Métodos de síntesis de antenas aplicados a la reconstrucción de arrays

Metodos de Sintesis de Antenas Aplicados a la Reconstruccion de Arrays A. Valero, M. Ferrando Dto. Comunicaciones U .P. V Camino de Vera s/n. 46071-Valencia Tel: (96) 387-7307 Fax: (96) 387-7309 Abstract.- The possibilities in applying some antenna synthesis methods to array reconstruction are studied. An operator equation is derived between near fields and the array current distribution. Such equation is solved through the least squares method and some regularization techniques when required. Simulations and real measurements are used to compare this approach with the well-known Woodward-Lawson method. 1. Introduccion El conocimiento del espectro angular de ondas planas de una antena es el argumento mas extendido a la hora de deterrninar la distribuci6n de campo en una apertura [1]. No obstante, cuando se trata de una apertura formada por elementos discretos, como es el caso de Ios arrays, es posible plantear otros procedimientos altemativos que se apoyan en las tecnicas de sintesis de arrays. Estas tecnicas estan muy desarrolladas y contemplan gran numero de enfoques. El metodo que se va a considerar en esta comunicaci6n parte del conocimiento del campo radiado en una serie de puntos y de las condiciones que ligan dicho campo con las fuentes. A partir de esta informaci6n es posible plantear un sistema de ecuaciones, A ·I=E, cuya soluci6n nos de las corrientes de excitaci6n de Ios elementos del array. A lo largo de la comunicaci6n, Ios resultados se comparan con Ios valores te6ricos esperados y con las corrientes reconstruidas mediante el conocido metodo de sintesis de Woodward-Lawson. Tambien se presentan resultados utilizando medidas reales en arrays. 2. Modelo de radiacion La base del planteamiento matricial considera el campo en cada punto como la suma vectorial ponderada del campo producido por cada uno de Ios elementos del array [2,3]. Por lo tanto tales puntos, si bien pueden estar en la zona de campo pr6ximo del array considerado en conjunto, se mantienen en campo lejano respecto alas antenas elementales que lo forman. Por lo tanto se puede afirmar que el calnpo producido por un array, sobre Ios puntos de una esfera (suponiendo corrientes I = li.), es de la forma (1) Considerando el modelo de radiaci6n dado por la expresi6n anterior basta con hacer corresponder el campo medido en M > N puntos con las corrientes ~ mediante un sistema de ecuaciones sobredeterminado A· I=E, que podria ser resuelto por ejemplo mediante minimos puadrados. En las simulaciones realizadas, el campo se genera a partir de la expresi6n (1), y para evitar caer en un problema cerrado que nos llevara a la obtenci6n exacta de las corrientes cualquiera que fuese el numero y la distribuci6n de Ios puntos de medida, hemos impuesto un cierto grado de incertidumbre en la medida fijando en Ios datos un umbral de ruido a -50 o -60 dB del valor del 981 maximo y limitando ademas el conocimiento exacto del diagrama elemental a una aproximaci6n parab6lica mas o menos ajustada a la real. · La resoluci6n del problema planteado mediante minimos cuadrados supone obtener como soluci6n aquella que minimiza el funcional J= IIA·/-EII (2) es decir dJ/dl = 0. Tal soluci6n es de la forma I = (A h • At 1 ·A h • E, siendo A h la matriz hennitica de A. Como se puede dJservar en la expresi6n anterior, la soluci6n depwJe de la inversa de la matriz W = A h ·A y de Ios datos medidos, E. La matriz W contiene la informaci6n del modelo de radiaci6n aplicado al problema: distancia entre elementos del array, distancia a Ios puntos de medida, diagrama del elemento y posibles efectos no ideates. Dependiendo de lo bien que el modelo se ajuste a la realidad, tanto mejor condicionado estara el problema y por lo tanto el error en la soluci6n sera menor. Por otra parte, Ios datos contenidos en la matriz E son datos medidos y est:in afectados de ruido. La estabilidad de la soluci6n depende de la influencia que esta inexactitud de Ios datos pueda tener en la soluci6n buscada [4]. El trabajo realizado sobre simulaciones permite afirmar que el procedimiento es estable frente a la la presencia de inexactitudes en Ios datos. Asi, en las condiciones de simulaci6n sefialadas previamente, la soluci6n apenas se modifica respecto a la obtenida con datos te6ricos exactos. Sin embargo la existencia de imprecisiones en la determinaci6n del modelo de radiaci6n si inciden notablemente en la soluci6n final. Tales imprecisiones pueden ser entre otras: -Errores de posicionamiento: diferencia entre las coordenadas de Ios puntos te6ricos y las coordenadas reales de Ios puntos medidos. -Error al situar la antena en el centro de giro del sistema de coordenadas -Errores en la estimaci6n del diagrama de radiaci6n del elemento -Efectos de difracci6n en Ios hordes del array Los dos primeros casos son corregibles a posteriori e incluso el estudio de las corrientes reconstruidas en m6dulo y fase puede ayudarnos a determinar si una medida ha sido realizada de forma err6nea. Por otra parte una pequefia variaci6n {10°) en el ancho de haz estimado del diagrama de radiaci6n del elemento puede introducir errores de algunas decimas de dB en las corrientes reconstruidas. En cuanto a Ios efectos de difracci6n, estos son Ios mas dificiles de estimar y son por lo tanto Ios que mas incertidumbre arrojan sobre las corrientes calculadas. Un ejemplo del efecto producido por el desconocimiento exacto del diagrama del elemento se observa en la figura 1. t.4odulo de Ios corrientos con SNR•55 dB -13 - V. Teor1co -13.2 -13.4 -13.6 \ \ -13.8 -14 -1-4.2 Eapaciodo: . 7 lombdo:s p = 75 _,,._ .. o'-'-~-----:':c,o---,:':-s----=2~o -----'2s Elementos del arra y Figura 1. 982 Fose de lo:s conienh1s con SNR•55 dB 25,------~------------., -V. Teortco 20 -- t.4. lrdotriciol : Woodwon:I-L 15 -5 -lO Upociado : .7 lambdas p = 75 -lSQ'--'-~--~10--~,---2~0 ---:25 Elementos del orroy Las imprecisiones aqui apuntadas no hacen que la matriz este m~l condicionada desde un punto de vista matematico, es mas, el mlmero de condici6n de la matriz W, calculado como Cond = u/uN, siendo ul' uN Ios valores singulares primero y ultimo de W, indica que la matriz es invertible y no introduce errores. Sin embargo, dado que la soluci6n al problema de minimos cuadrados es aquella que hace el error cuadratico medio minimo, cabe preguntarse de que manera se ve forzada la soluci6n (posibles oscilaciones en las corrientes reconstruidas) a que el diagrama que origine mediante un modelo, que es aproximado, se ajuste lo mas posible al diagrama real. 3. Metodos de regularizacion De lo expuesto hasta aqui se observa que la soluci6n al problema planteado no es unica, dependiendo tanto del modelo utilizado como de Ios datos, en mayor o menor medida. Ademas, a medida que la dimensionalidad del problema aumenta, la soluci6n obtenida mediante minimos cuadrados tiende a oscilar [5]. Por todo ello, la aplicaci6n de condiciones regularizadoras apropiadas, puede ser de utilidad en la obtenci6n de una soluci6n menos forzada. Se trata de imponer que la soluci6n, I, que minimiza 11 A ·I -E 11 cumpla simultaneamente alguna otra condici6n conocida a priori. Condiciones tales como obligar a que la soluci6n tenga un cieto grado de suavidad, suprimiedo oscilaciones an6malas o utilizar funciones de peso que reflejen que la radiaci6n es mas importante en unas direcciones que en otras, por ejemplo, son de aplicaci6n en problemas de sintesis de agrupaciones; pero sin embargo no son siempre de aplicaci6n inmediata en problemas de identificaci6n. El funcional a minimizar en estos casos tiene la forma donde a es un parametro a determinar dependiendo del problema y L es un operador lineal elegido convenientemente para imponer la condici6n conocida sobre la soluci6n. Si L es la matriz identidad, estamos obligando a que la soluci6n tenga una determinada norma 11 I 11 2• Si L es el operador derivada 11 dlldr1 11 2, se impone a la soluci6n un cierto grado de suavidad dependiendo de a. La soluci6n al funcional anterior es donde se observa que si a=O, estamos ante la soluci6n de minimos cuadrados. Una primera aproximaci6n al valor apropiado de a es a = Tr(A h ·A) , siendo Tr la traza de Tr(Lh·L) la matriz. Tal valor haria comparables las dos partes que intervienen en la minimizaci6n [6], y a partir de este valor se estimaria el mas apropiado. A la vista del nuevo funcional a minimizar, resulta claro que la soluci6n I proporciona un diagrama de radiaci6n E. tal que liE. -Ell ya noes minimo. No obstante, la elecci6n de a = €2 garantiza que 11 E -E 11 ~ € • ' . La condici6n de regularizaci6n aqui probada, de amplia utilizaci6n en problemas de sintesis [4-5] y referenciada tambien en [2] como aplicable a problemas de reconstrucci6n de excitaciones, no parece introducir una mejora notable en la reconstrucci6n de las corrientes cuando la separaci6n entre Ios elementos del array es d';;:!A/2. Sin embargo, el uso de una condici6n suavizadora se hace 983 decisiva cuando la separaci6n entre Ios elementos del array es d < A/2 (figura 2). En tal caso la matriz W pasa a estar muy mal condicionada dado que, el valor de Ios elementos de las diagonales adyacentes a la principal, que representan la energia de interaccion entre elementos, empieza a ser considerable frente al valor de Ios elementos de la diagonal principal, que representan la potencia radiada por cada uno de Ios elementos de la agrupacion. La accion de la condicion regularizadora es analoga a la de un filtro paso bajo de Wiener [6] que dejara pasar el campo radiado, y limitase la acci6n enmascaradora de la energia de interaccion, sobre las corrientes de excitacion buscadas. Module de lo5 corrientes con rt~guloriroc i on o•10'= -1 3.2 ,---------___:.,--------, -1 3. 3 - V. Tao ri co -- M. Natriciol -13 .4 : Woodw ant-L . Fase de Ios corri e ntes con f'l!g ul o riz ac io n o-IO:t 2 0,-------..---~------. - V. Teorico 15 --ItA . Wat rlda l - 1 3.5 .g 10 -13 .6 -13 .7 -1 3.9 _,. -14 .1 Espaciodo: .3 lambdas l l. -\ -14.2L....:P:._-_:B.::..._ > ~--~--~--~----' 0 IQ 15 20 25 Figura 2. 4. Aplicacion del metodo a medidas reales !:. -5 ' I I I I I I I E ep o ci ado: .3 lambda s p- 85- -100'------'-----:~-~10--~~_.__~ __ ____j Elementoe dat orroy A continuacion se muestra el resultado de aplicar el metodo de reconstrucci6n comentado a un array lineal microstrip de 24 elementos radiando con polarizacion vertical. Partiendo de la medida en zona de Fresnel del campo en el piano H (figura 3), se obtienen Ios valores normalizados de corriente de la figura 4, sin necesidad de introducir ninguna condicion regularizadora, ya que la separacion entre elementos es mayor que )\/2. Los resultados se comparan con Ios obtenidos mediante la aplicacion del metodo de Woodward-Lawson, despues de transformar la medida de campo proximo a campo lejano (figura 3). Se observa una gran similitud en la fase reconstruida por ambos metodos y diferencias entomo a dos decimas de dB en alguna de las corrientes reconstruidas, siendo esta diferencia mas acusada en Ios valores extremos debido a una falta de concordancia entre el diagrama elemental real y el estimado.-Finalmente, puede ser interesante poner de manifiesto que el metodo de Woodward-lawson (la transformada de Fourier de una secuencia discreta) garantiza una soluci6n exacta en la transformada de Fourier con solo N muestras tomadas de un periodo del espectro (factor de array), en este caso N =24. Por su parte el metodo aqui analizado necesita al menos el doble de puntos para obtener Ios resultados aqui mostrados. No observandose ademas una mejora apreciable en la reconstruccion al aumentar el numero de muestras. No obstante, este metodo no necesita del paso a campo lejano lo cual representa su mayor ventaja. 984 - Diagr . zona Fresnel -10 -- Oiogr. compo lcjono -20 -30 -60 -70 -80'----~----~--~----~----~--~----~--~----~ 0 m ~ W M 100 lW 140 1~ 1M Figura 3. -13r-------~---------------r------~-------. -13.2 w :--13.4 i -~ -1~.6 . ~ -13.8 ~ -1~ !! c ~ -14.2 " -HA , ", A - V. Dneodo ... 'i\ . l'\ f ·~ -- t-4. matrfcial 11 I\ I 1 1\'. J \I 1 :Woodward L J \', ,'/ V \ :1 \',,'/ \ :1 \',.'1 f. A I :1 I f \~ 1\ :1 I I \~ I~\ :t \ I \~ J ~\ ,'I \1 I~' I ~\ t ,'/ ' I I '.1 /.l 1 1 I 1 1 ,"· • .' J I I '1 L"l \ :,.. ... // _... I I ~\ .~,s \I ~\ / ,• ,... :1\', ,'/ 1.' ~ ' \'.:1 ,, ·, : ~ ~ " t.1 ~\ ..../ : V \\ /\ / .'1; A:: ' :1 /,' .. : .'1 :/....._ ', I :1/.' ·.: .' I /, :' ', 1 ~'\;'\~/ \/ ...... " ¥ -14.6'--------~------~------~------~-------' 0 ID 15 20 25 Elementos .g ~ -E -~ . c {l . ~ Figura 4. Referencias: 1 .. 12 10 8 .. 0 -2 0 \/... ,., :\ ·. , ...... , . '\..-\- r ·...,:-, ./ -...> · ... ~, ., ' ' ' ' ' ' \ \ \ \ \ .. . \ ,'/'(. \,/\ \2 I . \ 10 ' ' ~ -V. Deseado -- M. motr!cial :Woodward L. . " 1\ I\ I l /.': . I \ :/ \~ [\ I \1 \:. I'~ I " \ I ·~ I \ I 1.1 ' I 'V \', I \'. I \ '. I \'. I \'. ,-; : \:,~/ \/ ' ' 'J '..' \. 15 20 25 [1] J.J. Lee, et al., "Near-Field Probe Used as a Diagnostic Tool to Locate Defective Elements in an Array Antenna", IEEE Trans. Antennas Propagat., vol AP-36, no. 6, pp. 884-889, June 1988. [2] M. Bressan, G. Conciauro, "An Optimun Inversion Method for thr Remote Probing of Defective Phase Shifters in Phased Arrays", IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-30, no. 6, pp. 1184-1190, Nov. 1982 [3] S. Blanch, L Jofre, "Diagn6stico de agrupaciones de antenas", URSI VTII Symposium Nacional. Valencia, 22-24 de Septiembre de 1993. [4] G.A. Deschamps, H.S. Cabayan, "Antenna Synthesis and Solution of Inverse Problems by Regularization Methods", IEEE Trans. Antennas Propagat., vol AP-20, no 3, pp. 268-274, May 1972. 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