Identificação do modelo dinâmico e controlo da motorização de um Robot móvel

IDENTIFICAÇO DO MODELO DINÂMICO E CONTR OLO DA MOTORIZAÇO DE UM ROBOT MÓVEL André Gustavo Solari Coneição ∗,1 Paulo José Cerqueira Gomes da Costa ∗ Antonio Paulo Gomes Mendes Moreira ∗ ∗ Fauldade de Engenharia, Universidade do Porto, Portugal Resumo: A sintetização de equaçõ es dinâmias de um rob ot móvel p o dem ser difíeis e provavelmente ineazes, quando não se p ossui uma quantiação exata de araterístias físias do robot. Além disso, a arquitetura meânia do rob ot p o de provo ar não linearidades no mo delo do mesmo, provenientes de p erturbaçõ es omo folgas e atritos, diultando ainda mais a tarefa de equaionar um mo delo para um rob ot móvel. Este trabalho ab ordará a identiação de um mo delo para o pro esso (motor + redução + eno der) de um rob ot móvel. Serão usadas ténias baseadas em estimadores Mínimos Quadrados e sua variante Variável Instrumental para estimar a resp etiva função de transferênia. Keywords: Rob ot móvel, mo delo dinâmio, ontrolo digital. 1. INTRODUÇO Neste trabalho será ab ordada a identiação do mo delo disreto do pro esso representado na gura 2, que tem a função de relaionar a tensão apliada aos motores motores, om as velo idades e aeleraçõ es do mesmo. Trata-se de um rob ot omnidireional, na gura 1 p o de-se veriar a disp osição dos quatro motores. O sistema dinâmio disreto da gura 2 vai ser mo delizado omo um sistema om uma entrada e uma saída, e que não sofre inuênia signiativa de p erturbaçõ es. Sendo assim, para representar a dinâmia do sistema vai ser onsiderado um mo delo linear disreto, e para a determinação dos o eientes deste mo delo serão utilizadas ténias de estimação, omo mínimos quadrados e sua 1 Com o ap oio do Programa Al β an, Programa de b olsas de alto nível da União Europ eia para Améria Latina, b olsa n o E04D028256BR. Figura 1. Rob ot Móvel - motores. variante Variável Instrumental. A identiação de um mo delo para este pro esso p ossibilitará pro jetar e simular ontroladores de uma forma mais eiente para tarefas de navegação do rob ot, omo p or exemplo o PID disreto implementado no miro ontrolador do rob ot. A partir deste trabalho também será p ossível partir para um mo delo dinâmio ompleto do rob ot móvel. O rob ot p ossui uma estrutura de ontrolo e omu- niação om seus p eriférios onforme o esquema da gura 3. Figura 2. Sistema dinâmio disreto. Figura 3. Arquitetura de ontrolo e omuniação. O PC ontrola to das as açõ es do rob ot. A omuniação om o miro ontrolador é feita através da p orta série (RS232), que gera os sinais de ontrolo dos motores. Os motores são ontrolados p or sinais de PWM(Pulse Width Mo dulator) que a partir de um Drive de p otênia gera as tensõ es na gama de 0 a 24 volts para o funionamento dos mesmos. O software de ontrolo no PC, trabalha em uma adênia baseada na frequênia da âmara, 25 Hz, resultando em uma taxa de pro essamento das tarefas do rob ot de 40ms . Entretanto, no rmware do miro ontrolador está implementado um PID disreto que ontrola a velo idade dos motores, om uma frequênia de amostragem de 100Hz , resultando num ontrole mais eaz. 2. MODELO DETERMINÍSTICO E MÍNIMOS QUADRADOS Em geral, sistemas dinâmios lineares disretos invariantes no temp o p o dem ser representados p or uma equação linear às diferenças de ordem n , relaionando a saída do sistema om as entradas e saídas dos instantes anteriores. Desrevendo o sistema p or um mo delo entrada-saída(Moreira et al. , 2002)(Carvalho, 1993)(Vaaro, 1995)tem-se y(k) = − na X i=1 aiy(k−i) + nb X i=0 biu(k−i), (1) sendo y(k) a sequênia de saída, u(k) a sequênia de entrada e k a variável de temp o do sistema. Apliando a transformada Z à equação às diferenças (1) obtém-se U(z) Y(z)=(1 + a1z−1+... +anz−n) (bo+b1z−1+... +bnz−n), (2) multipliando amb os os lados p or zn e reorganizando a equação, obtém-se a função de transferên- ia de sistemas disretos no tempo representada p or H(z) = Y(z) U(z)=bozn+b1zn−1+... +bn zn+a1zn−1+... +an , (3) sendo o numerador e o denominador denidos resp etivamente omo B(z) = bozn+b1zn−1+... +bn, (4) A(z) = zn+a1zn−1+... +an. (5) Em sistemas ontrolados digitalmente, os mo delos desritos p ela equação (1) são geralmente utilizados para desrever o omp ortamento dinâmio do pro esso a ontrolar entre a entrada do onversor D/A e a saída do onversor A/D, mostrado na gura 2. Para a estimação de sistemas dinâmios vamos onsiderar o mo delo esto ástio da equação(6 ), onforme(Go o dwin and Payne, 1997)(Moreira et al. , 2002) y(k) = H1(z)u(k) + H2(z)ξ(k), (6) onde y(k) e u(k) são as sequênias de saída e entrada respetivamente, e ξ(k) é a sequênia de ruído brano gaussiano om variânia σ2 e média nula. Considerando a situação onde H1(z) e H2(z) são parametrizados omo B(z) A(z) e 1 A(z) resp etivamente, onforme as equaçõ es (4) e (5), o mo delo da equação (6) p o de ser expresso omo A(q−1)y(k) = B(q−1)u(k) + ξ(k) (7) em que q−1 é o op erador de atraso q−1y(k) = y(k−1) , então y(k) = −a1y(k−1)... −anay(k−na) + ... b0u(k)... +bnbu(k−nb) + ξ(k) =x(k)Tθ+ξ(k) (8) onde θT= (a1, ..., ana, b0, ..., bnb) (9) x(k)T= (−y(k−1), ..., −y(k−na)... u(k), ..., u(k−nb)). (10) A equação 8 p o de ser esrita na forma vetorial para N amostras, omo Y=Xθ + Ξ (11) onde YT= [y(1), ..., y(N)], (12) XT= [x(1), ..., x(N)], (13) ΞT= [ξ(1), ..., ξ(N)]. (14) A equação (11) sugere a apliação do estimador mínimos quadrados(Go o dwin and Payne, 1997), sendo o estimador resultante para θ , b θ= [XTX]−1XTY. (15) 3. APLICANDO MÍNIMOS QUADRADOS Numa primeira etapa apliou-se o sinal de exitação da gura 4 no pro esso, obtendo-se a urva de veloidade do motor 1(frente) em metros p or segundo, onforme a gura 5. 0 50 100 150 200 250 300 350 0 50 100 150 200 250 amostras PWM − 0 a 255 Figura 4. Ruído Brano Gaussiano. 0 50 100 150 200 250 300 350 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 amostras velocidade[m/s] Figura 5. Curva de veloidade do motor 1. Veria-se na gura 5 o momento em que o ruído do sinal de exitação omeça a atuar na velo idade do motor, a partir da amostra 50. Notam-se tamb ém p erturbaçõ es e algum ruído de medida na etapa anterior à amostra 50, tal deve-se ao fato do sistema estar em malha ab erta e qualquer irregularidade do piso ou ro das inueniam a veloidade. Antes de apliar os mínimos quadrados é neessário retirar o valor médio da entrada e da saída de mo do a que uma entrada nula origine uma saída nula tamb ém. De p osse de to das as informaçõ es neessárias para efetuar a estimação dos mínimos quadrados, partiu-se para uma segunda etapa, om o ob jetivo estimar os o eientes de funçõ es de transferênia que representem as araterístias do pro esso. Foi realizada a estimação para 8 tip os de funçõ es de transferênia(FT), de grau 1 até 6. Na tab ela 3 apresenta-se o resultado da estimação para as diferentes funçõ es de transferênia, assim omo o erro da estimação e os valores dos ganhos, p ólos e zeros. Na gura 6 apresenta-se o sinal medido da velo idade do motor 1 do rob ot e a velo idade estimada om a função de transferênia do tip o FTb , onforme a tab ela 3. O erro apresentado na tabela 3 é alulado p elo MSE (Mean Square Error), denido omo MSE() = PN 1[(b Φ−Φ)2] N, (16) que alula a média do quadrado da diferença entre o onjunto de velo idades estimadas( b Φ ) b Φ = [by(1), ..., by(N)]T, e o onjunto de velo idades medidas( Φ ) dos motores, Φ = [y(1), ..., y(N)]T. sendo N o numero de amostras. 0 50 100 150 200 250 300 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 samples Vel. medida Vel. Estimada Figura 6. Velo idade medida e estimada om FTb - motor 1. 3.1 Validaçã o da Estimativa Para a validação e esolha do modelo deve-se apliar um sinal de exitação diferente no pro esso e na função de transferênia estimada om o primeiro onjunto de dados, e alular o MSE do erro entre as duas urvas de veloidade resultantes. Sendo assim, na tab ela 1 e na gura 7 apresentam-se os erros de validação para as diferentes funçõ es de transferênia, utilizando um outro sinal de exitação. Na gura 8 apresenta-se 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 x 10−3 MSE(erro) Tipo a b c d e Figura 7. Resultados da validação para as diferentes FTs. Tip o FT Grau MSE(erro) F T a 1 0.0042402 F T b 2 0.0010013 F T c 2 0.00099887 F T d 3 0.00099609 F T e 4 0.00099436 F T f 5 0.00099183 F T g 6 0.00099442 Tab ela 1. Resultados da validação para as diferentes FTs. as urvas de velo idade medida e simulada para a função de transferênia do tip o FTb . A partir dos erros apresentados na validação, veria-se que a função de transferênia do tip o FTb , de grau 2, p o de representar uma b oa aproximação do pro esso. Esse resultado tem o erênia, sendo que o sistema apresentado na gura 2 p ossui um atraso devido ao "lo op"de omuniação, representado p elo p ólo na origem. O pro esso om um motor DC p o de ser aproximado p or um sistema de primeira ordem, p ois p o de-se desprezar a indutânia do motor devido a onstante elétria ser muito p equena omparada om a onstante meânia do mesmo(Carvalho, 1993). A FT mais indiada seria a do tip o FTg , p ois apresentou o menor erro, e a partir da FTh o erro omeçou a aumentar. Mas levando-se em onta que a FTb é um sistema mais simples, failitando o álulo de ontroladores em geral, e que a diferença do erro entre a FTg e a FTb é muito p equena, optou-se p ela FTb . A FTa não apresentou um resultado satisfatório. A FTd foi testada para veriar omo se omp ortaria a estimação om dois atrasos (2 p ólos na origem), mas na estimação veriou-se um erro maior que a FT om um atraso. 4. VARIÁVEL INSTRUMENTAL Um estimador mínimos quadrados p o de não ser onsistente aso o ruído da equação (8) não seja brano, tamb ém p o de ser difíil testar a sua onsistênia para um funionamento generalizado. Outros estimadores onsiderados onsistentes(Go o dwin and Payne, 1997)(Moreira et al. , 2002) po dem ser implementados para 0 50 100 150 200 250 300 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 samples Vel. Medida Vel. Simulada Figura 8. Velo idade medida e estimada om FTb (Validação). demonstrar mais propriedades do sistema e tamb ém ter um parâmetro para omparação om o estimador mínimos quadrados. Nesta seção vão ser apresentados os resultados do estimador om variável instrumental, que omparando-se om os mínimos quadrados substitui-se b θ p or θ , sendo θ= [ZTX]−1ZTY onde a matriz Z p o de ser onstruída usando um mo delo auxiliar Z(k)T= [−by(k−1),−by(k−2), ... (17) −by(k−n), u(k), u(k−1), ..., u(k−n)] (18) onde b A(z)by(k) = b B(z)u(k) e b A(z) , b B(z) são p olinómios ujos parâmetros p o dem ser obtidos através de mínimos quadrados numa primeira iteração. Nas iteraçõ es seguintes utiliza-se o resultado da estimativa anterior para realular Z(k) e assim suessivamente. Este algoritmo tem a araterístia de onvergir om p ouas iteraçõ es. Na tab ela 2 são apresentados resultados do estimador variável instrumental(VI) e a omparação om mínimos quadrados(MQ) para a função de transferênia do tip o FTb . Com 3 iteraçõ es já houve uma onvergênia, estabilizando os valores do p ólo e do ganho. FTs MQ VI 3a Iteração b1 0.00081626 0.00081538 z(z+a1) z(z−0.6827) z(z−0.7051) MSE(erro) 0.0010013 0.00098799 Tab ela 2. Valores Estimados. Através da auto orrelação do erro alulado onforme (19) e (20), veria-se a branura dos resíduos. Na gura 9 apresentam-se a auto orrelação para a estimativa om os Mínimos Quadrados e a estimativa om Variáveis Instrumentais, para 100 amostras. by(k) = −c a1y(k−1) + b b1u(k−2), (19) Error(k) = by(k)−y(k). (20) Sendo by(k) a saída estimada, y(k) a saída medida e u(k) o sinal de entrada. A média do erro Error(k) da equação (20) para Mínimos quadrados foi 5.2879e−4 e para variáveis instrumentais 5.2554e−4 , veria-se que houve uma p equena melhora. Veria-se também que a auto orrelação do erro Error para os mínimos quadrados já é muito típio de ruído brano, p or este motivo não houve uma melhora muito signiativa om Variáveis Instrumentais. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Lag Sample Autocorrelation Sample Autocorrelation Function (ACF) (a) Mínimos Quadrados 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Lag Sample Autocorrelation Sample Autocorrelation Function (ACF) (b) Variável Instrumental Figura 9. Auto orrelação do erro. 5. RESULTADOS COM OS MOTORES RESTANTES Nas seçõ es anteriores foi detalhado o pro edimento para estimar o sistema do motor 1, agora serão apresentados resultados referentes aos outros 3 motores do rob ot. Na tab ela 4 estão os resultados estimados para os 4 motores do rob ot, utilizando o estimador Mínimos Quadrados e o estimador Variável Instrumental. As ro das laterais(motores 2 e 4) p ossuem diâmetros maiores que das ro das dianteira(motor 1) e traseira(motor 3), onforme a tab ela 4 os ganhos dos motores 2 e 4 evideniam esta diferença. Também deve-se levar em onta que existe uma distribuição irregular do p eso na base do rob ot. Essas araterístias faz om que as funções de transferênias tenham diferenças entre si. No motor 4 veria-se um p ólo mais lento, isso deve-se ao maior p eso sobre esta ro da, devido à p osição das baterias na base do rob ot. Nas guras 10 e 11 apresentam-se gráos om sinais reais das velo idades dos motores e as velo idades estimadas om as funçõ es de transferên- ia do tip o FTb . 6. SINTONIA DE UM CONTROLADOR PID PARA O ROBOT A partir da denição de um mo delo para o pro esso, partiu-se para a sintonia iniial do 0 50 100 150 200 250 300 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 Vel. Medida Vel. Estimada (a) Motor 1 - roda dianteira 0 50 100 150 200 250 300 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 Vel. Medida Vel. Estimada (b) Motor 3 - ro da traseira Figura 10. Motores 1 e 3 do Rob ot. 0 50 100 150 200 250 300 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 Vel. Medida Vel. Estimada (a) Motor 2 - ro da lateral esquerda 0 50 100 150 200 250 300 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 Vel. Medida Vel. Estimada (b) Motor 4 - ro da lateral direita Figura 11. Motores 2 e 4 do Rob ot. ontrolador PID implementado no miro ontrolador do rob ot. Um ontrolador do tip o prop or- ional, integral e derivativo, geralmente denominado PID, p o de ser desrito onforme(Astrõm and Hãgglund, 1995), u(t) = Kc e(t) + 1 Ti t Z 0 e(τ)dτ +Td de(t) dt   (21) Considerando um sistema em malha fehada onforme a gura 12. A variável u(t) representa o sinal de ontrolo e a variável e(t) representa o sinal de erro( e(t) = yref(t)−y(t) ). O sinal de ontrolo é alulado p ela soma de três termos: o termo P(no qual é prop orional ao erro), o termo I (no qual é prop orional ao integral do erro) e o termo D(no qual é prop orional à derivada do erro). Os parâmetros de ontrolo são o ganho prop orional Kc , o temp o integral Ti e o temp o derivativo Td . Para a sintonia do ontrolador PID foi utilizado o pro edimento de p osiionar os p ólos em malha fehada do sistema baseado no protótip o de Bessel(Vaaro, 1995). Figura 12. Sistema ontínuo em malha fehada. O função de transferênia esolhida para o pro esso foi obtida através do estimador Variável Instrumental onforme a seção 4, G(z) = 0.00081538 (z−0.7051) =b1 z−a1 (22) desprezou-se o p ólo na origem da função de transferênia, p ois o mesmo deve-se ao atraso existente na omuniação entre o miro ontrolador e o PC do rob ot. Po de-se alular o equivalente ontínuo do pro esso da equação (22), G(s) = K τs + 1, usando a seguinte relação(Vaaro, 1995) K=b1 1 + a1 τ=1 |ps| pz =eT ps. Sendo ps o p ólo no plano S , e pz o p ólo no plano Z . Na equação (23) apresenta-se a função ontínua resultante, e na gura 13 uma resp osta ao degrau dos dois pro essos, disreto e ontínuo. G(s) = 0.002765 0.1145s+ 1 (23) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3x 10−3 tempo[seg] Amplitude Figura 13. Resp osta ao degrau do sistema disreto e ontínuo. A função de transferênia do ontrolador, onforme a equação (24) representa a equação de um ontrolador PI. Esolheu-se um ontrolador PI, eliminando-se a parela derivativa om Td = 0 , devido às araterístias do pro esso(primeira ordem). A ação integral Ti faz om que o sistema siga uma entrada de valor onstante om erro nulo em regime p ermanente. A ação prop orional Kc tem um impato imediato na rapidez de resp osta do sistema. Gc(s) = Kc(Tis + 1) Tis (24) A partir da função de transferênia do sistema em malha fehada, que resultou num sistema de segunda ordem e ap ós alguns testes om o rob ot, p osiionou-se os p ólos do ontrolador PI de forma a obter um temp o de estab eleimento em torno de 0.6seg para uma resp osta ao degrau, que representa uma b oa resp osta levando-se em onta as araterístias do rob ot. O sistema em malha ab erta GMA está desrito na equação(25), GMA(s) = Gc(s).G(s) = Kc(Tis + 1) Tis .K τs + 1 (25) Calulando o sistema em malha fehada om realimentação unitária de GMA(s) obtem-se, GMF (s) = KKc Tiτ+KKcs τ s2+(1+KKc)s τ+KKc Tiτ (26) Considerando a tab ela dos p olinómios de Bessel (Vaaro, 1995), para um sistema de segunda ordem om temp o de estab eleimento de 1seg os p ólos são p1s=−4.0530 ±j2.3400 . Para o temp o de estab eleimento desejado ( 0.6seg ), basta dividir p1s p or 0.6 , resultando em p ólos p0.6s=−6.7550± j3.9000 . Para obter os valores de Kc e Ti , basta igualar o p olinómio do denominador da GMF (s) om o p olinómio da equação (27), (s−p1)(s−p2) = s2−(p1 + p2)s+p1p2 (27) então, para obter Kc , −(p1+p2) = (1 + K∗Kc) τ Kc=−τ∗(p1+p2)−1 K (28) e para obter Ti , (p1p2) = KKc Tiτ Ti=KKc τp1p2 (29) A FT resultante é apresentada na equação(30) GMF (s) = 4.775s+ 0.3747 s2+ 13.51s+ 60.84 (30) Na equação (31) apresenta-se a função do ontrolador PI e na equação (32) o equivalente disreto invariante na resp osta ao degrau(ZOH-zero-order hold)(Franklin et al. , 1997), para uma taxa de amostragem de 10ms . Gc(s) = 197.68(0.07848s+ 1) 0.07848s (31) Gc(z) = 197.68(z−0.8726) (z−1) (32) Testou-se os parâmetros no ontrolador PI no rob ot, obtendo-se a resp osta da gura 14, veria-se que om 0.6seg atingiu-se a referênia, om uma resp osta transitória satisfatória. Para melhorar esta resp osta, intro duziu-se no sistema em malha fehada um ganho Feedforward ( f ), da entrada de referênia até a entrada do pro esso, onforme a gura 16. Este ganho não afeta a estabilidade do sistema, p ois não altera os p ólos em malha fehada. Entretanto, o ganho Feedforward melhora a resp osta transitória do sistema(Vaaro, 1995). Na gura 15 veria-se a melhora na resp osta transitória om f= 200 , este valor foi baseado em simulações. A entrada de referênia foi um degrau de amplitude 0.6(m/s) . Diferenças entre a simulação e as veloidades medidas são aeitáveis neste aso, tendo em onta a simpliidade do mo delo esolhido(primeira ordem) e as aproximaçõ es ometidas. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 Tempo[seg] Velocidade[m/s] Simulada Medida Figura 14. Sistema em malha fehada sem Feedforward . 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 Tempo[seg] Velocidade[m/s] Simulada Medida Figura 15. Sistema em malha fehada om Feedforward . Figura 16. Sistema ontínuo em malha fehada om Feedforward . 7. CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS Neste trabalho o ob jetivo prinipal foi a mo delização do pro esso motor + redução + eno der, onforme a gura 2, de um rob ot móvel. Usouse ténias baseadas em estimadores Mínimos Quadrados e sua variante Variável Instrumental para estimar o sistema. Com esta mo delização iniial foi p ossível realizar uma sintonia iniial no ontrolador PID do rob ot. Com os ontroladores PID sintonizados para os quatro motores do rob ot p o de-se partir para uma segunda etapa, que ab ordará a mo delização da dinâmia do rob ot onsiderando o mesmo omo um sistema multivariável englobando os pro essos mo delizados anteriormente. REFERÊNCIAS Astrõm, Karl J. and Tore Hãgglund (1995). PID ontrol lers : Theory, design, and tuning . International So iety for Measurement and Con. Carvalho, J.L. Martins De (1993). Dynamial Systems and Automati Control . Prentie Hall. Franklin, Gene F., J.David Powell and Mihael Workman (1997). Digital ontrol of dynami systems . Addison Weley Longman, In. Go o dwin, G. C. and R. L. Payne (1997). Dinami System Identiation . Aademi Press. Moreira, A. P. G. M., P. J. G. Costa and P. J. Lop es dos Santos (2002). Introdução à Identiação de Modelos Disretos p ara Sistemas Dinâmios . Seb enta FEUP. www.fe.up.pt/ amoreira. Vaaro, R. J. (1995). Digital Control - A State- Spae Approah . MGraw-Hill. FTs FTa FTb FT FTd grau 1 2 2 3 b1b2b1z+b2b2z+b3 z+a1z(z+a1) z(z+a1) z2(z+a1) ganho,zero, −5.73e−6 8.16e−4 7.58e−6(z+ 107.7) 8.12e−4(z−0.1077) p olo (z−0.7033) z(z−0.6827) z(z−0.6823) z2(z−0.7295) MSE(erro) 0.0034488 0.00036275 0.00036142 0.00036471 FTs FTe FTf grau 3 4 b1z2+b2z+b3b1z3+b2z2+b3z+b4 z(z2+a1z+a2) z(z3+a1z2+a2z+a3) ganho,zero, 6.25e−6(z+ 129.6)(z+ 0.2702) 5.28e−6(z+ 153.5)(z2+ 0.206z+ 0.053) p olo z(z−0.7541)(z+ 0.4024) z(z−0.6946)(z+ 0.457)(z−0.183) MSE(erro) 0.00035635 0.00032468 FTs FTg grau 5 b1z4+b2z3+b3z2+b4z+b5 z(z4+a1z3+a2z2+a3z+a4) ganho,zero, 5.6e−6(z+ 143.8)(z−0.1982)(z2+ 0.4159z+ 0.1107) p olo z(z−0.6526)(z−0.4272)(z2+ 0.6709z+ 0.1383) MSE(erro) 0.00031945 FTs FTh grau 6 b1z5+b2z4+b3z3+b4z2+b5z+b6 z(z5+a1z4+a2z3+a3z2+a4z+a5) ganho,zero, 9.50e−6(z+ 84.98)(z2 −0.6704z+ 0.2717)(z2+ 0.8872z+ 0.3613) p olo z(z−0.6577)(z2 −0.728z+ 0.2254)(z2+ 0.9745z+ 0.3502) MSE(erro) 0.00031737 Tab ela 3. Resultados da estimação para diferentes FTs om Mínimos Quadrados. Minimos Quadrados Motor 1 Motor 2 Motor 3 Motor 4 Dianteira Lateral esquerda Traseira Lateral direita b1 0.0008163 0.00044521 0.00075587 0.00037482 z(z+a1) z(z-0.6827) z(z-0.6425) z(z-0.677) z(z-0.7448) Variável Motor 1 Motor 2 Motor 3 Motor 4 Instrumental Dianteira Lateral esquerda Traseira Lateral direita b1 0.00081538 0.00044513 0.00075507 0.0003748 z(z+a1) z(z-0.7051) z (z-0.6734) z (z-0.6953) z (z-0.7565) Tab ela 4. Valores Estimados om Mínimos Quadrados e Variável Instrumental para to dos os Motores do Rob ot.