Alternativas para a medida do erro na representação do carregamento no método da superposição de vetores de Lanczos

Re is a In e nacional de Mé odos Numé icos pa a Cálculo y Diseño en Ingenie ía. Vol. 11,4, 601-613(1995) ALTERNATIVAS PARA A MEDIDA DO ERRO NA REPRESENTACÁO DO CARREGAMENTO NO MÉTODO DA SUPERPOSICÁO DE VETORES DE LANCZOS JOSÉ ANTONIO O. DO NASCIMENTO * e ADEMAR GILBERTO GROEHS ** *Depa amen o de Es u u as Uni e sidade Es adual de Lond ina Caixa Pos al 6001, CEP 86051-970 Lond ina-PR, B asil **Cu so de Pós-G aduacüo em Engenha ia Ci il, UFRGS Caixa Pos al 303, CEP 90001-970 Po o Aleg e - RS, B asil SUMARIO O desen ol imen o de um mé odo de educáo de coo denadas, que u iliza uma base cons i uída po e o es de Lanczos ge ados a pa i da dis ibuicáo espacial do ca egamen o, supos a ixa, é ap esen ado. O e o ela i o na ep esen as50 do ca egamen o, quando se u iliza a base eduzida, como um c i é io de in e upqáo na ge as5o dos e o es da base, é abo dado, mos ando-se que a p opos a de Wilson, Yuan e Dickens náo é ap op iada. P opóe-se, en iio, duas al e na i as pa a a medida do e e ido e o ela i o, ambas baseadas em no mas niio- Euclidianas. Mos a-se que a p imei a, po en ol e a soluc5o de um sis ema de equacóes cuja ma iz é a ma iz de massa do modelo es u u al, implica em cus os compu acionais adicionais al os, caso seja u ilizada a o mulacáo de ma iz de massa consis en e. Já a segunda al e na i a le a a uma medida pa a o e o ela i o acilmen e calculá el, pois en ol e, apenas, p odu os in e nos en e e o es. Exemplos numé icos sáo ap esen ados e suge e-se a u ilizas50 da segunda al e na i a. SUMMARY A coo dina e educ ion me hod is desc ibed, using a basis o med by Lanczos ec o s gene a ed om he spa ial dis ibu ion o he loading, assumed ixed. The ela i e e o in he load ep esen a ion, using he educed basis, is ea ed as a s opping c i e ium in he gene a ion o he ec o basis, showing ha he p oposal o Wilson, Yuan and Dickens is no Recibido: Ene o 1995 OUni e si a Poli kcnica de Ca alunya (España) ISSN 0213-1315 J.A.O. DO NASCIMENTO E A.G. GROEHS app op ia e. Two al e na i e measu e o he men ioned ela i e e o a e p oposed, bo h based on non-Eucledian no ms. I is shown ha he i s , which includes he solu ion o a sys em o equa ions wi h he s uc u al mass ma ix, incu s in high addi ional compu a ional cos s, i a consis en mass ma ix is used. Fo he second al e na i e an e o measu e can be casily compu ed, in ol ing only ec o do p oduc s. Nume ical examples a e p esen ed and he second al e na i e is ecomended. Na análise diniimica linea de es u u as, a a és de um mé odo de disc e izaciio espacial como o MEF-Mé odo dos Elemen os Fini os, a écnica de educáo de coo denadas em sido in ensamen e u ilizada. Classicamen e usa-se uma base de educáo de coo denadas cons i uída po um conjun o de au o e o es do p oblema de au o alo associado As ib acoes li es da es u u a. Essa base, denominada base moda1 (incomple a), nao le a em conside aciio as ca ac e ís icas especí icas do ca egamen o a uan e. Pa a uma classe de p oblemas onde o ca egamen o em uma dis ibuiciis espacial ixa, Wilson e al.' p opuse am que os e o es da base ossem ge ados a pa i da dis ibuiciio espacial do ca egamen o, a a és de um algo i mo especí ico, que oi mos ado, depois, se o Algo i mo de Lanczos7. Vá ios abalhos mos a am a e e i idade da u ilizaciio da base assim ge ada, en e eles A nold e al.' e Cou inho e al.'. Uma das ques oes ele an es, elacionadas ao uso de écnicas de educáo, é o núme o de e o es que de em cons i ui a base, de o ma que o es o co compu acional seja eduzido e que se ob enha uma espos a diniimica p ecisa. Assim, á ios c i é ios a p io i o am es abelecidos na li e a u a, pa a es ima o núme o de e o es na base. Um dos p imei os, e amplamen e u ilizado a é hoje, oi p opos o po Wilson e al.', e u iliza uma medida pa a o e o ela i o na ep esen aciio do ca egamen o. O p esen e abalho mos a que a medida do e o ela i o p opos a po Wilson e al.' náo es á de inida ap op iadamen e, podendo o nece esul ados inadequados. O p opósi o des e abalho é busca uma no a medida do e o na ep esen aciio do ca egamen o que possa se u ilizada no es abelecimen o de um c i é io de in e upcáo na ge acáo dos e o es da base. Pa a um sis ema es u u al disc e izado a a és do MEF, as equacoes di e enciais linea es de equilíb io diniimico podem se esc i as onde M, C e K siio, espec i amen e, as ma izes de massa, amo ecimen o e igidez, = ( ) é o e o de o cas nodais ex e nas a uan es e u = u( ), u = u( ) e ü = ü( ) sáo os e o es de deslocamen os, elocidades e acele acoes nodais, espec i amen e. As ma izes siio de o dem n e os e o es sáo n-dimensionais, onde n é o núme o de g aus de A MEDIDA DO ERRO NA REPRESENTAC~O DO CARREG. NO MÉT. DE LANCZOS 603 libe dade do modelo es u u al. Admi e-se, nes e abalho, que o amo ecimen o é de Rayleigh, is o é, que a ma iz de amo ecimen o possa se ob ida po uma combihaciio linea das ma ixes de massa e igidez (C = aoM + alK, onde a0 e al siio cons an es). Dependendo da complexidade da es u u a e do ní el de de alhe desejado na desc iciio da espos a dinamica, o modelo es u u al pode e uma quan idade mui o g ande de g aus de libe dade. A menos que o ca egamen o seja de cu a du aqiio, é comum aplica -se um mé odo de educiio de coo denadas, que consis e em ans o ma o sis ema o iginal (1) num sis ema de equacoes de amanho bas an e meno . O Mé odo de Rayleigh-Ri z em sido amplamen e u ilizado pa a eduzi a dimensiio das equacoes de mo imen o. O passo essencial no mé odo é a escolha de um conjun o de m e o es linea men e independen es Q, = [ql , qz, .. ., q,] , denominados e o es es e, pa a desc e e , ap oximadamen e, a espos a dinamica. Ou seja, busca-se uma soluciio ap oximada u, = u,( ) que es eja con ida no subespaco ge ado pelos e o es qj, l<j<m onde j( ), 1 5 j 5 m, siio as coo denadas gene alizadas. Sem pe da de gene alidade pode-se assumi que o conjun o de e o es Q, é um conjun o M-o ono mal, ou seja, onde 1, é a ma iz de iden idade de o dem m. Uma o ma equi alen e de de ini um conjun o M-o ono mal é a pa i da de iniqiio de p odu o in e no M-ponde ado en e os e o es x e y, ambém denominado p odu o in e no ine cial'. Assim, o conjun o de e o es qj, 1 < j 5 m, é M-o ono mal se Cabe obse a aqui que, da de inicao de p odu o in e no M-ponde ado, dada po (4), deco e a de iniciio de no ma-M, ou no ma ine cial A aplicaciio do Mé odo de Rayleigh-Ri z As equacoes (1) le a ao seguin e sis ema eduzido (o dem m) de equacoes di e enciais M,+, ( > + Cm m( ) + Km m( ) = m( ) (7) J.A.O. DO NASCIMENTO E A.G. GROEHS no qual M,, Cm, Km siio, espec i amen e, as ma izes de massa, amo ecimen o e igidez nas coo denadas gene alizadas, dadas po e m é o e o de o cas gene alizadas dado po O e o de deslocamen os gene alizados m( ) é ob ido esol endo-se o sis ema eduzido de equacóes di e enciais (7). O e o de deslocamen os um( ) é, en iio, calculado po in e médio da edugiio de coo denadas (2). O uso de écnicas de educiio na análise de modelos es u u ais com núme o ele ado de g aus de libe dade é al amen e a a i a quando os e o es Qm selecionados siio capazes de o nece , com m « n, uma espos a dinamica p ecisa, pois, nesse caso, as equacóes de mo imen o eduzidas (7) em um núme o de incógni as mui íssimo meno que o sis ema de equaqóes (1). Classicamen e Qm em sido compos o com os m p imei os au o e o es do p oblema de au o alo co esponden e As ib acóes li es da es u u a e essa escolha co esponde ao Mé odo da Supe posiciio Modal, com a base uncada em m e o es. Nesse caso, o sis ema eduzido de equacóes (7) o na-se desacoplado, em ace das p op iedades de K e M-o ogonalidade dos modos de ib aciio. VETORES DE LANCZOS Pa a a classe de p oblemas nos quais o ca egamen o em uma dis ibuiciio espacial ixa, ou seja, que pode se esc i o na o ma onde o é a dis ibuiciio espacial do ca egamen o (in a iá el no empo) e g( ) é uma uncáo escala que desc e e a a iaciio do ca egamen o ao longo do empo, Wilson e al.' p opuse am ge a a base de e o es Qm a pa i de o, u ilizando como p imei o e o (ql) a espos a es á ica (no malizada em elaciio ma iz de massa) ao e o de ca gas o. Os e o es da base, do segundo em dian e, siio ge ados a pa i do e o imedia amen e an e io , a a és de um esquema ipo i e aciio in e sa e M- o ono malizados, po um p ocesso de o ogonalizaciio de G am-Schmid , em elaciio aos e o es an e io es já ge ados. Nou -Omid e Clough7 mos a am que o algo i mo p opos o po Wilson e al.' eduz-se, em a i mé ica exa a, ao Algo i mo de Lanczos (Quad o 1). Quad o 1 - Algo i mo de Lanczos Assim, o es o co compu acional pa a ge a os e o es qj, 1 5 j < m, ica eduzido, is o que simpli ica-se o p ocesso de o ogonalizac5.0 de cada e o , bas ando que ele seja o ogonalizado em elaciio aos dois e o es an e io es da seqüencia. É impo an e salien a , no en an o, que em aplicacoes compu acionais, ou seja, quando se u iliza a i mé ica de p ecisiio ini a, é necessá io oma algumas p ecaucoes com o conhecido enomeno da pe da de o ogonalidade en e os e o es de Lanczos, complemen ando o e e ido algo i mo com alguma écnica de eo ogonaliza~5.0~~~~~. Um passo do algo i mo de Lanczos pode, ambém, se esc i o como e essas igualdades podem se condensadas em o ma ma icial como onde e?) é a m-ésima coluna da ma iz iden idade Im de o dem m, e Tm é uma ma iz idiagonal de o dem m, cujos elemen os s5.o 606 J.A.O. DO NASCIMENTO E A.G. GROEHS Se a exp essao (13) é p é-mul iplicada po Q~M ob ém-se, em deco encia da p op iedade de M-o ono malidade dos e o es de Lanczos, a seguin e p op iedade: O e o e o na ep esen acao do ca egamen o, deco en e da u ilizacao de uma base eduzida Q,, pode se de inido como segue. A igualdade (9), que o nece o e o eduzido de o cas ,( ), pode se esc i a, endo em is a a igualdade (3) Se a base osse cons i uída po n e o es (ou seja m = n), Q, se ia uma ma iz quad ada de o dem n, egula (nao-singula ), e a igualdade (16) implica ia em Pa a m < n , o e o MQm m( ) é uma apenas uma ap oximaciio pa a o e o ( ) e o e o di e enqa en e eles é denominado e o na ep esen acao do ca egamen o: 6 (m)( ) = ( ) - ~~, ,( ) (18) Se a igualdade (9) é subs i uída na exp essao (18) es a o na-se 6 (,)( ) = (1 - MQ,Q:)~(~) (19) Pa a um ca egamen o ( ) que em uma dis ibuiciio espacial ixa (11) pode-se esc e e 6 (m) ( ) = 6 A nlg( ) (20) onde A MEDIDA DE ERRO PROPOSTA POR WILSON, YUAN E DICKENS Com o in ui o de es abelece um c i é io de in e upcao na ge aqao dos e o es qj, 1 5 j < m, Wilson e al.' p opuse am uma medida pa a o e o na ep esen aqao do ca egamen o (21), dada po que, segundo os au o es, a ia de 1 (quando m = O) a é O (quando m = n). A MEDIDA DO ERRO NA REPRESENTACÁO DO CARREG. NO MÉT. DE LANCZOS 607 Embo a enha ha ido uma ampla u ilizaciio da medida do e o p opos a po Wilson e al.' a é a p esen e da al~~l~~ é ácil mos a que essa medida pode o nece esul ados o almen e inadequados. A a és da obse aciio da igualdade (22) e-se que, se os e o es 6 im) e o o em o ogonais, a medida esul an e é ze o, indicando, equi ocadamen e, que nao há e o na ep esen aciio do ca egamen o. Na e dade, a igualdade (22) de e se in e p e ada mais como um es e de o ogonalidade en e os e o es 6 im) e o do que uma medida do e o ela i o3. Pa a iden i ica o que essa ó mula ealmen e mede, de e-se obse a a exp essiio que o nece o cosseno do angulo en e os e o es 6 im) e o: onde 11.112 indica no ma Euclidiana. É ácil mos a que a medida do e o dada po (22), em i ude da igualdade acima, pode se exp essa como onde Demons a-se, dessa o ma, que a medida do e o p opos a po Wilson e al.' é o p odu o de uma medida que pode ia se conside ada ap op iada pa a o e o, dada po ( (25), mul iplicada pelo cosseno do angulo en e os e o es 6 Om) e o. PRIMEIRA PROPOSTA PARA A MEDIDA DO ERRO Uma al e na i a se ia ado a , en iio, a medida do e o dada pela exp essao (25). No en an o, em p oblemas onde co-exis em g aus de libe dade anslacionais e o acionais, os e o es o ea em componen es com di e en es unidades e a u ilizaciio da no ma Euclidiana ap esen a ia a inconsis encia de adiciona -se quan idades que niio siio dimensionalmen e equi alen es. Cabe obse a , aqui, que a medida do e o (22) ap esen a, ambém, al inconsis encia, sendo esse um a gumen o adicional pa a se desca ada. Lége e Wilson5 e Jacob e Ebecken3 p opuse am u iliza a exp essiio (25) pa a cada uma das di esoes geomé icas exis en es no p oblema, p ocedimen o que con o na a ci ada di iculdade. Com o in ui o de busca uma p opos a al e na i a, que solucione di e en emen e a ques iio acima expos a, obse a-se, a a és da igualdade (17), que o e o o ca é uma combinaciio linea dos e o es Mqj. Em seguida e i ica-se que os e o es Mqj siio M-l-o ono mais, pois 608 J.A.O. DO NASCIMENTO E A.G. GROEHS Assim, pa ece na u al que, pa a calcula no mas de e o es o qas, u ilize-se a no ma-M-', ou seja, aquela que de i a do p odu o in e no M-'-ponde ado 1 112 Il IM-l = (( , )M-l)112 = ( TM- ) É ácil e i ica que, pa a a no ma p opos a, o p oblema deco en e do e o o ca e componen es com di e en es unidades deixa de exis i . Assim, a p opos a pa a a medida do e o é dada pela exp essáo (25), onde a no ma Euclidiana é subs i uída pela no ma-M-' : O cálculo da no ma-M-' do e o 6 im) é e e uado a segui , usando a exp essáo (21): = :[M-l- QmQm - &m&: + Q~(Q~MQ~)Q~]~O Como os e o es Q, sáo M-o ono mais, ale a igualdade (3), podendo-se esc e e Dessa o ma a medida do e o ela i o (28) pode se esc i a como Cabe obse a que, compu acionalmen e, o denominado de (31) é calculado po T II oIiM-i = o xo onde xo é ob ido esol endo-se o sis ema de equaqoes A MEDIDA DO ERRO NA REPRESENTACÁO DO CARREG. NO MÉT. DE LANCZOS 609 De e se obse ado que, na ob encáo da exp essáo (31), náo oi lancado máo do a o que os e o es q, sáo e o es de Lanczos. Assim, al exp essáo pode se usada pa a qualque conjun o de e o es q,, 1 5 j 5 m, M-o ono mais. Se a ma iz de massa M é diagonal, o es o qo compu acional é mínimo pa a a alia , po (31), a medida do e o. Nos casos em que a massa associada a alguns g aus de libe dade é nula (p.ex., casos de g aus de libe dade o acionais) esul a uma ma iz de massa singula e o sis ema de equacóes (33) só é solucioná el se as co esponden es componen es do e o o o em ambém nulas. A solucáo, nesses casos, náo é única, pois as componen es do e o xo co esponden es As linhas (colunas) nulas de ma iz M sáo a bi á ias. No en an o, esses alo es a bi á ios pa a ais componen es do e o xo sáo i ele an es, pois o que impo a pa a a medida do e o é o p odu o in e no Fxo e ele náo depende dos alo es a bi ados em xo em i ude de que as co esponden es componen es de o sáo nulas. Caso o ca egamen o seja al que alguma componen e de o co esponden e a uma linha (coluna) nula da ma iz M seja náo-nula, a ob encáo de xo é impossí el, ou seja, nao exis e xo que sa is aca (33), icando comp ome ida a medida do e o. Esse comp ome imen o e a a a impossibilidade, pa a a si uacáo desc i a, do e o o se ep esen ado po uma combinaciio linea dos e o es Mqj, como p e e a exp essáo (17)4110. SEGUNDA PROPOSTA PARA A MEDIDA DO ERRO Uma das di iculdades ine en es A u ilizacáo da ó mula (31) oco e nos casos em que a ma iz de massa é consis en e, de ido ao es o co compu acional necessá io pa a esol e o sis ema de equacóes (33). Se ia desejá el, po an o, ob e uma ou a medida pa a o e o que náo eque esse esse es o co adicional. A u ilizacáo da no ma-M-' induz, como al e na i a, u iliza a no ma-K-', o iunda do p odu o in e no K-'-ponde ado: pois, da mesma manei a que na no ma-M-', as pa celas in e enien es no desen ol imen o da exp essáo (34) sáo dimensionalmen e equi alen es (sendo um e o o ca). A medida do e o ela i o se ia dada, en áo, po O denominado da igualdade (35) é acilmen e ob ido, pois