A tecnologia ao serviço do ensino da Física

A ecnologia ao se iço do ensino da Física J. E. Villa e Uni e sidade do Po o, Faculdade de Engenha ia E-mail: [email p o ec ed] Ou ub o de 2009 1 O P og ama Maxima Maxima ( h p://maxima.sou ce o ge.ne ) é um dos sis emas de álgeb a compu acional (CAS) mais an igos. Foi c iado pelo g upo MAC no MIT, na década de 60 do século passado, e inicialmen e chama a-se Macsyma (p ojec MAC’s SYmbolic MAnipula o ). Macsyma oi desen ol ido o iginalmen e pa a os compu ado es de g ande escala DEC-PDP-10 que e am usados em á ias ins i uições académicas. Na década de 80, oi po ado pa a á ias no as pla a o mas e uma das no as e sões oi denominada Maxima. Em 1982. o MIT decidiu come cializa o Macsyma e, simul aneamen e, o p o esso William Schel e da Uni e sidade de Texas con inuou a desen ol e o Maxima. Na segunda me ade da década de 80 apa ece am ou os sis emas CAS p op ie á ios, po exemplo, Maple eMa hema ica, baseados no Macsyma. Em 1998, o p o esso Schel e ob e e au o ização do DOE (Depa men o Ene gy), que inha os di ei os de au o sob e a e são o iginal do Macsyma, pa a dis ibui li emen e o código- on e do Maxima. Após a mo e do p o esso Schel e em 2001, o mou-se um g upo de olun á ios que con inuam a desen ol e e dis ibui oMaxima como so wa e li e. No caso dos sis emas CAS, as an agens do so wa e li e são bas an e impo an es. Quando um mé odo alha ou dá espos as mui o complicadas é bas an e ú il e acesso aos po meno es da implemen ação subjacen e ao sis ema. Po ou o lado, no momen o em que começa mos a depende dos esul ados de um sis ema CAS, é desejá el que a documen ação dos mé odos en ol idos es eja disponí el e que não exis am impedimen os legais que nos p oíbam de en a descob i ou modi ica esses mé odos. 1.1 A in e ace do Maxima Exis em á ias in e aces di e en es pa a abalha com o Maxima. Pode se execu ado desde uma “consola” ou pode se usada algumas das in e aces g á icas como: wxmaxima, exmacs ou xmaxima. A igu a 1 mos a o aspec o da in e ace xmaxima, que é a in e ace g á ica desen ol ida o iginalmen e pelo p o esso William Schel e . 1 Figu a 1: A in e ace g á ica xmaxima. 1.2 En ada e saída de dados Quando se inicia uma sessão do Maxima, apa ece um símbolo (%i1) . Ao lado desse símbolo de e á se esc i o um comando álido, e minado pelo símbolo de pon o e í gula. Ca egando na ecla de im de linha, o comando que oi esc i o ica á g a ado numa a iá el %i1 e o esul ado se á g a ado numa ou a a iá el %o1 e ap esen ado no ec ã. A segui apa ece á o símbolo (%i2) , que pe mi e da um segundo comando e assim sucessi amen e. Comecemos po aze umas con as simples: (%i1) 2.5*3.1; (%o1) 7.75 (%i2) 5.2*log(2); (%o2) 5.2 log(2) No segundo esul ado, o loga i mo na u al de 2 não oi calculado, po que o esul ado é um núme o i acional que não pode se ep esen ado em o ma numé ica exac a. Se quise mos ob e uma ep esen ação numé ica ap oximada do loga i mo de 2, podemos esc e ê-lo como 2 log(2.0) ; ambém podemos ob e uma ep esen ação numé ica ap oximada do esul ado %o2 usando a unção loa : (%i3) loa (%o2); (%o3) 3.604365338911716 A unção loa ep esen a o seu a gumen o em pon o lu uan e com 16 alga ismos. O o ma o b loa (big loa ) pe mi e usa uma p ecisão numé ica mais ele ada, que pode se con olada com a a iá el pp ec ( loa ing poin p ecision). Po omissão, essa a iá el é igual a 16; se, po exemplo, quise mos ap oxima nume icamen e o esul ado %o2 com uma p ecisão de 40 alga ismos signi ica i os, usamos o comando e , que que dize a alia : (%i4) e (%o2, pp ec: 40, b loa ); (%o4) 3.604365338911715608969607031582518153993b0 O alo de 40 pa a a a iá el pp ec só em e ei o den o do bloco “ e ” onde oi usado; o a do bloco, pp ec con inua com o seu alo habi ual de 16. A le a b no im do esul ado %o4 indica que se a a de um núme o no o ma o de pon o lu uan e de g ande p ecisão. O núme o a segui à le a é o expoen e; nomeadamen e, nes e caso em que o expoen e é ze o, o núme o de e á se mul iplicado po 100=1 . O esul ado %o4 ambém podia se ob ido se i éssemos esc i o a en ada %i2 na o ma 5.2*log(2b0) . O comando e pode se esc i o numa o ma ab e iada, quando não es i e den o de ou as unções, omi indo o nome e e os pa ên esis. Assim, o comando %i4 pode ia e sido esc i o de o ma ab e iada: (%i4) %o2, pp ec: 40, b loa ; 1.3 Va iá eis Pa a da um alo a uma a iá el usa-se “:” e não “=”, que se á u ilizado pa a de ini equações ma emá icas. Po exemplo, se quise mos gua da a soma dos esul ados %o1 e %o3 numa a iá el es , (%i5) es: %o1 + %o3; (%o5) 11.35436533891172 O nome das a iá eis pode á se qualque combinação de le as, núme os e os símbolos % e _. O p imei o ca ác e no nome da a iá el não pode se um núme o. Maxima az dis inção en e maiúsculas e minúsculas. Alguns exemplos: (%i6) x1 : 2; (%o6) 2 (%i7) a ea : 5$ (%i8) %d_23 : 8; (%o8) 8 (%i9) a%2 : (x1 : x1 + 2, x1*x1); (%o9) 16 3 Na en ada %i7 usámos $ em ez de pon o e í gula pa a e mina o comando. O sinal $ no im az com que o comando seja execu ado e o esul ado g a ado na a iá el %o7 , mas sem que o esul ado seja ap esen ado no ec ã. Vá ios comandos podem se execu ados sequencialmen e, colocando-os sepa ados po í gulas e en e pa ên esis; isso oi ei o a ás na en ada %i9 ; o esul ado do úl imo comando é a mazenado na a iá el a%2 ; o p imei o comando na sequência inc emen a o alo de x1 em 2, icando a a iá el x1 com o alo de 4, e inalmen e calcula-se o quad ado de x1 , que ica g a ado em a%2 . Alguns nomes de a iá eis não podem se usados po es a em ese ados. Já imos que nomes como %i3 ou %o6 es ão ese ados pa a e e i os comandos inse idos numa sessão e os esul ados ob idos. Uma a iá el ambém não pode e o mesmo nome de algum comando do Maxima; po exemplo o , while e sum. Uma a iá el pode con e ambém uma lis a de alo es, que são colocados en e pa ên esis ec os, sepa ados po í gulas. Po exemplo, pa a c ia uma lis a com os quad ados dos 5 p imei os núme os in ei os: (%i10) quad ados: [1, 4, 9, 16, 25]$ Os elemen os da lis a são con ados a começa po 1; po exemplo, o e cei o elemen o da lis a an e io é ob ido assim: (%i11) quad ados[3]; (%o11) 9 1.4 Cons an es Exis em algumas cons an es impo an es já p ede inidas no Maxima. Os seus nomes começam semp e po %. T ês cons an es impo an es são o núme o π , ep esen ado po %pi , o núme o de Eule , e , base dos loga i mos na u ais, ep esen ado po %e , e o núme o imaginá io i=√−1 , ep esen ado po %i . Tan o %pi como %e são núme os i acionais, que não podem se ep esen ados em o ma numé ica exac a, mas podemos ob e uma ap oximação numé ica com o núme o de casas decimais desejadas; po exemplo: (%i12) e ( %pi, pp ec:50, b loa ); (%o12) 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751b0 (%i13) loa (%e); (%o13) 2.718281828459045 O núme o %i é ú il pa a abalha com núme os complexos. Po exemplo: (%i14) (3 + %i*4) * (2 + %i*5); (%o14) (4 %i + 3) (5 %i + 2) Pa a que o esul ado an e io seja ap esen ado como um núme o complexo, com pa e eal e pa e imaginá ia, usa-se a unção ec o m: 4 (%i15) ec o m(%); (%o15) 23 %i - 14 O ope ado % e e e-se ao “úl imo esul ado” no comando acima e é equi alen e à a iá el %o14 . 1.5 Exp essões e equações Uma exp essão pode con e ope ações ma emá icas com a iá eis inde inidas. Po exemplo: (%i16) 3*x^2 + 2*cos( )$ Essas exp essões podem se depois usadas pa a p oduzi ou as exp essões. Po exemplo: (%i17) %o16^2 + x^3; 2 2 3 (%o17) (3 x + 2 cos( )) + x Pa a da alo es às a iá eis nessa exp essão usa-se a unção e (e alua e): (%i18) e ( %, x=0.5, =1.3); (%o18) 1.776218979135868 O sinal de igualdade é usado pa a de ini equações ma emá icas e não pa a a ibui alo es como nas calculado as; po exemplo: (%i19) 3*x^3 + 5*x^2 = x - 6; 3 2 (%o19) 3 x + 5 x = x - 6 Pa a encon a as aízes de um polinómio pode se usado o comando all oo s; po exemplo: (%i20) all oo s(%o19); (%o20) [x = 0.90725099344225 %i + 0.27758381341005, x = 0.27758381341005 - 0.90725099344225 %i, x = -2.221834293486762] Há duas soluções complexas e uma eal. As ês equações en e pa ên esis ec os em %o20 azem pa e de uma lis a com 3 elemen os. Po exemplo, o e cei o elemen o nessa lis a é a aiz eal: (%i21) %o20[3]; (%o21) x = - 2.221834293486762 A a iá el x con inua inde inida, já que o sinal de igualdade não é usado aqui pa a a ibui alo es numé icos às a iá eis. Os esul ados em %o20 são ap oximados e não exac os. As aízes podem se calculadas em o ma algéb ica exac a, em alguns casos, usando o comando sol e, que ambém esol e ou os ipos de equações di e en es de polinómios, em o ma algéb ica exac a. Po exemplo, pa a encon a as aízes do polinómio a ás e e ido com o comando sol e: 5 (%i22) sol e(%o19, x)$ (%i23) loa ( ec o m (%) ); (%o23) [x = 0.90725099344225 %i + 0.27758381341005, x = - 2.221834293486761, x = 0.27758381341005 - 0.90725099344225 %i] O esul ado do comando sol e não oi ap esen ado no ec ã po que en ol e á ias linhas de exp essões algéb icas. O esul ado oi simpli icado mos ando as suas coo denadas “ ec angula- es”, com pa es eal e imaginá ia sepa adas ( unção ec o m) e inalmen e oi esc i o em o ma numé ica ap oximada ( unção loa ). Pa a esol e um sis ema de equações, que podem se linea es ou não linea es, o p imei o a gumen o pa a o comando sol e de e á se uma lis a com as equações e o segundo uma lis a com as a iá eis; as equações podem se gua dadas em a iá eis. Po exemplo: (%i24) malha1: (4 + 8)*I1 - 8* I2 = 6 + 4$ (%i25) malha2: (2+ 8 + 5 + 1)*I2 - 8*I1 = -4$ (%i26) sol e([malha1,malha2],[I1,I2]); 1 (%o26) [[I1 = 1, I2 = -]] 4 O sis ema an e io ambém pode ia e sido esol ido mais apidamen e com o comando linsol e, em ez de sol e, po se a a de um sis ema de equações linea es. 1.6 G á icos de unções Pa a desenha o g á ico de uma ou á ias unções de uma a iá el, usa-se o comando plo 2d. Po exemplo, pa a desenha o g á ico do polinómio 3x3+5x2−x+6 , no in e alo de x en e −3 e 1, usa-se o comando: (%i27) plo 2d(3*x^3 + 5*x^2 - x + 6, [x, -3, 1])$ É p eciso indica o domínio de alo es de x que ai se ap esen ado no g á ico. O esul ado apa ece numa no a janela ( e igu a 2). Passando o a o sob e um pon o no g á ico, são ap esen adas as coo denadas desse pon o. O g á ico é p oduzido po um p og ama ex e no, Gnuplo , que é ins alado conjun amen e com Maxima. Pa a g a a o g á ico num ichei o g á ico, usam-se duas opções, uma pa a selecciona o ipo de ichei o g á ico e ou a pa a de ini o nome do ichei o. Po exemplo, pa a g a a o g á ico ob ido com o comando %i27 num ichei o GIF, podemos usa o seguin e comando: (%i28) plo 2d(3*x^3+5*x^2-x+6, [x,-3,1], [gnuplo _ e m, gi ], [gnuplo _ou _ ile, " uncao1.gi "])$ 6 Figu a 2: G á ico do polinómio 3x3+5x2−x+6. O g á ico ica g a ado no ichei o uncao1.gi , no o ma o GIF. Ou os dois o ma os g á icos que podem se usados são png (Po able Ne wo k G aphics) e ps (Pos Sc ip ). Pa a desenha á ias unções no mesmo g á ico, colocam-se as unções den o de uma lis a. Po exemplo: (%i29) plo 2d([sin(x), cos(x)], [x, -2*%pi, 2*%pi])$ O esul ado é ap esen ado na igu a 3. -1 -0.5 0 0.5 1 -6 -4 -2 0 2 4 6 x sin(x) cos(x) Figu a 3: G á ico das unções seno e co-seno. É possí el ambém aze um g á ico de um conjun o de pon os em duas coo denadas. As duas coo denadas de cada pon o podem se indicadas como uma lis a den o de ou a lis a com odos os pon os; po exemplo, pa a desenha os ês pon os (1.1, 5), (1.9, 7) e (3.2,9), as coo denadas dos pon os podem se gua dadas numa lis a p: (%i30) p: [[1.1, 5], [1.9, 7], [3.2, 9]]$ 7 Pa a desenha o g á ico, é p eciso da ao comando plo 2d uma lis a que comece com a pala a- -cha e “disc e e”, seguida pela lis a de pon os. Nes e caso não é ob iga ó io indica o domínio pa a a a iá el no eixo ho izon al: (%i31) plo 2d([disc e e,p])$ O g á ico é ap esen ado na igu a 4. 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 1 1.5 2 2.5 3 3.5 disc e e da a Figu a 4: G á ico de um conjun o de 3 pon os. Po omissão, os pon os são ligados en e si po segmen os de ec a; pa a mos a apenas os pon os, sem segmen os de ec a, usa-se a opção s yle, com o alo poin s. Podemos ambém combina o g á ico dos pon os com o g á ico de uma ou á ias ou as unções; pa a o consegui , é p eciso coloca a lis a com a pala a-cha e disc e e den o de ou a lis a com as ou as unções. De ido ao uso de unções, se á ago a necessá io especi ica o domínio pa a a a iá el no eixo ho izon al. Podemos ambém especi ica um domínio no eixo e ical, pa a uma melho ap esen ação, usando a opção y: (%i32) plo 2d([[disc e e,p], 3+2*x], [x,0,4], [y,0,15], [s yle, poin s, lines])$ A opção s yle em %i34 indica que o p imei o conjun o de pon os de e á se ep esen ado po pon os e a unção que em a segui se á ep esen ada com segmen os de ec a. O g á ico é ap esen ado na igu a 5. Exis em mui as ou as opções pa a o comando plo 2d que podem se consul adas na secção plo _op ions do manual. A opção y é especialmen e ú il pa a limi a os alo es ap esen ados no eixo e ical, no caso de unções com assimp o as e icais. Pa a aze g á icos de unções de duas a iá eis, em 3 dimensões, usa-se o comando plo 3d . Po exemplo, o g á ico da igu a 6 oi p oduzido com o comando: (%i33) plo 3d(sin(x)*sin(y), [x, 0, 2*%pi], [y, 0, 2*%pi]); Exis e ainda ou o p og ama g á ico incluído com o xmaxima, pa a além de Gnuplo , designado po Openma h. Os g á icos an e io es podem se p oduzidos com esse p og ama, adicionando uma opção pa a al e a o o ma o g á ico pa a Openma h. Po exemplo, o g á ico em 3 dimensões que acabámos de desenha pode se ob ido com o Openma h como se segue: 8 0 2 4 6 8 10 12 14 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 y x disc e e1 2*x+3 Figu a 5: G á ico de um conjun o de 3 pon os, conjun amen e com uma ec a. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 sin(x)*sin(y) Figu a 6: G á ico da unção sin(x)sin(y), ob ido com Gnuplo . (%i34) plo 3d(sin(x)*sin(y), [x, 0, 2*%pi], [y, 0, 2*%pi], [plo _ o ma ,openma h]); O esul ado é ap esen ado na igu a 7. Clicando no bo ão do a o enquan o se desloca, consegue oda -se o g á ico pa a se is o de di e en es pon os de is a. O comando plo 3d não admi e á ias unções em simul âneo. O p imei o a gumen o de plo 3d de e á se uma única unção, ou uma lis a de 3 unções, que ep esen am as 3 componen es do ec o posição que de ine uma supe ície em 3 dimensões (g á ico pa amé ico). 9 Figu a 9: Simulação da bola sal i ona. No lado esque do, a janela do código do p og ama e no lado di ei o a janela da execução do p og ama. Expe imen e modi ica o p og ama na janela do mesmo, po exemplo, aumen ando o coe icien e de es i uição de 0.9 pa a 1 e a segui execu ando-o no amen e. Ago a, a bola e á um mo imen o con ínuo sem diminuição da al u a e o p og ama nunca acaba á; quando quise pa a o p og ama, clique com o bo ão esque do sob e a janela da simulação — apa ece á uma mensagem a pedi pa a con i ma que que e mina o p og ama. Repa e que, enquan o o p og ama es i e a se execu ado, exis i á uma janela Py hon Shell a ele associada e nela se ão ap esen adas as mensagens de e o e ou as que sejam en iadas pelo p og ama. Algumas simulações com á ias e apas di e en es não começam au oma icamen e, mas só passam à e apa seguin e quando clica sob e o g á ico com o bo ão esque do do a o. Po exemplo, na simulação do lançamen o de p ojéc eis ( ichei o p ojec eis.py) um p imei o clique az com que seja lançado um elec ão; o alcance é ap esen ado na janela g á ica e a janela Py hon Shell mos a á alguma in o mação adicional sob e a ajec ó ia do elec ão: empo de oo, dis ância pe co ida e elocidade média. Um segundo clique az com que seja lançada a bola de énis e pa a lança a bola de énis de mesa de e á clica mais uma ez. Po úl imo, clica-se no amen e pa a e mina o p og ama. 2.2 O Py hon como calculado a O Py hon ambém pode se usado como calculado a pa a aze algumas con as. Po exemplo, se quise mos calcula o empo que a luz do sol demo a a chega à Te a, usamos o alo da dis ância en e a Te a e o Sol, que é de 1,496×1011 m e a elocidade da luz que é 3,0×108 m/s. Assim, o empo em segundos se á: 1,496×1011 3,0×108 Essa con a é ei a na Shell do Py hon da seguin e o ma: 16 >>> 1.146e11/3e8 382.0 O esul ado 382.0 apa ece (a azul) quando se ca ega na ecla “En e ”. Se quise mos sabe esse empo em minu os, e emos de di idi po 60; pa a não e mos que esc e e o esul ado no amen e, podemos ecupe a a nossa p imei a en ada “1.146e11/3e8” ca egando nas eclas “Al ” e “p” em simul âneo e a segui di idindo po 60: >>> 1.146e11/3e8/60 6.3666666666666663 Também podemos usa a iá eis pa a gua da esul ados in e médios: >>> segundos = 1.146e11/3e8 >>> minu os = segundos/60 >>> O alo que é gua dado na a iá el não é ap esen ado, mas podemos ê-lo dando o nome da a iá el: >>> minu os 6.3666666666666663 As unções ma emá icas habi uais (loga i mo, seno, e c.) não es ão de inidas p e iamen e, mas podem se inco po adas impo ando o módulo de unções ma emá icas. Uma o ma de impo a odas as unções e símbolos exis en es num módulo, nes e caso o módulo com nome ma h , é a seguin e: >>> om ma h impo * Obse e que quando e minamos de esc e e uma pala a-cha e do Py hon, como om eimpo , o Idle iden i ica essas pala as com a co la anja. Essa é uma aliosa ajuda pa a de ec a e os de sin axe e pa a e i a en a usa uma dessas pala as-cha e como nome de a iá el, o que da ia um e o. Uma ez impo ado o módulo ma emá ico ma h , e emos disponí eis dois símbolos p ede inidos, o alo de πe a cons an e de Eule , e as 12 unções ap esen adas na abela 1. Po exemplo, se quise mos calcula o olume, em me os cúbicos, de uma go a de água com aio =2 mm, usamos a exp essão do olume da es e a, 4π 3/3: >>> 4*pi*2e-3**3/3 3.3510321638291127e-08 O ope ado é usado pa a po ências; po exemplo, a unção exponencial de x pode se esc i a exp(x)ou, em o ma equi alen e, e ** x. 17 Símbolo ou unção Desc ição pi Núme o π e Núme o de Eule abs(x) Valo absolu o de x sq (x) Raiz quad ada de x log(x) Loga i mo na u al de x exp(x) Função exponencial de x log10(x) Loga i mo de base 10 de x sin(x) Seno de x(xem adianos) cos(x) Co-seno de x(xem adianos) an(x) Tangen e de x(xem adianos) asin(x) Seno in e so de x(em adianos) acos(x) Co-seno in e so de x(em adianos) a an(x) Tangen e in e sa de x(em adianos) loo (x) Elimina as casas decimais de x, dando um in ei o Tabela 1: Símbolos e unções no módulo ma h. 2.3 Blocos i e a i os e condicionais Como em qualque linguagem de p og amação, o Py hon inclui á ios ipos de blocos i e a i os e condicionais. Uma ca ac e ís ica peculia do Py hon, di e en e de ou as linguagens de p og amação, é que não são usados comandos especiais pa a indica o im de uma linha ou de um bloco. Pa a indica quais os comandos que azem pa e de um bloco é p eciso que esse bloco seja inden ado em o ma consis en e: odos os comandos que pe encem a um bloco de e ão e a mesma inden ação e um bloco in e no de e á e maio inden ação. Pa a inden a as linhas pode usa -se espaço ou ca ac e es TAB, mas con ém u iliza apenas um ou o ou o consis en emen e. O Idle ajuda na a e a de inden a as linhas. Po exemplo, se quise mos esc e e no ec ã uma lis a com os cubos dos p imei os 5 núme os na u ais, bas a esc e e mos duas linhas de código: >>> o iin [1, 2, 3, 4, 5]: i**3 1 8 27 64 125 O símbolo-cha e são os dois pon os; após os esc e e mos e clica mos em “En e ”, Idle já não coloca o símbolo >>> no início da linha, po que es á a espe a que comple emos o bloco. A inden ação da segunda linha oi ei a au oma icamen e pelo Idle. Quando e minámos de esc e e a segunda linha, oi p eciso clica duas ezes seguidas em “En e ” pa a que o ciclo osse inalizado e execu ado. 18 Se, ago a, quise mos esc e e unicamen e os núme os na u ais com cubos que comecem pelo al- ga ismo 2, conside ando apenas os p imei os 29 núme os na u ais, usamos um bloco condicional i pa a decidi quais são os cubos com o p imei o alga ismo igual a 2: >>> o nin ange(1, 30): cubo = n**3 o dem = loo (log10(cubo)) i loo (cubo/10**o dem) == 2: p in n, "ao cubo é", cubo 3 ao cubo é 27 6 ao cubo é 216 13 ao cubo é 2197 14 ao cubo é 2744 28 ao cubo é 21952 29 ao cubo é 24389 Nes e caso, em ez de esc e e mos po ex enso a lis a dos 29 p imei os núme os na u ais, usamos uma unção s anda d do Py hon, ange , que p oduz essa lis a. Repa e que Idle iden i ica as unções s anda d a oxo, mas as unções de inidas po módulos adicionais, como loo , não são iden i icadas. Usamos ambém o comando p in pa a imp imi a iá eis e ex o (colo ido a e de pelo Idle) no ec ã. Ou os ope ado es pa a compa a núme os são < , > , <= , >= e != (di e en e). Um bloco i pode e um sub-bloco else, que pode inclui ou o bloco i , usando o comando eli . Po exemplo: >>> n = 2 >>> i 0 < n < 3: p in "en e 0 e 3" eli n >= 3: p in "maio ou igual a 3" else:p in "meno ou igual a ze o" en e 0 e 3 2.4 Funções Pa a de ini unções, po exemplo a unção loo de inida pelo módulo ma h , esc e e-se o p ocedimen o den o de um bloco que começa com a pala a-cha e de , seguida pelo nome da unção e a lis a de a iá eis de en ada en e pa ên esis. Po exemplo, pa a de ini uma unção ad que con e a um ângulo em g aus pa a adianos, podemos usa : >>> de ad(x): e u n pi*x/180 19 a segui já podemos calcula unções igonomé icas de ângulos em g aus. Po exemplo, o seno de 30◦: >>> sin( ad(30)) 0.49999999999999994 Uma unção em Py hon pode chama a p óp ia unção em o ma ecu si a. 2.5 Módulos Um p og ama ou módulo pode se esc i o in e ac i amen e na Shell, ou pode se copiado pa a um ichei o e depois execu ado. A opção New Window no menu “File” do Idle pe mi e ab i ou a janela de um edi o de ex o onde é possí el esc e e um p og ama e g a á-lo num ichei o. O módulo pode con e apenas de inições de unções e a iá eis, como no caso do módulo ma h. Nesse caso, pa a usa essas unções e a iá eis em ou os módulos ou na shell, é p eciso impo a o módulo. O módulo pode se ambém um p og ama que pede alguns alo es de en ada a a és da en ada- -pad ão, ealiza alguma acção e imp ime alguns esul ados na saída-pad ão. Pa a ob e alo es de en ada em o ma i e a i a, usa-se a unção inpu . Po exemplo: >>> n = inpu ("Indique o alo de n: ") Indique o alo de n: 7 Se o p og ama não o au o-execu á el, pode se ca egado com a opção Open no menu “File” do Idle e a segui execu ado com a opção Run Module no menu “Run”. Exis e mui a documen ação adicional disponí el na Web. O sí io h p://www. py hon.o g é uma boa e e ência pa a encon a manuais, u o iais, li os e módulos adicionais. 20