Aplicações numéricas do modelo de dano a pilares ocos de betão armado

Congreso de Métodos Numéricos en Ingeniería 2009 Barcelona, 29 junio al 2 de julio 2009 © SEMNI, España 2009 APLICAÇÕES NUMÉRICAS DO MODELO DE DANO A PILARES OCOS DE BETÃO ARMADO Pedro Delgado 1, Nelson Vila Pouca2, António Arêde 2, Aníbal Costa3 e Raimundo Delgado2 1: Escola Superior de Tecnologia e Gestão Instituto Politécnico de Viana do Castelo e-mail: [email protected]; [email protected] 2: Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto 3: Departamento de Engenharia Civil Universidade de Aveiro Palavras-chave: Esforço Transverso, Pilares ocos de betão armado, Modelo de Dano, Comportamento cíclico não linear. Resumo. A grande motivação deste trabalho reside na particularidade do comportamento estrutural de pilares de betão armado com secção transversal oca, bastante semelhante ao comportamento de paredes estruturais, e, também, na elevada dificuldade de modelar a sua resposta cíclica com ferramentas numéricas simples. De facto, os pilares ocos de pontes têm, normalmente, secções transversais com grandes dimensões e armadura longitudinal distribuída nas duas faces das paredes, assumindo assim o efeito de corte uma importância muito significativa no seu comportamento e justificando-se uma atenção especial a este aspecto quando se analisam pilares de betão armado com secção oca. Neste artigo apresenta-se a modelação numérica de alguns pilares de betão armado com secção oca ensaiados experimentalmente em resposta cíclica. Nas simulações numéricas foi adoptado o Modelo de Dano, desenvolvido na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto e recentemente implementado em CAST3M, envolvendo um modelo constitutivo fundamentado na Mecânica do Dano Contínuo para zonas de betão, discretizadas em elementos finitos 3D, incorporando duas variáveis escalares de dano independentes para a simulação dos mecanismos não lineares de degradação do betão sob condições de tracção e compressão e utilizando o modelo Menegotto-Pinto para a simulação do comportamento cíclico da armadura discretizada com elementos de treliça. As aplicações numéricas envolvem casos de pilares onde a flexão é dominante e outros onde o corte assume um papel principal no seu comportamento cíclico. Adicionalmente, são estudados dois tipos de disposições da armadura transversal, um representativo de pilares de pontes construídos nos anos 70, com estribo único ao longo de cada parede e sem dimensionamento sísmico, e outro seguindo as mais recentes especificações do EC8. A comparação dos resultados numéricos com as respostas experimentais evidenciou a eficiência desta modelação numérica para simular o comportamento cíclico dos pilares, Pedro Delgado, Nelson Vila Pouca, António Arêde, Aníbal Costa e Raimundo Delgado 2 quer com comportamento em flexão, quer em comportamento dominado pelo corte. 1. INTRODUÇÃO Os pilares de betão armado com secção oca sujeitos a carregamento cíclico horizontal são tipicamente caracterizados por particularidades no comportamento estrutural bastante semelhantes às das paredes estruturais. De facto, os pilares ocos de pontes apresentam geralmente secções de grandes dimensões com armadura distribuída ao longo de ambas as faces das paredes e, ao contrário de secções maciças, com fenómenos de corte bastante importantes no comportamento dos pilares. Então, deve ser dada especial atenção a este aspecto quando se pretende modelar pilares de secção oca. Neste contexto, várias contribuições têm sido realizadas na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP) no âmbito de simulações numéricas e ensaios experimentais de pilares de pontes em betão armado com secção oca. Começou-se primeiramente por modelar numericamente a resposta sísmica de uma ponte Austríaca estudada no âmbito de um vasto projecto europeu de investigação (VABVulnerability Assessment of Bridges – [1]), tendo sido posteriormente implementada uma campanha experimental no Laboratório de Engenharia Sísmica e Estrutural (LESE) da FEUP, envolvendo pilares de betão armado com secção rectangular oca à escala 1:4, [2][3]. Para estes ensaios foram também realizadas simulações numéricas de forma a reproduzir o comportamento não linear de pilares de pontes, permitindo uma mais consistente e completa interpretação dos resultados experimentais. Neste estudo, a metodologia numérica adoptada é essencialmente a mesma utilizada e descrita em trabalhos anteriores ([4][5][6]). Fundamentalmente baseia-se numa discretização realizada em elementos finitos 3D com um modelo de dano contínuo para o betão sob condições de tracção e compressão e elementos de barra uniaxiais para a simulação do comportamento cíclico da armadura discretizada com o modelo de Menegotto-Pinto. Este tipo de estratégia de modelação refinada permite uma simulação realista dos efeitos não lineares, tanto para o comportamento dominado por flexão como para os casos de onde a componente de corte assume uma importância significativa. De facto, para as simulações numéricas dos ensaios experimentais realizados, quer a deformação por esforço transverso como os modos de rotura por corte são bastante bem simulados por esta estratégia numérica, que também permite identificar alguns aspectos relevantes da modelação que afectam a qualidade das simulações. Neste contexto, o principal objectivo deste trabalho reside na ilustração da capacidade do modelo proposto em simular o comportamento de pilares de ponte com secção oca ensaiados experimentalmente sob carregamento cíclico: (i) o pilar P3 da ponte de Talübergang Warth, [4][5], ensaiado no Joint Research Centre (JRC) da Comissão Europeia em Ispra, Italia, e (ii) três pilares de secção rectangular oca dos testes experimentais realizados no LESE – FEUP, [3], para os quais o aspecto mais importante se encontra associado com a influencia do corte na resposta cíclica. Pedro Delgado, Nelson Vila Pouca, António Arêde, Aníbal Costa e Raimundo Delgado 3 2. ANÁLISES NUMÉRICAS As análises numéricas das respostas dos pilares para carregamentos cíclicos foram efectuadas usando uma ferramenta analítica baseada num programa geral de análise estrutural, CAST3M [7], baseado em elementos finitos, onde uma larga variedade de modelos constitutivos de comportamento não linear estão disponíveis e, particularmente, o Modelo de Dano desenvolvido na FEUP [8] e recentemente implementado em CAST3M [9], com resultados que comprovam a sua excelente capacidade para simular o comportamento sísmico de pilares de pontes em betão armado [6]. O modelo constitutivo utilizado para o betão fundamenta-se na Mecânica de Dano Contínuo, com discretizações em elementos finitos 3D e incorporando duas variáveis escalares de dano independentes para a simulação dos mecanismos não lineares de degradação do betão sob condições de tracção e compressão. Para a simulação do comportamento cíclico da armadura discretizada com elementos uniaxiais foi utilizado o modelo Menegotto-Pinto [10]. 2.1 Modelo de Dano Contínuo O modelo constitutivo recorre a um ‘tensor de tensões efectivas’ σ , que nas aplicações que aqui serão apresentadas é aceitável identificar com o tensor de tensões elástico εσ :D= (D é a matriz constitutiva elástica). Este tensor de tensões efectivas é então decomposto em tensores de tracção + σ e de compressão − σ, cujas componentes são identificadas num referencial de direcções principais de acordo com as expressões, [8]: ∑ ⊗>σ<= + iiii ppσ (1) + −−= σσ σ (2) sendo i σ a tensão principal de ordem i e i p o versor da correspondente direcção principal de tensão. A função associada aos parêntesis > ⋅ < devolve o valor da tensão principal quando esta é positiva, e atribui um valor nulo quando aquela é negativa. O modelo recorre a duas variáveis escalares de dano ( + d, − d) com evoluções independentes, cujos valores possíveis obedecem à condição 0 ≤ )(−+ d ≤ 1 e podem ser intuitivamente associados à degradação produzida no betão sob condições de tracção ou de compressão. De acordo com requisitos termodinâmicos básicos os valores destas variáveis internas não podem ser decrescentes, condição que é satisfeita mediante a utilização de leis de evolução adequadas, e que serão descritas mais adiante. Relativamente à lei constitutiva propriamente dita o modelo conduz ao seguinte formato bastante intuitivo, [8]: −−++ −+−= σσσ )1()1( dd (3) Pedro Delgado, Nelson Vila Pouca, António Arêde, Aníbal Costa e Raimundo Delgado 4 Localmente o modelo necessita de determinar se um dado ponto de integração está em ‘carga’ ou em ‘descarga’, o que é clarificado através do recurso a dois critérios de dano independentes para a tracção e para a compressão, que são estabelecidos com base nas normas indicadas na seguintes expressões: +−++ =τ σσ :: 1 D (4) )(3 −−− τ+σ=τ octoct K (5) Na equação (5) − σoct e − τoct designam as tensões octaédricas normal e tangencial correspondentes ao tensor efectivo de compressão, sendo K uma propriedade material que permite graduar o ganho de resistência biaxial que em compressão 2D o betão apresenta relativamente à situação de referência com compressão uniaxial. Os critérios de dano adoptados são: 0≤−τ ++ r (6) 0≤−τ −− r (7) nos quais )(−+ r podem ser interpretados como variáveis de endurecimento, controlando a expansão das superfícies de dano descritas pelas equações (6,7) à medida que a evolução do processo de carga determina a evolução das normas (4,5). O domínio elástico inicial é caracterizado pelas condições ++ =τ o r e −− =τ o r, sendo )( o−+ r propriedades materiais facilmente relacionáveis com as tensões )( o−+ f que em ensaios 1D determinam a fronteira entre o comportamento linear e o início da degradação em tracção ou em compressão podendo ser expressas por: Efr ++ =oo (8) −− −= oo )2(33 fKr (9) Por sua vez as condições de consistência e de persistência sobre as superfícies de dano determinam que )()( −+−+ τ= & & r, pelo que para um instante t genérico se tem ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧τ= −+−+−+ ∈][max,max )( ][0, )( o )( s ts trr (10) No presente modelo para o betão as leis de evolução das variáveis de dano são explícitas em termos das variáveis de endurecimento )(−+ r , obtendo-se bons resultados recorrendo às seguintes definições: )1( 1o o +++ +++ − −= rrA errd , se ++ ≥o rr (11) Pedro Delgado, Nelson Vila Pouca, António Arêde, Aníbal Costa e Raimundo Delgado 5 )1( )1(1 o o − − − −−−−− − −−−= rrB eAArrd , se −− ≥o rr (12) envolvendo a primeira um único parâmetro A+ – fixado tendo em vista o cumprimento de requisitos de objectividade face ao refinamento da malha de elementos finitos, e aos parâmetros de comportamento do betão em tracção (fct e energia de fractura) –, e a segunda dois parâmetros Ae B-, obtidos através de dois pontos da lei constitutiva em compressão. De forma esquemática a Figura 1a reproduz a resposta global fornecida pelo modelo para o comportamento cíclico do betão em condições 1D quando as variáveis de dano são definidas de acordo com as equações (11,12). A Figura 1b representa de forma genérica os diferentes tipos de betão usados no modelo numérico, em que o betão não confinado apresenta boa concordância com os ensaios uniaxiais realizados. Para o betão confiando a resistência de pico fcm e a correspondente deformação cm ε são estabelecidos em função do grau de confinamento k proporcionado pela armadura transversal. Uma definição usual para o grau de confinamento é cosytv ffk ρ + = 1 (15) na qual syt f designa a tensão de cedência da armadura transversal e )( shblA ccwswv =ρ assinala a relação volumétrica de confinamento, esta última definida em função da secção transversal sw A dos estribos em forma de cinta (com perímetro lw e espaçamento s) e da área cc hb × do núcleo de betão efectivamente confinado. TENSION COMPRESSION ε σ a) carregamento cíclico b) betão confinado e não confinado. Figura 1. Comportamento uniaxial do betão. Pedro Delgado, Nelson Vila Pouca, António Arêde, Aníbal Costa e Raimundo Delgado 6 Nestas condições, e de acordo com a Figura 1b, designando por co f e co ε a tensão resistente e a respectiva deformação obtida em ensaios 1D não confinados, o confinamento conduz aos seguintes incrementos na resistência e na deformação de pico do betão: cocm fkf = (16) cocm kε=ε 2 (17) 2.2 Modelo de Menegotto-Pinto A formulação explícita proposta por Giuffré e Pinto e implementada por Menegotto e Pinto [10] foi escolhida para modelar o comportamento cíclico dos varões de aço. Como ilustrado na Figura 2, um conjunto de curvas de transição entre duas assimptotas com inclinações E e h E (módulo de elasticidade e de endurecimento) são definidas pela seguinte expressão: ( ) RR bb 1**** ])(1[1 εεεσ +−+= (4) onde )()( o *rr σσσσσ −−= )()( o *rr εεεεε −−= (5) EEb h = )( 21o ξ ξ + − = aaRR (6) )()( oomax rr ε ε ε ε ξ − − = (7) ),( rr σ ε são as coordenada do último ponto de inversão ( maxr ε é a máxima r ε algumas vez atingida) e R é o parâmetro que rege o efeito de Bauschinger. Os parâmetros 1 a, 2 a e o R são estabelecidos com base em resultados experimentais. ε σ Eh Eh EE σsy σsy εsh 0 (σ0 ; ε0) 1 (σ1 ; ε1) 2 (σ2 ; ε2) Figura 2. Comportamento cíclico do aço Pedro Delgado, Nelson Vila Pouca, António Arêde, Aníbal Costa e Raimundo Delgado 7 3. APLICAÇÃO A UM PILAR DA PONTE TALÜBERGANG WARTH A ponte Talübergang Warth foi construída nos anos 70 e todos os pilares apresentam a mesma secção rectangular oca de betão, embora com diferentes tipos de armadura. A armadura longitudinal, distribuída de forma quase uniforme no perímetro da secção, é significativamente reduzida (para cerca de 50% em alguns pilares) numa zona ainda bastante próxima da fundação. A armadura transversal inclui um estribo único em cada parede da secção oca, sendo insuficiente para produzir um eficiente confinamento do betão. Estas questões da pormenorização da armadura são responsáveis por algumas deficiências no comportamento dos pilares quando sujeitos a forças horizontais e, em particular, no que diz respeito à acção sísmica. De forma a ilustrar a capacidade da metodologia proposta para reproduzir a resposta não linear dos pilares da ponte Talübergang Warth, apresenta-se neste ponto a simulação numérica de um dos ensaios experimentais realizados no JRC, correspondente a um modelo em escala reduzida do pilar P3, salientando-se os aspectos mais relevantes (mais detalhes podem ser encontrados nas referencias [1], [4] e [5]). Os ensaios experimentais, documentados em Pinto et al. [11], foram realizados em protótipos com escala reduzida de 1:2.5, onde são apresentadas todas as particularidades da pormenorização da armadura. Na Figura 3 ilustra-se uma vista global do protótipo ligado à parede de reacção, assim como as principais características do modelo físico, nomeadamente a indicação da significativa diminuição da armadura longitudinal de 76φ12 para 40φ12 a uma altura de 3.5m acima da fundação. De forma a reproduzir as cargas permanentes transmitidas pelo tabuleiro, foi aplicada no topo de pilar uma força vertical de 4090kN, a qual se manteve constante durante o ensaio. Em seguida, foram impostos deslocamentos horizontais no topo do pilar segundo a direcção da maior inércia. A história destes deslocamentos, resume-se a (i) um ciclo inicial de 30mm, (ii) dois ciclos de 70mm, (iii) dois ciclos de 140mm e (iv) um último ciclo de 250mm, que levou o pilar à rotura. Na simulação numérica deste ensaio foi assumido para o betão um estado plano de tensão, sendo discretizado por uma malha de elementos finitos com elementos de 8 nós. Sendo, como já referido, a pormenorização dos estribos insuficiente, foi assumido para o betão um comportamento não confinado e, portanto, simulado de acordo com as seguintes propriedades materiais (ver notações da Figura 1): E = 33.5GPa, fco = 43MPa, εco = 2.0‰, fto = 3.1MPa. As armaduras foram simuladas através de elementos de comportamento uniaxial com dois nós, reproduzindo os detalhes dos varões longitudinais e transversais e utilizando as seguintes propriedades materiais: E = 210GPa, Eh/E = 0.0034, fsy = 545MPa, fsu = 611MPa, εsh = 5‰, εsu = 100‰, Ro = 20, a1 = 18.5 e a2 = 0.15. Pedro Delgado, Nelson Vila Pouca, António Arêde, Aníbal Costa e Raimundo Delgado 8 Figura 3. Vista geral e pormenorização da armadura do pilar P3, modelo à escala 1:2.5. A Figura 4 mostra a resposta obtida com o modelo numérico proposto, expressa em termos de curva força-deslocamento registada horizontalmente no topo do pilar. Para efeitos de comparação, a curva experimental obtida no JRC é também incluída na Figura 4. A partir dos resultados durante os ciclos intermédios é visível uma bastante razoável aproximação entre as curvas, tanto durante as fases de carregamento como nas de descarga. No último ciclo com 250mm de deslocamento, onde são observadas algumas discrepâncias, verificou-se a rotura da maioria dos varões dos banzos, fenómeno este despoletado pela ocorrência de encurvadura desses varões nos ciclos anteriores (sendo este caótico mecanismo de rotura difícil de capturar pelo modelo numérico). A Figura 5 ilustra alguns outros resultados no fim do ciclo de 250mm, nomeadamente: (i) a configuração da malha deformada, (ii) a distribuição do dano do betão em tracção (dano + d=1 em vermelho e + d=0 em azul), (iii) a deformação plástica no varão longitudinal mais exterior do banzo e (iv) a imagem do modelo físico em escala reduzida no fim do ensaio. A partir da análise destes resultados é notório que a deformada do pilar exibe uma concentração das deformações na secção transversal onde se dá uma importante interrupção de parte da armadura longitudinal (ver Figura 5a) e, consequentemente, nessa mesma zona o varão longitudinal mais exterior do banzo atinge uma importante incursão em cedência plástica (ver Figura 5c). Esta localização das deformações encontra-se em perfeita correspondência com o facto de no ensaio experimental se verificar uma elevada fendilhação exactamente nessa posição (ver Figura 5d). De facto, uma vez que a redução da armadura longitudinal induziu a mudança da localização da rotula plástica, passando da comum localização na base do pilar para um posição mais elevada, verificou-se uma diminuição da capacidade ultima do pilar, assim como uma redução da capacidade do Pedro Delgado, Nelson Vila Pouca, António Arêde, Aníbal Costa e Raimundo Delgado 9 pilar dissipar energia. A distribuição do dano em tracção do betão ilustrada na Figura 5b, que reflecte o padrão de fissuração obtido numericamente para o pilar, estendeu-se da base até uma altura onde se interrompeu parte da armadura longitudinal e, consequentemente, encontra-se em bastante boa concordância com a distribuição das fendas observada no fim do ensaio (ver Figura 5d). -9.E+05 -7.E+05 -5.E+05 -3.E+05 -1.E+05 1.E+05 3.E+05 5.E+05 7.E+05 9.E+05 -0.30 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 0.30 Horizontal displacement (m) Horizontal force (N) Experimental Numerical Figura 4. Comportamento cíclico do pilar P3. 14 ε p l,max 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0.0 0.05 0.10 outermost left rebar a) Deformada b) Dano em tracção (Vermelho=1, Azul=0) c) Deformação plástica d) Padrão de fendas (cortesia do JRC) Figura 5. Resultados do pilar P3 no fim do ciclo de 250mm. Pedro Delgado, Nelson Vila Pouca, António Arêde, Aníbal Costa e Raimundo Delgado 16 chegando inclusive a atingir maiores proporções do que a componente de deformação por flexão. Este comportamento não é possível de simular realistamente com um modelo simples de análise cíclica, como por exemplo os modelos de fibras ou modelos de rótulas plásticas, sendo necessário um modelo numérico que inclua os efeitos não lineares do corte, como o adoptado neste trabalho, para adequadamente simular a resposta deste tipo de pilares. REFERÊNCIAS [1] Faria R, Vila Pouca N and Delgado R. 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