Guia docent 2005-2006. Llicenciatura en Matemàtiques. Facultat de Matemàtiques i Estadística (FME)

Guia docent 05/06 Facultat de Matemàtiques i Estadística Llicenciatura de Matemàtiques Curs C.F. Gauss 1 Guia docent Facultat de Matemàtiques i Estadística Llicenciatura de Matemàtiques Curs C. F. Gauss 2 ÍNDEX 1. La Facultat de Matemàtiques i Estadística de la Universitat Politècnica de Catalunya ..................5 La Universitat Politècnica de Catalunya........................................................................................................6 La Facultat de Matemàtiques i Estadística...................................................................................................7 Calendari Acadèmic del curs 2005-06............................................................................................16 2. La Llicenciatura de Matemàtiques .........................................................................................................18 Presentació..................................................................................................................................................19 Pla d'estudis.................................................................................................................................................20 Departaments amb docència a l'FME........................................................................................................27 Directori del professorat..............................................................................................................................30 3. Horaris i dates d'exàmens........................................................................................................................32 Horaris de la llicenciatura de Matemàtiques..............................................................................................33 Dates d’exàmens ........................................................................................................................................45 4. Programes de les assignatures troncals o obligatòries......................................................................53 1r curs - 1r quadrimestre...........................................................................................................................54 1r curs - 2n quadrimestre............................................................................................................................66 2n curs - 1r quadrimestre............................................................................................................................83 2n curs - 2n quadrimestre......................................................................................................................... 101 3r curs - 1r quadrimestre......................................................................................................................... 119 3r curs - 2n quadrimestre.........................................................................................................................132 4t curs - 1r quadrimestre.........................................................................................................................149 4t curs - 2n quadrimestre..........................................................................................................................157 5. Programes de les assignatures optatives...........................................................................................165 1r quadrimestre.........................................................................................................................................166 2n quadrimestre.........................................................................................................................................223 6. Programes de les assignatures específiques de lliure elecció de l’FME.......................................283 1r quadrimestre.........................................................................................................................................284 2n quadrimestre.........................................................................................................................................298 7. Programa de l'assignatura específica de la doble titulació: Enginyeria de Telecomunicacions + Llicenciatura en Matemàtiques.............................................................................................................307 8. Reglament del Projecte Tecnològic..........................................................................................312 9. El programa d'intercanvi Erasmus-Socrates i Séneca a l’FME.............................................321 10. Dobles titulacions ......................................................................................................................324 11. Accés directe a la Llicenciatura en Ciències i Tècniques Estadístiques de la UPC............327 12. Complements de formació per a l'accés directe a segon cicle de la Llicenciatura de Matemàtiques de la UPC............................................................................................................331 3 SUMARI PER ASSIGNATURES Assignatures del Pla d'Estudis Codi ASSIGNATURA Pàgina 10022 ÀLGEBRA ABSTRACTA 150 11876 ÀLGEBRA COMPUTACIONAL 224 10004 ÀLGEBRA LINEAL 55 11875 ALGORÍSMICA 167 11865 AMPLIACIÓ D'ANÀLISI 228 11284 AMPLIACIÓ DE GEOMETRIA 232 12804 AMPLIACIÓ DE MODELS MATEMÀTICS DE LA FÍSICA 170 10023 ANÀLISI COMPLEXA 153 12811 ANÀLISI DE SÈRIES TEMPORALS I PREVISIÓ 236 10026 ANÀLISI FUNCIONAL 158 11877 ANÀLISI NUMÈRICA 174 10017 ANÀLISI REAL 102 11878 ASTRODINÀMICA I MECÀNICA CELEST 240 10002 CÀLCUL 1 58 10007 CÀLCUL 2 67 10012 CÀLCUL 3 84 11866 CALCULABILITAT 244 11867 COMBINATÒRIA 178 10003 COMPUTACIÓ ALGEBRAICA 71 11868 CRIPTOGRAFIA 248 11869 DIDÀCTICA DE LA MATEMÀTICA 183 12814 EL MÈTODE DELS ELEMENTS FINITS 188 10013 EQUACIONS DIFERENCIALS 1 120 10020 EQUACIONS DIFERENCIALS 2 133 10001 FÍSICA GENERAL 74 10008 GEOMETRIA 89 10018 GEOMETRIA DIFERENCIAL 1 124 10025 GEOMETRIA DIFERENCIAL 2 136 11870 GEOMETRIA DISCRETA I COMPUTACIONAL 192 12802 HISTÒRIA DE LA MATEMÀTICA 251 10019 INFERÈNCIA ESTADÍSTICA 106 10005 INFORMÀTICA 1 62 10009 INFORMÀTICA 2 79 10016 INVESTIGACIÓ OPERATIVA 110 11286 LÒGICA I FONAMENTACIÓ 196 12815 MECÀNICA COMPUTACIONAL 200 10006 MÈTODES NUMÈRICS 1 93 10011 MÈTODES NUMÈRICS 2 128 10021 MÈTODES NUMÈRICS 3 140 11871 MÈTODES NUMÈRICS EN ENGINYERIA 255 11287 MODEL LINEAL GENERAL 203 10024 MODELS MATEMÀTICS DE LA FÍSICA 145 11879 OPTIMITZACIÓ CONTÍNUA 1 259 12807 PARAL·LELITZACIÓ D’ALGORISMES 263 10015 PROBABILITAT I ESTADÍSTICA 97 11861 PROGRAMACIÓ MATEMÀTICA 208 11873 SIMULACIÓ 267 11864 TEORIA DE CODIS 212 11863 TEORIA DE GRAFS 271 11874 TEORIA DE NOMBRES 217 11862 TEORIA DE SISTEMES LINEALS 220 17503 TEORIA MATEMÀTICA DELS MERCATS FINANCERS 275 11285 TEORIA QUALITATIVA D'EQUACIONS DIFERENCIALS ORDINÀRIES 278 10014 TOPOLOGIA 115 10027 TOPOLOGIA ALGEBRAICA 161 4 Assignatures específiques de lliure elecció Codi Nom Pàgina 50905 GO TARDOR 285 50905 GO PRIMAVERA 303 50003 HISTÒRIA DE LA CIÈNCIA 287 51274 INTRODUCCIÓ AL MÓN DEL TREBALL 305 51443 FILOSOFIA I FONAMENTS DE LES MATEMÀTIQUES 299 51444 MÚSICA I MATEMÀTIQUES 290 50966 TALLER DE CÀLCUL SIMBÒLIC 292 50004 TALLER DE GEOMETRIA 294 Assignatura específica de la doble titulació (Llicenciatura de Matemàtiques + Enginyeria de Telecomunicació) Codi Nom Pàgina 17515 INTRODUCCIÓ A LES MATEMÀTIQUES DE L'ENGINYERIA 309 5 1. LA FACULTAT DE MATEMÀTIQUES I ESTADÍSTICA DE LA UPC Facultat de Matemàtiques i Estadística 6 LA UNIVERSITAT POLITÈCNICA DE CATALUNYA La Universitat Politècnica de Catalunya és una universitat tecnològica tradicionalment molt arrelada en els diversos àmbits de l'activitat productiva tecnològica i industrial de la nostra societat, i gaudeix d'un gran prestigi dins i fora de les nostres fronteres. La Universitat Politècnica de Catalunya ofereix diversos estudis d'Enginyeria (Camins, Canals i Ports; Industrial; Informàtica; Telecomunicació), Aeronàutica, Arquitectura i Nàutica, diverses enginyeries tècniques i diplomatures i un nombre important d'estudis de postgrau, de tercer cicle i de màsters. A més de l'activitat docent, a la Universitat Politècnica de Catalunya es realitza també una tasca molt important en el camp de la recerca i del desenvolupament tecnològic, per mitjà dels seus departaments i instituts universitaris. El nucli principal de les instal·lacions de la Universitat Politècnica de Catalunya a Barcelona està situat a la zona universitària de l'Avinguda Diagonal, actualment dividit entre l'anomenat "campus nord" (al sector nord de la Diagonal) i el "campus sud" (al sud de la Diagonal, entre els carrers de Gregorio Marañón i de Pascual i Vila). És al campus sud on està ubicada la Facultat de Matemàtiques i Estadística, en la qual es cursen els estudis de la Llicenciatura de Matemàtiques, els de la Diplomatura d'Estadística, i els de la Llicenciatura en Ciències i Tècniques Estadístiques. Aquesta és una zona fàcilment accessible amb transport públic i en la qual els estudiants tenen a la seva disposició un gran nombre de serveis (biblioteques, laboratoris de càlcul, llibreries, cafeteries i menjadors, instal·lacions esportives, activitats culturals i de lleure, etc.). 7 LA FACULTAT DE MATEMÀTIQUES I ESTADÍSTICA La Facultat de Matemàtiques i Estadística va iniciar les seves activitats el curs 1992-93 impartint per primer cop el primer curs dels estudis de la Llicenciatura de Matemàtiques, i incorporant també els estudis de la Diplomatura d'Estadística, que s'havien començat a impartir en aquesta Universitat el curs 1990-91 a la Facultat d'Informàtica de Barcelona, des del curs 2004-05 la diplomatura d’estadística de l'FME forma part de la Pla Pilot d’Adaptació a l’Espai Europeu de Formació Superior (EEES) del Departament d’Universitats, Recerca i Societat de la Informació de la Generalitat de Catalunya. A més a més, des del curs 1999-00, la Facultat de Matemàtiques i Estadística imparteix la Llicenciatura en Ciències i Tècniques Estadístiques (estudi de 2n cicle) i coordinadament amb el Centre de Formació Superior Interdisciplinària s'ofereix, la possibilitat de cursar dobles titulacions. D'altra banda, l’FME també gestiona, per delegació dels departaments implicats, el programa de doctorat de Matemàtica Aplicada de la UPC, el qual té menció de qualitat, i organitza un programa de postgrau de Matemàtica aplicada sobre Tècniques Quantitatives per als Mercats Financers. Facultat de Matemàtiques i Estadística Edifici U C. Pau Gargallo, 5 08028 Barcelona Tel. 93 401 72 98 Fax. 93 401 58 81 www-fme.upc.edu [email protected] 8 L'Equip de Govern L'equip de govern de l'FME està constituït en aquest moment pels professors següents: Sebastià Xambó Descamps Degà Miquel Noguera Batlle Vicedegà Cap d'Estudis de Matemàtiques Responsable Acadèmic dels serveis TIC de l'FME F. Javier Heredia Cervera Vicedegà Cap d'Estudis d'Estadística Jaume Franch Bullich Vicedegà de Planificació Responsable Acadèmic de la Biblioteca Eduard Recasens Gallart Secretari Acadèmic Margarida Mitjana Riera Vicedegana de Relacions Responsable Acadèmica del Programa d’Intercanvi d’Estudiants Responsable Acadèmica de les Relacions amb les Empreses i els estudiants Altres professors que col·laboren en la organització de la Facultat són: M. Teresa Martínez-Seara Alonso Coordinadora del programa de doctorat de "Matemàtica Aplicada" Josep Masdemont Soler Director del programa de postgrau "Tècniques quantitatives per als mercats financers" Oriol Serra Albó Director de l'Oficina de Suport a la Recerca Matemàtica La Cap de Serveis de Gestió i de Suport de l'FME és Roser Piera Sabaté. 15 PLANTA SOTERRANI Entrada c/ Llorens Artigas AULA S03 AULA S04 AULA S05 AULA S02 AULA S01 ASCENSOR SALA D'ACTES WC JARDÍ DELEGACIÓ ESTUDIANTS SALA POLIVALENT RESTAURACIÓ 16 CALENDARI ACADÈMIC DE L’FME 2005-2006 Calendari acadèmic de la FME per al curs 1999-00 SETEMBRE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 OCTUBRE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 NOVEMBRE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 DESEMBRE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 GENER 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 FEBRER 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 MARÇ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 ABRIL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 MAIG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 JUNY 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 JULIOL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 17 1. Períodes i dies no lectius entre l'1 de setembre de 2005 i el 31 de juliol de 2006 23 de setembre de 2005 (festa local de l’ajuntament de Barcelona) 12 d’octubre de 2005 (Festa de la Hispanitat) 31 d’octubre i 1 de novembre de 2005 (Pont de Tot Sants) 16 de novembre de 2005 (Festa de l’FME) 3-11 de desembre de 2005 (Setmana de la Constitució i la Immaculada) del 24 de desembre de 2005 al 8 de gener de 2006 (vacances de Nadal) del 8 d’abril al 17 d’abril de 2006 (Setmana Santa) 1 de maig del 2006 (festa del treball) 5 de juny del 2006 (segona Pasqua) 2. Calendari lectiu general (excepte per a les assignatures específiques de lliure elecció) Ÿ Primer quadrimestre: del 7 de setembre al 23 de desembre de 2005 Ÿ Període d’exàmens parcials del primer quadrimestre: del 24 d’octubre al 10 de novembre de 2005 Ÿ Període d’exàmens finals del primer quadrimestre: del 9 al 26 de gener de 2006 Ÿ Avaluacions del primer quadrimestre: 31 de gener i 1 de febrer de 2006 Ÿ Matrícula segon quadrimestre: 2 i 3 de febrer de 2006 Ÿ Segon quadrimestre: del 6 de febrer al 19 de maig de 2006 Ÿ Període d’exàmens parcials del segon quadrimestre: del 27 de març al 5 d’abril de 2006 Ÿ Període d’exàmens finals del segon quadrimestre: del 23 de maig al 15 de juny de 2006 Ÿ Avaluacions del segon quadrimestre: 19 i 20 de juny de 2006 Ÿ Període d’exàmens extraordinaris: del 29 de juny al 7 de juliol de 2006 Ÿ Avaluacions extraordinàries: 18 i 19 de juliol de 2006 Ÿ Matrícula primer quadrimestre curs 2005-2006: 21 i 24 de juliol de 2006 3. Calendari d'impartició i avaluació de les assignatures específiques de lliure elecció Ÿ 13 de setembre - 9 de desembre de 2005 Ÿ 20 de febrer-19 de maig de 2006 4. Actes significatius • Acte d’acollida per als nous estudiants: dimecres 7 de setembre de 2005 • Conferència inaugural: dimecres 14 de setembre de 2005 • Jornada Gauss: dimecres 8 de febrer de 2006 • Fòrum de l’FME: dimecres 26 d’abril de 2006 • Setmana de la Ciència: del 4 al 15 de novembre de 2006 18 2. LA LLICENCIATURA DE MATEMÀTIQUES 19 PRESENTACIÓ La matemàtica sempre ha estat una ciència, però fins fa ben poc, no era una professió. En tot cas hi havia una única professió, la de professor de matemàtiques, que era exercida majoritàriament per matemàtics. Avui dia tots els estudis de ciències han sofert transformacions considerables, a causa de la importància creixent de la ciència en els processos altament tecnificats de producció i de serveis. Per això, els estudis de matemàtiques també s'han de veure afectats per aquests canvis. La Universitat Politècnica de Catalunya va decidir d'incloure a partir de 1992 entre els estudis que ofereix els de la Llicenciatura de Matemàtiques. La intenció de la Universitat Politècnica de Catalunya és la de formar matemàtics amb mentalitat aplicada, propers als problemes suggerits per la tecnologia, capaços d'integrar-se en equips interdisciplinaris de recerca en temes d'enginyeria i d'incorporar-se professionalment a empreses, indústries, administracions públiques o departaments universitaris amb necessitats en aquest camp. La Llicenciatura de Matemàtiques que avui ofereix la UPC, sense perdre el caire bàsic de reflexió conceptual que caracteritza les carreres de ciències, vol doncs posar l'accent en els temes més propers a les aplicacions i en la vinculació estreta als objectius i a les característiques d'una universitat tecnològica. De les característiques d'aquests estudis convé destacar les següents: 1. El títol ofert és el títol universitari de Llicenciat/da en Matemàtiques, de caràcter oficial i regulat pel R.D. 1.416/1990 de 26 d'octubre (BOE de 20 de novembre) i, per tant, és equivalent oficialment a les altres llicenciatures de matemàtiques de l'Estat Espanyol. 2. En l'ordenació de les matèries, tant de les troncals del pla d'estudis (necessàries per a l'homologació) com de les obligatòries (posades per la mateixa UPC), es posa l'accent en els temes de més tradició en les aplicacions de les matemàtiques, però sense oblidar una formació sòlida en les qüestions bàsiques fonamentals. 3. En el quadre d'assignatures optatives del pla d'estudis, que necessàriament pot estar afectat tant pels interessos dels estudiants com per les possibilitats de la UPC, es segueix el criteri d'oferir principalment aquelles línies temàtiques en les quals la UPC és capaç de presentar una oferta de contingut més aplicable, més original i de més qualitat. Concretament, s'ofereixen assignatures optatives en els blocs temàtics d'Àlgebra Aplicada, Estadística, Informàtica Teòrica, Investigació Operativa, Matemàtica Discreta, Mecànica, Mètodes Numèrics i Teoria de Sistemes. 20 PLA D'ESTUDIS Característiques generals Aquests estudis corresponen al títol oficial de Llicenciat/ada en Matemàtiques establert pel RD 1.416/1990, de 26 d'octubre. El Pla d'Estudis, aprovat per la Junta de Govern de la Universitat Politècnica de Catalunya i homologat pel Consell de Universitats, està publicat en el BOE del 20 de maig de 1993. Els estudis s'organitzen en dos cicles de dos anys i mig. El primer any, d'acord amb la normativa de la UPC, constitueix una fase de selecció que serà avaluada globalment. Igualment es preveu la possibilitat de l'accés a segon cicle per a titulats que satisfacin certs requisits. Totes les assignatures són de 7,5 crèdits, entre teòrics i pràctics (equivalents a 75 hores, és a dir, de 5 hores per setmana). Aquesta càrrega lectiva permet no superar en cap moment les 20 hores d'activitat docent per setmana, que poden agrupar-se en blocs diaris de només mitja jornada. Això permet a l'estudiant organitzar de forma còmoda les seves hores de treball individual. Per a un estudiant normal, no hauria de caldre que aquestes hores superessin un total de 20 per setmana. La càrrega docent total de la llicenciatura és de 300 crèdits, entre teòrics i pràctics, equivalents a una docència de 3.000 hores. Els crèdits pràctics corresponen a classes de problemes, classes pràctiques al Laboratori de Càlcul, participació en seminaris o realització de treballs. Les assignatures tenen una estructura quadrimestral, que permet agrupar-les en dos períodes lectius a l'any, de 15 setmanes cadascun. 21 PLA D'ESTUDIS DE LA LLICENCIATURA DE MATEMÀTIQUES DE LA UPC 1r CURS - FASE SELECTIVA INFORMÀTICA 1 CÀLCUL 1 ÀLGEBRA LINEAL LLIURE ELECCIÓ INFORMÀTICA 2 CÀLCUL 2 COMPUTACIÓ ALGEBRAICA FÍSICA GENERAL 2n CURS MÈTODES NUMÈRICS 1 CÀLCUL 3 GEOMETRIA PROBABILITAT I ESTADÍSTICA INVESTIGACIÓ OPERATIVA ANÀLISI REAL TOPOLOGIA INFERÈNCIA ESTADÍSTICA 3r CURS MÈTODES NUMÈRICS 2 EQUACIONS DIFERENCIALS 1 GEOMETRIA DIFERENCIAL 1 LLIURE ELECCIÓ MÈTODES NUMÈRICS 3 EQUACIONS DIFERENCIALS 2 GEOMETRIA DIFERENCIAL 2 MODELS MATEMÀTICS DE LA FÍSICA 4t CURS OPTATIVA 1 ANÀLISI COMPLEXA ÀLGEBRA ABSTRACTA OPTATIVA 2 OPTATIVA 3 ANÀLISI FUNCIONAL TOPOLOGIA ALGEBRAICA OPTATIVA 4 5è CURS OPTATIVA 5 OPTATIVA 6 OPTATIVA 7 LLIURE ELECCIÓ OPTATIVA 8 OPTATIVA 9 OPTATIVA 10 LLIURE ELECCIÓ 22 Assignatures optatives L'estudiant ha de triar deu assignatures optatives, totes al segon cicle i totes de 7,5 crèdits. Les assignatures optatives estan agrupades en vuit blocs temàtics, més un bloc d'ampliacions i assignatures complementàries. Els vuit blocs temàtics representen especialitats científiques que es cultiven a la UPC amb prou intensitat i que tenen rellevància reconeguda. Les assignatures d'ampliació tenen com a objectiu completar temes que puguin haver estat tractats en les assignatures troncals o en les obligatòries però que mereixin més atenció, i les assignatures complementàries tenen el mateix objectiu però referent a temes que no hagin estat presents entre les troncals o les obligatòries. Bloc d'Àlgebra Aplicada (B1): Àlgebra Computacional, Criptografia, Teoria de Codis, Teoria de Nombres, etc. Bloc d'Estadística (B2): Anàlisi de Sèries Temporals i Previsió, Estadística Multidimensional, Inferència Estadística i Anàlisi Bayesiana, Model Lineal General, etc. Bloc d'Informàtica Teòrica (B3): Calculabilitat, Teoria de la Computació, Algorísmica, Teoria de la Programació, etc. Bloc d'Investigació Operativa (B4): Optimització Combinatòria, Optimització Contínua 1, Optimització Contínua 2, Programació Matemàtica, Simulació, etc. Bloc de Matemàtica Discreta (B5): Aplicacions de la Matemàtica Discreta, Combinatòria, Geometria Discreta i Computacional, Teoria de Grafs, etc. Bloc de Mecànica (B6): Astrodinàmica i Mecànica Celest, Mecànica de Fluids, Mecànica Computacional, Mecànica Racional, etc. Bloc de Mètodes Numèrics (B7): Anàlisi Numèrica, El Mètode dels Elements Finits, Mètodes Integrals per a Equacions en Derivades Parcials, Mètodes Numèrics en Enginyeria, Paral·lelització d'Algorismes, etc. Bloc de Teoria de Sistemes (B8): Control de Sistemes en Enginyeria, Mètodes Geomètrics en Teoria de Sistemes, Teoria de Sistemes Lineals, Teoria Qualitativa d'Equacions Diferencials Ordinàries, etc. Bloc d'Ampliacions i Complements (B9): Ampliació d'Anàlisi, Ampliació de Geometria, Ampliació de Models Matemàtics de la Física, Didàctica de la Matemàtica, Història de la Matemàtica, Lògica i Fonamentació, Teoria Matemàtica dels Mercats Financers, etc. 23 Per a l'elecció de les assignatures optatives, l'estudiant té la restricció que no pot comptabilitzar més de 30 crèdits en cada bloc temàtic o 45 en el bloc d'ampliacions i assignatures complementàries. Les assignatures optatives destinen sempre un mínim de 1,5 crèdits pràctics a la realització de treballs pràctics fora de l'activitat docent reglada. Anualment i d'acord amb les possibilitats de la UPC, l’FME anuncia quines són les assignatures que efectivament s'impartiran el curs següent. En la llista següent, en la qual les assignatures estan ordenades per quadrimestres, consten en negreta les assignatures que s'impartiran en el present curs. 1r QUADRIMESTRE B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 Algorísmica Ampliació de Models Matemàtics de la Física Anàlisi Numèrica Combinatòria Didàctica de la Matemàtica El Mètode dels Elements Finits Geometria Discreta i Computacional Inferència Estadística i Anàlisi Bayesiana Lògica i Fonamentació Mecànica Computacional Mecànica Racional Mètodes Geomètrics de la Teoria de Sistemes Mètodes Integrals per a Equacions en Derivades Parcials Model Lineal General (1) Optimització Contínua 2 (1) Programació Matemàtica (1) Teoria de Codis Teoria de la Computació Teoria de Nombres Teoria de Sistemes Lineals (2) (1) Assignatures que es comparteixen amb la Llicenciatura en Ciències i Tècniques Estadístiques de l’FME. (2) Assignatures que es comparteixen amb els estudis d’Enginyeria Industrial de l’ETSEIB. 24 2n QUADRIMESTRE B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 Àlgebra Computacional Ampliació d’Anàlisi Ampliació de Geometria Anàlisi de Sèries Temporals i Previsió (1) Aplicacions de la Matemàtica Discreta Astrodinàmica i Mecànica Celest Calculabilitat Control de Sistemes en Enginyeria Criptografia Estadística Multidimensional Història de la Matemàtica Mecànica de Fluids Mètodes Numèrics en Enginyeria Optimització Combinatòria Optimització Contínua 1 (1) Paral·lelització d'Algorismes Simulació (1) Teoria de Grafs Teoria de la Programació Teoria Matemàtica dels Mercats Financers (1) Teoria Qualitativa d'Equacions Diferencials Ordinàries (1) Assignatures que es comparteixen amb la Llicenciatura en Ciències i Tècniques Estadístiques de l’FME 31 Joan Carles LARIO LOYO MA2 Anna LLADÓ SÁNCHEZ Ó MA4 J. Tomàs LÁZARO OCHOA MA1 José V. MANDE NIETO MA1 Manel MARTÍ RECOBER EIO Pablo MARTIN DE LA TORRE MA4 Maria Teresa MARTÍNEZ-SEARA ALONSO MA1 Josep Joaquim MASDEMONT SOLER MA1 Margarida MITJANA RIERA MA1 Amadeo MONREAL PUJADAS EA Lídia MONTERO MERCADÉ EIO Antonio MONTES LOZANO MA2 Juan José MORALES RUIZ MA2 Maria Pilar MUÑOZ GRACIA EIO Miguel Carlos MUÑOZ LECANDA MA4 Narcís NABONA FRANCISCO EIO Miquel NOGUERA BATLLE MA2 Ramon NONELL TORRENT EIO Mercè OLLÉ TORNER MA1 Carles PADRÓ LAIMON MA4 Pere PASCUAL GAINZA MA1 Xavier PÉREZ GIMÉNEZ LSI Josep Maria PERIS LLAGOSTERA MA2 Jordi PETIT SILVESTRE LSI Bernat PLANS BERENGUER MA1 Francesc PLANAS VILANOVA MA1 Montserrat PONS VALLÈS MA3 Francesc PRATS DUAYGÜES MA2 Francesc X. PUERTA COLL MA1 Jordi QUER BOSOR MA2 Eduard RECASENS GALLART MA3 Anna RIO DOVAL MA2 Antoni ROCA ROSELL MA1 Antonio RODRIGUEZ FERRAN MA3 Narciso ROMAN ROY MA4 Salvador ROURA FERRET LSI Natàlia SADOVSKAIA NURIMANOVA MA2 Esther SALA LARDIES MA3 Pablo SÁNCHEZ CASAS MA1 Josep Anton SÁNCHEZ ESPIGARES EIO Josep SARRATE RAMOS MA3 Maria José SERNA IGLESIAS LSI Oriol SERRA ALBÓ MA4 Joaquim TRULLAS SIMÓ FEN Marta VALÈNCIA GUITART MA1 Montse VELA DEL OLMO MA2 Jordi VILLANUEVA CASTELLTORT MA1 Sebastià XAMBÓ DESCAMPS MA2 Tots els professors, a més del seu despatx personal en les dependències del seu departament, tenen una sala a l'edifici de l’FME per atendre consultes dels estudiants dins d'un horari que s'estableix a principi de cada quadrimestre Si desitgeu contactar amb ells podeu consultar el directori que hi ha a la web de la UPC. 32 3. HORARIS I DATES D’EXÀMENS 33 LLICENCIATURA DE MATEMÀTIQUES HORARIS DE CLASSE 2005-2006 1r Curs – 1r Quadrimestre Horaris Dilluns Dimarts Dimecres Dijous Divendres 9.00 –10.00 CÀLCUL 1 INFORMÀTICA 1 CÀLCUL 1 INFORMÀTICA 1 CÀLCUL 1 10.00 –11.00 ÀLGEBRA LINEAL Càlcul 1 (a) Àlgebra Lineal (b) ÀLGEBRA LINEAL Càlcul 1 (a) Àlgebra Lineal (b) ÀLGEBRA LINEAL 11.00 –12.00 Informàtica 1 (a) (b) Àlgebra Lineal (a) Càlcul 1 (b) Àlgebra Lineal (a) Càlcul 1 (b) 12.00 –13.00 Ale1 (a) Ale1 (b) 13.00 –14.00 Informàtica 1 (a) Informàtica 1 (b) ALE 1 FRANJA CULTURAL ALE 1 Les hores amb els noms de les assignatures en majúscula corresponen a classes de teoria i en minúscula a classes de problemes i/o pràctiques. 34 2n Curs – 1r Quadrimestre Horaris Dilluns Dimarts Dimecres Dijous Divendres 8.00 –9.00 INTRODUCCIÓ A LES MATEMÀTIQUES DE L’ENGINYERIA (1) INTRODUCCIÓ A LES MATEMÀTIQUES DE L’ENGINYERIA (1) INTRODUCCIÓ A LES MATEMÀTIQUES DE L’ENGINYERIA (1) INTRODUCCIÓ A LES MATEMÀTIQUES DE L’ENGINYERIA (1) INTRODUCCIÓ A LES MATEMÀTIQUES DE L’ENGINYERIA (1) 9.00 –10.00 GEOMETRIA Probabilitat i Estadística (a) Càlcul 3 (b) GEOMETRIA Probabilitat i Estadística (a) Càlcul 3 (b) GEOMETRIA 10.00 –11.00 CÀLCUL 3 Mètodes Numèrics 1 (a) Probabilitat i Estadística (b) CÀLCUL 3 Mètodes Numèrics 1 (a) Probabilitat i Estadística (b) CÀLCUL 3 Mètodes Numèrics 1 (a) Mètodes Numèrics 1 (a) 11.00 –12.00 Mètodes Numèrics 1 (b) PROBABILITAT I ESTADÍSTICA Mètodes Numèrics 1 (b) 12.00 –13.00 MÈTODES NUMÈRICS 1 Geometria (a) Mètodes Numèrics 1 (b) Geometria (a) Mètodes Numèrics 1 (b) MÈTODES NUMÈRICS 1 13.00 –14.00 PROBABILITAT I ESTADÍSTICA Càlcul 3 (a) Geometria (b) FRANJA CULTURAL Càlcul 3 (a) Geometria (b) PROBABILITAT I ESTADÍSTICA 14.00 –15.00 15.00 –16.00 16.00 –17.00 (1).Assignatura obligatòria pels estudiants de la doble titulació i de lliure elecció pels demés. Les hores amb els noms de les assignatures en majúscula corresponen a classes de teoria i en minúscula a classes de problemes i/o pràctiques. 35 3r Curs – 1r Quadrimestre Horaris Dilluns Dimarts Dimecres Dijous Divendres 9.00 –10.00 EQUACIONS DIFERENCIALS 1 MÈTODES NUMÈRICS 2 EQUACIONS DIFERENCIALS 1 MÈTODES NUMÈRICS 2 EQUACIONS DIFERENCIALS 1 10.00 –11.00 GEOMETRIA DIFERENCIAL 1 Mètodes Numèrics 2 (a) Equacions Diferencials 1 (b) GEOMETRIA DIFERENCIAL 1 Mètodes Numèrics 2 (a) Equacions Diferencials 1 (b) GEOMETRIA DIFERENCIAL 1 Mètodes Numèrics 2 (a) Mètodes Numèrics 2 (a) 11.00 –12.00 Mètodes Numèrics 2 (b) ALE 2 Mètodes Numèrics 2 (b) 12.00 –13.00 Geometria Diferencial 1 (a) Mètodes Numèrics 2 (b) Geometria Diferencial 1 (a) Mètodes Numèrics 2 (b) ALE 2 13.00 –14.00 ALE 2 Equacions Diferencials 1 (a) Geometria Diferencial 1 (b) FRANJA CULTURAL Equacions Diferencials 1 (a) Geometria Diferencial 1 (b) Les hores amb els noms de les assignatures en majúscula corresponen a classes de teoria i en minúscula a classes de problemes i/o pràctiques. 36 4t Curs obligatòries – 1r Quadrimestre Horaris Dilluns Dimarts Dimecres Dijous Divendres 8.00-9.00 ANÀLISI COMPLEXA Anàlisi Complexa (a) Àlgebra Abstracta (b) ANÀLISI COMPLEXA Anàlisi Complexa (a) Àlgebra Abstracta (b) ANÀLISI COMPLEXA 9.00 –10.00 ÀLGEBRA ABSTRACTA Àlgebra Abstracta (a) Anàlisi Complexa (b) ÀLGEBRA ABSTRACTA Àlgebra Abstracta (a) Anàlisi Complexa (b) ÀLGEBRA ABSTRACTA 10.00 –11.00 11.00 –12.00 12.00 –13.00 13.00 –14.00 FRANJA CULTURAL Les hores amb els noms de les assignatures en majúscula corresponen a classes de teoria i en minúscula a classes de problemes i/o pràctiques. 37 Optatives – 1r Quadrimestre Horaris Dilluns Dimarts Dimecres Dijous Divendres 8.00 –9.00 9.00 –10.00 COMBINATÒRIA ANÀLISI NUMÈRICA GEOMETRIA DISCRETA I COMPUTACIONAL COMBINATÒRIA ANÀLISI NUMÈRICA EL MÈTODE DELS ELEMENTS FINITS 10.00 –11.00 11.00 –12.00 TEORIA DE CODIS DIDÀCTICA DE LA MATEMÀTICA TEORIA DE NOMBRES ALGORÍSMICA TEORIA DE NOMBRES ALGORÍSMICA GEOMETRIA DISCRETA I COMPUTACIONAL EL MÈTODE DELS ELEMENTS FINITS TEORIA DE CODIS DIDÀCTICA DE LA MATEMÀTICA 12.00 –13.00 13.00 –14.00 LÒGICA MATEMÀTICA MECÀNICA COMPUTACIONAL AMPLIACIÓ DE MODELS MATEMÀTICS DE LA FÍSICA TEORIA DE SISTEMES LINEALS FRANJA CULTURAL LÒGICA MATEMÀTICA MECÀNICA COMPUTACIONAL AMPLIACIÓ DE MODELS MATEMÀTICS DE LA FÍSICA TEORIA DE SISTEMES LINEALS 14.00 –15.00 15.00 –16.00 MODEL LINEAL GENERAL (1) MODEL LINEAL GENERAL (1) 16.00 –17.00 Model Lineal General (a) (1) 17.00 – 18.00 PROGRAMACIÓ MATEMÀTICA (1) PROGRAMACIÓ MATEMATICA (1) 18.00 – 19.00 19.00 – 20.00 PROGRAMACIÓ MATEMÀTICA (1) Model Lineal General (b) (1) (1) Docència compartida amb la Llicenciatura en Ciències i Tècniques Estadístiques (2) Docència a l’Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Industrial de Barcelona 38 1r Curs – 2n Quadrimestre Horaris Dilluns Dimarts Dimecres Dijous Divendres 9.00 –10.00 FÍSICA GENERAL Computació Algebraica (a) Càlcul 2 (b) FÍSICA GENERAL Computació Algebraica (a) Càlcul 2 (b) FÍSICA GENERAL 10.00 –11.00 CÀLCUL 2 Càlcul 2 (a) Computació Algebraica (b) CÀLCUL 2 Càlcul 2 (a) Computació Algebraica (b) CÀLCUL 2 11.00 –12.00 Física General (a) COMPUTACIÓ ALGEBRAICA Física General (b) COMPUTACIÓ ALGEBRAICA COMPUTACIÓ ALGEBRAICA 12.00 –13.00 Informàtica 2 (a) Física General (b) Física General (a) Informàtica 2 (b) 13.00 –14.00 INFORMÀTICA 2 Informàtica 2 (a) FRANJA CULTURAL Informàtica 2 (b) INFORMÀTICA 2 Les hores amb els noms de les assignatures en majúscula corresponen a classes de teoria i en minúscula a classes de problemes i/o pràctiques. 39 2n Curs – 2n Quadrimestre Horaris Dilluns Dimarts Dimecres Dijous Divendres 9.00 –10.00 INVESTIGACIÓ OPERATIVA Topologia (a) Investigació Operativa (b) INVESTIGACIÓ OPERATIVA Topologia (a) Investigació Operativa (b) INVESTIGACIÓ OPERATIVA 10.00 –11.00 ANÀLISI REAL Topologia (b) Investigació Operativa (a) ANÀLISI REAL Topologia (b) Investigació Operativa (a) ANÀLISI REAL 11.00 –12.00 TOPOLOGIA TOPOLOGIA TOPOLOGIA 12.00 –13.00 Inferència Estadística (a) Anàlisi Real (b) Inferència Estadística (a) Anàlisi Real (b) 13.00 –14.00 INFERÈNCIA ESTADÍSTICA Inferència Estadística (b) Anàlisi Real (a) FRANJA CULTURAL Inferència Estadística (b) Anàlisi Real (a) INFERÈNCIA ESTADÍSTICA Les hores amb els noms de les assignatures en majúscula corresponen a classes de teoria i en minúscula a classes de problemes i/o pràctiques. 40 3r Curs – 2n Quadrimestre Horaris Dilluns Dimarts Dimecres Dijous Divendres 9.00 –10.00 EQUACIONS DIFERENCIALS 2 Equacions Diferencials 2 (a) Geometria Diferencial 2 (b) EQUACIONS DIFERENCIALS 2 Equacions Diferencials 2 (a) Geometria Diferencial 2 (b) EQUACIONS DIFERENCIALS 2 10.00 –11.00 MODELS MATEMÀTICS DE LA FÍSICA Geometria Diferencial 2 (a) Mètodes Numèrics 3 (b) MODELS MATEMÀTICS DE LA FÍSICA Geometria Diferencial 2 (a) Mètodes Numèrics 3 (b) MODELS MATEMÀTICS DE LA FÍSICA Mètodes Numèrics 3 (b) Mètodes Numèrics 3 (b) 11.00 –12.00 Mètodes Numèrics 3 (a) GEOMETRIA DIFERENCIAL 2 Mètodes Numèrics 3 (a) 12.00 –13.00 GEOMETRIA DIFERENCIAL 2 Mètodes Numèrics 3 (a) Models Matemàtics de la Física (b) Mètodes Numèrics 3 (a) Models Matemàtics de la Física (b) GEOMETRIA DIFERENCIAL 2 13.00 –14.00 MÈTODES NUMÈRICS 3 Equacions Diferencials 2 (b) Models Matemàtics de la Física (a) FRANJA CULTURAL Equacions Diferencials 2 (b) Models Matemàtics de la Física (a) MÈTODES NUMÈRICS 3 Les hores amb els noms de les assignatures en majúscula corresponen a classes de teoria i en minúscula a classes de problemes i/o pràctiques. 47 Convocatòria d’exàmens parcials de les assignatures del 1r quadrimestre 1r Curs 24-10-05 25-10-05 26-10-05 27-10-05 28-10-05 M A T Í CÀLCUL 1 INFORMÀTICA 1 7-11-05 8-11-05 9-11-05 10-11-05 11-11-05 M A T Í ÀLGEBRA LINEAL Els dies 27, 28 d’octubre i 7 de novembre seran no lectius per les assignatures de 1r Curs: Àlgebra Lineal, Càlcul 1 i Informàtica. 2n Curs 24-10-05 25-10-05 26-10-05 27-10-05 28-10-05 M A T I CÀLCUL 3 MÈTODES NUMÈRICS 1 7-11-05 8-11-05 9-11-05 10-11-05 11-11-05 T A R D A PROBABILITAT I ESTADÍSTICA GEOMETRIA Els dies 24 i 25 d’octubre i 8 i 9 de novembre, seran no lectius per les assignatures de 2n Curs: Càlcul 3, Geometria, Mètodes Numèrics 1 i Probabilitat i Estadística. 48 3r Curs 24-10-05 25-10-05 26-10-05 27-10-05 28-10-05 M A T I EQUACIONS DIFERENCIALS 1 MÈTODES NUMÈRICS 2 7-11-05 8-11-05 9-11-05 10-11-05 11-11-05 M A T I GEOMETRIA DIFERENCIAL 1 Els dies 27 i 28 d’octubre i 7 de novembre seran no lectius per les assignatures de 3r Curs: Equacions Diferencials 1, Geometria Diferencial 1 i Mètodes Numèrics 2. 4t Curs 24-10-05 25-10-05 26-10-05 27-10-05 28-10-05 M A T I ÀLGEBRA ABSTRACTA 7-11-05 8-11-05 9-11-05 10-11-05 11-11-05 M A T I ANÀLISI COMPLEXA Els dies 24 d’octubre i 8 de novembre seran no lectius per les assignatures obligatòries de 4t.Curs: Àlgebra Abstracta, Anàlisi Complexa. I per les optatives: Algorísmica, Ampliació de Models Matemàtics de la Física Anàlisi Numèrica Combinatòria Didàctica de la Matemàtica Lògica Matemàtica Mecànica Computacional Model Lineal General Programació Matemàtica Teoria de Codis Teoria de Nombres Teoria de Sistemes Lineals. 49 Convocatòria ordinària del 2n quadrimestre FASE SELECTIVA 1r 22-05-06 23-05-06 24-05-06 25-05-06 26-05-06 M A T Í CÀLCUL 2 1r 29-05-06 30-05-06 31-05-06 01-06-06 02-06-06 M A T Í INFORMÀTICA 2 COMPUTACIÓ ALGEBRAICA 1r 05-06-06 06-06-06 07-06-06 08-06-06 09-06-06 M A T Í FÍSICA GENERAL FASE NO SELECTIVA – OBLIGATÒRIES 22-05-06 23-05-06 24-05-06 25-05-06 26-05-06 M A T Í MODELS MATEMÀTICS DE LA FÍSICA ANÀLISI FUNCIONAL ANÀLISI REAL 29-05-06 30-05-06 31-05-06 01-06-06 02-06-06 M A T Í GEOMETRIA DIFERENCIAL 2 INVESTIGACIÓ OPERATIVA TOPOLOGIA ALGEBRAICA EQUACIONS DIFERENCIALS 2 TOPOLOGIA 05-06-06 06-06-06 07-06-06 08-06-06 09-06-06 M A T Í INFERÈNCIA ESTADÍSTICA MÈTODES NUMÈRICS 3 50 FASE NO SELECTIVA – OPTATIVES 29-05-06 30-05-06 31-05-06 01-06-06 02-06-06 M A T Í TEORIA MATEMÀTICA DELS MERCATS FINANCERS T A R D A TEORIA QUALITATIVA D’EQUACIONS DIFERENCIALS ORDINÀRIES SIMULACIÓ CRIPTOGRAFIA OPTIMITZACIÓ CONTÍNUA 1 05-06-06 06-06-06 07-06-06 08-06-06 09-06-06 M A T Í AMPLIACIÓ D’ANÀLISI AMPLIACIÓ DE GEOMETRIA T A R D A ANÀLISI DE SÈRIES TEMPORALS I PREVISIÓ TEORIA DE GRAFS PARAL·LELITZACIÓ D’ALGORISMES 12-06-06 13-06-06 14-06-06 15-06-06 16-06-06 M A T Í ASTRODINÀMICA I MECÀNICA CELEST HISTÒRIA DE LA MATEMÀTICA MÈTODES NUMÈRICS EN ENGINYERIA ÀLGEBRA COMPUTACIONAL CALCULABILITAT 51 Convocatòria d’exàmens parcials de les assignatures del 2n quadrimestre 1r 27-03-06 28-03-06 29-03-06 30-03-06 31-03-06 M A T Í COMPUTACIÓ ALGEBRAICA FÍSICA 1r 03-04-06 04-04-06 05-04-06 06-04-06 07-04-06 M A T Í CÀLCUL 2 Els dies 27 i 28 de març i 3 d’abril, seran no lectius per les assignatures de 1r curs: Càlcul 2, Computació Algebraica, Física General i Informàtica 2. 2n 27-03-06 28-03-06 29-03-06 30-03-06 31-03-06 M A T Í INVESTIGACIÓ OPERATIVA ANÀLISI REAL 2n 03-04-06 04-04-06 05-04-06 06-04-06 07-04-06 M A T Í TOPOLOGIA Els dies 30 i 31 de març i 4 d’abril, seran no lectius per les assignatures de 2n Curs: Anàlisi Real, Inferència Estadística, Investigació Operativa i Topologia. 3r 27-03-06 28-03-06 29-03-06 30-03-06 31-03-06 M A T Í EQUACIONS DIFERENCIALS 2 MÈTODES NUMÈRICS 3 52 3r 03-04-06 04-04-06 05-04-06 06-04-06 07-04-06 M A T Í GEOMETRIA DIFERENCIAL 2 Els dies 27 i 28 de març i 3 d’abril, seran no lectius per les assignatures de 3r curs: Equacions Diferencials 2, Geometria Diferencial 2, Mètodes Numèrics 3 i Models Matemàtics de la Física. 4t 27-03-06 28-03-06 29-03-06 30-03-06 31-03-06 M A T Í TOPOLOGIA ALGEBRAICA 4r 03-04-06 04-04-06 05-04-06 06-04-06 07-04-06 M A T Í ANÀLISI FUNCIONAL Els dies 31 de març i 4 d’abril, seran no lectius per les assignatures obligatòries de 4t curs: Anàlisi Funcional i Topologia Algebraica. I les optatives: Àlgebra Computacional Ampliació d’Anàlisi Ampliació de Geometria Anàlisis de Sèries Temporals i Previsió Astrodinàmica i Mecànica Celest Calculabilitat Criptografia Història de la Matemàtica Mètodes Numèrics en Enginyeria Optimització Contínua 1 Paral·lelització d’Algorismes Teoria de Grafs Teoria Matemàtica dels Mercats Financers Teoria Qualitativa d’Equacions Diferencials Ordinàries 53 4. PROGRAMES DE LES ASSIGNATURES TRONCALS O OBLIGATÒRIES 54 1r CURS - 1r QUADRIMESTRE 55 ÀLGEBRA LINEAL 1.- Identificació Codi: 10004 Crèdits: 7,5 (4,5 crèdits teòrics + 3 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Francesc Planas Vilanova Altres professors: Albert Compta Creus, Bernat Plans Berenguer Idioma: Català 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 3 39 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens 4+4=8* No presencials Seguiment de classes de teoria 3 39 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 4 52 Realització de treballs Preparació d’exàmens 15+15=30 Total 194 Hi ha dos exàmens. El parcial i el final. 56 3.- Objectius Introducció a l'àlgebra lineal estàndard en un primer curs de llicenciatura científica o tècnica, base imprescindible per al desenvolupament posterior de coneixements. Conté l’estudi de sistemes lineals, espais vectorials, aplicacions lineals, diagonalització i forma reduïda de Jordan:: • Discussió i resolució de sistemes lineals. Manipulació de matrius. • Introducció a la teoria d'espais vectorials de dimensió finita, aplicacions lineals i la seva classificació. Desenvolupament d'un llenguatge abstracte, probablement una novetat per a estudiants de primer curs de llicenciatura. • Trobar la forma reduïda de Jordan d'una matriu. 4.- Continguts 1. Estructures Breu introducció al concepte de grups, anells i cossos. 2. Espais vectorials Definicions. Subespais. Combinacions lineals. Bases. Teorema d’Steinitz. Dimensió. Intersecció, suma, suma directa. Complementari. Espai quocient. Producte escalar. Gram-Schmidt. 3. Polinomis L'espai vectorial dels polinomis. Arrels. Polinomis primers. Màxim comú divisor, mínim comú múltiple. Algorisme d'Euclides. Identitat de Bezout. 4. Matrius i sistemes d'equacions Suma, producte de matrius. Teorema de Rouché-Frobenius. Discussió i resolució de sistemes d'equacions lineals. 5. Determinants Definició i propietats. Rang d'una matriu. 6. Aplicacions lineals Definicions. Nucli i imatge. Matriu d'una aplicació. Aplicacions i matrius. Canvi de base. Espai dual. 7. Diagonalització Vectors i valors propis. Polinomi característic. Subespais invariants. Teorema de Cayley-Hamilton. Primer teorema de descomposició. El teorema espectral. 8. Forma reduïda de Jordan Matriu i base de Jordan. Classificació d'endomorfismes. 63 3.- Objectius Familiaritzar els estudiants amb un entorn informàtic i amb un llenguatge de programació actual, en aquest cas C++. Els estudiants han d'aprendre, d'una banda, a dissenyar i implementar algorismes i d'una altra a utilitzar altres eines informàtiques com editors, compiladors i un processador de textos matemàtics, en aquest cas LaTex.: • Aconseguir que els estudiants se sentin còmodes i siguin fiables en el disseny de programes escrits en un llenguatge imperatiu. • Adquirir uns coneixements de programació orientada a objectes de nivell d'usuari. • Conèixer la problemàtica de l’escriptura de textos matemàtics i adquirir coneixements bàsics dels fonaments del sistema TeX. • Conèixer els algorismes bàsics amb dades elementals i estructurades (nombres primers, mcd, recorreguts, cerques, ordenació, matrius...). • Aplicar el mètode inductiu per resoldre problemes complexos. • Utilitzar eines d'edició, compilació i execució per codificar i executar programes. 4.- Continguts 0. L'estructura d'un ordinador. Processos i instruccions Hardware i software. Estructura bàsica d'un ordinador. Entorn informàic. Llenguatges de programació. Compiladors i intèrprets. Programació i resolució de problemes. Programa i algorisme. El cicle de vida del software. 1. Variables i instruccions elementals Tipus de dades: domini i operacions. Tipus d'expressions. Assignació. Composició alternativa. Composició iterativa. Algorismes bàsics. Concepte de seqüència. Recorreguts i cerques de seqüències. Exemples. Sintaxi de les instruccions elementals en C++. Traducció de les estructures algorísmiques bàsiques a C++. L'execució d'un programa C++. 2. Accions i funcions. Concepte de paràmetre. Mecanismes d'implementació del pas de paràmetres. Accions i funcions. Exemples. Introducció a la recursivitat. Mètodes i funcions en C++. Efectes laterals. 3. Dades no elementals Taules. Representació de matrius. Algorisme per suma, matriu simètrica, matriu transposada, multiplicació de matrius. Cerca dicotòmica. Tuples i classes. Exemples d'utilització. Sintaxi en C++. Primeres nocions d'objectes. 64 4. Disseny descendent Fonaments. Algorismes d'ordenació per taules. Exemples. Implementació de programes no elementals en C++. 5. Objectes i disseny orientat a objectes Conceptes bàsics. Exemples. Objectes en C++. Fluxos d'entrada/sortida en C++. La classe String. 6. Elements del sistema operatiu Ordres bàsiques. Editors de textos. 7. Elements de C++ El compilador de C++. Tractament d'errors. 8. Elements de LaTex El sistema TeX. Estructura d'un document LaTex. Ordres elementals. Components d'estil. Entorns. Paquets. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Dissenyar programes senzills, però fiables, i implementar-los en C++. • Utilitzar objectes implementats mitjançant classes predefinides de C++. • Escriure textos matemàtics amb LaTeX. • Integrar tots els coneixements en un treball de nivell mitjà. • Familiaritzar-se fins a sentir-se còmode amb un entorn informàtic amb diferents eines informàtiques. Capacitats prèvies necessàries • Capacitat de raonament abstracte. 6.- Metodologia El curs es basa en dues parts, una de teòrica i una altra de pràctica, que es van intercalant en el temps. La part teòrica es complementa amb la realització d'exercicis i la part pràctica es desenvolupa a la classe de laboratori. • Sessions de teoria: Es presenta el corpus teòric bàsic necessari per a la construcció de programes senzills. • Sessions de problemes: A les sessions de problemes es resolen exercicis, amb llapis i paper, per consolidar els coneixements teòrics. Estan pensades com una sèrie de sessions participatives en les quals l'estudiant participa amb les seves idees i presenta les seves solucions. 65 A les sessions de laboratori, l'estudiant realitza individualment, amb l’ajuda dels professors i becaris, exercicis pràctics de programació que mostren l'ús dels conceptes ensenyats a teoria. • Pràctiques: Els estudiants implementen un problema de programació o elemental. L'objectiu és integrar tots els coneixements adquirits de programació i complementar-los amb una documentació adequada, per la qual cosa es fa servir LaTex. 7.- Avaluació L'avaluació té tres components: una prova parcial (PAR), de programació, que es fa al laboratori; un examen final (FIN), exercicis i teoria; i un projecte (PRO), que consistex en un exercici de programació i la seva documentació. La nota final es calcula d'acord amb la fórmula: 0,7 * màx((0,3 * PAR + 0,7 * FIN),FIN) + 0,3 * PRO Per a l'avaluació extraordinària es fa un examen final (FINE) i una pràctica de recuperació (PRAR). Els estudiants poden triar si fan o no la pràctica de recuperació. En el cas que no la facin es manté la nota de la pràctica, és a dir, PRAR = PRA, i s'utilitza la fórmula: 0,7 * FINE + 0,3 * PRAR 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Castro, J., et al.: Curs de programació..McGraw-Hill, 1992. • Franch, X., et al.: Informàtica Bàsica..Edicions UPC, 2002. • Savitch, W.: Problem solving with C++ The object of Programming.3a ed..Addison Wesley, 2001. • Beekman, G.: Introducción a la Informática.6a ed..Pearson-Prentice Hall, 2005. • Cascales, B., et al.: El libro de Latex..Pearson-Prentice Hall, 2003. Referències complementàries: • Cohen, E.: Programming in the 1990s..Springer-Verlag, 1990. • Gregorio, C., et al.: Ejercicios de programación creativos y recreativos en C++..Prentice Hall, 2002. • Lamport, L.: LATEX: A document preparation system..Addison Wesley, 1997. • Valiente, G.: Composició de textos científics amb LATEX..Edicions UPC, 1996. • Vancells, J.; López, E.: Programació: introducció a l'algorísmica..Ed. EUMO, 1996. Enllaços: • Pagina web de l'asignatura: http://www.lsi.upc.es/~mjserna/docencia/in1/in1.html 66 1r CURS – 2n QUADRIMESTRE 67 CÀLCUL 2 1.- Identificació Codi: 10007 Crèdits: 7,5 (4,5 crèdits teòrics + 3 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Jaume Franch Bullich Altres professors: Miguel Carlos Muñoz Lecanda i Narciso Román Roy Idioma: Català a teoria i castellà a problemes 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 3 39 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens 5 10 No presencials Seguiment de classes de teoria 2 26 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 4 52 Realització de treballs Preparació d’exàmens 30 Total 173 68 3.- Objectius Generalitzar a diverses variables els conceptes i resultats que s'han adquirit a l'assignatura de Càlcul 1 en una variable real. Establir els resultats i les tècniques bàsiques de la continuïtat, la diferenciabilitat i la integració en funcions de diverses variables reals. • Assimilar els conceptes de topologia a R^n. Reconèixer espais euclidians, espais mètrics i espais normats. • Utilitzar el concepte de compacte en les seves diferents versions. • Saber estudiar la continuïtat de funcions de diverses variables. Distingir funcions contínues i uniformement contínues. Enunciar i entendre les demostracions dels teoremes de funcions de diverses variables. • Calcular derivades direccionals i derivades parcials. Calcular matrius jacobianes i vectors gradients. Saber determinar si una funció és o no és diferenciable. Aplicar la regla de la cadena, amb aplicacions als canvis de variable en equacions diferencials. Calcular derivades d'ordre superior. • Entendre i saber aplicar els principals teoremes sobre funcions diferenciables: valor mitjà, Taylor, funció inversa, funció implícita. • Calcular extrems relatius, extrems condicionats i extrems absoluts. • Saber estudiar la integrabilitat d'una funció. Saber calcular integrals múltiples aplicant, si cal, el teorema de Fubini i el teorema del canvi de variable. Càlcul d'integrals impròpies. 4.- Continguts 0. Topologia a R^n Conceptes topològics: interior, frontera, acumulació, adherència, obert, tancat. Espais mètrics, normats i euclidians. Normes equivalents i distàncies equivalents. Successions. Convergència i successions de Cauchy. Completesa de R^n. Compacitat. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Conjunts connexos. 1. Continuïtat de les funcions de diverses variables. Funcions escalars i funcions vectorials. Conjunts de nivell. Límit d'una funció en un punt. Continuïtat. Operacions amb funcions contínues. Continuïtat uniforme. Teorema de Heine. Teorema de Weierstrass. Teorema del valor intermedi. Teorema de l'aplicació contractiva. 2. Diferenciabilitat de les funcions de diverses variables. Derivades direccionals i parcials. Matriu jacobiana i vector gradient. Diferenciabilitat d'una funció en un punt. Condicions necessàries i condicions suficients per a la diferenciabilitat. Regla de la cadena. Aplicacions als canvis de variable en equacions diferencials. Derivades d'ordre superior. Teorema d'Schwarz. Varietat tangent. 3. Teoremes sobre funcions diferenciables Teorema del valor mitjà. Fórmula de Taylor. Teorema de la funció inversa. Teorema de la funció implícita. Càlcul de derivades implícites i d'inverses. 69 4. Extrems de funcions. Extrems locals de funcions de diverses variables. Matriu hessiana. Condicions necessàries i suficients d'extrem. Extrems condicionats. Mètode dels multiplicadors de Lagrange. Càlcul d'extrems absoluts. 5. Integració en diverses variables. Construcció de la integral de Riemann. Condició de Riemann d'integrabilitat. Conjunts de mesura zero i conjunts sense volum. Teorema de Lebsgue d'integrabilitat. Propietats de la integral. Teorema del valor mitjà per a integrals. Teorema de Fubini. Càlcul d'integrals múltiples. Teorema del canvi de variables. Canvis més freqüents. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Saber trobar l'interior, l'adherència, els punts d'acumulació i la frontera d'un conjunt. • Saber demostrar l'equivalència entre distàncies. • Calcular límits en diverses variables. • Saber estudiar la continuïtat de funcions de diverses variables. • Calcular derivades parcials i direccionals, així com varietats tangents. Aplicar la regla de la cadena. • Calcular derivades implícites. • Calcular extrems en diverses variables. • Calcular integrals múltiples. Capacitats prèvies necessàries • Càlcul de límits en una variable. • Estudi de la continuïtat en una variable. • Estudi de la derivabilitat en una variable i càlcul de derivades. Regla de la cadena. • Càlcul d'extrems relatius i absoluts per a funcions d'una variable. • Integració de funcions d'una variable. 6.- Metodologia • Sessions de teoria: Les sessions de teoria seguiran el format tradicional d'enunciar i demostrar els resultats més importants del curs. Es donaran exemples i es proposaran exercicis que de vegades es resoldran a classe i de vegades es deixaran com a exercicis voluntaris per als alumnes. • Sessions de problemes: El professor resoldrà els problemes més rellevants de la llista. 70 7.- Avaluació L'avaluació ordinària constarà d'un examen parcial i un examen final. La nota final la determinarà el màxim entre la nota de l'examen final i la mitjana ponderada entre el parcial i el final, on el pes del parcial és 1 i el del final és 3. La nota final es podrà arrodonir segons els exercicis voluntaris entregats i la participació a classe. L'avaluació extraordinària consta tan sols de l'examen extraordinari de juliol, i aquesta serà l'única nota que es tindrà en compte. 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Bombal, F., et al.: Problemas de análisis matemático,..AC, 1987. • Marsden, J.E.; Hoffman, M.J.: Análisis clásico elemental..Addison Wesley Iberoamericana, 1998. • Marsden, J.E.; Tromba, A.J.: Cálculo vectorial..Addison Wesley Longman, 1998. • Burgos, J. de: Cálculo infinitesimal en varias variables..McGraw-Hill, 1995. • Castillo, F. del: Análisis Matemático II.2a ed..Alhambra Universidad, 1987. Referències complementàries: • Mazón, J.M.: Cálculo diferencial..McGraw-Hill, 1997. • Bartle, R.G.: Introducción al análisis matemático..Limusa, 1980. • Fleming, W.H.: Functions of several variables..Springer Verlag, 1977. • Spivak, M.: Calculus..Reverté, 1995. • Protter, M.H.; Morrey, C.B.: Análisis Real..AC, 1986. Enllaços: • http://mimoza.marmara.edu.tr/~fucar/fucar/realanalysis.htm 71 COMPUTACIÓ ALGEBRAICA 1.- Identificació Codi: 10003 Crèdits: 7,5 (4,5 crèdits teòrics + 3 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Marc Noy Altres professors: Jordi Quer Idioma: Català 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 3 39 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens 8 No presencials Seguiment de classes de teoria Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques Realització de treballs Preparació d’exàmens Total 72 3.- Objectius Assolir els conceptes bàsics de l'àlgebra no lineal de grup, anell commutatiu i cos commutatiu. Asolir el concepte d'estructura quocient. Familiaritzar-se amb els exemples bàsics: nombres enters, congruènciesncies amb nombres enters, polinomis en una variable, congruències amb polinomis, cossos finits i enters de Gauss. 4.- Continguts 0. Aritmètica bàsica Divisibilitat de nombres enters. Algorisme d'Euclides. Factorització única. Congruències. Funció d'Euler. Teoremes de Fermat, d'Euler i del residu xinès. Funció de Môbius. 1. Grups Definicions i exemples. Ordre d'un element. Subgrups. Grups cí-clics. Classes laterals i teorema de Lagrange. Morfismes. Subgrups normals. Grup quocient. 2. Anells Definicions i exemples. Ideals, morfismes, anells quocient. Dominis d'integritat i cossos de quocients. Dominis amb factorització única. Dominis d'ideals principals. Dominis amb divisió euclidiana. Enters de Gauss. 3. Polinomis i cossos finits Arrels i derivades. Funcions racionals i fraccions simples. Teorema fonamental de l'àlgebra. Polinomis reals i complexos. Anells quocients de polinomis. Existència i unicitat de cossos finits. Teorema de l'element primitiu. Polinomis primitius. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Comprendre els conceptes abstractes de grup, anell, cos, morfismes i estructures • quocient. • Saber treballar amb nombres enters i polinomis i les seves congruències. Saber identificar les proprietats algebraiques abstractes en exemples concrets. • Saber calcular efectivament amb objectes algebraics. Capacitats prèvies necessàries • Coneixements d'àlgebra lineal. 79 INFORMÀTICA 2 1.- Identificació Codi: 10009 Crèdits: 7.5 (3 crèdits teòrics + 4.5 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Salvador Roura Ferret Altres professors: Jordi Petit i Silvestre Idioma: Català (amb alguns llibres de referència en anglés) 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 2 26 Problemes i/o pràctiques 3 39 Realització d’exàmens 3 No presencials Seguiment de classes de teoria 2 26 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 3 39 Realització de treballs 40 Preparació d’exàmens 25 Total 198 80 3.- Objectius L'objectiu del curs és donar als alumnes, d'una banda, els coneixements necessaris per dissenyar i analitzar algorismes de dificultat mitjana, i, de l'altra, els mitjans per codificar aquests algorismes en un llenguatge d'alt nivell.: 4.- Continguts 0. Eficiència d'algorismes. Notacions asimptòtiques. Resolució de recurrències. 1. Recursivitat com a eina bàsica de disseny d'algorismes. 2. Disseny modular i tipus abstractes de dades (TAD): concepte i utilitat. 3. Els TAD lineals: piles, cues i llistes. Memòria dinàmica i punters. Mergesort 4. El TAD arbre: exemples d'ús i implementacions. 5. El TAD diccionari: implementacio amb taules de dispersió. 6. El TAD diccionari: implementacio amb arbres de cerca. Quicksort. 7. El TAD cua de prioritats. Implementació amb munts. Heapsort. 8. El TAD graf: implementacions i algorismes bàsics. 9. Límits de la programació: problemes indecidibles i problemes intractables. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Calcular el cost d'un algorisme. • Dissenyar algorismes recursivament. • Usar, dissenyar, implementar i avaluar TAD (tipus abstractes de dades). • Seleccionar el mètode d'ordenació adequat per a propòsits concrets. • Codificar algorismes de mida mitjana en C++. 81 Capacitats prèvies necessàries • Dissenyar algorismes simples en un pseudollenguatge de programació imperatiu. • Usar amb fluïdesa els esquemes de recorregut i cerca de seqüències. • Dominar l'ús de procediments i el seu pas de paràmetres. • Codificar algorismes simples en C++. 6.- Metodologia El curs està basat en dues parts, teòrica i pràctica, que es van intercalant en el temps. Les classes pràctiques es divideixen en classes de problemes i classes de laboratori. • Sessions de teoria: Les classes de teoria són classes magistrals. • Sessions de problemes: A les classes de problemes es proposen exercicis de disseny o anàlisi d'algorismes, i de manera interactiva se'n cerquen les solucions. En aquestes classes també es podran ampliar alguns continguts teòrics. • Pràctiques: A les classes de laboratori es desenvoluparan els conceptes necessaris per poder dur a terme les pràctiques avaluades tot usant els coneixements apresos en les classes de teoria i problemes. 7.- Avaluació Hi haurà un examen final que mesurarà els coneixements adquirits a les classes de teoria i problemes. La nota final serà una mitjana ponderada de la nota de laboratori i de la nota de l'examen, sempre que no hi hagi una diferència excessiva entre ambdues notes. 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Cormen, T.; Leiserson, C.; Rivest, R.: Introduction to Algorithms.2a ed..The MIT Press, 2001. • Ferri, F.J.; Albert, J.V.; Martín, G.: Introducció a l Anàlisi i Disseny d'Algorismes..Publicacions de la Universitat de València, 1998. • Sedgewick, R.: Algorithms in C++: Fundamentals, Data Structures, Sorting, Searching.3a ed..Addison-Wesley, 1998. • Stroustrup, B.: The C++ Programming Language.3a ed..Addison-Wesley, 2000. • Weiss, M.A.: Data Structures and Algorithm Analysis in C++.2a ed..Addison-Wesley, 2003. 82 Referències complementàries: • Aho, A.; Hopcroft, J.; Ulmann, J.: The Design and Analysis of Computer Algorithms.2a ed..Addison-Wesley, 1983. • Knuth, D.E.: The Art of Computer Programming: Fundamental Algorithms.3a ed..Addison-Wesley, 1998. • Knuth, D.E.: The Art of Computer Programming: Sorting and Searching.2a ed..Addison-Wesley, 1998. • Skiena, S.; Revilla, M.: Programming Challenges..Springer Verlag, 2003. • Wirth, N.: Algorithms + Data Structures = Programs..Prentice-Hall, 1978. Enllaços: • http://concurs.lsi.upc.edu 83 2n CURS - 1r QUADRIMESTRE 84 CÀLCUL 3 1.- Identificació Codi: 10012 Crèdits: 7.5 (4.5 crèdits teòrics + 3 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Juan José Morales Ruiz Altres professors: Miquel Dalmau Vilaldach, Natalia Sadowskaya Nurimanova Idioma: Castellano, Catalán 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 3 39 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens 6 No presencials Seguiment de classes de teoria 2 26 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 2 26 Realització de treballs Preparació d’exàmens 6 Total 129 85 3.- Objectius El curs gira al voltant de les relacions entre els valors de les funcions a l'interior i a la frontera de regions, juntament amb els objectes que permeten expressar aquestes relacions.: • Introduir els teoremes integrals clàssics, juntament amb alguns elements de càlcul tensorial de formes. • Fer una introducció elemental a la teoria de funcions analítiques d’una variable complexa, incloent-hi el teorema dels residus. 4.- Continguts 1. Corbes i superfícies 1.1 Camps escalars i vectorials. 1.2 Corbes: insistir en la representació paramètrica, l'equivalència entre les diverses representacions paramètriques, amb abundància d'exemples. Camp i recta tangent a una corba. 1.3 Integrals al llarg d'una corba: longitud d'un arc de corba. Integral d'un camp escalar al llarg d'una corba, independència de la parametrització. Integral d'un camp vectorial al llarg d'una corba, independència de la parametrització. 1.4 Superfícies: diverses formes de representar una superfície, equivalència entre diferents representacions paramètriques. Pla tangent i normal a una superfície. 1.5 Integrals sobre una superfície: anàleg al cas d’una corba, però essencialment en dimensió tres (àrea d’una superfície, etc.). 2. Anàlisi vectorial i teoremes integrals clàssics 2.1 Fórmules de l’anàlisi vectorial: gradient divergència i rotacional. Fórmules de l’anàlisi vectorial. 2.2 Teorema de Green. 2.3 Teorema d’Stokes clàssic. 2.4 Teorema de Gauss. 2.5 Aplicació: camps conservatius i camps que conserven el volum. Camps conservatius: el problema de l'existència de la funció potencial. Camps que conserven el volum. 86 3. Formes diferenciables 3.1 Tensors sobre un espai vectorial. 3.2 Formes exteriors sobre un espai vectorial. 3.3 Formes diferencials sobre un espai vectorial. 4. Integració i teorema d’Stokes sobre formes 4.1 Cubs singulars i cadenes. 4.2 Integral d’una forma sobre una cadena: definició. Casos particulars: integrals sobre corbes i superfícies. 4.3 Teorema d’Stokes: enunciat i demostració. 4.4 Reducció dels teoremes integrals clàssics al teorema d’Stokes sobre formes: Green, Gauss, Stokes. 5. Funcions holomorfes 5.1 Definició i primeres propietats. 5.2 Teorema de Cauchy. 5.3 Desenvolupaments de Taylor. 6. Teorema dels residus 6.1 Desenvolupaments de Laurent. 6.2 Teorema dels residus. 6.3 Aplicacions. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Saber parametritzar corbes i superfícies senzilles. • Aprendre a calcular integrals sobre corbes i superfícies, juntament amb els teoremes integrals clàssics. • Adquirir una cert habilitat i abstracció en àlgebra tensorial, especialment en àlgebra exterior. • Que l'alumne es convenci que l'àlgebra lineal necessària per al càlcul diferencial de formes diferencials és l'àlgebra tensorial. • Saber resoldre problemes elementals de formes diferencials, en particular els càlculs relacionats amb la derivada exterior. 87 • Saber calcular integrals elementals sobre formes, un cas particular de les quals són els càlculs involucrats en els teoremes integrals clàssics. • Saber utilitzar els teoremes elementals de la teoria de funcions analítiques en una variable. En particular, el teorema de Cauchy i el teorema dels residus. • Que l'alumne es convenci que les funcions elementals que coneix són només una petita part de l’univers de les funcions d'una variable. Capacitats prèvies necessàries • Àlgebra lineal d'espais vectorials de dimensió finita sobre un cos de característica zero, incloent-hi el concepte d'espai dual. • Càlcul diferencial real elemental de funcions d'una i diverses variables. • Són convenients alguns coneixements de física: camps elèctrics i gravitatoris, juntament amb algunes nocions de mecànica conservativa. 6.- Metodologia • Sessions de teoria: S'exposarà la teoria necessària per aconseguir els objectius ja exposats. S'il·lustraran els conceptes i els resultats teòrics amb exemples. També es proposaran alguns problemes especials d'un nivell una mica més elevat que el de les sessions de problemes per a l'alumne especialment interessat. L'alumne disposarà d'unes notes redactades pel professor de l'assignatura, amb la qual cosa seria convenient que les consultés prèviament a la classe. • Sessions de problemes: Es resoldran exercicis d'una llista de problemes a la qual l'alumne hagi tingut accés previ. 7.- Avaluació L’avaluació ordinària consistirà en dos exàmens: - Examen parcial - Examen final L’examen parcial no serà eliminatori i tindrà un pes no superior al 15 % sobre el total. L’examen final serà sobre tota la matèria del curs. L’avaluació extraordinària consistirà en un únic examen de tota la matèria del curs. 88 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Ahfolrs, L.V.: Complex Analysis.3a ed..McGraw Hill, 1979. • Arnold, V.I.: Mathematical Methods of Classical Mechanics..Springer-Verlag, 1989. • Dubrovin,B.A.; Novikov, S.P.; Fomenko, A.T.: Modern Geometry. Methods and Applications, Vol. 1.2a ed..Springer, 1992. • Marsden, J.E.; Tromba, A.J: Cálculo vectorial...Addison-Wesley Iberoamericana, Argentina, 1991. • Spivak, M.: Cálculo en variedades..Reverté, 1979. 95 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Distingir i comparar els diversos tipus de mètodes numèrics per a un mateix problema. • Aplicar els conceptes apresos a teoria per tal de resoldre problemes tant de tipus teòric com pràctic. • Utilitzar un llenguatge de programació per tal d'implementar mètodes numèrics en alguns problemes matemàtics. Capacitats prèvies necessàries • Coneixement d'un llenguatge de programació. • Continguts de Càlcul 1 i 2 i àlgebra lineal. 6.- Metodologia • Sessions de teoria: A les classes de teoria es presenten els diversos mètodes i les seves propietats. • Sessions de problemes: A les classes de problemes es distingeixen dos tipus de tasques: (i) resolució de problemes (ja sigui aplicació de la teoria o de problemes més pràctics) i (ii) realització de diverses pràctiques. • Pràctiques: Les classes de pràctiques es duran a terme en una aula de PC i consistiran a resoldre problemes pràctics, mitjançant un llenguatge de programació, per part dels alumnes amb l'assessorament del professor. 7.- Avaluació Hi haurà un examen parcial (teoria i problemes) eliminatori de matèria, i un examen final (teoria, problemes i pràctiques). La nota final serà: 0,2 * nota pràctiques (entrega i examen) + 0,8 * nota examen (NE), on NE = 0,5 * Nparcial1 + 0,5 Nparcial2 (per als estudiants que aprovin el primer parcial) o bé NE = nota examen final. 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Aubanell, A.; Benseny, A.; Delshams, A.: Eines bàsiques de càlcul numèric..Univ. Autònoma de Barcelona, 1991. • Bonet, C., et al.: Càlcul Numèric..Ed. UPC, 1994. • Froberg, C. E.: Introducción al análisis numérico..Ed. Vicenc Vives, 1977. • Demidovich, B.; Maron, I.: Elementos de cálculo numérico..Ed. Paraninfo, 1977. • Grau, M.; Noguera, M.: Càlcul numèric..Ed. UPC, 1993. 96 Referències complementàries: • Stoer, J.; Bulirsch, R.: Introduction to numerical analysis..Ed. Springer-Verlag, 1993. • Scheid, F.: Análisis numérico: teoría y 775 problemas resueltos..Ed. McGraw-Hill, 1972. • Isaacson, E.; Keller, B. K.: Analysis of numerical methods..Ed. Wiley, 1994. • Golub, G. H.; Van Loan, C. F.: Matrix computations.3a ed..Ed. Johns Hopkins Univ. Press, 1996. • Ciarlet, P. G.: Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation..Ed. Masson, 1990. 97 PROBABILITAT I ESTADÍSTICA 1.- Identificació Codi: 10015 Crèdits: 7.5 ( crèdits teòrics + crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Ramon Nonell i Torrent Altres professors: Idioma: català 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 3 39 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens 4 No presencials Seguiment de classes de teoria 3 39 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 2.5 32.5 Realització de treballs 0 Preparació d’exàmens 35 Total 98 3.- Objectius • Coneixement de l'estructura matemàtica sobre la qual s'hi definirà la probabilitat: conjunt de resultats d'una experiència aleatòria i conjunt de successos (sigmaàlgebra de Boole) d'una experiència aleatòria. Coneixement de la sigma-àlgebra dels borelians. Coneixement de la funció probabilitat axiomàticament i en les seves propietats. • Coneixement de les propietats de la funció probabilitat per tal de plantejar problemes i d'estructurar-ne solucions en fenòmens susceptibles de formalitzar-se amb un espai de probabilitat. • Coneixement de la formalització de les característiques numèriques associades a fenòmens aleatoris: variables aleatòries reals. Coneixement de l'estructura algebraica de les variables aleatòries reals definides en un espai probabilitzable. Formalització del coneixement de la llei d'una variable aleatòria real: lleis discretes i lleis absolutament contínues amb les corresponents funcions definidores. • Coneixement de les definicions formals dels elements característics de les lleis de les variables aleatòries reals: esperança, variància, mediana,... Coneixement de les desigualtats bàsiques amb els elements característics de les lleis de les variables aleatòries reals. Coneixement de les funcions que generen moments i que en definitiva ens aporten informació per a la determinació de lleis. Coneixement del grau d'exhaustivitat d'aquesta aportació d'informació. • Coneixement de la generalització al concepte de vector aleatori real i conseqüentment a les eines pròpies dels vectors aleatoris reals. Coneixement de la generalitazció al concepte de successió de variables aleatòries reals. Coneixement de les convergències més habituals i de les relacions que entre elles s'estableixen. 4.- Continguts 1. Espai de Probabilitat Resultats, esdeveniments i operacions amb esdeveniments. Espai probabilitzable elemental. Sigma-àlgebra de Borel. Definició i propietats de la funció probabilitat. Probabilitat condicionada. Fórmula de Bayes. Independència estocàstica. 2. Variable Aleatòria Definició de variable aleatòria. Estructura de l'espai de les variables aleatòries reals. Probabilitat induída. Funció de distribució de probabilitat. Variables aleatòries discretes: funció de probabilitat; models més habituals. Variables aleatòries absolutament contínues: funció de densitat; models més habituals. Família exponencial. Independència de variables aleatòries. 3. Moments i Funcions Generatrius d'una Variable Aleatòria Moments i propietats. Covariància i correlació. Desigualtats. Funció generadora de moments. Funció característica. 99 4. Vectors Aleatoris i Introducció a les Successions de Variables Aleatòries Definició de vector aleatori. Transformacions de vectors. Vectors Normals i lleis associades a la Normal. Lleis condicionades. Regressió lineal. Concepte de mostra. Simulació de mostres. Introducció a les convergències i al Teorema Central del Límit. Introducció a les cadenes de Markov. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Saber construir espais de probabilitat. Saber demostrar que una funció és una probabilitat. • Saber resoldre problemes de probabilitat amb les metodologies usuals d'acord amb l'axiomàtica i les propietats. • Saber demostrar que una funció és una variable aleatòria real. • Saber identificar i tractar les lleis usuals, tant les dicretes com les absolutament contínues. Saber calcular els elements característics de les lleis usuals. • Saber calcular i usar les funcions generadores com a portadores d'informació d'una llei. • Saber tractar transformacions de variables aleatòries reals i de vectors aleatoris reals. Saber trobar les funcions identificadores de les lleis associades a la llei Normal. • Saber demostrar convergències usuals de variables aletòries reals. Capacitats prèvies necessàries • Haver adquirit el raonament matemàtic. • Saber les assignatures del primer curs. • Saber teoria de conjunts. Tenir nocions de cardinalitat. 6.- Metodologia • Sessions de teoria: Classes de pissarra: explicacions, demostracions, exemples,... • Sessions de problemes: Classes estàndard d'explicació i resolució de problemes amb la possibilitat de presentació de problemes resolts. 7.- Avaluació Examen final de teoria (menys del 50% de la nota) i de problemes (més del 50% de la nota). En l'avaluació ordinària hi ha punts afegits que beneficiaran les persones que presentin voluntàriament qüestions resoltes o que tinguin una actitud especialment favorable cap als continguts l'assignatura. 100 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Ash, R.B.: Basic Probability Theory..Wiley, 1970. • Baldi, P.: Calcolo delle Probabilita e Estatistica..McGraw-Hill Libri, 1993. • Chung, K.L.: Elementary Probability Theory with Stochastic Processes..Springer- Verlag, 1979. • Rohatgi, V.K.: An Introduction to Probability Theory and Mathematical Statistics..Wiley, 1976. • Sanz, M.: Probabilitats..UB, 1999. Referències complementàries: • Ash, R.B.: Real Analysis and Probability..Academic Press, 1972. • Breiman, L.: Probability..SIAP, 1992. • Chung, K.L.: A Course in Probability Theory..Academic Press, 1974. • DeGroot, M.H.: Probabilidad y Estadística..Addison-Wesley, 1988. • Neveu, J.: Bases Mathématiques du Calcul des Probabilités..Masson, 1980. 101 2n CURS – 2n QUADRIMESTRE 102 ANÀLISI REAL 1.- Identificació Codi: 10017 Crèdits: 7.5 (4.5 crèdits teòrics + 3 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Santiago Boza Rocho Altres professors: Jorge Jimenez Urroz Idioma: Català i Castellà. 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 3 39 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens 4+4=8* No presencials Seguiment de classes de teoria 3 39 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 2 26 Realització de treballs 25** Preparació d’exàmens 15+20=35* Total 198 (*) Hi ha dos exàmens: el parcial i el final. (**) Preparació de les classes de problemes. 103 3.- Objectius Aquesta assignatura, complement i continuació de Càlcul 1 i Càlcul 2, introduirà i desenvoluparà idees, tècniques i teoremes bàsics de l'anàlisi real moderna, com ara: convergència i aproximació de funcions, mesura i integració, i s'aplicaran a l'estudi d'àlgebres de funcions contínues, als espais de funcions integrables i als desenvolupaments en sèrie de Fourier. Els objectius específics seran els següents:: • L'alumne ha de saber distingir entre el concepte de convergència puntual i convergència uniforme aplicat a successions i sèries de funcions. Així mateix, ha de conèixer el comportament de la convergència uniforme respecte a la continuïtat, la derivació i la integració. • L'estudiant ha de familiaritzar-se amb l'estudi de l'àlgebra de funcions contínues, així com amb l'estudi de l'aplicació en diferents situacions dels teoremes clàssics referents a famílies de funcions en aquests espais. • Introduir els conceptes bàsics de teoria de la mesura i integració de Lebesgue i aplicar-los per obtenir resultats de convergència de successions de funcions i el seu comportament respecte a la integral. Es farà un èmfasi especial en les aplicacions com ara les integrals dependents de paràmetres i l'estudi dels espais de Lebesgue. • Proveir l'estudiant d'una eina bàsica de l'anàlisi com és l'anàlisi de Fourier. El marc de la integral de Lebesgue és l'adequat per introduir aquests conceptes. A més d'introduir el càlcul explícit dels coeficients de Fourier associats a una funció periòdica, es considera fonamental dominar els problemes de convergència en les sèries de Fourier. Com a aplicació, s'introduirà l'estudi de problemes de contorn resolts mitjançant anàlisi de Fourier. 4.- Continguts 1. Successions i sèries de funcions Convergència puntual i uniforme de successions de funcions. Propietats. Sèries de funcions. Convergència. Criteris de Weierstrass, Abel i Dirichlet. Sèries de potències. Radi de convergència. Sèries de Taylor. 2. Espais de funcions contínues L'àlgebra de funcions contínues. Teorema d'Ascoli-Arzelà. Teorema d'Stone- Weierstrass. 3. Integral de Lebesgue Funcions mesurables. Mesures. La mesura exterior. Integral de Lebesgue. Teorema de convergència monòtona. Funcions integrables. Teorema de la convergència dominada. Integrals dependents de paràmetres. Espais Lp. 4. Sèries de Fourier trigonomètriques Sèries de Fourier a L2. Coeficients de Fourier. Desigualtat de Bessel. Identitat de Parseval. Completesa dels sistemes trigonomètric i exponencial. Convergència puntual de les sèries de Fourier: teorema de Dirichlet. Convergència uniforme de les sèries de Fourier. Sèries de Fourier i derivació. Fenomen de Gibbs. 104 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Saber distingir entre convergència puntual i uniforme en el cas d'una successió o una sèrie de funcions. • Establir si és possible conmutar el pas al límit d'una successió de funcions amb el límit puntual, la derivabilitat o la integració. • Familiaritzar-se amb els desenvolupaments en sèrie de potències de les funcions elementals i fer manipulacions algebraiques amb aquests desenvolupaments. • Saber establir el domini de convergència per a una sèrie de potències. • Discernir si una família de funcions és equicontínua o no, i deduir-ne conseqüències. • Aplicació correcta dels teoremes d'aproximació d'Stone i Weierstrass. • Entendre el concepte de conjunt i funció mesurables de Lebesgue i reconèixer-los en els exemples. • Treballar els teoremes de convergència per la integral de Lebesgue i aplicar-los a problemes d'integrabilitat. • Saber calcular una integral dependent d'un paràmetre mitjançant els resultats obtinguts a classe de teoria. • Deducció de la sèrie de Fourier d'una funció periòdica donada i establir en quin sentit les sumes parcials d'aquesta convergeixen a la funció. Capacitats prèvies necessàries • Les derivades de les assignatures prèvies Càlcul 1 i 2 com ara: criteris per a convergència de successions i sèries, continuïtat i diferenciabilitat en una i diverses variables i integració de Riemann. 6.- Metodologia • Sessions de teoria: A les sessions de teoria es desenvoluparan els diferents temes que configuren el programa. Aquestes sessions serviran, a més, per donar a l'estudiant una base sòlida en mètodes de raonament, il·lustrant com és necessari el rigor, l'abstracció i la intuïció. • Sessions de problemes: En els exercicis i problemes que es resolguin a classe convindrà procedir amb ordre i establir clarament quin és el punt de partida, l'objectiu que es vol assolir i les eines de què disposem per fer-ho. Serà formatiu arribar a resoldre un mateix problema de maneres diferents, sobretot si les diferents solucions provenen dels estudiants. 111 3.- Objectius Proporcionar a l'estudiant els fonaments de la investigació operativa. • Introduir en la metodologia de la construcció dels models matemàtics propis de la investigació operativa. Captar la utilitat d'aquests models en processos de presa de decisions quantitatives. • Mostrar algunes de les principals àrees de la investigació operativa, com ara la programació lineal, els problemes de fluxos en xarxes, l'optimització no lineal i la programació sencera. • Presentar una àmplia panoràmica de les diferents classes de models corresponents a les àrees anteriors i les seves aplicacions. • Introduir els fonaments teòrics per resoldre problemes de les diferents classes considerades. • Conèixer els principals procediments algorísmics. • Il·lustrar la utilització pràctica dels algorismes estudiats mitjançant el software de programació matemàtica disponible a la Facultat. 4.- Continguts 1. Introducció El concepte d'investigació operativa. El concepte de model matemàtic: el mètode científic i la metodologia de la investigació operativa. Models matemàtics com a ajuda a la presa decisions quantitatives. El procés de formulació dels models. Models matemàtics i els seus processos de construcció: lineals, no lineals, combinatoris, estocàstics, etc. 2. Introducció als models lineals Formulació de models lineals. Programes lineals. Forma canònica dels programes lineals. Solucions bàsiques. Teorema fonamental de la programació lineal. L'algorisme del símplex primal. La geometria de la programació lineal. Formes computacionals de l'algorisme del símplex: símplex revisat en forma de producte de la matriu inversa. Teoremes de dualitat. Teorema de la folga complementària. Interpretacions geomètriques. L'algorisme del símplex dual. Interpretacions econòmiques. Anàlisi de sensibilitat. 3. Problemes de fluxos en xarxes Fluxos de cost mínim: especialització de l'algorisme del símplex. Problema de flux màxim: teorema de flux maxmin-tall mínim, algorisme de Ford-Fulkerson. Camins mínims: l'algorisme de Dijkstra. 112 4. Introducció als models de programació entera Introducció als models de programació entera. La formulació de models sencers. Mètodes enumeratius: separació, relaxació i eliminació. Algorisme de branca i límit. Desigualtats vàlides: mètodes de plans de tall. Els talls de Gomory. Reforç de desigualtats vàlides. Mètodes heurístics: heurístiques constructives i heurístiques de millora. Aplicació a problemes concrets de programació entera com ara el problema del viatjant de comerç i problemes de localització de plantes. 5. Optimització no lineal Condicions de primer i segon ordre. Mètodes bàsics de cerca lineal: Fibonacci, condicions d'Armijo i Goldstein. Mètodes bàsics de descens: el mètode del gradient i el mètode de Newton. Problemes amb constriccions: condicions de Kuhn i Tucker. 6. Teoria de jocs Jocs de matrius. Estratègies òptimes. El teorema de minimax. El pòquer simplificat. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Ser capaç de formular models matemàtics per plantejar problemes reals associats a processos de presa de decisions quantitatives com a problemes d'optimització. • Diferenciar les principals àrees de la investigació operativa, com ara la programació lineal, els problemes de fluxos en xarxes, l'optimització no lineal i la programació sencera. • Poder resoldre problemes de programació lineal mitjançant l'algorisme del símplex. Ser capaç de respondre qüestions relacionades amb l'anàlisi de sensibilitat tant dels costos com dels termes independents dels problemes. • Conèixer la teoria de la dualitat en programació lineal, aixi com les relacions bàsiques entre els problemes primals i duals. • Conèixer els principals models de fluxos en xarxes. Saber resoldre problemes de flux de cost mínim. Poder resoldre problemes de flux màxim amb l'algorisme de Ford-Fulkerson. Poder resoldre problemes de camins mínims amb l'algorisme de Dijstra. • Ser capaç de resoldre problemes de programació sencera amb un algorisme de branca i límit. Saber derivar desigualtats vàlides per a problemes de programació sencera. • Ser capaç d'aplicar el mètode del gradient i el mètode de Newton per resoldre problemes d'optimització no lineal sense restriccions. Saber aplicar les tècniques bàsiques de cerca lineal per calcular la llargària del pas. • Saber formular i resoldre les condicions de Khun i Tucker per a problemes d'optimització no lineal amb constriccions. Capacitats prèvies necessàries • Coneixements bàsics d'àlgebra lineal i d'anàlisi real. 113 6.- Metodologia • Sessions de teoria: Sessions d’1 h on es presenten i es discuteixen els continguts de l'assignatura. En la majoria dels temes, es faran classes tradicionals a la pissarra, encara que en alguns punts concrets es faran servir transparències. S’utilitzarà la intranet docent per fer públic material docent relacionat amb l'assignatura: apunts i transparències dels temes, enunciats de problemes i exàmens resolts. • Sessions de problemes: Sessions d’1 h on es plantegen i es resolen problemes numèrics relacionats amb els temes vistos a classe de teoria. Es dóna un cert temps perquè l'estudiant intenti resoldre els problemes i posteriorment els problemes es resolen i es discuteixen. Com a complement de les sesions de problemes, cada estudiant té dades numèriques personalitzades corresponents a diferents problemes tipus. La realització d'aquests problemes (fora de l'horari lectiu) és optativa. En cas de realització i entrega, la nota obtinguda pot ajudar a incrementar la nota de l'examen (com s'explica posteriorment). 7.- Avaluació L’assignatura es divideix en dues meitats amb quantitat de matèria similar. Es realitzarà un examen final amb dues parts corresponents a cada una de les dues meitats. L’examen de cada meitat constarà de preguntes de teoria i problemes. La nota de l'assignatura és la mitjana ponderada de les notes C1, C2 segons la fórmula: Nota final = 0,5 * C1 + 0,5 * C2, sempre que: 1. La nota de la part de teoria de cada meitat sigui almenys 1/3 de la nota màxima de teoria. 2. La nota de cada meitat sigui >= 4. Si la nota de teoria d’alguna meitat és < 1/3 de la nota màxima de teoria o si C1 o C2 són <4, la nota final s’obté segons la fórmula: Nota final = Min(4, 0,5 * C1 + 0,5 * C2) Opcionalment, els estudiants que ho vulguin poden realitzar una prova parcial corresponent a la primera meitat de l’assignatura. En cas d'avaluació satisfactòria d’aquest parcial, se'ls eximirà de la realització de la part corresponent a l'examen final, de manera que la nota C1 serà la nota del primer parcial (si ha obtingut la corresponent avaluació satisfactòria). Addicionalment, els estudiants que ho vulguin poden realitzar exercicis numèrics personalitzats al llarg del quadrimestre. El resultat d’aquests exercicis podrà millorar, fins a un punt, la nota final de l’assignatura, quan aquesta sigui més gran o igual a 5. 114 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Ahuja, R.K.; Magnanti, T.L.; Orlin, J.B.: Network Flows: Theory, Algorithms, Applications...Prent.-Hall, 1993. • Bazaraa, M.S.; Sherali, H.D.; Shetti, C.M.: Nonlinear Programming: Theory and Algorithms..John Wiley and Sons, 1993. • Padberg, M.: Linear Optimization and Extensions..2a ed..Springer-Verlag, 1999. • Vanderbei, R.J: Linear Programming, Foundations and Extesions...Kluwer Academic Publishers, 1996. • Williams, H.P.: Model Building in Mathematical Programming.3a ed..Wiley, 1993. Referències complementàries: • Bradley, S.P.; Hax, A.C.: Applied mathematical programming..Addison-Wesley, 1977. • Hu, T.C: Integer Programming and Network Flows..Addison-Wesley, 1970. • Nash, S.G.; Sofer, A: Linear and Nonlinear Programming..McGraw Hill, 1996. • Nemhauser, G.L.; Wolsey, L: Integer and Combinatorial Programming..Wiley, 1988. • Taha, H.A.: Operations Research: An Introduction for Network Programming.5a ed..Mac Millan, 1995. 115 TOPOLOGIA 1.- Identificació Codi: 10014 Crèdits: 7.5 (4.5 crèdits teòrics + 3 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Miguel Ángel Barja Yáñez Altres professors: Maria Alberich Carramiñana, Marta Casanellas Rius Idioma: Castellà-Català 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 3 39 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens 8 (4+4) No presencials Seguiment de classes de teoria 2 26 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 4 52 Realització de treballs 9 Preparació d’exàmens 40 Total 200 116 3.- Objectius En aquesta assignatura s'introdueix el llenguatge bàsic de la topologia (capítols 1 a 6) i uns conceptes bàsics de topologia algebraica (capítols 7 i 8). Quant a la topologia general, l'objectiu és que els estudiants assoleixin els conceptes generals de continuïtat, compacitat, connexió, etc. Començant per un capítol dedicat als espais mètrics, aquests ens serviran de fil conductor, per motivar exemples, contrastar nocions, i es finalitzarà, en el tema 6, amb un resultat de metritzabilitat d'espais topològics. L'objectiu de la segona part és l'estudi de la topologia del pla, mitjançant la introducció del concepte bàsic d’homotopia d'aplicacions, grau d'una aplicació de la circumferència en ella mateixa i índex d'una corba tancada respecte a un punt. : 4.- Continguts 1. Espais mètrics Boles obertes i tancades. Conjunts oberts. Aplicacions contínues. Distàncies equivalents. 2. Espais topològics Oberts i tancats. Bases, subbases, entorns. El segon axioma de numerabilitat. Aplicacions contínues, homeomorfismes. El primer axioma de numerabilitat: caracterització de propietats topològiques mitjançant límit de successions. 3. Construcció d'espais topològics Subespais. Productes d'espais topològics. Espais quocient i identificacions. Exemples: superfícies topològiques. Adjunció. 4. Compacitat Espais compactes. Productes i quocients d'espais compactes. Teorema de Heine-Borel. Teorema de Tikhonov i aplicacions. Espais localment compactes. Compactificació d’Alexandroff. Compacitat en espais mètrics: caracterització per successions. 5. Connexió Espais connexos. Components connexos. Continuïtat i connexió. Teorema del valor mitjà. Espais arcconnexos. Components arcconnexos. Espais localment connexos i localment arcconnexos. 6. Separació Axiomes de separació en espais topològics: espais de Fréchet, de Hausdorff, regulars i normals. Lema d’Urysohn. Teorema d'extensió de Tietze. Teorema de metritzabilitat d’Urysohn. Metritzabilitat de les varietats topològiques. 117 7. Homotopia d'aplicacions contínues Introducció a l’homotopia d'aplicacions contínues. Tipus d’homotopia d'un espai. Espais contràctils. Retractes de deformació. El conjunt de les classes d’homotopia %[X,I]. Functorialitat. 8. Aplicacions a la topologia del pla Índex d'una corba tancada. Teoremes de Poincaré-Böhl i Rouché. Teoremes de Bozen i del punt fix de Brouwer. El teorema fonamental de l'àlgebra. El teorema de Borsuk-Ulam. Invariància de la dimensió. Criteri de separabilitat d’Eilenberg. El teorema de la corba de Jordan. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Comprendre l'objecte abstracte d'espai topològic. Ús dels conceptes de base, subbase i entorn Saber comparar topologies. • Comprendre els conceptes de connexió (connexió, arcconnexió, definicions locals, components), compacitat (compactificacions) i separació en espais topològics. Capacitat de comprovació d’aquests conceptes en exemples concrets. • Interioritzar el concepte d’homeomorfisme. Capacitat explícita per calcular-lo quan sigui possible. Capacitat de raonament topològic per argumentar quan dos espais topològics no poden ser homeomorfs. • Capacitar per a la utilització de topologies induïdes, producte i quocient des d'un punt de vista abstracte. Especialment, identificació d'espais quocients via homeomorfismes i propietats functorials i capacitat de treball amb aplicacions definides en espais quocient. • Entendre les caracteritzacions alternatives dels conceptes topològics en els espais mètrics. Conèixer els criteris suficients per poder metritzar un espai topològic. • Entendre els conceptes bàsics d’homotopia entre aplicacions contínues i la construcció de l'espai %[X,I]. Entendre la construcció del grup d’homotopia d'aplicacions de la circumferència. Entendre el concepte d'elevació i de grau. • Comprendre el concepte d'índex d'una corba tancada del pla respecte al punt i la seva relació amb els conceptes de grau i d’homotopia. Capacitat de càlcul del mateix concepte: homotopia, Poincaré-Böhl, Rouché, fórmules integrals... • Entendre com el concepte d'índex permet demostrar els teoremes bàsics de la topologia del pla i l'esfera: Bozen, Brouwer, Borsuk-Ulam, Jordan... Capacitat d'aplicar-los a diferents situacions. Capacitats prèvies necessàries • Càlcul 1 i 2 • Àlgebra • Geometría 118 6.- Metodologia • Sessions de teoria: Classes magistrals en les quals es construeix tot el cos teòric de l'assignatura. Demostració de tots els resultats, amb alguna excepció molt concreta. Motivació prèvia en cada tema i inserció constant d'exemples i exercicis senzills. • Sessions de problemes: Classes de resolució de problemes d'una selecció d'una llista d'exercicis proposats a l'alumne prèviament. 7.- Avaluació Examen parcial no eliminatori de matèria. Examen final que inclourà una pregunta de teoria i una part de resolució de problemes. La nota final serà el resultat d’un màxim entre únicament la nota de l'examen final i el resultat de considerar també la nota de l'examen parcial (20 %). 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Armstrong, M.A.: Topología Básica..Reverté, 1987. • Kosniowski, C.: Topología Algebraica..Reverté, 1986. • Munkres, J.R.: Topología..Prentice-Hall, 1975. • Pascual, P.; Roig, A.: Topologia..UPC, 2004. • Sieradski, A.: An introduction to topology and homotopy..PWS-KENT, 1992. Referències complementàries: • Batle, N.; Rosselló, F.: Topologia General..U.I.B., 2000. • Hocking, J.; Young, G.: Topology..Dover, 1988. • Jänich, K.: Topology..Springer, 1984. • Singer, I.M.; Thorpe, J.A.: Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry..Springer, 1976. • Wall, C.T.C.: A geometric introduction to topology..Dover, 1993. 119 3r CURS - 1r QUADRIMESTRE 120 EQUACIONS DIFERENCIALS 1 1.- Identificació Codi: 10013 Crèdits: 7,5 (4,5 crèdits teòrics + 3 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Jordi Villanueva Castelltort Altres professors: Pere Gutiérrez Serrés, M. Teresa Martínez-Seara Alonso Idioma: Català 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 3 39 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens 3+4=7 (*) No presencials Seguiment de classes de teoria Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques Realització de treballs Preparació d’exàmens Total (*) Hi ha dos exàmens (parcial i final). El temps necessari per adquirir els coneixements teòrics i pràctics d'aquesta assignatura dependrà de la capacitat, l’habilitat i la motivació de cada estudiant. 127 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Carmo, M.P. do: Geometría diferencial de curvas y superficies..Alianza Universidad, 1990. • Cordero,L; Fernández, M.; Gray, A.: Geometría diferencial de curvas y superficies..Addison-Wesley Iberoamericana, 1995. • Girbau, J.: Geometria diferencial i relativitat..Publicacions de la Universitat de Barcelona, 1993. • Lipschutz, M.: Geometria diferencial..McGraw-Hill, 1991. • Novikov, S.P.; Fomenko, A.T.: Basics elements of differential geometry and topology..Kluwer, 1990. Referències complementàries: • Berger, M; Gostiaux, B: Differential geometry. Manifolds, curves and surfaces..Springer-Verlag, 1988. • Fedenko, A.S.: Problemas de Geometría Diferencial..Mir, 1991. • Spivak, M.: A comprehensive introduction to differential geometry (vol. 1).3a ed..Houston Publish or Perish, 1999. • Stillwell, J.: Geometry of surfaces..Springer-Verlag, 1992. • Struik, D. J.: Lectures on classical differential geometry.2a ed..Dover, 1988. Enllaços: • http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/vgp/ 128 MÈTODES NUMÈRICS 2 1.- Identificació Codi: 10011 Crèdits: 7.5 (3 crèdits teòrics + 4.5 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Antonio Huerta Cerezuela Altres professors: Pedro Díez Mejía, Marino Arroyo Balaguer Idioma: Castellà 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 2 26 Problemes i/o pràctiques 3 39 Realització d’exàmens 0 3 No presencials Seguiment de classes de teoria 3 39 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 3 39 Realització de treballs 60 Preparació d’exàmens 20 Total 226 129 3.- Objectius Proporcionar una sòlida perspectiva del conjunt dels mètodes numèrics basats en aproximació funcional, integració numèrica i resolució d'equacions no lineals que s'utilitzen en el càlcul i el disseny. Durant el curs s'aprofundirà en la concepció i la fonamentació de mètodes com ara les tècniques de mínims quadrats, en particular les basades en aproximació polinòmica. Com a cas general del problema de mínims quadrats, es tractarà la resolució de sistemes sobredeterminats a partir de les seves equacions normals o de tècniques de descomposició. S'estudiaran també els conceptes bàsics de la interpolació seccional. A continuació s'estudia la integració numèrica de dos punts de vista diferents: mètodes amb predefinició dels punts de base (quadratures de Newton-Cotes) i mètodes amb els punts de base lliures (quadratures de Gauss). El curs finalitza amb la resolució d'equacions no lineals en què, després d'estudiar zeros d'equacions qualssevol i arrels de polinomis, s'analitzen els mètodes usuals per a la resolució de sistemes d'equacions no lineals. 4.- Continguts 1. Conceptes bàsics d'aproximació funcional: Objectiu i utilitat de l'aproximació. Funcions tipus d'aproximació. Criteris d'aproximació: normes i seminormes de funcions, mesures d'error. 2. Aproximació funcional, tècniques de mínims quadrats Introducció i plantejament general. Sistemes ortogonals i aplicacions. Aproximació trigonomètrica. Altres aproximacions per mínims quadrats 3. Resolució de problemes de mínims quadrats Sistemes sobredeterminats. Mètodes d'ortogonalització. Descomposició en valors singulars. Definició i càlcul de la pseudo-inversa 4. Interpolació seccional Motivacions: limitacions de la interpolació i aproximació polinòmica. Splines emprats més comuns: C0, C1 i C2. Extensions a corbes de Bezier i B-splines 5. Integració numèrica Integració de Newton: formulació general i particularització a punts equiespaiats. Integració de Gauss: formulació general i quadratures usuals. Integració mixta. Tècniques de millora de la integració. Convergència. Integració de funcions amb punts de discontinuïtat i singularitats. Integració múltiple. 130 6. Resolució d'equacions no lineals Solució d'equacions qualssevol: plantejament general dels mètodes iteratius (definicions i criteris de convergència, teoremes de punt fix, condicions assimptòtiques), mètode de la bisecció, aproximacions successives, mètode de Newton i derivats, acceleració de convergència. 7. Mètodes iteratius per sistemes d'equacions Mètodes iteratius per sistemes lineals: mètodes estacionaris de primer grau. Mètodes de sobrerelaxació. Sistemes no lineals: mètodes de punt fix, mètode de Newton-Raphson i derivats, mètodes quasi-Newton, mètodes Newton secants, criteris de convergència, acceleracions de convergència, mètodes de continuació 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Coneixement dels algorismes numèrics i capacitat d'anàlisi. • Know-how pràctic de la implementació i l'anàlisi dels mètodes. 6.- Metodologia Presentació dels mètodes i anàlisi a les sessions teòriques, implementació i anàlisi experimental a les sessions de pràctiques. • Sessions de teoria: Presentació dels mètodes i anàlisi • Sessions de problemes: Desenvolupament de conceptes teòrics • Pràctiques: Implementació i anàlisi experimental a les sessions de pràctiques 7.- Avaluació La nota final estarà determinada pels exàmens, els treballs del curs i les pràctiques 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Axelsson, 0: Iterative solution methods..Cambridge University Press, 1994. • Dahlquist, G.; Björck, A: Numerical methods...Prentice Hall, 1975. • Hamming, R.W: Numerical methods for scientists and engineers..Dover, 1986. • Hildebrand, F.B: Introduction to numerical analysis..Dover, 1987. • Ralston, A.; Rabinowitz, P: A first course in numerical analysis..Mc Graw-Hill, 1978. • Ciarlet, P.G: Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation..Masson, 1990. • Ortega, J.M.; Rheinboldt, W.C: Iterative solution of nonlinear equations in several variables..Academic Press, 1970. 131 • Press, W.H., et al.: Numerical Recipes, The Art of Scientific Computing..Cambridge University Press, 1989. • Schumaker, L: Spline Functions Basic Theory..Krieger, 1993. • Stoer, J.; Bulirsch, R: Introduction to Numerical Analysis..Springer-Verlag, 1993. Enllaços: • www-lacan.upc.edu 132 3r CURS – 2n QUADRIMESTRE 133 EQUACIONS DIFERENCIALS 2 1.- Identificació Codi: 10020 Crèdits: 7,5 (4,5 crèdits teòrics + 3 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Marta València Guitart Altres professors: Josep Masdemont Soler Idioma: Català 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 3 39 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens 10(*) No presencials Seguiment de classes de teoria 3 39 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 4 52 Realització de treballs Preparació d’exàmens 40(*) Total 206 (*) hi ha dos examens parcials i un de final 134 3.- Objectius Presentar els punts més bàsics dins de la teoria d'equacions en derivades parcials.: • Proporcionar una bona base per als estudiants que desitgin seguir estudis més avançats. • Tenint en compte la seva rel·levància en les aplicacions físiques, donarem especial èmfasi a les anomenades Equacions de la Física Matemàtica, és a dir, a l'equació d'ones, l'equació del potencial, i l'equació de la calor. 4.- Continguts 1. Equacions en derivades parcials lineals de 2n ordre Definicions i exemples. Característiques. Problema de Cauchy. Teorema de Cauchy-Kovalesky.Classificació i forma canònica. Principi de superposició. 2. L'equació d'ones Solució de D'Alembert en un domini no acotat. Domini de dependència i domini d'influència. Solució de D'Alembert en un domini acotat. Propagació i reflexions d'ones. El mètode de separació de variables. 3. L'equació del potencial - l'equació de Laplace Exemples de funcions harmòniques i transformacions invariants. Propietat de la mitjana. Principi del màxim i conseqüències. Funcions de Green. Principi de Dirichlet. Separació de variables.Mètode de les diferències finites. Dominis no acotats. 4. L'equació de la calor Principi del màxim i conseqüències. Separació de variables. L'equació de la calor a la recta infinita. 5. Teoria de Sturn-Liouville i Funcions de Green. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Ràpida distinció entre les tres famílies d'equació en derivades parcials estudiades. Propietats, resolució, etc. • Interpretació física dels models. • Aplicar les tècniques del curs. Capacitats prèvies necessàries • Coneixement de les assignatures del primer cicle de la Llicenciatura de Matemàtiques 135 6.- Metodologia • Sessions de teoria: Classes de teoria complementades amb exemples. Es deixen alguns punts incomplerts per tal que els estudiants els completin per ells mateixos i els entreguin al llarg del curs (voluntari). • Sessions de problemes: Classes de resolució de problemes sobre una llista d'enunciats proposats prèviament. 7.- Avaluació Hi han dos parcials eliminatoris si la nota és suprior o igual a 4. Hi ha un final en el que es presenten els estudiants que no han eliminat matèria o aquells que volen millorar la nota. La nota final ve afectada d'un coeficient en funció dels problemes entregats a classe de teoria. 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Courant, R.; Hilbert, D.: Methods of Mathematical Physics...John Wiley & Sons, 1989. • Hellwig, G.: Partial differential equations..Tembner, 1977. • Tijonov, A.N.; Samarsky A.D.: Ecuaciones de la Física Matemática..Mir, 1983. • Weinberger, H.F.: Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales..Reverté, 1986. • Zachmanoglou, E.C.; Thoe, D.W.: Introduction to Partial Differential Equations with Applications..Dover, 1986. Referències complementàries: • Bitsadze, A.V.; Kalinichenko, D.F.: A collection of problems on the equations of mathematical physics..Mir, 1980. • Budak, B.M.; Samarsky, A.D.; Tijonov, A.N.: Problemas de la física matemática..Mc -Graw-Hill, 1992. • Kellogg, O.D.: Foundations of Potential Theory..Springer-Verlag, 1967. • Mijailov, V: Ecuaciones en Derivadas Parciales...Mir, 1978. • Sobolev, S.L.: Partial Differential Equations of Mathematical Physics..Dover, 1989. 136 GEOMETRIA DIFERENCIAL 2 1.- Identificació Codi: 10025 Crèdits: 7'5 (4'5 crèdits teòrics + 3 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Xavier Gràcia Sabaté Altres professors: Carles Padró Laimon Idioma: Català 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 3 39 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens 5 No presencials Seguiment de classes de teoria 3 39 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 4 52 Realització de treballs Preparació d’exàmens 24 Total 185 143 6.- Metodologia • Sessions de teoria: A les classes de teoria, a més de presentar-hi i exposar-hi els mètodes i les seves propietats, es faran exercicis i problemes sobre el tema i també es donaran exercicis per als alumnes. • Sessions de problemes: Les classes de pràctiques es realitzen en una aula de PC i consisteixen a resoldre exercicis pràctics per part dels alumnes i seguint les indicacions del professor. • Pràctiques: Hi ha una única pràctica, que consisteix a estudiar un problema concret d’EDO, és obligatòria i es realitza en grups de dues o tres persones. El problema que s’estudia s’escull durant la primera quinzena i es presenta oralment durant la darrera quinzena de classes. Durant tot el quadrimestre es treballen els diversos aspectes que s’han d’estudiar sota la direcció dels professors de l’assignatura. La memòria es lliura, com a màxim, el dia de l’examen final. 7.- Avaluació Hi haurà un examen parcial no eliminatori de matèria i l’examen final, a més de la pràctica. Els exàmens són de problemes i a la pràctica s’avaluaran el treball realitzat, les iniciatives dels alumnes, així com la presentació pública i la qualitat de les explicacions de la memòria. La nota final serà: max((examen parcial + examen final) / 2, examen final) * 0,7 + pràctica * 0,3 Per al cas de l’examen extraordinari la nota es calcularà segons la fórmula següent: examen * 0,7 + pràctica * 0,3 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Butcher, J.: The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations..John Wiley, 1987. • Grau, M.; Noguera, M.: Càlcul Numèric..Edicions UPC, 1993. • Keller, H.B.: Numerical Methods for two-point Boundary-Value Problems..Dover, 1992. • Lambert, J.D: Numerical Methods for Ordinary Differential Systems..John Wiley, 1991. • Sanz-Serna, J.M.; Calvo, M.P.: Numerical Hamiltonian Problems..Chapman & Hall, 1994. 144 Referències complementàries: • Arnold, V.: Ordinary Differential Equations..Mit Press, 1973. • García Merayo, F.: Fortran 90 Lenguaje de Programación..Paraninfo, 1999. • Henrici, P.: Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations..John- Wiley, 1962. • Parker, J.S.; Chua, L.O.: Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems..Springer, 1989. • Wiggins, S.: Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos.2a ed..Springer, 2003. 145 MODELS MATEMÀTICS DE LA FÍSICA 1.- Identificació Codi: 10024 Crèdits: 7.5 (4.5 crèdits teòrics + 3 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Sebastià Xambó Descamps Altres professors: Josep Elgueta Montó Idioma: Català (i alguns materials en anglès) 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 3 39 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens 4 No presencials Seguiment de classes de teoria 2 26 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 3 39 Realització de treballs 25 Preparació d’exàmens 10+14=24 (*) Total 183 (*) S'inclouen les hores de preparació de les proves fetes en hores de classe. 146 3.- Objectius Cenyint-nos als camps de la mecànica, l'electromagnetisme i la relativitat especial, es tracta d'analitzar algunes de les interrelacions més fructíferes entre matemàtiques i física. Aquesta tasca ha d’afavorir una comprensió més completa tant de les matemàtiques com de la seva aplicabilitat a problemes interessants del món real en els quals tinguin un paper important els coneixements dels dominis considerats.: • Comprensió del paper fonamental que fa la modelització matemàtica en la resolució de problemes físics i en la formulació de teories. • Assimilació i utilització de la noció de sistema mecànic i del seu tractament, teòric i pràctic, mitjançant els mètodes de Lagrange i de Hamilton. • Assimilació i utilització del concepte de camp en física, fonamentalment en el cas de l'electromagnetisme. • Comprensió del contingut físic de les equacions de Maxwell i de les seves conseqüències. • Comprensió de la influència que els sistemes de referència tenen en la descripció dels fenòmens físics i de la contribució de la teoria de la relativitat especial a la resolució d'aquesta arbitrarietat tant pel que fa a la mecànica com pel que fa a l'electromagnetisme. • Exercitació de l'alumne en la preparació i presentació oral i escrita d'un treball. 4.- Continguts 1. Mecànica clàssica Espai de configuracions i espai d'estats. Formulació lagrangiana i hamiltoniana de la mecànica de Newton. Lleis de conservació. Teorema de Noether. Sistemes conservatius amb un grau de llibertat. Sòlid rígid. 2. Camps electromagnètics Càrregues, corrents i equació de continuïtat de la càrrega. Camps electrostàtics. Teoria del potencial. Camps magnetostàtics. Materials magnètics. Inducció electromagnètica. Equacions de Maxwell. Ones electromagnètiques en el buit. Energia d'un camp electromagnètic. Potencial vector i potencial escalar. Fenòmens elèctrics i magnètics en medis materials. 3. Relativitat restringida Història de l’èter lumínic. El grup de Lorentz-Poincaré. Retard dels rellotges i contracció de Fitzgerald. Dinàmica relativista. Formulació relativista del camp electromagnètic. Òptica relativista. 147 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Comprendre el formalisme lagrangià, la seva necessitat, els seus avantatges respecte a la formulació newtoniana, i saber-lo usar per resoldrer problemes de mecànica. • Comprendre aspectes estructurals de la mecànica com ara les equacions de Hamilton, la relació entre simetries i quantitats conservades (teorema de Noether i aplicacions) i l'anàlisi de les petites oscil·lacions (freqüències i modes fonamentals). • Conèixer els elements fonamentals per a la descripció del moviment d'un sòlid rígid, les equacions que descriuen la seva dinàmica i els exemples més bàsics. • Saber calcular, tant directament com usant la llei de Gauss i la llei d'Ampère, el camp elèctric de distribucions senzilles de càrregues i el camp magnètic de configuracions senzilles de corrents. • Entendre el fenomen de la inducció electromagnètica i la seva formulació matemàtica, la noció de corrent de desplaçament, el seu paper en la formulació de llei de Maxwell-Ampère i en la unificació de l'electromagnetisme i l'òptica. • Conèixer la formulació de l'electrodinàmica en termes dels potencials vector i escalar. • Entendre la necessitat de la relativitat restringida, la seva relació amb la mecànica i l'electromagnetisme clàssics, les transformacions de Lorentz i les seves conseqüències més importants. • Conèixer la noció de quadrivector i la reformulació relativista de la mecànica clàssica. • Comprendre la natura relativista de la separació del camp electromagnètic en camp elèctric i camp magnètic, i les conseqüències bàsiques d'aquest fet. Capacitats prèvies necessàries • Càlcul 3 • EDO • Geometria Diferencial 6.- Metodologia Classes de teoria, sessions de resolució de problemes i realització d'un treball. • Sessions de teoria: S'expliquen d'una manera sistemàtica els diversos temes del programa i s'il·lustren amb exemples escollits. • Sessions de problemes: Es fan problemes relacionats amb els temes de teoria amb la participació dels alumnes. • Pràctiques: De manera individual o per grups reduïts, s'assignen temes per a treballs complementaris del material treballat a les classes de teoria i de problemes, el qual han d'exposar oralment d'una manera resumida i han d'entregar per escrit el dia de l'examen final. 148 7.- Avaluació Teoria: dos exàmens, un a mitjan quadrimestre i l'altre l'examen final, cada un basat en dotze temes. Problemes Curs: dues sessions de problemes puntuables, la primera per resoldre un problema de mecànica i la segona un d'electromagnetisme. Problemes Examen Final: un problema de mecànica, un d'electromagnetisme i un de relativitat especial. Treball: es valora el resum escrit, la seva presentació oral i el treball escrit final. La nota final es calcula com segueix: 0,889 * (0,3 * Teoria + 0,2 * ProblemesCurs + 0,4 * ProblemesExamenFinal) + 0,2 * Treball 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Goldstein, H: Classical Mechanics.3a ed..Addison-Wesley, 2003. • Chow, T.L.: Classical Mechanics..John Wiley, 1995. • Lorrain, P.; Corson, D.R.; Lorrain, F.: Fundamentals of Electromagnetic Phenomena..Freeman and Co., 2000. • Cook, D.M.: The theory of the Electromagnetic Field..Dover, 2002. • Rindler, W.: Relativity: Special, General and Cosmological..Oxford University Press, 2001. Referències complementàries: • Jackson, J.D.: Classical Electrodynamics..John Wiley, 1998. • Girbau, J.: Geometria diferencial i relativitat..Edicions UAb, 1993. • Rañada, A.: Dinámica clásica..Alianza Universidad, 1990. • Misner, G.W.; Thorne, K.S.; Wheeler, J.A.: Gravitation..Freeman and Co., 1973. • Griffiths, D.J.: Introduction to Electrodynamics.3a ed..Prentice and Hall, 1995. 149 4t CURS – 1r QUADRIMESTRE 150 ÀLGEBRA ABSTRACTA 1.- Identificació Codi: 10022 Crèdits: 7,5 (4,5 crèdits teòrics + 3 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Anna Rio Altres professors: Montserrat Vela, Joan Carles Lario Idioma: Català 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 3 39 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens 4+4=8 * No presencials Seguiment de classes de teoria 3 39 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 4 52 Realització de treballs Preparació d’exàmens 10+15=25 * Total 189 (*) Hi ha dos exàmens: el parcial i el final. 151 3.- Objectius En aquesta assignatura es pretén que l'estudiant es familiaritzi amb les estructures bàsiques de l'àlgebra. El curs comença amb l'estudi dels grups, que tindran un paper destacat a tota la resta del curs, els anells i els cossos. A continuació, hi ha el tema central del curs: les equacions polinòmiques en una variable i la teoria de Galois.: 4.- Continguts 1. Grups Conceptes bàsics. Subgrups normals. Teoremes d'isomorfisme. Grups simètric i alternat. Grups simples. Simplicitat de l'alternat. Grups resolubles. Teorema de Jordan-Hölder. Grups que operen en un conjunt. Accions per translació i conjugació. Representacions de permutació. p-grups. Teoremes de Sylow. Aplicacions. 2. Anells Divisibilitat. Anells factorials, principals, euclidians. Polinomis sobre anells factorials. Polinomis simètrics. Teorema fonamental. Discriminant i resultant. 3. Extensions de cossos Extensions finites i algebraiques. Adjunció d'elements. Teorema de l'element primitiu. Cos de descomposició. Clausura algèbrica. Extensions normals. Separabilitat. 4. Teoria de Galois Grup de Galois. Teorema fonamental de la teoria de Galois. Grup de Galois d'un polinomi. Resolvents. Càlculs explícits. Arrels de la unitat. Extensions ciclotòmiques. Extensions cícliques. Equacions resolubles per radicals. Resolució per graus 2, 3 i 4. No-resolubilitat de l'equació general de grau 5. Aplicacions: construccions amb regle i compàs, els tres problemes clàssics. Constructibilitat de polígons regulars. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Treballar amb mètodes diversos per obtenir informació, parcial o total, sobre el reticle de subgrups d'un grup. • Familiaritar-se amb l'estructura de K[x] com a anell euclidià. • Calcular de manera eficient resultants i discriminants. • Fer explícita la correspondència de Galois per a polinomis cúbics i quàrtics. Capacitats prèvies necessàries • Les adquirides en l'assignatura Computació Algebraica. 152 6.- Metodologia • Sessions de teoria: Enunciat i demostració dels resultats. Els temes comencen amb l'axiomàtica que defineix l'estructura abstracta que s'estudia i progressivament s'arriba a la demostració dels resultats fonamentals. • Sessions de problemes: Atès el caràcter eminentment abstracte de l'assignatura, alguns dels problemes requereixen la guia del professor. En tot cas, es fomentarà la participació màxima dels estudiants en la resolució dels problemes proposats. 7.- Avaluació L'avaluació ordinària consistirà en un examen parcial no alliberatori (30 %) i un examen final (70 %). L'avaluació extraordinària constarà d'un únic examen. 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Fenrick, M. H.: Introduction to the Galois correspondence..Birkhäuser, 1992. • Rotman, J.: An introduction to the theory of groups.4a ed..Springer-Verlag, 1995. • Rotman, J.: Galois Theory..Springer-Verlag, 1990. • Stewart, I.: Galois Theory..Chapman and Hall, 1989. • Xambó, S.; Delgado, F.; Fuertes, C.: Introducción al Álgebra (2 vols)..Complutense, 1993. Referències complementàries: • Artin, E.: Teoría de Galois..Vicens-Vives, 1970. • Cohn, P.M.: Algebra (3 vols)..John Wiley & Sons, 1982. • Edwards, H.: Galois Theory..Springer-Verlag, 1989. • Lang, S.: Algebra..Addison-Wesley, 1993. • Waerden, B.L. van der: Algebra (2 vols)..Springer-Verlag, 1991. 255 MÈTODES NUMÈRICS EN ENGINYERIA 1.- Identificació Codi: 11871 Crèdits: 7,5 (3 crèdits teòrics + 4,5 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Antonio Rodríguez Ferran Altres professors: Esther Sala Lardies Idioma: Català i castellà 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 1,5 19,5 Problemes i/o pràctiques 2,5 32,5 Realització d’exàmens 0 3 No presencials Seguiment de classes de teoria 3 39 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 3 39 Realització de treballs 75 Preparació d’exàmens 15 Total 223 256 3.- Objectius El curs té un doble objectiu. El primer objectiu és tractar dos temes avançats en el camp dels mètodes numèrics en enginyeria: els sistemes no lineals d’equacions i la dinàmica de fluids. El segon objectiu, de caire més general, és il•lustrar, a partir de casos pràctics, el paper cada cop més important de l’enginyeria computacional en les diverses branques de l’enginyeria i de les ciències.: • Sistemes no lineals • Es dona una perspectiva general de les tècniques numèriques de resolució de sistemes d’equacions algebraiques no lineals, associats a la discretització d’EDP no lineals. • Mètodes numèrics per fluids • Es dona una perspectiva general dels mètodes d’elements finits que s’utilitzen en problemes de fluids. • Aplicacions en enginyeria computacional • Es treballarà amb una gran varietat de problemes: mecànica lineal i no lineal de sòlids, dinàmica de fluids, fenòmens de convecció-difusió, ones, electromagnetisme, etc. • Les sessions pràctiques se centraran en discutir les possibilitats dels mètodes numèrics en aplicacions reals –fent servir programes comercials– i, sobretot, en l’anàlisi dels resultats, més que no pas en aspectes de programació. 4.- Continguts 1. Introducció als sistemes no lineals d'equacions 2. Solució de sistemes no lineals d’equacions Introducció i orígens dels problemes no lineals. Mètodes de punt fix: existència i unicitat de solució, mètode de Picard. Mètode de Newton-Raphson. Plantejament incremental/iteratiu. Variants del mètode de Newton-Raphson: Newton-Raphson modificat, Whittaker. Mètodes quasi-Newton, introducció i classificació, mètode de Broyden directe i invers, altres mètodes de rang 1, mètodes de rang 2: DFP i BFGS, anàlisi comparativa. Mètodes quasi-Newton per a problemes amb estructura especial. Estudi de la convergència dels mètodes de Newton-Raphson i quasi-Newton. Mètodes Newton-secant, motivació i definició, mètodes més utilitzats. Criteris de convergència. Acceleracions de convergència. Mètodes de continuació. 3. Mètodes d’elements finits per dinàmica de fluids Problemes de transport estacionaris i transitoris. Problemes de flux compressible. Problemes de convecció-difusió transitoris. Flux viscós incompressible. 4. Aplicacions en enginyeria computacional Mecànics de sòlids: anàlisi estàtica/dinàmica; anàlisi lineal/no lineal. Dinàmica de fluids. Problemes d’ones. Electromagnetisme. 257 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Visió de conjunt de tècniques numèriques per sistemes no lineals d'equacions • Criteri per a l'elecció de la tècnica més adequada • Visió de conjunt de tècniques numèriques per problemes de fluids • Coneixement del rang s'aplicació de l'enginyeria computacional i de les possibilitats de la modelització numèrica • Anàlisi crítica dels resultats d'una simulació numèrica Capacitats prèvies necessàries • Coneixements bàsics de mètodes numèrics • Coneixements bàsics d'equacions en derivades parcials 6.- Metodologia Es combinen classes teòriques a l'aula convencional i classes pràctiques a l'aula informàtica. • Sessions de teoria: Presentació i discussió dels aspectes fonamentals de cada tema. Material de classe (apunts i/o transparències) disponible a la intranet de l'assignatura. • Pràctiques: Treballs dirigits de modelització numèrica. Anàlisi crítica dels resultats. 7.- Avaluació A partir dels treballs pràctics i l'examen. 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Crisfield, M.A.: Non-Linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Vol. 1 : Essentials..Wiley, 1991. • Dennis, J.E.; Schnabel, R.B.: Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations..Prentice-Hall, 1996. • Donea, J.; Huerta, A.: Finite Element Methods for Flow Problems..Wiley, 2003. • Kelley, C.T.: Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations..SIAM, 1995. • Morton, K.W.: Numerical Solution of Convection-Diffusion Problems..Chapman & Hall, 1996. 258 Referències complementàries: • Bathe, K.J.: Finite Element Procedures..Prentice-Hall, 1996. • Belytschko, T.; Liu, W.K.; Moran, B.: Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures..Wiley, 2000. • Ortega, J.M.; Rheinboldt, W.: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables..Academic Press, 1970. • Trefethen, L.N.; Bau III, D.: Numerical Linear Algebra..SIAM, 1997. • Zienkiewicz, O.C.; Taylor, R.L.: The Finite Element Method (3 volumes)..Butterworth Heinemann, 2000. Enllaços: • www-lacan.upc.edu 259 OPTIMITZACIÓ CONTÍNUA 1 1.- Identificació Codi: 11879 Crèdits: 7,5 (4,5 crèdits teòrics + 3 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Narcís Nabona Altres professors: Idioma: Català 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 3 39 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens 4 * No presencials Seguiment de classes de teoria 3 39 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 1,5 19,5 Realització de treballs Preparació d’exàmens 72 Total 199,5 (*) Hi ha dos parcials alliberadors. 260 3.- Objectius Formar en els principis i l'aplicació de l'optimització contínua a resoldre problemes reals.: • Presentar les bases teòriques dels principals algorismes d'optimització contínua i les seves eines de resolució de problemes de mida gran. • Justificar l'eficiència computacional dels algorismes que es presenten. • Comprendre una part de les propietats dels algorismes mitjançant l'experimentació computacional amb programes preparats. • Adquirir pràctica en l'ús de les eines professionals de l'optimització contínua. • Entrar en contacte amb problemes reals d'optimització contínua. 4.- Continguts 1. Conceptes bàsics Convergència local i global d'algorismes. Direcció de descens. Ordre i taxa de convergència. Fita superior a la taxa de convergència del mètode del gradient. Esparsitat de matrius i vectors. Producte espars de matriu per vector. Graf equivalent a una matriu esparsa simètrica. Factorització de matrius esparses i reordenacions simètriques. 2. Optimització sense constriccions que no utilitza derivades Procediment de Nelder-Mead. Generació de símplexs. Reflexions, expansions, contraccions i reduccions. Criteris per usar-les. Criteris d'acabament. 3. Mètodes de direccions conjugades per a optimització sense constriccions Direccions Q-conjugades. Minimització d'una funció quadràtica. Algorisme del gradient conjugat. Convergència i relació amb els valors propis. Solució de sistemes lineals simètrics a través del gradient conjugat. Aplicació a funcions qualsevol. El mètode del gradient conjugat parcial. 4. Mètode de Newton per a optimització sense constriccions Convergència local i global. Modificacions definides positives. Factorització de Gill-Murray. Modificació de Dennis-Schnabel. Direccions de curvatura negativa. 5. Factoritzacions ortogonals i mínims quadrats Matrius de Householder. Factoritzacions QR i LQ amb rang complet i incomplet. Subespai de rang i subespai nul. Matriu Z. Mínims quadrats lineals. Resolució amb i sense factorització QR. Factorització ortogonal completa de matrius amb rang deficient i mínims quadrats de norma mínima. Mínims quadrats qualssevol. Algorisme de Gauss-Newton. 261 6. Minimització amb constriccions lineals d'igualtat Obtenció d'un punt inicial factible i de la matriu Z per factorització LQ i pel mètode de reducció de variables. Algorisme general usant el gradient i la hessiana projectats. Problema lineal. Resolució directa del cas amb funció objectiu quadràtica. Estimacions de multiplicadors de Lagrange de 1r i 2n ordre. 7. Minimització amb constriccions lineals de desigualtat Mètode del conjunt actiu. Heurística crash-start per obtenir un punt factible. Especialització de Murtagh-Saunders quan hi ha constriccions lineals d'igualtat i fites simples. Variables superbàsiques. El mètode del símplex de programació lineal com a cas particular de l'algorisme. Minimització subjecta a fites simples. 8. Procediments de punt interior per escalat afí per a programació lineal Concepte de punt interior. Direccions factibles de descens. Escalat afí primal. Criteri d'acabament. Algorisme de l'escalat afí primal. Punt interior del problema dual. Algorisme de l'escalat afí dual. 9. Minimització amb constriccions qualssevol pel gradient reduït generalitzat Aplicació a un problema amb constriccions lineals d'igualtat i variables fitades. Variables dependents i independents. Aplicació a problemes amb constriccions qualssevol. Retorn a la hipersuperfície de les constriccions. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Saber classificar els distints tipus de problema d'optimització segons la funció objectiu i, si n'hi ha, el tipus de constriccions presents. • Conèixer quins són els principals algorismes adequats per resoldre cada tipus de problema d'optimització. • Conèixer les propietats principals dels algorismes considerats i la seva eficiència computacional donada la implementació realitzada dels algorismes. • Saber com es poden implementar els algorismes considerats i quin programari existeix de domini públic o de pagament per fer aplicacions. • Experimentar amb programari existent per resoldre un problema real i poder comparar l'eficiència de distintes solucions. • Usar modelitzadors i resolutors profesionals de domini públic o de pagament. Capacitats prèvies necessàries • Coneixement d'operacions bàsiques amb matrius i vectors i de diferenciació multivariant. Determinació d'òptims a partir de les condicions d'optimalitat. • Coneixement de l'exploració lineal per aproximar l'òptim d'una funció multivariant des d'un punt al llarg d'una direcció. • Coneixement de l'algorisme del símplex de programació lineal. • Saber compilar i muntar un programa a partir d'un programa principal i de distintes subrutines pròpies o subministrades. • Experiència en programació. • Experiència en l'ús de Matlab. 262 6.- Metodologia S'exposa la teoria a classe i s'usa programari existent i d'altre que, en part, s’ha de desenvolupar per aplicar els algorismes estudiats a diversos tipus de problema d'optimització. • Sessions de teoria: Exposicions dels problemes d'optimització i dels algorismes que els resolen eficientment i les seves propietats. • Sessions de problemes: Hi ha una col·lecció de problemes resolts, alguns dels quals s'exposaran a classe. És recomanable que l'alumne els resolgui pel seu compte amb l'ajut de Matlab per realitzar les operacions. • Pràctiques: Amb programari existent i amb programes i rutines preparades pels alumnes s'han de resoldre problemes d'optimització de diferents tipus. 7.- Avaluació Ordinària: Hi ha dos parcials alliberadors de la 1a i 2a meitat del curs. Cadascun pesa un 35% sobre la nota, i cal una nota mínima de 2 per aprovar l'assignatura. Hi ha pràctiques obligatòries i altres d'optatives. La nota pesa un 30% i per aprovar l'assignatura cal tenir aprovades les pràctiques. Extraordinària: Hi ha un examen que pesa un 70%, i cal tenir les pràctiques aprovades, les quals pesen un 30%. 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Bertsekas, D.P.: Nonlinear Programming.2a ed..Athena Scientific, 1999. • Dennis, J.E.; Schnabel, R.B.: Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations..Prentice-Hall, 1996. • Duff, I.; Erisman, A.M.; Reid, J.K.: Direct Methods for Sparse Matrices..Oxford Clarendon Press, 1989. • Gill, P.E.; Murray, W.; Wright, M.H.: Practical Optimization..Academic Press, 1981. • Luenberger, D.G.: Linear and Nonlinear Programming..Addison-Wesley, 1984. Referències complementàries: • Gill, P.E.; Murray, W.; Wright, M.H.: Numerical Linear Algebra and Optimization..Addison-Wesley, 1991. • Nabona, N.: Notes de Classe d'Optimització Contínua 1..Servei Publicacions FME, 2004. • Nabona, N.: Pràctiques d'Optimització Contínua 1..Servei Publicacions FME, 2004. • Nabona, N.; Heredia, F.J.: Problemes d'Optimització Contínua 1..Servei Publicacions FME, 2004. • Wright, S.J.: Primal-Dual Interior-Point Methods..SIAM, 1997. 263 PARAL·LELITZACIÓ D'ALGORISMES 1.- Identificació Codi: 12807 Crèdits: 7.5 (3.75 crèdits teòrics + 3.75 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: José María Cela Espín Idioma: Castellano 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 2 26 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens No presencials Seguiment de classes de teoria 1 13 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 4 52 Realització de treballs 50 Preparació d’exàmens 10 Total 177 264 3.- Objectius Els objectius bàsics de l’assignatura són: 1) Conèixer els diferents models de paral·lelització que existeixen: Memòria Compartida, Pas de missatges i paral·lelització en GRID. 2) Veure la implementació en les simulacions numèriques per a resoldre EDPs sobre aquest model de paral·lelització 3) Veure problemes laterals relacionats amb la paral·lelització de aplicacions numèriques, tals com la diferenciació automàtica o la aritmètica de intervals: • Dins del primer objectiu ens centrarem en: 1. Conceptes generals d’enginyeria del software 2. Programació amb llibreries de threads (Posix Threads) 3. Programació amb openMP 4. Programació amb MPI 5. Programació amb GRIDSuperscalar L’assignatura es centrarà bàsicament en la programació amb openMP i la programació amb MPI. L’alumne tindrà que desenvolupar diferents casos pràctics combinant ambos models de programació (MPI/openMP). Els altres models seran tractats només en classes de teoria. • Dins del segon objectiu ens concentrarem en el mètode dels elements finits. Els alumnes tindran que desenvolupar una aplicació paral·lela completa d’elements finits fent servir MPI/openMP. Es farà especial èmfasis en tots els aspectes relacionats amb la manipulació i emmagatzemant de matrius disperses. • Dins del tercer objectiu ens centrarem en aspectes relacionats amb problemes d’optimització, anàlisis de sensibilitat i anàlisis d’error. Es descriurà la metodologia de la diferenciació automàtica per a càlcul de derivades. I la metodologia de l’aritmètica de intervals per anàlisis d’error. D’aquesta part no hi haurà treballs pràctics. 4.- Continguts 1. Models de programació paral·lela Introducció a l’arquitectura dels processadors superescalars Arquitectures paral·leles: multiprocessadors vs. multicomputadores Model de programació de memòria compartida: Posix Threads i openMP Model de programació de pas de missatges: MPI Model de programació de computació en GRID: GRIDSuperscalar 2. Aspectes computacionals del mètode dels elements finits Elements finits vs. diferencies finites Estructures de dades usades en simulacions d’elements finits Problemes associats a la generació de malla Tipus d’EDPs: El·líptiques, parabòliques, hiperbòliques Integració en temps: Explicita vs. Implícita 271 TEORIA DE GRAFS 1.- Identificació Codi: 11863 Crèdits: 7,5 (4 crèdits teòrics + 3,5 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Anna Lladó Sànchez Altres professors: Francesc Comelles Padro Idioma: Català 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 3 39 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens 3+3=6* No presencials Seguiment de classes de teoria 3 39 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 4 52 Realització de treballs - Preparació d’exàmens 10+16=26* Total 188 (*) Hi ha dos exàmens: un de parcial i un de final. 272 3.- Objectius L'objectiu d'aquest curs és introduir la teoria de grafs com l'estudi estructural de les relacions binàries. Està, per tant, en el cor del que avui dia es coneix amb el nom de matemàtica discreta. La teoria de grafs té els orígens a començaments del segle XX i des d’aleshores ha viscut un creixement ràpid, a causa en gran part del món dels ordinadors i les noves tecnologies.: • Que l'alumne conegui els diferents problemes que van originar aquesta nova branca de la matemàtica discreta. • Que l'alumne conegui els resultats clàssics més importants respecte a aquest tema. • Que l'alumne aprengui a tractar petits problemes associats a cada part de l’assignatura. • Que l'alumne conegui alguns dels problemes oberts relacionats amb cada problema. • Despertar en l'alumne l'interès i la fascinació per la matemàtica viva i moderna. 4.- Continguts 1. Conceptes bàsics En aquesta part introduirem els primers conceptes d'aquest nou llenguatge, que farem servir i desenvoluparem al llarg del curs. Operacions amb grafs i subgrafs. Isomorfismes de grafs. Camins i cicles. Connectivitat. Planarietat. 2. Subgrafs generadors Arbres. Cicles. Circuits. 3. Fluxos i Connectivitat Xarxes i fluxos. Teorema de Ford i Fulkerson. Teorema de Menger. 4. Aparellaments Independència i recobriments. Aparellaments en grafs bipartits. Teorema de Tutte. 5. Factors i Descomposicions Factors. Factoritzacions. Descomposicions. 273 6. Acoloriments Acoloriment de vèrtexs. Acoloriment de branques. Acoloriments totals. 7. Teoria Extremal Grafs extremals. Teorema de Turàn. Alguns resultats extremals. 8. Problemes resolts Els problemes proposats en exàmens de cursos anteriors donaran una idea del nivell de maduresa que s'espera d'aquest curs. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Control dels conceptes bàsics introduïts en el primer tema de l'assignatura. • Tenir consciència de la dificultat intrínseca d'alguns problemes clàssics de la teoria de grafs, com per exemple l'existència de cicles i camins hamiltonians. • Conèixer i dominar la noció de flux en una xarxa. • Saber tractar alguns problemes de vèrtex-connectivitat i branca-connectivitat. • Conèixer les eines necessàries per determinar l'existència d'aparellaments, tant en grafs bipartits com en grafs en general. • Factoritzar un graf o bé descompondre’l en subgrafs és un dels problemes encara oberts i pretenem conèixer les eines i fronteres de la seva anàlisi. • Els problemes d’acoloriments de vèrtexs i branques d'un graf constitueixen una de les parts importants en aquest curs. • La teoria extremal de grafs és potser una de les formes més elegants per tractar l'existència de certs subgrafs o certes propietats que volem que es compleixin en determinades famílies de grafs i d'aquestes trobar, en general, la densitat límit d'aquestes families. Capacitats prèvies necessàries • Àlgebra lineal • Càlcul infinitesimal 6.- Metodologia • Sessions de teoria: S'exposaran a la pissarra les nocions i els resultats teòrics de cada part del curs, i es donaran la majoria de les demostracions. Els alumnes disposaran d'unes notes de l’assignatura. • Sessions de problemes: Es proposaran i es resoldran problemes relacionats amb cada tema. Els alumnes disposaran d'exercicis i problemes proposats què s'inclouen en les notes de classe. Tambe s'inclou una llista de problemes resolts corresponents a examens d'anys anteriors. 274 • Pràctiques: No n'hi ha. 7.- Avaluació Hi haurà un examen parcial no eliminatori i un examen final. La nota final serà: 0,4 (nota parcial) + 0,6 (nota final). 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Biggs, N.; Lloyd, E.K.; Wilson, R.J.: Graph Theory..Clarendon Press, 1976. • Bollobás, B.: Modern Graph Theory..Springer-Verlag, 1998. • Comellas, F., et al.: Matemàtica Discreta..Politext, 1994. • Diestel, R.: Graph Theory..Springer-Verlag, 1998. • Matousek, J.; Nesetril, I: Invitation to Discrete Mathematics..Oxford Univ. Press, 1999. Referències complementàries: • Beineke, L.W.; Wilson, R.J.: Graph Connections..Clarendon Press, 1997. • Bollobás, B.: Extremal Graph Theory..Dover, 2004. • Lovasz, L.: Matching Theory..Annals of Discrete Mat., 1986. • Tutte, W.: Graph Theory As I Have Known It..Kluwer Oxford Univ. Press, 1998. • Wallis, W.D.: One-Factoritations..Academic Publishers, 1997. 275 TEORIA MATEMÀTICA DELS MERCATS FINANCERS 1.- Identificació Codi: 17503 Crèdits: 7.5 (3.75 crèdits teòrics + 3.75 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Josep J. Masdemont Soler Altres professors: Francesc Planas Vilanova Idioma: Català 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 2.5 32.5 Problemes i/o pràctiques 2.5 32.5 Realització d’exàmens 4+4=8 * No presencials Seguiment de classes de teoria 3 39 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 3 39 Realització de treballs 20 Preparació d’exàmens 10+15=25 * Total 196 (*) Comptant examen parcial i final. 276 3.- Objectius L'objectiu del curs és introduir els mètodes matemàtics per a la valoració de productes financers moderns. El curs consta de tres parts diferenciades. La primera part està dedicada a descriure els productes financers i la seva valoració usant arbitratge. En la segona part es dóna la fonamentació matemàtica per als processos discrets. Finalment, en la tercera part, es tracten els processos continus, per acabar presentant l'entorn de Black-Scholes. Per això cal també introduir nocions bàsiques de càlcul diferencial estocàstic.: • Que l'alumne comprengui la base matemàtica de la modelització dels mercats financers. • Tenir coneixement de les limitacions dels models. • Aprendre el concepte d'arbitratge i les seves aplicacions. • Adquirir nocions de càlcul diferencial estocàstic. • Entendre la fonamentació i la deducció de la fórmula de Black-Scholes. • Que l'alumne sàpiga valorar productes financers senzills. 4.- Continguts 1. Productes financers i arbitratge Introducció als futurs i les opcions. Concepte d'arbitratge i el seu ús. Cobertura amb futurs i opcions. Preus forward i futurs. Futurs sobre tipus d'interès. Swaps. Propietats dels preus de les opcions sobre accions. 2. Models discrets El model d'arbre binomial. La probabilitat risc neutral. Formalisme per als mercats discrets. Informació, mesurabilitat i filtracions. Estratègia de carteres i autofinançament. Esperança condicional. Teorema de Kolmogorov. Martingales. 3. Models continus Passeig aleatori i obertura cap als mercats continus. Moviment brownià. Integral i càlcul d'Itô. Equacions diferencials estocàstiques. Teoremes de canvis de mesura. Estratègies contínues autofinançades. Model i fórmula de Black-Scholes. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Saber obtenir els preus teòrics de productes financers senzills com per exemple opcions europees de compra. • Saber l'ús d'opcions financeres per a cobertura i especulació. • Saber resoldre equacions diferencials estocàstiques senzilles. • Capacitat de fer servir diferents mesures de probabilitat i fer simulacions en arbres binomials. • Estar en disposició de poder començar a treballar en entitats financeres. 277 Capacitats prèvies necessàries • Coneixements de càlcul infinitessimal. • Coneixements de probabilitat general. 6.- Metodologia • Sessions de teoria: A les sessions de teoria es desenvoluparà el programa amb exemples. • Sessions de problemes: A les sessions de problemes els alumnes treballaran la llista d'exercicis i els resoldran i presentaran de manera personal o per grups. • Pràctiques: Durant el curs hi haurà la possibilitat de desenvolupar una pràctica de curta durada 7.- Avaluació Hi haurà un examen parcial no eliminatori de matèria i un examen final amb continguts teòrics i pràctics. La nota final serà: A = màx((examen parcial) * 0,4 + (examen final) *0,6, examen final) en cas de no haver realitzat cap pràctica, o bé: màx(A, A * 0,8 + practica * 0,2) en cas d'haver realitzat una pràctica. 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Baxter, M.; Rennie, A.: Financial Calculus..Cambridge University Press, 1996. • Dothan, M.: Prices in Financial Markets..Oxford University Press, 1990. • Hull, J.: Options, Futures and Other Derivative Securities..Prentice Hall, 1993. • Lamberton, D.; Lapeyre, B.: Introduction to Stochastic Calculus Applied to..Chapman & Hall, 1997. • Wilmott, P.; Dewynne, J.; Howison, S.: Option Pricing..Oxford Financial Press, 1997. Referències complementàries: • Ikeda, N.; Watanabe, S.: Stochastic Differential Equations and Difussion..Noth Holland, 1989. • Kloeden, P.E.; Platen, E.; Schurz, H.: Numerical Solution of SDE Through Computer..Springer Verlag, 1994. • Rogers, L. C. G.; Williams, D.: Diffusions Markov Processes and Martingales:.2a ed..Cambridge University Press, 2000. • Williams, D.: Probability with Martingales..Cambridge University Press, 1997. • Wilmott, P.; Howison, S.; Dewynne, J.: The Mathematics of Financial Derivatives..Cambridge University Press, 1997. Enllaços: http://www.defaultrisk.com/ 278 TEORIA QUALITATIVA D'EQUACIONS DIFERENCIALS ORDINÀRIES 1.- Identificació Codi: 11285 Crèdits: 7.50 (3.75 crèdits teòrics + 3.75 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Amadeu Delshams Altres professors: Antoni Guillamon Idioma: català 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 2.5 32.5 Problemes i/o pràctiques 2.5 32.5 Realització d’exàmens 3+7=10 (*) No presencials Seguiment de classes de teoria 2.5 32.5 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 2.5 32.5 Realització de treballs 30 Preparació d’exàmens 25 Total 195 (*) 3 hores per a l'examen final i aproximadament 7 hores per a la presentació de treballs. 279 3.- Objectius La dinàmica de molts sistemes està modelitzada per equacions diferencials ordinàries (EDO). Dissortadament, el club de les EDO resolubles es redueix a 7 o 8 tipus, i l'aplicació directa d'un mètode numèric de resolució té moltes limitacions (no permet tractar fàcilment famílies de paràmetres, la integració per a temps llargs està afectada per molts errors, el sistema considerat és caòtic, etc.). La teoria qualitativa d'EDO permet conèixer les propietats més rellevants d'un sistema (estabilitat, comportament asimptòtic, etc.) sense haver de conèixer explícitament les solucions, i a la vegada produeix mètodes constructius que permeten aproximar solucions concretes. L'objectiu d'aquesta assignatura consisteix a descriure els mètodes -analítics, geomètrics, topològics i numèricsque s'utilitzen en l'estudi de les propietats locals i globals tant de les solucions d'equacions diferencials (sistemes dinàmics continus) com de les iteracions successives d'aplicacions (sistemes dinàmics discrets). Pel tipus de problemes que estudia, aquesta assignatura està relacionada amb diverses matèries de ciència no lineal, com l'astrodinàmica, la mecànica celeste, la neurociència computacional, etc : • Estudiar les bifurcacions més elementals a través de models matemàtics d'activitat neuronal. • Aplicar la teoria qualitativa al pla (Poincaré-Bendixson...) a problemes de dinàmica de poblacions. • Treballar el concepte de caos i relacionar-lo amb altres fenòmens presents als sistemes dinàmics (tangències homoclíniques, autosimilaritat, dimensions fraccionàries). • Estimular, mitjançant els treballs, la recerca de bibliografia especialitzada, essencialment escrita en anglès. • Exposar en públic tant exercicis en el període lectiu ordinari com els treballs de curs. • Implementació d'algorismes d'experimentació i simulació dels diferents models que els seran presentats. 4.- Continguts 1. Equacions diferencials ordinàries i sistemes dinàmics Flux associat a un camp vectorial sobre Rn o una varietat. Sistemes dinàmics. Funcions de Liapunov. Teorema de Poincaré-Bendixson sobre el pla i l'esfera. Exemples en dinàmica de poblacions. 2. Aplicació de Poincaré i sistemes dinàmics discrets. Sistemes lineals x' = A(t)x, fórmula de Liouville, teoria de Floquet. Estructura local dels elements hiperbòlics. Estabilitat estructural de sistemes lineals hiperbòlics x' = Ax en Rn, i automorfismes lineals hiperbòlics x -> Lx en Rn. Teoremes de Hartman. Varietats invariants d'elements hiperbòlics. Introducció al teorema de la varietat central. 280 3. Teoria de pertorbacions. Desenvolupaments en sèrie de potències, mètode de Lindstedt-Poincaré. Pertorbacions d'òrbites homoclíniques planes: mètode de Melnikov. Teoria de mitjanes, introducció als teoremes del twist, de Kolmogorov-Arnold-Moser i de Nekhoroshev. 4. Formes normals i teoria de bifurcacions. Reducció formal a forma normal lineal: teoremes de Poincaré i Poincaré-Dulac. Convergència: dominis de Poincaré i Siegel. Cas de sistemes hamiltonians. Bifurcacions locals generals: sella-node, transcrítica, forca, Hopf. Exemples en models de l'activitat neuronal. 5. Sistemes discrets unidimensionals. Homeomorfismes i difeomorfismes del cercle, nombre de rotació. Teorema de Denjoy. Propietats genèriques. Estabilitat. Aplicació: EDO sobre el tor. Aplicacions unidimensionals de l'interval: aplicació logística, teorema de Sarkovskii. 6. Conjunts hiperbòlics i fenòmens caòtics. El shift de Bernoulli, la ferradura d’Smale. Sistemes amb dinàmica hiperbòlica caòtica. Teorema del punt homoclínic d’Smale. No integrabilitat de difeomorfismes amb punts homoclínics transversals. Fenomen de Newhouse. Transicions al caos. 7. Dinàmica complexa. Fractals, dimensió fraccionària i autosimilaritat. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Conèixer els conceptes bàsics de sistemes dinàmics i, en particular, de teoria qualitativa d'equacions diferencials ordinàries. • Reforçar la formació i la interpretació de models i detectar-ne els problemes analítics subjacents. • Millorar la recerca de bibliografia especialitzada, essencialment escrita en anglès. • Exercitar-se en l'ús de programari específic d'equacions diferencials i sistemes dinàmics. En particular, els programes XPP (Bard Ermentrout) i Dynamics Solver (Juan M. Aguirregabiria). • Millorar l'exposició en públic. Capacitats prèvies necessàries • Habilitat per al càlcul numèric d'equacions diferencials (desenvolupada a l'assignatura de Mètodes Numèrics III). • Utilització de programari de càlcul simbòlic. • Coneixement de les equacions diferencials lineals (desenvolupat a Equacions Diferencials I). • Curiositat per les matèries pluridisciplinàries. 287 HISTÒRIA DE LA CIÈNCIA 1.- Identificació Codi: 50003 Crèdits: 7.5 (7.5 crèdits teòrics + crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Francesc X. BARCA SALOM Altres professors: Antoni ROCA ROSELL Idioma: CATALA 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 5 65 Problemes i/o pràctiques Realització d’exàmens 2 No presencials Seguiment de classes de teoria Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques Realització de treballs Preparació d’exàmens Total 67 288 3.- Objectius La Història de la Ciència vol contribuir a la formació integral de l’estudiant proporcionant elements de cohesió intel•lectual i possibilitant un coneixement més complet de les disciplines pròpies de les carreres científiques i tècniques. Aquesta assignatura està formada per dos cursos monogràfics, un sobre tres problemes especials de la geometria grega i un altre sobre Albert Einstein i les seves contribucions. 4.- Continguts HISTÒRIA DE LA CIÈNCIA Els tres problemes especials de la geometria grega: l’empirisme prehel•lènic i el “miracle grec”. La aritmogeometria pitagòrica. El descobriment dels incommensurables. Les paradoxes de Zenó. La teoria de les proporcions d’Eudox. La trisecció de l’angle. La quadratura del cercle. La duplicació del cub. Albert Einstein i les seves contribucions: Introducció a la biografia d’Einstein. Principals contribucions a la física: física estadística, teoria de la relativitat, teoria quàntica, La recepció de les contribucions d’Einstein a Catalunya i Espanya (1908-1923). La ciència en la Catalunya de les primeres dècades del segle XX. Visita d’Einstein a Barcelona, Madrid i Saragossa (febrer-març 1923). L’impacte de les idees cíviques d’Einstein: els moviments per la pau. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Comprendre el procés de creació i difusió de la ciència. • Aprofundir en l'anàlisi de textos. • Conèixer el context cultural i social de l'activitat científica. • Aprendre a elaborar un treball de recerca històrica. 6.- Metodologia Explicacions del professor. Treballs de discussió a classe. Lectura d’una monografia. Treball de recerca optatiu. 7.- Avaluació Examen final. Recensió d’un llibre d’Einstein o sobre Einstein. Presentació optativa d’un treball monogràfic fet en equip. 289 8.- Bibliografia Referències bàsiques: • Boyer, C.B.: Historia de la matemática..Alianza Editorial, 1986. • Einstein, A.: La teoria de la relativitat i altres textos..Institut d'Estudis Catalans Eumo Pòrtic, 2000. • EUCLID: The Thirteen Books of Euclid’s Elements..Dover, 1956. • Glick, T.F: Einstein y los españoles: ciencia y sociedad en la España de entreguerras..Alianza, 1986. • Heath, T.: A History of Greek Mathematics (2 vols)..Dover, 1981. • Navarro Veguillas, L.: Einstein, profeta y hereje..Tusquets, 1990. Referències complementàries: • Barca, F.; Lusa, G.: Els tres problemes especials de la geometria grega..Edicions FME, 2000. • Centenari de la naixença d’Albert Einstein: jornades d’homenatge organitzades..Institut d’Estudis Catalans, 1981. • Historia de la Geometría Griega. Actas del Seminario Orotava de la Historia..Consejería de Educación, Cultura y Deportes, 199. • Roca Rosell, A.; Sánchez Ron, J.M.: Esteban Terradas (1883-1950). Ciencia y Técnica en la España contemporánea..INTA/Ed. El Serbal, 1990. Enllaços: • http://www.aip.org/history/einstein/index.htm • http://www.einstein.caltech.edu • http://www-group.dcs.st-and.ac.uk/~history 290 MÚSICA I MATEMÀTIQUES 1.- Identificació Codi: 51444 Crèdits: 6 (6 crèdits teòrics + crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Xavier Gràcia Sabaté Idioma: català 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 4 52 Problemes i/o pràctiques Realització d’exàmens No presencials Seguiment de classes de teoria 1 13 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques Realització de treballs 15 Preparació d’exàmens Total 80 En aquesta assignatura concorren diverses circumstàncies: és de nova creació, és una assignatura de lliure elecció, i, sobre tot, tracta d'una matèria poc estàndard, a banda de poc coneguda. Per aquests motius, tant el temari com el seu desenvolupament al llarg del curs es podrien qualificar d'experimentals, i poden variar d'acord amb les preferències dels estudiants. 291 3.- Objectius Explorar les fronteres matemàtiques de la música, com ara, principalment:: • Comprendre el so dels instruments musicals a partir del seu espectre • Conèixer el sistema temperat i molts altres sistemes d'afinació que s'han proposat al llarg de la història • Observar la importància del concepte de simetria en la música 4.- Continguts 1. El so i la seva percepció 2. Espectres dels instruments musicals 3. El concepte de dissonància 4. Sistemes d'afinació 5. Simetries en música 5.- Capacitats Capacitats prèvies necessàries • Encara que una assignatura sobre Música i Matemàtiques es pot impartir a diferents nivells, aquesta ha estat pensada per a estudiants de segon cicle de matemàtiques, amb la intenció d'aprofitar una part dels coneixements adquirits pels estudiants. • Pel que fa als coneixements matemàtics, el més important és la resolució d'equacions en derivades parcials, especialment de l'equació de les ones, i especialment amb el mètode de separació de variables. Per tant també apareixeran les sèries de Fourier. També serien convenients alguns coneixements sobre la transformada de Fourier, i sobre fraccions contínues; si és necessari, a classe se'n donaran explicacions complementàries. • També s'espera que els estudiants tinguin alguns coneixements del llenguatge musical (notes, intervals, acords, etc). No cal haver estudiat harmonia, o contrapunt, però sí que cal estar motivat per la música! 6.- Metodologia S'explicarà el temari de manera convencional, amb demostracions pràctiques quan sigui pertinent i realitzable. 7.- Avaluació La nota s'obtindrà per l'assistència a classe i la realització d'un treball. 292 TALLER DE CÀLCUL SIMBÒLIC Codi: 50966 Tipologia: presencial Càrrega docent: 7,5 crèdits (1,5 teòric; 1,5 pràctic; 4,5 de laboratori) Període d'impartició: primer quadrimestre Places per a estudiants del mateix centre: 20 Places per a estudiants d’altres centres: 10 Professor coordinador: Josep M. Brunat Blay Altres professors: Anton Montes Lozano Departament: 726 Matemàtica Aplicada 2 Centre docent: Facultat de Matemàtiques i Estadística Objectius de l’assignatura: Incorporar el càlcul simbòlic (essencialment Maple), al bagatge de coneixements que l’estudiant ha de poder emprar en totes les situacions que ho requereixin. En particular, aprendre a utilitzar el càlcul simbòlic per resoldre problemes concrets, fer conjectures, automatitzar càlculs, etc. Programa de l’assignatura: - Naturalesa i evolució històrica del càlcul simbòlic. - Elements del llenguatge Maple. - Llibreries. - Programació. - Resoldre problemes d’àlgebra, càlcul, gràfics, grafs, codis, càlcul numèric, etc. - Projectes. Idioma de treball: català Metodologia: Essencialment treball a l’aula d’informàtica i treball personal a classe. Aprenentatge mitjançant problemes concrets i projectes. Sistema d’avaluació: Elaboració d’un projecte. Coneixements previs recomanats: Àlgebra i càlcul de nivell equivalent al primer i segon curs de carreres científiques i tècniques. 293 Bibliografia recomanada: • ABELL, MARTHA, L.; BRASELTON, JAMES, P.: The Maple V Handbook. Academic Press, 1994. • CHAR, BRUCE W., GEDDES, KEITH O, et al. Maple Reference Manual. 5 edi. WATCOM, 1988 • HECK, ANDRË. Introduction to Maple (segona edició). Springer, 1996 • KLIMA, RICHARD E. and SIGMON, NEIL abd STITZINGER, ERNEST. Applications of abastract algebra with Maple. CRC Press, 2000 • PARLAR, MAHMUT. Interactive operations research with Maple, Methods and models. Birkhaüser, 2000 • ROANES M., ROANES L. E.: Cálculos matemáticos por ordenador con Maple v. 5. Ed. Rubiños, 1999 • ROVENSKI, VLADIMIR: Geometry of curves and surfaces with Maple. Birkhaüser, 2000 • WRIGHT, FRANCIS: Computing wiht Maple. Chapman & Hall. CRC Mathematics, 2002 Altres observacions: Els projectes es poden fer individualment o en grups de dos. 294 TALLER DE GEOMETRIA 1.- Identificació Codi: 50004 Crèdits: 7,5 (1,5 crèdits teòrics + 6 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Claudi Alsina i Català Altres professors: Jaume L. Garcia Roig, Joan Jacas Moral, Amadeu Monreal Pujades Idioma: Català 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 1 13 Problemes i/o pràctiques 4 52 Realització d’exàmens - - No presencials Seguiment de classes de teoria 1 13 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 2 26 Realització de treballs 2 26 Preparació d’exàmens - - Total 130 h 295 3.- Objectius La Geometria constitueix una branca de les matemàtiques d’enorme bellesa i aplicació. Aquest taller vol oferir una aproximació experimental, audiovisual i informàtica a temes creatius que permetin a l’estudiant gaudir de la seva descoberta. Els objectius principals d’aquesta assignatura són: - Descobrir i conèixer apartats fascinants de la Geometria clàssica (plana i espacial) a través d’activitats de taller. - Desenvolupar el pensament visual de l’espai i estratègies originals per a resoldre problemes geomètrics. - Adquirir versatilitat per a treballar Geometria posant en solfa recursos molt variats.: 4.- Continguts 1. DEMOSTRACIONS GEOMÈTRIQUES SENSE PARAULES Teorema de Pitàgoras. Teorema de Ptolomeo. Fórmula d’Herón, Mitges aritmètiques i geomètriques. Desigualtat de Cauchy-Schwarz. 2. POLIGOLÀNDIA I ELS POLIOMINOS Polígons. Classificacions alternatives. Propietats mètriques en triangles, n-minos i combinacions de n-ominos. 3. REGLE I COMPÀS Construccions amb regle i compàs. Nombres construïbles. Quadratures. Duplicacions. Triseccions. Inscripcions. Construccions mètriques. 4. ART I GEOMETRIA Proporcions. Bellesa, Natura i Art. Nombre d’or. Successió de Fibonacci. L’Alhambra de Granada. Escher. 5. ELS SECRETS GEOMÈTRICS DE GAUDÍ L’obrador de Gaudí. Recursos geomètrics inventats per Gaudí. Superfícies reglades en l’obra gaudiniana. 6. POLIEDRES REGULARS Cub. Tetraedre. Octaedre. Icosaedre. Dodecaedre. 7. ELS ALTRES POLIEDRES Classificació de poliedres. Prismes i antiprismes. Piràmide i bipiràmide. Deltaedres. Poliedres d’Arquímedes i Catalan. Poliedres estelats. Cúpules. 8. SORPRESES POLIÈDRIQUES Els misteris de les repeticions de cares. Cubicacions impossibles. Arestes enteres en poliedres. Disseccions. 296 9. CÒNIQUES I QUÀDRIQUES El·lipse. Paràbola. Hipèrbola. Traçats i llocs geomètrics. Cilindres. Cons. Hiperboloides (d’1 o 2 fulles). Paraboloides (el·líptics o hiperbòlics). 10. APARTAT INFORMÀTIC Maple(c). Introducció. Instruccions bàsiques. Transformacions en el pla: afinitats i projeccions. Representació de corbes i superfícies. Instruccions gràfiques de Maple. Famílies de corbes del pla. Famílies de superfícies a l’espai. Inversió en el pla. Porisme de Steiner (I). Porisme de Steiner (II). Fractals en el pla. Treball en equip. 5.- Capacitats Capacitats que es pretén adquirir • Conèixer diferents recursos per visualitzar aspectes geomètrics i aprofitar-los per reflexionar matemàticament. • Dominar diferents estratègies heurístiques per resoldre problemes geomètrics del pla o l'espai. • Desenvolupar el propi pensament visual. • Desenvolupar un treball personal de recerca seguint un procés reflexiu i creatiu. Capacitats prèvies necessàries • Conèixer els elements geomètrics bàsics que s'estudien en l'etapa preuniversitària. 6.- Metodologia Aquesta assignatura es desenvoluparà seguint una metodologia basada en la participació activa continuada dels estudiants. L’ús d’una gran varietat de recursos (material de laboratori de geometria, software de representació, audiovisuals, etc.) permet fer nombroses activitats de reconeixement, muntatge, representació, mesura, etc. • Sessions de teoria: Les classes teòriques seran breus explicacions sintètiques per introduir els temes a tractar. • Pràctiques: Les classes pràctiques es centraran en la manipulació o construcció de material i molt especialment en la resolució de problemes en equip, comunicació, i discussió de resultats i tractament gràfic de temes geomètrics usant ordinadors. Unes pràctiques es faran a aula normal i les altres a l’aula d’informàtica. A les sessions no presencials els estudiants revisen el que s’ha treballat, cerquen informacions complementàries a Internet o resolen problemes pel seu compte. 7.- Avaluació Un aprenentatge actiu no pot tenir un final estàtic. L’estudiant desenvoluparà un treball personal de recerca sobre un tema geomètric prèviament tutoritzat. L’avaluació d’aquest treball junt amb l’avaluació continuada de les activitats realitzades donarà lloc a la nota final. 303 GO PRIMAVERA Codi: 50529 Tipologia: presencial Càrrega docent: 2 crèdits (pràctics) Període d’impartició: primer quadrimestre Places per a estudiants del mateix centre: 15 Places per a estudiants d’altres centres: 25 Professor coordinador: Pau Bofill Soliguer ([email protected]) Altres professors: Toni Juan Hormigo Departament: 701 Arquitectura de Computadors Centre docent: Facultat de Matemàtiques i Estadística Objectius de l’assignatura: Les assignatures “Go Tardor” i “Go Primavera” són equivalents i es poden cursar en qualsevol ordre. En cada una d’elles coexisteixen 2 nivells: nivell 1 per als que la cursen per primera vegada, i nivell 2 per als que ja l’han cursat un cop o tenen coneixements previs. També s’admet un nivell 3 per a jugadors amb categoria estable que vulguin fer de monitors dels estudiants de nivell 1 i 2. Objectius nivell 1: Regles de joc i final de partida (taulers 9x9 i 13x13). Objectius nivell 2: Tàctica i estratègia als taulers (13x13 i 19x19). Assolir una categoria estable. Objectius nivell 3: Aprendre a ensenyar Go fent de monitors. Programa de l’assignatura: El Go és un joc de tauler, molt popular a l’Orient, on no intervé l’atzar. En comparació amb els escacs, les regles del Go són extraordinàriament simples, però reconèixer el final de la partida demana una certa experiència. Les regles del Go s’aprenen en pocs minuts però dominar el joc requereix tota una vida de pràctica. Avui dia, el millor programa d’ordinador per jugar a Go té el nivell d’un jugador amateur. Idioma de treball: català Metodologia: Aprendre jugant. Es comença a jugar partides des del primer dia, i es van introduint les regles a mesura que fan falta. Es promou jugar amb molts contrincants diferents i enfrontar jugadors de nivell 1 i nivell 2. Eventualment es fan activitats com ara tornejos, jocs, go a Internet, vídeos i conferències sobre temes relacionats. Amb els participants de nivell 3 es faran debats com ensenyar el joc. Sistema d’avaluació: Avaluació ponderada en funció de l’assistència a classe, el nombre de partides jugades, la participació a tornejos, la promoció del go, l’estudi de llibres i la realització de treballs de recerca bibliogràfica sobre el joc (història, el món del go professional, go i matemàtiques, go per ordinador, etc.). Coneixements previs recomanats: Per al nivell 1, cap. Per al nivell 2 es demana el nivell 1. Per al nivell 3 es demana una categoria de 10kyu o superior. Observacions: Web: http://studies.ac.upc.es/ALE/GO/ 304 Material docent: Material de joc (per al nivell 1 es recomana i per al nivell 2 es requereix disposar d’un tauler). Bibliografia recomanada: Nivell 1: JEONG SOO-HYUN, Learn to play go, Vol. 1, Ski Good KANO YOSHINORI, Graded go problems for beginners 1, The Ishi Press Nivell 2: JEONG SOO-HYUN, Learn to play go, Vol. 2, Ski Good JEONG SOO-HYUN, Learn to play go, Vol. 3, Ski Good JEONG SOO-HYUN, Learn to play go, Vol. 4, Ski Good KANO YOSHINORI, Graded go problems for beginners 2, The Ishi Press KANO YOSHINORI, Graded go problems for beginners 3, The Ishi Press KANO YOSHINORI, Graded go problems for beginners 4, The Ishi Press Bibliografia complementària: BOZULICH, Handicap Go, The Ishi Press IKURO ISHIGURE, In the beginning, The Ishi Press DAVIS, Life and death, The Ishi Press DAVIS, TESUJI, The Ishi Press DAVIS & OGAWA, The endgame, The Ishi Press DAVIS, 38 basic joseki, The Ishi Press DAVIS & ISHIDA, Attack and defense, The Ishi Press Els llibres i material de Go es poden adquirir en una botiga especialitzada, com ara Gigamesh (http://www.gigamesh.com). 305 INTRODUCCIÓ AL MÓN DEL TREBALL Codi: 51412 Tipologia: presencial Càrrega docent: 1,5 crèdit (teòric) Període d'impartició: segon quadrimestre Places per a estudiants del mateix centre: 20 Places per a estudiants d’altres centres: 10 Professora coordinadora: Margarida Mitjana Riera ([email protected]) Altres professors: Àngels Serrat ([email protected]), Anna Rossell ([email protected]), Juli Boned ([email protected]) Centre docent: Facultat de Matemàtiques i Estadística Ens UPC: Associació d’Amics de la UPC Objectius de l’assignatura: Preparar els futurs titulats de la UPC per a la seva inserció laboral, facilitant la informació i les eines necessàries per saber desenvolupar el seu futur professional. Programa de l’assignatura: 1. Mercat de treball actual. Perfils que cerquen les empreses 2. Sortides professionals de la pròpia titulació. 3. Elaboració del pla personal professional. 4. El procés de recerca de feina: Planificació i estratègia. Recursos per a la recerca. 5. Eines de presentació: El currículum vitae i les cartes de presentació 6. L’entrevista de feina. 7. La valoració de potencial personals i professionals: Proves psicotècniques i dinàmiques grupals. 8. Normativa laboral aplicable. I polítiques de conciliació de la vida personal i professional. Idioma de treball: català Metodologia: Molt pràctica. Es tracta de que els alumnes posin en pràctica les habilitats necessàries en un procés de selecció a través de múltiples simulacions i exercicis pràctics. Hi ha suport teòric a través d’apunts elaborats per l’OOIL. Els alumnes han de redactar un treball personal. Com a suport de comunicació entre alumnes i professors s’utilitzarà alguns tipus d’eina virtual a l’abast de tothom (intranet pròpia de l’escola, llista de distribució, fòrum,...). Sistema d’avaluació: A partir de: Assistència i participació a classe. Treballs personals demanats. 306 Bibliografia recomanada: HIRSH, W.; JACKSON, C.: Aprenda a planificar su carrera profesional en una semana. Ed. Gestión, 2000. Mc DONALD; TURNER: Aprenda a comunicarse con éxito en una semana. Ed. Gestión, 2000. MARCUS y STEPHANIE HURT: Guia para preparar un curriculum internacional. Ed. Gestión, 2000. JAMES; JUDI: El lenguaje corporal en el trabajo: un gesto vale más que mil palabras. Ed. Díaz de Santos, 2002. PUCHOL, L. Reorientación de carreras profesionales. ESIC. Pozuelo de Alarcón, 1994. Altres observacions: Aquesta assignatura s’impartirà de manera intensiva. Altres referències i materials (vídeos, apunts, software, etc...): Apunts de classe, fotocòpies, vídeo de simulació, càmera de vídeo, transparències/presentació Power Point, internet. 307 7. PROGRAMA DE L’ASSIGNATURA ESPECÍFICA DE LA DOBLE TITULACIÓ: ENGINYERIA DE TELECOMUNICACIÓ + LLINCENCIATURA DE MATEMÀTIQUES 308 1r QUADRIMESTRE - 2n CURS 309 INTRODUCCIÓ A LES MATEMÀTIQUES DE ENGINYERIA 1.- Identificació Codi: 17515 Crèdits: 7.5 (4.5 crèdits teòrics + 33 crèdits pràctics) Professor/a coordinador/a: Miguel-C. Muñoz Lecanda Altres professors: Josep Fàbrega Canudas, Carles Padró Laimon Idioma: Castellano, catalán 2.- Volum de Treball Hores setmanals Hores totals Presencials Teòriques 3 39 Problemes i/o pràctiques 2 26 Realització d’exàmens No presencials Seguiment de classes de teoria 4 52 Seguiment de classes de problemes i/o pràctiques 5 65 Realització de treballs Preparació d’exàmens Total 182 310 3.- Objectius Introduir conceptes matemàtics propis de l’enginyeria de telecomunicació a fí que puguin ser utilitzats directament en les assignatures d’orientació tecnològica. Tots aquests conceptes seran ampliats en altres assignatures posteriors de la llicenciatura. 4.- Continguts 1. EQUACIONS DIFERENCIALS ORDINÀRIES (EDO) A. Introducció Introducció i exemples. Equació lineal. Problemes de valor inicial. Teorema d’existència i unicitat de solucions. EDO d’ordre superior. Aplicacions. B. Equacions lineals Equacions i sistemes lineals amb coeficients constants. Cas homogeni: matriu fonamental de solucions. Cas complet: càlcul de solucions particulars. Variació de constants. Aplicacions. C. Transformada de Laplace Definició i propietats. Transformada inversa. Aplicació a la resolució d’EDO. Producte de convolució 2. ANÀLISI DE FOURIER A. Espais de Hilbert i sèries de Fourier Espais de Hilbert. Sèries de Fourier. Desigualtat de Bessel. Teorema de Parseval. Sèries de Fourier trigonomètriques i exponencials. Teoremes de convergència. Derivació i integració. Fenomen de Gibbs. B. Transformació de Fourier Definició i propietats. Fórmula d’inversió. Teorema de convolució. Teorema de Parseval. Delta de Dirac. Fórmula de Poisson. Transformació de Fourier bidimensional. C. Transformació de Fourier discreta Definició i propietats. Convolució discreta. Teorema de mostreig. Algoritme de la FFT 3. PROCESSOS ESTOCÀSTICS A. Introducció als processos estocàstics Definició i exemples. Funcions de distribució i de densitat. Funcions valor mitjà, d’autocorrelació i d'autocovariància. Processos estacionaris. B. Exemples de processos estocàstics El procés de Poisson. Senyal telegràfic aleatori. Senyal binari aleatori. Processos de Markov. Passejades aleatòries i moviment brownià. Processos gaussians. C. Processos estacionaris Integrals estocàstiques. Valors mitjans temporals. Ergodicitat en valor mitjà i en autocorrelació. Funció d'autocorrelació. Espectre de potència. 311 5.- Bibliografia Referències bàsiques: • Boyce, W.E.; DiPrima, R.C.: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera,.4a ed..Limusa, 1998. • Braun, M.: Differential Equations and Their Applications,.4a ed..Springer Verlag, 1993. • Grimmett, G.R.; Stirzaker, D.R.: Probability and Random Processes..Oxford Univ. Press, 1992. • Leon-Garcia, A.: Probability and Random Processes for Electrical Engineeri..Addison Wesley, 1993. • Neff, H.P.: Continuous and discrete linear systems...Harper & Row, 1991. Referències complementàries: • Fàbrega, J.: Anàlisi de Fourier. Apuntes...CPET, . 312 8. REGLAMENT DEL PROJECTE TECNOLÒGIC 319 Full de Descripció del Projecte : 320 ANNEX 3 LLICENCIATURA DE MATEMÀTIQUES INFORME I QUALIFICACIÓ DEL PROJECTE TECNOLÒGIC Informe i valoració global: Qualificació numèrica i descriptiva: Número de crèdits de lliure elecció reconeguts: Signatura del/la Signatura del/la Signatura del/la President/a del Tribunal Secretari/a del Tribunal Vocal del Tribunal Barcelona, ESTUDIANT/A: DNI: TÍTOL DEL PROJECTE: DIRECTOR/A DEL PROJECTE: TUTOR/A DEL PROJECTE: 321 9. ELS PROGRAMES D’INTERCANVI ERASMUS-SÓCRATES I SÉNECA A L’FME 322 PRESENTACIÓ Des que es va crear, l’FME ha promogut l’intercanvi d’estudiants entre universitats europees dins del programa ERASMUS-SOCRATES i a partir del curs 2000-01 entre universitats espanyoles dins del programa SICUE. Aquests intercanvis van dirigits tant a fer estades subvencionades per aconseguir crèdits acadèmics d’assignatures de les diverses titulacions, com per realitzar el Projecte de Fi de Carrera o poder realitzar doble titulació amb algunes universitats europees amb les que tenim acord. La selecció d’estudiants que participen en aquest programa es fa cada curs tenint en compte fonamentalment l’expedient acadèmic i la competència lingüística. D’altra banda, la realització de l’estada està subordinada a l’aprovació de l’FME d’un programa d’estudis a realitzar, a la convalidació d’aquest per crèdits a l’FME i a l’acceptació prèvia de la universitat de destí. Programa País Universitat Adreçat a estudiants de: Web Universitat Dortmund Estadística www.unidortmund.de Ludwig – Maximilians – Universität, München Estadística www.stat.unimuenchen.de Alemanya Technische Universität, Darmstadt Matemàtiques www.tudarmstadt.de Université Catholique de Louvain Matemàtiques www.ucl.ac.be Bèlgica Katholieke Universiteit Leuven Matemàtiques Estadística www.kuleuven.ac.be Finlàndia University of Tampere Estadística www.uta.fi Institut National des Sciences appliqeés Toulouse Matemàtiques Estadística www.insa-tlse.fr Institut National de Grenoble Matemàtiques www.inpg.fr Université des sciences et tecnologies de Lille Matemàtiques Estadística www.univ-lille1.fr Université Pierre et Marie Curie Matemàtiques Estadística www.admp6.jussieu.fr Université Montpellier II Matemàtiques www.univmontp2.fr Université du Paris XIII Matemàtiques Estadística www.univparis13.fr Université du Perpignan Matemàtiques Estadística www.univ-perp.fr Université du Littoral Côte d’Opale – Ulco Matemàtiques www.univlittoral.fr França ENSAI (Rennes) Matemàtiques Estadística www.ensai.fr University of Sheffield Matemàtiques Estadística www.sheffield.ac.uk Gran Bretanya University of Bath Matemàtiques Estadística www.bath.ac.uk Athens University of Economics and Business Matemàtiques Estadística www.statathens.aueb.gr Grècia National Technical University of Athens Matemàtiques www.ntua.gr Holanda TU Delft Matemàtiques Estadística www.tudelft.nl Universitat degli studi di Perugia Matemàtiques Estadística www.unipg.it Universitat degli studi di Napoli "Federico II" Estadística www.unina.it Itàlia Universitá di Roma “La Sapienza” Matemàtiques Estadística www.uniroma1.it Sòcrates Erasmus Noruega Norwegian University Matemàtiques www.ntnu.no 323 Universidade Nova de Lisboa Estadística www.unl.pt Universidade de Porto Matemàtiques Estadística www.fc.up.pt Portugal Universidade de Lisboa Matemàtiques Estadística www.fc.ul.pt Universidad Autónoma de Madrid Matemàtiques www.uam.es Universidad Carlos III de Madrid Estadística www.uc3m.es Universidad Complutense de Madrid Matemàtiques Estadística www.ucm.es Universidad de la Laguna Matemàtiques www.ull.es Universidad de Murcia Matemàtiques Estadística www.um.es Universidad de Santiago de Compostela Matemàtiques Estadística www.usc.es Sicue – Sèneca Espanya Universidad de Sevilla Matemàtiques Estadística www.us.es México Universidad Nacional Autónoma de México Matemàtiques Estadística www.unam.mx Perú Pontificia Universidad Católica de Perú Matemàtiques Estadística www.pucp.edu.pe Amèrica Llatina Venezuela Universidad Simón Bolívar Matemàtiques Estadística www.usb.ve França Institut National Polytechnique de Grenoble Matemàtiques www.inpg.fr UPC – Europa Suïssa Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne Matemàtiques Estadística www.epfl.ch 324 10. DOBLES TITULACIONS 325 PRESENTACIÓ Un dels objectius principals de la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) és el d’oferir una formació de qualitat orientada a les necessitats del seu entorn. Els darrers anys la UPC ha realitzat un considerable esforç per incentivar aquesta qualitat, actualitzant els plans d’estudi, promovent la innovació docent i millorant els recursos destinats a donar suport als ensenyaments. Una necessitat creixent que ha de cobrir una formació de qualitat correspon a un enfocament interdisciplinari específic en les disciplines pròpies de la UPC. A tal efecte el curs 2003-04 es va crear el Centre de Formació Interdisciplinària Superior (CFIS) que és l’encarregat d’augmentar l’oferta d’aquest tipus de titulacions. Aquest centre està ubicat en el mateix edifici que la Facultat de Matemàtiques i Estadística. L’experiència de la doble titulació d’Enginyeria de Telecomunicació-Llicenciatura de Matemàtiques de la UPC, iniciada el curs 1999-2000, demostra per un costat que hi ha una demanda per part d’estudiants d’elevat rendiment acadèmic disposats a seguir-la i, de l’altra, que hi ha molt bones expectatives per als estudiants d’aquesta doble titulació en el sentit de que poden satisfer demandes laborals específiques que exigeixen una alta formació. La UPC, com ha evidenciat aquesta experiència, ofereix un context molt adequat per organitzar i desenvolupar estudis científico-tecnològics de carácter interdisciplinar. Es tracta de captar i acollir estudiants d’elevada capacitat i motivació pels estudis de la UPC, provinents d’arreu de l’Estat espanyol, amb una oferta de formació nova (plans personalitzats) que inclogui un o més dels títols oficials de les carreres que actualment ofereix la UPC, i que a més atorgui un títol propi de la Universitat que acrediti aquests estudiants. PERFILS ACADÈMICS Els diversos perfils acadèmics que pot oferir el CFIS es basen essencialment en els de les Escoles i Facultats docents actualment implicades en el projecte: Escola Tècnica Superior d’Enginyeria de Camins Canals i Ports de Barcelona, Escola Tècnica Superior d’Enginyeria de Telecomunicació de Barcelona, Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Industrial de Barcelona, Facultat d’Informàtica de Barcelona, Facultat de Matemàtiques i Estadística. Seguint l’exemple de la doble titulació Enginyeria de Telecomunicació-Llicenciatura de Matemàtiques, a partir d’aquest curs s’ofereixen també dobles titulacions entre la Llicenciatura de Matemàtiques i una de les enginyeries següents: Enginyeria de Camins i Enginyeria Industrial, Enginyeria de Telecomunicacions i Enginyeria Informàtica, Enginyeria Informàtica i Llicenciatura de Matemàtiques, etc. S’ofereixen també estudis basats essencialment en un títol oficial, però que estiguin complementats amb coneixements d’altres disciplines. Per exemple, Llicenciatura de Matemàtiques amb intensificació en temes d’informàtica, o d’altres. A més dels títols oficials, i per tant homologats, corresponents als estudis completats, concedits pel centre corresponent, el CFIS atorgarà un títol propi de la UPC que acrediti els complements cursats i la pertinença al propi Centre. 326 NOMBRE DE PLACES Donat el caràcter excepcional dels plans personalitzats i la dificultat i dedicació que representa, és aconsellable restringir el nombre d’estudiants provinents de la preinscripció que s’hi poden acollir, de forma que es pugui afavorir l’èxit i fer-ne un seguiment acurat. A més, una Comissió de Seguiment podrà autoritzar l’accés a estudiants que ja estan cursant alguna titulació implicada en aquest acord. ACCÉS Poden sol·licitar l’admissió a aquest Centre tots els estudiants que accedeixin a la Universitat i obtinguin plaça en una de les següents carreres de la UPC. Enginyeria de Camins, Canals i Ports Enginyeria Industrial Enginyeria Informàtica Enginyeria de Telecomunicació Llicenciatura de Matemàtiques (per a més informació del procés d’accés, poseu-vos en contacte amb la secretaria del CFIS Tel. 93 401 17 84 o consulteu la pàgina web: www-cfis.upc.edu.) BEQUES Els estudis que s’ofereixen a través del CFIS requereixen una dedicació plena per part de l’estudiant. Per tal de proveir les condicions de treball idònies i, alhora, afavorir la incorporació dels millors estudiants sense limitacions geogràfiques o econòmiques, el CFIS promourà la col·laboració d’empreses i institucions per establir un sistema de beques o ajuts a l'estudi que cobreixin la matrícula i/o l’hostatge a Barcelona. La normativa i l’imprès de sol·licitud de beca es troba a la pàgina web o a la secretaria del CFIS i s’ha de fer arribar al Centre, juntament amb la sol·licitud d’accés, abans del 31 de maig. TUTORITZACIÓ El CFIS tindrà encomanada l’acollida, el seguiment i la tutorització dels estudiants que en siguin membres. A més a més, donarà suport als estudiants per a integrar-se a la societat en el seu propi àmbit d’estudi, per exemple amb pràctiques en empreses i institucions. Finalment, amb l’ajut del seu Patronat els donarà suport per a facilitar-los la inserció en aquelles feines que específicament s’adiguin amb els seus perfils i que serveixin, alhora, per a enriquir la relació entre les empreses i la Universitat. 327 11. ACCÉS DIRECTE A LA LLICENCIATURA EN CIÈNCIES I TÈCNIQUES ESTADÍSTIQUES DE LA UPC 328 NORMATIVA 1. Accés L’accés als ensenyaments que condueixen a l’obtenció del títol oficial de Llicenciat/ada en Ciències i Tècniques Estadístiques (LCTE) impartits a la Facultat de Matemàtiques i Estadística de la Universitat Politècnica de Catalunya està regulat per l’ordre 21482 del dia 21 de setembre de 1995, publicada en el BOE número 232 del dia 28 de setembre de 1995, i per aquesta normativa. El nombre de places ve fixat anualment per la Programació Universitària de Catalunya. La Comissió Permanent de l’FME nomenarà una Comissió d’Admissió a la LCTE, la qual serà competent en la implementació d’aquesta normativa i la resolució de tots aquells afers relatius a l’admissió d’estudiants. L’accés es pot efectuar segons les dues modalitats següents: • Tenen accés directe les persones que estiguin en possessió d’algun dels títols següents: • Diplomatura d’Estadística. • Primer cicle de la Llicenciatura en Matemàtiques. • Primer cicle de les enginyeries: Industrial, Informàtica. • Enginyer Tècnic de les següents especialitats: Electricitat, Electrònica Industrial, Mecànica, Química Industrial, Tèxtil, Informàtica de Gestió i Informàtica de Sistemes. • Tenen accés a la LCTE, amb complements de formació, les persones que estiguin en possessió d’algun dels títols següents: • Primer cicle de les llicenciatures de: Física, Química, Biologia, Geologia, Administració i Direcció d’Empreses, Economia, Psicologia, Sociologia. • Primer cicle de les enginyeries de: Telecomunicacions, Química, Naval i Oceànica, Aeronàutica, Agrònoma, Monts, Camins, Canals i Ports, Mines. • Diplomatura en: Ciències Empresarials i Gestió, Administració Pública; Enginyeria Tècnica de Telecomunicacions (especialitat de Sistemes de Telecomunicació o especialitat de Telemàtica). Els complements de formació seran fixats per la Comissió d’Admissió segons el currículum vitae de l’estudiant, i tindran entre un mínim de 9 crèdits i un màxim de 24 crèdits. En tot cas, l’alumne que accedeix als estudis de la Llicenciatura en Ciències i Tècniques Estadístiques ha d’haver superat, o bé en els estudis de procedència o bé en el complements de formació, 12 crèdits en Matemàtiques, 6 en Informàtica i 6 en Estadística. Els crèdits corresponents als complements de formació es cursaran entre les assignatures que conformen la Diplomatura d’Estadística de la UPC. Els complements de formació per a accedir a un segon cicle que hagin estat superats per l’estudiant en qualsevol Universitat, seran reconeguts acadèmicament per la Universitat de destí, fins i tot en el cas que aquesta hagués fet una determinació diferent dels mateixos.