Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos.

Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos Por João Filipe Abelha Figueiredo Tese de Mestrado em Análise de Dados e Sistemas de Apoio à Decisão Orientada por: Professor Doutor Pedro Campos 2010 Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos ii Nota Biográfica do Candidato João Filipe Abelha Figueiredo nasceu em Clermont Ferrand, França em 1982, vivendo contudo em Portugal desde o ano de 1983. Licenciou-se em Matemática, ramo Científico de Matemática Aplicada em 2006 pela Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Em 2006 inscreveu-se na Especialização em Estatística Aplicada e Modelação, na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, não a tendo contudo concluído. Começou a trabalhar em 2007 na área da análise e tratamento de dados e como formador de estatística e matemática, funções que desempenha até à data, cumulativamente com a função de editor de conteúdos multimédia para o ensino básico. Em 2007 inscreveu-se no Mestrado em Análise de Dados e Sistemas de Apoio á Decisão, na Faculdade de Economia da Universidade do Porto, tendo terminado a parte curricular com média de 14 valores. Desde 2010 frequenta a Licenciatura em Engenharia Mecânica, no Instituto Superior de Engenharia do Porto. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos iii Agradecimentos Esta página é para todos aqueles que tornaram possível este trabalho. Ao Professor Doutor Pedro Campos pela confiança depositada, pelo apoio e disponibilidade demonstrada e pela orientação neste trabalho. Aos meus pais, aos meus avós e a toda a minha família, todos sempre presentes mesmo que alguns distantes, pelo incentivo e confiança permanentemente demonstrados. À Nathalie por nunca ter duvidado. À Leonor e a todas as crianças pelos sorrisos e pela alegria. Ao Professor Doutor Aguiar Falcão pela disponibilização dos dados e pela cooperação. A todos os amigos pela amizade e confiança. À Ana pelo Amor, pelo apoio, pela partilha, por ser quem é, por me fazer ser melhor, por tudo… E a todos, O meu obrigado. Este trabalho é vosso. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos iv Resumo As sondagens são fundamentais como instrumento de recolha de informação. Actualmente, e cada vez mais, a existência de informação é uma vantagem competitiva que pode fazer a diferença. No caso das eleições legislativas em Portugal a eleição dos deputados é feita a nível de distrito. Tome-se uma sondagem elaborada com o objectivo de averiguar a intenção de voto a nível de Portugal continental, com uma amostra obtida pelo método de amostragem aleatório estratificado. Como uma amostra representativa da opinião a nível de Portugal continental (nível macro) não o é necessariamente a nível de distrito (nível micro), neste trabalho procura-se optimizar a utilidade de uma sondagem eleitoral, procurando melhorar as estimativas num dado partido, quer a nível macro, quer a nível micro, através da aplicação de três metodologias distintas: (i) agregação de sondagens, fazendo uso de eventuais sondagens auxiliares existentes, (ii) aplicação de métodos de regressão multinível, fazendo uso da estrutura multinível dos dados em estudo, (iii) métodos de estimação em pequenos domínios, fazendo uso de eventuais informações secundárias, através da aplicação do Empirical Best Linear Unbiased Prediction (EBLUP). Estes métodos foram aplicados a dados reais, provenientes de uma sondagem realizada para estimar a intenção de voto nas eleições legislativas de 2005. O objectivo definido consistiu na melhoria das previsões de voto no PS. Dos modelos estudados, aquele que evidenciou melhores resultados foi o EBLUP. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos v Abstract The polls are crucial as a tool for gathering information. Currently, and increasingly, the availability of information is a competitive advantage that can make a difference. In the case of the legislative elections in Portugal the election of deputies is made at the district level. Let’s consider a survey conducted with the aim of ascertaining the intention of voting at the level of Portugal, with a sample obtained from a stratified random sampling. As a representative sample of opinion in terms of mainland Portugal (macro level) is not necessarily representative at the district level (micro level), this work seeks to optimize the utility of an election poll, trying to improve estimates in a given party, both at macro and micro level, by applying three different methodologies: (i) aggregation of surveys, using any existing auxiliary polling, (ii) application of multilevel regression methods, using the multilevel structure of the data in study, (iii) estimation methods in small areas, making use of any secondary information, through the application of Best Linear Unbiased Prediction Empirical (EBLUP). These methods were applied to real data, taken from a survey conducted to estimate the intention to vote in 2005 legislative elections. The target set was the improving of the predictions of voting in the PS. Of the models studied, the one that showed better results was EBLUP. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos vi Índice Capítulo 1 - Introdução ..................................................................................................... 1 Capítulo 2 - Alguns Métodos para Estimação em Estratos Sub-representados em Sondagens Eleitorais ......................................................................................................... 6 2.1 – A Estimação da Proporção de Votantes num Determinado Partido ................ 6 2.2 – Estimação em Pequenos Domínios ................................................................ 13 2.3 - Regressão Multínivel ...................................................................................... 19 2.3.1 – Formalização da Regressão Logística Multínivel ................................ 23 2.3.2 – A Formalização de Gelman – Regressão Logística Multinível e PósEstratificação .................................................................................................... 28 2.4 – Agregação de Sondagens ............................................................................... 34 Capítulo 3 - Aplicação ao caso português: estimativas distritais e nacionais ................. 36 3.1 - Descrição do conjunto de dados ......................................................................... 36 3.2 - Aplicação do Método de Agregação de Sondagens ........................................... 42 3.3 - Aplicação do Método de Regressão Multinível ................................................. 48 3.2 - Aplicação do EBLUP ......................................................................................... 62 Capítulo 4 - Conclusões .................................................................................................. 66 Capítulo 5 – Bibliografia ................................................................................................ 70 Anexo I ........................................................................................................................... 72 Anexo II .......................................................................................................................... 73 Anexo III ......................................................................................................................... 77 Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos vii Índice de Gráficos Gráfico 1 – Comparação método desagregação – resultados reais ................................. 46 Gráfico 2 – Comparação modelo hierárquico 1 – resultados reais. ................................ 53 Gráfico 3 – Comparação modelo hierárquico 2 – resultados reais. ................................ 55 Gráfico 4 – Comparação previsões hierárquico 3 – resultados reais. ............................. 57 Gráfico 5 – Comparação modelo hierárquico 4 – resultados reais. ................................ 59 Gráfico 6 – Comparação modelo EBLUP 2002 – resultados reais. ............................... 64 Gráfico 7 – Comparação modelo EBLUP 1999 – resultados reais. ................................ 65 Gráfico 8 – Comparativo entre as previsões dos melhores métodos .............................. 67 Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos viii Índice de Tabelas Tabela 1 – Distribuição da população e da amostra a nível continental. ........................ 10 Tabela 2 – Erros amostrais por distrito – Erros amostrais da amostra obtida pelo processo de amostragem aleatório estratificado por distrito. .......................................... 12 Tabela 3 – Codificação da variável 1 - Em qual dos seguintes partidos pensa votar no próximo domingo? .......................................................................................................... 37 Tabela 4 – Recodificação da variável 1 - Em qual dos seguintes partidos pensa votar no próximo domingo? .......................................................................................................... 38 Tabela 5 – Codificação da variável 3 - Idade ................................................................. 38 Tabela 6 – Codificação da variável 4 - Distrito .............................................................. 39 Tabela 7 – Codificação da variável 6 – Formação Académica ....................................... 39 Tabela 8 – Aspecto geral do conjunto de dados. ............................................................ 40 Tabela 9 – Distribuição, por distrito, da amostra da sondagem a nível de continente ... 40 Tabela 10 – Resultados da sondagem, por distrito ......................................................... 41 Tabela 11 – Descrição espaço-temporal das sondagens utilizadas. ................................ 43 Tabela 12 – Resultado da sondagem a nível do distrito do Porto. .................................. 44 Tabela 13 – Resultado da sondagem a nível do distrito de Aveiro. ................................ 44 Tabela 14 – Resultados da agregação de sondagens ....................................................... 44 Tabela 15 – Comparação método desagregação – resultados reais ................................ 45 Tabela 16 – Comparação modelo hierárquico 1 – resultados reais. ............................... 53 Tabela 17 – Comparação modelo hierárquico 2 – resultados reais ................................ 55 Tabela 18 – Comparação modelo hierárquico 3 – resultados reais. ............................... 57 Tabela 19 – Comparação modelo hierárquico 4 – resultados reais. ............................... 59 Tabela 20 – Comparação modelos hierárquicos – resultados reais. ............................... 61 Tabela 21 – Comparação modelo EBLUP 2002 – resultados reais. ............................... 64 Tabela 22 – Comparação modelo EBLUP 1999 – resultados reais. ............................... 65 Tabela 23– Comparativo entre os melhores métodos. .................................................... 66 Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos ix Índice de Figuras Figura 1 – Distribuição normal ...................................................................................... 10 Figura 2 – Relação entre  e q . ................................................................................... 12 Figura 3 – Função Logística ........................................................................................... 27 Figura 4 – Output R do modelo 1 com recurso à função lmer() ..................................... 50 Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 7 A sondagem pode ser vista como um processo geral da consulta da população e a amostragem é o momento da sondagem onde se seleccionam os elementos a partir dos quais se vão recolher os dados necessários para o estudo. Se seguida, contextualiza-se o problema em estudo de acordo com a teoria da amostragem. Em grande parte das sondagens eleitorais utiliza-se amostragem estratificada. A amostragem estratificada é um processo de amostragem em que a população de dimensão  se encontra dividida em  estratos mutuamente exclusivos, sendo retirada uma amostra aleatória de   elementos para cada estrato  que possui   elementos. A dimensão da amostra total de  elementos é o somatório das sub-amostras, retiradas de cada estrato, =∑   . O objectivo ao estratificar uma população é reduzir a variabilidade dos estimadores e assim obter estimativas mais precisas, através da criação de grupos/estratos que originem grupos homogéneos a nível interno mas diferentes dos restantes grupos, fazendo com que desta forma a variabilidade da população seja fundamentalmente explicada pela variância entre os estratos, Reis e tal (2001). Prosseguindo a ligação da teoria da amostragem com as sondagens eleitorais, tome-se a variável binária, Y, como sendo, por exemplo: “voto num determinado partido A”, definida no espaço =0,1 sendo 1 para quem vota no partido A e 0 para quem não vota no partido A. Variáveis deste tipo abundam na estimação em sondagens eleitorais. A proporção na população,   , de elementos no estrato i que vota no Partido A é dada por:   = ∑          (2.1) Esta proporção pode ser estimada por   , sendo:    = ∑          (2.2) Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 8 A estimativa a nível da população fornecida pela amostragem estratificada,   , é dada por:    =            (2.3) Segundo Cochran (1977), a variância de   é dada por:       = 1  !    !    −     − 1       #    (2.4) Em que #  =1−  . Como, de acordo com Cochran (1977) em quase todas as aplicações o termo 1/  será negligenciável, temos que:      = 1  !    !       #    −     #  (2.5) No caso da amostragem estratificada ser proporcional pelos  estratos:      =  −   1     !   #    − 1     (2.6) Quando se estão a estimar as equações (2.5) e (2.6) a partir de uma amostra, temos que substituir o termo desconhecido   #  por     #%  /  − 1 , em que #%  =1−  . Embora seja muitas vezes aconselhado utilizar-se um esquema de amostragem estratificada, uma sub-representação de alguns estratos amostrais pode levar à dificuldade de obter estimativas precisas. Em Portugal, por exemplo, nas eleições para a Assembleia da República, elegem-se deputados a nível de distrito. Tome-se uma amostra de  elementos, recorrendo a um processo de amostragem estratificada aleatória proporcional pelos diferentes distritos. Estimar   com um limite máximo de erro igual a & e um grau de confiança de 1−' ×100%, implica ter uma estimativa que verifique: *  |    −  | ≤ & = 1 − ' , 0 < ' < 1 (2.7) Logo: *     − & ≤  ≤    + & = 1 − ' (2.8) Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 9 Por (2.6) e, uma vez que os valores reais de   #  são desconhecidos, temos que:      =  −   1     !   − 1     #    − 1     (2.9) Uma vez que segundo Reis et al (2001), pelo Teorema do Limite Central, podemos assumir que   possui uma distribuição normal temos que: 0 1       = & (2.10) Onde 0 é o valor da abcissa da curva normal que corta uma área de 1−' nas caudas, como representado na Figura 1. Logo: 0 2  −   1     !   − 1     #    − 1     = & (2.11) Fixando uma confiança de 95,5% (o que implica 0=2), para o caso de   =0,5,∀∈ (caso que implica #%  =0,5 e que define o máximo do produto   #%  , como se pode ver pela Figura 2) e considerando os valores na Tabela 4, para o caso específico de uma amostra de 997 elementos, obtida de forma proporcional por distrito, a nível de Portugal Continental, através do processo de amostragem aleatório estratificado temos que &=0,03196. Logo, temos o seguinte intervalo de confiança para   : :    − 0 , 03196 ;    + 0 , 03196 < (2.12) O que se traduz num erro amostral de aproximadamente 3,20%, Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 10 Tabela 1 – Distribuição da população e da amostra a nível continental. Distrito Tamanho População ( = > ) Tamanho da amostra ( ? > ) Aveiro 592257 72 Beja 139437 17 Braga 670738 81 Bragança 129102 18 Castelo Branco 181128 23 Coimbra 379271 45 Évora 149533 17 Faro 337486 40 Guarda 155630 20 Leiria 386851 44 Lisboa 1820473 214 Portalegre 110067 13 Porto 1467249 172 Santarém 389442 44 Setúbal 669082 78 Viana do Castelo 212534 31 Vila Real 189800 26 Viseu 331329 42 Total 8311409 997 Figura 1 – Distribuição normal – Distribuição normal e relação existente entre z e o valor da abcissa. Na figura são visíveis os casos para @=A, caso da estimativa compreendida no intervalo :B−CDE,B+CDE< e para @=F, caso da estimativa compreendida no intervalo :B−FCDE,B+FCDE<. Fonte: Aaker (2006) Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 11 Tome-se um exemplo em que a amostra de uma sondagem eleitoral proporcional tem =997 elementos, sendo obtida de forma aleatória estratificada de forma proporcional. Nesse caso, essa amostra representa, para o distrito de Portalegre, uma subamostra, obtida pelo método de amostragem aleatório simples, de =13 elementos. Considerando o tamanho desta subamostra, fixando um a confiança de 95,5% (o que implica 0=2) e considerando =0,5 temos, por Cochran (1977): &=0H#% −1− <=>&=2×H0,5×0,5 12 × 110067−1 110067 <=>&=0,2887 O que se traduz num erro amostral de 28,87% para um intervalo de confiança a 95,5% e num intervalo de confiança: :   − 0 , 2887 ;   + 0 , 2887 < (2.13) Qualquer inferência para o distrito em questão utilizando a subamostra tal como referida deve ser realizada com cautela, devido aos elevados erros amostrais envolvidos. Uma amostra que forneça uma boa estimativa a nível nacional não é necessariamente uma amostra que fornece boas estimativas a nível mais desagregado, por exemplo a nível de distrito. Pela análise da Tabela 5, que apresenta os erros amostrais da amostra global e da subamostra de cada distrito, pode-se verificar que as subamostras a nível de distrito possuem erros que vão desde os 0,0685 (Lisboa) até os 0,2887 (Portalegre), o que mostra que as estimativas tendo por base estas subamostras poderão não ser muito precisas. Actualmente, e cada vez mais, se procura diminuir os custos mantendo, ou mesmo aumentando, o benefício obtido. Se, através da aplicação de técnicas estatísticas, conseguirmos melhorar as estimativas de uma sondagem a um nível micro (município, distrito, região, etc.), podemos, no limite evitar a realização de uma nova sondagem, com o respectivo ganho a nível de custos e utilização de recursos. Este é um dos motivos pelos quais se poderá recorrer a métodos auxiliares de modo a melhorar as estimativas, obtidas por uma sondagem eleitoral (ou com outro propósito), a nível micro. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 12 Tabela 2 – Erros amostrais por distrito – Erros amostrais da amostra obtida pelo processo de amostragem aleatório estratificado por distrito. Distrito Erro Aveiro 0,1187 Beja 0,2500 Braga 0,1118 Bragança 0,2425 Castelo Branco 0,2132 Coimbra 0,1507 Évora 0,2500 Faro 0,1601 Guarda 0,2294 Leiria 0,1525 Lisboa 0,0685 Portalegre 0,2887 Porto 0,0765 Santarém 0,1525 Setúbal 0,1140 Viana do Castelo 0,1826 Vila Real 0,2000 Viseu 0,1562 Amostra Total 0,0319 Figura 2 – Relação entre  e q – Gráfico da relação entre p e pq, na figura π e π(1-π), respectivamente. Fonte: Aaker (2006). Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 13 2.2 – Estimação em Pequenos Domínios Os métodos de estimação em pequenos domínios permitem contornar os problemas associados à dificuldade em divulgar informação relativa a domínios de interesse para os quais não foram recolhidos dados que permitam obter estimativas fiáveis dos parâmetros que se pretendem estimar. Estes métodos são úteis quando a estimação directa falha devido a amostragens imprecisas ou inadequadas. A aplicação destes métodos é hoje uma realidade em vários países e em diferentes áreas de pesquisa, desde a utilização para a obtenção de um Índice de Produção Industrial (IPI) para a comunidade autónoma Catalã pelo IDESCAT-UPF (Satorra e Ventura (2006)), passando pela sua aplicação em índices agrícolas na Turquia e até no Inquérito de Despesas Médicas nos Estados Unidos. São inúmeros os exemplos e possibilidades de aplicação. Uma das aplicações mais frequentes da estimação em pequenos domínios, já posta em prática em vários países do mundo, é a estimação das taxas de desemprego, realizada no âmbito dos diversos Inquéritos ao Emprego (Labour Force Surveys). Para Rao, o termo “small area”, traduzido correntemente como “pequeno domínio” é comummente usado para definir uma área geograficamente pequena, tal como uma determinada região ou um concelho. Pode também ser usado para definir um outro tipo de “pequeno domínio”, isto é, uma subpopulação de doentes com determinada patologia ou um grupo etário específico. No âmbito da estimação em pequenos domínios têm sido propostos diferentes métodos, sendo possível classificar esses métodos de várias formas. Uma das mais utilizadas é a proposta por Rao (Rao, 2003) que sugere a seguinte classificação dos estimadores: directos, indirectos, sintéticos e combinados. Segundo Satorra e Ventura (2006), os métodos para estimação em pequenos domínios incluem estimadores directos, estimadores sintéticos e outros estimadores indirectos. Os estimadores directos utilizam apenas dados provenientes do pequeno domínio estudado. Usualmente estes estimadores não são enviesados, mas possuem uma elevada variância. Os estimadores indirectos e compostos são mais precisos, uma vez que Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 14 utilizam dados provenientes de variáveis relacionadas ou de áreas vizinhas. Estimadores indirectos são obtidos usando estimadores relacionados com todo o domínio e que são não enviesados. Os estimadores compósitos são combinações lineares de estimadores directos e indirectos. Podemos descrever e sintetizar as diferenças entre os diversos tipos de estimadores de pequenos domínios da seguinte forma (Coelho, (2008)): i) Estimadores Directos: estimadores que apenas utilizam informação das variáveis de interesse pertencentes ao pequeno domínio em estudo. Os estimadores directos são aqueles que são obtidos através da aplicação de pesos às unidades amostrais seleccionadas em cada área. Contudo, como muitas sondagens são desenhadas de modo a obter estimativas representativas apenas a um nível geográfico mais elevado, os tamanhos de amostra, a um nível de desagregação mais baixo, são, frequentemente, pequenos para produzirem estimativas directas precisas. ii) Estimadores Indirectos: são estimadores que utilizam informação das variáveis de interesse e de variáveis auxiliares fora do pequeno domínio em estudo (ou do âmbito temporal em causa). Este tipo de estimadores pode-se subdividir em: - Estimadores directos modificados: são estimadores que mantêm propriedades estatísticas interessantes sob amostragem repetida. - Estimadores sintéticos: são estimadores cujas propriedades dependem dos pressupostos baseados dos modelos definidos. - Estimadores combinados: resultam de uma combinação linear entre um estimador directo e um estimador sintético. Podem-se designar também por estimadores compostos ou compósitos. Estes estimadores possuem uma combinação entre um termo design based (associado aos estimadores directos e directos modificados) e um termo model based (associado aos estimadores sintéticos). Como exemplo destes estimadores temos: o EBLUP, o estimador de Fay-Herriot (modelo a nível área) e o estimador de Battese-Harter-Fuller (modelo a nível unidade). Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 15 Os estimadores directos são aqueles que se baseiam apenas nos dados específicos do domínio de interesse e exclusivamente para o período temporal de interesse. Os estimadores indirectos baseiam-se em dados fora do domínio ou período temporal de interesse e têm a vantagem de produzirem estimativas geralmente não enviesadas, embora falhem em pequenas amostras, para as quais a variância do estimador é elevada. Os estimadores indirectos podem também ser designados por sintéticos, model based ou estimadores de pequenos domínios, Rao (2003). Podem identificar-se três tipos diferentes de estimadores indirectos: i) Estimadores indirectos de domínio – utiliza-se apenas informação relativa a outros domínios de interesse, mas não de outros períodos temporais; ii) Estimadores indirectos de tempo - utiliza-se apenas informação relativa a outros períodos temporais, mas não de outros domínios de interesse; iii) Estimadores indirectos de domínio e de tempo – utiliza-se informação quer de outros domínios, quer de outros períodos temporais. A existência de informação auxiliar e a ligação a modelos adequados é fundamental para a formação de estimadores indirectos. Os estimadores indirectos baseados em modelos de pequenos domínios designam-se por estimadores model-based. Por sua vez, os modelos de pequenos domínios podem dividir-se em: (i) modelos agregados ou de área, quando relacionam estimadores de pequenos domínios directos com variáveis agregadas relacionadas com o domínio geográfico de interesse; (ii) modelos elementares, quando se relacionam variáveis ao nível das unidades elementares da análise. A estimação model-based para pequenos domínios possui várias vantagens, entre as quais o facto de serem deduzidos a partir de um modelo explícito, que é previamente seleccionado e devidamente validado a partir dos dados provenientes da amostra. Dependendo da natureza das variáveis de resposta e da complexidade da estrutura espacial e temporal dos dados, pode proceder-se ao teste de vários modelos. Os tipos de estimadores indirectos model-based mais utilizados são: • Estimadores EBLUP (Empirical Best Linear Unbiased Prediction) • Estimadores de Bayes empíricos paramétricos (EB) • Estimadores de Bayes hierárquicos paramétricos (HB) Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 16 Os estimadores sintéticos são obtidos pelo ajustamento de um modelo aos dados disponíveis (aproximação model-based), sendo frequentemente um modelo de regressão. Funcionam geralmente bem, mesmo em pequenas amostras pois baseiam-se nas regressões subjacentes entre as variáveis do modelo. No entanto, o sucesso destes modelos depende da relação entre as variáveis do modelo: quanto maior for a correlação entre as variáveis (da população a estimar e as outras variáveis do modelo), melhor será a qualidade da estimativa. Por último, os estimadores combinados são estimadores que resultam de uma combinação linear entre um estimador directo e um estimador sintético. Estes estimadores podem também designar-se por estimadores compostos ou compósitos, pois incorporam uma combinação entre um termo design-based (associado aos estimadores directos e directos modificados) e um termo model-based (associado aos estimadores sintéticos). São exemplos de estimadores combinados (Rao, (2003)) os estimadores EBLUP (Empirical Best Linear Unbiased Prediction), o GREG, o estimador de FayHerriot (modelo de nível área) e o estimador de Battese-Harter-Fuller (modelo de nível unidade) Uma das vantagens da utilização de estimadores compósitos (tais como o GREG) é a realização de ajustamentos para permitir estimar as diferenças entre a amostra e a população para as diferentes áreas. No caso particular do EBLUP, este estimador reduz o “ruído” existente através da multiplicação dos resíduos por um factor K. De facto o estimador EBLUP estima L M , (os resíduos desconhecidos ao nível da população) com base em N M (os resíduos obtidos pela fixação do modelo). Existem dois tipos de estimadores EBLUP, classificados quanto ao estabelecimento de uma relação de ligação ao nível das unidades amostrais no que respeita à informação auxiliar a considerar: • De nível individual (EBLUP A): obriga a existência de uma função de ligação entre a informação directa e a informação auxiliar ao nível dos indivíduos; • De nível área (EBLUP B): a informação auxiliar é agregada ao nível da área para a qual se pretendem calcular as estimativas. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 23 2.3.1 – Formalização da Regressão Logística Multinível Na regressão logística, o objectivo é obter a predição de valores tomados por uma variável categórica, frequentemente binária, a partir de uma série de variáveis explicativas contínuas e/ou binárias. Segundo Gelman et al (2007), os modelos multinível são aplicados à regressão logística e a outros modelos lineares generalizados da mesma forma que à regressão linear: os coeficientes são agrupados em grupos e uma distribuição de probabilidade é atribuída a cada grupo. Ou de modo equivalente, termos de erro são adicionados ao modelo correspondendo a diferentes fontes de variação dos dados. Reflectindo na utilidade da análise multinível e na importância das variáveis categóricas em muitas áreas da investigação, a generalização dos modelos multinível para variáveis categóricas tem sido, para Leeuw et al (2008), uma área activa na investigação estatística. Tal não é de estranhar, uma vez que as estruturas hierárquicas existem em quase todas as áreas do saber, como foi referido no início desta secção. Para o caso de variáveis dicotómicas, foram desenvolvidas várias abordagens adoptando quer um modelo de regressão logística, quer um modelo de regressão Probit, bem como vários métodos para incorporar e estimar a influência dos efeitos aleatórios. Nesta secção utilizaremos preferencialmente a formalização de Snijders et al (1999), em que a estrutura básica da regressão logística a dois níveis é uma colecção de  grupos (unidades no nível dois - área), com, em cada grupo, uma amostra aleatória de   unidades do nível um (indivíduos). A variável objectivo (dependente) é dicotómica e denotada por   para a unidade de nível um  no grupo j. O tamanho total da amostra é: l =     (2.18) Se não tivermos em conta variáveis explicativas (preditores), a probabilidade de sucesso é constante em cada grupo, sendo denotada por   . Num modelo de coeficientes aleatórios, os grupos são considerados provenientes de uma população de grupos e a Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 24 probabilidade de sucesso nos grupos, *  , são consideradas como variáveis aleatórias definidas nesta população. O resultado dicotómico pode ser representado como a soma desta probabilidade com um resíduo, m  , logo temos:   = *  + m  (2.19) O resultado para o indivíduo  no grupo j, que poderá ser 0 ou 1, é expresso como a soma das probabilidades (proporção média de sucesso) no grupo mais um resíduo dependente do nível individual. Este resíduo possui média zero e a peculiaridade de poder assumir apenas os valores ”−*  ” e “1−*  ”, uma vez que deve ser 0 ou 1. Outra particularidade é o facto de, dado o valor da probabilidade *  , a variância do resíduo é:  n m  o = *   1 − *  (2.20) Como a variável se encontra codificada como 0 ou 1, a média do grupo, ] . é dada por:  ] .  = 1       p    (2.21) e é a proporção de sucesso no grupo j. Esta é uma estimativa para a probabilidade dependente do grupo *  . De modo similar, a média global, *] . , é dada por: * ] . =  ] .. = 1 l      p        (2.22) e é a proporção global de sucesso. A variância entre as probabilidades dependentes dos grupos, isto é, o valor populacional n*  o, pode ser estimado por q ! , que é obtido através de: q  ! =  r ! −  Mrs !  t (2.23) em que  r ! é a variância observada entre grupos,  Mrs ! a variância dentro dos grupos, e em que:  t = 1  − 1 u l − ∑   !  l v =  P − w !      P (2.24)  P = l  (2.25) Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 25 Para variáveis resultado dicotómicas, a variância observada entre grupos,  r ! , é dada por:  r ! = * ] .  1 − * ] .  t   − 1 O ! (2.26) em que: O ! =      P .  − * . R ! * ] .  1 − * ] .     (2.27) A variância dentro dos grupos,  Mrs ! , é dada por:  Mrs ! = 1 l −      P .  1 −  P .     (2.28) Snijders et al (1999), consideram ainda que pode ser relevante incluir variáveis explicativas no modelo. Quando tal sucede, um problema que surge é que as probabilidades estão restritas ao intervalo de 0 a 1, e um efeito linear para uma variável explicativa pode levar o resultado para fora deste intervalo. Para ultrapassar este problema, em vez da probabilidade de algum evento, pode-se considerar o rácio entre a probabilidade de sucesso e a probabilidade de insucesso. Quando a probabilidade de sucesso é , este rácio é /1 −  . Este valor, ao contrário das probabilidades, pode assumir qualquer valor de 0 a infinito e pode ser considerado uma escala de rácio. O logaritmo transforma uma escala multiplicativa numa escala aditiva e transforma o conjunto dos números reais positivos na recta real, desta forma: xyz{   = ln ~  1 −   (2.29) A função logit é uma função definida para números de 0 a 1 e o seu contra-domínio é m. O modelo de regressão logística é um modelo em que xyz{ é uma função linear das variáveis explicativas. O termo geral para este tipo de funções é função link, uma vez que liga as probabilidades às variáveis explicativas. A função probit é também frequentemente usada como uma função link para variáveis dicotómicas. A escolha da função link deve, segundo Snijders et al (1999), ser guiada por um ajuste empírico do modelo, facilidade de interpretação e conveniência (por exemplo, existência de software Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 26 para a implementação de modelos). Para a selecção da função link ser relevante, Leeuw et al (Donald Hedeker - 2008), referem que é necessária uma grande quantidade de dados. Uma vez que estas funções frequentemente fornecem ajustes e conclusões similares, a escolha da função poderá ser feita primariamente por motivos de facilidade de interpretação. Para Snijders et al (1999), o “modelo vazio” a dois níveis para uma variável objectivo dicotómica refere-se à população de grupos (unidades do nível dois) e especifica a distribuição de probabilidade para as probabilidades dependentes dos grupos, *  , sem ter em consideração qualquer variável exploratória. Vários métodos e especificações desta distribuição foram sugeridos, mas os autores focam-se no método que especifica as probabilidades transformadas *  , como tendo uma distribuição normal. Isto é expresso, por meio de uma função link geral  , pela fórmula:   *  = K W +  W  (2.30) onde K W é a média populacional das probabilidades transformadas e  W o desvio aleatório desta média para o grupo j. Se  é a função xyz{, então *  é apenas o logaritmo do rácio de probabilidades para o grupo j. Desta forma, para a função xyz{, o logaritmo do rácio de probabilidades tem uma distribuição normal na população dos grupos, que é expressa por: xyz{  *  = K W +  W  (2.31) Os desvios  W assumem-se como variáveis aleatórias independentes com uma distribuição normal de média 0 e variância q W! . Este modelo não inclui um parâmetro separado para variância de nível um porque a variância residual deste nível, para o caso de variáveis objectivo dicotómicas, segue directamente da probabilidade de sucesso. Denote-se por  W a probabilidade correspondente à média K W , definida por:  W =K W . Para a função xyz{, isto significa que  W é a transformação logística de K W , definida por:  W = xyzw{  K W = exp  K W 1 + exp  K W (2.32) Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 27 Note-se que a função logística e a função xyz{ são funções inversas. O gráfico seguinte mostra a forma da função logística. Figura 3 – Função Logística, fonte: Snijders et al (1999) O valor  W é aproximado (mas não igual) ao valor médio das probabilidades *  na população dos grupos. Devido à natureza não linear da função link, não existe uma relação simples entre a variância destas probabilidades e a variância dos desvios  W . Segundo Snijders et al (1999), A estimação dos parâmetros para estes modelos é mais complicada do que no caso dos modelos hierárquicos lineares, sendo que é inevitável a utilização de algum tipo de aproximação. Vários métodos de aproximação foram propostos, desde expansões de Taylor de primeira ou de segunda ordem para a função link até métodos computacionais intensivos relacionados com bootstrap e o método de amostragem de Gibbs. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 28 2.3.2 – A Formalização de Gelman – Regressão Logística Multinível e Pós-Estratificação Para este trabalho adoptou-se a formalização e a metodologia utilizada por Gelman (Gelman, (1997) e (2007)), pois assume-se como sendo completa e autocontida, surgindo como uma boa base para o desenvolvimento que se pretende com este estudo. Na notação que se segue, considere-se uma partição da população em estudo em m variáveis categóricas, onde a -ésima variável possui k r níveis, para um total de k=Π r j r categorias (células), que etiquetamos de j=1,…k. Seja   , o número de indivíduos na população pertencentes à categoria j, e suponha-se que este valor é conhecido para todos os j. Seja  uma resposta binária de interesse, e seja   a média populacional em cada estrato j. Para cada j, seja   o número de indivíduos na categoria j na amostra. As m variáveis deverão incluir toda a informação usada para construir os pesos amostrais, bem como outras variáveis que poderão ser informativas relativamente a . Para Gelman et al (1997), podemos ajustar um modelo de regressão logística para a probabilidade   , de um “sim” na variável , para respondentes na categoria j da seguinte forma: xyz{ n   o = O  V (2.33) onde O é a matriz indicadora das variáveis, O  é a j-ésima coluna de O e V é o vector dos parâmetros de regressão desconhecidos. O modelo hierárquico (multinível) permite uma agregação parcial entre as células através da definição de um modelo de efeitos mistos. O modelo (2.33) pode então ser escrito na forma padrão de um modelo hierárquico de regressão logística como:   ~ &yx    (2.34) xyz{    =  OV  (2.35) V ~   0 , Σ β (2.36) Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 29 Onde Σ  é uma matriz diagonal com 0 para cada elemento de ', seguido de U  para cada elemento de K  , para cada . Utiliza-se a notação   , para a probabilidade correspondente à unidade , como distinção de   , a probabilidade agregada correspondente à categoria j. Escreve-se o vector V como ',K  ,…,K  , onde ' é um subvector de coeficientes desagregados. Cada K  , para =1,…,l, é um subvector de coeficientes, K  , para o qual ajustamos um modelo hierárquico: K  ~ M   0 , U  ! ,  = 1 , … ,   (2.37) Dado que se incluiu um termo constante como um dos efeitos fixos, ', é razoável atribuir a cada K  uma média a priori de 0. Os parâmetros de variância, U  , são considerados com distribuições a priori independentes e não informativas: U  ! ~ w . z  0 . 001 , 0 . 001 ,  = 1 , . . l (2.38) Estas distribuições a priori independentes e não informativas permitem que os U  sejam estimados do conjunto de dados. Isto pode ser contrastado a dois extremos que correspondem à análise clássica. Ajustar U  como 0 corresponde a excluir um conjunto de variáveis, i.e., agregação completa o que se traduz num modelo de regressão normal sem considerar a estrutura hierárquica. Ajustar U  a ∞ corresponde a uma distribuição a priori não informativa para os parâmetros K  , ou seja não realizar agregação, o que se traduz na elaboração de um modelo para cada categoria j. Para obter as quantidades de interesse, Gelman et al (2007) utilizam a seguinte estratégica de simulação Bayesiana: • Realizar inferência Bayesiana para os coeficientes de regressão, V, e para os hiperparâmetros, U  , através do conjunto de dados. • Para cada uma das k categorias na população, calcular   =xyz{  OV  . Isto é feito para todas as categorias j, mesmo para as que não estão incluídas na amostra. • Calcular inferências para as quantidades da população, somando     ’s dentro de cada estado. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 30 O modelo é estimado através da simulação Bayesiana (Markov chain Monte Carlo methods), recorrendo ao WinBUGS. Estas simulações são depois utilizadas para calcular incertezas e erros padrão. Num contexto de regressão, a análise deve incluir como variáveis, tudo o que tenha um efeito importante na selecção da amostra ou nas não-respostas. Após a obtenção das estimativas de interesse, Gelman et al (2007) procedem, após a definição do modelo hierárquico e sua simulação, a uma pósestratificação para a obtenção de um ponto preditor (por exemplo média ou mediana) para sumariar as simulações. Segundo Gelman et al (2007), o método de amostragem de Gibbs é o nome dado a uma família de algoritmos interactivos que são utilizados pelo BUGS (“Bayesian Inference Using Gibbs Samplig”) e outros programas para o ajuste de modelos Bayesianos. A ideia base da amostragem de Gibbs é particionar o conjunto de parâmetros desconhecidos e proceder à sua estimação um de cada vez, ou um grupo de cada vez, mas em que cada parâmetro ou grupo de parâmetros é estimado de forma condicional a todos os restantes. O algoritmo pode ser definido da seguinte forma: 1. Definir um número,  srr , de simulações paralelas a correr (tipicamente um número pequeno). Para cada uma destas correntes: a. Começar com um valor inicial para todos os parâmetros. Estes devem ser dispersos, tipicamente obtidos aleatoriamente b. Definir um número,   , de iterações (tipicamente um número grande). Para cada iteração actualiza-se os parâmetros, ou grupos de parâmetros, um de cada vez. Para cada parâmetro/grupo de parâmetros toma-se uma simulação aleatória dada o conjunto de dados e a estimativa actual de todos os outros parâmetros. 2. Avaliar a mistura de correntes aleatórias utilizando uma estatística de convergência, m], factor de redução potencial de escala, para cada parâmetro. Este parâmetro é aproximadamente a raiz quadrada da variância da mistura de todas as correntes, dividida pela variância média dentro-correntes. Gelman et al (2007), sugere tomar m]<1.1 para indicação de convergência. 3. Se a convergência não é atingida, repetir aumentando o número de iterações ou proceder a uma alteração do modelo. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 31 Para Gelman et al (2007), a parte chave deste algoritmo é o passo de actualização sequencial automática. Existem geralmente muitas opções disponíveis para modelar uma estrutura de dados, e uma vez ajustado, com sucesso, um modelo é importante verificar de que modo é que este se ajusta aos dados e frequentemente compará-lo com outros modelos. Para tal, estes autores sugerem alguns métodos relativamente simples. A monitorização da qualidade de um modelo através da detecção de diferenças sistemáticas entre o modelo e os dados observados, utilizando para tal a capacidade preditiva das simulações realizadas, é uma das opções apresentadas. Para a comparação entre modelos, Gelman et al (2007), sugerem a utilização do “desvio”,  , definido como:    = − 2 log p   |  ) (2.39) em que log p(|) é o logaritmo da probabilidade do conjunto de dados. Os autores sugerem ainda a utilização do parâmetro DIC (critério de informação do desvio). Este parâmetro é fornecido de forma automática pelo WinBUGS e é dado por:  =  n  ] o + 2   (2.40) Em que   é o número efectivo de parâmetros e n ]o= | []. Quanto mais baixo for o valor do DIC melhor será o ajuste ao conjunto de dados e a capacidade preditiva do modelo. Uma vez fixado o modelo e obtidas as previsões pode-se recorrer a uma pósestratificação de modo a corrigir a amostra de eventuais desvios em relação à distribuição populacional. Para Gelman et al (1997), o objectivo da pós-estratificação é a correcção de diferenças entre a amostra e a população. Na notação que se segue, as letras minúsculas são utilizadas para variáveis que são observadas apenas na amostra e as letras maiúsculas para as variáveis que são observadas na amostra mas conhecidas na população. Supondo que temos uma matriz de indicadores de variáveis, O, cujas distribuições conjuntas na população são conhecidas, e uma variável , cuja distribuição populacional estamos interessados em estimar. Assumindo que as variáveis são discretas e catalogando as categorias de O como células de pós-estratificação j, com   elementos na população e   elementos na amostra. Com esta notação, o total da população é  =∑    e o tamanho da amostra é  = ∑    . Implícito no modelo Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 32 de pós-estratificação está que os dados são recolhidos por um processo aleatório simples em cada um dos k estratos. O tamanho das amostras dos estratos criados é irrelevante. O caso da estratificação (de onde as amostras são retiradas pelo processo de amostragem da sondagem) não é mais do que um caso específico de pós-estratificação da forma como está formulada. Assume-se que os totais dos estratos   para cada categoria j são conhecidos. Estas categorias incluem todas as classificações cruzadas dos preditores O. A média da população, , de qualquer resposta pode ser escrita como uma soma sobre os estratos definidos:  = ∑         ∑       (2.41) Em que   é a média do estrato j. Logo a estimativa pela pós-estratificação,  ]  , é:  ]  = ∑    ]      ∑       (2.42) O caso mais simples, e o utilizado neste trabalho, é a pós-estratificação total, em que a estimação para cada estrato j é a média estimada do estrato  ]  =P  , logo:  ]  = ∑    P      ∑       (2.43) Segundo Lax et al (2009), a regressão multinível e a pós-estratificação incorporam informação demográfica para melhorar as estimativas a nível de estado, enquanto permite a existência de diferenças não demográficas entre estados. Isto é, a opinião é modelada como uma função de efeitos demográficos e efeitos específicos dos estados. A estimação destes efeitos é melhorada através da utilização de um modelo multinível e as predições são feitas para cada respondente tipo em termos de características demográficas-geográficas com um peso obtido em relação aos dados populacionais. A desvantagem é a necessidade de dados demográficos detalhados acerca dos respondentes e dos estados, bem como uma metodologia complexa comparativamente com outros métodos (por exemplo, a agregação de sondagens). Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 39 Tabela 6 – Codificação da variável 4 - Distrito Codificação Distrito 1 Aveiro 2 Beja 3 Braga 4 Bragança 5 Castelo Branco 6 Coimbra 7 Évora 8 Faro 9 Guarda 10 Leiria 11 Lisboa 12 Portalegre 13 Porto 14 Santarém 15 Setúbal 16 Viana do Castelo 17 Vila Real 18 Viseu Variável 5 - Exerce alguma actividade profissional? (0 – Não/1 - Sim) Variável 6 - Formação Académica. Esta variável foi codificada de acordo com a Tabela 7. Tabela 7 – Codificação da variável 6 – Formação Académica Codificação Formação Académica 1 Analfabeto 2 Sabe Ler/Primária 3 Até ao 9º ano 4 Até ao 12º ano 5 Bacharel 6 Licenciado 7 Pós-Graduado 8 Doutorado Desta forma o conjunto final de dados, com 6 variáveis e 719 elementos, apresenta o aspecto descrito na Tabela 8. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 40 Tabela 8 – Aspecto geral do conjunto de dados. Voto Sexo Idade Distrito Exerce actividade profissional Escolaridade PS Feminino Entre 40 a 50 anos Porto Sim Até ao 9º ano PS Masculino Com mais de 60 anos Porto Não Sabe Ler/Primária … … … … … … A Tabela 9 traduz a distribuição, por distrito, da amostra a nível continental. Tabela 9 – Distribuição, por distrito, da amostra da sondagem a nível de continente Distrito n % Aveiro 43 6 Beja 14 1,9 Braga 66 9,2 Bragança 10 1,4 Castelo Branco 16 2,2 Coimbra 26 3,6 Évora 12 1,7 Faro 27 3,8 Guarda 12 1,7 Leiria 39 5,4 Lisboa 154 21,4 Portalegre 8 1,1 Porto 136 18,9 Santarém 29 4 Setúbal 57 7,9 Viana do Castelo 24 3,3 Vila Real 17 2,4 Viseu 29 4 Os resultados, por distrito, obtidos nesta sondagem encontram-se descritos na Tabela 10, que apresenta as frequências relativas verificadas pelo PS a nível distrital. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 41 Tabela 10 – Resultados da sondagem, por distrito Distrito Freq. Rel. PS Outro Aveiro 0,3256 0,6744 Beja 0,2143 0,7857 Braga 0,4697 0,5303 Bragança 0,4000 0,6000 Castelo Branco 0,8125 0,1875 Coimbra 0,5769 0,4231 Évora 0,6667 0,3333 Faro 0,4444 0,5556 Guarda 0,6667 0,3333 Leiria 0,2308 0,7692 Lisboa 0,4351 0,5649 Portalegre 0,8750 0,1250 Porto 0,4412 0,5588 Santarém 0,5862 0,4138 Setúbal 0,4737 0,5263 Viana do Castelo 0,5000 0,5000 Vila Real 0,4118 0,5882 Viseu 0,6207 0,3793 Previsão Continente 0,4655 0,5345 Erro Abs Médio 0,1221 A previsão a nível de continente é o valor estimado pela amostra aleatória estratificada da sondagem. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 42 3.2 - Aplicação do Método de Agregação de Sondagens Nesta secção apresentam-se os resultados e conclusões obtidos através da aplicação de uma variação do método de agregação de sondagens, tendo-se, para tal, feito uso de duas sondagens auxiliares a nível distrital, para além da sondagem a nível do continente referida na secção 3.1. Neste estudo, a metodologia de desagregação de sondagens, teve uma relativa variação face ao trabalho desenvolvido por Erikson et al (1993) no seu trabalho. Ao invés da ideia original de se juntar várias sondagens todas com o mesmo alcance regional (neste caso a nível de Portugal Continental) possibilitando desta forma o aumento da amostra quer a nível continental, quer a nível distrital, utilizaram-se sondagens realizadas num espaço temporal semelhante mas com um alcance geográfico mais reduzido (a nível distrital), conseguindo desta forma um aumento do tamanho de amostra em alguns dos distritos. A ideia era a de aproveitar recursos que poderiam já existir de forma natural num instituto de sondagens. Sondagens realizadas com propósitos diferentes mas com questões similares, realizadas segundo os mesmos processos e num mesmo espaço temporal poderiam ser aproveitadas para a obtenção de melhores estimativas a um nível micro. No ano de 2005, a nível do continente, foi realizada uma sondagem cujo objectivo principal era a averiguação da intenção de voto dos eleitores para as eleições legislativas, sondagem descrita na secção 3.1. Existem ainda dados relativos a sondagens efectuadas nos distritos do Porto e Aveiro, também com objectivo principal de conhecer a intenção de voto nas eleições legislativas. Assim sendo pretende-se, recorrendo ao método de agregação de sondagens, utilizar a informação relativa a todas as sondagens (através da sua agregação) com vista a melhorar as previsões, quer a nível de distrito quer a nível de concelho. A Tabela 11 traduz a metodologia aplicada. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 43 Tabela 11 – Descrição espaço-temporal das sondagens utilizadas. Distrito Jan - 05 Fev - 05 Fev - 05 Objectivo Principal: Intenção de voto nas Legislativas Objectivo Principal: Intenção de voto nas Legislativas Objectivo Principal: Intenção de voto nas Legislativas Aveiro x x Beja x Braga x Bragança x Castelo Branco x Coimbra x Évora x Faro x Guarda x Leiria x Lisboa x Portalegre x Porto x x Santarém x Setúbal x Viana do Castelo x Vila Real x Viseu x No final de Janeiro de 2005 foi realizada uma sondagem a nível do distrito de Aveiro com o objectivo principal de se conhecer a intenção de voto para as eleições legislativas. Em Fevereiro foram realizadas duas sondagens com o mesmo objectivo, uma a nível do continente, outra a nível do distrito do Porto. A finalidade é melhorar as previsões a nível de distrito (e a nível de continente) através da agregação, dessas sondagens. Os resultados das sondagens auxiliares (sondagens a nível do distrito do Porto e de Aveiro), após a eliminação dos elementos que não revelaram a sua intenção de voto ou optaram pelas opções “Indeciso” e “Não vai votar”, recodificados à semelhança do descrito na secção 3.1 para a sondagem a nível do continente, estão apresentados nas Tabelas 12 e 13, em que se apresentam as frequências absolutas (Freq. Abs.) e relativas (Freq. Rel.). Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 44 Tabela 12 – Resultado da sondagem a nível do distrito do Porto. Partido Freq Abs. Freq. Rel. PS 336 0,4941 Outro 344 0,5059 Total 680 1 Tabela 13 – Resultado da sondagem a nível do distrito de Aveiro. Partido Freq Abs. Freq. Rel. PS 247 0,4442 Outro 309 0,5558 Total 556 1 Agregando as três sondagens referidas anteriormente obtêm-se as estimativas e os coeficientes de variação apresentados na Tabela 14. Tabela 14 – Resultados da agregação de sondagens Distrito Freq. Rel. PS Freq. Rel. Outro Peso CV PS CV Outro Aveiro 0,4357 0,5643 7,13% 1,14 0,88 Beja 0,2143 0,7857 1,68% 1,92 0,52 Braga 0,4697 0,5303 8,07% 1,06 0,94 Bragança 0,4000 0,6000 1,55% 1,22 0,82 Castelo Branco 0,8125 0,1875 2,18% 0,48 2,08 Coimbra 0,5769 0,4231 4,56% 0,86 1,17 Évora 0,6667 0,3333 1,80% 0,71 1,42 Faro 0,4444 0,5556 4,06% 1,12 0,89 Guarda 0,6667 0,3333 1,87% 0,71 1,42 Leiria 0,2308 0,7692 4,65% 1,82 0,55 Lisboa 0,4351 0,5649 21,90% 1,14 0,88 Portalegre 0,8750 0,1250 1,32% 0,38 2,65 Porto 0,4853 0,5147 17,65% 1,03 0,97 Santarém 0,5862 0,4138 4,69% 0,84 1,19 Setúbal 0,4737 0,5263 8,05% 1,05 0,95 Viana do Castelo 0,5000 0,5000 2,56% 1,00 1,00 Vila Real 0,4118 0,5882 2,28% 1,19 0,84 Viseu 0,6207 0,3793 3,99% 0,78 1,28 Previsão Continente 0,4811 0,5190 Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 45 A Tabela 15 e o Gráfico 1 mostram a comparação entre as previsões obtidas através da aplicação do método de agregação de sondagens com os resultados reais das eleições de 2005. Tabela 15 – Comparação método desagregação – resultados reais Distrito Freq. Rel. PS Reais Aveiro 0,4357 0,4109 Beja 0,2143 0,5101 Braga 0,4697 0,4542 Bragança 0,4000 0,4207 Castelo Branco 0,8125 0,5598 Coimbra 0,5769 0,4541 Évora 0,6667 0,4968 Faro 0,4444 0,4933 Guarda 0,6667 0,4670 Leiria 0,2308 0,3558 Lisboa 0,4351 0,4411 Portalegre 0,8750 0,5480 Porto 0,4853 0,4853 Santarém 0,5862 0,4614 Setúbal 0,4737 0,4371 Viana do Castelo 0,5000 0,4197 Vila Real 0,4118 0,4384 Viseu 0,6207 0,4040 Previsão Continente 0,4811 0,4514 Erro Abs Médio 0,1163 Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 46 Gráfico 1 – Comparação método desagregação – resultados reais Como é visível pelas Tabelas 14 e 15, os resultados obtidos através da desagregação das sondagens melhoraram as previsões a nível de distrito (quer as considerando isoladamente a sondagem a nível continental, quer as considerando isoladamente as sondagens a nível distrital), mas pioraram as previsões a nível continental. As diferenças em relação aos resultados originais não são muito notórias devido à pouca quantidade de sondagens existentes para proceder à agregação, uma vez que só se possua sondagens auxiliares para os distritos do Porto e Aveiro (resultados a negrito nas tabelas) só foi possível aplicar este método nestes casos. Note-se contudo que o resultado obtido nestes distritos é consideravelmente melhor do que a estimativa fornecida apenas pelas sondagens, salientando-se o excelente resultado obtido no distrito do Porto. Através do Gráfico 1 é possível verificar a diferença entre as previsões apresentadas pelo método de Agregação (e da sondagem, uma vez que excepto para o caso de Aveiro e Porto estas estimativas são as mesmas) e os valores reais observados nas eleições de 2005. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Previsão Valores reais Método Agregação Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 47 A não existência/indisponibilidade de dados, impossibilita uma maior exploração desta técnica, que, apesar de todos os perigos existentes na sua aplicação, nos deixa com a ideia de que poderá ser uma alternativa válida em casos em que existam sondagens disponíveis, não necessariamente realizadas com o mesmo fim, mas com a mesma questão, e com a condicionante de não distem muito no tempo, nem na metodologia de recolha de informação. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 48 3.3 - Aplicação do Método de Regressão Multinível Nesta secção apresentam-se os resultados obtidos através da aplicação do método de regressão multinível. Com o objectivo de encontrar o melhor modelo para o ajuste dos dados foram definidos quatro modelos de regressão multinível fazendo uso das variáveis demográficas e da interacção entre elas. Começou-se por definir um modelo mais complexo, utilizando todas as variáveis disponíveis e a interacção entre elas. Posteriormente, e como nem sempre o modelo mais complexo é o melhor, passou-se para a definição de modelos mais simples não recorrendo à utilização de interacções ou mesmo não recorrendo à utilização de todas as variáveis. As dificuldades encontradas na convergência dos modelos fizeram com que se optasse por definir um último modelo (Modelo 4) em que se faz recurso da utilização de parâmetros redundantes para acelerar a convergência. Modelo 1 Recorde-se de que a intenção de voto,   , encontra-se codificada como 1 para PS e 0 para outros. Definiu-se um primeiro modelo, considerando as respostas independentes e utilizando todas as variáveis demográficas e as suas interacções. Como refere Gelman et al (2003), não há vantagens em fazer uma modelação multinível das variáveis com menos de 3 níveis, como o sexo ou a profissão, quando as distribuições a priori são não informativas. Desta forma o modelo definido tomando por base o modelo (2.33), considerando a idade, a escolaridade, as interacções existentes entre estas variáveis e o distrito como coordenadas na origem variáveis é: P £ ( y _ = 1 ) = logit   n β W + β §¨©ª . sexo _ + β ¬£ª . prof _ + β §¨©ª . ¬£ª . sexo _ . prof _ + ∝ ± [ _ ] _²³²¨ + ∝ ´ [ _ ] ¨§ µ + ∝ ± [ _ ] , ´ [ _ ] _²³²¨ . ¨§µ + ∝ ¶ [ _ ] ²_§ o , para i = 1 , … , 719 (3.1) ∝ ¶ [ _ ] ²_§ ~ N n β ¹ . ¬£¨¹ , σ ²_§»£_»ª ! o (3.2) α ± _²³²¨ ~ N n 0 , σ _²³²¨ ! o , para k = 1 , . . , 6 (3.3) α ± ¨§µ ~ N ( 0 , σ ¨§µ ! ) , para l = 1 , . . , 8 (3.4) α ± , ´ _²³²¨ . ¨§µ ~ N n 0 , σ _²³²¨ . ¨§µ ! o , para k = 1 , 6 , l = 1 , . . , 8 (3.5) Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 55 Tabela 17 – Comparação modelo hierárquico 2 – resultados reais Concelho Quantil 0,25 Quantil 0,50 Quantil 0,75 Média CV Real Aveiro 0,3462 0,3981 0,4466 0,3969 0,1769 0,4109 Beja 0,3257 0,4088 0,4802 0,4010 0,2674 0,5101 Braga 0,4623 0,5022 0,5350 0,4993 0,1123 0,4542 Bragança 0,4140 0,4802 0,5451 0,4775 0,2057 0,4207 Castelo Branco 0,5915 0,6738 0,7381 0,6663 0,1462 0,5598 Coimbra 0,5007 0,5563 0,6071 0,5561 0,1380 0,4541 Évora 0,5236 0,5947 0,6614 0,5941 0,1714 0,4968 Faro 0,4410 0,4867 0,5308 0,4869 0,1502 0,4933 Guarda 0,5210 0,5907 0,6613 0,5921 0,1709 0,4670 Leiria 0,2978 0,3464 0,4024 0,3509 0,2219 0,3558 Lisboa 0,4324 0,4589 0,4840 0,4580 0,0860 0,4411 Portalegre 0,5630 0,6396 0,7203 0,6434 0,1740 0,5480 Porto 0,4278 0,4534 0,4816 0,4533 0,0868 0,4853 Santarém 0,5065 0,5581 0,6068 0,5590 0,1337 0,4614 Setúbal 0,4557 0,4952 0,5360 0,4954 0,1184 0,4371 Viana do Castelo 0,4735 0,5235 0,5769 0,5272 0,1505 0,4197 Vila Real 0,4218 0,4824 0,5408 0,4809 0,1852 0,4384 Viseu 0,5276 0,5837 0,6371 0,5848 0,1328 0,4040 Previsão Continente 0,4832 0,4514 Erro Absoluto Médio 0,0721 DIC 989,1 Gráfico 3 – Comparação modelo hierárquico 2 – resultados reais. 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Previsões Valores reais Modelo Hierárquico 2 Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 56 Pela análise dos resultados obtidos, da Tabela 17 e do Gráfico 3, pode-se concluir que este modelo obtém um resultado pior do que o modelo 1 a nível da previsão nacional, facto que se traduz no seu erro absoluto médio superior comparativamente ao caso modelo 1. Este modelo obtém contudo algumas boas previsões a nível de distrito, salientando-se os casos de Aveiro, Leiria e Lisboa. Note-se também que apenas 6 previsões a nível de distrito se encontram entre os quantis 0,25 e 0,75 das simulações. ( sombreadas a amarelo na Tabela 17). Note-se também que o valor para o parâmetro DIC deste modelo (989,1) é muito semelhante ao obtido pelo Modelo 1 (990). Modelo 3 Este modelo é mais simples do que os anteriores, considerando apenas as variáveis demográficas sexo e idade. P £ ( y _ = 1 ) = logit   n β W + β §¨©ª . sexo _ + ∝ ± [ _ ] _²³²¨ + ∝ ¶ [ _ ] ²_§ o , para i = 1 , … , 719 (3.10) α ± _²³²¨ ~ N n 0 , σ _²³²¨ ! o , para k = 1 , . . , 6 (3.11) ∝ ¶ [ _ ] ²_§ ~ N n β ¹ . ¬£¨¹ , σ ²_§»£_»ª ! o (3.12) Em que os parâmetros são análogos às definições anteriores. Para este modelo, a convergência, R R<1.1, foi atingida com 30000 iterações, o que é valor muito inferior ao número de interacções necessárias para a obtenção de convergência com os restantes modelos. Tal facto é devido à maior simplicidade do modelo. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 57 Tabela 18 – Comparação modelo hierárquico 3 – resultados reais. Concelho Quantil 0,25 Quantil 0,50 Quantil 0,75 Média CV Real Aveiro 0,3292 0,3775 0,4241 0,3770 0,1833 0,4109 Beja 0,3004 0,3719 0,4367 0,3693 0,2581 0,5101 Braga 0,4361 0,4710 0,5041 0,4714 0,1090 0,4542 Bragança 0,3810 0,4456 0,5165 0,4484 0,2171 0,4207 Castelo Branco 0,5678 0,6415 0,7196 0,6430 0,1611 0,5598 Coimbra 0,4889 0,5409 0,5924 0,5401 0,1436 0,4541 Évora 0,4998 0,5598 0,6234 0,5644 0,1721 0,4968 Faro 0,4082 0,4578 0,5093 0,4592 0,1619 0,4933 Guarda 0,4986 0,5660 0,6377 0,5674 0,1760 0,4670 Leiria 0,2626 0,3106 0,3657 0,3148 0,2220 0,3558 Lisboa 0,4187 0,4427 0,4679 0,4433 0,0853 0,4411 Portalegre 0,5367 0,6122 0,6962 0,6180 0,1781 0,5480 Porto 0,4207 0,4449 0,4736 0,4458 0,0857 0,4853 Santarém 0,4945 0,5475 0,5971 0,5477 0,1351 0,4614 Setúbal 0,4332 0,4741 0,5125 0,4742 0,1226 0,4371 Viana do Castelo 0,4437 0,4949 0,5503 0,4971 0,1560 0,4197 Vila Real 0,3890 0,4426 0,4979 0,4424 0,1875 0,4384 Viseu 0,5042 0,5581 0,6197 0,5617 0,1445 0,4040 Previsão Continente 0,4638 0,4514 Erro Absoluto Médio 0,0614 DIC 987,6 Gráfico 4 – Comparação previsões hierárquico 3 – resultados reais. 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Previsões Valores reais Modelo Hierárquico 3 Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 58 Através da análise dos resultados deste modelo, da Tabela 18 e do Gráfico 4, verifica-se a existência de 10 previsões a nível de distrito que se encontram entre os quantis 0,25 e 0,75 das simulações ( sombreadas a amarelo na Tabela 18). É também de salientar o seu baixo erro absoluto médio (0,061), bem como as previsões para Lisboa e Vila Real. Apesar de ser o modelo mais simples, este modelo é, até agora, o que apresenta os melhores resultados, possuindo também o valor para o parâmetro DIC mais baixo (987,6) Modelo 4 Este modelo é semelhante ao Modelo 1, mas utilizando parâmetros redundantes na implementação do código computacional, de modo a tornar mais rápida a simulação, isto é possível acrescentando ao modelo coeficientes redundantes que são colineares com preditores existentes no modelo, seguindo a metodologia de Gelman et al (2007). P £ ( y _ = 1 ) = logit   n β W + β §¨©ª . sexo _ + β ¬£ª . prof _ + β §¨©ª . ¬£ª . sexo _ . prof _ + ∝ ± [ _ ] _²³²¨ + ∝ ´ [ _ ] ¨§µ + ∝ ± [ _ ] , ´ [ _ ] _²³²¨ . ¨§µ + ∝ ¶ [ _ ] ²_§ o , para i = 1 , … , 719 (3.13) ∝ ¶ [ _ ] ²_§ ~ N n β ¹ . ¬£¨¹ , σ ²_§»£_»ª ! o (3.14) α ± _²³²¨ ~ N n μ _²³²¨ , σ _²³²¨ ! o , para k = 1 , . . , 6 (3.15) α ± ¨§µ ~ N ( μ ¨§µ , σ ¨§µ ! ) , para l = 1 , . . , 8 (3.16) α ± , ´ _²³²¨ . ¨§µ ~ N n μ _²³²¨ . ¨§µ , σ _²³²¨ . ¨§µ ! o , para k = 1 , 6 , l = 1 , . . , 8 (3.17) Em que, aos parâmetros µ idade , µ esc e µ idade.esc , são atribuídas distribuições a priori não informativas e os restantes são em tudo análogos às definições anteriores. A convergência, R R<1.1, deste modelo foi obtida com 100000 iterações, o que, comparativamente ao modelo 1, representa uma diminuição de 20000 iterações. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 59 Tabela 19 – Comparação modelo hierárquico 4 – resultados reais. Concelho Quantil 0,25 Quantil 0,50 Quantil 0,75 Média CV Real Aveiro 0,3248 0,3840 0,4401 0,3836 0,2094 0,4109 Beja 0,3338 0,4100 0,4874 0,4054 0,2633 0,5101 Braga 0,4318 0,4812 0,5280 0,4807 0,1461 0,4542 Bragança 0,3907 0,4588 0,5355 0,4614 0,2328 0,4207 Castelo Branco 0,5464 0,6274 0,7071 0,6273 0,1774 0,5598 Coimbra 0,4644 0,5253 0,5895 0,5288 0,1697 0,4541 Évora 0,4850 0,5562 0,6406 0,5616 0,1921 0,4968 Faro 0,4127 0,4716 0,5343 0,4746 0,1910 0,4933 Guarda 0,4833 0,5510 0,6362 0,5627 0,1964 0,4670 Leiria 0,2905 0,3463 0,4075 0,3493 0,2428 0,3558 Lisboa 0,3954 0,4354 0,4771 0,4370 0,1403 0,4411 Portalegre 0,5240 0,6044 0,6928 0,6102 0,1981 0,5480 Porto 0,3892 0,4313 0,4696 0,4331 0,1407 0,4853 Santarém 0,4718 0,5323 0,5946 0,5352 0,1714 0,4614 Setúbal 0,4259 0,4753 0,5256 0,4771 0,1581 0,4371 Viana do Castelo 0,4414 0,5021 0,5685 0,5063 0,1886 0,4197 Vila Real 0,3959 0,4654 0,5276 0,4647 0,2098 0,4384 Viseu 0,4984 0,5593 0,6213 0,5601 0,1603 0,4040 Previsão Continente 0,4637 0,4514 Erro Absoluto Médio 0,0571 DIC -3,14*10^12 Gráfico 5 – Comparação modelo hierárquico 4 – resultados reais. 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Previsões Valores reais Modelo Hierárquico 4 Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 60 De todos os modelos, este é o que parece apresentar melhores resultados, este facto é visível no seu baixo erro absoluto médio (0,057) e na existência de 11 previsões a nível de distrito que se encontram entre os quantis 0,25 e 0,75 das simulações ( sombreadas a amarelo na Tabela 19). Para além disso é o que possui o menor valor para o parâmetro DIC (-3,14*10^12, este parâmetro pode ser negativo uma vez que a função densidade de probabilidade, utilizada no cálculo do “desvio” pode ser maior do que 1, no caso de possuir um desvio padrão pequeno, segundo Spiegelhalter, D, (2006)). Pela análise do Gráfico 5 é possível verificar que as previsões fornecidas pelo modelo 4 não se afastam de forma expressiva dos valores reais observados. Para análise das Tabelas 16, 17, 18 e 19 é possível verificar que todos os modelos apresentam coeficientes de variação baixos. A Tabela 20 apresenta uma comparação das previsões obtidas através dos diferentes modelos, onde são visíveis as melhorias alcançadas através da aplicação dos modelos de regressão hierárquicos, relativamente às previsões fornecidas pela consideração isolada da sondagem. Salientam-se os casos dos distritos de Beja, Castelo Branco, Évora, Leiria e Portalegre, sendo que alguns destes distritos são mesmo os que possuem menor tamanho de amostra na sondagem, como é exemplo Portalegre. A análise dos resultados obtidos salienta o Modelo 4 como a melhor opção, de entre os modelos definidos, para a melhoria das estimativas, quer a nível distrital, quer a nível de continente. Esta conclusão é fundamentada no menor erro obtido a nível da previsão continental, na presença do maior número de distritos dentro do intervalo de incerteza, encontrado através de simulações. Para além destas razões é, ainda, o modelo que apresenta o menor valor para o parâmetro DIC. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 61 Tabela 20 – Comparação modelos hierárquicos – resultados reais. Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3 Modelo 4 Sondagem Real Aveiro 0,3817 0,3969 0,3770 0,3836 0,3256 0,4109 Beja 0,3989 0,4010 0,3693 0,4054 0,2143 0,5101 Braga 0,4882 0,4993 0,4714 0,4807 0,4697 0,4542 Bragança 0,4622 0,4775 0,4484 0,4614 0,4000 0,4207 Castelo Branco 0,6555 0,6663 0,6430 0,6273 0,8125 0,5598 Coimbra 0,5453 0,5561 0,5401 0,5288 0,5769 0,4541 Évora 0,5919 0,5941 0,5644 0,5616 0,6667 0,4968 Faro 0,4846 0,4869 0,4592 0,4746 0,4444 0,4933 Guarda 0,5966 0,5921 0,5674 0,5627 0,6667 0,4670 Leiria 0,3400 0,3509 0,3148 0,3493 0,2308 0,3558 Lisboa 0,4439 0,4580 0,4433 0,4370 0,4351 0,4411 Portalegre 0,6514 0,6434 0,6180 0,6102 0,8750 0,5480 Porto 0,4382 0,4533 0,4458 0,4331 0,4412 0,4853 Santarém 0,5463 0,5590 0,5477 0,5352 0,5862 0,4614 Setúbal 0,4869 0,4954 0,4742 0,4771 0,4737 0,4371 Viana do Castelo 0,5166 0,5272 0,4971 0,5063 0,5000 0,4197 Vila Real 0,4705 0,4809 0,4424 0,4647 0,4118 0,4384 Viseu 0,5737 0,5848 0,5617 0,5601 0,6207 0,4040 Previsão Continente 0,4718 0,4832 0,4638 0,4637 0,4617 0,4514 Erro absoluto médio 0,0688 0,0721 0,0614 0,0571 0,1221 DIC 990 989,1 987,6 -3,14*10^12 Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 62 3.2 - Aplicação do EBLUP Nesta secção apresentam-se os resultados obtidos através da aplicação do método EBLUP. Foram definidos dois modelos, todos tomando como base a sondagem eleitoral utilizada na aplicação dos métodos descritos anteriormente e, como informação auxiliar, um utiliza os resultados eleitorais nas eleições de 1999, outro utiliza os resultados eleitorais nas eleições de 2002. A ideia inicial era a de utilizar outras sondagens, realizadas como mesmo alcance geográfico, para servirem de informação auxiliar na formulação dos modelos, no entanto, tal não foi contudo possível devido à inexistência/inacessibilidade das mesmas. Optou-se então por utilizar os resultados eleitorais, numa perspectiva exploradora e com a precaução de se saber de antemão que a intenção de voto muda consoante o tempo. Como se pode observar no Anexo III, o modelo utilizando como informação auxiliar os resultados eleitorais das eleições de 2002, considerando o modelo (2.16), pode ser definido da seguinte forma:   = 0 , 3067534 + 0 , 1398341 i  (3.18) Em que   é a previsão dada pelo modelo da proporção de votos no PS no distrito , e em que i  é a previsão obtida pela sondagem para o mesmo distrito. O modelo que utiliza como informação auxiliar os resultados eleitorais das eleições de 1999, considerando o modelo (2.16), pode ser definido como:   = 0 , 368645 + 0 , 1479796 i  (3.19) Em que   é a previsão dada pelo modelo da proporção de votos no PS no distrito , e em que i  é a previsão obtida pela sondagem para o mesmo distrito. Os resultados obtidos através da aplicação destes modelos estão representados nas Tabelas 21 e 22. O modelo obtido utilizando como informação auxiliar os resultados eleitorais de 1999 é o que obtém os melhores resultados, este facto deve-se à existência de tendências de voto similares nestas duas eleições, uma vez que a intenção de voto em Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 63 1999 era predominantemente PS (à semelhança de 2005) enquanto em 2002 era predominantemente PSD (ao contrário de 2005). Os coeficientes de variação obtidos são muito similares dentro de cada modelo, embora sejam relativamente mais baixos no caso do modelo com informação auxiliar de 1999, o que demonstra haver menos dispersão neste modelo. Note-se que o modelo que faz recurso de informação auxiliar relativa aos resultados eleitorais do ano de 2002, devido às diferenças nas intenções de voto entre as eleições de 2002 e de 2005, obtém resultados bastante imprecisos, quer a nível de distrito, quer a nível continental, dados comprovados pelo seu erro absoluto médio (0,0809), que, embora seja inferior ao da sondagem, não permite um aumento relevante na segurança das previsões. Pela análise da aplicação e dos resultados obtidos através deste método fica a ideia de extrema sensibilidade face à informação auxiliar existente. Caso esta seja semelhante aos dados a modelar, o modelo terá um bom ajuste ao conjunto de dados e obterá bons resultados como preditor em pequenos domínios. Caso a informação auxiliar seja bastante diferente dos dados a modelar, aumentam muito as hipóteses de um mau ajuste ao conjunto de dados e obtenção de maus resultados como preditor. A escolha da informação auxiliar para a aplicação deste método deve, portanto, ser feita de forma muito cautelosa, sendo que a escolha de informação semelhante ao conjunto de dados se traduzir em bons resultados enquanto a escolha de informação muito díspar dos dados em estudo se reflectirá provavelmente em maus resultados. Através dos Gráficos 6 e 7 é possível verificar as diferenças entre os dois modelos definidos. As previsões do modelo com informação auxiliar de 2002 (Gráfico 6) encontram-se muito deslocadas dos valores reais, enquanto as previsões do modelo com informação auxiliar de 1999 (Gráfico 7) estão mais aderentes em relação aos reais valores observados. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 64 Tabela 21 – Comparação modelo EBLUP 2002 – resultados reais. Estimativas com base na Inf Aux 2002 Distrito Freq. Rel PS Reais Diferença CV Aveiro 0,3523 0,4109 -0,0586 1,4161 Beja 0,3367 0,5101 -0,1734 1,4816 Braga 0,3724 0,4542 -0,0818 1,3395 Bragança 0,3627 0,4207 -0,0580 1,3755 Castelo Branco 0,4204 0,5598 -0,1394 1,1868 Coimbra 0,3874 0,4541 -0,0667 1,2877 Évora 0,4000 0,4968 -0,0968 1,2473 Faro 0,3689 0,4933 -0,1244 1,3524 Guarda 0,4000 0,4670 -0,0670 1,2473 Leiria 0,3390 0,3558 -0,0168 1,4715 Lisboa 0,3676 0,4411 -0,0735 1,3572 Portalegre 0,4291 0,5480 -0,1189 1,1626 Porto 0,3684 0,4853 -0,1169 1,3540 Santarém 0,3887 0,4614 -0,0727 1,2834 Setúbal 0,3730 0,4371 -0,0641 1,3375 Viana do Castelo 0,3767 0,4197 -0,0430 1,3245 Vila Real 0,3643 0,4384 -0,0741 1,3693 Viseu 0,3935 0,4040 -0,0105 1,2677 Previsão Continente 0,3718 0,4514 Erro Abs Médio 0,0809 Gráfico 6 – Comparação modelo EBLUP 2002 – resultados reais. 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Previsões Valores reais EBLUP Inf Aux 2002 Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 71 ⋅ Lunn, D.J., Thomas, A., Best, N., and Spiegelhalter, D. (2000) WinBUGS -- a Bayesian modelling framework: concepts, structure, and extensibility. Statistics and Computing, 10:325--337, http://www.mrc-bsu.cam.ac.uk/bugs/, acedido em 11 de Outubro de 2010. ⋅ Maroco, J. (2007). Análise Estatística com utilização do SPSS, 3ª Edição, Edições Sílabo. ⋅ Park, D., Gelman, A. And Bafumi, J. (2004), Bayesian Multilevel Estimation with Poststratification: State-Level Estimates from National Polls, in Political Analysis (2004) 12:375–385. ⋅ Pestana, M., Gageiro, J. (2005). Análise de Dados para Ciências Sociais, 4ª Edição. Edições Sílabo. ⋅ R Development Core Team (2010). R: A Language and Environment for Statistical Computing, R Foundation for Statistical Computing, http://www.rproject.org/index.html, acedido em 11 de Outubro de 2010. ⋅ Rao, C.R. (2003). Small Area Estimation. New Jersey: John Wiley and Sons. ⋅ Reis, E., Ferrão, F., Vicente, P. (2001). Sondagens. A amostragem como factor decisivo de qualidade, 2.ª Edição, Edições Sílabo. ⋅ Satorra, A., Ventura, E. (2006), Small-area estimation at idescat: current and related research, IDESCAT. ⋅ Sharma, S. (1996). Applied Multivariate Techniques, Willey. ⋅ Spiegelhalter, D. (2006). “Some DIC slides”, http://www.mrcbsu.cam.ac.uk/bugs/WinBUGS/DIC-slides.pdf, acedido em 10 de Outubro de 2010. ⋅ Snijders, T., Bosker, R. (1999), An Introduction to Basic and Advanced Multilevel Modeling, Sage Publications. Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 72 Anexo I Constituição do questionário No próximo domingo vão realizar-se eleições legislativas. Diga qual das seguintes frases se adapta melhor à sua intenção de ir votar? Gostava agora que me dissesse se considera que o CDS/PP muito, pouco ou nada competente para governar Portugal nos próximos quatro anos? Qual dos seguintes partidos está em melhores condições para tratar dos problemas do emprego em Portugal? Em relação ao PS diga se o considera muito, pouco ou nada competente para governar Portugal nos próximos quatro anos? Qual dos seguintes partidos está em melhores condições para tratar dos problemas da saúde em Portugal? Em relação ao PSD diga se o considera muito, pouco ou nada competente para governar Portugal nos próximos quatro anos? Com qual dos seguintes líderes partidários simpatiza mais? Em relação ao CDU diga se o considera muito, pouco ou nada competente para governar Portugal nos próximos quatro anos? Em relação ao BE diga se o considera muito, pouco ou nada competente para governar Portugal nos próximos quatro anos? A probabilidade de ir votar no próximo domingo é? Em qual dos seguintes partidos pensa votar no próximo domingo? Antes de terminar, gostaria que me dissesse em qual dos seguintes partidos votou nas eleições legislativas de 2002? Sexo Idade Distrito Exerce alguma actividade profissional? Em qual das seguintes situações se enquadra? Profissão Formação Académica Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 73 Anexo II Intervalos para os parâmetros dos modelos, obtidos através do WinBUGS. Estimativas parâmetros Modelo 1 obtidas com base nos resultados do WinBUGS. 80% interval for each chain R-hat -5 -5 0 0 5 5 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ b.0 b.sexo b.prof b.sexo.prof a.idade[1] [2] [3] [4] [5] [6] a.esc[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] a.idade.esc[1,1] [1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [1,6] [1,7] [1,8] [2,1] [2,2] [2,3] a.dis[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] sigma.idade sigma.esc sigma.idade.esc sigma.dis * * * array truncated for lack of space medians and 80% intervals b.0 -2 0 2 4 b.sexo -0.5 0 0.5 b.prof -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 b.sexo.prof -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 a.idade -0.5 0 0.5 111111111222222222333333333444444444555555555666666666 a.esc -1 0 1 2 111111111222222222333333333444444444555555555666666666777777777888888888 a.idade.esc -1 -0.5 0 0.5 1 111111111 111111111222222222333333333444444444555555555666666666777777777888888888222222222 111111111222222222333333333444444444555555555666666666777777777888888888333333333 111111111222222222333333333444444444555555555666666666777777777888888888444444444 111111111222222222333333333444444444555555555666666666777777777888888888555555555 111111111222222222333333333444444444555555555666666666777777777888888888 * a.dis -5 0 5 111111111222222222333333333444444444555555555666666666777777777888888888999999999101010101010101010 121212121212121212 141414141414141414 161616161616161616 181818181818181818 sigma.idade 0 0.2 0.4 0.6 sigma.esc 0 0.5 1 sigma.idade.esc 0 0.2 0.4 0.6 sigma.dis 0 0.5 1 deviance 940 950 960 970 980 Bugs model at "Bug22.M3.bug", fit using WinBUGS, 3 chains, each with 120000 iterations (first 60000 discarded) Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 74 Estimativas parâmetros Modelo 2 obtidas com base nos resultados do WinBUGS. 80% interval for each chain R-hat -5 -5 0 0 5 5 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ b.0 b.sexo b.prof a.idade[1] [2] [3] [4] [5] [6] a.esc[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] a.dis[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] sigma.idade sigma.esc sigma.dis medians and 80% intervals b.0 -4 -2 0 2 4 b.sexo -0.2 0 0.2 0.4 b.prof -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 a.idade -0.5 0 0.5 111111111222222222 333333333444444444 555555555666666666 a.esc -1 0 1 2 111111111222222222 333333333444444444 555555555666666666 777777777 888888888 a.dis -5 0 5 111111111222222222 333333333444444444 555555555666666666 777777777 888888888999999999101010101010101010 121212121212121212 141414141414141414 161616161616161616 181818181818181818 sigma.idade 0 0.2 0.4 sigma.esc 0 0.5 1 sigma.dis 0 0.5 1 deviance 950 960 970 980 990 Bugs model at "DoisBug22.M3.bug", fit using WinBUGS, 3 chains, each with 180000 iterations (first 90000 discarded) Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 75 Estimativas parâmetros Modelo 3 obtidas com base nos resultados do WinBUGS. 80% interval for each chain R-hat -2 -2 0 0 2 2 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ b.sexo a.idade[1] [2] [3] [4] [5] [6] a.dis[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] sigma.dis medians and 80% intervals b.sexo -0.2 0 0.2 0.4 a.idade -0.5 0 0.5 111111111 222222222 333333333 444444444 555555555 666666666 a.dis -2 0 2 111111111 222222222 333333333 444444444 555555555 666666666 777777777 888888888999999999101010101010101010 121212121212121212 141414141414141414 161616161616161616 181818181818181818 sigma.dis 0.2 0.4 0.6 0.8 deviance 960 970 980 990 Bugs model at "copiabugm2.M2.bug", fit using WinBUGS, 3 chains, each with 30000 iterations (first 15000 discarded) Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 76 Estimativas parâmetros Modelo 4 obtidas com base nos resultados do WinBUGS. 80% interval for each chainR-hat -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ 1 1.5 2+ b.0 b.sexo b.prof b.sexo.prof a.idade[1] [2] [3] [4] [5] [6] a.esc[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] a.idade.esc[1,1] [1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [1,6] [1,7] [1,8] [2,1] [2,2] [2,3] a.dis[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] sigma.idade sigma.esc sigma.idade.esc sigma.dis * * * array truncated for lack of space medians and 80% intervals b.0 -1 -0.5 0 0.5 b.sexo -0.5 0 0.5 b.prof -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 b.sexo.prof -0.05 0 0.05 0.1 a.idade -0.5 0 0.5 111111111222222222333333333444444444555555555666666666 a.esc -1 0 1 2 111111111222222222333333333444444444555555555666666666777777777888888888 a.idade.esc -1 -0.5 0 0.5 1 111111111 111111111222222222333333333444444444555555555666666666777777777888888888222222222 111111111222222222333333333444444444555555555666666666777777777888888888333333333 111111111222222222333333333444444444555555555666666666777777777888888888444444444 111111111222222222333333333444444444555555555666666666777777777888888888555555555 111111111222222222333333333444444444555555555666666666777777777888888888 * a.dis -2 -1 0 1 2 111111111222222222333333333444444444555555555666666666777777777888888888999999999101010101010101010 121212121212121212 141414141414141414 161616161616161616 181818181818181818 sigma.idade 0 0.2 0.4 0.6 sigma.esc 0 0.5 1 sigma.idade.esc 0 0.2 0.4 0.6 sigma.dis 0 0.2 0.4 0.6 0.8 deviance 940 960 980 1000 Bugs model at "CBug22.M3.bug", fit using WinBUGS, 3 chains, each with 1e+05 iterations (first 50000 discarded) Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 77 Anexo III Código utilizado para a definição dos modelos. Código R Regressão Multinível dados<-read.csv("base mrp ok.csv", header=T, sep=";") ine <-read.csv("Ine.csv", header=T, sep=";") #dadoselei<-read.csv("dadoslei.csv", header=T, sep=";") dadoselei<-read.csv("dadoslei2.csv", header=T, sep=";") attach (dados) set.seed(23) #seed.save = .Random.seed #.Random.seed = seed.save reselei<-dadoselei$X2005 #auxelei<-dadoselei$X2002 auxelei<-dadoselei$media n.dis<-max(dis) n.voto<-max(voto) n.idade<-max(idade) n.sexo<-max(sexo) n.esc<-max(esc) n.prof<-max(prof) n<-length(voto) library(arm) ____________________________ idade.esc <- n.esc*(idade-1) + esc v.prev <- auxelei[dis] M1 <- lmer (voto ~ sexo + prof + sexo:prof + v.prev + (1 | idade) + (1 | esc) + (1 | idade.esc) + (1 | dis), family=binomial(link="logit")) display (M1) coef(M1) M1 ranef(M1) data1 <- list ("voto", "sexo", "idade", "esc", "prof", "dis", "v.prev") inits1 <- function () {list(set.seed(23), b.0=rnorm(1), b.sexo=rnorm(1), b.prof=rnorm(1), b.sexo.prof=rnorm(1), a.idade=rnorm(n.idade), a.esc=rnorm(n.esc), Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 78 a.idade.esc=array (rnorm(n.idade*n.esc), c(n.idade,n.esc)), a.dis=rnorm(n.dis), sigma.idade=runif(1), sigma.esc=runif(1), sigma.idade.esc=runif(1), sigma.dis=runif(1)) } params1 <- c ("b.0", "b.sexo", "b.prof", "b.sexo.prof", "a.idade", "a.esc", "a.idade.esc", "a.dis", "sigma.idade", "sigma.esc", "sigma.idade.esc", "sigma.dis") M1.bugs <- bugs (data1, inits1, params1, "Bug22.M3.bug", n.chains=3, n.iter=120000, bugs.directory="c:/Programas/WinBUGS14/") attach.bugs (M1.bugs) linpred1 <- rep (NA, n) for (i in 1:n){ linpred1[i] <- mean (b.0 + b.sexo*sexo[i] + b.prof*prof[i] + b.sexo.prof*sexo[i]*prof[i]+ a.idade[,idade[i]] + a.esc[,esc[i]] + a.idade.esc[,idade[i],esc[i]]) } L1 <- nrow (ine) y.pred1 <- array (NA, c(n.sims, L1)) for (l in 1:L1){ y.pred1[,l] <- invlogit(b.0 + b.sexo*ine$sexo[l] + b.prof*ine$prof[l]+ b.sexo.prof*ine$sexo[l]*ine$prof[l] + a.idade[,ine$idade[l]] + a.esc[,ine$esc[l]] + a.idade.esc[,ine$idade[l],ine$esc[l]] + a.dis[,ine$dis[l]]) } y.pred.dis1 <- array (NA, c(n.sims, n.dis)) for (s in 1:n.sims){ for (j in 1:n.dis){ ok <- ine$dis==j y.pred.dis1[s,j] <- sum(ine$n[ok]*y.pred1[s,ok])/sum(ine$n[ok]) } } dis.pred1 <- array (NA, c(n.dis,3)) for (j in 1:n.dis){ dis.pred1[j,] <- quantile (y.pred.dis1[,j], c(.25,.5,.75)) } dis.pred.med1 <- array (NA, c(n.dis,2)) for (j in 1:n.dis){ dis.pred.med1[j,1] <- mean(y.pred.dis1[,j]) } dis.pred.med1 <- array (NA, n.dis) Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 79 for (j in 1:n.dis){ dis.pred.med1[j] <- mean(y.pred.dis1[,j]) } mean(abs(dis.pred.med1-reselei)) x<-c(0,0.5,1) plot(dis.pred.med1,reselei, xlim=c(0.2,0.8), ylim=c(0.2,0.8), xlab="Previsões", ylab="Valores Reais") lines(x,y=x, type="l") sum(dis.pred.med1*dadoselei$N)/sum(dadoselei$N) detach.bugs(M1.bugs) _______________________________ M2 <- lmer (voto ~ sexo + prof + (1|idade) + (1|esc) + (1 | dis)+ v.prev, family=binomial(link="logit")) display (M2) coef(M2) M2 ranef(M2) data2 <- list ("voto", "sexo", "idade", "esc", "prof", "dis", "v.prev") inits2 <- function () {list(set.seed(23), b.0=rnorm(1), b.sexo=rnorm(1), b.prof=rnorm(1), a.idade=rnorm(n.idade), a.esc=rnorm(n.esc), a.dis=rnorm(n.dis), sigma.idade=runif(1), sigma.esc=runif(1), sigma.dis=runif(1)) } params2 <- c ("b.0", "b.sexo", "b.prof", "a.idade", "a.esc", "a.dis", "sigma.idade", "sigma.esc", "sigma.dis") M2.bugs <- bugs (data2, inits2, params2, "DoisBug22.M3.bug", n.chains=3, n.iter=180000, bugs.directory="c:/Programas/WinBUGS14/") attach.bugs (M2.bugs) linpred2 <- rep (NA, n) for (i in 1:n){ linpred2[i] <- mean (b.0 + b.sexo*sexo[i] + b.prof*prof[i] + a.idade[,idade[i]] + a.esc[,esc[i]]) } L2 <- nrow (ine) Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 80 y.pred2 <- array (NA, c(n.sims, L2)) for (l in 1:L2){ y.pred2[,l] <- invlogit(b.0 + b.sexo*ine$sexo[l] + b.prof*ine$prof[l]+ a.idade[,ine$idade[l]] + a.esc[,ine$esc[l]] + a.dis[,ine$dis[l]]) } y.pred.dis2 <- array (NA, c(n.sims, n.dis)) for (s in 1:n.sims){ for (j in 1:n.dis){ ok <- ine$dis==j y.pred.dis2[s,j] <- sum(ine$n[ok]*y.pred2[s,ok])/sum(ine$n[ok]) } } dis.pred2 <- array (NA, c(n.dis,3)) for (j in 1:n.dis){ dis.pred2[j,] <- quantile (y.pred.dis2[,j], c(.25,.5,.75)) } dis.pred.med2 <- array (NA, c(n.dis,2)) for (j in 1:n.dis){ dis.pred.med2[j,1] <- mean(y.pred.dis2[,j]) } dis.pred.med2 <- array (NA, n.dis) for (j in 1:n.dis){ dis.pred.med2[j] <- mean(y.pred.dis2[,j]) } mean(abs(dis.pred.med2-reselei)) x<-c(0,0.5,1) plot(dis.pred.med2,reselei, xlim=c(0.2,0.8), ylim=c(0.2,0.8), xlab="Previsões", ylab="Valores Reais") lines(x,y=x, type="l") sum(dis.pred.med2*dadoselei$N)/sum(dadoselei$N) ___ M3<-lmer(voto ~ sexo+(1|idade)+(1|dis)+v.prev, family=binomial(link="logit")) display(M3) coef(M3) M3 ranef(M3) Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 87 a.idade.esc[j,k] <- xi.idade.esc*(a.idade.esc.raw[j,k] - mean(a.idade.esc.raw[,])) a.idade.esc.raw[j,k] ~ dnorm(0,tau.idade.esc.raw)}} for (j in 1:18) { a.dis[j] <- xi.dis*(a.dis.raw[j] - mean(a.dis.raw[])) a.dis.raw[j] ~ dnorm(a.dis.raw.hat[j],tau.dis.raw) a.dis.raw.hat[j] <- b.v.prev.raw*v.prev[j]} b.v.prev.raw ~ dnorm(0,.0001) tau.idade.raw <- pow(sigma.idade.raw, -2) tau.esc.raw <- pow(sigma.esc.raw, -2) tau.idade.esc.raw <- pow(sigma.idade.esc.raw, -2) tau.dis.raw <- pow(sigma.dis.raw, -2) sigma.idade.raw ~ dunif (0, 100) sigma.esc.raw ~ dunif (0, 100) sigma.idade.esc.raw ~ dunif (0, 100) sigma.dis.raw ~ dunif (0, 100) xi.idade ~ dunif (0, 100) xi.esc ~ dunif (0, 100) xi.idade.esc ~ dunif (0, 100) xi.dis ~ dunif (0, 100) sigma.idade <- xi.idade*sigma.idade.raw sigma.esc <- xi.esc*sigma.esc.raw sigma.idade.esc <- xi.idade.esc*sigma.idade.esc.raw sigma.dis <- xi.dis*sigma.dis.raw } Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 88 Código R EBLUP Packages (survey) Packages (sae2) # leitura ficheiros A<-read.csv("A.csv", sep=";") B<-read.csv("dadoslei.csv", sep=";", dec=".") # esta linha muda consoante se trate de informação auxiliar de 1999 ou de 2002 dmm<-cbind(data.frame (REG=1:18,DIREST=B$X2002, DESVAR=sd(A$voto), REGCOV)) dmmeblup<-EBLUP(DIREST~A, ~DESVAR, data=dmm) dmmeblup Resultados Para informação auxiliar de 2002: Call: EBLUP(formula = DIREST ~ A, varformula = ~DESVAR, data = dmm) Coefficients: [,1] [1,] 0.3067534 [2,] 0.1398341 Variance of the random effects: -0.4968843 Log likelihood: -2134.822 Para informação auxiliar de 1999: Call: EBLUP(formula = DIREST ~ A, varformula = ~DESVAR, data = dmm) Coefficients: [,1] [1,] 0.3686845 [2,] 0.1479796 Variance of the random effects: -0.4976865 Log likelihood: -3642.842 Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 89 Outros resultados sobre a variância > dmmeblup[] $coefficients [,1] [1,] 0.3686845 [2,] 0.1479796 $residuals [1] -0.0151638953 0.0669055929 0.0049099424 -0.0310763293 0.0280820937 [6] 0.0173426680 -0.0109375508 0.0492468005 0.0163624492 -0.0351336310 [11] -0.0070652236 0.0147333699 0.0458303939 -0.0004311477 -0.0022800878 [16] -0.0407742873 -0.0220172655 -0.0785338919 $fitted.values [1] 0.4168639 0.4003944 0.4381901 0.4278763 0.4889179 0.4540573 0.4673376 [8] 0.4344532 0.4673376 0.4028336 0.4330652 0.4981666 0.4339696 0.4554311 [15] 0.4387801 0.4426743 0.4296173 0.4605339 $randeff [1] 6.3123831 -27.8512695 -2.0438968 12.9363658 -11.6899339 -7.2193564 [7] 4.5530525 -20.5003177 -6.8113137 14.6253277 2.9410912 -6.1331652 [13] -19.0781457 0.1794770 0.9491485 16.9734041 9.1652845 32.6918647 $varcoeff (Intercept) A [1,] 0.0006438184 -0.001135726 [2,] -0.0011357260 0.002233941 $varsigma2u [1] 1.588196e-07 $sigma2u [1] -0.4976865 $g1 [1] -207.6732 -207.6732 -207.6732 -207.6732 -207.6732 -207.6732 -207.6732 [8] -207.6732 -207.6732 -207.6732 -207.6732 -207.6732 -207.6732 -207.6732 [15] -207.6732 -207.6732 -207.6732 -207.6732 $g2 [1] 24.56504 45.21164 12.14764 16.13541 47.53726 13.39174 21.30882 13.15592 [9] 21.30882 41.54586 13.65678 63.84279 13.32266 13.92020 12.03378 11.59253 [17] 15.19718 16.47006 Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 90 $g3 [1] 23.13023 23.13023 23.13023 23.13023 23.13023 23.13023 23.13023 23.13023 [9] 23.13023 23.13023 23.13023 23.13023 23.13023 23.13023 23.13023 23.13023 [17] 23.13023 23.13023 $g1biascorrd [1] 1.272709 1.272709 1.272709 1.272709 1.272709 1.272709 1.272709 1.272709 [9] 1.272709 1.272709 1.272709 1.272709 1.272709 1.272709 1.272709 1.272709 [17] 1.272709 1.272709 $mse [1] -138.12040 -117.47379 -150.53780 -146.55003 -115.14818 -149.29369 [7] -141.37662 -149.52951 -141.37662 -121.13958 -149.02866 -98.84265 [13] -149.36278 -148.76524 -150.65165 -151.09290 -147.48826 -146.21537 $eblup [1] 6.7292470 -27.4508751 -1.6057068 13.3642421 -11.2010160 -6.7652991 [7] 5.0203900 -20.0658645 -6.3439762 15.0281614 3.3741564 -5.6349986 [13] -18.6441761 0.6349081 1.3879286 17.4160784 9.5949018 33.1523985 $method [1] "ML" $coef [,1] (Intercept) 0.3686845 A 0.1479796 $rank [1] 2 $call EBLUP(formula = DIREST ~ A, varformula = ~DESVAR, data = dmm) $Z Matrix of dimension 18x18 with (row-wise) nonzero elements: [1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Class 'spam' $desvar [,1] [1,] 0.498882 [2,] 0.498882 [3,] 0.498882 [4,] 0.498882 [5,] 0.498882 [6,] 0.498882 Estimação em Estratos Sub-representados no Contexto das Sondagens Eleitorais - Uma Comparação de Métodos 91 [7,] 0.498882 [8,] 0.498882 [9,] 0.498882 [10,] 0.498882 [11,] 0.498882 [12,] 0.498882 [13,] 0.498882 [14,] 0.498882 [15,] 0.498882 [16,] 0.498882 [17,] 0.498882 [18,] 0.498882