Evolutas, Involutas e Roulettes
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Evolutas, Involutas e Roulettes Maria Teresa Carrapa Ribeiro de Carvalho Mestrado em Matemática para Professores Departamento de Matemática 2013 Orientador Helena Mena Matos, Professora Auxiliar, Faculdade de Ciências
Todas as correções determinadas pelo júri, e só essas, foram efetuadas. O Presidente do Júri, Porto, ______/______/_________
Agradecimentos À minha orientadora, Professora Doutora Helena Mena Matos, agradeço a ajuda constante que me deu, com o seu conhecimento e permanente disponibilidade. Agradeço também a todos os professores e colegas deste mestrado porque de alguma forma contribuiram para este trabalho.
Resumo O objetivo desta dissertação foi fazer um estudo de um modo acessível à geometria das curvas planas diferenciáveis, falando de noções e resultados básicos que juntamente com uma preparação mínima em matemática, permitissem chegar a resultados atrativos e interessantes. A restrição ao conjunto das curvas planas permitiu trabalhar num ambiente familiar, o plano euclidiano, e ainda usar o computador tanto para obter representações grácas das curvas como para explorar as suas propriedades através de animações. Neste trabalho são apresentados os conceitos, e algumas propriedades, de curvatura, circunferência osculadora, evoluta, involuta e roulette . Como exemplo de roulettes são estudadas com mais detalhe as trocoides. São incluídas duas aplicações, o pêndulo isócrono, concebido e utilizado por Huygens em 1659 na construção de um relógio de pêndulo e o perl cicloidal utilizado para garantir a transmissão de movimento uniforme entre as rodas dentadas de uma engrenagem. Palavras-chave: Curvatura, evoluta, involuta, roulette , pêndulo isócrono, perl cicloidal iv
Abstract The aim of this thesis was to study the geometry of dierentiable plane curves, covering basic material presented in a manner suitable for achieving attractive and interesting results with minimal mathematical preparation. The restriction to plane curves allowed us to work in a familiar environment, the Euclidean plane, and to use the computer for both plotting curves and exploiting their properties through animations. In this work we consider some properties of curvature, osculating circle, evolute, involute and roulette curves. As an example of roulettes , the trochoids are studied in more detail. Two applications are included, the isochronous pendulum, conceived by Huygens in 1659 and applied by himself to build an isochronous pendulum clock and the cycloidal tooth prole used for constant velocity transfer between two gears. Keywords: Curvature, evolute, involute, roulette , isochronous pendulum, cycloidal tooth prole v
Índice Lista de Figuras ix Introdução 1 1 Generalidades sobre curvas 3 1.1 Curvaparametrizada............................. 3 1.2 Comprimentodearco............................. 4 1.3 Curvatura e circunferência osculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Curvatura............................... 6 1.3.2 Circunferência osculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Evolutas e Involutas 19 2.1 Evoluta .................................... 19 2.2 CurvasParalelas ............................... 22 2.3 Involutas.................................... 25 3 Roulettes 30 3.1 Discussãogeral ................................ 30 3.2 Cicloides.................................... 32 3.3 Trocoides ................................... 34 3.3.1 Epitrocoides.............................. 34 3.3.2 Hipotrocoides............................. 35 3.3.3 Período fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.4 Dupla geração das trocoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 Aplicações 44 4.1 Relógio de pêndulo de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.1 O problema da tautócrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.2 Determinação da evoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2 Perl dos dentes de rodas dentadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.1 Lei do Engrenamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.2 Perlcicloidal............................. 57 vi
FCUP vii Evolutas, Involutas e Roulettes 5 Animações com o Geogebra 60 5.1 Curvatura e circunferência osculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.2 Elipse: evoluta e paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.3 Involutas de uma circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.4 Cicloides.................................... 63 5.5 Trocoides ................................... 63 5.6 Dupla geração da epitrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.7 Dupla geração da hipotrocoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.8 Pênduloisócrono ............................... 65 5.9 Propriedade tautócrona da cicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.10 Par conjugado: epicicloide e hipocicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.11 Perl cicloidal: engrenamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Referências Bibliográcas 69
Lista de Figuras 1.1 Ângulo do vetor tangente ............................. 7 1.2 Sinal da curvatura ................................. 7 1.3 Circunferência osculadora como limite das circunferências que passam por P0=α(t0) , P1=α(t0−h) e P2=α(t0+h) , quando h→0 ................... 13 1.4 Centros de curvatura ............................... 13 1.5 Família de circunferências osculadoras nos pontos do arco da elipse α(t), t ∈h0,π 2i . . . . 18 2.1 Evolutas ..................................... 21 2.2 Evoluta como envolvente das normais de uma curva .................. 22 2.3 Curvas paralelas à elipse .............................. 22 2.4 Pontos não regulares das curvas paralelas à elipse ................... 25 2.5 Construção da involuta .............................. 27 2.6 Involutas da circunferência ............................. 29 3.1 Construção da roulette ............................... 31 3.2 Cicloides ..................................... 33 3.3 Cicloide invertida ................................. 34 3.4 Construção da epitrocoide ............................. 35 3.5 Posição inicial do ponto P , gerador da hipotrocoide .................. 36 3.6 Trocoides congruentes ............................... 40 3.7 Dupla geração das trocoides ............................ 43 4.1 Manuscrito com as retrições do pêndulo de 1657 .................... 46 4.2 Pêndulo isócrono ................................. 47 4.3 A curva que liga O a P é parte de uma cicloide invertida ................ 50 4.4 Componente tangencial do peso no ponto P ..................... 52 4.5 A força tangencial é diretamente proporcional ao comprimento do arco .......... 53 4.6 Cicloide invertida e a sua evoluta .......................... 54 4.7 Circunferências primitivas de duas rodas dentadas sendo C o ponto de contacto entre um par de dentes em ação. ............................... 55 4.8 Lei do Engrenamento ............................... 56 4.9 Construção do perl cicloidal ............................ 58 4.10 Ponto de contacto da hipocicloide com a epicicloide .................. 59 viii
FCUP ix Evolutas, Involutas e Roulettes 4.11 Epicicloide como a envolvente das posições sucessivas da hipocicloide .......... 59 5.1 Instantâneos de Curvatura e circunferência osculadora ................. 61 5.2 Instantâneos de Elipse: evoluta e paralelas ...................... 61 5.3 Instantâneos de Involutas de uma circunferência ................... 62 5.4 Instantâneos de Cicloides ............................. 63 5.5 Instantâneos de Trocoides ............................. 63 5.6 Instantâneos de Dupla geração da epitrocoide ..................... 64 5.7 Instantâneos de Dupla geração da hipotrocoide .................... 65 5.8 Instantâneos de Pêndulo isócrono .......................... 65 5.9 Instantâneos de Propriedade tautócrona da cicloide .................. 66 5.10 Instantâneos de Par conjugado: epicicloide e hipocicloide ............... 67 5.11 Instantâneos de Perl cicloidal: engrenamento .................... 68
FCUP 7 Evolutas, Involutas e Roulettes Figura 1.1: Ângulo do vetor tangente é negativa (Fig. 1.2). Assim o sinal da curvatura num ponto depende da orientação dada pela parametrização. Se a orientação for alterada por uma reparametrização então o sinal da curvatura será também alterado. (a) k > 0 (b) k < 0 Figura 1.2: Sinal da curvatura Sendo ~ t(s) um vetor unitário, ele representa o vetor posição de um ponto da circunferência de raio 1 centrada na origem, logo temos ~ t(s) = (cos ϕ(s),sin ϕ(s)) ~n(s)=(−sin ϕ(s),cos ϕ(s)) Derivando estas fórmulas obtemos ~ t0(s) = ϕ0(s) (−sin ϕ(s),cos ϕ(s)) = ϕ0(s)~n(s) ~n 0(s) = ϕ0(s) (−cos ϕ(s),−sin ϕ(s)) = −ϕ0(s)~ t(s) isto é ~ t0(s) = k(s)~n(s) ~n 0(s) = −k(s)~ t(s) concluindo-se que ~ t0(s) é colinear com ~n(s) assim como ~n 0(s) é colinear com ~ t(s) , e
FCUP 8 Evolutas, Involutas e Roulettes ainda que k(s) = ±~ t0(s)=±α00(s) De ~ t0(s) = k(s)~n(s) resulta, aplicando o produto escalar por ~n(s) a ambos os membros, k(s) = ~ t0(s)·~n (s) e portanto k(s) = x0y00 −x00y0 Exemplo 1 Cálculo da curvatura da circunferência x2+y2=r2 . Se considerarmos a parametrização pelo comprimento de arco dada por α(s) = rcos s r,sin s r a circunferência ca orientada no sentido anti-horário, logo a curvatura será positiva. Temos que ~ t(s) = α0(s) = −sin s r,cos s r, ~n(s) = −cos s r,−sin s r, ~ t0(s) = α00(s) = −1 rcos s r,sin s r=1 r~n(s) Donde k(s) = 1 r Se considerarmos agora a parametrização pelo comprimento de arco dada por α(s) = rcos s r,−sin s r a circunferência ca orientada no sentido horário, logo a curvatura será negativa. Temos que ~ t(s) = α0(s) = −sin s r,−cos s r, ~n(s) = cos s r,−sin s r, ~ t0(s) = α00(s) = −1 rcos s r,−sin s r=−1 r~n(s) Donde k(s) = −1 r Em valor absoluto a curvatura da circunferência é constante e igual ao inverso do seu raio. A cada curva planar está associada a função curvatura, o próximo resultado [7]
FCUP 9 Evolutas, Involutas e Roulettes mostra que dada a função curvatura esta determina a curva a menos de um movimento rígido 1 . Teorema 2 Dada uma função diferenciável k: [a, b]→R , existe alguma curva parametrizada pelo comprimento de arco α: [a, b]→R2 cuja curvatura em α(s) é k(s) . Qualquer outra curva com a mesma função curvatura é a composta de α com algum movimento rígido do plano. Demonstração. Seja s0∈[a, b] e dena-se para qualquer s∈[a, b] , ϕ(s) = Zs s0 k(u)du α(s) = Zs s0 cos ϕ(t)dt, Zs s0 sin ϕ(t)dt Esta curva satisfaz as condições pedidas pois α0(s) = (cos ϕ(s),sin ϕ(s)) que é um vetor unitário que faz um ângulo ϕ(s) com o eixo dos xx , logo a curvatura de α é dada por ϕ0(s) = k(s) . Ficando assim demonstrada a existência de α . Seja agora ˜α outra curva com a mesma função curvatura. Então ˜α0(s) = (cos ˜ϕ(s),sin ˜ϕ(s)) e ˜ϕ0(s) = k(s) . Portanto ˜ϕ(s) = Zs s0 k(u)du +C=ϕ(s) + C com C= ˜ϕ(s0) e ˜α(s) = Zs s0 cos ˜ϕ(t)dt, Zs s0 sin ˜ϕ(t)dt+ ˜α(s0) donde ˜α(s) = ˜α(s0) + Zs s0 cos (ϕ(t) + C)dt, Zs s0 sin (ϕ(t) + C)dt Como cos (ϕ(t) + C) = cos ϕ(t) cos C−sin ϕ(t) sin C sin (ϕ(t) + C) = sin ϕ(t) cos C+ cos ϕ(t) sin C resulta que Zs s0 cos (ϕ(t) + C)dt, Zs s0 sin (ϕ(t) + C)dt 1 Por movimento rígido entendemos a composição de uma translação com uma rotação
FCUP 10 Evolutas, Involutas e Roulettes é dado por cos CZs s0 cos ϕ(t)dt −sin CZs s0 sin ϕ(t)dt, cos CZs s0 sin ϕ(t)dt + sin CZs s0 cos ϕ(t)dt ou cos C−sin C sin Ccos C!Zs s0 cos ϕ(t)dt, Zs s0 sin ϕ(t)dt E portanto, ˜α(s) = ˜α(s0) + cos C−sin C sin Ccos C!α(s) A rotação de ângulo C= ˜ϕ(s0) seguida da translação associada ao vetor ˜α(s0) transforma α em ˜α . Exemplo 2 Provemos que as únicas curvas com curvatura constante não nula são circunferências (ou arcos de circunferências). Seja k(s) = c , c6= 0 . Pelo teorema anterior, existe uma curva parametrizada pelo comprimento de arco α:I→R2 cuja curvatura com sinal é igual a c . Para determinar tal curva façamos ϕ(s) = Zs 0 c du =cs logo α(s) = Zs 0 cos(ct)dt, Zs 0 sin(ct)dt=1 csin(cs),−1 ccos(cs) + 1 c Fazendo r=1 c vem rsin s r,−rcos s r+r=rsin s r,−rcos s r+ (0, r) Como rsin s r,−rcos s r é uma parametrização da circunferência de raio |r| e centro (0,0) , o traço de α é a circunferência de raio |r| e centro (0, r) . Qualquer outra curva com curvatura constante é a composta de α com um movimento rígido do plano. Como rotações e translações transformam circunferências em circunferências conclui-se o pretendido. Se α(t)=(x(t), y(t)) for uma curva arbitrária não necessariamente parametrizada pelo comprimento de arco, dene-se a curvatura de α como a curvatura de uma qualquer reparametrização de α pelo comprimento de arco. Como a reparametrização
FCUP 11 Evolutas, Involutas e Roulettes pelo comprimento de arco nem sempre conduz a fórmulas simples, torna-se necessário encontrar uma fórmula para a curvatura em função do parâmetro dado. O vetor unitário tangente de α é denido por ~ t(t) = α0(t) kα0(t)k=1 v(t)α0(t) logo ~ t=1 px02+y02x0, y0 O vetor unitário normal é obtido por rotação do vetor ~ t no sentido positivo de π 2 radianos ~n =1 px02+y02(−y0, x0) Seja ˜α(s) uma reparametrização de α pelo comprimento de arco. O vetor unitário tangente e a curvatura de ˜α no ponto ˜α(s) são, respetivamente, ~ ˜ t(s) = ˜α0(s) e ˜ k(s) . Se k(t) é a curvatura de α no ponto α(t) então k(t) = ˜ k(s(t)) . De ~ t(t) = ~ ˜ t(s(t)) resulta derivando ambos os membros ~ t0(t) = ~ ˜ t0(s(t)) ds dt =˜ k(s(t))~ ˜n(s(t)) ds dt =k(t)~n(t)ds dt A última igualdade pode ser reescrita na forma (omitindo t para simplicar a notação) ~ t0=kv ~n Por outro lado, como α0=v~ t resulta derivando α00 =v0~ t+v~ t0 =v0~ t+v(vk~n) =v0~ t+v2k~n Formando o produto interno de ambos os membros da ultima igualdade com ~n resulta α00 ·~n =v2k donde k=1 v2α00 ·~n =1 v3α00 ·v~n
FCUP 12 Evolutas, Involutas e Roulettes Obtém-se assim a fórmula para a curvatura de α k=(x00, y00)·(−y0, x0) px02+y023 =x0y00 −x00y0 (x02+y02)3 2 1.3.2 Circunferência osculadora If a Circle touches any Curve on its concave side, in any given point, and if it be of such magnitude that no other tangent Circle be inscribed in the angle of contact of that Point, that Circle will be of the same Curvature as the Curve is of, in the Point of Contact. Therefore the Centre of Curvature to any Point of the Curve is the Centre of the Circle equally curved, and thus the Radius or Semi-diameter of Curvature is Part of the Perpendicular to the Curve which is terminated at the Centre. Isaac Newton, The Method of Fluxions Veremos que em qualquer ponto de curvatura não nula de uma curva α existe uma circunferência que passa nesse ponto, com a mesma curvatura e a mesma tangente que a curva nesse ponto. O centro e o raio dessa circunferência são denominados respetivamente por centro de curvatura e raio de curvatura de α nesse ponto e a circunferência por circunferência osculadora. Esta circunferência é aquela que tem maior ordem de contacto com α no ponto considerado. Também podemos dizer que a circunferência osculadora passa por três pontos in- nitamente próximos da curva. Mais especicamente, a circunferência osculadora em P0=α(t0) pode ser considerada como a posição limite das círcunferências que passam por P0 e por outros dois pontos da curva sucientemente próximos de P0 , P1=α(t1) e P2=α(t2) , quando t1 e t2 tendem para t0 (Fig. 1.3). Nesse caso o centro de curvatura é a posição limite dos centros dessas circunferências, e o raio de curvatura o limite da sucessão dos seus raios. Num arco da curva com curvatura monótona, crescente ou decrescente, veremos que as circunferências osculadoras dispõem-se umas dentro das outras sendo duas a duas disjuntas. Denição 4 Seja α(t0) um ponto regular de uma curva α . O centro de curvatura de α em α(t0) é o ponto α∗(t0) = α(t0) + 1 k(t0)~n(t0)
FCUP 13 Evolutas, Involutas e Roulettes (a) h= 0,6 (b) h= 0,2 (c) h= 0 Figura 1.3: Circunferência osculadora como limite das circunferências que passam por P0=α(t0) , P1=α(t0−h) e P2=α(t0+h) , quando h→0 e a grandeza 1 |k(t0)| é o raio de curvatura de α em α(t0) . O centro de curvatura situa-se na normal à curva no ponto α(t0) a uma distância igual ao raio de curvatura e está à esquerda da curva (no sentido de ~n(t0) ) se k(t0)>0 e à direita da curva (no sentido de −~n(t0) ) se k(t0)<0 . Em qualquer caso o centro de curvatura está no lado côncavo da curva (Fig. 1.4). (a) k > 0 (b) k < 0 Figura 1.4: Centros de curvatura
FCUP 14 Evolutas, Involutas e Roulettes Denição 5 Seja α(t0) um ponto regular de uma curva α com curvatura k0 , não nula, para t=t0 . A circunferência osculadora no ponto α(t0) é a circunferência com centro no centro de curvatura e raio igual ao raio de curvatura, sendo C(s) = α∗(t0) + 1 k0 (cos (k0s),sin (k0s)) ,0≤s≤2π |k0| sua parametrização pelo comprimento de arco. Dada uma curva α qualquer podemos medir numa vizinhança de cada um dos seus pontos quanto a curva se aproxima de uma circunferência. O grau de proximidade de duas curvas, α e β , na vizinhança de um ponto comum é medido pela ordem de contacto. Se α for uma curva parametrizada t→α(t) e β estiver denida implicitamente por f(x, y)=0 , denimos γ(t) = f(x(t), y(t)) = f(α(t)) cujos zeros são os pontos comuns das duas curvas, isto é, γ(t0) = 0 se e só se α(t0) pertencer à curva β . Denição 6 Seja α(t0) um ponto regular de α e não singular de β . As curvas têm contacto de ordem n no ponto P0=α(t0) se γ(t0) = γ0(t0) = ··· =γ(n)(t0) = 0 ∧γ(n+1)(t0)6= 0 Se as curvas têm ordem de contacto ≥1 em α(t0) , isto é, se γ(t0) = γ0(t0) = 0 então as curvas têm a mesma tangente em α(t0) . De facto de γ0=fxx0+fyy0=grad f ·α0 resulta que γ0(t0)=0 se e só se o gradiente de f , que é normal a f(x, y)=0 em α(t0) , é ortogonal a α0(t0) que é tangente a α em α(t0) . Vamos vericar agora que a circunferência que melhor se aproxima de uma curva numa vizinhança de um dos seus pontos é a circunferência osculadora. Teorema 3 Dada uma curva α , a circunferência com maior ordem de contacto com α num ponto de curvatura não nula é a circunferência osculadora nesse ponto. Demonstração. Em cada ponto P0=α(t0)=(x(t0), y (t0)) pretendemos medir o grau de proximidade da curva α com uma circunferência. Para isso consideremos uma circunferência qualquer, com centro (a, b) e que passe em P0 , de equação f(x, y) = 0 onde f(x, y)=(x−a)2+ (y−b)2−R2, R > 0 e a função γ(t) = f(α(t)) = (x(t)−a)2+ (y(t)−b)2−R2 ou γ(t) = kα(t)−(a, b)k2−R2
FCUP 15 Evolutas, Involutas e Roulettes Como a circunferência passa em P0 , t=t0 é uma solução óbvia da equação γ(t)=0 . Além disso, a circunferência que melhor se aproxima da curva em P0 será aquela para a qual γ(t) tenha o maior número de derivadas nulas em t0 : γ0(t0) = 0, γ00(t0)=0,··· , γ(n)(t0)=0,··· No entanto como uma circunferência depende apenas de três parâmetros, as duas coordenadas do centro e o raio, em geral o contacto é de ordem 2, cando a circunferência determinada apenas pelas três condições γ(t0)=0, γ0(t0)=0, γ00(t0) = 0 Derivando γ obtemos γ0(t)=2α0(t)·(α(t)−(a, b)) γ00 (t)=2hα00(t)·(α(t)−(a, b)) + α0(t)2i Vejamos que a , b e R cam determinados pelas condições kα(t0)−(a, b)k2=R2 (1.3.1) α0(t0)·(α(t0)−(a, b)) = 0 (1.3.2) α00(t0)·(α(t0)−(a, b)) + α0(t0)2= 0 (1.3.3) De 1.3.2 conclui-se que α(t0)−(a, b) é um vetor normal a α em α(t0) donde α(t0)−(a, b) = λ ~n (t0) substituindo em 1.3.1 obtém-se kλ~n (t0)k2=R2 donde |λ|=R e substituindo em 1.3.3 obtém-se α00(t0)·λ ~n (t0) + kα0(t0)k2= 0 pelo que 1 kα0(t0)k2α00(t0)·~n (t0) = −1 λ=k(t0) onde k(t0) representa a curvatura de α em α(t0) . Portanto R é o raio de curvatura em α(t0) já que R=|λ|=1 |k(t0)|
FCUP 16 Evolutas, Involutas e Roulettes e (a, b) é o centro de curvatura de α em α(t0) , pois (a, b) = α(t0)−λ~n (t0) =α(t0) + 1 k(t0)~n (t0) Concluímos assim que a circunferência que procurávamos é a circunferência osculadora. Na situação típica a circunferência osculadora atravessa a curva no ponto de contacto, o que acontece sempre que a ordem de contacto nesse ponto for par e mantém-se do mesmo lado da curva numa vizinhança do ponto de contacto se a ordem de contacto nesse ponto for ímpar. De facto, para que a circunferência osculadora atravesse a curva α no ponto de contacto α(t0) , γ(t) tem de mudar de sinal em t0 o que se verica no caso do contacto ser de ordem par. Pelo teorema Tait-Kneser [2], descoberto por Peter Tait no nal do século XIX e redescoberto por Adolf Kneser no início do século XX , sabemos que ao longo de um arco de uma curva com curvatura monótona de sinal constante, as circunferências osculadoras dispõem-se encaixadas umas dentro das outras sendo duas a duas disjuntas. Teorema 4 Qualquer circunferência osculadora de um arco de uma curva regular com curvatura monótona de sinal constante contém cada uma das menores circunferências osculadoras desse arco e está contida em cada uma das circunferências osculadoras maiores desse arco. Demonstração. Seja α(s) uma parametrização da curva pelo comprimento de arco e α(s0) um ponto da curva. Suponhamos que k(s) é crescente e positiva em [s0, s1] . Vejamos que ∀s∈]s0, s1] a circunferência osculadora em α(s) está contida na circunferência osculadora em α(s0) . Seja c(s) = α(s) + 1 k(s)~n(s) a curva constituída pelos centros das circunferências osculadoras. A sua velocidade é dada por c0(s) = α0(s) + 1 k(s)~n 0(s)−k0(s) k2(s)~n(s) =~ t(s) + 1 k(s)−k(s)~ t(s)−k0(s) k2(s)~n(s) =−k0(s) k2(s)~n(s) e a velocidade escalar por kc0(s)k=k0(s) k2(s) . Como a curvatura de α nunca se anula, a curvatura de c também nunca se anula, então o comprimento de qualquer corda de c é menor do que o comprimento do arco
FCUP 23 Evolutas, Involutas e Roulettes A paralela αc é uma curva diferenciável e a sua derivada é dada por α0 c=α0+c ~n0 =α0+c(−kv~ t) =α0−ckv~ t = (1 −ck)α0 Desta igualdade resulta que se αc é regular em t então os vetores tangentes a α e αc para esse valor de t são paralelos. Terão o mesmo sentido se 1−ck > 0 ou sentidos contrários se 1−ck < 0 . É claro que αc terá a mesma normal que α em t , mas os vetores unitários normais podem ter sentidos diferentes, de acordo com os sentidos dos vetores tangentes. Como consequência imediata da mesma igualdade, sabemos que os pontos não regulares de αc são aqueles para os quais 1−c k(t) = 0 . Teorema 6 Seja α uma curva regular e αc uma sua paralela. αc(t0) é um ponto não regular da paralela se e só se pertencer à evoluta de α , isto é, αc(t0) = α∗(t0) . Demonstração. Como αc é não regular em t0 se, e só se, c=1 k(t0) , tem-se αc(t0) = α(t0) + c ~n =α(t0) + 1 k(t0)~n =α∗(t0) donde resulta que αc(t0) pertence à evoluta de α e portanto os pontos não regulares das paralelas a α percorrem a sua evoluta. Veremos agora que duas curvas paralelas têm a mesma evoluta em valores de t para os quais ambas são regulares e de curvatura não nula. Teorema 7 Se para um dado valor de t os pontos de uma curva α e uma sua paralela αc são regulares e de curvatura não nula então os centros de curvatura de ambas as curvas nesses pontos são coincidentes. Demonstração. Com efeito, derivando os vetores unitários normais às curvas α e αc ,temos ~n0=−k α0 ~nc 0=−Lα0 c onde k e L representam, respetivamente, o valor da curvatura em α e na sua paralela.
FCUP 24 Evolutas, Involutas e Roulettes Se 1−ck > 0 temos que k α0=Lα0 c=L(1 −ck)α0 logo 1 L=1 k−c , e se 1−ck < 0 temos que k α0=−Lα0 c=−L(1 −ck)α0 logo −1 L=1 k−c . Então o centro de curvatura da paralela é dado em qualquer dos casos por C=αc+1 L~nc =α+c~n +1 k−c~n =α+1 k~n, que é o centro de curvatura de α . Exemplo 7 Curvas paralelas à elipse Vamos considerar as curvas paralelas à elipse parametrizada por α(t)=(acos (t), b sin (t)) , onde a > b > 0 e t∈[0,2π[ , nas quais se incluem as indicadas na Fig. 2.3. Temos que k(t) = ab a2sin2t+b2cos2t3 2 e k0(t) = −3ab(a2−b2) sin tcos t a2sin2t+b2cos2t5 2 A elipse tem quatro vértices correspondentes a t= 0 , t=π 2 , t=π e t=3 2π . O valor máximo da curvatura é a b2 e ocorre para t= 0 e t=π ; o valor mínimo é b a2 e ocorre para t=π 2 e t=3 2π . Para 0<t<π 2 , tem-se que k0(t)<0 , logo no intervalo h0,π 2i a curvatura decresce de a b2 para b a2 e portanto b2 a≤1 k(t)≤a2 b. Considere-se a família das curvas paralelas à elipse αc(t) = α(t) + c~n, c ∈R Se b2 a< c < a2 b , então ∃t0∈0,π 2 tal que c=1 k(t0) , isto é, ck(t0) = 1 , e portanto, αc(t0) é um ponto não regular de αc , logo é também o centro de curvatura de α em t0 . Por simetria a curva αc terá quatro pontos não regulares, todos pertencentes à evoluta de α (Fig. 2.4(a)).
FCUP 25 Evolutas, Involutas e Roulettes Se c < b2 a ou c > a2 b a paralela é regular (Fig. 2.4(b)). Se c=b2 a a paralela é regular excepto em t= 0 e t=π (Fig. 2.4(c)). Se c=a2 b a paralela é regular excepto em t=π 2 e t=3 2π (Fig. 2.4(d)). (a) 4 pontos não regulares (b) curva regular (c) 2 pontos não regulares (d) 2 pontos não regulares Figura 2.4: Pontos não regulares das curvas paralelas à elipse 2.3 Involutas Denição 9 Uma involuta de uma curva α é uma curva α∗ que tem como evoluta α , isto é (α∗)∗=α . As involutas de uma curva não são únicas. Se α∗ é uma involuta de α então α é a evoluta de α∗ . Todas as paralelas a α∗ terão α como evoluta, logo todas as paralelas
FCUP 26 Evolutas, Involutas e Roulettes a α∗ são involutas de α . Veremos agora que também se verica que quaisquer duas involutas de uma mesma curva são paralelas. Teorema 8 Qualquer paralela a uma involuta de uma curva dada, numa vizinhança de um ponto regular e de curvatura não nula da involuta e da paralela, é uma involuta da curva. Inversamente quaisquer duas involutas de uma curva dada, numa vizinhança de um ponto regular e de curvatura não nula para ambas, são paralelas. Demonstração. Já foi visto que curvas paralelas têm a mesma evoluta em valores de t para os quais ambas são regulares e de curvatura não nula (Teorema 7) . Para provar o inverso consideremos duas curvas α e γ com a mesma evoluta. Assim α∗(t) = α(t) + 1 k(t)~nα(t) = γ∗(t) = γ(t) + 1 L(t)~nγ(t) Derivando obtém-se −k0(t) k2(t)~nα(t) = −L0(t) L2(t)~nγ(t) donde k0(t) k2(t)=L0(t) L2(t) ou k0(t) k2(t)=−L0(t) L2(t) consoante os vetores ~nα(t) e ~nγ(t) têm o mesmo sentido ou sentidos contrários. Integrando obtém-se, respetivamente, 1 k(t)=1 L(t)+c ou 1 k(t)=−1 L(t)+c. Em qualquer dos casos, γ(t) = α(t) + 1 k(t)~nα(t)−1 L(t)~nγ(t) =α(t) + c ~nα(t) e portanto γ é paralela a α . O próximo resultado estabelece como pode ser utilizado o raio de curvatura de um arco de involuta para medir o comprimento do arco correspondente na evoluta. Teorema 9 Se α é uma curva com curvatura k(t) não nula num intervalo [t0, t] e variando de um modo monótono nesse intervalo ( k0>0 ou k0<0 ), então o comprimento de arco s∗ da sua evoluta correspondente a esse intervalo é dado por s∗(t) = sgn(k0)1 k(t0)−1 k(t) .
FCUP 27 Evolutas, Involutas e Roulettes Demonstração. Com efeito, de s∗(t) = Rt t0kα0 ∗(t)kdt resulta que d dts∗(t) = kα0 ∗(t)k=|k0(t)| k2(t) . Mas |k0(t)| k2(t)=−sgn(k0)d dt 1 k(t) logo d dt s∗(t) + sgn(k0)1 k(t)= 0 e portanto s∗(t) + sgn(k0)1 k(t)=s∗(t0) + sgn(k0)1 k(t0) donde s∗(t) = sgn(k0)1 k(t0)−1 k(t) A partir deste resultado podemos obter um processo mecânico para construir uma involuta a partir da sua evoluta. Fixando uma das extremidades de um o inextensível num ponto da evoluta e enrolando-o na evoluta conservando-o esticado, a outra extremidade descreve uma involuta. Ou desenrolando um o, que contorna a evoluta e está preso a esta numa das extremidades, conservando-o esticado, a outra extremidade descreve uma involuta. Diferentes involutas podem ser obtidas variando o comprimento do o. Figura 2.5: Construção da involuta De facto, suponha-se que a extemidade livre do o P se encontra na posição α∗(t0) . Ao desenrolar o o, a posição de P será dada por P(t) = α∗(t)−s∗(t)~ t∗(t) onde ~ t∗(t) é o vetor unitário tangente a α∗ em t . Vejamos que se trata de uma involuta de α∗ .
FCUP 28 Evolutas, Involutas e Roulettes Como α0 ∗(t) = −k0(t) k2(t)~n(t) onde ~n(t) é o vetor unitário normal a uma involuta α de α∗ , tem-se que ~ t∗(t) = −sgn(k0)~n(t) . Logo P(t) = α∗(t) + sgn(k0)s∗(t)~n(t) e usando o teorema 9 tem-se P(t) = α(t) + 1 k(t)~n(t) + 1 k(t0)−1 k(t)~n(t) =α(t) + 1 k(t0)~n(t) que é uma paralela a α e portanto uma involuta de α∗ . Se a extremidade livre do o estiver no ponto α∗(t0) e nesse ponto considerarmos a tangente a α∗ , na qual xamos o ponto P0 correspondente ao ponto de contacto da tangente com α∗ em t0 , a curva que descreve P0 quando a tangente rola sem deslizar ao longo de α∗ é a involuta descrita pela extremidade do o ao ser desenrolado, pois o o esticado é sempre tangente à curva (Fig. 2.5). Então a curva descrita por P0 é denida por P0(t) = α∗(t)−s∗(t)~ t∗ que é a involuta de α∗ que começa em α∗(t0) . Se em vez de P0 xarmos outro ponto P pertencente à reta tangente em α∗(t0) , quando a tangente rola sem deslizar sobre α∗ o ponto P descreve uma curva paralela àquela descrita por P0 , e portanto descreve também uma involuta de α∗ . Exemplo 8 Involutas da circunferência O comprimento de arco da circunferência dada por α(t) = (rcos t, r sin t) a partir de α(t0) é s(t) = Zt t0 r dt =r(t−t0). Logo a involuta a começar em α(t0) é dada por α∗(t)=(rcos t, r sin t)−r(t−t0) (−sin t, cos t) Se t0= 0 a involuta é dada por α∗(t)=(rcos t+rt sin t, r sin t−rt cos t) Diferentes escolhas de t0 dão outras involutas (Fig. 2.6).
FCUP 29 Evolutas, Involutas e Roulettes Figura 2.6: Involutas da circunferência
3 Roulettes Já foi visto que quando uma reta rola, sem escorregar, ao longo de uma curva estacionária Γ , um ponto xo da reta descreve nesse movimento uma involuta de Γ . Numa situação mais geral, substituindo a reta por uma curva qualquer a rolar, sem escorregar, numa curva estacionária Γ , a curva descrita por um ponto P não necessariamente na curva móvel mas rigidamente ligado a ela, é chamada roulette . Assim uma involuta de uma curva qualquer pode ser denida como a roulette gerada por um ponto de uma reta que rola sem deslizar sobre a curva. Exemplos familiares de roulettes são as cicloides, epicicloides e as hipocicloides. 3.1 Discussão geral Denição 10 Uma roulette é um lugar geométrico descrito por um ponto P rigidamente ligado a uma curva γ que rola sem deslizar sobre uma curva xa Γ . Para descrever mais facilmente uma roulette , é essencial fazer uma escolha adequada das parametrizações das curvas γ e Γ . Note-se que no decorrer do movimento de γ em cada instante as duas curvas são tangentes no ponto de contacto. Considere-se as parametrizações, no plano de Argand, das curvas móvel e xa pelo comprimento de arco γ:s→z(s) e Γ : s→w(s) de tal modo que 1. w(0) = z(0) , isto é, os seus pontos iniciais correspondem a um ponto de contacto de ambas as curvas. 2. w0(0) = z0(0) , inicialmente os vetores tangentes são iguais, o que juntamente com a condição anterior garante que as curvas têm a mesma tangente no ponto inicial assim como a mesma orientação. Note-se que como kw0(s)k=kz0(s)k= 1 6= 0,∀s pode-se sempre supôr w0(0) = z0(0) , pois se w0(0) = −z0(0) faz-se primeiro uma reparametrização de uma das curvas. Além 30
FCUP 31 Evolutas, Involutas e Roulettes disso, como as duas curvas têm a mesma velocidade escalar (igual a 1), podemos armar que têm sempre a tangente bem denida e ainda que ambas têm o mesmo comprimento de arco pois Zs 0w0(u)du =Zs 0z0(u)du =s pelo que o comprimento de arco de γ desde z(0) até z(s) é igual ao comprimento de arco de Γ desde w(0) até w(s) logo z(s) vai coincidir com w(s) o que garante que γ rola sem deslizar. Teorema 10 A curva percorrida pelo ponto P rigidamente ligado a γ quando γ rola sem deslizar sobre a curva xa Γ é parametrizada por Z(s) = w(s) + w0(s) z0(s)(P−z(s)) onde w e z são as parametrizações consideradas anteriormente. Demonstração. Uma vez que Rs 0kw0(u)kdu =Rs 0kz0(u)kdu =s , se a curva γ rolar sobre Γ até que z(s) seja o ponto de contacto das duas curvas, z(s) cará na posição de w(s) . Assim, o movimento de qualquer ponto rigidamente ligado a γ consiste na translação T que envia z(s) em w(s) seguida da rotação R com centro em w(s) que envia z0(s) em w0(s) (Fig. 3.1). Figura 3.1: Construção da roulette T(P) = P+ (w(s)−z(s)) R(P) = eiϕ(s)(P−w(s)) + w(s) onde eiϕ(s)z0(s) = w0(s)⇔eiϕ(s)=w0(s) z0(s) .
FCUP 32 Evolutas, Involutas e Roulettes Então Z(s) = R◦T(P) =R(P+ (w(s)−z(s))) =w0(s) z0(s)((P+ (w(s)−z(s)) −w(s)) + w(s) =w(s) + w0(s) z0(s)(P−z(s)) 3.2 Cicloides Cicloides são roulettes descritas por um ponto rigidamente ligado a uma circunferência que rola, sem deslizar, numa reta. Consideremos no plano uma reta Γ xa e uma circunferência γ com centro C e raio a , que rola sem deslizar sobre Γ . Seja O o ponto de contacto inicial da reta com a circunferência e P o ponto gerador da curva. Consideremos um referencial com origem em O , cujo eixo Ox coincide com Γ e o eixo Oy passa em C=ia , e as seguintes parametrizações das duas curvas: Γ : w(t) = t γ:z(t) = ia +a(−i)eit a=ia(1 −eit a) Estas parametrizações estão de acordo com o Teorema 10. Tem-se que w(0) = z(0) = 0 ; w0(t)=1 e z0(t) = eit a donde w0(0) = z0(0) = 1 e kw0(t)k=kz0(t)k= 1,∀t . Assim sendo, a curva descrita por P é dada por Z(t) = t+1 eit aP−ia(1 −eit a) =t+ai +e−it a(P−ai) Sem perda de generalidade, podemos escolher P no eixo Oy , dado que P ocupará essa posição em algum instante do movimento. Fazendo P=bi, b ∈R , isto é, no instante inicial P está na vertical que passa no centro da circunferência, a roulette tem as formas apresentadas na Fig. 3.2 que dependem da distância de P ao centro da circunferência. Consoante P pertence à circunferência, está no seu exterior ou no seu interior (diferente do centro) a roulette é uma cicloide, uma cicloide alongada ou uma cicloide encurtada. As cicloides consideradas até agora foram obtidas fazendo rolar uma circunferência por cima de uma reta Γ xa. Se a circunferência rolar por baixo da reta xa, qualquer um dos seus pontos descreve uma curva que é designada por cicloide invertida. Procedendo de modo análogo encontramos facilmente a equação da cicloide invertida.
FCUP 39 Evolutas, Involutas e Roulettes Teorema 12 Se a > b então H[ϕ;a, b, h] = H−a−b bϕ;ah, h(a−b),1 h . Demonstração. A equação paramétrica de H−a−b bϕ;ah, h(a−b),1 h é Z−a−b bϕ= [ah −h(a−b)] ei(−a−b bϕ)+1 hh(a−b)e−i(−a−b bϕ)ah−h(a−b) h(a−b) =hbe−ia−b bϕ+ (a−b)ei(a−b bϕ)( b a−b) = (a−b)eiϕ +hbe−iϕ(a−b b) que é a equação paramétrica de H[ϕ;a, b, h] . Qualquer epitrocoide pode ser gerada como uma hipotrocoide em que o raio da circunferência móvel é maior do que o da xa e vice-versa. Teorema 13 1. E[ϕ;a, b, h] = Ha+b bϕ;ah, h(a+b),1 h 2. Se b > a então H[ϕ;a, b, h] = E−a−b bϕ;ah, h(b−a),1 h Demonstração. 1. A equação paramétrica de Ha+b bϕ;ah, h(a+b),1 h é Za+b bϕ= [ah −h(a+b)] eia+b bϕ+1 hh(a+b)e−ia+b bϕah−h(a+b) h(a+b) =−hbeia+b bϕ+ (a+b)e−ia+b bϕ(−b a+b) = (a+b)eiϕ −hbeiϕ(a+b b) que é a equação paramétrica de E[ϕ;a, b, h] . 2. A equação de E−a−b bϕ;ah, h(b−a),1 h é Z−a−b bϕ= [ah +h(b−a)] ei(−a−b bϕ)−1 hh(b−a)ei(−a−b bϕ)ah+h(b−a) h(b−a) =hbe−ia−b bϕ−(b−a)ei(−a−b bϕ)( b b−a) = (a−b)eiϕ +hbe−iϕ(a−b b) que é a equação paramétrica de H[ϕ;a, b, h] .
FCUP 40 Evolutas, Involutas e Roulettes Os teoremas 12 e 13 garantem que a mesma trocoide pode ser gerada de duas maneiras diferentes às quais correspondem equações diferentes. Embora cada uma das representações da curva produza o mesmo traço o seu período fundamental é diferente, pelo que escolhendo a equação que representa a curva com menor período pode ser poupado tempo computacional. Para a > b , o teorema 12 garante que H1=H[ϕ;a, b, h] e H2=H−a−b bϕ;ah, h(a−b),1 h têm o mesmo traço embora geradas em sentidos contrários. Se a b=m n com m, n ∈N e m.d.c.(m, n) = 1 então o período fundamental de H1 é 2πn . Como ah h(a−b)=a a−b=m m−n e dado que m.d.c.(m, n) = 1 implica que m.d.c.(m, m −n) = 1 , podemos concluir que o período fundamental de H2 é 2π(m−n) . Logo para representar gracamente a hipotrocoide, se não for relevante o sentido em que a curva é descrita, usando o menor dos valores entre n e m−n pode ser poupado tempo computacional (Fig. 3.6(a)). Do mesmo modo se b>a , o teorema 13 garante que H=H[ϕ;a, b, h] e E= E−a−b bϕ;ah, h(b−a),1 h têm o mesmo traço. O período fundamental de H é 2πn e o período fundamental de E é 2π(n−m) . Mais uma vez usando o menor dos valores entre n e n−m pode ser poupado tempo computacional (Fig. 3.6(b)). (a) H[ϕ; 6,5,1] , P = 10π e H[ϕ; 6,1,1]; P= 2π (b) H[ϕ; 5,6,1] , P = 12π e E[ϕ; 5,1,1]; P= 2π Figura 3.6: Trocoides congruentes A explicação geométrica da dupla geração das trocoides foi feita por M. Fouret [1], que partindo das circunferências xa e móvel e do ponto P que gera a trocoide, constrói as novas circunferências xa e móvel que fazem com que o mesmo ponto P , rigidamente ligado à nova circunferência móvel, descreva a mesma trocoide quando
FCUP 41 Evolutas, Involutas e Roulettes esta rola na nova circunferência xa. O que torna a demonstração geométrica atraente é a simplicidade dessa construção, tanto no caso da epitrocoide (Fig. 3.7(a)) como no da hipotrocoide (Fig. 3.7(b)) e será apresentada de seguida. Seja O o centro da circunferência xa de raio a , A o centro da circunferência móvel de raio b , C o ponto de contacto destas duas circunferências, P o ponto gerador da curva. Tracemos por P uma paralela a OA e por O uma paralela a AP , e chamemos A0 à interseção destas duas retas. C0 é a interseção de A0O com CP . Consideremos duas novas circunferências tangentes em C0 , uma com centro em A0 de raio b0 e outra com centro em O de raio a0 . Se a circunferência de centro em A0 rolar sobre a nova circunferência de centro O , o ponto P rigidamente ligado a ela gerará a mesma curva que descreve com as duas circunferências originais, desde que as circunferências móveis se desloquem no mesmo sentido ou em sentido contrário, consoante se trate de uma epitrocoide ou uma hipotrocoide. Dado que as demonstrações são idênticas, diferindo apenas nos sinais de alguns termos, serão apresentadas conjuntamente usando o sinal duplo em que o sinal superior se refere ao caso da epitrocoide descrito na Fig. 3.7(a) e o inferior ao caso da hipotrocoide descrito na Fig. 3.7(b). Seja N o ponto onde AP encontra a circunferência de centro A e I o ponto da circunferência xa correspondente com o qual N esteve em contacto; N0 o ponto de interseção de A0P com a circunferência de centro A0 e I0 o ponto de interseção de OI com a circunferência de centro O e raio a0 . Vejamos que I0 é o ponto da circunferência xa correspondente com o qual N0 esteve em contacto, isto, é o arco C0I0 _ é igual ao arco C0N0 _ . Como por hipótese CI _ =CN _ tem-se Ib OC ×a=Pb AC ×b ou Ib OC Pb AC =b a donde Pb AC ±Ib OC Pb AC =a±b a=OA OC Como Pb AC =Cb OC0 vem Pb AC ±Ib OC =Cb OC0±I0b OC =I0b OC0 . Além disso Pb AC =Pc A0C0 e OA =A0P e portanto I0b OC0 Pc A0C0=A0P OC Da semelhança dos triângulos A0PC0 e OCC0 obtemos A0P OC =A0C0 OC0 e portanto I0b OC0 Pc A0C0=A0C0 OC0=b0 a0
FCUP 42 Evolutas, Involutas e Roulettes donde I0b OC0×a0=Pc A0C0×b0 o que traduz a igualdade entre os arcos C0I0 _ e C0N0 _ . Vimos até agora que se zermos rolar as circunferências móveis sobre as xas, no mesmo sentido ou em sentido contrário consoante a curva inicial é uma epitrocoide ou uma hipotrocoide, os pontos N e N0 irão coincidir respetivamente com I e I0 , e o ponto P quer seja transportado por uma ou outra das circunferências móveis, encontrar-se-á nesse momento a reta II0 . Nos dois casos o ponto P ocupa a mesma posição sobre esta reta, uma vez que PN0∓PN =II0 Com efeito, reconhece-se facilmente na Fig. 3.7 que PN =OA0−b PN0=b0−OA Como OA =a±b e OA0=±(b0−a0) tem-se PN0−PN = (b0−a−b)−(b0−a0−b) = a0−a=II0 PN0+PN = (b0−a+b)+(−b0+a0−b) = a0−a=II0
FCUP 43 Evolutas, Involutas e Roulettes (a) Epitrocoide (b) Hipotrocoide Figura 3.7: Dupla geração das trocoides
4 Aplicações Neste capítulo veremos dois problemas cuja origem remonta ao século XVII. O primeiro, a construção do pêndulo isócrono, foi resolvido por Huygens em 1659, como parte integrante da construção do seu relógio de pêndulo. O segundo, consiste na determinação do perl dos dentes das rodas dentadas de uma engrenagem de eixos paralelos em que se pretende que uma roda transmita velocidade constante à outra. Foi tratado por La Hire [4] no seu Un traité des épicycloides et de leur usage dans les méchaniques , publicado em 1694, onde refere a importância do estudo da forma dos dentes das rodas dentadas para um bom funcionamento das engrenagens e apresenta exemplos de engrenagens com perl cicloidal, que surgem como uma aplicação do estudo das epicicloides. No prefácio da sua obra refere mesmo j'ai donc cru qu'il fallait examiner avec un très grand soin, quelle devait être la gure des dents des roues puisque ce n'est que par ces dents que les roues agissent l'une sur l'autre, et que c'est par leur moyen qu'on peut ménager la force mouvante pour en tirer tout l'avantage possible. Il y a environ vingt ans que j'avais commencée à travailler à cet ouvrage et javais déterminé d'une manière très simple, que les dents des roues devoient avoir la gure d'une cycloide qui a pour base un cercle, ce que l'on appelle épicycloide.... O processo de aplicação da matemática nem sempre consiste em pegar numa sua teoria e aplicá-la num determinado domínio ou problema. O que acontece muitas vezes é não existir a matemática requerida e nesse caso nova matemática emerge como resultado da aplicação. Um exemplo é a criação da teoria das evolutas de Huygens que surge na sequência dos seus estudos sobre o pêndulo e aparece no tratado Horologium Oscillatorium (1673)(O relógio de pêndulo). O problema da determinação da longitude, associado à medição exata do tempo, fez com que Huygens se interessasse pela construção e aperfeiçoamento dos relógios levando-o à construção do relógio de pêndulo. O pêndulo circular, não sendo isócrono, conduziu-o ao problema da tautócrona, que consiste em encontrar a curva ao longo da qual um corpo sem velocidade inicial e apenas sujeito à força da gravidade, chega ao ponto mais baixo sempre no mesmo intervalo de tempo, independentemente do seu ponto de partida. Huygens descobre e demonstra por processos geométricos que a cicloide invertida é tautócrona, mas ca com um novo problema. Como deve ser construído o pêndulo para que a sua massa 44
FCUP 45 Evolutas, Involutas e Roulettes descreva uma cicloide? A resposta seria dada resolvendo outra questão matemática, encontrar a curva cuja tangente em cada ponto é normal a uma dada cicloide, isto é, encontrar a evoluta da cicloide. Mais uma vez por processos geométricos Huygens consegue demonstrar que a evoluta da cicloide é outra cicloide, sendo-lhe nalmente possível idealizar um ajustamento mecânico para contruir o pêndulo isócrono. A partir da invenção do cálculo diferencial por Newton e Leibniz, este último discípulo de Huygens, os problemas de mecânica começam a ser resolvidos usando equações diferenciais. Em 1690, Jacob Bernoulli, demonstrou novamente que a cicloide é tautócrona estabelecendo uma equação diferencial para essa curva e resolvendo-a. Neste capítulo faremos a resolução analítica do problema da tautócrona e a determinação da evoluta da cicloide invertida, os dois resultados que permitiram a Huygens a construção do relógio de pêndulo isócrono e veremos como as epicicloides e hipocicloides podem ser utilizadas no perl dos dentes de rodas dentadas de modo a assegurar ação conjugada, isto é, que a razão das velocidades angulares das duas rodas da engrenagem seja constante. 4.1 Relógio de pêndulo de Huygens No século XVII, tornou-se imperioso encontrar um método para medir a longitude, que permitisse nas grandes viagens marítimas, sem referências terrestres, identicar a localização atual. Este problema estava intimamente ligado ao da determinação precisa do tempo. Em teoria, como 15 o de longitude correspondem a uma hora, se fosse possível manter a bordo um relógio acertado pela hora de um local de longitude conhecida, ao marcar nesse relógio o meio-dia local, a diferença entre as horas locais permitiria determinar a diferença das suas longitudes e consequentemente determinar a longitude do local. Contudo, na época os melhores relógios atrasavam-se ou adiantavam-se vários minutos por dia, impossibilitando a manutenção do tempo de referência nos navios. Galileu(1564-1642) foi o primeiro a desenhar um relógio regulado por um pêndulo esperando com a sua utilização obter a precisão na medição do tempo que faltava aos relógios da época. Do estudo que fez sobre o pêndulo simples acreditou que este seria isócrono, isto é, o tempo de uma oscilação completa seria independente da amplitude da mesma. Consequentemente as variações de amplitude provocadas quer pela resistência do ar quer pelo impulso para manter o movimento pendular, não alterariam o seu período pelo que este poderia ser usado como uma medida constante do tempo. Embora tenha deixado o seu projeto por nalizar e não tenha construído nenhum relógio de pêndulo deixou a ideia para a sua construção. Retomando a ideia de Galileu, Huygens(1629-95) construiu o primeiro relógio de pêndulo em 1657, e desde então trabalhou no desenho e desenvolvimento de relógios, tentando criar o relógio que pudesse ser utilizado como cronómetro marítimo. Em 1657, ciente que o pêndulo simples ao oscilar descreve um arco de circunferência que não é isócrono, embora o seja aproximadamente para pequenas amplitudes, questionou-se se existiria uma curva ao longo da qual o movimento do pêndulo fosse independente da
FCUP 46 Evolutas, Involutas e Roulettes amplitude. Huygens tentou encontrar essa curva empiricamente colocando o pêndulo entre duas placas metálicas que limitavam o seu balanço e que tinham como função acelerar o movimento à medida que o pêndulo se afastava da vertical. Quando o pêndulo oscilasse com amplitudes maiores, as placas produziriam um encurtamento do o, correspondendo a esse encurtamento um aumento de velocidade, de modo a que o tempo gasto a descrever esse arco de maior amplitude tornar-se-ia igual ao tempo necessário a percorrer um arco de pequena amplitude sem qualquer restrição. Figura 4.1: Manuscrito com as retrições do pêndulo de 1657 Embora Huygens não soubesse a forma a dar a essas placas para que o pêndulo descrevesse uma trajetória isócrona, e a sua determinação tenha sido empírica, ele tem uma justicação teórica. Na gura 4.1, a trajetória do pêndulo representada no manuscrito é constituída por arcos circulares GK , EG e AE cujos centros são H , F e B e cujos raios vão sendo cada vez menores. Estes pontos actuam como centros de rotação e em qualquer instante o o é perpendicular ao arco que descreve. Cada ponto da placa metálica é visto como um centro de rotação instantâneo ou centro de curvatura isto é as placas constituem o lugar geométrico dos centros de curvatura da curva descrita pela massa do pêndulo, ou seja a sua evoluta. Quando o o oscila enrolando e desenrolando ao longo de uma placa, a parte livre do o é mantida esticada, sendo normal à trajetória do pêndulo e tangente à superfície da placa no ponto de contacto. Huygens descobriu a propriedade que relaciona a curva descrita pelo pêndulo com a curva das placas metálicas. A normal à trajetória pendular deverá ser tangente à curva das placas. Em 1656, ele não conhecia nenhuma das curvas. Em Dezembro de 1659, Huygens
FCUP 47 Evolutas, Involutas e Roulettes demonstrou que a curva tautócrona era uma cicloide e a sua evoluta era outra cicloide. Figura 4.2: Pêndulo isócrono Para construir o pêndulo isócrono (Fig. 4.2), que teoricamente marca o tempo certo 1 , basta determinar o comprimento do o a partir da fórmula do período, L=t2g 4π2 , moldar duas placas com a forma da cicloide gerada por uma circunferência de diâmetro L 2 e pendurar o pêndulo entre elas. A construção do pêndulo isócrono envolveu a resolução de dois problemas: 1. encontrar a curva tautócrona, ao longo da qual a massa do pêndulo se deve mover 2. encontrar um modo de suspender o pêndulo garantindo que este se mova ao longo da curva tautócrona, isto é a determinação da sua evoluta 4.1.1 O problema da tautócrona O problema da tautócrona, consiste em determinar a curva plana ao longo da qual um corpo, sem velocidade inicial e sujeito somente à força da gravidade, desliza até ao ponto mais baixo da curva sempre no mesmo intervalo de tempo, independentemente do seu ponto de partida. Considere-se um arame com a forma de uma curva suave que representa meia oscilação do pêndulo, e deixe-se uma conta partindo do repouso na posição (x0, y0) , escorregar ao longo do arame até ao ponto mais baixo, que assumiremos como a origem (0,0) . Se a conta escorrega sem fricção então pelo princípio de conservação da energia mecânica, a energia cinética em qualquer instante será igual à variação da energia 1 Na prática a utilização das placas foi a origem de vários problemas que alteravam a precisão do relógio pelo que a solução adotada foi manter o pêndulo com pequenas oscilações.
FCUP 48 Evolutas, Involutas e Roulettes potencial, 1 2mv2=mg (y0−y) onde m representa a massa da conta, v=−ds dt e s o comprimento de arco entre a origem e o ponto (x, y) . Da equação anterior resulta ds dt =−p2g(y0−y) Considerando s=f(y) , o tempo de descida desde a altura y0 até à origem é dado por T(y0) = Z0 y0− ds dy p2g(y0−y)dy =Zy0 0 f0(y) p2g(y0−y)dy Fazendo a mudança de variável y=y0z , obtém-se T(y0) = Z1 0 f0(y0z) p2g(y0−y0z)y0dz =1 √2gZ1 0 f0(y0z) p(1 −z)√y0 y0dz =1 √2gZ1 0 f0(y0z)√y0 p(1 −z)dz Para que T seja constante, deverá ter-se ∂ ∂y0f0(y0z)√y0= 0 o que conduz à equação diferencial 2f00 (y)y+f0(y)=0 para 0< y < y0 Substituindo f0 por g , obtemos uma equação de primeira ordem homogénea 2g0(y)y+g(y) = 0 ou dividindo ambos os membros por 2y , g0(y) + 1 2yg(y)=0
FCUP 55 Evolutas, Involutas e Roulettes Figura 4.7: Circunferências primitivas de duas rodas dentadas sendo C o ponto de contacto entre um par de dentes em ação. As secções de uma engrenagem cilíndrica obtidas por planos perpendiculares aos eixos são iguais pelo que o estudo da transmissão do movimento pode ser feito num plano. Na representação plana da engrenagem (Fig. 4.7), as superfícies primitivas reduzem-se a circunferências denominadas circunferências primitivas e o seu ponto de contacto P é chamado ponto primitivo. Estas circunferências situadas algures entre o topo e a base dos dentes das rodas dentadas, são linhas imaginárias que rolam sem deslizar uma na outra. Dada a ausência de deslizamento, as velocidades das duas circunferências primitivas no ponto de contacto P são iguais, donde resulta que w1r1=w2r2 onde w1 , w2 , r1 e r2 são as velocidades angulares e os raios das circunferências primitivas correspondentes. Portanto, a razão das velocidades angulares é constante dada por w1 w2 =r2 r1 concluindo-se que as velocidades angulares são inversamente proporcionais aos raios primitivos. Assim, numa engrenagem pretende-se que a roda mandante, a rodar com velocidade angular constante w em torno do eixo O1 , transmita pela ação dos dentes em contacto, à outra roda um movimento de rotação em torno do seu eixo O2 com velocidade r1 r2 w . Para assegurar uma ação conjugada o perl dos dentes deve satisfazer a chamada Lei do Engrenamento [5, 6]. Esta lei estabelece que os pers dos dentes devem ter uma forma tal que a normal comum no ponto de contacto deverá passar sempre no ponto primitivo, independentemente da posição do ponto de contacto. Consideremos um par de rodas dentadas R1 e R2 em ação conjugada. R1 roda em torno de O1 com velocidade angular w1 e transmite o movimento de rotação à roda R2 que roda em torno de O2 com velocidade angular w2 . Num determinado instante um par de dentes estão em contacto no ponto C. As curvas a e b representam, respetivamente, parte do perl do dente de R1 e R2 . As retas t e n são a tangente e a normal comuns a a e b no ponto C . O ponto C em cada roda executa um movimento circular uniforme, logo a velocidade linear de C em R1 e em R2 é dada respetivamente por V1=CM1=O1C·w1 e V2=CM2=O2C·w2
FCUP 56 Evolutas, Involutas e Roulettes onde M1 e M2 são tais que → V1=−−−→ CM1 e → V2=−−−→ CM2 . Donde resulta w1=CM1 O1C e w2=CM2 O2C e portanto w1 w2 =CM1 O1C·O2C CM2 Embora as velocidades lineares dos dois pers no ponto C , → V1 e → V2 , sejam diferentes as suas componentes ao longo da normal n terão de ser iguais por forma a manter o contacto. Da semelhança dos triângulos O1CR e CKM1 (critério AAA), temos CM1 O1C=CK O1R Figura 4.8: Lei do Engrenamento
FCUP 57 Evolutas, Involutas e Roulettes Da semelhança dos triângulos O2CS e CKM2 (critério AAA), temos O2C CM2 =O2S CK Portanto, w1 w2 =CM1 O1C·O2C CM2 =CK O1R·O2S CK =O2S O1R Ainda da semelhança dos triângulos O1PR e O2PS , temos O2S O1R=O2P O1P donde w1 w2 =O2S O1R=O2P O1P=r2 r1 . Podemos então concluir que a razão das velocidades angulares é igual à razão inversa dos comprimentos dos segmentos em que a normal comum no ponto de contacto corta a linha dos centros. Para que a razão das velocidades angulares seja constante, a normal comum aos pers no ponto de contacto deve intersetar a linha dos centros sempre no mesmo ponto P . Este ponto corresponde ao ponto de contacto das circunferências primitivas. 4.2.2 Perl cicloidal Embora seja possível construir gracamente um perl conjugado a partir de um perl dado utilizando a Lei do Engrenamento, as curvas utilizadas tradicionalmente para o perl dos dentes são a epicicloide, a hipocicloide e a involuta da circunferência. O perl cicloidal é constituído por dois arcos de curvas distintas. O perl do topo do dente, exterior à circunferência primitiva, corresponde a um arco de uma epicicloide e o perl da base, interior à circunferência primitiva, corresponde a um arco de uma hipocicloide. Estes arcos fazem parte duma epicicloide e hipocicloide geradas por circunferências, em geral de raios diferentes, a rolar na circunferência primitiva. Os dois arcos são unidos sobre a circunferência primitiva (Fig. 4.9). Quando um par de dentes entra em ação a base do dente da roda transmissora entra em contacto com o topo do outro dente. O ponto de contacto desliza ao longo do perl e o topo do primeiro dente vai estar em contacto com a base do segundo. Portanto o perl da base de um dente e o perl do topo do outro têm de ser curvas conjugadas. Para que tal aconteça no perl cicloidal basta trocar os papéis às circunferências geradoras, isto é, numa engrenagem cicloidal com ação conjugada, o perl da base do dente da roda R1 e o perl do topo do dente da roda R2 devem ser gerados por circunferências com o mesmo raio a rolar, respetivamente, no interior da circunferência primitiva de R1 no exterior da circunferência primitiva de R2 . Para demonstrar que assim é, consideremos as circunferências primitivas, C1 e C2 ,
FCUP 58 Evolutas, Involutas e Roulettes Figura 4.9: Construção do perl cicloidal de duas rodas dentadas, e uma circunferência auxiliar C de raio r no interior de C1 e tangente com C1 e C2 no ponto primitivo P . Se uma dessas circunferências roda em torno do seu centro, força as outras duas a rodar em torno dos respectivos centros e as três vão descrever arcos de igual comprimento a partir de P , tal como aconteceria se as circunferências primitivas permanecessem imóveis e a circunferência de raio r rolasse sobre elas. Quando a circunferência de raio r rola no interior de C1 o ponto P descreve uma hipocicloide. Se xarmos agora a circunferência auxiliar C e rodarmos C1 juntamente com a hipocicloide, em torno de O1 com velocidade constante w , a hipocicloide interseta a circunferência xa num ponto K que se move ao longo da circunferência C com velocidade angular constante r1 rw . Quando a circunferência de raio r rola no exterior de C2 o ponto P descreve uma epicicloide. Novamente, se xarmos a circunferência auxiliar C e rodarmos C2 juntamente com a epicicloide, em torno de O2 com velocidade angular constante −r1 r2 w , a epicicloide intersecta a circunferência xa num ponto que se move ao longo desta com velocidade angular constante igual a r1 rw . Vemos deste modo que se rodarmos as circunferências C1 e C2 simultaneamente, a hipocicloide e a epicicloide terão sempre o ponto K em comum, que descreve a circunferência xa (Fig. 4.10). Note-se que os dentes fazem contacto sempre sobre as circunferências geradoras do perl, logo a curva de contacto é constituída por uma combinação de dois arcos dessas circunferências. Por outro lado, quando uma circunferência móvel gera uma hipocicloide ou epicicloide a rolar numa circunferência xa, o ponto de contacto de ambas é um centro instantâneo de rotação para a circunferência móvel, logo a reta que une o ponto gerador
FCUP 59 Evolutas, Involutas e Roulettes Figura 4.10: Ponto de contacto da hipocicloide com a epicicloide da curva com o ponto de contacto é normal à curva nesse ponto. Concluimos assim que a hipocicloide e epicicloide geradas pela circunferência de raio r , para além de terem o ponto K em comum são tangentes nesse ponto e a normal comum passa no ponto primitivo e portanto são curvas conjugadas. Note-se que, se mantivermos xa a circunferência primitiva c2 e deixarmos rolar c1 juntamente com a hipocicloide em c2 , a epicicloide é a envolvente das posições sucessivas da hipocicloide (Fig. 4.11). Figura 4.11: Epicicloide como a envolvente das posições sucessivas da hipocicloide
5 Animações com o Geogebra " Mathematics is not a deductive science - that's a cliché. When you try to prove a theorem, you don't just list the hypotheses, and then start to reason. What you do is trial and error, experimentation, guesswork. You want to nd out what the facts are, and what you do is in that respect similar to what a laboratory technician does, but it is dierent in the degree of precision and information. " Paul Halmos, I want to be a Mathematician Ao longo do trabalho desenvolvido nos capítulos anteriores o GeoGegra constituiu um recurso metodológico importante. As suas capacidades de modelação dinâmica, permitindo a transformação quase contínua de congurações mantendo um conjunto de restrições, e a possibilidade de testar propriedades, facilitaram a experimentação matemática, contribuindo para a claricação de conceitos e para a compreensão de resultados. Como consequência da utilização do GeoGebra caram algumas animações geométricas, que permitem visualizar e apreender de forma rápida, alguns dos conteúdos abordados tornando-os acessíveis a todos. É claro que estas animações, por si só, não explicam o porquê dos resultados mas fornecem evidências que poderão despertar curiosidade e fornecer motivação para explorações matemáticas. As legendas das guras constituem um link para as correspondentes animações. 5.1 Curvatura e circunferência osculadora Para uma curva xa, esta animação permite visualizar a circunferência osculadora e o centro de curvatura, num ponto de curvatura não nula P0 . A posição de P0 pode ser alterada movendo o seletor P0 , percebendo-se que a circunferência osculadora está sempre do lado côncavo da curva. Quando se faz variar a posição de P0 ao longo da curva é assinalado no gráco da função curvatura o valor correspondente 60
FCUP 61 Evolutas, Involutas e Roulettes (a) (b) Figura 5.1: Instantâneos de Curvatura e circunferência osculadora da curvatura cando percetível que o raio de curvatura varia na razão inversa do valor absoluto da curvatura. O ponto P0 pode ser posicionado diretamente nos pontos de curvatura mínima, nula ou máxima, carregando nos botões correspondentes. O ponto de curvatura nula é assinalado como um ponto onde não existe circunferência osculadora. Para qualquer posição de P0 , a circunferência osculadora pode ser vista como a posição limite duma sucessão de circunferências que passam por três pontos distintos da curva, P0 , P1 e P2 quando estes se fazem coincidir. Os botões aproximar e afastar fazem coincidir ou afastar os três pontos. 5.2 Elipse: evoluta e paralelas (a) (b) Figura 5.2: Instantâneos de Elipse: evoluta e paralelas A elipse está denida por e(t) = (acos t, b sin t) com t∈[0,2π[ . Os seletores a e b permitem escolher os parâmetros a e b . Cada paralela à elipse está denida por p(t) = e(t) + c~n . Movendo o seletor c podem ser visualizadas diferentes paralelas. O seletor t permite movimentar o ponto P na elipse e simultaneamente o ponto correspondente na paralela. Ao usar as caixas de mostrar/ocultar objetos, podem ser visualizadas as
FCUP 62 Evolutas, Involutas e Roulettes circunferências osculadoras, os centros de curvatura, a evoluta e os vetores unitários tangentes e normais da elipse e da sua paralela nos pontos assinalados, sendo possível vericar que para cada valor de t , a elipse e a sua paralela têm a mesma normal, o mesmo centro de curvatura e os vetores unitários tangentes e normais são paralelos com o mesmo sentido ou sentidos contrários consoante 1−ck é maior ou menor do que zero. Fazendo variar t pode visualizar-se a evoluta da elipse como o lugar geométrico dos centros de curvatura e vericar que as paralelas da elipse têm a mesma evoluta em valores de t para os quais são regulares. Fazendo variar c , pode também visualizar-se a evoluta da elipse como o lugar geométrico dos pontos não regulares das suas paralelas. 5.3 Involutas de uma circunferência (a) (b) Figura 5.3: Instantâneos de Involutas de uma circunferência Partindo de uma circunferência denida por α(t) = (rcos t, r sin t) e o ponto P0= α(0) esta animação permite visualizar • uma involuta da circunferência a começar em P0 denida por (rcos t+rt sin t, r sin t−rt cos t) com t∈[−2nπ, 2nπ] onde n é um número natural que pode ser alterado com o seletor n . • a construção de uma involuta da circunferência desenrolando um o com comprimento igual ao perímetro da circunferência, selecionando a caixa involuta descrita pela extremidade do o e carregando no botão animar. • uma involuta da circunferência como a roulette traçada por um ponto xo de uma reta que rola sem deslizar sobre a circunferência, selecionando a caixa involuta como roulette e carregando no botão animar. O ponto da reta que traça a involuta pode ser escolhido com o seletor mover ponto .
FCUP 63 Evolutas, Involutas e Roulettes 5.4 Cicloides (a) (b) Figura 5.4: Instantâneos de Cicloides A circunferência móvel de raio r rola sobre o eixo Ox , selecionando a caixa cicloide ou sob a reta y= 2r selecionando a caixa cicloide invertida . A origem do referencial é o ponto de contacto da circunferência com Ox . No instante inicial o ponto P , gerador da cicloide, está sobre o eixo Oy . Nesse instante a sua ordenada é representada por c . Utilizando o seletor c , o ponto P pode ser posicionado sobre a circunferência, no seu exterior ou no seu interior, o que faz alterar a forma da cicloide, obtendo-se respetivamente uma cicloide, uma cicloide alongada ou uma cicloide encurtada. 5.5 Trocoides (a) (b) Figura 5.5: Instantâneos de Trocoides A trocoide é a curva gerada pelo ponto P ligado rigidamente à circunferência móvel de raio |b| quando esta rola sobre a circunferência xa de raio a . Em C é denida por Z(ϕ) = (a+b)eiϕ −hbeiϕ(a+b b) com a > 0 , h≥0 e b6= 0 , onde h representa a distância de P ao centro da circunferência móvel. Pode ser visualizada ou não selecionando a
FCUP 64 Evolutas, Involutas e Roulettes caixa trocoide . A sua forma depende dos parâmetros a , b e h que podem ser modicados pelos seletores correspondentes. Consoante b < 0 ou b > 0 a curva é uma hipotrocoide ou epitrocoide. Em qualquer caso a curva é fechada e limitada por duas circunferências que podem ser visualizadas selecionando a caixa anel . Cada vez que a circunferência móvel faz uma rotação completa o ponto P gera um arco da trocoide. O número de arcos que é visualizado corresponde ao número de rotações da circunferência móvel até a curva fechar. O botão animar faz rolar a circunferência móvel e permite ver o ponto P a percorrer a trocoide. 5.6 Dupla geração da epitrocoide (a) (b) Figura 5.6: Instantâneos de Dupla geração da epitrocoide Esta animação permite visualizar uma epitrocoide a ser gerada como uma hipotrocoide. A epitrocoide é gerada pelo ponto P rigidamente ligado à circunferência móvel de raio b quando esta rola sobre uma circunferência xa de raio a . Os seletores a e b permitem alterar os raios das duas circunferências e o seletor h faz variar a distância do ponto P ao centro da circunferência móvel. A epitrocoide é gerada com o seletor gerar ou o botão animar . Selecionando a caixa circunferências geradoras da hipotrocoide visualiza-se o par de circunferências xa e móvel que fazem com que o ponto P gere a hipotrocoide coincidente com a epitrocoide. Ao animar verica-se que a circunferência móvel rola no exterior da xa que das duas é a que tem menor raio. Ao visualizar os dois pares de circunferências com animação pode constatar-se rapidamente que as circunferências móveis rolam no mesmo sentido. As caixas epitrocoide e hipotrocoide mostram ou ocultam a curva correspondente permitindo visualizar cada uma separadamente ou as duas em simultâneo. 5.7 Dupla geração da hipotrocoide Esta animação permite visualizar como o mesmo ponto e dois pares de circunferências diferentes geram a mesma hipotrocoide. A hipotrocoide h1 é gerada pelo ponto