1. Conjunts numèrics

Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis C` ALCUL Conjunts Num`erics Merc`e Claverol Departament de Matem`atiques–EEBE EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 1/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis ´ Index 1Conjunts num`erics. Els nombres reals Els reals. Axioma del suprem 2Conjunts num`erics. Els complexos Operacions Argument Pas entre formes Pas de bin`omica a exponencial o polar Pas d’exponencial o polar a bin`omica Arrels 3Descomposici´o de polinomis Teorema fonamental de l’` Algebra EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 2/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Els reals. Axioma del suprem Conjunts num`erics N⊂Z⊂Q⊂R⊂C Naturals N={0,1,2,3,...} Enters Z={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...} Racionals Q={m n, m, n ∈Z, n 6= 0}. Reals R=Q∪I. Expressats amb decimals, *Els racionals Qo b´e tenen un nombre finit de decimals, o b´e un nombre infinit amb algun per´ıode. *Els irracionals Itenen infinites xifres decimals, sense cap per´ıode. Complexos C={a+bi, a, b ∈R, i =√−1}(ise’n diu unitat imagin`aria). EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 3/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Els reals. Axioma del suprem Reals R Sigui A⊂R, A 6=∅. Diem que: α´es una fita superior de Asi α∈Rix≤αper a tot x∈A. β´es una fita inferior de Asi β∈Riβ≤xper a tot x∈A. a´es el m`axim de Asi a∈Aix≤aper a tot x∈A. Not. a=m`ax(A) b´es el m´ınim de Asi b∈Aib≤xper a tot x∈A. Not. b=m´ın(A) M´es el suprem de Asi M´es fita superior de Ai qualsevol altra fita superior satisf`a que M≤M0. Not. M=sup(A) P´es l’´ınfim de Asi P´es fita inferior de Ai qualsevol altra fita inferior satisf`a que P0≤P. Not. P=´ınf(A) Notem per CSiCIal conjunt de fites superiors i inferiors de A, respectivament. CS6=∅=⇒A´es fitat superiorment. CI6=∅=⇒A´es fitat inferiorment. A´es fitat si ho ´es superior i inferiorment. EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 4/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Els reals. Axioma del suprem Reals R Axioma del suprem per a R Tot conjunt ∅ 6=A⊂Rfitat superiorment t´e suprem, ´es a dir, existeix α∈R, tal que α=sup(A) Axioma de l’´ınfim per a R Tot conjunt ∅ 6=A⊂Rfitat inferiorment t´e ´ınfim, ´es a dir, existeix β∈R, tal que β=´ınf(A) Exemple. Sigui A= [−2,1] ∪(3,7) ⊂R. Trobeu el conjunt de cotes superiors i inferiors, aix´ı com el suprem, ´ınfim, m`axim i m´ınim, en cas d’existir. [ ] ( ) -2 1 3 7 A CS CI CS={x∈R:x≥7} CI={x∈R:x≤ −2}∅ 6=A⊂Rfitat sup(A)=7 /∈A=⇒6 ∃ m`ax(A) ´ınf(A)=-2 ∈A=⇒m´ın(A)=-2 EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 5/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Operacions Argument Pas entre formes Arrels Complexos C Forma bin`omica z=a+bi on a,b∈Rii=√−1´es la unitat imagin`aria. ∀k∈N,         i4k= 1 i4k+1 =i i4k+2 =−1 i4k+3 =−i m= 4k+r=⇒im=ir. Exemple:i2021 =i4·505+1 = (i4)505 ·i= 1505 ·i=i Donat z=a+bi, El conjugat de z´es: z=a−bi Observa que z∈R⇐⇒ z=z EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 6/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Operacions Argument Pas entre formes Arrels Complexos C Representaci´o: cada z∈C, es pot representar com a un punt en el pla complex: z=a+bi Part real: Re(z) = a Part imagin`aria: Im(z) = b a=|z|cos θ b=|z|sin θ q |z| z=a+bi a b eixreal eiximaginari |z|=√a2+b2m`odul tan θ=b a L’argument principal de z´es l’´unic θ,∈(−π, π]tal que: a=|z|cos θ, b =|z|sin θ L’argument ´es arg(z)=qualsevol dels elements del conjunt {θ+ 2kπ, ∀k∈Z} EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 7/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Operacions Argument Pas entre formes Arrels Complexos C Formes d’expressi´o. z=a+b i | {z } =|z|cos θ+|z|sin θi | {z } =|z|(cos θ+ sin θi) = |z|eθi |{z} =|z|θ |{z} bin`omica trigonom`etrica exponencial polar La forma exponencial prov´e de la f´ormula de Euler. F´ormula de Euler. eθi = cos θ+isin θ∀θ∈R Com a conseq¨u`encia, F´ormula de Moivre. (cos θ+isin θ)k= cos(kθ) + isin(kθ)k∈Z Prenent z= cos θ+ sin θi =eθi =⇒zk=ekθi = cos(kθ) + isin(kθ) EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 8/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Operacions Argument Pas entre formes Arrels Complexos. Operacions Bin`omica z=a+bi Exponencial z=|z|eθi z1=a1+b1i z2=a2+b2i z1=|z1|eθ1iz2=|z2|eθ2i z1+z2a1+a2+ (b1+b2)i– z1·z2a1a2−b1b2+ (a1b2+b1a2)i|z1||z2|e(θ1+θ2)i z1 z2 z1z2 z2z2 on z2=a2−b2i|z1| |z2|e(θ1−θ2)i z2z2=a2 2+b2 2=|z2|2 zn(a+bi)n|z|nenθi n √z–{n p|z|e θ+2kπ ni k= 0,1,···, n −1} EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 9/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Operacions Argument Pas entre formes Arrels Pas de bin`omica a exponencial o polar Pas de bin`omica a exponencial o polar M`odul: |z|=√a2+b2 Argument θ:tan θ=b a Exemple 2. z=−1−√3i=⇒ |z|=q(−1)2+ (−√3)2= 2 a=−1<0, b =−√3<0 =⇒θ∈Q3 tan α=|−√3| |−1|=⇒α=π/3, p + p/3 p/3 -2p/3 z=-1-3i                                        =⇒θ=π+π 3                                                  =⇒z= 2 4π 3≡2ei4π 3 Expressat amb l’argument principal θ∈(−π, π],z= 2 4π 3−2π=2−2π 3≡2e−i2π 3. EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 16/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Operacions Argument Pas entre formes Arrels Pas de bin`omica a exponencial o polar Pas de bin`omica a exponencial o polar M`odul: |z|=√a2+b2 Argument θ:tan θ=b a Exemple 3. z=√3−i=⇒ |z|=q(√3)2+ (−1)2= 2 a=√3>0, b =−1<0 =⇒θ∈Q4 tan α=|−1| |√3|=⇒α=π/6, -p/ p/6 6 11p/6z=3-i                                =⇒θ= 2π−π 6                                            =⇒z= 2 11π 6≡2ei11π 6 Expressat amb l’argument principal θ∈(−π, π],z= 2 11π 6−2π=2−π 6≡2e−iπ 6 EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 17/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Operacions Argument Pas entre formes Arrels Pas d’exponencial o polar a bin`omica Pas d’exponencial o polar a bin`omica a=|z|cos θ, b =|z|sin θ p - p/3= p/3 2p/3 Exemple 1. z=2e2π 3i= 2 cos( 2π 3) + 2 sin(2π 3)i= =−2 cos( π 3) + 2 sin(π 3)i=−1 + √3i 4p/3 p/3 p+p/3= Exemple 2. z=2e4π 3i= 2 cos( 4π 3) + 2 sin(4π 3)i= =−2 cos( π 3)−2 sin( π 3)i=−1−√3i EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 18/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Operacions Argument Pas entre formes Arrels Pas d’exponencial o polar a bin`omica Pas d’exponencial o polar a bin`omica a=|z|cos θ, b =|z|sin θ -p/3 p/3 Exemple 3. z=2−π 3 = 2 cos( −π 3) + 2 sin(−π 3)i= = 2 cos( π 3)−2 sin( π 3)i=1−√3i -p/ p/6 6 11p/6 Exemple 4. z=211π 6 = 2 cos( 11π 6) + 2 sin(11π 6)i= = 2 cos( π 6)−2 sin( π 6)i=√3−i EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 19/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Operacions Argument Pas entre formes Arrels Pas d’exponencial o polar a bin`omica Pas d’exponencial o polar a bin`omica a=|z|cos θ, b =|z|sin θ Si l’angle ´es m´es gran que 2πaleshores el redu¨ım a la primera volta. Exemple. z=e59 π 6i=e8πie11 6πi =e11 6πi =e(11 6π−2π)i=e−π 6i= ⇑ 59π 6=59 6·22π=12 ·4 + 11 12 2π=  12 ·4   12 2π+11 122π= 8π+11 6π = cos( −π 6) + sin( −π 6)i= cos( π 6)−sin( π 6)i=√3 2−1 2i EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 20/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Operacions Argument Pas entre formes Arrels Arrels Arrels n √z=n p|z|eθi ={n p|z|e θ+2kπ ni, k = 0,···, n −1}= ={n p|z|e(θ n+2kπ n)i, k = 0,···, n −1} Observa que: *Tot nombre complex t´e narrels n-`esimes *La difer`encia d’angles entre dues arrels consecutives ´es de 2π n Arrels quadrades n= 2 Exemple. q−1−√3i=q2e−2π 3i= ={√2e(− 2π 3 2 + 2kπ  2 )i, k = 0,1}= ={√2e −π 3i,√2e(−π 3+π)i} -p/3 2p/3 +p *En forma bin`omica, les dues arrels quadrades d’un complex, {z1, z2}s´on complexos oposats z2=−z1. EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 21/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Operacions Argument Pas entre formes Arrels Arrels Arrels n √z=n p|z|eθi ={n p|z|e θ+2kπ ni, k = 0,···, n −1}= ={n p|z|e(θ n+2kπ n)i, k = 0,···, n −1} Arrels c´ubiques n= 3 Exemple. 3 √27 = 3 √27e0i= ={3 √27 e(0 3+2kπ 3)i, k = 0,1,2}= ={3e0i,3e2π 3i,3e4π 3i} 0 2p/3 4p/3 +2p/3 EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 22/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Teorema fonamental de l’` Algebra Descomposici´o de polinomis z0∈C´es arrel del polinomi p(x)⇔p(z0)=0⇔p(x)´es divisible pel factor x−z0 La multiplicitat de z0com arrel de p(x)´es igual al nombre de vegades que el polinomi ´es divisible pel factor x−z0 Un polinomi m`onic∗de R[x]es diu irreductible (no pot descompondre’s en m´es factors polin´omics) si : O b´e ´es de la forma x−a. O b´e del tipus x2+mx +nsense arrels reals i, en aquest cas, es pot escriure com (x−a)2+b2on a±bi s´on les arrels a C. * Un polinomi ´es m`onic si el coeficient de la pot`encia m`axima ´es 1. EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 23/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Teorema fonamental de l’` Algebra Teorema fonamental de l’` Algebra Teorema fonamental de l’` Algebra Tot polinomi p(x)∈C[x]de grau nt´e narrels complexes comptades amb la seva multiplicitat. ´ Es a dir, si p(x) = anxn+an−1xn−1+···+a1x+a0=an(x−z1)···(x−zn) z1,···,zns´on les narrels complexes de p(x) EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 24/28 Outline Conjunts num`erics. Els nombres reals Conjunts num`erics. Els complexos Descomposici´o de polinomis Teorema fonamental de l’` Algebra Teorema fonamental de l’` Algebra Cas particular Si els coeficients a0, a1,···, an∈Rdirem que p∈R[x]. En aquest cas, si z´es arrel complexa de pllavors ¯z´es tamb´e arrel amb la mateixa multiplicitat: p(z)=0⇔p(¯z)=0 Conseq¨u`encia: Si pt´e coeficients reals i ´es de grau senar t´e almenys una arrel real. Exemples. x2−ix + 2 = (x−2i)(x+i) x3−1=(x−1)(x+1 2−√3 2i)(x+1 2+√3 2i) EEBE Dept. MAT; M. Claverol C` ALCUL Conjunts Num`erics 25/28