Medidas de Grafos Bipartidos em Empresas Cotadas em Bolsa
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Medidas de Grafos Bipartidos em Empresas Cotadas em Bolsa – O caso da interligação entre conselhos de administração no PSI-20 e IBEX-35 Ana Lúcia Pinto Neto Veloso Dissertação de Mestrado em Análise de Dados e Sistemas de Apoio à Decisão Orientada por Professor Doutor Pedro José Ramos Moreira de Campos Professor Doutor Paulo José Guimarães Garrido Faculdade de Economia Universidade do Porto 2013
Aos meus pais
i Nota Biográfica Ana Lúcia Pinto Neto Veloso nasceu a 2 de Maio de 1987 na freguesia de Massarelos, no Porto, cidade na qual reside atualmente. Licenciou-se em Economia em 2009, na Faculdade de Economia da Universidade do Porto. Nesse mesmo ano integrou, na mesma instituição, o Mestrado em Análise de Dados e Sistemas de Apoio à Decisão. Iniciou a sua atividade profissional em 2010, integrando a Confidencial Imobiliário, onde continua a desempenhar funções enquanto analista de dados sendo também responsável pela edição da Revista Confidencial Imobiliário.
ii Agradecimentos Em primeiro lugar quero agradecer ao Professor Pedro Campos, por toda a paciência e dedicação que foram determinantes para a elaboração da presente dissertação. Muito obrigada por ter acreditado sempre em mim. Também ao Professor Paulo Garrido pela preciosa ajuda prestada e pelas tardes de brainstorming em conjunto com o Professor Pedro Campos. Aos meus pais, pelo apoio incondicional em todos os momentos, nos bons e nos menos bons, sem o suporte emocional que me proporcionam teria sido muito mais difícil. À Joana, por todo o positivismo e palavras amigas ao longo deste percurso principalmente na reta final. À Melissa e à Cristina, amigas e colegas de mestrado, que apesar de fisicamente longe estiveram sempre presentes. Por fim, a todos os meus amigos e colegas que de uma forma ou de outra me foram sempre dando força e que comprenderam as minhas ausências ao longo desta etapa.
iii Resumo A interligação entre conselhos de administração (interlocking directorships) tem sido alvo de muitos estudos em vários países, sendo que em Portugal a investigação do fenómeno se mostra muito recente e pouco explorada. Este fenómeno pode ser representado por uma rede bipartida na qual existem dois tipos de entidades sociais, as empresas e os administradores pertencentes aos seus conselhos de administração. Na presente dissertação vai proceder-se à descrição e subsequente aplicação de algumas das técnicas e métricas estatísticas de Análise de Redes Sociais a fim de se analisar, representar e avaliar o fenómeno em Portugal e em Espanha. Para tal vai usar-se a informação relativa às empresas que integram o PSI 20, em 2011 e 2013, e o IBEX 35 em 2013. Propõe-se a formalização de uma nova medida designada por dispersão das interligações entre conselhos de administração em termos estáticos e em termos temporais. Analisa-se ainda o impacto das interligações entre conselhos de administração sobre a performance da empresa. Palavras-chave: interligação, conselhos de administração, redes bipartidas, Análise de Redes Sociais, dispersão das interligações, análise dinâmica de grafos bipartidos, performance da empresa
Abstract Interlocking directorships have been the subject of many studies in several countries. However, in Portugal the investigation of the phenomenon is very recent and underexplored. This phenomenon can be represented by a bipartite network in which there are two types of social entities: companies and managers belonging to their boards of directors. In this dissertation will proceed to the description and subsequent implementation of some of the techniques and statistics of Social Network Analysis in order to analyze, represent and assess the phenomenon in Portugal and Spain. To this end we will use the information relating to companies within the PSI 20, in 2011 and 2013, and the IBEX 35 in 2013. It is proposed a new measure called sparsity of interlocking directorships, which is formalized for both static and dynamic analysis. It is also analyzed the impact of interlocking directorships on the company's performance. Keywords: interlocking, boards of directors, bipartite networks, Social Network Analysis, sparsity of interlocking directorships, dynamic analysis of bipartite graphs, company’s performance
v Índice 1 Introdução .......................................................................................................... 1 2 Interligação entre Conselhos de Administração............................................. 4 2.1 Definição ...................................................................................................... 4 2.2 Fatores que levam à interligação entre conselhos de administração ............ 4 2.2.1 Conluio ········································································ 4 2.2.2 Cooperação e monitorização ··············································· 5 2.2.3 Legitimidade ································································· 7 2.2.4 Progressão em termos de carreira ········································· 7 2.2.5 Coesão social ································································· 9 2.3 Vantagens, desvantagens e impacto sobre a performance das empresas ..... 9 2.4 Interligações entre conselhos de administração em Portugal ..................... 12 3 Grafos e Redes Sociais .................................................................................... 16 3.1 Primeiras definições ................................................................................... 16 3.2 Redes de afiliação e grafos 2-mode ou bipartidos ...................................... 18 3.3 Projeção de grafos 2-mode ou bipartidos ................................................... 19 3.3.1 Representação matricial ··················································· 21 3.3.2 Dualidade e simetria ······················································· 25 3.3.3 Análise direta de grafos 2-mode ou bipartidos ························· 26 3.4 Medidas de redes em grafos 1-mode e bipartidos (2-mode) ...................... 28 3.4.1 Medidas ao nível da rede ·················································· 28 3.4.1.1 Densidade ou dispersão da rede ......................................... 28 3.4.1.2 Clustering da rede .............................................................. 28 3.4.2 Medidas de centralidade ao nível dos vértices ························· 29 3.4.2.1 Centralidade de grau ........................................................... 29 3.4.2.2 Centralidade do vetor próprio ............................................. 30 3.4.2.3 Centralidade betweeness e flowbetweeness ........................ 31 3.4.2.4 Proposta de medida de dispersão ........................................ 33
de redes bipartidas, que permitam aferir acerca das vantagens da interligação entre conselhos de administração. São utilizados dados de dois períodos de tempo, 2011 e 2013, para se fazer uma comparação em termos temporais. Consideram-se também os dados das 35 maiores empresas espanholas a fim de confrontar o caso português e o caso espanhol. A estrutura bipartida da rede que representa as interligações entre conselhos de administração motivou a proposta de uma medida designada por dispersão das interligações entre conselhos de administração. Apresenta-se assim, no presente trabalho, a formalização desta medida em termos estáticos e em termos temporais, bem como os resultados e interpretação da sua aplicação às bases de dados referidas. À semelhança do realizado em outros estudos sobre a interligação entre conselhos de administração, também neste trabalho se analisa o impacto desta prática sobre a performance da empresa. Esta dissertação encontra-se dividida em quatro partes: o Capítulo 2 contém a revisão de literatura realizada, o Capítulo 3 engloba a descrição e explicação dos métodos de análise de dados utilizados neste trabalho, o Capítulo 4 desenvolve a aplicação da metodologia proposta às bases de dados referidas e finalmente, o Capítulo 5 expõe as conclusões e perspetivas de trabalho futuro. De uma forma mais detalhada, o Capítulo 2 apresenta em pormenor a definição do fenómeno denominado por interligação entre conselhos de administração. São também apresentados e explicados os vários fatores que contribuem para a existência deste tipo de interligações, bem como as vantagens, desvantagens e o consequente impacto dessa prática sobre a performance da empresa. No Capítulo 3 introduz-se o conceito de redes de afiliação ou bipartidas e são descritas técnicas de análise para este tipo de redes, destacando-se, em particular, a projeção que será utilizada na presente dissertação. Procede-se à explicação e formalização de algumas das principais medidas de redes clássicas, como por exemplo o grau, a centralidade com base no vetor próprio, a betweeness e a flowbetweeness. São ainda apresentadas generalizações das medidas descritas para o caso bipartido e é formalizada a nova medida de dispersão da interligação entre CA proposta neste trabalho, em termos estáticos e dinâmicos. No Capítulo 4 apresentam-se os resultados da aplicação das técnicas e medidas expostas no
3 capítulo anterior bem como as conclusões sobre o impacto da interligação entre conselhos de administração na performance das empresas.
4 2 Interligação entre Conselhos de Administração Na presente secção procede-se à definição do fenómeno denominado por interligação entre conselhos de administração. São também apresentados e explicados os vários fatores que, segundo a literatura existente, contribuem para a existência deste tipo de interligações. É o caso do conluio, da cooperação e monitorização, da legitimidade, da progressão em termos de carreira e da coesão social. São também referidas as vantagens e desvantagens da existência de interligações entre conselhos de administração e o consequente impacto sobre a performance da empresa. Neste ponto, como veremos, existe alguma controvérsia, havendo autores que defendem que este tipo de relações afeta negativamente a performance das empresas, enquanto outros acreditam que o efeito gerado é positivo. São ainda referidos trabalhos e respetivas conclusões sobre a interligação entre conselhos de administração em Portugal. 2.1 Definição A interligação entre conselhos de administração ocorre quando um administrador que pertence a uma determinada organização desempenha funções no conselho de administração de uma outra organização (Mizruchi M. , 1996). Apesar de envolvido em muito criticismo e das muitas leis decretadas com a intenção de acabar com este fenómeno, a interligação entre conselhos de administração persiste, como indica a literatura existente e crescente (Mizruchi, 1996, Ferris et al. 2003, Fich and Shivdasani 2006, Grassi 2010, Andres et Lehmann 2011, Larcker et al. 2011), que abrange estudos sobre vários países, tanto na América, como na Europa e na Ásia. 2.2 Fatores que levam à interligação entre conselhos de administração 2.2.1 Conluio O conluio ocorre quando duas ou mais empresas concorrentes se aliam, muitas vezes ilegalmente, com o intuito de restringir a concorrência. Neste sentido, pode considerar-se que a interligação entre conselhos de administração de empresas que atuam no mesmo mercado é motivada pela tentativa de gerar conluio. Alternativamente,
5 estas interligações podem também ser vistas como uma forma de facilitar esta prática. Porém, as evidências relativas a estas duas hipóteses, ou, pelo contrário, se o conluio é irrelevante para as interligações entre conselhos de administração, são difíceis de encontrar. Os estudos existentes, como os levados a cabo por Pennings (Pennings, 1980 c.f. Mizruchi, 1996) e Burt (Burt, 1983 c.f. Mizruchi, 1996), incidem sobre a correlação e as consequências da interligação entre conselhos de administração de empresas pertencentes ao mesmo ramo, as chamadas interligações horizontais entre conselhos de administração. Pennings (Pennings, 1980 c.f. Mizruchi, 1996) encontrou uma associação positiva entre a concentração empresarial (quanto maior a concentração empresarial menor a concorrência) e relações horizontais. Já Burt (Burt, 1983 c.f. Mizruchi, 1996) encontrou uma função em U invertida na qual as interligações entre conselhos de administração de empresas do mesmo ramo se mostram mais frequentes em indústrias com níveis intermédios de concentração. Esta descoberta é consistente com a ideia de que, até um ponto, a concentração facilita as relações entre empresas da mesma área, mas que a maioria das indústrias mais concentradas, dado o reduzido número de produtores, têm pouca necessidade de formar interligações entre os seus conselhos de administração para definir preços. 2.2.2 Cooperação e monitorização Uma outra interpretação considera que as interligações entre conselhos de administração refletem os esforços de cooperação e monitorização que as organizações realizam para acederem a recursos de que não dispõem ou têm dificuldade em obter. Esta é uma ideia que tem sido alvo de muita atenção no âmbito da investigação e que continua a influenciar a teoria das organizações. Selznick (Selznick, 1949 c.f. Mizruchi, 1996) definiu a cooperação, neste contexto, como sendo a absorção de elementos que não pertencem à organização para o seio da estrutura de tomada de decisão da organização. Com base nesta definição, Thompson e McEwen (Thompson e McEwen, 1959 c.f. Mizruchi, 1996) apresentaram um modelo potencial de cooperação, no qual uma empresa convida a participar no seu conselho de administração um representante de uma entidade financeira para com a qual
6 a empresa apresente uma elevada dívida. Este exemplo tornou-se objeto de muitos outros estudos, todos examinando o quanto a dependência entre as empresas contribui para a existência de interligações entre os seus conselhos de administração. Apesar de as descobertas serem bastante diversificadas, no fundo todas suportam a visão de que as interligações entre conselhos de administração se encontram associadas com a dependência de recursos por parte das empresas. A formação das interligações entre conselhos de administração pode também interpretar-se como uma tentativa de monitorização. Isto é, as empresas consideram a participação no conselho de administração de outras empresas como uma forma de monitorizar essas empresas (Aldrich 1979, c.f. Mizruchi, 1996; Stiglitz, 1985 c.f. Mizruchi, 1996; Eisenhardt, 1989 c.f. Mizruchi, 1996). Este fenómeno levou a que vários investigadores sugerissem que as interligações entre conselhos de administração poderiam ser instrumentos de controlo corporativo. Vários estudos, (Mizruchi, 1982; Berkowitz et al., 1979, Burt, 1983 e Caswell, 1984 c.f. Mizruchi, 1996), identificaram ligações entre a representação nos conselhos de administração e a detenção de ações. Outros, (Richardson, 1987) (Mizruchi & Stearns, 1988), descobriram que a indicação de participação em conselhos de administração de empresas por parte de elementos de instituições financeiras tende a ocorrer em períodos em que a performance da empresa se mostra menor. Quer uns, quer outros são consistentes com a perspetiva da monitorização. No entanto, empiricamente mostra-se muitas vezes impossível distinguir interligações entre conselhos de administração motivadas pela monitorização de interligações que resultam da cooperação entre empresas. Em ambos os casos, a interligação entre conselhos de administração segue o fluxo de dependência de recursos. De facto, vários investigadores têm sugerido que a cooperação e a monitorização ocorrem simultaneamente em qualquer interligação entre conselhos de administração baseada na dependência de recursos (Pfeffer, 1972), (Allen, 1974), (Pennings, 1980 c.f. Mizruchi, 1996). Uma vez que, no modelo de dependência de recursos, o controlo dos recursos confere poder a uma organização, então a existência de uma empresa dependente proporciona a oportunidade de uma outra empresa exercer poder sobre essa empresa.
7 2.2.3 Legitimidade Os conselhos de administração cumprem uma importante função no que respeita à reputação das empresas (Selznick, 1957 c.f. Mizruchi, 1996; Parsons, 1960 c.f. Mizruchi, 1996). Os investidores que decidem apostar numa determinada empresa tomam em consideração a força dessa empresa bem como a qualidade da administração da mesma. Uma empresa cujo conselho de administração seja constituído por indivíduos que estejam ligados a organizações influentes indica aos potenciais investidores que é uma empresa legítima e merecedora de apoio. A procura de legitimidade contribui também para a formação de interligações entre conselhos de administração. Neste caso as empresas não procuram alianças com outras empresas ou formas de cooperar com essas empresas pelo bem comum de ambas, mas antes pelo prestígio que a associação pode proporcionar. A legitimidade pode ser também um pré-requisito para a obtenção de recursos anteriormente referida. Por exemplo, um banco pode estar mais disposto a conceder um empréstimo a uma empresa se acreditar que essa empresa é gerida por indivíduos de renome ou confiáveis (DiMaggio, 1983) c.f. (Mizruchi, 1996). A probabilidade de um banco conceder um empréstimo a uma empresa é também maior se o conselho de administração desta empresa for já constituído por representantes de instituições financeiras. 2.2.4 Progressão em termos de carreira A integração de um diretor executivo no conselho de administração de uma determinada empresa pode ser uma decisão tomada pela própria empresa, pelo indivíduo ou por ambos. Estudos como os de Stokman et al. (Stokman et al, 1988) c.f. (Mizruchi, 1996) e Zajac (Zajac, 1988 c.f. Mizruchi, 1996) propõem teorias acerca da formação de interligação entre conselhos de administração tendo em conta os indivíduos que formam essas interligações. De acordo com Zajac (Zajac, 1988 c.f. Mizruchi, 1996), os indivíduos integram conselhos de administração devido à remuneração financeira, prestígio e contactos que possam mostrar-se úteis para assegurar oportunidades de emprego futuras. Ou seja, a existência de interligações entre conselhos de administração
8 é vista como uma consequência de decisões tomadas por razões que pouco têm que ver com o desejo de ligar organizações. A partir de uma amostra de grandes empresas holandesas ao longo de 20 anos, (Stokman et al, 1988) c.f. (Mizruchi, 1996) mostraram que a grande maioria dos novos administradores nomeados para integrarem os conselhos de administração tinha sido escolhida de um pequeno grupo de pessoas com elevados níveis de experiência e conhecimentos. Sugerem, tal como Zajac (Zajac, 1988 c.f. Mizruchi, 1996), que estes administradores foram escolhidos pelas suas características individuais e não pelas organizações que representam. Da perspetiva da empresa, os administradores externos são escolhidos por várias razões (Mace, 1971 c.f. Mizruchi, 1996). As empresas pretendem que os administradores que integram os seus conselhos de administração sejam pessoas de prestígio, capazes de fornecer conselhos e inputs a estratégias corporativas muitas vezes já identificadas. As empresas pretendem também que estes administradores sejam cidadãos exemplares, conhecidos por serem conscienciosos e não controversos. Ou seja, os administradores externos são geralmente escolhidos a partir de um pequeno círculo de indivíduos considerados elegíveis. As conclusões destes estudos sugerem que as interligações entre conselhos de administração trazem benefícios, quer para as empresas que recebem novos administradores, quer para estes administradores, benefícios esses que não dependem das relações entre as empresas ligadas mas que, em vez disso, são função dos indivíduos envolvidos. Esta visão não é totalmente incompatível com a dos modelos inter-organizacionais já descritos. Se, por um lado, é provável que as ligações formadas por estes indivíduos tenham pouco que ver com as relações entre as empresas, por outro lado alguns indivíduos são especialistas devido às suas relações organizacionais. Assim, o facto de um indivíduo pertencer a um banco interessa, mesmo que o banco ao qual este pertence não. Mesmo assim, pode questionar-se a razão da escolha recair sobre determinado elemento de um banco em vez de outro. Tal pode resultar de uma antiga relação de negócio entre a empresa e o banco ao qual o indivíduo pertence, uma relação de amizade entre os líderes das empresas, ou da não existência de um administrador alternativo.
9 Todos os três casos descritos envolvem fatores relacionados com condições de estrutura social: uma transação de negócios entre as empresas, uma relação social entre os líderes das empresas e uma disponibilidade limitada de candidatos que se encaixem no perfil devido às obrigações já existentes entre as empresas. Assim, os modelos relativos à progressão de carreira mostram-se mais como complementos e não alternativas aos modelos inter-organizacionais já descritos. 2.2.5 Coesão social Uma alternativa, quer aos modelos inter-organizacionais, quer aos modelos relativos à progressão de carreira, é considerar que as interligações entre conselhos de administração representam ligações sociais entre membros de uma elite social. Esta posição das interligações entre conselhos de administração foi defendida por vários teoristas (Mills 1956, c.f. Mizruchi, 1996) (Domhoff, 1967 c.f. Mizruchi, 1996), (Zeitlin, 1974) e (Useem, 1984) c.f. (Mizruchi, 1996). Também muitos dos primeiros estudos acerca das interligações entre conselhos de administração seguiram esta lógica, embora até que ponto interpretaram estas interligações como fenómenos ao nível organizacional ou ao nível de uma classe social superior não seja muitas vezes claro (Levine, 1972), (Mariolis, 1982 c.f. Mizruchi 1996), (Stokman et al, 1985). Esta questão apresentou-se também nos estudos relacionados com o desaparecimento de ligações. Por exemplo, para Koenig et al. (Koenig et al., 1979, c.f. Mizruchi, 1996), Ornstein (Ornstein, 1980 c.f. Mizruchi, 1996) e Palmer (Palmer, 1983 c.f. Mizruchi, 1996), a frequência com que interligações entre conselhos de administração são reconstituídas após desaparecimento é um indicador da relevância das interligações entre as empresas em questão. O facto de as interligações não serem reconstituídas com a mesma empresa sugere, para os autores, que o fenómeno não é principalmente de cariz organizacional, mas sim resultante de um processo social independente de necessidades organizacionais. 2.3 Vantagens, desvantagens e impacto sobre a performance das empresas Um dos maiores argumentos contra a prática de interligações entre conselhos de administração tem a ver com o excesso de trabalho a que um administrador fica sujeito, se integrar vários conselhos de administração (Ferris et al., 2003). Como consequência
10 desta acumulação de cargos, os administradores acabam por se desleixar no cumprimento das suas responsabilidades. A resultante falta de monitorização pode ter um impacto negativo no valor da empresa uma vez que os administradores são livres de perseguir projetos que maximizem os seus próprios interesses. Fich et al. (Fich et al, 2006) encontraram evidências empíricas que sustentam esta hipótese, mostrando que as empresas com conselhos de administração muito atarefados possuem um governo corporativo mais fraco, rácios market-to-book mais baixos, menores lucros e uma menor apetência do CEO para se concentrar na performance da empresa. Estes autores referem também uma reação positiva do mercado a saídas de membros muito ocupados. Non and Franses (Non and Franses, 2007 c.f. Crocci e Grassi, 2013) mostram que as interligações entre conselhos de administração têm um efeito negativo na performance das empresas holandesas e argumentam que as suas conclusões coincidem como facto de os administradores serem demasiado ocupados e de serem membros de uma elite. Segundo Andres e Lehmann (Andres e Lehmann, 2011 c.f. Crocci e Grassi, 2013) as empresas cujos conselhos de administração se encontram melhor conectados apresentam valores de performance significativamente mais baixos e os administradores que pertencem a este tipo de empresas possuem uma remuneração média mais elevada. Para os autores estas evidências são sinais de que as empresas cujos administradores ocupam cargos em várias empresas possuem uma administração e monitorização mais fracas. Para Santos et al. (Santos et al., 2011 c.f. Crocci e Grassi, 2013), no Brasil o valor das empresas é negativamente afetado pelas interligações entre conselhos de administração. Também (Hallock K.F., 1997) encontrou evidências de um desleixo na monitorização por parte de administradores muito ocupados, mostrando que os CEOs que lideram empresas cujos conselhos de administração se encontram interligados ganham compensações mais elevadas e tendem a liderar empresas de maior dimensão. As interligações entre conselhos de administração podem também expor as empresas a riscos relacionados com a reputação decorrentes do comportamento das empresas com as quais partilham administradores. O trabalho de Fich e Shivdasani (Fich et al, 2006) um exemplo desta situação, mostrando que empresas que partilham administradores com empresas envolvidas em processos judiciais relativos a fraudes
11 financeiras são contagiadas por tal situação vendo a sua valorização descer. Mais, os administradores responsáveis pela interligação com empresas fraudulentas perdem os seus cargos. O efeito negativo das interligações entre conselhos de administração pode afetar o sistema económico como um todo, como argumentam Mizruchi (Mizruchi, 1996), Barucci (Barucci, 2006 c.f. Crocci e Grassi, 2013) e como documentado por Santella et al. (Santella et al., 2009 c.f. Crocci e Grassi, 2013). Este tipo de interligações pode ser criado para prevenir a concorrência, quer no mercado de bens e serviços, permitindo o conluio entre empresas à custa dos consumidores, quer no mercado bolsista, à custa de investidores. Neste caso, o efeito na valorização da empresa mostra-se menos claro, uma vez que o enfraquecimento da concorrência pode beneficiar as empresas que gozam de tal. Contrastando com as reivindicações de que a ocupação de vários conselhos de administração por parte de um administrador destrói valor, alguma da literatura recente vem questionar tal facto. É o caso de Ferris et al. (Ferris et al. 2003) que no seu estudo não encontrou qualquer evidência que suportasse a limitação de número de conselhos de administração que um administrador pode ocupar simultaneamente. Perry e Peyer (Perry e Peyer, 2005 c.f. Crocci e Grassi, 2013) documentaram que a nomeação de um administrador como administrador externo numa outra empresa aumenta o valor da empresa da qual é administrador interno se esta não tiver problemas de agência. Larcker et al. (Larcker et al., 2011 c.f. Crocci e Grassi. 2013) constataram que o excedente de retornos futuros é superior para empresas que possuem um elevado nível de interligação e que o seu ROA (return on assets) é também superior. Segundo os autores, este impacto mostra-se mais pronunciado entre empresas jovens, empresas com elevado potencial de crescimento e empresas que se encontram em dificuldades, uma vez que estas empresas têm muito a ganhar ligando-se a outras. Embora as interligações entre conselhos de administração se possam mostrar ineficientes para a economia como um todo, as empresas podem encontrar incentivos na partilha de administradores ou até mesmo executivos com outras empresas. Booth e Deli (Booth et al., 1995) defendem que uma empresa deve encorajar os seus administradores a aceitarem o desempenho de funções de administração noutras empresas até ao ponto em que os benefícios marginais sejam iguais aos custos
18 relações de adjacência são descritas por uma matriz )=*&'(+ com entradas não negativas e uma diagonal de zeros, a designada matriz de adjacência pesada. 3.2 Redes de afiliação e grafos 2-mode ou bipartidos As redes de afiliação são um tipo de redes que envolvem, pelo menos, dois diferentes tipos de entidades sociais, nomeadamente os indivíduos e os grupos aos quais estes pertencem. Existem muitos exemplos deste tipo de redes, como a rede que representa a relação entre atores e filmes, na qual cada ator se encontra ligado aos filmes em que participa (Watts e Strogatz; 1998), (Newman et al., 2001a) c.f. (Latapy,et al., 2008); a rede de co-autoria que representa as ligações entre autores e os artigos que estes assinam (Newman, 2001a,b) c.f. (Latapy et al., 2008); as redes de ocorrência, nas quais as palavras que aparecem num livro estão ligadas às frases do livro em que aparecem (Ferrer e Solé, 2001) c.f. (Latapy et al, 2008); as redes relativas aos conselhos de administração das empresas, nas quais os membros dos CA estão ligados às empresas nas quais desempenham funções (Robins e Alexander, 2004), (Conyon e Muldoon, 2006), (Battiston e Catanzaro, 2004), entre outras. Figura 2 Parte da rede bipartida Internet Movie Database (V. Batagelj).
19 Uma rede de afiliação pode ser representada através de um grafo 2-mode ou bipartido, por oposição a um grafo 1-mode ou convencional. No caso bipartido, a rede apresenta dois tipos de nós, sendo que as ligações apenas podem ocorrer entre nós de diferentes tipos. Formalmente um grafo diz-se bipartido se se encontra partido em dois subconjuntos 1 e 2 de forma que cada aresta de E ligue um vértice de 1 e um vértice de 2 (Grassi, 2010). No caso específico das interligações entre os membros dos CA (administradores) das empresas, fenómeno designado por interlocking directorship e objeto de estudo do presente trabalho, tem-se, na verdade, um conjunto de administradores e um conjunto de empresas. Uma ligação entre um diretor e uma empresa traduz que esse administrador pertence ao CA dessa empresa. Está-se na presença de uma interligação entre CA (interlock) se um administrador ocupar simultaneamente o CA de duas ou mais empresas (ver figura 3). Se dois administradores de um determinado CA ocuparem ao mesmo tempo um mesmo CA de uma outra empresa está-se perante um interlock múltiplo (multiple interlock). Um lobby é um subconjunto de administradores de um CA que desempenham conjuntamente funções num outro CA. Por exemplo, um lobby de tamanho 2 no CA i verifica-se quando 2 administradores do CA i também pertencem ao CA j. De facto, os membros deste subgrupo possuem ligações mais fortes entre si que entre os restantes membros do CA e costumam possuir interesses comuns fora da empresa (Battiston e Catanzaro, 2004). O conceito de lobby não é objeto de estudo no presente trabalho. 3.3 Projeção de grafos 2-mode ou bipartidos Um grafo bipartido ou 2-mode pode ser projetado em duas redes de modo 1 (1mode), isto é, redes que consideram ligações existentes entre entidades sociais do mesmo tipo (redes com apenas um tipo de vértices). Considerando o tema do presente trabalho, as projeções que resultam do grafo bipartido que representa as interligações entre CA são denominadas por rede de administradores (director network) e rede de CA (board network). No primeiro caso, as interligações entre os administradores de diferentes empresas são representadas através de um grafo cujos vértices se referem aos CA e as arestas representam os administradores que os CA possuem em comum. No
20 segundo caso (1-mode), as interligações são representadas por um grafo (geralmente bastante maior que o primeiro) cujos vértices são relativos aos administradores e as arestas representam as participações desses administradores nos CA. Tomando como exemplo a figura 3 pode considerar-se que o grafo bipartido que se encontra no meio representa a rede das interligações entre CA. Assim, pode admitirse que o conjunto de nós localizados na base do grafo é relativo aos administradores e que o conjunto de nós localizados no topo do grafo se refere aos CA das empresas. Por sua vez, o grafo do lado esquerdo ilustra a rede de CA resultante da projeção do grafo bipartido. Como referido, neste grafo os vértices referem-se aos CA e as arestas representam os administradores que os CA possuem em comum. Por exemplo, a aresta que liga o vértice 1 ao vértice 3 representa o administrador C. Isto porque, como podemos ver no grafo bipartido, C é o membro do conjunto de nós da base que se encontra ligado quer à empresa 1 quer à empresa 3. Já o grafo do lado direito da figura 3 é relativo à rede de CA resultante da projeção da estrutura bipartida. Neste caso, os vértices são relativos aos administradores e as arestas representam as participações desses administradores nos CA. Por exemplo, o administrador A encontra-se ligado por uma aresta ao administrador B pois ambos participam no CA da empresa 1 (como se pode concluir da análise do grafo bipartido). Figura 3. Projeção de grafo bipartido (adaptado de Latapy et al., 2008). Ver descrição da figura no texto. Esta abordagem é bastante relevante, não só porque as projeções referidas fazem sentido e codificam muita informação, mas também por permitir o estudo das redes 2mode através das poderosas ferramentas de análise e das noções relativas às redes clássicas ou 1-mode.
21 No entanto, muitos autores consideram que na maioria dos casos (Latapy et al. 2008, Robins e Alexander, 2004) seria mais vantajoso considerar a versão bipartida dos dados. A principal razão apontada tem a ver com a perda de informação a que operação de projeção pode levar. Por exemplo, o facto de dois atores participarem juntos em vários filmes e o tamanho desses filmes acarreta muita informação, não disponível na projeção, na qual os atores se encontram apenas ligados. Segundo Latapy et al. (Latapy et al., 2008) a projeção leva a um grande aumento do número de ligações. No seu estudo, o autor destaca o exemplo da projeção da rede peer-to-peer, a qual resultou num aumento do número de ligações que atingiu mais de 10 mil milhões. Tal limita a análise em termos computacionais. Um outro aspeto apontado como uma desvantagem da projeção tem a ver com as propriedades da projeção. Algumas delas, como mostram Newman et al., (Newman et al.,2001a) c.f. (Latapy et al., 2008) e Guillaume e Latapy (Guillaume e Latapy, 2004a) c.f. (Latapy et al., 2008), podem dever-se sobretudo à projeção em si e não às caraterísticas dos próprios dados em que assentam. Nos trabalhos referidos, a projeção de um grafo bipartido gerado aleatoriamente originou coeficientes de clustering (a definição de clustering e densidade de uma rede encontram-se na secção 3.4.1) bastante elevados, pelo que tal pode ser considerado como uma consequência da estrutura bipartida. Da mesma forma, os autores concluem que a projeção pode levar a redes muito densas ainda que a versão bipartida não o seja. 3.3.1 Representação matricial É possível construir uma matriz que traduza as ligações entre os administradores, representada por D, e uma outra matriz que represente as relações entre os CA, designada por B. Tomando como exemplo a projeção descrita na secção anterior (secção 3.3) e caracterizada pela figura 3, as matrizes D e B podem ser representadas da seguinte forma: Figura 4. Projeção da rede de empresa (adaptado de Latapy et al., 2008). Figura 5. Projeção da rede de administradores (adaptado de Latapy et al., 2008).
22 1 2 3 4 1 0 1 1 0 2 1 0 1 1 3 1 1 0 0 4 0 1 0 0 Figura 6. Matriz B com base na figura 2. A B C D E F A 0 1 1 0 0 0 B 1 0 1 1 0 0 C 1 1 0 1 1 0 D 0 1 1 0 0 1 E 0 0 1 0 0 0 F 0 0 0 1 0 0 Figura 7. Matriz D com base na figura 3. Sendo a entrada (,,-) de D o número de grupos aos quais pertencem o indivíduo i e o indivíduo j, na figura 5 tem-se que o indivíduo C e o indivíduo D pertencem simultaneamente a 1 grupo. Considerando a entrada (,,-) de B o número de indivíduos que são membros do grupo i e do grupo j, da figura 4 conclui-se que na empresa 2 e 4 temos um indivíduo comum. Cada uma das matrizes é quadrada; os cabeçalhos das linhas e das colunas das matrizes são cadeias idênticas dos nomes de todos os administradores (matriz D) ou de todos os CA (matriz B) em estudo (Breiger, 1974). O número de administradores que ocupam os CA i e j é equivalente ao número de caminhos (paths) de comprimento 2 que ligam i e j no grafo bipartido. Consequentemente, este número, que fornece a ponderação da ligação entre i e j e que é designado por &'(, pode expressar-se da seguinte forma (Battiston e Catanzaro, 2004). .'( =/&'(,01,1-0112345676189,:7;403488<104&'( 0,01,1-2ã401123425676189,:7;40 =. Por exemplo, considerando a figura 3, se atribuirmos uma ponderação &'( ao número de administradores que ocupam os CA i e j sendo esta ponderação equivalente ao número de caminhos (paths) de comprimento 2 que ligam i e j no grafo bipartido, vem que a matriz B da figura 6 é representada por:
23 1 2 3 4 1 0 2 1 0 2 2 0 1 1 3 1 1 0 0 4 0 1 0 0 Figura 8. Matriz B com base na figura 3 e com ponderação >?@. As entradas da matriz que se alteram são a ABC e ACB, pois as empresas 1 e 2 são as únicas que possuem mais que um administrador em comum e, portanto, mais que um caminho de comprimento 2 que liga 1 e 2 no grafo bipartido. Tal pode verificar-se no grafo bipartido da figura 3, onde a empresa 1 e 2 partilham os administradores B e C gerando dois caminhos de comprimento 2 entre as empresas 1 e 2: B,1,C e B,2,C. As matrizes B e D não são mutuamente comparáveis pois representam diferentes níveis de estrutura – pessoas e grupos; não possuem a mesma dimensão e diferem em termos de entradas célula a célula. Apesar das diferenças evidentes entre a rede relativa às relações entre pessoas e a rede referente às relações entre grupos, as matrizes D e B apresentam uma forte relação entre elas (Breiger, 1974). Como exemplo, defina-se uma matriz A (figura 10), que representa o grafo bipartido, na qual a entrada (,,-) é igual a 1 se o indivíduo i se encontra ligado ao grupo j e é igual a 0 caso contrário: %'( =/1,01,<165123174:6<4- 0,370434256á6,4 =. Tomando como exemplo a figura 3, vem que a matriz % é dada por:
24 Figura 9. Rede bipartida das interligações entre CA (adaptado de Latapy et al., 2008). 1 2 3 4 A 1 0 0 0 B 1 1 0 0 C 1 1 1 0 D 0 1 0 1 E 0 0 1 0 F 0 0 0 1 Figura 10. Matriz A com base na figura 3. A matriz % é uma matriz de adjacência, é binária e geralmente não é quadrada nem simétrica. Considerando a existência de d administradores e b CA, a dimensão de A é ;×A, enquanto as matrizes D e B têm dimensão ;×; e A×A, respetivamente. Se se intersectar qualquer uma das linhas i e j da matriz A obtém-se a entrada (,,-) entrada da matriz D (Breiger, 1974). Segundo Breiger (Breiger, 1974), as entradas das matrizes D e B são dadas pelas seguintes expressões: E=F G?HG@H I HJ (3.1) K?@ =F GH?GH@ L HJ (3.2) A matriz AT relativa às relações entre grupos e pessoas é equivalente à matriz A mas as linhas encontram-se transpostas com as colunas, ou seja, a dimensão de AT é A×; e ATij =Aji para qualquer i e j. Deste modo é possível reescrever as equações acima usando a matriz A e a sua transposta para obter as seguintes igualdades, em que a multiplicação é uma multiplicação simples entre matrizes (Breiger, 1974): E=G(GM) (3.3) K=(GM)G (3.4) Assim, definem-se, de forma única, duas matrizes distintas com base numa única matriz transposta (neste caso a matriz A) que, por sua vez, representa as relações
25 existentes entre administradores e CA. Uma das matrizes obtidas é relativa às relações estabelecidas entre os administradores e a outra relativa às relações entre os CA. 3.3.2 Dualidade e simetria A forte relação existente entre as matrizes D e B traduz o conceito de dualidade existente entre as pessoas ou atores, nós de um grafo, e as ligações, arestas de um grafo, que representam relações sociais existentes entre as pessoas (Simmel, 1955, c.f. Breiger, 1974). Ou seja, as pessoas que são atores num determinado contexto (matriz D) são consideradas com a mesma legitimidade conexões no contexto dual (matriz B). O mesmo se verifica para os grupos. Formalmente, têm-se duas classes (uma relativa a todas as pessoas e outra relativa a todos os grupos) de conjuntos finitos (cada pessoa encontra-se associada ao conjunto de grupos aos quais pertence, verificando-se o mesmo para os grupos) e um axioma (Breiger, 1974) que dita que: Axioma 1: a intersecção entre dois quaisquer conjuntos pertencentes a uma das classes está contida no power set6 (em português, conjunto potência) da outra classe. Um segundo axioma tem a ver com a simetria (Breiger, 1974): Axioma 2: se uma pessoa A se encontra ligada a uma pessoa B, em consequência da participação no mesmo grupo, B encontra-se igualmente ligado a A. Ou seja, se dois grupos distintos partilharem pelo menos um membro, então encontram-se mutuamente relacionados. Tal implica reflexividade, isto é, uma pessoa que pertença a um qualquer grupo relaciona-se consigo própria por esse facto, acontecendo o mesmo para qualquer grupo com membros. A interpretação da reflexibilidade no contexto das redes de afiliação é bastante intuitivo e claro: o número de ligações entre uma pessoa e ela própria equivale ao número de grupos aos quais essa pessoa pertence e o número de ligações de um grupo e ele próprio equivale ao número de membros que esse grupo possui (Breiger, 1974). 6 O power set denota o conjunto de todos os conjuntos possíveis dos elementos dados.
26 3.3.3 Análise direta de grafos 2-mode ou bipartidos Como já referido, as redes 2-mode ou bipartidas têm sido estudadas em variados contextos, e todos os cientistas que as tentam analisar insistem no facto de que a natureza bipartida dos seus dados desempenha um importante papel que deve ser tomado em conta. Enfatizam também a falta de noções e ferramentas para tal, o que obriga a maioria dos investigadores a utilizarem a projeção que consideram mais relevante na sua rede bipartida. É o que acontece no presente estudo, onde a maioria da análise se vai proceder recorrendo à rede relativa às empresas que resulta da projeção 1mode da rede das interligações entre CA quer do PSI 20 quer do IBEX 35. Porém, muitos autores perceberam que esta abordagem não é suficiente e tentam usar a natureza bipartida dos dados, o que geralmente é feito através da combinação do uso das projeções e estatísticas bipartidas básicas, na sua maioria relativas ao grau (a centralidade de grau é explicitada na secção 3.4.2.1). Por exemplo, estudam-se as relações de co-autoria (projeção) e a distribuição do número de papers assinados pelos autores e do número de autores de papers (isto é, as distribuições bipartidas do grau) (Newman, 2000 c.f. Latapy et al., 2008). Os autores podem também considerar projeções pesadas (Battinson e Catanzaro, 2004; Morris e Yen, 2005 c.f. Latapy et al., 2008). Assim, o peso de uma aresta (u, v) entre dois nós de um dos conjuntos, (por exemplo, das empresas) é dado pelo número de nós adjacentes do outro conjunto (por exemplo, dos administradores) que u e v têm em comum no grafo bipartido. Existem também outras definições para determinar o peso de uma aresta, porém, em todos os casos e apesar de serem abordagens relevantes e promissoras perde-se um montante significativo de informação e transforma-se o problema de analisar uma estrutura bipartida no problema de analisar uma estrutura pesada (Latapy, 2008). Apesar dos importantes avanços que recentemente se têm verificado nesta direção (Barrat et al., 2004, Bathélemy et al., 2005 e Newman, 2004 c.f. Latapy, 2008) ainda há muito a fazer para que seja possível a análise de estruturas de redes pesadas. Há autores que vão mais longe e introduzem noções relativas a grafos bipartidos para o caso em estudo. Tal é muitas vezes implícito e restringe-se a propriedades bastante básicas, como as distribuições referentes ao grau já citadas. Alguns autores introduzem noções mais subtis, como overlap (Bonacich, 1972 c.f. Latapy et al. 2008), clustering (Everett, 1997) e (Robins e Alexander, 2004), medidas de centralidade
27 (Faust, 1997 c.f. Latapy et al., 2008), correlações de grau (Peltomaki et al., 2005 c.f. Latapy et al., 2008), entre outras. A maioria destas noções são ad hoc e específicas para o caso em estudo, mas muitas delas são bastante gerais e podem ser generalizadas. Latapy et al. (Latapy et al., 2008) propõem noções simples e métodos para analisar redes bipartidas de grande escala. Os autores defendem que estas ferramentas podem ser utilizadas como um primeiro passo em alguns estudos e que podem ser expandidas para preencher os detalhes de alguns casos em particular. Mais, não são apenas extensões das noções clássicas: são propostas de novas noções especificamente desenhadas para o caso bipartido. Referem em especial Borgatti e Everett (Borgatti e Everett, 1997), que apresentaram o mesmo objetivo, mas pertencem ao que denominam de análise de redes clássica ou pré-1998. Borgatti e Everett (Borgatti e Everett, 1997) não utilizam a comparação com grafos aleatórios, o que provavelmente reflete o facto de este método não ser tão usual em 1997 como é hoje em dia. Pelas mesmas razões não abordam questões relacionadas com o clustering. Contudo, apresentam vários métodos importantes para estudar redes de afiliação, incluindo técnicas de visualização e análises de correspondência. Descrevem como adaptar medidas de centralidade geralmente usadas na análise de redes sociais bem como perceber quais os nós que são importantes no grafo bipartido. Apresentam também uma versão da centralização do grafo para os grafos bipartidos, isto é, uma medida de quão centralizado em torno de um nó o grafo se encontra. Apresentam ainda extensões de técnicas de análise de redes sociais que permitem identificar subgrupos entre os nós. Outros autores propõem formalismos adequados para a análise de redes 2-mode, muitas vezes baseados na generalização de modelos bem conhecidos. São exemplos de tal as matrizes de Galois (Roth e Bourgine, 2005 c.f. Latapy et al., 2008), a análise de correspondência (Roberts, 2000 c.f. Latapy et al., 2008; Faust, 2005 c.f. Latapy et al., 2008), as extensões de modelos em bloco (block modeling) (Borgatti e Everett, 1992 c.f. Latapy et al., 2008; Doreian et al., 2004 c.f. Latapy et al., 2008) e de modelos p* (Skvoretz e Faust, 1999 c.f. Latapy et al., 2008; Faust et al., 2002 c.f. Latapy et al., 2008; Agneessens et al., 2004 c.f. Latapy et al., 2008), e ainda uma abordagem particularmente original baseada em álgebra booleana (Bonacich, 1978 c.f. Latapy et al., 2008).
34 número de administradores que a empresa partilha com outras (ligações existentes entre a empresa e as restantes empresas formadas por intermédio dos vários administradores que partilham nos seus CA) ponderado pelo rácio entre o número de interligações existentes entre essa empresa e as restantes e o número total de interligações possíveis na rede em estudo. Figura 11. Exemplo de rede de interligação de CA. Tomando como exemplo o grafo bipartido representado figura 11, em que as empresas correspondem aos vértices do topo do grafo {a,b,c,d,e} e os administradores correspondem aos vértices da base do grafo {1,2,3,4,5}, começa-se por apresentar uma formalização para o cálculo do número ligações existentes entre uma empresa ,~%, representada por %', e as restantes empresas pertencentes ao conjunto %. Como essas ligações são formadas por intermédio dos administradores que a empresa %' partilha com as restantes empresas do conjunto %, no fundo a equação 3.16 que se segue apura o número de administradores que a empresa %' partilha com as restantes empresas da rede. F HG?G@ @H ,∀H,?,@, (3.16)
35 onde, H=/1,0147;8,2,0567;46{p<765,3,<724%;1%'1;1%( 0, 370434256á6,4 = . Vejamos agora o valor que a equação 3.16 assume para cada empresa Sendo %'=7 e N=1,2,3,4,5, ∑7%(p,( = B7A + B73 +B7; +B71 + C7A + C73 +C7; +C71+7A + 73 +7; +71 +7A + 73 +7; +71+7A + 73 +7; +71 = 1 +0 +0 + 0 + 1 +0 +0 +0 +1 +0 +0 +0 +0+ 0+ 0+ 0 +0+ 0+ 0+ 0 =3 Sendo %'=A e N=1,2,3,4,5, ∑A%(p,( = BA7 + BA3 +BA; +BA1 + CA7 + CA3 +CA; +CA1 + A7 + A3 +A; +A1 + A7 + A3+A; +A1 + A7 + A3+A; +A1 = 1 +0 +0 + 0 + 1 +0 +0 +0 +1 +0 +0 +0 +0+ 0+ 0+ 0 +0+ 0+ 0+ 0 =3 Sendo %'=3 e N=1,2,3,4,5, ∑3%(p,( = B37 + B3A +B3; +B31 + C37 + C3A +C3; +C31 + 37 + 3A +3; +31 + 37 + 3A+3; +31 + 37 + 3A+3; +31 = 0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +1 +0 +0 +0 +0 +1 =2 Sendo %'=; e N=1,2,3,4,5, ∑;%(p,( = B;7 + B;A +B;3 +B;1 + C;7 + C;A +C;3 +C;1 + ;7 + ;A +;3 +;1 + ;7 + ;A+;3 +;1 + ;7 + ;A+;3 +;1 = 0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +1 +0 +0 +0 +0 +0 =1 Sendo %'=1 e N=1,2,3,4,5,
36 ∑1%(p,( = B17 + B1A +B13 +B1; + C17 + C1A +C13 +C1; + 17 + 1A +13 +1; + 17 + 1A+13 +1; + 17 + 1A+13 +1; = 0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +0 +1+0 =1 Neste caso as empresas e e I são as que partilham mais administradores, no entanto tal partilha só se verifica entre estas duas empresas. Pelo contrário, a empresa 3 partilha apenas dois diretores executivos mas com duas empresas diferentes, ; e 1. Ou seja, à partida a empresa vai apresentar uma dispersão das interligações entre CA mais elevada que as empresas e e I. Como já referido, no limite uma determinada empresa poderia relacionar-se com todas as outras presentes no conjunto %. Tal pode ser representado pela seguinte expressão: RG−, (3.17) sendo que para o exemplo da figura 11, P}−1=5−1=4. Para determinar o número total de empresas com que uma determinada empresa efetivamente se relaciona calcula-se o número de empresas com que essa determinada empresa possui, pelo menos, uma ligação: (G?,G@)=F {H:HG?G@ RG @J ≠ 0}. (3.18) Sendo, H:HG?G@≠=,H:HG?G@≠= ,H:HG?G@≠>=, (3.19) vem que, para G?=e, (%,,%-)=1 pois a empresae encontra-se ligada apenas à empresaI. Ou seja, N:%'%(≠0 só se verifica se %,=7 e %-=A. Assim, a dispersão das interligações entre CA é dada por:
37 G@=(,) RG– ×F HG?G@,∀H,?,@ @H . (3.20) Daqui vem que: Sendo G?=e, e=Δ(a,Aj) P%–1×F7%( (p =1 5−1×3=0,75 Sendo G?=I, I=Δ(b,Aj) P%–1×FA%( (p =1 5−1×3=0,75 Sendo G?=, =Δ(c,Aj) P%–1×F3%( (p =2 5−1×2=1 Sendo G?=L, L=Δ(d,Aj) P%–1×F;%( (p =1 5−1×1=0,25 Sendo G?=, I=Δ(e,Aj) P%–1×F1%( (p =1 5−1×1=0,25 Conclui-se, assim, que a empresa é a que apresenta uma maior dispersão das interligações entre CA de acordo com a métrica proposta, como já se havia previsto. Tal acontece pois, apesar de partilhar menos um administrador que as empresas 7 e A estabelece ligações com 2 empresas, enquanto as empresas 7 e A só se encontram ligadas a uma outra empresa (neste caso estabelecem uma ligação entre si). Por sua vez, as empresas ; e1 registaram um nível de dispersão mais reduzido, o que se justifica pelo facto de partilharem apenas 1 administrador com apenas uma outra empresa. Fica assim provado que uma empresa beneficia não só das ligações que estabelece com outras empresas mas também da quantidade de administradores partilhados. Comparando a dispersão das empresas 7 e ;, que se encontram ambas ligadas a uma outra empresa, verifica-se um valor mais elevado no caso da empresa 7. Tal acontece
38 porque esta empresa compartilha 3 administradores, enquanto a empresa; apenas compartilha 1 administrador. Como supracitado, há no entanto que considerar que uma empresa que partilhe muitos administradores mas apenas com uma ou duas outras empresas não tira um maior proveito das ligações que uma empresa que partilhe menos administradores mas com mais que uma ou duas empresas. Exemplos de tal são as empresas 7 e 3. A primeira empresa partilha 3 administradores mas com apenas 1 outra empresa, já a segunda partilha 2 administradores mas com outras 2 empresas, o que lhe permite atingir uma maior dispersão. 3.5 Grafos bipartidos ao longo do tempo A maioria dos métodos propostos para medir a proximidade ou a relevância dos nós em grafos bipartidos apesar do seu sucesso são apenas aplicáveis a grafos estáticos. Porém, os grafos gerados com base em conjuntos de dados reais evoluem e crescem, por exemplo e novas ligações vão aparecendo ou a força das relações vai-se alterando, fortificando ou esmorecendo. Neste sentido, Tong et al. (Tong, 2008) propõem uma definição de proximidade e centralidade para grafos que evoluem ao longo do tempo bem como dois algoritmos que localizam de forma incremental a centralidade (Track-Centrality) e a proximidade (Track-Proximity) em qualquer faixa de tempo. Utilizam como um dos exemplos uma rede constituída pelas ligações entre autores e conferências e que possui informação acerca do número de papers (pesos das arestas) publicados por cada autor (nós do tipo 1) em cada conferência (nós do tipo 2) para cada ano (intervalo de tempo). Para responderem a questões como, Como varia ao longo do tempo o número de papers publicados por determinado autor; Como varia ao longo do tempo o número de papers publicados em dada conferência ou área de investigação (conjunto de conferências)? utilizam as definições e algoritmos que propõem.
39 Os autores usam o que denominam de time-slice matrix ou slice matrix, S(t) para representar as novas ligações/arestas ou pesos/força das relações que surgem no momento t. Por exemplo, dado um conjunto de autores e conferências anuais, o número de papers que o autor i publicou na conferência j durante o ano t é representado pela entrada S(t)(i,j). Neste caso os autores focam-se apenas no surgimento de novas arestas/relações e no aumento dos pesos/força dessas arestas/relações. No entanto as ideias desenvolvidas podem ser facilmente generalizadas para outros tipos de alterações das ligações, como por exemplo desaparecimento de ligações/arestas ou decréscimo da força das relações (Tong, 2008). Dada a noção de slice matrix (exemplo de slice matrix na figura 14), um grafo que evolui ao longo do tempo (evolving graph) pode ser definido como uma sequência de novas arestas/ligações e pesos/força das relações observados, S(1), S(2), …, S(t),…. Contudo, a informação para apenas um período de tempo pode apresentar-se muito dispersa para uma análise significativa e/ou os utilizadores geralmente preferem analisar grandes porções de dados para observarem padrões e tendências interessantes. Assim, a partir de uma sequência de slice matrixes observadas, S(j) para 1 ≤ j ≤ t, os autores constroem um grafo bipartido agregando intervalos de tempo. Propõem três estratégias de agregação que colocam uma ênfase diferente sobre as arestas de acordo com a idade destas. Para todos os casos utilizam a matriz de adjacência de agregação de tempo (time aggregate adjancency matrix) representada por M(t) – matriz de adjacência do grafo bipartido no momento t. Apresentam também a matriz das diferenças (difference matrix) ∆M(¥), que representa a diferença entre duas matrizes de adjacência consecutivas, i.e., ∆M(¥) ≡ M(¥)−M(¥SB). Notar que dependendo da estratégia de agregação adotada a matriz de diferenças ∆M(¥) pode ser ou não igual à slice matrix S(t). Os três esquemas possíveis para a agregação definem-se da seguinte forma segundo Tong et al. (Tong, 2008):
40 1. Agregação Global: uma forma de obter as matriz de adjacência M(t) é adicionar as novas arestas e pesos das arestas presentes na matriz S(t) à matriz de adjacência obtida no período anterior a t, M(t-1): §(¨)=© ª(@) @J (3.21) Este tipo de agregação coloca igual ênfase em todas as arestas desde o período de tempo inicial, e apenas neste caso ∆M(¥)= S(t). De seguida apresentam-se esquemas que colocam uma maior ênfase nas ligações mais recentes. Para estes dois esquemas ∆M(¥) ≠ S(t). 2. Janela Temporal (Sliding Window): neste tipo de agregação apenas se consideram as arestas e pesos que chegam nos últimos len espaços de tempo, sendo len o comprimento da janela temporal. §(¨)=© ª(@) @J«¬{,SUfx} (3.22) 3. Ponderação Exponencial (Exponential Weighting): neste tipo de agregação as novas arestas e ponderações/pesos no momento t são amplificadas por um fator exponencial, βj (β > 1): §(¨)=∑®ª(@) @J (3.23) 3.5.1 Proposta de medida de dispersão ao longo do tempo Considerando a metodologia de agregação global acima descrita (Tong et al, 2008) propõe-se, neste trabalho, uma medida da dispersão das interligações entre CA em termos temporais: G@ M=F G@ M J ,∀H,@ (3.24)
41 Para explicar a medida exposta na equação 3.24 consideram-se dois momentos de tempo, 5=1 e 5=2, e uma matriz de adjacência que traduz as ligações entre um conjunto de empresas % para cada um desses momentos de tempo: a b c d a 0 1 1 0 b 1 0 2 1 c 1 2 0 0 d 0 1 0 0 Figura 12 Matriz de adjacência em = a b c d a 0 1 0 0 b 1 0 0 1 c 0 0 0 0 d 0 1 0 0 Figura 13. Matriz de adjacência em =i Com base no exemplo acima, a formalização da equação 3.24 traduz o seguinte: G@ M=G@ +G@ i,∀H,@=,i. Considerando %(=7 e utilizando a metodologia explicitada na secção 3.4.2.4 para o cálculo de %( vem que %( B=1,33 e %( C=0,33, logo: G@ M=G@ +G@ i=e+ei=,ww+,ww=,¯¯ Ou seja, nos dois períodos de tempo considerados a empresa e acumulou uma dispersão das interligações entre CA de 1,66. Para: %(=A, I+Ii=°+,ww=±,ww %(=3, +i=i+=i %(=;, L+Li=,ww+,ww=,¯¯
42 De todas as 4 empresas do exemplo, a empresa A foi a que acumulou mais interligações entre CA nos dois períodos de tempo (de acordo com a medida proposta), apesar de deixar de estar a ligada à empresa 3 em 5=2. Seguiu-se a empresa 3, embora tenha perdido a sua ligação com as empresas 7 e A. A empresa ; foi a que acumulou uma menor dispersão das interligações entre CA, ainda que mantendo nos dois momentos de tempo a relação com a empresa A. Uma outra opção poderia passar por aplicar a medida de dispersão proposta na secção 3.4.2.4 à matriz de adjacência de agregação de tempo ²(b) obtida a partir de uma sequência de slice matrixes, ³(() com 1≪-≪5=2, tal como sugerido por Tong et al (Tong, 2008). Seguindo esta lógica, as matrizes das figuras 12 e 13 acima são consideradas as slice matrixes ³(B)e ³(C) para 5=1 e 5=2. a b c d a 0 1 1 0 b 1 0 2 1 c 1 2 0 0 d 0 1 0 0 Figura 14 Slice matrix ª()em =. a b c d a 0 1 0 0 b 1 0 0 1 c 0 0 0 0 d 0 1 0 0 Figura 15 Slice matrix ª(i) em t=2. Pelo que,
43 ²(C) =³(B) +³(C) = a b c d a 0 2 1 0 b 2 0 2 2 c 1 2 0 0 d 0 2 0 0 Figura 16. Matriz de adjacência agregada em t=2. Aplicando então a medida de dispersão da equação 3.20: G@=(,) RG– ×F HG?G@,∀H,?,@ @H , proposta na secção 3.4.2.4, à matriz de adjacência de agregação de tempo ²(C) e considerando %(=7, e=i. Para: %(=A, I=¯ %(=3, =i %(=;, L=,¯¯. Seguindo este método a dispersão das interligações entre CA acumulada nos dois períodos de tempo mostra-se igual para as empresa 7 e 3. A empresa A mantém-se no topo do ranking e a empresa ; em último lugar. 3.5.2 Conclusão Conforme o descrito acima, os resultados obtidos a partir da aplicação da medida de dispersão em termos estáticos à matriz de adjacência de agregação de tempo ²(b)são bastante semelhantes aos auferidos através do cálculo da medida de dispersão das interligações entre CA seguindo a metodologia de agregação global (equação 3.24). Assim, vamos aplicar ambos os métodos ao estudo de caso abordado na secção 4 deste trabalho e fazer uma análise comparativa.
50 que, por sua vez, traduz que a maioria dos administradores não ocupa, simultaneamente, cargos em muito mais que um CA. Para as três redes analisadas no presente trabalho, a probabilidade rz de um administrador trabalhar com z outros administradores apresenta-se também como uma função complicada de z, principalmente no caso do PSI 20. Como se pode verificar nas figuras 21 e 24, as funções que representam a probabilidade de um administrador trabalhar com z outros administradores apresentam várias oscilações. Para o PSI 20 em 2011 não se destacam apenas dois máximos como acontece na análise da rede das 1000 empresas que integravam a Fortune em 1999. Apesar de se verificarem os máximos próximos de 10 e 20 (também verificados na rede de empresas do PSI 20 em 2013), observam-se também máximos próximos de 30 e de 40. Como já referido, os máximos próximos de 10 e 20 resultam do facto de a maioria das empresas possuírem CA de dimensão igual a 10 e de, no caso do PSI 20 em 2011, os administradores ocuparem simultaneamente 1 ou 2 CA. Neste caso, os máximos próximos de 30 e 40 decorrem da maior dimensão de alguns dos CA em 2011. A rede relativa ao IBEX 35 é a que se apresenta mais próxima do descrito por Strogatz (Strogatz 2001), com os dois máximos perto de 10 e 20 e uma longa cauda, embora neste caso ainda se verifiquem alguns picos ao longo da cauda. Figura 22 Probabilidade rz de um administrador trabalhar com z outros administradores (PSI 20 em 2011) Figura 23 Probabilidade rz de um administrador trabalhar com z outros administradores (PSI 20 em 2013) 0% 0% 1% 10% 100% 0 20 40 60 80 0% 0% 1% 10% 100% 0 20 40 60
51 Figura 24 Probabilidade rz de um administrador trabalhar com z outros administradores (IBEX 35 em 2013) 4.3.2 Centralidade, densidade e clustering das redes Nas 3 sub-secções seguintes (4.3.2.1, 4.3.2.2, 4.3.2.3) vão analisar-se os resultados das medidas estatísticas centralidade, densidade e clustering ao nível da rede. A centralidade da rede vai ser estudada através do grau médio da rede, que no fundo mede o número médio de ligações existentes na rede. Por sua vez, a densidade da rede, como já referido na secção 3.4.1.1, é dada pelo rácio entre o grau médio da rede (N) e o grau NO que cada nó possuiria se a rede se encontrasse totalmente conectada (NO=P− 1, onde P é o número de nós presentes na rede): (H) RS (4.1) Finalmente vai ainda apresentar-se o clustering das redes em estudo que permite perceber o quão coesa e unida é uma rede. Como explicitado na secção 3.4.1.2 a medida de clustering é representada por (Jackson, 2008): TU(V)=∑#{@HYV|H[@,@∈R?(V),H∈R?(V)} ?∑#{@H|H[@,@∈R?? (V),H∈R?(V) =∑V?@V?H?,@]?;H]@;H]? V@H ∑V?@V?H?,@]?;H]@;H]? (4.2) Estas 3 medidas vão ser aplicadas para as redes de empresas e administradores do PSI 20, em 2011 e 2013, e do IBEX 35 em 2013. 0% 0% 1% 10% 100% 0 20 40 60 80
52 4.3.2.1 Redes das empresas e dos administradores do PSI 20 em 2011 Na rede relativa às empresas que constituíam o PSI 20 em 2011, que resulta da projeção do grafo bipartido relativo às interligações entre os conselhos de administração existentes no período, existiam apenas 2 empresas financeiras. O número de ligações existentes era igual a 19 e representava a partilha de um ou mais administradores entre todas as 20 empresas. Esta rede apresentava uma centralidade de grau de 0,23 e uma dispersão de 1,2%. Figura 25 Rede de empresas do PSI 20 em 2011. Segundo Silva e Neves (Silva e Neves, 2012), na rede das 125 maiores empresas portuguesas consideradas no seu estudo, em 2010 a centralidade de grau atingiu 1,96 e a densidade ou dispersão 1,73. Ora, considerando as empresas do PSI 20 como a “nata” da rede das 125 maiores empresas estudadas por estes autores, no presente trabalho conclui-se que, em 2011, a centralidade de grau das 20 maiores empresas portuguesas é superior à verificada para as 125 maiores empresas portuguesas no ano anterior. Em termos de dispersão verifica-se o contrário, tendo esta medida apresentado um valor mais reduzido para as 20 maiores empresas portuguesas em 2011 que para as 125 maiores empresas portuguesas em 2010. Pode considerar-se que tal traduz que de entre as maiores empresas portuguesas as pertencentes ao PSI 20 se encontram mais relacionadas entre si e que as ligações entre estas empresas se apresentam menos
53 dispersas. Isto é, as ligações concentram-se gerando poucos grupos de empresas conectadas em vez de existirem vários grupos de empresas conectadas. Como veremos na secção 4.3.3, onde se procederá à análise das componentes das redes do PSI 20 e IBEX 35, em 2011 existia apenas um grupo que concentrava todas as ligações existentes entre as empresas do PSI 20. Em 2013, existiam 5 grupos, sendo que as relações existentes entre as empresas se concentravam em 3 grupos. Figura 26. Evolução das medidas de centralidade da rede (Silva e Neves, 2010) Por sua vez, a rede referente aos administradores apresentava uma centralidade de 0,14 e uma dispersão de 0,04%, ambas inferiores às verificadas para a rede de empresas. Dos 333 indivíduos pertencentes aos conselhos de administração das empresas do PSI 20 em 2011, 36 assumiam funções em mais que um conselho. O grau máximo atingido por um indivíduo na rede de administradores do PSI 20 em 2011 foi de 0,22 e existiam dois administradores com este nível de centralidade. Ainda com uma posição de centralidade bastante significativa, com um grau de 0,20 tinha-se mais um administrador. Podemos assim considerar que, de entre os 36 administradores que interligavam diferentes empresas, 3 protagonizavam as interligações existentes.
Figura 27 Rede dos O coeficiente de clustering para a rede de administra dores e 0 para a rede de empresas. É, no entanto que o elevado coeficiente de pode dever em grande parte ao facto de os administradores se encontrarem organizados em grupos (os conselhos de administração). Ou seja, pode existir um duplo efeito da existência de interligações entre conselhos de administração sobre esta estatística. Se não existissem interligações entre conselhos de administração os administradores encontrar-se-iam ligados a todos os administradores pertencentes ao conselho da empresa que integravam, fazendo com que o coeficiente de para a rede de administradores e 0 para a rede de empresas. ocupar simultaneamente o conselh será bastante inferior a 1 pois os seus vizinhos no conselho vizinhos mais próximos. Assim, a interligação entre conselhos de administração diminui o coeficiente de clustering da rede de administradores e aumento o coeficiente da rede de empresas ( Battiston e Catanzaro, 2004 4.3.2.2 Redes das empresas Em 2013, na rede de empresas que integravam o PSI 20 o número de empresas financeiras apresentavase superior ao registado em 2011, passando de 2 para 4 unidades. Observou-se , no entanto, Joaquim Aníbal Brito Freixial de Goes Manuel António de Castro Portugal Carneiro da Frada 54 Rede dos administradores do PSI 20 em 2011 (centros) clustering (Watts-Strogatz Clustering Coefficient ) era de 0,96 dores e 0 para a rede de empresas. É, no entanto que o elevado coeficiente de clustering observado para a rede de administradores se pode dever em grande parte ao facto de os administradores se encontrarem organizados de administração). Ou seja, pode existir um duplo efeito da existência de interligações entre conselhos de administração sobre esta estatística. Se não existissem interligações entre conselhos de administração os administradores todos os administradores pertencentes ao conselho da empresa que integravam, fazendo com que o coeficiente de clustering fosse igual a 1 para a rede de administradores e 0 para a rede de empresas. Porém, se um administrador ocupar simultaneamente o conselh o de administração i e j , então o coeficiente referido será bastante inferior a 1 pois os seus vizinhos no conselho i e no conselho vizinhos mais próximos. Assim, a interligação entre conselhos de administração diminui da rede de administradores e aumento o coeficiente da rede Battiston e Catanzaro, 2004 ). empresas e dos administradores do PSI 20 em 201 Em 2013, na rede de empresas que integravam o PSI 20 o número de empresas se superior ao registado em 2011, passando de 2 para 4 , no entanto, um menor número de liga ções face a 2011. Amílcar Carlos Ferreira de Morais Pires Joaquim Aníbal Brito Freixial de Goes Manuel António de Castro Portugal Carneiro da Frada do PSI 20 em 2011 (centros) . ) era de 0,96 dores e 0 para a rede de empresas. É, no entanto , de salientar observado para a rede de administradores se pode dever em grande parte ao facto de os administradores se encontrarem organizados de administração). Ou seja, pode existir um duplo efeito da existência de interligações entre conselhos de administração sobre esta estatística. Se não existissem interligações entre conselhos de administração os administradores todos os administradores pertencentes ao conselho da fosse igual a 1 Porém, se um administrador , então o coeficiente referido e no conselho j não são os vizinhos mais próximos. Assim, a interligação entre conselhos de administração diminui da rede de administradores e aumento o coeficiente da rede do PSI 20 em 201 3 Em 2013, na rede de empresas que integravam o PSI 20 o número de empresas se superior ao registado em 2011, passando de 2 para 4 ções face a 2011. Ferreira de Morais Pires
55 Contavam-se 18 ligações que, neste caso, traduziam a existência de administradores comuns entre 18 das 20 empresas da rede. O grau da rede era de 0,07 e a dispersão era de 0,4%. Estes valores apresentaram-se menores que os observados para a mesma rede em 2011 e que para as 125 maiores empresas portuguesas consideradas no estudo de Silva e Neves (Silva e Neves, 2012), em 2010. Neste caso continua a poder-se considerar que as ligações entre estas empresas se concentram gerando poucos grupos de empresas conectadas. Tal pode ser confirmado novamente na secção 4.3.3, onde se verifica que as relações existentes entre as empresas do PSI 20 em 2013 se concentram em 3 grupos. O coeficiente de clustering (Watts-Strogatz Clustering Coefficient) alcançou 0,45. Figura 28 Rede de empresas do PSI 20 em 2013. Focando na rede de administradores, a centralidade (grau) cifrou-se em 0,12 em 2013, ligeiramente mais reduzida que em 2011. Por seu lado, a dispersão aumentou face a 2011, situando-se em 0,05%. Neste período, 32 dos 244 indivíduos da rede ocupavam mais que um conselho de administração. Foram 3 os administradores que apresentaram o maior grau de centralidade (0,189) observado para os vértices da rede dos administradores do PSI 20 em 2013. Destacaram-se ainda outros 3 administradores com uma centralidade entre 0,181.
Figura 29 Rede dos a Mais uma vez o coeficiente de um valor bastante elevado, de 0,95 4.3.2.3 Redes das empresas Na rede resultante das int empresas pertencentes ao IBEX 35 em 2013 partilha de um ou mais administradores entre 23 das 35 empresas cotadas no ano em questão. O número de ligações e, consequ apresentouse neste caso bem mais elevado que o observado para a rede de empresas do PSI 20, quer em 2011 quer em 2013 2013 de 0,12 . Porém, em termos de dispersão ao PSI 20, tendo esta estatística alcançado 0,3% na presente rede uma menor dispersão na rede do IBEX 35, isto é, as ligações existentes concentram num menor número de grupos: no PSI 20 e levam à geração de 3 grupos de empresas conectadas enquanto no IBEX 35 em 2013 as ligaçõe s se encontram concentradas em 2 reflete este facto apresentado um valor mais re PSI 20 no mesmo ano, nomeadamente de 0,19 Milton Almicar Silva Vargas José Guilherme Xavier de Basto 56 dos a dministradores do PSI 20 em 2013 (centros) Mais uma vez o coeficiente de clustering da rede de administradores apresentou valor bastante elevado, de 0,95 empresas e dos administradores do IBEX 35 em 201 rede resultante das int erligações entre os conselhos de administração das empresas pertencentes ao IBEX 35 em 2013 e xistiam 29 ligações, que representavam a partilha de um ou mais administradores entre 23 das 35 empresas cotadas no ano em questão. O número de ligações e, consequ entemente, o número de empresas interligadas se neste caso bem mais elevado que o observado para a rede de empresas do PSI 20, quer em 2011 quer em 2013 , sendo o grau da rede de empresas do IBEX 35 em . Porém, em termos de dispersão verificouse uma ligeira a diferença face ao PSI 20, tendo esta estatística alcançado 0,3% na presente rede . Tal reflete que existe uma menor dispersão na rede do IBEX 35, isto é, as ligações existentes concentram num menor número de grupos: no PSI 20 e m 2013, por exemplo, as ligações grupos de empresas conectadas enquanto no IBEX 35 em 2013 as s se encontram concentradas em 2 grupos. O coeficiente de clustering reflete este facto apresentado um valor mais re duzido para o IBEX 35 em 2013 face ao mesmo ano, nomeadamente de 0,19 . Jo aquim Aníbal Brito Freixial de Goes Amílcar Carlos Ferreira de Morais Pires Milton Almicar Silva Vargas José Guilherme Xavier de Basto Ricardo Espírito Santo Silva Salgado José Manuel Pinheiro Espírito Santo Silva (centros) . da rede de administradores apresentou em 201 3 erligações entre os conselhos de administração das xistiam 29 ligações, que representavam a partilha de um ou mais administradores entre 23 das 35 empresas cotadas no ano em entemente, o número de empresas interligadas se neste caso bem mais elevado que o observado para a rede de empresas do grau da rede de empresas do IBEX 35 em se uma ligeira a diferença face . Tal reflete que existe uma menor dispersão na rede do IBEX 35, isto é, as ligações existentes concentram -se m 2013, por exemplo, as ligações existentes grupos de empresas conectadas enquanto no IBEX 35 em 2013 as clustering também duzido para o IBEX 35 em 2013 face ao aquim Aníbal Brito Freixial de Goes Amílcar Carlos Ferreira de Morais Pires Ricardo Espírito Santo Silva Salgado José Manuel Pinheiro Espírito Santo Silva
Figura De entre os administradores de todas as empresas que integravam o Índice Iberia, um alcançou um gra u de 0,15, o máximo registado para esta medida de centralidade. Existiam ainda mais 3 indivíduos cuja centralidade se destacava no período, com o grau a cifrar-se entre 0,08 e 0,09. A posição de destaque destes administradores na rede pode ser observada na figura por centros) que representam os indivíduos mencionados. Figura 31 Rede dos administradores do Alfredo Sáenz Abad 57 Figura 30 Rede de empresas do IBEX 35 em 2013 De entre os administradores de todas as empresas que integravam o Índice Iberia, um u de 0,15, o máximo registado para esta medida de centralidade. Existiam ainda mais 3 indivíduos cuja centralidade se destacava no período, com o grau entre 0,08 e 0,09. A posição de destaque destes administradores na rede pode figura 31, sendo os vértices de maior dimensão (também designados por centros) que representam os indivíduos mencionados. Rede dos administradores do IBEX 35 em 2013 (centros) Isidre Fainé Casas Alfredo Sáenz Abad Samantha Barber Florentino Pérez Rodríguez Rede de empresas do IBEX 35 em 2013 De entre os administradores de todas as empresas que integravam o Índice Iberia, um u de 0,15, o máximo registado para esta medida de centralidade. Existiam ainda mais 3 indivíduos cuja centralidade se destacava no período, com o grau entre 0,08 e 0,09. A posição de destaque destes administradores na rede pode os vértices de maior dimensão (também designados em 2013 (centros) Florentino Pérez Rodríguez
58 O grau da rede de administradores do IBEX 35 em 2013 era de 0,12, tal como o grau verificado para o PSI 20 no mesmo período. Também o nível de dispersão se mostrou mais reduzido face à rede de administradores do PSI 20, fixando-se em 0,03% para a rede de administradores do IBEX 35. O número de indivíduos que ocupavam mais que um conselho de administração era de 36, sendo que destes, 32 desempenhavam funções em 2 conselhos de administração, 3 em 3 conselhos de administração e apenas 1 em 4 conselhos de administração. O coeficiente de clustering atingiu 0,96, um valor ligeiramente superior ao alcançado para o PSI 20 em 2013. 4.3.3 Análise das componentes conectadas das redes de empresas A análise das componentes de uma rede constitui uma forma de analisar o grau de integração da rede. O número de componentes mede os diferentes sub-conjuntos de empresas exclusivamente inter-relacionadas. A existência de uma única componente significa que cada par de empresas conectadas possui uma ligação com outra empresa, concentrando assim todas as relações presentes na rede. Para calcular as componentes conectadas num grafo não direcionado e estático pode utilizar-se quer uma procura em largura (breadth-first search) ou em profundidade (depth-first search). Em ambos os casos a procura, que começa num determinado vértice v, encontrará a componente conectada que contém v (e mais vértices) antes de regressar a v. Para encontrar todas as componentes conectadas de um grafo, o algoritmo percorre (em largura ou em profundidade) todos os vértices do grafo, iniciando uma nova busca sempre que o ciclo atinge um vértice que ainda não tenha sido incluído numa componente anteriormente encontrada. Este algoritmo é descrito por Hopcroft e Tarjan (1973) existindo outros para casos mais complexos como grafos dinâmicos, florestas, etc. Como já supracitado na secção 2.4 do presente trabalho, segundo Silva e Neves (Silva e Neves, 2012), na rede das 125 maiores empresas consideradas no seu estudo, em 2010 mais de 50% das empresas encontravam-se integradas na componente principal (55,2%). Na presente análise, que se restringe às 20 maiores empresas portuguesas (que integram o PSI-20) e que se podem considerar como a “nata” das 125 empresas que Silva e Neves (Silva e Neves, 2012) estudam, em 2011existia apenas uma
componente na rede . O empresas que integravam a rede. No entanto, em 2013 a rede de empresas que integravam o PSI 20 dividia encontravamse 60% das empresas da rede. Relativamente a rede empresas não interligadas, nomeadamente a Ren e o Banif. Figura 32 Componentes da rede de empresas do PSI 20 em 2013 Comparando as interligações entre os conselhos de administração das empresas PSI 20 entre os dois anos referidos, que outras se dissiparam e que novas relações surgiram. Como exemplo do primeiro caso temos a ligação entre a Portugal Telecom e o Millennium BCP ou a ligação entre Zon Multimédia e o BPI. Despareceu, por exemplo, a ligação entre a Zon Multimédia e a Galp, sendo que como exemplo do aparecimento de uma nova ligação temos a partilha de administrador(es) entre a Jerónimo Martins e o BPI. É ainda de destacar a Ren passou a estar isolada em 2013. 59 . O u seja, es ta componente era constituída pelo total empresas que integravam a rede. No entanto, em 2013 a rede de empresas que integravam o PSI 20 dividia - se em 5 componentes. Na componente principal se 60% das empresas da rede. Relativamente a 2011, passaram a existir na empresas não interligadas, nomeadamente a Ren e o Banif. Componentes da rede de empresas do PSI 20 em 2013 Comparando as interligações entre os conselhos de administração das empresas PSI 20 entre os dois anos referidos, percebe-se que algumas das ligações se mantiveram, que outras se dissiparam e que novas relações surgiram. Como exemplo do primeiro caso temos a ligação entre a Portugal Telecom e o Millennium BCP ou a ligação entre Zon Multimédia e o BPI. Despareceu, por exemplo, a ligação entre a Zon Multimédia e a Galp, sendo que como exemplo do aparecimento de uma nova ligação temos a partilha de administrador(es) entre a Jerónimo Martins e o BPI. É ainda de destacar a Ren em 2013. ta componente era constituída pelo total (100%) das empresas que integravam a rede. No entanto, em 2013 a rede de empresas que se em 5 componentes. Na componente principal 2011, passaram a existir na Componentes da rede de empresas do PSI 20 em 2013 Comparando as interligações entre os conselhos de administração das empresas do que algumas das ligações se mantiveram, que outras se dissiparam e que novas relações surgiram. Como exemplo do primeiro caso temos a ligação entre a Portugal Telecom e o Millennium BCP ou a ligação entre a Zon Multimédia e o BPI. Despareceu, por exemplo, a ligação entre a Zon Multimédia e a Galp, sendo que como exemplo do aparecimento de uma nova ligação temos a partilha de administrador(es) entre a Jerónimo Martins e o BPI. É ainda de destacar a Ren
66 onde gkj equivale ao número de k – j caminhos geodésicos e :p((i) é o número de k – j caminhos geodésicos que passam pelo vértice i. A flowbetweeness além de considerar os caminhos geodésicos para identificar a posição intermediária de um nó na rede, considera também o contributo dos caminhos não geodésicos. É uma medida que está relacionada com o conceito de fluxo máximo (maximum flow) e é dada por: yI(?)=F zH@(?) Hn@ ,H,@≠?, (4.5) onde mkj (i) é o fluxo máximo entre os nós k e j que passa pelo nó i. 4.4.2.5 Rede de empresas do PSI 20 em 2011 De acordo com a medida de centralidade betweeness a Portugal Telecom apresentava-se também como a empresa mais central do PSI 20 em 2011, seguida pelo Millennium BCP e pela Galp Energia. A estatística atingiu 0,56 para a Portugal Telecom e 0,50 para as outras duas empresas.Com base nesta medida pode calcular-se o índice de centralização introduzido por Freeman (Freeman, 1977 c.f. Crocci et al., 2013), isto é, a diferença média entre a centralidade da empresa mais central e a centralidade das restantes. Este índice permite quantificar a importância que a entidade mais central possui sobre a difusão de informação existente entre outros vértices (Croci et al., 2013). No caso da rede de empresas do PSI 20 em 2011, o índice de centralização com base na betweeness cifrou-se em 49%. Este valor quantifica a posição intermediária que a empresa mais central (neste caso com o maior valor de betweeness), a Portugal Telecom, possui sobre toda a rede. Tomando em consideração não apenas os caminhos geodésicos como intermediários do fluxo de informação da rede, as 3 empresas que se apresentaram mais centrais em termos de betweeness foram também as que protagonizaram dos valores mais elevados para a medida flowbetweeness. Ou seja, na rede de empresas do PSI 20 em 2011, a Portugal Telecom, a Zon Multimédia e a Semapa - Sociedade de Investimento e Gestão eram as principais intermediárias, quer com base na betweeness quer com base na flowbetweeness. Contudo, com base na flowbetweeness, a Sonae SGPS que apresentava uma betweeness ligeiramente mais
67 reduzida que as empresas mais centrais (0,30), conseguiu superar, ainda que apenas por uma centésima, o Millennium BCP. 4.4.2.6 Rede de empresas do PSI 20 em 2013 De entre o conjunto de empresas que constituíam o PSI 20 em 2013, o BES e a Semapa alcançaram neste ano o maior nível de betweeness (0,20). A Jerónimo Martins e a Portugal Telecom também se destacaram com uma centralidade de 0,15 e 0,14, respetivamente. O índice de centralização que assenta nesta medida situou-se, em 2013, em 17%. Como referido, este indicador atribui uma quantificação à posição intermediária que as empresas com maior valor de betweeness ocupam sobre as restantes empresas presentes na rede, neste caso a Semapa e o BES. Tomando em consideração outros caminhos além dos caminhos geodésicos para medir a intermediação de uma empresa (flowbetweeness), em 2013 as empresas que alcançaram os valores mais elevados foram igualmente as empresas que registaram uma maior betweeness. Nomeadamente, o BES, que se apresentava como principal intermediário (0,43), seguido pela Semapa (0,35), Portugal Telecom (0,34) e Jerónimo Martins (0,26). São também de destacar o BPI, o Millennium BCP, a Sonaecom e a Sonae Indústria cuja função como intermediários se mostrou mais elevada considerando a flowbetweeness. Ainda de referir os casos relativos à EDP Renováveis, Sonae SGPS e EDP Energia que, ao contrário do verificado se considerados apenas os caminhos geodésicos, passam a contribuir para a passagem de informação e recursos na rede quando considerados outros caminhos. Pode concluir-se que, face a 2011, em 2013 algumas empresas reforçaram a sua posição enquanto intermediárias ao passo que outras passaram a ocupar um lugar de menor destaque. São exemplo do primeiro caso a Semapa e a Jerónimo Martins, sendo de destacar que para esta última empresa a betweeness e a flowbetweeness se apresentavam nulas em 2011. Já a Portugal Telecom e o Millennium BCP, que em 2011 eram as principais intermediárias da rede de empresas do PSI 20, em 2013 apresentaram uma menor centralidade neste sentido. Enquanto a Portugal Telecom continuou a desempenhar um papel significativo protagonizando dos maiores valores apurados para as duas medidas em 2013, o Millennium BCP alcançou uma centralidade betweeness e flowbetweeness bastante reduzidas (0,06 e 0,08) no ano em questão. Ainda no grupo das
68 empresas cujo papel de intermediação se reduziu entre 2011 e 2013, encontram-se a Galp Energia, a Sonae SGPS e a Zon Multimédia. Em 2011 estas três empresas apresentaram níveis de centralidade betweeness e flowbetweeness significativos, sendo que em 2013 apenas a Sonae SGPS não apresentou valores nulos para estes indicadores ainda que bastante reduzidos. 4.4.2.7 Rede de empresas do IBEX 35 em 2013 Quanto ao papel de intermediação, na rede do IBEX 35 em 2013 destacou-se, mais uma vez, a Repsol. Esta empresa apresentava uma betweeness de 0,19, seguindose a ACS ACS - Actividades de Construcción y Servicios, o Banco de Sabadell e a Telefonica, empresas para as quais a medida se cifrou em 0,15, 0,10 e 0,09, respetivamente. No caso do IBEX 35, as empresas que apresentavam um maior grau em 2013 eram também as principais intermediárias da rede de acordo com a betweeness. Porém, para algumas das empresas que apresentaram uma elevada centralidade com base no vetor próprio, como a Abertis, a Gas Natural, a Obrascón e a Sacyr-Valle, a betweeness atingiu valores quase nulos (para a Abertis) ou mesmo nulos. Para esta rede o índice de centralização com base na betweeness cifrou-se em 15%, sendo esta a importância atribuída à empresa com um maior poder de intermediação na rede, a Repsol. Atentando na flowbetweeness, que para apurar o fluxo de informação existente num grafo não considera apenas os caminhos geodésicos (como a betweeness), as duas empresas consideradas como principais intermediárias de acordo com a beteweeness mantêm essa posição. No entanto, segundo esta medida, a ACS - Actividades de Construcción y Servicios é que assume o papel principal, com uma centralidade de 0,15, seguida pela Repsol (0,09). Também a Abertis vê o seu papel enquanto empresa intermediária reforçado, uma vez que, considerando a flowbetweeness apresenta uma centralidade significativa (0,09). Apesar de apresentarem valores pouco expressivos em termos de flowbetweeness, a Obrascón, a Gas Natural e a Sacyr-Valle desempenham, neste contexto, um papel de intermediação o que não acontecia no caso da betweeness.
69 4.4.3 Dispersão das interligações entre conselhos de administração A medida de dispersão da interligação entre conselhos de administração proposta neste trabalho com o intuito se provar que uma empresa beneficia não só das ligações que estabelece com outras empresas mas também da quantidade de administradores partilhados, é dada por: G@=(,) RG– ×F HG?G@,∀H,?,@ @H . (4.6) Onde, (G?,G@), representa o número total de empresas com que uma determinada empresa efetivamente se relaciona; RG−, é o número total de empresas com as quais uma determinada empresa se poderia relacionar; ∑HG?G@ @H ,∀H,?,@, calcula o número ligações existentes entre uma empresa -~%, representada por %(, e as restantes empresas pertencentes ao conjunto %, formadas por intermédio dos vários administradores que partilham nos seus CA. 4.4.3.1 Rede de empresas do PSI 20 em 2011 Aplicando a medida proposta neste trabalho, que considera a dispersão das interligações entre conselhos de administração, a Portugal Telecom é a empresa que apresenta um valor mais elevado, de 3,16. Seguem-se a Sonae SGPS e a Semapa - Sociedade de Investimento e Gestão, com 1,47 e 1,05, respetivamente. São ainda de destacar o Millennium BCP, onde a dispersão das interligações entre conselhos de administração atingiu 0,79, bem como a Galp Energia, a Zon Multimédia e a Portucel Soporcel onde o indicador se cifrou em 0,47. Considerando a génese da estatística proposta, a Portugal Telecom atinge um maior resultado pois compartilha 10 administradores com outras 6 empresas. Por sua vez a Semapa - Sociedade de Investimento e Gestão, que também partilha 10 administradores concentra essa coparticipação em apenas 2 empresas, o que origina um resultado mais baixo para a medida. Já a Sonae SGPS, apesar de partilhar um menor número de administradores (7) com outras empresas, atinge um valor para a dispersão
70 mais elevado que a Semapa - Sociedade de Investimento e Gestão, pois esses administradores interligam a Sone SGPS a outras 4 empresas. O Millennium BCP, tal como a Galp Energia e a Zon Multimédia, estabelecia interligações com 3 outras empresas. Porém, partilhava 5 administradores com essas empresas enquanto as outras duas empresas partilhavam apenas 3 administradores cada. Por seu lado, a Portucel Soporcel era das empresas que mais administradores partilhava em 2011, nomeadamente 9, mas tal envolvia apenas uma outra empresa gerando uma menor dispersão. As restantes empresas que constituíam o PSI 20 em 2011 e que partilhavam ligações com outras empresas estabeleciam essas ligações com apenas 2 ou 1 outras empresas. De entre as que se interligavam com outras 2 empresas, a Cimpor era a que apresentava uma maior dispersão (0,42), pois possuía um maior número de coadministradores que as restantes (4 administradores contra 3 e 2 administradores). Já do conjunto de empresas que possuíam administradores em comum com apenas uma outra empresa destacou-se o ESFG. A dispersão atingida por esta empresa foi de 0,11, superior à de 0,05 observada para as restantes empresas do conjunto dado que possuía 2 co-administradores e não apenas 1 como as demais. A análise realizada reflete que a força das interligações depende não só do número de empresas com as quais se partilham administradores mas também do número de administradores partilhados. Se, por um lado, uma empresa beneficia de informação ou de outros recursos por se encontrar ligada a outra(s) esse benefício poderá ser aumentado pelo contributo de cada indivíduo partilhado. Isto é, cada administrador possui as suas próprias características, crenças, capacidades, círculo social, etc, o que pode influenciar positivamente as empresas nas quais ocupa cargos. 4.4.3.2 Rede de empresas do PSI 20 em 2013 O Banco Espírito Santo (BES) e a Semapa apresentaram, em 2013, a dispersão das interligações entre conselhos de administração mais elevada da rede de empresas do PSI 20. A medida situou-se em 1,42 para a primeira empresa, resultando da partilha de 9 administradores (número máximo de elementos partilhados por uma empresa da rede no período) entre o BES e outras 3 empresas. Para a segunda empresa a dispersão alcançou 1,11, que neste caso traduzia a presença de 7 administradores da Semapa em outras 3 entidades.
71 Partilhando também ligações com outras 3 empresas tinham-se a EDP Renováveis, a Portugal Telecom, a Sonaecom, o Millennium BCP e a Jerónimo Martins. Contudo, estas entidades atingiram, no período, um menor valor para a dispersão das ligações entre CA, o que se deveu ao facto de partilharem um menor número de administradores. Assim, para a EDP Renováveis, a Portugal Telecom e a Sonaecom, que partilhavam 5 administradores cada com outras empresas, a medida situou-se em 0,79. Este valor mostrou-se superior aos 0,47 registados para o Millennium BCP e a Jerónimo Martins, cujo número de administradores comuns a outras empresas era de apenas 2. A dispersão das interligações apresentou também valores significativos para a Sonae SGPS, EDP - Energias de Portugal e Sonae Indústria, cifrando-se entre 0,32 e 0,53. Estas três empresas estabeleceram, no período, ligações com outras 2 empresas, sendo que e Sonae SGPS partilhava 5 administradores, a EDP - Energias de Portugal 4 administradores e a Sonae Indústria 3 administradores. As interligações estabelecidas pelo BPI abrangiam igualmente outras 2 empresas mas englobavam apenas 2 coadministradores, gerando uma dispersão das interligações entre conselhos de administração de 0,21. As restantes empresas do PSI 20 que se encontravam interligadas em 2013 relacionavam-se apenas com uma outra empresa. Exemplos de tais empresas eram o Espírito Santo Financial Group e a Portucel que partilhavam 5 administradores cada, gerando uma dispersão de 0,26. Com uma menor dispersão, tinham-se a Altri e a Cofina que se interligavam a outras companhias através de 4 administradores e ainda a Galp Energia, a Mota Engil e a Zon Multimédia que apresentavam apenas 1 coadministrador. 4.4.3.3 Rede de empresas do IBEX 35 em 2013 Na rede de empresas do IBEX 35 em 2013, a Repsol foi a que alcançou uma maior dispersão das interligações entre conselhos de administração, tendo a medida alcançado 2,4. Tal resultou da partilha de 10 administradores com 8 empresas diferentes, nomeadamente a Mediaset, o Bancao Sabadell, a Sacyr-Valle, a Gas, a Abertis, a ACS - Actividades de Construcción y Servicios, a Caixabank e a Telefonica. Seguiram-se a Telefonica e a ACS - Actividades de Construcción y Servicios, com uma dispersão de 1,2 e 1,1. No primeiro caso, a empresa partilhava 7 membros do
72 seu conselho de administração com 6 outras empresas: a Abertis, Repsol, Caixabank, Ferrovial, International e Inditex. No caso da ACS - Actividades de Construcción y Servicios, a partilha de ligações ocorria também com outras 6 empresas (Endesa, BME, FCC, Grifolis, Repsol e Banco de Sabadell) mas através de 6 administradores. Com uma dispersão ainda bastante elevada, entre 0,74 e 0,94, tinham-se a Abertis, a Gas Natural, a Caixabank e o Banco de Sabadell. A Abertis, a Gas Natural e a Caixabank encontravam-se ligadas com outras 4 empresas cada, sendo que a Abertis partilhava 8 administradores enquanto as restantes duas empresas partilhavam 7 administradores. Já a o Banco de Sabadell encontrava-se ligado a outras 5 empresas através de 5 co-administradores. São ainda de referir a Ebro Foods e a Obráscon. A primeira empresa estava ligada a outras 4 empresas, no entanto atingiu uma dispersão das interligações entre CA bastante reduzida (0,05) pois partilhava apenas 3 administradores. A segunda empresa (Obráscon), apesar de partilhar 5 administradores, tal ocorria apenas com outras 2 empresas, conferindo-lhe uma dispersão de apenas 0,05. As restantes empresas da rede partilhavam apenas 3, 2 ou 1 membros dos seus conselhos de administração com uma ou duas empresas o que lhes conferia um valor mais baixo para esta medida. 4.4.4 Relação entre as medidas estatísticas ao nível dos vértices das redes de empresas A comparação entre as várias medidas estatísticas aplicadas aos vértices das redes de empresas do PSI 20 (2011 e 2013) e do IBEX 35 (2013) permite retirar algumas conclusões sobre a interligação entre conselhos de administração. Grau V. Próprio Between. Flowbet. Dispersão Grau 1,00 -0,05 0,89 0,97 0,90 V. Próprio 1,00 -0,08 -0,08 0,21 Between. 1,00 0,95 0,73 Flowbet. 1,00 0,87 Dispersão 1,00
73 Tabela 2 Correlação entre medidas estatísticas ao nível dos vértices (PSI 20 2011). Em todas as três redes de empresas analisadas, a maioria das empresas que possuem um elevado grau apresentam também uma elevada betweeness. Atentando nas empresas do PSI 20 em 2011 a Portugal Telecom e a Sonae SGPS eram as empresas que apresentavam um maior grau (0,32 e 0,21). Em termos de betweeness, a Portugal Telecom apresentou-se igualmente no topo do ranking (0,56), já a Sonae SGPS apesar de apresentar um valor significativo (0,30), foi ultrapassada pelo Millennium BCP e pela Galp Energia (que apresentavam também um grau elevado). Grau V. Próprio Between. Flowbet. Dispersão Grau 1,00 0,23 0,66 0,68 0,80 V. Próprio 1,00 0,58 0,38 0,62 Between. 1,00 0,71 0,74 Flowbet. 1,00 0,55 Dispersão 1,00 Tabela 3 Correlação entre medidas estatísticas ao nível dos vértices (PSI 20 2013) Em 2013 as empresas que apresentaram um elevado grau (0,16) e uma elevada betweeness (entre 0,14 e 0,20) foram o BES, a Jerónimo Martins e a Portugal Telecom. Contudo existiam mais 3 empresas, nomeadamente o Millennium BCP, a EDP Renováveis e a Sonaecom, que possuíam um elevado grau (0,16) e uma betweeness reduzida (entre 0 e 0,06). Grau V. Próprio Between. Flowbet. Dispersão Grau 1,00 0,53 0,80 0,75 0,92 V. Próprio 1,00 0,30 0,27 0,71 Between. 1,00 0,71 0,83 Flowbet. 1,00 0,65 Dispersão 1,00 Tabela 4 Correlação entre medidas estatísticas ao nível dos vértices (IBEX 35 2013)
74 Para o IBEX 35 este facto pode ser constatado pelo confronto da centralidade de grau e betweeness da Repsol, da Telefonica e a ACS - Actividades de Construcción y Servicios. A Repsol apresentava um grau de 0,24 e uma betweeness de 0,19. Por sua vez, a Telefonica e a ACSActividades de Construcción y Servicios apresentavam um grau de 0,18 e uma betweeness de 0,09 e 0,15, respetivamente. Pode também mostrar-se interessante a análise de empresas cujos valores observados para o grau e para a betweeness sejam bastante diferentes, mais concretamente, com um baixo grau e uma elevada betweeness. Na rede do PSI 20 em 2011 não se verificava a presença de empresas com tais características. Para a mesma rede, mas em 2013, não se podia também considerar que existissem empresas com um baixo grau e uma elevada betweeness, embora o BPI apresentasse uma betweeness diferente de 0 e um grau ligeiramente mais baixo (0,11) que o máximo observado (0,16). Considerando o IBEX 35, encontram-se empresas com um grau reduzido e com níveis de betweeness que, apesar de bem menores que o máximo de 0,19, são ligeiramente superiores ao mínimo (0,01). É o caso da Mediaset, Accerinox e Indra Systems. Segundo Grassi (Grassi, 2010), um baixo grau e uma elevada betweeness enfatizam o facto de estas empresas aspirarem ligar-se estrategicamente a outras. No conjunto de empresas listadas na bolsa italiana analisadas por Grassi (Grassi, 2010), a diferença entre o grau e a flowbetweeness era ainda mais evidente que a verificada entre o grau e a betweeness (a correlação entre o grau e a betweeness era positivamente mais elevada que a registada entre o grau e a flowbetweenes). Tal levou a autora a concluir que esta última medida permite identificar melhor as conexões estratégicas entre algumas empresas. No presente trabalho não se pode utilizar o mesmo argumento para o PSI 20 (em 2011 e 2013), uma vez que a correlação entre a flowbetweeness e o grau se apresenta mais elevada (no sentido positivo) que a correlação entre o grau e a betweeness (conforme se pode verificar nas tabelas 2, 3, 4). Porém, para o IBEX 35 a correlação entre o grau e a betweeness era positivamente mais elevada que a registada entre o grau e a flowbetweeness, pelo que neste caso se pode considerar que a esta última medida permite identificar melhor as conexões estratégicas entre algumas empresas, como defende Grassi (Grassi, 2010).
75 Quanto á dispersão das interligações entre conselhos de administração, a correlação entre esta medida e as restantes medidas de centralidade aplicadas neste trabalho apresenta-se, na generalidade dos casos, positivamente elevada, traduzindo que as organizações com uma maior dispersão mostram também uma elevada centralidade. Tal pode ser verificado através das tabelas 2, 3 e 4 onde a correlação entre a dispersão e a maioria das restantes variáveis se mostra positiva e superior a 70%. As exceções ocorrem para a correlação entre a dispersão e a centralidade do vetor próprio na rede de empresas do PSI 20 em 2011 e para a correlação entre a dispersão e a flowbetweeness na rede do PSI 20 e do IBEX 35 em 2013. No entanto, e considerando a definição de cada uma das medidas (descrita na secção 4.4), para inferir acerca do contributo da partilha de administradores e das interligações que daí resultam, mostra-se necessária uma análise complementar de todas as medidas. Por exemplo, de acordo com o grau, a centralidade é tanto maior quanto maior o número de vizinhos de cada nó. Notar que no caso das redes de empresas aqui em estudo esta medida é função do número de administradores partilhados (as ligações do grafo que representa a rede têm um peso associado). Ou seja, de acordo com o grau só se está a medir o impacto das ligações diretas entre diferentes empresas através de vários indivíduos. No entanto, uma empresa ao estar diretamente ligada a outra beneficia indiretamente das ligações que essa outra empresa possui. É por isso importante valorizar, por exemplo, as ligações com empresas que estejam também ligadas a outras, o que é traduzido pela centralidade apurada com base no vetor próprio. Pode também mostrar-se importante apurar o papel que a empresa ocupa enquanto intermediária da passagem da informação ou recursos, utilizando-se para tal as medidas de centralidade betweeness e flowbetweeness. Finalmente, considera-se também relevante considerar a dispersão das interligações entre CA, no sentido de se perceber o quanto uma empresa é favorecida pela quantidade de administradores que partilha com outras empresas além do benefício resultante das ligações que estabelece com essas empresas.
82 no terceiro -0,13, valores que traduzem uma fraca correlação (no sentido negativo) entre o ROA e as duas medidas. Para a centralidade com base no vetor próprio e a betweeness, a correlação com o retorno dos ativos (ROA) das empresas apresenta-se quase nula, situando-se em -0,01 e -0,02, respetivamente. Como a centralidade com base no vetor próprio apresenta uma correlação menos negativa com o ROA que a obtida para a flowbetweeness e para o grau poderia defenderse que a centralidade afeta o valor de uma empresa devido à quantidade e não tanto à qualidade das ligações. Croci e Grassi (Croci e Grassi, 2013), no seu estudo relativo às interligações entre os CA das empresas cotadas na bolsa italiana verificaram exatamente o oposto: o valor de uma empresa é afetado negativamente pela centralidade devido à qualidade e não tanto à quantidade das ligações. No trabalho referido, a relação entre a centralidade e a performance da empresa mostrou-se mais negativa com base no grau e no vetor próprio que com base na betweeness e na flowbetweeness. Porém, como os valores obtidos para a correlação são bastante reduzidos, não se tem significância para defender tal efeito. Por sua vez, a correlação entre as medidas que quantificam a interligação entre CA e a capitalização bolsista não se mostrou também muito significativa, atingindo valores inferiores a 0,30 em todos os casos. Logo, apesar de para o grau, a betweeness, e a flowbetweeness ser positiva, não se pode defender que a quantidade de ligações existentes influencie positivamente o valor de mercado das empresas do PSI 20 em 2013. O mesmo acontece, embora no sentido oposto, com a centralidade com base no vetor próprio e a dispersão das interligações entre CA. Estas 2 estatísticas apresentam uma correlação negativa com a capitalização bolsita mas bastante fraca (-0,06 e -0,03, respetivamente), não se podendo, assim, argumentar que a qualidade das ligações existentes na rede de empresas do PSI 20 em 2013 afeta negativamente o valor de mercado dessas mesmas entidades. Finalmente, a correlação entre a alavancagem financeira (leverage) e as medidas de redes consideradas não se apresenta significativa. Consequentemente, também não se pode defender que a quantidade e qualidade das interligações entre os CA das empresas do PSI 20 em 2013 afete positiva ou negativamente o seu grau de endividamento.
83 ROA Capitalização Leverage Grau -0,13 0,13 -0,02 V. Próprio -0,01 -0,06 -0,11 Between. -0,02 0,14 0,06 Flowbet. -0,20 0,05 0,07 Dispersão -0,14 -0,03 -0,14 Tabela 7. Correlação entre medidas de centralidade e variáveis financeiras (PSI 20 2013). 4.5.3 Rede de empresas do IBEX 35 em 2013 Para o IBEX 35, a correlação entre a centralidade das empresas e o ROA mostrouse negativa para todas as 5 medidas aplicadas. Neste caso, o coeficiente de correlação de Pearson mostrou-se mais negativo para a flowbetweeness e o grau, situando-se em -0,44 e -0,37, respetivamente. Com valores para a correlação com o ROA inferiores a 0,30, e portanto pouco significativos, tinham-se a dispersão, a betweeness e a centralidade com base no vetor próprio. ROA Capitalização Leverage Grau -0,37 0,35 -0,05 V. Próprio -0,06 0,14 0,11 Between. -0,18 0,24 -0,25 Flowbet. -0,44 -0,02 -0,15 Dispersão -0,19 0,34 -0,10 Tabela 8. Correlação entre medidas de centralidade e variáveis financeiras (IBEX 35 2013). Assim, pode argumentar-se que o desempenho financeiro das empresas do IBEX 35 em 2013 está a ser negativamente afetado essencialmente pela quantidade de interligações entre CA existentes. De facto, como já referido, a flowbetweeness encontra-se mais relacionada com a quantidade de informação que transmitida na rede e
84 não tanto com qualidade como acontece com a centralidade com base no vetor próprio e a dispersão das interligações entre CA. Quanto à correlação entre as medidas da interligação entre CA e a capitalização bolsista, apenas o grau e a dispersão apresentam valores com alguma significância (superiores a 0,30) e ambos positivos. Como a dispersão apresenta uma correlação de 0,34 com a capitalização bolsista, pode considerar-se que a qualidade das interligações existentes tem um impacto positivo no valor de mercado das empresas do IBEX 35 em 2013. Tal como verificado para o PSI 20 em 2013, também para o IBEX não se observou uma correlação relevante (superior a 0,50) entre as medidas de centralidade e o nível de endividamento das empresas. Assim, também neste caso não se pode considerar que a quantidade ou a qualidade das interligações existentes entre as empresas do IBEX 35 em 2013 afete positiva ou negativamente a sua alavancagem financeira (leverage).
85 5 Conclusões A presente secção expõe os resultados encontrados bem como perspetivas de trabalho a desenvolver possivelmente no futuro. 5.1 Exposição dos Resultados A aplicação das técnicas e métricas de Análise de Redes Sociais às redes do PSI 20 (2011 e 2013) e do IBEX 35 (2013) apresenta resultados bastante semelhantes para as três bases de dados em termos de características gerais das redes e medidas ao nível da rede. Nos três casos em estudo, a maioria dos administradores desempenha cargos em apenas um conselho de administração e a maioria dos conselhos de administração apresenta um tamanho médio de 10 lugares. No que respeita às medidas ao nível da rede, tanto para o PSI 20, em 2011 e 2013, como para o IBEX 35 em 2013, as redes de conselhos de administração apresentaram uma maior centralidade e dispersão que as redes de administradores. Pelo contrário, o coeficiente de clustering mostrou-se mais elevado para as redes de administradores que para as redes de empresas nos três casos. Optou-se por focar o presente trabalho nas redes de empresas, uma vez que se pretende analisar o impacto da interligação entre conselhos de administração sobre a performance das empresas. Assim, as medidas estatísticas ao nível dos vértices (grau, centralidade com base no vetor próprio, betweeness e flowbetweeness) foram aplicadas às redes de empresas do PSI 20 e IBEX 35, nos dois anos considerados. A interpretação destas estatísticas permite concluir quais as empresas que ocupavam um lugar mais central em cada uma das 3 redes, sendo de salientar que a centralidade com base no vetor próprio atribui uma maior centralidade aos vértices cujos vizinhos ocupam também uma posição de elevada centralidade na rede e que a betweeness e a flowbetweeness identificam a posição intermediária de um nó com base no fluxo de informação existente na rede. Quanto à medida dispersão das interligações entre CA proposta no presente trabalho, a análise realizada reflete que a força das interligações depende não só do número de empresas com as quais se partilham administradores mas também do número de administradores partilhados. Se, por um lado, uma empresa beneficia de informação
86 ou de outros recursos por se encontrar ligada a outra(s) esse benefício poderá ser aumentado pelo contributo de cada indivíduo partilhado. Neste sentido, para o PSI 20 em 2011, as empresas que apresentaram uma maior dispersão das interligações entre CA foram a Portugal Telecom, a Sonae SGPS e a Semapa. Por sua vez, para o PSI 20 em 2013 a medida de dispersão atingiu valores mais elevados no caso do BES e da Semapa, sendo que para o IBEX 35 no mesmo ano tal se verificou para a Repsol, a Telefonica e a ACS - Actividades de Construcción y Servicios. Para a análise da dispersão da interligação entre CA em termos temporais consideraram-se as redes de empresas do PSI 20 em 2011 e 2013 e aplicaram-se os 2 métodos propostos: aplicação da medida da dispersão das interligações entre CA com base na metodologia de agregação global (método 1) e aplicação da medida de dispersão das interligações entre CA à matriz de adjacência agregada (método 2). Os resultados determinaram que a Portugal Telecom, a Semapa e a Sonae SGPS foram as empresas que atingem uma maior dispersão em termos temporais, quer com base no método 1 quer com base no método 2. Finalmente, têm-se as conclusões do estudo da relação entre as medidas estatísticas (centralidade de grau, centralidade com base no vetor próprio, betweeness, flowbetweeness e dispersão das interligações entre CA) e as variáveis financeiras ROA (Return on Assets), alavancagem (Leverage) e capitalização bolsista (market capitalization), a fim de se perceber se a interligação entre CA afeta a performance da empresa e de que forma. Começando pelo PSI 20 em 2011, pode considerar-se que a rentabilidade das empresas (ROA) é positivamente afetada pela qualidade das ligações existentes entre as várias empresas; que nem a quantidade nem a qualidade das interligações entre as várias empresas tem impacto sobre valor de mercado das empresas; e que o endividamento das empresas é negativamente afetado (de forma moderada) pela qualidade das ligações existentes. Para o PSI 20 em 2013, dada a baixa correlação (quer no sentido positivo quer no sentido negativo) entre as variáveis, não se pode defender que a quantidade e qualidade das interligações entre os CA das empresas afetem positiva ou negativamente a sua rentabilidade, a sua capitalização bolsista e o seu grau de endividamento. Por fim, para o IBEX 35 pode argumentar-se que o desempenho financeiro das empresas em 2013 está a ser negativamente afetado essencialmente pela quantidade de interligações entre CA existentes; que a qualidade
87 das interligações existentes tem um impacto positivo no valor de mercado das empresas; e que não se pode considerar que a quantidade ou a qualidade das interligações existentes afete positiva ou negativamente a sua alavancagem financeira (leverage). 5.2 Trabalho Futuro Como já referido, existirem vários estudos sobre a interligação entre conselhos de administração em vários países, sendo que em Portugal a investigação do fenómeno se mostra muito recente e pouco explorada. Assim, a presente dissertação constitui um contributo à literatura existente sobre a interligação entre conselhos de administração analisando o caso português com base nas 20 maiores empresas portuguesas. A utilização de dados de dois períodos de tempo, 2011 e 2013, permitiu fazer uma comparação em termos temporais, ainda que bastante limitada (2 anos) e pouco complexa, principalmente em comparação com o estudo de Silva e Neves (Silva e Neves, 2010). No entanto, convém destacar que a investigação destes autores é apresentada num working paper, não tendo sido ainda publicada, e não especifica as técnicas de Análise de Redes Sociais utilizadas. Formalizou-se e aplicou-se uma medida designada por dispersão das interligações entre conselhos de administração, cuja ideia surgiu devido à estrutura bipartida da rede que representa as interligações entre conselhos de administração. Em termos de trabalho futuro, mostra-se pertinente aprofundar a análise temporal das interligações entre os conselhos de administração, bem como aplicar técnicas de análise e medidas estatísticas diretamente às redes bipartidas, como, por exemplo, as descritas na revisão de literatura sobre a análise direta de grafos 2-mode ou bipartidos (secção 3.3.3).
88 6 Bibliografia Allen, M. P. (1974), "The structure of interorganizational elite cooptation: interlocking corporate directorates", American Sociological Review 39, pp. 393-406. Battiston, S. e M. Catanzaro (2004). "Statistical properties of corporate board and director networks". The European Phisycal Journal B 38, pp. 345–352. Booth J., D. Deli (1995). "Factors affecting the number of outside directorships held by CEOs". Journal of Financial Economics 40 , pp. 81-104. Borgatti S. P. e M. G. Everett (1997). "Network analysis of 2-mode data". Social Networks, Volume 19, Issue 3, pp. 243–269. Breiger, R. L. (1974). "The Duality of Persons and Groups". Social Forces, Vol. 53, No.2, Special Issue, pp. 181-190. Conyon M. J. e M. R. Muldoon (2006), “The Small World of Corporate Boards”, Journal of Business Finance & Accounting, 33(9) & (10), 1321–1343. Croci, E. e R. Grassi (2013). "The economic effect of interlocking directorates in Italy: new evidence using centrality measures". Computational and Mathematical Organization Theory DOI 10.1007/s10588-013-9154-1. DiMaggio, P.J. e W. W. Powel (1983). "The iron cage revisited: institutional isomorphism and collective rationality in organizational flields". American Sociolological Review 48, pp. 147-60. Fama, E.F. e M. C. Jensen (1983). "Separation of ownership and control". Journal of Law and Economics 26, pp. 301-325. Ferris S., M. Jagannathan e A. Pritchard (2003). "Too busy to mind the business? Monitoring by directors with multiple board appointments". Journal of Finance 58, pp. 1087-1111. Fich E., A. Shivdasani (2006). "Are busy boards effective monitors?". Journal of Finance 61 , pp. 624-689. Grassi, R. (2010), “Vertex Centrality as a measure of information flow in Italian Corporate Boards Networks”, Physica A 389, pp. 2455-2464 Hallock K.F. (1997). "Reciprocally interlocking boards of directors and executive compensation". Journal of Finance and Quantitative Analysis 32 (3), pp. 331-344.
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91 Anexos Os Anexos contêm as packages, libraries e funções utlizadas no software R para o cálculo das medidas ao nível dos vértices que se encontram no capítulo 4 da presente dissertação. #Dados library(igraph) g <- graph.adjacency(n, weighted=T, mode = "undirected") #Degree degree(g, v = V(g), mode = c("all", "out", "in", "total"),loops = FALSE, normalized = TRUE) degree(g, v=V(g),loops = FALSE, normalized = TRUE) degree.distribution (g, cumulative = FALSE, ...) - chamar função e fazer alteração #Eigenvector evcent (g, directed = FALSE, scale = TRUE, options = igraph.arpack.default) #Betweeness betweenness(g, v=V(g11), directed = FALSE, nobigint = TRUE, normalized = TRUE) #Flowbetweeness library(network) as.sociomatrix(n, attrname = NULL, simplify = TRUE)->g library(sna) flowbet(g, g = 1, nodes = NULL, gmode = "graph", diag = FALSE,tmaxdev = FALSE, cmode = "rawflow", rescale = TRUE, ignore.eval = FALSE) #Closeness closeness(g, vids=V(g), mode = c("out", "in", "all", "total"), normalized = FALSE) closeness(g, vids=V(g), mode = c("out", "in", "all", "total"), normalized = TRUE) #Centralization centralization.betweenness (g, nobigint = TRUE,normalized = TRUE) centralization.evcent (g, directed = FALSE, scale = TRUE, options = igraph.arpack.default, normalized = TRUE)