Problemas de Análise Matemática III

P oblemas de Análise Ma emá ia I I I Depa amen o de Engenha ia Químia Po o, Se emb o de 1998 Es e do umen o on em os p oblemas seleionados pa a as aulas p á ias e abalho de asa da disiplina de Análise Ma emá ia I I I, no p imei o semes e do ano le i o 1998/99. A maio pa e dos p oblemas o am p op os os p elo P o . Má io Rui Cos a e usados em anos an e io es; algumas mo diaçõ es i e am que se in o duzidas de ido à adop ção dum no o ex o guia: An In odu ion o Die en ial Equa ions and Thei Applia ions , S.J. Fa low, MG aw-Hill, 1994, do qual p o êm quase o das as al e açõ es aos p oblemas dos anos an e io es. Alguns dos p oblemas se ão esol idos nas aulas p á ias e esp e a-se que os es an es sejam esol idos p elos alunos omo abalho de asa. A a aliação on ínua e o exame nal en a ão ep o duzi , na medida do p ossí el, o g au de diuldade e os emas des es p oblemas. Jaime Villa e, DEQ-FEUP 1 P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 2 1 Soluçõ es das equaçõ es di e eniais. Exis ênia e uniidade Em ada equação di e enial iden ique as a iá eis indep enden es e dep enden es. De- mons e em ada aso que a unção y ou u na oluna da di ei a é solução da equação, onde a e c são ons an es. 1. dy dx=x √x2+a2(a6= 0) y(x) = √x2+a2 2. 1 4d2y dx22 −xdy dx+y= 1 −x2y(x) = x2 3. ∂2u ∂x2+∂2u ∂y2= 0 u(x, y) = a c an y x 4. ∂2u ∂x2+∂2u ∂y2+∂2u ∂z2= 0 u(x, y, z) = 1 px2+y2+z2 Demons e que a elação dada dene uma solução implíi a da equação di e enial. 5. yy′= e 2xy2= e 2x 6. y′=y2 xy −x2y=c e y/x Os p oblemas 7 ao 11 são um es e à sua in uição (a in uição só se ob em dep ois de alguma p á ia e p o isso é imp o an e analiza es es p oblemas e as suas soluçõ es). Em ada aso en e adi inha uma solução; aça alguma en a i a e e ique se é ou não solução. Diga se a solução que desob iu é ge al ou pa iula . 7. dy dx=y (a unção uja de i ada é igual a si p óp ia) 8. dy dx=y2 (de i ada igual ao quad ado da unção) 9. dy dx+y= 1 10. dy dx+y= e x 11. d2y dx2= 1 ( unção uja segunda de i ada é igual a 1) Ve ique que a unção dada é solução do p oblema de alo iniial 12. y′′ + 3y′+ 2y′= 0 , y(0) = 0 y′(0) = 1 y(x) = e −x− e −2x 13. y′′ + 4y= 0 , y(0) = 1 y′(0) = 0 y(x) = cos 2x De e mine se o eo ema de Pia d implia a exis ênia de uma solução únia dos seguin es p oblemas de alo iniial, numa izinhança do alo iniial x dado. 14. y′−y= 1 y(0) = 3 15. y′=x3−y3y(0) = 0 P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 3 16. y′=−x yy(1) = 0 17. O p oblema de alo iniial y′= 2√y , y(0) = 0 , em um núme o inni o de soluçõ es no in e alo [0,∞) . (a) Demons e que y(x) = x2 é uma solução. (b) Demons e que se ( c é um pa âme o p osi i o, a seguin e amilia de unçõ es ( e gu a) são amb ém soluçõ es y=0 0 ≤x < c (x−c)2c≤x Po que não p o de se c nega i o? () In e p e e es es esul ados em elação ao eo ema de Pia d. x y 1 −1 1 2 y = (x − c)2 Soluçõ es Nos p oblemas 7 ao 10 exis em mais soluçõ es além das ap esen adas a on inuação, mas es as são as únias que se esp e a que um aluno sem onheimen o p e io de equaçõ es di e eniais desub a 7. y= e x 8. y=−1 x 9. y= 1 10. y= e x 2 11. y=c1+c2x+x2 2 onde c1 e c2 são ons an es a bi á ias. 14. Sim 15. Sim 16. Não 17. (a) Demons a-se p o subs i uição di e a e on e indo a ondição iniial. (b) Demons a-se em o ma semelhan e à alinha an e io , mas é p eiso e em on a que √a2=|a| . () Em y= 0 e iam-se as ondiçõ es do eo ema de Pia d, e omo p o demos e no g áo exis e solução únia em ada aso. Nos p on os y= 0 não se e ia a ondição de on inuidade de ∂ /∂y e exis e um núme o inni o de soluçõ es. Finalmen e, em y < 0 não se e ia nenhuma das duas ondiçõ es e não exis em soluçõ es. P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 4 2 Equaçõ es de p imei a o dem Resol a as seguin es equaçõ es di e eniais o diná ias ( o das são de a iá eis sepa á eis, exa as, linea es ou edu í eis a elas) 1. dy d cos y=− sin y 1 + 2y(1) = π 2 2. dy d +y= 1 + 2y(1) = 2 3. dx dy= cos(x+ 2y)x(0) = 0 4. dy d =y2−2 y y2 5. dy dx=−x+y x+ 2yy(2) = 3 6. (2y+ e xcos y)y′=− e xsin y 7. 1 + 3 −2y−(4 −3y−6) dy d = 0 8. dy dx=x+ 4y+ 5 x−2y−1y|x=2 = 1 9. dy dx=x2−1 y2+ 1 y(−1) = 1 10. dy d + 2 y = 2 3√y y(0) = 25 11. dy dx=x3−2y x 12. dy dx=x x2y+y3 13. dy dx=x(2y+ 1) y−x2 14. dy dx=y−x2 y2−x Resol a as seguin es equaçõ es de Ria i, sab endo que y=y1(x) é uma solução pa iula : 15. dy dx+y x−y2=−1 x2y1(x) = 1 x 16. dy dx=2 cos2x−sin2x+y2 2 cos xy1(x) = sin x P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 5 Soluçõ es 1. y= a csen 2 1 + 2 2. y= 2−2 + 3 3. x= 2 (a c an "√3 an y√3 2!#−y) 4. ln y2− y + 2 2=c−2 √7a c an 2y− √7 5. x2+ 2xy + 2y2= 34 6. y2+ e xsin y=c 7. + 15 = ( −y−7)c+ 3 ln | −y−7| 8. (y+x/2 + 3/2)2 (y+x+ 2)3= 0,098 9. y3+ 3y−x3+ 3x= 2 10. y= 2−2 + 7 e − 2/22 11. y=c x2+x3 5 12. (x2+y2+ 1) e −y2=c 13. x2+ 2x2y−y2=c 14. x3+y3−3xy =c 15. y1=1 x−2x x2+ 2cy2=1 x 16. y2= sin x+2 ccos x−sin xy2= sin x P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 6 3 Apliaçõ es das equaçõ es de p imei a o dem 1. A análise químia de uma iga de pinho e i ada da umba dum a aó Egip io mos ou que o on eúdo de a b ono 14 é 55% do exis en e num pinhei o i o. Sab endo que a meia- ida do a b ono 14 é 5580 ±45 anos, alule a idade da umba. 2. Segundo o Fa book da C.I.A., os dados demog áos pa a Po ugal em Julho de 1993 o am os seguin es: p opulação = 10 486 140 habi an es, axa anual de na ali- dade = 11,59 p o mil, axa anual de mo alidade = 9,77 p o mil e axa anual de mig ação = 1,8 p o mil. Admi indo que as ês axas p e maneem ons an es en e 1993 e 1997, aça uma es ima i a da p opulação de Po ugal em Julho de 1997. 3. No p oblema an e io admi a que as axas de na alidade e mig ação sejam ons an es a é ao ano 2000, enquan o a axa de mo alidade é di e amen e p op o ional à p opulação (mo delo logís io). Calule qual se ia nes e mo delo a p opulação em Julho do ano 2000 (a ons an e de p op o ionalidade da axa de mo alidade alula-se áilmen e a pa i dos dados iniiais). 4. A in ensidade luminosa num lago ou no ma diminui exp onenialmen e em unção da p o undidade, omo esul ado da abso ção da luz p o pa e da água. Se 7,6 me os de água abso em 15% da in ensidade da luz iniden e na sup e íie, a que p o undidade se ia a luz do meio dia ão in ensa omo a luz da lua heia sob e a Te a? (a luz da lua heia sob e a Te a é 300 000 ezes mais aa que a luz do sol a meio dia). 5. Numa eação químia de segunda o dem dois eagen es A e B ombinam-se o mando um omp os o C ( A+B −→ C ). Cada moléula de A em uma p obabilidade de eagi om B (p o unidade de emp o) di e amen e p op o ional ao núme o de moléulas de B exis en es: p obabilidade =cN B , em que c é uma ons an e e N B o núme o de moléulas de B. Assim o núme o médio de eaçõ es p o unidade de emp o é cN A N B , sendo N A e N B o núme o de moléulas de A e B exis en es nesse ins an e. (a) Demons e que em qualque ins an e a onen ação x do omp os o C (em moles p o unidade de olume) e ia a seguin e equação dx d =k(a−x)(b−x) onde a e b são as onen açõ es iniiais de A e B, no ins an e = 0 quando a onen ação de C é ze o, e k é uma ons an e (admi a o olume ons an e). (b) Enon e a solução da equação an e io pa a a ons an e k e a onen ação x . () Quando a onen ação de um dos eagen es é mui o maio , p o exemplo a≫b , o e mo a−x p e manee p á iamen e ons an e e mui o p e o do alo iniial a . Resol a a equação di e enial om a di a ap oximação. (d) Resol a a equação di e enial da alínea a no aso pa iula de onen açõ es iguais pa a os dois eagen es ( a=b ). 6. Enon e as a je ó ias o ogonais da amilia de elipses 4x2+y2=c . P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 7 7. A ons an e de emp o (in e sa da ons an e de ans e ênia é mia k ) de um p édio é 1/k = 1 dia. Não exis em sis emas de aqueimen o ou a ondiionado den o do p édio. A emp e a u a ex e io osila em o ma senoidal en e o mínimo de 5◦ C às 2 ho as e o máximo de 25 ◦ C às 14 ho as. (a) Enon e a equação di e enial pa a a emp e a u a den o do p édio. (suges ão: use o emp o em dias, om o igem num dia qualque às 8 ho as quando a emp e a u a ex e na em o alo médio) (b) Enon e a solução de es ado es aioná io ( alo es ele ados de ). () Quais se ão as emp e a u as máxima e mínima den o do p édio? Soluçõ es 1. (4813 ±39) anos 2. 10 639 084 habi an es 3. 10 746 263 habi an es 4. 590 m 5. (b) k=1 (a−b)ln  b(a−x) a(b−x) ;x=a1−expk (a−b) 1−(a/b) expk (a−b) () k=1 a ln  b b−x (d) k=x a (a−x) 6. y4=cx 7. (a) T′+T= 15 + 10 sin(2π ) (b) T ee = 15 + 10 1 + 4π2sin(2π )−2πcos(2π ) () T mín = 15 −10 √1 + 4π2= 13,4◦ C ;T máx = 15 + 10 √1 + 4π2= 16,6◦ C P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 8 4 Equaçõ es linea es de o dem 2 e sup e io 1. Fo ma no mal . Demons e que a subs i uição y(x) = u(x)F(x) , onde F(x)≡exp −1 2Zp(x)dx ans o ma qualque equação linea homogénea de segunda o dem y′′ +p(x)y′+q(x)y= 0 na hamada o ma no mal : u′′ +g(x)u= 0 Redução da o dem . Mos e que a unção y1(x) é solução da equação di e enial e de e mine a solução ge al 2. y′′ +2y′ x+y= 0 y1=sin x x 3. xy′′ −2(x+ 1)y′+ 4y= 0 y1= e 2x 4. (x2+ 1)y′′ −2xy′+ 2y= 0 y1=x Resol a os seguin es p oblemas de alo es iniiais 5. y′′ + 3y′+ 2y= 0 y(0) = 1, y′(0) = 0 6. y′′ −a2y= 0 y(0) = 1, y′(0) = 0 7. y′′ −4y′+ 13y= 0 y(0) = 0, y′(0) = 1 8. 16y′′ −8y′+y= 0 y(1) = 0, y′(1) = 4 √e 9. x2y′′ −2xy′+ 2y= 0 y(2) = 1, y′(2) = 2 10. x2y′′ + 3xy′+ 5y= 0 y(1) = 0, y′(1) = 2 11. (x−1)2y′′ −4(x−1)y′+ 4y= 0 y(0) = 0, y′(0) = −3 Resol a os seguin es p oblemas de ondiçõ es on ei a 12. y′′ −16y= 0 y(0) = 3, y(1/4) = 3e 13. y′′ +y= 0 y(0) = 1, y(π) = 0 Enon e a solução ge al das seguin es equaçõ es 14. y′′′ −3y′′ + 2y′= 0 15. x3y′′′ −2x2y′′ −xy′+ 9y= 0 P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 9 Soluçõ es 2. y=1 x(c1sin x+c2cos x) 3. y=c1 e 2x+c2(2x2+ 2x+ 1) 4. y=c1x+c2(x2−1) 5. y= 2 e −x− e −2x 6. y= cosh(ax) 7. y=1 3 e 2xsin(3x) 8. y= (x−1) e x/4 9. y=3 4x2−x 10. y=sin(2 ln |x|) x 11. y=x−1 + (x−1)4 12. y= 3 e 4x 13. Não exis e solução 14. y=c1+c2 e x+c3 e 2x 15. y=c1 x+x3(c2+c3ln |x|) P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 16 Usando a p op iedade da ans o mada de Laplae do p o du o de on olução, alule as ans o madas in e sas das seguin es unçõ es 14. 4 s2(s−2) 15. 1 (s2+ω2)2 Resol a as sequin es equaçõ es em o ma ge al, pa a qualque unção ( ) pa ela men e on ínua e pa âme o k di e en e de ze o 16. y′′ −k2y= ( )y(0) = y′(0) = 0 17. y′′ −2ky′+k2y= ( )y(0) = y′(0) = 1 Equaçõ es in eg o di e eniais . Resol a as seguin es equaçõ es 18. y( ) = asin −2R 0y(s) cos( −s)ds 19. y(x) = x+Rx 0y( ) cos(x− )d 20. R 0y(s)ds −y′( ) = y(0) = 2 21. y′( ) + 2y+R 0y(s)ds = sin y(0) = 1 Soluçõ es 1. y=1 6 e −2 +4 3 e −3 2 2. y=1 2 2 e −2 3. y=1 45 e 4 −1 20 e − +1 36(37 −6 ) e 4. 8y= 7 cos −3 sin + e 2 (cos + sin ) 5. y= 16(sin(2 )−2 cos(2 )) −π 64 sin(2 ) 6. y= 2− 7. y=1 4(1 −cos(2 )) [u( )−u( −π) + u( −2π)−u( −3π)] 8. y=1 2sin[2( −π)]u( −π)−1 2sin(2 ) 9. y=1 4(1 −cos(2 ))[u( )−u( −π)] + 1 6(2 sin −sin(2 ))u( −2π) 10. 2πy =−[2 −2π−sin(2 )] u( −π) + [4 −3π−2 cos(2 )] u −3π 4 −2 [2 −π+ sin(2 )] u −π 2+ [2 −π/2 + cos(2 )] u −π 4 +1−π 2sin(2 )u( ) 11. e a P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 17 12. 5 5! 13. −sin 14. e 2 −2 −1 15. 1 2ω3[sin(ω )−ω cos(ω )] 16. y=1 kR 0cosh[k( −s)] (s)ds 17. y= e k h1 + (1 −k) +R 0( −s) e −ks (s)dsi 18. y=a e − 19. y= 1 + + e /2"1 √3sin √3 2!−cos √3 2!# 20. y= 1 + cosh 21. y=1 2sin + e − 1−3 2  P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 18 9 Equaçõ es de di e enças linea es não-homogéneas e não- linea es Resol a as seguin es equaçõ es de di e enças 1. yn+2 −3yn+1 + 2yn= 1 2. yn+2 +yn+1 −2yn= 3 y0= 0, y1= 1 3. yn+2 + 4yn+1 + 4yn= (−2)ny0= 0, y1= 0 4. yn+1 −2yn= exp(−bn) 5. yn+2 −2yn+1 + 4yn= 2ny0= 0, y1= 0 6. yn+2 + 4yn=1 3ny0= 1, y1= 0 7. yn+2 −yn=n Enon e as ans o madas Z das seguin es suessõ es 8. {1,0,0,...}yn=δn,0 9. {0,0,1,1,...}yn= 1 −δn,0−δn,1 10. yn=nsin(ωn) 11. Os núme os {Tn}={1,3,6,10,15,...} são hamados núme os iangula es , p ois p o dem se ob idos geomé iamen e on ando o núme o de p on os nos iângulos da sequênia na gu a seguin e T1 = 1 T2 = 3 T3 = 6 T4 = 10 1. De e mine o p oblema de alo iniial que dene os núme os iangula es. 2. Enon e a o ma ge al Tn de qualque núme o iangula . Nos p oblemas 12 e 13 enon e uma equação de di e enças pa a as seguin es somas Sn (ompa e Sn+1 om Sn ). Resol a a equação de di e enças usando a ondição iniial S1 pa a ob e uma ó mula ge al pa a Sn 12. Sn= 1 + 23+ 33+···+n3 13. Sn= 2 + 4 + 6 + ···+ 2n P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 19 14. O sis ema i e a i o xn+1 =x2 n+c x0= 0 é um sis ema aó io. Usando alo es de c igual a −1.3 , −1.75 e −2 alule alguns e mos da sequênia {xn} a é ob e um alo ep e ido; qual é o p e ío do da sequênia em ada aso? que p o de onlui a pa i des es esul ados? Se quise es e e um p og ama de ompu ado pa a enon a o diag ama de bi u ação, use alo es de c en e −2 e 0.25 , e enha em on a que os alo es esul an es de xn es ão omp endidos en e −2 e 2. Soluçõ es 1. yn=y0(2 −2n) + y1(2n−1) + 2n−n−1 2. yn=n 3. yn=(−1)n 8n(n−1)2n 4. yn= 2ny0+1 2− e −b− e −bn 2− e −b 5. yn=2n 41−cos nπ 3−1 √3sin nπ 3 6. y2m=1 37 28(−4)m+9 9my2m+1 =−3 37 (−4)m+1 9m 7. y2m=y0+m(m−1) y2m+1 =y1+m2 8. y(z) = 1 9. y(z) = 1 z(z−1) 10. y(z) = z(z2−1) sin ω (z2−2zcos ω+ 1)2 11. 1. Tn+1 −Tn=n+ 1 T1= 1 2. Tn=n(n+ 1) 2 12. Sn=T2 n=n2(n+ 1)2 4 13. Sn=n(n+ 1) 14. O p e ío do é 4, 3 e 1 esp e i amen e. Exis em p on os de bi u ação en e −2 e −1.75 , e en e −1.75 e −1.3 P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 20 10 Sis emas de equaçõ es di e eniais linea es Resol a os seguin es p oblemas de alo es iniiais p elo mé o do da eliminação 1. x′=y−x y′=y−2 sin x(0) = 0 y(0) = 1 2. x′=y−x y′=y−2x+ sin x(0) = 0 y(0) = 0 3.    x′=z y′=x z′=y   x(0) = 0 y(0) = −1 z(0) = 1 Nos p oblemas seguin es alule a ma iz e A e use o esul ado pa a enon a a solução do p oblema de alo iniial dx d =Ax x(0) = x0 4. A=2 1 0 1 x0=1 1 5. A=  1−1−1 1 3 1 −3 1 −1 x0=  0 1 0  6. A=4 5 −4−4x0=1 2 7. A=  1 0 0 3 1 −2 2 2 1  x0=  1 1 1  8. A=2 1 0 2 x0=1 1 9. A=  −1−1 0 0−1 0 0 0 −2 x0=  0 1 1  10. A=  −706 0 5 0 6 0 2  x0=  1 1 1  11. A=    1−4 0 0 4 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1     x0=    1 1 1 1     Soluçõ es 1. x= sin y = cos + sin 2. x=1 2(sin − cos )y=1 2(sin − cos + sin ) P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 21 3.                              x=2 e − /2 √3sin √3 2! y=− e − /2"cos √3 2!+1 √3sin √3 2!# z= e − /2"cos √3 2!−1 √3sin √3 2!# 4. x=2 e 2 − e e  5. x=  e 2 −e3 e 3 − e 2 + e 3   6. x=cos(2 ) + 7 sin(2 ) 2 cos(2 )−6 sin(2 ) 7. x= e     1 −1 + 2 cos(2 ) + 1 2sin(2 ) 3 2−1 2cos(2 ) + 2 sin(2 )     8. x= e 2 1 + 1 9. x= e −   − 1 e −   10. x=1 5  2 e −10 + 3 e 5 5 e 5 − e −10 + 6 e 5   11. x= e     cos(4 )−sin(4 ) sin(4 ) + cos(4 ) 2 e −1 1     P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 22 11 Sis emas de equaçõ es di e eniais linea es não-homogéneos Com as ma izes dadas em ada aso esol a o p oblema de alo iniial dx d =Ax + x(0) = x0 1. A=3 1 2 2  = x0=1 0 2. A=  1 1 0 0 1 0 0 0 1   = e   0 1  x0=  0 1 0  3. A=2−2 4−2 =0 δ( −π)x0=1 0 4. A=  −1−1−2 1 1 1 2 1 3   = e   0 0 1 x0=  0 0 0  5. A=3−1 2 0  =1−u( −1) 0x0=0 0 Soluçõ es 1. x=1 48 −3−12 + 16 e + 35 e 4 −3−12 −32 e + 35 e 4  2. x= e      + 2 2 1 + 2 2      3. x=sin(2 ) + cos(2 )−u( −π) sin(2 ) 2 sin(2 ) + u( −π)[cos(2 )−sin(2 )]  4. x= e 6  6 − 2 3 6 + 6 + 2  5. x=1 23−4 e − + e −2 −u( −1)(3 −4 e 1− + e 2−2 ) 2−4 e − + 2 e −2 −u( −1)(2 −4 e 1− + 2 e 2−2 ) P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 23 12 Equaçõ es de de i adas pa iais e ans o madas de Fou ie Enon e a solução ge al u(x, y) das seguin es equaçõ es 1. ∂u ∂x =y 2. ∂2u ∂x∂y = 0 3. ∂2u ∂x∂y =x2+y2 U ilizando ans o madas de Laplae, esol a as seguin es equaçõ es de de i adas pa iais 4. ∂ ∂ + 2∂ ∂x =− ( > 0) (x > 0) (x, 0) = 0 (0, ) = 2 < 1 0 > 1 5. ∂2 ∂ 2−c2∂2 ∂x2= 0 ( > 0) (x > 0) (0, ) = sin limx→∞ (x, ) = 0 (x, 0) = ∂ ∂  =0 = 0 6. ∂u ∂ +x∂u ∂x =x ( > 0) (x > 0) u(x, 0) = 0 u(0, ) = 0 Enon e as sé ies de Fou ie seno e o-seno das seguin es unçõ es 7. (x) = 1 0 < x < π 8. (x) = 1 −x0< x < 1 Resol a as seguin es equaçõ es 9. ∂2u ∂ 2=∂2u ∂x2(0 < x < 1) ( > 0) u(0, ) = u(1, ) = 0 u(x, 0) = 5 sin(3πx)∂u ∂  =0 = 0 10. ∂u ∂ −α2∂2u ∂x2= 0 (0 < x < 1) ( > 0) u(x, 0) = x2u(1, ) = 1 ∂u ∂xx=0 = 1 11. ∂2u ∂x2+∂2u ∂y2= e −x(0 < y < 1) (x > 0) u(x, 0) = u(0, y) = 1 u(x, 1) = 0 limx→∞ u(x, y) ini o P oblemas de Análise Ma emá ia I I I 24 Soluçõ es 1. u(x, y) = xy + (y) , onde é qualque unção de y de i á el 2. u(x, y) = (x)+g(y) , onde e g são unçõ es de x e y , ambas de i á eis nas esp e i as a iá eis 3. u(x, y) = 1 3x3y+1 3xy3+ (x)+g(y) , onde e g são unçõ es de x e y , ambas de i á eis nas esp e i as a iá eis 4. (x, ) = 2 e −x/2 −x 2hu −x 2−u −1−x 2i 5. (x, ) = sin  −x cu −x c 6. u(x, ) = x −1 + e −  7. (x) = 4 πP∞ n=1 1 2n−1sin(2n−1)x Sé ie o-seno: (x) = 1 8. (x) = 2 πP∞ n=1 1 nsin(nπx) = 1 2+4 π2P∞ n=1 1 (2n−1)2cos [(2n−1)πx] 9. u(x, ) = 5 sin(3πx) cos(3π ) 10. u(x, ) = 2 P∞ n=0 (−1)n λn−1 λ2 n− e −α2λ2 n 1 λ2 n−2(−1)n λ3 ncos(λnx) em que λn= (n+ 1/2)π 11. u(x, ) = P∞ n=0 2 nπ 1 + 1−(−1)nn2π2 n2π2−1 e −nπx −1−(−1)n n2π2−1 e −xsin(nπy)