Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano pelo Método dos Elementos Finitos tipo-p

Análise de Vibrações Não-Lineares de Vigas com Dano pelo Método dos Elementos Finitos tipo-p Gonçalo Maria Pereira das Neves Carneiro Dissertação do MIEM Professor Pedro Manuel Leal Ribeiro Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica Junho 2014 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 1 DEDICATÓRIA Aos meus Pais. Aos meus Amigos, companheiros nesta Aventura que agora termina. Ao Orfeão Universitário do Porto. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 2 RESUMO Na presente dissertação, apresentam-se três modelos de elementos finitos tipo-p distintos, para a análise dinâmica de vigas unidimensionais com dano em regime transiente e permanente, sujeitas a vibrações em regime forçado harmónico. O primeiro modelo é baseado na teoria de vigas de Timoshenko e o dano caracteriza-se por um entalhe de duas dimensões: largura e profundidade. O algoritmo deste modelo avalia a posição relativa das duas extremidades do entalhe e determina o seu estado, se aberto ou fechado. São considerados deslocamentos longitudinais, transversais e de rotação. O sistema de equações diferenciais do movimento é obtido pela aplicação do princípio dos trabalhos virtuais. Considera-se amortecimento proporcional de rigidez. O segundo modelo baseia-se na teoria unidimensional de vigas Euler-Bernoulli com dano de Christides e Barr e o dano é caracterizado por uma fenda bilinear. O elemento apenas se deforma na direcção transversal. A forma fraca do sistema de equações diferencias do movimento é obtida pela aplicação do método dos resíduos pesados de Galerkin. É considerado amortecimento proporcional de rigidez. No final, é ainda apresentada uma primeira aproximação à extensão da teoria de Christides e Barr para não-linearidade geométrica do tipo de Von Kármán. Consideram-se deslocamentos longitudinais e transversais. São analisadas vigas isotrópicas e elásticas. São analisadas vigas encastradas-livres e duplamente encastradas. São feitas simulações para várias frequências de excitação, profundidades de fenda e entalhe e para vigas de dimensões diferentes. As soluções são apresentadas sob a forma de representações gráficas da resposta no tempo, plano de fase, secção de Poincaré e espectro de amplitudes e discutidas qualitativamente. Conclui-se que, em regime permanente, na existência de uma fenda bilinear, as respostas são não-lineares periódicas. As soluções são claramente assimétricas em amplitude, apresentam harmónicos da frequência base e confirma-se a necessidade de definir uma frequência natural de vibração bilinear. Contrariamente, um entalhe mantém sempre um comportamento linear no tempo, com respostas lineares periódicas. Em regime transiente, verifica-se que a existência de não linearidades contribui para uma lenta dissipação da resposta transitória. De uma forma geral, nesta fase, as respostas caracterizam-se por oscilações de duas frequências incomensuráveis, temporárias, podendo ser aproximadas, em períodos de tempo finitos, a movimentos quási periódicos. Os resultados obtidos com a introdução da não – linearidades do tipo geométrica mostram que a presença de uma fenda bilinear origina movimentos não lineares periódicos, tal como se havia observado para o modelo linear. Mais conclusões não deverão ser feitas neste modelo sem evidência experimental adequada. É ainda apresentado um conjunto de funções cúbicas Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 3 baseadas na teoria de Timoshenko, originalmente desenvolvidas para aplicação em elementos de viga tridimensionais, e analisada a convergência de resultados para as frequências naturais, na aplicação em uma teoria unidimensional. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 4 ABSTRACT In this thesis, three p-type finite element models are presented for the dynamic analysis of one-dimensional damaged beams, in steady and transient states, subjected to a harmonic force. The first model is based on the beam theory of Timoshenko and its damage is characterized as a two-dimensional notch. The model is able to evaluate the relative position of the two extremities of the notch and determines whether its state is opened or closed. Longitudinal, transversal and rotational motions are considered. The differential equation of motion is obtained by applying the principle of virtual work. Stiffness-proportional damping is considered. The second model is based on Christides and Barr’s one-dimensional theory of cracked Euler-Bernoulli beams and its damage is characterized as a bilinear crack. Only transversal movement is considered. The weak form of the differential equation of motion is obtained by applying the Galerkin‘s method of weighted residuals. Stiffness-proportional damping is considered. At the end, it is presented a first approximation to the extension of the theory developed by Christides and Barr with Von Kármán-type geometrical nonlinearity. Longitudinal and transverse motions are considered. In all models elastic and isotropic beams are considered. Clamped-free and clamped-clamped beams are analyzed. Several simulations are carried out for different frequencies, damage depths and dimensions of the beams. Solutions are presented in the form of graphical representations of the time-response, phase plans, Poincaré sections and frequency spectrums. It is concluded that, in a steady state and in the presence of a bilinear crack, responses are non-linear periodic. Solutions are asymmetric with respect to the amplitudes of motion, there are harmonics of the basis frequency and it is necessary to define a bilinear natural frequency. Conversely, a notch keeps its linear behavior over the time, with linear periodic time-responses. In transient state, it is seen that the existence of non-linear solutions contributes for a slow dissipation of the transitory response. At this stage, time-responses are characterized as temporary oscillations of two incommensurablefrequencies, which can be approximated, during finite time periods, as quasi periodic motions of two frequencies. The results obtained with the introduction of geometrical nonlinearity show that the presence of a bilinear crack creates nonlinear periodic motions too. More complex conclusions shall not be done with this model without proper experimental results. A group of cubic hermitian polynomials, based on the beam theory of Timoshenko, and originally developed for a three-dimensional model, is presented and the convergence of results obtained with its application is analyzed. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 5 AGRADECIMENTOS Ao meu grande amigo Zé Pedro, pela pronta ajuda e amizade de sempre… E por todas as entusiasmadas boleias que me pediu às ‘cinco da madrugada’, após longas noites de trabalho. Ao Professor José Dias Rodrigues, o meu reconhecimento pelo conteúdo facultado. Ao Professor Pedro Manuel Leal Ribeiro, o meu obrigado pelas horas de trabalho e de conversa perdidas em meu favor, e que tornaram esta dissertação num bom desafio. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 6 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 3. 1 - Viga com entalhe e dimensões. [42] ................................................................................................. 20 Figura 3. 2 - Representação gráfica das funções de dano. [42] ............................................................................. 23 Figura 3. 3 - Polinómios cúbicos de Hermite. [42] ................................................................................................ 24 Figura 4. 1 - Dimensões de uma viga com fenda duplamente encastrada ............................................................. 43 Figura 6. 1 - Dimensões de uma viga com entalhe duplamente encastrada ........................................................... 65 Figura 6. 2 - Dimensões de uma viga com entalhe encastrada .............................................................................. 65 Figura 6. 3 - CE1 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 .................. 68 Figura 6. 4 - CE2 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 .................. 69 Figura 6. 5 - Posição dos pontos XA e XB do entalhe. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ............................................................................................................................................................................... 70 Figura 6. 6 - CE1 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ........................... 71 Figura 6. 7 - CE2 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ........................... 71 Figura 6. 8 - CE1 Secção de Poincaré. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 .................. 72 Figura 6. 9 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 .................. 72 Figura 6. 10 - Espectros de Amplitude. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ................. 74 Figura 6. 11 - CE1 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 ................... 75 Figura 6. 12 – CE2 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 .................. 75 Figura 6. 13 - Posição dos pontos XA e XB do entalhe. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ........................................................................................................................................................................ 76 Figura 6. 14 - Ângulo de fase ϕ em função da razão de frequências β tendo como parâmetro a razão de amortecimento ξ. Reproduzido com autorização de J. Dias Rodrigues [35] ......................................................... 77 Figura 6. 15 - CE1 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 ............................ 78 Figura 6. 16 - CE2 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 ............................ 78 Figura 6. 17 - CE1 Secção de Poincaré. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1.................... 79 Figura 6. 18 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1.................... 79 Figura 6. 19 - Espectros de Amplitudes. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 ................... 80 Figura 6. 20 - CE2 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 ........................... 83 Figura 6. 21 - Posição dos pontos XA e XB. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 ...................... 84 Figura 6. 22 - CE2 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 .................................... 85 Figura 6. 23 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 ........................... 85 Figura 6. 24 – CE2 Espectros de amplitudes. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 ................... 86 Figura 6. 25 - CE2 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1 .............................. 86 Figura 6. 26 - Posição dos pontos XA e XB do entalhe. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1 ....... 87 Figura 6. 27 - CE2 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1 ....................................... 88 Figura 6. 28 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1 .............................. 88 Figura 6. 29 - CE2 Espectros de amplitudes. Regime Permanente. Viga encastrada. ω = ω1 ............................... 89 Figura 6. 30 – CE1 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω2d ............................ 90 Figura 6. 31Posição dos pontos XA e XB. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω2d......................... 91 Figura 6. 32 - CE1 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω2d ...................................... 92 Figura 6. 33 - CE1 Secção de Poincaré. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω2d ............................. 92 Figura 6. 34 - CE1 Espectros de amplitudes. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω2d ..................... 93 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 7 Figura 6. 35 - CE1 Resposta no Tempo. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 .................. 95 Figura 6. 36 – CE2 Resposta no Tempo. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ................. 96 Figura 6. 37 – CE2 Plano de Fase 10,000283 < t <10,008378 [s]. Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3. ....................................................................................................................................................................... 97 Figura 6. 38 - CE Plano de Fase. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ............................. 98 Figura 6. 39 - CE2 Plano de Fase. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ........................... 98 Figura 6. 40 – CE1 Secção de Poincaré. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 .................. 99 Figura 6. 41 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 .................. 99 Figura 6. 42 - CE2 Resposta no Tempo. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 ................... 100 Figura 6. 43 – CE2 Resposta no Tempo 0,3s após abertura do entalhe. Viga duplamente encastrada. ω = ω1. .. 101 Figura 6. 44 – CE1 Resposta no Tempo 5s após abertura do entalhe. Viga duplamente encastrada. ω = ω1. ..... 102 Figura 6. 45 – CE2 Resposta no Tempo 3,3s após abertura do entalhe. Viga duplamente encastrada. ω = ω1. .. 102 Figura 6. 46 - CE1 Plano de Fase. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 ............................ 103 Figura 6. 47 - CE2 Plano de Fase. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 ............................ 103 Figura 6. 48 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1.................... 104 Figura 6. 49 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1.................... 104 Figura 6. 50 - CE2 Resposta no Tempo. Regime Transiente. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 ........................... 105 Figura 6. 51 - CE2 Plano de Fase 0,1s após abertura do entalhe. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 ..................... 106 Figura 6. 52 - CE2 Plano de Fase 0,4s após abertura do entalhe. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 ..................... 106 Figura 6. 53 - CE2 Plano de Fase. Regime Transiente. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 .................................... 107 Figura 6. 54 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Transiente. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 ........................... 108 Figura 6. 55 - CE2 Resposta no Tempo. Regime Transiente. Viga encastrada-livre. ω = ω1 .............................. 108 Figura 6. 56 - CE2 Resposta no Tempo 25s após abertura do entalhe. Viga encastrada-livre. ω = ω1 ................ 109 Figura 6. 57 - CE2 Plano de Fase no instante de abertura do entalhe. Viga encastrada-livre. ω = ω1 ................. 110 Figura 6. 58 - CE2 Plano de Fase 0,05s após abertura entalhe. Viga encastrada-livre. ω = ω1 ........................... 110 Figura 6. 59 - CE2 Plano de Fase. Regime Transiente. Viga encastrada-livre. ω = ω1 ....................................... 111 Figura 6. 60 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Transiente. Viga encastrada-livre. ω = ω1 .............................. 111 Figura 6. 61 – CE1 Resposta no Tempo. Regime Transiente. Viga encastrada-livre. ω = ω2d ............................ 112 Figura 6. 62 – CE1 Resposta no Tempo no instante de abertura do entalhe. Viga encastrada. ω = ω2d .............. 112 Figura 6. 63 – CE1 Resposta no Tempo 3,7s após de abertura do entalhe. Viga encastrada. ω = ω2d ................. 113 Figura 6. 64 - CE1 Plano de Fase no instante de abertura entalhe. Viga encastrada-livre. ω = ω2d..................... 114 Figura 6. 65 - CE1 Plano de Fase. Regime Transiente. Viga encastrada-livre. ω = ω2d ..................................... 114 Figura 6. 66 - CE1 Secção de Poincaré. Regime Transiente. Viga encastrada. ω = ω2d .................................... 115 Figura 7. 1 - Dimensões de uma viga com fenda duplamente encastrada ........................................................... 120 Figura 7. 2 - CE1 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ................ 122 Figura 7. 3 - CE2 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ................ 123 Figura 7. 4 - CE1 Resposta no Tempo h1=0,02m. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ................................. 124 Figura 7. 5 - CE1 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ......................... 125 Figura 7. 6 - CE2 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ......................... 125 Figura 7. 7 - CE1 Zoom Resposta no Tempo h1=0,02m. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ...................... 126 Figura 7. 8 -- CE1 Zoom Plano de Fase h1=0,02m. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 .............................. 126 Figura 7. 9 - CE1 Secção de Poincaré. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ................ 127 Figura 7. 10 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 .............. 127 Figura 7. 11 - Espectros de amplitudes. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 ............... 128 Figura 7. 12 - CE1 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 ................. 129 Figura 7. 13 - CE2 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 ................. 129 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 2 desenvolvimento de uma equação diferencial do movimento que reflicta a variação da rigidez e o seu efeito no movimento da viga e, no final, é apresentada uma solução de forma de forma fechada para a primeira forma natural de vibração, no caso particular de uma viga de secção rectangular e constante. A teoria é desenvolvida para um par de fendas, de forma a evitar qualquer assimetria no eixo neutro e acoplamento entre deslocamentos. Mais recentemente, Sinha et al. [39], propõem uma simplificação à teoria de Christides e Barr. Consideram que a existência de apenas uma fenda numa das faces da fenda não altera significativamente a posição do eixo neutro, que a variação da rigidez (ou flexibilidade), na proximidade da fenda, segue uma lei linear, em vez de uma exponencial, e validam as aproximações feitas. O modelo de elementos finitos desenvolvido pelos autores tem o propósito de apoiar uma nova técnica simplificada de detecção de dano em estruturas de viga, sujeitas a vibração transversal. É adoptado um comportamento linear da fenda, que se mantém sempre aberta. Resultados concordantes com medição experimental são obtidos, embora os autores salvaguardem a maior precisão na previsão da localização da fenda do que da sua profundidade. Ainda no seguimento do trabalho de Christides e Barr, Chondros et al. [11] - [13] apresentam uma actualização, ou reformulação, daquela teoria com recurso à mecânica da fractura para a modelação do campo de tensões na extremidade da fenda. A nova teoria é também formulada pelo princípio variacional de Hu-WashizuBarr, sendo agora suportada por um fundamento mais teórico, onde a componente empírica está relacionada com a determinação do factor de intensidade de tensão. Os autores apresentam ainda numa outra publicação, a aplicação da solução desenvolvida pelo método dos elementos finitos e para uma fenda bilinear. De uma forma geral, a existência de uma fenda é caracterizada por apenas influenciar a rigidez dos sistemas. Alguns autores consideram também uma redução local de massa, considerando o dano do tipo “entalhe”. Stojanovic et al. [42] apresentam um modelo de elementos finitos tipo-p para o estudo de vigas com entalhe. O modelo é baseado na teoria de vigas de Timoshenko e o entalhe considerado sempre aberto. Uma das limitações do método dos elementos finitos tipo-p está relacionada com a sua fraca sensibilidade a singularidades no interior do domínio de cada elemento. De forma a reduzir essa limitação, os autores introduzem um novo conjunto de funções de forma dependentes da localização do dano e construídas com base em polinómios cúbicos, assegurando a propriedade hierárquica do método. O estudo conclui que a nova abordagem permite uma convergência mais rápida dos resultados, quando comparado com o MEF tradicional e com o mesmo método sem o novo conjunto de funções. Verifica-se também que a presença de dano provoca alterações nos modos de vibração, Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 3 principalmente na sua componente longitudinal, na qual se observa uma alteração abrupta na localização do entalhe, por vezes com alteração da direcção do movimento longitudinal. Verifica-se que o acoplamento entre deslocamentos, causados pela assimetria do eixo neutro e pela não-linearidade geométrica, origina vibrações transversais assimétricas. A existência de fendas em estruturas é geralmente detectada pela análise linear da resposta vibratória dos sistemas, como por exemplo a medição da variação das frequências naturais e alterações nos modos de vibração. No entanto, a análise linear é pouco sensível ao aparecimento de defeitos e não muito útil na sua detecção. Sabendo que a presença de uma fenda introduz componentes não-lineares na resposta, recentemente têm aparecido estudos nesse sentido, possivelmente potenciados pela capacidade computacional actualmente disponível no mercado. Andreaus et al. [3] - [4] apresentam um modelo bidimensional de elementos finitos, para uma viga encastrada sujeita a excitação harmónica. No modelo, não só consideram uma fenda bilinear como também o contacto, sem atrito, entre as faces da mesma. Os autores mostram as alterações da resposta em regime não-linear. Verificam a excitação de sub e super harmónicos, a existência de um comportamento quási-impulsivo e a um fenómeno designado por duplicação de período, no qual o sistema passa para um novo estado com o dobro do período do sistema original, após alteração dos seus parâmetros. Estas características da resposta, resultarão segundo os autores dos múltiplos impactos entre as faces da fenda. 1.2 OBJECTIVOS E ORGANIZAÇÃO A presente tese representa primeiramente uma extensão do trabalho desenvolvido por Stojanovic et al. [42]. O modelo de elementos finitos desenvolvido é aqui actualizado do ponto de vista do comportamento do entalhe, que foi considerado sempre aberto pelos autores. O algoritmo, agora capaz de determinar a posição relativa das duas extremidades do entalhe, verifica se estas coincidem ou sobrepõem, considerando nessa altura que a viga se aproxima a um sistema intacto. São ainda analisadas as respostas tanto em regime permanente como em regime transiente, resultante da abertura do entalhe a meio do movimento. Contudo, por motivos de simplificação do modelo, são apenas consideradas relações lineares quer entre tensões e deformações, quer entre deformações e deslocamentos. O motivo de interesse deste estudo será perceber até que ponto existirá a possibilidade de o entalhe fechar e introduzir um comportamento não linear no sistema. Posteriormente é introduzido um conjunto de novas funções de forma hermiteanas, derivadas por A. Bazoune et al. [8], segundo a teoria de Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 4 Timoshenko, e avaliada a sua convergência no que respeita às frequências naturais. Este conjunto de funções foi formulado para um modelo tridimensional. Pretende-se agora verificar se a sua aplicação num modelo unidimensional traz vantagens significativas ao nível do custo computacional, no sentido de ser obtida convergência para um número inferior de graus de liberdade. Os polinómios apresentados nesta tese foram reformulados, a partir do mesmo processo utilizado pelos autores, pois os referenciais adoptados nos dois trabalhos não coincidem. Verifica-se que, ao considerar nulos os termos correspondentes à rotação da secção recta e ao corte, os polinómios são iguais aos já conhecidos polinómios cúbicos de Hermite, muito comuns no método dos elementos finitos e que são muitas vezes derivados pela teoria de Euler-Bernoulli. De seguida é introduzido um modelo de elementos finitos tipo-p, com base na teoria de Christides e Barr, no qual o dano é considerado como uma fenda bilinear de uma dimensão, a profundidade. Ao contrário do modelo anterior, onde se considera a redução local de massa e rigidez, neste só a rigidez é afectada na proximidade da fenda. Ainda de acordo com a teoria vigente, apenas são considerados deslocamentos transversais. O desenvolvimento deste modelo é bastante pertinente, na medida em que o estudo do comportamento não-linear de estruturas de viga com fendas tem sido amplamente discutido, num passado recente, e inúmeras questões estão ainda por responder Um terceiro modelo é apresentado, embora sem o compromisso dos dois anteriores. Trata-se de uma primeira abordagem à extensão da teoria de Christides e Barr, para nãolinearidade geométrica de Von Kármán. Para além da esperada não-linearidade imposta pela fenda bilinear, são também agora introduzidas não-linearidades devido ao acoplamento entre componentes do deslocamento. Sendo o modelo baseado na teoria de Euler-Bernoulli, o acoplamento geométrico é referente aos deslocamentos longitudinais e transversais. Considerase no entanto, e de forma a simplificar as operações computacionais, que apenas são aplicadas cargas transversais e despreza-se ainda o efeito da inércia longitudinal da secção recta da viga, reduzindo o problema a um sistema de n equações algébricas, tantas quanto os n graus de liberdade na direcção transversal. Os resultados obtidos são expostos na forma de representações gráficas da resposta no tempo, projecções no plano de fase, intersecções da resposta na secção de Poincaré e espectros de amplitudes. Os resultados são analisados de fora qualitativa, para regime permanente e regime transiente. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 5 A tese está organizada em oito capítulos. O primeiro é referente à introdução agora feita, onde se procura colocar o leitor a par do trabalho desenvolvido e das suas motivações. São também apresentados alguns dos trabalhos desenvolvidos na área de estudo e que o autor considera relevantes para o enquadramento no tema. Outras referências, algumas delas não menos importantes mas de conclusões similares, podem ser consultadas no final do relatório. O segundo capítulo introduz o método dos elementos finitos tipo-p. Aborda-se a formulação do método, de uma forma simples, do ponto de vista matemático e comparam-se as taxas de convergência para o método tipo-h (convencional) e tipo-p. São ainda apreciadas as qualidades desta abordagem mais recente em relação à tradicional. O terceiro capítulo inicia-se com uma introdução ao problema da determinação das frequências naturais de vigas, pela teoria de Timoshenko. Apresenta depois a formulação do modelo de elementos finitos desenvolvido por Stojanovic et al. [42], considerando as actualizações feitas para este trabalho. O quarto capítulo inicia-se com uma introdução ao problema da determinação exacta das frequências naturais segundo a teoria de vigas de Euler-Bernoulli. Segue com a formulação do modelo de elementos finitos baseado na teoria de vigas com dano de Christides e Barr [14]. No quinto capítulo é apresentada a formulação da extensão da teoria de Christides e Barr para não-linearidade geométrica do tipo de Von Kármán. Não é derivada nenhuma solução exacta, mas é implementado um modelo de elementos finitos tipo-p do problema. No sexto capítulo, são expostos e analisados qualitativamente os resultados obtidos pelo modelo para vigas com entalhe. Não são feitas críticas detalhadas nem é feita uma análise quantitativa, pois o primeiro objectivo do trabalho é expor o comportamento dinâmico de vigas com dano. Tal atitude resulta do facto de não existir matéria experimental que comprove todos os resultados. No entanto, sempre que necessário aprofundar ou caracterizar alguma evidência, tal será sempre devidamente referenciado. São ainda apresentadas as frequências naturais obtidas pelo novo conjunto de funções de forma e analisada a sua convergência. No sétimo são apresentados os resultados obtidos pelos modelos de viga com fenda, linear e não-linear. As considerações apontadas para o Capítulo 6 são também aqui aplicáveis. Por fim o oitavo e último capítulo inicia-se com uma revisão geral da dissertação, seguida das conclusões do estudo realizado e encerra com propostas e perspectivas de trabalho futuro, incluindo quais os pontos da tese que podem ser desenvolvidos mais detalhadamente. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 6 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 7 CAPÍTULO 2 O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS TIPO-P 2.1 INTRODUÇÃO A formulação de modelos de elementos finitos, comumente encontrada na literatura, não explicita por razões óbvias, regra geral, de forma clara a natureza do método, nem as considerações matemáticas que o sustentam. Embora o método dos elementos finitos seja baseado, na sua génese, num conceito bastante intuitivo, a discretização de um meio contínuo, a sua validação matemática é algo complexa e apresenta importantes particularidades que variam com o tipo de problema a que se propõe resolver. O Método dos Elementos Finitos é uma técnica matemática para a resolução de equações de derivadas parciais, equações para as quais nem sempre se conhecem soluções exactas. O método propõe-se a resolver este tipo de equações, que definem os problemas de valor-fronteira, de uma forma fraca. Sabe-se actualmente que a existência de soluções fracas é assente em princípios muito mais realistas do que aqueles verificados em soluções fortes. O objectivo deste capítulo não é, de todo, apresentar detalhadamente a formulação matemática do método. Pretende-se introduzir o leitor aos conceitos matemáticos mais importantes, que baseiam este útil método. Ao longo do texto são apresentadas várias referências de leitura recomendada e onde alguns dos conceitos aqui abordados são apresentados com mais detalhe. Numa primeira parte, apresenta-se a formulação geral do método dos elementos finitos e de seguida comparam-se, com base na convergência de resultados, as duas principais variações. 2.2 O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS TIPO-P Muitos dos problemas de valor fronteira na física, e em particular os problemas de elasticidade, traduzem-se pela seguinte equação diferencial elíptica de segunda ordem [6]: −∆𝑢=𝑓 ,𝑒𝑚 Ω (2.1) associada às seguintes condições de fronteira, respectivamente de Dirichlet e de Neumann: Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 8 𝑢=ℎ ,𝑒𝑚 Γ𝐷 𝜕𝑢 𝜕𝑛=𝑔 ,𝑒𝑚 Γ𝑁 (2.2) onde Δ é o laplaciano unidimensional, Ω o domínio fechado do problema e Γ𝐷 e Γ𝑁, respectivamente, as fronteiras de Dirichlet e de Neumann. O problema aqui representado será interpretado no sentido fraco (1) e para o caso comum de h=0 (2), de tal modo que a solução u do problema esteja contida num espaço de funções mensuráveis, ou seja, contínuas em quase todo o domínio [26], e de valor nulo na fronteira Γ𝐷 [6]. Multiplicando ambos os termos da equação por uma função auxiliar υ, (−∆𝑢)𝑣=𝑓𝑣 (2.3) e integrando no domínio e na fronteira e aplicando a fórmula de Green, obtém-se: ∫𝜕𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑣 𝜕𝑥 Ω𝑑𝑥=∫ 𝑓𝑣 𝑑𝑥 Ω+∫ 𝑔𝑣 𝑑𝑠 Γ𝑁 (2.4a) ou, para g=0, ∫𝜕𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑣 𝜕𝑥 Ω𝑑𝑥=∫ 𝑓𝑣 𝑑𝑥 Ω (2.4b) Na referência [18] é mencionado que a condição de fronteira de Neumann está de certo modo relacionada com a aplicação de cargas pontuais. Após a integração em (2.4) e para a consideração (1) feita anteriormente, é possível definir, de uma forma geral, o espaço de soluções do problema como sendo o espaço de funções mensuráveis deriváveis até à ordem k=1, cujas derivadas sejam também elas contínuas em quase todo o domínio. Este espaço é designado por espaço de Sobolev, 𝐻1(Ω). Atendendo à consideração (2), define-se o subespaço 𝐻01(Ω)⊂𝐻1(Ω), do conjunto de tais funções de valor nulo na fronteira. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 9 Em relação à equação (2.4b), mais simples, o primeiro termo traduz-se na forma bilinear B(u,υ) em 𝐻01(Ω)×𝐻01(Ω) e o segundo termo no produto interno no espaço de Hilbert 𝐻00(Ω), que se traduz no funcional linear F(υ) [6],[18]. O problema descrito escreve-se então na seguinte maneira: 𝐵(𝑢,𝑣)=𝐹(𝑣) (2.5) Atendendo a definição de forma bilinear [26], interprete-se o problema (2.5) como a procura de uma solução 𝑢∈𝐻01(Ω), tal que a igualdade seja válida para toda e qualquer função 𝑣∈𝐻01(Ω) [18]. Seja 𝑆⊂𝐻01(Ω) o subespaço de todas as soluções de elementos finitos 𝑢𝑘∈𝐻01(Ω). Então o problema de elementos finitos consiste em encontrar a solução 𝑢𝑘∈𝑆 tal que, 𝐵(𝑢𝑘,𝑣)=𝐹(𝑣) (2.6) seja válida para qualquer 𝑣∈𝑆. [6], [18] Defina-se 𝒯 como a parametrização do domínio Ω em partições disjuntas 𝑇𝑖, designadas por elementos, de tal forma que [6], [26]: 1. nenhum dos seus vértices 𝑃𝑗 se encontre no interior de outro elemento; 2. a sua união determine um domínio Ω𝐷⊂Ω, cujos vértices na fronteira permaneçam sobre 𝜕Ω; 3. se 𝑢𝑘(𝑇𝑖) representa a restrição de 𝑢𝑘 em 𝑇𝑖, então tem-se 𝑢𝑘(𝑇𝑖)∈𝑆(𝑇𝑖). Seja {∅𝑗}∈𝑆 um conjunto de funções suaves de valor unitário no vértice 𝑃𝑗 e de valor nulo nos restantes vértices e fora do domínio, então o conjunto é uma base para S e toda a solução 𝑢𝑘 pode ser representada pela seguinte combinação linear [26]: 𝑢𝑘=∑𝑎𝑗∅𝑗 𝑁 𝑗=1 (2.7) Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 10 A equação (2.7) representa uma discretização da solução para a qual o problema passa agora por determinar os coeficientes 𝑎𝑗 de tal forma que (2.6) seja verdadeira. As funções ∅𝑗 designam-se por funções interpoladoras ou de forma e, no caso particular de 𝑣={∅𝑙}, o método é conhecido como o Método dos Resíduos Pesados de Galerkin. Da introdução de (2.7) em (2.6) resulta o seguinte problema: 𝐵(∑𝑎𝑗∅𝑗 𝑁 𝑗=1 ,∅𝑙)=𝐹(∅𝑙) ⇔∫ ∑𝑎𝑗 𝑁 𝑗=1 𝜕∅𝑗 𝜕𝑥𝜕∅𝑙 𝜕𝑥 𝑑𝑥 Ω=∫ 𝑓∅𝑙 𝑑𝑥 Ω ⇔∑𝑎𝑗 𝑁 𝑗=1 ∫𝜕∅𝑗 𝜕𝑥𝜕∅𝑙 𝜕𝑥 𝑑𝑥 Ω=∫ 𝑓∅𝑙 𝑑𝑥 Ω (2.8) que é do tipo: 𝐵𝑎=𝐹 (2.9) O problema modelo exposto em (2.1) e (2.2) apresenta um operador elíptico de segunda ordem pelo que, após a aplicação da fórmula de Green em (2.4), equivalente à integração por partes, apenas é necessário garantir continuidade (fraca) até às derivadas de primeira ordem, em u e v. De uma forma geral, a um operador elíptico de ordem 2k está associada uma forma bilinear B(u,v) no espaço de Sobolev 𝐻𝑘(Ω). Como exemplo, tenha-se em conta o caso da flexão de uma viga de Euler-Bernoulli, apresentado num capítulo posterior, onde 2k =4 e k =2, verificando-se que a matriz de rigidez é composta pelo produto das segundas derivadas das funções de forma, ou seja, 𝑢∈𝐻02(Ω) e 𝑣∈𝐻02(Ω). Existem diferentes abordagens ao método dos elementos finitos (MEF), que se diferenciam entre si pela forma distinta como tratam o problema assimptótico da convergência entre a solução aproximada, 𝑢𝑘, e a solução exacta, 𝑢 [6]. Em comum têm o facto de se optar, regra geral, por uma aproximação polinomial de ordem p, devido ao bom compromisso entre esforço computacional e precisão dos resultados. O método convencional, também chamado de Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 11 tipo-h, tem como princípio a redução da dimensão h, referente ao máximo diâmetro de cada elemento Ti, mantendo o grau dos polinómios numa ordem baixa. Ou seja, quanto menor a dimensão de cada elemento, mais elementos existem no domínio discreto e, por consequência, mais este se aproxima do domínio contínuo, logo: lim ℎ→0𝑢ℎ=𝑢 Do ponto de vista teórico, o problema assimptótico da convergência também pode ser justificado quando são mantidas constantes as dimensões dos subdomínios Ti e a ordem dos polinómios aproximadores tende para infinito: lim 𝑝→∞𝑢𝑝=𝑢 Seja 𝒯 a parametrização fixa do domínio Ω, já descrita, e seja ainda 𝑆≡𝒫𝑝[𝒯](Ω)⊂ 𝐻𝑘(Ω) o conjunto de todo os polinómios de grau p contínuos e deriváveis até à ordem k em Ω𝐷, então o problema de elementos finitos tipo-p passa por determinar 𝑢𝑝∈𝒫𝑝[𝒯](Ω), para o problema de Dirichlet, e 𝑢𝑝∈𝒫𝑝,0 [𝒯](Ω) para o problema de Neumann, de tal forma que a igualdade (2.6) seja válida para toda e qualquer função {∅𝑙}, no respectivo espaço [6]. Babuska e Szabo [6] demonstram que a taxa de convergência para o MEF tipo-p é dada por: ‖𝑢−𝑢𝑝‖1,Ω0≤𝐶(𝑘,𝜀)𝑝−(𝑘−1)+𝜀‖𝑢‖𝑘,Ω (2.10) onde 𝑢∈𝐻0𝑘(Ω) é a solução exacta do problema elíptico, p o grau da aproximação polinomial, 𝑢𝑝 a solução de elementos finitos, k>1 (não necessariamente inteiro) e C uma função dependente de k e ε, para um qualquer ε > 0 Sendo a relação entre o número de graus de liberdade do sistema, N, e o grau da aproximação polinomial, p, dada aproximadamente por 𝑁≈𝑝2 então a inequação (2.10) pode ser reescrita como: ‖𝑢−𝑢𝑝‖1,Ω0≤𝐶(𝑘,𝜀)𝑁−(𝑘−1)/2+𝜀‖𝑢‖𝑘,Ω (2.11) Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 18 cujas raízes são: 𝑧1=12√𝑑2−4𝑒−𝑑 𝑧2=−[12√𝑑2−4𝑒+𝑑] (3.10) De (3.10) é possível retirar as seguintes conclusões relativamente ao sinal das raízes. 𝑧2<0 ∀𝜔 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑2−4𝑒>0 ∀𝜔 𝑧1<0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜔2>𝑘𝐴𝐺 𝜌𝐼 𝑧1>0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝜔2<𝑘𝐴𝐺 𝜌𝐼 (3.11) Verifica-se a existência de dois espectros de frequência segundo a teoria de Timoshenko. N.G. Stephen [40] conclui que, para o caso de vigas apoiadas, o segundo espectro de amplitudes deve ser ignorado, por considerar que não tem significado físico e que se trata de uma consequência indesejada da própria teoria de Timoshenko. O mesmo autor demonstra que existe uma factorização da equação de frequência para estas condições de fronteira e que a referida teoria consegue prever com exactidão as frequências naturais no primeiro espectro, que é definido por funções trigonométricas (reais), uma vez que, neste caso, o segundo espectro é definido por funções hiperbólicas (imaginárias) e não irá originar a propagação física de ondas pela estrutura. Verifica ainda que para o primeiro espectro, os resultados obtidos para os 20 primeiros modos de vibração são previstos com elevada precisão, quando comparados com aqueles obtidos pela teoria exacta. Para o segundo espectro, mostra que as frequências naturais previstas são coincidentes com os valores exactos, mas os valores obtidos não correspondem aos mesmos modos de vibração previstos por outros métodos, pelo que considera que a previsão feita no segundo espectro não é coerente. Em relação às restantes condições de fronteira, Stephen et al. [41] verificam também a existência de um segundo espectro, ao qual apelidam de “pseudo-segundo espectro”, devido às suas características diferentes. Neste caso, os autores concluem que, embora não exista factorização da equação de frequência, para frequências acima do valor limite, 𝜔𝑐, os termos hiperbólicos (imaginários) passam a trigonométricos (reais), o que na prática significa que ondas evanescentes se tornem propagáveis e se sobrepõem às restantes. A sobreposição de ondas entre ambos os “espectros” introduz um erro elevado na previsão, o que leva os autores Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 19 a considerar que se deva novamente ignorar este segundo espectro. Mais concluem que, para a teoria de Timoshenko e para condições de fronteira que não as com apoio, se deva limitar a previsão de frequências naturais para o valor máximo dado por 𝜔𝑐=√𝑘𝐴𝐺/𝜌𝐼. Desta forma, a análise de frequências aqui desenvolvida limitar-se-á ao primeiro espectro, para z1 >0. Obtêm-se desta forma as seguintes raízes de r: 𝑟1=√𝑧1 𝑟3=𝑖√−𝑧2 𝑟2=−√𝑧1 𝑟4=−𝑖√−𝑧2 (3.12) A solução da equação diferencial ordinária de quarta ordem (3.7), após arranjo dos termos e aplicação da fórmula de Euler, é escrita da seguinte forma: 𝑊(𝑥)=𝐴1cosh(√𝑧1𝑥)+𝐴2senh(√𝑧1𝑥)+𝐴3cos(√𝑧2𝑥)+𝐴4sen(√𝑧2𝑥) (3.13) onde os valores das raízes da equação característica, z1 e z2, e as constantes A1, A2, A3 e A4 da solução são determinadas a partir das condições de fronteira do sistema. A resolução do sistema de equações resultante é deveras extensa e susceptível a erros desnecessários, para além de que apenas são previstos com precisão os valores de ω abaixo do valor limite 𝜔𝑐=√𝑘𝐴𝐺/𝜌𝐼. Por esses motivos, a validação das frequências naturais do modelo de elementos finitos apresentado neste capítulo será feita com recurso ao software comercial ANSYS®, e serve este capítulo apenas como uma pertinente introdução ao problema da determinação das frequências naturais pela teoria de Timoshenko. 3.3 FORMULAÇÃO DO MEF TIPO-P PARA ANÁLISE DINÂMICA DE UMA VIGA TIMOSHENKO COM DANO Este subcapítulo é largamente baseado na referência [42]. No Método dos Elementos Finitos tipo-p, o número de elementos é acima de tudo definido pela geometria da estrutura em análise. Melhores aproximações são conseguidas pela adição de graus de liberdade internos, aos quais correspondem funções de forma polinomiais de ordem superior. [42] Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 20 Neste trabalho pretende-se estudar as alterações da resposta dinâmica de vigas sujeitas à presença de um entalhe superficial numa das suas faces. O entalhe é aqui caracterizado pela redução de material da viga, introduzindo não só uma redução local de rigidez e de massa, como também uma assimetria em relação ao eixo longitudinal da viga. Esta assimetria é responsável pela existência de acoplamentos entre graus de liberdade, nomeadamente acoplamento entre deslocamentos longitudinais e rotação da secção recta da viga. Figura 3. 1 - Viga com entalhe e dimensões. [42] Outra propriedade importante cujo comportamento se propõe estudar é a existência de uma eventual bilinearidade do sistema, resultante da abertura e fecho do entalhe. Estudos anteriores demonstram a importância desta característica, que introduz não-linearidades na resposta do sistema. Contudo, os modelos então avaliados são desenvolvidos com uma fenda de fadiga que difere de um entalhe por ser uma descontinuidade material. Geralmente, os critérios para a abertura e fecho da fenda estão relacionados com a avaliação da curvatura do eixo-neutro da viga ou com o estado de tensão local na posição da fenda. No caso de um entalhe, os critérios anteriores não são suficientes. O modelo agora apresentado calcula, para cada instante de tempo, a posição de cada uma das extremidades do entalhe e avalia se estas se tocam ou sobrepõem, sendo que nessa altura se considera que o entalhe fecha. A mais-valia deste critério é poder-se estudar a posteriori se os entalhes, e não fendas de fadiga, realmente fecham, sem se imporem a priori restrições quanto ao seu estado. Equações do movimento Na figura 3.1, apresentam-se as dimensões necessárias para a caracterização da viga e do entalhe. O comprimento da viga é representado por L, a largura por b e a espessura da secção não danificada da viga por h. A profundidade do entalhe é representada por h1 e as constantes l1 e l2 são as coordenadas, em relação à origem do referencial, das duas extremidades do entalhe. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 21 Considera-se que a secção da viga é rectangular e de dimensões constantes ao longo de toda a sua extensão, com excepção para o entalhe cujas dimensões são também elas constantes. O material da viga é aqui considerado como elástico, homogéneo e isotrópico. O referencial é colocado a meio da viga e é introduzida a coordenada natural, ξ, cuja relação com a coordenada cartesiana x é ξ = 2x/L. O modelo apresentado baseia-se na teoria de vigas de Timoshenko, por ser mais exacto para vigas de espessura superior e de aplicação mais abrangente do que o de Euler-Bernoulli e relativamente pouco exigente a nível computacional. Desta forma, é permitida a análise de vigas finas a moderadamente espessas cujos deslocamentos sejam, no máximo, da mesma ordem de grandeza da espessura, h, da viga. A principal vantagem da teoria de Timoshenko é introduzir o efeito do momento de inércia (rotação) da secção recta, devido a flexão, e o efeito da distorção, devido ao corte, segundo uma teoria de primeira ordem. O campo de deslocamentos pode ser escrito da seguinte forma: 𝑢(𝑥,𝑧,𝑡)= 𝑢0(𝑥,𝑡)+𝑧∙𝜃0(𝑥,𝑡) 𝑤(𝑥,𝑧,𝑡)=𝑤0(𝑥,𝑡) (3.14) onde u(x,z,t) e w(x,z,t) são as componentes do deslocamento segundo as direcções de x e z e u0, θ0 e w0 os deslocamentos no eixo neutro da viga não danificada. Na forma matricial obtém-se: 𝐮(𝑥,𝑧,𝑡)= 𝐙 𝐝(𝑥,𝑡) (3.15) com, 𝐙= [1 0 𝑧 0 1 0] 𝐝(𝑥,𝑡)= {𝑢0(𝑥,𝑡) 𝑤0(𝑥,𝑡) 𝜃0(𝑥,𝑡)} (3.16) A relação deformação-deslocamento adoptada é linear e as deformações longitudinal e de corte são da seguinte forma: 𝜀𝑥𝑥(𝑥,𝑧,𝑡)=𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝛾𝑥𝑧(𝑥,𝑧,𝑡)=𝜕𝑢 𝜕𝑧+𝜕𝑤 𝜕𝑥 (3.17) Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 22 Introduzindo (3.14) nas equações anteriores, obtém-se: 𝜀𝑥𝑥(𝑥,𝑧,𝑡)= 𝜕𝑢0 𝜕𝑥+𝑧𝜕𝜃0 𝜕𝑥 𝛾𝑥𝑧(𝑥,𝑧,𝑡)=𝜃0+𝜕𝑤0 𝜕𝑥 (3.18) O campo de deformações pode ser escrito em representação matricial por: 𝛆(𝑥,𝑧,𝑡)= 𝓛 𝐮(𝑥,𝑧,𝑡) (3.19) em que 𝓛 é o operador diferencial, 𝓛= {𝜕 𝜕𝑥 0 𝜕 𝜕𝑧 𝜕 𝜕𝑥} (3.20) Substituindo (3.15) em (3.19), o campo de deformações fica definido em termos dos deslocamentos, tal como mostra a seguinte equação: 𝛆(𝑥,𝑧,𝑡)= 𝓛 𝐙 𝐝(𝑥,𝑡) (3.21) Em cada elemento, vector dos deslocamentos 𝐝(𝜉,𝑡) pode ser definido como o produto entre os deslocamentos nodais e as funções interpoladoras dos deslocamentos, ou funções de forma: 𝐝(𝜉,𝑡)=𝐍(𝜉)𝐪(𝑡)⇔{𝑢0(𝜉,𝑡) 𝑤0(𝜉,𝑡) 𝜃0(𝜉,𝑡)}=[𝐍𝒖(𝜉)𝑻0 0 0 𝐍𝒘(𝜉)𝑻0 0 0 𝐍𝜽(𝜉)𝑻]{𝐪𝐮(𝑡) 𝐪𝐰(𝑡) 𝐪𝛉(𝑡)} (3.22) onde 𝐍(𝜉) é a matriz das funções de forma e 𝐪(𝑡) o vector dos deslocamentos nodais, agrupados em relação aos deslocamentos u, w e θ. De forma a aumentar a sensibilidade do modelo à presença do entalhe, introduzem-se duas novas funções que dependem da localização do dano e, por isso, permitem reproduzir, com maior precisão, o aumento local de flexibilidade na presença do entalhe. Sejam as funções definidas por: Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 23 𝑓1𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉)= { (1+𝜉)2(6𝐿𝐶+𝐿(1−2𝜉)) 8𝐿 , −1≤𝜉≤2𝐿𝐶/𝐿 (𝐿+2𝐿𝐶)3(𝜉−1)2(𝐿−6𝐿𝐶+2𝐿𝜉) 8𝐿(𝐿−2𝐿𝐶)3, 2𝐿𝐶/𝐿≤𝜉≤1 (3.23) 𝑓2𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉)= { 14(1+𝜉2)(𝜉−2𝐿𝐶 𝐿), −1≤𝜉≤2𝐿𝐶/𝐿 (𝐿+2𝐿𝐶)2(𝜉−1)2(𝜉−2𝐿𝐶 𝐿) 4𝐿(𝐿−2𝐿𝐶)2, 2𝐿𝐶/𝐿≤𝜉≤1 (3.24) Estas novas funções, apresentadas por Stojanovic et al. [42], são construídas pela combinação de dois polinómios de terceira ordem e verifica-se que 𝑓1𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉) atinge o seu valor máximo na cota do entalhe e 𝑓2𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉) a máxima derivada. Estas duas características são úteis para modelar com precisão o deslocamento e rotação no entalhe. Ambas as funções são também contínuas e apresentam valor nulo nas extremidades da viga, não influenciando as condições de fronteira impostas. São representadas na figura 3.2. Figura 3. 2 - Representação gráfica das funções de dano. [42] No que aos deslocamentos transversais 𝑤0(𝜉,𝑡) diz respeito, do conjunto de funções de forma fazem também parte os quatro polinómios cúbicos de Hermite (3.25)-(3.28), aqui necessários para impor as condições de fronteira na extremidade da viga. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 24 𝑓1(𝜉)=12−34𝜉+14𝜉3 (3.25) 𝑓2(𝜉)=14−14𝜉−14𝜉2+14𝜉3 (3.26) 𝑓3(𝜉)=12+34𝜉−14𝜉3 (3.27) 𝑓4(𝜉)=−14−14𝜉+14𝜉2+14𝜉3 Figura 3. 3 - Polinómios cúbicos de Hermite. [42] (3.28) As funções 𝑓1(𝜉) e 𝑓3(𝜉) apresentam valor nulo numa das extremidades, máximo na outra (de valor unitário) e derivada nula em ambas, pelo que são ideais para interpolação dos deslocamentos transversais das vigas. As funções 𝑓2(𝜉) e 𝑓4(𝜉), de valor nulo nas extremidades, apresentam derivada unitária numa das extremidades e nula na outra, pelo que são adequadas para as condições de fronteira que permitam rotação. As expressões (3.25)-(3.28) são de aplicação bastante comum no MEF, tanto para modelos baseados na teoria de Euler-Bernoulli como para aqueles baseados na de Timoshenko, pois respeitam os princípios requeridos para as funções de forma: sejam eles continuidade, ortogonalidade, partição da unidade. No entanto, são obtidas segundo a teoria de EulerBernoulli. Não obstante, como em outros casos, serão aqui utilizadas devido à sua simplicidade. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 25 No próximo subcapítulo, serão formulados polinómios semelhantes pela teoria de Timoshenko e estudada a convergência dos resultados. As restantes funções de forma, de ordem superior, r> 4, são polinómios hierárquicos, derivados da fórmula de Rodrigues dos polinómios de Legendre [42], [46]. Apresentam valor e derivada nulos na extremidade e, tal como as funções de dano, são referentes a graus de liberdade internos. São formulados por: 𝑓𝑟(𝜉)=∑(−1)𝑛(2𝑟−2𝑛−7)!! 2𝑛𝑛!(𝑟−2𝑛−1)!𝜉𝑟−2𝑛−1 𝑟/2 𝑛=0 (3.29 a) com, 𝑟!!=𝑟(𝑟−2)⋯(2 𝑜𝑢 1),0!!=(−1)!! =1 Quanto aos deslocamentos longitudinais e de rotação, o conjunto de funções de forma é formado pelas funções de dano, 𝑓1𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉) e 𝑓2𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉), por um par de funções lineares, 𝑔1(𝜉)=𝑡1(𝜉)=12−12𝜉 (3.30) 𝑔2(𝜉)=𝑡2(𝜉)=12+12𝜉 (3.31) e por um conjunto de funções hierárquicas resultantes da fórmula de Rodrigues do polinómio de Legendre, cuja validade é estudada por Wanmin Han et al. [46], definidos, para r>2, por: 𝑔𝑟(𝜉)=∑(−1)𝑛(2𝑟−2𝑛−5)!! 2𝑛𝑛!(𝑟−2𝑛−1)!𝜉𝑟−2𝑛−1 𝑟/2 𝑛=0 (3.29 b) O conjunto de funções de forma pode então ser representado na seguinte forma: 𝐍𝒖(𝜉)𝑻=⌊𝑓1𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉) 𝑓2𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉) 𝑔1(𝜉) 𝑔2(𝜉)… 𝑔𝑟(𝜉)⌋ 𝐍𝒘(𝜉)𝑻=⌊𝑓1𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉) 𝑓2𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉) 𝑓1(𝜉) 𝑓2(𝜉)… 𝑓𝑟(𝜉) ⌋ (3.32) 𝐍𝜽(𝜉)𝑻= ⌊𝑓1𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉) 𝑓2𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉) 𝑡1(𝜉) 𝑡2(𝜉)… 𝑡𝑟(𝜉) ⌋ Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 26 Introduzindo a discretização dos deslocamentos (3.22) em (3.21), obtém-se a seguinte expressão para o campo de deformações, em coordenadas naturais: 𝛆(𝜉,𝑧,𝑡)= 𝓛 𝐙 𝐍(𝜉)𝐪(𝑡) (3.33) Na equação anterior, é muito importante não descurar a transformação de coordenadas feita e a mudança de variável implícita nesse processo. Sendo ξ = 2x/L, aplicando a regra da cadeia, o operador diferencial 𝓛 fica da seguinte forma: 𝓛= { 2𝐿𝜕 𝜕𝜉 0 𝜕 𝜕𝑧 2𝐿𝜕 𝜕𝜉 } (3.34) Para um material linear elástico, homogéneo e isotrópico, a relação tensão-deformação é a seguinte: 𝛔(𝜉,𝑧,𝑡)=𝐃𝛆(𝜉,𝑧,𝑡) (3.35) ⇔{𝜎𝑥𝑥 τxz}=[𝐸 0 0𝑘𝐺]{𝜀𝑥𝑥 𝛾𝑥𝑧} com, 𝐺= 𝐸 2(1+𝜈) (3.36) onde D é a matriz de elasticidade, σ e ε os vectores das tensões e deformações não nulas, E o módulo de elasticidade do material, G o módulo de corte, ν o coeficiente de Poisson e k o factor de correcção de corte aplicado nas teorias de primeira ordem, necessário para corrigir o princípio de que a secção da viga se mantém recta após deformação de corte. A equação do movimento, na sua forma fraca ou integral, é obtida, neste capítulo pela aplicação do Principio dos Trabalhos Virtuais: 𝛿𝑊𝑖𝑛+𝛿𝑊𝑉+𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡=0 (3.37) onde 𝛿𝑊𝑖𝑛, 𝛿𝑊𝑉e 𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡 são os trabalhos virtuais realizados pelas forças de inércia, forças internas e forças externas, respectivamente. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 27 O trabalho virtual das forças de inércia é dado por: 𝛿𝑊𝑖𝑛=−∫ 𝜌 𝛿𝐮𝑇 𝐮󰇘 𝑑𝑉 𝑉 (3.38) =−∫ 𝜌 [(𝐍𝑢𝛿𝐪𝑢 𝑇+𝑧 𝐍𝜃𝛿𝐪𝜃𝑇)(𝐍𝑢𝑇𝐪󰇘𝑢+𝑧 𝐍𝜃𝑇𝐪󰇘𝜃)+(𝐍𝑤𝛿𝐪𝑤 𝑇 𝐍𝑤 𝑇𝐪󰇘𝑤)] 𝑉𝐿2𝑑𝑉 A expressão anterior pode ser escrita da forma: 𝛿𝑊𝑖𝑛= −𝛿𝐪𝑇𝐌 𝐪󰇘 (3.37) em que 𝛿𝐪𝑇e 𝐪󰇘 são, respectivamente, o vector linha dos deslocamentos generalizados virtuais e o vector coluna das acelerações e M, a matriz de massa do sistema. A matriz de massa é composta por um conjunto de sub-matrizes referentes, cada uma, aos deslocamento longitudinal (Ml), transversal (Mb) e de rotação (Mr) e ainda ao acoplamento entre os deslocamentos longitudinais e de rotação (Mlr), devido à assimetria do eixo neutro da viga na presença do entalhe. Após integração ao longo da espessura e largura, obtém-se: 𝐌𝑙= 𝜌𝑏𝐿 2[ℎ∫ 𝐍𝑢1 2𝑙1 𝐿 −1 𝐍𝑢1 𝑇𝑑𝜉+(ℎ−ℎ1)∫ 𝐍𝑢1𝐍𝑢1 𝑇𝑑𝜉 2𝑙1+𝑥𝑐 𝐿 2𝑙1 𝐿 +(ℎ−ℎ1)∫ 𝐍𝑢2𝐍𝑢2 𝑇𝑑𝜉 2𝑙2 𝐿 2𝑙1+𝑥𝑐 𝐿+ℎ∫ 𝐍𝑢2 1 2𝑙2 𝐿𝐍𝑢2 𝑇𝑑𝜉] (3.38) 𝐌𝑏= 𝜌𝑏𝐿 2[ℎ∫ 𝐍𝑤1 2𝑙1 𝐿 −1 𝐍𝑤1 𝑇𝑑𝜉+(ℎ−ℎ1)∫ 𝐍𝑤1𝐍𝑤1 𝑇𝑑𝜉 2𝑙1+𝑥𝑐 𝐿 2𝑙1 𝐿 +(ℎ−ℎ1)∫ 𝐍𝑤2𝐍𝑤2 𝑇𝑑𝜉 2𝑙2 𝐿 2𝑙1+𝑥𝑐 𝐿+ℎ∫ 𝐍𝑤2 1 2𝑙2 𝐿𝐍2𝑇𝑑𝜉] (3.39) Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 34 Por simplicidade, defina-se o termo constante c=(6EI)/(λGA)por constante de corte, de tal forma que: 𝛾0=𝑐.𝑎3 (3.69) 𝜃0(𝑥,𝑡) fica assim definido da seguinte forma: 𝜃0(𝑥,𝑡)=−(𝑎1+2𝑎2𝑥+3𝑎3𝑥2)+𝑐.𝑎3 (3.70) Definidas as variáveis necessárias à resolução do problema, apresenta-se de seguida as condições de fronteira do sistema. Seja, 𝑤0(−𝐿2 ⁄)=𝑞𝑤1 ; 𝑤0(𝐿2 ⁄)=𝑞𝑤2 (3.71) 𝜃0(−𝐿2 ⁄)=𝑞𝜃1 ; 𝜃0(𝐿2 ⁄)=𝑞𝜃2 um conjunto de condições de fronteira geométricas genéricas, aplicadas em ambas as extremidades da viga, segundo deslocamentos transversais e de rotação. Substituindo (3.60) e (3.70), resulta o seguinte sistema de equações: { 𝑎0+𝑎1(−𝐿 2)+𝑎2(−𝐿 2)2+𝑎3(−𝐿 2)3=𝑞𝑤1 −(𝑎1+2𝑎2(−𝐿 2)+3𝑎3(−𝐿 2)2)+𝑐.𝑎3=𝑞𝜃1 𝑎0+𝑎1(𝐿2)+𝑎2(𝐿2)2+𝑎3(𝐿2)3=𝑞𝑤2 −(𝑎1+2𝑎2(𝐿2)+3𝑎3(𝐿2)2)+𝑐.𝑎3=𝑞𝜃2 (3.72) Resolvendo o sistema anterior em ordem a a0, a1, a2 e a3 e colocando em evidência 𝑞𝑤1, 𝑞𝑤2, 𝑞𝜃1 e 𝑞𝜃2, obtém-se: { 𝑎0=12𝑞𝑤1−𝐿8𝑞𝜃1+12𝑞𝑤2+𝐿8𝑞𝜃2 𝑎1=−6𝐿2+8𝑐 4𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑞𝑤1+𝐿3 4𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑞𝜃1+6𝐿2−8𝑐 4𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑞𝑤2+𝐿3 4𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑞𝜃2 𝑎2=1 2𝐿𝑞𝜃1−1 2𝐿𝑞𝜃2 𝑎3=2 𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑞𝑤1−1 𝐿2−2𝑐𝑞𝜃1−2 𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑞𝑤2−1 𝐿2−2𝑐𝑞𝜃2 (3.73) Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 35 Introduzindo os valores de a0, a1, a2 e a3 na equação (3.60) vem: 𝑤0(𝑥,𝑡)=[12+−6𝐿2+8𝑐 4𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑥+ 2 𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑥3]𝑞𝑤1 +[−𝐿8+𝐿3 4𝐿(𝐿2−2𝑐)+1 2𝐿𝑥2−1 𝐿2−2𝑐𝑥3]𝑞𝜃1 +[12+6𝐿2−8𝑐 4𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑥− 2 𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑥3]𝑞𝑤2 +[𝐿8−𝐿3 4𝐿(𝐿2−2𝑐)−1 2𝐿𝑥2−1 𝐿2+2𝑐𝑥3]𝑞𝜃2 (3.74) A equação anterior pode ser escrita da seguinte forma: 𝑤0(𝑥,𝑡)=𝑁𝑤1𝑞𝑤1+𝑁𝑤2𝑞𝜃1+𝑁𝑤3𝑞𝑤2+𝑁𝑤4𝑞𝜃2 (3.75) onde Nw1, Nw2, Nw3 e Nw4 são as funções de forma correspondes a cada condição de fronteira e são definidas por: 𝑁𝑤1=12+−6𝐿2+8𝑐 4𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑥+ 2 𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑥3 𝑁𝑤2=−𝐿8+𝐿3 4𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑥+1 2𝐿𝑥2−1 𝐿2−2𝑐𝑥3 (3.76) 𝑁𝑤3=12+6𝐿2−8𝑐 4𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑥− 2 𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑥3 𝑁𝑤4=𝐿8+𝐿3 4𝐿(𝐿2−2𝑐)𝑥−1 2𝐿𝑥2−1 𝐿2−2𝑐𝑥3 Finalmente, aplicando a seguinte mudança de variável, na transformação de coordenadas globais para coordenadas locais (ou adimensionais), 𝜉=2𝐿𝑥 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 36 as funções reescrevem-se da seguinte forma: 𝑁𝑤1=12+−6𝐿2+8𝑐 8(𝐿2−2𝑐)𝜉+ 𝐿2 4(𝐿2−2𝑐)𝜉3 𝑁𝑤2=𝐿2(−14+14𝐿2 (𝐿2−2𝑐)𝜉+14𝜉2−14𝐿2 (𝐿2−2𝑐)𝜉3) (3.77) 𝑁𝑤3=12+6𝐿2−8𝑐 8(𝐿2−2𝑐)𝜉− 𝐿2 4(𝐿2−2𝑐)𝜉3 𝑁𝑤4=𝐿2(14+14𝐿2 (𝐿2−2𝑐)𝜉−14𝜉2−14𝐿2 (𝐿2−2𝑐)𝜉3) Tal como esperado, foi obtido um conjunto de polinómios cúbicos. De notar que as funções hermiteanas apresentadas no capítulo anterior são um caso particular das agora calculadas, bastando para isso eliminar a constante de corte c. 3.5 FECHO DO CAPÍTULO Neste capítulo começou-se por introduzir o problema da determinação das frequências naturais pela teoria de vigas de Timoshenko. Mostrou-se que existe um valor limite para as frequências naturais, 𝜔𝑐=√𝑘𝐴𝐺/𝜌𝐼, o qual define a existência de dois espectros de amplitudes. N.G. Stephen [40] e N.G. Stephen et al. [41] concluem nos seus trabalhos que o segundo espectro deve ser ignorado por considerarem que se trata de um inconveniente da própria teoria de Timoshenko, indicando mesmo referências que indicam que tal espectro não terá significado físico. No caso de vigas apoiadas, para o qual demonstram que existe uma factorização da equação de frequências, concluem que o primeiro espectro prevê com elevada exactidão os valores das frequências naturais de vibração, mesmo para valores muito mais elevados do que 𝜔𝑐, pois não existirá uma sobreposição entre as ondas do primeiro e segundo espectros. Para as restantes condições de fronteira, para as quais indicam não existir uma factorização da equação de frequências, os autores referem que acima do valor limite, 𝜔𝑐, se verifica a propagação de ondas outrora evanescentes e que introduzem erros na previsão das frequências naturais. Posteriormente, no subcapítulo 3.3, foi introduzido o modelo de elementos finitos tipo-p, baseado no trabalho de Stojanovic et al. [42]. O modelo apresentado apresenta contudo relações deformação-tensão e deformação-deslocamento lineares. É válido para vigas Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 37 elásticas e isotrópicas e foi considerado amortecimento proporcional de rigidez. De forma a atenuar a baixa sensibilidade do método a singularidades internas, no domínio, foram também consideradas duas funções cúbicas dependentes da localização do dano e derivadas na referência [42]. No final foram derivadas novas funções hermiteanas, segundo a teoria de Timoshenko, pelo procedimento de A. Bazoune et al. [8], adaptadas a um problema unidimensional e ao referencial adoptado nesta tese. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 38 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 39 CAPÍTULO 4 VIGAS COM FENDA BILINEAR 4.1 INTRODUÇÃO O Capítulo 4 introduz um elemento de viga com dano, segundo o MEF tipo-p, baseado na teoria de Christides e Barr [14]. O modelo é baseado na teoria de vigas de Euler-Bernoulli e o dano considerado como uma fenda bilinear, definida por uma dimensão, a profundidade, e caracterizado numericamente por uma redução de rigidez, apenas. O objectivo deste capítulo é apresentar um modelo capaz de simular numericamente a dinâmica não-linear de uma viga com fenda. O modelo apresentado considera relações deformação-tensão e deformaçãodeslocamento lineares e está apto para vigas elásticas e isotrópicas. Tal como o capítulo anterior, o Capítulo 4 inicia-se com uma introdução ao problema da determinação das frequências naturais de vibração, segundo a teoria de vigas EulerBernoulli, no subcapítulo 4.2. Como se poderá concluir, existem diferenças claras em relação ao verificado no subcapítulo 3.2. Novamente, considera-se uma secção meramente didáctica e que pretende ajudar a clarificar as diferenças entre as duas teorias de viga utilizadas. No subcapítulo 4.3 é apresentada a formulação do modelo de elementos finitos. 4.2 FREQUÊNCIAS NATURAIS PELA TEORIA DE EULER-BERNOULLI A formulação apresentada é baseada no trabalho de J. Dias Rodrigues [35]. O modelo de Euler-Bernoulli, também conhecido por “Teoria das Vigas Finas”, foi a primeira teoria de vigas a prever com algum grau de exactidão os deslocamentos em vigas sujeitas a esforços de flexão e aplica-se a vigas cujo comprimento é muito superior às dimensões da secção recta. A aplicação do modelo exige que sejam assumidas algumas simplificações relativamente ao comportamento da viga quando deformada. Considera-se que a secção recta da viga se mantém normal ao eixo neutro após flexão, de tal modo que são desprezados a rotação (inércia) da secção recta e os efeitos da distorção devido ao corte. Por esta razão, a Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 40 teoria de Euler-Bernoulli tende a subestimar a deformação e, como consequência, a sobrestimar as frequências naturais de vibração. A equação diferencial do movimento de uma viga de Euler-Bernoulli, em regime livre e de secção constante, é dada por: 𝐸𝐼𝜕4𝑤(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥4+𝜌𝐴𝜕2𝑤(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡2=0 (4.1) Seja o deslocamento da viga no tempo um movimento síncrono, então a resposta w(x,t), solução da equação diferencial de derivadas parciais (4.1), pode ser escrita com base no método da separação de variáveis da seguinte forma: 𝑤(𝑥,𝑡)=𝑊(𝑥)𝑇(𝑡) (4.2) onde W(x) representa a disposição da viga no espaço e T(t) caracteriza o seu movimento no tempo. Da derivação de (4.2) em ordem a x e a t resulta: 𝜕4𝑤(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥4=𝜕4𝑊(𝑥) 𝜕𝑥4𝑇(𝑡) (4.3) 𝜕2𝑤(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡2=𝑊(𝑥)𝜕2𝑇(𝑡) 𝜕𝑡2 e introduzindo as soluções anteriores na equação do movimento obtém-se, após arranjo dos termos: 𝐸𝐼 𝜌𝐴𝑊(𝑥)𝜕4𝑊(𝑥) 𝜕𝑥4=− 1 𝑇(𝑡)𝜕2𝑇(𝑡) 𝜕𝑡2 (4.4) Na equação anterior, os dois termos são de natureza diferente, e como tal dependem cada um deles de uma variável própria. Desta forma, a igualdade (4.4) apenas é assegurada no caso de ambos os termos serem iguais a uma constante arbitrária. Seja essa constante igual ao quadrado das frequências naturais do sistema, ω2, de tal forma que: 𝐸𝐼 𝜌𝐴𝑊(𝑥)𝜕4𝑊(𝑥) 𝜕𝑥4=𝜔2 e (4.5) −1 𝑇(𝑡)𝜕2𝑇(𝑡) 𝜕𝑡2=𝜔2 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 41 Escreva-se a primeira equação de (4.5), da seguinte forma: 𝐸𝐼𝜕4𝑊(𝑥) 𝜕𝑥4−𝜔2𝜌𝐴𝑊(𝑥)=0 (4.6) A equação (4.6) representa o problema característico do problema. As soluções W(x) que verificam a equação do movimento e as condições de fronteira são as suas funções características e, neste caso particular, as formas naturais do sistema. A equação (4.6) admite ainda soluções não nulas de ω2 que representam os valores característicos do problema. Dividindo ambos os termos da equação por EI e aplicando a seguinte mudança de variável, 𝛽4=𝜔2𝜌𝐴 𝐸𝐼 obtém-se: 𝜕4𝑊(𝑥) 𝜕𝑥4−𝛽4𝑊(𝑥)=0 (4.7) O polinómio característico de (4.7) é: 𝑟4−𝛽4=0 (4.8) cujas raízes são: {𝑟1=𝛽 𝑟2=−𝛽 {𝑟3=𝑖𝛽 𝑟4=−𝑖𝛽 (4.9) Procurando uma solução w(x) para a equação diferencial ordinária de 4ª ordem (4.7) do tipo: 𝑊(𝑥)=𝐶𝑒𝑟𝑥 (4.10) resulta, após substituição r pelas raízes do polinómio característico e conveniente aplicação da fórmula de Euler, a seguinte combinação de exponenciais: 𝑊(𝑥)=𝐴1cosh(𝛽𝑥)+𝐴2senh(𝛽𝑥)+𝐴3cos(𝛽𝑥)+𝐴4sen(𝛽𝑥) (4.11) onde os valores das raízes da equação característica β e as constantes A1, A2, A3 e A4 da solução são determinadas a partir das condições de fronteira do sistema. Determinado o valor de β, as Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 42 frequências naturais são facilmente calculadas, tendo em conta a mudança de variável anteriormente feita, da seguinte forma: 𝜔=(𝛽ℓ)2√𝐸𝐼 𝜌𝐴ℓ4 (4.12) Os valores para o produto 𝛽ℓ, que naturalmente variam consoante a condição de fronteira e o modo de vibração, são conhecidos e tabelados e usados aqui para o cálculo das frequências naturais, como forma de validação do modelo de elementos finitos apresentado neste capítulo. A tabela seguinte apresenta os valores das raízes para vigas encastradas e duplamente encastradas. Tabela 4. 1 – Valores de 𝜷𝓵 para as condições de fronteira de encastramento e duplo encastramento [35] 1º Modo 2º Modo 3º Modo 4º Modo 5º Modo nmo Modo Duplamente encastrada 4,7300 7,8532 10,9956 14,1371 17,2787 (2𝑛+1)𝜋 2 EncastradaLivre 1,8751 4,6941 7,8548 10,9955 14.1372 (2𝑛−1)𝜋 2 4.3 FORMULAÇÃO DO MEF TIPO-P PARA ANÁLISE DINÂMICA DE UMA VIGA EULER-BERNOULLI COM DANO, PELO MÉTODO DOS RESÍDUOS PESADOS DE GALERKIN No subcapítulo que agora se inicia, pretende-se estudar as alterações da resposta dinâmica de vigas sujeitas à presença de uma fenda superficial numa das suas faces. É desenvolvido um elemento de viga com base na teoria unidimensional de vigas Euler-Bernoulli com fendas de Christides e Barr [14]. Contrariamente ao modelo apresentado no capítulo anterior, o dano é agora representado por uma fenda, por exemplo de fadiga, caracterizada apenas por uma dimensão, a sua profundidade. Esta idealização permite desde já antever que o efeito do dano se limitará unicamente a uma redução da rigidez do sistema, pois não é considerada nenhuma redução local de material. Permite também impor que a fenda tenha um comportamento não-linear, fechando e abrindo ao longo do tempo. É intuitivo pensar que quando as duas faces da fenda estão comprimidas uma contra a outra, esta se possa considerar Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 43 como fechada e a viga se comporta aproximadamente como se estivesse intacta e que, quando a tensão de flexão é de tracção, as faces se afastam e a fenda abre. Diz-se aproximadamente, pois na realidade não existirá transmissão dos esforços de corte entre as duas faces da fenda, quando estas são sujeitas a tensões de compressão. De forma a simplificar o modelo, assumese de forma plausível que a transição de estado é abrupta e não gradual, isto é, ou a fenda está totalmente aberta ou totalmente fechada. O sistema passa a ser bilinear e são esperadas interessantes particularidades na resposta do sistema. A figura 4.1 apresenta de forma sucinta as principais dimensões da viga, necessárias para o desenvolvimento do modelo. Figura 4. 1 - Dimensões de uma viga com fenda duplamente encastrada A teoria de Christides e Barr tem por base alguns princípios simplificadores importantes. Apenas são considerados deslocamentos transversais. Assume-se que apenas os campos de tensões e deformações são afectados directamente pela presença e não o campo de deslocamentos. Tendo por base a teoria de vigas de Euler-Bernoulli, a distribuição de tensões longitudinais, longe da fenda, é considerada linear. Na secção da fenda, assume-se que essa distribuição é também ela linear, embora os autores afirmem desconhecer a precisão de tal afirmação, de tal modo que apenas a magnitude da tensão é alterada, da seguinte forma: {𝜎𝑥𝑥=−𝑧𝑇(𝑥,𝑡) ,𝑠𝑒𝑚 𝑓𝑒𝑛𝑑𝑎 𝜎𝑥𝑥=[−𝑧+𝑓(𝑥,𝑧,)]𝑇(𝑥,𝑡) ,𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑒𝑛𝑑𝑎 (4.13) onde T(x,t) é a função que define a relação entre os deslocamentos e as tensões. { 𝑇(𝑥,𝑡)=𝐸𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 ,𝑠𝑒𝑚 𝑓𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑇(𝑥,𝑡)=𝐸𝑄(𝑥)𝜕2𝑤 𝜕𝑥2 ,𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑒𝑛𝑑𝑎 (4.14) Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 50 𝜕2𝐍 𝜕𝑥2=𝜕 𝜕𝜉𝜕𝜉 𝜕𝑥(𝜕𝐍 𝜕𝑥𝜕𝜉 𝜕𝑥) =𝜕2𝐍 𝜕𝜉2 4 𝐿2 (4.35) Logo, 𝐌=∫ 𝜌𝐴 𝐿2 −𝐿2𝐍(𝜉)𝐍(𝜉)𝑇 𝑑𝑥 =∫ 𝜌𝐴 𝐿2 −𝐿2𝐍(𝜉)𝐍(𝜉)𝑇𝑑𝑥 𝑑𝜉𝑑𝜉 =∫ 𝜌𝐴𝐿 2 1 −1 𝐍(𝜉)𝐍(𝜉)𝑇𝑑𝜉 𝐌=𝜌𝐴𝐿 2[∫ 2𝐿𝐿𝐶 −1 𝐍1(𝜉)𝐍1(𝜉)𝑇𝑑𝜉+∫ 1 2𝐿𝐿𝐶𝐍2(𝜉)𝐍2(𝜉)𝑇𝑑𝜉] (4.36) 𝐊d=∫ 𝜕2𝐍 𝜕𝜉2 𝜕2𝐍 𝜕𝜉2𝑇𝑅(𝑥)𝑑𝑥 𝐿2 −𝐿2 =∫ 4 𝐿2𝜕2𝐍 𝜕𝜉2 4 𝐿2𝜕2𝐍 𝜕𝜉2𝑇𝑅(𝜉) 𝐿2𝑑𝜉 1 −1 𝐊d=8𝐸𝐼 𝐿3[∫ 2𝐿𝐿𝐶 −1 𝜕2𝐍1 𝜕𝜉2 𝜕2𝐍1 𝜕𝜉2𝑇𝑄(𝜉)𝑑𝜉+∫ 1 2𝐿𝐿𝐶𝜕2𝐍2 𝜕𝜉2 𝜕2𝐍2 𝜕𝜉2𝑇𝑄(𝜉) 𝑑𝜉] (4.37) onde, 𝑄(𝜉)=1 1+𝐶 𝑒(−2𝛼 𝑑|𝐿2𝜉−𝐿𝐶|) (4.38) No que respeita ao amortecimento, opta-se novamente pelo amortecimento proporcional de rigidez, dado de uma forma geral por: Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 51 𝐂=𝛽𝐊 (4.39) com, 𝛽=2𝜉1 𝜔1 (4.40) sendo β a constante de proporcionalidade de rigidez, ξ1 e ω1 a razão de amortecimento e a frequência natural do primeiro modo vibração do sistema. Atendendo ao estado bilinear do sistema, as equações do movimento para a viga danificada podem ser escritas da forma: {𝐌𝐪󰇘(𝑡)+𝐂𝒒󰇗(𝑡)+𝑲𝒒(𝑡)=𝐅(𝜉,𝑡) ,𝑠𝑒 𝑓𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎 𝐌𝐪󰇘(𝑡)+𝑪𝑑𝒒󰇗(𝑡)+𝑲𝑑𝒒(𝑡)=𝐅(𝜉,𝑡) ,𝑠𝑒 𝑓𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎 (4.41) O estado do sistema é determinado pela curvatura da viga, γ(ξ), na localização da fenda, dada por: 𝛾(𝜉)=4 𝐿2𝜕2𝐍 𝜕𝜉2 𝒒(𝑡) (4.42) Considera-se como ponto de transição de estado, γ0, a curvatura nula de modo a que se despreze a influência do peso próprio da viga. {𝑓𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑓𝑒𝑐ℎ𝑎𝑑𝑎 ,𝑠𝑒 𝛾<0 𝑓𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑎𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎 ,𝑠𝑒 𝛾>0 (4.43) 4.4 FECHO DO CAPÍTULO O Capítulo 4 iniciou-se com uma introdução ao método exacto de derivação das frequências naturais de vibração segundo a teoria de vigas de Euler-Bernoulli. Mostrou-se que existem diferenças significativas em relação ao verificado pela teoria de Timoshenko, desde logo a existência de apenas um “espectro” de frequências. São conhecidos e tabelados os valores exactos das raízes das equações de frequência, para as diferentes condições de fronteira. Apresenta-se no subcapítulo 4.2 uma tabela referente a vigas encastradas-livres e duplamente encastradas. Posteriormente, no subcapítulo 3.3, foi introduzido o modelo de elementos finitos tipo-p, baseado no trabalho de Christides e Barr [14]. O modelo apresentado apresenta relações deformação-tensão e deformação-deslocamento lineares é válido para vigas elásticas e isotrópicas e considera amortecimento proporcional de rigidez. A forma fraca da equação do Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 52 movimento foi derivada pelo Método dos Resíduos Pesados de Galerkin. Foram também consideradas duas funções cúbicas dependentes da localização do dano e derivadas na referência [42], de forma a aumentar a sensibilidade do método à presença da fenda. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 53 CAPÍTULO 5 PRIMEIRA APROXIMAÇÃO À TEORIA DE CHRISTIDES E BARR, PARA NÃOLINEARIDADE GEOMÉTRICA 5.1 INTRODUÇÃO A importância da não-linearidade geométrica está directamente relacionada com a limitação das teorias convencionais de vigas em lidar com grandes deslocamentos. Neste capítulo, pretende-se principiar o estudo da influência da não-linearidade geométrica do tipo de Von Kármán na aplicação do MEF baseado na teoria de vigas com dano de Christides e Barr [14], tal como apresentado no capítulo anterior. A solução proposta é apenas uma primeira aproximação ao problema. Não serão derivadas novas funções modeladoras de rigidez, Q(x), na presença de uma fenda. Tal seria o procedimento correcto, uma vez que os resultados formulados por Christides e Barr são baseados numa relação deformação-deslocamento linear. Em vez disso, tais funções serão introduzidas directamente na rigidez de flexão e também na de extensão, resultante dos deslocamentos longitudinais introduzidos pela não-linearidade. 5.2 PRIMEIRA APROXIMAÇÃO À TEORIA DE CHRISTIDES E BARR, PARA NÃO-LINEARIDADE GEOMÉTRICA A figura 4.1, do capítulo anterior, mostra uma viga com uma fenda de fadiga e as suas dimensões principais. Considera-se que as dimensões da secção recta viga são constantes ao longo do seu comprimento, com excepção para a posição da fenda. A secção recta é considerada como sendo rectangular e o material elástico, homogéneo e isotrópico. O referencial é colocado no centro da viga, de coordenadas (ξ, z), cuja relação com a coordenada cartesiana x é ξ = 2x/L. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 54 O modelo de elementos finitos apresentado baseia-se na teoria de vigas de EulerBernoulli novamente, para que seja comparável ao do capítulo anterior. Seja o campo de deslocamentos definido por: {𝑢(𝑥,𝑧,𝑡)=𝑢0(𝑥,𝑡)−𝑧𝜕𝑤0 𝜕𝑥 𝑤(𝑥,𝑧,𝑡)=𝑤0(𝑥,𝑡) (5.1) onde u(x,z,t) e w(x,z,t) são as componentes longitudinal e transversal do deslocamento e u0 e w0 os deslocamentos no eixo neutro da viga. A equação (5.1) pode ser representada na forma matricial da seguinte forma: 𝐮(𝑥,𝑧,𝑡)=𝐙 𝐝(𝑥,𝑡) (5.2) com, 𝐙=[1 −𝑧𝜕 𝜕𝑥 0 1 ] (5.3) 𝐝(𝑥,𝑡)={𝑢0(𝑥,𝑡) 𝑤0(𝑥,𝑡)} A relação entre tensões e deformações longitudinais é não-linear, do tipo de Von Kármán [42], e é dada por: 𝜀𝑥𝑥(𝑥,𝑧,𝑡)=𝜕𝑢 𝑑𝑥+12(𝜕𝑤 𝜕𝑥)2 (5.4) Introduzindo (5.1) na equação anterior, fica: {𝜀𝑥𝑥(𝑥,𝑧,𝑡)=𝜕𝑢0 𝑑𝑥+12(𝜕𝑤0 𝜕𝑥)2−𝑧𝜕2𝑤0 𝑑𝑥2 𝛾𝑥𝑧(𝑥,𝑧,𝑡)=0 (5.5) O campo de deformações pode ser definido apenas segundo a direcção longitudinal e representado na forma matricial da seguinte forma: 𝜺𝒙𝒙(𝑥,𝑧,𝑡)=𝓛 𝐙 𝐝(𝑥,𝑡) (5.6) onde ℒ é o operador diferencial, Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 55 𝓛={𝜕 𝜕𝑥 12(𝜕 𝜕𝑥)2} (5.7) Como referido, o referencial da viga, na direcção longitudinal é representado em coordenadas naturais. Este tipo de representação é muito comum no MEF por permitir abordar de forma simples elementos de geométrica complexa, possibilitando uma fácil integração numérica da equação diferencial do movimento. Atendendo à relação ξ = 2x/L e aplicando a regra da cadeia, obtém-se a projecção do operador diferencial em coordenadas naturais, da seguinte forma: 𝓛={2𝐿𝜕 𝜕𝜉 12(2𝐿𝜕 𝜕𝜉)2} (5.8) A discretização dos deslocamentos é novamente feita pelo produto de deslocamentos nodais e funções interpoladoras, de tal forma que: 𝐝(𝜉,𝑡)=𝐍(𝜉,𝑡)𝐪(𝜉,𝑡)⇔{𝑢0(𝜉,𝑡) 𝑤0(𝜉,𝑡)}=[𝐍𝒖(𝜉)𝑇0 0 𝐍𝒘(𝜉)𝑇]{𝐪𝑢(𝑡) 𝐪𝑤(𝑡)} (5.9) onde N(ξ) é a matriz das funções de forma e q(t) o vector dos deslocamentos generalizados, agrupados em relação aos deslocamentos u e w. As matrizes de funções interpoladoras são as definidas nos capítulos anteriores: 𝐍𝒖(𝜉)𝑻=⌊𝑓1𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉) 𝑓2𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉) 𝑔1(𝜉) 𝑔2(𝜉)… 𝑔𝑟(𝜉)⌋ 𝐍𝒘(𝜉)𝑻=⌊𝑓1𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉) 𝑓2𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉) 𝑓1(𝜉) 𝑓2(𝜉)… 𝑓𝑟(𝜉) ⌋ (5.10) Para os deslocamentos transversais, o conjunto de funções de forma é composto por duas funções sensíveis à localização do dano 𝑓1𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉) e 𝑓2𝑑(𝐿,𝐿𝑐,𝜉) [42], pelos polinómios cúbicos de Hermite 𝑓1(𝜉)-𝑓4(𝜉), para atribuição das condições de fronteira, e por um conjunto de funções de ordem superior, 𝑓𝑟(𝜉), derivadas pelo polinómio de Legendre, para enriquecimento interno do elemento. No que respeita aos deslocamentos longitudinais, seja o conjunto de funções de forma formado por duas funções lineares 𝑔1(𝜉) e 𝑔2(𝜉), pelos polinómios cúbicos de Hermite 𝑓1(𝜉)-𝑓4(𝜉) e por um conjunto de polinómios de ordem superior, derivados dos de Legendre, 𝑔𝑟(𝜉) [46]. Introduzindo (5.9) em (5.6) obtém-se: 𝛆(𝜉,𝑧,𝑡)= 𝓛 𝐙 𝐍(𝜉)𝐪(𝑡) (5.11) Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 56 Para um material linear elástico, homogéneo e isotrópico, a relação tensão-deformação é a seguinte: 𝛔(𝜉,𝑧,𝑡)=𝐸𝛆(𝜉,𝑧,𝑡) (5.12) sendo E o módulo de Young do material e σ(ξ,z,t) o vector das tensões, cujo único componente neste caso são as tensões normais. A equação diferencial do movimento é obtida pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais: 𝛿𝑊𝑖𝑛+𝛿𝑊𝑉+𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡=0 (5.13) onde, 𝛿𝑊𝑖𝑛, 𝛿𝑊𝑉 e 𝛿𝑊𝑒𝑥𝑡 são, respectivamente, os trabalhos virtuais das forças de inércia, das forças internas e das forças externas. O trabalho virtual das forças de inércia é dado por: 𝛿𝑊𝑖𝑛=−∫ 𝜌 𝛿𝐮𝑇 𝐮󰇘 𝑑𝑉 𝑉 =−∫ 𝜌 [(𝛿𝐪𝑢 𝑇𝐍𝑢−𝑧 𝛿𝐪𝑤 𝑇2𝐿𝜕𝐍𝑤 𝜕𝜉)(𝐍𝑢𝑇𝐪󰇘𝑢−𝑧2𝐿𝜕𝐍𝑤𝑇 𝜕𝜉 𝐪󰇘𝑤) 𝑉+(𝛿𝐪𝑤 𝑇𝐍𝑤 𝐍𝑤 𝑇𝐪󰇘𝑤)] 𝐿2𝑑𝑉 (5.14) A expressão anterior é da forma: 𝛿𝑊𝑖𝑛= −𝛿𝐪𝑇𝐌 𝐪󰇘 (5.15) com, 𝐌=[𝐌𝒖0 0 𝐌𝒘] (5.16) sendo 𝛿𝐪𝑇 é o vector linha dos deslocamentos nodais virtuais, 𝐪󰇘 o vector coluna das acelerações nodais, M é a matriz de massa que é constituída por duas sub-matrizes 𝐌𝒖 e 𝐌𝒘 referentes cada uma delas aos deslocamentos longitudinais e aos deslocamentos transversais. Desprezando o efeito da inércia da secção recta da viga, isto é, \ ∫4 𝐿2 𝑧2𝛿𝐪𝑤𝑇𝜕𝐍𝑤 𝜕𝜉𝜕𝐍𝑤 𝜕𝜉𝑇𝐪󰇘𝑤𝐿2𝑑𝑉≅0 𝑉 (5.17) Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 57 a matriz M fica definida da seguinte forma: 𝐌𝒖=𝜌𝑏ℎ𝐿 2[∫ 𝐍𝑢1𝐍𝑢1𝑇𝑑𝜉+ 2𝑙𝑐 𝐿 −1 ∫ 𝐍𝑢2𝐍𝑢2𝑇𝑑𝜉+ 1 2𝑙𝑐 𝐿] (5.18) 𝐌𝒘=𝜌𝑏ℎ𝐿 2[∫ 𝐍𝑤1𝐍𝑤1𝑇𝑑𝜉+ 2𝑙𝑐 𝐿 −1 ∫ 𝐍𝑤2𝐍𝑤2𝑇𝑑𝜉+ 1 2𝑙𝑐 𝐿] O trabalho virtual das forças internas é dado por: 𝛿𝑊𝑉=−∫𝛿𝛆𝑇𝛔 𝑑𝑉 𝑉 (5.19) ⇔−∫ [𝛿(2𝐿𝜕𝑢0 𝜕𝜉)+𝛿(124 𝐿2(𝜕𝑤0 𝜕𝜉)2)−𝛿(𝑧4 𝐿2𝜕2𝑤0 𝜕𝜉2)].𝐸.[2𝐿𝜕𝑢0 𝜕𝜉 𝑉+124 𝐿2(𝜕𝑤0 𝜕𝜉)2−𝑧4 𝐿2𝜕2𝑤0 𝜕𝜉2]𝐿2𝑑𝑉 Tendo em conta que, 𝛿(124 𝐿2(𝜕𝑤0 𝜕𝜉)2)=2124 𝐿2𝜕𝑤0 𝜕𝜉𝛿(𝜕𝑤0 𝜕𝜉) (5.20) e fazendo, (𝜕𝑤0 𝜕𝜉)2=𝜕𝑤0 𝜕𝜉𝜕𝑤0 𝜕𝜉 =𝜕𝑤0 𝜕𝜉𝜕𝐍𝑤 𝜕𝜉𝑇𝐪𝑤 (5.21) obtém-se, 𝛿𝑊𝑉=−∫ [2𝐿𝛿𝐪𝑢 𝑇𝜕𝐍𝑢 𝜕𝜉+4 𝐿2𝜕𝑤0 𝜕𝜉(𝛿𝐪𝑤𝑇𝜕𝐍𝑤 𝜕𝜉)2−𝑧4 𝐿2𝛿𝐪𝑤𝑇𝜕2𝐍𝑤𝑇 𝜕𝜉2].𝐸.[2𝐿𝜕𝐍𝑢 𝜕𝜉𝑇𝐪𝑢 𝑉 +124 𝐿2𝜕𝑤0 𝜕𝜉𝜕𝐍𝑤 𝜕𝜉𝑇𝐪𝑤−𝑧4 𝐿2𝜕2𝐍𝑤 𝑑𝜉2𝐪𝑤]𝐿2𝑑𝑉 (5.22) que é da forma, 𝛿𝑊𝑉= −𝛿𝐪𝑇𝐊 𝐪 (5.23) Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 58 Em (5.23) K é a matriz de rigidez do sistema, composta por um conjunto de submatrizes, organizadas consoante se referem a termos lineares, KL, ou não-lineares, KNL, e que se agrupam da seguinte forma: 𝐊=𝐊𝐿+𝐊𝑁𝐿 (5.24) ⇔𝐊=[𝐊𝑙0 0 𝐊𝑏]+[ 0 𝐊𝑙𝑏(𝐪𝑤) 𝐊𝑏𝑙(𝐪𝑤) 𝐊𝑏𝑏(𝐪𝑤)] sendo Kl a matriz de rigidez linear de longitudinal, Kb a matriz de rigidez linear de flexão, Klb(qw) e Kbl(qw) duas matrizes de rigidez não-lineares e que introduzem no sistema um acoplamento entre os deslocamentos longitudinais e transversais e Kbb(qw) uma matriz de rigidez não-linear referente à flexão da viga. As matrizes não lineares são função dos deslocamentos generalizados. Uma vez que estes últimos são ao mesmo tempo solução e parte integrante do sistema de equações do movimento, é necessário um processo de resolução iterativo até que os resultados convirjam para um erro mínimo aceitável. Do integral de (5.22) definem-se as seguintes matrizes rigidez: 𝐊𝑙=2𝐸𝐴 𝐿 [∫ 𝜕𝐍𝑢1 𝜕𝜉 ∂𝐍𝑢1𝑇 𝜕𝜉 𝑑𝜉+ 2𝑙𝑐 𝐿 −1 ∫𝜕𝐍𝑢2 𝜕𝜉 ∂𝐍𝑢2𝑇 𝜕𝜉 𝑑𝜉+ 1 2𝑙𝑐 𝐿] (5.25) 𝐊𝑏=8𝐸𝐼 𝐿3 [∫ 𝜕2𝐍𝑤1 𝜕𝜉2∂2𝐍𝑤1𝑇 𝜕𝜉2𝑑𝜉+ 2𝑙𝑐 𝐿 −1 ∫𝜕2𝐍𝑤2 𝜕𝜉2∂2𝐍𝑤2𝑇 𝜕𝜉2𝑑𝜉+ 1 2𝑙𝑐 𝐿] (5.26) 𝐊𝑙𝑏(𝐪𝑤)=2𝐸𝐴 𝐿2 [∫ 𝜕𝑤0 𝜕𝜉𝜕𝐍𝑢1 𝜕𝜉 𝜕𝐍𝑤1 𝜕𝜉 𝑇𝑑𝜉+ 2𝑙𝑐 𝐿 −1 ∫𝜕𝑤0 𝜕𝜉𝜕𝐍𝑢2 𝜕𝜉 𝜕𝐍𝑤2 𝜕𝜉 𝑇𝑑𝜉 1 2𝑙𝑐 𝐿] (5.27) 𝐊𝑏𝑙(𝐪𝑤)=4𝐸𝐴 𝐿2 [∫ 𝜕𝑤0 𝜕𝜉𝜕𝐍𝑤1 𝜕𝜉 𝜕𝐍𝑢1 𝜕𝜉𝑇𝑑𝜉+ 2𝑙𝑐 𝐿 −1 ∫𝜕𝑤0 𝜕𝜉𝜕𝐍𝑤2 𝜕𝜉 𝜕𝐍𝑢2 𝜕𝜉𝑇𝑑𝜉 1 2𝑙𝑐 𝐿] (5.28) 𝐊𝑏𝑏(𝐪𝑤)=4𝐸𝐴 𝐿3[∫ (𝜕𝑤0 𝜕𝜉)2𝜕𝐍𝑤1 𝜕𝜉 𝜕𝐍𝑤1 𝜕𝜉 𝑇𝑑𝜉+ 2𝑙𝑐 𝐿 −1 ∫ (𝜕𝑤0 𝜕𝜉)2𝜕𝐍𝑤2 𝜕𝜉 𝜕𝐍𝑤2 𝜕𝜉 𝑇𝑑𝜉 1 2𝑙𝑐 𝐿] (5.29) Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 59 Determinadas as matrizes de massa e rigidez do sistema, a equação do movimento para uma viga Euler-Bernoulli com não-linearidade geométrica de Von Kármán é dada por: [𝐌𝒖0 0 𝐌𝒘]{𝐪󰇘𝑢(𝑡) 𝐪󰇘𝑤(𝑡)}+([𝐊𝑙0 0 𝐊𝑏]+[ 0 𝐊𝑙𝑏(𝐪𝑤(𝑡)) 𝐊𝑏𝑙(𝐪𝑤(𝑡)) 𝐊𝑏𝑏(𝐪𝑤(𝑡))]){𝐪𝑢(𝑡) 𝐪𝑤(𝑡)}= ={𝐅𝑢𝑒𝑥𝑡(𝑡) 𝐅𝑤 𝑒𝑥𝑡(𝑡)} (5.30) No caso em estudo, pretende-se apenas analisar a resposta no tempo dos deslocamentos transversais, tal como feito nos capítulos anteriores. Nesse contexto, o objectivo é avaliar o efeito da não-linearidade geométrica nesse tipo de movimento. Sabe-se à partida, bastando para isso observar a expressão (5.30), que existe acoplamento entre o movimento nas direcções longitudinal e transversal, concluindo-se naturalmente que existe uma influência mútua entre cada tipo de deslocamento. Tendo em conta as considerações feitas, é possível simplificar o sistema de equações anterior admitindo que não serão aplicadas cargas normais a secção da viga e desprezando o efeito da inércia do movimento longitudinal, ou seja, {𝐌𝒖𝐪󰇘𝑢=0 𝐅𝒖𝒆𝒙𝒕(𝒕)=0 (5.31) Desta forma é possível determinar directamente o valor dos deslocamentos qu e obter um único sistema de equações diferenciais do movimento, para a direcção transversal. Da primeira equação do sistema (5.30) consegue-se a seguinte relação: 𝐊𝑙𝐪𝑢(𝑡)+𝐊𝑙𝑏(𝐪𝑤(𝑡))𝐪𝑤(𝑡)=0 (5.32) Pré multiplicando ambos os termos da equação pela matriz inversa de Kl, fica: 𝐪𝑢(𝑡)=−𝐊𝑙−1𝐊𝑙𝑏(𝐪𝑤(𝑡))𝐪𝑤(𝑡) (5.33) Introduzindo a solução anterior na segunda equação de (5.30), determina-se a equação diferencial do movimento do sistema, segundo a direcção transversal: 𝐌𝒘𝐪󰇘𝑤(𝑡)+(𝐊𝑏+𝐊𝑏𝑏(𝐪𝑤(𝑡))−𝐊𝑏𝑙(𝐪𝑤(𝑡))𝐊𝑙−1𝐊𝑙𝑏(𝐪𝑤(𝑡)))𝐪𝑤(𝑡)=𝐅𝑤 𝑒𝑥𝑡(𝑡) (5.34) Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 66 material escolhido foi o alumínio, bastante comum. A tabela seguinte apresenta os dados relativos aos dois modelos. Tabela 6. 1 – Dimensões e propriedades materiais comuns a todas as vigas l[m] h[m] b[m] h1 [m] h/l h1/h E[Pa] ρ[kg/m3] ν ξ [32] CE1 1,000 0,0500 0,025 0,01 0,02 0,05 0,2 0,4 7,172E10 2800 0,33 4E-4 CE2 0,406 0,0203 0,020 0,001 0,009 0,05 0,049 0,443 7,172E10 2800 0,33 4E-4 A solução da equação diferencial do movimento é obtida pela aplicação do método de Newmark. Serão analisadas as respostas em regime permanente e regime transiente. A análise das soluções obtidas será feita com base em quatro representações gráficas: resposta no tempo, projecção no plano de fase, secção de Poincaré e espectro de amplitudes [31]. As conclusões e comentários feitos aos resultados obtidos são referenciados, regra geral, pelo trabalho de Nayfeh e Balachandran [31]. Quando necessário, outras referências são introduzidas. 6.2 RESPOSTA DINÂMICA DE VIGAS TIMOSHENKO COM DANO 6.2.1 Resposta em Regime Permanente 6.2.1.1 VIGAS DUPLAMENTE ENCASTRADAS A tabela 6.2 mostra os dados introduzidos no modelo de elementos finitos para calcular as respostas dinâmicas dos casos CE1 e CE2. Os valores da constante de amortecimento proporcional, β, resultam da aplicação dos valores das tabelas 6.1, 6.3 e 6.4 na equação (3.56). Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 67 Tabela 6. 2 – Graus de liberdade, dimensões do entalhe e const. de amortecimento. Vigas duplamente encastradas PL PO Pθ l1[m] l2[m] lc[m] β CE1 37 37 37 -0,005 0.005 0,000 4,89E-7 CE2 37 37 37 0,068 0,0755 0,07515 1,98E-7 A validação do modelo de elementos finitos para a viga intacta é feita por comparação dos valores das frequências naturais de vibração, por ele calculados, com os mesmos valores obtidos com o software comercial ANSYS®. Para a modelação virtual da viga foi escolhido o elemento BEAM189. Trata-se de um elemento quadrático de três nós, tridimensional, de seis graus de liberdade por nó. O elemento é baseado na teoria de vigas de Timoshenko e, por isso, adequado para a comparação desejada. A discretização foi feita com 300 elementos. Os resultados apresentam-se nas tabelas 6.3 e 6.4. Tabela 6. 3 – CE1 Intacto. Frequências naturais [rad/s] pelo MEF-p e ANSYS®. Diferença [%]. Vigas duplamente encastradas CE1 INTACTO MEF-p ANSYS® Diferença [%] 𝝎𝟏 1607,2926 1606,421987 0,054 𝝎𝟐 4338,2784 4339,042109 0,017 𝝎𝟑 8280,1212 8264,901953 0,184 𝝎𝟒 13259,9601 13224,84843 0,265 𝝎𝟓 15899,7757 15899,60042 0,001 Tabela 6. 4 – CE2 Intacto. Frequências naturais [rad/s] pelo MEF-p e ANSYS®. Diferença [%]. Vigas duplamente encastradas CE2 INTACTO MEF-p ANSYS® Diferença [%] 𝝎𝟏 3958,8490 3956,898779 0,049 𝝎𝟐 10685,4118 10673,87519 0,108 𝝎𝟑 20394,3937 20359,40535 0,172 𝝎𝟒 32659,9741 32182,47514 1,484 𝝎𝟓 39162,009 39162,46570 0,001 Para o modelo referente à viga danificada, a validação é feita por comparação com os resultados obtidos por Stojanovic et al. [42], que se apresentam na tabela 6.5, referente ao caso CE2. Na tabela 6.6 apresentam-se as frequências naturais para as vigas danificadas. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 68 Tabela 6. 5 - CE2 h1=0,009. Frequências naturais [rad/s] pelo MEF-p e Stojanovic et al.. Diferença [%]. Vigas duplamente encastradas CE2 h1=0,009 MEF-p Stojanovic et al. Diferença [%] 𝝎𝟏𝒅 3952,6932 3915,37 0,953 𝝎𝟐𝒅 10506,2594 10181,9 3,185 𝝎𝟑𝒅 20346,8206 20277,1 0,343 𝝎𝟒𝒅 32376,1126 31716,3 2,080 Tabela 6. 6 - Frequências naturais [rad/s] pelo MEF-p. Vigas com entalhe. Vigas duplamente encastradas 𝝎𝟏𝒅 𝝎𝟐𝒅 𝝎𝟑𝒅 𝝎𝟒𝒅 𝝎𝟓𝒅 CE1 h1=0,01 1604,4788 4338,1553 8250,5771 13258,3283 15931,6368 CE1 h1=0,02 1604,0114 4337,7762 8237,2906 13254,5149 15963,6284 CE2 h1=0,001 3958,8095 10670,7043 20391,1349 32637,4444 39176,2162 CE2 h1=0,009 3952,6932 10506,2594 20346,8206 32376,1126 39157,9067 Respostas para uma excitação harmónica de frequência ω = ω1/3 Resposta no tempo As figuras 6.3 e 6.4 seguintes apresentam as respostas no tempo para os casos CE1 e CE2, para várias profundidades de entalhe. Figura 6. 3 - CE1 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 -4,5000E-06 -3,0000E-06 -1,5000E-06 0,0000E+00 1,5000E-06 3,0000E-06 4,5000E-06 1276 1276,5 1277 1277,5 1278 1278,5 1279 1279,5 w(x,t)/h (t ω )/(2π) sem dano h1=0.01 h1=0.02 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 69 Figura 6. 4 - CE2 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 A primeira observação a fazer está relacionada com a equidade das respostas no tempo. Constata-se de imediato que, para uma solicitação de baixa frequência, a existência de um entalhe à superfície, mesmo no caso CE2 h1=0,009, onde a profundidade do entalhe é de quase 45% da espessura da viga, não tem influência prezável na dinâmica do sistema, em regime permanente. Não só as amplitudes são praticamente coincidentes, como as soluções são sinusoidais, periódicas e simétricas em relação à configuração de equilíbrio estático. Verificase também, naturalmente, que o traço da resposta é uniforme e a envelope plana, o que indica que apenas existirá uma frequência de base e sem harmónicos. Estas características implicam que o sistema, em regime permanente e para uma solicitação de baixa frequência, seja linear periódico. A figura 6.5 mostra a evolução dos pontos XA e XB referentes às extremidades esquerda e direita do entalhe, respectivamente, para o caso CE2 h1=0,009. Observa-se que o deslocamento relativo destes pontos ao longo do tempo é imperceptível, isto é, estes mantêm entre si uma distância praticamente constante. Note-se que o eixo vertical é relativo à cota dos pontos ao longo do eixo horizontal da viga e não a amplitude dos seus movimentos. A primeira grande conclusão a retirar é a de que tais características da resposta implicam que, após abertura, o entalhe não mais fechará. -1,5000E-05 -1,0000E-05 -5,0000E-06 0,0000E+00 5,0000E-06 1,0000E-05 1,5000E-05 4198,5 4199 4199,5 4200 4200,5 4201 w(x,t)/h (t ω )/(2π) sem dano h1=0.001 h1=0.009 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 70 Figura 6. 5 - Posição dos pontos XA e XB do entalhe. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 Projecção no Plano de Fase O plano de fase é formado por duas coordenadas (por exemplo deslocamento e velocidade), necessárias à caracterização do movimento, que se designam por variáveis de estado. No caso do equilíbrio estático, a posição inicial corresponde a um ponto fixo no plano de estados. Após deformação, o novo equilíbrio é caracterizado por um novo ponto fixo no plano. A evolução no tempo corresponde, segundo a mesma lógica, a um conjunto de pontos consecutivos, que descreve uma curva entre o ponto inicial e final. Considerando o movimento periódico de n-períodos, facilmente se compreende que esses dois pontos coincidem no espaço. As figuras 6.6 e 6.7 apresentam as projecções no plano de fase para os casos de estudo, para as diferentes profundidades do entalhe. Como se esperava, tendo em conta a representação gráfica das respostas no tempo, verifica-se novamente que as soluções são de grande semelhança entre si. Caracterizam-se por ser uma órbita fechada do tipo circular ou elíptico, simétrica em relação às duas variáveis de estado e não distorcida. Por isso, confirma-se que a resposta é linear e periódica de apenas uma frequência base, qualquer que seja o estado do sistema. A não distorção da elipse implica a inexistência de harmónicos no espectro de amplitudes. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 71 Figura 6. 6 - CE1 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 Figura 6. 7 - CE2 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 Secção de Poincaré Uma secção de Poincaré consiste numa secção que intercepta perpendicularmente a resposta no tempo de um sistema, num determinado instante de tempo. É de grande utilidade na caracterização de uma solução dinâmica, pois permite avaliar o tipo de movimento e determinar, entre outras coisas, o período da solução. Se se definir um intervalo de tempo fixo, T, entre duas intercepções, ao conjunto de k pontos discretos na secção corresponde naturalmente um movimento periódico de período kT, onde k é o número de oscilações no tempo que a resposta efectua antes de cruzar novamente o ponto inicial. A grande vantagem do -2,40E-05 -1,60E-05 -8,00E-06 0,00E+00 8,00E-06 1,60E-05 2,40E-05 -4,00E-06 -3,00E-06 -2,00E-06 -1,00E-06 0,00E+00 1,00E-06 2,00E-06 3,00E-06 4,00E-06 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h sem dano h1=0.01 h1=0.02 -8,00E-05 -4,00E-05 0,00E+00 4,00E-05 8,00E-05 -1,50E-05 -1,00E-05 -5,00E-06 0,00E+00 5,00E-06 1,00E-05 1,50E-05 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h sem dano h1=0.001 h1=0.009 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 72 recurso à secção de Poincaré é a possibilidade de se determinar com facilidade um período de resposta elevado com k pontos discretos, que na projecção no plano de fase corresponde a k voltas, por vezes difíceis de identificar. Nas figuras 6.8 e 6.9 apresentam-se as intercepções na secção de Poincaré, para os casos CE1 e CE2 e para as diferentes profundidades do entalhe. Figura 6. 8 - CE1 Secção de Poincaré. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 Figura 6. 9 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 A intersecção com a intersecção de Poincaré é, para todos os casos, um ponto discreto e confirma que as respectivas respostas são periódicas e de apenas uma frequência. Também por esta análise se confirma que os movimentos são lineares periódicos. 0,0000201 0,0000202 0,0000203 0,0000204 0,0000205 0,0000206 0,0000207 0,0000208 0,0000209 -5,00E-07 -4,00E-07 -3,00E-07 -2,00E-07 -1,00E-07 0,00E+00 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h sem dano h1=0.01 h1=0.02 0,0000622 0,0000623 0,0000624 0,0000625 0,0000626 0,0000627 0,0000628 0,0000629 -5,00E-07 -4,00E-07 -3,00E-07 -2,00E-07 -1,00E-07 0,00E+00 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h sem dano h1=0.001 h1=0.009 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 73 É visível pelas figuras anteriores, que entre os casos com e sem dano, verifica-se um ligeiro afastamento dos pontos e esse afastamento é, naturalmente, tanto maior quanto maior a profundidade do entalhe. No entanto, esse afastamento é de várias ordens de grandeza inferiores à unidade e apenas é perceptível devido ao aumento de escala feito no eixo vertical dos gráficos, referente às velocidades. Espectro de amplitudes A transformada de Fourier finita é um meio de representar um sinal como a soma finita de funções sinusoidais simples. Estas funções correspondem a linhas discretas no espectro de amplitudes. Os espectros da figura 6.10 mostram a existência de apenas uma frequência na resposta dos sistemas, a fundamental, mostrando que todas as soluções são lineares periódicas. Verificase ainda assim uma influência do segundo harmónico da frequência base. Conhecendo a priori a linearidade das respostas e verificando que em todos os casos se verifica esta particularidade, calcula-se que se tratará de um fenómeno conhecido como “leakage” [35]. O conceito de “leakage” refere-se à “fuga” de energia, que excitaria uma determinada frequência, para outras adjacentes, caracterizadas por pequenos picos de amplitude. É uma consequência da discretização dos dados que resulta em períodos de resposta que não serão exactamente iguais a um submúltiplo inteiro do tempo do sinal analisado. Uma forma de evitar este problema é fazer coincidir o tempo de recolha do sinal com um múltiplo inteiro do período. Na figura 6.10, são apresentados os espectros para a maior profundidade do entalhe. 0,0E+00 2,0E-08 4,0E-08 6,0E-08 8,0E-08 1,0E-07 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 CE1 Sem Dano 0,0E+00 2,0E-08 4,0E-08 6,0E-08 8,0E-08 1,0E-07 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 CE1 h1=0,02 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 74 Figura 6. 10 - Espectros de Amplitude. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 Após a análise dos resultados obtidos poder-se-á concluir que, do ponto de vista da caracterização e identificação de dano, cujo comportamento seja linear para uma excitação de baixa frequência, as diferenças entre as respostas são praticamente desprezáveis, em regime permanente, o que torna a análise das amplitudes, periodicidade e do espectro de amplitudes inviável. Respostas para uma excitação harmónica de frequência ω = ω1 Neste capítulo, são apresentados os resultados para uma excitação próxima da ressonância da viga intacta. Ao contrário do verificado para uma excitação de baixa frequência, espera-se agora encontrar diferenças claras nas respostas calculadas. No caso CE2 apenas são representadas as respostas para a viga intacta e para a maior profundidade do entalhe. Resposta no tempo Atente-se nas figuras 6.11 e 6.12. A representação gráfica das respostas no tempo mostra que também para uma excitação próxima da ressonância, os sistemas apresentam, entre eles, um comportamento qualitativamente semelhante. Em todos os casos, as respostas são sinusoidais e simétricas em relação às amplitudes, o que deixa antever de novo que o deslocamento relativo das extremidades do entalhe, XA e XB, não é suficiente para que este se considere fechado, tal como se demonstra na figura 6.13. As respostas aparentam também ser periódicas com apenas uma 0,0E+00 5,0E-08 1,0E-07 1,5E-07 012345678910 CE2 h1=0,009 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 75 frequência e de envelope plana e traço uniforme, pelo que não se espera a existência de harmónicos. Figura 6. 11 - CE1 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 Figura 6. 12 – CE2 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 Ao contrário do verificado para uma solicitação de baixa frequência, observam-se agora respostas de amplitude visivelmente diferente. Ainda assim, essas amplitudes são de uma mesma ordem de grandeza, o que sugere que as vigas com entalhe são também elas excitadas numa zona próxima da ressonância. -3,0000E-03 -2,0000E-03 -1,0000E-03 0,0000E+00 1,0000E-03 2,0000E-03 3,0000E-03 4599 4600 4601 4602 4603 4604 4605 w(x,t)/h (t ω )/(2π) sem dano h1=0.01 h1=0.02 -1,2000E-02 -8,0000E-03 -4,0000E-03 0,0000E+00 4,0000E-03 8,0000E-03 1,2000E-02 12596 12597 12598 12599 12600 12601 12602 12603 w(x,t)/h (t ω )/(2π) sem dano h1=0.009 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 82 Tabela 6. 9 – CE2 Intacto. Frequências naturais [rad/s] pelo MEF-p e ANSYS®. Diferença [%]. Vigas encastradaslivres CE2 INTACTO MEF-p ANSYS® Diferença [%] 𝝎𝟏 631,3864 631,334459 0,008 𝝎𝟐 3911,5532 3910,15188 0,036 𝝎𝟑 10758,4347 10749,2734 0,085 𝝎𝟒 19581,0045 19580,9186 0,0004 𝝎𝟓 20566,8888 20535,9628 0,150 Tabela 6. 10 - Frequências naturais [rad/s] pelo MEF-p. Vigas com entalhe. Vigas encastradas-livres 𝝎𝟏𝒅 𝝎𝟐𝒅 𝝎𝟑𝒅 𝝎𝟒𝒅 𝝎𝟓𝒅 CE1 h1=0,01 256,8136 1585,7878 4350,5783 7960,7782 8316,4379 CE1 h1=0,02 257,294 1584,3958 4342,3153 7969,6967 8304,3929 CE2 h1=0,001 630,2937 3910,4816 10744,619 19569,673 20563,933 CE2 h1=0,009 621,5944 3903,1046 10646,6267 19300,9826 20543,8155 Verificou-se alguma dificuldade na convergência dos resultados das vigas com dano, para o caso CE1. Por esse motivo, e tendo em conta a regularidade e linearidade dos resultados até agora obtidos, para as excitações às frequências ω = ω1 e ω = ω1/3 apenas são apresentadas as respostas para o caso CE2, cuja convergência à primeira frequência natural foi garantida com e sem dano. Como referido no final do capítulo anterior, mostram-se ainda os resultados obtidos para uma excitação ao segundo modo de vibração para o caso CE1, onde foi atingida convergência para a segunda frequência natural, ω2d. O objectivo é verificar se realmente existe alguma hipótese de o entalhe fechar. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 83 Respostas para uma excitação harmónica de frequência ω = ω1/3 Resposta no tempo Na figura 6.20 são expostas as respostas no tempo para o caso CE2. Figura 6. 20 - CE2 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 Tal como para vigas duplamente encastradas, a presença do entalhe à superfície não parece influenciar a resposta do sistema, para uma solicitação de baixa frequência. O aumento de amplitude provocado pela presença do entalhe é quase desprezável e apenas visível na extremidade do movimento, para o caso de maior profundidade. Em todos os casos, foi obtida uma resposta sinusoidal, simétrica em relação às amplitudes de deslocamento e aparentemente periódica, de traço uniforme e envelope plana. Estas são características comuns a sistemas lineares periódicos e por isso não esperados harmónicos da frequência base. O comportamento linear da resposta para os sistemas com dano, indica que também nestes casos o entalhe não fecha, o que é comprovado pela seguinte figura, onde se mostra a posição dos pontos XA e XB, relativos às duas extremidades do entalhe, para o caso de maior dano. Observa-se, na figura 6.21, que a variação das posições dos dois pontos é imperceptível à escala do gráfico e que a posição relativa entre eles se mantém praticamente constante. -8,0000E-04 -6,0000E-04 -4,0000E-04 -2,0000E-04 0,0000E+00 2,0000E-04 4,0000E-04 6,0000E-04 8,0000E-04 3312,8 3313,6 3314,4 3315,2 3316 3316,8 w(x,t)/h (t ω )/(2π) sem dano h1=0.001 h1=0.009 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 84 Figura 6. 21 - Posição dos pontos XA e XB. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 Projecção no plano de fase As soluções, da figura 6.22, caracterizam-se por uma órbita fechada simétrica e não distorcida, de aparência elíptica. Confirma-se que a resposta é linear periódica, em regime permanente, qualquer que seja o estado do sistema. A não distorção da órbita implica que não deverão existir harmónicos no espectro de amplitudes. Verifica-se que, no que à resposta dinâmica diz respeito, para uma excitação de baixa frequência, não existe uma diferença significativa entre as respostas de um sistema intacto e de um sistema com um entalhe, que implica uma remoção de material, o que torna difícil a identificação deste tipo de dano. Ao mesmo tempo, será plausível concluir que para excitações de baixa frequência existirá uma maior segurança, do ponto de vista da integridade do sistema. Secção de Poincaré A figura 6.23 apresenta a intersecção da resposta com a secção de Poincaré. Quer para o sistema intacto como para os sistemas com dano, se verifica que a intersecção com a secção de Poincaré corresponde a um ponto discreto. Novamente se confirma que as respostas são periódicas de apenas uma frequência e, consequentemente, linear periódicas. Verifica-se também que variação da posição os pontos relativos aos casos com e sem dano é ínfima, quase desprezável, e de difícil identificação. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 85 Figura 6. 22 - CE2 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 Figura 6. 23 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 Espectro de amplitudes Na figura 6.24, o espectro de amplitudes da viga com entalhe confirma as conclusões já obtidas. Todos os sistemas são lineares e periódicos de apenas uma frequência base e as suas respostas não sofrem a influência de harmónicos. Verifica-se de novo a existência de “leakage”. As figuras seguintes são referentes ao espectro de amplitudes das vigas intacta e de maior profundidade de entalhe. -4,50E-03 -3,00E-03 -1,50E-03 0,00E+00 1,50E-03 3,00E-03 4,50E-03 -8,00E-04 -6,00E-04 -4,00E-04 -2,00E-04 0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h sem dano h1=0.001 h1=0.009 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004 0,0045 -5,00E-04 -4,00E-04 -3,00E-04 -2,00E-04 -1,00E-04 0,00E+00 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h sem dano h1=0.001 h1=0,009 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 86 Figura 6. 24 – CE2 Espectros de amplitudes. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 Respostas para uma excitação harmónica de frequência ω = ω1 Resposta no tempo A figura 6.25 mostra as respostas no tempo para o caso CE2 sem dano e para duas profundidades de entalhe. Figura 6. 25 - CE2 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1 Para uma excitação à primeira frequência natural da viga intacta, verifica-se que também para vigas encastradas as respostas apresentam características muito semelhantes entre si. Observam-se respostas sinusoidais, periódicas, simétricas em relação às amplitudes de deslocamento e de traço uniforme e envelope plana. Esperam-se, em todos os casos, sistemas lineares periódicos, sem harmónicos da frequência base. No que respeita às amplitudes do movimento, estas são tanto maiores quanto menor a profundidade do entalhe e claramente distintas. Ainda assim, são da mesma ordem de grandeza. 0,0E+00 2,0E-06 4,0E-06 6,0E-06 8,0E-06 012345678910 CE2 Sem Dano 0,0E+00 2,0E-06 4,0E-06 6,0E-06 8,0E-06 012345678910 CE2 h1=0,009 -6,0000E-01 -4,0000E-01 -2,0000E-01 0,0000E+00 2,0000E-01 4,0000E-01 6,0000E-01 10046,5 10047 10047,5 10048 10048,5 10049 10049,5 w(x,t)/h (t ω )/(2π) sem dano h1=0.001 h1=0.009 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 87 A justificação para este comportamento, tal como indicado para o caso de vigas duplamente encastradas, está relacionada com a pequena diminuição das frequências naturais, causada pela presença do entalhe. Pela equação (6.1), fica claro que a redução de massa causa por este tipo de dano compensa a queda de rigidez do sistema. Pela proximidade entre as frequências naturais, conclui-se que em todos os casos a excitação é próxima da zona de ressonância, o que explica um desfasamento entre respostas um pouco inferior a π/2 rad. O comportamento linear do sistema permite concluir também que o entalhe não fechará durante o tempo de excitação, como é explícito pela figura seguinte, que mostra que a posição relativa entre as duas extremidades do entalhe se mantém praticamente constante ao longo tempo, para ma profundidade de entalhe de 9mm. Figura 6. 26 - Posição dos pontos XA e XB do entalhe. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1 Projecção no plano de fase A figura 6.27 apresenta as projecções no plano de fase do caso de estudo, para as diferentes profundidades do entalhe. As projecções caracterizam-se por órbitas fechadas, não distorcidas e de aparência elíptica, o que indica que as soluções são lineares periódicas de uma frequência e ausência de harmónicos no espectro de amplitudes. Verifica-se também simetria das órbitas no plano de fase e amplitudes distintas, em concordância com o verificado nas respostas no tempo, tanto maiores quanto menor a profundidade do entalhe. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 88 Figura 6. 27 - CE2 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1 Secção de Poincaré Como se observa na figura 6.28, a intersecção das respostas no tempo com a secção de Poincaré é, em todos os casos, um ponto discreto. Confirma-se que as respostas são periódicas de uma só frequência base, como tal como já se tinha concluído pelas anteriores representações gráficas. Observa-se ainda um afastamento dos pontos relativos ao dano, em relação ao sistema intacto, resultante da diferença de amplitudes de resposta. Figura 6. 28 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω1 -4,00E+00 -2,00E+00 0,00E+00 2,00E+00 4,00E+00 -6,00E-01 -3,00E-01 0,00E+00 3,00E-01 6,00E-01 (2πv(x,t))/ωh) sem dano h1=0.001 h1=0.009 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 -5,00E-01 -4,00E-01 -3,00E-01 -2,00E-01 -1,00E-01 0,00E+00 (2πv(x,t))/ωh) sem dano h1=0.001 h1=0.009 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 89 Espectro de amplitudes Os espectros de amplitudes agora apresentados, na figura 6.29, mostram a existência de apenas uma frequência na resposta dos sistemas, mostrando que todas as soluções são lineares periódicas. É visível a existência de um pequeno pico, de amplitude desprezável, no segundo harmónico, mesmo no caso da viga intacta, o que leva a concluir que se trata novamente de uma caso de “leakage”. Figura 6. 29 - CE2 Espectros de amplitudes. Regime Permanente. Viga encastrada. ω = ω1 Respostas para uma excitação harmónica de frequência ω = ω2d Os resultados até agora obtidos são referentes a excitações à primeira frequência natural de vibração. A distribuição espacial dos pontos de cada viga, ao longo do tempo, é modelada pela primeira forma natural de vibração. Para vigas duplamente encastradas, o primeiro modo caracteriza-se por amplitudes de deslocamento máximas no centro da viga, posição para a qual o declive da tangente é nulo e, por isso, também será a rotação. Para vigas encastradas-livres, a máxima amplitude e rotação dão-se na extremidade livre. Em nenhum dos casos analisados se observou um comportamento bilinear do entalhe. Com o objectivo de avaliar até que ponto será seguro afirmar que, em condições normais, o entalhe nunca fechará, introduz-se uma excitação à segunda frequência de vibração de uma viga encastrada-live. A existência de um nodo, ponto onde o deslocamento é nulo mas a rotação da viga é máxima, poderá ser um factor suficiente para promover o fecho do entalhe. De forma a potenciar este efeito a frequência de excitação será igual à segunda frequência natural da viga CE1 com entalhe, ω2d. De início assumir-se-á que a frequência de excitação é correspondente a um entalhe sempre aberto. Caso se verifique algum comportamento bilinear, ou tendência para tal, no sentido em que as amplitudes de resposta a esta excitação não tenham 0,0E+00 5,0E-04 1,0E-03 1,5E-03 2,0E-03 012345678910 CE2 Sem Dano 0,0E+00 5,0E-05 1,0E-04 1,5E-04 2,0E-04 012345678910 CE2 h1=0,009 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 90 um aumento considerável, então ajustar-se-á a frequência de excitação à segunda frequência natural bilinear do sistema (equação 6.5). Resposta no tempo Na figura 6.30, apresenta-se a representação gráfica das respostas no tempo para a viga intacta e para uma profundidade de entalhe h1=0,02m. Figura 6. 30 – CE1 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω2d Verifica-se novamente que a presença do entalhe não aparenta influenciar a linearidade da resposta no tempo. Tanto na presença de dano como na sua ausência, a resposta é sinusoidal, simétrica em relação à amplitude de deslocamento e aparenta ter um período definido. Aliás, a expectável periodicidade da resposta é reforçada pelo traço uniforme que esta exibe e pela envelope plana. Não são esperados harmónicos da frequência base e tudo indica que o sistema, antes e após abertura do entalhe, será linear periódico, em regime permanente. Tal como esperado para uma excitação próxima da ressonância, a amplitude da resposta da viga com entalhe é claramente superior à da intacta. Note-se, contudo, que ambas são da mesma ordem de grandeza, o que deixa antever que, na verdade, as frequências de ressonância das duas vigas são bastante próximas à frequência de excitação. Outra indicação dessa possibilidade é o desfasamento não nulo e inferior a π/2 rad, entre as duas respostas, o que indica uma razão de frequências próxima da unidade, para os dois sistemas. A justificação para esta proximidade de frequências foi já abordada no subcapítulo 6.2.1.1, para a excitação ω = ω1. -6,0000E-03 -4,0000E-03 -2,0000E-03 0,0000E+00 2,0000E-03 4,0000E-03 6,0000E-03 17670 17671,5 17673 17674,5 17676 17677,5 w(x,t)/h (t ω )/(2π) sem dano h1=0.02 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 91 A figura 6.31 explicita a posição relativa, ao longo do comprimento da viga, das extremidades do entalhe, XA e XB. Novamente se mostra que a posição relativa destes pontos se mantém praticamente constante no tempo e que o entalhe não fecha. Figura 6. 31Posição dos pontos XA e XB. Regime Permanente. Viga encastrada-livre. ω = ω2d Projecção no Plano de Fase A projecção no plano de fase, da solução dos sistemas intacto e com entalhe resulta em órbitas fechadas e de aparência elíptica, o que indica que os sistemas são periódicos e apenas contém uma frequência. A simetria e a não distorção das órbitas mostram que o sistema também é linear, mesmo na presença do entalhe, e como tal não se esperam harmónicos da frequência fundamental. As maiores dimensões da órbita relativa à viga com dano são provenientes da maior proximidade da zona de ressonância destas vigas à frequência de excitação. A figura 6.32 apresenta as projecções no plano de fase do caso CE1. Secção de Poincaré A figura 6.33 mostra que a intersecção com a secção de Poincaré é, tanto para a viga intacta como para a viga com entalhe, um ponto discreto, o que implica que as respostas sejam periódicas sem duplicação de período, tal como confirmado nas representações gráficas anteriores. Confirma-se que o sistema é linear periódico, antes e depois da abertura do entalhe, Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 98 Figura 6. 38 - CE Plano de Fase. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 Figura 6. 39 - CE2 Plano de Fase. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 Secção de Poincaré Pela observação das figuras 6.40 e 6.41, verifica-se que, após a abertura do entalhe, existe uma dispersão de pontos discretos que rapidamente se organiza numa evolução em espiral bastante regular e ordenada, até ao ponto referente ao regime permanente. Este comportamento mostra que a tendência para a resposta de cada sistema entrar num movimento descontrolado, possivelmente com algumas características de movimento caótico, é prontamente travada. Tal acontece devido à acção da excitação harmónica e à dissipação do transiente, que forçará o sistema para um movimento periódico. -0,000025 -0,00002 -0,000015 -0,00001 -0,000005 0 0,000005 0,00001 0,000015 0,00002 0,000025 -4,00E-06 -3,00E-06 -2,00E-06 -1,00E-06 0,00E+00 1,00E-06 2,00E-06 3,00E-06 4,00E-06 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h h1=0.02_abertura sem dano h1=0.02 - estacionário -0,00008 -0,00006 -0,00004 -0,00002 0 0,00002 0,00004 0,00006 0,00008 -1,50E-05 -1,00E-05 -5,00E-06 0,00E+00 5,00E-06 1,00E-05 1,50E-05 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h abertura sem dano h1=0.009-estacionário Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 99 A evolução em espiral, não fosse a dissipação do transiente ao longo do tempo, daria origem, muito provavelmente, a uma órbita fechada e regular, na secção de Poincaré, se todas as outras características dos sistemas se mantivessem constantes. Isto parece aproximar novamente as respostas a oscilações quási periódicas temporárias, de duas frequências. Figura 6. 40 – CE1 Secção de Poincaré. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 Figura 6. 41 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 0,0000195 0,00002 0,0000205 0,000021 0,0000215 0,000022 0,0000225 -3,00E-07 -2,50E-07 -2,00E-07 -1,50E-07 -1,00E-07 -5,00E-08 0,00E+00 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h aberura sem dano h1=0,02 - estacionário 0,0000608 0,0000616 0,0000624 0,0000632 0,000064 0,0000648 0,0000656 0,0000664 -1,20E-07 -8,00E-08 -4,00E-08 0,00E+00 4,00E-08 8,00E-08 1,20E-07 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h aberura pós aberura sem dano Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 100 Respostas para uma excitação harmónica de frequência ω = ω1 Resposta no tempo A figura 6.42 apresenta a resposta no tempo, desde o instante de abertura, para o caso CE2. À escala do gráfico, apenas é visível a envelope da resposta, uma vez que os ciclos individuais são imperceptíveis. Verifica-se uma grande queda da amplitude de resposta, em virtude de a frequência de ressonância da viga com entalhe ser inferior à da intacta. Figura 6. 42 - CE2 Resposta no Tempo. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 Na figura 6.42, a resposta no tempo apresenta duas fases distintas. Uma primeira onde a resposta é principalmente modelada por um decaimento das amplitudes bastante acentuado, e uma segunda fase para a qual as amplitudes variam entre intervalos bem definidos e onde a resposta é modela em amplitudes. Quando o entalhe abre a meio do movimento, verifica-se, após a queda inicial da resposta, que a amplitude do transiente dos sistemas danificados é superior à do transiente existente quando estes partem do repouso (não representado). Este efeito pode ser justificado pela grande queda de amplitudes num curtíssimo período de tempo, após a abertura do entalhe, que obrigará a uma repentina e elevada desaceleração do sistema até que seja atingida a amplitude mínima, que terá de ser libertada sob a forma de energia. Observa-se que o efeito é tanto maior quanto maior a razão de profundidade do entalhe. Tal poderá ser explicado pela conjugação de dois efeitos distintos, mas interligados. O primeiro está relacionado com a diminuição das frequências naturais na presença de dano. Quanto maior a profundidade do entalhe, maior será a queda da rigidez do sistema, que se sobrepõe ao efeito Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 101 da redução de massa, e de acordo com a equação (6.1), maior será a diminuição das frequências naturais. Nesse cenário, também a diferença entre as amplitudes de resposta, antes e depois, aumenta e como resultado a desaceleração imposta será também ela superior. O segundo efeito é a aplicação directa da segunda lei de Newton. Considerando a força de excitação igual em todos os casos, a redução de massa provocada pelo entalhe irá implicar obrigatoriamente uma maior aceleração do sistema. Em todos os instantes, o transiente é bastante ordenado e não caótico. A figura 6.43 mostra que aos 0,3s após a abertura do entalhe no caso CE2, embora de amplitude em queda acentuada correspondente à primeira fase do movimento, a resposta apresenta um período bem definido e apenas é visível, na extensão do gráfico, uma frequência. Figura 6. 43 – CE2 Resposta no Tempo 0,3s após abertura do entalhe. Viga duplamente encastrada. ω = ω1. Na segunda fase do movimento, a resposta transiente é modelada em amplitude, onde a amplitude mínima se aproxima já à da resposta em regime transiente, e onde a amplitude máxima é imposta quase na totalidade pelo efeito transiente. Identificam-se duas frequências de resposta, uma rápida referente à excitação harmónica e outra lenta imposta pela resposta natural. Verifica-se uma evolução rápida dos sistemas no sentido do regime permanente. As figuras 6.44 e 6.45 mostram, para os casos CE1 e CE2, um reduzido efeito do transiente passados 5s e 3,3s após a abertura do entalhe, respectivamente. -6,00E-03 -4,00E-03 -2,00E-03 0,00E+00 2,00E-03 4,00E-03 6,00E-03 6504 6506 6508 6510 6512 6514 6516 6518 6520 6522 w(x,t)/h (t ω )/(2π) Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 102 Projecção no plano de fase A abertura do entalhe não cria distúrbios significativos na resposta. Aliás, esses distúrbios são praticamente desprezáveis. Tal se verifica pela evolução em espiral do transiente, desde a resposta sem dano até ao regime permanente do novo estado dos sistemas. A homogeneidade e regularidade das órbitas deixa indicam que não deverão existir harmónicos de elevada intensidade. Tal pode ser observado nas figuras 6.46 e 6.47. Figura 6. 44 – CE1 Resposta no Tempo 5s após abertura do entalhe. Viga duplamente encastrada. ω = ω1. Figura 6. 45 – CE2 Resposta no Tempo 3,3s após abertura do entalhe. Viga duplamente encastrada. ω = ω1. -8,00E-04 -6,00E-04 -4,00E-04 -2,00E-04 0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 3855 3860 3865 3870 3875 3880 3885 w(x,t)/H (t ωe )/(2π) -2,50E-03 -2,00E-03 -1,50E-03 -1,00E-03 -5,00E-04 0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03 2,00E-03 2,50E-03 8360 8365 8370 8375 8380 8385 8390 8395 w(x,t)/h (t ω )/(2π) Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 103 Figura 6. 46 - CE1 Plano de Fase. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 Figura 6. 47 - CE2 Plano de Fase. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 Secção de Poincaré Tal como a projecção no plano de fase, a intersecção das respostas na secção de Poincaré não mostra sinais de desordem. Verifica-se uma evolução em espiral, desde o ponto estacionário, antes da abertura do entalhe, até ao ponto referente ao novo equilíbrio dinâmico. Esta evolução indica uma aproximação do regime transiente às características de uma resposta quási periódica de duas frequências, que se caracteriza por uma órbita fechada na secção de Poincaré. Neste caso, se o efeito do transiente não se dissipasse, o movimento apresentaria, até que fosse retirada a excitação, duas frequências de resposta incomensuráveis. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 104 Figura 6. 48 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 Figura 6. 49 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Transiente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 6.2.2.2 VIGAS ENCASTRADAS-LIVRES Respostas para uma excitação harmónica de frequência ω = ω1/3 Resposta no tempo A figura 6.50 mostra a resposta no tempo do caso CE2, no instante de abertura da fenda, para tdano = 75s. Nota-se que o transiente para estas condições de fronteira é muito mais longo e um pouco mais acentuado, devido à maior liberdade de movimento numa das extremidades do sistema. -0,02 -0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 -3,00E-03 -2,00E-03 -1,00E-03 0,00E+00 1,00E-03 2,00E-03 (2πv(x,t))/ωe) w(x,t)/h abertura sem dano h1=0.02 - estacionário -0,06 -0,05 -0,04 -0,03 -0,02 -0,01 0 0,01 -8,00E-03 -6,00E-03 -4,00E-03 -2,00E-03 0,00E+00 2,00E-03 4,00E-03 6,00E-03 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h aberura sem dano h1=0,009 - estacionário Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 105 Figura 6. 50 - CE2 Resposta no Tempo. Regime Transiente. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 Verifica-se um aumento ligeiro da amplitude da resposta, após abertura do entalhe. Identificam-se uma frequência rápida e uma outra bastante mais lenta, que durará até que a que resposta livre se dissipe. Estes resultados não são de todos inesperados, pois a análise em regime permanente já havia mostrado que a presença de um entalhe não afecta a linearidade do sistema, o que implica que o desequilíbrio causado pelo sua abertura também não será significativo. No entanto, para uma excitação à frequência ω = ω1/3, verifica-se que a frequência rápida é imposta pela frequência de excitação e a lenta pela resposta livre. Sendo este movimento caracterizado por β<1, seria de esperar o contrário. Sem provas experimentais não será possível concluir nada em concreto em relação a este efeito. A resposta transiente resultante causada pelo entalhe é bastante ordenada e, além disso, apresenta simetria e de duas frequências. Aproxima-se por isso das características de uma resposta quási periódica, com um movimento oscilatório quási periódico de duas frequências, temporário. [20] Projecção no plano de fase Após a abertura do entalhe, verifica-se um ligeiro aumento das dimensões da órbita. Enquanto dura o transiente, a órbita não fecha e verifica-se um movimento em torno da posição de regime permanente. Outra solução no plano não seria de esperar uma vez que as respostas antes e depois da abertura do entalhe são quase sobrepostas. Verifica-se que órbitas são -8,00E-04 -6,00E-04 -4,00E-04 -2,00E-04 0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 2470 2480 2490 2500 2510 2520 2530 2540 2550 2560 2570 w(x,t)/h (t ω )/(2π) Abertura Sem Dano Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 106 distorcidas pela acção do transiente, principalmente num fase inicial, o que indica que deverão existir harmónicos, embora de curtíssima duração. Essa distorção é bem visível na figura 6.51, correspondente a um instante de 0,1s após a abertura do entalhe. A órbita aparenta estar fechada, mas não está! Esta ilusão revela a rápida tendência do sistema para evoluir para um movimento linear e periódico, criando por isso um transiente bastante fraco. Figura 6. 51 - CE2 Plano de Fase 0,1s após abertura do entalhe. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 A forte tendência da resposta evoluir no sentido de um movimento linear periódico é também explicitada na figura 6.52, que corresponde a um instante de tempo apenas 0,3s depois do anterior. A distorção das órbitas é consideravelmente menor! Figura 6. 52 - CE2 Plano de Fase 0,4s após abertura do entalhe. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 -0,006 -0,004 -0,002 0 0,002 0,004 0,006 -8,00E-04 -4,00E-04 0,00E+00 4,00E-04 8,00E-04 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h -0,006 -0,004 -0,002 0 0,002 0,004 0,006 -8,00E-04 -4,00E-04 0,00E+00 4,00E-04 8,00E-04 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 107 A projecção da solução no plano de fase é exposta na figura 5.63, e mostra a evolução do sistema desde o estado de equilíbrio dinâmico anterior à abertura do entalhe até ao novo equilíbrio após dano. Figura 6. 53 - CE2 Plano de Fase. Regime Transiente. Viga encastrada-livre. ω = ω1/3 Secção de Poincaré Pela observação da figura 6.54, verifica-se que, após a abertura do entalhe, existe uma pequena dispersão de pontos discretos que rapidamente se organiza numa evolução em espiral bastante regular e ordenada, até ao ponto referente ao regime permanente. A evolução em espiral, aproxima novamente as respostas a oscilações quási periódicas temporárias, de duas frequências [20]. Respostas para uma excitação harmónica de frequência ω = ω1 Resposta no tempo A figura 6.55 apresenta a resposta no tempo, desde o instante tdano = 75s, até 25s após a abertura do entalhe. À escala do gráfico, apenas é visível a envelope da resposta. Verifica-se uma grande queda das amplitudes, uma vez que a viga com dano não é excitada na sua zona de ressonância. -0,006 -0,004 -0,002 0 0,002 0,004 0,006 -8,00E-04 -6,00E-04 -4,00E-04 -2,00E-04 0,00E+00 2,00E-04 4,00E-04 6,00E-04 8,00E-04 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h Abertura Sem Dano h1=0,009 estacionário Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 114 até que um novo equilíbrio seja atingido e o transiente totalmente dissipado, a órbita não irá fechar, característica essa de uma resposta quási periódica de duas frequências. Figura 6. 64 - CE1 Plano de Fase no instante de abertura entalhe. Viga encastrada-livre. ω = ω2d A figura 6.65 apresenta a evolução completa da projecção no plano de fase. Figura 6. 65 - CE1 Plano de Fase. Regime Transiente. Viga encastrada-livre. ω = ω2d -0,008 -0,006 -0,004 -0,002 0 0,002 0,004 0,006 0,008 -1,50E-03 -1,00E-03 -5,00E-04 0,00E+00 5,00E-04 1,00E-03 1,50E-03 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 115 Secção de Poincaré A intersecção da resposta com a secção de Poincaré, da figura 6.66, apenas reforça o já concluído. Verifica-se uma tendência para que seja iniciada uma curva em fora de espiral. No entanto, a fraca intensidade do transiente leva a uma evolução quase directa entre os pontos referentes aos equilíbrios dinâmicos do sistema, antes e depois de aberto o entalhe. Figura 6. 66 - CE1 Secção de Poincaré. Regime Transiente. Viga encastrada. ω = ω2d 6.3 FREQUÊNCIAS NATURAIS PELAS FUNÇÕES HERMITENAS, SEGUNDO A TEORIA DE TIMOSHENKO As tabelas 6.11 e 6.12 apresentam os valores obtidos, para os primeiros cinco modos de vibração, com a introdução das novas funções no modelo de elementos finitos deste capítulo. A primeira é referente à viga intacta, onde na última coluna se apresentam as frequências obtidas com as tradicionais funções cúbicas de Hermite. A segunda é relativa à viga com dano e segue a mesma organização. Os resultados são referentes ao caso CE1, para as vigas encastradas-livres intacta e de maior profundidade de entalhe. -0,02 -0,015 -0,01 -0,005 0 0,005 0,01 -5,00E-03 -4,00E-03 -3,00E-03 -2,00E-03 -1,00E-03 0,00E+00 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h Abertura Sem Dano h1=0,02 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 116 Tabela 6. 11 – CE1 Intacto. Frequências naturais [rad/s] pelas novas funções vs. funções tradicionais 12 GL 18 GL 22 GL 26 GL 28 GL 30 GL Funções EB (27GL) 𝝎𝟏 256,3575 256,3486 256,3464 256,3430 256,3428 256,3427 256,3429 𝝎𝟐 1588,507 1588,232 1588,161 1588,097 1588,087 1588,070 1588,092 𝝎𝟑 4369,659 4368,403 4368,077 4367,968 4367,895 4367,837 4367,931 𝝎𝟒 7949,888 7949,888 7949,888 7949,888 7949,888 7949,888 7949,888 𝝎𝟓 8358,547 8352,791 8351,305 8350,314 8350,052 8349.842 8350,179 Tabela 6. 12 - CE1 com entalhe. Frequências naturais [rad/s] pelas novas funções vs. funções tradicionais 12 GL 18 GL 22 GL 26 GL 28 GL 30 GL Funções EB (27GL) 𝝎𝟏 257,3178 257,3058 257,3003 257,2940 257,2928 257,2915 257,2940 𝝎𝟐 1585,926 1585,259 1584,822 1584,406 1584,278 1584,106 1584,396 𝝎𝟑 4354,206 4349,396 4345,677 4342,342 4341,215 4339,688 4342,315 𝝎𝟒 7972,495 7971,536 7970,619 7969,701 7969,406 7968,961 7969,697 𝝎𝟓 8334,834 8320,817 8312,224 8304,550 8302,142 8298,859 8304,393 Como é possível observar, não são obtidas melhorias em relação aos resultados conseguidos com as tradicionais funções cúbicas de Hermite. Tanto para viga intacta como para a viga com dano observa-se que os valores das frequências obtidas pelas funções tradicionais, com 27 graus de liberdade, estão dentro do intervalo definido entre os valores das frequências calculado com as novas funções, para 26 e 28 GL. Ou seja, conclui-se que não se verifica qualquer melhoria em relação à convergência das frequências naturais, pelo menos na aplicação destas funções a problemas unidimensionais. 6.4 FECHO DO CAPÍTULO No capítulo que agora se encerra, foram apresentados os resultados para a excitação dos casos CE1 e CE2 a diferentes frequências e para as condições de fronteira de duplo encastramento e encastrado-livre. A solução dinâmica dos sistemas foi apresentada sob a forma de representações gráficas da resposta no tempo, planos de fase, secções de Poincaré e espectros de amplitudes. Em regime permanente, a principal conclusão a retirar é a confirmação do comportamento linear do entalhe. Verificou-se que o entalhe se mantém sempre aberto, tanto a baixas como a altas frequências. De uma forma geral, independentemente da frequência de excitação, em regime permanente, as respostas no tempo são simétricas, regulares com um Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 117 período bem definido, de envelope plana e de traço uniforme. Estas características identificam claramente respostas lineares e periódicas. Nesse sentido, as projecções nos planos de fase mostram órbitas fechadas de aparência elíptica, simétricas e não distorcidas e as intersecções com a secção de Poincaré apresentam apenas um ponto discreto, em cada caso. Conclui-se que para excitações de baixas frequências, a presença do entalhe não tem praticamente qualquer influência na dinâmica dos sistemas, quer em vigas encastradas-livres quer nas duplamente encastradas. Contrariamente, para excitações na zona de ressonância, verifica-se que a presença do entalhe origina respostas distintas. Para uma excitação à primeira frequência natural da viga intacta, 𝜔1, observa-se que as respostas das vigas com entalhe são de amplitude inferior às daquelas sem entalhe, como seria de esperar. Do mesmo modo, no caso de vigas encastradaslivres, a uma excitação à segunda frequência natural da viga com entalhe, 𝜔2𝑑, verifica-se que a viga danificada tem um movimento de amplitudes mais elevadas. Ainda assim, essas diferenças de amplitude, não se traduzem em movimentos de ordens de grandeza distintas. Este facto é de importante consideração, pois revela que a presença de um entalhe não causa um decréscimo significativo das frequências naturais de vibração. Este fenómeno é explicado pela redução local de massa, típica deste tipo de dano, que compensa o decréscimo da rigidez do sistema. Como se demonstrou, a razão de frequência das vigas com entalhe é muito pouco superior à unidade e, por esses motivos, o desfasamento entre as respostas com e sem dano inferior a π/2 rad. Assim, do ponto de vista da detecção de dano, a análise da dinâmica em regime permanente é pouco esclarecedora. A análise da resposta em regime transiente mostra algumas particularidades interessantes. A uma excitação de baixas frequências, nos instantes logo após a abertura do entalhe, verifica-se um discreto aumento das amplitudes do movimento, com um transiente de intensidade inferior ao que se verifica quando o sistema danificado parte do repouso. À frequência 𝜔=𝜔1, observa-se que a rápida queda de amplitudes da resposta vibratória origina uma resposta transitória modelada em amplitude. Para uma excitação à frequência 𝜔2𝑑, verifica-se um aumento gradual das amplitudes, como seria de esperar. Em todos os casos, as órbitas nos planos de fase apresentam ligeiras distorções, que indicam a existência de harmónicos, e a secção de Poincaré mostra uma evolução em espiral entre os equilíbrios dinâmicos, antes e após a ocorrência de dano. Uma das características mais importantes das respostas em regime transiente é o facto de estas apresentarem duas frequências, uma imposta pela excitação harmónica e outra que se dissipará. Franco et al. [20] descrevem este tipo de transientes como oscilações quási periódicas temporárias, por estes apresentarem características semelhantes àquelas de movimentos quási periódicos, em regime permanente. Esta interpretação é exponenciada pelas curvas em espiral na secção de Poincaré, Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 118 que resultam da variação das amplitudes no tempo. Caso a resposta transitória não se dissipasse, então as curvas seriam fechadas, características de um movimento quási periódico de duas frequências, de acordo com a definição dada na referência [31]. No final do capítulo, foram ainda apresentados os resultados obtidos, na forma das cinco primeiras frequências naturais, pela aplicação das funções hermiteanas baseadas na teoria de Timoshenko. Mostrou-se que, pelo menos na aplicação em modelos unidimensionais estas funções de forma não trazem qualquer vantagem na convergência dos resultados. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 119 CAPÍTULO 7 RESPOSTA DINÂMICA DE VIGAS COM FENDA 7.1 INTRODUÇÃO Neste capítulo, são apresentados e discutidos os resultados obtidos com o modelo de elementos finitos baseado na teoria de vigas com dano de Christides e Barr. Considera-se não só a redução local de rigidez, devido à existência da fenda numas das superfícies da viga, como também efeito de abertura e fecho da mesma, que transformará o sistema intacto de comportamento linear num sistema bilinear, consequência da alternância no tempo e no espaço da rigidez que modela a resposta. De forma a estudar em detalhe o comportamento de uma viga sujeita ao efeito bilinear de uma fenda é de todo o interesse analisar e comparar as respostas, em regime permanente, antes e após a ocorrência de dano na superfície. É então definida uma constante real positiva tdano, referente a esse instante de transição. É também analisada resposta do sistema nos instantes após a abertura da fenda, sujeita a um efeito transiente, e cuja compreensão poderá ser útil do ponto de vista da detecção do dano. São apresentados dois casos de estudo, CE1 e CE2, de dimensões distintas apresentadas na tabela 6.11. Cada caso será avaliado para a condição de fronteira de duplo encastramento e excitados por uma força harmónica de amplitude constante, F. Os casos CE1 e CE2 são excitados por duas frequências de excitação, 𝜔=𝜔1/3 e 𝜔=𝜔1, onde 𝜔1 é a primeira frequência natural da viga sem dano. Exclusivamente para o caso CE1, são também apresentados resultados para uma excitação segundo a primeira frequência natural da viga com dano, 𝜔1𝑑. A escolha destas frequências relaciona-se com o interesse em estudar a resposta vibratória para uma solicitação de baixa frequência e para uma solicitação na zona de ressonância. São também comparadas duas fendas de profundidades diferentes em cada CE. Convém referir ainda que, para evitar que a resposta no tempo apresente amplitudes excessivas que estejam para lá do ideal para um modelo de vigas finas (diga-se uma amplitude de resposta menor ou igual a 10% a espessura da viga), a amplitude da força de excitação é para Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 120 todos os casos de somente 0,5N. A figura 7.1 apresenta uma representação esquemática de uma viga e das suas medidas, para a condição de fronteira de duplo encastramento. Figura 7. 1 - Dimensões de uma viga com fenda duplamente encastrada Neste modelo, PO é o número de graus de liberdade do sistema, neste caso apenas segundo a direcção transversal. Para todos os CE, o material escolhido foi o alumínio. As tabelas seguintes apresentam os dados relativos aos dois modelos. Tabela 7. 1 - Dimensões geométricas da viga e fenda. Vigas duplamente encastradas l[m] h[m] b[m] h1[m] h/l h1/h lc[m] CE1 1,0 0,05 0,025 0,01 0,02 0,05 0,2 0,4 0,000 CE2 0,406 0,0203 0,02 0,001 0,009 0,05 0,049 0,443 0,07515 Tabela 7. 2 - Propriedades materiais e graus de liberdade. Vigas duplamente encastradas E [Pa] ρ [kg/m3] ν β ξ [32] PO CE1 7,172E10 2800 0,33 4,89e-7 4E-4 20 CE2 7,172E10 2800 0,33 1,98E-7 4E-4 20 A validação do modelo de elementos finitos para a viga intacta é feita por comparação dos valores das frequências naturais de vibração, por ele calculados, com os mesmos valores obtidos pela solução exacta apresentada na tabela 4.1 Os resultados apresentam-se nas tabelas 7.3 - 7.5. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 121 Tabela 7. 3 - CE1 Intacto. Frequências naturais [rad/s] pelo MEF-p e teoria EB. Diferença [%]. Viga duplamente encastrada CE1 INTACTO MEF-p Teoria EB Diferença [%] 𝝎𝟏 1634,3695 1634,34 0,002 𝝎𝟐 4505,2026 4505,20 5,99E-05 𝝎𝟑 8831,9985 8831,99 1E-04 𝝎𝟒 14599,742 14599,6 0,001 𝝎𝟓 21809,496 21809,4 4E-04 Tabela 7. 4 - CE1 Intacto. Frequências naturais [rad/s] pelo MEF-p e teoria EB. Diferença [%]. Viga duplamente encastrada CE2 INTACTO MEF-p Teoria EB Diferença [%] 𝝎𝟏 4025,5408 4025,4734 0,002 𝝎𝟐 11096,558 11096,545 1E-04 𝝎𝟑 21753,691 21753,676 7E-05 𝝎𝟒 35959,956 35959,674 8E-04 𝝎𝟓 53717,971 53717,652 6E-04 Tabela 7. 5 - Frequências naturais [rad/s] pelo MEF-p. Vigas com fenda. Viga duplamente encastrada 𝝎𝟏𝒅 𝝎𝟐𝒅 𝝎𝟑𝒅 𝝎𝟒𝒅 𝝎𝟓𝒅 CE1 h1=0,01 1564,0744 4467,2452 8416,6770 14332,737 20972,203 CE1 h1=0,02 1435,0237 4365,4570 7786,4332 13673,155 19735,870 CE2 h1=0,001 4013,1154 10998,081 21686,384 35772,160 53286,797 CE2 h1=0,009 3766,0625 9591,1559 20300,307 32428,423 47829,557 A solução da equação diferencial do movimento é obtida pela aplicação do método de Newmark. A análise das soluções será feita com base em quatro representações gráficas: resposta no tempo, projecção no plano de fase deslocamento vs. velocidade, secção de Poincaré e espectro de amplitudes. As conclusões e comentários feitos aos resultados obtidos são referenciados, regra geral, pelo trabalho de Nayfeh e Balachandran [31]. Quando necessário, outras referências são introduzidas. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 122 7.2 RESPOSTA DINÂMICA DE VIGAS EULER-BERNOULLI COM DANO 7.2.1 Resposta em regime permanente Respostas para uma excitação harmónica de frequência ω = ω1/3 Resposta no tempo As figuras 7.2 e 7.3 apresentam as respostas no tempo dos casos de estudo CE1 e CE2, para várias profundidades de fenda. Na ausência de dano na viga, as respostas no tempo em ambos os casos são sinusoidais, simétricas em relação às amplitudes e periódicas. Outro resultado não seria de esperar, pois sabe-se à partida que a resposta vibratória, em regime permanente, de uma viga de secção intacta e uniforme é caracterizada por um movimento linear-periódico. As respostas das vigas com dano caracterizam-se principalmente pela sua assimetria em relação às amplitudes. Verifica-se que essa assimetria se deve quase na totalidade a um aumento da magnitude máxima no movimento descendente, correspondente a uma curvatura positiva da viga e para a qual se considera aberta a fenda. Conclui-se assim, que o aumento local de flexibilidade, e inversamente a diminuição da rigidez, é o principal responsável por esta particularidade e que quanto maior a profundidade da fenda maior será a assimetria. Figura 7. 2 - CE1 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 -6,0000E-06 -5,0000E-06 -4,0000E-06 -3,0000E-06 -2,0000E-06 -1,0000E-06 0,0000E+00 1,0000E-06 2,0000E-06 3,0000E-06 4,0000E-06 8694,2 8694,4 8694,6 8694,8 8695 8695,2 8695,4 8695,6 8695,8 w(x,t)/h (t ω )/(2π) sem dano h1=0.01 h1=0.02 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 123 Figura 7. 3 - CE2 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1/3 Nas figuras 7.2 e 7.3, observa-se que o limite superior da resposta para uma viga intacta, poderá ser considerado como um valor assimptótico no sentido em que, na existência de dano, o máximo atingido pela resposta no movimento ascendente tende para esse limite sem que nunca o atinja, ficando mais próxima quanto menor for o dano. Este é um comportamento característico de um sistema bilinear. Destaque-se a resposta do CE2 para h1=0,001m, para a qual é visível a aproximação assimptótica à resposta sem dano. A fenda é tão superficial que à escala da representação não é distinguível a diferença entre as respostas com e sem dano. A natureza bilinear do sistema implicará, em princípio, a existência de harmónicos da frequência de excitação. Particularmente, no caso CE1 para um a profundidade da fenda de 0,02m, é visível o que parece ser uma interferência na parte superior da resposta. A figura 7.4 mostra que esta interferência se repete no tempo, o que leva mais uma vez a adivinhar uma resposta periódica. Em todos os casos, com dano ou intactos, as respostas estão em fase no tempo, apresentam uma envelope plana, pelo que se afigura a existência de harmónicos fracos, e um traço uniforme característico de uma solução periódica. A periodicidade da resposta e a existência de harmónicos poderá ser confirmada na projecção no plano de fase. -1,5000E-05 -1,0000E-05 -5,0000E-06 0,0000E+00 5,0000E-06 1,0000E-05 1,5000E-05 10679 10679,5 10680 10680,5 10681 10681,5 10682 10682,5 10683 10683,5 10684 w(x,t)/h (t ω )/(2π) sem dano h1=0.001 h1=0.009 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 130 Figura 7. 14 - CE1 Zoom Resposta no Tempo com fenda. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 Figura 7. 15 - CE2 Zoom Resposta no Tempo com fenda. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 A disparidade das amplitudes das respostas é uma consequência da diminuição de rigidez provocada pela abertura da fenda, que por sua vez provoca uma diminuição das frequências naturais de vibração (equação. 6.1), de tal modo que a viga danificada não é excitada na sua zona de ressonância. A comprovar este facto, para além da diferença entre amplitudes, está o desfasamento no tempo, entre as respostas com e sem dano. Na verdade o desfasamento é entre as resposta dos sistemas e a força harmónica, que acaba por se reflectir num desfasamento entre elas próprias. Atente-se na figura 6.14, referente ao espectro do ângulo de fase. Nos exemplos do capítulo anterior, para uma excitação a um terço da frequência natural e para um amortecimento proporcional bastante baixo, o ângulo de fase entre respostas e -8,0000E-05 -6,0000E-05 -4,0000E-05 -2,0000E-05 0,0000E+00 2,0000E-05 4,0000E-05 6,0000E-05 8,0000E-05 20965 20966 20967 20968 20969 20970 20971 20972 w(x,t)/h (t ω )/(2π) h1=0.01 h1=0.02 -1,5000E-04 -1,0000E-04 -5,0000E-05 0,0000E+00 5,0000E-05 1,0000E-04 1,5000E-04 64058 64060 64062 64064 64066 64068 64070 64072 w(x,t)/h (t ωh )/(2π) Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 131 excitação harmónica será praticamente o mesmo em cada caso, de valor aproximadamente nulo. Para uma frequência de excitação tão elevada como a primeira frequência natural da viga intacta, essa aproximação já não pode ser feita, porque para a viga danificada a razão de frequências será superior à unidade e o angulo de fase entre resposta e excitação será claramente diferente. A figura mostra uma evolução em degrau para sistemas não amortecidos. Tendo em conta o amortecimento proporcional utilizado (ver tabela 7.2), é visível que para a viga com fenda, com β > 1, o ângulo de fase será perto de π radianos, enquanto para a viga intacta, β=1, será π/2 radianos. Se as respostas, para a mesma excitação harmónica, têm diferentes desfasamentos, então as duas respostas serão também elas desfasadas no tempo, de uma diferença entre os dois ângulos de fase. Em relação aos sinais apresentados nas figuras, conclui-se o seguinte. A resposta dos sistemas sem dano é sinusoidal, simétrica em relação às amplitudes e periódica. O sistema intacto é, tal como no capítulo anterior, linear periódico. Por seu lado, na presença de uma fenda com comportamento bilinear, a resposta é assimétrica, embora não de uma forma tão explicita, e aparenta ter um período bem definido. Novamente, são esperados também harmónicos pares no espectro de amplitudes. De notar, que no caso CE1 h1=0,02 (figura 7.15), já não se verificam as interferências no topo do movimento ascendente da viga. Projecção no Plano de Fase Nas figuras 7.16 e 7.17, tal como na representação da resposta no tempo, também as diferenças entre dimensões das projecções no plano de fase são de diferente ordem de grandeza. Para a viga intacta, em ambos os casos, a projecção no plano de fase caracteriza-se novamente por uma órbita regular e fechada, típica de um sistema linear periódico de apenas uma frequência base. A órbita é simétrica e não sofre qualquer distorção pelo que não esperados harmónicos. Note-se que nestas duas figuras são visíveis no centro do referencial as órbitas dos sistemas com dano, de amplitudes muito inferiores. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 132 Figura 7. 16 - CE1 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 Figura 7. 17 - CE2 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 -3,00E-02 -2,00E-02 -1,00E-02 0,00E+00 1,00E-02 2,00E-02 3,00E-02 -4,00E-03 -3,00E-03 -2,00E-03 -1,00E-03 0,00E+00 1,00E-03 2,00E-03 3,00E-03 4,00E-03 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h sem dano h1=0.01 h1=0.02 -8,00E-02 -6,00E-02 -4,00E-02 -2,00E-02 0,00E+00 2,00E-02 4,00E-02 6,00E-02 8,00E-02 -1,50E-02 -1,00E-02 -5,00E-03 0,00E+00 5,00E-03 1,00E-02 1,50E-02 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h sem dano h1=0.009 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 133 As figuras 7.18 e 7.19 mostram uma ampliação das projecções no plano de fase para as vigas com a maior de razão de profundidade da fenda. Figura 7. 18 - CE1 Zoom Resposta no Tempo h1=0,02. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 Figura 7. 19 - CE2 Zoom Resposta no Tempo h1=0,009. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 Em ambos os casos, a solução caracteriza-se por uma órbita fechada, muito próxima de uma elipse, assimétrica em relação às amplitudes de deslocamento, e apenas ligeiramente distorcida ao contrário do verificado no capítulo anterior, deixando assim antever a existência de harmónicos de baixa intensidade, tanto ímpares como pares. Por a solução no plano de fase ser uma órbita fechada de apenas um ciclo, então o sistema é claramente periódico e de apenas -0,0002 -0,00015 -0,0001 -0,00005 0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 -3,0000E-05 -2,0000E-05 -1,0000E-05 0,0000E+00 1,0000E-05 2,0000E-05 3,0000E-05 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h -0,0012 -0,0008 -0,0004 0 0,0004 0,0008 0,0012 -1,5000E-04 -1,0000E-04 -5,0000E-05 0,0000E+00 5,0000E-05 1,0000E-04 1,5000E-04 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 134 uma frequência base. Espera-se portanto um sistema não-linear periódico, mas muito próximo de ser linear, antevendo-se quase imperceptíveis os harmónicos existentes. Secção de Poincaré Nas figuras 7.20 e 7.21, em todos os casos, a intersecção na secção de Poincaré corresponde a um ponto discreto, o que indica a existência de apenas um período de resposta. Se se confirmar a existência de harmónicos no espectro de amplitudes, o sistema será com toda a certeza não-linear periódico. Figura 7. 20 - CE1 Secção de Poincaré. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 Figura 7. 21 - CE2 Secção de Poincaré. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 -0,0005 -0,0004 -0,0003 -0,0002 -0,0001 0 -4,00E-03 -3,50E-03 -3,00E-03 -2,50E-03 -2,00E-03 -1,50E-03 -1,00E-03 -5,00E-04 0,00E+00 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h sem dano h1=0.01 h1=0.02 -0,0009 -0,0008 -0,0007 -0,0006 -0,0005 -0,0004 -0,0003 -0,0002 -0,0001 0 -1,20E-02 -8,00E-03 -4,00E-03 0,00E+00 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h sem dano h1=0.009 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 135 Verifica-se, devido à diferença entre as amplitudes da resposta, um afastamento brusco, na secção de Poincaré, entre os pontos representativos dos sistemas com e sem dano. Esta particularidade, que também é observada na resposta no tempo e na projecção no plano de fase, poderá ser interessante do ponto de vista de detecção de fendas, no sentido em que a existência de dano fará com que o sistema mantenha respostas de baixa amplitude, numa zona do espectro em que seria de esperar o contrário. Espectro de amplitudes A figura 7.22 apresenta o espectro de amplitudes relativos ao sistemas intacto e de maior dano, para cada caso de estudo. Figura 7. 22 - Espectros de amplitudes. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1 Para a viga intacta, tal como previsto, não existem harmónicos da frequência base confirmando-se que o sistema é linear de resposta periódica. Confirma-se ainda que o comportamento bilinear de abertura e fecho da fenda provoca o aparecimento de harmónicos, embora o seu efeito seja aqui bastante reduzido, como se pode observar nos espectros relativos -2,0E-05 0,0E+00 2,0E-05 4,0E-05 6,0E-05 8,0E-05 1,0E-04 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 CE1 Sem Dano -2,00E-07 0,00E+00 2,00E-07 4,00E-07 6,00E-07 8,00E-07 012345678910 CE1 h1=0,02 -5,00E-07 0,00E+00 5,00E-07 1,00E-06 1,50E-06 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 CE 2 h1=0,009 Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 136 aos sistemas com dano. Observa-se que a acção do segundo harmónico é mais predominante no caso CE2 h1=0,009, de maior amplitude de resposta (ver figuras 7.14 7.15), sendo este um harmónico par que resulta da assimetria da resposta no tempo. Respostas para excitações harmónicas de frequência ω = ω1d e ω = ωb A comparação directa entre os resultados dos dois capítulos anteriores mostra a existência de dois comportamentos vincadamente distintos. Para uma excitação de baixa frequência, β<1, a resposta dinâmica é modelada pela geometria da viga e da fenda. Para a mesma viga, as amplitudes são de igual ordem de grandeza, e verifica-se que quanto maior a razão de profundidade de fenda h1/h, maior será a amplitude da resposta no tempo e dos harmónicos da frequência base. Verifica-se também que quanto maior o comprimento, l, maior será a sensibilidade do sistema a um aumento da profundidade da fenda. Por outro lado, para uma excitação próxima do valor crítico, conclui-se que a resposta é modelada principalmente pelas características materiais do sistema, no sentido em que existência ou não de ressonância irá implicar amplitudes de resposta de ordens de grandeza distintas. À primeira frequência natural da viga intacta, ω1, as amplitudes são muito elevadas na ausência de dano. A redução local de rigidez, provocada pela fenda, resulta num afastamento da zona de ressonância e numa razão de frequências maior do que a unidade, β>1, fruto da redução das frequências naturais, pelo que as respostas serão de muito menor amplitude e desfasadas no tempo de um ângulo de aproximadamente π/2 rad, em relação à viga intacta. Verifica-se ainda que ao aumento da razão de profundidade de fenda maior será esse afastamento e, por isso, menor será a amplitude das respostas. É notória a menor excitação de harmónicos e uma atenuada não-linearidade do movimento de resposta. Conclui-se portanto que para esta excitação, com β>1, a presença de uma fenda tem o efeito contrário àquele verificado para uma solução de baixa frequência. Tendo em conta as diferenças apresentadas, será interessante analisar também qual o efeito de uma excitação harmónica à primeira frequência natural da viga com fenda e avaliar o tipo de resposta obtido. São apresentados resultados apenas relativos ao caso CE1 para o sistema intacta e para a fenda de maior profundidade, sendo fácil a extrapolação dos resultados para outros exemplos. Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 137 O comportamento bilinear do sistema implica que, durante o movimento oscilatório da viga, esta apresente dois valores distintos de rigidez ao longo de um período. O raciocínio mais fugaz levaria a pensar que existiriam também duas frequências naturais correspondentes a cada um dos valores de rigidez. No entanto, verifica-se a existência de um compromisso entre cada uma das partes do movimento bilinear, que se limitam uma à outra e definem um comportamento único e não composto por uma sobreposição de efeitos de duas partes distintas. Nesse sentido, Douka et al [17]., entre outros autores, apresentam a seguinte expressão para a frequência bilinear de uma viga: 𝜔𝑏=2𝜔1𝜔1𝑑 𝜔1+𝜔1𝑑 (7.1) onde 𝜔1 é frequência natural da viga intacta e 𝜔1𝑑 a frequência natural da viga com fenda, permanentemente aberta. Para o caso CE1, obtém-se: 𝜔𝑏=2×1634,3696×1435,0237 1634,3696+1435,0237 =1528,2232 𝑟𝑎𝑑/𝑠 (7.2) Resposta no tempo De forma a ser visível o impacto desta frequência bilinear no movimento do sistema, serão expostas, na figura 7.23, as respostas da viga com dano para excitações às frequências 𝜔1𝑑 e 𝜔𝑏. Figura 7. 23 - CE1 Resposta no Tempo. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1d e ω = ωb -6,0000E-03 -4,0000E-03 -2,0000E-03 0,0000E+00 2,0000E-03 4,0000E-03 36479,4 36480 36480,6 36481,2 36481,8 36482,4 36483 36483,6 w(x,t)/h (t ω )/(2π) sem dano h1=0.02 W1D h2=0,02 W=Wb Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 138 Antes de se proceder à análise das características das respostas, faça-se a seguinte observação às amplitudes do movimento, para as duas frequências de excitação. Verifica-se que, na presença da fenda, a amplitude da resposta para a excitação à frequência bilinear é de cerca de duas ordens de grandeza superior àquela da viga intacta. Esta disparidade valida de forma inequívoca o conceito de frequência bilinear introduzido, uma vez que se demonstra que a viga com dano é excitada na sua zona de ressonância. Atente-se na figura 7.24. Note-se que a resposta sem dano é sempre referente à frequência de excitação bilinear, que é superior a 𝜔1𝑑! Figura 7. 24 - CE1 Zoom Resposta no Tempo. Viga duplamente encastrada. ω = ω1d e ω = ωb A excitação à frequência 𝜔1𝑑 é claramente afastada da ressonância e apresenta mesmo amplitudes de uma excitação de baixa frequência, pelo que se espera que seja uma resposta modela pela geometria da viga e que apresente harmónicos relativamente intensos. No que respeita à resposta da viga sem dano, observa-se que esta é sinusoidal, simétrica em relação às amplitudes e de período constante. Apresenta um traço uniforme e uma envelope plana, o que indica que o sistema intacto é periódico. Por seu lado, a solução obtida à frequência bilinear é sinusoidal com offset, ou seja, é assimétrica. Uma assimetria deixa antever a presença de harmónicos da frequência base. Aparenta no entanto ser periódica e verifica-se ter um traço uniforme e envelope plana, pelo que se espera existirem harmónicos pares no espectro. Verifica-se um desfasamento de um ângulo de quase igual a π/2 rad, que reforça a anterior justificação referente à dinâmica de baixa frequência da resposta para 𝜔1𝑑. -4,0000E-05 -3,0000E-05 -2,0000E-05 -1,0000E-05 0,0000E+00 1,0000E-05 2,0000E-05 3,0000E-05 36479 36479,5 36480 36480,5 36481 36481,5 36482 36482,5 36483 36483,5 w(x,t)/h (t ω )/(2π) sem dano h1=0.02 W1D Análise de Vibrações Não-lineares de Vigas com Dano, pelo MEF tipo-p 139 Projecção no plano de fase Tal como na representação da resposta no tempo, as projecções no plano de fase, originam órbitas desproporcionadas. Atente-se no centro das figuras 7.25 e 7.26. São visíveis as órbitas relativas ao sistema sem dano, com uma excitação ω = ωb, e do sistema com dano, com uma excitação ω = ω1d. Figura 7. 25 - CE1 Plano de Fase. Regime Permanente. Viga duplamente encastrada. ω = ω1d e ω = ωb Figura 7. 26 - CE1 Zoom Plano de Fase. Viga duplamente encastrada. ω = ω1d e ω = ωb É interessante verificar que, para além das diferentes proporções, a órbita no plano de fase para a resposta à frequência 𝜔1𝑑 apresenta uma maior distorção do que a verificada para a -3,00E-02 -2,00E-02 -1,00E-02 0,00E+00 1,00E-02 2,00E-02 3,00E-02 -6,00E-03 -4,00E-03 -2,00E-03 0,00E+00 2,00E-03 4,00E-03 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h sem dano h1=0.02 W=W1D h1=0,02 W=Wb -2,40E-04 -1,60E-04 -8,00E-05 0,00E+00 8,00E-05 1,60E-04 2,40E-04 -4,00E-05 -3,00E-05 -2,00E-05 -1,00E-05 0,00E+00 1,00E-05 2,00E-05 3,00E-05 (2πv(x,t))/ωh) w(x,t)/h sem dano h1=0.02 W=W1D