Resumindo e concluindo... Yes, we QAM

Resumindo e concluindo… TeleTextos de bolso e de trazer por casa, suavemente, suavemente Yes, we QAM e não custa nada © Sílvio A. Abrantes Departamento de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Faculdade de Engenharia, Universidade do Porto Porto, Portugal [email protected] Janeiro de 2009 Conteúdo 1. Introdução ..................................................................................................... 1 1. 2. Formas de onda, constelações e energias médias....................................................... 1 2. 3. Como modular e desmodular um sinal QAM .............................................................. 4 3. 4. Probabilidades de erro em constelações quadradas .................................................... 4 4. 4.1. Probabilidade de símbolo errado.................................................................................5 4.2. Probabilidade de bit errado.......................................................................................8 4.3. Gráficos de probabilidades de erro..............................................................................8 5. Constelações QAM em cruz.................................................................................. 9 5. 6. Comparação entre PSK e QAM quadrada.................................................................11 6. 7. Outras constelações QAM...................................................................................12 7. 1 1. . Introdução Neste TeleTexto vão ser apresentadas as principais características de QAM, uma modulação digital híbrida, de amplitude e fase, de constelação habitualmente quadrada ou rectangular. Veremos, entre outros assuntos, como gerar e desmodular um sinal de QAM e como quantificar o desempenho da transmissão. 2 2. . T ⎤ ⎦k Formas de onda, constelações e energias médias Nas modulações digitais ASK, PSK e FSK a amplitude, a fase ou a frequência, respectivamente, de uma portadora sinusoidal variam de acordo com a sequência moduladora discreta. Pelo contrário, em QAM só a frequência não varia. A sua constelação possui M pontos de coordenadas associados a grupos de k bits, em que 12iii ss=⎡ ⎣ s2 M = , e é quadrada se M for um quadrado perfeito1, como 16 ou 64. A forma de onda genérica é expressa por 1 Dito de outro modo: se k for par a constelação é quadrada, se for ímpar é em cruz. Yes, we QAM 12 00 01 02 22 () cos2 sen2 () () ii iici ii ss EE c s taftbf TT aE t bE t ππ ψψ =+t =+   0tT = ≤ ≤ (1) em que T é o tempo de símbolo, é metade da energia do ponto da constelação mais próximo da origem dos eixos, 0 E c f é a frequência da portadora e ai e bi têm valores independentes 1, 3, , ( 1)M±± ± −…. As funções-base 1()t ψ e 2()t ψ do espaço de sinal bidimensional são sinusóides de duração T, frequência c f e energia unitária: 1 2 2 () cos2 0 2 () sen2 c c tft TtT tft T ψπ ψπ = ≤≤ = De acordo com a Eq. (1) os pontos de uma constelação quadrada têm coordenadas 0 0 i ii aE bE ⎡⎤ ⎢⎥ =⎢⎥ ⎣⎦ s, como na constelação 16-QAM seguinte. Note-se nesta que ao passarmos de um ponto para outro ao lado as palavras binárias só diferem em um bit. A uma atribuição de bits a pontos assim feita chama-se mapeamento de Gray. 0 3E 0 E 0 E− 0 3E− 0 3E 0 E 0 E− 0 3E− 0000 0001 0011 0010 1000 1001 1011 1010 1100 1101 1111 1110 0100 0101 0111 0110 16 QAM Com cinco bits/símbolo a constelação tem 32 pontos e não é quadrada mas sim em cruz. Depois, com seis bits/símbolo, vem a constelação quadrada de 64 pontos. Ambas são apresentadas na Fig. 1 com distância mínimas iguais: nitidamente a energia média em 64-QAM é maior. 0 0 32 QAM 0 0 64 QAM Fig. 1 Constelações de 32-QAM e 64-QAM. 2 Yes, we QAM A distância mínima entre pontos adjacentes é min 0 2d=E d e a energia média, em função de ou de , de constelações quadradas com símbolos equiprováveis é igual a 0 E min () 220 0 1 2( 1) 4221 23 M i M E M EiE M= ⎡⎤ − ⎢⎥ 〈〉= − = ⎢⎥ ⎣⎦ ∑ (2) 2 min 1 6 M Ed − 〈〉= (3) Na Eq. (2) a expressão dentro do parêntesis recto representa a energia total de um quadrante. Em M -PAM (constelação unidimensional de M pontos igualmente espaçados de ) a energia média é igual a min d () 20 1) ME 2 0 1 2( 21 3 i EM i M= − −= ∑, metade da energia média de M-QAM. A tabela seguinte mostra como a relação 0 EE 〈 〉 em QAM quadrada aumenta com o número de pontos M. M 0 EE 〈 〉 4 2 16 10 64 42 256 170 1024 682 Em 16-QAM temos pontos e 4 bits por símbolo, em 64-QAM temos pontos e 6 bits por símbolo (e em 256-QAM são 8 bits/símbolo, é claro); quer dizer, de uma constelação quadrada (2 pontos) para a seguinte (2 4 16 2=64 22 + =2 k2k + pontos) são usados mais 2 bits/símbolo e o número de pontos quadruplica. De uma constelação quadrada para a seguinte de quanto aumenta a energia média se a distância mínima for a mesma? Aumenta cerca de 6 dB (pois o número de pontos quadruplicou e 4 corresponde a 6 dB): 2 min 2 seguinte min 1 641 6 M Ed M Ed − 〈〉= − 〈〉 = ⇒ seguinte 414 4 1 EMM EMM 〈 〉− = ≈= 〈〉 − (ou dB) 10 10log 4 6= Digamos que são precisos mais 6dB por cada 2 bits/símbolo adicionais se a distância entre símbolos se mantiver. E Ex xe em mp pl lo o 1 1: : C Co om mp pa ar ra aç çã ão o d da as s e en ne er rg gi ia as s m mé éd di ia as s d de e 1 16 6- -Q QA AM M e e 4 4- -P PA AM M c co om m i ig gu ua al l d di is st tâ ân nc ci ia a m mí ín ni im ma a Em 16-QAM com min 0 2d=E a energia média vale 00 2( 1) 215 10 33 ME EE −× 〈〉= = = 0 E . Em 4-PAM e mesma distância mínima a constelação tem quatro pontos situados em 0 E± e 0 3E±, os dois primeiros com energia e os outros dois com energia . A energia média dos quatro vale 0 E0 9E 4EE E +× 00 0 1 229 15 44 i i EE = ′ 〈〉= = = ∑. Confirma-se assim que a energia média de 4-PAM é metade da energia média de 16-QAM. 3 Yes, we QAM 3 3. . Como modular e desmodular um sinal QAM A figura seguinte apresenta um diagrama de blocos muito genérico de um modulador QAM constituído por um mapeador e um modulador propriamente dito. No mapeador o numerador numera os grupos de k bits que lhe chegam (de 1 a M, por exemplo) e a tabela atribui a cada número uma amplitude ai e uma fase φ i ou, em alternativa, as coordenadas de um ponto si da constelação. O bloco “Modulador” transfere o sinal modulador, que está em banda-base, para a banda de canal centrada na frequência da portadora. Inteiro s Modulador QAM Numerador Sequência binária Tabela {ai, φ i} si QAM Mapeador O diagrama de blocos da Fig. 2 é uma pormenorização possível deste gerador de QAM. O conversor série-paralelo (S/P) secciona a sequência binária em grupos de k bits e reparte cada grupo em dois iguais, que entrega aos conversores 2 → M dos ramos em fase e em quadratura. Por exemplo, em 64-QAM cada grupo de 6k = bits à entrada é dividido em dois de três bits cada, que se fazem corresponder a um de 8M = valores discretos nos conversores. Sinal QAM Sequência binária Conversor S/P Conversor 2 → M Conversor 2 → M Ramo em fase 2cos2c Tft π 2sen2c Tft π Ramo em quadratura Mapeador Modulador M valores possíveis bits Fig. 2 Modulador de QAM quadrada. No correspondente desmodulador coerente, apresentado na Fig. 3, cada ramo está relacionado com um dos dois eixos do espaço de sinal. Assim, o decisor do ramo em fase produz a estimativa da abcissa do ponto enviado, enquanto que o do ramo em quadratura produz a estimativa da ordenada, e por desmapeamento do ponto da constelação assim estimado obtém-se o grupo de k bits que se pensa ter sido enviado. Voltando ao exemplo de 64-QAM, a abcissa do ponto recebido é comparada no decisor em fase com 17M−= limiares de decisão e a ordenada é comparada no decisor em quadratura com 7 limiares também. Cada decisor entrega ao conversor paralelo-série (P/S) um grupo de três bits, depois concatenados num grupo de 6k = . Sinal recebido Sequência binária Conversor P/S 2cos2c Tft π 2sen2c Tft π Ramo em fase Ramo em quadratura 0 T ∫ 0 T ∫ Deciso r Deciso r 1M − limiares Desmodulado r Detecto r bit s limiares 1M − Fig. 3 Desmodulador de QAM quadrada. 4 4. . Probabilidades de erro em constelações quadradas Por causa do ruído e outras interferências os decisores por vezes enganam-se ao tomar decisões. Qual é a probabilidade dos símbolos da sequência discreta serem incorrectamente escolhidos e qual é a probabilidade, decorrente da escolha anterior, dos bits da sequência binária estimada estarem 4 Yes, we QAM errados? À primeira chamamos probabilidade de símbolo errado, , e à segunda probabilidade de bit errado, . e P Pb 4.1. Probabilidade de símbolo errado Vamos supor que o ruído é gaussiano com variância 202N σ = à entrada dos decisores. Um ponto é correctamente escolhido se a abcissa e a ordenada forem ambas bem estimadas. Basta, porém, que uma das estimativas esteja errada para que o símbolo esteja errado. A probabilidade da abcissa ou da ordenada estarem erradas é calculada como em PAM de M níveis. Se estes estiverem espaçados de min 0 2d=E a probabilidade de erro vale, como se sabe, 0 min 0 0 2 11 221 2 PAM eE d M PQ Q N MN M ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ −⎜⎟ ==− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ onde a função representa a área por baixo da cauda, à direita de x, da função densidade de probabilidade gaussiana normalizada. Mas se é a probabilidade de erro então a probabilidade de decisão correcta segundo cada eixo é 1 ()Qx PAM e P PPAM e − . Como as componentes em fase e em quadratura são independentes a probabilidade global de detecção correcta em QAM pode então ser escrita como o produto das probabilidades (iguais) de detecção correcta segundo cada eixo: 2 (1 ) PAM ce PP=− A probabilidade de símbolo errado vem dada exactamente por 22 11(1 )2 PAM PAM PAM ec e ee PP P PP=− =− − = − ou 22 00 00 22 11 41 41 eEE PQ Q NN MM ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ =− −− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ . Vemos que , o que indica (veja-se a figura seguinte) que será sempre inferior a e tanto mais próximo deste quanto menor for (ou ). 2PAM ee PP<e P2PAM e P 2 PAM e PPAM e P 2 P AM e P e P Valor exacto 2 P AM e P Majorante Se , ou melhor ainda, se 1 PAM e P<< 00 1EN>> (ou até 01EN 〈 〉>>), o majorante fica tão próximo do valor exacto que o podemos mesmo tomar como uma aproximação: 2PAM e P e P 2PAM ee PP≈ (se 00 1EN>> ) (4) Substituindo valores obtemos expressões em função da energia , da energia média e da distância mínima : 0 EE〈〉 min d 0 0 2 1 4(1 ) eE PQ N M ⎛⎞ ≈− ⎜ ⎜ ⎝⎠ ⎟ ⎟ (5) 0 13 4(1 ) 1 eE PQ MN M ⎛⎞ 〈〉 ≈− ⎜ ⎜ − ⎝⎠ ⎟ ⎟ (6) 5 Yes, we QAM min 0 1 4(1 ) 2 ed PQ MN ⎛⎞ ≈− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ Note-se que o majorante da união ( ) min 0 (1) 2 e PMQd N≤− aplicado às constelações quadradas está bastante longe do valor exacto procurado, como se constata na Tabela 1. Tabela 1 Coeficientes de majorantes de Pe em QAM M 4(1 1 ) M − 1 M − 16 3 15 64 3,5 63 256 3,75 255 1024 3,875 1023 E Ex xe em mp pl lo o 2 2: : C Cá ál lc cu ul lo o a al lt te er rn na at ti iv vo o d da a p pr ro ob ba ab bi il li id da ad de e d de e s sí ím mb bo ol lo o e er rr ra ad do o e em m Q QA AM M Neste exemplo vamos encontrar uma outra maneira, mais elaborada mas mais geral, de estimar a probabilidade de símbolo errado. Tomemos 16-QAM como exemplo e observemos a respectiva constelação de símbolos, que suporemos equiprováveis: Há três tipos de pontos: 4 pontos nos cantos (s 1 , s 4 , s 13 , s 16 ) 8 pontos nas bordas (s 2 , s 3 , s 5 , s 8 , …) 4 pontos interiores (s 6 , s 7 , s 10 , s 11 ) s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 s 9 s 10 s 11 s 12 s 13 s 14 s 15 s 16 ψ 1 ψ 2 d min Seja a probabilidade de escolha correcta do ponto enviado . Dada a geometria da constelação temos (decisão correcta | ) i c PP s=i ccc = 5 i s 1 4 13 16 1 (decisão correcta | ) c PP sPP P=== (pontos nos cantos) 2358912141 cccccccc PPPPPP P P===== = = (pontos nas bordas) 6 7 10 11 ccc c PPP P== = (pontos interiores) Sendo 116 i P= a probabilidade de ocorrência do símbolo a probabilidade média de decisões correctas é i s 126 16 1 1(4 8 4 ) 16 i cic ccc i PPP PPP = ==++ ∑, e . Mas uma decisão correcta sobre um símbolo significa ter decidido correctamente em ambos os eixos. Ora as duas decisões são independentes uma da outra; logo, , em que e , as probabilidades de decisão correcta segundo xx e yy, respectivamente, dependem do ponto s considerado. Para calcularmos estas probabilidades observemos a figura 1 e P=−c P y PPP= P P iii ccxc i cx i cy i 6 Yes, we QAM seguinte, que ilustra o caso de . Na figura 2 c Pmin 0 (2)pQd N= d é a probabilidade de erro entre dois pontos à distância . min Superfície correspondente a uma decisão correcta segundo xx Superfícies correspondentes a uma decisão errada segundo eixo dos xx Aqui há sobreposição de áreas ⇒ a da direita (p) tem de ser subtraída a 1-p 2(1 ) cx Ppp = −− Segundo y y Segundo xx 21 cy Pp=− 1p− p 1p − p s 2 ⇓ Teremos então: 111 2 (1 ) ccxcy PPP p==− [ ] 222 2 2 (1 ) (1 ) (1 2 )(1 ) cy cx ccxcy P P PPP pp p p p==−−−=−−   () 666 6 6 2 1 2 (1 2 ) (1 2 ) cy cx ccxcy P P PPP p p p==−−=−    126 22 11 (4 8 4) (1)2(12)(1)(12) 13 16 4 4 cccc PPPP p pp p p ⎡⎤ =++=−+−−+−=−+ ⎣⎦ 2 9 p 2 9 13 4 ec PPpp=− = − Se a probabilidade p for muito pequena o termo 2 9p4 é desprezável e podemos considerar que a probabilidade de símbolo errado tem o valor aproximado min 0 se 133( 2) ep PpQdN << ≈= Em rigor 3 é um valor máximo, ou majorante, de , isto é, pe P3 e Pp ≤ , independentemente de p ser pequeno ou não. Se for pequeno o que estamos a fazer é tomar o majorante como o próprio valor estimado de , algo que já fizéramos antes aquando da Eq. e P(4). A conclusão anterior é uma manifestação do chamado majorante dos vizinhos fronteiriços, que diz que min 0 2 emedd PNQ N ≤⎜ ⎜ ⎝⎠ ⎛⎞ ⎟ ⎟ M , em que 1 med i i i N PN = =∑ é o número médio de vizinhos fronteiriços e i N é o número de vizinhos que fazem fronteira com . Ora vamos confirmar que em 16-QAM: i s3N= med 1(4 2 8 3 4 4) 3 16 med N=×+×+×= vizinhos de s1, s4, etc. vizinhos de s2, s3, etc. vizinhos de s6, s7, etc. O método alternativo de cálculo deste exemplo confirmou os valores exacto e aproximado que já tínhamos encontrado antes. Já que falámos de vizinhos fronteiriços vamos ver quantos existem, em média, numa constelação quadrada de M pontos, onde temos 7 Yes, we QAM • 4 pontos nos cantos, que fazem fronteira com 2 vizinhos; • 4( 2)M− pontos laterais nas bordas, com 3 vizinhos; • ( 2 2M− ) pontos interiores, com 4 vizinhos. Então o número médio que procuramos é igual a ()() 2 1424 2 3 2 4 1 41 med NMM M M ⎡⎤ =×+ −×+−× ⎢⎥ ⎣⎦ ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ = Podemos pois escrever que, se min 0 (2)Qd N 1 < <, então min min 00 1 41 22 emeddd PNQ Q NM ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ≈=− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ N , como já sabíamos, aliás. 4.2. Probabilidade de bit errado A probabilidade de bit errado está delimitada superiormente por e inferiormente por b Pe P e Pk, isto é, ebe Pk P P≤≤. O seu real valor depende da atribuição, ou mapeamento, dos grupos de k bits da sequência binária aos M símbolos da constelação. Gama de valores de P b e P e P k Com mapeamento de Gray P b depende do mapeamento Claro que queremos que tenha o menor valor possível, o que se consegue com mapeamento de Gray e b P 00 1EN>> P P, ficando e relacionadas por e b be PPk ≈ . No caso concreto de QAM (onde e é a energia média de bit) a probabilidade de bit errado é expressa pelas aproximações b EkE〈〉= Eb 0 0 2 41 (1 ) eE PQ kN M ⎛⎞ ≈− ⎜ ⎜ ⎝⎠ ⎟ ⎟ ou 0 41 3 (1 ) 1b bE k PQ kM M ⎛⎞ ≈− ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎝⎠ N . 4.3. Gráficos de probabilidades de erro A figura seguinte apresenta curvas das probabilidades de símbolo e de bit errados. Eb/N0 (dB) 05 10 15 20 25 10 -10 10 -9 10 -8 10 -7 10 -6 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 Probabilidade de símbolo errado, Pe M = 4 16 64 256 M = 4 16 64 256 10 -10 10 -9 10 -8 10 -7 10 -6 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 Probabilidade de bit errado, Pb Eb/N0 (dB) 0 5 10 15 20 25 8 Yes, we QAM É notório na figura que para a mesma relação 0b EN (e 00 EN, claro) as duas probabilidade de erro vão aumentando com o número de pontos da constelação, uma constatação gráfica que a Eq. (5) e a Tabela 1 confirmam. A contrapartida é o aumento da eficiência espectral. 5 5. . Constelações QAM em cruz Eis as constelações quadradas e em cruz de 16 a 256 pontos: Fig. 4 Constelações quadradas e em cruz. As constelações em cruz surgem quando o número de bits/símbolo k é ímpar e constroem-se assim: • Começa-se com uma constelação quadrada de 1 2k − pontos (metade do total). • Acrescentam-se 3 2k − pontos a cada um dos quatro lados dessa constelação, ignorando os cantos. 3 2k− 3 2k− 3 2k−3 2k−1 2k− Claro que podemos sempre partir do primeiro quadrado perfeito superior a , que é 2k3 22 kk − + , dispor os pontos obtidos numa grelha quadrada e depois retirar dos cantos os pontos que estiverem a mais ( ). 3k− 2 A energia média de uma constelação em cruz em que min 0 2dE= vale2 20 min 2 31 31 11 632 332 E d EM M ⎛⎞⎛⎞ 〈〉= − = − ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ Não é possível satisfazer o mapeamento de Gray em todos os pontos de uma constelação em cruz, e também não é possível exprimi-la à custa de constelações unidimensionais. Este facto complica o cálculo da probabilidade média de símbolo errado, que vale, aproximadamente, 2 In John Cioffi, EE 379A (Digital Communication: Signal Processing) Course Reader, Stanford University. 9