Dissenys combinatoris. Problemes

EST DC DIPLOMATURA D'ESTADÍSTICA DISSENYS COMBINATORIS Ma a Pé ez Casany ): CLÓS DE PRÉSíEC UNIVERSIT AT P0LITECNICA DE CATALUNYA Biblio eca l 1111111111111111111! 111� 111111111 111111�11 !�111111 1400210419 FACULTAT DE DE MATEMATIQUES I ESTADÍSTICA Tí ol Au o s Diposi Legal lmp es pe : Dissenys Combina o is : Ma a Pé ez Casany : B.41660-1995 : REPRO BARNA, S.L. C/. En e n;a 16-18. 08015 Ba celona ::: --� ... � Facu a de Ma ema !ques 1 ES1ad S11ca • Rlhlln p .A COMPARACIONS SIMPLES 1.-La esis encia d'una ib a a enca -se ha de se de com a mínim 150 psi. L'expe iencia passada ens pe me suposa que la des iació es anda d de la esis encia a enca -se es de u= 3 psi. Una mos a alea o ia que ha es a ob inguda al e una p o a amb qua e oi;os de ib a, ha dona com a esul a una mi jana a i me ica de 148 psi. L'hem d'accep a com a bona, o s'ha de ebu ja com a de ec uosa a un ni ell de signi icació de a= 0.05?. Cons uiu un in e al de con iani;a al 95% pe la esis encia de la ib a. 2.-Ens in e essa es udia la du ació d'una beguda ca bonica. S'han escolli alea o iamen 10 ampolles i de cadascuna d'elles se n'ha es udia la du ació, ob enin : Dies 108 138 124 163 124 159 106 134 115 139 suposem que la hipo esi al e na i a és que la du ació de la beguda és supe io a 125 dies. És possible ebu ja la hipo esi nul·la H0 : µ = 125?. Cons uiu un in e al de con iani;a al 95% pel e i able alo de la du ació de la beguda. 3.-Es an se i dues maquines pe a ompli ampolles de pla ic d'un olum ne de 16.0 uni a s de olum. Se suposa que el olum de la ampolla que és omple es dis ibueix segons una no mal. Les di iacions ípiques espec i es a cadascuna de les maquines són u1 = 0.015 i u 2 = 0.018. El depa amen de quali a de !'emp esa c eu que ambdues maquines omplen el ma eix olum ne , sigui o no sigui de 16.0 uni a s de olum. Una mos a alea o ia ob inguda de cadascuna de les maquines és: 1 Maquina 1 16.03 16.01 16.04 16.05 16.05 16.02 15.96 15.98 16.02 15.99 C eus que el depa amen de quali a é la aó? Maquina 2 16.02 16.03 15.97 15.96 16.01 15.99 16.04 16.02 16.01 16.00 4.-Les dades següen s són el emps que han iga a consumi -se dos ipus di e en s de bengales. Els que les an es an in e essa s en la mi jana i la a ian<;a de la a iable " emps en consumi -se" . Tipos 1 Tipos 2 65 82 64 56 81 67 71 69 57 59 83 74 66 75 59 82 82 70 65 79 a) Feu un es pe a compa a les dues a iances pe a o:= 0.05. b) Fen se i els esul a s de l'apa a an e io , eu un es pe a compa a si les dues mi janes son iguals. 5.-Un nou apa ell de il a s'ha ins al-la en una uni a química. Abans de la se a in al•lació, una mos a alea o ia de mida ui dona a els següen s esul a s ela ius al pe cen a ge d'impu esa: Y1 = 12.5, S? = 101.17. Desp és de la se a in al-lació, una mos a alea o ia de mida nou dona. a lloc als següen s es adís ics: y2 = 10.2, Si = 94. 73. És possible conclou e que les dues a iances son iguals?. L'apa ell de il a ha edu'i de o ma signi ica i a el g au d'impu esa?. 6.-Un a icle apa egu en el Jou nal o S ain Analysis ( ol. 18, no.2, 1983) compa a di e ses mane es pe a p edi la du esa de planxes d'ace . S'han aga a nou planxes i se n'ha es udia la du esa u ili za els me odes de Ka ls uhe i de Lehigh. Els esul a s ob ingu s són: 2 Planxa Me ode de Ka ls uhe Me ode de Lehigh 1 1.186 1.061 2 1.151 0.992 3 1.322 1.063 4 1.339 1.062 5 1.200 1.065 6 1.402 1.178 7 1.365 1.037 8 1.537 1.086 9 1.559 1.052 Hi ha alguna di e encia en e aques s dos me odes?. 7,-Dos medicamen s mol conegu s pel dolo olen compa a -se en base a la se a eloci a d'abso ció pel cos. En conc e es c eu que el medicamen 1 s'abso eix a una eloci a que és el doble de la del medicamen 2. Suposa.n a iances conegudes dese_ _,,upeu un es es adís ic pe a compa a les hipo esis: Ho: 2µ1 =µ2 H1: 2µ1 # µ2. 3 COMPARACIONS MULTIPLES: UN FACTOR AMH DIVER SOS NIVELLS DISSENYS COMPLETAMENT ALEATORIS 8.-Suposeu que Yii i = 1 · · · a, j = 1 · · · n són les obse acions co esponen s a un disseny comple amen alea o i. L'índex i co espon al ni ell del ac o i l'índex j co espon a l'obse ació. Pe a con as a l'e ec e dels di e en s ni ells del ac o , s'ha de po a a e me l'analisi de la a iam;a. Mi eu com can ien les sumes de quad a s i l'es adís ic Fo en els dos casos següen s: a) S'aplica una aslació a les dades, es adi , es suma una cons an a cadascun dels alo s obse ab, (la ma eixa cons an pe a os els alo s). b) S'aplic ..,,m homo ecia a les dades, es adi , es mulul-'""ª cadascun dels alo s pe una cons an (la ma eixa cons an pe a o s els alo s). c) Podeu eu e'n alguna cosa p o i osa dels esul a s an e io s? 9,-Conside eu el es de igual a de mi janes en dues poblacions no mals, suposan a iances iguals i desconegudes. Demos eu que el es -S uden és equi alen a l'analisi de a ian<;a d'un ac o amb dos ni ells. 10.-Un ab ican de ele isions es a in e essa en compa a l'e ec e de qua e e nissos que s'apliquen als ubs de la ele isió. En conc e ol sabe si hi ha o no di e encies en quan a la conduc i i a dels ubs. Els esul a s obse a s han es a els següen s: Tipus de Ve nís Cond uc i i a 1 143 141 150 146 2 152 149 137 143 3 134 136 132 127 4 129 127 132 129 a) Exis eix alguna di e encia en la conduc i i a deguda al ipus de e nís amb un o = 0.05? b) Es imeu la mi jana gene al i l'e ec e dels ac amen s. 4 c) T obeu un in e al de con ia n;a al 95% pe a la mi jana del e nís 4. T obeu un in e al de con ian¡;a al 99% pe a la di e encia de les mi janes dels e nissos 1 i 4. d) Apliqueu el es de Duncan pe a compa a a es les pa elles possíbles de e nissos amb o= 0.05. e) Ac ualmen }'emp esa u ili za el e nís 4, que li ecomana ieu desp és d'ha e e aques es udi si el que es ol es minimi za la conduc i i a ?. 11.-Es ol es udia de quina mane a qua e empe a u es d'ebullició de e minades e ec en la densi a d'un ipus conc e de ajola. L'expe imen po a a e me ha dona lloc a les següen s obse acions: Tempe a u a Densi a 100 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7 125 21.7 21.4 21.5 21.4 150 21.9 21.8 21.8 21.6 21.5 1 175 21.9 21.7 21.8 21.4 a) E ec e ealmen la empe a u a d'ebullició la densi a de la ajola? b) Compa eu les mi janes u ili zan el es de Duncan. e) Anali zeu els esidus. C eieu que les hipo esis de l'analisi de la a ian¡;a es sa is an?. 12.-Dona s es ipus de ci cui s se n'ha es udia el emps de espos a en milisegons. Els esul a s han es a : Tipos Temps de espos a 1 9 12 10 8 15 2 20 21 23 17 30 3 6 5 8 16 7 a) Feu un es pe a compa a si els es ci cui s enen el ma eix emps de espos a amb un ni ell de signi icació de o = 0.01. b) Feu se i el es de Tukey pe a compa a les pa elles de ac amen s. e) Cons uiu un conjun de con as os o ogonals, en el cas de sos pi a que el emps espos a del ci cui dos di e eix dels al es dos. d) Quin ci cui escolli ies si olguessis minimi za el emps de espos a?. 5 13.-Es olen compa a qua e dissenys di e en s d'un ci cui digi al d'un compu ado . Se n'ha es udia la quan i a de so oll p esen i els esul a s ob ingu han es a : Tipus So oll obse a 1 19 20 19 30 8 2 80 61 73 56 80 3 47 26 25 35 50 4 95 46 83 78 97 a) La quan i a de so oll p esen és la ma eixa pels qua e ipus di e en s de disseny? b) Es imeu les componen s del model. Es imeu ambé o es les possibles di e encies en e pa ells de ac a.men s. Són es imables de o ma única? Pe que?. c) Quin disseny escolli ieu enin en comp e que el so oll ha de se el mínim possible? 14.-Un emp esa i c eu que les pa ides de ma e ial que li suminis en di e eixen conside ablemen en el seu con ingu ue calci. Pe aixo ha ana al maga zem i ha ::;eiecciona de o ma alea o ia cinc pa ides de ma e ial. Dins de cada pa ida ha e un o al de cinc mesu es. Els esul a s ob ingu s han es a : Pa ida 1 Pa ida 2 Pa ida 3 Pa ida 4 Pa ida 5 23.46 23.59 23.51 23.28 23.29 23.48 23.46 23.64 23.40 23.46 23.56 23.42 �;;.45 23.37 23.37 23.39 23.49 23.52 23.46 23.32 23.40 23.50 23.49 23.39 23.38 a) Exis eix alguna di e encia signi ica i a en e els con ingu s de calci de les di e en s pa ides? b) Es imeu les componen s de la a ianc;a. O'� c) T obeu un in e al de con ianc;a al 95% pe a -=i-b +. c , c d) Anali zeu els esidus pe a sabe si es sa is an les hipo esis de l'analisi de la a ianc;a. 15.-S'han escolli qua e químics pe a que de e minin el pe cen a ge de me il-alcohol es un ce p oduc e químic. Cada químic ha e es obse acions, i els esul a s han es a els següen s: 6 T ac amen 1 2 3 4 5 Bloc 1 5.2 7.3 6.8 10.0 Bloc 2 8.5 9.2 12.7 10.6 11.6 Bloc 3 4.1 6.3 9.3 7.1 9.8 Bloc 4 6.4 8.9 11.2 5.7 11.3 a) Feu l'analisi de la a iall(;a exac e i es imeu els pa ame es. b) Es imeu el alo al an i cons uiu la aula ap oximada de l'analisi de la a iall(;a. 31.-Conside eu un disseny de bloc alea o is amb submos eig. En conc e , suposeu que a = 3 ac amen , b = 4 blocs, i n = 2 obse acions pe uni a expe imen al. a) Doneu l'exp esió del model lineal associa a aques es dades. b) Especi iqueu la aula de l'analisi de la a iani;a. 'S , . ::::ie_ del SAS pe a po a a e me aques a analisi DISSENYS DE QUADRATS LLATINS I GRECOLLATINS 32.-Es ol es udia l'e ec e de cinc ing edien s di e en s (A, B, C, D, E) en el emps de eacció d 'un p océs químic. Cada emesa de nou ma e ial només pe me e un o al de cinc obse acions. A més, cada obse ació eque eix un emps d'una ho a i mi ja, i en con seqüencia, només és possible e cinc obse acions cada dia. Així dones, l'espe imen ado decideix po a a e me un disseny de quad a s lla ins, a i de con ola les dues on s de a iabili a ( dies i emeses de ma e ial). Anali zeu els esul a s següen s i eieu-ne conclusions: Dies Remesa 1 2 3 4 5 1 A=8 B=7 D=l C=7 E=3 2 C=ll E=2 A=7 0=3 B=8 3 B=4 A=9 C=lO E=l D=5 4 D=6 C=8 E=6 B=6 A=lO 5 E=4 D=2 B=3 A=8 C=8 Suposeu a a que us al a l'obse ació co esponen a la emesa es i al dia qua e. Es imeu la i e ec ueu l'es udi de l'anhlisi de la a iam;a. 13 33.-Un enginye indus ial ol es udia qua e me odes d'assembla ge (A, B, C, D) pel emps d'assembla ge d'unes componen s de ele isió en colo . L'expe imen ado sap que, sigui quin sigui el me ode emp a , é lloc l'e ec e anomena " a iga". L'e ec e a iga es adueix en el e que el emps emp a pe a e el p ime assembla ge és més pe i que l'emp a en l'úl im. Pe a po a a e me l'expe imen s'han escolli qua e ope ado s, i s'ha po a a e me el següen disseny de quad a s lla ins: Ope ado O d e d'assembla ge 1 2 3 4 1 C=lO D=14 A=7 B=8 2 B=7 C=18 D=ll A=8 3 A=5 B=lO C=ll D=9 4 D=lO A=lO B=12 C=14 Anali zeu les dades i eieu-ne conclusions. 34.-Un quad a lla í pxp con é únicamen p obse acions de cadascún dels ac amen s. Pe a ob eni més epliques l'expe imen ado ha de e se i més quad a s lla ins, pe exemple n. No és necessa i que els n quad a s lla ins siguin el ma eix. El model que desc iu aques a si uació és Yijkh = µ + Ph + Oj(h) + Tj + 3k(h) + ( p);h + e;jkh, on i, j, k an de 1 ins a p i h a de 1 ins a n. Yijkh designa l'obse ació del ac amen j essim de la ila i-essima, columna k-essima i n-essim quad a lla í. ºi(h) i 3k(h) co esponen espec i amen a l'e ec e de la i-essima ila i la j-essima columna en l'n-essim quad a lla í. Ph és l'e ec e de l'h-essim quad a lla í i, pe acaba , ( p);h és la in e acció en e ac amen s i quad a s lla ins. a) Esc i iu les equacions no mals del model i esoleu-les a i d'ob ind e les es imacions dels pa ame es del model. Quines són les es iccions ap opiades en aques cas?. b) Con se ia la aula de l'analisi de la a ianc;a pe aques model?. 35.-La p oducció d'un p océs químic ha es a mesu ada u ili zan cinc peces de ma e ial, cinc concen acions d'acid di e en s, cinc emps de du ació di e en s ( A, B, C, D, E), i cinc concen acions ca ali zado es (o, {3, 1, ó, €) ambé di e en s. Anali zeu les dades del quad a lla í esul an : 14 Concen ació d'acid Pe�a 1 2 3 4 5 1 A a=26 B /3=16 e ,=19 D ó=l6 E 1:=13 2 B ,=18 e &=21 D 1:=18 E a=ll A /3=21 3 e 1:=21 D a=12 E /3=16 A ,=25 B ó=l3 4 D /3=15 E ,=15 A <5=22 B 1:=14 C a=17 5 E ó=lO A 1:=24 B a=l7 e J=17 D "' =l4 36.-Cons uiu un hipe quad a 5x5 ú il pe a es udia els e ec es d'un ac o so mes a qua e es iccions. Feu la aula de l'analisi de la a ia n;a pe aques disseny. 37.-Suposeu que en el p oblema 26 es sospi a que els llocs a on s'han po a a e me les ope acions són una no a on de a iabili a . Pe aixo, s'inclou un nou ac o i es ixen qu<-e llocs (a, (J, ,, <5). i �, po a a e me de nou ''es udi, u ili zan a ?,, quad a g ecolla í. Anali zeu les dades següen s: Ope ado O d e d'assembla ge 1 2 3 4 1 C /J=ll B ,=10 D ó=l4 A a=8 2 B a=8 e &=12 A ")'=10 D /3=12 3 A <5=9 D a=ll B /3=1 e ")'=15 4 D ")'=9 A /3=8 C a=18 B ó=6 38.-Demos eu que si enim un disseny de quad a s lla ins amb un alo al an , la mane a d'es ima -lo és mi ja n;an la ó mula: , PYi .. + PY,j. + PY .. k -2y .. , y= (p -l)(p -2) 39.-Hem planeja un es udi pe a in es iga : (a) quan qua e ipus d'adi ius pe la be zina di e eixen espec e a la educció d'oxi de ni ogen i (b) si aques es di e encies ealmen exis eixen, quan depenen de les ma ques dels co xes u ili zades al e l'es udi. L'in es igado ha selecciona 3 ma ques de co xe (Fo d, Honda i Po sche). Es disposen de qua e co xes de cada model, i es disposen ambé de qua e conduc o s di e en s. Es c eu 15 que cada model dóna lloc a unes di e encies sis ema. iques i que aques es di e encies ambé són p esen s en els conduc o s. En el plan ejamen de l'es udi es olen elimina aques es di e encies en e models de co xe i en e conduc o s. S'u ili za an els ma eixos qua e conduc o s pe a o l'expe imen . a) Doneu el nom del disseny ap opia . b) Especi iqueu l'assignació del adi ius a les combinacions co xe-conduc o . c) Especi iqueu el model lineal i la aula de l'analisi de la a ian<;a, d) Especi iqueu les sen encies del SAS. e) Com u ili za ieu la aula de l'analisi de la a ian<;a pe a con es a les dues p egun es especi icades al co ne n;a nen ?. DISSENYS DE BLOCS INCOMPLETS 40.-Jus i iqueu que no exis eix cap disseny balanceja de blocs incomple s amb els pa a me es: a = = 8, k = 4 i b = 16. 41.-Es olen compa a qua e ac amen s en blocs que pe me en e només dues obse  ac1ons. T obeu un disseny balanceja de blocs inco nple s en el que s'u ili zin només sis blocs. 42.-Es olen compa a ui ac amen s en blocs que pe me en e un o al de qua e obse acions. T obeu un disseny de blocs incomple s en el que in e inguin un o al de 14 blocs i .>. = 3. 43.-Es olen compa a cinc adi ius de la be zina. Pe aixo, es p enen els di e en s co xes com a di e en s ni ells d'un ac o bloc. A causa del ac o emps, no nés és possible e ec ua qua e p o es amb cadascun dels co xes. En aques a si uació s'ob é el següen disseny de blocs incomple s: 16 Co xes Adi iu 1 2 3 4 5 1 17 14 13 12 2 14 14 13 10 3 12 13 12 9 4 13 11 11 12 5 11 12 10 8 a) Anali zeu les dades an e io s i eieu-ne conclusions. b) Cons uiu una amilia de con as os o ogonals pe a les dades an e io s i es udieu-los. 44.-Conside eu el següen disseny pa cialmen balanceja , i eu-ne l'es udi de l'analisi de la a ianc;a: Bloc T ac amen 1 2 3 4 5 6 1 14 10 16 2 10 12 15 3 20 24 19 4 16 11 10 5 13 17 12 6 9 10 8 45.-Donada la següen ma iu: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 jus i iqueu que les iles i les columnes o men un disseny de blocs incomple s pa cialmen balanceja pe a 16 ac amen s i 8 blocs. Comp o eu ambé que es ac a de dues de les epliques d'un "La ice". 46.-Anali zeu el següen quad a de Youden: 17 Posició Blocs 1 2 3 4 1 A=2 B=9 C=O D=14 2 B=6 A=5 E=5 C=3 3 C=l D=9 A=O E=7 4 D=8 E=8 B=lO A=4 5 E=7 C=6 D=ll B=lO 18 DISSENYS MULTIFACTORIALS DISSENYS ANIUATS 47.-Es ol es udia la a iabili a en les dimensions d'un de e mina objec e que es ab ica en es maquines. Cada maquina é dues ies de so ida. S'ha decidi escolli a l'a za qua e objec es de cadascuna de les ies de so ida, pe a cadascuna de les maquines. En enen que els e ec es p odui s pe les maquines i les ies de so ida són ixos, anali zeu les següen s dades: Maquina Maquina Maquina 1 2 3 So ida 1 2 1 2 1 2 12 8 14 12 14 16 9 9 15 10 10 15 11 10 13 11 12 15 12 8 14 13 11 14 48.-T obeu les espe ances dels quad a s mi jos pe a un disseny balanceja aniua de es e apes. suposeu que el ac o A és d'e ec es ixos i els ac o s B i C són d'e ec es alea o is. Quines són les ó mules que pe me en es ima les componen s de la a ian<;a?. 49.-Amb la inali a de simpli ica el p og ama de p oducció, es ol es udia la possibili a d'assigna un emps es anda a cada una de les ases pe les que ha de passa el p oduc e. Pe a eu e si és o no possible aques a simpli icació, s'han escolli sis d'aques es ases de o ma alea o ia. Cadascuna de les ases que han es a escollides, s 'ha assigna a es ope a is di e en s. Cada ope a i po a a e me dues obse acions de la ase que li ha oca . C eieu que és possible assigna un emps es anda a o es les ases de p oducció?. Si la espos a és a i ma i a, quin c eieu que hau ia de se aques emps? 19 Fase Ope ado Ope ado Ope ado 1 158.3 159.4 159.2 159.6 158.9 157.8 2 154.6 154.9 157.7 156.8 154.8 156.3 3 162.5 162.6 161.0 158.9 160.5 159.5 4 160.0 159.7 157.5 158.9 161.l 158.5 5 156.3 158.1 158.3 156.9 157.7 156.9 6 163.7 161.0 162.3 160.3 162.6 161.8 50.-Suposeu que eniu un disseny aniua de dues e apes no balanceja . Aixo ol di que pe a cada i ni ell del ac o A eniu b; ni ells del ac o B ( el nomb e de ni ells de B no és cons an si no que a ia en unció del ni ell de A). A més, pe a cada combinació de ni ells no é pe a que ha e -hi el ma eix nomb e d'obse acions, aixo ol di que designa em pe n;; les obse1 acions del ni ell i-essim del ac o A i ni ell i-essim del ac o B. a) Comenceu esc i in les equacions no mals pe a aques a si uació. b) Cons uiu la aula de l'analisi de la a ian,;a. c) A pa i de l'apa a an e io , anali zeu la aula següen : Fac o A 1 2 Fac o B 1 2 1 2 3 6 -3 5 2 1 4 1 7 4 o 9 9 3 -3 6 51.-Es ol es udia el endimen d'un p oduc e en undó de la maquina que l'ha elabo a . L'emp esa é un o al de es maquines, i cadascuna d'elles po unciona a dúes po encies di e en s. A més, cada maquina é es posicions en les que po se o ma el p oduc e. En enen que els es ac o s que in e enen en el esul a enen e ec es ixos, anali zeu la següen aula: 20 Maquina 1 Maquina 2 Maquina 3 Posició 1 2 3 1 2 3 1 2 3 34.1 33.7 36.2 32.1 33.1 32.8 32.9 33.8 33.6 Po encia 1 30.3 34.9 36.8 33.5 34.7 35.1 33.0 33.4 32.8 31.6 35.0 37.1 34.0 33.9 34.3 33.1 32.8 31.7 24.3 28.1 25.7 24.1 24.1 26.0 24.2 23.2 24.7 Po encia 2 26.3 29.3 26.1 25.0 25.1 27.1 26.1 27.4 22.0 27.1 28.6 24.9 26.3 27.9 23.9 25.3 28.0 24.8 21 DISSENYS MULTIFACTORIALS AMB RESTRICCIONS 52.-S'es udia la p oducció d'un de e mina p océs químic. Els dos ac o s que han de se es udia s són la empe a u a i la p esió. S'escullen es ni ells pe a cada ac o . Només es poden po a a e me nou obse acions pe dia. L'expe imen ado desen olupa una eplica comle a del disseny cada dia. Les dades ob ingudes es an en la aula següen . Anali zeu les dades en enen que els dies són blocs. Dia 1 P esió Dia 2 P esió Tempe a u a 250 260 270 250 260 270 Baixa 86.3 84.0 85.8 86.1 85.2 87.3 Mi jana 88.5 87.3 89.0 89.4 89.9 90.3 Al a 89.1 90.2 91.3 91.7 93.2 97.3 53.-Conside eu un disseny Spli -Plo amb a ni ells pel ac o o al, b ni ells pel ac o spli -plo , epliques i submos eig, és adi , n obse acions pe a cada spli -plo . a) Doneu un model ap opia pe ajus a les u0se acions. b) Doneu la co esponen aula de l'analisi de la ca ian�a. c) lndiqueu com es a ieu les hipo esis co esponen s als ac o A, al ac o B i a la in e  acció AxB. d) Especi iqueu les co esponen s comandes del SAS ú ils pe a eali za aques es udi. 54.-Es ol dissenya un expe imen pe es udia la dispe sió dels pigmen a en la pin u a. S'es udien qua e ba eges d'un pa icula pigmen . La o ma de p ocedi és la següen : s'aga a una de e minada ba eja is s'aplica a una pa ed de es o mes di e en s (amb pinzell, amb o lle i amb esp ai). La espos a mesu ada és el pe cen a ge de e lec a.ncia del pigmen . Pe a e l'expe imen s'han necessi a es dies. La aula següen con é els esul a s ob ingu s. Anali zau-los suposan que les ba eges i els me odes d'aplicació són ixos. 22