Oscilação em massa e estabilidade hidráulica de sistemas complexos de chaminés de equilíbrio

O SCILAÇÃO EM M ASSA E E STABILIDADE H IDRÁULICA DE S ISTEMAS C OMPLEXOS DE C HAMINÉS DE E QUILÍBRIO J OÃO A UGUSTO R IBEIRO C ORREIA Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de M ESTRE EM E NGENHARIA C IVIL — E SPECIALIZAÇÃO EM H IDRÁULICA Orientador: Francisco de Almeida Taveira Pinto Coorientador: Pedro de Almeida Manso (Janeiro 2014) M ESTRADO I NTEGRADO EM E NGENHARIA C IVIL 2013/2014 D EPARTAMENTO DE E NGENHARIA C IVIL Tel. +351-22-508 1901 Fax +351-22-508 1446  [email protected] Editado por F ACULDADE DE E NGENHARIA DA U NIVERSIDADE DO P ORTO Rua Dr. Roberto Frias 4200-465 PORTO Portugal Tel. +351-22-508 1400 Fax +351-22-508 1440  [email protected]t  http://www.fe.up.pt Reproduções parciais deste documento serão autorizadas na condição que seja mencionado o Autor e feita referência a Mestrado Integrado em Engenharia Civil - 2013/2014 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2014. As opiniões e informações incluídas neste documento representam unicamente o ponto de vista do respetivo Autor, não podendo o Editor aceitar qualquer responsabilidade legal ou outra em relação a erros ou omissões que possam existir. Este documento foi produzido a partir de versão eletrónica fornecida pelo respetivo Autor. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio A meus Pais Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio i A GRADECIMENTOS Queria agradecer aos meus Orientadores e aos serviços da Biblioteca da FEUP. Queria deixar também um agradecimento especial à minha namorada pela paciência que teve nestes meses. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio iii R ESUMO Na presente dissertação foi caracterizado o funcionamento dos diversos tipos e sistemas de chaminés de equilíbrio associados a aproveitamentos hidroeléctricos, tendo especial atenção aos aspectos relacionados com a estabilidade das oscilações do nível de água no interior da chaminé quando admitido que a regulação automática da turbina é realizada de modo a gerar potência constante. Foram apresentadas metodologias para a resolução das equações fundamentais que caracterizam o fenómeno da oscilação em massa para diversos tipos e sistemas de chaminés. Com base no trabalho desenvolvido por Gardel, foi também desenvolvida uma metodologia para simular a regulação automática da turbina tendo em conta os efeitos da energia cinética no túnel junto do ponto de inserção da chaminé, das perdas de carga na conduta forçada, da curva de rendimento da turbina e do funcionamento em rede do aproveitamento. Estas metodologias foram implementadas em ferramentas de cálculo automático que permitem para exemplos concretos de CE localizadas a montante e/ou a jusante da turbina simular diversos casos de carga para a determinação dos níveis máximos e mínimos e também aferir a estabilidade hidráulica das oscilações através da observação dos resultados. Essas ferramentas foram utilizadas no estudo de um circuito hidráulico com chaminés de equilíbrio a montante e a jusante de uma central equipada com turbinas Francis. P ALAVRAS -C HAVE : Chaminés de Equilíbrio, Oscilação em Massa, Estabilidade das Oscilações, Aproveitamentos Hidroeléctricos. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio v A BSTRACT In this dissertation was characterized the behaviour of the various surge chambers types and systems, when integrated in the waterways of hydroelectric power plants, focusing the aspects related with the incipient stability of the oscillations when a constant power regulation is considered. It was presented methodologies to solve the governing equations which characterize the mass oscillation phenomenon for the various types and surge chambers systems. A methodology to simulate the constant power regulation of the turbine was developed based on Gardel’s work, taking into account the kinetic energy in the tunnel near the insertion point of the surge chamber, head losses in penstock, the turbine efficiency curve and the operation in parallel with other units. These methodologies were implemented in some calculation tools, allowing the simulation of some scenarios to evaluate the maximum and minimum levels in the upstream and/or the downstream surge chambers and to evaluate the incipient stability of oscillations through the computation results observation. These tools were used for the study of a particular project provided with two surge chambers located on the downstream and upstream side of a Francis turbine. K EYWORDS : Surge Chambers, Mass Oscillation, Incipient Stability, Hydropower. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio xii Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio xiii Í NDICE DE T ABELAS Tabela 2.1 - Nível de água máximo na chaminé calculado por diferentes métodos de cálculo de diferenças finitas. .................................................................................................................................. 38 Tabela 2.2 - Valores do coeficiente K S (m 1/3 /s) para diversos revestimentos. ...................................... 42 Tabela 2.3 - Perdas de carga em tomadas de água, [51]. ..................................................................... 43 Tabela 2.4 - Valores dos coeficientes x y k , x y l e x y m , [52]. ....................................................................... 46 Tabela 2.5Cenários a considerar no dimensionamento de CE. .......................................................... 48 Tabela 3.1Cálculo de A Th para o exemplo da Figura 2.20. ................................................................. 52 Tabela 3.2 - Cálculo do valor de n*. ....................................................................................................... 54 Tabela 3.3 - Cálculo de A Th para o exemplo da Figura 2.20, admitindo uma solução com estrangulamento. ................................................................................................................................... 56 Tabela 3.4 - Valores de λ em função do ângulo da bifurcação (δ) e para φ =1. ................................... 56 Tabela 3.5Enquadramento das variáveis respeitantes à curva de rendimento da turbina, [56]. ....... 63 Tabela 3.6 - Cálculo de A Th para a CE de Montante (índice 1) e de Jusante (índice 2) ....................... 68 Tabela 3.7Cálculo das Condições de estabilidade de Routh-Wurwitz ................................................ 68 Tabela 5.1 - Características geométricas e perdas de carga do circuito analisado .............................. 75 Tabela 5.2Cálculo de A Th1 e A Th2 ........................................................................................................ 76 Tabela 5.3Cálculo dos factores de segurança ) a n , ) b n , ) c n , ) d n e ) e n ............................................ 76 Tabela 5.4Cálculo das Condições de estabilidade de Routh-Wurwitz ................................................ 77 Tabela 5.5 - Cenários simulados para averiguação dos níveis nas CE. .............................................. 80 Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio xiv Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio xv S ÍMBOLOS , A CRÓNIMOS E A BREVIATURAS CE - Chaminés de Equilíbrio AH - Aproveitamentos Hidroeléctricos Os índices 1 e 2 referem-se, respectivamente, ao circuito de montante e de jusante e apenas são utilizados quando interessa fazer essa distinção. O índice 0 é utilizado para identificar o valor de uma determinada em regime permanente. Os índices romanos I, II ,..., são usados quando a chaminé tem câmaras separadas ou quando num mesmo troço de túnel existe mais do que uma CE. O índice c é utilizado para referenciar as variáveis relacionadas com a conduta forçada. O índice d é utilizado para referenciar as variáveis relacionadas com o orifício de ligação a uma CE com estrangulamento. Os índices superiores “+” ou “–“ identificam a variável quando o sentido do escoamento é positivo ou negativo. ( ms 2 ); T A - área da secção do túnel, (m 2 ); L - comprimento do túnel, (m); v - velocidade do escoamento no túnel, (m/s); Q - caudal turbinado, (m³/s); S A - área da secção chaminé, m²; z - nível na CE, medido em relação ao nível estático ( 0 = z ), (m); z min - nível mínimo das oscilações na CE medido em relação ao nível estático ( 0 = z ), (m); z max - nível mínimo das oscilações na CE medido em relação ao nível estático ( 0 = z ), (m); R H∆ - perda de carga localizada na ligação à albufeira, (m); S H ∆ - perda de carga localizada na ligação à CE, (m); p - factor de perda de carga contínua, (s 2 /m); 'p e ± 'p - factor de perda de carga incluindo as perdas de carga localizadas na tomada de água ou na restituição, (s 2 /m); ''p e ± ''p - factor de perda de carga incluindo as perdas de carga localizadas na tomada de água ou restituição e na ligação à chaminé, (s 2 /m); H a queda bruta, (m); 'H a queda útil, (m); 0 'H a queda útil em regime permanente, m. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio xvi m A média ponderada da área da secção to túnel, (m 2 ); C z - limite superior da CE ou do Poço Descarregador no caso das CE diferenciais, medido em relação ao nível estático ( 0 = z ), (m); ± d p - factor de perda de carga no estrangulamento de ligação à CE, (s 2 /m); d v - velocidade do escoamento no orifício de ligação à CE. β H∆ - perda de carga entre o túnel e a bifurcação, (m); t – tempo, (s); S Q - caudal descarregado através da soleira, (m 3 /s) C - coeficiente de vazão do escoamento sobre a soleira descarregadora (-) b - largura da soleira descarregadora, (m); h - carga hidráulica sobre a soleira descarregadora, (m); V m - volume de ar na CE não arejada, (m 3 ); s - diferença entre o nível de água no reservatório e na câmara de equilíbrio não arejada em condições estáticas, (m); p - pressão atmosférica, (Pa); b p - a pressão do volume de ar na câmara, (Pa); m p pressão do volume de ar na CE não arejada em condições estáticas , (Pa); γ - peso especifico da água, (N/m 3 ); m - altura da almofada de ar em condições estáticas; (m); e - expoente politrópico; (-); q - caudal aduzido através do poço de alimentação, (m 3 /s); T - período das oscilações quando desprezadas as perdas de carga, (s); * z - amplitude das oscilações quando as perdas de carga são desprezadas, (m); f h - perda de carga ao longo do troço de conduta de comprimento L , (m); D - diâmetro da conduta, (m); s K - coeficiente de perda de carga da fórmula de Manning-Strickler, (m 1/3 /s); f - factor de resistência da fórmula de Colebrook-White, (-): k - rugosidade absoluta equivalente, (m); v - viscosidade cinemática da água, (m 2 /s); Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio xvii A - área da secção, (m 2 ); P m - perímetro molhado, (m); ± K - coeficiente de perda de carga localizada. H ∆ - perda de carga localizada, (m); d v - diâmetro do túnel no ponto de inserção da bifurcação, (m); d’’ - diâmetro da bifurcação, (m); F v - área da secção do túnel no ponto de inserção da bifurcação, (m 2 ); F’’ - área da secção do braço da bifurcação, (m 2 ); r - raio do arredondamento na junção entre o túnel e o braço da bifurcação, (m); δ - ângulo da inserção da bifurcação no túnel, (rad); φ - relação entre a área da bifurcação ( F’’) e a área do túnel; (-); ρ - relação entre o r e d v , (-); x y h∆ - Coeficiente de perda de carga localizada na bifurcação. x indica entre que braços é medida a perda de carga e pode ser substituído por ’ ,‘’, ou ’’’ e y indica o tipo de escoamento. x y k - representa o valor relativo da perda de carga para o caso particular em que o escoamento para o braço lateral da bifurcação (β) é nulo; x y l - perda de carga relativa para o caso particular em que o escoamento num dos braços do túnel α ou γ é nulo; x y m - coeficiente de correcção para o termo q’’ que intervém para o “ escoamento fraccionado” ; ' H ∆ - perda de carga localizada medida entre a bifurcação (β) e a secção do túnel a montante do ponto de inserção (α), (m); ' ' H ∆ - perda de carga localizada medida entre as secções do túnel a jusante (γ) e a montante (α) do ponto de inserção, (m); ' ' ' H ∆ - perda de carga localizada medida entre o troço de túnel a jusante(γ) e a bifurcação(β), (m); ''q - caudal relativo que passa para a chaminé ( max /'' QQ ), (-); ''Q - caudal que passa para a chaminé através da bifurcação, (m³/s); max Q - caudal máximo em qualquer um dos braços α ou γ , (m³/s); d H ∆ - perda de carga no orifício de ligação à CE, (m); ± d K - Coeficiente de perda de carga no orifício de ligação à CE. Q* - valor do caudal turbinado imediatamente antes da manobra para alteração da potência produzida, (m 3 /s); Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio xviii 0 P - potência gerada em regime permanente, (W), η - rendimento , (-) A S_min - Área mínima da secção da CE, (m 2 ); A Th - área da secção da CE calculada a partir da formula de Thoma (2ª condição), (m 2 ); n - factor de segurança relativo a A Th , (-); β e ε - parâmetros de Vogt; n* - factor de segurança relativo relativo a A Th para grandes oscilações, (-); )a n - factor de segurança relativo a A Th para ter em conta o efeito da energia cinética no ponto de inserção da CE localizada a montante da turbina, (-); E 0 - energia cinética no túnel no ponto de inserção da CE, (m); * )a n - factor de segurança relativo a A Th para ter em conta o efeito da energia cinética no ponto de inserção de uma CE localizada a jusante da turbina, (-); )b n - factor de segurança relativo a A Th para ter em conta o efeito da perda de carga da conduta forçada, (-); 0 C - perda de carga na conduta forçada em regime permanente, (m). )c n - factor de segurança relativo a A Th para ter se obter um determinado amortecimento (A) medido no intervalo de tempo (T 0 ). A - o amortecimento pretendido para as oscilações, (-); T 0 - intervalo de tempo ao longo qual é medido o amortecimento (A), (s); )d n - factor de segurança relativo a A Th para ter em conta o efeito da curva de rendimento da turbina, (-); σ tan - parâmetro relativo à curva de rendimento da turbina que engloba ρ tan , ϕ tan e ψ tan . ρ tan - tangente do angulo da curva de rendimento em função da potência no ponto de funcionamento em regime permanente, (-); 'tan ρ - tangente do angulo da curva de rendimento em função da abertura relativa ( 0 θθ ) do distribuidor no ponto de funcionamento em regime permanente, (-); )e n - factor de segurança relativo a A Th para ter em conta o efeito do funcionamento em rede com outras unidades produtoras, (-). K - relação entre capacidade da central (P) e a capacidade produtora total da rede (P T ), (m); 1 α ; 2 α ; 2 α ; 4 α ; Γ - parâmetros utilizados para definição das condições de estabilidade de RouthWurwitz. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 1 1 INTRODUÇÃO As Chaminés de Equilíbrio (CE) são elementos essenciais em Aproveitamentos Hidroeléctricos (AH) com circuitos hidráulicos longos. A colocação da CE num ponto intermédio do circuito hidráulico melhora as condições de regulação da turbina e possibilita a adopção de soluções globalmente mais económicas, pois reduzem a magnitude das ondas de pressão associadas ao choque hidráulico. A motivação para a escolha das CE como tema de estudo para esta dissertação deve-se em primeiro lugar a um interesse pessoal nesta matéria. Este tema revela alguma pertinência e actualidade, tendo em conta os novos AH actualmente em construção, bem como, os que está previsto serem construídos em Portugal. Estes projectos seguem uma tendência Europeia, onde também têm sido construídos AH equipados com grupos reversíveis para o aproveitamento da energia disponível nas horas de vazio. Na Europa, ultimamente, esta tendência tem perdido algum fôlego, com os incentivos para a sua construção a diminuir, alguns projectos têm sido cancelados ou adiados; no entanto, noutras latitudes, em países como Angola e Moçambique estão previstos diversos projectos com circuitos hidráulicos equipados com CE, neste caso, para o aproveitamento da energia hídrica disponível. As CE são um tema clássico da hidráulica que tem sido profundamente estudado, desde há mais de 100 anos. Actualmente existem também programas comerciais que possibilitam a construção de modelos numéricos bastante completos, permitindo o estudo dos regimes transitórios em circuitos hidráulicos de AH, tendo em conta o fenómeno da oscilação em massa, o choque hidráulico, as características dos equipamentos a instalar e alguns, inclusive, permitem até a incorporação da própria rede eléctrica no modelo. Sendo um tema vasto e profundamente estudado, nesta dissertação restringiu-se um pouco o estudo à teoria mais clássica sobre as CE, estudando-se em pormenor o fenómeno da oscilação em massa, sem dúvida, o que mais influi no comportamento das oscilações no interior da CE. O objectivo desta dissertação é apresentar a função e funcionamento dos diversos tipos e sistemas de CE associados a AH, tendo especial atenção aos aspectos relacionados com a estabilidade das oscilações no interior da chaminé, quando admitido que a regulação automática da turbina é realizada de modo a gerar potência constante. Para tal, foram estudadas várias obras de referência listadas na bibliografia. Uma boa parte dessas obras foi elaborada numa altura em que as ferramentas de cálculo automático disponíveis actualmente, não existiam ou, pelo menos, o seu uso não estava generalizado; por isso, procurou-se adaptar as formulações teóricas e certas metodologias às ferramentas de cálculo actuais, evitando o uso de ábacos ou métodos de cálculo gráficos. Foram desenvolvidas ferramentas de cálculo automático que permitem resolver as equações fundamentais que caracterizam o fenómeno da oscilação em massa para os diversos tipos e sistemas de CE e simular a admissão de caudais da turbina, tendo em conta os factores que podem afectar a estabilidade das oscilações. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 2 Paralelamente, e de modo a ilustrar o documento com exemplos elucidativos, foi recolhida informação sobre AH equipados com CE, localizados em Portugal. Com o mesmo objectivo, procuraram-se também exemplos de projectos recentes com soluções diferentes das adoptadas em Portugal. Na bibliografia, o estudo deste tema é muitas vezes focado na CE localizada a montante da turbina. Como em Portugal existem muitos AH com CE localizadas a jusante, nesta dissertação estudaram-se ambas as localizações de forma idêntica tendo em conta os aspectos particulares de cada uma. Esta dissertação está organizada em 5 capítulos: No capítulo 1, é introduzido o tema e são apresentados os objectivos da presente dissertação. No capítulo 2, é apresentada a caracterização e funcionamento dos diversos tipos e sistemas de CE, no que se refere ao cálculo das oscilações. No capítulo 3, é apresentada a problemática da estabilidade das oscilações quando admitido que a regulação automática da turbina é realizada de forma a manter constante o valor da potência gerada. No capítulo 4, são apresentadas as características e funcionalidades das ferramentas de cálculo desenvolvidas no âmbito da presente dissertação. No capítulo 5, é apresentado um exemplo de aplicação, onde as metodologias apresentadas nos capítulos 2 e 3, implementadas nas ferramentas de cálculo automático, descritas no capítulo 4, são postas em prática. No capítulo 5 são apresentadas as conclusões e desenvolvimentos futuros. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 3 2 CARACTERIZAÇÃO DO FUNCIONAMENTO DAS CHAMINÉS DE EQUILIBRIO 2.1 E NQUADRAMENTO Suponhamos que o grupo turbina-alternador de um aproveitamento hidroeléctrico é alimentado por um longo túnel e uma conduta forçada. Durante o seu funcionamento, a turbina tem necessidade de modificar o caudal turbinado de modo a fazer corresponder a potência gerada à requerida pela rede. Estas variações de caudal durante o seu funcionamento, bem como, as associadas ao arranque e paragem dos grupos originam uma aceleração ou desaceleração da coluna de água, provocando variações de pressão, que se transmitem a grande velocidade ao longo do circuito hidráulico. Quando as variações de caudal são realizadas de modo brusco, estas ondas de pressão atingem grande magnitude. Este fenómeno é geralmente designado por golpe de ariete ou choque hidráulico e a sua grandeza depende de diversos factores, sendo os mais importantes a velocidade da variação de caudal imposta, o comprimento da conduta e as características do material que a compõem. A existência de uma CE num ponto intermédio do circuito, com a água em superfície livre, permite a reflexão dessas ondas de pressão, reduzindo o comprimento de conduta exposto a estas variações de caudal e pressão. Como o comprimento de conduta, cujo escoamento terá de ser acelerado ou desacelerado, é mais pequeno com a presença da CE, o tempo de aceleração da coluna de água será menor, permitindo assim tempos de abertura ou fecho mais curtos, melhorando portanto as condições de regulação da turbina. No túnel, estas variações de caudal provocadas pela manobra da turbina não se farão reflectir imediatamente e, nos primeiros instantes a seguir à ocorrência da manobra, o escoamento manter-se-á inalterado. Por exemplo, a seguir ao fecho do distribuidor, o escoamento no túnel tenderá a fazer-se para a CE, aumentando o seu nível por efeito da acumulação de água, e simultaneamente diminuindo a inclinação da linha de energia entre a albufeira e a chaminé, provocando a diminuição da velocidade. Em virtude da inércia, o nível na CE, ultrapassa o nível na albufeira, até atingir um nível máximo. A partir desse momento o sentido de escoamento no túnel inverte-se. Em consequência deste facto o nível começa a descer e a velocidade no túnel vai diminuindo até que se inverta novamente o sentido de escoamento, iniciando um novo ciclo, [1]. Este fenómeno é designado por oscilação em massa. Neste capítulo, descrevem-se as características e modo de funcionamento dos vários tipos e sistemas de CE, são apresentadas as equações fundamentais que regem o fenómeno de oscilação em massa e os métodos adoptados para a resolução destas equações diferenciais. Apresenta-se também a teoria para o cálculo das perdas de carga contínuas e localizadas no circuito hidráulico entre o reservatório e a CE. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 10 2.5 T IPOS DE C HAMINÉ DE E QUILÍBRIO Para além da CE simples, existem outros tipos de chaminés, que podem apresentar vantagens significativas para um determinado projecto. Na Figura 2.12 apresentam-se os 3 tipos principais de chaminés de equilíbrio: simples, com estrangulamento na base e diferenciais. Figura 2.12 - Tipos de chaminé de equilíbrio, adaptado de [16]. Dentro de cada grupo, as chaminés poderão ter câmaras de expansão laterais e/ou serem também descarregadoras. Qualquer uma delas pode ser definida a montante ou a jusante da turbina. Para além dos tipos apresentados, na Noruega é por vezes adoptado um outro tipo de chaminé especial, as Câmaras de Equilíbrio não Arejadas. Neste capítulo, para cada tipo de CE, será então descrito o seu funcionamento, apresentadas as respectivas equações fundamentais e algumas orientações para o seu dimensionamento. 2.5.1 E QUAÇÕES F UNDAMENTAIS . H IPÓTESES DE B ASE . A fundamentação teórica de base para a análise das oscilações numa CE baseia-se no princípio de equilíbrio dinâmico aplicado a um troço de escoamento entre duas secções transversais - Equação Dinâmica; e na condição de continuidade aplicada ao ponto de inserção da chaminé de equilíbrio – Equação da Continuidade. Para a dedução destas equações consideram-se as seguintes hipóteses de base: • as paredes do túnel do circuito de adução/restituição são infinitamente rígidas e a água é incompressível, pelo que o caudal será igual em todas as secções do túnel. • as perdas de carga em cada instante são equivalentes às que se verificariam em regime permanente; CE Diferenciais CE com Estrangulamento na base CE Simples Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 11 • a inércia da água na CE é desprezável, quando comparada com a do túnel; • a albufeira tem uma área muito grande e, por isso, o nível de água manter-se-á constante durante a ocorrência dos regimes transitórios; • a energia cinética do movimento oscilatório na CE será desprezada. Em termos formais, a dedução da equação dinâmica para os tipos de CE que se apresentam nos pontos seguintes, foi feita de modo idêntico ao apresentado por Chaudry [17]; no entanto, e de modo a claramente se identificarem as perdas de carga que variam em função do sentido de escoamento, para essa dedução partiu-se de 2 cenários relativos ao escoamento no túnel. 2.5.2 C HAMINÉ DE E QUILÍBRIO S IMPLES 2.5.2.1 Montante da turbina A equação dinâmica traduz o equilíbrio das forças que actuam num troço de escoamento, segundo o eixo da conduta. Na Figura 2.13 apresenta-se, de forma esquemática, um circuito hidráulico com a CE situada a montante da turbina. Para esse circuito são apresentados dois cenários relativos ao sentido do escoamento no túnel. Para cada um desses cenários é também apresentado o esquema de forças no túnel. )2(1 2 gvHhAF RT −∆−= γ )2(1 2 gvHhAF RT −∆+= γ )2(2 2 gvHzhAF ST −∆++= γ )2(2 2 gvHzhAF ST −∆−+= γ ).(3 2 pvAPAF TT γγ == ).(3 2 pvAPAF TT γγ == Figura 2.13 - Chaminé de equilíbrio localizada a montante da turbina. Esquema das forças no túnel. A soma das forças F1, F2 e F3 é igual à força de inercia a que está sujeito o troço de escoamento (2ª Lei de Newton) ou seja: 321 FFF dt dv LA T −−= ρ 321 FFF dt dv LA T +−= ρ )( 2 zpvHH L g dt dv SR ++∆+∆−= )( 2 zpvHH L g dt dv SR +−∆−∆−−= As perdas de carga localizadas na tomada de água e na ligação ao reservatório, respectivamente, ∆H R e ∆H S , podem ser escritas em função de v 2 e, juntamente com as perdas de carga contínuas, podem ser englobados num único factor de perda de carga (p’’). Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 12 As perdas de carga localizadas na tomada de água e na ligação à CE, tomam valores diferentes consoante o sentido do escoamento, por isso será designado por p’’ + o factor de perda de carga a utilizar quando o escoamento for positivo e p’’ - na situação inversa. Desta forma, as equações podem ser escritas da seguinte forma: )''( 2 zpv L g dt dv +±−= ± (2.1) Na equação, o sinal positivo deverá ser usado quando o escoamento ocorrer na direcção da chaminé de equilíbrio e negativo quando ocorre no sentido contrário, por isso, se em vez de v 2 se considerar |v|v esta condição deixa de ser necessária. Assim, a equação dinâmica pode ser escrita da seguinte forma: )''( zpvv L g dt dv +−= ± (2.2) Em algumas das formulações que podemos encontrar na bibliografia, não é considerada a perda de carga na ligação à CE, sendo incluída a energia cinética do escoamento na equação, ou seja, admite-se que toda a energia cinética do escoamento é perdida. De facto, quando o escoamento se processa na direcção da chaminé, a energia cinética do escoamento será praticamente toda perdida na ligação à chaminé; no entanto, quando o escoamento se processa na direcção oposta não é certo que a energia seja toda perdida na ligação ao reservatório, pois por regra, as estruturas de tomada de água são definidas com transições mais ou menos suaves que permitem recuperar uma parte dessa energia. A expressão (2.2) foi deduzida para um túnel horizontal, mas também é válida para túneis inclinados [17], devendo-se considerar o comprimento real do túnel e não o projectado no plano horizontal. Quando a secção do túnel é variável, deverá ser considerada a média ponderada da área da secção, calculada da seguinte forma [2]: ∑ ∑ = i i i m A L L A (2.3) O caudal que entra ou sai da chaminé, corresponderá à variação de nível multiplicada pela área da secção ( s Adtdz ) e será igual ao caudal do túnel ( T vA ), menos o caudal turbinado ( Q ). Esta relação de caudais corresponde à equação da continuidade e pode ser escrita da seguinte forma: QvAA dt dz Ts −= (2.4) Em regime permanente o nível na chaminé é calculado através da seguinte expressão: 2 00 '' vpz + −= 2.5) Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 13 2.5.2.2 Chaminé de Equilíbrio Localizada a Jusante da Turbina De forma análoga foram deduzidas as equações fundamentais para a situação em que a CE está localizada a jusante da turbina, no início do circuito de restituição, tal como apresentado de forma esquemática na Figura 2.14. )2(1 2 gvHzhAF ST −∆−+= γ )2(1 2 gvHzhAF sT −∆++= γ )2(2 2 gvHhAF RT −∆+= γ )2(2 2 gvHhAF ST −∆−= γ ).(3 2 pvAPAF TT γγ == ).(3 2 pvAPAF TT γγ == Figura 2.14 - Chaminé de equilíbrio localizada a jusante da turbina. Esquema das forças no túnel. A soma de F1, F2 e F3 será igual à força de inércia a que está sujeito o troço de escoamento, ou seja: 321 FFF dt dv LA T −−= ρ 321 FFF dt dv LA T +−= ρ )( 2 zpvHH L g dt dv SR −+∆+∆−= )( 2 zpvHH L g dt dv SR −−∆−∆−−= A equação da continuidade pode então ser escrita da seguinte forma: )''( zpvv L g dt dv −−= ± (2.6) A única diferença entre esta equação e a equação da continuidade para a situação da CE localizada a montante da turbina é o sinal que precede z . O caudal que entra na chaminé de equilíbrio ( s Adtdz ) é igual ao caudal turbinado menos o caudal que segue pelo túnel de restituição ( T vA ). A equação da continuidade, para uma CE localizada a jusante, pode ser escrita da seguinte forma: QvAA dt dz Ts +−= (2.7) Em regime permanente o nível na chaminé é calculado através da seguinte expressão: 2 00 '' vpz + = (2.8) Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 14 2.5.3 C HAMINÉ DE E QUILÍBRIO COM E STRANGULAMENTO Este tipo de CE está ligada ao túnel, através de uma bifurcação em “T”. Desta forma, e ao contrário do tipo simples, o escoamento em regime permanente não atravessa a chaminé. Na Figura 2.15 apresenta-se a nomenclatura adoptada para a CE com estrangulamento. (CE a Montante) (Turbina) (CE a Jusante) Figura 2.15 - Nomenclatura considerada para as CE com estrangulamento. As setas azuis representam o sentido positivo dos caudais. O índice d será utilizado para referenciar as variáveis relativas ao troço de ligação à CE e as letras gregas são utilizadas para referenciar as perdas de carga na bifurcação. As CE com estrangulamento acabam por ser mais vezes adoptadas do que as do tipo simples, pois apresentam algumas vantagens, nomeadamente: • a existência do estrangulamento na base da chaminé cria uma perda de carga que faz com que as amplitudes das oscilações sejam menores. • as perdas de carga em regime permanente são menores, maximizando a produção de energia. • permitem uma maior liberdade na definição do traçado do circuito hidráulico, podendo adoptarse traçados com inclinações maiores, ficando a CE ligada ao túnel através de um poço vertical. Tem como principal desvantagem, quando comparada com CE simples, o facto de as ondas de pressão devidas ao golpe de ariete, não serem totalmente reflectidas/anuladas. 2.5.3.1 CE localizada a montante da turbina A dedução da equação dinâmica para este tipo de CE é idêntica à anteriormente apresentada para CE simples; no entanto, no termo 2 F subdividiu-se a perda de carga na ligação à chaminé ( s H ∆ ), na perda de carga que ocorre na bifurcação ( β H∆ ) e perda de carga que ocorre no orifício de ligação à chaminé ( d H∆ ). Na Figura 2.16 apresenta-se, de forma esquemática, um circuito hidráulico com a CE situada a montante da turbina. Para esse circuito, são apresentados duas situações relativas ao sentido do escoamento no túnel. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 15 )2(1 2 gvHhAF RT −∆−= γ )2(1 2 gvHzhAF sT −∆++= γ )2(2 2 )( gvHHzhAF dHHT −∆+∆++= − βα γ )2(2 2 )( gvHHhAF dHHT −∆−∆−= − αβ γ ).(3 2 pvAPAF TT γγ == ).(3 2 pvAPAF TT γγ == Figura 2.16 - CE com estrangulamento localizada a montante da turbina. Esquema das forças no túnel A soma de F1, F2 e F3 será igual à força de inércia a que está sujeito o troço de escoamento, ou seja: 321 FFF dt dv LA T −−= ρ 321 FFF dt dv LA T +−= ρ )( 2 )( zpvHHH L g dt dv dHHR −+∆+∆+∆−= − βα )( 2 )( zpvHHH L g dt dv dHHR −−∆−∆−∆−−= − αβ A perda de carga localizada na tomada de água pode ser incluída no factor p, passando este, a designar-se por p’. Será designado por p’ + o factor de perda de carga a utilizar quando o escoamento for positivo e p’ - na situação inversa. A perda de carga no orifício de ligação à chaminé (∆H d ) pode ser calculada de forma idêntica à perda de carga no túnel, ou seja, em função do quadrado da velocidade no orifício (v d 2 ), através de um factor de perda de carga, normalmente constante para cada sentido do escoamento (p d+ e p d - ). ∆H d deverá ter sinal positivo quando o escoamento ocorre para o interior da chaminé, e sinal negativo na situação inversa, por isso em vez do quadrado da velocidade será considerado v d |v d |. Designa-se como ∆H β as perdas de carga na bifurcação, considerando que representará sempre a diferença de carga entre o túnel e a bifurcação (H α -H β ). Como se verá no ponto 2.8.2.2, ∆H β é calculado através da velocidade do túnel na zona de inserção da CE; no entanto, o coeficiente de perda de carga a considerar varia em função da percentagem de caudal derivado para a chaminé. Assim, a equação dinâmica para a CE com estrangulamento pode então ser escrita da seguinte forma: )'( ±± +∆++−= pvvHpvvz L g dt dv ddd β (2.9) A metodologia adoptada para o cálculo de ∆H β inclui o sinal “+” ou “–“. Remetendo para o ponto 2.8.2.2, ∆H β corresponderá a - ∆H’. A equação da continuidade é idêntica à deduzida anteriormente para a CE simples (2.4). Em regime permanente o nível na chaminé 0 z é calculado através da seguinte expressão: 0 2 0 )( 0 ' β Hvpz ∆−−= + (2.10) Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 16 2.5.3.2 Chaminé localizada a jusante da turbina Na Figura 2.17 apresenta-se de forma esquemática um circuito hidráulico com a CE situada a jusante da turbina. Para esse circuito são também apresentados dois cenários relativos ao sentido do escoamento no túnel. )2(1 2 )( gvHHzHAF dHHT −∆−∆−+= − γβ γ )2(1 2 )( gvHHzHAF dHHT −∆+∆++= − βγ γ )2(2 2 gvHHAF RT −∆+= γ )2(2 2 gvHHAF RT −∆−= γ ).(3 2 pvAPAF TT γγ == ).(3 2 pvAPAF TT γγ == Figura 2.17 - CE com estrangulamento localizada a jusante da turbina. Esquema das forças no túnel. Também aqui, designa-se como ∆H β as perdas de carga na bifurcação, considerando que representará sempre a diferença de carga entre o túnel e a bifurcação (H γ -H β ). Considerando a mesma abordagem feita para a situação em que a CE está localizada a montante da turbina, a equação dinâmica pode ser escrita da seguinte forma: ( ) ±± +−∆−−−= 'pvvpvvHz L g dt dv ddd β (2.11) Remetendo para o ponto 2.8.2.2, ∆H β corresponderá a ∆H’’’. A equação da continuidade é idêntica à deduzida anteriormente para a CH simples localizada a jusante (2.7). Em regime permanente o nível na chaminé z 0 é calculado através da seguinte expressão: 0 2 00 ' β Hvpz ∆−= + (2.12) 2.5.3.3 Dimensionamento do Orifício Considerando um circuito hidráulico com a CE localizada a montante da turbina, numa situação de interrupção de caudal, o aumento de nível na chaminé cria uma contrapressão, que actua como uma força de frenagem retardando o escoamento no túnel. Esta força é nula no início e máxima quando a chaminé atinge o seu nível máximo. Quando se introduz o estrangulamento na base, cria-se uma perda de carga entre o túnel e a chaminé, por efeito da bifurcação e do orifício de ligação que faz com que a contrapressão aumente quando o escoamento se realiza para o interior da chaminé. Como a perda de carga é, por regra, proporcional ao quadrado da velocidade, esta perda de carga é máxima no início, quando o caudal derivado é também máximo. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 17 Na situação inversa, nos primeiros instantes, a seguir à abertura do distribuidor, o escoamento processa-se primeiro na totalidade e depois parcialmente a partir da CE. Com a introdução do estrangulamento, é adicionada uma subpressão na base da chaminé que diminui a contrapressão, potenciando a aceleração do escoamento no túnel. Com base nestes princípios, Calame e Gaden desenvolveram uma teoria para o cálculo do estrangulamento óptimo do orifício [18]. Na Figura 2.18 ilustram-se os conceitos de estrangulamento elevado, óptimo e reduzido para o cenário de fecho instantâneo da turbina. Figura 2.18 - Contrapressão para os diversos graus de estrangulamento – Cenário de Fecho [18] Na Figura 2.18, r 0 representa o valor inicial da perda de carga entre o túnel e a CE. O símbolo z m representa o valor da oscilação máxima. Se o estrangulamento for demasiado elevado, a pressão no túnel será superior à pressão correspondente ao nível máximo na chaminé, aumentando portanto o valor da pressão a considerar no dimensionamento do túnel. Se o estrangulamento for reduzido, a contrapressão inicial será menor do que a correspondente ao nível máximo, reduzindo por isso a eficácia do estrangulamento. O estrangulamento óptimo passa então por igualar as perdas de carga iniciais, ao valor da oscilação máxima. Para o cenário de abertura instantânea do distribuidor, o raciocínio é análogo; no entanto neste caso poderá ser aceite uma pressão inicial menor do que a correspondente a z min . Na Figura 2.18 ilustram-se os diferentes cenários de estrangulamento para o cenário de abertura instantânea. Figura 2.19 - Contrapressão para os diversos graus de estrangulamento – Cenário de Abertura [18] Quando a contrapressão é muito grande, o nível na chaminé desce até ao correspondente em regime permanente sem o ultrapassar, não originando por isso oscilações. Quando a chaminé se localiza a jusante da turbina a lógica é a mesma; no entanto, deverá ter-se em conta que a oscilação máxima ocorre no cenário de abertura instantânea e que a oscilação mínima ocorre no cenário de fecho instantâneo. Os referidos autores desenvolveram também uma série de ábacos para o dimensionamento das chaminés com orifícios. O uso desses ábacos é perfeitamente válido; no entanto, tendo em conta as Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 18 ferramentas disponíveis actualmente, como se verá no ponto seguinte, será relativamente simples, por tentativa erro, ajustar a geometria do orifício até se atingirem os objectivos pré-estabelecidos. Quando as ondas de pressão provocadas pelo choque hidráulico forem significativas, este dimensionamento “óptimo” do orifício, pode na realidade não corresponder à geometria que de facto minimiza as pressões no túnel. As ondas de pressão provocadas pelo fecho ou abertura do distribuidor viajam a grande velocidade ao longo da conduta forçada. Como numa CE com estrangulamento essas ondas de pressão podem ser reflectidas através do túnel, interessa perceber em que medida a geometria do orifício pode influenciar as pressões máximas que se poderão verificar no túnel. O período das ondas de pressão provocadas pelo choque hidráulico é muito menor do que o período das oscilações na chaminé, e a sobrepressão máxima ocorre logo a seguir ao fecho do distribuidor, enquanto que o nível máximo na CE é atingido apenas algum tempo depois. Se a definição da geometria do orifício for feita de acordo com o conceito de estrangulamento óptimo, a “contrapressão” na base da CE a seguir ao fecho da turbina é mais ou menos constante. Por isso, quando considerado também os efeitos do choque hidráulico, a esta pressão mais ou menos constante, sobrepõem-se as ondas de pressão devidas ao choque hidráulico. No ponto seguinte, apresenta-se o exemplo de dimensionamento de um orifício, onde se analisa esta problemática. 2.5.3.4 Exemplo de Aplicação Para o AH apresentado na Figura 2.20, sem alterar a área da chaminé, vai-se definir a dimensão de um orifício para uma CE com estrangulamento, considerando os conceitos apresentados. Figura 2.20 - Exemplo de um AH com a CE localizada a montante No cenário de fecho instantâneo, e admitindo o valor de 1 para o coeficiente de perda de carga na saída do orifício para a chaminé, será necessário um diâmetro de 1.72m, de modo a soma das perdas de carga na bifurcação e orifício de ligação com z no instante inicial iguale o valor corresponde a z max . Este diâmetro foi obtido por aproximações sucessivas e considerando que a bifurcação faz um angulo de 90º com o túnel. As perdas de carga na bifurcação foram calculadas de acordo com o exposto no ponto 2.8.2.2. De notar que foi considerado que o diâmetro da bifurcação se mantém sempre constante. Muitas vezes, o diâmetro do orifício na ligação à chaminé é inferior ao da bifurcação. Assumindo este diâmetro, quando se considera o cenário de abertura instantânea, será necessário ter um valor de 0.55 para o coeficiente de perda de carga na entrada do orifício de modo que a perda de carga inicial na bifurcação e orifício de entrada seja igual a z min . Este coeficiente de perda de carga foi obtido também por aproximações sucessivas. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 19 Esta solução é uma das muitas combinações possíveis que permitirão atingir os 2 objectivos préestabelecidos. No presente caso, não será muito difícil definir uma geometria que origine as referidas perdas de carga. No entanto, quase nunca é assim tão simples conceber uma geometria que permita cumprir os objectivos pré-estabelecidos, aparecendo por vezes orifícios com geometrias relativamente complexas. Na Figura 2.21 apresentam-se as oscilações e as perdas de carga na bifurcação e orifício de ligação correspondentes aos cenários de fecho instantâneo (gráfico da esquerda) e abertura instantânea (gráfico da direita), considerando o diâmetro e os coeficientes de perda de carga atrás referidos. -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 0 15 30 45 60 75 90 (m) t (s) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 0 15 30 45 60 75 90 (m) t (s) Figura 2.21 – z (     ), z + perdas de carga na bifurcação ( - - - ), z + perdas de carga na bifurcação e orifício (    ). Fecho e abertura instantâneas. A linha a tracejado fina inclui apenas as perdas na bifurcação e a linha a tracejado inclui também as perdas na ligação à chaminé e representa o valor da pressão na base da CE, referenciado em relação a z = 0. Nos gráficos estão representadas estas duas linhas para se perceber a importância de se considerarem as perdas de carga na bifurcação nesta análise. Para melhor percebermos as vantagens da CE com estrangulamento face à do tipo simples, apresenta-se na Figura 2.22, para estes 2 tipos de chaminés e considerando a mesma secção, a comparação das oscilações para os cenários de fecho instantâneo (gráfico da esquerda) e abertura instantânea (gráfico da direita). -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 0 300 600 900 (m) t (s) -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 0 300 600 900 (m) t (s) Figura 2.22 - Comparação entre as oscilações numa CE com estrangulamento (   ) e numa do tipo simples (  ˖  ). Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 26 Substituindo (2.15) e (2.17) na equação (2.18), a equação dinâmica fica:         ++         −       − ⋅        +−= ± ''1 pvvz zm mp s L g dt dv e γ (2.19) A equação da continuidade é igual à deduzida para a CE simples. O valor de z em regime permanente (z0) pode-se obter, considerando na equação (2.19), v=v0, dv/dt=0 e z=z0. + ++         −         − ⋅        += ''10 000 0 pvvz zm mp s e γ (2.20) A grande vantagem deste tipo de solução prende-se com o facto de não haver necessidade da CE ficar situada, em termos altimétricos, na zona do nível da linha de energia estática, permitindo portanto uma maior liberdade, não só no traçado do túnel, como também na escolha da localização da CE, possibilitando posicioná-la mais próxima da posição ideal, ou seja junto à central ou na zona onde existam as melhores condições geotécnicas para a sua construção. Este tipo de solução tem como principal inconveniente a necessidade do uso de equipamento (compressores), requerendo, por isso, manutenção e monitorização. Os compressores são utilizados para a injecção de ar a seguir ao enchimento do túnel, antes do início da entrada em serviço. Depois da entrada em serviço, os compressores são também utilizados para manter a pressão de ar dentro dos valores aceitáveis de modo a compensar as perdas de ar. Estas perdas são relativamente pequenas, segundo Brock [26], nos aproveitamentos Noruegueses, anualmente, situam-se entre 3% e 10% do volume de ar na câmara (Vm). Na Noruega, existem 10 aproveitamentos com este tipo de solução, normalmente associados a grandes quedas e a túneis não revestidos. Nas ref. [26],[27] e [28], apresentam-se algumas características destas CE não arejadas. As pressões nas câmaras (Pm/γ) variam entre 1.9 Mpa (s~200m) e 7.8 Mpa (s~800m) e a altura da almofada de ar (m) situa-se entre 25% e 85% da altura da CE. Na Figura 2.30 apresenta-se um exemplo de uma CE deste tipo no AH de Ulset (1985), na Noruega. Figura 2.30 – Câmara de equilíbrio não arejada do AH de Ulset, [28] 2.5.6.1 Exemplo de Aplicação Considerando o exemplo da Figura 2.20, apresentam-se na Figura 2.31 as oscilações para uma câmara de equilíbrio não arejada (s=200m, m=10m e e=1). São também apresentadas as oscilações considerando uma CE simples para os cenários de fecho (gráfico da esquerda) e abertura instantânea da turbina (gráfico da direita). Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 27 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 0 300 600 900 (m) t (s) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 0 300 600 900 (m) t (s) Figura 2.31 - Comparação entre as oscilações na CE não arejada (   ) e numa CE do tipo simples ( ---- ˖ ---- ). A linha a cheio representa as oscilações na câmara de equilíbrio não arejada e a linha a traço ponto as oscilações na CE simples. As amplitudes das oscilações na câmara de equilíbrio não arejada são significativamente mais pequenas do que na CE Simples. Repare-se que o período das oscilações é também bastante mais pequeno. No exemplo apresentado, considerou-se a mesma secção para câmara de equilíbrio não arejada e para CE simples, mas como se verá no ponto 3.5, a área mínima que garante a estabilidade hidráulica das oscilações é maior numa chaminé de equilíbrio não arejada. 2.5.6.2 Casos Particulares de Centrais Subterrâneas Equipadas com Grupos Pelton Em centrais subterrâneas equipadas com turbinas Pelton, por vezes quando o túnel de restituição é muito longo e/ou a cota da turbina é definida abaixo do nível de restituição, os túneis são dimensionados para funcionar em pressão. Para o correcto funcionamento da turbina Pelton será necessário pressurizar o poço de restituição da turbina (“turbine pit”), de modo a garantir que o nível de água no poço se situa 2-3 m abaixo da cota dos injectores. Nessas situações esse poço funciona também como CE não arejada. Na Figura 2.32 apresentam-se 2 exemplos deste tipo de situação. Figura 2.32 - CE não arejada do AH de Tajford na Noruega [28] e Central do AH de Kopswerk II na Áustria, [29]. No AH de Tafjord (1982), a CE de jusante é também do tipo não arejada. As pressões do ar (p m /γ) no poço da turbina e na CE não arejada terão obrigatoriamente de ser diferentes. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 28 No AH de Kopswerk II, facilmente se percebe que a cota da turbina (roda da turbina Pelton) está abaixo do nível da restituição, pelo que, é necessário pressurizar o poço de restituição da turbina, de modo a baixar o nível de água para o correcto funcionamento da turbina Pelton. Quando a CE não arejada se localiza a jusante da turbina, a equação dinâmica para o cálculo das oscilações toma a seguinte forma:         +−              − −⋅        +−= ± ''1 pvvz zm mp s L g dt dv n γ (2.21) A equação da continuidade é igual à deduzida para a CE simples localizada a jusante da turbina. 2.5.7 C HAMINÉ DE E QUILÍBRIO D IFERENCIAL As CE diferenciais caracterizam-se pela existência de duas câmaras separadas, interligadas por um orifício. Durante os regimes transitórios, devido às perdas de carga nesse orifício, os níveis de água nas duas câmaras serão diferentes. Na prática, este tipo de solução é semelhante a uma CE com estrangulamento em que é adicionado um poço descarregador que dá continuidade ao orifício através da chaminé, fazendo com que existam duas câmaras: Câmara Exterior e Poço Descarregador. Na Figura 2.33 apresentam-se as diversas fases de funcionamento numa chaminé deste tipo, a seguir ao fecho da turbina. Figura 2.33 - Chaminé de equilíbrio diferencial. Fases de funcionamento, [2]. As diferentes fases de funcionamento ilustradas na figura são descritas de seguida: (a) a seguir ao fecho da turbina, a subida do nível de água é mais rápida no interior do poço, devido à perda de carga no(s) orifício(s) de ligação à camara exterior; (b) depois do nível de água no poço atingir o limite superior (z c ), o caudal é descarregado para a câmara exterior; (c) quando os níveis de água se igualam nas duas câmaras, a subida de nível ocorre de forma similar até que o escoamento para o interior da chaminé se inverta (d); (e) devido à perda de carga no(s) orifício(s) de ligação entre as duas câmaras, a descida do nível será mais rápida no poço, sendo por isso, alimentado através do bordo superior, enquanto o nível de água na câmara exterior for superior ao limite superior do poço, ou seja enquanto I z > c z . De seguida apresentam-se as equações fundamentais para este tipo de CE, seguindo, de uma maneira geral, o apresentado em Jaeger [2]. A equação dinâmica é idêntica à da CE com estrangulamento, no entanto, deverá ser considerado o nível de água no poço descarregador ( II z ). Além disso, como o poço dá continuidade ao orifício de c z Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 29 entrada, não foi considerada a parcela referente à perda de carga no orifício de ligação à CE (± ddd pvv ), tendo sido apenas incluída na equação a perda de carga na bifurcação ( β H∆ ). )'( ± +∆+−= pvvHz L g dt dv II β (2.22) Relativamente à equação da continuidade, quando II z < c z ou I z < c z , fica: QQQvA IIIT + + = (2.23) em que: IIIo I II zzgA dt dz AQ −±== 2 ou dt A zzgA dz I IIIo I −± =2 (2.24) o A representa a área efectiva do(s) orifício(s) de ligação para a câmara exterior. O sinal positivo deverá ser usado quando II z <I z . dt dz AQ II IIII = se II z <c z e I z <c z (2.25) 23 Cbh dt dz AQ II IIII ±       = se II z >c z ou I z >c z (2.26) O sinal positivo deverá ser usado quando z II > z c ; b representa o comprimento da soleira descarregadora do poço, (m); c o coeficiente de vazão da soleira, (m); h a carga sobre a soleira (h = z II – z c se z II > z c ou h = z I – z c se z I > z c ), (m). Quando z II > z c e z I > z c , os níveis nas duas câmaras são idênticos e a equação da continuidade toma a seguinte forma: ( ) dt dz AAQQ IIIIII +=+ (2.27) O valor de 0 z em regime permanente obtém-se através da seguinte expressão: 0 2 0 )( 00 ' β Hvpzz III ∆−−== + (2.28) Num cenário de fecho, neste tipo de CE, interessa que o poço tenha uma área pequena de modo a que a subida do nível de água até ao limite superior, se faça o mais rapidamente possível, para que a contrapressão máxima actue o mais cedo possível. A área do poço não deverá, no entanto, ser inferior a ¾ da área do túnel, pois, caso contrário, as variações de nível de água na chaminé seriam muito rápidas dificultando a regulação da turbina [30]. Em cenários de abertura, tanto a dimensão do poço, como dos orifícios de ligação entre a câmara exterior e o poço deverão ter uma dimensão mínima, de modo a fornecer o caudal inicial necessário para o funcionamento da turbina. Esta indicação de dimensionamento para o cenário de abertura, faz com que, no cenário de fecho, a velocidade de subida dos níveis de água no poço seja menor, pois esta dimensão dos orifícios irá permitir a entrada de caudais elevados para a câmara exterior. Por causa desta contradição, Jaeger [2] refere que as CE diferenciais serão apenas vantajosas se o caudal para o cenário de abertura for menor do que Q 0 . Rich [30] identifica também este problema e descreve a solução adoptada para o resolver, ou pelo menos, minimizar no exemplo de dimensionamento que apresenta. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 30 Na Figura 2.34 apresenta-se a solução adoptada para o orifício de ligação ente o poço e a câmara exterior da CE do AH de Appalachia nos Estados Unidos. Figura 2.34 - Solução para o orifício de ligação entre câmaras do AH de Appalachia, [30] A geometria do orifício de ligação entre o poço e a câmara exterior foi definida de modo a ter coeficientes de vazão diferentes, em função do sentido do escoamento. No cenário de fecho, o coeficiente de vazão será menor, possibilitando portanto, uma subida rápida dos níveis de água no poço. No cenário de abertura, esse coeficiente de vazão é mais elevado, permitindo fornecer o caudal inicial necessário para o funcionamento da turbina. As CE diferenciais, quando associadas apenas à câmara de expansão superior serão sempre vantajosas. Na Figura 2.35 apresenta-se, como exemplo, a CE de equilíbrio de jusante do AH de Kopswerk II na Áustria. Figura 2.35 - Chaminé de equilíbrio diferencial associada apenas à camara de expansão superior, [31]. Em termos construtivos, nem sempre é fácil construir o poço descarregador no meio da chaminé, e poderá ser vantajoso definir 2 chaminés separadas, ambas conectadas ao túnel, como no AH de Innertkirchen na Suíça ou ainda, encostar o poço descarregador à parede da câmara exterior, como no AH de Jinping II na China (Figura 2.36). Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 31 Figura 2.36 - CE diferenciais do AH de Innertkirchen [24] e Jinping II [32]. 2.5.8 C HAMINÉ DE E QUILÍBRIO D IFERENCIAL COM E STRANGULAMENTO Na Áustria, desde os anos 60 tem sido adoptado um tipo de chaminé especial, designado de CE Diferencial com Estrangulamento. Este sistema foi inventado por Thoma em 1928; no entanto, a primeira vez que esta solução foi adoptada foi nos anos 60, no AH de Kaunertal. Desde aí, este tipo de solução já foi considerado em pelo menos mais 6 AH, [33][34]. Na Figura 2.37 apresenta-se um esquema deste tipo de chaminé e como exemplo, a CE do AH de Kaunertal. Figura 2.37 - Esquema da CE Diferencial com Estrangulamento (adap. de [33]) e CE do AH de Kaunertal [34]. Este tipo de chaminé é constituído por 2 sistemas: 1º - Câmara Inferior, que estreita no final para um tubo, designado por Tubo de Arejamento. 2º - Poço e Câmara Superior. O orifício de ligação com estrangulamento, localizado no fundo do poço, faz a ligação à Câmara Inferior. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 32 Na Figura 2.38 apresentam-se os dois tipos de orifícios de ligação utilizados: estrangulamento cónico (imagem da esquerda) e estrangulamento com vórtice (imagem da direita). Figura 2.38 - Exemplo de um estrangulamento cónico [35] e de um estrangulamento com vórtice [33]. Na imagem da esquerda, a ligação entre a câmara inferior e o poço é feita através de um orifício cónico. Na imagem da direita, esta ligação é feita através de um estrangulamento com vórtice (“Vortex Flow Throttle Orifice”). Esta geometria é semelhante à caixa espiral de uma turbina Francis. Em ambos os casos, devido ao risco de cavitação, estas zonas são revestidas com aço. Este tipo de orifícios de ligação, dependendo do sentido do escoamento, originam perdas de carga significativamente diferentes. As perdas de carga serão maiores quando o escoamento se processa do poço para a câmara. Esta característica do estrangulamento é medida através de um rácio que relaciona o coeficiente de perda de carga num e noutro sentido. Para o estrangulamento do tipo cónico esse rácio toma normalmente valores entre 1:2 e1:3, enquanto que nos estrangulamentos com vórtice este valor se situa normalmente entre 1:20 e 1:50, [33]. Depois de totalmente formado, a perda de carga provocada pelo vórtice é praticamente constante. Até lá, verificam-se perdas de carga devidas às mudanças de secção e direção, com um coeficiente de perda de carga relativamente baixo, seguindo-se um período de transição até o vórtice funcionar em pleno. Na Figura 2.39 apresenta-se a evolução do coeficiente de perda de carga do estrangulamento com vórtice da CE do AH de Kaunertal, quando o escoamento se processa do poço para a câmara inferior. Figura 2.39 - Evolução do coeficiente de perda de carga no estrangulamento com vórtice da CE de Kaunertal [34]. Num cenário de fecho, o funcionamento é semelhante à CE diferencial, pois o nível de água no tubo de arejamento sobe rapidamente para o nível máximo. Num cenário de abertura o nível de água no tubo de arejamento sofre um abaixamento repentino, devido à perda de carga provocada pelo estrangulamento, fazendo com que a contrapressão seja definida pelo nível da câmara inferior. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 33 No exemplo de dimensionamento apresentado por STEYER [33], a adopção deste tipo de solução, quando comparada com uma CE com estrangulamento, permitiu reduzir consideravelmente o volume das câmaras de expansão, especialmente da câmara de expansão inferior. Este tipo solução tem como principais inconvenientes, o risco de cavitação e definição relativamente complicada, que obriga a um estudo pormenorizado em modelo reduzido. 2.5.9 F UNCIONAMENTO EM M ODO DE B OMBAGEM Em circuitos reversíveis, quando os grupos estiverem a funcionar em modo de bombagem, as equações deduzidas nos pontos anteriores para o túnel de restituição deverão ser consideradas no túnel de adução/compressão para o estudo das oscilações na CE de montante; do mesmo modo, no estudo das oscilações na CE de jusante, as equações fundamentais do circuito de adução, deverão ser consideradas para o túnel de aspiração/restituição. 2.6 S ISTEMAS DE C HAMINÉS O termo sistema de chaminés será utilizado quando num circuito hidráulico existir mais do que uma CE. Neste capítulo apresentaremos os dois tipos de sistemas mais usuais principais: • Sistema com duas CE no túnel de adução • Sistema com uma CE no túnel de adução e outra no túnel de restituição 2.6.1 S ISTEMA COM DUAS CHAMINÉS LOCALIZADAS A MONTANTE Quando o túnel de adução é alimentado por poços ao longo do seu traçado, estes poços funcionam também como chaminés de equilíbrio. Em Portugal temos como exemplo o AH de Vilarinho das Furnas (ver Figura 2.8), com um poço de alimentação intermédio. Por razões construtivas pode também interessar ter 2 CE no mesmo túnel. Na Figura 2.40 apresenta-se a nomenclatura considerada para análise de um sistema composto por duas CE Simples localizadas no túnel de adução. Figura 2.40 - Sistema com duas chaminés de equilíbrio localizadas a montante. Nomenclatura adoptada. A determinação dos níveis nas chaminés num sistema deste tipo passa pela resolução de 2 sistemas de equações respeitantes à CE I e à CE II, respectivamente: Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 34        +−= +−= ± )( )''( ' ITIIIITIISI I IIII I I qAvAvA dt dz zpvv L g dt dv (2.29)        −= −+−= ± QAvA dt dz zzpvv L g dt dv TIIIISII II IIIIIIIII II II )''( ' (2.30) Considerou-se que a CE I seria um poço de alimentação, que fornece ao sistema o caudal (q I ). Na equação dinâmica respeitante à CE II é preciso entrar com o nível na primeira. Do mesmo modo, também, na equação da continuidade da CE I é preciso entrar com a velocidade no túnel referente à segunda CE. Os níveis iniciais em regime permanente obtém-se através das seguintes expressões: + −= ' 000 '' IIII pvvz e + −= ' 0000 '' IIIIIIIII pvvzz , em que: TI I IA qQ v)( 0 0 − = e TII II A Q v0 0= (2.31) 2.6.2 S ISTEMA COM UMA CHAMINÉ A MONTANTE E OUTRA A JUSANTE No arranjo do Tipo 3 (ver Figura 2.2) é definida uma CE no túnel de adução e outra no túnel de restituição. De seguida apresentam-se as equações fundamenais para este tipo de sistema considerando que ambas as chaminés são do tipo simples. Tal como representado na Figura 2.1, o índice 1 diz respeito à CE de montante e o índice 2 diz respeito à de jusante. A determinação dos níveis nas chaminés num sistema deste tipo passa pela resolução de 2 sistemas de equações, respeitantes à CE 1 e à CE 2, respectivamente:        −= +−= ± QAvA dt dz zpvv L g dt dv TS 111 1 1 ' 111 1 1)''( 2.32)        +−= −−= ± QAvA dt dz zpvv L g dt dv TS 222 2 2 ' 222 2 2)''( 2.33) O valor de caudal turbinado (Q) a considerar nas duas equações da continuidade é o mesmo. Quando este caudal é avaliado a partir dos níveis nas CE, nas simulações numéricas efectuadas considerou-se os níveis nas CE no instante de tempo anterior. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 35 Os níveis iniciais em regime permanente obtêm-se através das seguintes expressões: + −= ' 1101010 ''pvvz e + = ' 2202020 ''pvvz 2.34) Para o cálculo das 10 v e 20 v o valor de caudal de caudal em regime permanente será o mesmo. 2.7 R ESOLUÇÃO DAS E QUAÇÕES F UNDAMENTAIS 2.7.1 R ESOLUÇÃO DESPREZANDO AS PERDAS DE CARGA A integração directa das equações fundamentais, só é possível em algumas circunstâncias especiais, uma delas é quando desprezadas as perdas de carga. De seguida apresenta-se essa resolução [2], pois a partir dela, deduzem-se as variáveis * z e T , muitas vezes referidas nas metodologias estudadas, que representam, respectivamente, a amplitude e o período das oscilações quando as perdas de carga são desprezadas. Considerando uma CE simples e as respectivas equações fundamentais. No cenário de fecho instantâneo, considerando nulas as perdas de carga (v|v|p’=0), pode-se escrever a equação dinâmica da seguinte forma: 0=+ z g L dt dv (2.35) Na equação da continuidade, se derivarmos em ordem a t, obtém-se: T s A A dt dz dt dv 2 2 = (2.36) Substituindo dtdv na equação (2.35), vem: 0 2 2 =+ z g L A A dt dz T s (2.37) A equação (2.36) é uma equação diferencial linear homogénea de 2ª ordem, com coeficientes constantes. Como o termo dtdz não existe na equação, a solução geral é dada pela seguinte equação:       +       =t T senCt T Cz ππ 22 cos 21 2.38) Se admitirmos t=0 e z=0, podemos deduzir que C1=0. Colocando C 2 =z* obtém-se a seguinte equação:       =t T senzz π 2 * (2.39) Considerando (2.39) na equação (2.35), pode-se deduzir a seguinte equação:       =t T vv π 2 cos 0 (2.40) Considerando (2.39) e (2.40) na equação (2.36), pode-se deduzir: S T gA LA vz 0* = (2.41) Considerando (2.39) na equação (2.37) obtém-se: T s gA LA T π 2= (2.42) Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 42 As secções escavadas com métodos convencionais são bastante irregulares, pelo que naturalmente apresentarão maiores rugosidades. Além disso, raramente são adoptadas secções circulares, mais favoráveis do ponto de vista hidráulico, sendo normalmente adoptadas secções do tipo ferradura, preferidas pelos empreiteiros para a construção. Como durante a construção poderão circular veículos dentro dos túneis, por vezes a soleira é revestida o que faz com que a rugosidade da soleira seja diferente. Para ter em conta estas diferentes rugosidades deverá ser considerada a rugosidade da secção mista. Para a análise de secções mistas, apresenta-se na Figura 2.44 o esquema e formulações propostos para o cálculo do coeficiente K S da fórmula de Manning-Strickler e para o factor de resistência (f ) da fórmula de Darcy-Weisback, [40] . S K da fórmula de Manning-Strickler: 3/2             = ∑ Si i S K P P K (fórmula de Einstein) f da fórmula de Darcy-Weisbach P fP f ii ∑ = Figura 2.44 - Cálculo de K S e f numa secção mista, [40] Na ref.[41] é apresentada informação relativa às perdas de carga em 42 túneis não revestidos escavados com métodos convencionais. Os valores das rugosidades absolutas variam entre 150 e 800 mm, sendo que o valor médio é de cerca de 400 mm. Na ref. [39] são indicados valores um pouco mais baixos, entre 60 e 300 mm para túneis escavados em granito, podendo chegar aos 600 mm quando a escavação é realizada noutros tipos de rocha. Quando são utilizadas tuneladoras, a secção de escavação é redonda e a superfície é bastante regular, apresentando por isso rugosidades mais baixas. Os valores da rugosidade dos tuneis não revestidos escavados com TBM do AH de Kárahnjúkar na Islândia, variam normalmente entre 2 e 40 mm, podendo, em zonas onde o maciço é muito fracturado, apresentar valores superiores. Os valores de rugosidade para a secções revestidas com betão projectado variam entre 5 e 25mm. [42] Na tabela Figura 2.3 apresenta-se um resumo dos valores de K S da fórmula de Manning-Strickler referidos na bibliografia analisada. Tabela 2.2 - Valores do coeficiente K S (m 1/3 /s) para diversos revestimentos. Benson[43] EPRI[44] Pennington[45] USCE[46] Min. Max. Não revestidos (D&B) 25.0 40.0 24.4 37.0 - - 26.3 24.4 40.0 Não revestidos (TBM) 45.5 62.5 50.0 66.7 60.6 69.4 55.6 45.5 69.4 Betão projectado (D&B) 40.0 55.6 40.0 50.0 - - - 40.0 55.6 Betão projectado (TBM) - - - - 59.2 65.4 - 59.2 83.3 Betão 62.5 83.3 62.5 83.3 78.1 90.9 76.9 62.5 90.9 Aço 71.4 100 - - - - 80.0 71.4 100.0 Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 43 Na ref. [40] é apresentado um gráfico relacionando o valor de K S com a área da secção de diversos túneis não revestidos localizados nos países nórdicos. Nesse gráfico, para secções com áreas menores do que 150 m², o valor de K S deverá situar-se entre 32 e 38 m 1/3 /s. Na ref.[33], no dimensionamento de AH na Áustria é referido um valor de 110 m 1/3 /s para revestimentos em aço e valores entre 80 e 90 m 1/3 /s, para revestimentos em betão. Martins [47] refere um valor de 85 m 1/3 /s para o túnel de restituição do AH do Alto Lindoso. 2.8.2 P ERDAS DE C ARGA L OCALIZADAS A perda de carga localizada numa determinada singularidade pode ser calculada através da seguinte expressão: 2 2v g K H        =∆ ± (2.55) Certas singularidades têm um coeficiente de perda de carga localizada (K) diferente, consoante o sentido de escoamento, assim será designado por K + , o coeficiente de perda de carga quando o sentido da velocidade no túnel é positivo e K - , quando é negativo. 2.8.2.1 Tomada de Água e Estrutura de Restituição. Para o cálculo das perdas de carga nestes elementos há que contabilizar as perdas na entrada, ranhuras das comportas e transição quadrado-redondo, quando existente. Nas tomadas de água e nas estruturas de restituição de circuitos reversíveis, por regra são colocadas grelhas para protecção do circuito hidráulico e o equipamento hidromecânico. A perda de carga nas grelhas depende de vários factores, sendo porventura o principal, o espaçamento entre as barras e reforços estruturais. O espaçamento máximo entre as barras é definido pelo tipo de turbina adoptado, podendo ser considerados espaçamentos menores devido a aspectos de natureza ambiental e/ou transporte sólido. O cálculo das perdas de carga nas grelhas pode ser feito através da fórmula de Kirschmer, [48]. Para as tomadas de água, Gardel [49] refere valores globais de perdas de carga entre 0.1 e 0.3 quando a velocidade no túnel é positiva (K + ), ou seja, a tomada de água funciona como convergente e valores entre 0.4 e 0.8 quando esta é negativa (K - ) e a tomada de água funciona como divergente. Penino e Hecker [50], também referem para K + um valor entre 0.1 e 0.3 e apresentam alguns valores de projectos nos EUA, Tabela 2.3. Tabela 2.3 - Perdas de carga em tomadas de água, [50] Projecto Tipo de Tomada de Água K + K - Bad Creek Vertical (sem cobertura) 0.2 a 0.5 a Vertical (com cobertura e sem difusor) 0.1 0.9 Davis Lateral 0.3 0.8 Jocasse Vertical (torre) 0.3 - Kinzua Vertical (com cobertura) 0.2 - Muddy Run Vertical (torre) 0.5 1.5 Northfield Lateral 0.6 b 0.4 b a inclui 35 m de difusor com 6º e vigas da grelha sobre a tomada de água. b inclui 91 m de túnel, curva a 55º e difusor com 55 m Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 44 Quando as curvas do traçado do túnel forem suaves, as perdas de carga poderão ser desprezadas; no entanto, quando as curvas forem mais apertadas, como a que muitas vezes é definida a seguir à tomada de água deverão ser consideradas as perdas de carga localizadas nessas curvas. Na fórmula (2.55), a parcela da equação entre parêntesis deverá ser somada ao factor de perda de carga p , referente às perdas de carga contínuas no túnel, de modo a obter-se o factor p’. 2.8.2.2 Bifurcação em “T” na Ligação à Chaminé As perdas de carga numa bifurcação em “T” são bastante importantes para a correcta análise e dimensionamento das chaminés de equilíbrio. Nos próximos parágrafos, apresenta-se a metodologia considerada para o cálculo das perdas de carga na bifurcação em “T” seguindo, de uma maneira geral, o exposto em Khan [51]. Este autor, na sua tese de doutoramento, apresentou as conclusões do trabalho desenvolvido por Gardel [49] de forma mais condensada. Na Figura 2.45 apresenta-se o esquema e nomenclatura adoptada para o cálculo e identificação das perdas de carga entre os diversos troços de bifurcação em “T”. Diâmetro , (m); Área , (m 2 ); Raio , (m); Ângulo , (rad); Caudal, (m 3 /s); = V FF /'' e = v dr / αβ HHH −=∆ ' αγ HHH −=∆ '' βγ HHH −=∆ ''' ( ) αα HHHH +∆−+∆= ''' ' ' ' H H ∆ − ∆ = Figura 2.45 - Esquema e nomenclatura da bifurcação em “T”, [51]. Os tipos de escoamento numa bifurcação em “T” são apresentados na Figura 2.46: Figura 2.46 - Esquema com os tipos de escoamento possíveis numa bifurcação em T, [51]. Note-se que o sentido positivo da velocidade na bifurcação é ao contrário do considerado na presente dissertação. Devido à complexidade desta formulação optou-se por não se alterar a nomenclatura considerada por Khan [51]. Durante a operação de um aproveitamento e considerando a turbina localizada a jusante de γ (CE localizada a montante da turbina), poderão ocorrer os tipos de escoamento (a), (e), (f) e, excepcionalmente, (b) num cenário de fecho brusco. (Sentido positivo dos caudais) Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 45 Caso a turbina se localize a montante de α (CE localizada a jusante da turbina), poderão ocorrer os tipos de escoamento (a), (b) e (f). Os tipos (c) e (d) ocorrem em modo de bombagem. O coeficiente de perda de carga localizada ( x y h∆ ) pode ser calculado através da seguinte expressão: ( ) ( ) ( ) ''1''''''1 22 qqmqlqkh x y x y x y x y mm ++=∆ (2.56) em que: ''q representa o caudal relativo que passa para a chaminé: max /'''' QQq = ; ''Q o caudal que passa para a chaminé através da bifurcação, (m³/s); max Q o caudal máximo em qualquer um dos braços α ou γ , (m³/s); x indica entre que braços é medida a perda de carga e pode ser substituído por ’ ,‘’, ou ’’’; y indica o tipo de escoamento. A escolha de sinais no termo ( ) ''1 qm , depende do valor q’’, em que o sinal negativo é utilizado quando q´´>0. Sublinha-se que neste cálculo em particular, o escoamento é positivo quando se processa da chaminé para o túnel. Por exemplo, '' f h∆ representa a perda de carga relativa entre os braços α e γ para o tipo de escoamento )( f e poderá ser calculado através da utilização dos coeficientes '' f k , '' f l e '' f m na equação (2.56). Os coeficientes x y k , x y l e x y m são constantes para cada tipo de escoamento e dependem da forma da bifurcação. A definição de cada um destes coeficientes é apresentada de seguida: x y k representa o valor relativo da perda de carga para o caso particular em que o escoamento para o braço lateral β é nulo, x y l a perda de carga relativa para o caso particular em que o escoamento num dos braços do túnel α ou γ é nulo; x y m o coeficiente de correcção para o termo q’’ que intervém para o “ escoamento fraccionado” . Os coeficientes x y k , x y l e x y m , deverão ser estudados em laboratório. No caso de bifurcações em “T” com formas idênticas às estudadas por Gardel, estes coeficientes poderão ser obtidos através das expressões apresentadas na Tabela 2.4, [51]. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 46 Tabela 2.4 - Valores dos coeficientes x y k , x y l e x y m , [51]. A perda de carga total pode então ser obtida através da seguinte expressão: ( ) 2 2 max 2 V x y x y gF Q hH ∆=∆ 2.57) Khan [51] apresenta também as expressões para o cálculo das perdas de carga para os escoamentos (b) e (d). ( ) ( ) ( ) ( ) '''1'''''''''1 2 '' 22 2 2 qqmqlqk gF Q hH x b x b x b V x y x b −++−∆=∆ (2.58) em que: '''''''' QQq =, x a x b lk = e x d x b ll = ( ) ( ) ( ) ( ) '''1'''''''''1 2 '' 22 2 2 qqmqlqk gF Q hH x e x e x e V x y x e −++−∆=∆ (2.59) em que: x f x e lk = e x c x e ll = Note-se que para as equações (2.58) e (2.59) os coeficientes x e m e x b m , referentes ao “escoamento fraccionário”, não são apresentados pelo que terão sempre de ser avaliados experimentalmente. Interessa sublinhar que o coeficiente de perda de carga na bifurcação não é constante durante o regime transitório, visto que os caudais relativos variam, por isso na resolução da equação dinâmica há que calcular as perdas de carga na bifurcação em cada intervalo de tempo. Gardel e Rechsteiner [52] estudaram de novo esta problemática, apresentando os valores dos coeficientes de perda de carga localizada ( ∆ h’, ∆ h’’e ∆ h’’’) observadas nas várias geometrias testadas em laboratório. Na Figura 2.47 apresenta-se para uma das geometrias estudadas, a comparação dos resultados medidos em laboratório (linhas a preto ao fundo) com os resultados agora calculados através da formulação atrás apresentada (linhas a cores). Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 47 Figura 2.47 - Comparação entre os valores calculados e as medições em laboratório, apresentados na ref. [52]. Como nas expressões (2.58) e (2.59) não foi considerado qualquer coeficiente para o “escoamento fraccionário”, os resultados afastam-se dos obtidos experimentalmente para os tipos (e) e (b). Estas duas combinações de sentidos de escoamento são bastante raras no funcionamento de uma CE. Nas ferramentas de cálculo automático preparadas no âmbito desta dissertação implementou-se a formulação atrás descrita, permitindo o cálculo das perdas de carga entre o túnel e a bifurcação em cada instante de cálculo. 2.8.2.3 Orifício de ligação à chaminé Além da perda de carga na bifurcação deveremos considerar a perda de carga no orifício de entrada/saída da chaminé que pode ou não ter o mesmo diâmetro da bifurcação. O cálculo das perdas de carga no orifício será realizado considerando a velocidade na bifurcação ( d v ), através da seguinte expressão: 2 2 d d d v g K H        =∆ ± (2.60) Quando o orifício tem um diâmetro igual à bifurcação, tendo em conta que a velocidade na chaminé é muito baixa quando comparada com a velocidade na bifurcação, os valores de Kd+ e Kdserão muito próximos de 1 e 0.5, respectivamente. Quando são consideradas formas arredondadas ou transições mais ou menos suaves, os valores serão naturalmente menores. Como se viu no ponto 2.5.3.3, onde se apresentou o conceito do dimensionamento óptimo do orifício, por vezes interessa “trabalhar” as perdas de carga no orifício, de modo a atingir-se determinados objectivos. Os orifícios do tipo cónico permitem “desenhar”, dentro de certos intervalos, as perdas de carga num e noutro sentido. O cálculo das perdas de carga, neste tipo de orifícios, pode ser feito de acordo com as formulações propostas por Gardel [49]. Quando o troço que liga a bifurcação à chaminé, tem dimensões relativamente grandes, como por exemplo no AH de Venda Nova II e III (ver Figura 2.10) há que contabilizar, também, as perdas de carga contínuas ao longo desse troço de ligação. Se a bifurcação for feita lateralmente, e não no topo do túnel, haverá ainda que contar com a perda de carga na curva. ∆h’ ∆h’’ ∆h’’’ Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 48 2.9 D IMENSIONAMENTO Na ref. [58] é referido que num determinado AH deverá ser adoptada uma solução com CE quando: • a redução das pressões máximas no circuito hidráulico resultantes da adopção da CE leva a uma solução global mais económica. • num cenário de rejeição de carga, não é possível limitar a sobre-velocidade da turbina a um valor inferior a 60%, através do aumento da inércia do grupo ou pela diminuição do tempo de fecho do distribuidor. Como regra prática é também referido que a CE deverá ser considerada quando: 53 ' min_0 a H vL ii > ∑ (2.61) Nesta formulação deverão ser considerados os vários troços do circuito hidráulico até à turbina. Quando se concluir que para um determinado AH, será vantajoso adoptar uma solução com CE, esta deverá ser dimensionada de modo a garantir: • a estabilidade das oscilações no interior da CE (ver capítulo 3). • que os níveis de água não originam o transbordamento através do limite superior da CE • o nível de água mínimo não desce abaixo da cota da abóbada do túnel. 2.9.1 C ENÁRIOS DE D IMENSIONAMENTO Como foi referido anteriormente, o valor exacto das perdas de carga não é conhecido no início do projecto, além disso, este valor terá tendência a alterar-se com o envelhecimento da obra. Assim deverão ser considerados valores conservativos consoante o nível que se pretende estimar. A possibilidade de realização de pelo menos uma segunda manobra durante a ocorrência das oscilações deverá também ser estudada. Na Tabela 2.5, faz-se um apanhado dos diferentes cenários que é costume considerar para o dimensionamento das CE. Tabela 2.5 - Cenários a considerar no dimensionamento de CE Manobras CE localizada a Montante CE localizada a Jusante Perdas de carga Nível na Albufeira Nível a avaliar Perdas de carga Nível na Albufeira Nível a avaliar Fecho Previsão optimista Máximo Máximo Previsão optimista Mínimo Mínimo Abertura Previsão pessimista Mínimo Mínimo Previsão pessimista Máximo Máximo Fecho seguido da Abertura Médias Mínima Mínimo Médias Máxima Máximo Abertura seguida do fecho Médias Máxima Máximo Médias Mínima Mínimo Estabilidade Hidráulica (Capítulo 3) Previsão optimista Mínimo Área mínima Previsão optimista Máximo Área mínima Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 49 O momento mais desfavorável para execução da segunda manobra será próxima do momento em que a velocidade na CE é máxima,[20]. Em centrais com mais do que uma unidade, nos cenários de fecho para a avaliar os níveis máximos, deverá ser considerada rejeição de carga simultânea em todos os grupos. Este cenário é possível se houver uma falha na linha de transmissão da central,[17]. Para a selecção das condições de entrada em funcionamento (cenário de abertura), alguns autores sugerem um valor entre 50 e 100 % da carga nominal. A escolha do valor a adoptar deverá ser feita em conjunto com os responsáveis de operação da rede,[17]. Nas ref. [13], [31], [33] e [34] podemos encontrar cenários em que são simuladas mais do que duas manobras. Em AH equipados com grupos reversíveis poderão também ser estudados cenários em que se alterna entre o modo de turbinagem e o de bombagem. Na Figura 2.48 apresentam-se os cenários considerados no exemplo de dimensionamento apresentado na ref. [33]. Figura 2.48 - Exemplo de casos de carga com mais do que 2 manobras e com alternância do modo de bombagem e turbinagem, [31]. Nos gráficos da figura, estão representados diferentes casos de carga onde são efectuadas diversas manobras que alteram a consigna de potência e que alternam entre o modo de turbinagem e o de bombagem. O estudo destes cenários deverá ser feito em conjunto ou pelo menos em paralelo com o estudo do choque hidráulico em todo circuito tendo em conta as características dos equipamentos instalados na central. Os estudos do choque hidráulico apesar de não serem decisivos para a determinação dos níveis na CE, são essenciais para a avaliação das pressões máximas que irão ocorrer ao longo do circuito hidráulico, podendo levar a alterações na definição da CE. Os estudos do choque hidráulico são também importantes para definição dos tempos de abertura e fecho a considerar. Deve notar-se que em algumas turbinas a seguir à rejeição de carga, devido ao efeito da sobrevelocidade, a admissão de caudal anula-se muito rapidamente, independentemente do tempo de fecho definido para o distribuidor. 2.9.2 E SCOLHA DE C AUDAIS Para a escolha dos valores de caudal a utilizar nos cenários de dimensionamento interessa reter alguns conceitos importantes relativos às turbinas. Na Figura 2.49 apresenta-se um diagrama de coluna, onde são apresentados os rendimentos de uma turbina Francis para diferentes quedas e caudais. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 50 Figura 2.49 - Diagrama de colina de uma turbina Francis, [37]. A Queda dos melhores rendimentos é a queda útil para a qual se pretende que o grupo funcione com o rendimento máximo. Note-se que para o rendimento máximo, a turbina funciona com abertura parcial, no exemplo da Figura 2.49 corresponde a cerca de 80% da abertura (linha 0.8a). A Queda Nominal é a queda em que a turbina com o distribuidor totalmente aberto produz a potência nominal do alternador. Para a averiguação dos níveis na CE interessa considerar os cenários com os caudais máximos, mas ao mesmo tempo é necessário também ser realista. Assim, para a queda máxima deverá ser considerado o caudal que, em funcionamento normal, origina a potência de dimensionamento do alternador e, para a queda mínima, admitindo que seja menor que a queda nominal, deverá ser considerado o caudal correspondente à máxima abertura do distribuidor. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 51 3 ESTABILIDADE HIDRÁULICA. DESENVOLVIMENTO DE FERRAMENTAS PARA A RESOLUÇÃO NUMÉRICA 3.1 I NTRODUÇÃO Num determinado AH com a CE localizada a montante, suponha-se que há uma necessidade imediata de alterar a potência produzida pela turbina de modo a responder a uma alteração de demanda da rede. Para atender a essa necessidade, a admissão de caudal irá aumentar ou diminuir, consoante seja exigida uma potência maior ou menor. Ou seja, o caudal turbinado vai variar de ΔQ, passando de Q* para Q 0 , em que Q 0 corresponde ao caudal que, em regime permanente, gera o novo valor de potência P 0 . Entre estes dois regimes permanentes irá ocorrer um regime transitório em que os níveis da chaminé irão oscilar. Como, na maior parte dos casos, a regulação da turbina é feita de modo a gerar uma potência constante; durante o regime transitório, o caudal admitido pela turbina irá variar em função da queda, que por sua vez varia em função do nível na chaminé. Para a análise desta problemática, vai-se partir da equação para o cálculo da potência. Se para além das perdas do grupo turbina-alternador e transformador se incluir no rendimento (η) as perdas na conduta forçada e circuito de restituição, pode-se estabelecer a seguinte relação: )(' 000 zHQHQP +== γηγη 3.1) em que P 0 , Q 0 , H’ 0 representam, respectivamente, os valores da potência, caudal e queda útil no regime permanente que se pretende atingir. Se, para pequenas variações de caudal, se admitir um rendimento constante, pode-se escrever: )(' 00 zHQHQ += ou z H HQ Q+ =00 ' (3.2) De modo a manter constante a potência gerada, o caudal admitido será inversamente proporcional a (H + z), que por sua vez varia durante os regimes transitórios provocados pelas variações de caudal admitido. Quando a chaminé estiver localizada a jusante a abordagem é análoga, no entanto na equação (3.2) deverá ser considerado (H-z). Este tipo de funcionamento pode, em certas circunstâncias, tornar-se instável com oscilações autoinduzidas, em que a amplitude, em vez de diminuir, aumenta. Nos próximos pontos vai-se analisar a estabilidade hidráulica das oscilações no interior das CE no que se refere a: • pequenas oscilações provocadas por pequenas variações na potência; • grandes oscilações provocadas por variações não tão pequenas; • diferentes factores que interferem na estabilidade hidráulica • estabilidade hidráulica numa câmara de equilíbrio não arejada • estabilidade das oscilações em AH equipados com CE a montante e da turbina. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 58 Como se pode observar o valor considerado para A S origina oscilações perfeitamente senoidais. Através da simulação numérica e considerando a lei de admissão de caudais apresentada, que tem em conta as perdas de carga na bifurcação, foi chegar à mesma conclusão que a formula (3.8). Na simulação numérica nota-se que quando se aumenta o estrangulamento, ou seja, quando se diminuí o diâmetro da bifurcação, a estabilidade aumenta, pelo que se conclui que caso sejam considerados diâmetros menores do que o túnel (φ < 1), o factor n a) será menor. 3.4.1.2 Chaminé localizada a Jusante da Turbina Numa chaminé localizada a jusante da turbina, o efeito da velocidade no túnel é instabilizante. Em algumas formulações, no denominador da fórmula para o cálculo de A Th em vez de p’ considerase (p’-1/2g). Esta abordagem é correcta, mas conservativa, pois há também que ter em conta as perdas de carga entre a bifurcação e o túnel. Lai [54], através das fórmulas desenvolvidas por Gardel [49] para a avaliação das perdas de carga na bifurcação, apresentadas no ponto 2.8.2.2, deduziu a seguinte expressão para o cálculo da área mínima de uma CE com estrangulamento localizada a jusante da turbina. 0 min_ 22 1 '2 H gg pg LA A T s        +        −⋅ ≥ + σ (3.11) em que:               −++              + = ϕ δ ϕ σ 84.336.0 2 tan 1 14.0 2 1 (3.12) As variáveis apresentadas na expressão (3.12) referem-se à forma da bifurcação e seguem a nomenclatura considerada na metodologia para o cálculo das perdas de carga na bifurcação (ver capitulo 2.8.2.2). Através da equação (3.11), pode ser deduzida a seguinte expressão para o factor de segurança n *a) para uma chaminé localizada a jusante. 2 0 0 * ) '2 11 1 vp E n a +      −− ≈ σ (3.13) Repare-se que quando se considerara que o diâmetro da bifurcação é igual ao do túnel ( ϕ =1), para δ = 90º vem σ =2 e n *a) =1. Ou seja, numa CE localizada a jusante, quando o diâmetro da bifurcação é igual ao do túnel a área mínima para a secção da CE é igual a A Th . Para o estudo deste factor específico através da simulação numérica é necessário referenciar a queda útil ao ponto de inserção da chaminé - ponto a vermelho da Figura 3.6. Na figura estão de novo representados os dois tipos de escoamento que ocorrem durante este tipo de regime transitório - escoamentos do tipo (a) e (f). Deve notar-se que a turbina se encontra a montante de α . Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 59 Figura 3.6 - Tipos de escoamento no ponto de inserção da CE de equilíbrio localizada a jusante da turbina. Partindo da equação do cálculo da potência e englobando no rendimento (η) também as perdas de carga entre a tomada da água e a CE de jusante e, se se admitir que o rendimento é constante para pequenas oscilações, pode-se escrever a seguinte expressão: ' ' 00 H HQ Q= ; em que: 2 00 '' vpHH + −= ; ± −∆−−= ddd pvvHzHH β ' (3.14) Para uma CE com estrangulamento localizada a jusante da turbina e considerando as mesmas variáveis apresentadas na Tabela 3.3; como ϕ =1, * )a n =1, pelo que: 2* )min_ 95.3131.951 mAnA Thas =×== Na Figura 3.7 apresenta-se o gráfico com o resultado da simulação numérica, considerando esta área para a CE, Q*=52m³/s e que a admissão de caudal turbinado é feita segundo a equação (3.14). 42 44 46 48 50 52 0 300 600 900 4 6 8 10 12 14 16 Q (m 3 /s) t (s) 4 6 8 10 12 14 16 3.5 4.0 4.5 z (m) v (m/s) (v 0 = 3.98; z 0 = 8.26) Figura 3.7 - Resultados da simulação numérica considerando Thas AnA * )min_ = Como se pode observar, o valor considerado para a secção da CE origina oscilações perfeitamente sinoidais. É interessante notar que neste caso, quando o nível na chaminé diminui o caudal também diminui ao contrário do que acontece quando a localização é a montante da turbina. 3.4.2 P ERDA DE CARGA NA CONDUTA FORÇADA As perdas de carga na conduta forçada têm sempre um efeito instabilizante, independentemente da localização da CE, em relação à turbina. Para além das perdas de carga na conduta forçada, deverão também ser consideradas as perdas de carga no circuito de restituição. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 60 No caso da CE localizada a jusante da turbina deverão ser consideradas as perdas de carga no circuito de adução e no troço entre a turbina e a CE. O efeito particular deste factor, representado por n b) , pode ser avaliado através da seguinte expressão [55]: 2 0 0 ) ' 3 1 1 vpH C n b + − − = , em que 2 00 cc vpC = (3.15) O efeito deste factor é passível também de ser visualizado graficamente através da simulação numérica. Há, no entanto, que referenciar o valor da queda para o cálculo da potência à queda útil na turbina. De modo a manter-se o exemplo em análise, é necessário também que ter em conta o efeito das perdas de carga na zona de inserção da CE. Partindo da equação do cálculo da potência e admitindo que o rendimento é constante para pequenas oscilações, podemos escrever a seguinte expressão que define a lei de admissão de caudal na turbina: ' '00 H HQ Q= , em que: 2 0 2 00 '' cc vpvpHH −−= + e 2 ' ccddd vppvvHzHH −+∆++= ± β (3.16) Para o AH em análise, vai-se considerar uma conduta forçada com um diâmetro de 3 m e com um factor de perda de carga ( c p ) de 0.147 s²/m. C 0 pode ser calculado da seguinte forma: mvpC cc 34.7 5.1 50 147.0 2 2 2 00 =       ×== π , Considerando este valor para 0 C , através da expressão (3.15) obtém-se um valor para )b n de 1.185, pelo que: 2 min_ 78.3531.951.185945.0 mA s =××= . Na Figura 3.8, apresenta-se o gráfico com os resultados da simulação numérica, considerando esta área para a CE, Q*=52m³/s e que a admissão de caudal turbinado é feita segundo a equação (3.16). 42 44 46 48 50 52 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 300 600 900 Q(m3/s) t (s) -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 3.5 4.0 4.5 z (m) v(m/s) (v0 = 3.98; z0 = -9.77) Figura 3.8`- Resultados da simulação numérica considerando Thbas AnnA ))min_ = Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 61 Como se pode observar o valor considerado para A S origina oscilações perfeitamente senoidais. Através da simulação numérica e considerando na lei de admissão de caudais as perdas de carga na conduta forçada, foi possível chegar à mesma conclusão que a fórmula (3.15) relativamente à área da CE. 3.4.3 A MORTECIMENTO Não é benéfico para o AH que as oscilações se prolonguem durante muito tempo pois, deste modo, aumentam também o número de manobras que o distribuidor da turbina tem de executar, causando desgaste no equipamento. Por isso, pode-se definir, a priori, qual o amortecimento pretendido para as oscilações. Na Figura 3.9 apresenta-se, de forma esquemática, a nomenclatura para a definição do amortecimento (A). Figura 3.9 - Nomenclatura para definição do amortecimento (A), [30]. O amortecimento é medido no intervalo de tempo T 0 , que corresponde ao período entre 2 picos consecutivos caso fosse adoptada A Th . T 0 pode ser determinado através da seguinte expressão, [55]: 2 0 0 0'vgp Lv T+ = (3.17) Para se conseguir o amortecimento pretendido deverá ser considerado o seguinte factor, [55]: )1(log1 1 )A n e c−+ = (3.18) Voltando ao exemplo em análise, caso se queira um amortecimento (A) de 0.25 (25%), é necessário considerar um factor de 1.404, pelo que: 2 min_ 23.5031.95404.11.185945.0 mA s =×××= . Na Figura 3.10 apresenta-se o resultado da simulação considerando esta área para a CE e Q*=52m 3 /s. A regulação do caudal turbinado é realizada de forma idêntica ao ponto anterior. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 62 -8.38 -8.73 42 44 46 48 50 52 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 300 600 900 Q(m3/s) t (s) -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 3.5 4.0 4.5 z (m) v(m/s) (v0 = 3.98; z0 = -9.77) Figura 3.10 - Resultados da simulação numérica considerando Thcbas AnnnA )))min_ = A duração temporal que separa os dois pontos marcados na figura corresponde à duração de 0 T , cujo valor é de 180s. Pode-se então confirmar com os resultados da simulação numérica que: ( ) 39.177.938.8 1 =−−−=E e ( ) 04.177.973.8 2 =−−−=E ; logo: 25.039.104.11 =−=A 3.4.4 F ORMA DA CURVA DE RENDIMENTO DA TURBINA Até este ponto, tem-se considerado o rendimento constante; no entanto, como é sabido, o rendimento varia consoante o ponto de funcionamento da turbina. Quando a curva de rendimento da turbina está a subir, a variação do rendimento aumenta a estabilidade, mas se estiver a descer, diminui a estabilidade. No dimensionamento da chaminé, são normalmente considerados cenários de potência máxima para a queda mínima. Nessas situações, o ponto de funcionamento em regime permanente, está normalmente, do lado descendente da curva de rendimento da turbina, por isso, o efeito é instabilizante e como tal leva a que se adoptem áreas maiores para a chaminé. Para ter em conta este efeito, Gardel propõe o seguinte coeficiente, [55]: σ tan 2 3 1 ) −= d n (3.19) em que: 3 tan tan 3 tan2 tan ψ ρ ϕ σ + − = (3.20) em que ρ , ϕ , ψ representam, respectivamente, os ângulos com a horizontal das tangentes no ponto de funcionamento em regime permanente das curvas a), b) e c) apresentadas na Figura 3.11. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 63 Figura 3.11 - Definição das variáveis ρ , ϕ , ψ [2] O gráfico a) representa, para uma queda constante, a variação do rendimento com a potência. Os gráficos b) e c) representam respectivamente o binário actuante na roda (“torque”) e o rendimento em função da velocidade de rotação com abertura e queda constantes. A curva a) é a mais importante, pois permite a determinação de ρ tan , que é, geralmente a variável predominante para a avaliação de σ tan . O valor de ρ tan na vizinhança da abertura total é negativo e geralmente toma valores entre -0.2 e -0.3. O parâmetro ϕ tan caracteriza o grau de reacção da roda e toma em média um valor próximo de -1. Quando a velocidade específica da turbina é baixa este valor aproxima-se de -0.8 e quando é alta este valor aproxima-se de -1.2. O valor de ψ tan deverá ser zero para a queda de dimensionamento da roda. Será negativo ou positivo quando a turbina funcionar, respectivamente, com quedas mais baixas ou mais altas do que a queda de dimensionamento. Quando o nível estático varia bastante em relação ao nível de dimensionamento ψ tan não deverá ser desprezado. Este tipo de informação nem sempre está disponível, por isso, será interessante mostrar o enquadramento apresentado por Gardel [55]. Tabela 3.5 - Enquadramento das variáveis respeitantes à curva de rendimento da turbina, [55]. ρ tan ψ tan ϕ tan σ tan )d n Sem efeito no rendimento 0 0 -1 0 1 Frequentes -0.2 0 -1 -0.2 1.3 Pouco frequentes -0.25 -0.2 -1.1 -0.32 1.48 Valores raros -0.3 -0.6 -1.2 -0.52 1.78 Será relativamente comum ter de majorar a dimensão da chaminé devido ao efeito da curva de rendimento entre 30 % e 50%. Para os casos “frequentes” ϕ tan próximo de -1, enquanto ψ tan não deverá diferir muito de 0, pelo que σ tan será aproximadamente igual a ρ tan , fazendo coincidir a fórmula (3.19) com a apresentada por Calame e Gaden [56]. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 64 De sublinhar que nesta abordagem ρ tan é determinado a partir da curva de rendimento em função da potência. Existe uma outra versão do factor )d n calculado unicamente a partir da curva de rendimento em função da abertura relativa ( 0 θθ ) [18]. Para fazer a distinção designa-se por 'tan ρ quando for considerada a curva de rendimento definida em função da abertura relativa ( 0 θθ ). O efeito deste factor é também passível de ser visualizado graficamente através da simulação numérica. Partindo da equação do cálculo da potência, pode-se escrever a seguinte expressão: '' 0000 QHHQP γηγη == ou ' ' 000 H HQ Q η η = (3.21) Será portanto necessário definir em cada instante de tempo o valor de ηη 0. Para as situações em que ρ tan é predominante, para o cálculo de σ tan , pode-se utilizar a seguinte expressão que relaciona 'tan ρ e ρ tan [18]. ρ ρ ρ tan1 tan 'tan − = (3.22) Por definição, 'tan ρ é definido pela seguinte expressão: 0 0 0 0 0 0 'tan θ θ θ θ η η η η ρ − − = , logo 11'tan 00 +        −= θ θ ρ η η (3.23) A queda e o caudal estão normalmente relacionados por relações quadráticas pelo que se poderá estabelecer a seguinte relação [18] : 000 ' ' H H Q Q θ θ = (3.24) Assim, a lei de admissão de caudal na turbina (equação (3.21) pode agora ser escrita da seguinte forma: )'( 11 ' ' 'tan 1 00 0 0 H HQ H H Q Q Q +        − = ρ ; em que: 2 0 2 00 '' cc vpvpHH −−= + e 2 ' ccddd vppvvHzHH −+∆++= ± β (3.25) No exemplo em análise, considera-se que a curva de rendimento da turbina será do tipo “frequente”, pelo que 2.0tantan − = = ρ σ e 3.1 ) = d n . Para o estudo deste factor em particular admite-se que o amortecimento (A) é zero, de modo a que, na visualização gráfica da simulação, se possa observar o limite de estabilidade. Assim: 2 min_ 51.4631.9530.111.185945.0 mA s =××××= Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 65 Na Figura 3.12 apresenta-se o resultado da simulação numérica considerando esta área para a chaminé de equilíbrio. Na expressão (3.25) foi considerado para 'tan ρ o valor de -0.17, calculado através da expressão (3.22). 42 44 46 48 50 52 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 300 600 900 Q(m 3 /s) t (s) -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 3.5 4.0 4.5 z (m) v(m/s) (v 0 = 3.98; z 0 = -9.77) Figura 3.12 - Resultados da simulação numérica considerando Thdbas AnnnA )))min_ = Neste caso não se observa a elipse perfeita esperada, que representa o limite de estabilidade, mas aproxima-se bastante. Através da simulação numérica e considerando na lei de admissão de caudais o efeito da curva de rendimento da turbina, foi possível chegar a conclusões muito próximas das obtidas através da fórmula (3.15) relativamente à área da CE. Note-se que a lei de admissão de caudais desenvolvida só é válida para os “casos frequentes”, em que ρ σ tan tan = . 3.4.5 E FEITO DO FUNCIONAMENTO EM PARALELO COM OUTRAS UNIDADES PRODUTORAS Quando a central está ligada a uma rede à qual estão também ligadas outras centrais produtoras sem CE, a área necessária para a secção da chaminé poderá ser menor. O efeito particular deste factor, representado por n e) , pode ser avaliado através da seguinte expressão [55]: ( ) Kn e −−= 1 2 3 1 ) (3.26) em que K representa a relação entre capacidade da central (P) e a capacidade produtora total da rede (P t ). Portanto, se a central fornecer energia para uma rede isolada, P < P t , K=1 pelo que n e) = 1. Quando P < P t a área da CE poderá ser reduzida. Calame e Gaden mostraram que as oscilações serão sempre estáveis, seja qual for a área da chaminé, se a capacidade da central representar menos de um terço da capacidade produtora da rede [2], ou seja, quando o valor de n e) for menor do que zero. Esta condição é frequentemente satisfeita em redes importantes, e na bibliografia pode-se encontrar exemplos em que foram adoptadas áreas bem menores do que A Th . Nos AH de la Rhue ( n =0.25) e Jouques ( n =0.077) em França, foram consideradas áreas significativamente menores do que Th A [2]. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 66 O efeito deste factor pode também ser visualizado graficamente através da simulação numérica. Para pequenas oscilações, a potência gerada pela central pode ser calculada através da seguinte expressão [2]: ( )        −+= K H x PP 1 '2 3 1 0 0 (3.27) em que x representa a variação de queda útil relativamente a 0 ' H . Nesta expressão 0 PP = , quando K=1, ou em regime permanente, em que x é igual a zero. A partir da expressão (3.27) e considerando também o efeito da curva de rendimento, a expressão para modelar o caudal turbinado pode ser escrita da seguinte forma: ( )        − − +⋅⋅ +        − =K H HH H HQ H H Q Q Q1 ' '' 2 3 1 ' ' 11 ' ' 'tan 1 0 000 0 0 ρ ; em que: 2 0 2 00 '' cc vpvpHH −−= + e 2 ' ccddd vppvvHzHH −+∆++= ± β (3.28) No exemplo em análise, vai-se considerar que a central representa 70% da capacidade produtora da rede, ou seja 7.0 = k , pelo que 55.0 ) = e n . Para o estudo deste factor vai-se continuar a admitir que o amortecimento (A) é igual a zero, e manter o efeito da curva de rendimento da turbina ( σ tan = ρ tan = -0.2), pelo que: 2 min_ 58.2531.9555.030.111.185945.0 mA s =×××××= Na Figura 3.13 apresenta-se o resultado da simulação numérica considerando esta área para a CE e que a admissão de caudal turbinado é feita de acordo com a expressão (3.28). 42 44 46 48 50 52 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 300 600 900 Q(m3/s) t (s) -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 3.5 4.0 4.5 z (m) v(m/s) (v0 = 3.98; z0 = -9.77) Figura 3.13 - Resultados da simulação numérica considerando Thedbas AnnnnA ))))min_ = Neste caso, também, não é possível observar a elipse perfeita esperada, mas, mais uma vez, aproximase bastante. Através da simulação numérica e considerando na lei de admissão de caudais o efeito do funcionamento em paralelo com outras unidades produtoras, foi possível chegar a conclusões muito próximas das obtidas através da fórmula (3.26) relativamente à área da CE. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 67 3.4.6 C HOQUE HIDRÁULICO De acordo com Gardel [55] , regra geral, o efeito do choque hidráulico na estabilidade das oscilações é muito pequeno e é admissível ser desprezado. Em circunstâncias muito especiais, quando período das oscilações for muito pequeno, se a velocidade na conduta forçada for elevada, o efeito do choque hidráulico poderá ter alguma importância, sendo proposto um factor para ter em conta os seus efeitos. Como nesta dissertação, apenas estamos a estudar a oscilação em massa, este factor não é passível de ser simulado da mesma forma que os anteriores, por isso, nas diferentes análises efectuadas desprezouse o efeito do choque hidráulico. 3.5 C ÂMARA DE E QUILÍBRIO NÃO A REJADA Numa CE não arejada a área que garante a estabilidade hidráulica das oscilações é maior do que numa CE simples. Svee desenvolveu a seguinte expressão para o cálculo da min_ s A , [25]:                 += m p eAA m Ths γ 1 min_ (3.29) A nomenclatura considerada na expressão é a mesma que foi adoptada no ponto 2.5.6. Na expressão (3.29) quando 0= m p , Ths AA = min_ e, quando 0> m p , Ths AA > min_ . 3.6 S ISTEMAS DE C HAMINÉS Em AH com CE a montante e a jusante da turbina, as oscilações poderão ter um comportamento instável mesmo que sejam respeitadas as condições de Thoma. De acordo com Escande e Huron [57], num AH com duas CE e com turbinas de reação, as oscilações serão estáveis em ambas as chaminés se forem cumpridas as condições de estabilidade de RouthWurwitz: 0 1 > α ; 0 2 > α ; 0 2 > α ; 0 4 > α ( ) 0 41321 2 3 <−−=Γ αααααα 3.30) em que:        +−        += 210 0 2 2 2 202 1 1 2 101 0 1 112 SS TT AAH Q L A vp L A vp Q g α (3.31)        ++        +        +−⋅⋅= 22 2 11 1 2 2 2 202 1 1 2 101 2102 2 1 1 2 0 2 202 2 101 2 2 112 4 S T S TTT SS TT AL A AL A g L A vp L A vp AAH g L A L A Q vpvp g α (3.32)        +⋅−        +−        +⋅= 212 2 1 1 00 2 202 2 101 2 1 1 2 2 021 0 1 2 202 2 2 101 2 2 1 1 0 2 3 1142 SS TTTT SSSS TT AAL A L A QH vpvpg L A L A HAA gQ A vp A vp L A L A Q g α (3.33)        −−= 0 2 202 0 2 101 2121 11 2 4 22 1H vp H vp LLAA AAg SS TT α (3.34) Quando a central está equipada com grupos Pelton, o nível da CE de jusante não influi na regulação da turbina pois a queda é definida pela cota à saída dos injectores. Será de seguida analisado o exemplo estudado por Escande e Huron, apresentado de forma esquemática na Figura 3.14. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 74 5 ESTUDO DE UM SISTEMA DE DUAS CE, UMA EM CADA LADO DA CENTRAL EQUIPADA COM GRUPOS FRANCIS 5.1 I NTRODUÇÃO Pretende-se estudar um caso de um AH, pondo em prática algumas das metodologias desenvolvidas e apresentadas no capítulo 2. Na Figura 5.1 apresenta-se de forma esquemática a planta e o perfil longitudinal do AH a analisar. Figura 5.1 - Planta e perfil esquemático do AH estudado. A central deste AH está equipada com 4 grupos idênticos. Apesar de não ser inteiramente verdade, visto que os circuitos para os grupos não são exactamente iguais, considerou-se que os 4 circuitos funcionarão com o mesmo caudal e queda. Para simplificar a análise e exposição dos resultados vai-se considerar apenas um cenário relativo às perdas de carga e simular também apenas o valor de caudal máximo considerado, 146.7 m 3 /s. Vai-se admitir que este é o caudal correspondente à queda média com os 4 grupos em funcionamento. Conservativamente considerou-se que o aproveitamento analisado pode, em determinadas circunstâncias, fornecer toda a potência requerida pela rede. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 75 5.2 P ERDAS DE C ARGA Na Tabela 5.1 apresentam-se, para cada um dos troços representados no perfil longitudinal da Figura 5.1, as características geométricas, as perdas de carga (Q=146.7 m 3 /s) e os factores de perda de carga calculados (p’). O índice “tr” diz respeito apenas a um troço de uma ramificação e o índice “T” diz respeito à totalidade dos troços. Tabela 5.1 - Características geométricas e perdas de carga do circuito analisado Adução (1) Conduta Forçada (c) Restituição (2) Troço 1 Troço c.1 Troço c.2 Troço c.3 Troço c.4 Troço c.5 Troço 2.1 Troço 2.2 L (m) 4666.2 300.00 1490.95 318.07 51.24 72.50 41.8 671.9 D (m) 7.00 6.00 5.40 3.60 2.80 3.50 3.50 7.00 Q tr /Q T (-) 1.00 1.00 1.00 0.50 0.25 0.25 0.25 1.00 v (m/s) 3.81 5.19 6.41 7.21 5.96 3.81 3.81 3.81 C H ∆ (m) 5.60 0.62 5.25 2.27 0.34 0.22 0.13 0.81 L H ∆ (m) 0.16 1.21 0.86 3.31 0.18 0.44 0.89 0.37 ' p (m/s 2 ) 0.40 0.07 0.23 0.21 0.02 0.02 0.07 0.08 Totais (s 2 /m) + 1 ' p =0.396* c p =0.546 + 2 ' p =0.151* (*) quando o sentido da velocidade no túnel é negativo, − 1 ' p =0.398 e − 2 ' p =0.149. Para o cálculo dos factores de perda de carga de cada troço da conduta forçada, considerou-se sempre o valor da velocidade no Troço c.1. O túnel de restituição é composto por 2 troços com áreas e caudais diferentes. Como no Troço 2.1 apenas passa ¼ do caudal do túnel, na equação (2.3) para o cálculo da m A , considerou-se a relação trT vQ para este troço. 2 2 48.38 5.3 93.671 81.37.146 8.41 93.6718.41 m A L L A i i i m = + + == ∑ ∑ π O valor obtido corresponde exactamente à área de uma tubagem com um diâmetro de 7 m. Este resultado era expectável, visto que, os dois troços funcionam exactamente com a mesma velocidade. Para a CE de montante e de jusante, no cálculo das perdas de carga na bifurcação, troço e orifício de ligação, consideraram-se as características apresentadas na Figura 5.2: Figura 5.2 - Ligação entre o túnel e a CE. CE de montante e de Jusante Relativamente à CE de jusante, foi sempre considerado ¼ do caudal, admitindo-se portanto que os 4 poços de ligação à CE de jusante têm comportamento idêntico. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 76 5.3 A NÁLISE DA E STABILIDADE Primeiramente calcula-se a área de Thoma (A Th ) para cada uma das CE. Para tal, considerou-se a queda mínima e o caudal de 146.7 m 3 /s. Tabela 5.2 - Cálculo de 1 Th A e 2 Th A CE de Montante (1) CE de Jusante (2) H (m) 647.00 0 Q (m³/s) 146.70 1 T A (m²) 38.48 38.48 0 v (m/s) 3.81 3.81 + ' p (s 2/ m) 0.396 0.151 2 0 ' vp + (m) 5.76 2.20 0 ' H (m) 639.05 L (m) 4666.2 41.8+671.9 Th A (m²) 36.167 14.49 Admitindo que cada uma das CE funciona isoladamente, vai-se calcular através dos respectivos coeficientes de segurança, o efeito dos outros factores que também afectam a estabilidade das oscilações e, consequentemente, o valor mínimo da área a adoptar. Tabela 5.3 - Cálculo dos factores de segurança ) a n , ) b n , ) c n , ) d n e ) e n CE de Montante (1) CE de Jusante (2) a) Ef. da Energia Cinética 0 v (m/s) 3.81 3.81 0 E (m) 0.74 0.74 λ (-) 0.65 σ (-) 2.10 ) a n (-) 0.92 0.98 b) Ef. das perdas de carga na conduta forçada 0 c v (m/s) 5.19 c p (s 2/ m) 0.55 ) b n (-) 1.07 c) Amortecimento A (-) 0.30 ) c n (-) 1.55 d) Ef. da curva de rendimento σ tan = ρ tan (-) -0.20 ) d n (-) 1.30 e) Ef. do funcionamento em rede c) K (-) 1.00 ) e n (-) 1.00 nnnnnn edcba = ))))) .... (-) 2.00 2.14 Ths AnA . min_ = (m 2 ) 72.44 30.94 Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 77 Os valores obtidos para a área mínima são bastante mais baixos do que os considerados no projecto. Interessa agora averiguar a estabilidade das oscilações quando as duas chaminés funcionam em conjunto, como é o caso. Para tal calcularam-se as condições de estabilidade de Routh-Wurwitz, considerando a secção da CE de montante (323 m 2 ) e a área do poço da CE de jusante (115.9m 2 ). Tabela 5.4 - Cálculo das Condições de estabilidade de Routh-Wurwitz 1 α 1.95E-02 >0 2 α 4.86E-03 >0 3 α 2.89E-05 >0 3 α 1.11E-06 >0 Γ -1.48E-09 <0 Como se pode observar, são satisfeitas todas as condições de estabilidade de Routh-Wurwitz, podendo concluir-se que as oscilações nas duas CE serão estáveis. De modo a enquadrar as áreas adoptadas para as secções das chaminés face ao limite de estabilidade, apresenta-se na Figura 5.3, conjuntamente com a curva definida pelos pontos ( 1 n , 2 n ) que satisfazem a condição Γ =0, o ponto que representa as áreas das CE deste aproveitamento. Este ponto é definido em função de 1 n e 2 n ou seja: 93.8 111 == ThS AAn e 00.8 222 == ThS AAn . (8.00,8.93) 012345678910 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n 2 n 1 Figura 5.3 - Representação da curva que contem os pontos 1 n e 2 n que satisfazem a condição Γ =0. O ponto corresponde às áreas adoptadas está muito longe da linha azul que representa o limite de estabilidade ( Γ =0). Deve notar-se que esta metodologia utilizada para aferir a estabilidade das oscilações nas duas CE, não tem em conta os factores listados na Tabela 5.3. A análise da estabilidade das oscilações tendo em conta estes factores será feita através da simulação numérica apresentada no ponto seguinte. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 78 5.4 S IMULAÇÃO N UMÉRICA 5.4.1 M ODELO DE CÁLCULO As equações fundamentais para este sistema equipado com CE do tipo estrangulado a montante e a jusante são as seguintes: CE de montante:        −= +∆++−= ±± QAvA dt dz pvvHzpvv L g dt dv TS ddd 111 1 11111 ' 111 1 1)'( β (5.1) CE de jusante:        +−= −∆−−−= ±± QAvA dt dz pvvHzpvv L g dt dv TS ddd 222 2 22222 ' 222 2 2)'( β (5.2) Estes dois sistemas de equações foram resolvidos pelo método de Runge Kutta ( t ∆ =0.1s), considerando os níveis iniciais em regime permanente calculados através das seguintes expressões: 10 2 10 ' 110 ' β Hvpz ∆−−= + 20 2 20 ' 220 ' β Hvpz ∆−= + (5.3) (5.4) Na simulação numérica, as perdas de carga na bifurcação em cada instante, foram calculadas através da metodologia apresentada no ponto 2.8, considerando a geometria apresentada na Figura 5.2. A expressão (5.5) define a lei de admissão de caudais na turbina, admitido que a regulação é feita de modo a gerar potência constante e considerando o efeito da curva de rendimento da turbina, funcionamento em rede, perdas de carga na bifurcação e conduta forçada. ( )         − − +⋅⋅ +         − = + K H HH H HQ H H Q Q Q t t t t t 1 '' 2 3 1 ' 11 ' ' 'tan 1 0 000 0 0 1 ρ ; (5.5) em que 0 ' H e t H ' são calculados através das seguintes expressões: 2 0 2 02 2 010 ''' cc vpvpvpHH −−−= ++ 2 2222211111 ' ctctdtdtdtttdtdtdttt vppvvHzpvvHzHH −−∆−−+∆++= ±± ββ Como foi referido, vai-se considerar K=1, ou seja este aproveitamento poderá fornecer em certas circunstâncias toda a potência requerida pela rede. Relativamente à curva de rendimento da turbina consideram-se os valores “frequentes” referidos na Tabela 3.5, pelo que 2.0tantan − = = ρ σ . Deste modo através da expressão (3.22) calculou-se 17.0'tan − = ρ . Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 79 5.4.2 V ERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE ATRAVÉS DA SIMULAÇÃO NUMÉRICA Nas Figuras 3.4 e 3.5 apresentam-se os resultados da simulação numérica para aferir a estabilidade das oscilações nas duas CE, considerando Q*=140 m 3 /s e que no instante zero é realizada uma manobra instantânea de modo a passar a produzir a potência correspondente a um caudal de 146.7 m 3 /s. 144.5 145.5 146.5 147.5 -8 -7 -6 -5 0 300 600 900 Q(m 3 /s) t (s) -8 -7 -6 -5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 z 1 (m) v 1 (m/s) (v 10 = 3.81; z 10 = -6.46) Figura 5.4 – Verificação da estabilidade das oscilações. CE de Montante 144.5 145.5 146.5 147.5 1 2 3 4 0 300 600 900 Q (m 3 /s) t (s) 1 2 3 4 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 z 2 (m) v 2 (m/s) (v 20 = 3.81; z 20 = 1.52) Figura 5.5 - Verificação da estabilidade das oscilações. CE de Jusante Como era esperado, face ao apresentado no ponto anterior, as oscilações são estáveis em ambas as chaminés. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 80 5.4.3 A VALIAÇÃO DOS NÍVEIS MÁXIMOS ATRAVÉS DA SIMULAÇÃO NUMÉRICA Para a averiguação dos níveis máximos e mínimos nas duas CE, vão-se simular os cenários apresentados na Tabela 5.5. Tabela 5.5 - Cenários simulados para averiguação dos níveis nas CE. Nível a averiguar Caso de carga Nível na Albufeira Montante Jusante CE de Montante Nível máximo 1 Fecho Máximo Máximo 2 Abertura seguido do fecho (215s) Nível mínimo 3 Abertura Mínimo Mínimo 4 Fecho seguido de abertura (215s) CE de Jusante Nível máximo 5 Abertura Máximo Máximo 6 Fecho seguido de abertura (80s) Nível mínimo 7 Fecho Mínimo Mínimo 8 Abertura seguido do fecho (80s) Nos casos de carga com duas manobras, o momento crítico para a execução da segunda manobra é no segundo 215 para os casos de carga associados à CE de montante e no segundo 80, para os casos de carga associados à CE de jusante. Foram considerados tempos de abertura e de fecho idênticos, de 40 s. Depois da manobra de abertura estar completa admite-se que a regulação da turbina é realizada de modo a gerar potência constante, com a lei de admissão de caudais a ser feita de acordo com a equação (5.5). Nas Figuras 5.6 a 5.13 apresentam-se os resultados das diferentes simulações numéricas para a avaliação dos níveis máximos e mínimos nas duas CE. Figura 5.6 - Resultados. Avaliação do nível máximo na CE de montante. Caso de Carga 1. No caso de carga 1 o nível máximo obtido na CE de montante é de 788.3 m. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 81 Figura 5.7 - Resultados. Avaliação do nível máximo na CE de montante. Caso de Carga 2. No caso de carga 2 o nível máximo obtido na CE de montante é de 797.5 m. Figura 5.8 - Resultados. Avaliação do nível mínimo na CE de montante. Caso de Carga 3. No caso de carga 3 o nível mínimo obtido na CE de montante é de 726.0 m. Figura 5.9 - Resultados. Avaliação do nível mínimo na CE de montante. Caso de Carga 4. No caso de carga 4 o nível mínimo obtido na CE de montante é de 707.8 m. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 82 Figura 5.10 - Resultados. Avaliação do nível máximo na CE de jusante. Caso de Carga 5. No caso de carga 5 o nível máximo obtido na CE de jusante é de 113.6. m. Figura 5.11 - Resultados. Avaliação do nível máximo na CE de jusante. Caso de Carga 6. No caso de carga 6 o nível máximo obtido na CE de jusante é de 116.9 m. Figura 5.12 - Resultados. Avaliação do nível mínimo na CE de jusante. Caso de Carga 7. No caso de carga 7 o nível mínimo obtido na CE de jusante é de 95.3 m m. Oscilação em Massa e Estabilidade Hidráulica de Sistemas Complexos de Chaminés de Equilíbrio 83 Figura 5.13 - Resultados. Avaliação do nível mínimo na CE de jusante. Caso de Carga 8 No caso de carga 8 o nível mínimo obtido na CE de jusante é de 94.6 m. A análise das Figuras 5.6 a 5.13 permite verificar que as oscilações máximas e mínimas são sempre contidas pelas CE para os diferentes casos de carga simulados. ANEXO I De seguida apresenta-se a dedução das condições de Thoma, seguindo, de uma maneira geral, a exposição feita por Jaeger [2]. Nesta análise sublinha-se que, por se tratar de uma CE simples, será considerado o factor ''p . Como, durante a regulação, o escoamento no túnel se processa sempre no sentido da chaminé de equilíbrio, deverá ser sempre considerado o factor + ''p. Partindo das equações fundamentais e da equação para o cálculo da potência. 0'' 2 =++ + vpz dt dv g L (1) dt dz AAvQ ST −= . (2) γη . ')( 0 00 P CHQzHQ ===+ (3) Assumido que o rendimento ( η ) e a área da chaminé ( S A ) se mantêm constantes, quando se derivam as equações (2) e (3), obtém-se: 2 2 dt zd A dt dv A dt dQ ST −= (4) dt dz zH C dt dQ 2 )( + −= (5) Igualando as equações (4) e (5), obtém-se: dt dz zHA C dt zd A A dt dv T T S 22 2 )( + −= (6) Substituindo (6) na equação (1) e considerando o integral da equação (6) para o termo 2 v , obtém-se: 0 )()( 2 22 2 =         + +++         + −zHA C dt dz A A pz dt dz zHA C dt zd A A g L TT S TT S (7) Multiplicando por )()( LAgA sT , a equação pode ser rearranjada da seguinte forma: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 '' ) ''2 '' zHALA gCp z LA gA zHA C zHLA Cgp dt dz dt dz LA Agp dt zd TS S T S TT S + −=+         + − + +       + (8) A equação (8) representa uma oscilação. O eixo sobre o qual ocorre a oscilação pode ser determinado, substituindo pelas condições iniciais em regime permanente, isto é 0 zz =, 0=dtdz e 0 22 = tdzd . Na equação (8), é conveniente mover o eixo horizontal 2 00 '' vpz −= , de modo a que szz + = 0 . ( ) ( ) ( ) ( ) 0 '' ''2 '' 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 = ++ +++         ++ − ++ +       + szHALA Cgp sz LA gA szHA C szHLA Cgp dt ds dt ds LA Agp dt sd TS S T S TT S (9) sabendo que: ( ) 2 0 2 2 2 00 '' '' zHA Cp vpz T + − =−= (10) e desenvolvendo as séries: ( ) ( ) ( ) ( ) ... 1 )( 1 3 0 2 2 0 00 zH s zH s zHszH + + + − + + = −−+ e ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ... )(3)(211 4 0 2 3 0 2 0 2 0 + + − + + − + + = −−+ zH s zH s zHszH A equação (8) pode ser escrita da seguinte forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0... )(21'' ... )(21 ... 1''2'' 3 0 2 0 2 0 3 0 2 0 2 0 0 2 2 2 =        + + − + + +++                + + − + + −        + + − + + +       + zH s zH ALA Cgp sz LA gA zH s zH A C zH s zHLA Cgp dt ds dt ds LA Agp dt sd TSS T STT S (11) ou ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0... )(321'' ... )(21 ... 1''2'' 2 00 2 0 2 3 0 2 0 2 0 0 2 2 2 =                + + − ++ −+                + + − + + −        + + − + + +       + s zH s zHzH ALA Cgp LA gA zH s zH A C zH s zHLA Cgp dt ds dt ds LA Agp dt sd TSS T STT S (12) Para pequenas oscilações, os termos de ordem elevada e 2       dt ds poderão ser desprezados. Considerando (10) na equação (12) pode-se escrever: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 3 11''2 0 0 2 0 0 2 2 =         + + +                 + −         + +s zHLA zHgA zH A C zHLA Cgp dt ds dt sd S T ST (13) Esta é equação diferencial e linear de segunda ordem do tipo: A solução desta equação depende das raízes da seguinte equação de segunda ordem: 02 2=++ barr 02 2 2 =++ bs dt ds a dt sd Para 0 > b e ba < 2 oscilação periódica 0 > a oscilação amortecida 0 = a oscilação sinusoidal pura 0 < a oscilação forçadas ou auto-induzidas Desta forma para se ter oscilações amortecidas é necessário que: 0 > b e 0 ≥ a , logo: ( ) ( ) 0 3 0 0 > + + zH zH , como ( ) 0 zH + >0, ( ) 0 3zH + >0, ou 3 0 H z<− = > 1ª condição de Thoma (14) ( ) ( ) 2 0 0 ''2 zHA C zHLA Cgp S T + ≥ + , ou 0 min ''2 Hgp LA A T S ≥ = > 2ª condição de Thoma (15) ANEXO II L4666.2 m Base 705.00 m D T 7 m Topo 800.00 m A T 38.5 m 2 Altura z (m) A S (m 2 ) Q(t=0) 0.00 m 3 /s 0 -60 323.00 v(t=0) 0.00 m/s 95.00 35 323.00 Nível Estático 765 masl ∆ t 0.1 s Túnel Contínuas t (s) Q(m 3 /s) Inicio Fim Ks 75.77 0 0.0 Per.1 40 215 s p0.385 40.00 146.7 Per. 2 0 0 s Localizadas Sent. (+) Sent. (-) 215 146.7 K0.21 0.25 (-) 255.00 0.0 H657.0 m p'-p 0.01 0.01 s 2 /m Q0 146.7 m p' 0.396 0.398 s 2 /m PC em regime permanente Ligação à CE Túnel Mont. (1) Jus.(2) Continuas v0 3.81 3.81 m/s D d 6p' 0.396 0.15 s 2 /m A d 28.3 p'v 0 2 5.76 2.20 m L d 8 PC na Conduta Forçada Ks 75.77 D c 6.00 m p d 0.0008 v c0 5.19 m/s Localizadas Sent. (+) Sent. (-) p c 0.55 s 2 /m K d 1 0.5 (-) p c v c0 2 14.70 m p' d -p d 0.05 0.03 s 2 /m H' 0 634.3 m p' d 0.052 0.026 s 2 /m k1.00 (-) tanρ'-0.17 (-) CARACT.DA BIFURCAÇÃO PARA CE dv 7 m d'' 6 m Fv 38.5 m 2 F'' 28.3 m 2 δ 1.57 rad r0 m ϕ 0.73 - ρ 0 - COEF. PARA CALC. DAS PC NA BIF. ' '' k a -0.95 -0.03 k f -0.95 -0.03 k c -0.92 0.03 l a -1.60 -0.35 l f 1.16 -0.72 l c 1.88 0.52 m a 0.94 -0.2 m f 0 -1.27 nota: os níveis da CE de jus apresentados no gráfico froam calculados noutra folha m c -1.27 -1.27 SISTEMA COM CE A MONTANTE E A JUSANTE DA TURBINA Cálculo das oscilações na CE de montante CARACT. DA CE MANOBRAS REGULAÇÃO AUT. CARACTERÍSTICAS DO TÚNEL INTERVALO DE CALCULO PERDAS DE CARGA (PC) m m 2 m m 1/3 /s m/s 2 Níveis nas CE de Mont. (Z 1 ) e de Jus. (Z 2 ) e Caudal Turb. (Q) m 1/3 /s m/s 2 Par. lei de admissão de Q 118.0 91.0 75 85 95 105 115 125 0 300 600 900 705.0 800.0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 700 710 720 730 740 750 760 770 780 790 800 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Q(m3/s) t (s) 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 300600900 Z1 Z2 GRAF. t∆ttipo Qmax q'' k' vmax Δβ Q(t) z i v i v d As(z) K 1 L 1 t+ ∆t/2 z i+L 1 /2 vi+K 1 /2 K2 L2 t+ ∆t/2 z i+L 2 /2 vi+K 2 /2 K3 L3 t+ ∆t/2 z i+L 3 vi+K 3 K4 L4 H' v c Z(m) 00.1 a 0.00 0.00 -0.95 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0 323.0 0.00 0.00 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.10 0.00 0.00 0.00 0.00 657.0 0.00 765.00 0.10 0.1 f 0.37 1.00 1.161 0.01 0.00 0.37 0.00 0.00 0.0 323.0 0.00 0.00 0.15 0.00 0.00 0.00 0.00 0.15 0.00 0.00 0.00 0.00 0.20 0.00 0.00 0.00 0.00 657.0 0.01 765.00 0.20 0.1 f 0.73 1.00 1.161 0.02 0.00 0.73 0.00 0.00 0.0 323.0 0.00 0.00 0.25 0.00 0.00 0.00 0.00 0.25 0.00 0.00 0.00 0.00 0.30 0.00 0.00 0.00 0.00 657.0 0.03 765.00 0.30 0.1 f 1.10 1.00 1.161 0.03 0.00 1.10 0.00 0.00 0.0 323.0 0.00 0.00 0.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.35 0.00 0.00 0.00 0.00 0.40 0.00 0.00 0.00 0.00 657.0 0.04 765.00 0.40 0.1 f 1.47 1.00 1.161 0.04 0.00 1.47 0.00 0.00 -0.1 323.0 0.00 0.00 0.45 0.00 0.00 0.00 0.00 0.45 0.00 0.00 0.00 0.00 0.50 0.00 0.00 0.00 0.00 657.0 0.05 765.00 0.50 0.1 f 1.83 1.00 1.161 0.05 0.00 1.83 0.00 0.00 -0.1 323.0 0.00 0.00 0.55 0.00 0.00 0.00 0.00 0.55 0.00 0.00 0.00 0.00 0.60 0.00 0.00 0.00 0.00 657.0 0.06 765.00 0.60 0.1 f 2.20 1.00 1.161 0.06 0.00 2.20 0.00 0.00 -0.1 323.0 0.00 0.00 0.65 0.00 0.00 0.00 0.00 0.65 0.00 0.00 0.00 0.00 0.70 0.00 0.00 0.00 0.00 657.0 0.08 765.00 0.70 0.1 f 2.57 1.00 1.161 0.07 0.00 2.57 0.00 0.00 -0.1 323.0 0.00 0.00 0.75 0.00 0.00 0.00 0.00 0.75 0.00 0.00 0.00 0.00 0.80 0.00 0.00 0.00 0.00 657.0 0.09 765.00 0.80 0.1 f 2.93 1.00 1.161 0.08 0.00 2.93 0.00 0.00 -0.1 323.0 0.00 0.00 0.85 0.00 0.00 0.00 0.00 0.85 0.00 0.00 0.00 0.00 0.90 0.00 0.00 0.00 0.00 657.0 0.10 765.00 0.90 0.1 f 3.30 1.00 1.161 0.09 0.00 3.30 0.00 0.00 -0.1 323.0 0.00 0.00 0.95 0.00 0.00 0.00 0.00 0.95 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 -0.01 0.00 0.00 0.00 657.0 0.12 765.00 1.00 0.1 f 3.67 1.00 1.161 0.10 0.00 3.67 -0.01 0.00 -0.1 323.0 0.00 0.00 1.05 -0.01 0.00 0.00 0.00 1.05 -0.01 0.00 0.00 0.00 1.10 -0.01 0.00 0.00 0.00 657.0 0.13 764.99 1.10 0.1 f 4.03 1.00 1.161 0.10 0.00 4.03 -0.01 0.00 -0.1 323.0 0.00 0.00 1.15 -0.01 0.00 0.00 0.00 1.15 -0.01 0.00 0.00 0.00 1.20 -0.01 0.00 0.00 0.00 657.0 0.14 764.99 1.20 0.1 f 4.40 1.00 1.161 0.11 0.00 4.40 -0.01 0.00 -0.2 323.0 0.00 0.00 1.25 -0.01 0.00 0.00 0.00 1.25 -0.01 0.00 0.00 0.00 1.30 -0.01 0.00 0.00 0.00 657.0 0.16 764.99 1.30 0.1 f 4.77 1.00 1.161 0.12 0.00 4.77 -0.01 0.00 -0.2 323.0 0.00 0.00 1.35 -0.01 0.00 0.00 0.00 1.35 -0.01 0.00 0.00 0.00 1.40 -0.01 0.00 0.00 0.00 657.0 0.17 764.99 1.40 0.1 f 5.13 1.00 1.161 0.13 0.00 5.13 -0.01 0.00 -0.2 323.0 0.00 0.00 1.45 -0.01 0.00 0.00 0.00 1.45 -0.01 0.00 0.00 0.00 1.50 -0.01 0.00 0.00 0.00 657.0 0.18 764.99 1.50 0.1 f 5.50 1.00 1.161 0.14 0.00 5.50 -0.01 0.00 -0.2 323.0 0.00 0.00 1.55 -0.01 0.00 0.00 0.00 1.55 -0.01 0.00 0.00 0.00 1.60 -0.01 0.00 0.00 0.00 656.9 0.19 764.99 1.60 0.1 f 5.87 1.00 1.161 0.15 0.00 5.87 -0.01 0.00 -0.2 323.0 0.00 0.00 1.65 -0.01 0.00 0.00 0.00 1.65 -0.01 0.00 0.00 0.00 1.70 -0.02 0.00 0.00 0.00 656.9 0.21 764.99 1.70 0.1 f 6.23 1.00 1.161 0.16 0.00 6.23 -0.02 0.00 -0.2 323.0 0.00 0.00 1.75 -0.02 0.00 0.00 0.00 1.75 -0.02 0.00 0.00 0.00 1.80 -0.02 0.00 0.00 0.00 656.9 0.22 764.98 1.80 0.1 f 6.60 1.00 1.161 0.17 0.00 6.60 -0.02 0.00 -0.2 323.0 0.00 0.00 1.85 -0.02 0.00 0.00 0.00 1.85 -0.02 0.00 0.00 0.00 1.90 -0.02 0.00 0.00 0.00 656.9 0.23 764.98 1.90 0.1 f 6.97 1.00 1.161 0.18 0.00 6.97 -0.02 0.00 -0.2 323.0 0.00 0.00 1.95 -0.02 0.00 0.00 0.00 1.95 -0.02 0.00 0.00 0.00 2.00 -0.02 0.00 0.00 0.00 656.9 0.25 764.98 2.00 0.1 f 7.34 1.00 1.161 0.19 0.00 7.34 -0.02 0.00 -0.3 323.0 0.00 0.00 2.05 -0.02 0.00 0.00 0.00 2.05 -0.02 0.00 0.00 0.00 2.10 -0.02 0.00 0.00 0.00 656.9 0.26 764.98 2.10 0.1 f 7.70 1.00 1.161 0.20 0.00 7.70 -0.02 0.00 -0.3 323.0 0.00 0.00 2.15 -0.03 0.00 0.00 0.00 2.15 -0.03 0.00 0.00 0.00 2.20 -0.03 0.00 0.00 0.00 656.9 0.27 764.98 2.20 0.1 f 8.07 1.00 1.161 0.21 0.00 8.07 -0.03 0.00 -0.3 323.0 0.00 0.00 2.25 -0.03 0.00 0.00 0.00 2.25 -0.03 0.00 0.00 0.00 2.30 -0.03 0.00 0.00 0.00 656.9 0.29 764.97 2.30 0.1 f 8.44 1.00 1.161 0.22 0.00 8.44 -0.03 0.00 -0.3 323.0 0.00 0.00 2.35 -0.03 0.00 0.00 0.00 2.35 -0.03 0.00 0.00 0.00 2.40 -0.03 0.00 0.00 0.00 656.9 0.30 764.97 2.40 0.1 f 8.80 1.00 1.161 0.23 0.00 8.80 -0.03 0.00 -0.3 323.0 0.00 0.00 2.45 -0.03 0.00 0.00 0.00 2.45 -0.03 0.00 0.00 0.00 2.50 -0.03 0.00 0.00 0.00 656.9 0.31 764.97 2.50 0.1 f 9.17 1.00 1.161 0.24 0.00 9.17 -0.03 0.00 -0.3 323.0 0.00 0.00 2.55 -0.04 0.00 0.00 0.00 2.55 -0.04 0.00 0.00 0.00 2.60 -0.04 0.00 0.00 0.00 656.8 0.32 764.97 2.60 0.1 f 9.54 1.00 1.161 0.25 0.00 9.54 -0.04 0.00 -0.3 323.0 0.00 0.00 2.65 -0.04 0.00 0.00 0.00 2.65 -0.04 0.00 0.00 0.00 2.70 -0.04 0.00 0.00 0.00 656.8 0.34 764.96 2.70 0.1 f 9.90 1.00 1.160 0.26 0.00 9.90 -0.04 0.00 -0.4 323.0 0.00 0.00 2.75 -0.04 0.00 0.00 0.00 2.75 -0.04 0.00 0.00 0.00 2.80 -0.04 0.00 0.00 0.00 656.8 0.35 764.96 2.80 0.1 f 10.27 1.00 1.160 0.27 0.00 10.27 -0.04 0.00 -0.4 323.0 0.00 0.00 2.85 -0.04 0.00 0.00 0.00 2.85 -0.04 0.00 0.00 0.00 2.90 -0.05 0.00 0.00 0.00 656.8 0.36 764.96 2.90 0.1 f 10.64 1.00 1.160 0.28 0.00 10.64 -0.05 0.00 -0.4 323.0 0.00 0.00 2.95 -0.05 0.00 0.00 0.00 2.95 -0.05 0.00 0.00 0.00 3.00 -0.05 0.00 0.00 0.00 656.8 0.38 764.95 3.00 0.1 f 11.00 1.00 1.160 0.29 0.00 11.00 -0.05 0.00 -0.4 323.0 0.00 0.00 3.05 -0.05 0.00 0.00 0.00 3.05 -0.05 0.00 0.00 0.00 3.10 -0.05 0.00 0.00 0.00 656.8 0.39 764.95 3.10 0.1 f 11.37 1.00 1.160 0.30 -0.01 11.37 -0.05 0.00 -0.4 323.0 0.00 0.00 3.15 -0.05 0.00 0.00 0.00 3.15 -0.05 0.00 0.00 0.00 3.20 -0.06 0.00 0.00 0.00 656.8 0.40 764.95 3.20 0.1 f 11.74 1.00 1.160 0.30 -0.01 11.74 -0.06 0.00 -0.4 323.0 0.00 0.00 3.25 -0.06 0.00 0.00 0.00 3.25 -0.06 0.00 0.00 0.00 3.30 -0.06 0.00 0.00 0.00 656.7 0.42 764.94 3.30 0.1 f 12.10 1.00 1.160 0.31 -0.01 12.10 -0.06 0.00 -0.4 323.0 0.00 0.00 3.35 -0.06 0.00 0.00 0.00 3.35 -0.06 0.00 0.00 0.00 3.40 -0.06 0.00 0.00 0.00 656.7 0.43 764.94 3.40 0.1 f 12.47 1.00 1.160 0.32 -0.01 12.47 -0.06 0.00 -0.4 323.0 0.00 0.00 3.45 -0.07 0.00 0.00 0.00 3.45 -0.07 0.00 0.00 0.00 3.50 -0.07 0.00 0.00 0.00 656.7 0.44 764.94 3.50 0.1 f 12.84 1.00 1.160 0.33 -0.01 12.84 -0.07 0.00 -0.5 323.0 0.00 0.00 3.55 -0.07 0.00 0.00 0.00 3.55 -0.07 0.00 0.00 0.00 3.60 -0.07 0.00 0.00 0.00 656.7 0.45 764.93 3.60 0.1 f 13.20 1.00 1.160 0.34 -0.01 13.20 -0.07 0.00 -0.5 323.0 0.00 0.00 3.65 -0.07 0.00 0.00 0.00 3.65 -0.07 0.00 0.00 0.00 3.70 -0.08 0.00 0.00 0.00 656.7 0.47 764.93 3.70 0.1 f 13.57 1.00 1.160 0.35 -0.01 13.57 -0.08 0.00 -0.5 323.0 0.00 0.00 3.75 -0.08 0.00 0.00 0.00 3.75 -0.08 0.00 0.00 0.00 3.80 -0.08 0.00 0.00 0.00 656.7 0.48 764.92 3.80 0.1 f 13.94 1.00 1.160 0.36 -0.01 13.94 -0.08 0.00 -0.5 323.0 0.00 0.00 3.85 -0.08 0.00 0.00 0.00 3.85 -0.08 0.00 0.00 0.00 3.90 -0.08 0.00 0.00 0.00 656.6 0.49 764.92 3.90 0.1 f 14.30 1.00 1.160 0.37 -0.01 14.30 -0.08 0.00 -0.5 323.0 0.00 0.00 3.95 -0.09 0.00 0.00 0.00 3.95 -0.09 0.00 0.00 0.00 4.00 -0.09 0.00 0.00 0.00 656.6 0.51 764.92 4.00 0.1 f 14.67 1.00 1.160 0.38 -0.01 14.67 -0.09 0.00 -0.5 323.0 0.00 0.00 4.05 -0.09 0.00 0.00 0.00 4.05 -0.09 0.00 0.00 0.00 4.10 -0.09 0.00 0.00 0.00 656.6 0.52 764.91 4.10 0.1 f 15.04 1.00 1.159 0.39 -0.01 15.04 -0.09 0.00 -0.5 323.0 0.00 0.00 4.15 -0.10 0.00 0.00 0.00 4.15 -0.10 0.00 0.00 0.00 4.20 -0.10 0.00 0.00 0.00 656.6 0.53 764.91 4.20 0.1 f 15.40 1.00 1.159 0.40 -0.01 15.40 -0.10 0.00 -0.5 323.0 0.00 0.00 4.25 -0.10 0.00 0.00 0.00 4.25 -0.10 0.00 0.00 0.00 4.30 -0.10 0.00 0.00 0.00 656.6 0.54 764.90 4.30 0.1 f 15.77 1.00 1.159 0.41 -0.01 15.77 -0.10 0.00 -0.6 323.0 0.00 0.00 4.35 -0.10 0.00 0.00 0.00 4.35 -0.10 0.00 0.00 0.00 4.40 -0.11 0.00 0.00 0.00 656.5 0.56 764.90 4.40 0.1 f 16.14 1.00 1.159 0.42 -0.01 16.14 -0.11 0.00 -0.6 323.0 0.00 0.00 4.45 -0.11 0.00 0.00 0.00 4.45 -0.11 0.00 0.00 0.00 4.50 -0.11 0.00 0.00 0.00 656.5 0.57 764.89 4.50 0.1 f 16.50 1.00 1.159 0.43 -0.01 16.50 -0.11 0.00 -0.6 323.0 0.00 -0.01 4.55 -0.11 0.00 0.00 -0.01 4.55 -0.11 0.00 0.00 -0.01 4.60 -0.12 0.00 0.00 -0.01 656.5 0.58 764.89 4.60 0.1 f 16.87 1.00 1.159 0.44 -0.01 16.87 -0.12 0.00 -0.6 323.0 0.00 -0.01 4.65 -0.12 0.00 0.00 -0.01 4.65 -0.12 0.00 0.00 -0.01 4.70 -0.12 0.00 0.00 -0.01 656.5 0.60 764.88 4.70 0.1 f 17.24 1.00 1.159 0.45 -0.01 17.24 -0.12 0.00 -0.6 323.0 0.00 -0.01 4.75 -0.13 0.00 0.00 -0.01 4.75 -0.13 0.00 0.00 -0.01 4.80 -0.13 0.00 0.00 -0.01 656.5 0.61 764.88 4.80 0.1 f 17.60 1.00 1.159 0.46 -0.01 17.60 -0.13 0.00 -0.6 323.0 0.00 -0.01 4.85 -0.13 0.00 0.00 -0.01 4.85 -0.13 0.00 0.00 -0.01 4.90 -0.13 0.00 0.00 -0.01 656.4 0.62 764.87 4.90 0.1 f 17.97 1.00 1.159 0.47 -0.01 17.97 -0.13 0.00 -0.6 323.0 0.00 -0.01 4.95 -0.14 0.00 0.00 -0.01 4.95 -0.14 0.00 0.00 -0.01 5.00 -0.14 0.00 0.00 -0.01 656.4 0.64 764.87 5.00 0.1 f 18.34 1.00 1.159 0.48 -0.01 18.34 -0.139 0.00 -0.6 323.0 0.00 -0.01 5.05 -0.14 0.00 0.00 -0.01 5.05 -0.142 0.00 0.00 -0.01 5.10 -0.14 0.00 0.00 -0.01 656.4 0.65 764.86 5.10 0.1 f 18.70 1.00 1.158 0.49 -0.01 18.70 -0.145 0.00 -0.7 323.0 0.00 -0.01 5.15 -0.15 0.00 0.00 -0.01 5.15 -0.148 0.00 0.00 -0.01 5.20 -0.15 0.00 0.00 -0.01 656.4 0.66 764.86 5.20 0.1 f 19.07 1.00 1.158 0.50 -0.01 19.07 -0.150 0.00 -0.7 323.0 0.00 -0.01 5.25 -0.15 0.00 0.00 -0.01 5.25 -0.153 0.00 0.00 -0.01 5.30 -0.16 0.00 0.00 -0.01 656.3 0.67 764.85 5.30 0.1 f 19.44 1.00 1.158 0.51 -0.02 19.44 -0.156 0.00 -0.7 323.0 0.00 -0.01 5.35 -0.16 0.00 0.00 -0.01 5.35 -0.159 0.00 0.00 -0.01 5.40 -0.16 0.00 0.00 -0.01 656.3 0.69 764.84 5.40 0.1 f 19.80 1.00 1.158 0.51 -0.02 19.80 -0.162 0.00 -0.7 323.0 0.00 -0.01 5.45 -0.17 0.00 0.00 -0.01 5.45 -0.165 0.00 0.00 -0.01 5.50 -0.17 0.00 0.00 -0.01 656.3 0.70 764.84 5.50 0.1 f 20.17 1.00 1.158 0.52 -0.02 20.17 -0.168 0.00 -0.7 323.0 0.00 -0.01 5.55 -0.17 0.00 0.00 -0.01 5.55 -0.172 0.00 0.00 -0.01 5.60 -0.17 0.00 0.00 -0.01 656.3 0.71 764.83 5.60 0.1 f 20.54 1.00 1.158 0.53 -0.02 20.54 -0.175 0.00 -0.7 323.0 0.00 -0.01 5.65 -0.18 0.00 0.00 -0.01 5.65 -0.178 0.00 0.00 -0.01 5.70 -0.18 0.00 0.00 -0.01 656.2 0.73 764.83 AUX REGTEMPO CALCULO DAS PC NA BIFURCAÇÃO (Δβ) RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS - MÉTODO DE RUNGE KUTTA GRAF. t∆ttipo Qmax q'' k' vmax Δβ Q(t) z i v i v d As(z) K 1 L 1 t+ ∆t/2 z i+L 1 /2 vi+K 1 /2 K2 L2 t+ ∆t/2 z i+L 2 /2 vi+K 2 /2 K3 L3 t+ ∆t/2 z i+L 3 vi+K 3 K4 L4 H' v c Z(m) AUX REGTEMPO CALCULO DAS PC NA BIFURCAÇÃO (Δβ) RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS - MÉTODO DE RUNGE KUTTA 5.70 0.1 f 20.90 1.00 1.158 0.54 -0.02 20.90 -0.181 0.00 -0.7 323.0 0.00 -0.01 5.75 -0.18 0.00 0.00 -0.01 5.75 -0.184 0.00 0.00 -0.01 5.80 -0.19 0.00 0.00 -0.01 656.2 0.74 764.82 5.80 0.1 f 21.27 1.00 1.158 0.55 -0.02 21.27 -0.188 0.00 -0.8 323.0 0.00 -0.01 5.85 -0.19 0.00 0.00 -0.01 5.85 -0.191 0.00 0.00 -0.01 5.90 -0.19 0.00 0.00 -0.01 656.2 0.75 764.81 5.90 0.1 f 21.64 1.00 1.157 0.56 -0.02 21.64 -0.194 0.00 -0.8 323.0 0.00 -0.01 5.95 -0.20 0.00 0.00 -0.01 5.95 -0.197 0.00 0.00 -0.01 6.00 -0.20 0.00 0.00 -0.01 656.1 0.77 764.81 6.00 0.1 f 22.01 1.00 1.157 0.57 -0.02 22.01 -0.201 0.00 -0.8 323.0 0.00 -0.01 6.05 -0.20 0.00 0.00 -0.01 6.05 -0.204 0.00 0.00 -0.01 6.10 -0.21 0.00 0.00 -0.01 656.1 0.78 764.80 6.10 0.1 f 22.37 1.00 1.157 0.58 -0.02 22.37 -0.208 0.00 -0.8 323.0 0.00 -0.01 6.15 -0.21 0.00 0.00 -0.01 6.15 -0.211 0.00 0.00 -0.01 6.20 -0.21 0.00 0.00 -0.01 656.1 0.79 764.79 6.20 0.1 f 22.74 1.00 1.157 0.59 -0.02 22.74 -0.215 0.00 -0.8 323.0 0.00 -0.01 6.25 -0.22 0.00 0.00 -0.01 6.25 -0.218 0.00 0.00 -0.01 6.30 -0.22 0.00 0.00 -0.01 656.1 0.80 764.79 6.30 0.1 f 23.11 1.00 1.157 0.60 -0.02 23.11 -0.222 0.00 -0.8 323.0 0.00 -0.01 6.35 -0.23 0.00 0.00 -0.01 6.35 -0.225 0.00 0.00 -0.01 6.40 -0.23 0.00 0.00 -0.01 656.0 0.82 764.78 6.40 0.1 f 23.47 1.00 1.157 0.61 -0.02 23.47 -0.229 0.00 -0.8 323.0 0.00 -0.01 6.45 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9.80 0.1 f 35.94 1.00 1.151 0.93 -0.05 35.94 -0.538 0.00 -1.3 323.0 0.00 -0.01 9.85 -0.54 0.00 0.00 -0.01 9.85 -0.544 0.00 0.00 -0.01 9.90 -0.55 0.00 0.00 -0.01 654.7 1.27 764.46 9.90 0.1 f 36.31 1.00 1.150 0.94 -0.05 36.31 -0.550 0.00 -1.3 323.0 0.00 -0.01 9.95 -0.56 0.00 0.00 -0.01 9.95 -0.555 0.00 0.00 -0.01 10.00 -0.56 0.00 0.00 -0.01 654.6 1.28 764.45 10.00 0.1 f 36.67 1.00 1.150 0.95 -0.05 36.67 -0.561 0.00 -1.3 323.0 0.00 -0.01 10.05 -0.57 0.00 0.00 -0.01 10.05 -0.566 0.00 0.00 -0.01 10.10 -0.57 0.00 0.00 -0.01 654.6 1.30 764.44 10.10 0.1 f 37.04 1.00 1.150 0.96 -0.05 37.04 -0.572 0.00 -1.3 323.0 0.00 -0.01 10.15 -0.58 0.00 0.00 -0.01 10.15 -0.578 0.00 0.00 -0.01 10.20 -0.58 0.00 0.00 -0.01 654.5 1.31 764.43 10.20 0.1 f 37.41 0.99 1.150 0.97 -0.06 37.41 -0.583 0.00 -1.3 323.0 0.00 -0.01 10.25 -0.59 0.00 0.00 -0.01 10.25 -0.589 0.00 0.00 -0.01 10.30 -0.59 0.01 0.00 -0.01 654.5 1.32 764.42 10.30 0.1 f 37.78 0.99 1.149 0.98 -0.06 37.78 -0.595 0.01 -1.3 323.0 0.00 -0.01 10.35 -0.60 0.01 0.00 -0.01 10.35 -0.601 0.01 0.00 -0.01 10.40 -0.61 0.01 0.00 -0.01 654.4 1.34 764.41 10.40 0.1 f 38.14 0.99 1.149 0.99 -0.06 38.14 -0.607 0.01 -1.3 323.0 0.00 -0.01 10.45 -0.61 0.01 0.00 -0.01 10.45 -0.612 0.01 0.00 -0.01 10.50 -0.62 0.01 0.00 -0.01 654.4 1.35 764.39 10.50 0.1 f 38.51 0.99 1.149 1.00 -0.06 38.51 -0.618 0.01 -1.4 323.0 0.00 -0.01 10.55 -0.62 0.01 0.00 -0.01 10.55 -0.624 0.01 0.00 -0.01 10.60 -0.63 0.01 0.00 -0.01 654.3 1.36 764.38 10.60 0.1 f 38.88 0.99 1.149 1.01 -0.06 38.88 -0.630 0.01 -1.4 323.0 0.00 -0.01 10.65 -0.64 0.01 0.00 -0.01 10.65 -0.636 0.01 0.00 -0.01 10.70 -0.64 0.01 0.00 -0.01 654.3 1.37 764.37 10.70 0.1 f 39.24 0.99 1.148 1.02 -0.06 39.24 -0.642 0.01 -1.4 323.0 0.00 -0.01 10.75 -0.65 0.01 0.00 -0.01 10.75 -0.648 0.01 0.00 -0.01 10.80 -0.65 0.01 0.00 -0.01 654.2 1.39 764.36 10.80 0.1 f 39.61 0.99 1.148 1.03 -0.06 39.61 -0.654 0.01 -1.4 323.0 0.00 -0.01 10.85 -0.66 0.01 0.00 -0.01 10.85 -0.66 0.01 0.00 -0.01 10.90 -0.67 0.01 0.00 -0.01 654.2 1.40 764.35 10.90 0.1 f 39.98 0.99 1.148 1.04 -0.06 39.98 -0.666 0.01 -1.4 323.0 0.00 -0.01 10.95 -0.67 0.01 0.00 -0.01 10.95 -0.673 0.01 0.00 -0.01 11.00 -0.68 0.01 0.00 -0.01 654.1 1.41 764.33 11.00 0.1 f 40.34 0.99 1.148 1.05 -0.06 40.34 -0.679 0.01 -1.4 323.0 0.00 -0.01 11.05 -0.68 0.01 0.00 -0.01 11.05 -0.685 0.01 0.00 -0.01 11.10 -0.69 0.01 0.00 -0.01 654.1 1.43 764.32 11.10 0.1 f 40.71 0.99 1.148 1.06 -0.07 40.71 -0.691 0.01 -1.4 323.0 0.00 -0.01 11.15 -0.70 0.01 0.00 -0.01 11.15 -0.697 0.01 0.00 -0.01 11.20 -0.70 0.01 0.00 -0.01 654.0 1.44 764.31 11.20 0.1 f 41.08 0.99 1.147 1.07 -0.07 41.08 -0.704 0.01 -1.4 323.0 0.00 -0.01 11.25 -0.71 0.01 0.00 -0.01 11.25 -0.71 0.01 0.00 -0.01 11.30 -0.72 0.01 0.00 -0.01 654.0 1.45 764.30 11.30 0.1 f 41.44 0.99 1.147 1.08 -0.07 41.44 -0.716 0.01 -1.5 323.0 0.00 -0.01 11.35 -0.72 0.01 0.00 -0.01 11.35 -0.723 0.01 0.00 -0.01 11.40 -0.73 0.01 0.00 -0.01 653.9 1.47 764.28 11.40 0.1 f 41.81 0.99 1.147 1.09 -0.07 41.81 -0.729 0.01 -1.5 323.0 0.00 -0.01 11.45 -0.74 0.01 0.00 -0.01 11.45 -0.735 0.01 0.00 -0.01 11.50 -0.74 0.01 0.00 -0.01 653.9 1.48 764.27 L713.73 m Base 91.00 m D T 7 m Topo 118.00 m A T 38.5 m 2 Altura z (m) A S (m 2 ) Q(t=0) 0.00 m 3 /s 0 -17 660.0 v(t=0) 0.00 m/s 4 -13 660.0 Nível Estático 108 masl 6.5 -10.5 636.7 9 -8 115.9 16.99 -0.01 115.9 ∆ t 0.1 s 17 0 715.9 19.8 2.8 645.4 PERDAS DE CARGA (PC) 21 4 616.3 Túnel 22.1 5.0787 600.0 Contínuas 24 7 600.0 Ks 72.42 m 1/3 /s 25 8 600.0 p0.065 s 2 /m 25.5 8.5 600.0 Localizadas Sent. (+) Sent. (-) 26 9 600.0 K1.701 1.661 - p'-p 0.087 0.085 s 2 /m p' 0.151 0.149 s 2 /m Ligação à CE Continuas D d 3.1 m A d 7.5 m 2 L d 54 m Ks 72.42 m 1/3 /s p d 0.014 s 2 /m Localizadas Sent. (+) Sent. (-) K d 1 0.5 - p' d -p d 0.05 0.03 s 2 /m p' d 0.004 0.002 s 2 /m CARACT.DA BIFURCAÇÃO PARA CE dv 3.5 (-) d'' 3.1 (-) Fv 9.6 (-) F'' 7.5 (-) δ 1.73 (-) r0 (-) ϕ 0.78 (-) ρ 0 (-) Nº de ligações 4 (-) COEF. PARA CALC. DAS PC NA BIF. ' '' k a -0.95 -0.03 k f -0.95 -0.03 k c -0.92 0.03 l a -1.33 -0.35 l f 0.87 -1.02 l c 1.50 0.22 l d -1.39 0.35 nota: os caudais turbinados são os mesmos que na CE de montante m a 0.78 -0.20 m f 0.00 -1.22 m c -1.22 -1.22 SISTEMA COM CE A MONTANTE E A JUSANTE DA TURBINA Cálculo das oscilações na CE de jusante Níveis na CE de Jus. (Z 2 ) e Caudal Turb. (Q) INTERVALO DE CALCULO CARACTERÍSTICAS DO TÚNEL CARACT. DA CE 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 Q (m3/s) Z2(m) t (s)