Matemática Experimental

MATEMÁTICA EXPERIMENTAL Às Professoras Maria Carvalho e Maria Dedò, pelo apoio e pela disponibilidade que sempre demonstraram, pelo muito que me ensinaram, pelas ideias e sugestões dadas e pelo vasto trabalho de revisão. À Professora Maria Carvalho e ao Centro de Matemática da Universidade do Porto, pelo apoio logístico, nomeadamente proporcionando-me condições para deslocações ao estrangeiro no âmbito da tese. À Associação Atractor – Matemática Interactiva, pela disponibilidade em ceder imagens do seu espólio. Ao Professor Manuel Arala Chaves, pelas conversas sobre questões matemáticas (e mathematicas) ligadas à dissertação. RESUMO Esta tese contém material original para a divulgação e a aprendizagem informal da Matemática, apresentado em três formatos: ● um livro ilustrado, inspirado no espólio da exposição Matemática Viva, uma mostra que esteve patente durante dez anos no Pavilhão do Conhecimento e é da autoria da Associação Atractor – Matemática Interactiva; ● a publicação, em revistas de divulgação, de quatro artigos sobre alguns dos temas analisados no ponto anterior; ● a construção de um módulo interactivo e virtual, acompanhado de um compêndio técnico com informação matemática, sobre um tipo específico de mecanismos (quadriláteros e pentágonos articulados) e respectivos espaços de configuração (curvas e superfícies). SUMMARY This thesis contains original material for the promotion and the informal learning of Mathematics, presented in three formats: ● an illustrated book, inspired by the contents of the exhibition Matemática Viva (Mathematics Alive) which has been on display for ten years at Pavilhão do Conhecimento (Pavillion of Knowledge) and is authored by Associação Atractor – Matemática Interactiva; ● the publication, in journals devoted to the popularization of Mathematics, of four articles on topics addressed in the previous item; ● the construction of an interactive virtual module, accompanied by a technical textbook with mathematical information, on a particular type of mechanisms (quadrilateral and pentagonal linkages) and their corresponding configuration spaces (curves and surfaces). RÉSUMÉ Cette thèse contient du matériel originel approprié à la divulgation et à l'apprentissage informel de la Mathématique, présenté en trois formats: ● un livre illustré, inspiré dans les contenus de l'exposition Matemática Viva (Mathématiques Vivantes), qui est restée ouverte au public pendant dix ans au Pavilhão do Conhecimento (Pavillon de la Connaissance) et a été conçue et créée par l'Associação Atractor - Matemática Interactiva; ● la publication, dans des revues de divulgation, de quatre articles sur des thèmes analysés dans le contexte mentionné au point précédent; ● la construction d'un module interactif et virtuel, accompagné par un texte technique contenant des informations mathématiques, sur un type spécifique de mécanismes (quadrilatères et pentagones articulés) et les espaces de configuration correspondants (courbes et surfaces). MATEMÁTICA EXPERIMENTAL Esta é uma tese em Divulgação da Matemática. Com as diversas contribuições e perspectivas neste âmbito que têm surgido no país, o investimento das editoras em obras deste teor, as múltiplas análises estatísticas ou sociológicas de impacto e a diversidade de estratégias por que os divulgadores podem optar, a catalogação de uma tese em Divulgação admite, hoje em dia, várias acepções. Cabe, portanto, aqui um esclarecimento prévio. O plano proposto para esta dissertação foi o de elaborar material original para a divulgação da Matemática em três formatos distintos: ● a redacção de um livro ilustrado para um público apenas familiarizado com Matemática básica; ● a publicação em revistas de divulgação, cujos leitores são maioritariamente professores ou alunos universitários de Matemática, de artigos curtos sobre temas criteriosamente escolhidos; ● a construção de um módulo interactivo, sobre um tema avançado mas apresentado num estilo elementar e através de dois percursos de dificuldade distinta, acompanhado de um compêndio técnico com informação matemática adicional. Espero ter produzido conteúdo de divulgação que perdure e venha de facto a ser utilizado para que o seu impacto na comunicação informal da Matemática possa ser mais tarde avaliado. O trabalho de popularização das ciências exige uma escolha ponderada de conteúdo, de registo e de abordagem. Logo, a uma obra académica nesta área, pede-se uma eficiência exemplar na comunicação. Por isso, nas duas componentes desta dissertação, ― a escrita, inspirada no espólio da exposição Matemática Viva, − a interactiva, em que se construiu um módulo original, houve que previamente clarificar os objectivos e o público-alvo, que perseverar no esforço de usar uma linguagem acessível mas rigorosa (isto é, correcta mas sem excessivo pendor técnico), e que assegurar um discurso cuidado, elucidativo e convincente, que estimulasse a curiosidade e promovesse a Matemática de modo inovador e atraente. A Matemática, tida por uma vasta maioria da população como compreensível apenas por alguns poucos talentosos, quase sem uma presença regular na imprensa nem a tradição de manter o público informado sobre as suas descobertas e aplicações, coloca dificuldades acrescidas ao divulgador. Nomeadamente: 1. Que critérios usar na selecção de temas? Decidir sempre pelo que é mais simples e de leitura imediata não convém a um público que também aprecia desafios e quer ter uma participação activa na sua aprendizagem. A promoção da Matemática, recorrendo a diferentes canais (publicações, exposições, jogos, programas de computador, filmes, etc), conta actualmente com inúmeros adeptos e valiosos contributos que são fonte inestimável de inspiração. Contudo, a motivação mais relevante para esta tese surgiu na exposição Matemática Viva, a maior exposição com espólio matemático alguma vez realizada em Portugal. Inaugurada em 2000, para assinalar o Ano Mundial da Matemática, esteve patente até Agosto de 2010 em Lisboa e é da autoria da Associação Atractor 1 . Recebeu um número elevado de visitantes - segundo os dados do Pavilhão do Conhecimento, mais de dois milhões - e tem sido elogiada e citada, tanto a nível nacional como internacional 2 ([C]). Tendo tido o privilégio de trabalhar, em regime de destacamento, na Associação Atractor desde o seu início, estive directamente envolvida na concepção e 1 http:\www.atractor.pt 2 [C] Crato, N., A Matemática das Coisas, Gradiva, 2008. realização desta mostra, que se manteve aberta ao público durante dez anos e cujos módulos, recentemente devolvidos à Associação Atractor, acusam um desgaste considerável. Por isso, considerei ser este o momento indicado para o registo em livro (que não um mero catálogo) do conteúdo de alguns dos módulos da exposição, que legue a gerações vindouras um testemunho da sua inegável qualidade. Na impossibilidade de analisar aprofundadamente todos os módulos, dado o seu elevado número (cerca de setenta), escolhi os que têm uma ligação inequívoca ao currículo académico em vários níveis de ensino das ciências no país e os que parecem criar naturalmente empatia no público, não deixando de diversificar o leque de assuntos e, sempre que desejável, de enfatizar as aplicações à vida real. 2. A que público serve este trabalho? Certamente deseja-se que seja apreciado pelos especialistas, mas é sobretudo ao público geral, apenas com uma formação básica em Matemática, que se dirige. Porém, sendo este um público anónimo, foi preciso adequar o discurso científico nas várias instâncias da tese aos conhecimentos de uma plateia ideal. Foram estas as minhas opções: (a) O livro Matemática Experimental: alguns exemplos foi pensado para um leitor com alguma familiaridade com a Matemática, pelo menos a que é tida como adquirida no fim do terceiro ciclo do ensino obrigatório. (b) Os artigos Matemática nel calcio, Con un giro di ruota e O que é uma cónica? dirigem-se a um público mais vasto, amador embora atento à divulgação das ciências. (c) O artigo Estradas para rodas exóticas é mais especializado mas pode ser entendido por um aluno universitário de Matemática. (d) O módulo interactivo Movimento e Forma destina-se a utilizadores genuinamente interessados numa das características essenciais da Matemática que é uma das chaves para o seu sucesso: a habilidade em utilizar conceitos e métodos simples e intuitivos (como o movimento de um sistema articulado) para entender noções abstractas (como a de curva ou de superfície) e as generalizar. Oferece dois percursos, o facultativo mais exigente quanto à formação matemática prévia do utilizador, o principal acessível a todos. (e) O compêndio que complementa o módulo virtual é um texto matemático sobre o transporte de conceitos geométricos do plano e do espaço, familiares a quase todos, para conjuntos em que os pontos e as distâncias representam outra coisa mais geral e admitem outras interpretações (como explica sabiamente o autor de [F] 3 ). Os argumentos utilizados no texto são elementares mas só beneficiam quem já treinou utilizar o que aprendeu para descobrir matemática nova. 3. Qual a abordagem mais eficiente? Se num módulo interactivo é possível guiar a aprendizagem e assegurar certas metas, e um livro competente pode ser um veículo muito eficaz para transmitir informação científica elementar, a verdade é que o bom desempenho destes meios depende essencialmente do utilizador. Sem o autor ao lado como interlocutor para esclarecer dúvidas ou verificar conclusões, há que prever as reacções do público, conjecturando sobre as questões e comentários que a obra de divulgação nele suscitará. Este foi sem dúvida o aspecto que exigiu mais zelo e empenho, e o que comportou maior risco. Sobre as dificuldades em formalizar conceitos e ideias matemáticas num vocabulário acessível, por vezes de natureza contaminada e estranha à Matemática, procurei seguir o conselho de Euler [E] 4 . Numa carta em que discursa sobre a natureza da linguagem e a sua importância na comunicação do pensamento e na disseminação do saber, diz: 3 [F] Ferri, M., Geometria da esportazione, Xla Tangente, Nº 6, 50-56, Novembro de 2007. 4 [E] Euler, L., Letters to a German princess, Thoemmes Press, 1997. "(...) what idea is excited in the mind on hearing the particle and, or also, pronounced? It is readily seen that these words import a species of connection but, take what pains you please to describe this connection, you will find yourself under the necessity of employing other words, whose signification it would be equally difficult to explain; and if I were to attempt an explanation of the import of the particle and, I must make frequent use of that very particle." 4.Conteúdo A primeira secção desta dissertação, Matemática experimental: alguns exemplos, refere-se a parte do espólio da exposição Matemática Viva, analisa as actividades propostas nesse âmbito, a Matemática envolvida e a que se pretendeu veicular, e discute as suas conexões com outros capítulos desta e de outras ciências. Parte do trabalho de pesquisa desenvolvido na primeira secção esteve na base da redacção de quatro artigos publicados em revistas de Divulgação da Matemática, e que constituem a segunda secção desta dissertação, que intitulámos Publicações. A terceira secção, Materiais interactivos para a divulgação da Matemática, apresentada na forma de um CD e de um documento impresso, centra-se no módulo virtual Movimento e forma. O objectivo principal é o de apresentar a um público geral noções topológicas e geométricas a partir do movimento de sistemas de hastes articuladas, usando páginas html e mais de cem animações interactivas realizadas com o programa Mathematica 5 . Contrariamente ao que se passa com programas de Geometria Dinâmica (como o Cinderella), o Mathematica não inclui rotinas próprias adequadas à descrição do movimento de sistemas articulados no plano e funciona essencialmente com base em construções algébricas. Estas características obrigaram-me a redesenhar o movimento de sistemas articulados em termos de Geometria Analítica. Todavia, a preferência pelo Mathematica deveu-se à possibilidade de associar os mecanismos a superfícies (ainda que a sua parametrização tivesse de ser feita de raiz por mim) e de construir figuras com 5 http:\www.wolfram.com particular, includes a method for the construction of all closed, orientable, connected and compact surfaces as configuration spaces of mechanisms. This section also contains a printed document with scientific explanations of the different results presented informally in the virtual module. This is a technical text which resulted primarily from the need to understand the functioning of the mechanisms, to clarify the genesis of the configuration spaces and create a mathematical vocabulary suitable to render unequivocally the movement and positions of the articulated systems into the shape and topology of the configuration spaces. Furthermore, the available bibliography on the subject of this part of the thesis is scarce and uses arguments that are not suitable for a non-specialist audience. Therefore, it was necessary to innovate in the presentation of this subject. However, only after having acquired a thorough understanding at a formal level could I distinguish the dispensable from the essential details and then select the ones suitable for a communication of this topic in an informal register. Due to this very experience, I have it for certain that a solid knowledge of the contents to be conveyed is indispensable for the task, which is also the promoter’s duty, of deconstructing formal arguments and developing a type of speech where the ideas, objects and reasoning emerge as elementary, accessible to an audience unfamiliar with the science in question. The result of that search is an original contribution for the understanding and visualization of the configuration spaces of articulated quadrilaterals and pentagons, and, I believe, proves to be an enthralling and pervious route through Topology up to surfaces. MATEMÁTICA EXPERIMENTAL        SECÇÃO 1 MATEMÁTICA EXPERIMENTAL À Associação Atractor - Matemática Interactiva, pela cedência de imagens, por ter permitido a exibição, neste livro, de parte do seu vastíssimo espólio assim como ter aceite e apoiado a utilização da sua obra como objecto de estudo neste livro. Às Professoras Maria Carvalho e Maria Dedò, um forte agradecimento pela revisão do livro e pelos inúmeros conselhos e sugestões. As correcções foram preciosas, mas apenas à autora cabe a responsabilidade pelos erros que possam eventualmente existir. À Alexandra Faria e ao Professor Paulo Ventura Araújo, pelas fotografias cedidas. A todos os que de alguma forma colaboraram para a concretização deste livro, em particular, à minha mãe. Por fim, um agradecimento especial ao Professor Arala Chaves, com quem, após treze anos de trabalho na Associação Atractor, continuo sempre a aprender. Índice Prefácio ........................................................................................... i Índice dos capítulos ........................................................................................... 1 Capítulo I Poliedros ao espelho ......................................................... 2 O módulo .......................................................................1. 8 Para saber mais ..............................................................2. 36 Geométrica Esférica ...............................................3. 36 Capítulo II À volta da roda ................................................................. 41 A Matemática do futebol ..................................................1. 46 Rodas de largura constante ..............................................2. 52 Para saber mais ..............................................................3. 66 Ângulos versus cordas ...........................................4. 67 Rodas exóticas ......................................................5. 69 Capítulo III Cónicas e bilhares ............................................................. 78 O que é uma cónica? .......................................................1. 82 Descrição métrica ...........................................................2. 84 Definições equivalentes ....................................................3. 92 Aplicações ......................................................................4. 98 Os módulos ....................................................................5. 102 Cónicas no dia-a-dia ........................................................6. 108 Dois módulos, uma superfície ...........................................7. 112 Para saber mais ..............................................................8. 117 Equações .............................................................9. 117 Uma roda muito especial ........................................10. 117 Capítulo IV Jogos e fractais ................................................................. 119 O módulo .......................................................................1. 123 Jogando noutros polígonos ...............................................2. 131 Para saber mais ..............................................................3. 133 Conjunto ternário de Cantor ...................................4. 133 Idioma dos números ..............................................5. 136 Base 3 .................................................................6. 137 Infinito ................................................................7. 141 Um jogo ..............................................................8. 142 Breve digressão por fractais ....................................9. 147 Conjunto de Mandelbrot ........................................10. 154 Bibliografia 157 Ficha Técnica 159 Prefácio i Os tempos em que as descobertas e experiências científicas eram apenas acessíveis a um mundo restrito de especialistas pertencem ao passado. Actualmente é enorme, e francamente popular, o repertório de notícias e actividades propostas em museus, centros interactivos, instituições universitárias, revistas científicas ou jornais de circulação geral, no sentido da vulgarização das conquistas em Ciência. A Matemática, acusada de ser fonte de insucesso escolar, de se reduzir à aritmética e de ser um mero instrumento das outras ciências, essas sim úteis, é por muitos vista como uma área de difícil popularização. Cremos, contudo, que quase todos podem, de facto, compreender e surpreender-se agradavelmente com ideias matemáticas simples, e que o seu interesse pode ser estimulado se devidamente guiado nessa exploração do valor intrínseco do edifício matemático. E é essa a tarefa a que nos propomos neste livro: conduzir o leitor numa breve digressão por essa vasta estrutura de saberes e de aplicações que genuinamente o entusiasme. O mapa dessa visita resume-se a quatro capítulos de exploração independente, mas há em muitas esquinas indicação de referências com informação complementar cuja leitura se aconselha. A redacção de um texto de divulgação é uma tarefa árdua, mesmo havendo na literatura inúmeras fontes de inspiração e ensinamento. Não se trata apenas de apresentar ciência, mas de o fazer de um modo criativo e com um mínimo de originalidade. É preciso cativar os leitores, que não estão obrigados a um esforço de compreensão que julgamos natural pedir a alunos numa aula ou a uma audiência de especialistas. Além disso, um livro não é interactivo, e o divulgador tem de saber como manter, apenas através do texto, o interesse do seu leitor. Acresce que, apesar de se tratar, em geral, de textos com conteúdo matemático elementar, essa natureza não pode comprometer o seu rigor e correcção, e a linguagem utilizada tem de conjugar qualidade científica com facilidade de leitura. Ora este é um equilíbrio difícil de atingir. Exemplos há em que, supondo que o leitor não entenderá, se omitem termos técnicos, se dão exemplos pouco credíveis, tornando o texto impreciso e sujeito a interpretações ambíguas. Ocasionalmente, mas com idêntico insucesso na comunicação, opta-se por um estilo completo e pormenorizado, que fundamenta exaustivamente tudo o que se afirma: o leitor, se terminar a leitura, sai informado mas nem sempre convencido ou seduzido pelo que leu. A escolha dos temas é outro problema para quem divulga, pois não pode guiar-se apenas pelo seu gosto pessoal. Como intermediário entre quem faz ciência e o público que se pretende entusiasmar, precisa de conhecer mais do que conta para decidir quando abandonar o tom generalista e introduzir tópicos especializados; de se empenhar na ilustração, com imagens de qualidade e esquemas elucidativos que agilizem a leitura; e de saber quando fazer uma pausa para reflectir com o leitor sobre a relevância do que ele está a ler. Tendo tido o privilégio de trabalhar, desde a sua génese em 1998, no Atractor, uma associação pioneira em Portugal no seu objectivo de promover e divulgar a Matemática, a autora pôde acompanhar e co-organizar inúmeras acções de divulgação, em particular uma das mais grandiosas: a exposição Matemática Viva, inaugurada em 2000 para comemorar o Ano Mundial da Matemática e que afinal esteve patente cerca de dez anos no Pavilhão do Conhecimento. Esta mostra serviu de mote para a redacção deste livro e não apenas pela sua dimensão (mais de 70 módulos, o que por si só justifica o registo do seu espólio para memória futura), ou pelo seu êxito (estima-se, pelos dados do Pavilhão do Conhecimento, que recebeu cerca de dois milhões de visitantes). O mérito desta exibição de Matemática assentou na notável diversidade dos módulos e no seu grande valor educativo. Contudo, este livro não é um mero catálogo da exposição entretanto encerrada. Com ele, apresentamos ideias e métodos matemáticos de áreas e níveis diversos, inspiradas pelos módulos da exposição mas não se reduzindo ao seu conteúdo, tentando não poupar detalhes pertinentes ou escamotear subtilezas de teor científico. Esperamos que o nosso empenho neste contributo para a divulgação da Matemática seja proporcional ao entusiasmo que suscite no leitor. No âmbito do trabalho de pesquisa que antecedeu a redacção deste livro, a autora contactou a Agência Nacional Ciência Viva, solicitando dados de teor estatístico recolhidos pelo Pavilhão do Conhecimento ao longo de quase uma década de visitas à exposição Matemática Viva. Teria sido interessante e revelador conhecer a opinião dos vários tipos de visitantes sobre a importância desta mostra, nomeadamente: a facilidade em aceder ao conteúdo dos módulos e as dificuldades em resolver os desafios propostos; a qualidade dos guiões de apoio; os comentários e críticas dos profissionais envolvidos na monitorização e manutenção do espólio; a robustez do material interactivo; as vantagens pedagógicas deste tipo de popularização da ciência; a utilização da informação matemática veiculada na exposição, ou suscitada por ela, em eventos escolares ou noutros centros de promoção de ciência; a adequação dos temas escolhidos aos objectivos desta iniciativa; o impacto no conhecimento matemático de um público vasto que se pretendeu entusiasmar em ambiente não académico. Contudo, tal informação nunca foi disponibilizada e, por isso, os aspectos sociológicos desta exposição não puderam ser analisados ou tidos em conta neste texto. ii Índice 1 01 Poliedros ao espelho 02 À volta da roda 03 Cónicas e bilhares 04 Jogos e fractais Juntemos três espelhos triangulares num vértice e coloquemos entre eles um objecto. Obtemos uma imagem tridimensional que nos impressiona pela simetria que exibe. O que significa matematicamente esta afirmação? A circunferência é o conjunto de pontos do plano que distam o mesmo de um ponto fixado. Mas esta não é a única propriedade que só esta curva satisfaz. Ponderaremos, usando jogadas de futebol e um carrinho com rolamentos bizarros, sobre outros modos de a caracterizar. A dinâmica das bolas num bilhar depende essencialmente do formato da mesa. Apresentaremos aqui os casos especiais de bilhares cujo bordo é uma cónica, curvas que observamos no movimento dos astros ou na sombra de uma vara na vertical. Num jogo não interessa apenas ganhar. Como veremos, maior comprazimento se pode retirar do conhecimento de estratégias vencedoras, da matemática a elas associada e dos objectos surpreendentes que o conjunto de jogadas admitidas pode criar. 01 Poliedros ao espelho 2 O que esperamos obter nestes objectos espelhados? Num primeiro momento, é natural o utilizador explorar livremente o caleidoscópio, colocando arbitrariamente diferentes formas e visualizando o efeito conseguido (como ilustrado ao lado). Embora as imagens obtidas no caleidoscópio sejam diferentes entre si, rapidamente se aperceberá que, independentemente do objecto lá colocado, essas imagens têm algo de semelhante, existe o que nos parece ser uma estrutura comum. Testando essa impressão com outros objectos, e de uma forma totalmente experimental, reforçamos a nossa intuição de que todas as figuras visíveis no caleidoscópio são simétricas, embora, nesta fase, talvez não tenhamos ainda uma ideia clara sobre o que isso significa. Analisando as figuras ao lado, verificamos que, em ambos os casos, se formam 6 anéis de 8 bolinhas/palhinhas verdes, 8 anéis de 6 bolinhas/palhinhas amarelas e 12 anéis de 4 bolinhas/palhinhas vermelhas (e observe que 6x8=8x6=12x4=48). A forma como esses anéis se distribuem no espaço é também muito semelhante nas duas imagens. A simples constatação de que se formam, respectivamente, anéis de 8, 6 e 4 bolas em torno de cada par de espelhos pode levar-nos desde já a tirar uma conclusão pertinente quanto à amplitude dos ângulos dos espelhos. Comecemos por observar as imagens apresentadas na próxima página. O módulo Poliedros ao espelho 01 9 No mesmo caleidoscópio, cobrindo outro espelho, é seis o número de bolinhas visíveis. Procedimento análogo para o terceiro espelho: o número de bolinhas é agora 4. No caleidoscópio do cubo, um dos espelhos foi tapado e colocou-se uma única bolinha: forma-se um anel com oito bolinhas à volta do par de espelhos visíveis. O módulo 10 1.9 1.10 1.11 1.9 1.10 1.11 A figura 1.9, ao lado, representa a imagem obtida no caleidoscópio do cubo quando lá foi colocada uma bolinha e um dos espelhos foi tapado com uma placa de cortiça. Observando a imagem, que conclusão se tira quanto à amplitude dos ângulos entre o par de espelhos não escondidos? Uma vez que em torno desses espelhos é visível um anel constituído por 8 bolinhas, a amplitude é de 360º/8, ou seja, 45º. E quais são as amplitudes dos ângulos entre os outros pares de espelhos? Na figura 1.10, alterou-se a posição da placa de cortiça, tapando-se um outro espelho. A amplitude, deduzimos como anteriormente, é agora de 360º/6, isto é, 60º. Finalmente, observando a imagem 1.11, concluímos que a amplitude do ângulo entre o último par de espelhos é de 90º (360º/4). Vimos já que o caleidoscópio do cubo é constituído por três espelhos e determinámos os ângulos entre esses espelhos, mas, até ao momento, ainda não foi indicado qualquer motivo para este caleidoscópio estar relacionado com um cubo. Em ambas as exposições, ao lado do caleidoscópio, encontram-se algumas peças que o acompanham. Escolhendo a peça representada na figura 1.12 e colocando-a dentro do caleidoscópio é desvendado o motivo para a designação “caleidoscópio do cubo“. Na próxima página encontram-se algumas imagens virtuais de fases distintas do processo de inserção da peça, até, no fim, se obter o cubo. No final, o cubo visível parece fragmentado em várias pirâmides triangulares iguais (página seguinte). Quantas são? E por que é que a peça do cubo tem uma forma tão peculiar? Poliedros ao espelho 01 11 fig 1.12 No caleidoscópio do cubo foi colocada uma pirâmide triangular azul - fig 1.13. As restantes imagens correspondem a fases distintas do processo de inserção da peça no caleidoscópio; na última figura obteve-se o cubo. O módulo 12 1.14 1.13 1.15 1.16 Observando que em cada face do cubo desembocam 8 pirâmides e o cubo tem 6 faces, concluímos que o número de pirâmides é (mais uma vez!) 48. Percebe-se agora que a recorrência com que o número 48 aparece associado a este caleidoscópio não é uma mera coincidência. Qualquer objecto que coloquemos neste caleidoscópio será replicado 48 vezes. E como explicar as formas da peça e do caleidoscópio do cubo? Como vimos, o cubo pode ser fragmentado em 48 pirâmides iguais. Isso acontece quando ele é intersectado simultaneamente por 9 planos distintos; ora esses 9 planos não são mais do que todos os planos de simetria do cubo (fig 1.25). Se isolarmos uma das pirâmides – por exemplo, a pirâmide ao lado - podemos confirmar que a peça do cubo tem a forma desta pirâmide. Acresce que, se retirarmos a face representada a azul na figura ao lado, obtemos um triedro com a forma do caleidoscópio do cubo. Compreende-se agora o resultado a que chegámos, experimentalmente, quanto à amplitude dos ângulos entre os lados espelhados do caleidoscópio do cubo. Retirando a base à pirâmide obtida (fig 1.19) - a azul - e calculando os ângulos entre as restantes faces concluímos que: - as faces F1 e F2 (fig 1.20) são perpendiculares ao plano da base e, portanto, o ângulo (diedral) entre elas é igual à amplitude do ângulo (no plano) resultante da sua intersecção com o plano da base, que é 360º/8, ou seja 45º. Poliedros ao espelho 01 13 fig. 1.17 fig. 1.18 fig. 1.19 fig. 1.20 O módulo 14 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 As faces F1 e F3 fazem um ângulo de 90º: basta observar que a recta r é perpendicular a F1. 1.21 Representação das faces F2 e F3. 1.22 A face F2 está contida em a, que tem como vector normal v. 1.23 A face F3 está contida em b, que tem como vector normal u. 1.24 Planos de simetria do cubo. 1.25 - Como o plano que contém F3 contém também a recta r e esta é uma recta perpendicular a F1 (fig 1.21), conclui-se que F3 e F1 são perpendiculares entre si. - Por fim, para encontrarmos o terceiro ângulo (fig 1.22), note-se que a face F2 está contida no plano a (fig 1.23), pelo que tem como vector normal o vector v, de coordenadas (0,-1,1). Analogamente, a face F3 está contida no plano b (fig 1.24) e tem vector normal com coordenadas (-1,0,1). Se a designa a amplitude do ângulo entre u e v, sabemos que u.v = |u||v| Cos(a) onde u.v designa o produto interno usual no espaço. Logo, 1=2 Cos(a), de onde se deduz que a é igual a 60º. O caleidoscópio do cubo pode ser utilizado para produzir uma panóplia de diferentes imagens tridimensionais, mas aqui apenas referiremos um tipo de entidades: os poliedros. Mas, o que é um poliedro? Um poliedro é uma região do espaço delimitada por uma união finita de polígonos (as faces) costurados de modo que cada par de faces, se se intersectam, fazem-no ao longo de uma aresta inteira ou de um vértice, e tal que o conjunto se pode deformar numa bola. O leitor estará naturalmente a questionar-se se é possível obter neste caleidoscópio outros poliedros que não o cubo. Poliedros ao espelho 01 15 O módulo 16 1.26 Aplicando o processo que já utilizámos - que se resume a intersectar o poliedro com todos os seus planos de simetria e isolar uma das partes - aos dois poliedros representados abaixo (octaedro e dodecaedro rômbico), fragmentamo-los também em 48 pirâmides iguais. Tal como o cubo, cada um deles pode ser reconstituído no caleidoscópio a partir de uma dessas pirâmides. Na realidade, este caleidoscópio permite produzir uma infinidade de poliedros diferentes. Ao lado estão listados os que se podem observar na exposição Simetria, jogos de espelhos. E nas duas páginas seguintes encontram-se fotografias de algumas dessas imagens. Poliedros ao espelho 01 17 Peça e imagem do dodecaedro rômbico Peça e imagem do octaedro 18 1.27 1.27 1.28 1.27 Dois poliedros construídos no caleidoscópio do cubo: o 3,4,4,4 e o 3,4,3,4. 1.28 Uma stella octangula e um composto de um cubo e de um octaedro construídos no caleidoscópio do cubo. Uma simetria de uma figura é uma isometria que deixa a figura invariante. É preciso especial cuidado com o significado a atribuir à palavra invariante - não pretendemos que cada ponto seja levado nele mesmo, mas sim que cada ponto seja levado noutro (que pode ou não ser diferente), de tal forma que a figura toda seja transformada em si mesma. Exemplifiquemos com uma figura simples - um quadrado. Quais são as suas simetrias? Uma rotação é um exemplo de uma isometria. Haverá alguma rotação que seja uma simetria do quadrado? Certamente que sim, mais do que uma, aliás. Se considerarmos uma rotação em torno do centro do quadrado (fig 1.37), para que o quadrado fique invariante, qualquer vértice, por exemplo A, deverá ser levado num vértice: em B, em C, em D ou em si mesmo. Determinámos, assim, as rotações que são simetrias do quadrado. E haverá simetrias de reflexão? O quadrado tem quatro eixos de simetria (fig 1.38). As reflexões que deixam o quadrado invariante são por isso exactamente as reflexões nos seus eixos de simetria. Já encontrámos todas as simetrias de rotação e de reflexão do quadrado. Haverá mais simetrias para além destas? É um facto conhecido que, no plano, só existem dois tipos de isometrias que podem ser simetrias de uma figura limitada - as rotações e as reflexões. Concluímos, assim, que as simetrias do quadrado são exactamente as oito já descobertas. E se passarmos ao caso tridimensional análogo - o cubo? Quais serão as suas simetrias? Tal como no caso do quadrado, o cubo tem simetrias de rotação (24) - dois exemplos dessas simetrias estão indicados na figura 1.39. Quanto às simetrias de reflexão, vimos já que o cubo tem 9 planos de simetria, pelo que tem 9 simetrias de reflexão. Poliedros ao espelho 01 25 26 Serão as rotações e as reflexões as únicas simetrias do cubo? Por analogia com o caso do quadrado, inclinar-nos-íamos para uma resposta afirmativa. No entanto, no espaço, existe uma terceira isometria distinta da rotação e da reflexão que pode ser simetria de uma figura limitada – a reflexão rodada. Uma reflexão rodada obtém-se efectuando uma reflexão num plano a seguida de uma rotação (distinta da identidade) num eixo r perpendicular a a (fig 1.40). E o exemplo indicado na figura ao lado é uma das (15) reflexões rodadas que são simetrias do cubo. Poderíamos agora compor, por exemplo, uma rotação (de ângulo diferente de 0) com uma reflexão rodada. O resultado é uma nova simetria do cubo. Contudo a composição de duas quaisquer simetrias do cubo ou é uma rotação ou uma reflexão ou uma reflexão rodada. Para uma descrição exaustiva das simetrias do cubo, aconselhamos a leitura da referência [V]. De entre os sólidos platónicos existentes, o cubo tem uma relação especial com um deles - o octaedro. Esta relação pode ser posta em evidência em diferentes aspectos. A nível numérico, se contarmos o número de vértices, arestas e faces dos dois poliedros constatamos que ambos têm o mesmo número de arestas (12) e o número de vértices de um é igual ao número de faces do outro. Esta relação numérica é consequência de uma outra ainda mais surpreendente: se partirmos de um cubo e unirmos por um segmento os centros de faces contíguas, obtemos um octaedro (A, página ao lado). Reciprocamente, e pelo mesmo processo, obtemos um cubo a partir de um octaedro (B). Analogamente, podemos construir um icosaedro partindo de um dodecaedro e vice-versa (C e D). E o que se passa no caso do tetraedro? Partindo de um tetraedro, obtemos um novo tetraedro. Poliedros ao espelho 01 27 fig. 1.40 28 1.27 1.41 1.27 1.42 1.41 Caleidoscópio do dodecaedro onde se colocaram, respectivamente, a peça geradora do dodecaedro e três bolinhas. 1.42 Caleidoscópio do tetraedro onde se colocaram, respectivamente, a peça geradora do tetraedro e três bolinhas. Aprofundemos agora o nosso estudo das relações cubo/octaedro, com o apoio da figura 1.43. Uma qualquer simetria do cubo, por preservar os vértices e as distâncias, deixa invariante os centros das suas faces, o que equivale a afirmar que deixa invariante os vértices do octaedro e, consequentemente, leva o octaedro em si mesmo. Portanto, na fig 1.43, qualquer simetria do cubo é também simetria do octaedro. E, por um raciocínio análogo, concluímos que qualquer simetria do octaedro é também simetria do cubo. O cubo e o octaedro partilham, portanto, as mesmas simetrias. Mas, e se o cubo e o octaedro não estiverem nas posições acima indicadas? O que é que acontece, por exemplo, se eles não tiverem o mesmo centro? Decididamente não têm as mesmas simetrias. Mas prova-se que é possível estabelecer uma “equivalência” entre as simetrias de um e do outro. Tudo o que foi dito sobre o par cubo/octaedro, que parecem privilegiados até ao momento, pode ser adaptado aos restantes sólidos platónicos: também no caso dodecaedro/icosaedro é possível construir um poliedro a partir do outro e, por analogia com o caso anteriormente tratado, conclui-se que o dodecaedro e o icosaedro partilham as mesmas simetrias. Na secção anterior, vimos como determinar a forma da peça do cubo e a forma do próprio caleidoscópio. Como determinar a forma do caleidoscópio do dodecaedro? E do tetraedro? Qual o ângulo entre os espelhos nesses dois casos? As imagens ao lado sugerem a resposta. E que poliedros é possível visualizar nestes caleidoscópios? Tal como no caso do cubo, os restantes caleidoscópios permitem gerar uma infinidade de poliedros diferentes. As duas páginas que se seguem apresentam a listagem de todos os poliedros que é possível obter na exposição “Simetria, jogos de espelhos“. Fotografias de alguns poliedros observáveis nos caleidoscópios foram já exibidas anteriormente. Poliedros ao espelho 01 29 fig 1.43 O módulo 30 1.44 O módulo 31 1.45 O módulo 32 1.46 1.47 1.48 1.49 As três figuras da direita apresentam a imagem que resulta de colocar os espelhos fazendo entre si um ângulo de, respectivamente, 90º (=360º/4), 72º (=360º/5) e 60º (=360º/6). 1.46 Construiu-se uma caixa triangular de espelhos. 1.47 Dentro do prisma de espelhos, com ângulos de 90º, 45º e 45º, colocou-se uma máquina fotográfica (virtual) no topo de uma das faces. A imagem registada pela máquina fotográfica está representada na figura da direita. 1.48 Consideremos as três rectas que contêm as arestas da base do prisma. 1.49 E se fechássemos o caleidoscópio do cubo? O que veríamos se acrescentássemos um quarto espelho, fechando o caleidoscópio? Tecnicamente trata-se de uma questão de difícil resolução: precisávamos de estar dentro do caleidoscópio para ver o que se passa! Mas virtualmente a resposta pode ser bem mais fácil. Comecemos por uma questão mais simples - o caso do plano: colocando dois espelhos de maneira a formarem entre si um ângulo de 360º/n, para algum número natural n, e inserindo uma figura entre eles, gera-se um número finito de imagens - n imagens (fig 1.46). Contudo, se acrescentarmos um terceiro espelho (fig 1.47), criando um prisma sem bases, e ajustarmos os espelhos de maneira a todos os ângulos entre as faces serem da forma 360º/k (para algum k natural), a imagem reproduz um desenho infinito (fig 1.48). Isto resulta do facto de ser infinito o esquema de simetria gerado pelas reflexões nas três rectas que contêm as arestas da base do prisma (fig 1.49). Uma situação análoga ocorre no espaço: os três caleidoscópios aqui apresentados, que correspondem a pirâmides sem base, geram um número finito de imagens. Inserindo, adequadamente, um quarto espelho, é possível passar para um esquema de simetria infinito. Nas páginas que se seguem é dada uma resposta (visual) à questão levantada no início desta página. Os quatro vértices do caleidoscópio foram seccionados, por forma a permitirem-nos visualizar um cubo, duas esferas e uma bipirâmide hexagonal. Os esquemas de simetria associados a estes caleidoscópios são bem mais complexos do que os apresentados para o quadrado ou para o cubo. Para o leitor motivado, sugerimos a consulta da referência [BCG]. Poliedros ao espelho 01 33 O módulo 34 1.50 1.51 Caleidoscópio do cubo ao qual foi acrescentado um quarto espelho. 1.50 A imagem mostra o interior do caleidoscópio quando a tampa se encontra semi-aberta. A figura da página seguinte mostra o que se pode ver dentro do caleidoscópio quando ele está completamente fechado. 1.51 02 À volta da roda 41 Secções O que é uma circunferência? A Matemática do futebol Rodas de largura constante Para saber mais 42 O que é uma circunferência? Uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que se encontram à mesma distância de um dado ponto, dito centro. E há um instrumento, o compasso, que a desenha: uma perna mantém-se fixa enquanto a outra traça a curva. No entanto, para desenhar uma circunferência sem recurso a qualquer instrumento, a maior parte de nós não o faz imitando o movimento de um compasso: tentando obter uma curva fechada, rodamos o lápis sempre no mesmo sentido (fig 2.2) e mantemos a mão firme para que a curva traçada tenha certa forma; intuitivamente, temos, pois, a noção de que há outras propriedades que a circunferência satisfaz, para as quais o que interessa é o aspecto da curva e não os relacionados com distâncias. Em analogia com a nossa vida quotidiana, pensemos na trajectória de um carro quando se roda o volante: se não efectuarmos qualquer movimento, o carro segue em linha recta (fig 2.3); se o rodarmos num sentido e o mantivermos fixo, ele passará a descrever uma circunferência nesse mesmo sentido (fig 2.4). Essa circunferência será tanto mais fechada (com maior “curvatura“), quanto mais tivermos rodado o volante (ver [web1]). Deste modo, a recta, que corresponde à trajectória associada à ausência de movimento no volante, tem curvatura nula. Por sua vez, a circunferência tem curvatura constante e, seguindo a convenção de que o sentido contrário aos ponteiros do relógio é positivo, essa constante poderá ser positiva ou negativa (fig 2.5). 43 fig 2.1 fig 2.2 2.3 2.4 2.5 44 A formalização matemática do conceito de curvatura exige detalhes técnicos, que optámos por não incluir aqui. Limitar-nos-emos a referir que uma curva plana, fechada, sem auto-intersecções tem curvatura constante se e só se o traço da curva é uma circunferência. A circunferência tem outras virtudes de natureza distinta que poderiam servir igualmente como definição. Neste capítulo, dois módulos concebidos pelo Atractor - Matemática do futebol (fig 2.6) e Rodas de largura constante (ver fotografia patente na capa do capítulo) - servirão de mote para uma discussão sobre qualidades que caracterizam a circunferência e outras que são partilhadas por mais curvas. 45 fig 2.6 Cunhas disponíveis para os visitantes. Alguns pontos de onde o remate seria certeiro. O módulo é constituído por um modelo de um campo de futebol e várias cunhas. 46 A Matemática do futebol Alguns pontos na região que delimita a zona de onde o remate seria certeiro. A bola deslocar-se-á no interior do cone representado na figura. 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 No futebol, faz parte da estratégia a determinação do local ideal para a marcação de golo. E, mesmo ignorando a presença de jogadores da equipa adversária, não é certo que um jogador marque golo de qualquer ponto do campo. Claro que um jogador colocado um metro à frente do meio da baliza, e sem adversários, consegue marcar golo. De que outros pontos poderá ter igual certeza? A resposta depende da pontaria do jogador. E, no módulo, a eficácia da pontaria é representada por uma cunha com ângulo igual ao dobro do seu ângulo máximo de erro (fig 2.7). Exemplifiquemos com um caso concreto: na figura 2.8, quando um jogador que se encontra na posição O remata para A, em geral, a bola não segue exactamente a direcção A. Assim, para cada jogador, estipula-se um valor para o seu erro máximo (neste caso, supõe-se esse valor igual a a) e, de acordo com o modelo adoptado, a bola seguirá ao longo de uma linha recta dentro do ângulo, de amplitude 2a. É certo que o modelo adoptado é algo simplista, mas retrata, até certo ponto, o que se passa realmente num jogo de futebol. (Na referência [O1] pode ler-se mais informação sobre o modelo). Ao utilizador do módulo é solicitado que determine de entre as cunhas disponíveis (fig 2.9) a correspondente ao melhor jogador. Esta questão gera frequentemente equívocos, já que, estando a cunha associada ao erro do jogador, o ideal é que ela seja o mais pequena possível, mas há quem entenda que uma cunha grande significa uma maior abrangência do remate. Supondo a não existência de adversários, de que pontos é certa (se o jogador apontar bem) a marcação de golo? Numa folha de papel transparente previamente fixada sobre o campo e, colocando uma cunha (como indicado na figura 2.10), o visitante vai marcando pontos de onde o remate seria certeiro (ver [web6]). Na verdade, para delimitar a região desejada basta ir assinalando os pontos correspondentes às posições da cunha em que ela encosta aos dois postes da baliza (fig 2.11). A Matemática do futebol À volta da roda 02 47 Todos os ângulos assinalados na circunferência unitária têm amplitude igual a 1/2 do arco AB. Em qualquer triângulo, a amplitude de um ângulo externo é igual à soma das amplitudes dos ângulos internos não adjacentes: a=b+g e, portanto, a> b. Numa circunferência unitária, sendo a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo igual a 180º, tem-se a+g+a=180º e b+b+d=180º. Somando as duas igualdades, membro a membro, obtém-se 2(a+b)+(g+d)=360º. Logo, a+b=1/2[360º-(g+d)], isto é, a amplitude de ∠AMB é igual a 1/2 e, ou seja, 48 A Matemática do futebol Como b = a +g, conclui-se que a< b. A amplitude de ∠APB é maior que a se P for um ponto interior à curva e menor no caso de ser exterior. A amarelo está assinalada a região de onde o remate seria certeiro, para um ângulo de erro correspondente à cunha representada. 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 Observando os pontos marcados experimentalmente (fig 2.11), é natural conjecturarmos que se trata de um arco de circunferência a curva que delimita a região onde um jogador, que aponte correctamente, está seguro de marcar golo. Será assim? Recordemos um resultado matemático que relaciona precisamente a circunferência com os seus ângulos inscritos - o Teorema do arco capaz. Vejamos o que afirma1 (informação adicional na referência [A]): 1) qualquer ângulo inscrito numa circunferência, de raio R, tem amplitude igual a 1/(2R) do arco por ele subtendido (fig 2.12); daqui resulta, em particular, que ângulos inscritos numa circunferência e suportados pela mesma corda são iguais (fig 2.13); 2) fixado um ângulo ∠AMB de amplitude a, o lugar geométrico dos pontos P do plano tais que o ângulo ∠APB tem amplitude a é precisamente o arco de circunferência com extremos A e B e que passa em M (fig 2.16). Além disso, considerando a curva formada pelo referido arco em conjunto com o segmento [AB], então, se um ponto P está no interior da curva, a amplitude de ∠APB é maior do que a (fig 2.15) e, se P é exterior à curva, a amplitude de ∠APB é menor do que a (fig 2.14). Regressemos ao problema proposto no início desta página. Repare-se que, para qualquer ponto P marcado (fig 2.11), a amplitude do ângulo ∠APB é 2a (amplitude da cunha). Do que acabámos de enunciar em 2, os pontos nestas condições pertencem efectivamente a um arco de circunferência e a região adequada para rematar à baliza é a assinalada a amarelo na figura 2.17. Consideremos agora uma situação concreta: um jogador está a correr ao longo de uma linha r paralela à linha lateral (fig 2.18). Há algum sítio, nessa linha, onde ele tenha a certeza de marcar golo? 1 Neste texto, ângulo e corda serão usados no sentido de ângulo e corda orientados e os ângulos serão medidos em radianos. À volta da roda 02 49 Na situação ilustrada na figura, não há qualquer ponto na recta de onde se possa garantir um remate certeiro. Rematando de um qualquer ponto do segmento [CD], é garantida a marcação de golo. Supõe-se que um jogador está a correr ao longo de uma recta (assinalada a preto). 50 A Matemática do futebol Na situação ilustrada na figura, há um único ponto na recta a partir do qual é garantida a marcação do golo: o ponto de tangência entre a recta e a circunferância. Para um remate a partir de P associado a um erro máximo de a, não é certa a marcação de golo: conforme ilustrado na figura, a bola poderá passar à esquerda de A, um dos postes da baliza. Rematando, para um erro máximo de a, a partir de P apontando para Q (o ponto de intersecção da bissectriz da cunha com [AB]) é certa a marcação de golo. 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 Um processo para obter rectas de suporte, numa dada direcção, de uma curva consiste em colocar a curva entre duas rectas paralelas à direcção fixada e deslizá-las, mantendo o paralelismo, até tocarem a curva (fig 2.37). Note-se que, se uma curva tem largura constante, a distância entre cada par de rectas de suporte (paralelas) é a mesma. Voltemos ao triângulo de Reuleaux. Fixada uma direcção e determinada uma recta suporte r com essa direcção, se ela passar por um ponto P interior a um arco de circunferência, dos que constituem um triângulo de Reuleaux, a recta será tangente à curva em P (fig 2.38). Logo, o segmento que une P ao vértice V do triângulo é um raio desse arco de circunferência (de comprimento L, digamos), e portanto perpendicular a r. Ora, a recta que passa pelo vértice V e é perpendicular a [PV] é também uma recta de suporte do triângulo de Reuleaux com a direcção de r e, por conseguinte, a largura da curva nessa direcção é L. Falta determinar a largura na direcção de uma recta que passe por dois vértices do triângulo (fig 2.39). Neste caso, as rectas de suporte são pertendiculares ao segmento que une os referidos vértices, e a distância entre elas é novamente L. Esgotámos, pois, todos os cenários possíveis, podendo garantir que o triângulo de Reuleaux tem largura constante (L). Anteriormente, afirmámos que existe uma infinidade de curvas de largura constante, mas apenas apresentámos dois exemplos. O leitor poderá estar curioso por conhecer mais curvas com esta propriedade. Contudo, observe que o processo indicado para a construção do triângulo de Reuleaux pode ser adaptado a qualquer polígono regular com um número ímpar de lados (figs 2.40, 2.41 e 2.42). À volta da roda 02 57 Construção de uma curva de largura constante com os cantos arredondados. Algumas moedas inglesas têm forma de curvas de largura constante. 58 Rodas de largura constante O triângulo de Reuleaux pode ser rodado no quadrado representado sem nunca perder contacto com qualquer um dos lados. A circunferência pode ser rodada no quadrado representado sem nunca perder contacto com qualquer um dos lados. 2.43 2.44 2.45 2.46 2.43 2.44 2.47 2.45 2.46 Um triângulo de Reuleaux na janela de uma igreja, em Bruges, na Bélgica. 2.47 Deparamo-nos com curvas de largura constante em diversos contextos, em cabines telefónicas, torneiras, rotundas, na forma adoptada para algumas moedas, nomeadamente as britânicas (fig 2.43) ou no próprio bordo de janelas (fig 2.47). Observando as moedas pormenorizadamente, apercebemo-nos que possuem os cantos arredondados. Este arredondamento obtémse por um processo análogo ao que descreveremos para o triângulo de Reuleaux: depois de se desenhar um triângulo equilátero [ABC], de lado L, prolongamse os seus lados e, com centro em cada um dos vértices, traçam-se arcos de circunferência de raio r (arbitrário) compreendidos entre os prolongamentos dos lados do triângulo (fig 2.44). Em seguida, com centro nos vértices, desenham-se arcos de raio L+r a unir estes pequenos arcos (fig 2.44). As curvas assim construídas possuem largura constante L+2r. Até ao momento, todas as curvas aqui apresentadas são constituídas por arcos de circunferência. No entanto, existem outros processos para construir curvas de largura constante sem recorrer a este tipo de arcos. O leitor mais curioso poderá consultar a referência [R]. Enunciamos de seguida uma propriedade caracterizadora das curvas de largura constante, isto é, uma propriedade que estas curvas, e apenas estas curvas, satisfazem e que, portanto, poderia servir também de definição: se considerarmos duas direcções perpendiculares e o par de rectas de suporte em cada direcção, elas formam um quadrado onde a curva pode ser rodada sem perder contacto com qualquer um dos lados (figs 2.45 e 2.46). À volta da roda 02 59 Na figura, Q é o centro do triângulo equilátero representado e L é o comprimento do lado. 60 Rodas de largura constante Um triângulo de Reuleaux roda dentro de um quadrado. No centro da figura, a traço contínuo, pode observar-se a trajectória do centro geométrico do triângulo de Reuleaux. A trajectória descrita por cada um dos três vérices do triângulo de Reuleaux é um “quadrado” arredondado nos vértices. Detalhes em [W]. Na figura, está representada a lâmina de uma broca. Não se trata de um triângulo de Reuleaux completo, mas é o suficiente para cortar buracos quadrangulares arredondados nos bordos. Um rotor com uma forma semelhante a um triângulo de Reuleaux. 2.48 2.49 2.50 2.51 2.48 2.49 2.50 2.51 Contudo, e excluindo o caso da circunferência, durante o movimento dentro do quadrado, o centro geométrico da curva não fica fixo. Por exemplo, no triângulo de Reuleaux, não estando o centro geométrico a igual distância dos pares de rectas de suporte paralelas (fig 2.48), ele altera a sua posição à medida que a roda gira (fig 2.49). As propriedades do triângulo de Reuleaux, aqui apresentadas de um ponto vista teórico, tiveram consideráveis aplicações na vida real: introduzindo uma lâmina em forma de triângulo de Reuleaux numa broca (fig 2.50), ela corta buracos quadrados, embora arredondados nos vértices. Esta invenção foi patenteada por James Watts, em 1917, (ver [G]). Também no mundo da Engenharia Mecânica se encontram exemplos dessas aplicações: nos motores Wankel, em vez de um pistão que se move para a frente e para trás num cilindro, há um rotor cuja forma é semelhante a um triângulo de Reuleaux (fig 2.51). Assim, os efeitos indesejáveis do atrito e desgaste causados pelo movimento de vaivém são inteiramente eliminados e têm sido desenvolvidos vários modelos de carros desportivos com esse tipo de motor, nomeadamente pela marca Mazda (consultar [C]). Há outras propriedades que as curvas de largura constante partilham com a circunferência. Uma justificação matemática para tais propriedades transcende o âmbito deste texto. Por conseguinte, limitar-nos-emos a enunciá-las e a indicar referências bibliográficas. Todas as curvas com largura constante L são convexas e têm igual perímetro - o da circunferência de diâmetro L, isto é, πL (ver [H]). Para qualquer direcção, cada uma das duas rectas de suporte intersecta a curva num só ponto, sendo o segmento que une estes dois pontos de contacto perpendicular às rectas de suporte ([R]). À volta da roda 02 61 62 Rodas de largura constante Pretende-se encontrar uma estrada adequada para que uma roda com a forma de um triângulo de Reuleaux rode, mantendo o seu centro geométrico na horizontal. É preciso garantir que a roda e a estrada se mantêm em contacto e que o comprimento percorrido no bordo da roda seja igual ao descrito sobre a estrada. A estrada apropriada ao triângulo de Reuleaux e o movimento da roda na estrada encontram-se representados na figura abaixo. Um triângulo de Reuleaux rodando na estrada adequada. 2.52 2.52 2.53 2.54 2.53 2.54 Sabemos ainda que, de entre todas as curvas de largura constante L, que possuem, portanto, o mesmo perímetro, a que engloba maior área é a circunferência (ver [N]) e a que delimita menor área é o triângulo de Reuleaux (consultar [Bo]). Recordemos que o módulo “carrinho com rodas de largura constante“, patente na exposição Matemática Viva, se deslocava sem oscilações porque as rodas não estavam presas ao eixo do veículo e o movimento decorria apenas da deslocação de uma plataforma de madeira por cima dessas rodas, todas com forma de curvas de largura constante. Contudo, se pretendêssemos construir um veículo semelhante ao carro comum - com as rodas fixadas ao eixo -, as formas utilizadas para as rodas já não seriam adequadas, pois, neste cenário, seria também necessário impor que o centro geométrico se mantivesse paralelo ao chão; ora, vimos já, no triângulo de Reuleaux (fig 2.49), que tal não se verifica. Para um carro convencional, a única roda adequada a uma estrada plana é, pois, a circunferência, e vice-versa. Mas será possível obter um movimento suave com um carrinho cujas rodas iguais possuam a forma de uma curva de largura constante diferente de uma circunferência? Sim, mas será necessário repensar a estrada, pois esta deverá compensar, de alguma forma, as diferenças na largura da curva para direcções distintas. E há três condições a salvaguardar: durante o movimento, a roda e a estrada têm de se manter em contacto; o comprimento percorrido no bordo da roda deverá ser igual ao descrito sobre a estrada; e, além disso, o centro geométrico da roda deverá deslocar-se na horizontal sem oscilações (figs 2.52 e 2.53). Impondo as três condições enunciadas, elaborámos os cálculos necessários e determinámos a estrada adequada ao triângulo de Reuleaux (fig 2.54). À volta da roda 02 63 64 Rodas de largura constante 2.55 2.56 2.57 Se o leitor pretender familiarizar-se com os detalhes técnicos relacionados com a determinação da estrada perfeita para uma roda não circular, aconselhamos a consulta da rubrica “Rodas exóticas“ na secção “Para saber mais”. Embora tenhamos determinado a estrada correspondente a uma curva de largura constante, não utilizámos, em qualquer instância, esta propriedade. Na realidade, é também possível determinar a forma da estrada adequada para outras rodas com a forma de curvas que não possuem largura constante - foi o que fizemos para o caso do quadrado (figs 2.55 e 2.56). Pode provar-se que, neste caso, uma tal estrada é feita de arcos de catenária invertidos. Na exposição Matemática Viva está também patente um módulo em que três rodas de formatos distintos emparelham com uma mesma estrada, perfeita para essas rodas (fig 2.57). À volta da roda 02 65 66 Para saber mais Um diâmetro intersecta a circunferência em ângulos rectos. Qualquer corda intersecta a circunferência em ângulos iguais. Na figura, a=b, porque são ângulos opostos a lados iguais de um triângulo. Por outro lado, por se tratar de uma circunferência, uma recta tangente num dado ponto é perpendicular ao raio que passa por esse ponto. Na figura, a=a, b=b e c=g. 2.58 2.59 2.60 2.61 2.58 2.59 2.60 2.61 Tendo em consideração a igualdade anterior e a condição H2, é possível deduzir que a equação que rege o movimento da curva ajustado à estrada é descrito pela equação F(t)=-r(q(t))=-1/q’(t) [2.3] (detalhes em [HW]). Os raciocínios elaborados até ao momento são perfeitamente genéricos e podem ser aplicados a outras curvas que não o triângulo de Reuleaux. Exemplifiquemos com um caso concreto, escolhendo aquele que nos é mais familiar: a roda circular. Neste cenário, a função r é constante e tem-se r(a)=R, para todo o a. Por [2.3], F(t)=-r(q(t))=-R e a boa estrada corresponde ao gráfico da função constante indicada na figura 2.72. Apliquemos agora o método anterior quando C é um quadrado. A simetria no quadrado permite-nos restringir o nosso estudo a um único lado, por exemplo, o assinalado a vermelho (fig 2.73). Sabemos que, para um dado Ω, (L/2)/d=Cos(Ω), i.e., d=(L/2)/Cos(Ω), com -p/4≤Ω≤p/4. Para simplificação de cálculos, e mudando o sistema de unidades se necessário, supomos L=2, pelo que d=1/Cos(Ω). Na variável q (q=-Ω-p/2), esta igualdade éd=1/Cos(-q-p/2)=1/Cos(q+p/2)=-1/Sen(q). De [2.3], resulta que, para -3p/4≤q≤-p/4, 1/q’(t)=-1/Sen(q(t)), A equação diferencial anterior tem solução explícita q(t)=-2 arctg(e-t+k), sendo k uma constante, que se determina tendo em conta que q(0)=-p/2: como -p/2=-2 arctg(ek), tem-se ek=tg(p/4)=1 e k=0. À volta da roda 02 73 74 Para saber mais 2.76 2.77 2.78 2.79 Ainda pela condição [2.3], temos F(t)=-r(q(t))=1/Sen(-2 arctg(e-t)), t[q-1(-3p/4), q-1(-p/4)], sendo possível simplificar a expressão anterior para F(t)=-(et+e-t)/2. Ora, a curva associada ao gráfico de g(t)=(et+e-t)/2 é uma curva conhecida designada por catenária. Exemplos de arcos de catenária podem ser vislumbrados em inúmeros contextos do nosso quotidiano, como pontes, teias de aranha, correntes dependuradas, etc (exemplos na página ao lado). Concluímos, pois, que a estrada adequada a uma roda quadrangular é periódica, formada por cópias de arco de catenária que, nas junções, fazem um ângulo de p/2, onde cada vértice do quadrado encaixa perfeitamente (figs 2.55 e 2.56). Neste capítulo, e porque estamos a estudar rodas de largura constante, elaborámos idêntico raciocínio para o caso de C ser um triângulo de Reuleaux (para detalhes matemáticos, consultar [CO]). Detenhamo-nos na figura 2.74 onde L representa o comprimento dos raios dos arcos de circunferência constituintes do triângulo de Reuleaux (a azul) e d simboliza a distância do centro do triângulo aos seus vértices. Pelo Teorema de Pitágoras (generalizado), sobre o triângulo cinzento da figura 2.74, sabemos que L2=r2+d2-2rd Cos(2p/3-Ω), com -2p/3≤Ω≤0. Reescrevendo a fórmula anterior na variável q (q=-Ωp/2) e tendo em conta que Cos[x+p/2]=-Sen[x], para todo o x, obtém-se r2+2rd Sen(2p/3+q)+(d2-L2)=0. À volta da roda 02 75 Resolvendo a equação de 2º grau obtida em ordem a r e, sendo r positivo, vem r=-d Sen(2p/3+q)+[d2 Sen2 (2p/3+q)+(L2-d2)]1/2,[2.4] com -p/2≤q≤p/6. Na igualdade acima, L e d não são constantes independentes. Pelo Teorema de Pitágoras, deduz-se da figura 2.75 que d2+d2-2d2 Cos(2p/3)=L2 e, portanto, d=L/√3. Para simplificação de cálculos, supomos, mudando o sistema de unidades se necessário, que d=1 e, consequentemente, L= √3. Substituindo estes valores na fórmula [2.4], obtém-se, para qualquer qe[-p/2,p/6], r(q)=-Sen(2p/3+q)+([Sen2 (2p/3+q)]+2)1/2. [2.5] Aplicando a fórmula geral [2.3], obtemos q’(t)= dq/dt=[-Sen(2p/3+q(t))+(Sen2 (2p/3+q(t))+2)1/2]-1, equação diferencial sem resolução imediata. Como q’ é contínua e q’(t)≠0, para todo o t, q é função invertível e a equação anterior é equivalente a dt=-Sen(2p/3+q(t))+(Sen2(2p/3+q(t))+2)1/2 dq, o que podemos reescrever na seguinte forma: t’(q)=-Sen(2p/3+q)+(Sen2 (2p/3+q)+2)1/2. [2.6] Para primitivar t’(q), tentámos usar software informático. A primeira operação consistiu, portanto, em encontrar uma função derivável T cuja derivada coincidisse com t’(q), obtendo-se a seguinte expressão Já nesta fase, o programa Mathematica1, não sendo capaz de determinar uma expressão explícita para t(q), recorreu a uma aproximação: EllipticE[p/6+q,1/3] é uma aproximação de um integral que é preciso calcular, mas que não tem primitiva elementar [Ri]. 1 http://www.wolfram.com À volta da roda 02 76 À função deduzida anteriormente somámos uma constante (-T(-p/2)) de modo a garantir que t(-p/2)=0, i.e., q(0)=-p/2. Assim t(q) é aproximadamente igual a T(q)-T(-p/2) Na expressão final, t encontra-se escrito em função de q. Como pretendemos q em função de t, procurámos calcular a inversa de t(q), o que nem o programa Mathematica conseguiu. Recorremos então a uma amostragem numérica para determinar uma aproxi-determinar uma aproximação da função q:, construímos uma lista de pontos da forma (q,t(q)), invertemos esta lista, obtendo uma nova lista de pontos da forma (t(q),q), que interpolámos, calculando assim uma aproximação para a função q. A interpolação foi realizada com recurso ao comando do Mathematica "Interpolation", que, face a uma amostra finita de pontos, indica curvas polinomiais de grau inferior ou igual a 3 que se ajustam, por pedaços, a tais pontos. Após determinarmos uma aproximação de q, novamente por [2.3], calculámos uma aproximação de F, compondo r com q e determinando o simétrico: -r◦q. O uso de simulações numéricas tem a desvantagem de as aproximações impostas poderem conduzir a erros significativos na forma da estrada. Contudo, verificámos experimentalmente, recorrendo a animações que simulam o movimento da roda na estrada (fig 2.54), que os cálculos realizados nos conduzem a uma função F cujo gráfico corresponde a uma estrada adequada. É certo que não elaborámos um molde físico para testar a qualidade da estrada, no entanto, a dimensão das imagens utilizadas nas animações fazem-nos estar confiantes a este respeito. À volta da roda 02 77 03 Cónicas e bilhares 78 Secções O que é uma cónica? Descrição métrica Definições equivalentes Aplicações Os módulos Cónicas no dia-a-dia Para saber mais 79 80 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 As imagens à esquerda documentam uma experiência envolvendo um jacto de luz projectado num plano e revelam um tipo de manchas de fronteira arredondada, cujo formato se parece com o da linha que delimita um líquido no interior de um copo ligeiramente inclinado. Inicialmente, é observável uma circunferência, que se alonga sucessivamente distanciando-se cada vez mais da forma original à medida que o foco se inclina relativamente ao plano. O objectivo destas experiências é obter esboços de um certo tipo de curvas: as cónicas. E é frequente, no nosso quotidiano, depararmo-nos com outras instâncias que nos conduzem, ainda que inadvertidamente, a aproximações dessas mesmas curvas. O intuito deste capítulo é estudar as cónicas quanto à sua génese e propriedades, baseando-nos, como temos procedido até agora, em alguns módulos da exposição Matemática Viva, mais concretamente, nos bilhares cónicos. Seguiremos contudo, uma abordagem ligeiramente diferente da dos capítulos anteriores: alongar-nos-emos um pouco mais na introdução, apresentando aspectos teóricos relevantes, que não foram ilustrados fisicamente naquela exposição. 81 O que é uma cónica? 82 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 Representemos por T1 e T2 os pontos de intersecção da semi-recta VP com as esferas de Dandelin (fig 3.27). Intersectando S1 com o plano que passa por P, F1 e T1 (fig 3.28), obtemos uma circunferência. (Notese que a intersecção de um plano com uma esfera pode ser: 1. vazia, 2. um ponto ou 3. uma circunferência; neste caso, pertencendo F1 e T1 à intersecção, ela terá de ser uma circunferência). Por outro lado, por S1 ser tangente ao cone e ao plano da elipse, resulta que PF1 e PT1 são tangentes à circunferência encontrada (fig 3.30). Ora, dados uma circunferência, um ponto externo P, duas rectas tangentes à circunferência que passam por P e os respectivos pontos de tangência, P dista o mesmo desses dois pontos (fig 3.30). Daqui resulta que |PF1|=|PT1| e, analogamente, |PF2|=|PT2|. Por conseguinte, |PF1|+|PF2|=|PT1|+|PT2|. Ora, |T1T2|=|PT1|+|PT2| não depende do ponto P considerado, pelo que |PF1|+|PF2|=k [3.1] para alguma constante positiva k. Ou seja, a soma das distâncias dos pontos de uma elipse aos focos é constante. Veremos seguidamente que esta propriedade caracteriza completamente as elipses e portanto poderia ser usada como definição destas curvas. Esta caracterização fundamenta um método comum para contruir canteiros elípticos: a duas traves fixadas ao chão, prende-se um fio com comprimento superior à distância entre as traves; depois, com um pau, mantendo o fio bem esticado, desenha-se o rasto do pau no chão, esboçando assim uma elipse. A figura 3.29 ilustra este processo. Cónicas e bilhares 03 89 fig 3.30 Descrição métrica 90 Seja k uma constante tal que, para todo o ponto P da elipse, |PF1|+|PF2|=k. Se X é ponto interior à elipse, |XF2|<|XQ|+|QF2|, logo |F1X|+|XF2|<(|F1X|+|XQ|)+|QF2|=|F1Q|+|QF2|=k, Analogamente, para um ponto Y exterior à elipse, temos |QF2|<|QY|+|YF2|, logo k=|F1Q|+|QF2|<|F1Y|+|YF2|, Portanto, para todo o X não pertencente à elipse, |XF1|+|XF2|≠k. Sendo P um ponto da elipse, |PF1|+|PF2|=k, para alguma constante k. Se P’ é o reflectido de P relativamente ao eixo vertical, |PF1|=|P’F2| e |PF2|=|P’F1|, portanto, |F1P’| +|P’F2|=|PF2|+|F1P|=k e P’ é também um ponto da elipse. Do mesmo modo, sendo P’’ o reflectido de P relativamente ao eixo horizontal, então |F1P’’|+|P’’F2|=k, logo, P’’ também é um ponto da elipse. 3.31 3.31 3.32 3.32 3.33 3.34 F1 e F2 são os focos da hipérbole, P é um seu ponto arbitário e V é o vértice do cone. Por T1 e T2 desigamos os pontos de intersecção de VP com as duas esferas de Dandelin. 3.33 Temos |PF1|=|PT1| e |PF2|=|PT2|. 3.34 A figura 3.31 indica por que motivo não existem outros pontos no plano que veriquem [3.1], embora eles existam no espaço, onde formam um elipsóide (fig 3.35). Desta propriedade métrica da elipse, decorre, em particular, que qualquer elipse é limitada (está contida na circunferência de centro F1 ou F2 e raio igual à constante k) e possui dois eixos de simetria: a recta que passa pelos seus focos e a perpendicular à recta anterior pelo ponto médio dos focos (fig 3.32). Além disso, a elipse intersecta cada um dos seus eixos de simetria em dois pontos, respectivamente, A, B e C, D (fig 3.32), onde Os segmentos que os unem são designados, respectivamente, por eixo maior e eixo menor da elipse. Haverá alguma propriedade semelhante a [3.1] para a hipérbole? E para a parábola? Consideremos uma hipérbole de focos F1 e F2, um seu ponto arbitrário P, e T1, T2 as intersecções de VP com as duas esferas de Dandelin (fig 3.33). Tal como anteriormente, concluímos que |PF1|=|PT1| e |PF2|=|PT2| logo, | |PF1|-|PF2| | =| |PT1|-|PT2| |=|T1T2|. Portanto, existe uma constante positiva k tal que | |PF1|-|PF2| |=k, [3.2] para todo o ponto P da hipérbole (fig 3.34). Esta propriedade permite-nos, em particular, concluir que a hipérbole também possui dois eixos de simetria: a recta que passa pelos seus focos e a perpendicular à linha anterior passando pelo ponto médio dos focos (fig 3.36). Cónicas e bilhares 03 91 fig 3.36 fig 3.35 Definições equivalentes 92 3.38 3.37 3.39 3.40 Definições equivalentes É frequente os autores de textos sobre cónicas optarem pela definição de Apolónio para a elipse/hipérbole e, quando fazem depois uso da descrição métrica, não referirem (por) que são modos equivalentes de tratar estas curvas. Vimos já que [3.1] (resp. [3.2]) é uma consequência da definição de elipse (resp. hipérbole). Provemos que o recíproco também é válido. Para esclarecermos por que é que uma curva plana que satisfaça a igualdade [3.1] é uma elipse, fixemos um plano r, dois pontos F1 e F2 nesse plano, uma constante k, estritamente maior que |F1F2|, e o conjunto D={Pr: |PF1| + |PF2| = k}. Temos agora de encontrar um cone C que permita obter D como intersecção de r com C e cujas esferas de Dandelin, de centros C1 e C2, sejam tangentes a r em F1 e F2 (fig 3.37). Note-se que, se um tal cone existir, deverá intersectar a recta F1F2 em dois pontos A e B (fig 3.38) tais que Uma vez que procuramos um cone de revolução, comecemos por diminuir a dificuldade do problema, reduzindo-o à procura de um plano que contenha o seu vértice e uma geratriz. Para isso, basta construir um plano s contendo AB e perpendicular a r (fig 3.38). Construamos agora a intersecção do cone (e respectivas esferas de Dandelin) com s. Escolhamos uma recta r = AV em s; sabemos que C1 coincide com o centro da circunferência tangente a r e a AB em F1, como indicado na figura 3.41. O facto de a recta BV dever ser também tangente à circunferência representada permite-nos determiná-la (e isso está feito na figura 3.39). Por outro lado, a segunda esfera de Dandelin intersecta s numa outra circunferência tangente às três rectas assinaladas, conforme indica a figura 3.40, e o seu ponto de tangência com AB é F2. Cónicas e bilhares 03 93 fig 3.41 Definições equivalentes 94 3.24 3.42 3.44 3.45 3.43 Observemos ainda, no triângulo BAV (fig 3.40), que a inclinação do plano r é b = e + a > a condição essencial para se obter uma elipse. Por fim, e por revolução em torno de C1C2, geremos um cone. O resultado está na figura 3.42 e confirma que o conjunto D é uma elipse. De modo análogo, é possível verificar a equivalência entre a definição de Apolónio de hipérbole e [3.2]. Será que o cone que construímos é único? Não esperamos que o seja pois, no argumento anterior, fizemos uma escolha: a recta r. De facto, variando r, obtemos uma infinidade de cones possíveis, de que se exibe um outro exemplo na figura 3.45. Como se relacionam os diferentes cones que intersectam r segundo a mesma elipse?1 Tendo em conta a igualdade (ver fig 3.44) | |BV|-|AV| | = | |BX|+|XV|-|AY|-|YV| | = = | |BF1|+|XV|-|AF1|-|YV| | e a congruência de [XV] e [YV], que resulta de VX e VY serem tangentes, em X e em Y, à mesma circunferência, concluímos que | |BV|-|AV| | = | |BF1|-|AF1| | = |F1F2| Esta condição permite-nos concluir por [3.2] que, já sabemos, é equivalente, à definição de Apolónio de hipérbole) que V descreve um arco de hipérbole com focos B e A e constante |F1F2|. Está traçada a castanho na figura 3.45. A caracterização métrica das elipses indica que a circunferência é um caso particular de elipse em que o plano associado à cónica é perpendicular ao eixo do cone (fig 3.43), e em que os dois focos coincidem. A constante em [3.1] é o diâmetro da circunferência. 1 A primeira referência que possuímos sobre este problema remonta a [L]. Cónicas e bilhares 03 95 Definições equivalentes 96 3.46 3.48 3.47 A parábola tem apenas uma directriz. A elipse e a hipérbole têm duas, uma por cada foco. 3.46 Por analogia com 3.27, foram marcados V, o vértice, P, um ponto arbitrário da parábola, e T, a intersecção de VP com a esfera de Dandelin. O ponto R é tal que PR é perpendicular a s e RQ é a recta de s perpendicular à directriz da parábola. 3.47 Os triângulos [PRT] e [PRQ] são congruentes e |PT|=|PQ|. 3.48 Haverá alguma propriedade métrica caracterizadora da parábola? A existir, não será nos moldes indicados anteriormente, já que a parábola possui apenas um foco. Neste caso, não é a distância de um dado ponto a outros dois (os focos) que é relevante, mas sim a relação entre a distância de um qualquer seu ponto respectivamente ao foco e a uma recta especial - a directriz: dados uma cónica e um seu foco F, consideremos o plano r da cónica e a esfera de Dandelin correspondente. Tal esfera intersecta o cone numa circunferência que por sua vez, se encontra contida num plano s (fig 3.46). A directriz, que designaremos por d, é a intersecção de r e s (fig 3.46). Tal como procedemos anteriormente, tomemos um ponto da parábola, P, e T, o ponto de intersecção de VP com a esfera de Dandelin (fig 3.47). Designemos por R a projecção ortogonal de P em s e por Q a projecção, em s, de P na directriz da parábola. Por construção, RP é perpendicular a s, pelo que [PQR] e [PTR] são triângulos rectângulos em R e PR é paralelo ao eixo do cone (fig 3.48). Portanto, a amplitude de ∠RPT é a (a amplitude do ângulo entre a geratriz e o eixo do cone). Acresce que, por definição, d é perpendicular a PQ e a PR (note-se que PR é perpendicular a s). Estas condições levam-nos a garantir a perpendicularidade entre r e PQR e, portanto, a amplitude de ∠RPQ é b. Sendo a cónica em causa uma parábola, temos a=b e os triângulos rectângulos [PQR] e [PTR] têm os ângulos internos iguais e possuem um cateto comum. Deduz-se então que |PQ|=|PT|. Como vimos na figura 3.28, também temos |PT|=|PF|, pelo que |PF|=|PQ|. Conclui-se assim que a distância de qualquer ponto da parábola à directriz é igual à distância desse mesmo ponto ao foco. Esta é também uma condição definidora de parábola. Como corolário, a parábola possui um (único) eixo de simetria, que passa pelo foco e é perpendicular à directriz (fig 3.50). Cónicas e bilhares 03 97 Aplicações 98 3.49 3.50 3.51 Em 3.49 e 3.50, está representado o único eixo de simetria da parábola. Em 3.51, 3.52, encontram-se fotografias correspondentes à projecção, no chão, da sombra da ponta de um gnómon, numa tarde de Agosto de 2012, em Vila do Conde. 3.52 Designaremos por ângulo entre uma cónica e uma recta, num ponto de intersecção de ambas, o menor ângulo compreendido entre a recta e a tangente à cónica nesse ponto (fig 3.61). Esta noção de ângulo é aplicável porque as cónicas admitem, para todos os seus pontos, uma recta tangente (detalhes em [Bk]). Aprendemos em Física que a reflexão da luz ou do som numa superfície curva diferenciável depende de duas leis gerais: o raio incidente, a recta tangente e o raio reflec-• tido são complanares; o ângulo de incidência é igual ao ângulo de re-• flexão (fig 3.62). As leis enunciadas são ainda válidas para a trajectória de uma bola num bilhar (fig 3.60). Qualquer recta apenas intersecta uma cónica em um ou dois pontos. Acresce que, se a intersecção se cingir a dois pontos, a recta é secante à cónica; e, se a intersecção se resumir a um ponto, podem ocorrer três cenários (consultar [J]): a recta é tangente à cónica,• a recta é paralela ao eixo, se a cónica for uma pa-• rábola (fig 3.66). a recta é paralela a uma das duas assímptotas (as-• sinaladas a preto na figura 3.65), se a cónica for uma hipérbole. Note-se que a assímptota de uma hipérbole é uma das rectas obtidas intersectando o cone pelo plano, paralelo ao plano da hipérbole e passando pelo vértice, e depois translatando-as por forma que o seu ponto de intersecção coincida com o ponto médio dos focos da hipérbole (fig 3.67). Cónicas e bilhares 03 105 fig 3.67 Comecemos a nossa análise dos bilhares pelo elíptico (figura 3.63) tomando um seu ponto P e a recta XY, onde X e Y são pontos situados em lados opostos relativamente a P e tais que as amplitudes de ∠XPF2 e ∠F1PY coincidem (fig 3.63). O ponto P tem uma propriedade notável: o caminho F1  P  F2 une os pontos F1 a F2, passa por XY e é o caminho mais curto que satisfaz estas duas condições. Este percurso mínimo mede |F2F’1|, onde F’1 é o reflectido de F1 em XY (fig 3.64). Tomando agora um ponto Q de XY distinto de P, o comprimento do caminho entre F1 e F2 passando por Q (fig 3.68) é igual ao de F2  Q  F’1, que, não sendo em linha recta, é superior ao anterior. Ou seja, temos para todo o Q≠P em XY, |QF1|+|QF2|>|PF1|+|PF2|. Ora, sendo P um ponto da elipse, a igualdade anterior permite-nos garantir que a recta XY intersecta a elipse num único ponto, P, tratando-se portanto de uma recta tangente à elipse. Em suma, acabámos de verificar que, dadas uma elipse, com focos F1 e F2, e uma recta r passando por um ponto P da elipse e tal que ∠XPF2 e ∠F1PY são congruentes (onde X e Y são pontos de r situados em lados opostos relativamente a P), então r é tangente à elipse em P. Por outro lado, sabe-se que não há mais do que uma recta tangente à elipse em cada um dos seus pontos, pelo que o recíproco é também válido. Regressemos ao exemplo prático da trajectória da bola num bilhar elíptico: se lançada de um foco, F1, e uma vez que o ângulo de incidência é igual ao de reflexão (fig 3.69), é certa a passagem da bola no outro foco. Posicionando o buraco do bilhar nesse foco, fica garantida a entrada da bola, sendo este o princípio que rege o módulo (fig 3.57). Cónicas e bilhares 03 106 fig 3.68 fig 3.69 São várias as aplicações do princípio descrito na vida real e em contextos muito díspares. Uma delas pode ser encontrada num consultório de um dentista. Com o intuito de iluminar um ponto específico da boca de um paciente, o dispositivo de iluminação de um dentista é constituído por um espelho em arco de elipse e uma lâmpada colocada num foco. O médico ajusta então o aparelho de modo que o dente se posicione no outro foco. Assim, toda a luz é canalizada para o outro foco, permitindo uma boa iluminação (fig 3.73) do local a tratar. Também a Arquitectura é pródiga em exemplos de aplicações da propriedade referida. Por exemplo, na Whispering Gallery, da Catedral de S. Pedro, em Londres (fig 3.75), ou na Whispering Gallery, da Grand Central Terminal Station, em Nova Iorque (fig 3.76). há salas com forma de meio elipsóide (fig 3.35) em que qualquer pessoa que, num dos focos, murmure, é ouvida com nitidez no outro foco. E se em vez de elipses tivéssemos parábolas? Tomemos uma parábola, um seu ponto P não pertencente ao eixo de simetria, o foco F e a directriz d (fig 3.70). Designemos por R a projecção de P em d (fig 3.70). Por se tratar de uma parábola, |PR|=|PF|. Construamos a recta r que bissecta ∠FPR e verifiquemos que ela é tangente à parábola. Para tal, tomemos um ponto Q de r distinto de P (fig 3.71). Da congruência dos triângulos [PRX] e [XFP] (fig 3.70) resulta que ∠RXQ e ∠QXF são rectos e |RX|=|XF|, o que nos permite concluir, em particular, que |QF|=|QR|. Por outro lado, QR não é perpendicular à directriz; por conseguinte, a distância de Q a d, dis(Q,d), é inferior a |QR|. Em síntese, 0<|QR|-dis(Q,d) = |QF|-dis(Q,d). [3.3] Portanto, Q não pertence à parábola. Cónicas e bilhares 03 107 fig 3.70 fig 3.71 fig 3.72 Cónicas no dia-a-dia 108 3.73 O espelho dos dentistas tem forma de arco de elipse. 3.73 Whispering Gallery, Catedral de São Paulo, em Londres. 3.75 3.74 Um litotriptor é uma máquina que emite ondas de choque a partir de um foco de um reflector elipsoidal, que se reflectem e incidem no segundo foco, onde deverá estar posicionado o rim do paciente, destruindo os cálculos renais existentes ([web7] e [web8]). 3.74 Whispering Gallery, Grand Central Terminal Station, em Nova Iorque. 3.76 3.75 3.76 Os pequenos arcos na base do bico de um lápis são exemplos do traço de uma hipérbole. 3.77 3.77 Cónicas no dia-a-dia 109 Um farol tem o formato de um parabolóide: a superfície gerada por rotação de uma parábola em torno do seu eixo de simetria. 3.78 3.78 3.79 Uma antena parabólica tem a forma de um parabolóide. 3.79 Forno solar: o formato parabólico faz com que este tipo de forno atinja as temperaturas mais altas entre outros (possíveis) fornos solares. 3.80 3.80 3.81 Um repuxo de água fornece um excelente exemplo de um esboço de parábola. 3.81 Concluímos que a recta r, bissectriz de ∠FPR, intersecta a parábola num único ponto. Portanto, há apenas duas alternativas para r: ou é tangente à parábola ou paralela ao seu eixo. Observemos agora que uma parábola delimita duas regiões disjuntas (assinaladas a cinzento e branco na figura 3.82): numa delas, a distância dos seus pontos à directriz é inferior à distância ao foco e, na outra, passa-se o inverso. Acresce que qualquer recta paralela ao eixo atravessa as duas regiões (note-se, por exemplo, em 3.83, que Q e S estão situados em regiões distintas). Ora, por [3.3], a recta r está situada apenas numa das regiões mencionadas, tratando-se pois de uma tangente à parábola. É agora claro o funcionamento do bilhar parabólico: lançando a bola paralelamente ao eixo, ela passará no foco e, posicionando aí o buraco, é certa a entrada da bola (fig 3.58). A propriedade deduzida para parábolas é útil em diversos contextos, nomeadamente na construção de sistemas em que se pretenda a concentração de radiações/ondas sonoras num ponto específico. É o que acontece, por exemplo, com as antenas parabólicas: as ondas, praticamente paralelas, enviadas de uma fonte a uma longa distância, são reflectidas na antena e concentram-se no receptor colocado no seu foco, amplificando o sinal recebido do satélite, que, de outra forma, seria débil (fig 3.79). Processo análogo ocorre nos faróis ou nos fornos solares (figs 3.78 e 3.80). Resta-nos estudar a hipérbole. Neste caso, representando por F1 e F2 os focos de uma hipérbole e considerando um seu ponto arbitrário P (fig 3.84), a recta que bissecta o ângulo ∠F1PF2 é também tangente à hipérbole em P e vice-versa. A dedução é análoga às anteriores e pode ser consultada na referência [J]. Cónicas e bilhares 03 110 fig 3.82 fig 3.84 fig 3.83 É esta a razão pela qual uma bola, num bilhar hiperbólico, dirigida a um foco, após tabelar, cai no buraco situado no outro foco (fig 3.59). As duas últimas propriedades enunciadas são a chave para o funcionamento de um telescópio de reflexão (fig 3.85). Ao incidir num espelho parabólico existente no interior de um tal telescópio, a luz é canalizada para o foco da parábola mas não o atinge, porque, no seu percurso, a luz encontra um outro espelho, desta vez hiperbólico, onde é reflectida. Coincidindo um dos focos da hipérbole com o da parábola, a luz é então dirigida para o outro foco da hipérbole, onde está confortavelmente o olho do observador. Cónicas e bilhares 03 111 fig 3.85 112 3.87 3.88 Hipérbole de fenda (Matemática Viva) 3.87 Hipérbolóide de fios (Matemática Viva) 3.88 113 Dois módulos, uma superfície Uma família de rectas geradoras de um cilindro. A intersecção de um hiperbolóide com o plano representado é uma hipérbole. A intersecção de um hiperbolóide com o plano representado é uma hipérbole de um tipo diferente da figura anterior. Uma família de rectas geradoras de um hiperbolóide. 3.89 3.90 3.91 3.92 3.89 3.90 3.91 3.92 Dois módulos, uma superfície O cone não é a única superfície cujas secções por qualquer plano são cónicas [NS]. Tal acontece para uma classe de superfícies, ditas quádricas, que inclui o cilindro, a esfera, o elipsóide e o hiperbolóide de uma folha (fig 3.90). Esta é uma superfície gerada por rotação de uma hipérbole em torno da mediatriz dos seus focos. As suas propriedades estão na génese de dois módulos intimamente relacionados da exposição Matemática Viva: a hipérbole de fenda e o hiperbolóide de fios (figs 3.87 e 3.88). A hipérbole de fenda foi provavelmente um dos módulos com maior impacto na mostra, quer pela dimensão quer pela surpresa causada nos visitantes. Era constituído por uma enorme placa metálica onde estavam gravados dois arcos de hipérbole e por duas hastes metálicas inclinadas e soldadas que giravam sobre um disco móvel situado na base do módulo (fig 3.87). Embora as hastes aparentassem estar em vias de colidir com a placa, tal nunca ocorria. O hiperbolóide de fios pretendeu elucidar sobre outro aspecto da construção das cónicas. O cone é uma superfície gerada por revolução de uma recta concorrente, não perpendicular, ao eixo de rotação (fig 3.13), mas há duas outras posições possíveis da geratriz relativamente ao eixo de rotação: se for paralela, a superfície obtida é um cilindro (fig 3.89); se for enviesada e não ortogonal, o resultado é um hiperbolóide de uma folha (que designaremos apenas por hiperbolóide). Poderá parecer estranho que uma superfície tão curvada contenha sequer uma recta. Contudo, atentemos nas secções de um hiperbolóide por uma família de planos paralelos ao eixo r: a intersecção é uma hipérbole (figuras 3.91 e 3.92) ou a união de duas rectas concorrentes (fig 3.93) quando o plano é tangente à circunferência a vermelho. Cónicas e bilhares 03 114 121 4.1 4.2 À entrada da exposição Matemática Viva ([web4]), uma parede exibia uma figura de grandes dimensões (fig 4.1). Não se tratava, contudo, de uma imagem estática: ela foi sendo construída, ponto a ponto, ao longo de vários anos, tendo cada visitante a oportunidade de contribuir com um ponto, bastando para isso accionar um botão. No início da exposição, o visitante deparava-se apenas com uma amálgama de pontos aparentemente desordenada (fig 4.2). No entanto, decorridos alguns anos, foi possível detectar uma forma regular, com traços geométricos muito interessantes. Cada novo ponto da figura correspondia ao ponto médio do segmento que unia o último ponto registado a um dos vértices do triângulo grande. Como é que um processo de construção tão simples conduziu a um desenho tão sofisticado? Esta é precisamente a questão que analisaremos de seguida. 122 O módulo 123 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 Os adereços preparados para o módulo resumiamse a: a) três pontos coloridos de azul, verde e vermelho, dispostos nos vértices de um triângulo equilátero e projectados numa parede e b) uma grande caixa com um vidro no topo (fig 4.3) e um botão ao lado, em cujo interior estava um dado, com uma face visível virada para cima e, sempre que o botão era accionado, o dado era lançado (fig 4.5). Não se tratava, contudo, de um dado convencional: em vez dos tradicionais pontos, cada par de faces opostas estava pintado com uma de três cores - verde, vermelho ou azul. Após cada lançamento, a cor visível era registada por um sensor e, mediante o resultado, era recalculada a figura que estava a ser projectada: fig 4.4 (informação resumida sobre este módulo encontra-se em [At]). Recuemos ao início do processo: o primeiro ponto a preto foi marcado sobre o vértice azul. A segunda marcação ocorreu após o primeiro lançamento do dado: na imagem da parede, acrescentou-se o ponto médio do segmento unindo o vértice da cor obtida ao ponto anteriormente marcado (fig 4.10) - o novo ponto correspondia, pois, à imagem do anterior por uma homotetia de razão ½ e centro no vértice da cor registada no dado. Repetindo este procedimento, obtevese o terceiro ponto (fig 4.11). A figura patente na exposição resultou de iterações sucessivas do processo descrito. Assim, a partir da primeira imagem, foram-se formando, no interior do triângulo com vértices em PA, PE e PV, configurações de aspecto complicado cujo limite, que designaremos por L, não está ao nosso alcance desenhar mas podemos descrever (a figura 4.9 é uma aproximação grosseira de L, obtida depois de apenas 4000 lançamentos). As figuras 4.6, 4.7 e 4.8 mostram as imagens que se obteriam se, no dado, tivesse saído: (a) sempre a cor azul; (b) alternadamente azul e verde; (c) azul, verde e encarnado, repetidas por esta ordem. O módulo Jogos e fractais 04 124 fig 4.10 fig 4.11 O módulo 125 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 Após a primeira aplicação do processo, os dois pontos, o inicial e o entretanto obtido (que poderão coincidir), terão de ocupar duas das três posições indicadas na figura 4.12, que são os vértices do triângulo equilátero pequeno à esquerda, um dos quatro em que se divide a região triangular original [PAPEPV]. Em particular, estes dois pontos pertencem à figura 4.13, que designaremos por T2. Analogamente, após o segundo lançamento do dado, o novo ponto terá de ocupar uma das 9 posições assinaladas na figura 4.14, que são vértices de triângulos equiláteros iguais em que se dividem três da geração anterior – a região triangular central sem o bordo da figura 4.13 não voltará a intervir no processo. Os três pontos marcados pertencem, pois, a T3 (fig 4.15). Em geral, na n-ésima iteração, todos os pontos pertencem aos vértices de uma família Tn+1 de triângulos pequeninos, equiláteros e iguais, que se obtêm dividindo todos os da geração anterior e retirando-se as regiões triangulares médias. À intersecção infinita S de todos os Ti’s chama-se triângulo de Sierpinski. Do que vimos, sabemos que L está contido em S. E a inclusão recíproca será válida? Consideremos apenas o que ocorre no lado do triângulo equilátero com extremos PA e PV, que supomos ter comprimento 1. Note-se que a marcação dos pontos neste lado do triângulo pressupõe que a cor vermelha não sai nos lançamentos, uma vez que ela determina o registo de pontos fora de [PAPV]. Neste segmento, após o primeiro lançamento, só poderá ser marcado um de dois pontos: PA ou o ponto médio do segmento. Com o segundo lançamento, poderão aparecer dois pontos: os que se encontram a uma distância de ¼ e ¾ de PA (fig 4.20). O que ocorre na quarta geração? Indutivamente, deduzimos que qualquer ponto de [PAPV] seleccionado pelo processo indicado dista de PA uma fracção do tipo k/2n, com k e n inteiros não-negativos e k menor ou igual ao denominador da fracção. Portanto, nem todos os pontos do triângulo de Sierpinski S são elementos de L: por exemplo, o ponto que em [PAPV] dista 1/3 de PA está em S mas não em L. Jogos e fractais 04 126 fig 4.18 fig 4.19 fig 4.20 fig 4.21 Todos os pontos do triângulo L estão a uma distância inferior a 1/4 de X. O módulo 127 Na figura, todos os pontos (de L) têm a cor do penúltimo lançamento. Na figura, todos os pontos (de L) têm a cor do último lançamento. 4.22 4.244.23 4.25 4.26 4.22 4.23 4.24 Distribuição das cores correspondentes, respectivamente, ao último, penúltimo e antepenúltimo lançamentos. 4.25 Após a sequência de lançamentos: “vermelhoverde-vermelho“, o ponto ocupará a região S. 4.26 No entanto, L é uma boa aproximação de S, isto é, cada ponto de S tem, arbitrariamente perto, um ponto de L. Vejamos um exemplo: como aproximar, com um erro máximo permitido de ¼, o ponto X de S (fig 4.22) por um ponto de L? O ponto X encontra-se no interior do triângulo equilátero L; ora, como os lados deste triângulo medem ¼, qualquer ponto de L está a uma distância inferior a ¼ de X. Se garantirmos a existência de um ponto de L em L (ou no seu interior), temos resolvido o problema proposto. Comecemos por observar que a região a vermelho da figura 4.23 corresponde à imagem do triângulo original por uma homotetia de centro PE (vértice encarnado) e razão ½. O mesmo é válido para a região azul (sendo agora PA o centro da homotetia) e para a região verde (centro em PV). Deduz-se então que, nestas três zonas coloridas, os pontos de L possuem a cor registada no lançamento anterior à sua marcação. E como descobrir a cor do penúltimo lançamento? Antes do último lançamento, os pontos distribuíamse, então, por três zonas distintas, de acordo com a cor registada no lançamento antecedente (fig 4.23). Após o último lançamento, os novos pontos passaram a distribuir-se por outras três zonas (fig 4.24): zE, no caso de ter saído vermelho; zA, para o azul; e zV para o verde. Nestas três regiões, todos os pontos de L dos pequenos triângulos coloridos possuem a cor dos que lhes deram origem e, portanto, mantêm a do penúltimo lançamento. Considerações análogas permitem-nos concluir que, na imagem mais à direita da figura 4.25, os pontos de L têm as cores obtidas no antepenúltimo lançamento. Em resumo: para existir um ponto de L no triângulo L, basta que, a certa altura, no lançamento dos dados, saiam as cores “vermelho, verde, vermelho”, por esta ordem (fig 4.26). Jogos e fractais 04 128 fig 4.27 0 tem arbitrariamente perto um ponto da sucessão (1/n)n. Por menor que seja o número positivo que consideremos, existe um ponto da sucessão a uma distância de 0 ainda inferior a esse número. O módulo 129 4.28 4.29 4.30 4.31 4.32 A colorido, encontram-se as imagens do triângulo grande pelas homotetias de razão ½ e centro em cada um dos vértices 4.28 A colorido, encontram-se as imagens do quadrado grande pelas homotetias de razão ½ e centro em cada um dos vértices 4.29 Simulação do resultado do jogo descrito, para o caso do quadrado (com 20000 lançamentos). 4.30 Simulação do resultado do jogo descrito, para o caso do pentágono regular (com 20000 lançamentos). 4.31 A colorido, encontram-se as imagens do pentágono grande pelas homotetias de razão ½ e centro em cada um dos vértices. 4.32 O exemplo retratado na figura 4.22 é muito específico (nele impôs-se, por exemplo, que o erro máximo seja ¼). Contudo, o método empregue pode ser generalizado, garantindo a existência de uma sequência finita de cores que culmina na marcação de um ponto tão próximo quanto queiramos de um outro ponto (previamente fixado) do triângulo de Sierpinski. Por outro lado, como se está a supor que ocorreu uma infinidade de lançamentos aleatórios do dado, as cores registadas nesses lançamentos formam uma sucessão (aleatória) de cores. E é possível provar que, com probabilidade 1, qualquer sequência finita de cores aparece na referida sucessão [BR]. Estes factos levam-nos, pois, a garantir que L é uma boa aproximação de S.1 Jogando noutros polígonos Fixado um triângulo, as suas imagens pelas três homotetias de razão ½ e centro nos seus vértices não preenchem o triângulo original – há um “buraco” triangular no meio (fig 4.28). Tal buraco nunca poderá ser visitado por uma sucessão de pontos gerada pelo processo descrito. E se tivéssemos usado um quadrado? Neste cenário, os quatro quadrados homotéticos preencheriam o original (fig 4.29). Na realidade, uma sucessão de pontos resultante de uma infinidade de lançamentos aleatórios do dado não só não deixa buracos (fig 4.30) como, de facto, cada ponto do quadrado pode ser aproximado tão bem quanto se queira por elementos da referida sucessão. E se, em vez de quadrados, usarmos pentágonos regulares (fig 4.32)? Uma simulação do resultado do jogo, adaptado a um pentágono regular, está patente na figura 4.31. (applets ligados a esta temática podem ser encontrados em [web4]). 1 Uma versão mais curta deste texto foi publicada na coluna do Atractor na revista Gazeta de Matemática da SPM. Jogos e fractais 04 130 Figura 47: Modelo do espaço de configuração. Figura 48: Outras formas para o empilhamento das circunferências. 52 Figura 49: Vizinhança do ponto acrescentado. Figura 50: Modelo com defeito. 53 Figura 51: α=α0eµ= 0. Figura 52: limα→0µ0(α) = 0. Figura 53: Modelo simétrico. 54 6.3 Espaços de configuração degenerados Na maioria dos espaços de configuração descritos na Secção 6.1, em que mantivemos fixos os comprimentos ℓ2= 9,ℓ3= 3,ℓ4= 4,ℓ5= 5 e variámos ℓ1entre 9e20, cada ponto tem uma vizinhança que é homeomorfa a um disco do plano. São portanto superfícies3. Mas isso não acontece nos casos III, V e VII: apesar de também serem parametrizáveis por duas variáveis, contêm pontos sem nenhuma vizinhança homeomorfa a uma bola do plano. Diremos que são espaços degenerados. ℓ1Espaço de configuração 20 Homeomorfo a uma esfera 15 < ℓ1<20 Homeomorfo a uma esfera 15 Degenerado 13 < ℓ1<15 Homeomorfo a um toro 13 Degenerado 11 < ℓ1<13 Homeomorfo a um bi-toro 11 Degenerado 9< ℓ1<11 Homeomorfo a um tri-toro Proposição 6.1. Seja Mum pentágono articulado. O espaço de configuração de Médegenerado se alguma das seguintes condições se verifica: 1. [M]só contém um ponto. 2. Existe uma realização de Mcom dois pontos, fixos ou móveis, sobrepostos. 3. Existe β∈ DMtal que [Mβ]é uma curva como as da Figura 54. ou Figura 54: Curvas [Mβ]de um espaço de configuração degenerado. 3Sobre este conceito, veja-se também [10]. 55 4. Existe γ∈ DMtal que: •[Mγ]é um oito e existe uma vizinhança Wde γem DMtal que [Mα]é uma circunferência, para todo o αem W \{γ} ou •[Mγ]é um oito e existe uma vizinhança Wde γem DMtal que [Mα]é um par de circunferências disjuntas, para todo o αem W \{γ}. 5. Existe δ, no interior de DMou igual a 0, tal que [Mδ]se reduz a um ponto. 6. DM= [0,2π]e não existe αextremo de DMtal que [Mα]é um ponto. As condições anteriores podem reformular-se usando relações entre os comprimentos das hastes do mecanismo, como descreve a próxima proposição. Proposição 6.2. Um pentágono articulado tem espaço de configuração degenerado se alguma das seguintes condições se verifica: 1. ∃i∈ {1, ..., 5}:ℓi= 5 ∑ k=1,k=i ℓk. 2. ℓ1=ℓ2,ℓ3≤ℓ4+ℓ5eℓ3≥ |ℓ4−ℓ5|. 3. ℓ1=ℓ5,ℓ2≤ℓ3+ℓ4eℓ2≥ |ℓ3−ℓ4|. 4. ℓ2=ℓ3,ℓ1≤ℓ4+ℓ5eℓ1≥ |ℓ4−ℓ5|. 5. ℓ4=ℓ5,ℓ1≤ℓ2+ℓ3eℓ1≥ |ℓ2−ℓ3|. 6. ℓ3=ℓ4,ℓ1≤ℓ2+ℓ5eℓ1≥ |ℓ2−ℓ5|. 7. ℓ3=ℓ5,ℓ4∈dM(EM). 8. |ℓ1−ℓ2| ∈ −L. 9. ℓ1+ℓ2∈ −L. 10. |ℓ1−ℓ2|= max L. 11. ℓ1+ℓ2=ℓ3+ℓ4+ℓ5. 56 Demonstração. Pela Proposição 4.1, a condição (1) do enunciado da Proposição 6.2 é equivalente à condição (1) da Definição 6.1. Suponhamos que a condição (1) da Definição 6.1 não é válida, mas se verifica (2). Esta condição é verdadeira se e só se ocorrer uma das situações descritas na Figura 55, equivalentes às condições (2), (3), (4), (5) e (6) da Proposição 6.2, respectivamente. Figura 55: Posições degeneradas. Suponhamos agora que nem a condição (1) nem a (2) da Definição 6.1 são válidas, mas a condição (3) se verifica. Pelas Proposições 5.2 e 5.3, dado α∈ DM, o espaço de configuração de Mαé uma das curvas do enunciado de (3) se e só se (A)ℓ4=ℓ5edM(α) = ℓ3 ou (B)dM(α) + ℓ3=ℓ4+ℓ5e|dM(α)−ℓ3|=|ℓ4−ℓ5|. Ora a condição (B) é equivalente a (C)ℓ3=ℓ5eℓ4=dM(α) ou (D)ℓ3=ℓ4eℓ5=dM(α). Além disso, tanto (A) como (D) são casos particulares das condições (5) e (6) da Proposição 6.2. Por outro lado, se se verificar (C), o espaço de configuração de Mαé uma das curvas ilustradas na alínea (3) da Definição 6.1. Daqui deduzimos a condição (7) da Proposição 6.2. Prossigamos, supondo que as condições (1), (2) e (3) da Definição 6.1 não se verificam, mas ocorre (4). Em particular, existe γem EMtal que dM(γ) 57 é um elemento de −L. Analisemos primeiro o caso em que γ= 0 eγ=π. Note-se que γnão é máximo nem mínimo de EM(caso contrário, [Mγ]seria um ponto e não um oito). Suponhamos que dM(γ) = ℓ4+ℓ5−ℓ3(os restantes casos tratam-se de modo análogo). Como ℓ4+ℓ5−ℓ3=ℓ4+ℓ3−ℓ5 e ℓ4+ℓ5−ℓ3=ℓ5+ℓ3−ℓ4, a primeira relação toma valores diferentes, respectivamente, à esquerda e à direita de γ, enquanto a segunda não muda. Isso significa que [Mα]é de um tipo diferente (circunferência/par de circunferências disjuntas) à direita e à esquerda de γe, portanto, qualquer vizinhança de γem DMcontém circunferências e pares de circunferências disjuntas. Mas isso contradiz (4). E, portanto, devemos ter γ= 0 ou γ=π. Assim, a condição (4) da Definição 6.1 implica que se tenha (A) 0 ∈ DMe[M0]é um oito ou (B)π∈ DMe[Mπ]é um oito. Observe-se finalmente que (A) é equivalente à condição (8) da Proposição 6.2, enquanto (B) equivale à condição (9) da mesma Proposição. Se ocorrer a condição (5) da Definição 6.1, então existe ξem EM, definido por ξ=δ ou ξ= 2π−δ tal que [Mξ]é um ponto e, portanto, dM(ξ) = ℓ3+ℓ4+ℓ5 ou dM(ξ) = max L. Pela Proposição 4.3, se δ= 0 eδ=π, então, ou ξé máximo ou é mínimo de EM. Em ambos os casos, δé um elemento da fronteira de DM, o que contradiz (5). Concluímos assim que a condição (5) da Definição 6.1 só é válida se δ= 0 ou δ=π. Ora, afirmar que 0∈ EMe[M0]é um ponto equivale à igualdade |ℓ1−ℓ2|= max L(que é a condição (10) da Proposição 6.2), 58 enquanto que dizer que π∈ EMe[Mπ]é um ponto é equivalente à igualdade ℓ1+ℓ2=ℓ3+ℓ4+ℓ5(que é a condição (11) da Proposição 6.2). Assim, dar-se a condição (5) da da Definição 6.1 é equivalente a ser válida a afirmação (10) ou (11) da Proposição 6.2. Falta apenas analisar o cenário indicado na condição (6) da Definição 6.1. Se DM= [0,2π], então EM= [0, π]. Pela Proposição 4.3, existe αna fronteira de EMtal que [Mα]é um ponto e, pela mesma Proposição, α pertence à fronteira de DM. A condição (6) é, pois, impossível no caso dos pentágonos articulados. 6.4 Genus e simetria Regressemos ao Exemplo 6.1 e observemos os espaços de configuração dos três casos não degenerados aí apresentados. Constatamos que a diferença mais relevante entre eles está no número de oitos que surgem no espaço de configuração de Mα. Se conhecêssemos de antemão esse número de oitos, saberíamos descrever imediatamente o espaço de configuração do mecanismo: seria formado pela junção, por camadas, de um ponto, seguido de circunferências, seguido de um oito (se existisse), seguido de circunferências disjuntas, etc, seguido de circunferências e terminando num ponto. Ora, numericamente, esse número de oitos é precisamente o dobro do número de elementos de −Lno intervalo [|ℓ1−ℓ2|, ℓ1+ℓ2]. Analisemos o exemplo seguinte para identificarmos outro aspecto de natureza topológica a ter em conta nos espaços de configuração. 6.4.1 Exemplo Consideremos um pentágono articulado M, com comprimentos 8,5,1,2,5. Como 8 + 5 >1 + 2 + 5 e8−5>5−(1 + 2) = max L, concluímos que EM= [0, α0], para algum α0com 0< α0< π. Tal como no Exemplo 6.1, podemos provar que existem β2< β1em [0, α0]tais que: 59 Condição sobre αRelações Espaço de configuração de Mα α=α0(>, >)Ponto β1< α < α0(>, >)Circunferência α=β1(=, >)Oito β2< α < β1(<, >)Duas circunferências disjuntas α=β2(<, =) Oito −β2< α < β2(<, <)Circunferência α=−β2(<, =) Oito −β1< α < −β2(<, >)Duas circunferências disjuntas α=−β1(=, >)Oito −α0< α < −β1(>, >)Circunferência α=−α0(>, >)Ponto O espaço de configuração é assim como o da Figura 56. Figura 56: Espaço de configuração do Exemplo 6.4.1 com ℓ1= 8. Diminuamos agora o valor de ℓ1em uma unidade. Temos então ℓ1+ℓ2> ℓ3+ℓ4+ℓ5 e |ℓ1−ℓ2|= max L. O quadro para [Mα]difere do anterior num pormenor: como |ℓ1−ℓ2|= max L, então [M0]é um ponto. Por esse motivo, o espaço de configuração tem a forma apresentada na Figura 57. 60 Figura 57: Espaço de configuração do Exemplo 6.4.1 com ℓ1= 7. Por fim, diminuindo ℓ1mais uma unidade, obtemos ℓ1+ℓ2> ℓ3+ℓ4+ℓ5 e max L > |ℓ1−ℓ2|. Desse modo, DM= [α1, α0]∪[2π−α0,2π−α1], para alguns α0, α1com 0< α1< α0< π, e o espaço de configuração é o da Figura 58. Note-se que, neste exemplo, alterámos o espaço de configuração com uma componente conexa4e quatro oitos até terminarmos num espaço com duas componentes conexas, cada uma com dois oitos. O que determinou essa mudança no número de oitos e de componentes conexas? O facto de 0pertencer ou não a EM. Em termos mecânicos, tal significa que as hastes móveis conseguem passar da posição no semiplano acima da linha que une P1aP2 para a posição simétrica mas no semiplano abaixo. Conclusão análoga resultaria se tivéssemos considerado πem vez de 0. Numericamente, trata-se de determinar quantos elementos de {0, π}pertencem a EMou, equivalentemente, quantos elementos de {|ℓ1−ℓ2|, ℓ1+ℓ2}pertencem ao intervalo [max L, ℓ3+ℓ4+ℓ5]. Por isso, os espaços de configuração que obtivemos 4Um espaço topológico Xdiz-se conexo se não for a união de dois abertos não-vazios e disjuntos. Os subconjuntos conexos maximais (relativamente à inclusão) de Xdizem-se componentes conexas de X; são subconjuntos fechados e formam uma partição de X; se forem em número finito, são também abertos. 61 Figura 64: [M]é um toro. Figura 65: Pentágono com mais uma haste unida a um novo ponto fixo. Porém, o mero acréscimo de um ponto fixo e de uma haste a ele ligada não conduz a um espaço de configuração mais rico (aliás, em geral, acontece o oposto). Mas, se acrescentarmos um ponto móvel, obtemos um espaço de configuração muito mais vasto do que o inicial: na verdade, até vasto de mais, pois o espaço de configuração é agora parametrizável por 4variáveis livres. Uma maneira de reduzirmos a liberdade excessiva neste último cenário consiste em unir à haste adicionada uma outra haste ligada a um novo ponto fixo, como ilustra a Figura 66. 7.1 Pentágonos articulados aumentados O objectivo desta secção é o de estabelecer um processo indutivo que construa mecanismos cujos espaços de configuração tenham genus previamente fixado e arbitrariamente grande. Definição 7.1. Um pentágono articulado aumentado é um mecanismo c Mque se obtém de um pentágono articulado Macrescentando-lhe npontos fixos, npontos móveis e npares de hastes do seguinte modo: 68 P2 P1 P6 P7 l1 l2 l3 l4 l5 l6 l7 Figura 66: Pentágono com mais duas hastes e um novo ponto fixo. •O primeiro par de hastes une um novo ponto móvel, digamos V6, a um ponto móvel já existente, V3, e a um novo ponto fixo, digamos V7. •O segundo par de hastes une um outro novo ponto móvel, digamos V8, aV6e a um novo ponto fixo, digamos V9, •Etc. A Figura 67 mostra uma realização de um pentágono articulado aumentado, para n= 2. P2 P1 P9 P7 l1 l2 l3 l4 l5 l6 l7 l8 l9 Figura 67: Pentágono articulado aumentado. Uma vez que um pentágono articulado aumentado c Mcontém de facto apenas um pentágono articulado, manteremos a notação anterior (ou seja, 69 Mα,dM,DM,EM, etc) tendo em atenção que se referem ao sub-mecanismo Mde c Mformado pelo pentágono articulado. Recorde-se que, no caso dos quadriláteros e dos pentágonos articulados, só existem dois pontos fixos e conhecemos a distância entre eles porque, por definição, estão unidos por uma haste (de comprimento ℓ1). Por esse motivo, é indiferente qual o par de pontos que escolhemos em R2para "fixar"o mecanismo: escolhido outro par de pontos fixos, digamos P3eP4, que distem entre si ℓ1, existe uma isometria que leva [P1P2]em [P3P4]e associa a cada realização de Mcom pontos fixos P1eP2uma realização de Mcom pontos fixos P3eP4; e, portanto, os espaços de configuração [M](P1,P2)e[M](P3,P4) são homemorfos. Como vimos na Secção 2.1, dados ℓ1>0e dois pontos P1eP2, a qualquer terno de pontos (P1, P2, P7)com ∥P1−P2∥=ℓ1está associado um espaço de configuração [M](P1,P2,P7)(Definição 3.1). Contudo, o terceiro ponto fixo, P7, não está unido aos restantes pontos fixos P1eP2. Isso faz com que o possamos escolher por forma a ficar a uma distância de P1eP2tal que o espaço de configuração associado a P1, P2, P7seja apenas um ponto, ou o possamos escolher por forma a duplicar o espaço de configuração do pentágono articulado que deu origem ao pentágono articulado aumentado. Ou seja, para diferentes escolhas de P7, os espaços de configuração podem não ser homemorfos entre si. 7.2 Construção No que se segue, partiremos de um pentágono articulado cujo espaço de configuração é um toro e acrescentaremos duas hastes, um ponto fixo e um ponto móvel; desse modo, conseguiremos aumentar em 1o genus do espaço de configuração. Depois prosseguiremos por indução. A Figura 68 esquematiza este processo indutivo e exibe uma realização de um mecanismo cujo espaço de configuração tem genus g. Teorema 7.1. Para cada g∈N∪ {0}, existe um pentágono articulado aumentado cujo espaço de configuração tem genus g. Na Secção 6, vimos que, se 0≤g≤4, basta usar um pentágono articulado com 2pontos fixos, 3pontos móveis e 5hastes apropriadamente escolhidas para obter como espaço de configuração uma esfera (g= 0), um toro (g= 1), um bi-toro (g= 2), um tri-toro (g= 3) ou um 4-toro (g= 4). Provaremos de 70 Figura 68: Esquema da indução até g. seguida que, dado g∈N,g > 4, existe um pentágono articulado aumentado com •g+ 4 2pontos fixos, g+ 6 2pontos móveis e g+ 5 hastes, se g > 4egé par, •g+ 5 2pontos fixos, g+ 7 2pontos móveis e g+ 6 hastes, se g > 4egé ímpar, cujo espaço de configuração tem genus g. Demonstração. Regressemos ao caso g= 1 para iniciar o procedimento que, por indução, construirá um pentágono aumentado cujo espaço de configuração tem genus superior a quatro. Consideremos um pentágono articulado Mtal que [M](P1,P2)é um toro com α0<π 2. Suponhamos, por exemplo, que as medidas das hastes em Msão 9,3,1,5,3. Construiremos um pentágono articulado aumentado c Madicionando a Mum novo ponto fixo e duas novas hastes de comprimentos ℓ6eℓ7. Recorde-se que, se P1, P2, P7são pontos do plano tais que ∥P2−P1∥=ℓ1, então [c M](P1,P2,P7)=∪ α∈ DM [c Mα](P1,P2,P7). Seja α′∈ EMtal que [Mα′]é um oito. Suponhamos que escolhemos o novo ponto P7de modo que as duas novas hastes fiquem (esticadas) na mesma direcção quando P3=Cδ, para algum δcom α′< δ < α0e apenas nessas circunstâncias, como indica a Figura 69. Suponhamos ainda que P7pertence à semi-recta ˙ CδC−α0. Desse modo, P6é C∗ β, para algum β∈[−π, π], onde C∗ βé o ponto da circunferência de centro P7e raio ℓ7tal que −−−→ P7C∗ βfaz um ângulo de valor βcom −−→ P7Cδ(Figura 70). 71 Figura 69: Posição do mecanismo com as duas novas hastes esticadas. Por fim, suponhamos que, por construção das novas hastes, se tem: •o valor máximo que βpode tomar, que designamos por β0, é menor que π 2e é obtido quando P3=C−α0; •o valor mínimo que βpode tomar é −β0e é também obtido quando P3=C−α0; •o ângulo ∠P7C∗ β0C−α0=∠P7C∗ −β0C−α0=π 2. Então, analisando [c Mα](P1,P2,P7), para todo o α∈ DM, concluímos que: Condição sobre αRelações [c Mα](P1,P2,P7) α=−α0(>, >)Dois pontos −α0< α < −α′(>, >)Duas circunferências disjuntas α=−α′(>, =) Dois oitos −α′< α < α′(>, <)Dois pares de circunferências disjuntas α=α′(>, =) Dois oitos α′< α < δ (>, >)Duas circunferências disjuntas α=δ(>, >)Uma circunferência 72 Figura 70: Ligação entre P6,P7eCδ. A Figura 71 mostra este espaço de configuração. Repare-se que [c M](P1,P2,P7)=c M1∪c M2, onde c M1=∪ α∈[−α0,δ] [c Mα] = c M2. Como c M1ec M2possuem o mesmo número de oitos que [M] = ∪ α∈ DM [Mα] e a curva de colagem [c Mδ](P1,P2,P7) de c M1com c M2é uma circunferência (veja a tabela anterior), então a reunião de c M1ec M2duplica o número de oitos existente em [M]e, portanto, [c M](P1,P2,P7)tem uma componente conexa e é um bi-toro. Em resumo, o processo que descrevemos consiste em adicionar um ponto fixo e um par de hastes a um pentágono articulado previamente fixado de 73 Figura 71: Bi-toro obtido com um pentágono aumentado. modo a cortar o seu espaço de configuração por uma circunferência, depois duplicar a parte cortada e finalmente unir as duas partes, a original cortada e a sua cópia, pela circunferência. Assim, partindo de um toro, construímos um bi-toro. Lema 7.2. A construção anterior é possível. Demonstração. Observemos a Figura 72. Figura 72: β0<π 2. 74 Temos P7C−α0=P7Cδ−CδC−α0 =ℓ6+ℓ7−CδC−α0 =ℓ6+ℓ7−2ℓ2cos(γ) onde γ=π−(δ+α0) 2. Por outro lado, ℓ6=P7C−α0cos(γ) ℓ7=P7C−α0sin(γ), de onde se conclui que P7C−α0=P7C−α0cos(γ) + P7C−α0sin(γ)−2ℓ2cos(γ) isto é, P7C−α0=2ℓ2cos(γ) cos(γ) + sin(γ)−1. Daqui resulta que ℓ6=2ℓ2cos2(γ) cos(γ) + sin(γ)−1 ℓ7=ℓ2(cos(γ) + sin(γ) + 1) . Além disso, β0=π−π 2−γ < π 2. Nota 7.1. Consideremos as correspondências •f1: [−α0, δ]→[0, β0],que a cada α∈[−α0, δ]associa o valor em [0, β0]tal que C∗ f1(α)pertence à circunferência de centro Cαe raio ℓ6e a concavidade entre −−−−−→ C∗ f1(α)P7e−−−−−→ C∗ f1(α)Cαé positiva ou nula; •f2:[−α0, δ]→[−β0,0],que a cada α∈[−α0, δ]associa o elemento de [−β0,0] tal que C∗ f2(α)pertence à circunferência de centro Cα e raio ℓ6e a concavidade entre −−−−−→ C∗ f2(α)P7e−−−−−→ C∗ f2(α)Cαé negativa ou nula. 75 Em [5] pode ler-se uma prova de que f1ef2são funções e de que são estritamente monótonas (respectivamente, decrescente e crescente). Por isso, em vez de analisarmos [c M](P1,P2,P7)em função do ângulo αem [−α0, δ], podemos transferir o estudo para a variável βno intervalo [−β0, β0]. Desse modo, c M1=∪ β∈[0,β0] [c Mf−1 1(β)] ec M2=∪ β∈[−β0,0] [c Mf−1 2(β)]. O método anterior pode ser generalizado para se obter um espaço de configuração com uma componente conexa de genus g= 3. Vejamos como. Regressemos ao pentágono articulado aumentado anterior e consideremos a função g: [−β0, β0]→[−α0, δ] tal que g|[0,β0]≡f−1 1 g|[−β0,0[ ≡f−1 2. Seja ε∈]0, β0[tal que ∪β∈[−β0,ε][c Mg(β)](P1,P2,P7)contém três oitos. Acrescentemos um ponto fixo P9e duas hastes, de comprimentos ℓ8eℓ9, nas condições indicadas no Lema 7.2: em particular, pretendemos que fiquem completamente esticadas quando (e só quando) β=εe que formem um triângulo rectângulo quando β=−β0. Tal é possível, bastando tomar ℓ8=2ℓ7cos2(γ) cos(γ) + sin(γ)−1 ℓ9=ℓ7(cos(γ) + sin(γ) + 1) γ=π−(ε+β0) 2 P9=o ponto da semi-recta ˙ C∗ εC∗ −β0tal que ∥C∗ ε−P9∥=ℓ8+ℓ9. Esquematicamente, temos: 76 c M1+c M2=c M + Em resumo, o processo consiste em adicionar um ponto fixo e um par de hastes ao pentágono articulado aumentado obtido para o caso g= 2 de modo a cortar o seu espaço de configuração por um par de circunferências disjuntas, depois duplicar a parte cortada e finalmente unir as duas partes pelo par de circunferências referido. Desse modo, construímos um novo pentágono articulado aumentado c Mtal que [c M](P1,P2,P7,P9)é um tri-toro (sendo n1= 1 en2= 6). É também claro que, se se tivesse escolhido εpor forma a que ∪ β∈[−β0,ϵ] [c Mg(β)](P1,P2,P7)contivesse quatro oitos, o espaço final seria um 4-toro. c M1+c M2=c M + 77 Descrição Descrição 84 Descrição 85 Animação 2 Descrição 86 Descrição 87 Descrição 88 Descrição 89 Descrição 90 10 Bibliografia Nos artigos [6, 9, 2], os autores apresentam uma descrição dos espaços de configuração obtidos com pentágonos articulados ditos genéricos, usando métodos distintos do utilizado neste texto para os identificar ou visualizar (nomeadamente Teoria de Morse, espaços de fibras e a projecção proposta em [8]). Em [4], pode aprender-se como construir um mecanismo gigantesco cujo espaço de configuração contém uma componente conexa que é o plano projectivo, uma garrafa de Klein ou outra superfície compacta, sem bordo e não orientável. Contudo, ao contrário do caso orientável, não se conhece um mecanismo cujo espaço de configuração tenha apenas uma componente conexa e que seja precisamente uma destas superfícies não-orientáveis. Referências [1] R. Courant, H. Robbins, I. Stewart, What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press, 2aedição, 1996. [2] R. Curtis, M. Steiner, Configuration Spaces of Planar Pentagons, American Mathematical Monthly 114 (2007) 183–201. [3] G. K. Francis, J. R. Weeks, Conway’s ZIP Proof, American Mathematical Monthly 106 (1999) 393–399. [4] D. Jordan, M. Steiner, Configuration Spaces of Mechanical Linkages, Journal of Discrete and Computational Geometry 22 (1999) 297–315. [5] D. Jordan, M. Steiner, Compact Surfaces as Configuration Spaces of Mechanical Linkages, Israel Journal of Mathematics 122 (2001) 175–187. [6] O. Mermoud, M. Steiner, Visualisation of Configuration Spaces of Polygonal Linkages, Journal for Geometry and Graphics 4, No. 2 (2000) 147–157. 91 [7] J. R. Munkres, Topology: a first course, Prentice-Hall, 1975. [8] W. P. Thurston, J. R. Weeks, The mathematics of three-dimensional manifolds, Scientific American 251 (1984) 94–107. [9] D. Shimamoto, C. Vanderwaart, Spaces of polygons in the plane and Morse theory, American Mathematical Monthly 112 (2005) 289–310. [10] Simetria - apresentação dinâmica http://www.atractor.pt/publicacoes/conteudoDVD.htm [11] http://www.math.toronto.edu/ drorbn/People/Eldar/thesis/ 92