Introdução ao método dos elementos finitos

João Manuel R. S. Ta a es Comunicação In e na: INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS FEUP - Faculdade de Engenha ia da Uni e sidade do Po o DEEC - Depa amen o de Engenha ia Elec o écnica e de Compu ado es INEB - Ins i u o de Engenha ia Biomédica Maio de 1998 Sumá io O Mé odos dos Elemen os Fini os em indo, desde o seu apa ecimen o como e amen a de análise em p oblemas de elas icidade, a se u ilizado nos mais di e sos domínios da ísica. O seu objec i o é modela o sis ema em es udo po um núme o ini o de elemen os mais simples e ob e uma ap oximação pa a o do sis ema a pa i dos á ios elemen os ag upados. Uma das á eas onde a u ilização do Mé odo dos Elemen os Fini o em indo a expandi é a da Visão po Compu ado . Nes a á ea a sua u ilização é ú il na modelização, no empa elhamen o e seguimen o de objec os. Recen emen e em indo a se epo ada a u ilização do Mé odo dos Elemen os Fini os no domínio da Realidade Vi ual nomeadamen e na simulação de ope ações ci ú gicas. Com al u ilização do Mé odo dos Elemen os Fini os o na-se ú il uma simples in odução ao mesmo. Assim nes a comunicação é ap esen ado o mé odo, as suas unções de o ma, os á ios elemen os isopa amé icos u ilizados, a sua o mulação hie á quica, as condições de con e gência e o “Pa ch Tes ”, algumas écnicas de in eg ação numé ica e de inições u ilizadas na sua de i ação. INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 1 - In odução ao Mé odo dos Elemen os Fini os O aumen o da complexidade das es u u as e da capacidade dos compu ado es a o eceu o apa ecimen o de no os mé odos de análise nomeadamen e o mé odo dos elemen os ini os. Após es a u ilização inicial, em p oblemas de elas icidade [Ba he, 1996; Gomes, 1995; Ma ins, a; Sege lind, 1984; Oli ei a, 1990], a mesma oi se apidamen e es endendo a ou os domínios como o da ans e ência de calo e da mecânica dos luidos [Ba he, 1996; Sege lind, 1984], do elec omagne ismo, das ib ações mecânicas e acús icas [Ba he, 1996; Kelly, 1993; Mei o i ch, 1986], da isão po compu ado 1, da compu ação g á ica [Essa, 1992; Pen land, 1989; Pen land, 1989a], da ealidade i ual (nomeadamen e em simulações ci ú gicas [B o-Nielsen, 1996; Kee e, 1996]), e c. O objec i o do mé odo é a ob enção de uma o mulação que possa explo a a análise, de o ma au omá ica, de sis emas complexos, e/ou i egula es, po in e médio de p og amas compu acionais. Pa a a ingi al objec i o, o mé odo conside a o sis ema global como equi alen e a um ag upamen o de elemen os ini os no qual cada um des es é uma es u u a con ínua mais simples. Impondo que em ce os pon os comuns a á ios elemen os, designados po nodos ou nós, os deslocamen os sejam compa í eis e as o ças in e nas em equilib o o sis ema global, esul an e do ag upamen o, eage como uma única en idade. Apesa do mé odo dos elemen os ini os conside a os elemen os indi iduais como con ínuos é, na sua essência, um p ocedimen o de disc e ização pois exp ime os deslocamen os (e a pa i des es po di e enciação as de o mações e, no caso de compo amen o linea u ilizando-se a lei de Hooke [Timoshenko, 1970], a pa i des as as ensões) em qualque pon o do elemen o con ínuo em e mos de um núme o ini o de deslocamen os nos pon os nodais mul iplicados po unções de in e polação2 ap op iadas. A an agem do mé odo é que a equação de mo imen o pa a o sis ema global pode se ob ida pelo ag upamen o das equações de e minadas indi idualmen e pa a cada elemen o ini o u ilizado na modelização. O mo imen o em qualque pon o no in e io de cada um des es elemen os é ob ido po in e médio de in e polação sendo, ge almen e, as unções de in e polação polinómios de g au eduzido e iguais pa a elemen os do mesmo ipo. Uma ou a an agem do mé odo dos elemen os ini os é a acilidade com que a sua gene alização pode se conseguida pa a a esolução de p oblemas bidimensionais e idimensionais cons i uídos po á ios ma e iais di e en es e com on ei as i egula es. Os passos essenciais de uma solução numé ica pelo mé odo dos elemen os ini os são os seguin es: 1. Subdi isão do sis ema global con ínuo em elemen os ini os; 1 Desde a p imei a u ilização do mé odo dos elemen os ini os po Pen land em 1989, [Pen land, 1989], no domínio da isão po compu ado que a mesma em indo a gene aliza -se às suas di e en es á eas; nomeadamen e: • na análise de mo imen o 2D e 3D ígido e não ígido [Benayoun, 1994, 1994a; Coo es, 1995; Nas a , 1994, 1994a; Pen land, 1991; Scla o , 1994a]; • na ob enção de es u u as 2D e 3D [Cohen, 1991; Kakadia is, 1997; Pen land, 1991]; • na análise de aces [Essa, 1995]; • na análise de objec os de o má eis 2D e 3D [McIne mey, 1996; Pa k, 1996; Pen land, 1990; Pen land, 1991a]; • ep esen ação de imagens 2D e 3D [Moulin, 1992]; • egis o de imagens e modelos 2D e 3D [Syn, 1995a]; • desc ição de objec os 2D e 3D [Syn, 1995; Scla o , 1993, 1994, 1994b, 1995, 1995a]. 2 Também designadas po unções de o ma. 1 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 2. Pa a cada elemen o ini o m cálculo da ma iz de igidez [K(m)] e, pa a p oblemas dinâmicos, da ma iz de massa [M(m)] e da ma iz de amo ecimen o dependen e da elocidade [C(m)] ela i amen e a um e e encial local con enien e; 3. De e minação pa a o sis ema global da ma iz de igidez [K] e, pa a p oblemas dinâmicos, da ma iz de massa [M] e da ma iz de amo ecimen o dependen e da elocidade [C] po ag upamen o das ma izes de cada elemen o ini o u ilizado na modelização exp essas ela i amen e a um mesmo sis ema de e e ência global; 4. De e minação do ec o das ca gas aplicadas ao sis ema global {R}; 5. Es abelecimen o das equações de mo imen o pa a o sis ema global [M]{U ¨}+[C]{U }+[K]{U}={R}; 6. Cálculo das a iá eis do p oblema em ques ão; ais como: deslocamen os, elocidades, de o mações e ensões. O mé odo dos elemen os ini os ap esen a di e sas o mulações possí eis. Em p oblemas es á icos, po exemplo no caso da análise es u u al, é comum de i a -se a ma iz de igidez u ilizando-se a abo dagem di ec a que consis e no elacionamen o do ec o dos deslocamen os nodais com o ec o das o ças nodais. Tal abo dagem ap esen a algumas di iculdades em p oblemas dinâmicos, ais como na análise de ib ações, sendo p e e í el nes e ipo de p oblemas ob e -se pa a cada elemen o indi idual a de i ação das ma izes de elemen os ini os de igidez, de massa e do ec o das o ças não conse a i as nodais a pa i espec i amen e da ene gia ciné ica, da ene gia po encial e da exp essão dos abalhos i uais, Apêndice A.8; es a abo dagem é ge almen e designada po abo dagem a iacional. No e-se que o mé odo dos elemen os ini os não dá, em p incípio, soluções exac as. No en an o à medida que usamos mais e mais elemen os na modelização de e a solução ob ida con e gi pa a a solução exac a. Ve i ica-se que do pon o de is a cus o/p ecisão é mais an ajoso usa poucos elemen os complexos de que mui os elemen os simples. No pon o seguin e des a comunicação é ap esen ada a o mulação do mé odo dos elemen os ini os; no e cei o pon o é ap esen ado, de o ma b e e, a e são hie á quica do mé odo; no qua o pon o são ap esen adas as unções de o ma; as unções de o ma mais complexas, como po exemplo as da amília de Lag ange e de Se endipi y e as u ilizadas em elemen os isopa amé icos, são ap esen adas no quin o pon o; no sex o pon o é desc i o como se podem ob e as de o mações e as ensões no in e io de cada elemen o após a de e minação dos seus deslocamen os nodais; as condições de con e gência do mé odo são discu idas no sé imo pon o inclusi e um es e que é bas an e comum em análises de p oblemas de elas icidade o “pa ch es ”; como nem semp e é possí el a in eg ação de o ma analí ica, das di e en es exp essões do mé odo, mé odos de in eg ação numé icos são necessá ios assim alguns des es mé odos são ap esen ados no oi a o pon o; algumas conclusões são ap esen adas no nono, e úl imo, pon o; em apêndice são ap esen adas algumas de inições u ilizadas na de i ação do mé odo e alguns exemplos de de e minação das ma izes en ol idas pa a dois elemen os ini os simples. 2 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 2 - Fo mulação do Mé odo dos Elemen os Fini os Nes e pon o são de i adas as equações que go e nam o mé odo dos elemen os ini os. Em p imei o luga conside emos um co po idimensional ge al, Figu a 1. Z, W X , U elemen o ini o m p on o nodal j Y , V x, u y, z , w S u S i Uj Wj Vj RCY i Y S , Y B Figu a 1 - Co po idimensional ge al com um elemen o ini o idimensional de oi o nós. No mé odo dos elemen os ini os o co po em ques ão, Figu a 1, é ap oximado pela conside ação que o mesmo é equi alen e a um conjun o de elemen os ini os disc e os ag upados, de o ma adequada, pelos pon os nodais, ambém designados po nodos ou nós, localizados nas on ei as dos mesmos. Os deslocamen os e e enciados num sis ema de coo denadas local (x,y,z), a se escolhido de o ma con enien e, no in e io de cada elemen o são assumidos como sendo unção dos deslocamen os dos N nodos do mesmo. Des e modo, pa a o elemen o m emos: {u(m)}(x,y,z)=[N(m)](x,y,z){U ∧} Eq. 1 onde [N(m)] é a ma iz das unções de o ma, po ezes ambém designada po ma iz de in e polação dos deslocamen os, o índice m signi ica elemen o m, e {U ∧} é o ec o dos deslocamen os globais dos pon os nodais com ês componen es Ui, Vi e Wi, incluindo os deslocamen os nos supo es do conjun o ag upado; po exemplo {U ∧} é um ec o de dimensão 3N: 3 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS {U ∧}T=[U1V1W1U2V2W2UNVNWN]. Es e ec o pode se esc i o de o ma simpli icada como: {U ∧}T=[U1U2U3Un] onde Ui ep esen a um deslocamen o segundo uma qualque di ecção X, Y ou Z, ou mesmo segundo uma di ecção não alinhada com es es eixos coo denados mas alinhados com os eixos de um ou o sis ema de coo denadas local, e ambém pode signi ica uma o ação. Como {U ∧} inclui os deslocamen os, e o ações, nos pon os de supo e do conjun o ag upado, numa ase seguin e é necessá io impo os alo es conhecidos de {U ∧} an es de esol e o p oblema pa a os deslocamen os nodais não conhecidos. Na Figu a 1 es á ep esen ado um elemen o ini o ípico pa a uma modelização possí el pa a o co po. Es e elemen o em oi o nós, um em cada um dos seus é ices, e pode se in e p e ado como um elemen o ini o 3D equi alen e a um ijolo. De e emos in e p e a a modelização como uma cons ução de elemen os des e ipo ag upados de o ma a não exis i em alhas en e os á ios domínios de cada elemen o. O elemen o conside ado é apenas um exemplo; na p á ica podem se u ilizados elemen os com geome ias di e en es e com nós no in e io das aces e no in e io dos mesmos. A escolha do elemen o e a cons ução das co esponden es en adas na ma iz [N(m)] (que depende da sua geome ia, do seu núme o de nós/g aus de libe dade, e dos equisi os de con e gência) cons i uem as e apas básicas do mé odo dos elemen os ini os. Apesa de odos os deslocamen os nodais es a em ep esen ados no ec o {U ∧}, de emos no a que pa a um dado elemen o apenas os deslocamen os nos seus nodos a ec a a dis ibuição dos deslocamen os e das de o mações no in e io do mesmo. Assumindo os deslocamen os da Eq. 1 podemos ago a de e mina as de o mações do elemen o co esponden es: { ε (m)}(x,y,z)=[B(m)](x,y,z){U ∧} Eq. 2 onde a ma iz [B(m)], ge almen e designada po ma iz de de o mação, elaciona os deslocamen os com as de o mações e é ob ida pela ap op iada de i ação e combinação das linhas da ma iz [N(m)]. O p opósi o de de ini os deslocamen os e as de o mações do elemen o em e mos do ec o dos deslocamen os nodais do conjun o ag upado pode po ago a ainda não se ób io. Con udo, se á e i icado que p ocedendo des a o ma, a u ilização da Eq. 2 e da Eq. 62 no p incípio dos deslocamen os i uais pe mi e, de o ma au omá ica, um p ocesso e icien e de ag upamen o das ma izes e dos ec o es dos elemen os nas ma izes do sis ema global. Es e p ocesso de ag upamen o é designado pelo mé odo di ec o de igidez3. 3 O mé odo di ec o de igidez é a designação dada ao p ocedimen o de inco po a as ma izes dos elemen os no sis ema inal de equações. O mé odo é simples e di ec o. Os alo es numé icos dos nós i e j pa a um elemen o especí ico são inse idos nas colunas de [K(m)] e [M(m)] e ao longo das linhas de [K(m)], [M(m)] e {R(m)}, is o é: [M(m)]=⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ M11 M12 M21 M22 i j ij , [K(m)]=⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ K11 K12 K21 K22 i j ij , {R(m)}=⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ R1 R2 i j. 4 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS As ensões num elemen o ini o es ão elacionadas com as de o mações do mesmo e com as suas ensões iniciais pela exp essão: { σ (m)}=[D(m)]{ ε (m)}+{ σ I(m)} Eq. 3 onde [D(m)] é a ma iz de elas icidade pa a o elemen o m e { σ I(m)} é o ec o das conhecidas ensões inicias pa a o mesmo. A lei pa a o ma e ial es a especi icada na ma iz [D(m)] e pode se que pa a um elemen o iso ópico que pa a aniso ópico e pode a ia de elemen o pa a elemen o. U ilizando os deslocamen os no in e io de cada elemen o, como desc i os na Eq. 1, pode-se ago a de i a as equações de equilíb io que co espondem aos deslocamen os nodais do conjun o de elemen os ini os de idamen e ag upado. Em p imei o, eesc e emos a Eq. 76 como uma soma de in eg ações sob e o olume e á eas de odos os elemen os ini os u ilizados na disc e ização do co po: ∑ m⌡ ⎮ ⌠ V(m) { ε (m)}T{ σ (m)}dV (m)=∑ m⌡ ⎮ ⌠ V(m) {u¯(m)}T{ B(m)}dV (m)+ ∑ m⌡ ⎮ ⌠ S1 (m),…,Sq (m) {u¯(m)}T{ S(m)}dS(m)+∑ i {u¯i}T{RC i} Eq. 4 3 O p ocedimen o di ec o de igidez é acilmen e en endido eco endo-se a um simples exemplo. U ilizando-se a seguin e ma iz de igidez, pa a a ma iz de massa o p ocedimen o é idên ico, e o seguin e ec o de o ças: [K(m)]=⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ 45 57, {R(m)}=⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ 8 9, pa a um elemen o linea en e os nodos 2 e (i=2, j=3). U ilizando i e j ob emos: [K(m)]=⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ 45 57 2 3 23 , {R(m)}=⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ 8 9 2 3, e a localização des es coe icien es na ma iz global de igidez [K] e no ec o global de ca gas {R} é: • 4 é adicionado a K22; • 6 é adicionado a K23; • 5 é adicionado a K32; • 7 é adicionado a K33; • 8 é adicionado a R2; • 9 é adicionado a R3. Nes e exemplo é u ilizada a exp essão é adicionado pois podem exis i con ibuições a K22, K23, K32, K33, R2 e R3 de ou os elemen os que não o am conside ados. Como se dep eende des e exemplo o mé odo di ec o de igidez é acilmen e implemen ado num p og ama compu acional. 5 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS onde m=1,2,…,L, onde L é o núme o de elemen os e S1 (m),…,Sq (m) ep esen a as supe ícies do elemen o m que pe encem à supe ície S do co po. Pa a elemen os o almen e odeados po ou os não exis e es e ipo de supe ície; con udo, pa a elemen os na supe ície do co po uma ou mais supe ícies des e ipo são incluídas no in eg al das o ças que ac uam sob e a mesma. No e-se que oi assumido que na Eq. 4 os nodos es ão localizados nos pon os onde as ca gas concen adas es ão aplicadas, apesa de uma ca ga concen ada pode ob iamen e se incluída no in eg al de o ças de supe ície. É impo an e no a que desde que as in eg ações na Eq. 4 sejam execu adas sob e os olumes e supe ícies dos elemen os u ilizados - po azões de e iciência pa a cada elemen o pode se u ilizado nos cálculos um di e en e e qualque sis ema de coo denadas con enien e - apesa de udo, pa a um dado campo dos deslocamen os i uais, o abalho in e no i ual é um núme o, assim como ambém o é o abalho ex e no i ual, e es e núme o pode se de e minado po in eg ação u ilizando um qualque sis ema de coo denadas. Ob iamen e que é assumido que pa a cada in eg al na Eq. 4 é u ilizado um único sis ema de coo denadas pa a odas as a iá eis; po exemplo, o ec o {u¯(m)} es á de inido no mesmo sis ema de coo denadas do ec o { B(m)}. As elações na Eq. 1 e na Eq. 2 o am ob idas pa a os deslocamen os e de o mações desconhecidos e eais do elemen o. Na u ilização do p incípio dos deslocamen os i uais, Apêndice A.3, pode-se u iliza as mesmas conside ações pa a os deslocamen os e de o mações i uais: {u¯(m))}(x,y,z)=[N(m)]{U ∧ ¯} e { ε ¯(m)}(x,y,z)=[B(m)]{U ∧ ¯}. Des a o ma as ma izes de igidez e de massa do elemen o se ão ma izes simé icas. Se p ocede -se à subs i uição na Eq. 4 ob emos: {U ∧ ¯}⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ∑ m⌡ ⎮ ⌠ V(m) [B(m)]T[C(m)][B(m)]dV(m){U ∧}={U ∧ ¯}T ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ∑ m⌡ ⎮ ⌠ V(m) [N(m)]T{ B(m)}dV(m) ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ + ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ∑ m⌡ ⎮ ⌠ S1 (m),…,Sm (m) [NS(m)]T{ S(m)}dS(m)− ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ∑ m⌡ ⎮ ⌠ V(m) [B(m)]T{ σ I(m)}dV(m)+{RC} Eq. 5 onde as ma izes de in e polação dos deslocamen os na supe ície [NS(m)] são ob idas a pa i das ma izes de in e polação dos deslocamen os [N(m)] da Eq. 1 po adequada subs i uição das coo denadas da supe ície do elemen o e {Rc} é o ec o das ca gas concen adas aplicadas nos nós dos elemen os ag upados. De e emos no a que a componen e i do ec o {Rc} é a o ça nodal concen ada que co esponde à componen e i do ec o de deslocamen os {U ∧}. Na Eq. 5 os ec o es de deslocamen os nodais {U ∧} e {U ∧ ¯} do conjun o ag upado são independen es do elemen o m e assim o am e i ados do in e io dos soma ó ios. Pa a ob e a pa i da Eq. 5 as equações pa a os deslocamen os nodais desconhecidos, aplica-se o p incípio dos deslocamen os i uais n ezes impondo deslocamen os i uais uni á ios a odas as componen es do ec o {U ∧ ¯}. Na p imei a aplicação ob emos 6 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS {U ∧ ¯}={e1}, na segunda aplicação {U ∧ ¯}={e2}, e po adian e, a é que na aplicação n ob emos {U ∧ ¯}={en}, esul ando assim: [K]{U}={R} Eq. 6 onde es á omi ida a ma iz iden idade [I], de ido aos deslocamen os i uais de cada lado da equação, e o ec o {R} é: {R}={RB}+{RS}−{RI}+{RC} Eq. 7 e, como a pa i de ago a se á e e enciado, o ec o pa a os deslocamen os nodais desconhecidos es á e e enciado como {U} (is o é, {U}≡{U ∧}). A ma iz [K] é a ma iz de igidez pa a o sis ema global: [K]=∑ m ⌡ ⎮ ⌠ V(m) [B(m)]T[C(m)][B(m)]dV(m)  [K(m)] . Eq. 8 O ec o de ca ga {R} inclui o e ei o das o ças de co po: {RB}=∑ m ⌡ ⎮ ⌠ V(m) [N(m)]T[ B(m)]dV(m)  {RB (m)} , Eq. 9 o e ei o das o ças de supe ície: {RS}=∑ m ⌡ ⎮ ⌠ S1 (m)…Sq (m) [NS(m)]T[ S(m)]dS(m)  {RS (m)} , Eq. 10 o e ei o da ensão inicial: {RI}=∑ m ⌡ ⎮ ⌠ V(m) [B(m)]T{ σ I(m)}dV(m)  {RI (m)} , Eq. 11 e as ca gas concen adas {Rc}. 7 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS de massa e de igidez possuí em a p op iedade de embebe em os elemen os an igos4, de al o ma que o p incípio de inclusão é e i icado. 4 - Funções de Fo ma A melho manei a de esol e um qualque p oblema ísico go e nado po uma equação di e encial é ob e a solução analí ica des a. Con udo, exis em mui as si uações pa a as quais é di ícil ob e a desejada solução analí ica: A egião em conside ação pode se mui o i egula de al manei a que seja ma ema icamen e impossí el desc e e a sua on ei a; A con igu ação pode se compos a po ma e iais di e en es cujas egiões sejam de desc ição ma emá ica di ícil; Podem es a en ol idos ma e iais aniso ópicos e des a o ma as equações en ol em e mos não linea es… Um mé odo numé ico pode se u ilizado pa a ob e uma solução ap oximada quando não pode se ob ida uma solução analí ica. Todas as soluções numé icas p oduzem alo es em pon os disc e os pa a um dado conjun o de pa âme os independen es. O p ocedimen o pa a a solução comple a é epe ido cada ez que es es pa âme os são al e ados. Mesmo assim, soluções numé icas são mais desejá eis que nenhuma solução. Os alo es calculados o necem in o mação impo an e há ce ca do p ocesso ísico mesmo sendo apenas em pon os disc e os. Exis em á ios p ocedimen os pa a ob e uma solução numé ica pa a uma equação di e encial e podem se sepa ados em ês classes: 1) mé odo das di e enças ini as; 2) mé odo a iacional; 3) mé odos de esíduos pesados. As duas p imei as são ap esen adas de o ma sucin a a e cei a é desc i a de o ma mais ex ensi a nos pon os seguin es. • Mé odo das di e enças ini as O mé odo das di e enças ini as ap oxima as de i adas nas equações di e enciais que go e nam o p oblema u ilizando equações de di e enças. Es e mé odo é ú il pa a a esolução de p oblemas de ans e ência de calo e em mecânica dos luidos e uncionam bem pa a egiões bidimensionais com on ei as pa alelas aos eixos coo denadas. Con udo, o mé odo é ine icaz quando as egiões êm on ei as cu as ou i egula es, e é de di ícil implemen ação compu acional [Ba he, 1996]. • Mé odo a iacional A abo dagem a iacional en ol e o in eg al de uma unção que p oduz um núme o. Cada no a unção p oduz um no o núme o. A unção que p oduz o meno núme o em a adicional p op iedade de sa is aze uma de e minada equação di e encial. Pa a ajuda a cla i ica es a abo dagem conside emos o in eg al: 4 O ac o das ma izes de massa e de igidez possuí em a p op iedade de embebe em os elemen os an igos aduz que as ma izes de o dem (n+1) são cons uídas a pa i das mesmas ma izes de o dem (n) ac escen ando-se uma no a linha e uma no a coluna sendo apenas necessá io calcula es as no as en adas: [M](n+1) =⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ [M](n)x xx , [K](n+1) =⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ [K](n)x xx . Es a p op iedade pode se u ilizada pa a p o a que os alo es p óp ios λ i de e minados pelo mé odo de Rayleigh-Ri z sa is azem as desigualdades: λ 1 (n+1) ≤ λ 1 (n)≤ λ 2 (n+1) ≤ λ 2 (n)≤…≤ λ n (n)≤ λ n (n+1) e que é designado po p incípio da inclusão. 14 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Π= ⌡ ⎮ ⎮ ⌠ 0 H ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ D 2⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ dy dx 2 −Qy dx. O alo numé ico de Π pode se calculado a pa i de uma equação especí ica y= (x). Con udo, a abo dagem a iacional demons a que a equação pa icula y=g(x), a aquela que o igina o meno alo numé ico pa a Π, é a solução pa a a equação di e encial: Dd2y dx2+Q=0 com as condições de on ei a y(0) =y0 e y(H)=yH. O p ocesso pode se in e ido: dada uma equação di e encial, uma solução ap oximada pode se ob ida po subs i uição de unções candida as di e en es no ap op iado uncional; a unção candida a que o igina o meno alo pa a Π é a solução ap oximada. O mé odo a iacional é a base pa a mui as o mulações de elemen os ini os mas em uma g ande des an agem: não é aplicá el a qualque equação di e encial que con enha e mos da p imei a de i ada [Ba he, 1996]. 4.1 - Ap oximação de Funções U ilizando Funções de Fo ma A ob enção de uma solução numé ica pa a dado p oblema, pelo mé odo dos elemen os ini os, exige uma ep esen ação con enien e da unção incógni a po uma unção ap oximada. Seja uma unção φ , com domínio Ω, a qual sob e a on ei a Γ assume alo es conhecidos φ Γ. Escolhendo uma unção que espei e exac amen e a condição de on ei a e um conjun o de unções Ni que se anulem ao longo des a, pode emos u iliza a seguin e exp essão pa a de ini a unção ap oximada: φ ^= ψ +∑ i=1 M aiNi Eq. 26 sendo ai, com i=1, 2,…,M, um conjun o de pa âme os a de e mina . As unções Ni são conhecidas pela designação de unções de ap oximação ou unções de o ma ou ainda po unções de in e polação. Os coe icien es ai são habi ualmen e designados po pa âme os nodais e po ezes coincidem com o alo da unção ap oximada num conjun o de M pon os do domínio. O modo como o em escolhidas as unções de o ma e a unção ψ ga an e a e i icação au omá ica da condição de on ei a quaisque que sejam os alo es dos pa âme os nodais. Necessa iamen e e emos: φ ^ Γ= ψ Γ= φ Γ. As unções de o ma Ni de e ão se comple as, ou seja, de e ão se ais que, qualque que seja a unção exac a, a unção ap oximada ende pa a es a à medida que aumen a o núme o M de pa celas que in e êm na espec i a de inição: 15 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ∀ φ ⇒limM→∞ φ ^= φ . Es a condição é necessá ia mas não su icien e pa a ga an i con e gência. Mais adian e se de ini ão ou as condições a espei a po es as unções de o ma. 4.2 - De e minação dos Pa âme os Nodais A de e minação dos coe icien es ai, com i=1, 2, …,M, pode aze -se po di e sos modos co espondendo cada um deles à imposição de um conjun o de condições a se em e i icadas pela unção ap oximada. Assim, pode emos impo : • E o nulo num conjun o disc e o de pon os do domínio; • E o médio pesado nulo em odo o domínio. 4.2.1 - E o Nulo num Conjun o Disc e o de Pon os do Domínio Nes e caso, ob e emos o seguin e sis ema de equações linea es, cujas incógni as são os nossos pa âme os nodais: φ ^ i= φ i com i=1, 2, …,M; ∑ j=1 M ajNij = φ i− ψ i com i=1, 2, …,M; onde Nij ep esen a o alo da unção de o ma Nj no pon o Pi do domínio. 4.2.2 - E o Médio Pesado Nulo em Todo o Domínio Es e mé odo é conhecido pela designação de mé odo dos Resíduos Pesados. Dele exis em á ias e sões consoan e a unção de peso escolhida. Assim, pode emos e : a) Mé odo da colocação pon ual Nes e mé odo a unção de peso é a unção δ de Di ac ( unção impulso) de inida do seguin e modo: δ (x−xl )=0 com x≠xl, δ (x−xl )=∞ com x=xl, ⌡ ⌠ x<xl x>xl G(x) δ (x−xl )dx =G(xl ). Es abelecendo o anulamen o do e o médio pesado no domínio, u ilizando M unções de Di ac, co esponden es a M pon os di e en es, ob e emos: 16 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ⌡ ⎮ ⌠ x<xi x>xi ⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞ φ i− ψ i+∑ j=1 M ajNij δ (xi−xj)dx =0, ∑ j=1 M ajNij = φ i− ψ i, i=1, 2, …,M. No e-se que es e mé odo conduz exac amen e ao mesmo conjun o de equações que o mé odo do e o nulo num conjun o disc e o de pon os do domínio; equi ale po an o, a impo e o nulo apenas num conjun o M pon os disc e os do domínio [Oli ei a, 1990]. b) Mé odo de colocação po sub domínios Nes e mé odo é u ilizada uma unção de peso assim de inida: ω i=1 com xi<x<xi+1, ω i=0 com x<xi ou x>xi. Impondo o anulamen o do e o médio pesado po es a unção, pa a um conjun o de M sub domínios (co espondendo à conside ação de M+1 pon os disc e os sob e o domínio), ob e - -se-á o seguin e sis ema de equações pa a a de e minação dos pa âme os nodais: ⌡ ⎮ ⌠ xi xi+1 ∑ j ajNijdx =⌡ ⎮ ⌠ xi xi+1 ( φ i− ψ i)dx, ∑ j aj⌡ ⎮ ⌠ xi xi+1 Nijdx =⌡ ⎮ ⌠ xi xi+1 ( φ i− ψ i)dx. c) Mé odo de Gale kin O mé odo de Gale kin u iliza as mesmas unções pa a unções de peso que são u ilizadas na equação de ap oximação; is o é, usam-se as unções de o ma como unções de peso, o que conduz ao seguin e sis ema de equações pa a de e minação dos alo es dos pa âme os nodais: ⌡ ⎮ ⌠ Ω Ni⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞ φ − ψ +∑ j ajNjdx =0, ∑ j aj⌡ ⎮ ⌠ Ω NiNjdx =⌡ ⎮ ⌠ Ω Ni( φ − ψ )dx. Es e mé odo é a base do mé odo dos elemen os ini os pa a p oblemas nos quais es ão en ol idos e mos da p imei a de i ada. d) Mé odo dos mínimos quad ados Nes e mé odo impõe-se que o e o quad á ico médio em odo o domínio assuma um alo mínimo. Assim e emos: 17 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS I=⌡ ⎮ ⌠ Ω ( φ − φ ^)2d Ω , ∂Ι ∂ ai =0 com i=1, 2, …,M. A endendo a que: ∂Ι ∂ ai =Ni o e o quad á ico médio o na-se mínimo quando: ⌡ ⎮ ⌠ Ω Ni( φ − φ )d Ω = ∧0 condição que coincide com a impos a po aplicação do mé odo de Gale kin. A unção de peso u ilizada no mé odo dos mínimos quad ados é, po an o, a p óp ia unção de o ma. O mé odo dos mínimos quad ados ambém é u ilizado pa a o mula a solução pa a elemen os ini os; no en an o, não é ão popula como o mé odo de Gale kin e como a abo dagem a iacional [Ba he, 1996]. e) Mé odo dos momen os O mé odo dos momen os consis e em u iliza como unções de peso a sé ie de po ências de x assim de inidas: Ni(x)=xi-1 com i=1, 2, …,M. Equi ale a impo que num g á ico que mos e o e o da unção ap oximada em unção de x é nula a á ea abaixo dessa cu a e nulos os seus momen os em elação à o igem. 4.3 - Ap oximação de Funções De i adas Quando um dado p oblema pode se desc i o po uma equação di e encial a sua esolução pelo mé odo dos elemen os ini os exigi á que as de i adas da unção incógni a, con idas nessa equação, sejam con enien emen e ep esen adas pelas de i adas da unção ap oximada. Admi indo que se u iliza pa a ep esen a a ap oximação a uma unção incógni a uma exp essão como a de inida pela Eq. 26 a ap oximação a uma sua de i ada de o dem s se á ob ida po : ∂s φ ^ ∂xs=∂s ψ ∂xs+∑ j aj ∂sNj ∂xs. A necessidade de lida com exp essões como es a impõe que as unções de o ma Nj sejam de i á eis pelo menos a é à o dem (s−1). Só assim se pode á ga an i que uma exp essão em que in e êm de i adas de o dem s das unções de o ma oma alo ini o (embo a possa não se con inuo) em odo o seu domínio. Diz-se que uma unção de o ma possui con inuidade Cs, quando admi e de i ada con ínua a é à o dem (s−1) e de i ada de o dem s ini a. Como se dep eende se num p oblema de elemen os ini os apenas in e êm p imei as 18 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS de i adas, si uação aliás equen e, bas a á u iliza unções de o ma de con inuidade C0. Pa a casos em que apa ecem segundas de i adas e emos u iliza unções de o ma de con inuidade C1 e assim sucessi amen e. 4.4 - Funções de Fo ma de De inição Local No mé odo dos elemen os ini os o domínio é di idido num ce o núme o de sub domínios mu uamen e exclusi os: Ω=∑ i Ωi com Ωi∩Ωj=0 pa a i≠j e o cálculo dos in eg ais que in e êm na o mulação do p oblema, que se iam ex ensi os a odo o domínio, se á ei o pela soma de pa celas in eg ais ex ensi as aos di e sos sub domínios conside ados: ⌡ ⎮ ⌠ Ω (…)dΩ=∑ i⌡ ⎮ ⌠ Ωi (…)dΩi. Ac uando des e modo é possí el de ini unções de o ma locais em cada sub domínio (elemen o ini o) às quais co espondem unções globais que omam alo não nulo em elemen os con íguos anulando-se necessa iamen e nos es an es. Es e modo de de ini as unções de o ma em a an agem de pe mi i ga an i um a amen o sis emá ico, semp e semelhan e, em domínios globais di e en es pe mi indo assim a ob enção de ma izes de banda. Po ém em o incon enien e de impedi o uso de unções de o ma que se anulem necessa iamen e sob e a on ei a do domínio pelo que o p oblema de imposição das condições on ei a, em de se a ado de modo di e en e do u ilizá el com as unções de de inição global. Repa e-se ambém que a con inuidade no alo da unção de o ma co esponden e a elemen os con íguos em ge al não ga an e a con inuidade das suas de i adas. Pode ha e na on ei a en e dois elemen os uma a iação b usca do alo des a mesmo quando no in e io de cada elemen o a unção de o ma admi e de i ada con ínua. O g au de con inuidade das unções de o ma de e se obse ado ao ní el global do domínio e não apenas em cada elemen o. Em p incípio, de e -se-ia impo que nunca apa eçam no domínio global quaisque alo es in ini os nas exp essões que são u ilizadas na o mulação do p oblema. Acon ece, po ém, que mui as ezes es a condição apenas é espei ada no in e io de cada elemen o ha endo sob e a on ei a en e elemen os con íguos alo es in ini os nas de i adas. Essas on ei as são excluídas aquando do cálculo dos di e sos in eg ais en ol idos ob endo-se assim equen emen e esul ados numé icos acei á eis apesa des es des espei os come idos sob o pon o de is a eó ico [Oli ei a, 1990]. As unções de o ma de inidas ao ní el de cada elemen o pe mi em ge a uma unção ap oximada da solução do p oblema pela seguin e exp essão: φ ^ (m)=∑ i aiNi (m). Do ac o de as unções de o ma se em de inidas num elemen o esul a que a exp essão an e io é ambém álida quando nos e e imos à unção incógni a em odo o domínio. Is o é, na ob enção dos alo es da unção incógni a apenas in e êm as unções de o ma co esponden es a dado sub domínio já que as unções de o ma de inidas nou o sub domínio 19 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS são nulas o a dele: φ ^ Ω(m) =∑ m⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞ ∑ i aiNi (m)=∑ i aiNi (m)= φ ^ (m). 4.5 - Ge ação de Funções de Fo ma 4.5.1- Uso de Coo denadas Gene alizadas Podem ge a -se unções de o ma a pa i do p essupos o de que a incógni a a ia de aco do com uma unção que con ém ce o núme o de coe icien es os quais são conside ados como coo denadas gene alizadas. Os polinómios são uma classe de unções pa icula men e aconselhada pa a es e ipo de o mulação. Com e ei o, pe mi em ob e boas ap oximações às unções incógni as sendo de espe a que es a ap oximação melho e com o aumen o do g au do polinómio u ilizado. São áceis de di e encia e de in eg a o que cons i ui an agem ap eciá el. Ou as bases uncionais ambém são u ilizá eis. Funções igonomé icas, po exemplo, são u ilizadas sob e udo em algumas aplicações especí icas como no mé odo das i as (“ ini e s ip me hod”) i ando-se en ão g ande pa ido da o ogonalidade que es as unções possuem. Pa a ge a um conjun o de unções de o ma u ilizando coo denadas gene alizadas começamos po escolhe a o ma desejada pa a a unção incógni a: φ ^=a1+a2x+a3y+a4xy +, Eq. 27 φ ^=[1xyxy]{ a1a2}T, φ ^=[P]{a}T. Impondo ago a que nos di e sos nós do elemen o que es amos a o mula a unção, Eq. 27, possua alo es coinciden es com a unção incógni a pode -se-á ob e o conjun o de unções de o ma com a seguin e ep esen ação ma icial: { φ ^ i}T= ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤  1xiyixiyi  {ai}T, { φ ^}(m)=[C]{a}(m)⇒{a}(m)=[C]−1{ φ ^}(m), φ ^=[P][C]−1{ φ ^}(m), [N]=[P][C]−1, Eq. 28 onde [N] é ma iz das unções de o ma. Es e algo i mo de ge ação das unções de o ma é mui o suges i o, po pa ece mui o e sá il e adap á el a quaisque bases uncionais po nós desejadas. Pode, po ém, se di ícil ou mesmo impossí el de in e e a ma iz [C] con ida na Eq. 28 cujos elemen os dependem 20 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS das coo denadas nodais e da base uncional p e endida. Daí a necessidade de p ocu a ou os modos de ge ação das unções de o ma. 4.5.2 - Fo mulação Di ec a das Funções de Fo ma A pa i de polinómios simples 1D co esponden es a cada um dos eixos coo denados x, y e z é possí el ob e unções de o ma de di e sos g aus adequados ao p oblema especí ico que es i e mos a a a . Tais unções espei am, em ge al, a seguin e condição: êm alo uni á io em de e minado nó do elemen o ini o e alo nulo nos es an es. Es a condição não só pe mi e ge a , de modo simples, unções de o ma 1D, 2D ou 3D como ainda pe mi e a ibui um signi icado ísico ao pa âme o nodal pelo qual são mul iplicadas na exp essão de de inição da unção incógni a. Com e ei o: φ ^ i=∑ j ajNj(xi)=0+…+a11+…+0⇒ai= φ ^ i ou seja, o pa âme o nodal coincide com o alo nodal da p óp ia unção incógni a. Es a condição não é uni e sal. Podem exis i pa âme os nodais di e en es. 5 - Funções de Fo ma Complexas A escolha das unções de o ma a u iliza condiciona e depende do g au de ap oximação que se p e ende ob e e do cus o da compu ação que en ol em. Os elemen os ini os mais simples u ilizam unções de o ma linea es (ou mesmo cons an es). A melho ia da solução depende apenas, nes es casos, do núme o de elemen os conside ados. A u ilização de unções de o ma mais complexas pe mi e, em ge al, ob e soluções mais igo osas com a mesma malha de elemen os ini os. In e essa ia pode aze a melho escolha pa a ob e ce o g au de ap oximação com o mais eduzido cus o de compu ação possí el. Em ge al pa ece se mais a o á el aumen a a complexidade das unções de o ma do que aumen a o núme o de elemen os. Mas a espos a a es a ques ão não é semp e e i icada dependendo do ipo de p oblema com que es amos a lida . 5.1 - E os nas Ap oximações Polinomiais A análise da o dem de g andeza dos e os associados ao uso de de e minada malha de elemen os ini os e de quaisque unções de o ma é uma a e a penosa e nem semp e concluden e; po ém se nos limi a mos ao uso de unções de o ma polinomiais es a análise o na -se-á mais simples. Conside emos um domínio Ω, di idido em elemen os Ω(m) cada um com dimensão ca ac e ís ica h, e u ilizando unções de o ma que sejam polinómios comple os de g au p. Se a solução exac a φ de um p oblema o um polinómio de g au in e io ou igual a p a solução ap oximada φ ∧ de e con e gi pa a a solução exac a quaisque que sejam as unções de peso escolhidas pa a a sua ob enção. A solução φ não se á, em ge al, um polinómio. Mas, desde que não exis am singula idades que o nem algumas ou odas as de i adas in ini as, pode semp e desen ol e -se em sé ie de Taylo . Po exemplo: φ (∆x,∆y)= φ 0+∆x∂ φ ∂x+∆y∂ φ ∂y+∆x21 2 ∂2 φ ∂x2+∆y21 2 ∂2 φ ∂y2+. 21 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Usando ago a uma exp essão polinomial de g au p e desde que es a possa ep oduzi exac amen e a sé ie de Taylo a é ao g au p en ão o e o máximo E(0) no in e io de um elemen o de dimensão h se á: E(0) =(hp+1) sendo h o alo máximo de ∆x e ∆y pa a o elemen o. De modo semelhan e se e i ica que a ap oximação à p imei a de i ada e á e o O(hp) e a ap oximação à de i ada de o dem d e á e o: E(d)=O(hp+1−d). Eq. 29 Conside emos o p oblema ge al da esolução di e encial: A( φ )=L φ +p=0 em Ω subo dinada às condições de on ei a: B( φ )=η φ + =0 em Γ u ilizando uma unção ap oximação de inida po : φ ^=∑ m=1 M amNm Eq. 30 e uma o mulação do mé odo dos esíduos pesados: ⌡ ⎮ ⌠ Ω ω l[L φ ^+p]dΩ+ ⌡ ⎮ ⌠ Γ ω ¯l[η φ ^+ ]dΓ. Obse amos que, pa a que haja con e gência, an o a unção φ como as de i adas con idas nos ope ado es L e η de e ão se co ec amen e ep esen adas quando a dimensão ca ac e ís ica h ende pa a ze o. Sendo d a maio o dem das de i adas e e idas o g au mínimo exigido pa a a expansão polinomial, Eq. 30, de e á se al que a o dem de g andeza dos e os na ep esen ação seja pelo menos O(h). De e emos en ão e : p+1−d≥1 ou seja: p−d≥0. Vemos ago a melho a u ilidade da o mulação aca do mé odo dos esíduos pesados. Ao eduzi a o dem d dos ope ado es di e enciais eduz ambém o alo mínimo do g au p das unções de o ma polinomiais u ilizá eis. 22 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 5.2 - Funções de Fo ma 1D 5.2.1 - Funções S anda d com con inuidade C0 Vemos na Figu a 2 um conjun o de elemen os unidimensionais s anda d. Na Figu a 2a) emos um elemen o ípico de dois nós a cada um dos quais associamos uma unção de o ma linea . A igu a mos a a o ma des as mesmas unções em elemen os adjacen es. O uso de ais unções de o ma linea es assegu a que a ap oximação: φ ^=∑ i aiNi é uma unção linea de x em cada elemen o: Nes a ap oximação, cada coe icien e ai é simplesmen e uma ap oximação ao alo de φ no nó i. As unções de o ma linea es êm con inuidade C0 (a p imei a de i ada já é descon inua na ligação en e dois elemen os con íguos) pelo que a unção φ ^ ambém e á esse g au de con inuidade. Pode ge a -se um conjun o de unções de o ma de o dem supe io u ilizando mais nós no in e io do elemen o: conside ando uma unção polinomial de g au mais con enien e e impondo que ome alo uni á io em de e minado nó e anulando-se nos es an es. Assim, po exemplo, com ês nós podem ge a -se unções de o ma quad á icas, Figu a 2b); com qua o nós podem ge a -se unções de o ma cúbicas, Figu a 2c); e c. Repa e-se que as unções de o ma associadas aos nós in e io es do elemen o não ão p opaga -se aos elemen os izinhos pelo que a posição dos nós in e io es é, em p incípio, indi e en e. A exp essão gené ica de uma unção de o ma ge ada des e modo pode á se : Ni=a0+a1x+a1x2++apxp Eq. 31 sendo os coe icien es a0, …, ap de e minados pelas condições: ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 1x1x2 1xp 1 1x2x2 2xp 2  1xix2 ixp i  1xp+1x2 p+1xp p+1⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ a0 a1  ai  ap = ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ 0 0  1  0 . Na Eq. 31 apa ece um polinómio comple o de g au p pa a um elemen o com (p+1) nós. Não é impe ioso, embo a seja desejá el, que se u ilizem odos os e mos do polinómio podendo, pa a algumas aplicações especí icas, elimina algumas das componen es. 23 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS di e sos elemen os da es u u a. Tudo se passa á, a pa i de en ão, como se cada elemen o apenas possuísse nós na pe i e ia. Na Figu a 5 es ão ep esen ados os elemen os: linea , quad á ico e cúbico des a amília e como é possí el obse a um elemen o ec angula de o dem p possui n nós com: n=(p+1)2, p=0,1,…. a) b) c) 1 2 345 6 7 8 9 ξ η ξ η ξ η Figu a 5 - Elemen os: a) linea , b) quad á ico e c) cúbico da amília de Lag ange. Vejamos como ob e a exp essão da unção pa a o nó 1 do elemen o quad á ico. No e-se que es a unção de o ma de e á oma o alo um no nó 1 e o alo ze o em odos os es an es. Pa a a dedução des a unção comecemos po conside a o seguin e polinómio de segundo g au em ξ : L1=1 2 ξ ( ξ −1). Na Figu a 6 es á ep esen ado es e polinómio. No e-se que ele assume o alo um nos nós 1, 2 e 3 e o alo ze os nos es an es. Conside emos ago a o seguin e polinómio do segundo g au em η : L2=1 2 η ( η +1). Es e polinómio, ep esen ado na Figu a 7, assume o alo um nos nós 1, 7 e 8 e o alo ze o nos es an es. É e iden e que o p odu o dos polinómios L1 e L2 nos dá a unção de o ma N1 com as ca ac e ís icas a ás indicadas: N1=1 4 ξη ( ξ −1)( η +1). Na Figu a 8 es á ep esen ada es a unção de o ma de Lag ange. A dedução das unções de o ma N2 a N9 é ealizada de manei a análoga ob endo-se: N2=− η 2( η −1)( ξ 2−1), N3= ξη 4( ξ +1)( η −1), N4=− ξ 2( ξ +1)( η 2−1), N5= ξη 4( ξ +1)( η +1), N6=− η 2( η +1)( ξ 2−1), N7= ξη 4( ξ −1)( η +1), N8=− ξ 2( ξ −1)( η 2−1), N9=( ξ 2−1)( η 2−1). Es e p ocesso pode ambém se u ilizado pa a a dedução das unções de o ma pa a os ou os elemen os des a amília. 30 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ξ η Figu a 6 - Rep esen ação do polinómio L1=1 2 ξ ( ξ −1). ξ η Figu a 7 - Rep esen ação do polinómio L2=1 2η(η+1). ξ η Figu a 8 - Rep esen ação da unção de o ma N1=1 4 ξη ( ξ −1)( η +1). A ó mula ge al pa a os polinómios in e polado es de Lag ange, de o dem p, a uma a iá el ξ é a seguin e: Ni( ξ )=( ξ − ξ 1)( ξ − ξ 2)…( ξ − ξ i-1)( ξ i− ξ i+1)…( ξ i− ξ p+1) ( ξ i− ξ 1)( ξ i− ξ 2)…( ξ i− ξ i-1)( ξ i− ξ i+1)…( ξ i− ξ p+1). Eq. 44 As unções Ni( ξ ) assim de inidas anulam-se pa a ξ = ξ j (i≠j) e assim o alo um no pon o ξ = ξ i. De e-se no a que no caso das aplicações da mecânica dos sólidos é ga an ida a con inuidade ma e ial quando a disc e ização é e ec uada u ilizando-se elemen os de Lag ange [Gomes, 1995; Oli ei a, 1990]. 5.3.3 - Família de Se endipi y Examinemos os e mos que oco em numa unção de o ma 2D de Lag ange do ipo da Eq. 43. Es a unção esul a do p odu o de dois polinómios comple os de g au p e q. O núme o de e mos des e p odu o é ob iamen e supe io ao núme o de e mos de cada um des es polinómios. Na Figu a 9a) emos uma ep esen ação ( iângulo de Pascal) dos e mos de um polinómio comple o. Po exemplo a acejado es ão os e mos co esponden es ao e cei o g au. Na 31 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Figu a 9b) a acejado emos os e mos que es ão p esen es numa unção de o ma de Lag ange cúbica. Apa ecem seis e mos “a mais” ela i amen e ao núme o de e mos necessá ios pa a cada polinómio do e cei o g au. Es a si uação suge e que o núme o de nós associado a elemen os de o dem ele ada pode ia se eduzido en ando assegu a que as unções de o ma possuam apenas os e mos que es a iam p esen es num polinómio comple o de igual g au. Pa a al objec i o se conseguido desen ol eu-se uma sé ie de unções de o ma des e ipo que é conhecida pela amília Se endipi y. Os nós es ão colocados, an o quan o possí el, nas on ei as e as unções de o ma ob êm-se pelo p odu o de e mos de g au p numa a iá el po e mos linea es na ou a. Nas on ei as dos elemen os, a o ma da unção ap oximada φ ^ é idên ica à dos da amília de Lag ange e man êm-se a con inuidade C0. De inem-se, con o me a Figu a 10, as coo denadas locais no malizadas: ξ =2(x−xc (m)) hx (m) e η =2(y−yc (m)) hy (m), sendo xc (m) e yc (m) as coo denadas globais do cen o do elemen o. A Figu a 11 ilus a o modo de ob enção de unções de o ma de Se endipi y. As unções co esponden es ao meio dos lados ob êm-se di ec amen e mul iplicando o polinómio de segunda o dem co esponden e a uma di ecção po uma unção linea co esponden e à ou a. Pa a os nós dos é ices es e p ocedimen o não é adequado is o o iginal unções que e iam alo di e en e de ze o nos nós es an es de um mesmo lado. Nes es casos o que se az é combina a unção bilinea com uma unção quad á ica, consoan e a Figu a 11. Pa a uma ep esen ação mais ácil das unções de o ma da sé ie Se endipi y é no malmen e ei a uma mudança pa a as a iá eis ξ ¯ e η ¯ da seguin e o ma: ξ ¯l= ξξ l e η ¯l= ηη l, sendo ξ l e η l as coo denadas ( ξ , η ) do nó l. Com es as no as a á eis as unções de o ma oma ão o seguin e aspec o: • Elemen os Linea es: Nl=1 4(1+ ξ ¯l)(1+ η ¯l) com l=0,1, 2, 3; • Elemen os Quad á icos: Nl=1 4(1+ ξ ¯l)(1+ η ¯l)( ξ ¯l+ η ¯l−1) com l=0,2, 4, 6, Nl=1 2(1− ξ 2)(1+ η ¯l) com l=1,5, Nl=1 2(1+ ξ ¯l)(1- η 2) com l=3,7; 32 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS :g au 1 2 3 4 1 x y xy x 2 x 3x2y x4 y 2 xy2 y 3 y4 x3yxy3 x2y2 a) :g au 1 2 3 4 5 6 1 x y xy x 2 x 3x2y x4 x5 x6 y 2 xy2 y 3 y4 y5 y 6 x4y x3y x5y xy3 xy4 xy5 x2y2 x 2 y 3 x2y4 x3y2 x4y2x3y3 b) :g au 1 2 3 4 1 x y xy x 2 x 3x2y x4 y 2 xy2 y 3 y4 x3yxy3 x2y2 c) Figu a 9 - T iângulo de Pascal. A á ea a acejado engloba os e mos p esen es numa o ma de e cei o g au: a) de um polinómio comple o; b) de uma unção de o ma 2D de Lag ange; c) de uma unção de o ma 2D Se endipi y. • Elemen os Cúbicos Nl=1 32(1+ ξ ¯l)(1+ η ¯l)(−10 +9( ξ 2+ η 2)) com l=0,3, 6, 9, Nl=9 32(1+ ξ ¯l)(1− η 2)(1+9 η ¯l) com l=4,5, 10, 11. 33 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS x y ξ η ξ = + 1ξ= − 1 η = + 1 η = − 1 x(m) c y(m) c 1 / 2h(m) x 1 / 2h(m) y 1 / 2h(m) y 1 / 2h(m) x Figu a 10 - Coo denadas no malizadas ( ξ , η ) pa a um ec ângulo no plano (x,y). N1=1 2(1− ξ 2)(1− η ) N7=1 2(1− ξ )(1− η 2) N ^ 0=1 4(1− ξ )(1− η ) N ^ 0−1 2N1 Figu a 11 - Modo de ge ação de unções de o ma de Se endipi y. (con inua) 34 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS N1=N ^ 0−1 2N1−1 2N7 Figu a 11 - Modo de ge ação de unções de o ma de Se endipi y. Na Figu a 12 es ão ep esen ados os elemen os 2D da amília de Se endipi y pa a p≤3. 01 23 4 56 7 89 00 11 22 3 3 4 5 6 710 11 ξ ξ ξ η η η p =1p = 2p=3 Figu a 12 - Elemen os 2D da Família de Se endipi y (pa a p≥4 são necessá ios nós in e io es). No e-se que o núme o de e mos polinomiais que podem ob e -se com nós na pe i e ia é insu icien e pa a ob e uma ep esen ação polinomial comple a pa a um g au supe io ou igual a qua o. Pa a elemen os de o dem mais ele ada é po an o necessá io in oduzi nós in e nos ou simplesmen e um g au de libe dade hie á quico do ipo que a segui se á desc i o. Em p oblemas de análise de es u u as es a amília é mais u ilizada do que a amília de Lag ange e dis ingue-se des a, como se e i icou, pelo ac o de não exis i em nós no in e io do elemen o. A não conside ação des es nós de e-se ao ac o de não con ibuí em pa a a conec i idade com os elemen os izinhos e a sua eliminação, e dos espec i os g aus de libe dade, em além do mais a an agem da diminuição da ma izes en ol idas no mé odo [Ba he, 1996; Gomes, 1995; Oli ei a, 1990]. 5.3.4 - Funções de Fo ma Hie á quicas A ge ação de unções de o ma hie á quicas pa a domínios bidimensionais pode e ec ua -se po simples p odu o de unções hie á quicas unidimensionais. De ac o o p odu o de duas unções linea es pe mi e ob e 5 uma unção bilinea que cons i ui á a unção de o ma hie á quica do mais baixo g au. P odu os de unções hie á quicas de g au mais ele ado 5 Es e p odu o apenas pe mi e ob e ap oximações linea es. 35 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS oma ão semp e alo nulo sob e a pe i e ia dos elemen os. Es as unções hie á quicas de g au supe io ao das bilinea es andam associadas a a iá eis nodais que não êm o mesmo signi icado ísico que inham pa a as unções s anda d. Pe mi i ão i adicionando pa celas co ec i as que aumen a ão o g au de p ecisão da unção ap oximada φ ^ no in e io do elemen o. Como exemplo da ob enção de um conjun o de unções hie á quicas pode emos mul iplica os polinómios de Legend e, Eq. 34, Eq. 35, Eq. 36, Eq. 37, pela unção linea , N1=−1 2( ξ −1) e N2=+1 2( ξ +1), do que esul a á: N1( ξ , η )=1 4( η +1)( ξ −1), N2(2−3)( ξ , η )=1 2( η +1)( ξ 2−1), N3(2−3)( ξ , η )=1 2( η +1)( ξ 3− ξ ). Es as unções, ep esen adas g a icamen e na Figu a 13, co espondem a um nó de é ice e uma o mulação hie á quica ao longo do eixo ξ (pa alelo ao lado 2−3) man endo-se numa a iação linea ao longo do eixo η . 1 2 3 0 ξ η N1( ξ , η ) −N2(2−3) ( ξ , η ) N3(2−3) ( ξ , η ) Figu a 13 - Funções de o ma hie á quicas pa a elemen os ec angula es. Pa a pode e unções φ (m) ∧ que sejam polinómios comple os a é um g au ≥4 se á necessá io adiciona o p odu o de unções de o ma que es ejam associadas a pa âme os com alo nulo en e os elemen os. Po exemplo: N2=1 4( ξ 2−1)( η 2+1) é a unção de o ma possí el pa a adiciona e mos ξ 2 η 2 à unção ap oximada φ (m) ∧. 36 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 5.4 - Funções de Fo ma 2D pa a Elemen os T iangula es 5.4.1 - Coo denadas de Á ea Conside emos a amília de iângulos da Figu a 14. Como os nós es ão colocados de modo semelhan e às in e secções de linhas no iângulo de Pascal, Figu a 9a), esul a que es a amília de iângulos pe mi e semp e ob e o núme o su icien e de nós pa a ge a uma amília de polinómios comple os. Es a ca ac e ís ica associada à maio acilidade de ge ação de domínios complexos com o mas iangula es do que com o mas ec angula es jus i ica a popula idade des e ipo de elemen os. No e-se que elemen os iangula es podem se ob idos pela adequada dis o ção de elemen os quad angula es pe mi indo assim u iliza -se as unções de o ma des es após uma co ec a manipulação das mesmas de o ma a e lec i em a dis o ção exis en e. 0 a ) b ) c ) 12 3 4 5 6 7 8 9 5 00 112 2 3 4 Figu a 14 - Família de elemen os iangula es: a) linea ; b) quad á ico; c) cúbico. É ú il um sis ema de coo denadas pa icula men e adap ado aos iângulos: as coo denadas de á ea (L0,L1,L2), Apêndice A.7. Tais coo denadas podem de ini -se pelas exp essões: x=L0x0+L1x1+L2x2, y=L0y0+L1y1+L2y2, 1=L0+L1+L2, Eqs. 45 em que L0, L1 e L2 são as coo denadas de á ea e (xi,yi) são as coo denadas ca esianas globais dos nós dos é ices. Ve i ica-se que L0 de e se uma unção que assume o alo uni á io no é ice 0 e nulo nos é ices 1 e 2. O alo de L0 num pon o P pode de ini -se pelo cocien e de duas á eas iangula es, Figu a 15: L0P =á ea(P,1,2) á ea(0,1,2) o que jus i ica a designação de coo denadas de á ea que lhes oi a ibuída. A equação 1 =L0+L1+L2 elaciona as ês a iá eis pois es as não são independen es en e si: a localização de um pon o pode se especi icada u ilizando-se apenas duas des as coo denadas. 37 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (x1,y1) (x0,y0) (x2,y2) L0 = 1 L0 = 0 L0=0.25 L0=0.5 L0 = 0.75 P(L0,L1,L2) Figu a 15 - Coo denadas de á ea pa a um elemen o iangula . A pa i das elações dadas pelas Eqs. 45 ob êm-se, a pa i das coo denadas ca esianas globais, as seguin es exp essões pa a as coo denadas da á ea: L0= α 0+ β 0x+ γ 0y 2∆, L1= α 1+ β 1x+ γ 1y 2∆, L2= α 2+ β 2x+ γ 2y 2∆, Eqs. 46 onde: α 0=x1y2−x2y1, β 0=y1−y2, γ 0=x2−x1, α 1=x2y0−x0y2, β 1=y2−y0, γ 1=x0−x2, α 2=x0y1−x1y0, β 2=y0−y1, γ 2=x1−x0, ∆=1 2 1x0y0 1x1y1 1x2y2 =á ea(0,1,2). 5.4.2 - Funções de Fo ma S anda d De inidas as coo denadas de á ea acilmen e se e i ica que as unções de o ma linea es são p óp ias unções que de inem essas coo denadas; N0=L0, N1=L1, N2=L2. Com e ei o es as unções são linea es e espei am a condição habi ual de assumi em o alo uni á io no nó a que se e e em e o alo nulo nos es an es nós. Pa a ge a unções de o ma quad á icas amos e ec ua o p odu o de polinómios do segundo g au e e en es a cada uma das coo denadas de á ea. Vejamos na Figu a 16 a o ma que es es polinómios ap esen am, e e en es a cada coo denada, po exemplo L0. Pa a ob e cada unção de o ma mul iplica -se-ão polinómios e e en es ao mesmo nó e a cada uma das ês a iá eis L0, L1 e L2. Assim, esul a ão as seguin es exp essões: N0=(2L0 2−L0)(2L1 2−3L1+1)(2L2 2−3L2+1), N1=(2L1 2−L1)(2L2 2−3L2+1)(2L0 2−3L0+1), N2=(2L2 2−L2)(2L0 2−3L0+1)(2L1 2−3L1+1), 38 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS a) Α0 2(L0)=2L0 2−L0. b) Α2 1,4,2(L0)=2L2 0−3L0+1. c) Α2 3,5(L0)=−4L2 0+4L0. Figu a 16 - Polinómios do segundo g au usados na de inição de unções de o ma pa a elemen os iangula es. N3=(−4L0 2+4L0)(−4L1 2+4L1)(2L2 2−3L2+1), N4=(−4L1 2+4L1)(−4L2 2+4L2)(2L0 2−3L0+1), N5=(−4L2 2+4L2)(−4L0 2+4L0)(2L1 2−3L1+1). Pa a um elemen o gené ico iangula , Figu a 17, pode emos esc e e a unção de o ma co esponden e ao nó i, em e mos de coo denadas de á ea, des e modo: Ni=Αi I(L0)Αi J(L1)Αi K(L2) em que Αi I, Αi J e Αi K são polinómios in e polado es de Lag ange. Nes a exp essão o índice supe io e e e o g au do polinómio u ilizado e o índice in e io e e e o nó a que a unção diz espei o. Cada um des es polinómios é unção de uma coo denada de á ea. No e-se que: • Da de inição des es polinómios de Lag ange esul a que a unção de o ma Ni assume alo uni á io no nó i e nulo nos es an es. • Como I+J+K=p, alo cons an e pa a dada iangulação, o e mo de o dem mais ele ado em Ni se á da o ma L0 I, L1 J, L2 K, a qual, em consequência das exp essões Eqs. 39 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS De modo análogo, o ec o de deslocamen os nodais {u ^} é dado po {u ^}={{u ^}1{u ^}2…{u ^}i}T onde, como é usual, cada sub ec o {u ^}i é cons i uído pelos deslocamen os nodais (ui, i,wi) do nó i. Na o mulação u ilizada nos elemen os isopa amé icos é usual exp imi as unções de o ma, não em coo denadas ca esianas mas, em coo denadas na u ais (as coo denadas alem 0 na o igem e -1 e 1 nos limi es in e io e supe io ). Po exemplo pa a um elemen o ini o do ipo axial7 e adop ando um polinómio in e polado linea ob emos as unções de o ma, exp essas em unção da coo denada na u al ξ , N1=1− ξ 2 e N2=1+ ξ 2, Figu a 22. 12 L 1 ξ = 1 ξ = 0 ξ=− 1 N1N2 Figu a 22 - Funções de o ma linea es pa a um elemen o ini o do ipo axial exp essas em e mos da coo denada na u al ξ . Como ge almen e as exp essões pa a a de e minação das ma izes e dos ec o es en ol idos no mé odo dos elemen os ini os es ão exp essas em e mos das coo denadas ca esianas u ilizando-se coo denadas na u ais é necessá io, não só ep esen a as unções de o ma em e mos des as coo denadas na u ais mas ambém de e mina a ans o mação en e de i adas ca esianas e de i adas na u ais u ilizando-se, pa a al im, a ma iz Jacobiana [J] que no caso de elemen os axiais eduz-se a um escala J habi ualmen e designado po Jacobiano. Reco endo, mais uma ez, ao exemplo do elemen o ini o do ipo axial a ans o mação en e a de i ada de x e a de i ada de ξ é de e minada a pa i da elação en e a coo denada x e as coo denadas dos dois nodos: x=N1x1+N2x2, de i ando-se em o dem a ξ ob emos: dx d ξ =−1 2x1+1 2x2=1 2(x2−x1)=1 2L, ou seja, dx =L 2d ξ =Jd ξ onde J é o Jacobiano. U ilizando-se ês nós e unções de o ma quad á icas é possí el de ini o elemen o ini o do ipo axial ep esen ado na Figu a 23. Nes e caso, pa indo de uma ap oximação quad á ica ao campo dos deslocamen os: 7 Es e elemen o é bas an e u ilizado na modelização de es u u as iangula es do ipo asna. 46 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS u=[1 ξξ 2] ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ u1 u2 u3 , ob ínhamos as seguin es exp essões pa a a ma iz [N] das unções de o ma e pa a o Jacobiano J: u=[1 ξξ 2] ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ u1 u2 u3 , x=[N] ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ x1 x2 x3 , [N]=⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ − ξ + ξ 2 2 ξ + ξ 2 21− ξ 2, J=dx d ξ =⎣ ⎢ ⎡⎦ ⎥ ⎤ −1+2 ξ 2 1+2 ξ 2−2 ξ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ x1 x2 x3 , de no a que, nes e caso, J é unção de ξ . 132 L ξ = 1 ξ = 0 ξ=−1 13 1 N1=−ξ+ξ2 2 2 132 1 N2=ξ+ξ2 2 132 1 N3=1−ξ2 Figu a 23 - Elemen o ini o do ipo axial com unções de o ma quad á icas. U ilizando-se qua o nós e unções de o ma cúbica é possí el de ini o elemen o ini o do ipo axial ep esen ado na Figu a 24. Nes e caso, pa indo de uma ap oximação cúbica ao campo dos deslocamen os: u=[1 ξξ 2 ξ 3] ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ u1 u2 u3 u4 , 47 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 13 N1N2 4 1 N3 2 N4 Figu a 24 - Elemen o ini o do ipo axial com unções de o ma cúbicas. ob ínhamos as seguin es exp essões pa a a ma iz [N] das unções de o ma e pa a o Jacobiano J: u=[1 ξξ 2 ξ 3] ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ u1 u2 u3 u4 , x=[N] ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ x1 x2 x3 x4 , [N]=[N1N2N3N4], J=dx d ξ =[J1J2J3J4] ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ x1 x2 x3 x4 , onde: N1=− 9 16⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ +1 3⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ −1 3( ξ −1), N2=+ 9 16( ξ +1)⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ +1 3⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ −1 3, N3=+27 16( ξ +1)⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ −1 3( ξ −1), N4=+27 16( ξ +1)⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ +1 3( ξ −1), J1=− 9 16⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ −1 3( ξ −1)−9 16⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ +1 3( ξ −1)−9 16⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ +1 3⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ −1 3, J2=9 16⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ +1 3⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ −1 3+9 16( ξ +1)⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ −1 3+9 16( ξ +1)⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ +1 3, J3=27 16⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ −1 3( ξ −1)+27 16( ξ +1)( ξ −1)+27 16( ξ +1)⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ −1 3, J4=27 16⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ +1 3( ξ −1)+27 16( ξ +1)( ξ −1)+27 16( ξ +1)⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ ξ +1 3, de no a que, ambém nes e caso, J é unção de ξ . Como já oi e e ido a u ilização de elemen os isopa amé icos pe mi e a u ilização de elemen os dis o cidos. Es a dis o ção não de e no en an o se exage ada pois pode ha e in e secção de dois lados do elemen o. No malmen e az-se um con olo da dis o ção a a és do Jacobiano que dá uma medida da á ea do elemen o. 48 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS O uso de elemen os isopa amé icos, associado a écnicas de in eg ação numé ica, pe mi iu a pa i de meados da década de sessen a a o mulação de um núme o mui o ele ado de elemen os ini os. Pe mi iu ambém a modula ização dos p og amas compu acionais azendo-os mais ge ais e mais acilmen e adap á eis a di e en es elemen os. Além dos elemen os isopa amé icos podemos ainda de ini : a) Elemen os sub pa amé icos: aqueles em que são usadas pa a a in e polação geomé ica apenas algumas das unções de o ma usadas na in e polação da unção incógni a, Figu a 25a). b) Elemen os supe pa amé icos: aqueles em que são usadas pa a a in e polação geomé ica mais unções de o ma do que as usadas na in e polação da unção incógni a, Figu a 25b). In e polação geomé ica a) Elemen o subpa amé ico b) Elemen o supe pa amé ico In e polação da unção incógni a ξ η ξ η Figu a 25 - Elemen os sub e supe pa amé icos. 5.6.1 - Elemen os 2D Vejamos ago a qual a ipologia de alguns elemen os isopa amé icos aplicá eis a p oblemas de elas icidade bidimensional. Comecemos pelo elemen o linea de qua o nós ep esen ado na Figu a 26. Os eixos ξ e η passam pelo pon o médio de lados apos os, não são necessa iamen e o ogonais nem pa alelos a x e y. Pa a o elemen o isopa amé ico podemos esc e e as seguin es equações: ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ x y=[N]{c}, ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ u =[N]{u ^}, {c}T={x1y1x2y2x3y3x4y4}, {u ^}T={u1 1u2 2u3 3u4 4}, 49 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 ξ ξ ξ η η η x, u y, ξ = 1 η=1 ξ= − 1 η=−1 η = 1 / 2 2b 2c Figu a 26 - Elemen o isopa amé ico de 4 nós. [N]= ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ N10N20N30N40 0N10N20N30N4, as unções de o ma são ob idas a pa i de um polinómio: u=a1+a2 ξ +a3 η +a4 ξη depois de de e minados os coe icien es ai, a a és da de e minação da ma iz8 [A]−1, ob emos: N1=1 4(1− ξ )(1− η ), N2=1 4(1+ ξ )(1− η ), N3=1 4(1+ ξ )(1+ η ), N4=1 4(1− ξ )(1+ η ). Eqs. 53 A ma iz de ans o mação en e as de i adas na u ais (∂ φ /∂ ξ ,∂ φ /∂ η ) de uma unção φ e as de i adas ca esianas (∂ φ /∂x,∂ φ /∂y) designa-se, como já oi e e ido, po ma iz Jacobiana [J]. Seja po exemplo a unção φ = φ (x,y). Podemos esc e e : ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧∂ φ ∂ ξ =∂ φ ∂x ∂x ∂ ξ +∂ φ ∂y ∂y ∂ ξ ∂ φ ∂ η =∂ φ ∂x ∂x ∂ η +∂ φ ∂y ∂y ∂ η Eq. 54 ou sob a o ma ma icial: 8 Es a ma iz con em os coe icien es ai e é ob ida após o es abelecimen o do polinómio u pa a cada nodo do elemen o; esul ando assim, um sis ema de equações onde as coo denadas ca esianas dos nodos es ão elacionadas com as coo denadas na u ais dos mesmos. 50 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ∂ φ ∂ ξ ∂ φ ∂ η = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ∂x ∂ ξ ∂y ∂ ξ ∂x ∂ η ∂y ∂ η  [J] ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ∂ φ ∂x ∂ φ ∂y . Eq. 55 Nas aplicações do mé odo dos elemen os ini os as unções φ são ge almen e de inidas em e mos de coo denadas na u ais ( ξ , η ) e p e endemos o cálculo das de i adas ca esianas. No caso de p oblemas planos a unção φ se á subs i uída po qualque das componen es u e do ec o de deslocamen os. No caso de elemen os isopa amé icos podemos esc e e : x=∑ i=1 Nixi, y=∑ i=1 Niyi, Eqs. 56 em que xi e yi são as coo denadas de cada um dos nós do elemen o. Subs i uindo na Eq. 55 ob emos: [J]= ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ∑ i=1 ∂Ni ∂ ξ xi∑ i=1 ∂Ni ∂ ξ yi ∑ i=1 ∂Ni ∂ η xi∑ i=1 ∂Ni ∂ η yi . Eq. 57 A in e sa da ma iz Jacobiana, [J]−1, elaciona as de i adas ca esianas com as de i adas na u ais a a és da equação: ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ∂ φ ∂x ∂ φ ∂y =[J]−1 ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ∂ φ ∂ ξ ∂ φ ∂ η =[Γ] ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ ∂ φ ∂ ξ ∂ φ ∂ η Eq. 58 o pode se ob ida eco endo a écnicas s anda d de in e são de ma izes [Chap a 1988; P ess, 1992; Ta a es, 1995]: [J]−1= ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ ∂ ξ ∂x ∂ η ∂x ∂ ξ ∂y ∂ η ∂y =1 de [J]⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ ∂y ∂ ξ −∂y ∂ η −∂x ∂ η ∂x ∂ ξ . Eq. 59 51 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS As exp essões das Eq. 54 a Eq. 59 são gené icas. Os alo es numé icos dos coe icien es da ma iz [J] dependem do amanho, da o ma e da o ien ação dos elemen os. Pa a o caso do elemen o de qua o nós, u ilizando a Eq. 57 com =4 e a Eq. 55, podemos esc e e : J11 =∂x ∂ ξ =∂N1 ∂ ξ x1+∂N2 ∂ ξ x2+∂N3 ∂ ξ x3+∂N4 ∂ ξ x4, J12 =∂y ∂ ξ =∂N1 ∂ ξ y1+∂N2 ∂ ξ y2+∂N3 ∂ ξ y3+∂N4 ∂ ξ y4, J21 =∂x ∂ η =∂N1 ∂ η x1+∂N2 ∂ η x2+∂N3 ∂ η x3+∂N4 ∂ η x4, J22 =∂y ∂ η =∂N1 ∂ η y1+∂N2 ∂ η y2+∂N3 ∂ η y3+∂N4 ∂ η y4. U ilizando as Eqs. 53 podemos calcula os di e en es e mos em ∂/∂ ξ e ∂/∂ η : ∂N1 ∂ ξ =−1− η 4, ∂N2 ∂ ξ =1− η 4, e c. Con o me o g au do polinómio in e polado e po an o do núme o de nós na on ei a ob emos elemen os isopa amé icos bidimensionais di e en es: • elemen os linea es de qua o nós; • elemen os quad á icos de oi o nós, Figu a 27a); • elemen os cúbicos de doze nós, Figu a 27b), … a) b) ξ η ξ η Figu a 27 - a) Elemen o isopa amé ico quad á ico, oi o nós; b) elemen o isopa amé ico cúbico, doze nós. Pa a o elemen o quad á ico é u ilizado um polinómio cúbico pa a a unção in e polado a: P3=a1+a2 ξ +a3 η +a4 ξ 2+a5 ξη +a6 η 2+a7 ξ 2 η +a8 ξη 2. As unções de o ma pa a o elemen o cúbico são baseadas no polinómio de qua o g au seguin e: P4=P3+a9 ξ 3+a10 η 3+a11 ξ 2 η +a12 ξη 2. Pa a o elemen o isopa amé ico de oi o nós as unções de o ma, exp essas em unção das coo denadas na u ais ( ξ , η ), são: 52 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Ni=1 4(1+ ξξ i)(1+ ηη i)( ξξ i+ ηη i−1) pa a i=1,3,5,7; Ni= ξ i 2 2(1+ ξξ i)(1− η 2)+ η i 2 2(1+ ηη i)(1− ξ 2) pa a i=2,4,6,8. Em luga de ge a as unções de o ma a pa i da in e são da ma iz [A] pode segui -se a me odologia mais di ec a. Vejamos po exemplo o caso do elemen o quad á ico de oi o nós de que ep esen amos algumas unções de o ma na Figu a 28. Em a) ep esen amos a de o mada associada a um deslocamen o uni á io no nó 5. Es a de o mação em a iação quad á ica segundo ξ e linea segundo η e é nula pa a ξ =1, ξ =-1 e η = 1, os ês ze os do polinómio de in e polação. Po subs i uição di ec a é imedia o conclui que a unção de o ma pa a o nó 5 se á dada po : N5=(1− ξ 2)(1− η ) 2. De modo análogo pa a o nó 8 ob ínhamos: N8=(1− ξ )(1− η 2) 2. Se po ou o lado aplica mos um deslocamen o uni á io ao nó 1, com a iação linea segundo ξ e η , ob emos deslocamen os não nulos, u=1/2, nos nós 5 e 8. Es a de o mada é incompa í el com a de inição de unção de o ma. Pa a anula o deslocamen o do nó 5 e 8 bas a sub ai me ade das de o madas ep esen adas em a) e b): N1=(1− ξ )(1− η ) 4−1 2N5−1 2N8. 5.6.2 - Elemen os 3D É possí el es ende o concei o de elemen os isopa amé icos de p oblemas bidimensionais ao caso mais ge al de p oblemas idimensionais. Nes e caso, o olume do elemen o é ago a desc i o po ês coo denadas na u ais −1≤ ξ ≤+1, −1≤ η ≤+1, −1≤ ζ ≤+1 e a o mulação an e io é expandida à e cei a dimensão. Is o é, as coo denadas z e os deslocamen os w se ão calculá eis a pa i de unções de o ma e de coo denadas e deslocamen os nodais segundo a e cei a dimensão. As unções Eqs. 56 se ão gene alizadas a: x=∑ i Nixi, u=∑ i Niui, y=∑ i Niyi, =∑ i Ni i, z=∑ i Nizi, w=∑ i Niwi. 53 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS a) - Função de o ma N5. b) - Função de o ma N8. ξ η b) - Função (1− ξ )(1− η )/4. b) - Função de o ma N1. Figu a 28 - Rep esen ação de algumas unções de o ma pa a o elemen o isopa amé ico quad á ico de oi o nós. Assim se á necessá io de e mina os di e enciais ∂ φ /∂ ξ , ∂ φ /∂ η e ∂ φ /∂ ζ pelo que a ma iz Jacobiana se á expandida a: [J]= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ∂x ∂ ξ ∂y ∂ ξ ∂z ∂ ξ ∂x ∂ η ∂y ∂ η ∂z ∂ η ∂x ∂ ζ ∂y ∂ ζ ∂z ∂ ζ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ J11 J12 J13 J21 J22 J23 J31 J32 J33 . Na Figu a 29 es ão ep esen ados os elemen os pa alelipipédicos linea de oi o nós e quad á ico de in e nós. As unções de o ma pa a o elemen o de oi o nós são: Ni=1 8(1+ ξξ i)(1+ ηη i)(1+ ζζ i) onde ξ i, η i e ζ i=±1 pa a i=1,2,…,8. 54 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ζ ζ ξ ξ η η Figu a 29 - Dois elemen os isopa amé icos 3D: à esque da um elemen o linea de oi o nós; à di ei a um elemen o quad á ico de 20 nós. 6 - De e minação das De o mações e das Tensões Conhecido o campo dos deslocamen os o cálculo das componen es do enso das de o mações segue-se po di e enciação [Ba he, 1996; B anco, 1985, Timoshenko, 1970, 1982]: ε xx =∂u ∂x, ε yy =∂ ∂y, ε zz =∂w ∂z, γ xy =∂u ∂y+∂ ∂x, γ yz =∂ ∂z+∂w ∂y, γ zx =∂w ∂x+∂u ∂z, ou u ilizando a no ação ma icial: { ε }= ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ ε x ε y ε z γ xy γ yz γ xz = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ∂u/∂x ∂ /∂y ∂w/∂z ∂u/∂y+∂ /∂x ∂ /∂z+∂w/∂y ∂u/∂z+∂w/∂x = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ∂ ∂x00 0∂ ∂y0 00∂ ∂z ∂ ∂y ∂ ∂x0 0∂ ∂z ∂ ∂y ∂ ∂z0∂ ∂x ⎩ ⎨ ⎧ ⎭ ⎬ ⎫ u w = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ∂ ∂x00 0∂ ∂y0 00∂ ∂z ∂ ∂y ∂ ∂x0 0∂ ∂z ∂ ∂y ∂ ∂z0∂ ∂x [N]{u ^}=[B]{u ^} 55 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS de libe dade de o ação que são ob idos po di e enciação dos deslocamen os ans e sos ambém é necessá io sa is aze a con inuidade no elemen o da p imei a de i ada do co esponden e deslocamen o. F equen emen e acon ece o des espei o pela condição de compa ibilidade sendo apesa disso ob idos bons esul ados. O uso de elemen os não con o mes implica, em ge al, a pe da da con e gência mono ónica pa a a solução o que pode não signi ica o al pe da de con e gência. Cada elemen o u ilizado na modelização não de e possui di ecções p e e enciais; is o é, os esul ados ob idos de em se geome icamen e in a iá eis. No caso de se u iliza em polinómios in e polado es es es de em se no mínimo simé icos em elação aos e mos em x e em y. Também a axa de con e gência depende das unções de o ma u ilizadas. Habi ualmen e é e e ido como mui o desejá el o uso de polinómios comple os na de inição das unções incógni as. Em elemen os de geome ia cons an e embo a seja espe ado um aumen o da con e gência à medida que aumen a o g au do polinómio das unções de o ma não es á cla o que essa con e gência é mais ápida do que a ob ida po e inamen o da malha. Vá ios es udos [Oli ei a, 1990] êm mos ado que, pa a um dado núme o de pa âme os incógni os, a axa de con e gência ob ida com aumen o do g au do polinómio é semp e supe io . Na p á ica em que ha e um comp omisso, já que pa a modela con o nos i egula es e/ou he e ogeneidades é semp e necessá io conside a um g ande núme o de elemen os. A u ilização de polinómios de segundo ou e cei o g au pa a as unções de o ma pa ecem se mui as ezes uma escolha ace ada [Oli ei a, 1990]. A e i icação das condições de con e gência nem semp e é ácil. Po ezes, sob e udo com uso de elemen os não con o mes, apenas a ealização de es es (como po exemplo o “Pa ch Tes ”) pe mi e conclui se há con e gência e em que condições. Ou os mé odos de e i icação azem uso da análise dos alo es e ec o es p óp ios da ma iz de igidez desses elemen os. 7.1 - Ve i icação da Con e gência: o “Pa ch Tes ” Po di e sos mo i os, mui as ezes não são in eg almen e e i icadas as condições necessá ias pa a o compo amen o co ec o dos elemen os ini os; nomeadamen e no que espei a ao uso de elemen os não con o mes, há u ilização de écnicas de in eg ação eduzida, e c. B uce I ons [Oli ei a, 1990] idealizou um mé odo de e i ica o compo amen o de elemen os ini os não s anda d, consis indo em aze um conjun o de es es compu acionais, des inados a e i ica o g au de ap oximação ob ido em di e sos casos ipo. Ou os in es igado es ap esen a am e sões mais ma emá icas des es es es. Tem ha ido ce a con o é sia sob e a discussão ma emá ica do “Pa ch Tes ” e na de inição da o ma que, sob e udo em si uações mais complexas, es e de e á e [Oli ei a, 1990]. Do pon o de is a de engenha ia o “Pa ch Tes ” em sido uma écnica mui o ú il, al ez a mais u ilizada [Oli ei a, 1990], pa a e i ica o compo amen o dos elemen os ini os. Basicamen e o es e pe mi e e i ica se dado elemen o sa is az ou não a condição de se comple o (capaz de con e gi pa a a solução exac a, qualque que es a seja). Consis e em p esc e e alo es da unção incógni a na pe i e ia de dado domínio e e i ica se no in e io des e domínio os alo es ob idos, pelo mé odo dos elemen os ini os, usando o elemen o em análise coincidem ou não com os espe ados qualque que seja a malha u ilizada na di isão do domínio. 62 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Assim, po exemplo, num p oblema de elas icidade de domínio Ω diz-se que um elemen o ini o passa o “Pa ch Tes ” quando é capaz de ep oduzi as seguin es si uações: • Deslocamen o de co po ígido na di ecção de cada eixo; • Deslocamen o p opo cional na di ecção de cada eixo. En ende-se aqui po deslocamen o p opo cional um campo dos deslocamen os em que cada nó na pe i e ia é o çado a e deslocamen o p opo cional à sua coo denada. No caso do deslocamen o de co po ígido, além de os nós in e io es de e em ap esen a deslocamen o igual ao p esc i o na pe i e ia, as ensões calculadas em odos os elemen os de e ão se nulas, Figu a 31. Es e es e de e se ei o u ilizando uma malha i egula de elemen os ini os, Figu a 32. Ve i ica-se equen emen e que há elemen os capazes de passa o “Pa ch Tes ” em malhas egula es e não em malhas dis o cidas. Figu a 31 – Exemplo de um “Pa ch Tes ” aplicado a odo o domínio: Num deslocamen o do co po ígido, não há de o mações, pelo que as ensões calculadas de e ão se nulas. l Figu a 32 – Elemen os a conside a ob iga o iamen e ao e i ica o “Pa ch Tes ” no nó l. Ou os elemen os pode iam ambém se ag upados mas neles as unções de o ma se iam nulas. 8 - In eg ação Numé ica Quando os elemen os em on ei as cu as os in eg ais pa a as ma izes dos elemen os são mais acilmen e de e minados u ilizando-se um sis ema de coo denadas na u ais. Os elemen os bidimensionais num sis ema de coo denadas na u ais o nam-se quad ados ou iângulos e não é necessá io de e mina as equações pa a as suas on ei as cu as. Con udo, de e mina os in eg ais num sis ema de coo denadas na u ais não é uma a e a ácil. A in eg ação necessi a de se ealizada nume icamen e pois equações explíci as não podem se ob idas pa a odos os passos en ol idos no p ocesso de in eg ação. Nes e pon o são ap esen adas ans o mações das a iá eis de in eg ação e écnicas numé icas pa a in eg ação das ma izes dos elemen os ini os u ilizados na disc e ização. 8.1 - T ans o mação das Va iá eis de In eg ação Os in eg ais que de inem as ma izes dos elemen os es ão exp essas em e mos de dx ou, em caso de p oblemas bidimensionais, de dxdy ou ainda, em p oblemas idimensionais, em e mos de dxdydz. Ob iamen e que é necessá io uma ans o mação das coo denadas de in eg ação se as in eg ações são e ec uadas num sis ema de coo denadas na u ais. A equação pa a ans o mação de uma coo denada num in eg al unidimensional de um 63 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS sis ema de coo denadas pa a um ou o pe mi e esc e e : ⌡ ⎮ ⌠ xi xm (x)dx =⌡ ⎮ ⌠ p1 p2 g(p)⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞ d(x(p)) dp dp Eq. 66 onde x(p) é a equação que elaciona os dois sis emas de coo denadas e d(x(p)) dp =[J]=J é designada, como já an e io men e e e ido, po ma iz Jacobiana pa a a equação da ans o mação. Nes e caso es a ma iz consis e apenas num único elemen o que é deno ado po J e é designado po Jacobiano. O objec i o p incipal é exp imi o in eg al u ilizando a coo denada na u al ξ e assim a Eq. 66 ica: ⌡ ⎮ ⌠ xi xm (x)dx = ⌡ ⎮ ⎮ ⌠ −1 +1 g( ξ )⎝ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎞ d(x( ξ )) d ξ d ξ e o na-se necessá ia uma equação que exp ima x em unção de ξ . Es a equação é ob ida u ilizando as unções de o ma Ni pa a o elemen o em ques ão: x=N1( ξ )X1+…+Nm( ξ )Xm onde X1, X2, …, Xm são as coo denadas globais pa a os nodos 1, 2 , …, m do elemen o. A ans o mação de coo denadas de in eg ação em in eg ais duplos é: ⌡ ⎮ ⌠ A (x,y)dxdy =⌡ ⎮ ⌠ −1 +1 ⌡ ⎮ ⌠ −1 +1 g( ξ , η )de [J]d ξ d η onde ξ e η são as no as coo denadas na u ais e [J] é a ma iz Jacobiana da ans o mação en e os dois sis emas de coo denadas: [J]= ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ ∂x ∂ ξ ∂y ∂ ξ ∂x ∂ η ∂y ∂ η . As equações da ans o mação de coo denadas podem se em ob idas u ilizando-se um p ocedimen o idên ico ao desc i o no p oblema unidimensional: as equações são de e minadas u ilizando-se as unções de o ma e as coo denadas globais pa a os nós do elemen o em ques ão. A ans o mação de coo denadas de in eg ação em in eg ais iplos é: ⌡ ⎮ ⌠ V (x,y,z)dxdydz =⌡ ⎮ ⌠ −1 +1 ⌡ ⎮ ⌠ −1 +1 ⌡ ⎮ ⌠ −1 +1 g( ξ , η , ζ )de [J]d ξ d η d ζ 64 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS onde ξ , η e ζ são as no as coo denadas na u ais e [J] é a ma iz Jacobiana da ans o mação en e os dois sis emas de coo denadas: [J]= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ∂x ∂ ξ ∂y ∂ ξ ∂z ∂ ξ ∂x ∂ η ∂y ∂ η ∂z ∂ η ∂x ∂ ζ ∂y ∂ ζ ∂z ∂ ζ . As equações da ans o mação de coo denadas podem se em ob idas u ilizando-se um p ocedimen o idên ico ao desc i o nos p oblemas unidimensional e bidimensional. 8.2 - Técnicas de In eg ação Numé ica A complexidade dos e mos que apa ecem nas ma izes dos elemen os ini os, sob e udo quando se u iliza uma ans o mação de coo denadas (x,y,z)→( ξ , η , ζ ) pa a pode lida com elemen os dis o cidos, ob iga à u ilização de mé odos numé icos pa a cálculo de in eg ais. Ge almen e podemos ap oxima esses in eg ais, em domínios 1D, 2D ou 3D, e ec uando uma soma de e mos que en ol e o alo do in eg ando em ce o núme o de pon os ξ i do domínio mul iplicado po pesos9 ω i con enien es. Assim: I=⌡ ⎮ ⌠ −1 +1 G( ξ )d ξ ≅ ω 0G( ξ 0)+ ω 1G( ξ 1)++ ω nG( ξ n). Eq. 67 Pa a desen ol e mé odos des e ipo, no domínio 1D, podemos escolhe pon os ξ 0, ξ 1, …, ξ n no domínio e calcula o polinómio de g au n que é exac amen e igual a essa unção G( ξ ) nesses pon os. Fa emos: Pn( ξ )= α 0+ α 1 ξ ++ α n ξ n Eq. 68 sendo α 0, α 1, …, α n ob idos do seguin e sis ema de equações: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧G( ξ 0)= α 0+ α 1 ξ 0++ α n ξ 0 n  G( ξ n)= α 0+ α 1 ξ n++ α n ξ n n . Eq. 69 O in eg al da Eq. 67 se á ago a calculado ap oximadamen e subs i uindo a unção in eg an e G( ξ ) pela sua ap oximação Pn( ξ ). Assim: 9 Es es pesos dão a “zona de in luência” de cada pon o de amos agem sendo o seu soma ó io igual ao comp imen o do in e alo. 65 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS I=⌡ ⎮ ⌠ −1 +1 G( ξ )d ξ ≅⌡ ⎮ ⌠ −1 +1 Pn( ξ )d ξ =2 α 0+2 3 α 2++ α n n+1[1−(−1)n+1]. Eq. 70 Como exemplo, ejamos o caso da Figu a 33 que ilus a a conhecida eg a apezoidal. G(ξ) ξ P1(ξ) ξ0=−1 ω0=1 ξ 1 = + 1 ω1=1 Figu a 33- Pesos e colocação dos pon os co esponden es à eg a apezoidal pa a o cálculo de ⌡ ⌠ −1 +1 G( ξ )d ξ . Seguindo o suge ido na Eq. 68 e na Eq. 69 chega íamos aos alo es: α 0=G( ξ 1)+G( ξ 0) 2 e α 1=G( ξ 1)−G( ξ 0) 2 e o alo do in eg al, de aco do com Eq. 70, se á: I=⌡ ⎮ ⌠ -1 +1 G( ξ )d ξ =G( ξ 1)+G( ξ 0). Uma análise de e os na ap oximação e e ida pela Eq. 70 mos a a possibilidade de in eg ação exac a de qualque polinómio de g au ≤n se n o ímpa . Se n o pa a exp essão Eq. 70 da á um in eg al exac o de um polinómio a é ao g au n+1. Num domínio 2D, es amos pe an e o cálculo de um in eg al duplo da o ma: I=⌡ ⎮ ⌠ −1 +1 ⌡ ⎮ ⌠ −1 +1 G( ξ , η )d ξ d η . Como se a a de um domínio ec angula o mé odo mais simples consis e em e ec ua duas in eg ações numé icas nas di ecções ξ e η de o ma independen e. Te emos en ão: I≅∑ j=0 n ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ω j⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ ∑ i=0 n ω iG( ξ i, η j) Eq. 71 ou seja: 66 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS I≅∑ j=0 n∑ i=0 n ω ¯ijG( ξ i, η j) Eq. 72 sendo ω ¯ij = ω i ω j a “á ea de in luência” de cada pon o de amos agem, dando o soma ó io des es p odu os a á ea do domínio conside ado. Se os in eg ais nas di ecções ξ e η são exac os pa a polinómios de g aus p (independen emen e) en ão as exp essões da Eq. 71 e da Eq. 72 pe mi i ão calcula exac amen e odos os e mos ξ p1 η p2 sendo p1 e p2 não supe io es a p. O in eg al de uma unção de inido numa egião iangula , u ilizando-se coo denadas de á ea (L0,L1,L2), Apêndice A.7, é: ⌡ ⎮ ⌠ A (x,y)dA =⌡ ⎮ ⌠ 0 1 ⌡ ⎮ ⌠ 0 1−L1 g(L0,L1)dL0dL1 onde g(L0,L1) inclui o e mo de [J]. A passagem a ês dimensões é imedia a. Temos ago a: I=⌡ ⎮ ⌠ −1 +1 ⌡ ⎮ ⌠ −1 +1 ⌡ ⎮ ⌠ −1 +1 G( ξ , η , ζ )d ξ d η d ζ ≅∑ j=0 n∑ i=0 n∑ k=0 n ω ¯ijkG( ξ i, η j, ζ k) sendo ω ¯ijk = ω i ω j ω k o “ olume de in luência” de cada pon o de amos agem, dando o soma ó io des es p odu os o olume do domínio conside ado. No e-se ambém que a in eg ação numé ica pe mi e mui o acilmen e conside a elemen os de espessu a a iá el: Bas a que se en e na exp essão da in eg ação espec i a com a espessu a i em cada pon o de amos agem. No malmen e é dada a espessu a do elemen o em cada nodo, sendo a espessu a nos pon os de amos agem in e polada eco endo-se às unções de o ma e à espessu a nos nodos. 8.2.1 - Mé odo de New on-Co es U ilizando igual espaçamen o en e os pon os, a exp essão da Eq. 70 co esponde aos mé odos de New on-Co es pa a o cálculo de in eg ais. Não são habi ualmen e u ilizados em elemen os ini os po exigi em em ge al n+1 cálculos da unção in eg an e; con udo, es e mé odo pode se e icien e em análise não linea es [Ba he, 1996]. 8.2.2 - Quad a u a Gaussiana (Gauss-Legend e) Um mé odo al e na i o consis i á em a ibui à p io i as posições em que G( ξ ) de e se calculada en ando de e mina essas posições de modo a que a ap oximação dê o alo exac o do in eg al semp e que G( ξ ) o um polinómio de g au ≤p sendo p (≥n) um alo ambém a de e mina . Seja: 67 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Pp( ξ )= α 0+ α 1 ξ ++ α p ξ p e açamos: I=⌡ ⎮ ⌠ −1 +1 G( ξ )d ξ ≅ ω 0( α 0+ α 1 ξ 0++ α 0 ξ p n)+ ω 1( α 0+ α 1 ξ 1++ α n ξ p 1)+ + ω n( α 0+ α 1 ξ n++ α n ξ p n). Eq. 73 Compa ando es a equação com a Eq. 70, que dá o esul ado do cálculo exac o do in eg al do polinómio Pp( ξ ), conclui emos que de e á se : ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ω 0+ ω 1++ ω n=2 ω 0 ξ 0+ ω 1 ξ 1++ ω n ξ n=0 ω 0 ξ 2 0+ ω 1 ξ 2 1++ ω n ξ 2 n=2 3 ω 0 ξ p 0+ ω 1 ξ p 1++ ω n ξ p n=1 p+1[1−(−1)p+1] . Eqs. 74 Es as condições, Eqs. 74, co espondem a um sis ema de (p+1) equações nas incógni as { ω i, ξ i} com i=0, 1, …,n. Es e sis ema só admi i á solução quando o núme o de equações iguala o núme o de incógni as (condição aliás não su icien e!). Ou seja: p=2n−1. Dado que n é in ei o p de e á se ímpa . Pode emos cons ui a abela da Tabela 3 com os p imei os alo es de a iação de p com n. Assim, po exemplo, calculando a unção in eg an e em ês pon os po es e mé odo in eg a -se-ia exac amen e um polinómio a é ao g au cinco enquan o pelo mé odo de New on-Co es só se consegui ia exac idão a é ao g au ês. Uma eg a pa a de e mina -se o núme o de pon os de amos agem necessá io pa a in eg a uma unção unidimensional é iguala (2n−1) ao g au da unção a in eg a (quando o alo ob ido pa a n não é in ei o de e-se u iliza n igual ao in ei o supe io mais p óximo) icando o in eg al com a o ma: I=⌡ ⌠ -1 +1 φ d ξ ≅∑ i=1 n ω i φ i onde ω I são os pesos e φ I o alo da unção a in eg a em cada um dos pon os de amos agem. Núme os de Pon os de In eg ação (n) G au do polinómio in eg á el exac amen e (p) 1 1 2 3 68 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Núme os de Pon os de In eg ação (n) G au do polinómio in eg á el exac amen e (p) 3 5 4 7 … … Tabela 3 - Relação en e o núme o de pon os de in eg ação e o máximo g au do polinómio in eg á el exac amen e u ilizando a quad a u a Gaussiana. Es e mé odo de in eg ação designa-se habi ualmen e po quad a u a de Gauss-Legend e ou, de o ma mais simplis a, po apenas quad a u a de Gauss ou Gaussiana. A esolução dos sis emas de equações, Eqs. 74, pe mi i a ob e as coo denadas ξ i e os pesos ω i pa a os di e sos alo es de p, Tabela 4. No caso de unções de duas a iá eis φ =( ξ , η ) o domínio de in eg ação es a á de inido no plano ( ξ , η ): I=⌡ ⎮ ⌠ −1 1 ⌡ ⎮ ⌠ −1 1 φ ( ξ , η )d ξ d η ≅ ⌡ ⎮ ⎮ ⌠ −1 1 ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ∑ i=1 n ω i φ ( ξ i, η )d η ≅∑ j=1 m ω j⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ∑ i=1 n ω i φ ( ξ i, η j)=∑ j=1 m∑ i=1 n ω i ω j φ ( ξ i, η j). Eq. 75 Pa a de e mina -se m e n iguala-se (2m−1) ao g au mais ele ado p esen e na unção em e mos da a iá el η e (2n−1) ao g au mais ele ado p esen e na unção em e mos da a iá el ξ . A Eq. 75 é no malmen e implemen ada como um soma ó io simples de K=n∗m pon os de amos agem sendo o p odu o ω i ω j o coe icien e de peso de um pon o especí ico. A Figu a 34 ilus a a aplicação da quad a u a de Gauss-Legend e a domínios 2D. p1,p2≤1 p 1,p2≤3p1,p2 ≤ 5 Figu a 34 - Colocação dos pon os de in eg ação na eg a de Gauss-Legend e pa a quad ilá e os. 69 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS n ± ξ ω p 1 0.00000 2.00000 1 2 0.57735 1.00000 3 3 0.77460 0.00000 0.55556 0.88889 5 4 0.86114 0.33998 0.34785 0.65215 7 5 0.90618 0.53847 0.00000 0.23693 0.47863 0.56889 9 6 0.93247 0.66121 0.23862 0.17132 0.36076 0.46791 11 7 0.94911 0.74153 0.40585 0.00000 0.12948 0.27971 0.38183 0.41796 13 8 0.96029 0.79667 0.52553 0.18343 0.10123 0.22238 0.31371 0.36268 15 9 0.96816 0.83603 0.61337 0.32425 0.00000 0.08127 0.18065 0.26061 0.31235 0.33024 17 10 0.97391 0.86506 0.67940 0.43340 0.14887 0.06667 0.14945 0.21909 0.26927 0.29552 19 Tabela 4 - Valo es das coo denadas ξ i e dos pesos ω i co esponden es ao cálculo ap oximado de in eg ais pela quad a u a de Gauss-Legend e. 70 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS A quad a u a de Gauss-Legend e é bas an e comum em p oblemas de análise nos quais são u ilizados elemen os ini os isopa amé icos. Na Tabela 5 é ap esen ada a o dem de in eg ação ecomendada em [Ba he, 1996] pa a a in eg ação das ma izes de elemen os ini os isopa amé icos segundo es e mé odo. Elemen os Bidimensionais O dem de in eg ação 4 nós não dis o cido 2×2 4 nós dis o cido 2×2 8 nós não dis o cido 3×3 8 nós dis o cido 3×3 9 nós não dis o cido 3×3 9 nós dis o cido 3×3 16 nós não dis o cido 4×4 16 nós dis o cido 4×4 Tabela 5 - O dem de in eg ação ecomendada pa a a quad a u a Gaussiana pa a elemen os isopa amé icos segundo [Ba he, 1996] Na Tabela 6 es á indicada a localização dos pon os de amos agem e os co esponden es pesos pa a a in eg ação em domínios iangula es, u ilizando-se coo denadas de á ea (L0,L1,L2), Apêndice A.7, pa a a quad a u a de Gauss-Legend e. 8.2.3 - Mé odo de Gauss-Loba o Exis em ob iamen e possibilidades inúme as de e ec ua o cálculo de in eg ais. Po exemplo pode -se-ão ixa no domínio alguns pon os ξi e deixa os ou os po de e mina . Nes e caso o máximo g au do polinómio que consegue ainda se in eg ado exac amen e es a á con ido en e o que co esponde ao mé odo de New on-Co es e ao de Gauss-Legend e. Em pa icula , é po ezes ú il inclui os dois ex emos do domínio (ξ0=−1, ξ n=+1) mas deixa li e a escolha dos pon os in e médios. É o mé odo de Gauss-Loba o. Vejamos, como exemplo, um mé odo de in eg ação em ês pon os sendo ξ 0=−1 e ξ 2=+1. As equações Eqs. 74 pe mi em esc e e : ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ω 0+ ω 1+ ω 2+ ω 3=2 − ω 0+ ω 1 ξ 1+ ω 2=0 ω 0+ ω 1 ξ 1 2+ ω 2=2 3 − ω 0+ ω 1 ξ 1 2+ ω 2=0 . 71 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS U(m)=1 2⌡ ⎮ ⌠ V(m) ( σ xx ε xx + σ yy ε yy + σ zz ε zz + τ xy γ xy + τ xz γ xz + τ yz γ yz)dV (m) que pode se o mulada como: U(m)=1 2⌡ ⎮ ⌠ V(m) { σ }T{ ε }dV (m). U ilizando-se a lei de Hooke gene alizada, e como a ma iz de elas icidade [D] é simé ica, podemos eesc e e a equação an e io com a o ma: U(m)=1 2⌡ ⎮ ⌠ V(m) { ε }T[D]{ ε }dV (m). Esc e endo a ene gia de de o mação em e mos dos deslocamen os nodais ob emos: U(m)=1 2⌡ ⎮ ⌠ V(m) {u ^(m)}[B]T[D][B]{u ^(m)}dV (m)−⌡ ⎮ ⌠ V(m) {u ^(m)}[B]T[D]{ ε T}dV (m) onde { ε T} é o ec o das de o mações é micas. No a, o am desp ezadas as ensões/de o mações iniciais [Timoshenko, 1970, 1982]. A.3 - P incípio dos Deslocamen os Vi uais A base do mé odo dos elemen os ini os, o mulado a pa i dos deslocamen os, é o p incípio dos deslocamen os i uais, po ezes, ambém designado po p incípio dos abalhos i uais [Ba he, 1996]. Segundo es e p incípio, o equilíb io de um co po eque que pa a qualque pequeno deslocamen o i ual pe mi ido impos o ao co po no seu es ado de equilíb io, Figu a 1, o abalho i ual in e no o al é igual ao abalho i ual ex e no: ⌡ ⎮ ⌠ V { ε ¯}T{ σ }dV =⌡ ⎮ ⌠ V {U ¯}T{ B}dV +⌡ ⎮ ⌠ S {U ¯S }T{ S }dS +∑ i {U ¯i}T{RC i} Eq. 76 onde { B} é o ec o das o ças de co po aplicadas (po exemplo: po acções g a í icas, is o é, o peso p óp io dos co pos; as o ças de a acção eléc ica e, em análise dinâmica, as o ças de iné cia), { S } é o ec o das acções na supe ície do co po ( o ças po unidade de á ea de supe ície, po exemplo: o ças dis ibuídas em igas ou em placas ou cascas), {RC i} é o ec o das o ças concen adas no pon o i, {U ¯} é o ec o dos deslocamen os i uais e o { ε ¯} é o ec o das de o mações i uais co esponden es (o aço deno a quan idades i uais). O adjec i o i ual signi ica que os deslocamen os i uais (e as co esponden es de o mações i uais) não são deslocamen os eais que o co po ealmen e so a em consequência da ca ga aplicada; em ez disso, os deslocamen os i uais são o almen e 78 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS independen es dos deslocamen os eais e são usados pa a es abelece o equilíb io in eg al da Eq. 76. De emos e em conside ação que na Eq. 76: • As ensões { σ } são assumidas como quan idades conhecidas e como as únicas ensões que equilib am exac amen e as ca gas aplicadas. • As de o mações i uais { ε ¯} são calculadas po di e enciação dos deslocamen os i uais admi idos {U ¯}. • Os deslocamen os i uais {U ¯} de em ep esen a um campo dos deslocamen os i uais con ínuo (pa a se possí el de e mina { ε ¯}), com as componen es em {U ¯} nulas pa a os deslocamen os co esponden es à á ea de supo e do co po Su; ambém as componen es no ec o {U ¯S } são simplesmen e os deslocamen os i uais {U ¯} calculados na supe ície do co po S na qual ac uam as acções de supe ície. • Todas as in eg ações são e ec uadas sob e o olume e a supe ície o iginal do co po inal e ado pelos deslocamen os i uais impos os. É impo an e e em con a que quando o p incípio dos deslocamen os i uais, Eq. 76, é sa is ei o pa a odos os deslocamen os i uais admissí eis e a ensão { σ } é ob ida adequadamen e a pa i de um campo dos deslocamen os con ínuo {U} que sa is aça as condições de deslocamen os na on ei a ao longo da supe ície Su, odos os ês equisi os undamen ais da mecânica são p ese ados: 1. O equilíb io é ga an ido, pois o p incípio dos deslocamen os i uais é uma exp essão de equilib o. 2. A compa ibilidade é ga an ida, po que o campo dos deslocamen os {U} é con ínuo e sa is az as condições dos deslocamen os na on ei a. 3. A lei de o mações/ ensões é ga an ida, pois a ensão { σ } é calculada u ilizando-se as elações cons i u i as a pa i da de o mação { ε } (a qual oi de e minada a pa i dos deslocamen os {U}). A é ago a oi assumido que o co po que em indo a se conside ado es á supo ado adequadamen e; po exemplo, exis em condições de supo e su icien es pa a uma única solução pa a os deslocamen os. Con udo, o p incípio dos deslocamen os i uais ambém é e i icado quando odos os deslocamen os de supo e são emo idos e, em ez des es, são aplicadas as eacções co ec as (necessa iamen e assumidas como conhecidas). Nes e caso a á ea de supe ície S , na qual acções conhecidas são aplicadas, é igual à á ea da supe ície o al do co po S (Su é nula). Es a obse ação básica pode se u ilizada pa a desen ol e as equações do mé odo dos elemen os ini os; is o é, é possí el não conside a em p imei o luga nenhuma condição de deslocamen o na on ei a, seguidamen e desen ol e as equações co esponden es pa a os elemen os ini os e, an es de esol e es as equações, impo as condições dos deslocamen os na on ei a. 79 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS A.4 - Equações de Mo imen o de New on Conside emos o sis ema de pa ículas da Figu a 35, onde as pa ículas êm massa cons an e mi (i=1,,…,N). x y z i j  k  1 m 2 m 3 m 4 m n m j m i m O {} i F {} i Figu a 35 - Sis ema de pa ículas. As pa ículas podem es a ligadas po in e médio de molas, não necessa iamen e linea es, e sujei as a o ças dadas pelos ec o es {F}i (i=1,2,…,N), as quais podem se ex e nas ao sis ema ou o ças nas molas ligando mi com odas ou algumas massas es an es. Podemos esc e e as o ças {F}i com a o ma: {F}i=Fxi i →+Fyi j →+Fzik → com i=1,2,…,N, onde Fxi, Fyi e Fzi são as componen es ca esianas do ec o {F}i, espec i amen e, segundo a di ecção x, y e z, e i →, j → e k → são os co esponden es ec o es uni á ios. Em adição às o ças aplicadas {F}i assumimos que exis em o ças de es ição { }i ac uando nas massas mi. Tais o ças podem oco e se o mo imen o das massas mi é es i o de alguma manei a. As o ças de es ição podem se esc i as como: { }i= xi i →+ yi j →+ zik → com i=1,2,…,N, onde xi, yi e zi são as suas componen es ca esianas. Po que o mo imen o de mi é em ge al idimensional o seu deslocamen o pode se esc i o com a o ma: { }i=xii →+yij →+zik → com i=1,2,…,N, onde xi, yi e zi são as componen es ca esianas do ec o do deslocamen o. U ilizando a segunda lei de New on pa a cada pa ícula, podemos esc e e as equações do mo imen o em e mos das coo denadas ca esianas do seguin e modo: Fxi + xi =mix ¨i, Fyi + yi =miy ¨i, Fzi + zi =miz ¨i, com i=1,2,…,N, Eqs. 77 80 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS e que podem se eesc i as, u ilizando a no ação ec o ial, da seguin e o ma: {F}i+{ }i=mi{ ¨}i com i=1,2,…,N. Eq. 78 As Eqs. 77, ou Eq. 78, ep esen am as 3N equações di e enciais de segunda o dem do mo imen o do sis ema. Podem se linea es ou não linea es dependendo se as o ças {F}i e { }i são unções linea es ou não linea es dos deslocamen os { }i e da sua segunda de i ada em elação ao empo { ¨}i. Na maio pa e dos casos, as o ças de es ição { }i não são dadas de o ma explíci a mas implíci a a a és de equações de es ição do mo imen o de qualque uma das massas mi. Como esul ado, as coo denadas xi, yi e zi (i=1,2,…,N) não são odas independen es. De ac o, uma equação de es ição pode se u ilizada, pelo menos em p incípio, pa a elimina uma coo denada na o mulação do p oblema. Se exis i em c equações de es ição en ão o núme o de coo denadas independen es pa a a desc ição do sis ema é apenas n=3N-c. Nes e caso, diz-se que o sis ema em n g aus de libe dade e um conjun o de no mínimo n coo denadas independen es é necessá io de o ma a desc e e comple amen e o mesmo. Es e conjun o de coo denadas não é único e es as são habi ualmen e designadas po coo denadas gene alizadas qk (k=1,2,…,n). A.5 - P incípio de Alembe e Equações de Lag ange O p incípio do abalho i ual, Apêndice A.3, é es abelecido pa a o caso de sis emas es á icos. Po si mesmo não pode se u ilizado na o mulação de p oblemas dinâmicos. Con udo, pode- se es ende o p incípio do abalho i ual pa a p oblemas dinâmicos, al pode se conseguido u ilizando um p incípio a ibuído a Alembe [Mei o i ch, 1986]. U ilizando a segunda lei de New on, Apêndice A.4 Eq. 78, podemos esc e e : {F}i+{ }i−mi{ ¨}i=0 com i=1,2,…,N, Eq. 79 onde −mi{ ¨}i pode se conside ado como uma o ça de iné cia. A Eq. 79 é ge almen e e e ida como o p incípio de Alembe e pe mi e enca a p oblemas dinâmicos como se a assem de p oblemas es á icos; assim, es a equação pe mi e es ende o p incípio do abalho i ual pa a o caso dinâmico. De ac o, u ilizando-se a Eq. 79, podemos esc e e o abalho i ual pa a a pa ícula i, Figu a 35, como: ({F}i+{ }i−mi{ ¨}i)•{ δ }i=0 com i=1,2,…,N. Assumindo deslocamen os i uais { δ }i compa í eis com as es ições do sis ema, podemos conside a o abalho o al do sis ema de pa ículas e ob emos: ∑ i=1 N({F}i−mi{ ¨}i)•{ δ }i=0. Eq. 80 onde o abalho i ual associado com as o ças de es ição é nulo: 81 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ∑ i=1 N{ }i•{ δ }i=0. A Eq. 80 engloba simul aneamen e o p incípio do abalho i ual pa a p oblemas es á icos e o p incípio de Alembe e é designado pelo p incípio gene alizado de Alembe . A soma da o ça aplicada e da o ça de iné cia, {F}i−mi{ ¨}i, é po ezes designada po o ça e ec i a. Assim, o abalho i ual pelas o ças e ec i as ao longo dos deslocamen os i uais compa í eis com as es ições do sis ema é nulo. Apesa do p incípio de Alembe , Eq. 80, pe mi i uma o mulação comple a da mecânica de um p oblema, não é mui o adequado pa a de i a as equações de mo imen o do sis ema po que os p oblemas são o mulados em e mos de coo denadas de posição, as quais podem não se odas independen es. Con udo, o p incípio é ú il em pe mi i uma ansição pa a uma o mulação em e mos de coo denadas gene alizadas que já não ap esen am essa dependência. Além do mais, es a o mulação é ex emamen e con enien e, pois pe mi e a de i ação de odas as equações di e enciais do mo imen o do sis ema a pa i de duas unções escala es, a da ene gia ciné ica e da ene gia po encial, e uma exp essão in ini esimal, a do abalho i ual associado às o ças não conse a i as. Des a o ma, diag amas de co po li e ou nenhum conhecimen o das o ças de es ição não são necessá ios. As equações di e enciais de i adas des e modo são designadas po equações de Lag ange. A.6 - Mé odo de Rayleigh-Ri z O p oblema undamen al da Mecânica dos Meios Con ínuos consis e na de e minação da de o mação de co pos sob e a acção de um sis ema de o ças. O mé odo de Rayleigh-Ri z [Ba he, 1996; Mei o i ch, 1986], desen ol ido po Lo d Rayleigh em 1877 e pos e io men e gene alizado po W. Ri z em 1908 [Gomes, 1995], pe mi e a esolução des e p oblema10 eco endo a unções de ap oximação, ge almen e sob a o ma polinomial, que con enham um núme o su icien e de coe icien es independen es. A pa i des as equações é possí el chega às equações de equilíb io u ilizando-se o p incípio da ene gia po encial mínima (Apêndice A.1) pa a de e mina os e e idos coe icien es. Admi indo uma solução pa a o campo dos deslocamen os, u segundo o eixo x, segundo o y e w segundo o z, do ipo: u=∑ai i, i= i(x,y,z), i=1, 2, …,l, =∑bjgj, gj=gj(x,y,z), j=1, 2, …,m, w=∑ckhk, hk=hk(x,y,z), k=1, 2, …,n, onde i, gj e hk são unções de ap oximação, unção das coo denadas (x,y,z) e admissí eis; ai, bj e ck os coe icien es dos polinómios in e polado es usualmen e designados po coo denadas gene alizadas. A bi adas as unções de ap oximação e conhecidas as elações de o mações/deslocamen os e ensões/de o mações é possí el exp imi a ene gia de de o mação e a ene gia po encial de de o mação em unção das coo denadas gene alizadas. 10 Em p oblemas de análise de ib ações o mé odo de Rayleigh-Ri z é u ilizado pa a ge a um sis ema de equações, po minimização do quocien e de Rayleigh em elação aos deslocamen os nodais, com o qual é possí el de e mina uma ap oximação das equências na u ais do sis ema. As ap oximações ob idas são de melho qualidade pa a as meno es equências do sis ema o nando-se de qualidade mais eduzida à medida que as equências são mais ele adas. 82 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS O p incípio da ene gia po encial mínima pe mi i á, Apêndice A.1, esc e e as (l+m+n) equações de equilíb io que conduzem à solução do p oblema. Es as equações êm a o ma: ∂Πp ∂ai =0, ∂Πp ∂bj =0 e ∂Πp ∂ck =0, onde Πp designa a ene gia po encial e pa a um co po idimensional em a o ma: Πp=⌡ ⎮ ⌠ V w0dV −⌡ ⎮ ⌠ V {U}T{ B}dV −⌡ ⎮ ⌠ S {U}T{ S }dS −∑ i {Ui}{RC i} onde V designa olume, S supe ície, { B} o ec o das o ças de co po ou de olume (po exemplo: po acções g a í icas, is o é, o peso p óp io dos co pos; as o ças de a acção eléc ica e, em análise dinâmica, as o ças de iné cia), { S } o ec o das o ças de supe ície (po exemplo: o ças dis ibuídas em igas ou em placas ou cascas), {RC i} o ec o das o ças pon uais no nodo i, {U} o ec o dos deslocamen os, {Ui} o ec o dos deslocamen os no nodo i e w0 designa a ene gia de de o mação po unidade de olume e em a o ma: w0=1 2({ ε }T[D]{ ε }−{ ε 0}T[D]{ ε }+{ σ 0}T{ ε }) onde ε 0 e σ 0 designam, espec i amen e, as de o mações e as ensões inicias. A ques ão undamen al do mé odo de Rayleigh-Ri z é a de e minação da melho unção de ap oximação pa a o campo dos deslocamen os. Como me odologia pode dize -se que as unções de ap oximação de em se ão simples quan o possí el. Em ge al são cons i uídas po ó mulas polinomiais, sé ies de senos ou co-senos ou sé ies de Fou ie . Uma das condições necessá ias pa a o mé odo de Rayleigh-Ri z con e gi pa a a solução exac a é que o campo dos deslocamen os seja comple o: Uma unção de ap oximação, e o espec i o campo dos deslocamen os que ap oxima, diz-se comple a se os deslocamen os e as suas de i adas que apa ecem na equação de Πp podem se ob idos com o g au de p ecisão desejado se se conside a em os e mos su icien es da sé ie de ap oximação. Uma sé ie polinomial é comple a, se o em u ilizados e mos de o dem su icien emen e al a ( unção do p oblema) e não o em omi idos nenhuns e mos. Um campo dos deslocamen os comple o exige que os e mos de o dem in e io sejam incluídos. Em p oblemas de engenha ia es u u al as soluções de e minadas pelo mé odo de Rayleigh-Ri z ou são exac as ou mais ígidas que a solução exac a; is o é, es e mé odo c ia uma es u u a ap oximada à eal que em ge al é mais ígida. O mé odo dos elemen os ini os pode se is o como um caso especial do mé odo de Rayleigh-Ri z; con udo di e enças signi ica i as exis em en e os dois. No mé odo clássico de Rayleigh-Ri z as unções de in e polação são globais, no sen ido de se em de inidas em odo o domínio do sis ema, e endem a se complicadas e de a o compu acional di ícil. Es a di iculdade é pa icula men e e i icada quando é necessá ia a in eg ação das unções de in e polação. Es as unções são odas di e en es, apesa de pode em pe ence ao mesmo conjun o de unções, al como o das unções igonome ias, unções de 83 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Bessel, e c. Cada um des es conjun os de unções sa is azem uma dada elação de o ogonalidade mas, no ge al, es a elação não é a especi icada pelo p oblema. A u ilização de unções de in e polação globais o na o mé odo clássico Rayleigh-Ri z mais ap op iado pa a sis emas com dis ibuição de massa e de igidez p a icamen e uni o me. O cálculo compu acional das ma izes de massa e de igidez ende a se pa icula ao p oblema em ques ão. Po ou o lado, es as ma izes endem a se em de baixa o dem. Os coe icien es das sé ies são ge almen e de na u eza abs ac a e ep esen am, simplesmen e, a con ibuição de uma dada unção admissí el pa a o campo dos deslocamen os. Pa a aumen a a p ecisão da solução compu acional aumen a-se o núme o de e mos das sé ies. Tal aumen o implica apenas o cálculo compu acional das en adas adicionais nas ma izes de massa e de igidez, deixando as en adas an e io men e calculadas cons an es. Finalmen e, a con e gência pa a a solução desejada é ga an ida pois as unções de in e polação admissí eis são ge almen e de um conjun o comple o. No mé odo dos elemen os ini os as unções de in e polação são locais, no sen ido de es a em de inidas em pequenos subdomínios do sis ema, e endem a se bas an e simples e de a amen o compu acional ácil. De ac o, na sua g ande maio ia, são polinómios de baixo g au e, ge almen e, sa is azendo os mínimos equisi os de de i ação. As unções de in e polação são iguais pa a odos os elemen os do mesmo ipo e são p a icamen e o ogonais. Como consequência, as ma izes de massa e de igidez endem a se do ipo ma izes de banda. Do mesmo modo, o cálculo des as ma izes o na-se bas an e simples e ancamen e adap á el a p og amas compu acionais e consis e basicamen e no ag upamen o das ma izes dos elemen os indi iduais. Como no mé odo dos elemen os ini os são u ilizadas unções de in e polação locais, es e é mais adequado pa a sis emas com a iações b uscas na dis ibuição de massa e de igidez. Con udo, nes e mé odo as ma izes de massa e de igidez são ge almen e de ele ada o dem. Os coe icien es das sé ies são coo denadas nodais e êm um ele ado signi icado ísico pois ep esen am os deslocamen os e decli es nos nodos. Pa a aumen a a esolução da solução de e minada o amanho dos elemen os u ilizados de e se eduzido (is o é, de em se u ilizados mais elemen os: e inando-se a malha). Tal eque uma no a compu ação das ma izes de massa e de igidez. Apesa do núme o das unções de in e polação pude se aumen ado, de al manei a a ob e -se uma solução com a esolução p e endida, as unções de in e polação locais não se enquad am na de inição de conjun o comple o e assim nem semp e é ga an ida uma con e gência mono ica pa a a solução desejada. Uma abo dagem in e média consis e em conside a o sis ema global como a soma de elemen os mais simples, al e qual como no mé odo dos elemen os ini os, e de e mina o campo dos deslocamen os pa a cada elemen o indi idual pelo mé odo de Rayleigh-Ri z conside ando como coo denadas gene alizadas os deslocamen os nodais em ez dos coe icien es das unções de in e polação. A.7 - Coo denadas de Á ea Em sub domínios do ipo iangula o na-se ú il um sis ema de coo denadas pa icula men e adap ado a es es elemen os: as coo denadas de á ea (L0,L1,L2). Tais coo denadas podem de ini -se pelas exp essões: 84 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧x=L0x0+L1x1+L2x2 y=L0y0+L1y1+L2y2 1=L0+L1+L2 , onde Lo, L1, L2 são as coo denadas de á ea e (xi,yi) são as coo denadas ca esianas globais dos nós dos é ices. Ve i ica-se que Li assume alo uni á io no nó i e alo nulo nos es an es. O alo de Li pode de ini -se pelo cocien e en e duas á eas: A á ea do iângulo de inido pelo pon o P(x,y) e pelos ex emos do lado opos o i; e a á ea o al do iângulo; daí a designação de coo denadas de á ea. Pa a jus i ica es a cons a ação açamos o cálculo explíci o dos alo es de Lo, L1, L2: ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ 111 x0x1x2 y0y1y2 L0 L1 L2 = 1 x y . Te emos, po exemplo, pa a Lo: L0= 111 xx 1x2 yy 1y2 111 x0x1x2 y0y1y2 . Explici ando o dominado e emos: ∆=(x1y2−x2y1)−(x2y0−x0y2)+(x0y1−x1y0). Podemos analisa cada uma das pa celas colocadas den o de pa ên eses como sendo o esul ado do p odu o ec o ial de dois ec o es, espec i amen e, os ec o es de posição de cada pa de é ices do iângulo. Des e modo, cada pa cela des as é nume icamen e igual à á ea do pa alelog amo cons uído a pa i dos e e idos ec o es de posição. Se á o dob o da á ea iangula de inida pela o igem do sis ema de coo denadas e o pa de é ices co esponden e, Figu a 36. Cons a amos assim que o denominado ep esen a, somadas algeb icamen e as ês á eas den o de pa ên eses, o dob o da á ea do iângulo de é ices P0, P1 e P2. Igual aciocínio le a -nos-ia à conclusão de que o nume ado é nume icamen e igual ao dob o da á ea iangula de inida pelo pon o P e pelos é ices P1 e P2, opos os a P0. A.8 - Exemplo I: De e minação das Ma izes Pa a um Elemen o Fini o Axial U ilizando-se a abo dagem a iacional [Mei o i ch, 1986], as ma izes de igidez e de massa e o ec o de o ças nodais equi alen es podem se ob idos a a és das exp essões em e mos de coo denadas nodais, espec i amen e, pa a a ene gia po encial, pa a a ene gia ciné ica e pa a o abalho i ual. O deslocamen o axial do sis ema de segunda o dem da Figu a 37 pode se esc i o com a o ma: 85 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS xO y P P1P1 P2P2 P0P0 L0 = 1L0 = 0 á ea(P0,P1,P2) á ea(P,P1,P2) L0=á ea(P,P1,P2) á ea(P0,P1,P2) 2á ea(O,P1,P2)=||OP1×OP2||=(x1y2−x2y1) Figu a 36 - Coo denadas de á ea em elemen os iangula es. u(x, )=N1(x)u1( )+N2(x)u2( )={N(x)}T{u ^( )} onde {N(x)} é o ec o de dimensão dois das unções de o ma, com o índice a indica qual o nodo com que cada unção de o ma es á associada, e {u ^( )} é o co esponden e ec o de deslocamen os nodais. De e-se no a que es a equação apenas é álida no in e io do elemen o em ques ão e não é aplicá el o a des e. x l x m, E, A u(x, ) 1( ) 2( ) u1( )u2( ) Figu a 37 - Elemen o axial. A ene gia ciné ica pa a um elemen o ini o m do ipo axial é simplesmen e: T( )=1 2⌡ ⎮ ⎮ ⌠ 0 l m(x)⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ ∂u(x, ) ∂ 2 dx =1 2⌡ ⎮ ⌠ 0 l m(x){u ^( )}T{N(x)}{N(x)}T{u ^( )}dx =1 2{u ^( )}T[M(m)]{u ^( )} onde: [M(m)]=⌡ ⎮ ⌠ 0 l m(x){N(x)}{N(x)}Tdx é a ma iz (2×2) simé ica de massa pa a o elemen o m e m(x) a massa em x. Da mesma o ma, a ene gia po encial é: 86 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS V( )=1 2⌡ ⎮ ⎮ ⌠ 0 l EA(x)⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ ∂u(x, ) ∂x 2 dx =1 2⌡ ⎮ ⌠ 0 l EA(x){u ^( )}T{N′(x)}{N′(x)}T{u ^( )}dx =1 2{u ^( )}T[K(m)]{u ^( )} onde: [K(m)]=⌡ ⎮ ⌠ 0 l EA(x){N′(x)}{N′(x)}Tdx é a ma iz (2×2) simé ica de igidez pa a o elemen o, E é o módulo de elas icidade, A(x) a á ea da secção em x e {N′(x)}=d dx{N(x)}. Pa a de i a o ec o de o ças nodais, u iliza-se a exp essão pa a o abalho i ual. Assumindo que o elemen o é sujei o à o ça axial dis ibuída não conse a i a11 (x, ) pode-se ob e : δ W( )=⌡ ⎮ ⌠ 0 l (x, ) δ u(x, )dx =⌡ ⎮ ⌠ 0 l (x, ){N(x)}T{ δ u ^(x, )}dx ={ ( )}T{ δ u ^( )} onde: { ( )}=⌡ ⎮ ⌠ 0 l (x, ){N(x)}dx é o ec o de o ças nodais não conse a i as. Eq. 81 U ilizando pa a o elemen o ini o do ipo axial de massa m as unções de o ma polinomiais de g au um: N1(x)=1−x l e N2(x)=x l, ep esen adas na Figu a 38, ob emos a ma iz de massa: [M(m)]=m ⌡ ⎮ ⎮ ⌠ 0 l ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ 1−x l x l⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ 1−x l x l T dx =m ⌡ ⎮ ⎮ ⎮ ⌠ 0 l ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ 1−x l 2 ⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ 1−x l x l ⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ 1−x l x l⎝ ⎜ ⎛⎠ ⎟ ⎞ x l 2dx =ml 6⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ 21 12; is o é, pa a um elemen o ini o axial de secção cons an e de á ea A e de ma e ial com densidade ρ : 11 De e-se no a que o ças concen adas podem se ans o madas em o ças dis ibuídas po in e médio da unção espacial del a de Di ac; po exemplo, a o ça P( ) concen ada no pon o x=l/3 pode se exp essa na o ma dis ibuída como (x, )=P( ) δ (x−l/3) onde δ (x−l/3) é a unção espacial del a de Di ac. 87 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS elemen o e (xc,yc) as coo denadas ca esianas do seu cen o, podemos esc e e a seguin e lei de ans o mação: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧x=xc+a ξ y=yc+b η . Eqs. 86 Com base nes a lei de ans o mação, ejamos ago a como, conside ada uma unção de o ma gené ica Ni, podemos calcula as de i adas ca esianas des a unção a pa i das de i adas em elação a ( ξ , η ). Usando as eg as habi uais de de i ação de uma unção: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧∂Ni ∂ ξ =∂Ni ∂x ∂x ∂ ξ +∂Ni ∂y ∂y ∂ ξ ∂Ni ∂ η =∂Ni ∂x ∂x ∂ η +∂Ni ∂y ∂y ∂ η ou usando a o ma ma icial: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ∂Ni ∂ ξ ∂Ni ∂ η = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ∂x ∂ ξ ∂y ∂ ξ ∂x ∂ η ∂y ∂ η ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y ou ainda: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ∂Ni ∂ ξ ∂Ni ∂ η =[J] ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y em que: [J]= ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ∂x ∂ ξ ∂y ∂ ξ ∂x ∂ η ∂y ∂ η ep esen a a ma iz Jacobiana da ans o mação. Conhecida a lei de ans o mação, Eqs. 86, podemos acilmen e calcula a ma iz [J] e, po in e são da exp essão an e io , ob e as de i adas ca esianas das unções de o ma: 94 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y =[J]−1 ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ∂Ni ∂ ξ ∂Ni ∂ η . Eq. 87 Pa a o caso pa icula conside ado emos: [J]=⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ a0 0b, [J]−1= ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ 1 a0 01 b , omando a Eq. 87 a seguin e o ma: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ∂Ni ∂x ∂Ni ∂y = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ 1 a0 01 b⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ ∂Ni ∂ ξ ∂Ni ∂ η ou ainda: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧∂Ni ∂x=1 a ∂Ni ∂ ξ ∂Ni ∂y=1 b ∂Ni ∂ η . A ma iz de de o mação [B] pode se ago a acilmen e de e minada. Conside ando apenas a p imei a pa ição da ma iz emos: [B]1= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ∂N1 ∂x0 0∂N1 ∂y ∂N1 ∂y ∂N1 ∂x = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 1 4a( η +1)0 01 4a( ξ +1) 1 4a( ξ +1)1 4a( η +1) . A ma iz de igidez pa a o elemen o [K] calcula-se usando a exp essão: [K]=⌡ ⎮ ⌠ V [B]T[D][B]dV. Admi indo e o elemen o uma espessu a cons an e, podemos ans o ma es e in eg al de olume num in eg al de supe ície esc e endo: 95 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS [K]=⌡ ⎮ ⌠ Ω [B]T[D][B] dΩ. A ans o mação do elemen o de á ea pa a as coo denadas ( ξ , η ) é ei a a a és do de e minan e da ma iz Jacobiana [J], is o é: dxdy =de [J]d ξ d η . Pa a o caso pa icula conside ado emos: de [J]=de ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ a0 0b=ab e po an o: [K]=⌡ ⎮ ⌠ −1 1 ⌡ ⎮ ⌠ −1 1 [B]T[D][B] abd ξ d η . As in eg ações con idas nes a exp essão podem se acilmen e ealizadas e a ma iz de igidez do elemen o de e minada explici amen e. No e-se no en an o que is o só é possí el pelo ac o de se e usado uma lei de ans o mação (x,y)→( ξ , η ) mui o simples, Eqs. 86, em que elemen o gené ico é pe ei amen e ec angula e de lados pa alelos ao sis ema global de e e ência (x,y). Es a limi ação pode se ul apassada u ilizando-se elemen os isopa amé icos. Ag adecimen os Ag adeço à Jun a Nacional de In es igação Cien í ica a bolsa de dou o amen o que me concedeu ( e e ência: BD/3243/94 - PRAXIS XXI). 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Ma ins INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO AO CÁLCULO DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA E GESTÃO INDUSTRIAL FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO [McIne mey, 1996] - Tim McIne mey, Deme i Te zopoulos DEFORMABLE MODELS IN MEDICAL IMAGE ANALYSIS: A SURVEY MEDICAL IMAGE ANALYSIS, VOLUME 1, NUMBER 2, PP 91/108 - 1996 OXFORD UNIVERSITY PRESS [Mei o i ch, 1986] - Leona d Mei o i ch ELEMENTS OF VIBRATION ANALYSIS MCGRAW-HILL – 1986 [Moulin, 1992] - Pie e Moulin AN ADAPTIVE FINITE-ELEMENT METHOD FOR IMAGE REPRESENTATION 11TH INTERNATIONAL CONFERENCE ON PATTERN RECOGNITION, NETHERLANDS, 1992 - IEEE [Nas a , 1994] - Chahab Nas a , Nicholas Ayache FAST SEGMENTATION, TRACKING, AND ANALYSIS OF DEFORMABLE OBJECTS INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE EN INFORMATIQUE ET EN AUTOMATION - ROCQUENCOUT, Nº 1783 - 1994 [Nas a , 1994a] - Chahab Nas a PHD THESIS: MODÈLES PHISIQUES DÉFORMABLES ET MODES VIBRATOIRES POUR L’ANALYSE DU MOUVEMENT NON-RIGIDE DANS LES IMAGES MULTIDIMENSIONNELLES L’ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES - 1994 [Oli ei a, 1990] - Ca los Albe o de Magalhães Oli ei a INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA E GESTÃO INDUSTRIAL FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO - 1990 98 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS [Pa k, 1996] - Jinah Pa k , Dimi is Me axas, Leon Axel ANALYSIS OF LEFT VENTRICULAR WALL MOTION BASED ON VOLUMETRIC DEFORMABLE MODELS AND MRI-SPAMM MEDICAL IMAGE ANALYSIS, VOLUME 1, NUMBER 1, PP 53/71 - 1996 OXFORD UNIVERSITY PRESS [Pen land, 1989] - Alex Pen land, Jonh Williams PERCEPTION OF NON-RIGID MOTION INFERENCE OF SHAPE, MATERIAL AND FORCE M.I.T. 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MEDIA LABORATORY - TECHNICAL REPORT Nº 275 - 1994 99 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS [Scla o , 1995] - S anley Edwa d Scla o PHD THESIS: MODAL MATCHING: A METHOD FOR DESCRIBING, COMPARING, AND MANIPULATING DIGITAL SIGNALS MIT - 1995 [Scla o , 1995a] - S an Scla o , Alex Pen land MODAL MATCHING FOR CORRESPONDENCE AND RECOGNITION MIT MEDIA LABORATORY - TECHNICAL REPORT Nº 95-008, 1995 [Sege lind, 1984] - La y J. Sege lind APPLIED FINITE ELEMENT ANALYSIS JOHN WILLEY & SONS, INC. - 1984 [Syn, 1995] - N. H-M. Syn, R. W. P age FEM EIGENMODES AS SHAPE FEATURES CAMBRIDGE UNIVERSITY ENGINEERING DEPARTMENT - TECHNICAL REPORT Nº 211 - 1995 [Syn, 1995a] - N. H-M. Syn, R. W. P age BAYESIAN REGISTRATION OF MODELS USING FEM EIGENMODES CAMBRIDGE UNIVERSITY ENGINEERING DEPARTMENT - TECHNICAL REPORT Nº 213 - 1995 [Ta a es, 1995] - João Manuel R. S. Ta a es ALGUMAS FERRAMENTAS PARA VISÃO TRIDIMENSIONAL POR COMPUTADOR FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO - 1995 [Ta a es, 1995a] - João Manuel R. S. Ta a es MASTER THESIS: OBTENÇÃO DE ESTRUTURA TRIDIMENSIONAL A PARTIR DE MOVIMENTO DE CÂMARA FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO - 1995 [Timoshenko, 1970] - S ephen. P. Timoshenko, J. N. Goodie THEORY OF ELASTICITY MCGRAW-HILL - 1970 [Timoshenko, 1982] - S ephen. P. Timoshenko, James E. Ge e MECÂNICA DOS SÓLIDOS - VOL. I E II LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS EDITORA - 1982 100 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 1 - In odução ao Mé odo dos Elemen os Fini os ________________________________________1 2 - Fo mulação do Mé odo dos Elemen os Fini os _______________________________________3 2.1 - G aus de Libe dade Locais e Globais _____________________________________ 10 3 - Mé odo dos Elemen os Fini os Hie á quico ________________________________________13 4 - Funções de Fo ma _____________________________________________________________14 4.1 - Ap oximação de Funções U ilizando Funções de Fo ma ______________________ 15 4.2 - De e minação dos Pa âme os Nodais_____________________________________ 16 4.2.1 - E o Nulo num Conjun o Disc e o de Pon os do Domínio __________________ 16 4.2.2 - E o Médio Pesado Nulo em Todo o Domínio ___________________________ 16 4.3 - Ap oximação de Funções De i adas______________________________________ 18 4.4 - Funções de Fo ma de De inição Local ____________________________________ 19 4.5 - Ge ação de Funções de Fo ma___________________________________________ 20 4.5.1- Uso de Coo denadas Gene alizadas____________________________________ 20 4.5.2 - Fo mulação Di ec a das Funções de Fo ma _____________________________ 21 5 - Funções de Fo ma Complexas ___________________________________________________21 5.1 - E os nas Ap oximações Polinomiais _____________________________________ 21 5.2 - Funções de Fo ma 1D _________________________________________________ 23 5.2.1 - Funções S anda d com con inuidade C0________________________________ 23 5.2.2 - Funções Hie á quicas com Con inuidade C0____________________________ 24 5.2.2.1 - Polinómios Hie á quicos_________________________________________ 25 5.2.2.2 - Polinómios Hie á quicos de Fo ma Quase O ogonal __________________ 27 5.3 - Funções de Fo ma 2D pa a Elemen os Rec angula es ________________________ 28 5.3.1 - Elemen o Rec angula Linea ________________________________________ 28 5.3.2 - Família de Lag ange _______________________________________________ 29 5.3.3 - Família de Se endipi y _____________________________________________ 31 5.3.4 - Funções de Fo ma Hie á quicas ______________________________________ 35 5.4 - Funções de Fo ma 2D pa a Elemen os T iangula es__________________________ 37 5.4.1 - Coo denadas de Á ea ______________________________________________ 37 5.4.2 - Funções de Fo ma S anda d _________________________________________ 38 5.4.3 - Funções de Fo ma Hie á quicas ______________________________________ 40 5.5 - Funções de Fo ma 3D _________________________________________________ 42 5.5.1 - Elemen o Te aéd ico ______________________________________________ 43 101 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 5.6 - Elemen os Isopa amé icos _____________________________________________ 45 5.6.1 - Elemen os 2D ____________________________________________________ 49 5.6.2 - Elemen os 3D ____________________________________________________ 53 6 - De e minação das De o mações e das Tensões ______________________________________55 6.1 - Conside ações sob e o Cálculo das Tensões ________________________________ 57 6.2 - Es ado Plano de Tensão________________________________________________ 59 6.3 - Es ado Plano de De o mação____________________________________________ 60 7 - Condições de Con e gência______________________________________________________60 7.1 - Ve i icação da Con e gência: o “Pa ch Tes ”_______________________________ 62 8 - In eg ação Numé ica ___________________________________________________________63 8.1 - T ans o mação das Va iá eis de In eg ação ________________________________ 63 8.2 - Técnicas de In eg ação Numé ica ________________________________________ 65 8.2.1 - Mé odo de New on-Co es ___________________________________________ 67 8.2.2 - Quad a u a Gaussiana (Gauss-Legend e) _______________________________ 67 8.2.3 - Mé odo de Gauss-Loba o___________________________________________ 71 8.3 - O dem de In eg ação __________________________________________________ 72 8.4 - Que Tipo de Reg a U iliza ? ____________________________________________ 74 9 - Conclusões ___________________________________________________________________74 Apêndices _______________________________________________________________________77 A.1 - P incípio da Ene gia Po encial Mínima ___________________________________ 77 A.2 - Ene gia de De o mação _______________________________________________ 77 A.3 - P incípio dos Deslocamen os Vi uais ____________________________________ 78 A.4 - Equações de Mo imen o de New on _____________________________________ 80 A.5 - P incípio de Alembe e Equações de Lag ange_____________________________ 81 A.6 - Mé odo de Rayleigh-Ri z ______________________________________________ 82 A.7 - Coo denadas de Á ea _________________________________________________ 84 A.8 - Exemplo I: De e minação das Ma izes Pa a um Elemen o Fini o Axial__________ 85 A8.1 - De e minação das Ma izes no Sis ema Global___________________________ 88 A8.2 - Ag upamen o_____________________________________________________ 91 A.9 - Exemplo II: De e minação da Ma iz de Rigidez pa a um Elemen o Rec angula Linea __________________________________________________________________ 92 Ag adecimen os__________________________________________________________________96 102 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Bibliog a ia _____________________________________________________________________96 103