Análise Fatorial para Variáveis Ordinais
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ANÁLISE FATORIAL PARA VARIÁVEIS ORDINAIS Por Avelina Maria Moura Palhares Fernando Dissertação de Mestrado em Modelação, Análise de Dados e Sistemas de Apoio à Decisão Orientação: Professora Doutora Maria Paula Brito Faculdade de Economia Universidade do Porto 2014
Ao Paulo, porque o r é = 1 . . .
Nota biográca A autora nasceu a 26 de Julho de 1971 em Vila Nova de Gaia e é licenciada em Gestão de Negócios pelo Instituto de Estudos Superiores Financeiros e Fiscais. No decorrer da sua experiência prossional, desempenhou funções muito diferentes, em áreas também muito diversas. Essa experiência proporcionou-lhe uma visão transversal e integrada de organizações de sectores de atividade muito variados dos quais se destaca em primeiro lugar a indústria automóvel, transportes, metalomecânica, alimentar e abrasivos, entre outros, assim como o sector nanceiro e os serviços. Este conhecimento foi enriquecido por ter desempenhado nos últimos anos a função de Gestora de vários projetos de implementação de sistemas de informação (ERP) e de controlo de gestão. Neste momento integra a equipa multidisciplinar do departamento TI de uma empresa nacional, sediada em Aveiro, e que é um dos líderes europeus na produção de abrasivos exíveis. i
Agradecimentos Em primeiro lugar quero agradecer à Professora Doutora Paula Brito por ter aceite o desao de me orientar. O empenho, prossionalismo e entusiasmo com que apresentou as aulas de Análise de Dados durante a parte escolar do Mestrado foram preponderantes na escolha do tema e do orientador da minha dissertação. Estou muito grata pela extraordinária orientação e apoio, pelo rigor e encorajamento, pela atenção e simpatia que me dedicou durante as diferentes fases deste trabalho. Foi realmente um privilégio trabalhar sob a sua orientação. Agradeço à Professora Doutora Brigitte Le Roux por, antes da publicação do livro, ter disponibilizado uma cópia do capítulo sobre Análise das Correspondências com Duplicação de Variáveis. À Caxemira Lemos, o meu muito obrigada por ter permitido a utilização dos dados que recolheu para a sua dissertação. Por último, mas não por ser menos importante, agradeço ao Paulo pela presença sem reservas, pelo incentivo e compreensão nos momentos menos felizes, fundamentais ao longo de todo este percurso. Um enorme Obrigada por ter acreditado em mim e por ter estado Sempre ao meu lado, por isso lhe dedico este trabalho. ii
Resumo Nos estudos estatísticos, as variáveis podem ser classicadas como quantitativas ou qualitativas. Uma variável pode ser uma quantidade, como o número diário de assaltos numa cidade ou o rendimento (variável quantitativa), ou um atributo, como a cor da pele ou o grau de preferência (variável qualitativa). O segundo tipo assume categorias, modalidades ou níveis. No caso de não existir uma ordem das categorias, estamos perante uma variável nominal; caso contrário, se existir uma ordenação, a variável diz-se ordinal . A escala ordinal desta é uma escala de ordenação, designando uma posição relativa das categorias segundo uma determinada direção. A natureza deste tipo de variáveis levanta problemas especícos, nomeadamente a inexistência de um zero absoluto (categoria que indique ausência do atributo), o facto de se desconhecer a distância entre as diferentes categorias, a determinação do número e a denição das categorias e o risco de interpretações diversas sobre o signicado destas. As escalas ordinais são muito utilizadas numa grande variedade de domínios, como as Ciências Sociais, a Medicina, a Engenharia, a Economia, a Psicologia ou o Marketing. Destaca-se em particular o seu interesse na realização e análise de inquéritos. As caraterísticas destas variáveis têm portanto de ser tidas em conta no tratamento de dados, não devendo ser utilizadas as técnicas desenvolvidas para dados quantitativos. Tendo em vista a comparação dos resultados produzidos por diferentes métodos de análise multivariada propostos especicamente para este tipo de variáveis, são consideradas três formas principais de abordagem: técnicas de quanticação de categorias que permitem dispor de dados quantitativos para a realização de uma Análise em Componentes Principais (ACP) Linear; uma ACP Linear com recurso ao coeciente de correlação de Spearman (apropriado para dados ordinais); uma Análise em Componentes Principais Categórica (CATPCA), que procede ela própria à quanticação ótima das categorias e em simultâneo realiza uma ACP; uma Análise das Correspondências (AC) com Duplicação de Variáveis adequada para este tipo de dados; uma Análise das Correspondências iii
Múltiplas (ACM), que constitui uma generalização da Análise das Correspondências Simples. Os diferentes métodos são aplicados a dois conjuntos de dados resultantes de inquéritos de opinião, constituídos por variáveis qualitativas ordinais, analisando-se e comparando-se os resultados obtidos. Finalmente, verica-se que as conclusões extraídas são análogas em todas as abordagens, pelo que os dois exemplos de aplicação sugerem que a decisão sobre que método utilizar não exige grande ponderação. Palavras chave : Análise das correspondências; análise das correspondências múltiplas; análise em componentes principais; análise em componentes principais categórica; categoria; componente principal; correlação de Spearman; duplicação de variáveis; escala de medida; fator; inquérito aos hábitos de consumo; inquérito social europeu; quanticação de categorias; variável ordinal. iv
Abstract In statistical work, variables may be classied as quantitative or qualitative. A variable may be a quantity such as the daily number of thefts in a city or income (quantitative variable) or a characteristic, such as the skin colour or preference ranking (qualitative variable). The latter kind takes categories, qualities or levels. If there is no meaningful ordering of the categories, a variable is called nominal; otherwise, when such ordering exists, it is called ordinal. An ordinal scale ranks the categories according to a given direction and is therefore a ranking scale. The nature of this kind of variables raises specic problems, namely the absence of an absolute zero (a category that denotes the absence of the characteristic), the fact that the distance between the dierent categories is unkown, the determination of the number and the denition of the categories and the risk of divergent interpretation concerning their meaning. Ordinal scales are used in a wide range of areas such as Social Sciences, Medicine, Engineering, Economics, Psychology or Marketing, and their interest in the application and analysis of questionnaire data is especially important. The features of these variables have to be taken into account in data analysis and consequently the techniques developed for quantitative data should not be used. In order to compare the outcome of several methods of multivariate analysis, specically proposed for this kind of variables, three main approaches are considered: categoryscoring techniques that provide quantitative data which can be used in a Linear Principal Component Analysis (PCA); Linear PCA based on Spearman's correlation coef- cient (appropriate for ordinal data); Categorical PCA (CATPCA) that computes the categories' optimal scaling and simultaneously runs a PCA; Correspondence Analysis with Variable Doubling, appropriate for this kind of data; Multiple Correspondence Analysis (MCA), a generalization of the Simple Correspondence Analysis. The dierent methods are applied to two questionnaire datasets including ordinal qualitative variables and their results are analysed and compared. Since the conclusions v
drawn from all the approaches are similar, these two applied examples suggest that the decision on the most appropriate method does not require very careful weighing. Keywords : Categorical principal component analysis; category; category scoring; consumming habits survey; Correspondence analysis; European social survey; factor; measuring scale; Multiple correspondence analysis; ordinal variable; principal component; Principal component analysis; Spearman's correlation; variable doubling. vi
Conteúdo Nota biográca i Agradecimentos ii Resumo iii Abstract iv 1 Introdução 1 2 Quanticação das Categorias Através do Cálculo de Pontuações 9 2.1 Introdução.................................. 9 2.2 Métodos de Quanticação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Aplicações.................................. 12 2.3.1 Inquérito aos hábitos de consumo da população idosa . . . . . . 12 2.3.2 Inquérito social europeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Análise em Componentes Principais 21 3.1 Introdução.................................. 21 3.2 Análise em Componentes Principais Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.1 Aplicações.............................. 25 3.2.1.1 Inquérito aos hábitos de consumo da população idosa . 25 3.2.1.2 Inquérito social europeu . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Análise em Componentes Principais Linear com Coeciente de CorrelaçãoOrdinaldeSpearman.......................... 36 3.3.1 Aplicações.............................. 37 3.3.1.1 Inquérito aos hábitos de consumo da população idosa . 37 3.3.1.2 Inquérito social europeu . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 vii
C.5 Valores próprios e variância explicada CATPCA (ISE) . . . . . . . . 169 C.6 Coordenadas e qualidade da representação das variáveis CATPCA (ISE)170 D.1 Valores próprios e variância explicada AC Duplicação (IHCPI) . . . . 174 D.2 Coordenadas, contribuições e qualidade da representação das variáveis ACDuplicação(IHCPI) .......................... 175 D.3 Valores próprios e variância explicada AC Duplicação (ISE) . . . . . 183 D.4 Coordenadas, contribuições e qualidade da representação das variáveis ACDuplicação(ISE)............................ 184 xiv
Lista de Figuras 3.1 Círculo de Correlações Plano da 1 ª e 2 ª componentes principais ACP(IHCPI)................................ 29 3.2 Círculo de Correlações Plano da 2 ª e 3 ª componentes principais ACP(IHCPI)................................ 30 3.3 Círculo de Correlações Plano da 1 ª e 2 ª componentes principais ACP(ISE).................................. 34 3.4 Círculo de Correlações Plano da 3 ª e 4 ª componentes principais ACP(ISE).................................. 35 3.5 Círculo de Correlações Plano da 1 ª e 2 ª componentes principais CATPCA(IHCPI) ............................. 54 3.6 Círculo de Correlações Plano da 2 ª e 3 ª componentes principais CATPCA(IHCPI) ............................. 55 3.7 Círculo de Correlações Plano da 1 ª e 2 ª componentes principais CATPCA(ISE)............................... 58 3.8 Círculo de Correlações Plano da 3 ª e 4 ª componentes principais CATPCA(ISE)............................... 59 xv
4.1 Representação gráca das questões Plano do 1 º e 2 º fatores ACDuplicação(IHCPI) .......................... 73 4.2 Representação gráca das questões Plano do 1 º e 2 º fatores ACDuplicação(ISE)............................ 76 4.3 Representação gráca das questões Plano do 3 º e 4 º fatores ACDuplicação(ISE)............................ 77 xvi
Capítulo 1 Introdução As variáveis consideradas nos estudos estatísticos podem ser de diferentes tipos. Com efeito, elas assumem valores que têm determinadas caraterísticas de interesse e podem ser classicadas como qualitativas ou quantitativas , se apenas considerarmos a sua natureza. Uma variável pode ser uma quantidade, sobre a qual podem ser realizadas operações aritméticas, ou pode ser um atributo como a cor da pele, o estado civil, o grau de preferência ou a classe social. No primeiro caso, a variável é classicada como quantitativa e no segundo como qualitativa (Maroco, 2011). As variáveis quantitativas podem ser discretas ou contínuas. No caso das primeiras, o conjunto dos valores possíveis da variável é nito, como por exemplo o número de defeituosos num lote de 50 unidades de produto (que pode assumir valores no conjunto {0,1,2,...,50} ), ou innito numerável, como por exemplo o número diário de assaltos numa cidade (que pode assumir valores no conjunto {0,1,2,3, . . .} ). A segunda subclassicação ocorre nos casos em que a variável pode assumir valores num intervalo contínuo, pelo que o conjunto desses valores é innito não numerável. A variável idade, por exemplo, é uma variável contínua, se for medida com bastante precisão, pois um indivíduo pode apresentar 32.1023 anos de idade e dicilmente dois indivíduos terão idades iguais. As variáveis que não são quantitativas são classicadas como qualitativas . Os valores que estas podem assumir são normalmente chamados de categorias, modalidades ou níveis. No caso de não existir uma ordem das categorias, estamos perante uma variável nominal . Caso contrário, se existir uma ordenação, a variável diz-se ordinal. É importante salientar que tal ordenação é natural, conforme se verica por exemplo com a classe social ( baixa < média < alta ). Os valores associados a cada variável podem ser classicados em escalas de medida 1
que expressam a quantidade ou a qualidade dos dados. Assim, as variáveis quantitativas podem ser medidas numa escala intervalar ou de razão. Uma variável de escala intervalar , além de ordenar as unidades quanto à caraterística mensurada, possui uma unidade de medida constante, mas a origem (ponto zero) dessa escala é arbitrária. Os exemplos mais comuns da escala intervalar são as escalas Celsius e Fahrenheit , usadas para medir a temperatura, pois esta assume valores quantitativos e podemos armar que uma temperatura de 10 º C é inferior a uma temperatura de 20 º C mas, no entanto, não podemos armar que um valor num intervalo especíco da escala é múltiplo de outro, ou seja, não podemos dizer que um objeto à temperatura de 20 º C está duas vezes mais quente do que um a 10 º C. Este tipo de escala não possui uma medida de ausência do atributo (zero absoluto). A escala intervalar ordena os valores de acordo com o grau em que possuem um dado atributo e os intervalos ao longo da escala são iguais. Uma variável de escala de razão ordena as unidades quanto à caraterística mensurada, possui uma unidade de medida constante e uma origem, ou ponto zero, única. Existe uma relação exata entre os valores assumidos pela variável. O peso ou a altura são exemplos de escala de medida de razão. Podemos armar neste caso que um indivíduo que pese 100kg é duas vezes mais pesado do que um indivíduo que pese 50kg. Como a própria designação sugere, razões iguais entre valores da escala de razão correspondem a razões iguais entre as unidades mensuradas. As variáveis qualitativas ou categóricas utilizam uma escala de medida composta por um conjunto de categorias, podendo esta escala ser nominal (não pressupõe a ordenação das categorias) ou ordinal (as categorias encontram-se ordenadas), conforme já foi referido (Agresti, 2002). Uma variável de escala nominal classica as unidades em modalidades ou categorias quanto à caraterística que representa, não estabelecendo qualquer relação de grandeza ou ordem. É denominada nominal porque duas categorias quaisquer diferenciam-se apenas pelo nome. Exemplos deste tipo de variáveis e respetivas escalas (entre parêntesis) são: o estado civil (solteiro, casado, divorciado, união de facto, viúvo), tipo de música favorita (clássica, jazz, rock, outra) e o sexo (masculino ou feminino). Uma variável de escala ordinal classica as unidades em modalidades ou categorias quanto à caraterística que representa, estabelecendo uma relação de ordem entre as unidades pertencentes a categorias distintas, ou seja, pressupõe uma escala categórica ordenada. A escala ordinal é uma escala de ordenação, designando uma posição relativa das categorias segundo uma determinada direção. As escalas ordinais são muito usadas nas Ciências Sociais tendo em vista medir atitudes e opiniões como, por exemplo, a opinião sobre casamento entre pessoas do mesmo sexo (discordante, sem 2
opinião, concordante) ou a frequência de ida a espetáculos culturais (nunca, raramente, ocasionalmente, frequentemente). Na Medicina também são usadas com frequência para, por exemplo, descrever o tipo de dor (indolor, suave, intensa) e o grau de uma doença (I, II, III). São ainda extensíveis a áreas como as Ciências Comportamentais (por exemplo, categorização de tipos de doenças mentais: esquizofrenia, neurose e depressão), no Marketing (por exemplo, indicação da preferência sobre determinada marca de um produto: Marca A, Marca B ou Marca C), na Engenharia, em áreas como o controlo de qualidade, ou seja sempre que um item é classicado de acordo com determinadas categorias (Agresti, 2007). Em diversos campos, as escalas ordinais resultam ainda da sumarização dos possíveis valores de variáveis contínuas num conjunto de classes. Exemplos são o IMC (Índice de Massa Corporal) medido como <18.5, 18.5-24.9, 25-29.9, ≥ 30, para magreza, peso normal, excesso de peso, obeso, e a tensão arterial medida como <120, 120-139, 140-159, ≥ 160, para normal, pré-hipertensão, hipertensão de grau I, hipertensão de grau II. No caso das escalas ordinais, ao contrário das escalas intervalares, existe uma ordem clara das categorias, desconhecendo-se no entanto a distância absoluta entre as mesmas. No exemplo da dor medida nas categorias indolor, suave, intensa, estamos perante uma variável ordinal na medida em que a pessoa que refere uma dor suave sente mais dor do que a pessoa que indica indolor mas, no entanto, não temos referência a qualquer medida numérica que indique uma diferença entre estes dois níveis (Agresti, 2010). Em resumo, a mais simples e limitada das escalas é a escala nominal porque permite apenas a identicação das categorias. Em seguida, tem-se a escala ordinal, que permite ordenar os diferentes níveis das categorias. De maior alcance, tem-se a escala intervalar, que permite o posicionamento de valores em relação a um ponto arbitrário e nalmente, a mais poderosa de todas as escalas é a escala de razão, uma vez que permite a comparação de valores em termos absolutos. Existe ainda a possibilidade de dados que foram registados num determinado tipo de escala numérica serem transformados em dados de outro tipo de escala, desde que para esse efeito se respeite a hierarquia e os atributos básicos de cada uma. Assim, os dados de uma escala de razão podem ser transformados em dados intervalares, os intervalares podem ser transformados em ordinais e os ordinais podem ser transformados em nominais. Tais transformações envolvem, necessariamente, alguma perda de informação. A natureza das variáveis qualitativas ordinais levanta problemas especícos. Conforme referido anteriormente, uma escala ordinal mede atributos que se distinguem em grau ou intensidade, indica relações do tipo maior/menor do que e estabelece uma hierarquia entre as modalidades ou categorias, denindo um sentido de orientação. O 3
maior problema da escala ordinal está na impossibilidade desta comparar as variações de intensidade entre as suas diversas modalidades e essa limitação implica outras, nomeadamente o facto de se desconhecer a distância entre essas modalidades e a inexistência de um zero absoluto, ou seja, uma modalidade que indique ausência de todo o conteúdo inerente à grandeza medida pela escala. A própria denição da escala implica determinar a melhor solução para duas questões problemáticas: a escolha do número c de categorias e a determinação dos limites ou pontos de corte de cada uma das classes ou intervalos quando se pretende categorizar variáveis quantitativas. A controvérsia e o problema de mensuração das variáveis ordinais resume-se à diculdade em determinar a escala e à subjetividade inerente a esta (Kampen e Swyngedouw, 2000). Na elaboração de um inquérito, a semântica escolhida na denição das categorias para cada variável e o signicado atribuído por quem as dene pode não ser o mesmo de quem vai responder. A natureza destas variáveis apresenta portanto caraterísticas próprias que têm de ser consideradas no tratamento de dados, não devendo ser utilizadas as técnicas desenvolvidas para dados quantitativos. Tendo isso em conta, pretende-se efetuar uma análise multivariada de dados descritos por este tipo de variáveis, para o que irão ser consideradas três formas principais de abordagem: Cálculo de valores numéricos (quanticações) para as categorias, pela atribuição de números inteiros a estas ou através da utilização das frequências absolutas ou relativas das observações. Estes procedimentos permitem dispor de dados quantitativos que depois podem ser analisados com as técnicas apropriadas para dados deste tipo (Agresti, 2010; Bross, 1958; Leal e Maroco, 2010; Maroco, 2011), tal como será feito no capítulo seguinte. Análise em Componentes Principais (ACP) que permite resumir (condensar) a informação contida num conjunto de variáveis quantitativas intercorrelacionadas num conjunto menor de variáveis não correlacionadas, as componentes principais, perdendo o mínimo possível de informação (Lavado, 2004; Maroco, 2011; Rodrigues, 2007). Consideram-se três alternativas: a Análise em Componentes Principais Linear utilizando as quanticações obtidas no capítulo anterior para as categorias das variáveis, o recurso ao coeciente de correlação de Spearman, apropriado para variáveis ordinais (Maroco, 2011), e a Análise em Componentes Principais Categórica, que procede à quanticação das categorias e, em simultâneo, realiza a Análise em Componentes Principais pretendida (De Leeuw, 2005; Lavado, 2004; Linting et al. , 2007; Meulman, 1992; Meulman, Koiij e Heiser, 2004). 4
Análise das Correspondências (AC), cujo principal objetivo é o estudo das relações entre as categorias de variáveis qualitativas num espaço de menor dimensão de forma a identicar nesta dimensão a existência de padrões subjacentes (Benzécri, 1969, 1973; Escoer, 2003; Lebart, Morineau e Piron, 1995; Le Roux e Rouanet, 2010). Consideram-se duas variantes: a Análise das Correspondências Simples com Duplicação de Variáveis, desenvolvida para conseguir ter em conta a ordenação das categorias encontrada nas variáveis ordinais (Benzécri, 1973; Le Roux, 2014) e a Análise das Correspondências Múltiplas (ACM) por ser uma generalização da primeira e para comprovar que não é apropriada para este tipo de variáveis (Escoer e Pagès, 1998; Lebart, Morineau e Piron, 1995). Os diferentes métodos serão aplicados a dois conjuntos de dados ordinais: Inquérito de opinião sobre hábitos de consumo da população idosa (IHCPI) A fonte dos dados é Lemos (2013) e a respetiva base é composta por 133 indivíduos com mais de 60 anos dos concelhos de Lisboa e Matosinhos que foram inquiridos sobre as motivações pelas quais vão às compras, classicando o nível de importância de várias motivações de acordo com a escala Nenhuma, Pouca, Alguma, Bastante e Muita. A Tabela (1.1) apresenta o conjunto de questões que compõem a parte do questionário que irá ser utilizada. Tabela 1.1: Questionário sobre hábitos de consumo da população idosa (IHCPI) Vou às compras para: 1 Comprar algo novo para substituir algo antigo 2 Criar uma nova imagem para mim e para a minha casa 3 Sentir-me um pioneiro comprando produtos inovadores 4 Comprar com cautela, de modo a cumprir com as responsabilidades familiares 5 Conseguir encontrar uma verdadeira pechincha 6 Fazer comparações de modo a encontrar a melhor relação qualidade/preço 7 Negociar com o vendedor o preço de um produto 8 Obter um desconto num produto com defeito 9 Encontrar exatamente o que procuro 10 Encontrar o que procuro, no mínimo tempo possível 11 Ir às compras com pessoas com gostos semelhantes aos meus 12 Falar e trocar opiniões com o vendedor e outros clientes 13 Fazer da ida às compras um passeio com alguém conhecido 14 Ser atendido/a por um vendedor que procura agradar 15 Ter um funcionário a apresentar os produtos para a minha escolha 16 Ouvir música e ver animações alusivas a uma campanha do estabelecimento 17 Experimentar uma amostra de um produto ou passar pelo espaço de livraria 5
Inquérito social europeu (ISE) A fonte dos dados é o European Social Survey administrado em cerca de 30 países europeus em 2012 pela European Research Infrastructure (ERIC) com o objetivo de avaliar o sucesso dos países europeus na promoção do bem estar social dos seus cidadãos. Este inquérito abrange um conjunto muito variado de questões que incidem essencialmente sobre a avaliação e compreensão da democracia e do bem estar pessoal e social (http://www.europeansocialsurvey.org/). Desta base de dados, foram selecionadas 21 questões relativas aos valores humanos dos cidadãos e 77 indivíduos portugueses do sexo masculino, com idades compreendidas entre os 40 e os 45 anos. As questões incidem sobre o grau de semelhança com o respondente e utilizam uma escala ordinal de 6 categorias Exatamente como eu, Muito parecido comigo, Parecido comigo, Um bocadinho parecido comigo, Nada parecido comigo e Não tem nada a ver comigo. A Tabela (1.2) apresenta o conjunto de questões que compõem a parte do questionário que irá ser utilizada. Tabela 1.2: Questionário sobre valores humanos dos cidadãos portugueses (ISE) Indique em que medida as seguintes caraterísticas são parecidas consigo: 1Um homem que dá importância a ter novas ideias e ser criativo. Gosta de fazer as coisas à sua maneira. 2Um homem para quem é importante ser rico. Quer ter muito dinheiro e coisas caras. 3Um homem que acha importante que todas as pessoas no mundo sejam tratadas igualmente. Acredita que todos devem ter as mesmas oportunidades na vida. 4Um homem que dá muita importância a poder mostrar as suas capacidades. Quer que as pessoas admirem o que faz. 5Um homem que dá importância a viver num sítio onde se sinta seguro. Evita tudo o que possa por a sua segurança em risco. 6Um homem que gosta de surpresas e está sempre à procura de coisas novas para fazer. Acha que é importante fazer muitas coisas diferentes na vida. 6
Questionário sobre valores humanos dos cidadãos portugueses (ISE) (cont.) Indique em que medida as seguintes caraterísticas são parecidas consigo: 7 Um homem que acha que as pessoas devem fazer o que lhes mandam. Acha que as pessoas devem cumprir sempre as regras mesmo quando ninguém está a ver. 8 Um homem para quem é importante ouvir pessoas diferentes de si. Mesmo quando discorda de alguém continua a querer compreender essa pessoa. 9Um homem para quem é importante ser humilde e modesto. Tenta não chamar a atenção sobre si. 10 Um homem para quem é importante passar bons momentos. Gosta de tratar bem de si. 11 Um homem para quem é importante tomar as suas próprias decisões sobre o que faz. Gosta de ser livre e não estar dependente dos outros. 12 Um homem para quem é importante ajudar os que o rodeiam. Preocupa-se com o bem-estar dos outros. 13 Um homem para quem é importante ter sucesso. Gosta de receber o reconhecimento dos outros. 14 Um homem para quem é importante que o Governo garanta a sua segurança, contra todas as ameaças. Quer que o Estado seja forte, de modo a poder defender os cidadãos. 15 Um homem que procura a aventura e gosta de correr riscos. Quer ter uma vida emocionante. 7
Tabela 2.4: Quanticação das categorias Ordem média (IHCPI) Questão Nenhuma Pouca Alguma Bastante Muita 1 5.5 26.0 58.5 83.5 112.5 2 11.0 32.5 62.5 91.5 117.5 3 21.0 54.0 77.0 98.0 121.0 4 1.0 3.50 15.5 47.5 101.5 5 5.0 15.5 38.0 77.0 116.5 6 2.0 6.5 18.50 50.5 103.5 7 31.0 74.5 96.5 114.5 128.5 8 38.0 86.0 105.0 118.5 128.5 9 1.0 2.50 16.0 48.0 100.5 10 2.5 7.0 24.5 57.5 104.5 11 17.0 43.5 65.0 93.0 121.5 12 12.0 38.0 68.0 100.5 125.5 13 24.5 57.0 77.0 102.5 125.0 14 6.5 19.5 43.0 81.5 118.5 15 6.5 22.5 54.5 94.0 122.5 16 20.5 57.0 84.0 107.0 126.5 17 8.0 22.5 53.0 92.5 121.0 14
Tabela 2.5: Quanticação das categorias Quantis distribuição Normal Ridits (IHCPI) Questão Nenhuma Pouca Alguma Bastante Muita 1 -1.779 -0.872 -0.161 0.316 1.003 2 -1.412 -0.704 -0.085 0.480 1.173 3 -1.019 -0.248 0.190 0.622 1.317 4 -2.673 -2.004 -1.212 -0.376 0.704 5 -1.827 -1.212 -0.577 0.190 1.137 6 -2.281 -1.694 -1.102 -0.316 0.754 7 -0.741 0.142 0.588 1.068 1.779 8 -0.577 0.366 0.792 1.212 1.779 9 -2.673 -2.169 -1.192 -0.366 0.680 10 -2.169 -1.656 -0.914 -0.180 0.779 11 -1.155 -0.458 -0.038 0.511 1.339 12 -1.363 -0.577 0.019 0.680 1.554 13 -0.914 -0.190 0.190 0.729 1.523 14 -1.694 -1.068 -0.469 0.277 1.212 15 -1.694 -0.972 -0.238 0.533 1.387 16 -1.035 -0.190 0.326 0.844 1.620 17 -1.586 -0.972 -0.267 0.501 1.317 15
Tabela 2.6: Quanticação das categorias Quantis dist. Normal Ordem média (IHCPI) Questão Nenhuma Pouca Alguma Bastante Muita 1 -1.739 -0.863 -0.160 0.314 0.993 2 -1.391 -0.698 -0.084 0.476 1.159 3 -1.008 -0.246 0.188 0.617 1.299 4 -2.434 -1.941 -1.197 -0.373 0.698 5 -1.783 -1.197 -0.572 0.188 1.124 6 -2.172 -1.660 -1.089 -0.314 0.747 7 -0.734 0.141 0.583 1.056 1.739 8 -0.572 0.363 0.784 1.197 1.739 9 -2.434 -2.082 -1.178 -0.363 0.674 10 -2.082 -1.624 -0.905 -0.179 0.772 11 -1.141 -0.455 -0.037 0.507 1.321 12 -1.344 -0.572 0.019 0.674 1.527 13 -0.905 -0.188 0.188 0.722 1.497 14 -1.660 -1.056 -0.465 0.275 1.197 15 -1.660 -0.962 -0.236 0.529 1.367 16 -1.024 -0.188 0.324 0.836 1.590 17 -1.557 -0.962 -0.265 0.497 1.299 2.3.2 Inquérito social europeu Relembre-se que este conjunto de dados é constituído por um inquérito sobre os valores humanos dos cidadãos, classicando o grau de semelhança com o respondente a partir de uma escala ordinal de seis categorias Exatamente como eu, Muito parecido comigo, Parecido comigo, Um bocadinho parecido comigo, Nada parecido comigo e Não tem nada a ver comigo (Tabela 1.2). As quanticações das categorias pelos diferentes métodos são apresentadas nas tabelas seguintes. Tabela 2.7: Quanticação das categorias Números inteiros ordenados (ISE) Questão Exatamente como eu Muito parecido comigo Parecido comigo Um bocadinho parecido comigo Nada parecido comigo Não tem nada a ver comigo 1 a 21 1 2 3 4 5 6 16
Tabela 2.8: Quanticação das categorias Índice (ISE) Questão Exatamente como eu Muito parecido comigo Parecido comigo Um bocadinho parecido comigo Nada parecido comigo Não tem nada a ver comigo 1 a 21 0 20 40 60 80 100 Tabela 2.9: Quanticação das categorias Ridits (ISE) Questão Exatamente como eu Muito parecido comigo Parecido comigo Um bocadinho parecido comigo Nada parecido comigo Não tem nada a ver comigo 1 0.097 0.338 0.669 0.916 0.987 1.000 2 0.019 0.091 0.266 0.558 0.825 0.961 3 0.091 0.364 0.740 0.955 0.987 1.000 4 0.065 0.279 0.623 0.890 0.981 1.000 5 0.091 0.351 0.682 0.903 0.981 1.000 6 0.052 0.266 0.565 0.825 0.974 1.000 7 0.026 0.182 0.487 0.734 0.883 0.981 8 0.071 0.318 0.675 0.922 0.994 1.000 9 0.052 0.227 0.526 0.818 0.961 0.994 10 0.071 0.286 0.604 0.864 0.974 1.000 11 0.110 0.390 0.727 0.942 0.994 1.000 12 0.052 0.292 0.656 0.903 0.981 0.994 13 0.045 0.247 0.591 0.877 0.987 1.000 14 0.084 0.318 0.656 0.922 1.000 1.000 15 0.006 0.104 0.286 0.552 0.838 0.974 16 0.052 0.247 0.552 0.799 0.942 1.000 17 0.058 0.318 0.656 0.870 0.974 1.000 18 0.084 0.351 0.688 0.916 0.994 1.000 19 0.071 0.331 0.688 0.922 0.994 1.000 20 0.006 0.156 0.513 0.805 0.922 0.981 21 0.026 0.182 0.494 0.799 0.948 0.987 17
Tabela 2.10: Quanticação das categorias Ordem média (ISE) Questão Exatamente como eu Muito parecido comigo Parecido comigo Um bocadinho parecido comigo Nada parecido comigo Não tem nada a ver comigo 1 8.0 26.5 52.0 71.0 76.5 77.5 2 2.0 7.5 21.0 43.5 64.0 74.5 3 7.5 28.5 57.5 74.0 76.5 77.5 4 5.5 22.0 48.5 69.0 76.0 77.5 5 7.5 27.5 53.0 70.0 76.0 77.5 6 4.5 21.0 44.0 64.0 75.5 77.5 7 2.5 14.5 38.0 57.0 68.5 76.0 8 6.0 25.0 52.5 71.5 77.0 77.5 9 4.5 18.0 41.0 63.5 74.5 77.0 10 6.0 22.5 47.0 67.0 75.5 77.5 11 9.0 30.5 56.5 73.0 77.0 77.5 12 4.5 23.0 51.0 70.0 76.0 77.0 13 4.0 19.5 46.0 68.0 76.5 77.5 14 7.0 25.0 51.0 71.5 77.5 77.5 15 1.0 8.5 22.5 43.0 65.0 75.5 16 4.5 19.5 43.0 62.0 73.0 77.5 17 5.0 25.0 51.0 67.5 75.5 77.5 18 7.0 27.5 53.5 71.0 77.0 77.5 19 6.0 26.0 53.5 71.5 77.0 77.5 20 1.0 12.5 40.0 62.5 71.5 76.0 21 2.5 14.5 38.5 62.0 73.5 76.5 18
Tabela 2.11: Quanticação das categorias Quantis distribuição Normal Ridits (ISE) Questão Exatamente como eu Muito parecido comigo Parecido comigo Um bocadinho parecido comigo Nada parecido comigo Não tem nada a ver comigo 1 -1.296 -0.419 0.437 1.376 2.227 5.199 2 -2.065 -1.335 -0.624 0.147 0.933 1.763 3 -1.335 -0.349 0.644 1.691 2.227 5.199 4 -1.515 -0.585 0.314 1.224 2.065 5.199 5 -1.335 -0.384 0.473 1.296 2.065 5.199 6 -1.626 -0.624 0.163 0.933 1.944 5.199 7 -1.944 -0.908 -0.033 0.624 1.191 2.065 8 -1.465 -0.473 0.455 1.419 2.484 5.199 9 -1.626 -0.748 0.065 0.908 1.763 2.484 10 -1.465 -0.566 0.263 1.097 1.944 5.199 11 -1.224 -0.280 0.605 1.568 2.484 5.199 12 -1.626 -0.547 0.401 1.296 2.065 2.484 13 -1.691 -0.685 0.230 1.158 2.227 5.199 14 -1.376 -0.473 0.401 1.419 5.199 5.199 15 -2.484 -1.260 -0.566 0.131 0.985 1.944 16 -1.626 -0.685 0.131 0.837 1.568 5.199 17 -1.568 -0.473 0.401 1.127 1.944 5.199 18 -1.376 -0.384 0.491 1.376 2.484 5.199 19 -1.465 -0.437 0.491 1.419 2.484 5.199 20 -2.484 -1.012 0.033 0.860 1.419 2.065 21 -1.944 -0.908 -0.016 0.837 1.626 2.227 19
Tabela 2.12: Quanticação das categorias Quantis da dist. Normal Ordem média (ISE) Questão Exatamente como eu Muito parecido comigo Parecido comigo Um bocadinho parecido comigo Nada parecido comigo Não tem nada a ver comigo 1 -1.267 -0.413 0.431 1.342 2.070 2.489 2 -1.949 -1.304 -0.615 0.145 0.917 1.697 3 -1.304 -0.344 0.635 1.633 2.070 2.489 4 -1.472 -0.577 0.310 1.198 1.949 2.489 5 -1.304 -0.378 0.466 1.267 1.949 2.489 6 -1.574 -0.615 0.161 0.917 1.851 2.489 7 -1.851 -0.893 -0.032 0.615 1.166 1.949 8 -1.426 -0.466 0.448 1.383 2.232 2.489 9 -1.574 -0.736 0.064 0.893 1.697 2.232 10 -1.426 -0.558 0.260 1.076 1.851 2.489 11 -1.198 -0.277 0.596 1.521 2.232 2.489 12 -1.574 -0.539 0.396 1.267 1.949 2.232 13 -1.633 -0.674 0.227 1.135 2.070 2.489 14 -1.342 -0.466 0.396 1.383 2.489 2.489 15 -2.232 -1.232 -0.558 0.129 0.967 1.851 16 -1.574 -0.674 0.129 0.823 1.521 2.489 17 -1.521 -0.466 0.396 1.105 1.851 2.489 18 -1.342 -0.378 0.484 1.342 2.232 2.489 19 -1.426 -0.431 0.484 1.383 2.232 2.489 20 -2.232 -0.993 0.032 0.846 1.383 1.949 21 -1.851 -0.893 -0.016 0.823 1.574 2.070 20
Capítulo 3 Análise em Componentes Principais 3.1 Introdução A Análise em Componentes Principais (ACP) Linear é um método estatístico bastante utilizado quando se pretende analisar dados multivariados. Esta técnica permite transformar um conjunto de variáveis quantitativas intercorrelacionadas num novo conjunto de variáveis não correlacionadas, as componentes principais. O objetivo principal é então o de resumir (condensar) a informação contida no conjunto de variáveis originais num conjunto menor de variáveis perdendo o mínimo possível de informação. A ACP foi primeiramente introduzida por Pearson (1901) e foi desenvolvida por Hotelling (1933) para utilização em Psicometria. Após os anos 50 do século passado, surgiram vários desenvolvimentos (Gower, 1967; Jeers, 1967; Rao, 1964) e o aparecimento dos computadores veio facilitar a aplicação prática deste método. Neste capítulo, começa por se descrever a ACP, procedendo-se à sua aplicação aos dois conjuntos de dados já referidos, utilizando as quanticações obtidas no capítulo anterior. Em seguida, efetua-se uma nova ACP com os mesmos dados, desta vez recorrendo ao coeciente de correlação de Spearman, apropriado para variáveis ordinais. Por m, introduz-se a ACP categórica (CATPCA) que procede à quanticação das categorias e, em simultâneo, realiza a Análise em Componentes Principais; este método é também aplicado aos mesmos conjuntos de dados. 21
3.2 Análise em Componentes Principais Linear Sendo X1, X2, . . . , Xp as p variáveis originais observadas para n indivíduos, representase por X a matriz de dados de dimensão (n×p) . A ACP substitui aquelas variáveis por um conjunto de p novas variáveis não correlacionadas entre si Y1, Y2, . . . , Yp , designadas componentes principais, e que são combinações lineares das variáveis originais: Y1=γ11X1+γ12X2+. . . +γ1pXp Y2=γ21X1+γ22X2+. . . +γ2pXp (3.1) . . .. . .. . . Yp=γp1X1+γp2X2+. . . +γppXp onde γhj é o peso da variável j na componente principal h(h, j = 1, . . . , p) e γh= γh1 γh2 . . . γhp . Dispondo de n indivíduos, a h -ésima (h= 1, . . . , p) componente principal é yh= y1h y2h . . . ynh . As componentes principais explicam a variância total das variáveis originais de forma repartida e ordenada (Rodrigues, 2007), ou seja, a primeira componente explica mais variância do que a segunda (ou seja, tem variância máxima), a segunda mais do que a terceira (ou seja, maximiza a parte da variância restante) e assim sucessivamente: Var (Y1)≥ Var (Y2)≥. . . ≥ Var (Yp). Impõe-se ainda a restrição de normalização γ0 hγh= p P j=1 γ2 hj = 1 (h= 1, . . . , p), que assegura que as combinações lineares (3.1) sejam únicas. Além disso, as componentes 22
principais têm média nula e não são correlacionadas entre si (ou seja, são ortogonais), isto é, Cov (Yh1, Yh2) = 0 (h1, h2= 1, . . . , p;h16=h2) , o que implica, em termos dos parâmetros das combinações lineares (3.1), que γ0 h1γh2=γh11γh21+. . . +γh1pγh2p= 0 . Sendo [X1X2. . . Xp]0 o vetor das variáveis originais, a sua matriz de variâncias e covariâncias é representada por Σ . Tal como foi referido acima, pretende-se que a primeira componente principal tenha variância máxima, ou seja, pretende-se que Var (Y1) = γ0 1Σγ1 seja máxima, sujeita à restrição γ0 1γ1= 1 . A segunda componente é calculada de modo idêntico, ou seja, escolhe-se o vetor γ2 tal que Var (Y2) = γ0 2Σγ2 seja máxima sujeita às restrições de normalização γ0 2γ2= 1 e de ortogonalidade relativamente à primeira componente Y1 , dada por γ0 1γ2= 0 ou, de forma equivalente, por Cov (Y1, Y2) = γ0 1Σγ2= 0 . Este processo é repetido até à obtenção de todas as p componentes, não correlacionadas entre si (ortogonais) e com variância decrescente, como foi referido inicialmente. Para efetuar este cálculo, note-se em primeiro lugar que se está perante um problema de maximização que consiste em determinar o vetor dos pesos γ que maximiza γ0Σγ sujeito à restrição γ0γ= 1 . A solução deste problema pode ser obtida por recurso ao método dos multiplicadores de Lagrange (Maroco, 2011; Sharma, 1996) para (Σ−λI)γ=0 sujeito à restrição γ0γ= 1 onde λ é o multiplicador de Lagrange, I é a matriz identidade de dimensão (p×p) e 0 é o vetor nulo de p elementos. A solução deste sistema de equações é obtida a partir da condição Σ−λI= 0 , onde Σ−λI é o determinante da matriz (Σ−λI) . Esta equação pode ainda ser escrita na forma k1λp+k2λp−1+. . .+kpλ+kp+1 = 0 e possui p raízes λ1≥ λ2≥. . . ≥λp que são os valores próprios da matriz Σ. Sendo λ1 o primeiro valor próprio, o vetor próprio correspondente γ1 (primeiro vetor próprio da matriz Σ ) obtém-se através do sistema (Σ−λ1I)γ1=0 com γ0 1γ1= 1 , de que resulta γ0 1Σγ1=λ1. Concluise portanto que a primeira componente principal Y1 é denida pelo primeiro vetor próprio da matriz Σ e a sua variância é, conforme foi referido anteriormente, Var (Y1) = γ0 1Σγ1=λ1. Após a obtenção da primeira componente, passa-se à determinação da segunda por um processo semelhante com a restrição adicional, já indicada acima, da ortogonalidade em relação à primeira. Assim, sendo λ2 o segundo valor próprio, o vetor próprio correspondente γ2 obtém-se a partir do sistema (Σ−λ2I)γ2=0 com γ0 2γ2= 1 e γ0 1γ2= 0 , de que resulta γ0 2Σγ2=λ2. A segunda componente principal é então denida pelo segundo vetor próprio γ2 e a sua variância é Var (Y2) = γ0 2Σγ2=λ2 . O cálculo das 23
A Figura 3.2 mostra o círculo de correlações para o método Números Inteiros Ordenados (Método 1), no plano da segunda e da terceira componentes principais. Nesta última, destacam-se as questões 7 e 8 de acordo com a análise efetuada. Figura 3.2: Círculo de Correlações Plano da 2 ª e 3 ª componentes principais ACP (IHCPI) Na quarta e na quinta componentes, verica-se que não existe nenhuma questão que se destaque individualmente, pois os coecientes de correlação são todos baixos (em valor absoluto), o que conduz também a uma qualidade da representação das questões muito fraca (os r2 são muito inferiores a 0.5 ), podendo distorcer a análise. Além disso, a quase totalidade das questões com maior coeciente de correlação (em valor absoluto) já foi considerada na análise das componentes anteriores ou poderia tê-lo sido, pelo que conduziria às mesmas conclusões. Consequentemente, a quarta e a quinta componentes não iriam acrescentar nada de novo nem de relevante ao que já foi concluído a partir das anteriores, pelo que se torna desnecessário detalhar a sua análise aqui (é de referir que as três primeiras componentes analisadas com pormenor explicam no seu conjunto cerca de 55% da variância total em todos os métodos). 30
3.2.1.2 Inquérito social europeu À semelhança do conjunto de dados anterior (Inquérito aos hábitos de consumo da população idosa), as soluções obtidas e as questões selecionadas para a análise de cada componente são as mesmas em todos os métodos. Com efeito, as correlações entre as questões, os valores próprios e as respetivas percentagens da variância explicada são novamente quase iguais ou mesmo coincidentes em todas as soluções, assim como as coordenadas das questões nas componentes principais. Consequentemente, as conclusões extraídas são também as mesmas, pelo que serão novamente apresentadas apenas uma vez. No caso particular do método da atribuição de números inteiros ordenados às categorias (método 1) e do cálculo de um índice (método 2) os resultados são mesmo coincidentes, pelo que são apresentados em conjunto (Apêndice A). As matrizes de correlações de Pearson entre as variáveis quanticadas (Tabelas A.16, A.19, A.22, A.25 e A.28) mostram a existência de muitas correlações moderadas, o que indica ser adequado efetuar uma ACP com estes quadros de dados. Assim, realizou-se uma ACP normada (dados estandardizados), sendo necessário em primeiro lugar determinar o número de componentes a reter (Tabelas A.17, A.20, A.23, A.26 e A.29). O critério de Kaiser indica uma solução com seis componentes principais, o critério de Pearson indica uma solução com dez componentes principais e o critério de Cattel indica uma solução com seis ou sete componentes principais. Uma vez que o segundo critério (Pearson) conduz a um número muito elevado de componentes (relembre-se que o inquérito tem 21 questões), optou-se por reter seis componentes principais, seguindo os outros dois critérios. Tabela 3.5: Percentagem da variância total explicada pelas duas soluções ACP (ISE) 6 Componentes 10 Componentes Métodos 1 e 2 66.68% 81.66% Método 3 66.00% 81.00% Método 4 66.00% 81.00% Método 5 66.40% 81.40% Método 6 66.40% 81.40% Para a análise da primeira componente principal, selecionaram-se as questões indicadas na Tabela 3.6, extraída das Tabelas A.18, A.21, A.24, A.27 e A.30, uma vez que são as que apresentam um coeciente de correlação elevado (em valor absoluto) com esta componente principal. A qualidade de representação destas questões é razoável ou 31
boa (o quadrado do coeciente de correlação é inferior a 0.5 para algumas destas questões mas, como se encontra próximo deste valor, optou-se por considerá-las na análise desta componente). Tabela 3.6: Questões a reter 1 ª componente principal ACP (ISE) Métodos 1 e 2 Método 3 Método 4 Método 5 Método 6 Questões r r2r r2r r2r r2r r2 Q5 0.68 0.46 0.68 0.46 0.68 0.46 0.68 0.46 0.68 0.46 Q6 0.67 0.45 0.65 0.43 0.65 0.43 0.67 0.45 0.67 0.45 Q10 0.73 0.54 0.73 0.53 0.73 0.53 0.73 0.54 0.73 0.54 Q11 0.63 0.39 0.64 0.41 0.64 0.41 0.63 0.40 0.63 0.40 Q13 0.67 0.45 0.65 0.42 0.65 0.42 0.67 0.45 0.67 0.45 Q17 0.63 0.39 0.65 0.43 0.65 0.43 0.64 0.41 0.64 0.41 Q18 0.68 0.46 0.68 0.46 0.68 0.46 0.68 0.46 0.68 0.46 Assim, conclui-se que a primeira componente principal opõe os homens que se sentem mais parecidos aos que se sentem menos parecidos com as caraterísticas Um homem que dá importância a viver num sítio onde se sinta seguro. Evita tudo o que possa por a sua segurança em risco. (questão 5), Um homem que gosta de surpresas e está sempre à procura de coisas novas para fazer. Acha que é importante fazer muitas coisas diferentes na vida. (questão 6), Um homem para quem é importante passar bons momentos. Gosta de tratar bem de si. (questão 10), Um homem para quem é importante tomar as suas próprias decisões sobre o que faz. Gosta de ser livre e não estar dependente dos outros. (questão 11), Um homem para quem é importante ter sucesso. Gosta de receber o reconhecimento dos outros. (questão 13), Um homem para quem é importante que os outros lhe tenham respeito. Quer que as pessoas façam o que ele diz. (questão 17) e Um homem para quem é importante ser leal para com os amigos. Dedica-se às pessoas que lhe são próximas. (questão 18). Portanto, esta componente dene um perl de homens para quem é importante sentir segurança a nível ambiental, pessoal e social, associada à lealdade e dedicação aos amigos e pessoas próximas, e ao mesmo tempo tem gosto pelo risco, pela autonomia e liberdade, valoriza a diversidade, o prazer, o sucesso, o reconhecimento e o respeito dos outros. A segurança proporciona estabilidade e autoconança o que por sua vez lhe permite lançar-se a novos desaos, atingir o sucesso, o reconhecimento e o respeito, conseguindo ser dominante. Em conclusão, esta componente carateriza os homens que 32
têm um perl arrojado assente numa base de estabilidade pessoal e social. Para a análise da segunda componente principal, selecionaram-se as questões Um homem para quem é importante ser rico. Quer ter muito dinheiro e coisas caras. (questão 2) e Um homem para quem é importante ser humilde e modesto. Tenta não chamar a atenção sobre si. (questão 9), pois são as únicas cujos coecientes de correlação com esta componente principal se destacam (todas as restantes questões apresentam coecientes de correlação baixos em valor absoluto), apresentando por isso uma qualidade da representação aceitável (Tabela 3.7, também extraída das Tabelas A.18, A.21, A.24, A.27 e A.30). Tabela 3.7: Questões a reter 2 ª componente principal ACP (ISE) Métodos 1 e 2 Método 3 Método 4 Método 5 Método 6 Questões r r2r r2r r2r r2r r2 Q2 -0.63 0.40 -0.59 0.35 -0.59 0.35 -0.63 0.40 -0.63 0.40 Q9 0.71 0.50 0.65 0.42 0.65 0.42 0.70 0.49 0.69 0.48 Logo, conclui-se que a segunda componente principal opõe os homens que se sentem mais parecidos com a caraterística Um homem para quem é importante ser rico. Quer ter muito dinheiro e coisas caras. (questão 2) e menos parecidos com Um homem para quem é importante ser humilde e modesto. Tenta não chamar a atenção sobre si. (questão 9) aos que têm um perl oposto, ou seja, podemos armar que a segunda componente principal opõe os homens que valorizam a riqueza e ostentação aos que, pelo contrário, são modestos e pretendem uma vida mais humilde e reservada. Para ilustrar estas conclusões, a Figura 3.3 mostra o círculo de correlações para o método Números Inteiros Ordenados (Método 1) e, tal como no conjunto de dados anterior, esta representação é quase idêntica para os restantes métodos. Relativamente à primeira componente principal, observa-se que as questões selecionadas têm coordenadas positivas elevadas (lado direito da componente), mostrando a associação entre elas. Na segunda componente, o gráco evidencia que se destacam as questões 2 e 9 e que estas estão em oposição, pois as suas coordenadas têm sinais contrários. 33
Figura 3.3: Círculo de Correlações Plano da 1 ª e 2 ª componentes principais ACP (ISE) Relativamente à terceira componente principal, selecionou-se apenas a questão Um homem que acha que as pessoas devem fazer o que lhes mandam. Acha que as pessoas devem cumprir sempre as regras mesmo quando ninguém está a ver. (questão 7) (Tabela 3.8, também extraída das Tabelas A.18, A.21, A.24, A.27 e A.30). Tabela 3.8: Questões a reter 3 ª componente principal ACP (ISE) Métodos 1 e 2 Método 3 Método 4 Método 5 Método 6 Questões r r2r r2r r2r r2r r2 Q7 0.75 0.57 -0.71 0.50 -0.71 0.50 -0.73 0.53 -0.73 0.53 Logo, conclui-se que a terceira componente principal opõe os homens que se sentem mais parecidos aos que se sentem menos parecidos com esta caraterística, ou seja, podemos armar que a terceira componente principal carateriza os homens que valorizam o cumprimento das regras de cidadania (elevado grau de civismo). Para a quarta componente principal, selecionou-se apenas a questão Um homem que dá importância à tradição. Faz tudo o que pode para agir de acordo com a sua 34
religião e a sua família. (questão 20) (Tabela 3.9, também extraída das Tabelas A.18, A.21, A.24, A.27 e A.30). Tabela 3.9: Questões a reter 4 ª componente principal ACP (ISE) Métodos 1 e 2 Método 3 Método 4 Método 5 Método 6 Questões r r2r r2r r2r r2r r2 Q20 0.78 0.61 0.83 0.68 0.83 0.68 0.81 0.66 0.81 0.66 Logo, conclui-se que a quarta componente principal opõe os homens que se sentem mais parecidos aos que se sentem menos parecidos com esta caraterística, ou seja, podemos armar que a quarta componente principal carateriza os homens mais tradicionalistas para quem os valores como a família e religião são de extrema importância. A Figura 3.4 mostra o círculo de correlações para o método Números Inteiros Ordenados (Método 1), no plano da terceira e da quarta componentes principais, onde se destacam apenas as questões 7 e 20 respetivamente, de acordo com as conclusões anteriores. Figura 3.4: Círculo de Correlações Plano da 3 ª e 4 ª componentes principais ACP (ISE) 35
Por m, não se apresenta a análise da quinta e da sexta componentes pelos mesmos motivos referidos relativamente à quarta e quinta componentes do conjunto de dados anterior (as quatro primeiras componentes em conjunto explicam cerca de 56% da variância total em todos os métodos). 3.3 Análise em Componentes Principais Linear com Coeciente de Correlação Ordinal de Spearman Uma vez que a utilização das correlações de Pearson não é correta para variáveis ordinais, uma solução alternativa simples consiste em recorrer ao coeciente de correlação ordinal de Spearman, representado por RS . Com efeito, este é adequado para variáveis ordinais, adaptando-se por isso a este problema, permitindo então efetuar uma Análise em Componentes Principais Linear sobre a matriz de correlações de Spearman, tal como se faz com as correlações de Pearson. Este coeciente de correlação é uma medida de associação não paramétrica entre duas variáveis qualitativas ordinais ou quantitativas (Maroco, 2011; Desu e Raghavarao, 2004). Para o seu cálculo, começa por se ordenar separadamente as observações de cada uma das variáveis e o coeciente é calculado aplicando a expressão do coeciente de correlação de Pearson às ordens atribuídas e não aos valores originais das variáveis: RS= n P i=1 (rxi−rx) (ryi−ry) rn P i=1 (rxi−rx)2n P i=1 (ryi−ry)2 = 1 − 6 n P i=1 d2 i n3−n onde rx e ry representam as ordens das observações das variáveis X e Y respetivamente, n é a dimensão da amostra e di= (rxi−ryi), i = 1, . . . , n . As propriedades deste coeciente são: −1≤RS≤1 : se RS=−1 , existe uma correlação perfeita ou máxima de sentido inverso entre as variáveis; se RS= 1 , existe uma correlação perfeita ou máxima no mesmo sentido (quando a ordenação das duas variáveis é a mesma); se RS= 0 , as variáveis não estão associadas. RS é invariante a transformações lineares das variáveis. RS(x, y) = RS(y, x) . 36
3.3.1 Aplicações Procede-se agora à realização de uma Análise em Componentes Principais com o coe- ciente de correlação ordinal de Spearman (cujos resultados completos se encontram no Apêndice B) para os dois conjuntos de dados. 3.3.1.1 Inquérito aos hábitos de consumo da população idosa A matriz de correlações de Spearman (Tabela B.1) mostra a existência de muitas correlações moderadas e algumas elevadas, o que indica ser adequado efetuar uma ACP com este quadro de dados. Assim, realizou-se uma ACP normada (dados estandardizados) sobre a matriz de correlações de Spearman, vericando-se em primeiro lugar que os resultados (correlações entre as questões, valores próprios, respetivas percentagens da variância explicada e coordenadas das questões nas componentes principais) são quase coincidentes com os obtidos na ACP Linear a partir da quanticação das categorias (método anterior), pelo que as conclusões são as mesmas. Com efeito, a Tabela B.2 (Apêndice B) conduz novamente a optar pela solução com cinco componentes, pelos mesmos motivos da ACP Linear anterior. Por sua vez, as questões selecionadas para a análise das três primeiras componentes principais são também as mesmas, conforme pode ser observado nas Tabelas 3.10, 3.11 e 3.12 respetivamente, extraídas da Tabela B.3 (Apêndice B). Consequentemente, as conclusões mantêm-se, pelo que não serão repetidas aqui (assim como as representações do círculo de correlações). Não se apresenta também a análise da quarta e da quinta componentes, tal como na ACP Linear anterior, pelos mesmos motivos (as três primeiras componentes analisadas com pormenor explicam no seu conjunto 55.4% da variância total). Em resumo, as conclusões destas duas abordagens (ACP Linear a partir da quanti- cação das categorias e ACP Linear com os dados originais e recurso à correlação ordinal de Spearman) são coincidentes para este conjunto de dados. 37
Tabela 3.10: Questões a reter 1 ª componente principal ACP Spearman (IHCPI) Questões r r2 Q1 0.73 0.53 Q2 0.72 0.52 Q3 0.73 0.54 Q5 0.67 0.45 Q12 0.69 0.47 Q16 0.62 0.38 Q17 0.66 0.43 Tabela 3.11: Questões a reter 2 ª componente principal ACP Spearman (IHCPI) Questões r r2 Q9 0.66 0.44 Tabela 3.12: Questões a reter 3 ª componente principal ACP Spearman (IHCPI) Questões r r2 Q7 0.66 0.44 Q8 0.66 0.43 3.3.1.2 Inquérito social europeu A matriz de correlações de Spearman (Tabela B.4) mostra a existência de muitas correlações moderadas, o que indica ser adequado efetuar uma ACP com este quadro de dados. Assim, realizou-se uma ACP normada (dados estandardizados) sobre a matriz de correlações de Spearman, vericando-se, à semelhança do que se observou com o conjunto de dados anterior, que os resultados (correlações entre as questões, valores próprios, respetivas percentagens da variância explicada e coordenadas das questões nas componentes principais) estão muito próximos dos obtidos na ACP Linear a partir da quanticação das categorias (método anterior), pelo que as conclusões são as mesmas. Com efeito, a Tabela B.5 (Apêndice B) conduz novamente a optar pela solução com seis componentes, pelos mesmos motivos da ACP Linear anterior. 38
Por sua vez, as questões selecionadas para a análise das quatro primeiras componentes principais são também as mesmas, conforme pode ser observado nas Tabelas 3.13, 3.14, 3.15 e 3.16 respetivamente, extraídas da Tabela B.6 (Apêndice B). Consequentemente, as conclusões mantêm-se, pelo que não serão repetidas aqui. Não se apresenta também a análise da quinta e da sexta componentes, tal como na ACP Linear anterior, pelos mesmos motivos (as quatro primeiras componentes analisadas com pormenor explicam no seu conjunto 55.6% da variância total). Em resumo, as conclusões destas duas abordagens (ACP Linear a partir da quanti- cação das categorias e ACP Linear com os dados originais e recurso à correlação ordinal de Spearman) são novamente coincidentes. Tabela 3.13: Questões a reter 1 ª componente principal ACP Spearman (ISE) Questões r r2 Q5 0.68 0.46 Q6 0.66 0.43 Q10 0.73 0.53 Q11 0.64 0.41 Q13 0.65 0.42 Q17 0.65 0.43 Q18 0.68 0.46 Tabela 3.14: Questões a reter 2 ª componente principal ACP Spearman (ISE) Questões r r2 Q2 0.59 0.35 Q9 -0.65 0.42 Tabela 3.15: Questões a reter 3 ª componente principal ACP Spearman (ISE) Questões r r2 Q7 0.71 0.50 39
I[2] 3(x) = x2−4x+4 24 2≤x < 5 −x2+20x−75 40 5≤x < 10 0 caso contrário I[2] 4(x) = x2−10x+25 25 5≤x < 10 0 caso contrário. Os I-splines têm as seguintes propriedades: 0≤I[k] i(x)≤1∀x ; I[k] i(x) é monótona não decrescente; I[k] i(x) = 0 para x≤ti ; 0< I (x)<1 se x∈]ti, ti+k[ ; I[k] i(x) = 1 para x≥ti+k . Finalmente, sendo s(x) = d X i=1 δiI[k] i(x), (3.8) se os coecientes δi forem não negativos, então s(x) é um s pline não decrescente de grau k . Se d P i=1 δi= 1 e δi≥0∀i, então s(b) = 1. 3.4.2 Escalonamento Ótimo ( Optimal Scaling ) Quando se codica uma variável não-numérica com recurso aos números naturais e se utiliza a Análise em Componentes Principais Linear, admite-se que a análise das variáveis ordinais é efetuada como se as variáveis fossem numéricas. Trata-se pois de uma forma empírica e primitiva de tratar as variáveis qualitativas, quanticando a priori as suas categorias e recorrendo aos métodos pensados para as variáveis numéricas. O processo de transformação de uma categoria num número designa-se por quanticação. A ideia fundamental da CATPCA é determinar a quanticação ótima de cada categoria tendo em vista a otimização de um determinado critério (Maroco, 2011; Meulman, 46
1992), sendo este a minimização de uma função perda (De Leeuw, 2005; De Leeuw e Van Rijckevorsel, 1988; Gi, 1990; Lavado, 2004; Linting et al. , 2007; Meulman, Koiij e Heiser, 2004). Esta mede a perda de informação resultante da representação das variáveis originais por um pequeno número de componentes (as componentes principais). Ao contrário das variáveis originais, as quanticações numéricas obtidas possuem propriedades métricas. De um modo geral, os valores numéricos atribuídos a cada uma das categorias são obtidos com recurso ao método iterativo dos mínimos quadrados alternados. Conforme denido anteriormente, X é a matriz de dados de dimensão (n×p) , o que signica que se dispõe de n indivíduos e p variáveis qualitativas ordinais, em que a variável Xj assume um número de cj categorias (j= 1, . . . , p) ; os vetores xj , colunas da matriz X , representam as observações da variável Xj para todos os indivíduos. Representa-se por φj uma transformação aplicada à variável Xj , por φ o vetor de p P j=1 cj elementos com as p transformações e por y um vetor n -dimensional, y∈Rn. Começaremos por apresentar o caso mais simples de extração de uma única componente principal (solução unidimensional), para mais fácil compreensão do procedimento adotado, seguindo-se a descrição do caso geral de extração de um qualquer número de componentes. Assim, a função perda no caso unidimensional é σ(y, φ) = 1 p p X j=1 SQ (y−φj(xj)) (3.9) onde SQ (A) é a soma dos quadrados de todos os elementos de uma qualquer matriz A . Pretende-se determinar o par (y, φ) que minimize σ sob a restrição y0y= 1 (esta restrição é necessária para garantir uma solução não trivial, que é aquela em que os vetores obtidos são nulos). Para esse par, os valores de y designam-se por scores e φ é a quanticação ótima. Assim, a função perda quantica a perda de informação inerente à substituição do conjunto das variáveis transformadas φj(xj) (j= 1, . . . , p) pela variável y através da média do quadrado da distância Euclideana entre estas. As transformações φj consideradas são splines de ordem k gerados por d I-splines φj(xj) = d X i=1 δiI[k] i(xj). (3.10) Rera-se que, no caso da ACP Linear (para variáveis quantitativas), as transformações 47
φj são lineares, isto é, φj(xj) = γjxj , o que signica que todos os valores da variável Xj são multiplicados pelo mesmo escalar γj∈R designado por peso da variável. Este tipo de transformação equivale a considerar um spline de grau 1, sem nós interiores, resultando num polinómio de grau 1. Conclui-se por isso que é possível realizar uma ACP Linear através da minimização da função perda em alternativa à abordagem mais habitual da maximização da variância explicada, conforme foi descrita na introdução deste capítulo (a ACP Linear é portanto um caso particular da ACP Não Linear). A minimização da função perda (3.9) é feita recorrendo a um algoritmo iterativo baseado no método dos mínimos quadrados alternados. Quando o algoritmo converge, obtém-se a solução ótima (mínimo da função perda) para a quanticação φj das categorias (j= 1, . . . , p) e para os scores y dos indivíduos, ou seja, determinam-se os seus valores ótimos pelos mínimos quadrados. O algoritmo dos mínimos quadrados alternados é designado desta forma porque alterna entre os dois passos seguintes: minimização da função perda em ordem a y para φ xo; minimização da função perda em ordem a φ para y xo. Este algoritmo processa-se segundo as iterações seguintes (Gi, 1990; Lavado, 2004; Linting et al. , 2007): 1. Inicialização: (a) y é gerado de forma aleatória; (b) y é normalizado e centrado, representando-se por ˜ y; (c) φ é determinado pela média dos scores ˜y dos indivíduos em cada categoria, representando-se por ˜ φ. 2. Atualização dos scores dos indivíduos: ˜ y é atualizado com a média das quanticações das categorias de cada indivíduo e representa-se por y + . 3. Normalização: y + passa a ter norma unitária. 4. Atualização das quanticações das categorias: ˜ φ é atualizado pela repetição de 1(c) com y + e representa-se por φ+. 48
5. Critério de convergência: (a) Se σ˜y,˜ φ−σ(y + , φ+)≤ε, para ε > 0 (innitesimal) previamente especi- cado, então (y + , φ+) é a solução; (b) Caso contrário, repetem-se os passos 2 a 4 partindo de (y + , φ+). Este algoritmo conduz à solução ótima para φ e para y , a quanticação das categorias e os scores dos indivíduos respetivamente (De Leeuw, 2005). A função perda pode também ser generalizada ao caso de extração de várias componentes principais. Para este efeito, é necessário denir previamente uma matriz indicatriz Gj , de dimensão (n×cj) , associada às observações da variável Xj , ou seja, ao vetor xj(j= 1, . . . , p) . Os elementos desta matriz são gju,v = 1 , u= 1, . . . , n ; v= 1, . . . , cj , se o indivíduo i(i= 1, . . . , n) pertencer à categoria cj e gju,v = 0 caso contrário. Cada linha da matriz tem somente um elemento igual a 1 e os restantes (cj−1) iguais a 0 . Por exemplo, suponha-se que a variável Xj pode assumir as categorias 1,2,5,10 e que as observações para três indivíduos são xj=h5 10 2 i0 . Então, a respetiva matriz indicatriz é Gj= 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 . A partir das matrizes G1,G2,...,Gp , constrói-se a matriz indicatriz do quadro de dados X : G=hG1. . . Gpi, (3.11) tendo esta matriz dimensão n× p P j=1 cj! . Representando por Y a matriz (n×q) das componentes principais a reter (q < p) , a função perda no caso geral é σ(Y,v1,...,vp) = 1 p p X j=1 SQ Y−Gjvjw0 j =1 p p X j=1 tr hY−Gjvjw0 j0Y−Gjvjw0 ji (3.12) onde tr indica o traço de uma matriz, vj(j= 1, . . . , p) é o vetor de cj elementos com a 49
quanticação dada pelo I-spline (3.8) das categorias da variável Xj , pelo que o vetor das observações dessas categorias para os n indivíduos dado por (3.10) é φj(xj) = Gjvj e wj é um vetor de q elementos (designados por loadings ) que são os coecientes de correlação entre a j -ésima variável transformada (quanticada) e as componentes principais, isto é, sendo whj (h= 1, . . . , q) o h -ésimo elemento de wj , whj =r(Gjvj,yh) ; os vetores wj são agrupados na matriz W de dimensão (q×p) . A minimização da função perda (3.12) é feita pelo método dos mínimos quadrados alternados descrito anteriormente, generalizado à existência de várias componentes principais e efetuando também a minimização em ordem a wj , sujeita a algumas restrições: Y0Y=nI onde I é a matriz identidade de dimensão (q×q) (note-se que esta restrição seria Y0Y=I se as variáveis iniciais pudessem ser previamente normalizadas e divididas por √n , mas, como tal só pode ser implementado durante o procedimento de otimização, a restrição tem que ser Y0Y=nI ); esta restrição serve para evitar a solução trivial W=0 e Y=0 . 10Y=00 onde 1 e 0 são vetores de elementos iguais a 1 e de elementos iguais a 0 respetivamente; esta restrição é imposta para que os scores sejam centrados (média nula). v0 jG0 jGjvj=n , o que é equivalente a Var (Gjvj)=1 . As duas primeiras restrições implicam que as colunas de Y (as componentes principais) sejam ortonormadas, ou seja, tenham média nula, desvio padrão igual a 1 e sejam não correlacionadas. Finalmente, rera-se que a perda, medida pela função perda indicada acima, causada pela substituição das variáveis transformadas com recurso à utilização de splines pelas componentes principais, depende ainda da denição de parâmetros como o grau do spline , o número e a localização dos nós e eventuais restrições sobre os coecientes δi(i= 1, . . . , d) em (3.8). Lavado (2004), baseando-se em Winsberg e Ramsay (1983), refere que se deve evitar na otimização a variação do número e da localização dos nós, tal como do grau do spline, tomando essas opções como parâmetros do modelo. Baseados na sua experiência, Winsberg e Ramsay (1983), Ramsay (1988) e De Leeuw e Van Rijckevorsel (1988) sugerem que, em geral, não é necessário utilizar mais do que dois nós e que o grau do spline não necessita de ser superior a dois. Além disso, é importante ter em conta que, para variáveis ordinais, o spline tem que ser monótono crescente de 50
modo a respeitar a ordem das categorias, ou seja, quando estas estão ordenadas por ordem crescente, as respetivas quanticações têm também que aumentar. É por isso necessário que, na minimização da função perda, os coecientes da combinação linear dos I-splines em (3.8) sejam positivos, conforme foi referido. Tal como na ACP Linear, a seleção do número de componentes a reter baseia-se na variância explicada ( V E ) por cada uma (Gi, 1990; Lavado, 2004; Meulman, Koiij e Heiser, 2004), sendo a variância explicada pela h -ésima componente principal a soma dos quadrados das correlações entre as variáveis transformadas e essa componente principal: V Eh= p X j=1 w2 hj = p X j=1 r2(Gjvj,yh)h= 1, . . . , q. (3.13) Então, uma vez que p P h=1 V Eh=p (se o número de componentes principais a reter for igual ao número de variáveis, ou seja, q=p ), a proporção da variância explicada pela h -ésima componente principal é V Eh/p . Sendo Φ a matriz dos dados transformados e Σ a sua matriz de correlações, a V E pela h -ésima componente principal é o h -ésimo maior valor próprio de Σ , representado por λh , ou seja, V Eh=λhh= 1, . . . , q. (3.14) É de salientar ainda que, na solução ótima obtida, a função perda é σ(Y,v1,...,vp) = pq − p X j=1 q X h=1 w2 hj =pq − q X h=1 λh (3.15) Por m, note-se que, em alternativa ao recurso à CATPCA para obtenção das componentes principais, esta pode ser utilizada unicamente para obtenção das quanti- cações das categorias (na solução ótima) e a partir destas realizar-se uma ACP Linear. 3.4.3 Aplicações Procede-se agora à realização de uma Análise em Componentes Principais Categórica, cujos resultados completos se encontram no Apêndice C para os dois conjuntos de dados. 51
3.4.3.1 Inquérito aos hábitos de consumo da população idosa A quanticação das categorias efetuada pela CATPCA é apresentada na Tabela 3.17. Tabela 3.17: Quanticação das categorias Escalonamento ótimo CATPCA (IHCPI) Questão Nenhuma Pouca Alguma Bastante Muita 1 -1.898 -1.014 -0.137 0.210 1.232 2 -1.696 -0.727 0.014 0.406 1.343 3 -1.246 -0.283 0.324 0.670 1.492 4 -4.101 -2.957 -1.178 -0.359 0.864 5 -2.399 -1.459 -0.386 0.256 1.186 6 -3.408 -2.419 -0.935 -0.226 0.866 7 -0.918 0.028 0.584 1.325 2.093 8 -0.770 0.288 0.814 1.443 2.340 9 -4.338 -3.141 -1.255 -0.386 0.864 10 -3.158 -2.130 -0.822 -0.154 0.922 11 -1.444 -0.487 0.147 0.632 1.381 12 -1.567 -0.673 0.083 0.804 1.605 13 -1.165 -0.183 0.321 0.875 1.599 14 -2.186 -1.235 -0.281 0.355 1.240 15 -2.014 -1.096 -0.143 0.566 1.480 16 -1.191 -0.308 0.347 1.021 1.784 17 -2.012 -1.008 -0.140 0.490 1.407 A matriz de correlações das variáveis transformadas (ou seja, quanticadas conforme a Tabela 3.17), apresentada na Tabela C.1, mostra a existência de muitas correlações moderadas e algumas elevadas, o que indica ser adequado efetuar uma ACP Categórica com este quadro de dados. Assim, realizou-se uma CATPCA com recurso a um spline com dois nós e grau dois, seguindo as indicações referidas acima. Foram ensaiadas várias alterações a estes parâmetros, mas as conclusões obtidas foram sempre as mesmas, o que sugere que esta análise é bastante robusta aos valores desses parâmetros. Os resultados deste método (correlações entre as questões, valores próprios, respetivas percentagens da variância explicada e coordenadas das questões nas componentes principais) são quase coincidentes com os das análises anteriores, pelo que o mesmo se verica com as conclusões. Com efeito, a Tabela C.2 (Apêndice C) conduz novamente a optar pela solução com cinco componentes. 52
Por sua vez, as questões selecionadas para a análise das três primeiras componentes principais são também as mesmas, conforme pode ser observado nas Tabelas 3.18, 3.19 e 3.20 respetivamente, extraídas da Tabela C.3 (Apêndice C), pelo que as conclusões mantêm-se, não sendo por isso repetidas. Note-se que, apesar da qualidade de representação da questão 9 na segunda componente ser fraca ( r2 = 0.32) o que por si só a excluiria da análise, é a única questão que se destaca nesta componente. Além disso, a percentagem da variância desta questão explicada por esta componente é 32%, um valor que não é demasiado baixo. Acresce ainda que, como esta questão foi incluída na análise pelos métodos anteriores, pode-se admitir que tem alguma relevância na interpretação dos dados. Consequentemente, opta-se por considerar esta questão na interpretação da segunda componente principal. A Figura 3.5 mostra o círculo de correlações no plano das duas primeiras componentes principais e, tal como na ACP Linear, observa-se com efeito que as questões selecionadas em cada componente são as que se destacam, evidenciando as conclusões extraídas. Por sua vez, a Figura 3.6 mostra que, relativamente à terceira componente principal, apenas se destacam as questões 7 e 8, conrmando também as respetivas conclusões. À semelhança das análises anteriores, não se apresenta também a análise da quarta e da quinta componentes pelos mesmos motivos (rera-se que as três primeiras componentes analisadas com pormenor explicam no seu conjunto 53.4% da variância total). Portanto, as conclusões da CATPCA coincidem com as das abordagens anteriores. Tabela 3.18: Questões a reter 1 ª componente principal CATPCA (IHCPI) Questões r r2 Q1 0.72 0.52 Q2 0.70 0.49 Q3 0.73 0.54 Q5 0.65 0.42 Q12 0.71 0.51 Q16 0.63 0.40 Q17 0.63 0.40 53
Tabela 3.19: Questões a reter 2 ª componente principal CATPCA (IHCPI) Questões r r2 Q9 0.56 0.32 Tabela 3.20: Questões a reter 3 ª componente principal CATPCA (IHCPI) Questões r r2 Q7 0.72 0.51 Q8 0.64 0.41 Figura 3.5: Círculo de Correlações Plano da 1 ª e 2 ª componentes principais CATPCA (IHCPI) 54
Figura 3.6: Círculo de Correlações Plano da 2 ª e 3 ª componentes principais CATPCA (IHCPI) Efectuou-se ainda uma ACP Linear com as quanticações obtidas pela CATPCA (Tabela 3.17), mas os resultados são coincidentes com os desta (sendo por isso desnecessário apresentá-los). 3.4.3.2 Inquérito social europeu A quanticação das categorias efetuada pela CATPCA é apresentada na Tabela 3.21 (algumas categorias não puderam ser quanticadas devido à inexistência de observações). A matriz de correlações das variáveis transformadas (ou seja, quanticadas conforme a Tabela 3.21), apresentada na Tabela C.4, mostra novamente a existência de muitas correlações moderadas, o que indica ser adequado efetuar uma ACP Categórica com este quadro de dados. Assim, tal como para o conjunto de dados anterior, realizou-se uma CATPCA com recurso a um spline com dois nós e grau dois (foram ainda ensaiadas várias alterações a estes parâmetros, mas as conclusões obtidas foram sempre as mesmas). Os resultados deste método (correlações entre as questões, valores próprios, respe- 55
Para analisar a tabela de contingência, não se utilizam as frequências absolutas, mas sim os quadros de pers-linha e de pers-coluna com a distribuição percentual dos elementos em cada linha e em cada coluna, respetivamente, ou seja, f(j|i) = fij fi. =nij ni. (pers-linha); f(i|j) = fij f.j =nij n.j (pers-coluna) para i= 1, . . . , p1 e j= 1, . . . , p2 , o que signica que os pers-linha e os pers-coluna são frequências condicionadas: Quadro de pers-linha Quadro de pers-coluna B1··· Bj··· Bp2 Total B1··· Bj··· Bp2 A1f11 f1.··· f1j f1.··· f1p2 f1.1A1 f11 f.1··· f1j f.j ··· f1p2 f.p2 . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. . .. . .. . .. . . Aifi1 fi. ··· fij fi. ··· fip2 fi. 1Ai fi1 f.1··· fij f.j ··· fip2 f.p2 . . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . . . . .. . .. . .. . .. . . Ap1 fp11 fp1.··· fp1j fp1.··· fp1p2 fp1. 1Ap1 fp11 f.1··· fp1j f.j ··· fp1p2 f.p2 Total 1··· 1··· 1 Os pers-linha indicam a distribuição da variável B para cada categoria da variável A , ou seja, f(j|i) representa a proporção de indivíduos que vericam a categoria Bj sabendo que vericam a categoria Ai ; os pers-coluna indicam a distribuição da variável A para cada categoria da variável B , ou seja, f(i|j) representa a proporção de indivíduos que vericam a categoria Ai sabendo que vericam a categoria Bj . Em resumo, estes pers são estimativas das probabilidades condicionadas das categorias de uma variável conhecendo a categoria da outra. Dene-se também o perl-linha médio (centro de gravidade da nuvem das p1 linhas) como a média dos pers-linha ponderados pelas frequências marginais das linhas: fI= p1 X i=1 fi. fi1 fi. . . . fip2 fi. = f.1 . . . f.p2 . De forma semelhante, dene-se o perl-coluna médio (centro de gravidade da nuvem das p2 colunas) como a média dos pers-coluna ponderados pelas frequências marginais 62
das colunas: fJ= p2 X j=1 f.j f1j f.j . . . fp1j f.j = f1. . . . fp1. . A partir destas frequências marginais (linhas e colunas), constroem-se as matrizes DI e DJ que são matrizes diagonais cujos elementos da diagonal principal são fi. e f.j respetivamente. Neste contexto, quando se pretende analisar as linhas da tabela considera-se a matriz dos pers-linha como um quadro indivíduos × variáveis, em que cada indivíduo é ponderado pelo peso fi. , e efetua-se uma ACP. Para determinar a proximidade entre duas categorias de uma variável linha, utiliza-se a distância do qui-quadrado entre dois pontos pers-linha, o que permite evitar o problema das categorias mais representadas terem maior peso: d2(i1, i2) = p2 X j=1 1 f.j fi1j fi1.−fi2j fi2.2 i1, i2= 1, . . . , p1. Em alternativa, quando se pretende analisar as colunas da tabela considera-se a transposta da matriz dos pers-coluna como um quadro indivíduos × variáveis, em que cada indivíduo é ponderado pelo peso f.j , e efetua-se uma ACP. Para determinar a proximidade entre duas categorias de uma variável coluna, a distância do qui-quadrado entre dois pontos pers-coluna é: d2(j1, j2) = p1 X i=1 1 fi. fij1 f.j1−fij2 f.j22 j1, j2= 1, . . . , p2. Para realizar a ACP, seria em princípio necessário centrar previamente os dados e diagonalizar a matriz de variâncias e covariâncias. No entanto, este procedimento é equivalente a efetuar a análise com os dados não centrados, desprezando o primeiro fator, que tem um valor próprio associado unitário (fator trivial). Na análise da nuvem dos pers-linha, a matriz a diagonalizar é S=F0D− IFD− J (4.1) 63
cujo elemento (i, j) é dado por p1 X k=1 fkifkj fk.f.j , representando-se por λh e por γh os seus valores e vetores próprios (h= 1, . . . , p2) respetivamente, a partir dos quais se obtêm os fatores ψh=D− IFD− Jγh. (4.2) Consequentemente, as coordenadas dos pers-linha no h -ésimo fator (coordenadas fatoriais) são dadas por ψhi = p2 X j=1 fij fi.f.j γhj (i= 1, . . . , p1). Recorrendo ao mesmo procedimento, poderia efetuar-se a análise da nuvem dos pers-coluna. No entanto, a análise de ambos os tipos de pers conduz aos mesmos valores próprios não nulos e os vetores próprios de uma podem ser obtidos a partir dos vetores próprios da outra. Sendo p= min (p1, p2) , existem as seguintes relações entre esses vetores designadas por fórmulas de transição: ξh= √λh FD− Jγh;γh= √λh F0D− Iξhh= 1, . . . , p, onde ξh é o h -ésimo vetor próprio da nuvem dos pers-coluna. Assim, sendo ϕh o h - ésimo fator dos pontos-coluna, as coordenadas fatoriais dos dois tipos de pers vericam as relações ϕh= √λh D− JF0ψh;ψh= √λh D− IFϕh e ϕhj =1 √λh p1 X i=1 fij f.j ψhi ψhi =1 √λh p2 X j=1 fij fi. ϕhj. Estas expressões permitem a representação simultânea das duas nuvens de pontos. A variância dos fatores, ou seja, a sua norma, é Var (ψh) = Var (ϕh) = λh . A inércia total da nuvem de pontos é igual à soma dos valores próprios não triviais (não unitários), ou seja, p2−1 P h=1 λh , pelo que a taxa de inércia associada ao h -ésimo fator, que 64
indica a parte da inércia total da nuvem explicada por este, é λh p2−1 P h=1 λh . Para a determinação do número de fatores a reter para a análise, o critério habitualmente utilizado consiste em reter os fatores cuja variância explicada é superior à média. Além das coordenadas fatoriais, existem outros dois tipos de coecientes que trazem informação relevante para a análise. Em primeiro lugar, para os pers-linha, a contribuição relativa da categoria Ai para a variância do h -ésimo fator é Ctr h i=fi.ψ2 hi λh (i= 1, . . . , p1) ; para os pers-coluna, a contribuição relativa da categoria Bj para a variância do h -ésimo fator é Ctr h j=f.jϕ2 hj λh (j= 1, . . . , p2), sendo p1 P i=1 Ctr h i= p2 P j=1 Ctr h j= 1. As categorias com maior contribuição são as que determinam o possível signicado de um fator, pois são elas que xam a posição deste (em Rp2 para as linhas e em Rp1 para as colunas). Em segundo lugar, pretende-se vericar se um ponto está bem representado num determinado fator (ou num subespaço). A qualidade desta representação é medida pelo quadrado do cosseno do ângulo entre o fator e o vetor formado pelo ponto (linha i ou coluna j ) e com origem no centro de gravidade da nuvem : cos 2θhi =d2 h(Ai,fI) d2(Ai,fI)=ψ2 hi p2 P j=1 1 f.j fij fi. −f.j2 cos 2ζhj =d2 h(Bj,fJ) d2(Bj,fJ)=ϕ2 hj p1 P i=1 1 fi. fij f.j −fi.2. Esta medida é também designada por contribuição relativa do fator para a categoria. Quanto mais próximo de 1 for o cos 2, melhor é a projeção do ponto no fator (costuma 65
considerar-se que a qualidade de representação é aceitável quando cos 2⩾0.5 ). A qualidade de representação de um ponto linha num plano [γh1, γh2] é obtida somando os respetivos cos 2 : ψ2 h1i p2 P j=1 1 f.j fij fi. −f.j2+ψ2 h2i p2 P j=1 1 f.j fij fi. −f.j2=ψ2 h1i+ψ2 h2i p2 P j=1 1 f.j fij fi. −f.j2, determinando-se de forma análoga para os pontos coluna. Note-se que, para todo o i= 1, . . . , p1 e para todo o j= 1, . . . , p2 , X h cos 2θhi =X h cos 2ζhj = 1. A AC pode ser aplicada não só a uma tabela de contingência mas também a um quadro de dados semelhante ao utilizado na ACP, descrita anteriormente, ou seja, um quadro indivíduos × variáveis, sendo estas quantitativas e assumindo apenas valores positivos. Consequentemente, cada elemento deste quadro é um número real positivo. Estes valores são transformados em percentagens do total do quadro e, a partir destas, desenvolve-se um procedimento análogo ao descrito acima para a AC baseada numa tabela de contingência (após o cálculo das frequências relativas), ou seja, calculam-se grandezas correspondentes aos pers-linha e pers-coluna e efetua-se toda a análise a partir destes valores. Assim, o objetivo deixa de ser o estudo da ligação entre duas variáveis qualitativas (tabela de contingência) passando a ser o de condensar a informação contida no quadro de dados num conjunto de fatores em número inferior ao das variáveis originais. 4.3 Análise das Correspondências com Duplicação de Variáveis A Análise das Correspondências sobre um quadro indivíduos × variáveis, acabada de referir, apresenta o inconveniente de não conseguir ter em conta a ordenação das categorias encontrada em dados ordinais, ou seja, nos casos em que as categorias das variáveis (questões) são ordenadas (encontrando-se compreendidas entre dois limites ou pólos), tal como sucede frequentemente em quadros de dados resultantes da realização de inquéritos. 66
A AC de um quadro de dados após codicação por duplicação (também designada por codicação bipolar) foi desenvolvida para resolver este problema (Benzécri, 1969, 1973; Benzécri e Benzécri, 1984; Le Roux, 2014). A codicação por duplicação permite assim atribuir papéis simétricos a uma qualquer categoria e à sua contrária. Em primeiro lugar, são atribuídos valores numéricos às categorias. Representando xi j o valor atribuído à j -ésima variável para o i -ésimo indivíduo (i= 1, . . . , n;j= 1, . . . , p) , supõe-se que cada variável se encontra limitada por um par de números (mj, Mj) , ou seja, mj≤xi j≤Mj . Assim, xi j é substituído por dois valores (que originam os pólos positivo e negativo): νi j+=xi j−mjνi j−=Mj−xi j (4.3) fazendo-se desta forma corresponder a cada indivíduo um par de valores para cada resposta, pelo que o quadro de dados duplicado tem n linhas e um total de 2p colunas, uma vez que existem p pares de pontos associados às variáveis. Por exemplo, para a escala da j -ésima variável, a que já foram atribuídos os valores numéricos (1,2,3,4,5) , suponha-se que um determinado indivíduo respondeu 4, a quarta categoria ordenada (Tabela 4.1). Então, os valores da escala subtraídos do mínimo (mj= 1) são (0,1,2,3,4) e os valores obtidos pela subtração da escala original ao seu máximo (Mj= 5) são (4,3,2,1,0) , estando portanto medidos na escala duplicada. Assim a resposta do indivíduo dá origem ao par (3,1) nas novas escalas (Tabela 4.2), correspondendo à quarta categoria destas. Tabela 4.1: Escala original √ 1 2 3 4 5 Tabela 4.2: Escala duplicada 43210 √ 01234 Representa-se a amplitude do intervalo de variação da j -ésima variável por εj= Mj−mj , a sua média por ε=1 p p P j=1 εj , a média e a variância da mesma variável por Xj e S2 j respetivamente e a variância da variável normalizada Xj/εj por ηj= Var (Xj)/ε2 j . Sendo Zj=Xj−mj/εj , tem-se 1−Zj=Mj−Xj/εj . 67
Representando por νi s o (i, s) -ésimo elemento (i= 1, . . . , n;s= 1,...,2p) do quadro de dados duplicado, a soma da i -ésima linha deste quadro é νi= 2p X s=1 νi s= p P j=1 νi j++νi j−=pε; a soma da s -ésima coluna é νs= n P i=1 νi s e as somas da sua duplicação são νj+= n X i=1 xi j−mj=nXj−mj=nεjZj νj−= n X i=1 Mj−xi j=nMj−Xj=nεj(1 −Zj) ; a soma de todos os elementos do quadro é n X i=1 2p X s=1 νi s= n X i=1 p X j=1 νi j++νi j−=npε. A Análise das Correspondências com Duplicação de Variáveis consiste na realização de uma AC sobre este quadro (Le Roux, 2014, de onde são retirados os resultados que se seguem). O quadrado da distância entre os dois pontos resultantes da duplicação da categoria k de uma qualquer variável (dois pontos pers-variáveis) é d2(k+, k−) = n X i=1 νi j+ νj+−νi j− νj−2 νi n X i=1 p X j=1 νi j++νi j− = n X i=1 xi j−mj nXj−mj−Mj−xi j nMj−Xj!2 1 n = = εj Mj−XjXj−mj!2n X i=1 xi j−Xj2 n= = 1 εj Zj(1 −Zj) 2 Var (Xj) = ηj (Zj(1 −Zj))2. 68
Por sua vez, o quadrado da distância entre dois pontos pers-indivíduos i1 e i2 é d2(i1, i2) = 2p X s=1 νi1 s νi1−νi2 s νi22 νs n X i=1 2p X s=1 νi s =1 pε22p X s=1 (νi1 s−νi2 s)2 νs npε = =n pε 2p X s=1 (νi1 s−νi2 s)2 νs =n pε p X j=1 νi1 j+−νi2 j+2 νj+ +νi1 j−−νi2 j−2 νj−!. Uma vez que νi1 j+−νi2 j+=νi1 j−−νi2 j−=xi1 j−xi2 j, d2(i1, i2) = 1 pε p X j=1 xi1 j−xi2 j21 Xj−mj +1 Mj−Xj= =1 pε p X j=1 "xi1 j−xi2 j2 εj Xj−mjMj−Xj!#= =1 pε p X j=1 xi1 j−xi2 j2 εjZj(1 −Zj)!. A parte da inércia da nuvem explicada pela j -ésima variável (questão), ou seja, a sua contribuição absoluta, é Cta j=1 p εj ε ηj Zj(1 −Zj) com Cta j≤1 p εj ε (sendo de notar que a soma das Cta de todas as variáveis é igual à inércia da nuvem). A contribuição da mesma variável para a variância do h -ésimo fator (eixo), ou seja, a sua contribuição relativa é 69
Ctr hj = εjZj p ε Cov (Xj/εj, γh) Zj2 λh + εj(1 −Zj) p ε Cov (Xj/εj, γh) 1−Zj2 λh = (4.4) = 1 p εj ε [ Cov (Xj/εj, γh)]2 Zj(1 −Zj) λh (4.5) onde γh representa o h -ésimo fator principal e λh o valor próprio correspondente. A expressão (4.4) mostra que a contribuição da variável resulta da soma das contribuições relativas dos seus dois pólos. A qualidade de representação no h -ésimo fator dos pontos νj+ e νj− é igual para ambos, pelo que se dene apenas a qualidade de representação da variável (questão): cos2θhj =( Cov (Xj/εj, γh))2 ηj onde θhj é o ângulo formado por νj+ ou por νj− com o fator principal (os dois ângulos são iguais). Por m, as coordenadas dos pontos νj+ e νj− no h -ésimo fator principal são respetivamente ψhj+= Cov (Xj/εj, γh) Zj ψhj−=− Cov (Xj/εj, γh) 1−Zj . 4.3.1 Aplicações Procede-se agora à realização de uma Análise das Correspondências (AC) do quadro de dados com duplicação, cujos resultados completos se encontram no Apêndice D para os dois conjuntos de dados. 4.3.1.1 Inquérito aos hábitos de consumo da população idosa Em primeiro lugar, é necessário determinar o número de fatores a reter. Conforme referido acima, o critério habitualmente utilizado para este efeito consiste em reter os fatores cuja variância explicada é superior à média, apresentando-se na Tabela D.1 os 70
valores próprios e a percentagem de variância explicada por cada fator (são apresentados apenas os 17 maiores valores próprios não triviais porque os restantes 16 são nulos, uma vez que as variáveis duplicadas não têm qualquer contribuição para a variância total). Sendo a variância total, ou seja, a soma desses valores, igual a 0.4374 e existindo 17 questões, a variância média é 0.4374/17 = 0.026. Como só os cinco primeiros fatores têm uma variância superior à média, deve reter-se cinco fatores para a análise, explicando 70.1% da variância total. Para a análise dos fatores, a Tabela D.2 mostra, para as variáveis com duplicação, as coordenadas dos dois pólos (+,-) das questões, as respectivas contribuições para os fatores (Ctr) e a qualidade da representação (relembre-se que os cossenos dos ângulos formados pelos dois pólos de cada questão são iguais). É importante sublinhar que as coordenadas dos pólos positivos (que signicam pouca importância) e dos negativos (muita importância) de cada questão são também positivas e negativas respetivamente, estando por isso de acordo com o signicado dos pólos e mostrando que estes estão opostos (representados em lados opostos dos fatores). Além disso, os pólos positivos das diferentes questões estão associados entre si (representados no mesmo lado dos fatores), sucedendo o mesmo com os pólos negativos. Note-se ainda que as Ctr dos dois pólos de cada questão assumem valores diferentes, por vezes próximos, mas muito afastados noutros casos. Assim, a análise do primeiro fator conduz a reter as questões indicadas na Tabela 4.3 (onde se indica a contribuição total de cada questão, obtida pela soma das contribuições dos seus dois pólos), pois são as questões cuja contribuição para a variância do fator é mais elevada (superior à contribuição média no fator) e cuja qualidade de representação, medida pelo cos2 , é pelo menos aceitável. A respeito deste último aspeto, é de referir, por um lado, que as questões 5 e 17 foram consideradas apesar da respetiva qualidade de representação ser um pouco fraca (os cos2 são iguais a 0.40) porque as suas contribuições são elevadas e, por outro, que a questão 13, apesar de ter uma contribuição ainda elevada, foi excluída por ter uma qualidade de representação muito fraca ( cos2 apenas de 0.32). No seu conjunto, a contribuição para a variância do fator das sete questões selecionadas é de 73.3%, um valor elevado. Verica-se portanto que as questões selecionadas para a análise deste fator são as mesmas das selecionadas pelos métodos anteriormente aplicados, pelo que as conclusões são também coincidentes, não sendo por isso repetidas aqui. 71
analisados com pormenor explicam no seu conjunto 57.1% da variância total). Em resumo, verica-se que, para este conjunto de dados, a Análise das Correspondências com Duplicação de Variáveis também conduz quase às mesmas conclusões dos métodos anteriormente aplicados, observando-se apenas uma ligeira diferença (que consiste em incluir a questão 16 na interpretação do primeiro fator). 4.4 Análise das Correspondências Múltiplas O objetivo de uma Análise das Correspondências Múltiplas (ACM) é semelhante ao de uma Análise em Componentes Principais (estudo de um quadro indivíduos × variáveis), mas é também uma generalização do objetivo de uma Análise das Correspondências. A aplicação mais habitual da ACM é o tratamento das respostas a um inquérito, onde cada questão constitui uma variável cujas categorias são as respostas possíveis. A primeira abordagem teórica foi proposta por Burt (1950), mas foi Benzécri (1973) quem a desenvolveu (ver também Escoer, 2003; Escoer e Pagès, 1998; Lebart, Morineau e Piron, 1995; Moreau, Doudin e Cazes, 2000). À semelhança da ACP e da AC, o resultado consiste na determinação de fatores, vericando-se quais as categorias que mais contribuem para a formação de cada fator de modo a identicar as relações relevantes e as associações entre as categorias das diferentes variáveis. Consegue-se assim evidenciar as relações mais importantes entre as próprias variáveis de uma forma eciente e objetiva e ainda descrever e interpretar a proximidade entre os indivíduos. No entanto, este método apresenta o inconveniente de não ter em conta a ordenação das categorias encontrada em variáveis ordinais. Mantendo a notação anterior, X é a matriz de dados com as respostas (quadro indivíduos × variáveis) de dimensão (n×p) , o que signica que se dispõe de n indivíduos e p variáveis qualitativas ordinais, em que a variável Xj assume um número cj de categorias (j= 1, . . . , p). A título de exemplo, suponha-se que cinco pessoas (ou seja, n= 5 ) responderam a um inquérito de satisfação sobre um determinado serviço, composto por quatro questões (ou seja, p= 4 ) com as categorias Insatisfeito, Indiferente e Satisfeito. Começa por se atribuir os valores 1, 2 e 3 às três categorias respetivamente e constrói-se a matriz de dados de dimensão (5 ×4) , ou seja, o quadro de dados condensado: 78
X= 2 3 2 1 1 3 2 2 3 1 1 2 1 1 3 1 1 2 3 3 . Verica-se portanto que, por exemplo, o primeiro indíviduo respondeu Indiferente à primeira e terceira questões, Satisfeito à segunda e Insatisfeito à quarta questão. Assim, cada linha da matriz representa as respostas de um qualquer indíviduo a todas as questões e uma coluna representa as respostas de todos os indíviduos a essa questão. Esta matriz é transformada num quadro de variáveis binárias (cujos elementos são 0 ou 1), designado por quadro disjuntivo completo, que é igual à matriz indicatriz G denida em (3.11) com n linhas e c= p P j=1 cj colunas. Cada elemento desta matriz é igual a 1 ou 0 , conforme o indivíduo escolha ou não uma qualquer categoria de uma dada questão, pelo que a soma de cada linha é constante e corresponde ao número de questões, ou seja, gi. =p(i= 1, . . . , n) . Por sua vez, a soma g.h (h= 1, . . . , c) de cada coluna indica o número de indivíduos que escolheram a respetiva categoria. Consequentemente, a soma de todos os elementos da matriz G é igual a np . No exemplo, o quadro disjuntivo completo (onde os blocos indicam as respostas a cada questão) é G= 0 1 0 |0 0 1 |0 1 0 |1 0 0 1 0 0 |0 0 1 |0 1 0 |0 1 0 0 0 1 |1 0 0 |1 0 0 |0 1 0 1 0 0 |1 0 0 |0 0 1 |1 0 0 1 0 0 |0 1 0 |0 0 1 |0 0 1 e portanto, o número de colunas é c= 4 P j=1 cj= 3 + 3 + 3 + 3 = 12 , e o número de linhas é 5; por sua vez a soma de cada linha é 4 (o número de questões) e as somas das colunas são 3, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2 e 1 respetivamente (o número de indíviduos que responderam a cada categoria). A soma de cada bloco é igual a 5 (n) e a soma do número total de elementos é np = 20. É importante sublinhar que em cada bloco da matriz G o número 1 só pode aparecer uma vez em cada linha. Procede-se em seguida ao cruzamento de todas as variáveis binárias duas a duas, de modo a obter uma matriz B cuja diagonal principal é composta pelas frequências 79
absolutas das respostas às categorias (número de indivíduos que escolheram a categoria correspondente à respetiva coluna) e se designa por quadro de Burt, ou seja, B=G0G (note-se que esta matriz tem p2 blocos). No exemplo, tem-se B= 3 0 0 |1 1 1 |0 1 2 |1 1 1 0 1 0 |0 0 1 |0 1 0 |1 0 0 0 0 1 |1 0 0 |1 0 0 |0 1 0 −−−|−−−|−−−|−−− 1 0 1 |2 0 0 |1 0 1 |1 1 0 1 0 0 |0 1 0 |0 0 1 |0 0 1 1 1 0 |0 0 2 |0 2 0 |1 1 0 −−−|−−−|−−−|−−− 0 0 1 |1 0 0 |1 0 0 |0 1 0 1 1 0 |0 0 2 |0 2 0 |1 1 0 2 0 0 |1 1 0 |0 0 2 |1 0 1 −−−|−−−|−−−|−−− 1 1 0 |1 0 1 |0 1 1 |2 0 0 1 0 1 |1 0 1 |1 1 0 |0 2 0 1 0 0 |0 1 0 |0 0 1 |0 0 1 e note-se que B tem 42= 16 blocos. A partir desta matriz, dene-se ainda a matriz diagonal D cujos blocos diagonais são os do quadro de Burt, o que signica que os elementos da diagonal principal de D correspondem às frequências absolutas das respostas às categorias. Assim, esta matriz tem também p2 blocos. No exemplo, 80
D= 3 0 0 |0 0 0 |0 0 0 |0 0 0 0 1 0 |0 0 0 |0 0 0 |0 0 0 0 0 1 |0 0 0 |0 0 0 |0 0 0 −−−|−−−|−−−|−−− 0 0 0 |2 0 0 |0 0 0 |0 0 0 0 0 0 |0 1 0 |0 0 0 |0 0 0 0 0 0 |0 0 2 |0 0 0 |0 0 0 −−−|−−−|−−−|−−− 0 0 0 |0 0 0 |1 0 0 |0 0 0 0 0 0 |0 0 0 |0 2 0 |0 0 0 0 0 0 |0 0 0 |0 0 2 |0 0 0 −−−|−−−|−−−|−−− 0 0 0 |0 0 0 |0 0 0 |2 0 0 0 0 0 |0 0 0 |0 0 0 |0 2 0 0 0 0 |0 0 0 |0 0 0 |0 0 1 . Consequentemente, o peso de cada indíviduo é 1/n ( 1/5=0.2 , no exemplo), o peso de cada categoria é a sua frequência relativa, ou seja, g.h/(np) (no exemplo, para a primeira categoria da primeira questão, temos 3/(5 ×4) = 0.15 ). A Análise das Correspondências Múltiplas é uma Análise das Correspondências do quadro disjuntivo completo. Assim, a partir deste quadro, calculam-se os pers-linha: gi1 gi. ,gi2 gi. ,...,gic gi. =gi1 p,gi2 p,...,gic pi= 1, . . . , n e os pers-coluna: g1h g.h ,g2h g.h ,...,gnh g.h h= 1, . . . , c. No exemplo, o quadro dos pers-linha é 0 1/4 0 |0 0 1/4|0 1/4 0 |1/4 0 0 1/4 0 0 |0 0 1/4|0 1/4 0 |0 1/4 0 0 0 1/4|1/4 0 0 |1/4 0 0 |0 1/4 0 1/4 0 0 |1/4 0 0 |0 0 1/4|1/4 0 0 1/4 0 0 |0 1/4 0 |0 0 1/4|0 0 1/4 81
e o quadro dos pers-coluna é 0 1/1 0 |0 0 1/2|0 1/2 0 |1/2 0 0 1/3 0 0 |0 0 1/2|0 1/2 0 |0 1/2 0 0 0 1/1|1/2 0 0 |1/1 0 0 |0 1/2 0 1/3 0 0 |1/2 0 0 |0 0 1/2|1/2 0 0 1/3 0 0 |0 1/1 0 |0 0 1/2|0 0 1/1 . A partir do quadro disjuntivo completo G , calculam-se as distâncias do qui-quadrado entre os pares de indivíduos e entre os pares de categorias, sendo assim possível determinar a proximidade entre indivíduos (dois indivíduos estão próximos se escolherem globalmente as mesmas categorias), entre categorias de diferentes questões (duas categorias estão próximas se globalmente disserem respeito aos mesmos indivíduos ou a indivíduos semelhantes) e entre categorias da mesma questão. Deste modo, o quadrado da distância entre duas categorias h1 e h2 é d2(h1, h2) = n X i=1 ngih1 g.h1−gih2 g.h22 e o quadrado da distância entre dois indivíduos i1 e i2 é d2(i1, i2) = 1 p c X h=1 n g.h (gi1h−gi2h)2. A matriz a diagonalizar numa ACM é S=1 pG0GD−1=1 pBD−1 e representam-se os seus valores próprios e os vetores próprios associados por λh e γh respetivamente (h= 1, . . . , c), a partir dos quais se obtêm os fatores dos pontos-linha: ψh=D−1γh. De forma semelhante, é possível obter os fatores dos pontos-coluna ϕh , mas é também possível recorrer às relações de transição entre os dois tipos de fatores: ϕh= √λh D−G0ψh;ψh= p√λh Gϕh. (4.6) 82
Os fatores ϕh e ψh , de norma λh , representam respetivamente as coordenadas dos pontos-linha e pontos-coluna no h -ésimo eixo fatorial e, a partir das relações (4.6), a coordenada da s -ésima categoria no h -ésimo fator é ϕhs =1 √λh n X i=1 gis g.s ψhi =1 g.s√λhX i∈n(s) ψhi, onde n(s) representa o conjunto dos indivíduos que escolheram a categoria s, e a coordenada do i -ésimo indíviduo no h -ésimo fator é ψhi =1 √λh c X s=1 gis gi. ϕhs =1 p√λhX s∈c(i) ϕhs, onde c(i) representa o conjunto de categorias escolhidas pelo i -ésimo indíviduo. Sendo o centro de gravidade global o vetor Γ de (n×1) elementos todos iguais a 1/n , o quadrado da distância de uma categoria a Γ é dada por d2(h, Γ) = n c X h=1 gih g.h −1 n2 =n g.h −1, pelo que se conclui que esta distância é tanto maior quanto menor for a frequência absoluta da categoria. Dene-se ainda a inércia associada a uma categoria como I(h) = g.h npd2(h, Γ) = 1 p1−g.h n, pelo que se conclui que esta inércia é tanto maior quanto menor for a frequência absoluta desta e o máximo, 1/p , é atingido quando a frequência absoluta for nula. A inércia associada a uma questão é I(j) = cj X h=1 I(h) = 1 p(cj−1) . Consequentemente, esta inércia é função crescente do número das categorias da questão. Por m, a inércia total é I= p X j=1 I(j) = c p−1 e, por isso, quando todas as questões têm o mesmo número de b categorias, a inércia total 83
é b−1 . Conclui-se também que a inércia total não depende dos dados, e nomeadamente das relações entre as questões, mas unicamente do número de questões e de categorias, ou seja, do formato do questionário. A proporção da inércia da nuvem explicada pela j -ésima questão designa-se por contribuição absoluta (Cta) e é dada por Cta j=cj−1 c−p. A parte da variância do h -ésimo fator (eixo) explicada pela mesma questão designa-se por contribuição relativa (Ctr) e é dada por CTR hj =1 λh cj X s=1 fs(ψhs)2 onde fs=g.s/n p é o peso da categoria s (relembre-se que g.s indica o número dos indivíduos que escolheram esta categoria) e ψhs é a sua coordenada no fator (eixo) h . A qualidade de representação no h -ésimo fator da categoria s é dada por cos2θhs =g.s/n 1−g.s/n (ψhs)2 onde θhs (0 ≤θhs ≤π) é o ângulo formado pela categoria s com o fator principal h . 4.4.1 Aplicações Procede-se agora à realização de uma Análise das Correspondências Múltiplas (ACM) do quadro de dados, cujos resultados, por serem demasiado extensos, não são apresentados na totalidade 1 . 4.4.1.1 Inquérito aos hábitos de consumo da população idosa A Tabela 4.9 apresenta os valores próprios e a percentagem de variância explicada por cada fator (são apresentados apenas os 30 maiores valores próprios porque os restantes têm valores muito reduzidos, pelo que têm uma contribuição quase irrelevante para a variância total). Sendo a variância total, ou seja, a soma dos valores próprios igual a 3.8235 e existindo 85 categorias (17 questões × 5 categorias), a variância média é 1 Os resultados completos podem ser disponibilizados pela autora. 84
3.8235/85 = 0.045. Neste caso, os primeiros 30 fatores têm uma variância superior à média, explicando 80.8% da variância total, pelo que seriam estes os fatores a reter para análise, o que seria demasiado extenso. Tabela 4.9: Valores próprios e variância explicada ACM (IHCPI) Fatores Valor Próprio % % Acumulada 1 0.344 8.99 8.99 2 0.252 6.58 15.56 3 0.180 4.70 20.27 4 0.151 3.95 24.22 5 0.147 3.85 28.07 6 0.135 3.53 31.60 7 0.123 3.22 34.82 8 0.114 2.98 37.80 9 0.108 2.83 40.63 10 0.104 2.71 43.34 11 0.099 2.59 45.93 12 0.095 2.49 48.42 13 0.092 2.42 50.84 14 0.090 2.34 53.18 15 0.086 2.24 55.42 16 0.083 2.17 57.58 17 0.081 2.11 59.70 18 0.078 2.05 61.74 19 0.076 1.99 63.73 20 0.074 1.94 65.67 21 0.072 1.88 67.55 22 0.069 1.81 69.36 23 0.063 1.66 71.02 24 0.061 1.59 72.62 25 0.057 1.49 74.10 26 0.055 1.44 75.55 27 0.054 1.42 76.97 28 0.051 1.33 78.31 29 0.048 1.27 79.57 30 0.045 1.19 80.76 Assim, a título ilustrativo, irá proceder-se à análise dos três primeiros fatores apenas, porque são os que têm valores próprios que se destacam claramente de todos os restantes. Para este efeito, a Tabela 4.10 mostra as coordenadas, as respectivas contribuições (Ctr) 85
e a qualidade da representação ( cos2 ) das categorias a reter no primeiro fator, notandose que, como é habitual neste tipo de análise, as Ctr e os cos2 são frequentemente muito baixos. Foram então selecionadas as categorias cujas contribuições para a variância do fator são as mais elevadas e que no seu conjunto explicam 50.4% (cumprindo o critério de que a soma das Ctr atinja um valor entre 50% e 80%). Tabela 4.10: Questões a reter 1 º Fator ACM (IHCPI) Questões Categoria Coord. Ctr cos2 Q1 Muita -0.95 4.90 0.42 Q2 Muita -1.17 5.67 0.44 Q2 Pouca 0.95 2.57 0.18 Q3 Muita -1.28 5.29 0.38 Q3 Pouca 0.87 2.45 0.18 Q5 Muita -0.84 3.12 0.24 Q11 Muita -1.08 3.61 0.26 Q11 Pouca 0.99 2.53 0.17 Q12 Muita -1.39 4.00 0.27 Q13 Muita -1.04 2.34 0.16 Q14 Muita -0.89 3.04 0.23 Q15 Muita -1.19 4.01 0.28 Q16 Muita -1.23 2.73 0.18 Q17 Muita -1.14 4.17 0.30 Assim, conclui-se que o primeiro fator opõe os idosos que atribuem muita importância às motivações para ir às compras Comprar algo novo para substituir algo antigo (questão 1), Criar uma nova imagem para mim e para a minha casa (questão 2), Sentir-me um pioneiro comprando produtos inovadores (questão 3), Conseguir encontrar uma verdadeira pechincha (questão 5), Ir às compras com pessoas com gostos semelhantes aos meus (questão 11), Falar e trocar opiniões com o vendedor e outros clientes (questão 12), Fazer da ida às compras um passeio com alguém conhecido (questão 13), Ser atendido/a por um vendedor que procura agradar (questão 14), Ter um funcionário a apresentar os produtos para a minha escolha (questão 15), Ouvir música e ver animações alusivas a uma campanha do estabelecimento (questão 16) e Experimentar uma amostra de um produto ou passar pelo espaço de livraria (questão 17) aos idosos que atribuem pouca importância às motivações Criar uma 86
nova imagem para mim e para a minha casa, (questão 2) Sentir-me um pioneiro comprando produtos inovadores (questão 3) e Ir às compras com pessoas com gostos semelhantes aos meus (questão 11). No essencial, este fator mantém o signicado da primeira componente ou primeiro fator dos métodos anteriores, acrescentando algumas motivações que apontam no mesmo sentido e que reforçam as conclusões extraídas. Para a análise do segundo fator, retém-se as categorias cujas contribuições para a variância do fator explicam no seu conjunto 51.2% (Tabela 4.11). Tabela 4.11: Questões a reter 2 º Fator ACM (IHCPI) Questões Categoria Coord. Ctr cos2 Q1 Nenhuma -1.45 3.71 0.17 Q2 Nenhuma -1.11 4.56 0.23 Q3 Nenhuma -0.77 4.25 0.26 Q9 Alguma 0.77 2.70 0.14 Q11 Nenhuma -1.01 5.94 0.34 Q12 Nenhuma -1.17 5.49 0.28 Q12 Bastante 0.77 3.49 0.20 Q13 Nenhuma -0.83 5.78 0.39 Q13 Bastante 0.85 3.54 0.19 Q15 Nenhuma -1.16 2.85 0.13 Q16 Nenhuma -0.88 5.45 0.33 Q17 Nenhuma -1.14 3.44 0.17 Assim, conclui-se que o segundo fator opõe os idosos que atribuem nenhuma importância às motivações para ir às compras Comprar algo novo para substituir algo antigo (questão 1), Criar uma nova imagem para mim e para a minha casa (questão 2), Sentir-me um pioneiro comprando produtos inovadores (questão 3), Ir às compras com pessoas com gostos semelhantes aos meus (questão 11), Falar e trocar opiniões com o vendedor e outros clientes (questão 12), Fazer da ida às compras um passeio com alguém conhecido (questão 13), Ter um funcionário a apresentar os produtos para a minha escolha (questão 15), Ouvir música e ver animações alusivas a uma campanha do estabelecimento (questão 16) e Experimentar uma amostra de um produto ou passar pelo espaço de livraria (questão 17) aos idosos que atribuem alguma importância à motivação Encontrar exatamente o que procuro (questão 9) e bastante importância às motivações Falar e trocar opiniões com o vendedor e outros clientes (questão 12) e Fazer da ida às compras um passeio com alguém conhecido (questão 87
Capítulo 5 Conclusão Em muitas situações os atributos observados assumem uma natureza qualitativa e distinguem-se em grau ou intensidade, o que signica que têm uma natureza qualitativa ordinal. As variáveis qualitativas ordinais utilizam assim uma escala de medida composta por um conjunto de categorias ordenadas, isto é, existe uma hierarquia entre estas, estando denido um sentido de orientação. As escalas ordinais são muito utilizadas numa grande variedade de domínios, destacando-se a realização de inquéritos tendo em vista medir atitudes, opiniões, frequência de ocorrência de acontecimentos e intensidades. A natureza destas variáveis levanta problemas especícos, nomeadamente a inexistência de um zero absoluto (categoria que indique ausência de todo o conteúdo inerente à grandeza medida pela escala) e o facto de se desconhecer a distância entre as categorias. O número e a denição destas categorias constituem também diculdades na construção da escala, a que se junta ainda o risco de o signicado atribuído por quem a dene não ser necessariamente o mesmo de quem vai responder ao inquérito. As caraterísticas destas variáveis têm portanto de ser tidas em conta no tratamento de dados, não devendo ser utilizadas as técnicas desenvolvidas para dados quantitativos. Tendo em vista a comparação dos resultados de diferentes métodos de análise multivariada desenvolvidos especifícamente para este tipo de variáveis, foram consideradas três formas principais de abordagem: em primeiro lugar, foram descritas diferentes técnicas de quanticação de categorias, permitindo assim dispor de dados quantitativos utilizados subsequentemente para a realização de uma Análise em Componentes Principais (ACP) Linear; em seguida, considerou-se uma ACP Linear, mas desta vez com recurso ao coeciente de correlação de Spearman (apropriado para dados ordinais); em terceiro 94
lugar, abordou-se a Análise em Componentes Principais Categórica (CATPCA), que procede ela própria à quanticação ótima (escalonamento ótimo) das categorias e em simultâneo realiza uma ACP; posteriormente, foi considerada a Análise das Correspondências com Duplicação de Variáveis adequada para este tipo de dados; por m, apresentou-se ainda a Análise das Correspondências Múltiplas (ACM), por constituir uma generalização da Análise das Correspondências (AC) Simples, apesar de não ser capaz de ter em conta a natureza ordinal destas variáveis. Os diferentes métodos foram aplicados a dois conjuntos de dados resultantes de inquéritos de opinião, constituídos por variáveis qualitativas ordinais: Inquérito aos hábitos de consumo da população idosa (classicação do nível de importância das motivações pelas quais os inquiridos vão às compras segundo a escala Nenhuma, Pouca, Alguma, Bastante e Muita) e Inquérito social europeu (classicação do grau de semelhança dos inquiridos com diversas caraterísticas segundo a escala Exatamente como eu, Muito parecido comigo, Parecido comigo, Um bocadinho parecido comigo, Nada parecido comigo e Não tem nada a ver comigo). Os resultados obtidos por cada método foram analisados, produzindo conclusões sobre os padrões e pers dos inquiridos. Finalmente, vericou-se que estas são as mesmas em todos os casos, com particularidades muito pequenas que resultam das especicidades de cada método e que não alteram o signicado essencial dos resultados. Consequentemente, estes dois exemplos de aplicação sugerem que usar métodos apropriados para variáveis ordinais, mais ou menos elaborados, ou métodos mais básicos (como as técnicas de quanticação das categorias, mais ou menos rudimentares e mais ou menos baseadas nos dados) conduz a conclusões quase idênticas, pelo que a decisão sobre que método utilizar parece não exigir grande ponderação. 95
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Apêndice A Análise em Componentes Principais Linear A.1 Inquérito aos hábitos de consumo da população idosa Resultados 100
Método: Números Inteiros Ordenados e Índice Tabela A.1: Matriz de correlações ACP Números inteiros ordenados e Índice (IHCPI) Questões Questões Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q1 1.00 Q2 0.73 1.00 Q3 0.67 0.76 1.00 Q4 0.29 0.25 0.14 1.00 Q5 0.45 0.42 0.41 0.39 1.00 Q6 0.30 0.23 0.17 0.51 0.33 1.00 Q7 -0.15 -0.05 -0.16 0.11 -0.03 0.16 1.00 Q8 -0.10 -0.01 -0.07 0.01 0.12 -0.01 0.66 1.00 Q9 0.17 0.17 0.03 0.38 0.08 0.35 0.01 -0.02 1.00 Q10 0.15 0.08 0.05 0.26 0.06 0.29 -0.03 -0.06 0.42 Q11 0.12 0.10 0.13 0.05 0.31 0.01 0.14 0.15 -0.06 Q12 0.39 0.35 0.49 0.00 0.38 0.15 0.08 0.16 -0.18 Q13 0.23 0.19 0.27 -0.01 0.26 -0.04 -0.02 0.18 -0.15 Q14 0.11 0.17 0.19 0.19 0.31 0.07 0.09 0.20 0.15 Q15 0.24 0.27 0.28 0.08 0.29 0.10 0.05 0.10 0.22 Q16 0.38 0.34 0.44 -0.07 0.33 0.09 -0.18 -0.12 -0.10 Q17 0.41 0.39 0.43 0.02 0.28 0.16 -0.17 -0.09 0.11 101
Matriz de correlações ACP Números inteiros ordenados e Índice (IHCPI) (cont.) Questões Questões Q10 Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 Q17 Q10 1,00 Q11 -0.10 1.00 Q12 -0.09 0.45 1.00 Q13 -0.10 0.59 0.54 1.00 Q14 0.06 0.47 0.45 0.31 1.00 Q15 0.08 0.26 0.39 0.23 0.58 1.00 Q16 0.03 0.24 0.43 0.35 0.25 0.40 1.00 Q17 0.06 0.17 0.37 0.22 0.32 0.41 0.54 1.00 Tabela A.2: Valores próprios e variância explicada ACP Números inteiros ordenados e Índice (IHCPI) Componentes Valor Próprio % % Acumulada 1 4.7534 27.96 27.96 2 2.4061 14.15 42.11 3 2.0789 12.23 54.34 4 1.3555 7.97 62.32 5 1.0671 6.28 68.59 6 0.7970 4.69 73.28 7 0.7895 4.64 77.93 8 0.6022 3.54 81.47 9 0.5625 3.31 84.78 10 0.4601 2.71 87.48 11 0.4344 2.56 90.04 12 0.4189 2.46 92.50 13 0.3272 1.92 94.43 14 0.2897 1.70 96.13 15 0.2722 1.60 97.73 16 0.2075 1.22 98.95 17 0.1778 1.05 100.00 102
Tabela A.3: Coordenadas e qualidade da representação das variáveis ACP Números inteiros ordenados e Índice (IHCPI) Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 4 Comp. 5 Comp. 6 Comp. 7 Comp. 8 Comp. 9 Quest. r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2 Q1 0.73 0.53 -0.31 0.10 0.23 0.05 -0.30 0.09 -0.04 0.00 0.11 0.01 0.11 0.01 -0.06 0.00 -0.01 0.00 Q2 0.71 0.51 -0.26 0.07 0.17 0.03 -0.36 0.13 -0.20 0.04 0.07 0.00 0.28 0.08 -0.06 0.00 0.00 0.00 Q3 0.75 0.56 -0.12 0.01 0.31 0.10 -0.30 0.09 -0.16 0.02 0.07 0.00 0.17 0.03 0.02 0.00 0.15 0.02 Q4 0.31 0.10 -0.56 0.31 -0.41 0.17 -0.09 0.01 0.38 0.14 -0.22 0.05 0.09 0.01 0.02 0.00 0.01 0.00 Q5 0.66 0.43 -0.10 0.01 -0.14 0.02 -0.17 0.03 0.28 0.08 -0.28 0.08 -0.02 0.00 0.42 0.18 -0.28 0.08 Q6 0.35 0.12 -0.54 0.29 -0.33 0.11 -0.11 0.01 0.18 0.03 -0.13 0.02 -0.48 0.23 -0.24 0.06 0.17 0.03 Q7 -0.05 0.00 0.18 0.03 -0.76 0.57 -0.34 0.11 -0.32 0.11 0.02 0.00 -0.17 0.03 -0.11 0.01 0.02 0.00 Q8 0.06 0.00 0.33 0.11 -0.69 0.48 -0.32 0.10 -0.34 0.12 0.11 0.01 0.02 0.00 0.15 0.02 -0.20 0.04 Q9 0.16 0.03 -0.62 0.39 -0.33 0.11 0.37 0.14 -0.11 0.01 0.14 0.02 0.25 0.06 -0.27 0.07 -0.21 0.04 Q10 0.12 0.02 -0.55 0.31 -0.19 0.04 0.31 0.10 -0.03 0.00 0.59 0.35 -0.18 0.03 0.35 0.12 0.11 0.01 Q11 0.47 0.22 0.49 0.24 -0.26 0.07 0.14 0.02 0.43 0.18 0.15 0.02 0.08 0.01 -0.19 0.04 -0.12 0.01 Q12 0.71 0.50 0.40 0.16 -0.03 0.00 -0.11 0.01 0.04 0.00 0.05 0.00 -0.15 0.02 -0.03 0.00 0.38 0.15 Q13 0.52 0.27 0.51 0.27 -0.04 0.00 -0.01 0.00 0.35 0.12 0.37 0.14 0.03 0.00 -0.12 0.01 -0.11 0.01 Q14 0.55 0.31 0.25 0.06 -0.36 0.13 0.46 0.21 -0.01 0.00 -0.18 0.03 0.22 0.05 0.09 0.01 0.20 0.04 Q15 0.59 0.35 0.12 0.01 -0.17 0.03 0.47 0.22 -0.33 0.11 -0.21 0.04 0.11 0.01 0.06 0.00 0.12 0.02 Q16 0.64 0.40 0.17 0.03 0.33 0.11 0.16 0.03 -0.12 0.01 0.00 0.00 -0.41 0.17 0.12 0.02 -0.18 0.03 Q17 0.64 0.41 0.00 0.00 0.24 0.06 0.25 0.06 -0.29 0.08 -0.10 0.01 -0.24 0.06 -0.22 0.05 -0.28 0.08 103
Matriz de correlações ACP Ordem média (IHCPI) (cont.) Questões Questões Q10 Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 Q17 Q10 1.00 Q11 -0.06 1.00 Q12 -0.05 0.45 1.00 Q13 -0.09 0.58 0.54 1.00 Q14 0.11 0.48 0.42 0.31 1.00 Q15 0.12 0.26 0.39 0.23 0.62 1.00 Q16 0.02 0.25 0.44 0.36 0.25 0.39 1.00 Q17 0.10 0.18 0.37 0.21 0.33 0.42 0.53 1.00 Tabela A.8: Valores próprios e variância explicada ACP Ordem média (IHCPI) Componentes Valor Próprio % % Acumulada 1 4.7661 28.04 28.04 2 2.5566 15.04 43.07 3 2.0972 12.34 55.41 4 1.3373 7.87 63.28 5 1.0186 5.99 69.27 6 0.8202 4.82 74.09 7 0.7564 4.45 78.54 8 0.5543 3.26 81.80 9 0.5231 3.08 84.88 10 0.4598 2.70 87.59 11 0.4348 2.56 90.14 12 0.4201 2.47 92.62 13 0.3267 1.92 94.54 14 0.2879 1.69 96.23 15 0.2624 1.54 97.77 16 0.2046 1.20 98.98 17 0.1737 1.02 100.00 110
Tabela A.9: Coordenadas e qualidade da representação das variáveis ACP Ordem média (IHCPI) Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 4 Comp. 5 Comp. 6 Comp. 7 Comp. 8 Comp. 9 Quest. r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2 Q1 0.73 0.53 0.26 0.07 0.26 0.07 -0.31 0.10 -0.05 0.00 -0.14 0.02 -0.08 0.01 0.07 0.01 -0.01 0.00 Q2 0.72 0.52 0.22 0.05 0.21 0.04 -0.36 0.13 -0.19 0.03 -0.30 0.09 0.03 0.00 0.07 0.00 0.01 0.00 Q3 0.73 0.54 0.04 0.00 0.36 0.13 -0.31 0.09 -0.16 0.02 -0.21 0.04 -0.01 0.00 -0.11 0.01 -0.05 0.00 Q4 0.32 0.10 0.57 0.33 -0.39 0.15 -0.12 0.01 0.34 0.12 0.01 0.00 0.22 0.05 0.03 0.00 0.02 0.00 Q5 0.67 0.45 0.12 0.01 -0.17 0.03 -0.13 0.02 0.27 0.07 0.14 0.02 0.38 0.14 -0.10 0.01 0.35 0.12 Q6 0.35 0.12 0.56 0.31 -0.32 0.10 -0.20 0.04 0.05 0.00 0.49 0.24 -0.04 0.00 -0.02 0.00 -0.25 0.06 Q7 -0.16 0.03 -0.15 0.02 -0.73 0.53 -0.36 0.13 -0.33 0.11 0.10 0.01 -0.11 0.01 0.04 0.00 -0.08 0.01 Q8 -0.05 0.00 -0.37 0.14 -0.66 0.43 -0.35 0.12 -0.31 0.10 -0.05 0.00 -0.02 0.00 0.12 0.01 0.26 0.07 Q9 0.22 0.05 0.66 0.44 -0.32 0.10 0.30 0.09 -0.05 0.00 -0.25 0.06 -0.12 0.01 0.28 0.08 -0.06 0.00 Q10 0.21 0.05 0.59 0.35 -0.23 0.05 0.27 0.07 -0.02 0.00 -0.04 0.00 -0.53 0.28 -0.31 0.10 0.21 0.05 Q11 0.46 0.21 -0.47 0.22 -0.32 0.10 0.10 0.01 0.45 0.21 -0.10 0.01 -0.12 0.01 0.14 0.02 -0.11 0.01 Q12 0.69 0.47 -0.41 0.17 -0.04 0.00 -0.15 0.02 0.03 0.00 0.13 0.02 -0.10 0.01 -0.30 0.09 -0.30 0.09 Q13 0.49 0.24 -0.54 0.29 -0.10 0.01 -0.06 0.00 0.36 0.13 -0.10 0.01 -0.34 0.12 0.15 0.02 0.07 0.00 Q14 0.55 0.31 -0.24 0.06 -0.43 0.18 0.43 0.19 -0.04 0.00 -0.18 0.03 0.24 0.06 -0.14 0.02 -0.07 0.00 Q15 0.59 0.35 -0.16 0.02 -0.21 0.04 0.46 0.21 -0.39 0.15 -0.08 0.01 0.16 0.03 -0.12 0.01 -0.04 0.00 Q16 0.62 0.38 -0.26 0.07 0.28 0.08 0.15 0.02 -0.13 0.02 0.41 0.17 -0.14 0.02 0.03 0.00 0.30 0.09 Q17 0.66 0.43 0.00 0.00 0.20 0.04 0.28 0.08 -0.21 0.05 0.29 0.08 0.01 0.00 0.40 0.16 -0.07 0.01 111
Coordenadas e qualidade da representação das variáveis ACP Ordem média (IHCPI) (cont.) Comp. 10 Comp. 11 Comp. 12 Comp. 13 Comp. 14 Comp. 15 Comp. 16 Comp. 17 Quest. r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2 Q1 0.12 0.01 -0.04 0.00 -0.03 0.00 -0.20 0.04 0.32 0.10 -0.18 0.03 0.02 0.00 0.10 0.01 Q2 0.08 0.01 -0.05 0.00 0.10 0.01 0.08 0.01 -0.05 0.00 0.12 0.01 -0.22 0.05 -0.20 0.04 Q3 -0.09 0.01 0.02 0.00 0.03 0.00 0.20 0.04 -0.14 0.02 0.10 0.01 0.21 0.05 0.17 0.03 Q4 0.37 0.14 0.18 0.03 -0.17 0.03 0.01 0.00 -0.09 0.01 0.00 0.00 0.13 0.02 -0.07 0.00 Q5 -0.25 0.06 -0.10 0.01 0.11 0.01 -0.17 0.03 -0.09 0.01 -0.01 0.00 -0.06 0.00 0.06 0.00 Q6 -0.18 0.03 -0.07 0.01 -0.07 0.01 0.16 0.02 0.17 0.03 0.14 0.02 -0.05 0.00 0.01 0.00 Q7 0.22 0.05 -0.15 0.02 0.09 0.01 -0.11 0.01 -0.17 0.03 0.00 0.00 -0.08 0.01 0.15 0.02 Q8 -0.18 0.03 0.18 0.03 -0.02 0.00 0.09 0.01 0.14 0.02 -0.04 0.00 0.13 0.02 -0.11 0.01 Q9 -0.23 0.05 -0.16 0.03 -0.11 0.01 0.06 0.00 -0.14 0.02 -0.21 0.04 0.01 0.00 0.00 0.00 Q10 0.02 0.00 0.12 0.01 0.17 0.03 -0.07 0.00 0.01 0.00 0.07 0.00 0.01 0.00 -0.01 0.00 Q11 0.06 0.00 -0.25 0.06 0.31 0.10 0.04 0.00 0.07 0.01 0.05 0.00 0.13 0.02 -0.06 0.00 Q12 -0.10 0.01 0.11 0.01 -0.04 0.00 -0.10 0.01 -0.14 0.02 -0.22 0.05 0.01 0.00 -0.13 0.02 Q13 -0.07 0.00 0.11 0.01 -0.33 0.11 -0.04 0.00 -0.04 0.00 0.14 0.02 -0.12 0.01 0.08 0.01 Q14 0.08 0.01 0.19 0.04 0.08 0.01 0.22 0.05 0.12 0.01 -0.08 0.01 -0.15 0.02 0.12 0.02 Q15 0.02 0.00 -0.20 0.04 -0.22 0.05 -0.18 0.03 0.05 0.00 0.19 0.03 0.09 0.01 -0.06 0.00 Q16 0.20 0.04 -0.19 0.04 -0.09 0.01 0.22 0.05 -0.03 0.00 -0.14 0.02 0.00 0.00 -0.03 0.00 Q17 -0.01 0.00 0.30 0.09 0.20 0.04 -0.14 0.02 -0.07 0.01 0.06 0.00 0.02 0.00 0.01 0.00 112
Método: Quantis da Distribuição Normal com Ridits Tabela A.10: Matriz de correlações ACP Quantis da distribuição normal com ridits (IHCPI) Questões Questões Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q1 1.00 Q2 0.72 1.00 Q3 0.66 0.75 1.00 Q4 0.29 0.25 0.12 1.00 Q5 0.44 0.42 0.40 0.41 1.00 Q6 0.30 0.23 0.17 0.51 0.34 1.00 Q7 -0.15 -0.08 -0.20 0.10 -0.05 0.16 1.00 Q8 -0.10 -0.04 -0.10 -0.01 0.09 0.00 0.65 1.00 Q9 0.16 0.17 0.03 0.39 0.11 0.36 0.00 -0.05 1.00 Q10 0.15 0.10 0.05 0.29 0.08 0.32 -0.01 -0.08 0.46 Q11 0.12 0.11 0.12 0.07 0.32 0.00 0.11 0.15 -0.05 Q12 0.40 0.36 0.49 0.01 0.38 0.16 0.05 0.13 -0.18 Q13 0.24 0.21 0.26 0.00 0.24 -0.06 -0.03 0.18 -0.13 Q14 0.12 0.17 0.18 0.20 0.34 0.06 0.08 0.21 0.18 Q15 0.25 0.27 0.28 0.08 0.30 0.09 0.04 0.09 0.23 Q16 0.38 0.32 0.41 -0.08 0.31 0.07 -0.17 -0.12 -0.11 Q17 0.41 0.39 0.43 0.04 0.29 0.17 -0.18 -0.11 0.12 113
Matriz de correlações ACP Quantis da distribuição normal com ridits (IHCPI) (cont.) Questões Questões Q10 Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 Q17 Q10 1.00 Q11 -0.08 1.00 Q12 -0.08 0.46 1.00 Q13 -0.09 0.56 0.52 1.00 Q14 0.08 0.48 0.43 0.31 1.00 Q15 0.10 0.28 0.39 0.23 0.61 1.00 Q16 0.04 0.24 0.43 0.34 0.25 0.41 1.00 Q17 0.07 0.18 0.38 0.21 0.34 0.43 0.52 1.00 Tabela A.11: Valores próprios e variância explicada ACP Quantis da distribuição normal com ridits (IHCPI) Componentes Valor Próprio % % Acumulada 1 4.7601 28.00 28.00 2 2.4160 14.21 42.21 3 2.0961 12.33 54.54 4 1.3726 8.07 62.62 5 1.0438 6.14 68.76 6 0.8036 4.73 73.48 7 0.7917 4.66 78.14 8 0.5714 3.36 81.50 9 0.5399 3.18 84.68 10 0.4553 2.68 87.36 11 0.4388 2.58 89.94 12 0.4324 2.54 92.48 13 0.3249 1.91 94.39 14 0.2855 1.68 96.07 15 0.2765 1.63 97.70 16 0.2160 1.27 98.97 17 0.1753 1.03 100.00 114
Tabela A.12: Coordenadas e qualidade da representação das variáveis ACP Quantis da distribuição normal com ridits (IHCPI) Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 4 Comp. 5 Comp. 6 Comp. 7 Comp. 8 Comp. 9 Quest. r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2 Q1 0.73 0.53 -0.26 0.07 0.25 0.06 -0.31 0.10 0.05 0.00 0.13 0.02 -0.08 0.01 0.04 0.00 -0.04 0.00 Q2 0.71 0.51 -0.23 0.05 0.22 0.05 -0.36 0.13 0.18 0.03 0.30 0.09 0.00 0.00 0.03 0.00 -0.02 0.00 Q3 0.73 0.53 -0.08 0.01 0.35 0.13 -0.30 0.09 0.15 0.02 0.20 0.04 -0.02 0.00 -0.02 0.00 0.15 0.02 Q4 0.32 0.10 -0.59 0.34 -0.37 0.14 -0.11 0.01 -0.38 0.14 0.00 0.00 0.21 0.04 0.00 0.00 -0.03 0.00 Q5 0.66 0.44 -0.12 0.01 -0.14 0.02 -0.16 0.02 -0.28 0.08 -0.11 0.01 0.33 0.11 -0.39 0.15 -0.19 0.04 Q6 0.35 0.12 -0.57 0.33 -0.29 0.09 -0.16 0.03 -0.10 0.01 -0.49 0.24 -0.01 0.00 0.24 0.06 0.14 0.02 Q7 -0.09 0.01 0.12 0.01 -0.75 0.57 -0.35 0.12 0.34 0.12 -0.13 0.02 -0.08 0.01 0.09 0.01 0.02 0.00 Q8 0.02 0.00 0.31 0.09 -0.70 0.49 -0.34 0.11 0.33 0.11 0.08 0.01 -0.06 0.00 -0.14 0.02 -0.21 0.04 Q9 0.18 0.03 -0.65 0.43 -0.29 0.08 0.36 0.13 0.08 0.01 0.29 0.08 -0.10 0.01 0.24 0.06 -0.19 0.04 Q10 0.16 0.02 -0.58 0.34 -0.18 0.03 0.30 0.09 0.05 0.00 -0.03 0.00 -0.57 0.32 -0.35 0.12 0.14 0.02 Q11 0.47 0.22 0.46 0.21 -0.31 0.10 0.13 0.02 -0.44 0.19 0.08 0.01 -0.12 0.01 0.15 0.02 -0.05 0.00 Q12 0.70 0.49 0.40 0.16 -0.04 0.00 -0.13 0.02 -0.04 0.00 -0.15 0.02 -0.08 0.01 0.08 0.01 0.40 0.16 Q13 0.51 0.26 0.50 0.25 -0.09 0.01 -0.03 0.00 -0.34 0.12 0.11 0.01 -0.39 0.16 0.09 0.01 -0.18 0.03 Q14 0.57 0.32 0.22 0.05 -0.41 0.17 0.43 0.19 0.01 0.00 0.17 0.03 0.23 0.05 -0.06 0.00 0.19 0.04 Q15 0.61 0.37 0.12 0.02 -0.20 0.04 0.46 0.21 0.33 0.11 0.08 0.01 0.20 0.04 -0.05 0.00 0.11 0.01 Q16 0.62 0.38 0.22 0.05 0.29 0.09 0.18 0.03 0.15 0.02 -0.41 0.16 -0.13 0.02 -0.19 0.03 -0.21 0.04 Q17 0.65 0.42 0.01 0.00 0.22 0.05 0.27 0.07 0.28 0.08 -0.24 0.06 0.06 0.00 0.26 0.07 -0.26 0.07 115
Coordenadas e qualidade da representação das variáveis ACP Quantis da distribuição normal com ridits (IHCPI) (cont.) Comp. 10 Comp. 11 Comp. 12 Comp. 13 Comp. 14 Comp. 15 Comp. 16 Comp. 17 Quest. r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2 Q1 0.10 0.01 -0.04 0.00 -0.01 0.00 -0.33 0.11 -0.27 0.08 0.08 0.01 -0.04 0.00 0.11 0.01 Q2 0.08 0.01 -0.11 0.01 0.01 0.00 0.11 0.01 0.07 0.01 0.10 0.01 0.23 0.05 -0.20 0.04 Q3 -0.07 0.00 -0.01 0.00 0.02 0.00 0.24 0.06 0.14 0.02 -0.04 0.00 -0.22 0.05 0.16 0.03 Q4 0.12 0.01 -0.06 0.00 -0.41 0.17 0.00 0.00 0.04 0.00 -0.12 0.01 -0.11 0.01 -0.07 0.01 Q5 -0.13 0.02 0.04 0.00 0.26 0.07 -0.06 0.00 0.09 0.01 -0.07 0.01 0.09 0.01 0.06 0.00 Q6 -0.02 0.00 0.16 0.03 0.12 0.02 0.10 0.01 -0.01 0.00 0.24 0.06 0.00 0.00 0.01 0.00 Q7 0.19 0.03 -0.20 0.04 0.00 0.00 -0.03 0.00 0.11 0.01 -0.12 0.01 0.12 0.01 0.16 0.03 Q8 -0.19 0.04 0.13 0.02 -0.03 0.00 0.04 0.00 -0.12 0.01 0.08 0.01 -0.16 0.03 -0.13 0.02 Q9 0.02 0.00 0.16 0.02 0.22 0.05 0.09 0.01 -0.09 0.01 -0.22 0.05 0.01 0.00 0.01 0.00 Q10 -0.12 0.01 -0.14 0.02 -0.03 0.00 -0.06 0.00 0.06 0.00 0.03 0.00 0.00 0.00 -0.02 0.00 Q11 0.10 0.01 -0.34 0.11 0.24 0.06 0.00 0.00 0.02 0.00 0.07 0.01 -0.14 0.02 -0.07 0.00 Q12 -0.13 0.02 0.11 0.01 0.03 0.00 -0.08 0.01 -0.07 0.01 -0.28 0.08 0.03 0.00 -0.12 0.02 Q13 0.00 0.00 0.30 0.09 -0.18 0.03 -0.01 0.00 0.12 0.02 0.05 0.00 0.11 0.01 0.09 0.01 Q14 -0.13 0.02 -0.08 0.01 -0.14 0.02 0.16 0.02 -0.21 0.04 0.11 0.01 0.12 0.02 0.11 0.01 Q15 0.26 0.07 0.19 0.04 0.03 0.00 -0.19 0.03 0.20 0.04 0.09 0.01 -0.08 0.01 -0.05 0.00 Q16 0.31 0.09 -0.01 0.00 -0.05 0.00 0.20 0.04 -0.15 0.02 -0.08 0.01 -0.01 0.00 -0.03 0.00 Q17 -0.34 0.11 -0.18 0.03 -0.13 0.02 -0.10 0.01 0.11 0.01 -0.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 116
Método: Quantis da Distribuição Normal com Ordem Média Tabela A.13: Matriz de correlações ACP Quantis da distribuição normal com ordem média (IHCPI) Questões Questões Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q1 1.00 Q2 0.72 1.00 Q3 0.66 0.75 1.00 Q4 0.28 0.25 0.12 1.00 Q5 0.44 0.42 0.40 0.41 1.00 Q6 0.30 0.23 0.16 0.51 0.34 1.00 Q7 -0.16 -0.08 -0.21 0.10 -0.05 0.16 1.00 Q8 -0.11 -0.04 -0.10 -0.01 0.09 0.00 0.64 1.00 Q9 0.16 0.17 0.03 0.40 0.11 0.37 0.01 -0.05 1.00 Q10 0.15 0.10 0.05 0.29 0.08 0.32 -0.01 -0.09 0.46 Q11 0.12 0.11 0.12 0.06 0.32 0.00 0.11 0.15 -0.05 Q12 0.40 0.36 0.49 0.00 0.38 0.16 0.05 0.13 -0.18 Q13 0.24 0.21 0.26 0.00 0.24 -0.06 -0.03 0.18 -0.13 Q14 0.12 0.17 0.18 0.20 0.34 0.06 0.08 0.21 0.18 Q15 0.25 0.27 0.28 0.07 0.30 0.09 0.04 0.09 0.23 Q16 0.38 0.32 0.41 -0.08 0.31 0.07 -0.18 -0.12 -0.11 Q17 0.41 0.39 0.43 0.04 0.29 0.17 -0.19 -0.11 0.13 117
Matriz de correlações ACP Quantis da distribuição normal com ordem média (IHCPI) (cont.) Questões Questões Q10 Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 Q17 Q10 1.00 Q11 -0.08 1.00 Q12 -0.08 0.46 1.00 Q13 -0.08 0.56 0.52 1.00 Q14 0.08 0.48 0.43 0.31 1.00 Q15 0.10 0.28 0.39 0.23 0.61 1.00 Q16 0.04 0.24 0.43 0.34 0.25 0.41 1.00 Q17 0.07 0.18 0.38 0.21 0.34 0.43 0.52 1.00 Tabela A.14: Valores próprios e variância explicada ACP Quantis da distribuição normal com ordem média (IHCPI) Componentes Valor Próprio % % Acumulada 1 4.7614 28.01 28.01 2 2.4267 14.27 42.28 3 2.0971 12.34 54.62 4 1.3705 8.06 62.68 5 1.0414 6.13 68.81 6 0.8033 4.73 73.53 7 0.7892 4.64 78.17 8 0.5694 3.35 81.52 9 0.5400 3.18 84.70 10 0.4542 2.67 87.37 11 0.4380 2.58 89.95 12 0.4326 2.54 92.49 13 0.3242 1.91 94.40 14 0.2851 1.68 96.08 15 0.2759 1.62 97.70 16 0.2156 1.27 98.97 17 0.1754 1.03 100.00 118
Tabela A.15: Coordenadas e qualidade da representação das variáveis ACP Quantis da distribuição normal com ordem média (IHCPI) Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 4 Comp. 5 Comp. 6 Comp. 7 Comp. 8 Comp. 9 Quest. r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2 Q1 0.73 0.53 -0.26 0.07 0.26 0.07 -0.31 0.10 0.05 0.00 0.13 0.02 -0.08 0.01 0.04 0.00 0.04 0.00 Q2 0.71 0.51 -0.23 0.05 0.22 0.05 -0.36 0.13 0.17 0.03 0.30 0.09 -0.01 0.00 0.03 0.00 0.02 0.00 Q3 0.73 0.53 -0.07 0.01 0.36 0.13 -0.30 0.09 0.15 0.02 0.20 0.04 -0.03 0.00 -0.02 0.00 -0.15 0.02 Q4 0.32 0.10 -0.59 0.35 -0.37 0.14 -0.11 0.01 -0.37 0.14 0.01 0.00 0.21 0.04 0.00 0.00 0.04 0.00 Q5 0.66 0.44 -0.12 0.01 -0.14 0.02 -0.15 0.02 -0.28 0.08 -0.10 0.01 0.33 0.11 -0.39 0.15 0.20 0.04 Q6 0.35 0.12 -0.57 0.33 -0.29 0.09 -0.16 0.03 -0.10 0.01 -0.49 0.24 -0.01 0.00 0.23 0.05 -0.15 0.02 Q7 -0.09 0.01 0.12 0.01 -0.75 0.56 -0.35 0.12 0.34 0.12 -0.12 0.02 -0.08 0.01 0.09 0.01 -0.02 0.00 Q8 0.02 0.00 0.31 0.09 -0.70 0.49 -0.34 0.12 0.33 0.11 0.08 0.01 -0.06 0.00 -0.14 0.02 0.22 0.05 Q9 0.19 0.04 -0.66 0.43 -0.29 0.08 0.35 0.12 0.08 0.01 0.28 0.08 -0.10 0.01 0.24 0.06 0.19 0.03 Q10 0.16 0.03 -0.59 0.34 -0.18 0.03 0.30 0.09 0.05 0.00 -0.03 0.00 -0.56 0.32 -0.36 0.13 -0.13 0.02 Q11 0.47 0.22 0.46 0.21 -0.31 0.10 0.14 0.02 -0.44 0.19 0.08 0.01 -0.12 0.01 0.15 0.02 0.04 0.00 Q12 0.70 0.49 0.40 0.16 -0.04 0.00 -0.13 0.02 -0.04 0.00 -0.15 0.02 -0.08 0.01 0.07 0.00 -0.40 0.16 Q13 0.51 0.26 0.50 0.25 -0.09 0.01 -0.03 0.00 -0.35 0.12 0.10 0.01 -0.39 0.15 0.09 0.01 0.18 0.03 Q14 0.57 0.32 0.22 0.05 -0.41 0.17 0.43 0.19 0.01 0.00 0.18 0.03 0.23 0.05 -0.06 0.00 -0.19 0.03 Q15 0.61 0.37 0.12 0.02 -0.20 0.04 0.45 0.21 0.34 0.12 0.08 0.01 0.20 0.04 -0.05 0.00 -0.11 0.01 Q16 0.62 0.38 0.23 0.05 0.29 0.09 0.18 0.03 0.16 0.02 -0.41 0.17 -0.12 0.01 -0.19 0.03 0.21 0.04 Q17 0.65 0.42 0.01 0.00 0.22 0.05 0.27 0.07 0.28 0.08 -0.24 0.06 0.06 0.00 0.27 0.07 0.26 0.07 119
Coordenadas e qualidade da representação das variáveis ACP Números inteiros ordenados e Índice (ISE) (cont.) Comp. 15 Comp. 16 Comp. 17 Comp. 18 Comp. 19 Comp. 20 Comp. 21 Quest. r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2 Q1 0.01 0.00 -0.01 0.00 -0.02 0.00 0.04 0.00 0.04 0.00 0.08 0.01 -0.02 0.00 Q2 0.05 0.00 -0.11 0.01 -0.14 0.02 0.07 0.00 -0.12 0.01 0.03 0.00 0.08 0.01 Q3 -0.13 0.02 -0.01 0.00 0.01 0.00 -0.03 0.00 0.11 0.01 0.09 0.01 -0.02 0.00 Q4 0.02 0.00 0.09 0.01 -0.06 0.00 -0.05 0.00 -0.24 0.06 0.08 0.01 0.03 0.00 Q5 0.28 0.08 0.08 0.01 0.03 0.00 -0.04 0.00 0.08 0.01 -0.24 0.06 0.00 0.00 Q6 -0.01 0.00 -0.05 0.00 0.23 0.05 0.03 0.00 0.06 0.00 0.07 0.01 0.06 0.00 Q7 0.14 0.02 -0.13 0.02 -0.11 0.01 -0.26 0.07 0.00 0.00 0.01 0.00 -0.11 0.01 Q8 -0.02 0.00 -0.15 0.02 0.00 0.00 0.10 0.01 -0.06 0.00 0.02 0.00 -0.08 0.01 Q9 -0.03 0.00 -0.04 0.00 -0.26 0.07 0.20 0.04 0.02 0.00 0.00 0.00 0.07 0.00 Q10 -0.23 0.05 -0.30 0.09 0.06 0.00 -0.03 0.00 -0.12 0.01 -0.19 0.03 0.02 0.00 Q11 -0.09 0.01 0.26 0.07 -0.03 0.00 -0.08 0.01 -0.08 0.01 0.10 0.01 -0.06 0.00 Q12 0.10 0.01 0.12 0.01 0.11 0.01 -0.04 0.00 -0.19 0.03 -0.12 0.01 -0.06 0.00 Q13 0.11 0.01 0.08 0.01 0.06 0.00 0.25 0.06 0.12 0.01 0.02 0.00 -0.09 0.01 Q14 0.04 0.00 -0.06 0.00 0.02 0.00 -0.10 0.01 -0.06 0.00 0.16 0.03 0.06 0.00 Q15 0.23 0.05 0.00 0.00 0.01 0.00 0.05 0.00 -0.02 0.00 0.04 0.00 0.13 0.02 Q16 -0.25 0.06 0.22 0.05 -0.01 0.00 0.11 0.01 -0.05 0.00 -0.13 0.02 0.02 0.00 Q17 -0.10 0.01 -0.07 0.01 0.04 0.00 -0.08 0.01 0.20 0.04 -0.03 0.00 -0.04 0.00 Q18 -0.01 0.00 0.04 0.00 -0.07 0.00 -0.12 0.02 0.14 0.02 -0.01 0.00 0.22 0.05 Q19 0.10 0.01 -0.12 0.02 -0.03 0.00 0.12 0.02 -0.02 0.00 0.08 0.01 -0.13 0.02 Q20 -0.05 0.00 0.04 0.00 0.22 0.05 -0.05 0.00 0.00 0.00 0.12 0.01 0.00 0.00 Q21 -0.08 0.01 0.10 0.01 -0.23 0.06 -0.11 0.01 0.10 0.01 -0.01 0.00 -0.10 0.01 126
Método: Ridits Tabela A.19: Matriz de correlações ACP Ridits (ISE) Questões Questões Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10 Q11 Q1 1.00 Q2 0.11 1.00 Q3 0.19 0.02 1.00 Q4 0.32 0.15 0.17 1.00 Q5 0.30 0.20 0.34 0.45 1.00 Q6 0.34 0.15 0.12 0.43 0.33 1.00 Q7 0.21 0.06 0.03 0.11 0.14 0.40 1.00 Q8 0.32 0.10 0.22 0.22 0.43 0.29 0.26 1.00 Q9 0.14 -0.28 0.30 0.08 0.30 0.25 0.43 0.29 1.00 Q10 0.32 0.25 0.27 0.43 0.47 0.44 0.13 0.24 0.16 1.00 Q11 0.30 0.19 0.19 0.19 0.48 0.36 0.12 0.39 0.15 0.54 1.00 Q12 0.31 -0.05 0.40 0.11 0.20 0.27 0.21 0.33 0.39 0.25 0.24 Q13 0.21 0.33 0.10 0.50 0.35 0.42 0.28 0.17 0.09 0.55 0.38 Q14 0.15 -0.06 0.27 0.26 0.52 0.22 0.21 0.24 0.39 0.35 0.31 Q15 0.24 0.28 -0.04 0.16 0.09 0.44 0.24 0.19 -0.08 0.40 0.36 Q16 0.30 0.15 0.09 0.34 0.33 0.43 0.57 0.37 0.33 0.26 0.24 Q17 0.34 0.24 0.11 0.47 0.35 0.41 0.21 0.40 0.13 0.36 0.35 Q18 0.30 0.02 0.32 0.32 0.39 0.27 0.22 0.44 0.28 0.47 0.45 Q19 0.11 0.05 0.34 0.30 0.43 0.23 0.02 0.18 0.25 0.46 0.34 Q20 0.00 0.24 0.03 -0.01 0.23 0.07 0.21 0.15 0.23 0.18 0.07 Q21 0.12 0.37 -0.02 0.35 0.22 0.44 -0.03 0.07 -0.14 0.49 0.29 127
Matriz de correlações ACP Ridits (ISE) (cont.) Questões Questões Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 Q17 Q18 Q19 Q20 Q21 Q12 1.00 Q13 0.21 1.00 Q14 0.31 0.34 1.00 Q15 0.14 0.31 -0.05 1.00 Q16 0.22 0.34 0.34 0.30 1.00 Q17 0.35 0.44 0.36 0.38 0.49 1.00 Q18 0.53 0.42 0.35 0.08 0.28 0.31 1.00 Q19 0.35 0.24 0.35 0.13 0.19 0.22 0.63 1.00 Q20 0.05 0.08 0.03 0.11 0.30 0.02 0.19 0.20 1.00 Q21 0.05 0.33 0.03 0.48 0.16 0.22 0.19 0.30 0.20 1.00 128
Tabela A.20: Valores próprios e variância explicada ACP Ridits (ISE) Componentes Valor Próprio % % Acumulada 1 6.3359 30.17 30.17 2 2.3288 11.09 41.26 3 1.7065 8.13 49.39 4 1.3109 6.24 55.63 5 1.1461 5.46 61.09 6 1.0276 4.89 65.98 7 0.8661 4.12 70.10 8 0.8185 3.90 74.00 9 0.7736 3.68 77.68 10 0.6987 3.33 81.01 11 0.6110 2.91 83.92 12 0.5345 2.55 86.47 13 0.4930 2.35 88.81 14 0.4046 1.93 90.74 15 0.3756 1.79 92.53 16 0.3421 1.63 94.16 17 0.3092 1.47 95.63 18 0.2743 1.31 96.94 19 0.2627 1.25 98.19 20 0.2189 1.04 99.23 21 0.1616 0.77 100.00 129
Tabela A.21: Coordenadas e qualidade da representação das variáveis ACP Ridits (ISE) Comp. 1 Comp. 2 Comp. 3 Comp. 4 Comp. 5 Comp. 6 Comp. 7 Quest. r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2 Q1 0.50 0.25 0.00 0.00 -0.13 0.02 -0.35 0.12 -0.27 0.07 0.25 0.06 -0.16 0.03 Q2 0.27 0.07 -0.59 0.35 0.02 0.00 0.24 0.06 0.04 0.00 0.44 0.19 -0.25 0.06 Q3 0.38 0.14 0.41 0.17 0.34 0.12 -0.01 0.00 -0.15 0.02 0.11 0.01 -0.34 0.11 Q4 0.59 0.35 -0.18 0.03 0.11 0.01 -0.31 0.10 0.41 0.17 -0.05 0.00 -0.31 0.10 Q5 0.68 0.46 0.13 0.02 0.21 0.04 0.09 0.01 0.31 0.09 0.32 0.10 0.16 0.03 Q6 0.65 0.43 -0.21 0.04 -0.25 0.06 -0.13 0.02 -0.04 0.00 -0.31 0.10 0.02 0.00 Q7 0.42 0.18 0.16 0.03 -0.71 0.50 0.13 0.02 0.04 0.00 -0.16 0.02 -0.01 0.00 Q8 0.56 0.31 0.20 0.04 -0.16 0.02 -0.05 0.00 -0.24 0.06 0.47 0.22 0.15 0.02 Q9 0.40 0.16 0.65 0.42 -0.26 0.07 0.18 0.03 0.05 0.00 -0.20 0.04 0.08 0.01 Q10 0.73 0.53 -0.22 0.05 0.29 0.08 0.07 0.00 0.01 0.00 -0.15 0.02 0.13 0.02 Q11 0.64 0.41 -0.09 0.01 0.20 0.04 -0.01 0.00 -0.20 0.04 0.14 0.02 0.55 0.30 Q12 0.52 0.27 0.40 0.16 0.04 0.00 -0.10 0.01 -0.46 0.21 -0.13 0.02 -0.26 0.07 Q13 0.65 0.42 -0.27 0.07 0.01 0.00 -0.11 0.01 0.28 0.08 -0.14 0.02 -0.05 0.00 Q14 0.55 0.30 0.39 0.15 0.10 0.01 -0.10 0.01 0.42 0.17 -0.02 0.00 0.23 0.05 Q15 0.45 0.20 -0.54 0.30 -0.22 0.05 0.01 0.00 -0.39 0.15 -0.16 0.03 0.15 0.02 Q16 0.61 0.38 0.03 0.00 -0.54 0.29 0.09 0.01 0.17 0.03 0.04 0.00 -0.08 0.01 Q17 0.65 0.43 -0.13 0.02 -0.17 0.03 -0.34 0.11 0.05 0.00 0.15 0.02 -0.08 0.01 Q18 0.68 0.46 0.28 0.08 0.27 0.07 0.10 0.01 -0.17 0.03 -0.07 0.01 -0.07 0.01 Q19 0.57 0.32 0.17 0.03 0.48 0.23 0.27 0.07 -0.02 0.00 -0.24 0.06 -0.08 0.01 Q20 0.26 0.07 -0.02 0.00 -0.17 0.03 0.83 0.68 0.04 0.00 0.16 0.02 -0.14 0.02 Q21 0.44 0.20 -0.62 0.38 0.20 0.04 0.20 0.04 -0.07 0.00 -0.25 0.06 -0.03 0.00 130
Coordenadas e qualidade da representação das variáveis ACP Ridits (ISE) (cont.) Comp. 8 Comp. 9 Comp. 10 Comp. 11 Comp. 12 Comp. 13 Comp. 14 Quest. r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2 Q1 0.34 0.11 -0.04 0.00 0.35 0.12 0.42 0.18 0.00 0.00 0.08 0.01 -0.01 0.00 Q2 -0.20 0.04 0.31 0.10 0.01 0.00 -0.05 0.00 -0.05 0.00 0.22 0.05 0.17 0.03 Q3 0.22 0.05 0.46 0.21 -0.16 0.03 -0.18 0.03 0.22 0.05 -0.12 0.01 -0.12 0.01 Q4 0.20 0.04 -0.26 0.07 0.06 0.00 -0.14 0.02 0.02 0.00 -0.17 0.03 0.04 0.00 Q5 0.25 0.06 0.01 0.00 -0.06 0.00 0.00 0.00 -0.03 0.00 0.09 0.01 0.11 0.01 Q6 0.28 0.08 0.05 0.00 -0.06 0.00 -0.21 0.04 -0.16 0.03 0.23 0.05 0.13 0.02 Q7 -0.07 0.00 0.17 0.03 0.22 0.05 -0.13 0.02 0.17 0.03 0.14 0.02 -0.02 0.00 Q8 0.00 0.00 -0.27 0.07 -0.06 0.00 -0.38 0.15 -0.10 0.01 -0.02 0.00 -0.19 0.04 Q9 0.19 0.04 0.09 0.01 -0.04 0.00 -0.02 0.00 -0.21 0.04 -0.16 0.03 0.21 0.04 Q10 0.08 0.01 0.15 0.02 0.14 0.02 0.10 0.01 -0.01 0.00 -0.22 0.05 -0.13 0.02 Q11 -0.03 0.00 0.10 0.01 0.12 0.01 -0.02 0.00 0.07 0.01 -0.03 0.00 0.16 0.02 Q12 -0.25 0.06 0.06 0.00 -0.12 0.01 0.11 0.01 -0.28 0.08 0.06 0.00 0.01 0.00 Q13 -0.33 0.11 0.20 0.04 0.29 0.09 -0.09 0.01 -0.13 0.02 -0.18 0.03 -0.02 0.00 Q14 -0.15 0.02 0.17 0.03 -0.20 0.04 0.26 0.07 -0.07 0.01 0.19 0.04 -0.24 0.06 Q15 0.01 0.00 0.08 0.01 -0.22 0.05 0.07 0.01 0.19 0.04 -0.19 0.03 -0.02 0.00 Q16 -0.04 0.00 -0.10 0.01 -0.13 0.02 0.09 0.01 0.29 0.08 0.05 0.00 -0.13 0.02 Q17 -0.26 0.07 -0.15 0.02 -0.36 0.13 0.13 0.02 -0.02 0.00 -0.17 0.03 0.17 0.03 Q18 -0.28 0.08 -0.26 0.07 0.30 0.09 -0.10 0.01 0.07 0.00 0.08 0.01 -0.07 0.01 Q19 -0.07 0.00 -0.23 0.05 -0.08 0.01 0.05 0.00 0.29 0.08 0.16 0.03 0.21 0.04 Q20 0.07 0.00 -0.13 0.02 0.02 0.00 0.18 0.03 -0.14 0.02 -0.20 0.04 -0.02 0.00 Q21 0.18 0.03 -0.10 0.01 -0.15 0.02 -0.02 0.00 -0.18 0.03 0.17 0.03 -0.23 0.05 131
Coordenadas e qualidade da representação das variáveis ACP Ridits (ISE) (cont.) Comp. 15 Comp. 16 Comp. 17 Comp. 18 Comp. 19 Comp. 20 Comp. 21 Quest. r r2r r2r r2r r2r r2r r2r r2 Q1 0.04 0.00 -0.03 0.00 0.02 0.00 -0.10 0.01 0.08 0.01 0.01 0.00 -0.04 0.00 Q2 0.09 0.01 -0.15 0.02 -0.04 0.00 -0.02 0.00 -0.02 0.00 -0.10 0.01 0.09 0.01 Q3 -0.12 0.01 0.01 0.00 0.04 0.00 -0.01 0.00 0.11 0.01 0.04 0.00 -0.01 0.00 Q4 0.01 0.00 0.05 0.00 -0.14 0.02 0.13 0.02 0.04 0.00 -0.22 0.05 0.02 0.00 Q5 0.11 0.01 0.27 0.07 -0.08 0.01 0.06 0.00 -0.14 0.02 0.20 0.04 0.04 0.00 Q6 -0.15 0.02 0.06 0.00 0.30 0.09 -0.04 0.00 -0.04 0.00 -0.04 0.00 0.03 0.00 Q7 0.16 0.03 0.03 0.00 -0.04 0.00 0.24 0.06 0.11 0.01 0.05 0.00 -0.10 0.01 Q8 0.15 0.02 -0.07 0.01 0.05 0.00 -0.10 0.01 -0.02 0.00 -0.06 0.00 -0.09 0.01 Q9 0.09 0.01 -0.22 0.05 -0.16 0.03 -0.13 0.02 0.06 0.00 0.01 0.00 0.10 0.01 Q10 0.12 0.01 -0.24 0.06 0.14 0.02 0.16 0.03 -0.24 0.06 0.00 0.00 0.00 0.00 Q11 -0.29 0.09 -0.01 0.00 -0.13 0.02 0.08 0.01 0.08 0.01 -0.10 0.01 -0.06 0.00 Q12 -0.03 0.00 0.14 0.02 -0.14 0.02 0.10 0.01 -0.18 0.03 -0.07 0.00 -0.06 0.00 Q13 -0.02 0.00 0.12 0.01 -0.01 0.00 -0.25 0.06 0.01 0.00 0.08 0.01 -0.10 0.01 Q14 0.07 0.01 0.02 0.00 0.07 0.01 -0.02 0.00 0.13 0.02 -0.16 0.02 0.03 0.00 Q15 0.22 0.05 0.20 0.04 -0.04 0.00 -0.09 0.01 0.03 0.00 -0.07 0.00 0.12 0.01 Q16 -0.26 0.07 -0.09 0.01 -0.11 0.01 -0.12 0.01 -0.21 0.05 0.01 0.00 0.03 0.00 Q17 -0.03 0.00 -0.11 0.01 0.12 0.02 0.12 0.01 0.13 0.02 0.17 0.03 -0.03 0.00 Q18 -0.05 0.00 0.01 0.00 0.05 0.00 0.03 0.00 0.09 0.01 0.08 0.01 0.24 0.06 Q19 0.15 0.02 -0.05 0.00 0.04 0.00 -0.12 0.01 -0.01 0.00 -0.04 0.00 -0.16 0.02 Q20 -0.11 0.01 0.13 0.02 0.14 0.02 0.04 0.00 0.08 0.01 -0.07 0.00 -0.04 0.00 Q21 -0.04 0.00 -0.10 0.01 -0.21 0.04 0.01 0.00 0.14 0.02 0.14 0.02 -0.05 0.00 132
Método: Ordem Média Tabela A.22: Matriz de correlações ACP Ordem média (ISE) Questões Questões Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10 Q11 Q1 1.00 Q2 0.11 1.00 Q3 0.19 0.02 1.00 Q4 0.32 0.15 0.17 1.00 Q5 0.30 0.20 0.34 0.45 1.00 Q6 0.34 0.15 0.12 0.43 0.33 1.00 Q7 0.21 0.06 0.03 0.11 0.14 0.40 1.00 Q8 0.32 0.10 0.22 0.22 0.43 0.29 0.26 1.00 Q9 0.14 -0.28 0.30 0.08 0.30 0.25 0.43 0.29 1.00 Q10 0.32 0.25 0.27 0.43 0.47 0.44 0.13 0.24 0.16 1.00 Q11 0.30 0.19 0.19 0.19 0.48 0.36 0.12 0.39 0.15 0.54 1.00 Q12 0.31 -0.05 0.40 0.11 0.20 0.27 0.21 0.33 0.39 0.25 0.24 Q13 0.21 0.33 0.10 0.50 0.35 0.42 0.28 0.17 0.09 0.55 0.38 Q14 0.15 -0.06 0.27 0.26 0.52 0.22 0.21 0.24 0.39 0.35 0.31 Q15 0.24 0.28 -0.04 0.16 0.09 0.44 0.24 0.19 -0.08 0.40 0.36 Q16 0.30 0.15 0.09 0.34 0.33 0.43 0.57 0.37 0.33 0.26 0.24 Q17 0.34 0.24 0.11 0.47 0.35 0.41 0.21 0.40 0.13 0.36 0.35 Q18 0.30 0.02 0.32 0.32 0.39 0.27 0.22 0.44 0.28 0.47 0.45 Q19 0.11 0.05 0.34 0.30 0.43 0.23 0.02 0.18 0.25 0.46 0.34 Q20 0.00 0.24 0.03 -0.01 0.23 0.07 0.21 0.15 0.23 0.18 0.07 Q21 0.12 0.37 -0.02 0.35 0.22 0.44 -0.03 0.07 -0.14 0.49 0.29 133
Matriz de correlações ACP Ordem média (ISE) (cont.) Questões Questões Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 Q17 Q18 Q19 Q20 Q21 Q12 1.00 Q13 0.21 1.00 Q14 0.31 0.34 1.00 Q15 0.14 0.31 -0.05 1.00 Q16 0.22 0.34 0.34 0.30 1.00 Q17 0.35 0.44 0.36 0.38 0.49 1.00 Q18 0.53 0.42 0.35 0.08 0.28 0.31 1.00 Q19 0.35 0.24 0.35 0.13 0.19 0.22 0.63 1.00 Q20 0.05 0.08 0.03 0.11 0.30 0.02 0.19 0.20 1.00 Q21 0.05 0.33 0.03 0.48 0.16 0.22 0.19 0.30 0.20 1.00 134
Tabela A.23: Valores próprios e variância explicada ACP Ordem média (ISE) Componentes Valor Próprio % % Acumulada 1 6.3363 30.17 30.17 2 2.3276 11.08 41.26 3 1.7066 8.13 49.38 4 1.3108 6.24 55.63 5 1.1456 5.46 61.08 6 1.0277 4.89 65.97 7 0.8663 4.13 70.10 8 0.8189 3.90 74.00 9 0.7736 3.68 77.68 10 0.6990 3.33 81.01 11 0.6110 2.91 83.92 12 0.5340 2.54 86.46 13 0.4931 2.35 88.81 14 0.4046 1.93 90.74 15 0.3757 1.79 92.53 16 0.3421 1.63 94.16 17 0.3095 1.47 95.63 18 0.2744 1.31 96.94 19 0.2628 1.25 98.19 20 0.2189 1.04 99.23 21 0.1616 0.77 100.00 135