Un modelo numérico de refracción-difracción de ondas en zonas costeras

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 6, 3, 409436( 1990) UN MODELO NUMERICO DE REFRACCION-DIFRACCION DE ONDAS EN ZONAS COSTERAS P. ORTIZ Y M. PASTOR Di isión de Cálculo y Análisis Ma emá ico, Cedex, MOPU, Al onso XII, 3, 28014 Mad id. RESUMEN Se es udia en el p esen e abajo el a amien o numé ico, median e el mé odo de elemen os ini os (MEF), de la ecuación ap oximada de la onda pa a a iaciones g aduales de p o undidad. Es plan eada una nue a ap oximación a la condición de bo de "ma a ue an basada en el mé odo de las ca ac e ís icas que, además, pe mi e de ini , bajo los mismos c i e ios, las es an es condiciones de con o no. El sis ema disc e o es esuel o median e el mé odo del g adien e conjugado p econdicionado (PCG), lo que se aduce en meno es eque imien os de memo ia. Pa a demos a la e ec i idad del modelo, se han incluido sus p edicciones en di e sos ejemplos eó icos y en el análisis de la espues a a ondas la gas de ecin os po ua ios. SUMMARY In his pape , he nume ical solu ion by he ini e elemen me hod (FEM) o he inild slope wa e equa ion is conside ed. A new app oach o he "open sea" bounda y condi ion, based on he me hod o cha ac e is ics, is in oduced. In he same way, he o he s bounda y condi ions can be de i ed. P econdi ioned Conjuga e G adien s (PCG) is applied o sol e he disc e e sys em, esul ing in impo an s o age sa ing. The nume ical examples included show he e ec i eness o he p edic ions made by he model in a ious heo e ical p obleiiis and in lie s udy o ha bou esponse o long wa es. INTRODUCCION En el p oyec o de ob as po ua ias, se debe asegu a la co ec a ejecución de mo imien os y a eas pa a las cuales un pue o ha sido concebido, po lo que es p eciso conoce el e ec o que las "exci aciones ex e io es" p o ocan en él. Así, las "ondas la gas" (con pe íodos que oscilan en gene al en e 30 segundos y 5 minu os) pueden p oduci ampli icaciones de mo imien os ho izon ales31 que de i en en a asos en las ac i idades y, ocasionalmen e, en acciden es po o u as de ama as y colisiones en e buques. Recibido: Ene o 1989 OUni e si a Poli ecnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 409 P. ORTIZ Y M. PASTOR El enómeno " esonan e"32 se p oduci á cuando la espues a del sis ema, some ido a exci aciones como las ci adas, p esen e una ampli icación máxima. En consecuencia, el p oblema depende, además, de la geome ía del ecin o, mien as que su magni ud es á in luida po los mecanismos de disipación ene gé ica p esen es en o ma simul ánea a él. Tan o la p edicción de la espues a de un ecin o po ua io a ondas la gas, como el es udio de su agi ación debida al oleaje, son p oblemas que, sal o algunas excepcione~"~~~~~~' l , no poseen soluciones analí icas, po lo que en casos p ác icos es necesa io ecu i a la modelización ísicalg y numé ica. Las dos ías más gene ales de es ablece los p incipios que igen la p opagación de una onda supe icial de g a edad, en una egión en que exis en obs áculos y a iaciones de p o undidad que modi ican sus ca ac e ís icas son ( eniendo p esen e su pos e io a amien o numé ico): Las ecuaciones de Boussinesql, álidas pa a núme os de U sell: U = 0(1), con U = H X2/h3, siendo H y A, espec i amen e, medidas de la ampli ud y de una longi ud ho izon al ca ac e ís ica de la onda y h una medida de la p o undidad. Bajo la hipó esis de p o undidades educidas, se a a á de la ecuación no lineal de ondas la gasZ4J6 (U >> l), mien as que en el caso lineal, se e e i á a la eo ía de ondas de pequeña ampli udz4. La o mulación po encial, que es empleada en es e abajo en el caso de ap oximación lineal, al ecu i a la ecuación ap oximada de ondas pa a a iaciones g aduales de p o undidad6 (ca ac e izada po U << 1). Sin es a con emplados en o ma di ec a en es os g upos, me ecen ci a se los modelos de p opagación basados en una o mulación pa abólicaa3 que se adap an mejo a p oblemas cos e os que a po ua ios, al igno a el campo de ondas e lejado. En la ingenie ía p ác ica suelen u iliza se los modelos de e acción3', que, undados en p incipios de óp ica geomé ica, pe mi en e ec ua una ap oximación al es udio del oleaje en g andes ex ensiones en las cuales la e acción no sea ele an e. Aho a bien, la simulación numé ica de las ecuaciones de Boussinesq y de las ecuaciones no lineales de ondas la gas lle a a modelos que ecuen emen e son de ele ado cos o, lo que impide su aplicación gene alizada. En es a línea se han i nplemen ado modelos an o po el mé odo de di e encias ini as1, como po el de elemen os ini os4s,lz,36 , exis iendo esquemas explíci os de ele ada economía y es abilidad13. La ob ención de soluciones numé icas a la a ian e "elíp ica", plan eada en la segunda opción, son nume osas. Debido a las en ajas que o o ga el MEF al a a zonas aco adas de geome ías complejas, los modelos exis en es se pueden clasi ica uni icadamen e'' en unción de las ap oximaciones p opues as al p oblema "ex e io ", es deci , a la condición de adiación, que debe se acoplada a la solución in e io . De es a o ma, pueden enume a se: - Amo iguado es planos, cilínd icos, es é icos y de o den supe io 3*", que p esen an la en aja de su simplicidad de aplicación a un modelo MEF. Sin emba go, su limi ación se basa en que su cumplimien o, en igo , sólo exis e en inñni o. La hipó esis de p o undidad ex e io cons an e, asumida en es a opción, es ambién MODELO NUMERICO DE REFRACCION-DIFRACCION DE ONDAS adop ada en odos los modelos de simila po encia. - Soluciones ex e io es analí i~aP*'~*'~, que acoplan unciones que sa is acen la condición de adiación de Som ne eld y la ecuación de Helmhol z (p o undidad cons an e), des uyendo pa e del ca ác e bandeado de la ma iz de coe icien es. - In eg ales de donde se man iene la sime ía del p oblema in e io , conse ando el incon enien e del mé odo an e io . - Elemen os in ini o^^*^^^, que no des uyen la sime íani el ca ác e de ma iz banda del sis ema, a ec ando en cambio su condicionamien o, ca ac e ís ica que in luye sus ancialmen e si se u ilizan mé odos indi ec os de esolución. Es as soluciones ienen, pues, como obje i o p incipal luego de la disc e ización in e io , sal a la di icul ad de modela la disipación po adiación, que es la más ele an e en p oblemas de ondas la gas. En el p esen e es udio se o mula una condición de bo de basada en concep os del mé odo de las ca ac e ís icas, ex endido al p oblema a mónico, que pe mi e engloba an o la condición de adiación como la condición de bo des abso ben es de ene gía. Cuando el modelo es aplicado a p oblemas de ondas la gas, la condición p opues a implica di idi el dominio o al en dos zonas: la p ime a supues a como "ma abie o7>, que no es incluida en el análisis, y la segunda que es la que da luga a la disc e ización. Bajo la hipó esis de gene ación de ondas la gas po ans e encia de ene gía desde ondas de al a ecuencia con ex enso desa ollo, se supone, pues, que el p oceso se p oduce en la p ime a egión, conside ada como de "gene ación", mien as que en la segunda se admi e que dicha ans e encia ha cesado o es desp eciable. En cie os as os^^,^', el o igen pa ece más o ien ado hacia enómenos de luc uación ba omé ica. Po o a pa e, la disc e ización de la egión in e io depende de la longi ud de onda "meno ", pudiéndose e iñca median e expe imen ación numé icaag, que es necesa io emplea un mínimo de 8 a 12 pun os po longi ud de onda pa a ap oxima la unción solución con e o es ela i os meno es a 0.1%. Es a condición es c í ica en nume osos casos p ác icos, pues lle a a sis emas con ele ado núme o de g ados de libe ad, que limi a ue emen e el uso de algo i mos de esolución ecuen es en el MEF, como el mé odo on al2'. Los mé odos indi ec os de esolución se p esen an como una e icaz al e na i a, debido a sus d ás icos aho os de memo ia cen al eque ida pa a almacena los coe icien es de la ma iz que su ge de la disc e ización. El p esen e p oblema iene la pa icula idad de es a deñnido po ma ices de coe icien es no de inidas posi i as, po lo que muchos mé odos i e a i os clásicos no son con e gen es. Así, se p esen a en es e abajo una ex ensión del mé odo del g adien e conjugado p econdicionado a sis emas con ma ices de coe icien es complejos no deñnidas posi i as. De es a o ma se consigue aplica el modelo a p oblemas de ele ado núme o de g ados de libe ad con equipos medios e implemen a lo en o denado es pe sonales con acilidad, pe mi iendo accede al ingenie o p oyec is a a una po en e he amien a de diseño. P. ORTIZ Y M. PASTOR La o ma simple y compac a de concebi las condiciones de bo de del p oblema o o ga un mejo condicionamien o de la ma iz de coe icien es en compa ación con los mé odos ci ados p e iamen e, lo que in luye en o ma decisi a en la e iciencia del mé odo indi ec o de solución. Con el in de demos a el co ec o uncionamien o del modelo p opues o, se han ejecu ado p uebas de casos con solución eó ica conocida o con esul ados expe imen ales iables, mien as que los casos p ác icos incluidos ienen especial én asis en el es udio de p oblemas de ondas la gas. TEORIA DE ONDAS. FORMULACION POTENCIAL A con inuación se conside a án ondas de g a edad supe iciales que se p opagan en un medio homogéneo e isó opo. Tan o el ondo como los bo des sólidos se admi i án como impe meables, po lo que no exis i án co ien es ne as de en ada o salida a a és de ellos, excep o cuando se especi iquen con o nos abso ben es o con elocidades no males p esc i as. El luido es incomp esible y el lujo no iscoso. Las singula idades en el campo de elocidades, ales como las p oducidas en en o nos de bo des agudos, no son acep adas en la eo ía elegida25. La adopción de la eo ía lineal implica que las sob eele aciones a pa i del ni el medio del agua, q, son mucho meno es que la p o undidad h y, además, que la elación en e al u a H y longi ud de onda X debe se pequeña, equi alen e a a i ma que queda á in alidada pa a pe al es de onda conside ables. La ecuación ap oximada de ondas pa a a iaciones g aduales de p o undidad exige que el pa áme o p cumpla: con k el núme o de onda. Acep a además cualquie ango de elación p o undidad- longi ud de onda kh, siendo álida, po lo an o, desde ondas co as a ondas en p o undidades educidas. La ecuación ap oximada, ob enida po Be kho F, y luego a ada po di e sos au o e^^^-^*^^, es á basada en la eo ía del po encial de elocidades. Po lo an o, es asumido que el lujo es i o acional, pudiendo de ini se un po encial de elocidades 4 al que: siendo ü el ec o de elocidad y V el ope ado g adien e. Así, se cumpli á la ecuación de Laplace: El p oblema queda de inido si a (1) se ag ega la condición de bo de en el ondo impe meable: MODELO NUMERICO DE REFRACCION-DIFRACCION DE ONDAS a4 ah a4 -.- +- = O, en 23 = -h(xi) (i = 1,2) azi azi ax3 y la condición de con o no a supe icie lib e (linealizada): a4 a24 +2= 1 apa 9- --- en 23 = O az3 a p a conside ando las coo denadas ca esianas (zi, i = 1,2,3) o (2, y, z) indis in amen e, siendo el plano x - y o xi - 22 coinciden e con el ni el medio del agua, g la acele ación de g a edad e es e, p la densidad del agua y pa la p esión a mos é ica. Si se emplean es as exp esiones, sumándose la hipó esis de pe iodicidad de las a iables que in e ienen en el p oblema, es deci , que la dependencia de ellas del iempo puede sepa a se de la dependencia de las a iables espaciales xi, como po ejemplo: 4(x, ) = 4(x) . exp(.iw ) con w la ecuencia angula , y x el ec o posición, se ob iene la ecuación ap oximada de ondas. Pa a ello se supone que con a iaciones g aduales de p o undidad, la elación de dispe sión: w2 = g ks anhkh y la solución al p oblema a p o undidad cons an e: -ig. ~(x, y) cosh[k(z + h)] ~o(z,Y, z) = cosh kh (2) ienen aún alidez, adop ándose los alo es locales de k y h. En (2), q(x, y) sa is ace la ecuación de Helmho z (a p o undidad cons an e): 2~ + k2 -7 = O mien as que ep esen a el po encial de elocidades idimensional. Luego de algunas ope acione~~~, la ecuación de la onda que se ob iene es, en unción del po encial: V(c. cgV4) + u"-) o c (3) donde c es la cele idad de ase local, de inida como: W c=- k mien as que cg es la elocidad de g upo, dada po : 1 cg = c-n; n = ?(l + 2kh sinh 2kh 1 P. ORTIZ Y M. PASTOR En el caso de p o undidades educidas, el ac o kh es pequeño, po lo que: sinh2kh x 2kh, anhkh FZ kh - c x c, x Jgh educiéndose la exp esión (3) a la ecuación de Helmhol z pa a p o undidad a iable: El p oblema desc i o es elíp ico", po lo que deben especi ica se condiciones de bo de en el con o no I' que limi a la egión R donde ige el mismo, las cuales son: - Condición de Di ichle : cuando es conside ado el alo de la sob eele ación po , po ejemplo, mediciones in si u. - Condición de Cauchy: den o de es e ipo pueden inclui se la condición de e lexión pe ec a: con n la no mal al con o no e lec an e n, la condición de elocidades no males al con o no q p esc i as (Neu nann): donde q es el alo p esc i o, y la condición de abso ción ( o al o pa cial): si se in oduce un coe icien e de abso ción a de inido como ene gía abso bida a = ene gía o al La de e minación p ác ica de a es complicada, debido a que los mecanismos ísicos que p e ende simula son, en ealidad, al amen e no lineales (como, po ejemplo, enómenos de o u a de oleaje). Po lo an o su uso se es inge a la ob ención de alo es medios en una zona dada, o como il o de uidos. Debe obse a se, además, que la exp esión (5) sólo se cumple cuando la incidencia es no mal al con o no. Po Úl imo, hay que ene en cuen a que pa e del dominio Cl es no de inido o, a ines de su es udio, in ini o. En es a zona debe impone se la condición de que las ondas adiadas al ex e io no e o nen, endiendo a anula se cuando la dis ancia iende a in ini o. La condición de adiación, p opues a po Somme eld (1949)" pa a casos pe iódicos, se puede exp esa como: MODELO NUMERICO DE REFRACCION-DIFRACCION DE ONDAS donde es la dis ancia medida a pa i de un pun o ijo y 4 es solución a la ecuación de la onda, mien as n es la dimensión del p oblema. Es a condición supone una can idad posi i a de lujo salien e de ene gía en un pe íodo TI1, ep esen ando la disipación ene gé ica más impo an e en ondas de baja ecuencia. En la siguien e sección se án a adas las di e en es condiciones is as en o ma uni icada, in oduciendo concep os del mé odo de las ca ac e ís icas. CONDICIONES DE CONTORNO Si en la ecuación de ondas (3) se elimina la condición de pe iodicidad, conside ando, po simplicidad, una dimensión espacial, és a queda á exp esada como siendo una ecuación de ca ác e hipe bólico de segundo o den. De es a o ma, es posible ob ene la pendien e de la cu a ca ac e ís ica co espondien e, dada po Si se conside a la hipó esis de que la p o undidad se man iene cons an e en un en o no a la línea ca ac e ís ica, se puede llega a que a lo la go de ella se cumpli á 84 - * ~~"93 = c e a ax En el caso de p o undidades educidas (6) se ans o ma en Al in oduci 71 y 72, que co esponden a can idades que se p opagan en di ecciones opues as, la exp esión (6) puede esc ibi se ambién como El p incipio aplicado pa a de e mina las condiciones de con o no es el de a a las can idades desc i as p esc ibiendo o no su alo , ob eniendo, al combina las, las di e en es condiciones ísicas que se desean simula 3'. De es a o ma, sólo pueden se p esc i as aquellas magni udes "en an es", es deci , cuya ca ac e ís ica pene a en el dominio. Las ecuaciones (7) pueden exp esa se en unción de los in a ian es 71 y 72 como: P. ORTIZ Y M. PASTOR Si se p esc ibe la can idad TI, que ing esa al ecin o, como una onda p og esi a plana 4~ dada po : q51(z, y, ) = A exp(i(k T - w )) siendo la di ección de incidencia, al escoge cualquie a de las exp esiones (7) u (8) y eniendo p esen e la condición de pe iodicidad, se ob iene que que es la exp esión, en el caso unidimensional, que de ine el con o no "ca gado", es deci , el que conec a el dominio en es udio con el inde inido. Luego de algunas ope aciones, (9) queda inalmen e como álida pa a cualquie elación longi ud de onda-p o undidad. Si se a a de ondas la gas, la ecuación (10) se con ie e en Pa a ob ene una ex ensión a dos dimensiones, se asumi á el cumplimien o de la condición (9) en la di ección de incidencia. En es e caso, la di ección de incidencia no coincide, en gene al, con la di ección R, no mal al con o no, po lo que se in oduce p como el ángulo o mado en e es as di ecciones, quedando, en consecuencia, a pa i de (9): 1 84 6--- + iwqi = Jccs.i.kq51 + iw41 cos p dn La exp esión inal es: y en aguas poco p o undas: La condición de abso ción es simple de ob ene median e los mismos a gumen os, con la simpli icación de admi i la incidencia no mal al con o no. Pa a abso ción o al, se cumple que: 72: lib e (salien e), TI = 0, po lo que, eemplazando en la segunda exp esión de (8): MODELO NUMERICO DE REFRACCION-DIFRACCION DE ONDAS luego, en la p ime a de ellas, queda Es a condición, con incidencia no mal, es álida pa a el p oblema bidimensional, o sea: luego, si se in oduce la condición de pe iodicidad, se llega inalmen e a pa a abso ción o al no mal que, en el caso equi alen e a abso ción pa cial es: La condición de Neumann (4) se puede concebi median e la p esc ipción de las componen es de elocidad de (7), que co esponden a la onda que se aleja, lo que no se con adice con lo expues o, ya que es e caso es equi alen e a conoce el compo amien o de una de las a iables en la egión ex e io . Pa a e lexión o al, su ob ención es inmedia a, ya sea anulando el coe icien e de abso ción a en (12), o haciendo TI = 72 y 72 =lib e en (8), conside ando elocidades no males al con o no. FORMULACION NUMERICA La ecuación (3), jun o con las condiciones de bo de ca gado (ll), de abso ción (12), de Neumann (4) y de Di ichle , han sido disc e izadas median e la écnica de Boubno - Gale kin. La o mulación débil del p oblema puede exp esa se como: donde 7, E, (, p son coe icien es de p opo cionalidad, R es el dominio de inido, ,, ,, I'+, , son, espec i amen e, los con o nos abso ben e, ca gado, con alo es p esc i os y con elocidades p esc i as y 3 ep esen a los alo es p esc i os de 4. P. ORTIZ Y M. PASTOR e i ando el almacenamien o de A. Las es a egias posibles son: 1) Almacena A ensamblada, e ec uando el p oduc o A. p , en cada i e ación, 2) Almacena las ~na ices elemen ales sin ensambla Ae y e ec ua x Z1 Ae pk en cada i e ación y 3) Calcula Ae en cada i e ación y e ec ua el p oduc o de la misma o ma que en la opción 2). La p ime a Enea es la de meno iempo de ejecución y máxima memo ia o en ada- salida, poseyendo escasas en ajas espec o a un mé odo di ec o. La segunda al e na i a es in e media y la e ce a es la de meno almacenamien o y mayo iempo de p oceso. Como esul ado de expe imen ación numé ica, pueden compa a se los ó denes del núme o de coe icien es necesa ios de almacenamien o en cada caso (sin con a con los da os opológicos), siendo N el núme o de g ados de libe ad: Caso 1): Ñ N*; Caso 2): Ñ ION; Caso 3): 0. Es os ó denes se ob ienen suponiendo que en el caso 1) ha sido op imizada la nume ación nodal, mien as que en el segundo se adop a una elación núme o de nodos/núme o de elemen os de 3.5 (media de odos los casos es udiados), siendo gua dada sólo la ma iz iangula supe io . Se ha comp obado además que pa a casos con g ados de libe ad en e 81 y 509 se ob ienen iempos de p oceso de al ededo de 7 eces mayo es en el caso 3) espec o al 2), lo que mues a que, sal o en p oblemas c í icos de capacidad, la opción p ác ica es la segunda. Es con enien e añadi que si se compa a cualquie mé odo indi ec o con uno di ec o, en el iempo de ejecución de és e Úl imo, es ic amen e, debe ene se en cuen a el iempo in e ido en la op i nización de en e o de banda. APLICACIONES El p og ama desa ollado en base a los concep os p e ios emplea elemen os de ocho nodos (cuad ilá e os), de la amilia se endíp ica y unciones de o ma de con inuidad CO. Se ha op ado po 16 pun os de in eg ación po elemen o y 4 en el caso de in eg ales cu ilíneas. La solución del sis ema p opo ciona sob eele aciones y unción po encial en nodos, así como agi aciones medias en el á ea de es udio y elocidades en pun os de Gauss. La exci ación ex e io es impues a especi icando el con o no en "ma abie o", ,, la ecuencia angula de la onda inciden e, su di ección y ampli ud máxima. Den o de las dis in as p uebas e ec uadas al modelo, se incluyen en es e abajo 3 p oblemas ípicos, p esen ándose pos e io men e un caso eal e e en e a pue os del Ma Can áb ico. Los p oblemas e e idos son los pue os ec angula es, ompeolas ci cula y e acción po a iación pa abólica de p o undidad. Pue os ec angula es El p oblema del pue o ec angula , es udiado en o ma eó ica, numé ica y e~pe imen al"~~~~ es analizado en es a ocasión median e dos con igu aciones di e en es, ep esen adas en las Figu as 1.a y l.b, siendo en ambos casos las pa edes o almen e e lec an es. En la p ime a con igu ación, el ancho de la dá sena coincide con el de la bocana, mien as que en la segunda la bocana es á pa cialmen e ce ada po dos ompeolas ec os. MODELO NUMERICO DE REFRACCION-DIFRACCION DE ONDAS C/2d = 0.1 b Figu a 1. Pue os Rec angula es. Pa a inclui co ec amen e la in luencia de la cos a ec a lindan e a la dá sena, pueden conside a se dos opciones: i) conside a la o almen e e lejan e o ii) o almen e abso ben e. Si se elige la p ime a, se debe compone a la onda inciden e la e lejada en la cos a ex e io . Pa a el p ime ejemplo se empleó una malla de 88 elemen os y 317 nodos, mien as que en el segundo se ecu ió a 160 elemen os y 537 nodos. A con inuación se hizo incidi una onda plana de ampli ud uni a ia pe pendicula a la cos a ec a, ob eniendo esul ados equi alen es en las opciones i) e ii) en ambas dá senas, siendo esumidos en la Figu a 2. En es a Figu a se ep esen an los ac o es de ampli icación en los pun os P ep esen ados en la Figu a 1, de inidos como la elación en e la ampli icación máxima en el pun o conside ado y la ampli icación de la onda inciden e si no es u iese implan ado el pue o. En el p ime análisis se in en ó ep oduci el p ime pico esonan e, que es el de mayo in e és, ob eniendo esul ados sa is ac o ios, supe io es a los que se ob ienen en modelo ísico, al no con abiliza pé didas locales y po icción16. Pa a la segunda con igu ación, se es udia on los cua o p ime os picos de la cu a de ampli icación en unción de la longi ud de onda ela i a, compa ados con alo es ob enidos en modelo ísico16, siendo es a ez los alo es muy ce canos en e ambas P. ORTIZ Y M PASTOR 20 18 16 u 14 L '2 U 2 10 A -8- I -6- 2- Ili7i"'1 - - - - * - F :: - i :, ,' ,,- - .-N .-?--- ,*' '- -____ .' -- --_ _ _-- I'(lI 00~234567a910 K L Caso A: - - - : [16]. o: Modelo nuiiié ico. 1 o 8 L u 26 18 - u - - U Q - LL UI 012345678013 Caso B: -: [16]. m: Modelo numé ico. Figu a 2. Pue os Rec angula es. Fac o es de ampli icación s. longi udes de ondas ela i as kl. écnicas. Rompeolas ci cula Es a p ueba consis e en una plan a ideal o mada po una cos a ec a in ini a donde, adyacen e a ella, se emplaza un ompeolas semici cula con dos abe u as, haciendo incidi sob e la egión po él limi ada una onda unidad pa alela a la cos a. La malla u ilizada (Figu a 3) cons a de 24 elemen os y 79 nodos siendo la p o undidad cons an e. Figu a 3. Rompeolas Ci cula . ,: Con o no "ca gadon. ,: Con o no abso ben e. MODELO NUMERICO DE REFRACCION-DIFRACCION DE ONDAS Es e es , al se usado en el modelo de elemen os in ini oss, exigía con empla una egión ex e io como ansición al ensamble de elemen os in ini os, lo que implica mayo núme o de g ados de libe ad. Los esul ados, compa ados con el es udio ci ado y con la solución analí ica se exponen en la Figu a 4, donde se ep oduce la espues a en unción de la longi ud de onda ela i a k , que es a ez elaciona la longi ud de onda y el adio de la plan a semici cula . Po o a pa e, la espues a de la dá sena es e aluada median e: siendo A el á ea o al ence ada po el ompeolas. Luego, en la Figu a 4 se ep esen a el cocien e en e es a sob eele ación "media" y la de la bocana o ien ada hacia la di ección de incidencia de la onda. O 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 L onda el. KR Figu a 4. Rompeolas Ci cula . Respues a. -: Solución Analí ica. o: Elemen os In ini os. O: Modelo Ac ual. La coincidencia con los alo es analí icos es buena, incluso en zonas alejadas del segundo pico, a pesa de lo g uesa de la malla. La dis ibución de sob eele aciones ambién posee un buen ajus e, como puede e se en la Figu a 5 (k = 3.0). Po las ca ac e ís icas geomé icas que p esen a es e ejemplo, la in luencia que puede ene el op a po un con o no abso ben e ec o en la bocana "no ca gada" es poca, lo que es con i mado po los buenos esul ados ob enidos. Sin emba go, el uso de la condición de abso ción debe se hecho con cau ela, dada sus limi aciones. Cuando la ba ime ía de la zona cos e a pe mi e un e ec o de e acción impo an e, la abso ción no mal puede se admisible, al ende los en es de onda a se pa alelos a las líneas ba imé icas. P. ORTIZ Y M. PASTOR Figu a 5. Rompeolas Ci cula . Fac o es de Ampli icación. Ba = 3, a: adio. -: Analí ico [8]. - - - : Modelo Numé ico. Caso A. Ondas La gas. Caso B. Ondas Co as. Figu a 6. Va iación pa abólica de p o undidad. Re acción po a iación pa abólica de p o undidad. Pa a con empla un caso donde pueda comp oba se la e ec i idad de la ap oximación pa a a iaciones impo an es de p o undidad, se ha es udiado la e acción de una onda plana que se p opaga po una zona ci cula donde la p o undidad a ía en o ma pa abólica (Figu a 6). Se han e ec uado dos casos, ep esen ados como A y B en la ~igu a 6, co espondiendo el p ime o a un p oblema en que no es espe ada la condición de MODELO NUMERICO DE REFRACCION-DIFRACCION DE ONDAS a iación g adual de la p o undidad, mien as que en el segundo es a limi ación no es ansg edida. En el caso A (Figu a 7), los esul ados, que se p esen an como sob eele aciones en la di ección de incidencia, no son muy ajus ados, siendo simila es a los ob enidos median e el uso de elemen os ini os8. DlRECClON DE ONDA INCIDENTE Figu a 7. Va iación pa abólica de p o undidad. Ampli ud ela i a. Caso A. -: Analí icase. o: Elemen os In ini os'. o: Modelo ac ual. El núme o de elemen os empleados en es a ocasión ue de 168 y el de nodos 505. El p oblema B (Figu a 8) (ondas co as) ha necesi ado de 576 elemen os y 1729 nodos, dada la educida longi ud de onda. Los esul ados, es a ez, p esen an una ap oximación acep able siendo nue amen e simila es al modelo en elemen os in ini os, con un aho o de un 10% de g ados de libe ad espec o al mismo. dis . del cen o (cm.) Figu a 8. Va iación pa abólica de p o undidad. Ampli ud ela i a. Caso B. - o - Analí icase. +: Elemen os In ini os8. O: Modelo ac ual. P. ORTIZ Y M. PASTOR Ma Can áb ico Los mecanismos de gene ación de ondas de pe íodos en la banda de 1 a 30 minu os no es án aún comple amen e de e minados, al con a io de o as ondas la gas como po ejemplo sunamis. La hipó esis an es ci ada de ans e encia de ene gía desde ecuencias al as pod ía in e p e a se como la modi icación de un en inicial de ondas con poca ene gía en la zona de baja ecuencia que, al p opaga se hacia la cos a, con a iaciones de p o undidad impo an es y ex ensos desa ollos, mues a un pico en la dis ibución de ecuencias en una egión de alo es meno es. El pico de la nue a dis ibución co esponde al pe íodo dominan e de la onda la ga. En el Ma Can áb ico, donde se es ima que las ondas son p oducidas po mecanismos de es e ipo, p esen an un pe íodo p eponde an e ce cano a los 4 minu os. Es e pe íodo, elacionado con el de los g upos de ondas del espec o inicial, puede se es imado inicialmen e como el del asociado al g upo de ondas. Una me odología de es udio de ondas la gas en un ecin o po ua io puede se , en p ime luga , la ob ención de ecuencias p opias p incipales del sis ema no a~no iguado~~, de ec ando así las zonas de máximas ampli udes de mo imien os ho izon ales y e icales3'. El p ime caso pe mi e decidi emplazamien os de medición de ondas la gas, mien as el segundo indica sec o es de a aque des a o ables. Los modos p opios pueden calcula se median e la ecuación de au o alo es gene alizada, oy ándose po las ecuencias más bajas. Una o ma al e na i a de ob ene la ecuencia p opia undamen al de un ecin o semice ado de agua es median e la ecuación lineal de ondas la gaP, exci ando el sis ema con una unción a mónica e imponiendo condiciones iniciales nulas. En la espues a apa ece án oscilaciones espú eas, mos ando un máximo de ene gia en la ecuencia p opia undamen al del sis ema3'. Al a a la espues a median e la ans o mada disc e a de Fou ie , en el con enido en ecuencias su ge el pico ci ado y, en consecuencia, la ecuencia buscada. La in luencia del "ma abie o" en el modelo simple no amo iguado puede asumi se median e dos opciones: e lexión pe ec a en la bocana (lo que equi ale a calcula los pe íodos p opios de un cue po de agua ce ado), o supone ampli ud e ical nula en la bocana y, po lo an o, una línea nodal en ella. Aunque la ealidad es una si uación in e media, la hipó esis más azonable es la segunda, con i mada al compa a se con modelos ísicos32. La pa e inal de un es udio es la aplicación del modelo disipa i o desc i o en es e abajo, que pe mi e e alua espues as cuan i a i amen e más aco des con la ealidad, limi ando su uso a la zona del espec o aco ada po el es udio p e io. Den o de es a Úl ima e apa, se incluyen en es e abajo dos pue os pesque os dC la cos a Vasca: Mo ico y Ondá oa, cuyo compo amien o ue analizado jun o con el de pue os de dimensiones mayo esas. El in e és de es os pequeños pue os eside en su compo amien o o almen e opues o en e a una exci ación simila . Los pequeños pue os pesque os de baju a del Ma Can áb ico, ales como los nomb ados, poseen en algunos casos ca ac e ís icas geomé icas que ocasionan p oblemas esonan es an e las exci aciones de pe íodos ce canos a 4 minu os. Los p ime os es udios sis emá icos de es os enómenos se deben a I iba en17*18, MODELO NUMERICO DE REFRACCION-DIFRACCION DE ONDAS cuya explicación in ui i a del enómeno es alidada po el modelo numé ico. El pue o de Mo ico es el que p esen aba es e e ec o en o ma más p onunciada, pues e a su icien e cualquie ma ejada ex e io pa a que la agi ación in e io uese ele ada. Así, en la Figu a 9 se ep esen an las líneas de igual ele ación pa a una exci ación unidad en la si uación esonan e (245 seg.). Puede obse a se el ele ado g adien e en la zona de ondeo, indicada con A. En el modelo educido" se de ine el ac o de ampli icación como el cocien e en e elocidades en A y en la zona ex e io , ob eniéndose una cu a de ampli icación (Figu a 10) poco p onunciada. Es o puede debe se a la "ambigua" de inición del coe icien e de ampli icación, al se las elocidades ex e io es elegidas poco ep esen a i as de la exci ación. Con el p esen e modelo se ha op ado po de ini el ac o compa ando sob eele aciones en el ex emo de la dá sena in e io con ampli ud de la exci ación, o o gando la espues a un pico más de inido. Puede obse a se que la coincidencia de los picos en e modelo ísico y numé ico es buena. SEP. ISOL.= 0.5 Figu a 9. Pue o de Mo ico. Líneas de igual ele ación. T = 245 s. A: Zona de ondeo. B: Zona ex e io . C: Zona eliminada. Pa a el modelo se empleó una malla de 345 nodos y 92 elemen os, habiéndose incluido una zona ex e io B (Figu a 9) ela i amen e pequeña. Los p oblemas ue on pa cialmen e esuel os eliminando la zona C (Figu a 9), y d agando, es deci modi icando la geome ía del ecin o. A pocos kilóme os al oes e de Mo ico se encuen a Ondá oa, cuyo pue o cons a de un an epue o y una segunda dá sena conec ados po una bocana in e io . Los p oblemas del pue o de Mo ico exigía en muchas ocasiones que los pesque os allí ondeados u iesen que aslada se a Ondá oa, con las consiguien es pé didas económicas y de capacidad de ambos pue os17. Pe o ¿qué azón p oducía la calma en el pue o ecino al de Mo ico cuando és e e a imp ac icable pa a las ac i idades de los pesque os?. La con es ación a es a si uación su ge de la cu a de espues as de P. ORTIZ Y M. PASTOR Figu a 10. Pue o de Mo ico. Fac o es de ampli icación. o : Ampli icación de elocidades17. +: Modelo numé ico (ele aciones). ecuencia angula Figu a 11. Pue o de Ondá oa. Cu a de espues a. Ondá oa (Figu a 11): pa a la banda c í ica de 230 a 250 seg. (0.027 a 0.025 ad/seg. de ecuencia angula ) la ampli icación es mínima, hecho de ec ado isualmen e po los pescado es. En la Figu a 11 se ep esen a el ba ido en ecuencias ealizado pa a el in e alo 170 s.-600 s. El ac o de ampli icación ha sido calculado po el cocien e en e sob eele aciones en el nodo de con ol P (Figu a 12), donde se p oducen máximas ele aciones pa a los dos p ime os picos esonan es y la onda inciden e unidad ex e io . En la misma Figu a 12 se ep esen an las líneas de igual ele ación pa a T = 245 s., donde puede obse a se las condiciones a o ables del pue o pa a es a ecuencia. MODELO NUMERICO DE REFRACCION-DIFRACCION DE ONDAS SEP. ISOL.=0.5 Figu a 12. Pue o de Ondá oa. Líneas de igual ele ación. T = 245 s. A: Zona ex e io de playas. Pa a ealiza el es udio se cons uyó una malla de 509 nodos y 142 elemen os, con emplando en la disc e ización la zona ex e io de playas (zona A en la Figu a 12) con con o nos e lejan es a onda la ga, dado que la abso ción a és as es muy baja. CONCLUSIONES El a amien o numé ico de la ecuación ap oximada de di acción y e acción exige esol e el p oblema '(ex e io " adecuadamen e, lo que es p opues o median e di e sas ías, de las cuales puede des aca se los modelos en elemen os in ini os. En es e a ículo se plan ea una o ma di e en e de enca a el ema, en base al mé odo de las ca ac e ís icas. A e ec os de la e iciencia esolu i a del modelo, se ob iene meno núme o de g ados de libe ad que en caso de usa elemen os in ini os, así como un mejo condicionamien o de la ma iz de coe icien es que conse a, a su ez, el ca ác e bandeado simé ico. El modelo se p esen a como un se io compe ido a los de simila po encia, poseyendo simila es limi aciones, de i adas de la o ma de impone el compo amien o de la onda adiada. A es e espec o, una a ian e de las condiciones aquí de i adas pueden ob ene se en base a la di ección no mal al con o no "ca gado", habiéndose conseguido esul ados más pob es y más dependien es de la o ma del con o no. Las limi aciones de la condición de abso ción no mal implica su uso a zonas educidas del dominio. Si el p oblema se o mula en su o ma hipe bólica y se plan ea un esquema explíci o de solución, una ía de mejo a el p oblema de abso ción es la de co egi el módulo y di ección de la elocidad que incide en el con o no abso ben e en cada sal o de iempo. La aplicación de es os concep os en el caso a mónico lle a a un p oblema no lineal y, po lo an o, mucho más cos oso. Pa a sal a el p oblema del ele ado núme o de g ados de libe ad p esen e en cie os