancia acep ado comunmen e en cálculos de ingenie ía. Sin emba go, cuando el luido en cues ión es un me al líquido (P < 0.1), con mo imien o u bulen o las di e gencias en e el análisis p edic i o y los esul ados del labo a o io suelen acen ua se. En es e sen ido, la causa o iginal de es a disc epancia se debe, en g an pa e, a que la al a conduc i idad é mica de es os líquidos de ipo me álico apo a ca ac e ís icas é micas un an o inusuales. De aquí se desp ende que el mecanismo de di usión dominan e sea la conducción é mica molecula , lo cual ae como consecuencia que el coe icien e con ec i o in e no y po ende el núme o de Nussel adquie an magni udes muy al as. Es a peculia idad es muy en ajosa y unida al hecho de que es os luidos se man ienen en la ase líquida en un amplio ango de empe a u as, son las azones p imo diales po la que los me ales líquidos es án siendo empleados cada ez más como medios e ige an es en sis emas de in e cambio é mico que equie en al as asas de ansmisión del calo . Como ejemplos ípicos se pueden ci a las cen ales e monuclea es y e mosola es o en aquellas aplicaciones en donde el á ea de in e cambio é mico es á limi ada po el peso como en el caso de de las na es espaciales. En i ud a los a gumen os expues os an e io men e, la idea cen al de es e abajo consis e en es udia el desa ollo é mico de los me ales líquidos que luyen u bulen amen e a a és de conduc os de placas pa alelas calen adas asimé icamen e. Pa a ello se explo a á la in luencia que eje ce la conducción molecula axial, la cual según Faggiani y Go il, se omi e no malmen e en el análisis de égimenes u bulen os. Pa a acomoda la conducción molecula axial, la o mulación del p oblema COTAS PARA LA TRANSMISION DEL CALOR TURBULENTA de con ección o zada u bulen a equie e se enma cada bajo la óp ica de na u aleza conjugada. Además, en es e abajo se conside a án los dos posibles ex emos hid odinámicos del lujo u bulen o; o sea, el pe il de elocidad uni o me y el pe il lamina pa abólico. El p ime o se adop a bajo el concep o de elocidad media y el segundo semeja el pe il lamina clásico. La ac ibilidad del aco amien o gene ado po la conside ación de es os dos pe iles ex emos ha sido econocida some amen e po Ja e i2 y Leckne 3 con cie a an e io idad, pe o ello exclusi amen e pa a el espec o de luidos co ien es con P > 0.7. En e an o, pa a el campo hid odinámico del p oblema plan eado, es con enien e señala que la conside ación de elocidad uni o me cons i uye una co a supe io pa a el calo local ansmi ido po la pa ed del conduc o. Po consiguien e, cuando és e sea el caso, debe espe a se una sob ees imación del alo del coe icien e con ec i o in e no y, po ende, del núme o de Nussel co espondien e. El caso con a io, o sea, el pe il pa abólico, po su pa e ep esen a el lími e in e io y po supues o debe espe a se una subes imación de dicho coe icien e. Una e isión bibliog á ica exhaus i a pone de elie e a ios a ículos publicados sob e es e ema especí ico, pe o que excluyen la acción de la conducción axial molecula . Es os a ículos apa ecen en las e e encias [4]-[9]. Adicionalmen e, dos in es igaciones de ipo expe imen al en donde se e leja pa cialmen e la acción de es e enómeno molecula son las de Ducha elle y Vau ey" y Fuch ", epec i amen e. En i ud del azonamien o expues o, las hipó esis así es ablecidas sen a án las bases pa a ma ca un aco amien o de índole es ic amen e hid odinámico pa a ealiza el análisis é mico del lujo u bulen o de los me ales líquidos a a és de placas pa alelas con incidencia de calo unila e al. Como es de espe a se, las co as pa a el p oblema bajo es udio p opo cionan, a su ez, alo es ex emos pa a los conduc os de geome ías concén icas y ec angula es. Con el p opósi o de alida el aco amien o é mico pa a la dis ibución del núme o de Nussel se emplea án los da os expe imen ales ob enidos en [10,11]. O as compa aciones más de alladas son i ealizables debido a que no se disponen de da os expe imen ales que analicen a ondo es e singula mecanismo. ANALISIS DEL PROBLEMA Considé ese el lujo de un me al líquido desplazándose u bulen amen e a a és de un conduc o o mado po dos placas pa alelas con calen amien o asimé ico. Las suposiciones impe an es en es e abajo se enume an a con inuación: a) El lujo es incomp esible. b) El pe il de elocidad u bulen o es á plenamen e desa ollado. c) Las p opiedades e mo ísicas se suponen cons an es. d) Los e ec os de con ección na u al es án ausen es. e) La disipación iscosa no se oma en conside ación. ) La conducción de calo molecula en la di ección axial se iene en cuen a. g) La conducción de calo po la acción u bulen a en la di ección axial se desca a. A. SALAZAR Y A. CAMPO Bajo es e p eámbulo, la ecuación de la ene gía asociada a la Figu a 1 puede esc ibi se así: en donde ü es la elocidad media empo al y los o os símbolos apa ecen desglosados en la nomencla u a. aislado u bulen o E= ü í y) e il de elocldod aislado Figu a 1. Esquema del conduc o. Debe des aca se que es e es udio conjugado es de na u aleza bi egional.(-oo < x < cm) y es á egido po la ecuación (1) que es de ca ác e pa cialmen e elíp ico. La p ime a egión del conduc o comp endida en e -00 < x < O, iene ambas pa edes a'diabá icas. En e an o, la segunda egión, O < x < oo, consis e de una pa ed adiabá ica y la o a ecibe una densidad de lujo de calo uni o me qw en oda su ex ensión, p opo cionando así un calen amien o unila e al. El me al líquido posee una empe a u a uni o me T, a la en ada de la p ime a egión adiabá ica. Po lo an o, el p oblema así desc i o queda o mulado o almen e cuando a la ecuación (1) se le asignan las siguien es condiciones de con o no é micas: pa a x -+ -cm (2) pa a y = O; -oo<x<oo (3) pa a y = 2L; -cm < x < O (4) pa a y=2L; x>O (5) pa a x = 0; -O 5 y 5 2L (6) COTAS PARA LA TRANSMISION DEL CALOR TURBULENTA (3,- = (E) o+ pa a x=0; O< y 5 2L pa a x - m Además, con iene des aca que la ecuación (8) co esponde a la si uación lími e de un pe il é micamen e desa ollado, en donde la elocidad media del me al líquido V, se calcula de acue do a la elación: y la empe a u a olumé ica media Tm se ob iene a pa i de su de inición: In oduciendo las a iables adimensionales ap opiadas se log a de ini el siguien e g upo de pa áme os adimensionales: Vm Dh V Re = - P = - Pe = ReP V o! e, 1 CM - - -- - Re C L+ = (12) P u 4 2 que apa ece án en la o mulación del p oblema. La desc ipción de odos los símbolos pa icipan es se de alla en la nomencla u a. En i ud de lo an es expues o, la ecuación (1) puede esc ibi se en o ma adimensional de la siguien e mane a: Análogamen e, las condiciones de con o no impe an es esul an aho a: pa a z - -m (14) pa a Y = O; -m < z < m (15) pa a Y = 112; -m < z < O (16) pa a Y = 112; z > O (17) pa a z=0; OSY < 1 (18) A. SALAZAR Y A. CAMPO pa a z = 0; O 5 Y 5 1 pa a z + oo La esolución del sis ema de ecuaciones (13)-(20) p opo ciona el campo de empe a u a del me al líquido en las dos egiones co ien e a iba y co ien e abajo del conduc o. Siguiendo la adición implan ada pa a lujo u bulen o, los esul ados ob enidos se exp esa on en é minos del núme o de Nussel local. La exp esión de Nu pa a un conduc o de placas pa alelas con lujo de calo cons an e en la pa ed es: en donde y O, = O(z, S) es la empe a u a de la pa ed calen ada. COTAS PARA EL PERFIL DE VELOCIDAD En lo que espec a al campo hid odinámico, el cálculo del pe il de elocidad u bulen a no e is e mayo es di ucul ades y apa ece de e minado con g an p ecisión en las e e encias [12,13]. En e an o, debido a que el ema cen al de es e a ículo lo cons i uyen las co as hid odinámicas, és as se desc iben a con inuación. El pe il de elocidad u bulen o U(Y) se conside ó de dos o mas; a) uni o me y b) pa abólico lamina clásico. En es e sen ido, el pe il uni o me cons i uye la solución más simple y a la ez más c uda que se puede emplea pa a el campo de elocidad u bulen a de cualquie luido. Po o o lado, pa a el pe il pa abólico se u ilizó el co espondien e a un lujo lamina de ipo Poiseuille cuya exp esión adimensional es á dada po La ecuación (23) de ine las dos co as hid odinámicas que se i án de en ada pa a la ecuación (13). Adicionalmen e, la di usi idad é mica adimensional E~/V en el úl imo é mino de la ecuación (13) es á inculada a la di usi idad de can idad de mo imien o po in e medio de la ecuación (12). Los alo es numé icos de EM/V se de e mina on, po simplicidad, media e el modelo de Reicha d 14 pa a una sola capa. Es o es, 4 €,/U = - ;L+Y(l - 2Y)[1+ 2(1 - 4~)~] 3 siendo K = 0.4. COTAS PARA LA TRANSMISION DEL CALOR TURBULENTA Es e modelo ue c eado o iginalmen e pa a el es udio del desa ollo de la capa lími e u bulen a en ube ías ci cula es. Sin emba go, en es e abajo se ha empleado den o del ma co de la de inición del diáme o hid áulico y de un con enien e camljio de a iable que elaciona la coo denada adial en la ube ía ci cula con la coo denada ans e sal medida desde la pa ed del conduc o ec angula . En e an o, se sabe que la ecuación (24) ha sido ecomendada pa a la zona hid odinámica comple amen e u bulen a y no pa a la subcapa iscosa. En es e sen ido, conside ando que en los me ales líquidos la in luencia de la ansmisión del calo u bulen a en es a pequeña zona al ededo de la pa ed es de po si baja en e a la di usión molecula , no se incu e en e o es signi ica i os al ob ia es a ecomendación y u iliza la ecuación (24) pa a oda la egión del lujo. Debemos eco da que dada la na u aleza de la di usión u bulen a, es de espe a se que la alidez de es a simpli icación se eduzca al aumen a an o el núme o de Reynolds Re como el núme o de P and l P . En consecuencia, se pueden egis a lige as des iaciones en los esul ados de es os casos ex emos. Adicionalmen e, se ealizó una e isión de a ios modelos pa a la a iación del núme o de P and l u bulen o P , adop ándose inalmen e el modelo de Aze y ChaoI5: en donde Es a decisión es u o apoyada en el hecho de que las p edicciones que usa es e modelo son las que más se ace can a los esul ados expe imen ales de los me ales líquidos en la ango de los núme os de Pecle es udiados no malmen e. METODO DE SOLUCION El conjun o de ecuaciones (13)-(20) es de na u aleza elíp ica conjugada y ue disc e izado haciendo uso de la écnica mode na de los olúmenes de con ol ecomendada po Pa anka 16 y empleando un p og ama adecuado. En es e mé odo, el dominio se disc e iza en un núme o de olúmenes de con ol, cada uno coincidiendo con un pun o modal. Las ecuaciones en di e encias ini as se ob ienen haciendo que la ecuación de la ene gía se sa is aga en cada olumen de con ol pa icipan e. Pos e io men e, el sis ema de ecuaciones algeb aicas co espondien e al esquema de di e encias ini as comple amen e implíci o se esol ió i e a i amen e po el mé odo "line by line", el cual se apoya en el e icien e algo i mo de Thomas, ambién conocido como TDMA en la li e a u a especializada. La apidez de con e gencia y la acilidad de adap ación de es a me odología son a ibu os ampliamen e elogiados pa a p oblemas de di usión, . an o pa abólicos como elíp icos17. Al compa a se es e p ocedimien o con o os disponibles en la li e a u a se obse a una educción d ás ica del iempo de compu ación (CPU) pa a ob ene esul ados de al a con iabilidad. A. SALAZAR Y A. CAMPO PRESENTACION DE LOS RESULTADOS La alidación del p ocedimien o numé ico se ealizó u ilizando como base el p oblema más sencillo de ca ác e uni egional con luidos co ien es (0.7 < P < 5) epo ados en las e e encias [5,8,9]. Pa a odos los casos compa ados se obse ó una conco dancia excelen e en la egión de desa ollo é mico. Los esul ados pe inen es a es e a ículo se han sepa ado en dos g upos, uno pa a Re = 7060 y el o o pa a Re = 73620. En ambos se explo ó la gama comple a de Y co espondien e a los me ales líqudos (0.001 < P < 0.1). La escogencia de es os núme os de Reynolds ue hecha con el simple p opósi o de compa a los esul ados con los de o os au o es, especialmen e con aquellos que epo an da os expe imen ales como Ducha elle y Vau eylO. En es a e e encia se p esen an esul ados de labo a o io pa a la aleación Na-K en los angos del núme o de P and l 0.022 < P < 0.01 y del núme o de Reynolds 3000 < Re < 102000. La simulación numé ica de Faggiani y Go il conside a la conducción molecula axial en dos egiones del conduc o y emplea el modelo hid odinámico p opues o po Fuchs". Además, Ha on e allo ob u ie on una solución analí ica del p oblema sin conducción axial en é minos de una se ie in ini a. E ec o de Re = 7060 La Figu a 2 mues a la a iación del núme o de Nussel pa a el caso P = 0.002. Aquí se ap ecia que la p edicción de Faggiani y Go i' es á pe ec amen e aco ada no ándose un lige o ace camien o hacia la cu a basada en el pe il de elocidad pa abólico. Pa a es e caso en donde Pe = 14, la p esencia de la conducción axial hace que las cu as de Nu se desplacen hacia a iba en el en o no de z = A medida qiue z aumen a, las des iaciones ienden a desapa ece . Es e es el pa ón ca ac e ís ico en la en ada pa a los lujos con núme os de Pecle muy bajos. En la Figu a 3 se obse a que las dos co as hid odinámicas en na can bien los esul ados numé icos de [l]. Es a igu a con iene un g upo de da os hallados en [lo]. A pesa de que los da os se salen de la banda, és os es án más ce ca de la cu a basada en el pe i¡ pa abólico lamina que de la cu a de [l] calculada con un pe il de elocidad u bulen o ap opiado. Es o puede debe se a que pa a es os núme os de Reynolds an bajos el pe il de elocidad se des ía d ás icamen e del pe il u bulen o uni e sal y se asemeja más al pa abólico, al como lo discu e ace adamen e Leckne 3. También apa ecen dibujados los esul ados del núme o de ~ussel asin ó ico Nu, suge idos en [lo]. Ambos alo es es án aco ados, pe o se obse a un desplazamien o hacia la cu a de elocidad uni o me, o sea, la co a supe io . La Figu a 4 se dibuja pa a P = 0.02 y el compo amien o es análogo al de la Figu a 3. Los cálculos cuando el núme o de P and l aumen a a P = 0.1 se deposi an en la Figu a 5. Es e alo al o de PT co esponde al ex emo supe io de la gama de me ales líquidos. Desa o unamen e, no exis en da os expe imen ales pa a es e ipo de luido. No obs an e, las dis ibuciones de hh calculadas en [1,5] coinciden en oda la egión de desa ollo é mico y es án pe ec amen e aco adas. Adicionalmen e, se puede ap ecia que el mecanismo de conducción axial no pa icipa pa a lujos con núme o de Pecle al o, o sea Pe = 706. COTAS PARA LA TRANSMISION DEL CALOR TURBULENTA Figu a 2. Dis ibución del núme o de Nussel local. - - FaggianiGon [l] da os expe imen ales PO] 15 1 O" 1 o-' z Figu a 3. Dis ibución del núme o de Nussel local. Compa ación con da os expe imen ales. A. SALAZAR Y A. CAMPO Nu, alo asin ó ico de Nu Pe núme o de Pecle , ReP P núme o de P and l, /a P núme o de P and l u bulen o, ecuación (25) Re núme o de Reynolds, ecuación (12) qw densidad de liijo de calo en la pa ed T empe a u a media empo al Tm empe a u a olumé ica media, ecuación (10) To empe a u a de en ada Tw empe a u a de la pa ed calen ada ü elocidad media empo al U elocidad adimensional, ecuación (11) Vm elocidad media, ecuación (9) x, y coo denadas Y coo denada ans e sal adimensional, ecuación (11) z coo denada axial adimensional, ecuación (11) c di usi idad é mica molecula di usi idad de can idad de mo imien o u bulen o, ecuación (24) EH di usi idad é mica u bulen a, ecuación (12) 8 empe a u a adimensional, ecuación (11) c pa áme o de p opo cionalidad, c = 0.4 u iscosidad cinemá ica REFERENCIAS 1. S. Faggiani y F. 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