Curvas e Geometria Dinâmica
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Maria do Rosário Campos Ribeiro Curvas e Geometria Dinâmica Departamento de Matemática Faculdade de Ciências da Universidade do Porto 2012
Maria do Rosário Campos Ribeiro Curvas e Geometria Dinâmica Tese submetida à Faculdade de Ciências da Universidade do Porto para obtenção do grau de Mestre em Matemática para Professores Departamento de Matemática Faculdade de Ciências da Universidade do Porto 2012
Agradecimentos Para começar, gostaria de agradecer ao meu orientador, Professor Doutor José Carlos Santos, não só pela sua disponibilidade e acompanhamento, mas também pelas suas sugestões e críticas que tiveram um contributo fundamental para o desenvolvimento desta tese. Agradeço ainda às pessoas mais especiais da minha vida pelo incentivo, compreensão e encorajamento, durante todo este período. Aos meus colegas de mestrado, pelos momentos de entusiasmo partilhados em conjunto. A todos os Professores que tornaram possível o bom funcionamento do Mestrado em Matemática para Professores pelo apoio e disponibilidade no esclarecimento de dúvidas. 3
Resumo Com a elaboração desta tese pretendemos demonstrar e chamar a atenção para o facto de que o estudo das curvas e das suas propriedades, normalmente não abordadas no Ensino Básico e Secundário, pode ser introduzida a este nível de modo pertinente e motivador. Pretendemos, ainda, reforçar a ideia de que a utilização das tecnologias, em ambiente de sala de aula, pode constituir uma mais-valia para a autonomia dos alunos, a construção de conhecimentos e a conquista de aprendizagens, desde que estas tecnologias sejam utilizadas de forma adequada, criativa e crítica. Para além deste documento escrito, esta tese integra ainda um CD-Rom com duas pastas. Uma das pastas do CD-Rom designa-se por GeoGebra e contém construções elaboradas apenas com recurso a este programa de Geometria Dinâmica. A outra pasta do CD-Rom intitula-se HTML . Esta pasta contém cheiros escritos em linguagem HTML e construções em GeoGebra que foram utilizadas na execução desses cheiros. A designação dos cheiros escritos em linguagem HTML respeita a seguinte nomenclatura: index-<assunto>.html é o cheiro principal de cada assunto. Por exemplo, index-conicas.html é o cheiro principal do assunto cónicas. 4
Conteúdo Resumo 4 Índice de Tabelas 7 Índice de Figuras 9 1 Introdução 10 2 Tecnologias no Ensino da Matemática 13 2.1 A importância das tecnologias no ensino da Matemática . . . . . . . . 13 2.2 Programas de Geometria Dinâmica na educação . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Problemas/cuidados com a utilização de programas de Geometria Dinâmica.................................... 16 3 As cónicas 21 3.1 Aparábola ................................. 23 3.2 Funçãoquadrática ............................. 25 3.3 Construção das cónicas em GeoGebra .................. 28 3.4 Cónicas no quotidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.5 Projéteis................................... 33 3.5.1 Lançamento de um projétil sem resistência do ar . . . . . . . . 34 3.5.2 Simulação do lançamento de um projétil sem resistência do ar . 35 3.6 Movimento planetário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5
4 Três Problemas Clássicos da Geometria Grega 41 4.1 Atrisseçãodoângulo ........................... 42 4.1.1 Construções tipo Nêusis ...................... 43 4.1.1.1 Trisseção do ângulo reduzida a outro problema do tipo nêusis ........................... 43 4.1.1.2 Concoide ......................... 45 4.1.1.3 Trisseção de um ângulo utilizando a concoide de Nicomedes........................... 46 4.1.2 Trissetriz de Hípias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2 Quadraturadocírculo ........................... 50 4.3 Duplicaçãodocubo............................. 54 4.3.1 Solução de Menecmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3.2 Solução de Diocles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5 Cicloide 63 5.1 Denição................................... 63 5.2 O Paradoxo da Roda de Aristóteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3 Área sob um Arco de Cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.4 O Problema da Braquistócrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.5 O Problema da Braquistócrona e o movimento sobre o plano inclinado . 73 Referências 76 6
Lista de Tabelas 3.1 Dados dos planetas do sistema solar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.1 Tempo que uma partícula demora a se deslocar de A para B sobre uma dadacurva. ................................. 74 7
Lista de Figuras 3.1 Secções Cónicas. Retirado de http://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro: Secciones_cónicas.svg .......................... 23 3.2 Parábola................................... 23 3.3 Paraboloide ................................. 24 3.4 RaiodeSol ................................. 24 3.5 RetaTangente................................ 25 3.6 Demonstração da propriedade reetora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.7 Gráco da função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.8 Vértice da função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.9 Gráco da função quadrática é uma parábola . . . . . . . . . . . . . . 27 3.10 Cónicas obtidas, com recurso à equação polar (3.4), para os valores de d1 , de e de ϕ indicados. ......................... 29 3.11 Cabo com forma de catenária. Nesta construção os alunos podem alterar os valores de a e de b , em que a é o comprimento do cabo cujo peso é igual à tensão T0 e b o comprimento horizontal do cabo. . . 31 3.12 Cabo com forma de parábola. Nesta construção os alunos podem alterar os valores de a , b , h e x . Em que a é o comprimento do cabo cujo peso é igual à tensão T0 , b o comprimento horizontal do cabo, h a altura mínima do cabo e x a distância horizontal entre dois apoios . . . . . . . 33 3.13 Simulação do laçamento da uma partícula . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.14 Zona Algébrica e Folha de Cálculo utilizada na implementação . . . . . 39 3.15 Órbita do planeta Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.1 ConstruçãoporNêusis ........................... 43 4.2 Trisseçãodoângulo............................. 44 8
4.3 Prova da construção por Nêusis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.4 Concoide de Nicomedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.5 concoide se a curva for uma circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.6 LimaçondePascal ............................. 47 4.7 Trisseção de um ângulo utilizando a concoide de Nicomedes. . . . . . . 47 4.8 TrissetrizdeHípias............................. 48 4.9 Ilustração de que a trissetriz de Hípias realmente trisseta o ângulo . . . 49 4.10Trissetriz................................... 51 4.11 Caso de semelhança de triângulos pelo Teorema de Tales ........ 52 4.12 Determinação do comprimento do arco DB . ............... 53 4.13 Quadratura do círculo de raio AD . .................... 53 4.14 As soluções de Menecmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.15 Cissoide de Diocles pela denição atual. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.16 Cissoide pela denição de Diocles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.17 Solução de Diocles para o problema da duplicação do cubo. . . . . . . . 59 4.18 Solução utilizando a cissoide de Diocles segundo [25]. . . . . . . . . . . 61 5.1 Cicloide ................................... 63 5.2 ParadoxodaRoda ............................. 65 5.3 Perímetro do círculo corresponde ao limite da sucessão dos perímetros dos polígonos inscritos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.4 Explicação do Paradoxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.5 Área sob um arco de cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.6 Folha de Cálculo Utilizada na Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.7 Braquistócrona ............................... 70 5.8 Comparação entre o movimento de uma partícula sobre a cicloide invertida e sobre o plano inclinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 9
CAPÍTULO 2. TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA 16 matemáticos em três representações distintas: gracamente (por exemplo, pontos, grácos de funções, curvas), algebricamente (por exemplo, coordenadas de pontos, equações) e nas células da folha de cálculo. Segundo PMEB [18] a folha de cálculo é ... um recurso tecnológico importante no desenvolvimento do pensamento algébrico uma vez que permite realizar com rapidez experiências com números e pôr em evidência relações numéricas. Em algumas das construções descritas ao longo desta tese, como por exemplo, a simulação computacional do movimento planetário (secção 3.6), a interligação entre Zona Gráca, Zona Algébrica e Folha de Cálculo que este software permite foi fundamental. Pois, se um dado problema nos leva à resolução de uma equação diferencial, que não conseguimos resolver analiticamente, podemos ter ideia da sua resolução utilizando um processo de discretização. Conseguimos implementar este processo de discretização apenas porque o software usado faz a interligação referida acima. Observe-se que é frequente que uma equação diferencial não tenha soluções que se possam exprimir à custa de funções dadas no Ensino Secundário, o que torna importante esta maneira de se obter soluções aproximadas. Além disso, seria possível que uma solução de uma tal equação diferencial não se pudesse denir à custa das funções pré-denidas por este software . 2.3 Problemas/cuidados com a utilização de programas de Geometria Dinâmica Apesar de considerámos que o uso das tecnologias é vantajoso para o ensino da Matemática, devemos ter cuidado, uma vez que, toda a tecnologia pode ser bem ou mal usada. Um ensino desastrado, cheio de tecnologia, não promove a aprendizagem. Segundo João Pedro Ponte [21, pág. 4] as tecnologias têm hoje um papel fundamental na sociedade e a tarefa dos educadores é tirar delas o melhor partido, conservando, como em relação a tudo, o sentido crítico. Compete ao professor, para maximizar as potencialidades da tecnologia, selecionar ou criar tarefas matemáticas, recorrendo a esta ferramenta digital de forma correta e eciente, no sentido de melhorar as oportunidades de aprendizagem dos seus alunos. Segundo o PMEB na resolução de problemas geométricos, como nas tarefas exploratórias e de investigação, o professor deve ter alguns cuidados como ter em atenção que é
CAPÍTULO 2. TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA 17 ... importante que os alunos tenham um tempo apropriado para realizar experiências, elaborar estratégias, formular conjeturas, descrever processos e justicá-los com rigor progressivo. Ao elaborarem justicações, produzindo pequenas cadeias dedutivas, familiarizam-se com o processo de demonstração e iniciam o raciocínio geométrico dedutivo. Os alunos devem recorrer a software de Geometria Dinâmica, sobretudo na realização de tarefas exploratórias e de investigação. [18, pág. 51] Por vezes a utilização das potencialidades dos programas utilizados são complexas para os conhecimentos de alguns alunos e/ou alguns níveis de ensino. Sendo necessário o professor decidir, perante o aluno e/ou a turma, se a sua utilização deve ou não car restrita à vertente geométrica. Segundo Nuno Candeias e João Pedro Ponte [4] os ambientes computacionais por si só não são sucientes para melhorar o ensino da geometria pelo que devem estar associados a tarefas signicativas para os alunos, isto é, tarefas que tenham como objetivo desenvolver a sua competência geométrica. Michel de Villiers [31] refere que não só as tecnologias exigem novas habilidades, mas também exigem uma consciencialização das armadilhas que estas podem criar. Neste artigo o autor descreve, ainda, oito armadilhas e a cada uma delas atribui uma designação: 1. Sem mudança; 2. Primeiro dominar o software ; 3. Construção de guras dinâmicas; 4. Aprendizagem fácil; 5. A visualização torna sempre mais fácil; 6. Reexão e avaliação insuciente; 7. Fazer práticas obsoletas; 8. Prova como vericação. Em relação à primeira armadilha, Sem mudança , o autor menciona que muitos professores tendem a utilizar o software de Geometria Dinâmica como uma extensão do papel e lápis, isto é, como se fosse uma lousa. Na opinião do autor o professor deve de usar esta ferramenta para transformar as tarefas de modo a aproveitar as competências que o software insere e fazer atividades que sem o programa seriam impossíveis de realizar. Quanto à segunda armadilha, Primeiro dominar o software , Michel de Villiers explica que muitas vezes é pressuposto, por professores e livros didáticos, que o aluno domine o software para o poderem utilizar em sala de aula. Segundo este artigo o aluno não tem
CAPÍTULO 2. TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA 18 de dominar o software para, efetivamente, o utilizar. O aluno pode explorar exemplos, aprender e criar conjeturas mesmo sem dominar o programa. Para tal o professor deve fornecer aos alunos atividades onde estes só necessitem de arrastar objetos, clicar em botões de animação ou atribuir valores. Relativamente à terceira armadilha, Construção de guras dinâmicas , é referido que, juntamente com a armadilha anterior e talvez inuenciado por uma interpretação errada do construtivismo, é frequente encontrar em livros que primeiro o professor deve requerer a construção de guras de Geometria Dinâmica como quadrados, retângulos, etc, e só depois os alunos podem explorar as suas propriedades. O que segundo o autor está completamente errado por três razões: Requer um bom conhecimento e experiência no software ; Pode demorar muito tempo e o aluno nunca conseguir explorar as suas propriedades ou fazer conjeturas; A construção de guras exige um nível cognitivo mais elevado do que explorar e observar propriedades. O autor considera ainda que pedir aos estudantes para fazerem as suas guras dinâmicas é uma estratégia de aprendizagem boa mas que isso só deve ter lugar quando o aluno já sabe todas as propriedades das guras em causa. Em relação à armadilha quatro, Aprendizagem fácil , o autor comenta que por vezes pensa-se que a investigação de um problema ou teorema através da Geometria Dinâmica faz com que estes sejam automaticamente e rapidamente aprendidos. No artigo é chamada a atenção para o facto de que se o estudante não for criticamente envolvido e cuidadosamente orientado a observar e analisar o que está a acontecer na tela este pode não reter qualquer aprendizagem. A quinta armadilha, A visualização torna sempre mais fácil , relata que a visualização do que acontece quando o estudante arrasta objetos, clica em botões de animação ou atribui valores, pode ser uma mais-valia ou não. Pois esta visualização pode distrair e tornar confusa a construção, principalmente em utilizadores inexperientes. Quanto à sexta armadilha, Reexão e avaliação insuciente , o artigo refere que para o professor começar a utilizar efetivamente um software de Geometria Dinâmica é preciso repensar criticamente o conteúdo, os objetivos e a abordagem de ensino usada. Por outro lado, o professor deve reavaliar sistematicamente e rever a sua metodologia na utilização do software . Relativamente à sétima armadilha, Fazer práticas obsoletas , Michel de Villiers menciona que apesar da importância da tecnologia melhorar práticas obsoletas existem atividades que devem ser mantidas. O autor refere como exemplo o caso das pavimentações que são complexas de manusear com um software de Geometria Dinâmica, considerando mais ecaz a utilização de azulejos diferentes e o manuseamento dos mesmos.
CAPÍTULO 2. TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA 19 Em relação à oitava armadilha, Prova como vericação , é referido que o maior problema pedagógico e armadilha do software de Geometria Dinâmica é convencer, principalmente os estudantes mais inexperientes, da necessidade de uma prova para veri- carem a veracidade das suas deduções. Esta armadilha chama a atenção para o facto de os alunos poderem retirar algumas conclusões falsas das suas observações. Por exemplo, os alunos podem cair nesta armadilha ao analisarem o Paradoxo da Roda de Aristóteles abordado nesta tese na secção5.2. Vimolan Mudaly e Michael de Villiers [19] analisam uma tarefa matemática para perceberem o processo de modelação matemática e a sua relação com a prova. Os autores concluíram que a modelação matemática contribui para que os alunos tenham necessidade de provarem o que observam e explorem a diversidade de caminhos possíveis para chegar à prova de um resultado. Sendo que este artigo refere que os altos níveis de convicções que surgiram durante o processo de modelação, provavelmente, contribuiu para o impulso para a prova nal, e que, a prova que serviu como explicação foi diferente da prova tradicional do manual. João Almiro [12, de pág. 275 a 315] analisa até que ponto a utilização de materiais manipuláveis e de tecnologia inuencia a contexto de aprendizagem e que constrangimentos traz ao professor a condução de aulas que envolvem a sua utilização. O autor do artigo identica que as principais diculdades do professor nestas aulas são: Gerir o tempo necessário para a resolução de tarefas; Planicação de tarefas adequadas aos alunos (nível de exigência); Criar grupos de trabalho e a sua constituição; Prestar apoio ecaz e oportuno a todos os grupos; Escolher a melhor forma para ajudar o aluno, sem indicar a resposta; O elevado número de alunos das turmas; Barulho considerado por parte da comunidade escolar como sendo falta de controlo da turma. Apesar das diculdades encontradas o autor deste estudo refere que: ... penso que não há nada mais graticante do que ver os alunos satisfeitos e muito envolvidos na resolução das tarefas, conseguindo, por vezes, fazer aqueles clics no avanço dos problemas e que nos deixam entusiasmados e a pensar que vale a pena o investimento neste tipo de atividades. Considero que os resultados que apresento evidenciam ter havido da parte dos alunos momentos em que exploraram uma grande diversidade de ideias matemáticas, em que experimentaram e exploraram situações, tornando-os mais aptos a pensar matematicamente, para o que contribuíram os recursos utilizados o computador e materiais manipuláveis. [12, pág. 305]
CAPÍTULO 2. TECNOLOGIAS NO ENSINO DA MATEMÁTICA 20 Uma diculdade que existe no uso das tecnologias, que é transversal a todos os métodos de ensino e que está patente em muitas escolas é a diculdade e a resistência por parte dos professores a trabalharem em grupo. Para um professor isolado numa escola não é fácil decidir que tarefas deve selecionar e propor aos seus alunos, saber como as deve de orientar e que questões deve colocar, ultrapassar os medos quando experimenta métodos novos e vencer as diculdades que encontra na gestão das suas aulas. Mas se existir um ambiente colaborativo entre colegas, em que os professores são capazes de discutir entre si sobre os seus dilemas, os seus conitos e sobre o que acontece nas suas aulas, favorecendo a troca de ideias e de experiências letivas, é possível enriquecer as práticas letivas e promover a inovação e a melhoria da qualidade do ensino.
Capítulo 3 As cónicas O primeiro matemático que os documentos associam às secções cónicas foi Menecmo (c. 380 a.C. c. 320 a.C.), um possível tutor de Alexandre o Grande e provavelmente irmão de Dinóstrato. No comentário ao tratado Da Esfera e do Cilindro , da autoria de Arquimedes , Eutócio reproduz uma carta (que não se sabe se é autêntica) de Eratóstenes ao rei Ptolomeu III do Egito, em que o autor teria armado: Não procures conseguir coisas difíceis de executar por meio dos cilindros de Arquitas, nem pela tríade de secções cónicas de Menecmo, nem descrevêlas por alguma espécie de linhas curvas do divino Eudoxo; pois por meio destas placas, construirás milhares de médias, começando por um pequeno número de bases. [9] Segundo o autor Carlos Correia de Sá no capítulo A Matemática na Grécia Antiga de [9] as coisas difíceis de executar são os dois meios proporcionais entre dois segmentos de reta, que Arquitas de Tarento (séculos V IV a.C.) teria encontrado por intermédio da interseção de três superfícies para tentar resolver o problema da duplicação do cubo. E a tríade de secções cónicas de Menecmo é constituída pelos três tipos de curvas que se podem obter por interseção de um cone de base circular com um plano, hoje conhecidas pelos nomes de elipses, parábolas e hipérboles. O matemático e astrólogo Conon de Samos (246 a.C. 222 a.C.) era amigo de Arquimedes de Siracusa (287 a.C. 212 a.C.) e com este trocava ideias e estudos matemáticos. Ambos contribuíram para o estudo das cónicas. Arquimedes, num feito provavelmente lendário, terá construído espelhos parabólicos e com estes espelhos incendiava as galeras romanas antes de estas conseguirem alcançar a cidade de Siracusa. Com os espelhos parabólicos Arquimedes conseguia concentrar a luz do sol num ponto do barco romano, provocando neste um incêndio. Siracusa veio, no entanto, a ser tomada sob o domínio dos romanos e foi durante a invasão da cidade que Arquimedes terá sido morto por um soldado romano, apesar de Marcelo, general comandante dos 21
CAPÍTULO 3. AS CÓNICAS 22 invasores, ter dado ordens para que o famoso génio fosse poupado. Apolónio de Pérgamo (262 a.C. 190 a.C.), matemático e astrónomo grego, escreveu um tratado intitulado As cónicas , uma das principais obras de matemática da Antiguidade, composta por oito livros dos quais o último não chegou aos nossos dias. Nesta obra, Apolónio reúne e organiza os conhecimentos que existiam sobre cónicas até ao momento e apresenta progressos referindo, por exemplo, que a partir de um cone podem-se obter as três curvas cónicas ou que as propriedades destas curvas não dependem do cone ser reto ou oblíquo. É no comentário de Eutócio sobre As Cónicas de Apolónio de Pérgamo que temos conhecimento do primeiro conceito de cónica embora neste comentário o nome de Menecmo não seja mencionado. Gémino, um matemático do século I a.C., é a fonte de informação de Eutócio para escrever o comentário. Parte deste comentário pode ser consultado em [9, pág. 315]. Segundo este comentário, na Grécia até aos nais do século III a.C. as secções cónicas eram sempre produzidas pela interseção de um cone com um plano perpendicular à geratriz. Obtinham-se as diferentes cónicas por secção de cones de diferentes tipos. A classicação dos cones era feita nessa altura através do ângulo no vértice. Neste comentário é referido ainda que Apolónio de Pérgamo, mais tarde, provou que, geralmente, em todos os cones, retos ou não, se podem obter todas as secções, conforme as diferentes posições do plano relativamente ao cone. Já no século XVII, com o aparecimento da geometria analítica, iniciou-se o estudo analítico das cónicas, identicando-se o foco e a diretriz. A designação de cónica advém do facto destas curvas se poderem obter através da interseção entre uma superfície cónica e um plano (plano de corte). A interseção dá origem a três tipos de cónicas: elipses, parábolas e hipérboles. Podemos observar na gura 3.1 as diferentes posições do plano de corte em relação à geratriz e ao eixo de rotação da superfície cónica que dão origem aos três tipos de cónicas: se o plano de corte intersetar todas as geratrizes obtém-se uma elipse ou um círculo (caso particular da elipse em que os dois eixos têm o mesmo comprimento) se também for perpendicular ao eixo de rotação da superfície cónica; se o plano de corte for paralelo a uma geratriz obtém-se uma parábola; nos outros casos a curva resultante é uma hipérbole. A cónica que mais evidenciamos neste capítulo é a parábola. Na secção 3.1 analisamos a propriedade reetora da parábola e relatamos uma possível forma de abordar esta propriedade no Ensino. Na secção 3.2 abordamos a função quadrática, tema desenvolvido no Ensino Secundário e sobre este tema referimos, entre outras coisas, como os alunos podem demonstrar que o gráco da função quadrática é uma parábola. Na secção 3.3 descrevemos uma construção, em GeoGebra , através da qual os alunos
CAPÍTULO 3. AS CÓNICAS 23 Figura 3.1: Secções Cónicas. Retirado de http://pt.wikipedia.org/wiki/ Ficheiro:Secciones_cónicas.svg podem obter os três tipos de cónicas. Na secção 3.4 descrevemos algumas das aplicações, a situações do quotidiano, deste tipo de curvas e demonstramos que quando um cabo está submetido apenas ao seu próprio peso (sem existir uma distribuição horizontal uniforme) a curva é uma catenária mas quando existe distribuição uniforme horizontal desse peso a curva resultante é uma parábola. Na secção 3.5 iremos analisar o movimento de partículas após serem projetadas (sem resistência do ar). Na secção 3.6 falamos sobre o movimento do sistema dos planetas no sistema solar e apresentamos um processo de construção de uma simulação computacional, em GeoGebra , para o movimento planetário. 3.1 A parábola A parábola pode-se denir como o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto xo e de uma reta. Ao ponto xo chama-se foco e à reta diretriz da parábola. A reta que é perpendicular à diretriz e contém o vértice e o foco designa-se por eixo de simetria da parábola. Na gura 3.2 está representada uma parábola e identicado o foco, a diretriz e o eixo de simetria. Figura 3.2: Parábola Quando giramos um arco de parábola, em torno do seu eixo de simetria, a gura resultante é uma parte de um paraboloide. Portanto, através de uma rotação a curva pode ser expandida e dar origem a uma superfície tridimensional parabólica como se pode observar na gura 3.3.
CAPÍTULO 3. AS CÓNICAS 24 Figura 3.3: Paraboloide Existem muitas aplicações tecnológicas da paraboloide, nomeadamente na ótica e na acústica, devido à propriedade reetora da parábola. Para os alunos conseguirem visualizar e concluírem qual a propriedade reetora da parábola construímos em GeoGebra uma aplicação que exportamos para uma página em HTML (gura 3.4) onde estava representada uma parábola e um raio de sol incidente nesta. Figura 3.4: Raio de Sol Nesta aplicação os alunos podem deslocar com a ajuda do rato o ponto C , o que faz com que o raio de sol mude de posição. Os alunos concluirão facilmente qual a posição relativa do raio de sol em relação ao eixo da parábola. E com a ajuda do professor poderão concluir a propriedade reetora da parábola. Propriedade reetora da parábola: Em qualquer parábola, um raio paralelo ao seu eixo de simetria reete-se passando pelo foco, e reciprocamente, todo o raio emitido pelo foco, reete-se paralelamente ao eixo de simetria. Para demonstrar a propriedade reetora da parábola é necessário ter conhecimento do próximo teorema. Teorema 3.1.1 Seja A um ponto da parábola e C a sua projeção sobre a diretriz da parábola. A reta tangente à parábola em A é a bissetriz do ângulo Cˆ AF , em que F é o foco da parábola. Realizámos, em GeoGebra , uma animação que ilustra a ideia da demonstração do teorema 3.1.1 e exportamos esta animação para uma página em HTML . Nesta página escrevemos uma lista de procedimentos que os alunos devem seguir para perceberem como se demonstra o teorema 3.1.1.
CAPÍTULO 3. AS CÓNICAS 25 Lista de procedimentos que os alunos devem seguir: Vericar que não existe outro ponto da reta que bisseta o ângulo Cˆ AF que pertença à parábola. Com o rato deslocar o ponto C e o ponto I da animação (gura 3.5) e reetir sobre o que se pode concluir. Figura 3.5: Reta Tangente A propriedade reetora da parábola é bastante simples de demonstrar e os alunos podem ter uma ideia para a sua demonstração analisando a construção que zemos em GeoGebra representada na gura 3.6. Figura 3.6: Demonstração da propriedade reetora 3.2 Função quadrática Definição 3.2.1 Uma função quadrática é uma função real de variável real f denida por: f(x) = ax2+bx +c , onde a , b e c são números reais e a6= 0 . Fizemos em GeoGebra uma construção onde os alunos podem visualizar o gráco de uma função quadrática e identicar a sua forma, gura 3.7. Nesta aplicação os alunos podem atribuir valores a a , b e c , e vericarem quais as alterações que o gráco desta
CAPÍTULO 3. AS CÓNICAS 32 Como o valor de tan θ é o declive da reta tangente em B obtemos a equação (3.11). dy dx =s a (3.11) Como sabemos que o comprimento de arco de uma curva é dado pela fórmula: ds dx =s1 + dy dx2 Temos que, ds dx =q1 + s2 a2⇔ds q1+ s2 a2 =dx ⇒aarcsinh s a=x+k em que k é um número real e podemos considerar k= 0 sem perda de generalidade, isto é, aarcsinh s a=x . Logo, obtemos a equação (3.12). s a= sinh x a (3.12) Através das equações (3.11) e (3.12) temos que: dy dx = sinh x a portanto, temos que y=acosh x a+k1 em que k1 é um número real e podemos novamente considerar k1= 0 sem perda de generalidade. Portanto, y=acosh x a é a expressão analítica de uma catenária. Ou seja, até este momento demonstrámos que quando o cabo está submetido apenas ao seu próprio peso tem a forma de uma catenária. Agora precisamos de demonstrar que quando existe uma distribuição uniforme horizontal do peso a forma do cabo é uma parábola. Consideremos x a distância entre dois pontos de apoio sucessivos, como podemos ver na gura 3.12, e consideremos que o peso está uniformemente distribuído. A equação (3.11) será traduzida, nesta caso, pela equação:
CAPÍTULO 3. AS CÓNICAS 33 Figura 3.12: Cabo com forma de parábola. Nesta construção os alunos podem alterar os valores de a , b , h e x . Em que a é o comprimento do cabo cujo peso é igual à tensão T0 , b o comprimento horizontal do cabo, h a altura mínima do cabo e x a distância horizontal entre dois apoios . dy dx =x a logo, y(x) = x2 2a+h em que h é um número real e, portanto, obtivemos a expressão analítica de uma parábola. 3.5 Projéteis Nesta secção iremos analisar o movimento de partículas após serem projetadas. Balística é a Ciência que estuda o movimento dos projéteis lançados no espaço por uma força determinada, o que geralmente está relacionado com o disparo de projéteis por uma arma de fogo. Ao estudar-se um projétil disparado por uma arma de fogo, pode-se separar o movimento em três partes distintas: a balística interior, balística exterior e a balística terminal. A balística interior ca encarregada de estudar o que ocorre desde o momento do disparo até o instante em que o projétil abandona a arma. Este estudo analisa a temperatura, volume e pressão dos gases no interior da arma durante a explosão do material combustível, assim como também analisa o formato da arma e do projétil. Dependendo da quantidade utilizada de pólvora, deve ser estudado qual o material utilizado para a construção da arma e do projétil para evitar explosões desagradáveis. A construção do cano interno da arma também tem de ser bem projetada. Grandes desenvolvimentos da balística interior foram realizados por Benjamin Robins, um engenheiro que realizou diversas experiências nesta área no século XVIII. A balística exterior trata de estudar o que ocorre a partir do instante em que o projétil abandona a arma e o instante em que este atinge o alvo. Neste estudo entra a aerodinâmica,
CAPÍTULO 3. AS CÓNICAS 34 preocupada em estudar qual é a relação entre o movimento do projétil e o ar que o envolve. Calibre, formato, massa, velocidade inicial e rotação são fatores determinantes para a construção de um projétil com grande poder de destruição. Da simples análise física do assunto utilizando energia, podemos deduzir que a massa e a velocidade são muito importantes no desenvolvimento de uma arma e de um projétil, já que a energia cinética de um corpo é igual a 1 2mv2 , e como a energia que será transmitida ao alvo será igual à energia cinética, a maximização desta permitirá um melhor resultado. Um dos motivos de controvérsia do passado estava relacionado com a trajetória dos projéteis. Antes de Galileu, acreditava-se que a trajetória descrita por um projétil era retilínea, porém Galileu e Newton demonstraram que a trajetória de qualquer corpo sob ação da gravidade era parabólica. Os métodos utilizados para a medição da velocidade dos projéteis eram variados, e podiam ser feitos através da medição do momento ( p=mv ) deles ou então da distância percorrida entre dois pontos em um intervalo de tempo. A balística terminal encarrega-se de estudar o que ocorre no momento do impacto do projétil com o alvo. Nos últimos anos, o estudo da balística tem obtido grandes êxitos, já que o desenvolvimento de fotograas de alta-velocidade e do estroboscópio têm permitido o estudo aprofundado da movimentação de projéteis desde o momento em que são disparados até o instante em que atingem o alvo. Estes estudos são feitos através da inclusão destes dados em computadores que permitem a otimização de armas e projéteis. Na próxima subsecção vamos analisar o lançamento de uma partícula sem ter em conta a resistência do ar. 3.5.1 Lançamento de um projétil sem resistência do ar Consideremos o lançamento de um projétil que nesta secção será o lançamento de uma partícula de massa 1 a partir do ponto P0= (x0, y0) e com uma velocidade inicial v0 , que faz um ângulo θ com o eixo dos xx ( θ pode ser igual a zero). Portanto, a velocidade inicial da partícula é dada pelo vetor (3.13). ~v0= (v0x, v0y) = (v0cos θ, v0sin θ) (3.13) Por outro lado, como nesta secção desprezamos a resistência do ar, o projétil está apenas sujeito à aceleração da gravidade ( g ) que atua em sentido contrário ao eixo dos yy . Assim sendo, o vetor aceleração é dado por (3.14). ~a = (0,−g) (3.14) e, por conseguinte, as componentes horizontal ( ax ) e vertical ( ay ) da aceleração são, respetivamente, (3.15) e (3.16). ~ax= 0 ~ex (3.15)
CAPÍTULO 3. AS CÓNICAS 35 ~ay=−g ~ey (3.16) considerando ~ex é o vetor unitário segundo o eixo dos xx e ~ey é o vetor unitário segundo o eixo dos yy . Integrando as componentes da aceleração em ordem a t e considerando as condições iniciais para a velocidade, ~v0= (v0x, v0y)=(v0cos θ, v0sin θ) , obtemos que as componentes horizontal e vertical da velocidade são, respetivamente, as equações (3.17) e (3.18). ~vx=v0x~ex=v0cos θ ~ex (3.17) ~vy= (v0y−gt)~ey= (v0sin θ−gt)~ey (3.18) Integrando agora as componentes da velocidade em ordem a t e tendo em atenção a posição inicial da partícula P0= (x0, y0) , determinamos que as componentes horizontal e vertical do vetor posição da partícula são, respetivamente, (3.19) e (3.20). ~x = (x0+ (v0cos θ)t)~ex (3.19) ~y =y0+ (v0sin θ)t−1 2gt2~ey (3.20) Portanto a partícula ocupa a posição Pt=x0+ (v0cos θ)t, y0+ (v0sin θ)t−1 2gt2 no instante t e o seu movimento tem a forma de uma parábola. 3.5.2 Simulação do lançamento de um projétil sem resistência do ar Nesta subsecção iremos apresentar o processo de construção de uma simulação computacional para o lançamento de um projétil. Nesta construção tivemos em conta o desenvolvido na secção anterior e recorremos ao uso do software de Geometria Dinâmica GeoGebra . Começamos por construir um ponto P0= (x0, y0) móvel, três seletores para representar o valor de v0 , θ e t e considerar g= 9,8 . Representamos ~v0= (v0cos θ, v0sin θ) com origem em P0 e utilizamos a equação (3.21) para obtermos a posição do ponto no instante t . Pt=x(P0)+(v0cos θ)t, y (P0)+(v0sin θ)t−1 2gt2 (3.21)
CAPÍTULO 3. AS CÓNICAS 36 Para representar a trajetória da partícula ao longo do tempo t utilizamos o comando curva de acordo com o comando representado em (5.5). Curva[v0cos θ t +x(P0),−1 2×9.8t+v0sin θ t +y(P0), t, 0,20] (3.22) Após a introdução destes comandos obtivemos uma simulação do lançamento da partícula que está representada na gura 3.13. Figura 3.13: Simulação do laçamento da uma partícula Nesta simulação os alunos podem: alterar o ponto a partir do qual o partícula é lançada, o valor da velocidade inicial e o ângulo que a velocidade inicial faz com o eixo dos xx ; visualizar a trajetória da partícula e o tempo que demora a percorrer essa trajetória. 3.6 Movimento planetário De acordo com a lei da gravitação universal de Newton a força entre o Sol e um planeta é dada pela fórmula: ~ F=−GMSMP~r r3 em que MS é a massa do Sol, MP a massa do planeta, ~r o vetor posição do planeta relativamente ao Sol, r a distância entre o Sol e o planeta e G a constante gravitacional. Assumimos que o movimento do Sol pode ser desprezado devido à sua massa ser muito maior comparativamente com a massa dos planetas. Aplicando a segunda Lei de Newton, ~ F=MP~ ¨r , temos que ~ ¨r é dado pela seguinte equação: ~ ¨r=d2~r dt2=−GMS~r r3=F(~r) = F(r)~er (3.23)
CAPÍTULO 3. AS CÓNICAS 37 em que ~er=~r r é o vetor unitário que representa a componente radial e F(r) =kF(~r)k . O movimento dos planetas é plano, como é demonstrado em [23, pág. 7]. Vamos supor que os planetas movimentam-se no plano xy e que o Sol é origem do referencial xOy . Podemos escrever a equação (3.23) em coordenadas cartesianas, para tal vamos ter em conta que: ~r =x ~ex+y ~ey, ~er= cos (θ)~ex+ sin (θ)~ey e F(~r) = F(r) cos (θ)~ex+F(r) sin (θ)~ey considerando que θ é o ângulo que ~r faz com o eixo dos xx , ~ex é o vetor unitário segundo o eixo dos xx e ~ey é o vetor unitário segundo o eixo dos yy . Como ~ ¨r=F(~r) temos que as Equações Diferenciais Ordinárias de 2 ª ordem são: (d2x dt2=F(r) cos (θ) = F(r) rx d2y dt2=F(r) sin (θ) = F(r) ry (3.24) sendo r=px2+y2 . Podemos transformar as equações do sistema (3.24) no sistema de Equações Diferenciais Ordinárias de 1 ª ordem seguinte. dvx dt =F(r) rx dx dt =vx dvy dt =F(r) ry dy dt =vy (3.25) Discretizando o sistema (3.25) através do método de Euler-Cromer [10] obtemos o sistema abaixo. vx,i+1 =vx,i +F(ri) rixi∆t xi+1 =xi+vx,i+1∆t vy,i+1 =vy,i +F(ri) riyi∆t yi+1 =yi+vy,i+1∆t (3.26) De seguida iremos apresentar o processo de construção de uma simulação computacional, em GeoGebra , para o movimento planetário com base no sistema (3.26). Devido às distâncias e tempos que envolvem a resolução deste problema achamos conveniente usar as seguintes unidades:
CAPÍTULO 3. AS CÓNICAS 38 unidade de comprimento: semieixo maior da órbita da terra ( ≈1,5×1011 m ); unidade de tempo: ano terrestre ( ≈3,2×107s ); unidade de massa: massa do sol. Como podemos ver em [23, pág. 14] se utilizarmos as unidades astronómicas temos que a constante gravitacional é G= 4π2(u.a.3/ano2) . Tendo em consideração as unidades astronómicas e a equação (3.23), determinamos que F(r) = −4π2/r2 e o sistema (3.26) dá origem ao sistema abaixo. vx,i+1 =vx,i −4π2 r3 i xi∆t xi+1 =xi+vx,i+1∆t vy,i+1 =vy,i −4π2 r3 i yi∆t yi+1 =yi+vy,i+1∆t (3.27) Na implementação desta simulação temos em conta a primeira Lei de Kepler que diz que a órbita de um planeta em torno do Sol é elíptica [1, Cap. 17]. Precisamos de obter as condições iniciais para a posição e velocidade do planeta e dos valores do semieixo maior e da excentricidade da trajetória do planeta (ver tabela 3.1 obtida com base em [20]). Planeta Semieixo Maior Excentricidade Mercúrio 0.39 0.206 Vénus 0.72 0.007 Terra 1.00 0.0167 Marte 1.52 0.093 Júpiter 5.20 0.048 Saturno 9.54 0.056 Úrano 19.19 0.046 Neptuno 10.06 0.010 Tabela 3.1: Dados dos planetas do sistema solar. Consideramos que a posição inicial do planeta, P0= (x0, y0) , é a posição em que o planeta está mais afastado do Sol e, por conseguinte, a posição em que a sua velocidade é mínima. Consideremos ainda que nessa posição o planeta está sobre o eixo dos xx . Segundo Edwin Munévar [20] as condições iniciais neste caso são: x0=rmax =a(1 + e) y0= 0 vx,0= 0 vy,0=vmin =qGMs(1−e) a(1+e)
CAPÍTULO 3. AS CÓNICAS 39 em que a é o semieixo maior e e a excentricidade da órbita do planeta. Nesta implementação zemos uso da Folha de Cálculo, da Zona Algébrica e da Zona Gráca disponíveis no GeoGebra . Começamos por, na Zona Algébrica (ver gura 3.14), considerar o Sol como a origem do referencial e atribuir seletores, de que os alunos podem alterar os valores, para a , e , GMS e ∆t . Ainda na Zona Algébrica determinamos o valores das condições iniciais. Figura 3.14: Zona Algébrica e Folha de Cálculo utilizada na implementação Vamos descrever os passos efetuados na Folha de Cálculo para determinar a posição do planeta a cada instante (ver gura 3.14). O número da linha identica o número de intervalos de tempo ( i ) que decorreram desde o inicio da simulação. Os valores de cada coluna são determinados pelas seguintes fórmulas: coluna A: vx,i+1 =vx,i −4π2 r3 i xi∆t ; coluna B: xi+1 =xi+vx,i+1∆t ; coluna C: vy,i+1 =vy,i −4π2 r3 i yi∆t ; coluna D: yi+1 =yi+vy,i+1∆t ; coluna E: ri=√xi+yi ; coluna F: Fi= (xi, yi) ; coluna G: |vi|=qv2 x,i +v2 y,i . Segundo Edwin Munévar [20] o valor aconselhado para ∆t , no caso da órbita terrestre, é ∆t= 0,001 , logo para simularmos o ano completo temos de correr 1000 linhas de cada coluna da Folha de Cálculo. Surgiu então uma diculdade no software de Geometria Dinâmica utilizado, a impossibilidade de correr as células de uma coluna da Folha de Cálculo somente de uma
CAPÍTULO 3. AS CÓNICAS 40 vez. Para resolvermos esta limitação corremos célula a célula. Se considerássemos o ∆t aconselhado teríamos de correr 1000 linhas×7colunas células, o que demoraria muito tempo para uma resultado que consideramos pouco melhor do que quando ∆t= 0,01 . Decidimos, portanto, considerar ∆t= 0,01 . Após efetuar todos os cálculos analisamos os resultados, para o caso do planeta Terra, obtidos na Folha de Cálculo, em particular, as condições iniciais. Vericámos, nesse caso, que vy,0=vmin como pretendíamos e que x0= 1,0167 6=rmax = 1,036105945653687 . Pensamos que esta diferença se deve aos arredondamentos e ao facto de termos utilizado ∆t= 0,01 . Figura 3.15: Órbita do planeta Terra Na gura 3.15 está representada a órbita do planeta Terra em torno do Sol obtida na simulação. Tal como era de esperar esta órbita deste planeta é praticamente circular, pois a excentricidade é quase nula. Consideramos importante referir que nesta simulação os alunos apenas podem ver parte da órbita dos planetas mais afastados que a Terra do Sol.
Capítulo 4 Três Problemas Clássicos da Geometria Grega Pensa-se que a matemática dos antigos gregos nasceu do contacto deste povo com o Oriente e, em particular, com o Egito, onde os sábios mais ilustres da Grécia foram ampliar as suas ideias e o seu saber. Os primeiros quatro séculos do período helénico (séc. VI a.C. a V d.C.) constituem um período de realizações excecionais da matemática grega. Foi neste período que se iniciou o estudo de três problemas geométricos que desaaram a criatividade de inúmeros matemáticos e intelectuais, ao longo de mais de dois mil anos. Durante séculos diversas soluções foram propostas para a resolução destes problemas geométricos mas não estavam de acordo com as regras do jogo, presumivelmente, colocadas na Academia de Platão, onde apenas construções com régua não graduada e compasso eram admitidas. Estes problemas caram famosos, talvez por serem os primeiros onde surgem diversas diculdades de resolução, de acordo com as regras inicialmente colocadas. São conhecidos pelos Três Problemas Clássicos da Geometria Grega : Trisseção do ângulo : o problema de dividir um ângulo arbitrário em três partes iguais; Quadratura do círculo : o problema de construir um quadrado cuja área é igual à de um círculo dado; Duplicação do cubo : o problema de construir a aresta de um cubo cujo volume é o dobro do de um cubo dado. Hoje já se sabe que estes problemas não podem ser resolvidos utilizando unicamente régua não graduada e compasso. A prova desta impossibilidade assenta no facto de que as únicas medidas que se podem obter nas construções utilizando apenas régua 41
CAPÍTULO 4. TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA GEOMETRIA GREGA 48 uma curva e uma reta. Por conseguinte, foi necessário utilizar um artifício para determinar o ponto E da nossa construção. O ponto E deveria ser a interseção do ramo da concoide, no lado oposto ao polo, com a reta, paralela a BC , que passa por A . Mas, este ponto foi determinado pela interseção da reta paralela a BC e que passa por A com a reta resultante da rotação de BC em torno de B e de um ângulo igual a um terço do ângulo ABC . 4.1.2 Trissetriz de Hípias Papo de Alexandria no livro IV da sua Coleção Matemática descreve uma das mais antigas curvas da matemática atualmente conhecida por trissetriz de Hípias. Esta curva permite trissetar um ângulo e, posteriormente, foi usada por Dinóstrato de Atenas para a quadratura do círculo. Realizámos a construção da trissetriz de Hípias, em GeoGebra , e para tal tivemos em conta a denição descrita de seguida. Considerem-se dois movimentos sincronizados, um retilíneo e outro circular. O lado DC do quadrado ABCD desloca-se paralelamente a si próprio, até coincidir com o lado AB . Simultaneamente, o lado AD gira em torno de A , até coincidir com AB . Os dois movimentos são uniformes (isto é, as suas velocidades são constantes), devendo começar no mesmo instante e acabar no mesmo instante. Em cada instante, com a exceção do último, os dois segmentos HE e AD0 intersetam-se num ponto I . Enquanto os segmentos se deslocam, I traça a curva de Hípias. A construção desta curva está representada na gura 4.8. Os alunos podem animar a construção e observar a curva a ser traçada. Figura 4.8: Trissetriz de Hípias Pelo método de construção da curva de Hípias podemos armar que: a distância percorrida pelo lado DC é proporcional ao tempo gasto no seu percurso;
CAPÍTULO 4. TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA GEOMETRIA GREGA 49 a amplitude do arco determinado na circunferência de centro A e raio AD é proporcional ao tempo percorrido no percurso circular deste raio. Assim, existe proporcionalidade entre a distância retilínea percorrida pelo lado DC e a amplitude angular percorrida pelo lado AD . Ou seja, em todas as posições do ponto I , a condição (4.1) é vericada. AD AH =arco BD arco D0B (4.1) Portanto, a trissetriz de Hípias permite transformar todas as questões de proporcionalidade entre ângulos em questões análogas entre segmentos de reta e, em particular, permite reduzir a trisseção de um ângulo dado à trisseção de um segmento de reta. Tal como já foi referido nesta secção, para resolver o problema de trissetar um ângulo basta resolver o problema de trissetar um ângulo agudo. Sendo o segmento AG a terça parte do segmento AH , considere-se o segmento GJ paralelo ao segmento AB e seja K a sua interseção com a curva. Sendo L a interseção de AK com o quarto de circunferência, o ângulo BAL é a terça parte do ângulo BAD0 . Fizemos uma construção em GeoGebra (gura 4.9) onde os alunos podem vericar facilmente a armação acima. Nesta construção os alunos podem deslocar o ponto H , de forma a alterar o ângulo agudo inicial, e vericar que para qualquer ângulo inicial tem-se que: o ângulo BAL é a terça parte do ângulo BAD0 . Figura 4.9: Ilustração de que a trissetriz de Hípias realmente trisseta o ângulo Na realização desta construção voltamos a contornar a limitação que o GeoGebra tem, de não conseguir determinar o ponto de interseção entre uma curva e uma reta. Nesta caso não conseguimos determinar o ponto K como a interseção entre o segmento GJ paralelo ao segmento AB com a trissetriz de Hípias. Para ultrapassar este obstáculo determinamos o ponto K através da interseção entre o segmento GJ , paralelo ao segmento AB , com a reta resultante da rotação de AB em torno de A e de um ângulo igual a um terço do ângulo BAD0 .
CAPÍTULO 4. TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA GEOMETRIA GREGA 50 Demonstração: Designemos por D0 e L os pontos de interseção do quarto de circunferência DB com as retas AI e AK , respetivamente, e por E e J os pontos de interseção do lado CB com as retas HI e GK , respetivamente. No instante em que o lado DC ocupa a posição HE , o lado AD ocupa a posição AD0 (uma vez que HE e AD0 se intersetam num ponto da trissetriz, I ); analogamente, no instante em que o lado DC ocupa a posição GJ , o lado AD ocupa a posição AL (uma vez que GJ e AL se intersetam num ponto da trissetriz, K ). Portanto, temos a proporcionalidade (4.2). AH AG =arco D0B arco LB =∠BAD0 ∠BAL (4.2) Como o segmento de reta AG é a terça parte do segmento de reta AH temos que também o ângulo BAL é a terça parte do ângulo BAD0 . Esta curva não permite apenas trissetar um ângulo. Se procedermos de um modo semelhante ao descrito nesta sub-secção, a trissetriz de Hípias possibilita também a divisão de um ângulo agudo em qualquer outra razão, desde que esta possa ser expressa como razão de dois segmentos de reta. 4.2 Quadratura do círculo O problema da quadratura do círculo consiste em construir um quadrado cuja área é igual à de um círculo dado. O matemático alemão Ferdinand Lindemann, em 1882, provou que π é um número transcendente, ou seja, que não existe um polinómio com coecientes inteiros ou racionais, não nulos, dos quais π seja uma raiz (segundo http://pt.wikipedia.org/wiki/Quadratura_do_círculo podemos consultar uma demonstração deste facto em [27]). Desta forma cou provado que o problema da quadratura do círculo não pode ser resolvido utilizando apenas régua não graduada e compasso, pois, já se sabia que se π fosse transcendente tal acontecia. Nesta secção iremos analisar uma possível resolução deste problema clássico da antiga Grécia. Um século depois de Hípias de Elis ter descoberto a trissetriz, outro matemático ateniense, Dinóstrato , descobriu que essa curva podia também ser utilizada na solução dum problema geométrico diferente a reticação da circunferência e, por conseguinte, solução do problema da quadratura do círculo. Proclo Lício designa a curva de Hípias por quadratriz (gura 4.10), embora não lhe associe o nome de Dinóstrato . Papo de Alexandria , por sua vez, ao descrever a curva, associa-lhe os nomes de Dinóstrato e de Nicomedes , e arma que ambos a utilizaram para quadrar o círculo. Dinóstrato terá descoberto que o lado do quadrado é meio proporcional entre o (comprimento do) arco de circunferência DB e o segmento de reta AF , o que se pode
CAPÍTULO 4. TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA GEOMETRIA GREGA 51 Figura 4.10: Trissetriz escrever segundo a equação (4.3). arco DB AD =AD AF (4.3) Consideramos relevante chamar a atenção de que do ponto de vista da matemática grega a determinação do ponto F desta forma é problemática. Pois, tal como podemos observar quando os dois segmentos de reta móveis ocupam ambos a posição do lado AB , isto é, quando são coincidentes, estes não determinam nenhum ponto. Do ponto de vista moderno o ponto F é obtido como um limite. Papo da Alexandria apresenta a demonstração deste resultado por dupla redução ao absurdo. Esta demonstração assenta em dois resultados que são pela primeira vez formulados por Arquimedes no Tratado Da Esfera e do Cilindro [14]: o perímetro do círculo é maior do que o perímetro de qualquer polígono inscrito e menor do que o perímetro de qualquer polígono circunscrito. Pode-se consultar mais sobre a demonstração de Papo em [9, pág. 296] ou em [2, pág. 66]. A equação 4.3 permite construir um segmento de reta igual à quarta parte do perímetro da circunferência de raio AD . O resultado de Dinóstrato não fornece diretamente uma quadratura do círculo, mas sim uma reticação da circunferência. No século seguinte àquele em que Dinóstrato viveu, Arquimedes de Siracusa estabeleceu a ligação entre as duas questões (a da quadratura do círculo e a da reticação da circunferência), ao demonstrar que todo o círculo tem área igual a um triângulo com altura igual ao raio do círculo e base igual ao perímetro do círculo (o perímetro do círculo é igual ao comprimento da reticação da circunferência com o mesmo raio), isto é, Ac´ırculo =πr2=r×2πr 2=Atriˆangulo em que r é o raio do círculo. Por conseguinte, demonstrou que todo o círculo tem
CAPÍTULO 4. TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA GEOMETRIA GREGA 52 área igual a um retângulo com largura igual ao raio do círculo e comprimento igual a metade do perímetro do círculo. Consideremos r=AD e temos que a área do círculo é dado pela fórmula (4.4), isto é, a área do círculo é igual à área do retângulo de comprimento 2×arco DB e largura AD , ou seja, Ac´ırculo =AD ×per´ımetro do c´ırculo 2=AD ×2×arco DB. (4.4) De seguida vamos descrever uma possível forma de utilizar o resultado de Dinóstrato para quadrar um círculo de raio AD . Como já referimos o resultado de Dinóstrato, expresso na equação (4.3), refere que o lado do quadrado, AD , é meio proporcional entre o (comprimento do) arco de circunferência DB e o (comprimento do) segmento de reta AF . Figura 4.11: Caso de semelhança de triângulos pelo Teorema de Tales Utilizando este resultado os matemáticos da época conseguiam determinar o comprimento do arco DB tendo conhecimento do comprimento de AD e de AF . Pois, estes matemáticos tinham conhecimento, pelo Teorema de Tales , que se dois triângulos tiverem os ângulos dois a dois iguais então são semelhantes [9, pág. 263] e, por conseguinte, já sabiam que o triângulo [ACD] e o triângulo [CBD] , da gura 4.11, são semelhantes. Por outro lado, os matemáticos também tinham conhecimento do Teorema da Altura [9, pág. 264] . Teorema 4.2.1 Num triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa é o meio proporcional entre os segmentos que determina na hipotenusa. Se considerarmos o triângulo [ABC] , retângulo em C da gura 4.11 utilizando o Teorema da Altura obtém-se a proporção (4.5). AD CD =CD DB (4.5) E se consideramos AD , CD e DB da proporção (4.5), respetivamente, arcoDB , AD e AF da equação (4.3) conseguimos obter um segmento com o comprimento do arcoDB , como podemos ver na gura 4.12.
CAPÍTULO 4. TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA GEOMETRIA GREGA 53 Figura 4.12: Determinação do comprimento do arco DB . Com o conhecimento do comprimento do arcoDB , os matemáticos sabiam determinar geometricamente o comprimento de metade do perímetro do círculo (o dobro do comprimento do arco DB ) e, consequentemente, as medidas do retângulo de comprimento 2×arcoDB e largura AD cuja área é igual à área do círculo de raio AD , pela equação (4.4). Bastava, portanto, determinarem o comprimento do lado do quadrado que quadra o retângulo para conseguirem quadrar o círculo. Podemos traduzir o que acabamos de referir pela equação (4.6) que é equivalente à equação (4.7) e utilizando mais uma vez o Teorema da Altura obtemos o comprimento do lado do quadrado pretendido, como podemos ver na gura 4.13. Lado do quadrado2=AD ×2×arco DB (4.6) AD Lado do quadrado =Lado do quadrado 2arco DB (4.7) Figura 4.13: Quadratura do círculo de raio AD . Na página escrita em HTML que realizámos sobre este assunto decidimos colocar apenas um esquema dos passos a realizar para quadrar o círculo por este método, assim como uma gura, realizada em GeoGebra , com esses passos.
CAPÍTULO 4. TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA GEOMETRIA GREGA 54 4.3 Duplicação do cubo O problema da duplicação do cubo resume-se à construção de uma aresta de um cubo cujo volume é o dobro do volume de um cubo dado. Segundo José Miguel Rodrigues de Sousa [28] numa suposta carta de Eratóstenes ao rei Ptolomeu refere que Hipócrates de Quios (século V a.C.) havia mencionado que: se entre duas linhas retas, das quais a maior seja dupla da menor, se inscreverem duas médias em proporção contínua, o cubo cará duplicado . Este matemático reduziu o problema da duplicação do cubo a um outro, que continua a não ser resolvido somente com régua não graduada e compasso. Ainda segundo autor acima referido (ver [28]) o que Hipócrates de Quios diz é que, dado um cubo de aresta a , existem dois segmentos x e y tais que: a x=x y=y b (4.8) ou seja, que existem dois meios proporcionais entre os segmentos a e b , então o cubo de aresta x tem o volume ampliado na razão b /a . Vamos apresentar a demonstração do que acabámos de referir de seguida. Demonstração: Podemos deduzir das proporcionalidades (4.8) que x3=a2b . Logo, tem-se: x=3 √a2b=3 ra3b a=a3 rb a (4.9) e, portanto, x3= a3 rb a!3 =a3b a (4.10) Portanto, pela equação (4.10) se existem os dois meios proporcionais entre os segmentos a e b , então o cubo de aresta x tem o volume ampliado na razão b /a . A duplicação do cubo é um caso particular, quando b= 2a e pretendemos portanto encontrar os segmentos x e y que veriquem as proporcionalidades (4.11): a x=x y=y 2a (4.11) De facto, conseguimos deduzir das proporcionalidades (4.11) que x3= 2a3 , pois (a x=x y a x=y 2a⇔(ay =x2 y=2a2 x⇒x3= 2a3 (4.12)
CAPÍTULO 4. TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA GEOMETRIA GREGA 55 o que demonstra que o cubo de aresta x tem o dobro do volume do cubo de aresta a . E, portanto, ca demonstrada a equivalência entre o problema da duplicação do cubo e o problema da construção de dois meios proporcionais entre a aresta do cubo inicial e o seu dobro. Posteriormente à redução do problema efetuada por Hipócrates pensa-se que os esforços dos matemáticos concentraram-se somente no sentido de encontrarem uma construção para os dois meios proporcionais em causa. Nesta secção vamos descrever dois métodos de resolução deste problema que utilizam a redução de Hipócrates: a solução de Menecmo e a solução de Diocles. 4.3.1 Solução de Menecmo Tal como já referimos no capítulo 3, o matemático do século IV a.C. Menecmo está relacionado com as curvas que atualmente designamos por cónicas (elipse, parábola e hipérbole). Este matemático está ligado mais especicamente à descoberta de que as cónicas podem ser obtidas através da interseção de um cone reto de base circular com um plano. As soluções de Menecmo para o problema da duplicação do cubo, que pensa-se terem sido preservadas por Eutócio, baseiam-se na construção de um ponto através da interseção de duas cónicas, num dos casos duas parábolas e no outro caso uma parábola e uma hipérbole. Tendo em conta a redução (4.8) de Hipócrates de Quios, como já foi referido, o problema da duplicação do volume do cubo ca reduzido à determinação de dois meios proporcionais ( x e y ) entre os segmentos a e b= 2a tais que as proporcionalidades 4.11 são respeitadas e, em que, a é a aresta do cubo a duplicar e x a aresta do cubo que duplica o volume. Das proporcionalidades (4.11) aferimos que basta que se satisfaçam duas das três equações apresentadas abaixo para obtermos x . x2=ay (4.13) xy = 2a2 (4.14) y2= 2ax (4.15) Logo, podemos obter x de três modos: como abcissa do ponto de interseção da parábola y=x2 a com a hipérbole xy = 2a2 a primeira solução de Menecmo;
CAPÍTULO 4. TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA GEOMETRIA GREGA 56 como abcissa do ponto de interseção da parábola y=x2 a com a parábola x=y2 2a a segunda solução de Menecmo; como abcissa do ponto de interseção da parábola x=y2 2a com a hipérbole xy = 2a2 . Segundo José Miguel Sousa [28] Menecmo apenas apresenta os dois primeiros métodos para obter x . Na gura 4.14 representamos uma construção, em GeoGebra , das duas soluções de Menecmo. Nesta construção os alunos podem vericar que independentemente do valor atribuído a a a solução obtida é, realmente, solução para o problema da duplicação do cubo. Na construção efetuada é possível visualizar os modos para obter x em simultâneo, mas também é possível visualizar os dois modos separadamente. Os alunos através da análise da construção devem concluir que é possível obter x pelo o terceiro modo. Figura 4.14: As soluções de Menecmo 4.3.2 Solução de Diocles Pensa-se que o matemático grego Diocles (c. 240 a.C. c. 180 a.C.) foi quem inventou uma curva designada por cissoide com o intuito de resolver o problema da duplicação do cubo. Mais tarde, o processo utilizado para criar a curva que se atribui a Diocles foi generalizado. E todas as curvas obtidas por um método análogo ao da cissoide deste matemático são denominadas por cissoides. De seguida expomos com base na denição dada por Robert Yates em [32] a curva cissoide, no caso geral. Definição 4.3.1 Sejam f1 e f2 duas curvas quaisquer e O um ponto xo. Desenhemos uma semirreta com origem em O e que intersete f1 e f2 em R e Q , respetivamente. Consideremos ainda um ponto C tal que OC =QR . Ao lugar geométrico descrito por P chama-se cissoide de f1 e f2 relativamente ao ponto O .
CAPÍTULO 4. TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS DA GEOMETRIA GREGA 57 Figura 4.15: Cissoide de Diocles pela denição atual. Na gura 4.15 representamos o que atualmente conhecemos por cissoide de Diocles. Neste caso as duas curvas envolvidas são uma circunferência e uma linha reta tangente à circunferência e o ponto xo é o ponto da circunferência diametralmente oposto ao ponto de tangência. Contudo este matemático grego deniu a sua curva em relação, apenas, a um quadrante da circunferência envolvida, como podemos ver na gura 4.16. Neste seguimento vamos relatar, com base em [28], a construção que realizámos da cissoide denida por Diocles. Figura 4.16: Cissoide pela denição de Diocles. Consideramos uma circunferência de centro O em que AB e DC são diâmetros perpendiculares entre si. Sejam E e F pontos da circunferência pertencentes aos quadrantes BD e BC , respetivamente, e colocados de modo a que os arcos EB e BF sejam iguais. Desenhamos os segmentos GE e HF perpendiculares a DC e o segmento EC . Consideramos P o ponto de interseção entre EC e HF . A cissoide de Diocles é a curva traçada pelo ponto P quando os pontos E e F ocupam todas as posições possíveis nas condições referidas acima. Nesta construção, representada na gura 4.16, é necessário que os alunos movam o ponto E para obter o traçado do ponto P . A curva denida desta forma também pode ser visualizada através do comando Locus . A solução de Diocles para a resolução do problema da duplicação do cubo passou, tal como a solução de Menecmo, pela determinação de dois meios proporcionais entre dois segmentos.
CAPÍTULO 5. CICLOIDE 64 (x=r(α−sin α) y=r(1 −cos α) (5.1) A equação cartesiana da cicloide é dada pela equação (5.2). x=rarccos 1−y r−p2ry −y2 (5.2) 5.2 O Paradoxo da Roda de Aristóteles Um paradoxo é uma declaração aparentemente verdadeira que leva a uma contradição lógica, ou a uma situação que contradiz a intuição comum. Desde sempre que o innito está associado a diversos paradoxos. Aos poucos, alguns dos paradoxos foram sendo explicados, mas ainda assim, não se trata de um assunto sem controvérsia. Nesta secção vamos descrever o Paradoxo da Roda de Aristóteles[8] e reetir sobre uma explicação possível para este conhecido paradoxo. Consideremos duas rodas com centro no mesmo ponto e raios diferentes e a rolar em simultâneo. Quando a roda maior rola de A para A0 , dando uma volta completa, o aro da roda menor roda de B para B0 , ao longo de uma linha paralela como podemos ver na gura 5.2. Temos que em cada instante, um único ponto do aro da roda grande toca no segmento AA0 e um único ponto do aro da roda pequena toca no segmento BB0 . Não se excluiu ponto algum de qualquer das duas circunferências. Isto leva-nos ao paradoxo da Roda de Aristóteles, uma vez que, em primeira análise podemos concluir que os perímetros das duas circunferências são iguais. E sabemos que esta conclusão não é verdadeira. Na gura 5.2 está representada uma construção que realizámos, em GeoGebra , do paradoxo da roda. Nesta construção os alunos devem deslocar o ponto R de forma às rodas rolarem uma volta completa e analisar a imagem. Na análise desta construção os alunos devem de ser confrontados com a possibilidade de os perímetros das duas rodas serem iguais e reetirem sobre como podem explicar o facto de: o perímetro ser o mesmo se os raios são diferentes; o perímetro ser diferente se, tal como observam, em cada instante, um único ponto do aro da roda grande toca no segmento AA0 e um único ponto do aro da roda pequena toca no segmento BB0 , logo o perímetro tem de ser igual. Após a reexão dos alunos sobre o paradoxo poderá ser apresentada uma ideia de uma possível explicação deste paradoxo. Para tal utilizamos um texto de apoio ao aluno escrito em HTML e realizámos algumas construções em GeoGebra , que serão referidas de seguida.
CAPÍTULO 5. CICLOIDE 65 Figura 5.2: Paradoxo da Roda A denição de circunferência utilizada mais frequentemente é que esta é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que estão a uma dada distância (raio) de um ponto xo (centro da circunferência). Mas a circunferência pode ser encarada como um polígono regular com um número innito de lados. Arquimedes usou este conceito para determinar o perímetro de um círculo. Este calculou o valor do perímetro de um círculo a partir da sucessão dos perímetros dos polígonos regulares inscritos nele. À medida que o número de lados aumenta, o perímetro do polígono aproxima-se cada vez mais do perímetro do círculo. Assim, o perímetro do círculo corresponde ao limite da sucessão dos perímetros correspondentes ao limite da sucessão dos perímetros dos polígonos inscritos, quando o número de lados tende para innito (como podemos ver na gura 5.3). Figura 5.3: Perímetro do círculo corresponde ao limite da sucessão dos perímetros dos polígonos inscritos. Para dar a ideia da explicação do paradoxo da roda zemos uma construção, em GeoGebra , onde recorremos à noção de circunferência usada por Arquimedes. Nesta construção os alunos podiam observar o que acontece quando fazemos rolar dois polígonos regulares com um número de lados nito e concêntricos (utilizamos um polígono regular com seis lados, gura 5.4). Essa construção será analisada com os alunos de forma a deduzirem o que acontece quando o número de lados do polígono regular é innito.
CAPÍTULO 5. CICLOIDE 66 Figura 5.4: Explicação do Paradoxo 5.3 Área sob um Arco de Cicloide O matemático Gilles Roberval, por volta de 1637, demonstrou que a área sob uma cicloide é três vezes a área do círculo gerador. Para tal, este matemático utilizou o que hoje é conhecido pelo Princípio de Cavalieri , mas que já havia sido usado por matemáticos como Herão e Galileu. Princípio de Cavalieri: Se duas guras planas têm alturas iguais e se secções feitas por linha paralelas às bases e a distâncias iguais delas são sempre na mesma proporção, então as guras planas também estão nesta proporção. [9, 16] Gilles Roberval deniu ainda uma nova curva à qual chamou companheira da cicloide . Esta era denida como sendo o lugar geométrico denido pelo ponto (x(R), y (R0)) da gura 5.5. Na gura 5.5 está representada uma construção feita em GeoGebra . Nesta construção os alunos podem: deslocar o ponto R e vericar que os segmentos que na gura medem 2.84 têm sempre o mesmo comprimento; deslocar o ponto I e vericar que os segmentos que na gura medem 6.38 têm sempre o mesmo comprimento. Dependendo do nível de ensino ao qual esta atividade seja aplicada os alunos mais empenhados conseguirão concluir, após a análise da construção, que a área sob uma cicloide é três vezes a área do círculo gerador. No seu raciocínio os alunos deverão ter em conta que: a área entre metade do arco de cicloide e a companheira da cicloide é igual a metade da área do círculo gerador;
CAPÍTULO 5. CICLOIDE 67 Figura 5.5: Área sob um arco de cicloide a área do retângulo [ABCD] é igual ao produto de metade do perímetro do círculo pelo o seu diâmetro, isto é, 2πr2 , onde r é o raio do círculo gerador; a área sob a curva companheira da cicloide é metade da área do retângulo [ABCD] logo é igual à área do círculo gerador, ou seja, πr2 ; a área sob metade do arco de cicloide é igual a 3 /2 da área do círculo; a área sob o arco inteiro é três vezes a área do círculo. 5.4 O Problema da Braquistócrona O problema da Braquistócrona foi apresentado pela primeira vez aos leitores da revista cientíca Acta Eruditorum pelo matemático suíço Johann Bernoulli, em 1696, como um problema que já havia resolvido. Na publicação Johann Bernoulli desaava os lósofos da época a apresentarem soluções para o problema. O enunciado original é o seguinte [7]: Datis in plano verticali duobus punctis A et B assignare mobili M , viam AMB per quam gravitate sua descends et moveri incipiens a puncto A , brevissimo tempore perveniat ad alterum punctum B . Em português contemporâneo pode ser formulado da seguinte forma: Sejam A e B dois pontos de um plano vertical. Encontre a curva na qual uma partícula M , sujeita somente a ação da gravidade, descreve a trajetória mais rápida entre os pontos A e B . O Problema da Braquistócrona consiste, portanto, em encontrar a curva ao longo da qual uma partícula se desloca entre dois pontos no menor intervalo de tempo, sendo
CAPÍTULO 5. CICLOIDE 68 que esta partícula está sujeita a um campo gravitacional constante, sem atrito e com velocidade inicial nula. Para além disso, é suposto que os dois pontos não se encontrem sobre a mesma reta horizontal ou sobre a mesma reta vertical. Uma vez que, se os pontos estiverem sobre a mesma reta horizontal não haverá movimento e se os pontos estiverem sobre a mesma reta vertical a solução do problema é a própria reta. A curva que resolve este problema denomina-se Braquistócrona, do grego brachistos (mínimo) e chronos (tempo). A solução do Problema da Braquistócrona é uma cicloide invertida. Podemos ver uma demonstração do que acabámos de referir em [29, secção 3.1]. Efetuamos diversas tentativas para fazer uma simulação computacional do Problema da Braquistócrona no caso particular em que pretendemos encontrar a curva ao longo da qual uma partícula, com forma de bola e de massa 1 , se desloca entre os pontos A= (0,0) e B= (π, −2) no menor intervalo de tempo. Neste caso a solução do Problema da Braquistócrona é a cicloide invertida cujo círculo gerador tem raio 1 . Das várias tentativas que realizámos decidimos descrever neste documento uma simulação em que consideramos o tempo discreto e outra simulação em que consideramos o tempo contínuo. Embora, neste caso, a discretização não seja fundamental, é importante que se conheça a técnica para o caso de se estar a lidar com uma curva para a qual não se consiga fazer a simulação de outro modo. Vamos começar por descrever a construção que realizámos com base na discretização do tempo. Para construir esta simulação do Problema da Braquistócrona foi necessário utilizar a folha de cálculo do programa de geometria dinâmica GeoGebra . Começámos esta construção com a denição das quantidades g= 9,8 e t1= 0,01 e com a criação de uma ferramenta que, aplicada a um ponto P com ordenada entre −2 e 0 (inclusive), dá a interseção do arco de cicloide com a reta horizontal que passa pelo ponto P . Mais precisamente, aplicando a ferramenta ao ponto de coordenadas (x, y) , obtém-se o ponto (arccos(y+ 1) −sin(arccos(y+ 1)), y) = arccos(y+ 1) −p−y2−2y, y determinado com base nas equações, paramétrica (5.1) e cartesiana (5.2), da cicloide de raio 1 . Inicialmente pensámos que seria impossível, com auxilio do software de geometria dinâmica utilizado, resolver o problema de forma contínua. Tivemos diculdades na realização da simulação em que considerámos o tempo discreto. Estas diculdades devem-se aos factos do software de Geometria Dinâmica utilizado não efetuar interseções entre uma curva e outros tipos de representações (como por exemplo, retas, circunferências, grácos, curvas) e não representar gracamente funções escritas em função de y (isto é, como a função dada pela equação cartesiana (5.2)). Para resolver esta diculdade, optámos por na execução desta simulação discretizar o tempo em intervalos de tempo ( t1= 0,01 ) pequenos e prever, por cálculos efetuados na Folha de
CAPÍTULO 5. CICLOIDE 69 Cálculo, qual a posição da partícula no instante seguinte, como podemos ver na gura 5.6. Figura 5.6: Folha de Cálculo Utilizada na Simulação De seguida vamos descrever a função de cada uma das quatro colunas da Folha de Cálculo utilizadas na construção. Coluna A: É uma coluna de pontos, dos quais o primeiro é (0,0) e o segundo é o resultado de se aplicar a ferramenta a (0,−gt2 1 /2) . A partir da terceira linha, cada ponto Ai+1 é obtido de Ai pelo seguinte processo: soma-se a Ai o vetor tangente unitário à cicloide no ponto onde Ai toca na cicloide, multiplicado pela velocidade escalar da bola nesse momento (que é o produto de t1 pela raiz quadrada do produto de 2g pelo simétrico da ordenada de Ai , em que g representa a aceleração da gravidade e o simétrico da ordenada de Ai representa o deslocamento vertical da partícula, como é demonstrado mais abaixo); aplica-se a ferramenta ao ponto anterior. Ou seja, Ai+1 =Ferramenta hAi+t1p−2gy(Ai)×(sin (Bi /2),−cos (Bi /2))i Este método não poderia ser aplicado logo no primeiro passo devido à velocidade inicial ser nula. Coluna B: Se Ai= (θ−sin (θ),−1 + cos (θ)) então Bi=θ , isto é, Bi= arccos (1 + y(Ai)) . Esta coluna é necessária para calcular Ai+1 uma vez que o vetor tangente unitário é (sin (θ/2),−cos (θ/2)) .
CAPÍTULO 5. CICLOIDE 70 Coluna C: Ci=t1×i . Coluna D: Equação do círculo de raio r (partícula) tangente à cicloide no ponto Ai , isto é, Di=Circunferˆencia [Ai+r(cos (Bi /2),sin (Bi /2)) , Ai] . O valor de r é controlável por um seletor. Além disso, o círculo só é visível quando t (que toma valores de 0 a 1,5 com saltos de t1 ) for igual a Ci . Obtivemos destas forma a animação do movimento de uma partícula, com forma de bola, sobre a cicloide representada na gura 5.7. Nesta construção, em GeoGebra , os alunos podem alterar o raio da partícula entre 0 e 0,2 , visualizar a posição da partícula num dado instante de tempo entre 0 e 1,5 e vericar o tempo que esta leva a percorrer a cicloide invertida. Figura 5.7: Braquistócrona Para elaborarmos a simulação computacional na qual considerámos o tempo contínuo, para o nosso caso particular do Problema da Braquistócrona, tivemos de encontrar uma expressão analítica da curva Braquistócrona que respeite uma das duas propriedades seguintes: 1 ª Propriedade: a velocidade escalar ( v ) de um corpo (de massa m ) que se desloca sobre uma curva (partindo da altura 0 e com velocidade nula) num campo sujeito apenas à força gravítica é √2gy em que g é a aceleração da gravidade e y representa o deslocamento vertical da partícula; 2 ª Propriedade: a aceleração tangencial ( ~aT(t) ) de um corpo (de massa m ) que se desloca sobre uma curva (partindo da altura 0 e com velocidade nula) num campo sujeito apenas à força gravítica é, a cada instante t , igual ao produto de −gsin (θ) pelo vetor tangente unitário ~ T(t) em que g é a aceleração da gravidade e θ é o ângulo que este último vetor faz com a horizontal.
CAPÍTULO 5. CICLOIDE 71 Apesar de não apresentarmos uma demonstração nesta tese pode-se demonstrar que estas duas propriedades são equivalentes. Nesta tese vamos começar por demonstrar que a expressão analítica da curva Braquistócrona que resolve o nosso problema tem que respeitar a 1 ª Propriedade , obter uma expressão analítica que respeite a 1 ª Propriedade e vericar que esta expressão analítica também respeita a 2 ª Propriedade . Pelo princípio da conservação da energia sabemos que a energia total ( E ) de um sistema isolado é conservada. Isto é, sabemos que a soma das duas componentes da energia total (energia cinética e energia potencial) respeita a seguinte igualdade E=mgy +1 2mv2=k em que m é a massa do corpo, g a aceleração da gravidade, y a altura a que o corpo se encontra, v a velocidade escalar e k uma constante. Consideremos um corpo cuja altura inicial é 0 e este corpo começa-se a mover logo a sua velocidade inicial é nula e, por conseguinte, a energia potencial e a energia cinética são nulas, isto é, obtemos a igualdade 5.3. mgy +1 2mv2= 0 (5.3) Quando este corpo atinge a altura −y(y≥0) a igualdade 5.3 equivale a armar que v=p2gy. (5.4) Demonstrámos assim que um corpo nas condições acima respeita a 1 ª Propriedade . Vamos agora encontrar a expressão analítica da curva Braquistócrona que respeita esta propriedade. Uma expressão analítica da curva que resolve o nosso problema é dada pela função c: [0, π]−→ R denida pela igualdade 5.5. c(t) = (t−sin (t),−1 + cos (t)) (5.5) Mas como esta expressão analítica da curva Braquistócrona ( c ) não envolve a aceleração da gravidade não conseguimos obter, através desta expressão, a velocidade escalar dada pela equação 5.4. Portanto, vamos reparametrizar c de modo à velocidade escalar ser dada pela equação 5.4. Pretendemos então substituir c pela função c◦s , onde s é alguma bijeção derivável de algum intervalo de tempo [0, T] em [0, π]. Então, como c0(t) = (1 −cos (t),−sin (t)) =1−1−2 sin2t 2,−2 sin t 2cos t 2 = 2 sin t 2sin t 2,−cos t 2 ,
CAPÍTULO 5. CICLOIDE 72 como sin t 2,−cos t 2 = 1 e como 2 sin t 2≥0 , a velocidade escalar no instante t é 2 sin t 2 . Logo, se se considerar c◦s , a velocidade escalar no instante t será 2 sin s(t) 2s0(t) e armar que se tem 5.4 é armar que: 2 sin s(t) 2s0(t) = p2g(1 −cos (s(t))) = 2√gsin s(t) 2, ou seja, que s0(t) = √g . Logo, s(t) = √gt . Assim sendo, podemos denir a expressão analítica da curva Braquistócrona que resolve o nosso problema, pois respeita a 1 ª Propriedade, pela função: c1:h0,π √gi−→ R t7−→ √gt −sin √gt,−1 + cos √gt . Com esta denição c1 da curva Braquistócrona, o ponto inicial é (0,0) e a velocidade inicial é nula como pretendíamos. Quando um corpo (de massa m ) que se desloca sobre uma curva num campo sujeito apenas à ação da gravidade (partindo da altura 0 e com velocidade nula) temos que: ~a =−g ~ey=~aN(t) + ~aT(t) = −gcos (θ)~ N(t)−gsin (θ)~ T(t) em que g é a aceleração da gravidade, ~ey o vetor unitário segundo o eixo dos yy , ~aN(t) a aceleração normal, ~ N(t) vetor normal unitário, ~aT(t) aceleração tangencial, ~ T(t) vetor tangente unitário e θ é o ângulo que este último vetor faz com a horizontal. Vamos agora demonstrar que c1 respeita a 2 ª Propriedade , isto é, que a aceleração tangencial ~aT(t) é, a cada instante t , igual ao produto de −gsin (θ) pelo vetor tangente unitário ~ T(t) . Um cálculo direto revela que: ~aT(t) = gcos √gt 2sin √gt 2,−cos √gt 2 | {z } =~ T(t) . (5.6) Mas sin √gt 2,−cos √gt 2 =cos π 2−√gt 2,−sin π 2−√gt 2 =cos √gt 2−π 2,sin √gt 2−π 2. Logo, θ=√gt 2−π 2 e, portanto,
CAPÍTULO 5. CICLOIDE 73 −gsin (θ) = −gsin √gt 2−π 2 =gsin π 2−√gt 2 =gcos √gt 2 o que, juntamente com 5.6, conrma que ~aT(t) = −gsin (θ)~ T(t) . Com base na expressão analítica de c1 construímos uma simulação onde os alunos podem alterar o raio da partícula entre 0 e 0,2 , visualizar a posição da partícula num dado instante de tempo entre 0 e 1,2 e vericar o tempo exato que a partícula leva a percorrer a cicloide invertida t=π √g≃1,00354 . O aspeto visual desta construção é igual ao da gura 5.7. 5.5 O Problema da Braquistócrona e o movimento sobre o plano inclinado Nesta secção vamos comparar o tempo que uma partícula demora a percorrer uma cicloide invertida e um plano inclinado, nas nossas simulações, com o tempo previsto analiticamente. Para tal zemos duas construções em GeoGebra , com aspeto visual igual, retratadas na gura 5.8. Nestas simulações os estudantes podem comparar o movimento de uma partícula, com forma de bola e de massa 1 , que se desloca entre os pontos A= (0,0) e B= (π, −2) sobre a cicloide invertida (numa considerando o tempo discreto e na outra contínuo) e sobre um plano inclinado. Os alunos nestas simulações podem constatar que, realmente, a partícula chega mais rapidamente a B= (π, −2) quando se desloca sobre a cicloide invertida. As simulações do movimento de uma partícula sobre a cicloide invertida desta secção foi construida da mesma forma da simulação descrita na secção 5.4. Obtivemos a simulação do movimento de uma partícula sobre o plano inclinado com base nos apontamentos das aulas da disciplina Métodos Matemáticos em Ciência [24]. Tendo por base estes apontamentos a equação da posição de um corpo de massa 1 que desliza desde a posição inicial x0= 0 , sem rolar, sem atrito, com velocidade inicial nula ( v0= 0 ), num plano inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal é dada pela equação (5.7). x(t) = 1 2t2gsin θ (5.7)