Sur L'Annulation du deuxième foncteur de (co)homologie D'André-Quillen

Manuscript-Nr. (will b e inserted by hand later) Sur l'annulation du deuxieme foncteur de (co)homologie d'Andre-Quillen Francesc Planas-Vilanova Departament de Matematica Aplicada I. ETSEIB. Universitat Politecnica de Catalunya. Diagonal 647, E-08028 Barcelona. E-mail address: [email protected] c.es Received <date> / Accepted <date> Abstract. For a given ideal I of a commutative ring A , B = A=I ,thevanishing of the second Andre-Quillen (co)homology functor H 2 ( A B   ) is characterized in terms of the canonical homomorphism  : S ( I ) ! R ( I ) from the symmetric algebra of the ideal I onto its Rees algebra. This is done byintroducing a Koszul complex that characterizes commutative graded algebras which are symmetric algebras. 1. Intro duction Soit I un ideal d'un anneau commutatif A et soit B = A=I .On denote par  : S ( I ) ! R ( I ) le morphisme canonique entre l'algebre symetrique de l'ideal I et l'algebre de Rees de I , c'est a dire que R ( I ) =  q  0 I q  on denote par  : S B ( I=I 2 ) ! G ( I )le morphisme canonique entre l'algebre symetrique du B -mo dule I=I 2 et l'anneau gradue asso cie a l'ideal I , c'est a dire que G ( I ) =  q  0 I q =I q +1 , et on denote par  :  B ( I=I 2 ) ! Tor A  ( B B ) le morphisme canonique entre l'algebre exterieure du B -mo dule I=I 2 et la B -algebre graduee anticommutative Tor A  ( B B ). Les trois morphismes sont gradues de degre zero et les deux premiers sont exhaustifs. Finalement, on denote par  nq : Tor A n ( A=I q B ) ! Tor A n ( A=I q ; 1 B ) le morphisme canonique, p our deux entiers n q  1. Les resultats suivants d^us a Quillen (8]) et Andre (3]), resp ectivement, etablissentune relation entre l'annulation des foncteurs d'homologie d'Andre- Quillen H n ( A B   )etlesmorphismes  et  . Theoreme. (Quillen) Les deux conditions suivantes sont equivalentes: ( i ) H n ( A B  W )=0 pour tout n  2 et tout B -module W . ( ii )  est un isomorphisme et I=I 2 est un B -module plat. 2 Francesc Planas-Vilanova Theoreme. (Andre) Les deux conditions suivantes sont equivalentes: ( i ) H n ( A B  W )=0 pour tout n  2 et tout B -module W . ( ii )  est un isomorphisme, I=I 2 est un B -module plat et  nq = 0 pour tout n q  2 . Dans ce travail nous caracteriserons speciquement l'annulation du deuxieme foncteur d'homologie d'Andre-Quillen selon les morphismes  ,  et  .Leresultat principal obtenu est le suivant: Theoreme. Les conditions suivantes sont equivalentes: ( i ) H 2 ( A B  W )=0 pour tout B -module W . ( ii )  est un isomorphisme et I=I 2 est un B -module plat. ( iii )  est un isomorphisme, I=I 2 est un B -module plat et  2 q = 0 pour tout q  2 . ( iv )  2 est un isomorphisme et I=I 2 est un B -module plat. Comme corollaire de ce theoreme on obtientle resultat suivantd^ua Andre (3]): Corollaire. (Andre) Si H 2 ( A B  W )=0 pour tout B -module W , alors  est un isomorphisme et I=I 2 est un B -module plat. Remarque.  A l'aide d'un complex de Koszul que nous intro duirons p our prouver le theoreme precedent nous trouverons un contrexemple du recipro que de ce corollaire. 2. Un complexe de Koszul qui caracterise les algebres commutatives graduees qui sont symetriques Soit R =  q  0 R q une A -algebre commutative graduee, avec R 0 = A , et engendree, comme A -algebre, par R 1 (par exemple, S ( M ) l'algebre symetrique d'un mo dule M , ou bien R ( I ) l'algebre de Rees d'un ideal I ). On dira que R est une A -algebre cgc 1 ( c ommutative g raduee c onnexe et engendree par des elements de degre 1). Soit  : R 1  R ! R le morphisme pro duit  ( x  y ) = xy et soit K (  ) le complexe de Koszul de la forme R -lineaire  (voir 4]). Lorsque  est homogene de degre zero, K (  )est un complexe de R -mo dules gradues ayant comme dierentielles des morphismes gradues de degrezero de R -mo dules. On le denotera par K ( R ) et on l'app elera le complexe de Koszul de R .Concretement, K ( R )est un complexe gradue avec K ( R ) =  n  0 K ( R ) n ,ou K ( R ) n denote le sub complexe partie homogene de degre n , c'est a dire: 0 ;!  A n ( R 1 ) @ n 0 ;!  A n ; 1 ( R 1 )  A R 1 @ n ; 1  1 ;!  A n ; 2 ( R 1 )  A R 2 ;! ::: ::: ;!  A p ( R 1 )  A R n ; p @ pn ; p ;!  A p ; 1 ( R 1 )  A R n ; ( p ; 1) ;! ::: ::: ;!  A 2 ( R 1 )  A R n ; 2 @ 2 n ; 2 ;! R 1  A R n ; 1 @ 1 n ; 1 ;! R n ;! 0  Sur l'annulation du deuxieme foncteur de (co)homologie d'Andre-Quillen 3 avec @ pn ; p ( x 1 ^ ::: ^ x p  y )= p X i =1 ( ; 1) i ; 1 x 1 ^ ::: ^ b x i ^ ::: ^ x p  x i y ,pour tout x i 2 R 1 et y 2 R n ; p . En particulier, p our chaque p  0, H p ( K ( R )) =  n  0 H p ( K ( R )) n est un A -mo dule gradue, o u H p ( K ( R )) n = H p ( K ( R ) n ). Prop osition 2.1. Soit R une A -algebre cgc 1 et soit  : S ( R 1 ) ! R le morphisme canonique. Alors, il existe un isomorphisme gradue de degre zerode R -modules H 1 ( K ( R )) = Ker  S + ( R 1 )  Ker  : En particulier, la composante  q est un isomorphisme pour tout q , 2  q  n , si et seulement si H 1 ( K ( R ) q )=0 pour tout q , 2  q  n . Pour prouver la proposition on a besoin du fait suivant. Lemme 2.2. Si M est un A -module, alors H 1 ( K ( S ( M ))) = 0 . D'ail leurs, si M est A -plat ou bien si A contient le corps des nombres rationels, alors H p ( K ( S ( M )))=0 pour tout p  2 . Demonstration du Lemme 2.2. Il sut de prouver que H 1 ( K ( S ( M )) n )=0 pour chaque n  0. D'apres les propietes fonctorielles du foncteur de symetrisation, Ker @ 1 n ; 1 n'est que le A -mo dule engendreparleselements x 1  ( y 2 y 3  y n ) ; y 2  ( x 1 y 3  y n ) avec x 1 y i 2 M et y 2 y 3  y n representant le pro duit des y i dans S n ; 1 ( M ). C'est a dire, par les elements u  ( vy ) ; v  ( uy )avec u v 2 M et y 2 S n ; 2 ( M ). D'o u, Ker @ 1 n ; 1 =Im @ 2 n ; 2 .Lademonstration de la deuxieme assertion se suit du fait que le complexe K ( S ( M )) s'identie au complexe S ( M )   ( M )de 4](voir page 151 de 4], ou bien 7]). Demonstration de la Proposition 2.1. Comme  : S ( R 1 ) ! R est un morphisme gradue, Ker  est un ideal homogene de S ( R 1 )etKer = ( S + ( R 1 )  Ker  ) est un A - mo dule gradue. Lorsque S i ( R 1 )  Ker  j  S i ; 1 ( R 1 )  Ker  j +1 p our tout i j  2, la comp osante de degre n  0du A -mo dule gradueKer = ( S + ( R 1 )  Ker  )est Ker  n = ( R 1  Ker  n ; 1 ). Il faut donc voir que pour chaque n  0 il existe un isomorphisme de A -mo dules: H 1 ( K ( R ) n )= Ker  n R 1  Ker  n ; 1 : (1) Prouvons (1) p our n  2(pour n = 0 1 c'est evident). Lorsque R est engendree par des elements de degre1, pour chaque n  2lasuitede A -mo dules suivante est exacte: 0 ;! Ker  n ; 1 ;! S n ; 1 ( R 1 )  n ; 1 ;! R n ; 1 ;! 0 : En faisant le pro duit tensoriel par R 1 on obtient la suite exacte: R 1  A Ker  n ; 1 ;! R 1  A S n ; 1 ( R 1 ) 1 R 1   n ; 1 ;! R 1  A R n ; 1 ;! 0  d'o u le diagramme commutatif suivant: 4 Francesc Planas-Vilanova Ker  n R 1  Ker  n ; 1 - 0 0 ? ? ? 0 - Ker  n - S n ( R 1 )  n - R n - 0 ? ? ? R 1  Ker  n ; 1 - R 1  S n ; 1 ( R 1 ) 1   n ; 1 - R 1  R n ; 1 - 0 ? ? Ker @ S 1 n ; 1 - Ker @ R 1 n ; 1 $ %' & - D'apres le diagramme du serp ent, la suite de A -mo dules suivante est exacte: 0 ;! (1   n ; 1 ) ; Ker @ S 1 n ; 1  ;! Ker @ R 1 n ; 1 ;! Ker  n R 1  Ker  n ; 1 ;! 0 : (2) D'apres le Lemme 2.2, H 1 ( K ( S ( R 1 )))=0. C'est a dire que Ker @ S 1 n ; 1 =Im @ S 2 n ; 2 = <v  uy ; u  vy j u v 2 R 1 y 2 S n ; 2 ( R 1 ) > A : Et ainsi, (1   n ; 1 )(Ker @ S 1 n ; 1 )= (1   n ; 1 ) ; <v  uy ; u  vy j u v 2 R 1 y 2 S n ; 2 ( R 1 ) >  = <v  uz ; u  vz j u v 2 R 1 z 2 R n ; 2 > A =Im @ R 2 n ; 2 : (3) Finalement, de (3) et (2) on obtient que H 1 ( K ( R ) n )= Ker @ R 1 n ; 1 Im @ R 2 n ; 2 = Ker @ R 1 n ; 1 (1   n ; 1 )(Ker @ S 1 n ; 1 ) = Ker  n R 1  Ker  n ; 1 : Corollaire 2.3. Soit I un ideal d'un anneau A et soit  : S ( I ) ! R ( I ) le morphisme canonique. Alors,  q est un isomorphisme pour tout q , 2  q  n , si et seulement si les complexes de A -modules suivants sont exacts pour tout q , 2  q  n , ( u ^ v )  y - v  uy ; u  vy x  y - xy  2 ( I )  I q ; 2 @ 2 q ; 2 - I  I q ; 1 @ 1 q ; 1 - I q Sur l'annulation du deuxieme foncteur de (co)homologie d'Andre-Quillen 5 Les ideaux I dont le morphisme canonique  : S ( I ) ! R ( I ) est un isomorphisme sont app eles de type lineaire et ceux dont la deuxieme comp osante  2 : S 2 ( I ) ! I 2 est un isomorphisme sontappeles syzygetiques (voir, par exemple 5], 7], 9]). De la Prop osition 2.1, et en utilisant les m^emes notations de l'introduction, on obtient deux corollaires: l'un qui fait voir la relation entre  et  (voir ace prop os, 1.3 de 9]) et l'autre qui fait voir la relation entre  2 et  2 (voir 2.5 et 2.6 de 5]). Corollaire 2.4.  est un isomorphisme si et seulement si  est un isomorphisme et  2 q =0 pour tout q  2 . Demonstration. Pour chaque q  2, on a le diagramme commutatif suivant: 0 0 0 ? ? ?  B 2 ( I I 2 )  I q ; 2 I q ; 1 - I I 2  I q ; 1 I q - I q =I q +1 - 0 @ 2 q ; 2 @ 1 q ; 1 ?  2 q ; 2 ?  1 q ; 1 ?  2 ( I )  I q ; 2 - I  I q ; 1 - I q - 0 @ 2 q ; 2 @ 1 q ; 1 ?  2 q ; 1 ?  1 q ?  2 ( I )  I q ; 1 - I  I q - I q +1 - 0 @ 2 q ; 1 @ 1 q ? 0 Les lignes representent, de haut en bas, les trois derniers termes des complexes K ( R ( I )) q +1 , K ( R ( I )) q et K ( G ( I )) q . Remarquons que la ligne inferieure s'obtient en faisant le pro duit tensoriel de celle du milieu par B . La colonne de la gauche et celle du milieu sont la colonne de la droite en degres q ; 2et q ; 1apres avoir fait le pro duit tensoriel par  2 ( I )et I resp ectivement. En particulier, les trois colonnes sont des suites exactes. D'ailleurs, Im @ 2 q ; 2  Ker @ 1 q ; 1 =Tor A 1 ( B I q ; 1 )=Tor A 2 ( B  A=I q ; 1 )etla dierentielle @ 2 q ; 2 :  2 ( I )  I q ; 2 ! I  I q ; 1 induit l'homomorphisme  2 q ; 2 :  2 ( I )  I q ; 2 ! Tor A 2 ( B  A=I q ; 1 )pourchaque q  2. Alors, on a le diagramme commutatif suivant: 6 Francesc Planas-Vilanova  B 2 ( I I 2 )  I q ; 2 I q ; 1 - Ker @ 1 q ; 1  2 q ; 2 ? ? ? ?  *  2 q ; 2  2 q ; 2  2 ( I )  I q ; 2 - Tor A 2 ( B A=I q ; 1 )  2 q ; 2 ? ?  2 q  2 q ; 1  2 ( I )  I q ; 1 - Tor A 2 ( B  A=I q )  2 q ; 1 Lorsque Tor A 2 ( B  A=I q ; 1 ) est un B -mo dule,  2 q ; 2 factorise a  2 q ; 2 . Sup osons que  q est un isomorphisme p our tout q , 2  q  n . Alors, et d'apres le Corollaire 2.3,  2 q ; 2 est un epimorphisme pour tout q , 2  q  n . En particulier, et lorsque la colonne de la gauche est un complexe,  2 q =0 pour tout entier q ,1  q  n ; 1. Recipro quement, que  soit un isomorphisme c'est equivalent au fait que  2 q ; 2 soit un epimorphisme p our tout q  2. De l'hyp othese  2 q = 0 p our tout q  2, il en resulte que  2 q ; 2 est un epimorphisme p our tout q  2 et ceci est equivalent au fait que  soit un isomorphisme. Corollaire 2.5.  2 est un isomorphisme si et seulement si  2 est un epimorphisme. D'autre part, si H 2 ( K ( S B ( I=I 2 )) 2 ) = 0 ,alors  2 est un monomorphisme. Demonstration . Considerons le dernier diagramme du corollaire precedent. Comme  2 q ; 2 est un epimorphisme, Im  2 q ; 2 =Im  2 q ; 2 =Im @ 2 q ; 2  Ker @ 1 q ; 1 =Tor A 2 ( B  A=I q ; 1 ) : (4) D'autre part, si q  2et si x y 2 I et z 2 I q ; 2 , alors  2 q ; 2 est denit par  2 q ; 2 (( x ^ y )  z )= @ 2 q ; 2 (( x ^ y )  z )= y  ( xz ) ; x  ( yz ) : D'o u pour q =2, on a que  2  0 =  2 (voir 1]). Par consequent, que  2 soit un isomorphisme, que  2  0 soit un epimorphisme ou que  2  0 =  2 soit un epimorphisme, sont trois conditions equivalentes. D'ailleurs, si H 2 ( K 2 ( S B ( I=I 2 )) 2 ) = 0, alors  2  0 est un monomorphisme et celaentra^ne que  2  0 =  2 soit un monomorphisme. Remarque 2.6. Dans la derniere demonstration, on deduit de (4) que, pour chaque q  2, H 1 ( K ( R ( I )) q ) = Coker  2 q ; 2 . En calculant Tor A 2 ( B  A=I q ; 1 ) avec une presentation A -plate de l'ideal I et en utilisant la Prop osition 2.1, on peut recuperer une expression du quotientduKer  par S + ( I )  Ker  demontree par Kuhl dans le cas d'un ideal de type nit (voir 1.2 de 6] et 7]). 3. Annulation du group e H 2 ( A B  G( I )) Soit I un ideal d'un anneau A et soit B = A=I .Soit f : F ! A une presentation A -plate de l'ideal I , c'est a dire que F est un A -mo dule plat et f est un morphisme de A -mo dules avec f ( F )= I . Soit K ( f ) le complexe de Koszul de f et Sur l'annulation du deuxieme foncteur de (co)homologie d'Andre-Quillen 7 soient @  , Z  = Ker @  et B  =Im @  +1 la dierentielle, les cycles et les b ords de K ( f ), resp ectivement. Pour chaque B -mo dule W (voir 15.12 2]) il existe une suite exacte de B - mo dules: 0 ! H 2 ( A B  W ) ! H 1 ( K ( f ))  B W  ! F  W ! I  W ! 0 ou, p our chaque x 2 Z 1 et y 2 W , le morphisme  : H 1 ( K ( f ))  B W ! F  W est denit par  (( x + B 1 )  y )= x  y . Soit J un autre ideal de A et soit L ( I  J ) le complexe, concentre en degres 0, 1 et 2, denit par ( u ^ v )  y - v  uy ; u  vy u  y - u  y  2 ( I )  J l 2 - I  IJ l 1 - I  J Avec ces notations, on a la prop osition suivante: Prop osition 3.1. Il existe  : H 1 ( K ( f ))  B J=I J ;! JZ 1 =J B 1 ,epimorphisme de B -modules, tel que 0 ;! Ker(  ) ;! H 2 ( A B  J =I J ) ;! H 1 ( L ( I  J )) ;! 0 est une suite exacte de B -modules. Demonstration . Considerons 0 ! B 1 ! Z 1 ! H 1 ( K ( f )) ! 0 et faisons le pro duit tensoriel par J : B 1  J Z 1  J Z 1 B 1  J 0 - - - - - - - 0 JB 1 JZ 1 JZ 1 JB 1 0 ? ? ? ? ?  0 Soit  0 : H 1 ( K ( f ))  J ! JZ 1 =J B 1 l'epimorphisme induit. Lorsque H 1 ( K ( f )) est un B -mo dule, on a le morphisme  denit par la composition:  : H 1 ( K ( f ))  B ( J=I J ) ' ;! H 1 ( K ( f ))  A J  0 ;! JZ 1 =J B 1 : Soit  0 : JZ 1 =J B 1 ! JF=JIF le morphisme induit par les inclusions B 1  IF et Z 1  F . Comme F est un A -mo dule plat, JF=JIF ;! F  A ( J=I J ) denit par yx + JIF 7! x  ( y + IJ )( x 2 F et y 2 J ) est un isomorphisme. Soit  la comp osition suivante:  : JZ 1 =J B 1  0 ;! JF=JIF ' ;! F  A ( J=I J ) : On a  =    et ainsi la suite de B -mo dules 0 ! Ker(  ) ! Ker(  ) ! Ker(  ) ! 0 est exacte. Il reste averier que Ker(  )= H 1 ( L ( I  J )). D'un c^ote on a que Ker(  ) = Ker(  0 )= JZ 1 \ JIF JB 1 : 8 Francesc Planas-Vilanova D'un autre c^ote, on a le diagramme commutatif suivant: 0 Tor A 2 ( B  A=I J ) I  IJ I 2 J 0 - - - - - - - - 0 Tor A 2 ( B  A=J ) I  J IJ 0 ? ? ? l 1 D'apres le lemme du serp ent et en calculant les deux mo dules Tor 2 ( B  A=I J )et Tor 2 ( B  A=J )avec la presentation A -plate 0 ! Z 1 ! F ! I ! 0, on a que Ker ( l 1 : I  IJ ;! I  J )=Ker(Tor 2 ( B A=I J ) ;! Tor 2 ( B  A=J )) = =Ker  Z 1 \ IJF IJZ 1 ;! Z 1 \ JF JZ 1  = JZ 1 \ IJF IJZ 1 : Comme Im l 2  Ker l 1  Tor A 2 ( B A=I J ), alors Im ( l 2 :  2 ( I )  J ! I  IJ )=Im   2 ( I )  J l 2 ! Tor 2 ( B A=I J )  = JB 1 JIZ 1 : Ainsi, H 1 ( L ( I  J )) = Ker( l 1 ) Im( l 2 ) = JZ 1 \ IJF JB 1 =Ker(  0 )=Ker(  ). Le corollaire suivant est un resultat bien connu: Corollaire 3.2. Soit I un ideal et soit  : S ( I ) ! R ( I ) le morphisme canonique. Alors H 2 ( A B  B )=Ker  2 . Demonstration . Prenons dans la Proposition 3.1, J = A . Alors, Ker(  ) = 0 et, de cette facon, H 2 ( A B  B )= H 1 ( L ( I  A )) = H 1 ( K ( R ( I )) 2 )=Ker  2 . Prop osition 3.3. Soit I un ideal de A tel que H 2 ( K ( S B ( I=I 2 )))=0 (ou B = A=I ). Si H 2 ( A B  G ( I )) = 0 , alors  est un isomorphisme. Demonstration . On a que 0 = H 2 ( A B  G ( I )) =  t  0 H 2 ( A B  I t =I I t ) (voir 3.23 2]). D'apres la Prop osition 3.1, H 1 ( L ( I  I t )) = 0 pour tout t  0. Prouvons alors, par induction en q  2, qu'avec l'hyp othese supplementaire H 2 ( K ( S B ( I=I 2 ))) = 0,  q est un isomorphisme. Si q =2, on a deja vu au lemme precedentque H 1 ( L ( I  A )) = 0 entra^ne que  2 soit un isomorphisme. Prenons maintenant q  2 et sup osons que  p est un isomorphisme p our tout p ,2  p  q . Prouvons alors que  q +1 est un isomorphisme. Considerons le diagramme commutatif suivant: Sur l'annulation du deuxieme foncteur de (co)homologie d'Andre-Quillen 9 0 0 0 0 ? ? ? ?  3 ( I I 2 )  I q ; 3 I q ; 2 -  2 ( I I 2 )  I q ; 2 I q ; 1 - I I 2  I q ; 1 I q - I q =I q +1 - 0 @ 3 q ; 3 @ 2 q ; 2 @ 1 q ; 1 ? ? ? ?  3 ( I )  I q ; 3 -  2 ( I )  I q ; 2 - I  I q ; 1 - I q - 0 @ 3 q ; 3 @ 2 q ; 2 @ 1 q ; 1 ? ? ?  2 ( I )  I q ; 1 - I  I q - I q +1 - 0 @ 2 q ; 1 l 2 q ; 1 @ 1 q l 1 q ? 0  1 q ; 1  2 q ; 2  3 q ; 3  2 q ; 1 ou les quatre colonnes sont des suites exactes car les trois premieres sont la quatrieme en degres q ; 3, q ; 2et q ; 1apres avoir fait le produit tensoriel par  3 ( I ),  2 ( I )et I , resp ectivement. La ligne inferieure represente les quatre derniers termes de K ( G ( I )) q . D'apres l'hyp othese d'induction,  p : S B p ( I=I 2 ) ! I p =I p +1 est un isomorphisme p our chaque p ,2  p  q . Alors,  induit un isomorphisme de complexes K ( S B ( I=I 2 )) q 'K ( G ( I )) q : D'apres le Lemme 2.2, H 1 ( K ( S B ( I=I 2 )) q )=0et, par hypothese, on a que H 2 ( K ( S B ( I=I 2 )) q ) = 0, d'o u le fait que la ligne inferieure soit exacte. La ligne du milieu represente les quatre derniers termes de K ( R ( I )) q . D'apres la Prop osition 2.1, et en utilisant l'hyp othese que  q est un isomorphisme, Ker @ 1 q ; 1 =Im @ 2 q ; 2 . La ligne superieure represente les trois derniers termes de K ( R ( I )) q +1 .Sion prouveque H 1 ( K ( R ( I )) q +1 ) = 0, alors d'apres la Prop osition 2.1, on aura que Ker  q +1 = I  Ker  q . Comme par hypothese, Ker  q = 0, cela entra^nera que Ker  q +1 =0. Voyons donc que H 1 ( K ( R ( I )) q +1 )=0. Prenons x 2 Ker @ 1 q , c'est a dire, l 1 q ( x ) 2 Ker @ 1 q ; 1 =Im @ 2 q ; 2 . Alors, il existe y 2  2 ( I )  I q ; 2 avec @ 2 q ; 2 ( y )= l 1 q ( x ). Prenons  2 q ; 2 ( y ). On a que @ 2 q ; 2 (  2 q ; 2 ( y )) =  1 q ; 1 ( @ 2 q ; 2 ( y )) =  1 q ; 1 ( l 1 q ( x )) = 0 c'est a dire que,  2 q ; 2 ( y ) 2 Ker @ 2 q ; 2 . D'apres l'exactitude de la ligne inferieure on deduit qu'il existe z 2  3 ( I=I 2 )  I q ; 3 =I q ; 2 avec @ 3 q ; 3 ( z )=  2 q ; 2 ( y ). Soit t 2  3 ( I )  I q ; 3 avec  3 q ; 3 ( t ) = z et considerons y ; @ 3 q ; 3 ( t ) 2  2 ( I )  I q ; 2 . Alors,  2 q ; 2 ( y ; @ 3 q ; 3 ( t )) =  2 q ; 2 ( y ) ; @ 3 q ; 3 (  3 q ; 3 ( t )) =  2 q ; 2 ( y ) ; @ 3 q ; 3 ( z ) = 0. Par consequent, (comme Ker  2 q ; 2 =Im  2 q ; 1 )il existe u 2  2 ( I )  I q ; 1 avec  2 q ; 1 ( u )= y ; @ 3 q ; 3 ( t ). On a que