Projeto Otimizado de Transformadores de Média Frequência para Conversores de Potência Isolados

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Projeto otimizado de transformadores de média frequência para conversores de potência isolados Mário Humberto da Silva Naia Ferreira Mestrado Integrado em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores Orientador: Rui Esteves Araújo 30 de Outubro de 2015 c Mário Humberto da Silva Naia Ferreira, 2015 i ii Resumo A construção de transformadores requer ter em conta vários parâmetros no que se refere ao perfil desejado de transformador bem como o projeto no qual o transformador vai ser inserido. Com vários parâmetros de entrada e por vezes métodos de desenho relativamente complexos de serem calculados torna-se importante a automatização deste processo, bem como a possibilidade de escolha entre vários métodos de desenho. Usando técnicas de otimização baseadas nos multiplicadores de Lagrange, esses métodos de desenhos são implementados e os resultados podem posteriormente ser usados para simulação de modelos de transformadores. Três casos de estudos foram testados, um baseado num conversor Cuk, outro num conversor Buck e por fim um conversor Flyback. Uma etapa inicial de compreensão do que está envolvido no desenho de um transformador a nível de caracterização das várias perdas foi estudada, para posterior implementação de algoritmos que faziam uso desses mesmos modelos de perdas. Foi conseguida uma interface intuitiva, bem como a implementação de dois métodos de desenho que acabaram por ser validados. iii iv Abstract The construction of transformers requires taking into account various parameters in relation to the transformer as well as the desired profile design in which the transformer is to be inserted. With various input parameters and sometimes drawing methods relatively complex to be calculated becomes important to automate this process as well as the possibility to choose between various drawing methods. Using optimization techniques based on Lagrange multipliers, these drawings are implemented methods and the results can then be used for simulation of transformer models. Three case studies were tested, one based on a Cuk converter, one based in a Buck converter and the last one based on a Flyback converter. The early stages of understanding what is involved in designing a transformer at the level of characterization of the various losses was studied for further implementation of algorithms that used these same models of losses. It has achieved an intuitive interface and the implementation of two design methods which were eventually validated. v vi Agradecimentos Queria agradecer ao meus pais todo o apoio que me deram nesta jornada e que me continuam a dar e por tornarem possível todo este caminho, Obrigado. Queria também agradecer á minha família por me apoiarem sempre que necessário. Gostaria de agradecer ao meu orientador Professor Rui Esteves Araújo por todo o apoio dado, pelo interesse no desenvolvimento da tese e pela motivação que me incutiu para o desenvolvimento da tese. Uma palavra de agradecimento aos meus amigos que, de uma forma direta ou indireta, me acompanharam nesta fase académica da minha vida. Queria também agradecer a todas as pessoas que me ajudaram de alguma maneira ao longo da minha vida. Queria também agradecer ao Pedro Silva por me ter ajudado durante toda a tese. Mário Humberto da Silva Naia Ferreira vii xiv LISTA DE FIGURAS 2.29NúcleoE ...................................... 23 2.30NúcleoemduploE ................................. 23 2.31NúcleoU ...................................... 24 2.32NúcleoemduploU................................. 24 2.33 Núcleo "Pot core".................................. 24 2.34NúcleoEP...................................... 25 2.35NúcleoPQ...................................... 25 2.36Núcleotoroidal ................................... 26 2.37 Núcleo planar, retirado de [2]............................ 26 2.38 Na imagem da direita vemos o fluxo induzido pela corrente, enquanto que na imagem da direita vemos as correntes de Foucault resultantes pela oposição á mesma corrente, modificado a partir de [1]..................... 27 2.39 Imagem que ilustra efeito de proximidade, modificado a partir de [1]....... 28 2.40 Transformador de 2 enrolamentos, modificado a partir de [1] ........... 29 2.41 Típica distribuição de fluxo, modificado a partir de [1] .............. 31 2.42 Análise do fluxo de fugas usando lei de Amperè no transformador, modificado a partir de [1] ..................................... 31 2.43 Valores de MMF por camada, modificado a partir de [1].............. 32 2.44 Condutores redondos e quadrados com a mesma secção . . . . . . . . . . . . . . 33 2.45 Na imagem da esquerda temos os condutores quadrados juntos enquanto que na direita estes foram esticados para a largura da janela, modificado a partir de [1] . 33 2.46 Perda de potência é determinada para uma camada uniforme com campos H(0) e H(h) aplicados á superfície, modificado a partir de [1]............... 34 2.47 Perdas de cobre devido ao efeito de proximidade como função φde e do rácio m, modificado a partir de [1] ............................. 35 2.48 Perdas de cobre por camada relativamente às perdas DC numa camada com uma certa grossura, modificado a partir de [1] ..................... 36 2.49 Exemplo de transformador com 2 enrolamentos, cada um com M camadas, modificado a partir de [1]................................. 36 2.50 Diagrama de força magneto-motriz para transformador com enrolamentos intercalados, modificado a partir de [1] .......................... 37 2.51 Transformador de 2 enrolamentos parcialmente intercalado com vários valores de m, modificado a partir de [1] ............................ 37 2.52 Conversor abaixador com filtro indutor, modificado a partir de [1] ........ 39 2.53 Estrutura de filtro indutor, modificado a partir de [1]................ 39 2.54 Circuito magnético equivalente de um filtro indutor, modificado a partir de [1] . . 39 2.55 Curva B-H do filtro indutor, modificado a partir de [1]............... 40 2.56 Circuito do tanque ressonante LC, modificado a partir de [1] ........... 40 2.57 Curva B-H do indutor AC, modificado a partir de [1] ............... 41 2.58 Circuito equivalente de um transformador convencional, modificado a partir de [1]41 2.59 Curva B-H do transformador, modificado a partir de [1].............. 42 2.60 Circuito equivalente de acoplamento de filtros indutores de dois conversores foward, modificado a partir de [1].............................. 42 2.61 Curva B-H do indutor acoplado, modificado a partir de [1] ............ 43 2.62 Circuito equivalente do transformador flyback, modificado a partir de [1]..... 43 2.63 Curva B-H de operação do conversor flyback , modificado a partir de [1]..... 44 3.1 Resistência térmica de núcleos de ferrites, [3] ................... 50 LISTA DE FIGURAS xv 4.1 Diagrama principal do algoritmo de desenho de transformadores . . . . . . . . . 52 4.2 Transformador com k saídas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3 Selecionando a densidade de fluxo ótima a partir das perdas de enrolamentos e núcleo, retirado de [4]................................ 55 4.4 Diagrama de algoritmo alternativo de desenho de transformadores . . . . . . . . 57 4.5 Parábola com vários níveis de contorno e 2 linhas de restrições. Retirado de [5] . 61 4.6 Vista mais próxima dos níveis de contorno e restrições.Retirado de [5]...... 61 4.7 Solução através de algoritmo de Karmarkar, retirado de [6]............ 62 4.8 Algoritmo SQP da função Rosenbrock com restrição, retirado de [7]....... 64 4.9 Modelo de um transformador real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.10 Representação esquemática de um transformador com enrolamento primário e secundário....................................... 67 4.11 Modelo de transformador ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.12 Modelo de transformador básico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.13 Modelo de transformador com indutância de magnetização . . . . . . . . . . . . 69 4.14 Modelo de transformador com três indutâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.15 Modelo de transformador referido ao primário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.16 Modelo de transformador referido ao primário (modelo alternativo) . . . . . . . . 72 4.17 Modelo de transformador com duas indutâncias e resistência de bobina . . . . . . 72 4.18 Modelo de transformador com indutância mútua . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.19 Diagrama da interface desenvolvida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.20 Diagrama da interface Input desenvolvida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.21 Interface "Transformer data input" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.22 Diagrama da interface Data desenvolvida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.23Interface"DataInput"................................ 76 4.24Interface"Design".................................. 77 4.25 Interface "Design by Barrios" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.26Interface"Simulation" ............................... 78 4.27 Diagrama simulink funcional, modelo de três indutâncias . . . . . . . . . . . . . 78 5.1 Conversor Cuk, retirado de [8] ........................... 79 5.2 Conversor Buck com ponte completa, retirado de [8]................ 81 5.3 Conversor Flyback ................................. 82 5.4 Conversor Flyback commalhasnubber....................... 83 5.5 Perdas por enrolamentos, retirado de [9]...................... 83 5.6 Perdas do conversor, retirado de [9] ........................ 84 5.7 Transformadorconstruído.............................. 84 5.8 Comando do mosfet (a) e tensão nos terminais do mesmo (b). . . . . . . . . . . . 85 5.9 Tensão no primário (a) e no secundário (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.10Tensãonacarga................................... 86 xvi LISTA DE FIGURAS Lista de Tabelas 2.1 Potências para vários aparelhos eletrónicos [8]................... 7 2.2 Símbolos e unidades de comparação usadas no estudo de transformadores [8] . . 11 2.3 Densidade de fluxo e respetivo campo magnético [8] ............... 11 2.4 Tipos de núcleo, valores de densidade de fluxo, perdas e aplicações [8]...... 21 2.5 ValoresexemplosdeAWG............................. 27 3.1 Expressões de perdas do núcleo para diferentes métodos [10]........... 48 5.1 Características para desenho de transformador para conversor Cuk ........ 80 5.2 Resultados para desenho de transformador para conversor Cuk, com algoritmo iterativo....................................... 80 5.3 Resultados para desenho de transformador para conversor Cuk, com algoritmo analítico....................................... 80 5.4 Características para desenho de transformador para conversor Buck ........ 81 5.5 Resultados para desenho de transformador para conversor Buck, com algoritmo iterativo....................................... 82 xvii xviii LISTA DE TABELAS xix xx ABREVIATURAS E SÍMBOLOS Abreviaturas e Símbolos AC Alternate Current AcÁrea da espira AwÁrea de janela B Densidade de fluxo magnético CmCoeficiente de perdas do material magnético D Duty cycle DC Direct Current EMI Electro magnetic Interference foFrequência de corte hDiâmetro do condutor H Campo magnético I Corrente ImCorrente de magnetização Irms Corrente eficaz kg f e Constante geométrica do núcleo kuCoeficiente de enchimento L Indutância LmIndutância de magnetização lwAltura da janela MLT Comprimento médio por espira MMF Magnetomotive Force n Número de espiras P Potência Pcu Perdas cobre (perdas nos enrolamentos) Pf e Perdas no ferro (perdas no núcleo) PinPotência de entrada Ploss Potência de perdas Pout Potência de saída P tot Perdas totais PvPerdas do núcleo QP Quadratic programming R Resistencia Rdc Resistência DC Rth Resistência térmica r0pRaio do enrolamento primário r0sRaio do enrolamento secundário SQP Sequential quadratic programming TsPeríodo do sinal de comando do semicondutor V Componente DC da tensão x Coeficiente de perdas do material magnético y Coeficiente de perdas do material magnético Capítulo 1 Introdução Este documento tem como objetivo demonstrar o trabalho feito na dissertação. Neste capítulo problema em questão será apresentado 1.1, bem como a motivação1.3 para o mesmo. Serão discutidos os objetivos do projeto 1.2 e a estrutura do documento 1.4. Neste documento pretende demonstrar o estudo feito sobre o transformador e o seu comportamento, do que existe no que respeita a métodos de desenhos de transformadores e procura também descrever a ferramenta criada assim como o processo de validação da mesma. 1.1 Apresentação do problema Atualmente a eficiência é a palavra que está na ordem do dia. Esta eficiência é atingida através de um estudo do processo em causa. Neste caso, o processo/produto em causa é o transformador, e o caminho para obter melhor eficiência é através da otimização do mesmo. A otimização passa por diminuir algumas das perdas que existem nos transformadores. Neste caso concreto o transformador é de média frequência. Este tipo de problemas também levou a Google[11] a abrir um concurso para construção de um inversor de potência na caixa mais pequena possível por forma a trabalhar com segurança e ocupar pouco espaço. Também nas energias renováveis a eficiência é particularmente importante, sendo que começa a ser um assunto importante [12] particularmente na interface de aparelhos em redes de baixa tensão. 1.2 Objetivos O objetivo fundamental deste trabalho é realizar um estudo profundo sobre métodos de otimização de transformadores, com foco na média frequência, e também testar vários métodos através da aplicação prática num problema real. Pretende-se compreender o processo envolvido no desenho de transformadores bem como todas as suas nuances, para que assim se possa aplicar esse mesmo conhecimento na criação de projetos de potência (conversores) envolvendo transformadores. Para isto foi desenvolvida uma ferramenta que graças a uma interface intuitiva permite que o processo de desenho dos mesmos seja relativamente simples. 1 2Introdução 1.3 Motivação O meu principal interesse dentro da área de engenharia eletrotécnica é a eletrónica (principalmente de potência) e energias renováveis. Este projeto acaba por ser motivante para mim em ambas as áreas visto que os transformadores de potência estão cada vez mais presentes em redes elétricas. Os transformadores de média-alta frequência são uma solução aos transformadores convencionais. 1.4 Estrutura do documento O documento encontra-se dividido em 6 grandes capítulos, a introdução1que como o próprio nome indica introduz o tema e o trabalho assim como a motivação para o fazer. O capítulo 2é uma revisão da literatura ou estado da arte onde faço uma revisão de conceitos chave para o estudo do tema, bem como análise de algumas soluções existentes no mercado. Começando por introduzir o tema de eletrónica de potência e revisão de alguns conceitos base para o entendimento desta, é feito também uma pesquisa sobre as várias características do transformador, e como podem influenciar no desenho do mesmo. No capítulo 3é feita a caracterização multi-física do transformador enquanto sistema sujeito a perdas. Apesar deste tema ter semelhanças aos temas do capítulo 2, a grande diferença é que neste capítulo são cuidadosamente analisados três parâmetros importantes no que respeita ao processo de desenho de transformadores, e estes são as perdas no núcleo, nos enrolamentos e a resistência térmica, sendo portanto as características que mais irão influenciar o desenho do transformador. O capítulo 4aborda o desenvolvimento da ferramenta desenvolvida de desenho de transformadores assim como algumas das suas funcionalidades e dos algoritmos de desenho implementados. Neste capítulo serão abordados dois algoritmos de desenho de transformadores, um iterativo e outro analítico. Serão também apresentados e explicados os métodos computacionais que permitem a resolução de sistemas de equações provenientes dos dois algoritmos. Será também apresentada um conjunto de modelos equivalentes de transformadores que posteriormente serão usados na ferramenta desenvolvida, e que permitem visualizar as formas de onda do transformador. Será apresentada a ferramenta e as diferentes possibilidades da mesma. O capítulo 5serve para análise dos resultados obtidos com a ferramenta desenvolvida, e também para uma breve discussão dos mesmos. Por fim, no capítulo 6temos as conclusões e previsão de trabalho futuro. É importante saber o que foi feito, e o que ainda falta fazer. Serão apresentadas neste capítulo várias possibilidades de continuação do projeto. Capítulo 2 Estado da Arte Neste capitulo serão apresentadas todas as questões essenciais para o desenho de transformadores, bem como revistas as principais matérias teóricas necessárias ao projeto de transformadores. Em seguida apresentamos alguns conceitos importantes sobre eletrónica de potência 2.1, conceitos de eletromagnetismo 2.2 para posteriormente falarmos sobre a modelação das perdas e fenómenos que ocorrem no transformador 2.3 , bem como do tipo de dispositivos magnéticos que precisa destes transformadores 2.4 e por fim falaremos do que já existe disponível para o desenho de transformadores 2.5. 2.1 Conceitos de eletrónica de potência Convém introduzir alguns conceitos fulcrais para tratar o problema considerado da eficiência dos transformadores e ao mesmo tempo discutir partes importantes da eletrónica de potência. A eletrónica de potência tem como grande objetivo processar sinais elétricos usando dispositivos eletrónicos [8]. Na conversão de potência (figura 2.1) temos os elementos responsáveis por esse mesmo processo que são os conversores, que por sua vez podem ser dc-dc, dc-ac, ac-dc ou ac-ac (ciclo-conversor). Figura 2.1: Diagrama básico de um sistema de conversão controlado, modificado a partir de [1] 3 10 Estado da Arte A lei de Amperè relaciona corrente num enrolamento com força Magneto-motriz (F) e campo magnético H (figura 2.12). v(t) = Ac dB(t)) dt (2.6) Icaminho f echado H.dl =Corrente total pelo interior do caminho (2.7) F(t) = H(t)lm=i(t)(2.8) Onde lmsimboliza o comprimento magnético. Figura 2.12: Exemplo demonstrativo da lei de Amperè onde vemos o caminho fechado lme a corrente que passa pelo interior do mesmo, modificado a partir de [1] Há também que considerar as propriedades do material, nomeadamente a permeabilidade do mesmo, sendo que a densidade de fluxo relaciona-se com o campo magnético H pela equação B=µHsendo que a permeabilidade do material é dada por: µ=µ0∗µr(2.9) Em que a constante µ0vale 4π∗10−7H/m e µré a permeabilidade relativa do material. 2.2 Conceitos de eletromagnetismo 11 Figura 2.13: Característica B-H do núcleo do transformador, modificado a partir de [1] Tabela 2.2: Símbolos e unidades de comparação usadas no estudo de transformadores [8] Símbolo Unidade B(densidade de fluxo) Tesla H(campo magnético) A/m Φ(fluxo magnético) Wb Os núcleos do transformador são normalmente caracterizados pela sua característica B-H representada na figura 2.13. Também há que ter esta curva em conta já que ela nos diz informações importantes sobre condições de saturação, representadas na tabela 2.2. Tabela 2.3: Densidade de fluxo e respetivo campo magnético [8] Densidade de fluxo (B)) Campo magnético (H) B=B_sat H ≥B_sat µ B=µH H ≤ B_sat µ B=−B_sat H ≤B_sat µ 12 Estado da Arte Figura 2.14: Exemplo da geometria de um indutor, modificado a partir de [1] Analisando o circuito magnético da figura 2.14 chegamos às seguintes equações que relacionam a tensão v(t) como o fluxo e densidade de fluxo. v(t) = nvespira(t) = ndφ(t) dt (2.10) onde n é o número de espiras. v(t) = nAc dB(t) dt (2.11) B=φ Ac (2.12) Pela lei de Amperè temos que cada enrolamento tem uma determinada corrente logo: H(t)lm=ni(t)(2.13) Isat =Bsat ∗Im µ∗n(2.14) v(t) = µ∗n∗Ac dH(t) dt (2.15) v(t) = µ∗n∗Ac) Im di(t) dt (2.16) v(t) = Ldi(t) dt (2.17) Chegamos assim ao valor da indutância: L=µ∗n2∗Ac Im (2.18) 2.2 Conceitos de eletromagnetismo 13 Pela lei de Faraday temos que: v(t) = n∗Ac dBsat dt =0 (2.19) Quando o núcleo satura o circuito aproxima-se do curto-circuito. O dispositivo(figura 2.15) só se comporta como bobina quando a corrente do enrolamento é menor que corrente de saturação. Figura 2.15: Elemento contendo fluxo magnético, modificado a partir de [1] Figura 2.16: O circuito equivalente do elemento da figura 2.15 que contém fluxo magnético, modificado a partir de [1] R=L µ∗Ac (2.20) Onde R representa a relutância do circuito. F=Hl (2.21) H=B µ(2.22) B=F Ac (2.23) Tal como existe nos circuitos elétricos leis que nos permitem estudar os mesmos, essas mesmas leis, nomeadamente as leis de Kirchhoff, também podem ser usadas na análise de circuitos magnéticos (figura 2.17), com ligeiras diferenças. 14 Estado da Arte Figura 2.17: Leis de Kirchhoff aplicadas a circuitos magnéticos, modificado a partir de [1] Usando a lei de Kirchhoff temos que o somatório dos fluxos é φ1=φ2+φ3. Sabendo que a Divergência de B é 0 logo as linhas de fluxo são contínuas e não acabam temos que ∑φ=0. De seguida iremos analisar o mesmo indutor, agora com entre-ferro (air gap) (figura 2.18). Figura 2.18: Indutor com abertura, modificado a partir de [1] Figura 2.19: Circuito equivalente do indutor da figura 2.18, modificado a partir de [1] 2.2 Conceitos de eletromagnetismo 15 Analisando o circuito magnético temos que: Fc+Fg=n∗i(2.24) Onde F Crepresenta a força magneto-motriz na relutância e Fgrepresenta a mesma força no entre-ferro. v(t) = ndφ(t) dt (2.25) Rc=lc µ∗Ac (2.26) Rg=lg µ0∗Ac (2.27) Efeito do entre-ferro nos circuitos é demonstrado na seguinte figura. Figura 2.20: Efeito da abertura no circuito magnético modificado a partir de [1] A abertura faz com que o indutor opere com correntes mais altas mas sem saturação (figura 2.20). Permite também que o valor da indutância seja insensível a variações de µ. Quando núcleo satura: φsat =Bsat ∗Ac(2.28) 16 Estado da Arte A corrente nos enrolamentos é: Isat =Bsat ∗Ac n(Rc+Rg)(2.29) A abertura aumenta a corrente de saturação e diminui a indutância do circuito. 2.3 Modelação do transformador De seguida analisaremos um transformador de 2 enrolamentos (figura 2.21). A relutância do mesmo é dada por: R=relutancia =lm µ∗Ac (2.30) Figura 2.21: Transformador de 2 enrolamentos, modificado a partir de [1] Figura 2.22: Circuito equivalente magnético do transformador da figura 2.21, modificado a partir de [1] Pela lei de Amperè: Fc=i1n1+i2n2(2.31) 2.3 Modelação do transformador 17 φRc=i1n1+i2n2(2.32) Fc=φRc(2.33) Num transformador ideal a relutância é nula, logo: 0=i1n1+i2n2(2.34) Pela lei de Faraday: v1=n1dφ(t) dt (2.35) v2=n2dφ(t) dt (2.36) Nas equações acima, Φé o mesmo, já que o fluxo entre os enrolamentos é igual. Eliminando Φtemos: v1 n1=v2 n2(2.37) 0=i1n1+i2n2(2.38) Para o caso em que a relutância do núcleo ser diferente de 0, existe indutância de magnetização(figura 2.23) temos: φR=i1n1+i2n2(2.39) v1=n1dφ(t) dt (2.40) Eliminando Φtemos: v1=n2 1 R d dt i1+n2 n1i2(2.41) 18 Estado da Arte Figura 2.23: Modelo do transformador com indutância de magnetização, modificado a partir de [1] Temos portanto uma equação da forma: v1=Lm diM dt (2.42) Onde iMrepresenta a corrente magnetizante e Lmrepresenta a indutância de magnetização. Com: Lm=n2 1 R(2.43) iM=i1+n2 n1i2(2.44) A indutância e corrente de magnetização referem-se ao enrolamento primário. A indutância do núcleo é um indutor real com saturação e histerese. Quando transformador satura, a densidade de fluxo B(t) excede o valor de Bsat. Neste caso iM(t)torna-se grande, a impedância da indutância magnetizante torna-se pequena e os enrolamentos de transformador ficam curto-circuitados. A saturação é portanto causada pela tensão aplicada por intervalo de tempo. iM(t) = 1 LmZv1(t)dt (2.45) A densidade de fluxo no núcleo do transformador pode ser descrita por: B(t) = 1 n1∗Area Zv1(t)dt (2.46) A densidade de fluxo e a corrente de magnetização ficam grandes para saturar o núcleo quando o valor de λ1(volts por segundo) é muito alto. λ1=Zt2 t1v1(t)dt (2.47) Para contornarmos a saturação, a densidade de fluxo deve ser reduzida aumentando o número de espiras ou aumentando a secção (Ac). Colocar a abertura simplesmente torna o transformador 2.3 Modelação do transformador 19 menos ideal, não modificando a saturação. Os mecanismos de saturação em transformadores diferem dos mecanismos de saturação em indutores, já que a saturação do transformador é determinada pela forma de tensão dos enrolamentos e não pela corrente nos mesmos. 2.3.1 Indutância de fugas Na prática existe fluxo num enrolamento mas não no outro, fechando-se pelo ar ou outro mecanismo. Isto leva ás indutâncias de fugas (indutâncias em série umas com as outras, figura 2.24). Figura 2.24: Indutância de fugas num transformador de 2 enrolamentos, modificado a partir de [1] Figura 2.25: Circuito equivalente do transformador da figura 2.24 considerando agora as indutâncias de fugas, modificado a partir de [1] As indutâncias de fugas fazem variar o rácio n2 n1. "v1(t) v2(t)#="L11 L12 L12 L22#d dt "i1(t) i2(t)#(2.48) L12 =indutância mutua =L12 =n1∗n2 R=n2 n1Lm(2.49) 26 Estado da Arte Figura 2.36: Núcleo toroidal A simetria desta geometria (figura 2.36) cria um campo magnético de espiras circulares no interior do núcleo, e a falta de curvas apertadas irão restringir virtualmente todo o campo para o material do núcleo. Isto não só torna um transformador altamente eficiente, mas também reduz a interferência eletromagnética irradiada pela bobina. É popular para aplicações onde as características desejáveis são a alta potência específica por massa e volume e baixa interferência magnética. A principal desvantagem que limita seu uso para aplicações de uso geral é a dificuldade inerente de enrolamento de fio. Tem menos ruído audível, como o zumbido da corrente, pois as forças magnéticas não exercem momento de flexão no núcleo. A blindagem deste tipo de núcleo é relativamente boa [13]. Núcleo planar Figura 2.37: Núcleo planar, retirado de [2] Um núcleo planar (figura 2.37) é constituído por duas peças planas de material magnético, uma acima e outra abaixo da bobina. É tipicamente usado com uma bobina plana que faz parte de uma placa de circuito impresso. Este projeto é excelente para a produção em massa e permite uma alta potência, pequeno volume do transformador a ser construído para baixo custo. 2.3 Modelação do transformador 27 2.3.3 Efeito pelicular Figura 2.38: Na imagem da direita vemos o fluxo induzido pela corrente, enquanto que na imagem da direita vemos as correntes de Foucault resultantes pela oposição á mesma corrente, modificado a partir de [1] Pela figura 2.38 vimos que i(t) induz Φ(t)que por sua vez induz uma corrente de Foucault, fenómeno explicado pela lei de Lenz. As correntes de Foucault reduzem o somatório da densidade de corrente no centro do condutor e aumentam o somatório de densidade de corrente perto da superfície do mesmo. δ=penetração pelicular =rρ µπ f(2.62) onde ρsimboliza a resistividade do condutor. Este efeito é prejudicial a altas frequências. Correntes de Foucault depois induzem efeito de proximidade em condutores próximos. 2.3.4 Calibre dos condutores AWG ou American Wire Gauge[14][15] é sistema padronizado mais usado nos Estados Unidos, bem como noutros países, no que respeita ao calibre de condutores (fios), nomeadamente condutores elétricos. Serve para medir a grossura do condutor tendo em conta o seu processo de fabrico. Este sistema tem em conta a secção do condutor tendo em conta a determinação da sua capacidade de conduzir corrente. Em AWG o diâmetro sobe à medida que o calibre desce mas na escala métrica funciona ao contrário[14]. Estas tabelas são para condutores singulares, sólidos e redondos. Em AWG cada descida de 6 calibres, significa um aumento para o dobro no diâmetro do condutor, e cada descida de 3 calibres a secção do mesmo também aumenta para o dobro. Tabela 2.5: Valores exemplos de AWG Valor AWG Diâmetro (mm) Secção (mm2) 5 4.621 16.8 6 4.115 13.3 7 3.665 10.5 28 Estado da Arte Na escala métrica o calibre é 10 vezes o diâmetro em milímetros, portanto um calibre 50 métrico de um condutor seria 5 milímetros em diâmetro. O efeito pelicular é a principal causa das perdas do cobre a altas frequências. Este efeito causa resistência e perdas no cobre de grandes diâmetros a aumentar a grandes frequências. Correntes a altas frequências não penetram no centro do condutor. As correntes amontoam-se na superfície, o interior não é usado, a secção do cobre efetiva é diminuída. No entanto o efeito pelicular não explica todas as perdas no cobre a alta frequência. 2.3.5 Efeito de proximidade Um condutor que tenha uma corrente i(t) a alta frequência vai induzir uma corrente no cobre adjacente através do efeito de proximidade. Figura 2.39: Imagem que ilustra efeito de proximidade, modificado a partir de [1] Onde hsimboliza a grossura do condutor e δsimboliza a profundidade de penetração e δcondutor1hcondutor1(2.63) A corrente i(t)condutor gera fluxo Φ(t)no espaço entre 1 e 2. Este fluxo tenta penetrar em 2. Pela lei de Lenz a corrente induzida no lado esquerdo de 2 opõe-se ao fluxo Φ(t). Com pouco espaço entre condutores e se δfor muito menor que h então corrente induzida vai ser igual e oposta a i(t). Como o condutor 2 está em circuito aberto e ∑i(t) = 0 então no lado direito circula uma corrente +i(t). Logo i(t) do condutor 1 induz uma corrente que circula nas superfícies do condutor 2. 2.3 Modelação do transformador 29 Figura 2.40: Transformador de 2 enrolamentos, modificado a partir de [1] Primário são 3 espiras (em série) de cobre com grossura hδe com ∑i(t) = i(t). Os enrolamentos estão revestidos de um núcleo (material magnético) que circunda o fluxo mútuo do transformador. A corrente sinusoidal de alta frequência i(t) circula pela superfície da camada 1(primário da camada 1). Induz perdas no cobre em 1. Estas perdas são calculadas da seguinte maneira. Efeito pelicular causa perdas no cobre em 1 a serem iguais a perdas de um condutor de grossura δcom densidade de corrente uniforme. Redução da grossura do condutor de δpara h aumenta resistência pelo mesmo fator. Logo a "indutância AC"da camada 1 pode ser vista como: Rac =h δRdc (2.64) Onde Rdc simboliza a resistência DC da camada 1. As perda de cobre na camada 1 são dadas por: P1=I2Rac (2.65) Onde I simboliza o valor rms de i(t) e Rac simboliza a resistência AC da camada 1. Como camadas 1 e 2 estão ligadas em série ∑i(t) = i(t), o mesmo somatório de corrente circula nas 2 camadas (camada 1 e 2). Logo como do lado esquerdo temos -i(t) do lado direito vamos ter +2i(t). Corrente do lado esquerdo é igual á corrente da camada 1 logo as perdas de cobre são P1. A corrente do lado direito da camada 2 tem magnitude 2i(t) logo perdas do cobre são (2i)2Rac o que dá 4P1. Perdas totais no cobre do primário da camada 2 são: P2=P1+4P1=5P1(2.66) 30 Estado da Arte Perdas na 2acamada são 5 vezes maiores que perdas da primeira camada. Corrente 2i(t) induz fluxo de 2Φ(t)na camada (lado esquerdo causa corrente de -2i). P3=perdas cobre na camada3 = (23+32)P1=13P1(2.67) Pm(perdas na camada m) = I2[(m−1)2+m2]( h δRdc)(2.68) Se o enrolamento contém M camadas então: P=Perdas de cobre =I2(h δRdc) M ∑ m=1 [(m−1)2+m2](2.69) P=I2(h δRdc)M 3(2M2+1)(2.70) Se corrente dc ou de baixa frequência então: Pdc=I2∗M∗Rdc (2.71) O efeito de proximidade faz aumentar as perdas de cobre por um fator FR: FR=P Pdc =1 3(h δ)(2M2+1)(2.72) Esta expressão é válida se hδe não é válido para condutores arredondados. 2.3 Modelação do transformador 31 2.3.6 Fluxo de fugas Figura 2.41: Típica distribuição de fluxo, modificado a partir de [1] Primário tem 8 espiras em 2 camadas cada uma com i(t) (figura 2.41). Segundo enrolamento igual ao primeiro mas com polaridade de corrente inversa. Como núcleo tem grande permeabilidade µµ0o MMF deste fluxo é desprezável. Figura 2.42: Análise do fluxo de fugas usando lei de Amperè no transformador, modificado a partir de [1] 32 Estado da Arte Pela lei de Amperè temos que: MMFtotal =F(x) = H(x)lW=corrente enclausurada (2.73) Em que lWé a altura da janela (figura 2.42). A primeira camada consiste em 4 espiras cada uma a conduzir i(t).Logo a corrente fechada (enclausurada) é 4i(t). Quando caminho fecha todo o primário (2 camadas) a corrente é de 8i(t). Quando todo o primário é fechado mais a segunda camada do secundário a corrente é 8i(t)-4i(t)=4i(t). Figura 2.43: Valores de MMF por camada, modificado a partir de [1] Para determinar a indutância de fugas e as correntes de Foucault dos enrolamentos, uma camada que consiste em nlespiras que tem uma corrente i(t) pode ser modulada por uma espira que carrega consigo uma corrente nli(t)(figura 2.43). 2.3 Modelação do transformador 33 Figura 2.44: Condutores redondos e quadrados com a mesma secção Substituindo os condutores redondos por quadrados com a mesma secção (Ac) (figura 2.44). A grossura h do quadrado condutor é igual ao diâmetro do fio de cobre multiplicado por um fator pπ 4. h=rπ 4d(2.74) Juntando os quadrados temos a camada do condutor. Figura 2.45: Na imagem da esquerda temos os condutores quadrados juntos enquanto que na direita estes foram esticados para a largura da janela, modificado a partir de [1] Temos também que compensar a altura com fator compensador ou também denominado porosidade do enrolamento η, que simboliza o rácio da camada de cobre (figura 2.45). Este valor é cerca de 0.8 na maioria dos condutores. δ0=δ √η(2.75) 34 Estado da Arte η=rπ 4dni lW (2.76) ϕ=h δ0=√πrπ 4 d δ(2.77) 2.3.7 Perdas nas camadas Assumindo que o componente de campo magnético normal á superfície do condutor é nula (figura 2.46) chegamos à equação 2.78. P=Rdc ϕ n2 i [(F(h)2+F(0)2)G1(ϕ)−4F(h)F(0)G2(ϕ)] (2.78) Figura 2.46: Perda de potência é determinada para uma camada uniforme com campos H(0) e H(h) aplicados á superfície, modificado a partir de [1] G1(ϕ) = sinh(2ϕ) +sinh(2ϕ) cosh(2ϕ)−cosh(2ϕ)(2.79) G2(ϕ) = sinh(ϕ)cosh(ϕ)+cosh(ϕ)sinh(ϕ) cosh(2ϕ)−cos(2ϕ)(2.80) 2.3 Modelação do transformador 35 Com a corrente nos enrolamentos de magnitude de I temos que: F(h)−F(0) = niI(2.81) F(h) = m∗ni∗I(2.82) Onde m é o rácio de MMF (F(h)) para nlI. F(0) F(h)=m−1 m(2.83) Potência dissipada: P=I2RdcϕQ0(ϕ,m)(2.84) Q0(ϕ,m) = (2m2−2m+1)G1(ϕ)−4m(m−1)G2(ϕ)(2.85) O efeito de proximidade faz aumentar perdas de cobre na camada por um fator de: P I2Rdc =ϕQ0(ϕ,m)(2.86) Para perdas DC teríamos φ=1 sendo que essas perdas seriam Q0(ϕ,m). Temos portanto grandes perdas para φpequenos porque a camada é fina e resistência DC é grande. Para m e φgrandes o efeito de proximidade (figura 2.47) leva a grandes perdas de potência(figura 2.48). Figura 2.47: Perdas de cobre devido ao efeito de proximidade como função φde e do rácio m, modificado a partir de [1] 42 Estado da Arte Figura 2.59: Curva B-H do transformador, modificado a partir de [1] 2.4.4 Indutor acoplado Um indutor acoplado é um filtro com vários enrolamentos(figura 2.60). Figura 2.60: Circuito equivalente de acoplamento de filtros indutores de dois conversores foward, modificado a partir de [1] O campo magnético do núcleo: Hc(t) = i1(t)n1+i2(t)n2 lc =Rc Rc+Rg (2.95) Com a característica B-H demonstrada na figura 2.61. 2.4 Tipos de circuitos magnéticos 43 Figura 2.61: Curva B-H do indutor acoplado, modificado a partir de [1] 2.4.5 Transformador Flyback Um transformador Flyback é um transformador que funciona como um indutor com 2 enrolamentos. O primário é usado durante o intervalo de condução do mosfet e o secundário é usado durante o intervalo de condução do díodo (figura 2.62). Figura 2.62: Circuito equivalente do transformador flyback, modificado a partir de [1] Com a característica B-H demonstrada na figura 2.63. 44 Estado da Arte Figura 2.63: Curva B-H de operação do conversor flyback , modificado a partir de [1] 2.5 Ferramenta de desenho de aparelhos magnéticos •GeckoMAGNETICS: ferramenta que possibilita desenho de componentes de potência magnéticos tais como indutores e transformadores[9]. Funciona para uma grande variedade de potências e para todo o tipo de materiais de núcleo, sendo que também funciona para vários tipos de enrolamentos (Litz eFoil). Este software é muito completo sendo que considera vários tipos de perdas (proximidade e efeito pelicular), o que nos permite um desenho bastante robusto do transformador. •QuickField:É uma ferramenta de simulação de campos magnéticos[16]. Tem uma interface um pouco antiquada. Nesta opção desenvolvemos testes de mecanismos de transferência de calor, testes de stress mecânicos nos enrolamentos, cálculos de perdas, correntes de Foucault, forças magnéticas assim como análise de transitórios magnéticos. •FEMM: Ferramenta grátis que permite visualizar linhas de campo assim como ter acesso a várias perdas dos transformadores[17]. Interface apelativa e fácil de usar. Funciona numa perspetiva de análise a 2 dimensões. •Magnetics: É uma ferramenta que permite desenhar componentes magnéticos, em especial indutores, filtros de modo comum e transformadores de corrente[13]. O software não é grátis. •PowerEsim: Ferramenta online que permite desenhar transformadores usados para vários circuitos de comutação isolados[18]. Como todas estas ferramentas, e sabendo o tipo de perdas que é necessário minimizar para se atingir uma maior eficiência no transformador será desenvolvido um método que nos possibilite esse mesmo fim. Capítulo 3 Caracterização multifísica de um transformador de média frequência 3.1 Introdução Neste capítulo apresentam-se as principais características que influenciam o desenho de transformadores. O transformador é ideal se o acoplamento magnético for perfeito e não houver perdas de energia [19][20]. No entanto isso não é possível uma vez que tanto o cobre dos enrolamentos como o ferro do núcleo apresentam perdas de funcionamento. Este terceiro capítulo introduz vários equações para a caracterização das perdas no núcleo e enrolamentos, assim como uma breve explicação do modelo térmico 3.1.3. É importante ter em atenção que no projeto do desenho de transformadores existem três problemas fundamentais que se incluem no desenho, e que requerem modelação: •Modelos para perdas do núcleo:Serão apresentadas as equações de Steinmetz que nos ajudam a perceber o comportamento do núcleo do transformador quando excitado [21][22][10][23][24]. •Modelos para perdas dos enrolamentos:Serão discutidos modelos para modelação das perdas em enrolamentos[25][26], com algum foco para perdas em fio Litz [27][22][28][29]. •Modelo para comportamento térmico:Importante para ter uma ideia do comportamento térmico do transformador (saber os pontos quentes, temperatura máxima de funcionamento, etc...)[30][22][10]. 3.1.1 Perdas núcleo Existem diversas abordagens na literatura que lidam com determinação de perdas do núcleo. Temos três ramos principais: modelos de histerese , abordagem de perdas de separação e métodos empíricos . 45 46 Caracterização multifísica de um transformador de média frequência •Modelos de histerese - modelos de histerese são geralmente baseados em modelos de Jiles- Atherton ou Preisach[10]. O primeiro baseia-se num cálculo de energia a nível macroscópico. O segundo modelo introduz uma abordagem estatística para a descrição da distribuição de tempo e espaço no seguimento do problema. •Abordagem de perdas de separação - Abordagem que assume que três efeitos diferentes contribuem para perdas de magnetização. Perdas estáticas de histerese, perdas de correntes de Foucault e perdas adicionais [19]. •Métodos empíricos - Baseiam-se na equação de Steinmetz[31][10]. Os modelos de histerese e a abordagem de perdas de separação requerem poder de processamento computacional elevado. Por sua vez, métodos empíricos por sua vez não requerem [10]. Steinmetz [31] introduziu esta equação para caracterizar a perda de densidade magnética Pv Pv=ηBβ m(3.1) Onde βeηsão determinadas pelas características do material, e Bmé o valor de pico de indução magnética Atualmente, é usada uma expressão conhecida como equação original de Steinmetz, ou original Steinmetz equation em inglês, representada por OSE: Pv=K f αBβ m(3.2) Onde K e αsão determinados pelas características do material e f é a frequência da onda. Esta expressão só é válida para formas de onda sinusoidal. E formas de onda não sinusoidais podem ter muitas mais perdas que formas de onda sinusoidais. Com o aumento de sistemas de eletrónica de potência e devido ao facto de haver poucas expressões que lidem com formas ondas não sinusoidais foi introduzida uma modificação á equação original de Steinmez, modified Steinmetz expression ou em português equação modificada de Steinmetz ou MSE: Pv= (K f α−1 eq Bβ m)fr(3.3) Esta expressão substitui o parâmetro f(frequência) da OSE com um parâmetro equivalente feq. ∆Brefere-se á indução magnética de pico e fré a frequência fundamental da onda. feq =2 ∆B2π2ZT 0(dB(t) dt )2dt (3.4) Foi posteriormente introduzida a equação generalizada de Steinmetz (generalized Steinmez equation ou GSE) devido a uma incompatibilidade entre a OSE e a MSE para formas de onda sinusoidal. A GSE considera a mudança de indução magnética e também o seu valor instantâneo. 3.1 Introdução 47 Assim a equação generalizada de Steinmetz ou GSE é representada por: Pv=1 TZT 0k1|(dB(t) dt )α||B(t)|β−αdt (3.5) Com: k1=K (2π)α−1R2π 0|cosθ|α|sinθ|β−αdθ(3.6) O ângulo θrepresenta a fase da onda sinusoidal. A reação do material a certas variações magnéticas varia dependendo do seu histórico. Para combater este facto, foi expressa a equação generalizada de Steinmetz melhorada, ou em inglês improved general Steinmetz equation (iGSE), que basicamente substituiu o valor instantâneo da indução magnética pelo ser valor de pico. Desta forma, não só a derivada e o valor instantâneo são tidos em conta, como também o histórico do material. Assim a expressão melhorada da GSE, a iGSE, pode ser expressa por Pv=1 TZT 0k1|dB(t) dt |α(∆B)β−αdt (3.7) Com: k1=K (2π)α−1R2π 0|cosθ|α|sinθ|β−αdθ(3.8) Pouco depois da iGSE foi publicada a extensão natural de Steinmetz, ou natural Steinmetz equation (NSE): Pv= (∆B 2)β−αkN TZT 0|dB(t) dt |αdt (3.9) Com kN=K (2π)α−1R2π 0|cosθ|αdθ(3.10) A abordagem ciclo elíptica equivalente, ou equivalent elliptical loop (EEL) baseia-se na definição de uma expressão para a componente irreversível de um campo magnético Hirr, a componente de perdas magnéticas. A componente irreversível comparada á indução magnética descreve um ciclo elíptico. Temos as componentes da elipse: B=Bmsin(θ)(3.11) Hirr =Hmcos(θ)(3.12) Igualando a superfície da elipse e a equação de perdas de Steinmetz para o caso sinusoidal, a definição de o componente irreversível pode ser encontrada com base na indução magnética. A expressão de perdas será então: pv(t) = |C||dB(t) dt |α(3.13) 48 Caracterização multifísica de um transformador de média frequência Com: C=±1 Cαβ K|Bmcos(θ)|β−α(3.14) Cαβ =2 π(2π)αZπ 2 0cosβ(θ)dθ(3.15) Por fim temos a equação de Steinmetz para um coeficiente de forma de onda, ou em inglês, waveform coefficient Steinmetz equation (WCSE). É um método que tenta relacionar formas de onda não sinusoidais com formas sinusoidais com o mesmo pico de indução magnética, através do cálculo de área de forma de onda da indução. Pv=FWCK f αBβ m(3.16) Tabela 3.1: Expressões de perdas do núcleo para diferentes métodos [10] Método Expressão OSE Pv=K f αBβ m MSE Pv=1 TRT 0k1|(dB(t) dt )α||B(t)|β−αdt iGSE Pv=1 TRT 0k1|dB(t) dt |α(∆B)β−αdt NSE Pv= (∆B 2)β−αkN TRT 0|dB(t) dt |αdt EEL pv(t) = |C||dB(t) dt |α WcSE Pv=FWCK f αBβ m 3.1.2 Perdas enrolamentos Ao trabalhar com altas frequências são usados fios Litz para minimizar perdas cobre. Quando um fio litz conduz correntes existem efeitos peliculares e proximidade que causam nao-uniformidade na distribuição de corrente. No que respeita ás perdas dos enrolamentos, podemos dividir os métodos de cálculos de perdas para fios Litz em métodos numéricos e métodos analíticos. •Métodos numéricos - Requerem muito tempo apesar de terem bons resultados. •Métodos analíticos - Calculo de perdas usando matriz de permeabilidade do condutor, aproximação de Dowell’s[25] e aplicação de perdas de um fio de Litz ao enrolamento inteiro(Modelo de Tourkhani[22]). Modelo de Tourkhani é adotado e a sua aproximação para r0≤δ Pw,m=Rdc ·I2 rms ·n1+π2N0β 3·26(16m2−1+24 π2)·(r0 δ 4)o(3.17) Rdc =MLTwN πσr2 0N0 (3.18) 3.1 Introdução 49 Segundo [32] podemos considerar as perdas nos enrolamentos como: Pcu =∑RI2=pw n ∑ i=1 NiMLT(JAwi)2 Awi (3.19) •pwé a resistividade do condutor. •Volume dos enrolamentos Vw=MLT ∗Wa. •Volume de condução=Vw∗ku. Pcu =pwVwkuJ2(3.20) Tendo portanto assim as perdas relacionas com as características geométricas do condutor. Há também a possibilidade de relacionar as perdas nos enrolamentos com a temperatura[33]: Pw(T) = Pwdc(To)ATop[1+α(T−To)]F(AT)(3.21) Onde: •Pw(T)- Perdas a uma temperatura T. •Pwdc - Perdas a uma temperatura To (temperatura da sala) •αcoeficiente de temperatura no condutor 3.1.3 Modelo térmico O modelo térmico é um fator importante no que respeita ao desenho de transformadores. Tendo por base que a mudança de temperatura no transformador pode influenciar as características do mesmo é importante saber modelar essa mesma mudança. Resistência térmica pode ser estimada por modelos teóricos ou empíricos. Alguns autores sugerem que uma equação empírica pode ser utilizado como uma primeira aproximação da resistência térmica dos núcleos de ferrite. Existe uma grande variedade de modelos dependente do mecanismo de transferência de calor. De seguida podemos ver um exemplo de uma equação tendo por base modelos empíricos [22]: Rth =1 11.34 ·V0.52 c≈0.0457 √Vc (3.22) Se o valor do volume do núcleo é utilizado em cm3, em seguida, a resistência térmica pode ser calculada em (K/W) Rth =53(Vnucleo)−0.54 (3.23) As perdas combinadas dos enrolamentos e do núcleo precisam de ser dissipadas pela superfície transformador. O mecanismo dominante de transferência de calor é convecção. De seguida 50 Caracterização multifísica de um transformador de média frequência veremos a equação de Newton: P=hAt∆T(3.24) Onde ∆Té a subida de temperatura, h é o coeficiente de transferência de calor e P é a soma das perdas de enrolamentos e núcleo. Resistência térmica Rθ ∆T=RθP(3.25) A resistência térmica é portanto o paralelo das perdas dos enrolamentos e núcleo. 1 Rθ =1 Rθ,cu +1 Rθ,f e =hAt(3.26) Onde h e Atsão os valores equivalentes para um transformador tratado como uma única unidade. Para convecção natural do ar h é função da altura H do transformador h=1.42[∆T H]0.25 (3.27) Os valores de resistência térmica das principais formas de núcleo para transformadores de ferrite, arrefecido por convecção natural ao ar (sem arrefecimento forçado) são apresentados nas tabelas abaixo . Dados empíricos fornecidos por Epcos 3.1 sugerem que na primeira aproximação a resistência térmica é proporcional ao inverso da raiz quadrada do volume do núcleo de ferrite. Figura 3.1: Resistência térmica de núcleos de ferrites, [3] Capítulo 4 Desenvolvimento e Implementação da ferramenta 4.1 Introdução Neste capítulo são descritas todas as matérias necessárias ao desenvolvimento e implementação da ferramenta de desenho de transformadores que foi objeto de dissertação. São introduzidos de forma resumida dois algoritmos na secção 4.2 de desenho de transformadores implementados, bem como os algoritmos de otimização necessários na secção 4.3 para chegar a resultados, os modelos de transformadores 4.4 estudados bem como o resultado final do sistema 4.5 e a sua arquitetura. 4.2 Métodos de desenho de transformadores Na literatura encontram-se diversos métodos de projeto de transformadores, sendo em geral aceite a possibilidade de os classificar em duas classes: •Metodologias iterativas: métodos em que se fazem diversas tentativas de resolução do problema até se atingir as características de desempenho consideradas aceitáveis. Um exemplo é um método proposto em [8]; •Metodologias analíticas:métodos que têm por base uma resolução de um sistema que levará à solução do problema. Um exemplo é o método de projeto apresentado por [22]; 4.2.1 Algoritmo iterativo Este algoritmo apresentado em [8] é bastante conhecido, sendo reconhecido como um bom ponto de partida para o desenho de transformadores. De seguida é apresentado o diagrama 4.1 com o algoritmo base implementado na ferramenta. 51 58 Desenvolvimento e Implementação da ferramenta onde ksh representa o fator de forma de onda, n o número de espiras, Bpa amplitude da indução magnética, fa frequência e Aca secção do núcleo magnético. •2aLimite térmico Rth.P t≤∆τmax (4.29) onde Rthrepresenta a resistência térmica equivalente do transformador, P trepresenta as perdas totais e ∆τmax representa a variação máxima permitida de temperatura. •3aRácio entre numero de espiras entre primário e secundário N=np ns (4.30) onde N é o rácio entre o número de espiras do primário (np) e do secundário (ns). Estas restrições são fundamentais para o desenho de transformador e permitem a definição de limites no que respeita à entrada de parâmetros no algoritmo. 4.2.2.1 Perdas no núcleo As perdas de núcleo podem ser estimadas pela equação de Steinmetz: Pc=K1a3By p(4.31) onde aé o fator dimensional e yé um coeficiente de perdas dado pelo fabricante. Com: K1=1000kmag.Cm.fx.vc.(ct2.τ2 ope −ct1.τope +ct0)(4.32) onde kmag é o coeficiente de perdas do núcleo dependente da forma de onda, Cmyexsão os coeficientes de perdas, cT1,cT2ecT3evco volume do núcleo. kmag = ( 8 π2)x−1.(1−θ π)y−x−1(4.33) onde θé o período de tensão nula. 4.2.2.2 Perdas nos enrolamentos No que respeita a perdas nos enrolamentos é preciso considerar se os enrolamentos estão intercalados ou não. De seguida são apresentadas as expressões para as perdas nos enrolamentos. Para enrolamentos intercalados temos a seguinte expressão: Pw=K2 a5B2 p ((e1r0p+e2)2 αr2 0p +(e1r0s+e2)2 (1−α)r2 0s )+ K3 aBp (r4 0p (e1r0p+e2)2+N.r4 0s (e1r0s+e2)2)(4.34) onde e1ee2são constantes de isolamento de fio Litz,r0per0ssão os raios dos fios Litz no primário e secundário e αcoeficiente de distribuição de enrolamentos. 4.2 Métodos de desenho de transformadores 59 As constantes K2eK3são explicitadas por: K2=V2 prms.I2 prms 16.k2 sh.σ.f2.mlt a2 cawKd (4.35) onde acé área do núcleo, awé área do enrolamento e Kdé constante de enrolamento que modela a redução da área devido a vários fatores (acumulação de espiras, etc). K3=Vprms.I2 prms.f.σ.µ2 √2.ksh .mlt.Kd ac (4.36) No caso de enrolamentos não intercalados temos que a potência de perdas é: Pw=K2N a5B2 p (mltp(e1r0p+e2)2 αr2 0p +mlts(e1r0s+e2)2 (1−α)r2 0s )+ K3N a3B2 p (mltp.α.r4 0p (e1r0p+e2)2+mlts(1−α).r4 0s (e1r0s+e2)2)+ K4n aBp (mltp.r4 0p (e1r0p+e2)2+mlts.N.r4 0s (e1r0s+e2)2)(4.37) Com: K2,N=V2 prms.I2 prms 16.k2 sh.σ.f2a2 cawKd (4.38) onde σé a condutividade elétrica do condutor. K3,N=V2 prms.I2 prms.π2.σ.µ2 48.ksh .Kd.c1 a2 c.c2(4.39) onde µé a permeabilidade magnética do condutor K3,n=Vprms.I2 prms.f.σ.µ2.Kd 10√3.ksh.ac (4.40) 4.2.2.3 Função objetivo A equação para otimizar é: Min P t s.t P t.Rth −∆τmax =0 onde P tperdas totais que incluem perdas nos enrolamentos e núcleo. A otimização da função objetivo permite a resolução do sistema e permite-nos saber qual o núcleo mais adequado ao projeto. Rth =0.0457 v0.52 c.a1.56 (4.41) 60 Desenvolvimento e Implementação da ferramenta 4.3 Métodos de Otimização De seguida são explicados os principais métodos de otimização que serviram de base para a resolução dos problemas de otimização no desenho de transformadores. 4.3.0.4 Método dos multiplicadores de Lagrange No que se refere à otimização matemática, o método dos multiplicadores de Lagrange (em homenagem a Joseph Louis Lagrange) é uma estratégia para encontrar os máximos e mínimos locais de uma função sujeitos a restrições de igualdade [34]. Um problema de otimização é habitualmente formulado para maximizar ou minimizar uma função. Na sua formulação podem ser consideradas restrições. A título de exemplo considere-se o problema de encontrar o valor mínimo da função: min f (x1, ..., xn)(4.42) Em termos paramétricos o problema de minimização formula-se como: G(x1, ..., xn) = 0 (4.43) Onde G= [G1(x1, ..., xn) = 0, ..., Gk(x1, ..., xn) = 0]Té o vetor das restrições. Função Fde Lagrange é definida na equação seguinte: F(X,λ) = f(X)−λG(X)(4.44) onde o vetor de variáveis é: X= [x1, ..., xn](4.45) e o vetor de multiplicadores de Lagrange é: λ= [λ1, ..., λn](4.46) Os pontos extremos de Fe dos multiplicadores de Lagrange λsatisfazem. ∆F=0 (4.47) Isto é: ∂f ∂xi− k ∑ m=1 λm ∂Gm xi =0,i=1, ...n(4.48) G(x1, ..., xn) = 0 (4.49) O método dos multiplicadores de Lagrange, o qual define as condições necessárias para a otimização de problemas não lineares com restrições. 4.3 Métodos de Otimização 61 De seguida podemos ver uma função 4.5 representada graficamente assim como o problema de otimização (extremos da função). Figura 4.5: Parábola com vários níveis de contorno e 2 linhas de restrições. Retirado de [5] Figura 4.6: Vista mais próxima dos níveis de contorno e restrições.Retirado de [5] Podemos ver na figura 4.6 que as 2 linhas de restrições se intercetam num ponto. O respetivo ponto na parábola é portanto um mínimo e máximo. 4.3.0.5 Métodos de otimização computacional Para a resolução de problemas com várias variáveis e com elevado grau de complexidade e dependência é necessário recorrer a ferramentas computacionais [7] que implementam vários métodos de otimização, e que permitem a rápida resolução de problemas complexos de otimização. Um dos métodos mais conhecidos é denominado, algoritmo de otimização de Ponto-Interior. Algoritmos do ponto-interior permitem lidar com grandes problemas esparsos, bem como pequenos problemas densos. 62 Desenvolvimento e Implementação da ferramenta Métodos de pontos interiores (também conhecidos como métodos de barreira) são uma classe de algoritmos que resolve problemas de otimização convexa lineares e não lineares . Qualquer problema de otimização convexa pode ser transformado em minimizando (ou maximizar) uma função linear ao longo de um conjunto convexo através da conversão para onde os pontos estão no gráfico ou acima dele. A abordagem ponto-interior para minimização com restrições é resolver uma sequência de problemas de minimização aproximados. O problema original é: minxf(x),sujeito a h(x) = 0 e g(x)≤0 (4.50) Para cada µ>0, o problema aproximado é: minx,sfµ(x,s) = minx,sf(x)−µ∑ i ln(si),sujeito a h(x) = 0 e g(x)+s=0 (4.51) Há tantas variáveis sipois há restrições de desigualdade g. Os siestão restritos a ser positivos para manter ln(si)delimitada . Como µdiminui para zero, o mínimo de fµdeveria aproximar-se do mínimo de f. O termo logarítmico adicionado é chamado de função de barreira. Para resolver o problema aproximado, o algoritmo usa um de dois tipos principais de passos em cada iteração, o passo direto em (x,s) , resolvendo o problema através da aproximação linear, ou o passo do gradiente conjugado com a região de confiança . Podemos ver na figura 4.7 a solução de um problema com a um algoritmo de ponto interior (algoritmo de Karmarkar). Figura 4.7: Solução através de algoritmo de Karmarkar, retirado de [6] O algoritmo "trust-region-reflective"é um método de confiança sub-espaço-região e é baseado no método de Newton-reflexivo interior . 4.3 Métodos de Otimização 63 Para compreender a abordagem de região de confiança para otimização, é considerado o problema de minimização sem restrições, minimizar f(x), onde a função recebe argumentos vetoriais e retorna escalares. A ideia básica é aproximar fcom uma função de q mais simples, o que razoavelmente reflete o comportamento da função fem uma zona de proximidade de N em torno do ponto x. Esta zona de proximidade é a região de confiança. A etapa de teste sé calculada através da minimização ao longo de N. Esta é o subproblema da "trust-region": mins(q(s),s∈N)(4.52) O ponto atual é estimado ser x+sse f(x+s)<f(x), caso contrário, o ponto atual mantém-se inalterado e N, a região de confiança , é reduzido e o passo de cálculo de teste é repetido. As questões chave na definição de uma abordagem de confiança região específica para minimizar f(x) são como escolher e calcular o q aproximação(definido no atual ponto x) , como escolher e modificar a confiança região N, e como exatamente para resolver o subproblema "trust-region". O algoritmo ’trust-region-reflective’ exige que se forneça um gradiente, e permite que apenas limites ou restrições de igualdade lineares, mas não ambos . Dentro desses limites, o algoritmo lida com ambos os grandes problemas esparsos e pequenos problemas densas eficiente. É um algoritmo de grande escala . O algoritmo ’active-set’ permite passos de iterações maiores , o que aumenta a velocidade de convergência. O algoritmo é eficaz em alguns problemas com restrições não-suaves. Na otimização restrita, o objetivo geral é o de transformar o problema num subproblema de resolução mais fácil que pode, então, ser resolvidos e utilizados como a base de um processo iterativo. O problema é resolvido utilizando constrangida uma sequência de otimizações sem restrições parametrizadas, que no limite (da sequência) convergem para o problema confinado. Estes métodos são agora considerados relativamente ineficientes e foram substituídos por métodos que se concentraram na solução das equações Karush-Kuhn-Tucker (KKT). As equações KKT são condições necessárias para otimização de um problema de otimização constrangidos. Se o problema é um assim chamado problema de programação convexa, isto é, f (x) e gi(x),i=1, ..., M, são funções convexas, em seguida, as equações KKT são ambas necessárias e suficientes para um ponto de solução global. As equações de Kuhn-Tucker pode ser declarado como: ∆f(x∗)+ m ∑ i=1 λi·∆Gi(x∗) = 0 (4.53) λi·Gi(x∗) = 0,i=1, ..., me(4.54) λi≥0,i=me+1, ..., m,(4.55) A primeira equação descreve um cancelamento de gradientes entre a função objetivo e as restrições ativas no ponto de solução. Para os gradientes de ser cancelada, multiplicadores de Lagrange (λi,i=1, ..., m) são necessários para equilibrar os desvios na magnitude da função de restrição 64 Desenvolvimento e Implementação da ferramenta e gradientes objetivas. Porque apenas constrangimentos ativos estão incluídos nesta operação de cancelamento, limitações que não são ativos não devem ser incluídas nesta operação e assim são dadas multiplicadores de Lagrange igual a 0. Isto é afirmado implicitamente nas duas últimas equações de Kuhn-Tucker. A solução das equações KKT constitui a base de muitos algoritmos de programação não lineares. Estes algoritmos tentam calcular os multiplicadores de Lagrange diretamente. Métodos quase-Newton constrangidos garantir a convergência super-linear acumulando informações de segunda ordem sobre as equações KKT usando um procedimento de atualização quasi-Newton. Estes métodos são comummente referidos Programação Quadrática (SQP) métodos como sequenciais, uma vez que um subproblema QP é resolvido a cada iteração principal (também conhecido como programação iterativo quadrática, programação recursiva quadrática, e restrita métodos métricas variável). É um algoritmo de grande escala. Por fim temos o algoritmo de otimização SQP. O algoritmo "SQP "é semelhante ao algoritmo "active-set". Métodos SQP representam o estado da arte em métodos de programação não-linear. Em cada iteração importante, uma aproximação é feita do Hessiano da função de Lagrange usando um método de atualização quasi-Newton. Este é então utilizado para gerar um subproblema QP cuja solução é utilizada para formar um sentido de pesquisa para um processo de busca de linha. Não é um algoritmo de larga escala. A ideia principal é a formulação de um subproblema QP baseado em uma aproximação quadrática da função de Lagrange. L(x,λ) = f(x)+ m ∑ i=1 λi·gi(x)(4.56) Figura 4.8: Algoritmo SQP da função Rosenbrock com restrição, retirado de [7] 4.4 Modelos de transformadores com Parâmetros concentrados 65 Todos estes algoritmos são possíveis de ser implementados na função fmincon. A mesma é definida de seguida: minxf(x)talque                c(x)≤0 ceq(x) = 0 A.x≤b Aeq.x=beq lb ≤x≤ub (4.57) [x,f val] = f mincon(problem)(4.58) [x,f val] = f mincon(f un,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)(4.59) Afmincon é um método baseado em gradiente que é projetado para trabalhar em problemas onde as funções objetivo e restrições são tanto contínua e têm primeiras derivadas continuas. Quando o problema é inviável, fmincon tenta minimizar o valor máximo de restrição. 4.4 Modelos de transformadores com Parâmetros concentrados O objetivo deste subcapítulo é utilizar os modelos de transformadores com parâmetros concentrados ([35]) para permitir a simulação numérica dos transformadores projetados. Na sua essência este tipo de modelo assenta na consideração da indutância de magnetização e de fugas. Além disso as perdas elétricas são modeladas pela inclusão de resistências. Figura 4.9: Modelo de um transformador real As n1espiras do enrolamento primário são percorridas por uma corrente i1, enquanto que as espiras do enrolamento secundário n2transportam uma corrente i2(figura 4.9). Os enrolamentos 66 Desenvolvimento e Implementação da ferramenta primário e secundário estabelecem através da razão entre o número de espiras de cada um, as tensões nominais primárias e secundárias do transformador. O fluxo total no transformador engloba ambos os enrolamentos. Além disso, o entre-ferro é considerado como sendo infinitamente pequeno, nesta fase. O material magnético do transformador assumiu-se ser de permeabilidade infinita, nesta fase, o que significa que a relutância Rmdo circuito magnético é, de facto, zero. A MMF dos dois enrolamentos pode ser escrita como: MMFcoil1= +n1i1(4.60) MMFcoil2=−n2i2(4.61) As MMF’s dos dois enrolamentos são propositadamente escolhido para ser dado em oposição que é a direção da corrente "natural"tal como se tornará aparente em breve. A MMF bobina resultante "vista"pelo circuito magnético tem de ser zero. Logo vemos que: +n1i1−n2i2=0 (4.62) i1=n2 n1i2(4.63) A segunda equação básica que existe para o transformador ideal relaciona os valores dos fluxos magnéticos totalizados, encadeados com cada enrolamento, com os fluxos médios por espira. Se partirmos do princípio, por exemplo, que uma fonte de tensão está ligada ao primário, em seguida, um fluxo total encadeado ψ1estará presente. Isto por sua vez significa que o circuito de fluxo φmserá igual a φm=ψ1 n1.O fluxo correspondente ligado ao secundário é, dado por ψ2=φmn2. A relação entre os valores de fluxo de ligação primários e secundários podem, pois ser escritos como: ψ2=n2 n1ψ1(4.64) As equações de tensão para o primário e secundário são: u1=ψ1 dt (4.65) u2=ψ2 dt (4.66) 4.4 Modelos de transformadores com Parâmetros concentrados 67 Figura 4.10: Representação esquemática de um transformador com enrolamento primário e secundário Como vemos na figura 4.10, podemos caracterizar simplesmente um transformador com enrolamentos no primário e secundário, e com as respetivas tensões e correntes a circularem, caso seja alimentado o primário, e o secundário tenha uma carga. Figura 4.11: Modelo de transformador ideal Na figura 4.11, vemos o modelo de transformador ideal, ou em inglês Ideal Transformer Model (ITF)[35], representado com as respetivas potências a circularem no sentido indicado, do primário para o secundário. 74 Desenvolvimento e Implementação da ferramenta 4.5 Arquitetura da ferramenta de projeto Para desenvolver o sistema foi usado o software Matlab, com auxílio da ferramenta Guide para construção de interfaces e da ferramenta Simulink que é usada para a simulação dinâmica dos modelos matemáticos do transformador. Na figura 4.19 encontra-se representado de forma esquemática os principais componentes de arquitetura do programa desenvolvido. Figura 4.19: Diagrama da interface desenvolvida A interface(figura 4.19) está responsável por receber as especificações do utilizador e, consoante a escolha de algoritmos de desenho, vai receber as características do transformador calculado num ou noutro algoritmo. A interface é bastante interativa e de fácil uso, sendo que a seguir serão apresentadas algums detalhes adicionais dos diferentes componentes que integram a ferramenta desenvolvida. 4.5 Arquitetura da ferramenta de projeto 75 Figura 4.20: Diagrama da interface Input desenvolvida Na figura 4.20 encontram-se identificados os principais parâmetros de entrada para o projeto do transformador (fator de forma de onda, frequência, etc...). Figura 4.21: Interface "Transformer data input" A título ilustrativo a figura 4.21 mostra a janela de entrada de dados. Permite ao utilizador escrever as especificações mais gerais do projeto de transformador desejado. Potência, correntes e tensões rms , assim como fator de onda podem ser descritos nesta página. É possível ao utilizador guardar os dados em ficheiro, ou carregar dados previamente guardados(figura 4.19). 76 Desenvolvimento e Implementação da ferramenta Figura 4.22: Diagrama da interface Data desenvolvida Na figura 4.22 encontram-se identificados os principais dados para o projeto do transformador (perdas totais, fator de enchimento, etc...). Figura 4.23: Interface "Data Input" Outros dados importantes para serem guardados, tal como correntes , os fatores de enchimento de enrolamento e densidade de fluxo máxima, serão guardados numa base de dados chamada "Data"(figura 4.23). 4.5 Arquitetura da ferramenta de projeto 77 Figura 4.24: Interface "Design" Na figura 4.24 podemos ver a interface "Design", que permite ao utilizador usar o método Kg f e para desenhar transformadores, sendo permitido ao utilizador guardar os dados. Figura 4.25: Interface "Design by Barrios" A janela de entrada de dados para o algoritmo analítico encontra-se na figura 4.25. Neste caso o utilizador pode criar e usar uma base de dados de materiais magnéticos, assim como escolher o algoritmo de otimização computacional para correr o algoritmo de desenho de transformadores analítico desenvolvido. 78 Desenvolvimento e Implementação da ferramenta Figura 4.26: Interface "Simulation" Figura 4.27: Diagrama simulink funcional, modelo de três indutâncias Após o projeto do transformador e através de uma estimativa dos parâmetros concentrados do modelo de transformador é possível escolher o Simulink para simular o funcionamento do transformador e assim antever o seu desempenho inserido num circuito eletrónico de potência (figuras 4.26 e4.27). Capítulo 5 Resultados Neste capítulo apresentam-se os resultados obtidos com a ferramenta desenvolvida para três casos de estudo 5.1 considerados bem como os resultados atingidos 5.2. 5.1 Casos de estudo Os casos de estudo foram inspirados nas referências [22][8] como forma de corroborar os resultados obtidos com a ferramenta desenvolvida. 5.2 Resultados com ferramenta desenvolvida 5.2.1 Conversor Cuk Na figura 5.1 podemos ver a topologia do conversor Cuk considerado: Figura 5.1: Conversor Cuk, retirado de [8] Com as seguintes características importantes para o desenho de transformador: 79 80 Resultados Tabela 5.1: Características para desenho de transformador para conversor Cuk Variável Valor D 0.5 Ku0.5 n 5 fs200 kHz Potência total máxima 0.25 W Kf e 24.7 β2.6 λ162.5 V-sec I1 4 A I2 20 A ITOT 8 A Os resultados obtidos na ferramenta foram: Tabela 5.2: Resultados para desenho de transformador para conversor Cuk, com algoritmo iterativo Variável Valor kg f e 0.00295 ∆B0.0858 Tesla n1 5 espiras n2 1 espiras α10.5 A α20.5 A Aw114.8∗10−3cm2 Aw274.2∗10−3cm2 Com o núcleo a ser escolhido da Magnetics Inc. com núcleo "pot core"2213. Tabela 5.3: Resultados para desenho de transformador para conversor Cuk, com algoritmo analítico Variável Valor a 0.034 mm Bp0.068 Tesla r0p0.0158 mm r0s0.0191 mm α0.2141 P tot 0.4239 W Os resultados do algoritmo são bastante variáveis consoante o número de iterações escolhidos para correr a função fmincon. Por forma a confrontar os dois métodos só foi selecionado núcleo usado no primeiro método. Os resultados mostram uma diferença não muito grande entre os dois métodos, no que respeita ás dimensões dos enrolamentos, variáveis de projeto e fatores dimensionais de cada método. 5.2 Resultados com ferramenta desenvolvida 81 5.2.2 Conversor Foward O próximo caso de estudo é baseado num conversor do tipoBuck de ponte completa com as seguintes características: Figura 5.2: Conversor Buck com ponte completa, retirado de [8] Com as seguintes características importantes para o desenho de transformador: Tabela 5.4: Características para desenho de transformador para conversor Buck Variável Valor D 0.75 Ku0.25 n 110:5:15 fs150 kHz Potência total máxima 4 W Kf e 7.6 W/Tβcm3 β2.6 λ1800 V-µsec I1 5.7 A I2 66.1 A I3 9.9 A ITOT 14.4 A Os resultados obtidos na ferramenta foram: 82 Resultados Tabela 5.5: Resultados para desenho de transformador para conversor Buck, com algoritmo iterativo Variável Valor kg f e 0.00937 ∆B0.08 Tesla n1 22 espiras n2 1 espiras n3 3 espiras α10.396 A α20.209 A α30.094 A Aw18∗10−3cm2 Aw293.0∗10−3cm2 Aw313.9∗10−3cm2 Com o núcleo a ser escolhido da Magnetics Inc. em duplo E 50(EE50). Estes resultados foram validados com [8], demonstrando que o método iterativo implementado na ferramenta chega aos mesmos resultados. 5.2.3 Conversor flyback Por forma a testar na prática foi projetado um conversor flyback [8]. Na figura 5.3 podemos ver o esquemático do conversor. Figura 5.3: Conversor Flyback Vgrepresenta a tensão de entrada que será 25 V, Corepresenta o condensador de saída, Roé a carga, Sé o semicondutor usado (mosfet IRFP540 neste caso), e no que respeita à malha snubber temos um díodo rápido Ds, a resistência Rse o condensador Cs. Temos ainda o díodo (BY220) da parte do secundário. O comando é uma onda quadrada de 25 kHz com duty-cycle de 50%. O comando é dado pelo NE555 e a drive do mosfet é o IR2110. Foi definido um coeficiente de 5.2 Resultados com ferramenta desenvolvida 83 enchimento Kude 0.4 e a razão de transformação, n, de 0.2, o que significa que temos 5 V no primário (para uma resistência de 85 Ω). Figura 5.4: Conversor Flyback com malha snubber Tendo em conta a corrente de magnetização foi projetada uma malha snubber para suprimir os efeitos da mesma. Podemos ver na figura 5.4 o conversor com malha snubber, onde Csé o condensador, Rsa resistência e Dsé o díodo rápido da malha snubber.Lesimboliza a indutância de fugas e Lma indutância de magnetização. Usando o Gecko Magnetics[9] para simular o circuito e desenhar o transformador obtemos 72 espiras no primário e 14 espiras no secundário. Usando o algoritmo iterativo descrito no subcapítulo 4.2.1 chegamos a 70 espiras no primário e 13 no secundário. Figura 5.5: Perdas por enrolamentos, retirado de [9] O software da Gecko também nos dá as perdas por enrolamentos como podemos ver na figura 5.5. 90 REFERÊNCIAS [15] Douglas Brooks e Douglas Brooks. Fusing Current: When Traces Melt Without a Trace. Printed Circuit Design, 15(12), 1998. [16] QuickField support site. URL: http://www.quickfield.com/. [17] Finite Element Method Magnetics: HomePage. URL: http://www.femm.info/wiki/ HomePage. [18] PowerEsim - Free SMPS Switching Power Supply / Transformer Design Software. URL: http://www.poweresim.com/. [19] Irma Villar. Multiphysical characterization of medium-frequency power electronic transformers. 4622:234, 2010. URL: http://infoscience.epfl.ch/record/143044/ files/EPFL_TH4622.pdf. [20] Antonietta De Nardo, Giulia Di Capua, e Nicola Femia. Transformer design for isolated switching converters based on geometric form factors of magnetic cores. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 60(6):2158–2166, 2013. doi:10.1109/TIE.2012.2193853. [21] Jonas Mühlethaler, Jürgen Biela, Johann Walter Kolar, e Andreas Ecklebe. Improved coreloss calculation for magnetic components employed in power electronic systems. IEEE Transactions on Power Electronics, 27(2):964–973, 2012. doi:10.1109/TPEL.2011.2162252. [22] High-frequency Power Transformers, Ernesto L Barrios, Student Member, Alfredo Ursúa, Luis Marroyo, Pablo Sanchis, e Senior Member. Analytical Design Methodology for Litz- Wired. 62(4):2103–2113, 2015. [23] Thiago C. Batista, Benedito a. Luciano, Raimundo C.S. Freire, Walman B. Castro, e Edcleide M. Araújo. Influence of magnetic permeability in phase error of current transformers with nanocrystalline alloys cores. Journal of Alloys and Compounds, 8388:S228–S230, 2013. URL: http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/ pii/S0925838813028405, doi:10.1016/j.jallcom.2013.11.110. [24] Mitushi Nigam e Charles R. Sullivan. Multi-layer folded high-frequency toroidal inductor windings. Conference Proceedings - IEEE Applied Power Electronics Conference and Exposition - APEC, páginas 682–688, 2008. doi:10.1109/APEC.2008.4522795. [25] C.R. Sullivan. Computationally efficient winding loss calculation with multiple\nwindings, arbitrary waveforms, and two-dimensional or three-dimensional\nfield geometry. IEEE Transactions on Power Electronics, 16(1):142–150, 2001. doi:10.1109/63.903999. [26] Amir Baktash, Student Member, e Abolfazl Vahedi. Calculation of Parasitic Elements in Toroidal Core Transformers. 42(6):1690–1696, 2014. [27] Charles R. Sullivan. Optimal choice for number of strands in a litz-wire transformer winding. IEEE Transactions on Power Electronics, 14(2):283–291, 1999. doi:10.1109/63.750181. [28] Shen Wang, Michael Andrew de Rooij, Willem Gerhardus Odendaal, Jacobus Daniel van Wyk, e Dushan Boroyevich. Reduction of high-frequency conduction losses using a planar litz structure. IEEE Transactions on Power Electronics, 20(2):261–267, 2005. doi:10.1109/TPEL.2004.843022. REFERÊNCIAS 91 [29] Uwe Drofenik. A 150kW Medium Frequency Transformer Optimized for Maximum Power Density. Integrated Power Electronics Systems (CIPS), . . . , 9(1):2–7, 2012. URL: http: //ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=6170640. [30] Sujit Purushothaman e Francisco De León. Heat-transfer model for toroidal transformers. IEEE Transactions on Power Delivery, 27(2):813–820, 2012. doi:10.1109/TPWRD.2012.2185956. [31] R J Herrnstein. On the law of effect1. Journal of the experimental analysis of behavior, 13:243–266, 1970. doi:10.1901/jeab.1970.13-243. [32] William Gerard Hurley, Werner Hugo Wölfle, e John G. Breslin. Optimized transformer design: Inclusive of high-frequency effects. IEEE Transactions on Power Electronics, 13(4):651–659, 1998. doi:10.1109/63.704133. [33] a. Ayachit e M.K. Kazimierczuk. Thermal Effects on Inductor Winding Resistance at High Frequencies. IEEE Magnetic Letters, 4:1–4, 2013. [34] Huijuan Li. Lagrange Multipliers and their Applications. Electrical Engineering, (10), 2008. URL: http://sces.phys.utk.edu/~moreo/mm08/method_HLi.pdf. [35] Duco W J Pulle e Rik W De Doncker. No Title.