Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida - simulação numérica do comportamento mecânico

ESTUDO DO DESLIZAMENTO EM DESCONTINUIDADES COM RUGOSIDADE DEFINIDA – SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO COMPORTAMENTO MECÂNICO DAVID FILIPE NETO ROCHA Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL — ESPECIALIZAÇÃO EM GEOTECNIA Orientador: Professor Doutor José Eduardo Tavares Quintanilha de Menezes JULHO DE 2015 MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2014/2015 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Tel. +351-22-508 1901 Fax +351-22-508 1446  [email protected] Editado por FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Rua Dr. Roberto Frias 4200-465 PORTO Portugal Tel. +351-22-508 1400 Fax +351-22-508 1440  [email protected]  http://www.fe.up.pt Reproduções parciais deste documento serão autorizadas na condição que seja mencionado o Autor e feita referência a Mestrado Integrado em Engenharia Civil - 2012/2013 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2013. As opiniões e informações incluídas neste documento representam unicamente o ponto de vista do respetivo Autor, não podendo o Editor aceitar qualquer responsabilidade legal ou outra em relação a erros ou omissões que possam existir. Este documento foi produzido a partir de versão eletrónica fornecida pelo respetivo Autor. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida A meus Pais “Crescendo e Aprendendo” Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida AGRADECIMENTOS A todos os docentes da faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, em particular a José Eduardo Menezes, orientador da presente dissertação, pela partilha de conhecimento e disponibilidade apresentada para demonstrar qual o melhor caminho a seguir. À Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, seu corpo docente e administração, pelas excelentes condições e recursos que disponibiliza a todos os alunos, contribuindo diretamente para o melhor desempenho e desenvolvimento. A Ivo, Luana, Soneca, Helena, Senane, Tiago, Vedgi, Margarida, Ju, Madeiras, amigos de faculdade de maior apreço, pelo apoio, companheirismo e disponibilidade. Miúdos, vocês são muito bons. À minha namorada, pela sua presença, devoção e apoio incondicional. Fazes-me bem da melhor forma. E por último, à minha família, em especial aos meus pais e irmãos por todos os ensinamentos que me transmitiram ao longo da minha vida. A vocês devo grande parte do que sou hoje, a vossa presença traçou um caminho que prioriza a honestidade e integridade, valores demais importantes na sociedade. Uma nova etapa é agora atingida graças ao vosso esforço, devoção e confiança em mim, obrigado António e Isabel. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida ii Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida iii RESUMO A presente dissertação tem como propósito o estudo do comportamento mecânico no deslizamento em juntas com rugosidade geometricamente definida e constituídas por material com características físicas e mecânicas conhecidas. Para se efetuar o estudo mencionado, recorreu-se a um software de análise por elementos finitos e modelou-se um provete de acordo com as características físicas exigidas pela caixa de corte presente no laboratório da FEUP. A modelação do provete adotado simula o ensaio de resistência ao corte, tendo sido obtidos valores que caracterizam os modelos em diversas situações de carregamento. O comportamento resistente das juntas ao deslizamento foi caracterizado por alguns autores, cujos critérios definidos são bastante aceites na atualidade para a definição do mesmo. Neste trabalho as juntas estudadas têm a rugosidade definida por um perfil em dente de serra. O critério de rotura a consider neste caso pode ser o critério bilinear de Patton (1966). A rugosidade mínima corresponde a uma descontinuidade lisa (critério de Mohr-Coulomb). Ao longo deste estudo, os resultados obtidos são comparados com estes dois critérios que definem o comportamento mecânico de uma determinada descontinuidade. A modelação efetuada contempla a análise de uma descontinuidade lisa e de 20 descontinuidades com diferentes geometrias. As 20 juntas diferem geometricamente no número de saliências e na sua inclinação. Assim sendo, no decorrer das análises quantificou-se a influência dessas alterações geométricas na resistência ao deslizamento das descontinuidades. Os resultados obtidos com a modelação numérica foram confirmados pelas teorias anteriormente mencionadas, verificando-se esta conformidade quer para a descontinuidade lisa, quer para a descontinuidade com saliências. Foi também efetuado um breve estudo tridimensional considerando a orientação das asperezas oblíqua relativamente ao plano de corte, ou seja, fez-se variar o ângulo de orientação das saliências na direção transversal aos planos modelados. Por forma a compreender a influência deste fator na resistência ao deslizamento, consideraram-se 4 ângulos diferentes de orientação das asperezas. Com este trabalho, compreende-se que a simulação numérica de ensaios de resistência ao corte executados em laboratório ou in situ são uma mais-valia para se prever o comportamento em termos de resistência e deformação. Com a criação de suportes numéricos será possível não só a previsão do comportamento mecânico no decorrer do ensaio, mas também testar a sua qualidade de execução e detetar eventuais erros. PALAVRAS-CHAVE: juntas rochosas, rugosidade, ensaios de deslizamento, cálculo automático. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida iv Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida v ABSTRACT The purpose of the following dissertation is to study the mechanical behavior in the slippage of rough joints geometrically defined and composed by a material that has well-known physical and mechanical features. In order to achieve the following study a software analysis by finite elements was used and also a sample shaped according to the physical characteristics demanded by the cut box present in FEUP’s lab. The modeling of the sample adopted simulates the shear strength testing, hereby obtaining values which characterize the model in several loading situations. The resisting behavior of the joints to the slipping has been characterized by some authors, whose defining criteria are in our days commonly accepted to establish it. In this work an approach of the Mohr-Coulomb criteria for smooth discontinuities and Patton’s bilinear criteria (1966), which consider the saw tooth roughness of the joints, has been carried out. Throughout this work, the goals achieved are compared to these two criteria which define the mechanical behavior of a certain discontinuity. The shaping that was carried out covers the analysis of the smooth discontinuity and also of twenty more discontinuities with different geometries. That said, during the analysis the influence of these geometrical alterations was quantified in the resistance to the sliding of discontinuities. The results achieved with the numeric modeling were confirmed by the theories mentioned above, verifying the compliance in the smooth discontinuity, as well as in the discontinuity with bumps. A brief tridimensional study was accomplished taking into consideration the orientation of the oblique harshness regarding the cut plan, in other words, the orientation angle of the bumps is in the transversal direction of the modelled plans. In order to understand the influence of this factor in the resistance to the slipping process, four different orientation roughness angles were considered. Through this work, it is understood that the numeric simulation of rehearsals of the cut resistance performed either in a lab or “in situ” are a plus when predicting the behavior in terms of resistance and deformity. With the creation of numeric structures, not only will there be possible to predict mechanical behavior in the process of testing, but also to test the execution plan and detect potential errors. KEYWORDS: rock joints, roughness, slipping tests, automatic calculation. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida vi Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida xiii Figura 4.8 - Translação de ∆l/2 (junta simétrica). ................................................................................. 56 Figura 4.9 - a) Rugosidade com orientação perpendicular ao plano de corte; b) Rugosidade com orientação oblíqua relativamente ao plano de corte. ............................................................................ 57 Figura 4.10 - Processo de cálculo do ângulo α apresentado na vista de frente. .................................. 58 Figura 5.1 - Gráficos tensão de corte (𝝉)–deslocamento horizontal obtidos com recurso ao Phase2 para cada valor de tensão normal (σn) constante. ................................................................................ 63 Figura 5.2 - Gráfico comparativo de resultados obtidos com recurso à modelação e a envolvente teórica de Mohr-Coulomb. ..................................................................................................................... 63 Figura 5.3. - Representação esquemática da bilinearidade de Patton, equações que definem a envolvente. ............................................................................................................................................ 64 Figura 5.4 - Gráfico Tensão tangencial 𝜏–Tensão normal σn ,obtidos na modelação para os diferentes números de saliências com i=20°. ........................................................................................................ 65 Figura 5.5 - Gráfico Tensão tangencial 𝜏–Tensão normal σn obtidos na modelação para os diferentes números de saliências com i=15°. ........................................................................................................ 66 Figura 5.6 - Gráfico Tensão tangencial 𝜏-Tensão normal σn obtidos na modelação para os diferentes números de saliências com i=10°. ........................................................................................................ 66 Figura 5.7 - Gráfico Tensão tangencial 𝜏-Tensão normal σn obtidos na modelação para os diferentes números de saliências com i=5°. .......................................................................................................... 67 Figura 5.8 - Valores de tensão normal obtidos na modelação que separam a ocorrência de dilatância e corte em função dos valores de inclinação. ....................................................................................... 68 Figura 5. 9 - Comparação entre as envolventes de rotura teórica e a obtida na modelação para i=20°;n=20. ............................................................................................................................................ 69 Figura 5.10 - Comparação entre as envolventes de rotura teórica e a obtida na modelação para i=20°;n=15. ............................................................................................................................................ 69 Figura 5.11 - Comparação entre as envolventes de rotura teórica e a obtida na modelação para i=20°;n=10. ............................................................................................................................................ 70 Figura 5.12 - Comparação entre as envolventes de rotura teórica e a obtida na modelação para i=20°;n=5. .............................................................................................................................................. 70 Figura 5. 13 - Gráfico tensão tangencial-deslocamento horizontal para σn=0.5 MPa. ......................... 71 Figura 5.14 - Gráfico tensão tangencial-deslocamento vertical para σn=0.5 MPa. .............................. 72 Figura 5.15 – Evolução dos elementos de cedência para uma tensão normal de 0.5 MPa e carga distribuída horizontal de 0.1 a 1.9 MPa com intervalos de 0.2 MPa. .................................................... 73 Figura 5.16 - Representação da ocorrência de dilatância para T=1.8 MPa; a) Malha de elementos finitos; b) Deslocamentos horizontais. .................................................................................................. 73 Figura 5.17 - Gráfico tensão tangencial-deslocamento horizontal para σn=2 MPa. ............................. 74 Figura 5.18. - Evolução dos elementos de cedência ao longo do ensaio para uma tensão normal de 2 Mpa e uma carga distribuída horizontal de 1, 2, 4, 5.2, 5.4, 5.6, 5.8,5.9, 6 MPa ................................. 75 Figura 5.19 – Deslocamentos horizontais para um carregamento horizontal de 6.8 MPa e 6.9 MPa . 75 Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida xiv Figura 5.20 - Representação do ponto de tensões para o cálculo de fator de segurança. .................. 76 Figura 5.21 - Gráfico comparativo de valores de SRF para as juntas normais e simétricas. ............... 78 Figura 5.22 - Gráfico comparativo dos valores de SRF para as diferentes situações. ......................... 79 Figura 5.23 - a) Junta com θ=0; b) Junta com θ=50º ............................................................................ 80 Figura 5.24 - Gráfico representativo da variação da inclinação aparente das asperezas (α) em função do aumento do ângulo de orientação das asperezas (θ). ..................................................................... 80 Figura 5.25 - Variação do SRF em função do ângulo de orientação das asperezas (θ). ..................... 81 Figura 5.26 - Gráfico tensão tangencial-deslocamentos horizontais para diferentes orientações das asperezas sob tensão normal constante igual a 0.5 MPa. .................................................................... 82 Figura 5.27 - Gráfico tensão tangencial-deslocamentos horizontais para diferentes orientações das asperezas sob tensão normal constante igual a 2MPa. ........................................................................ 83 Figura 5.28 - Esquema representativo dos deslocamentos horizontais nas proximidades da descontinuidade para os diferentes ângulos de orientação das asperezas, θ. .................................... 83 Figura 5.29 - Representação esquemática da direção de deslocamentos, a) =0; b)≠0. ................... 84 Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida xv ÍNDICE DE TABELAS Tabela 2.1 - Técnicas de caracterização dos parâmetros das descontinuidades (Azevedo & Marques, 2002). ...................................................................................................................................................... 8 Tabela 2.2 - Intervalo de valores do ângulo de atrito definido para cada tipo de rocha (González de Vallejo, 2002)......................................................................................................................................... 23 Tabela 4.1 - Características gerais adotadas para os materiais do modelo. ........................................ 49 Tabela 4.2 - Características gerais adotadas para as descontinuidades. ............................................ 49 Tabela 4.3 - Dados relativos às descontinuidades modeladas. ............................................................ 52 Tabela 4.5 - Características adotadas para a definição de orientação das asperezas. ....................... 59 Tabela 5.1 - Valores de tensão normal e tangencial correspondentes ao ponto A da figura 5.3 para cada uma das inclinações consideradas. ............................................................................................. 67 Tabela 5.2 - Fatores de segurança obtidos analiticamente. ................................................................. 77 Tabela I.2 - Resultados da simulação do ensaio de resistência ao corte para σn=0,2 MPa. ............... 93 Tabela I.3 - Resultados da simulação do ensaio de resistência ao corte para σn=0.5 MPa. ............... 94 Tabela I.4 - Resultados da simulação do ensaio de resistência ao corte para σn=1 MPa. .................. 94 Tabela I.5 - Resultados da simulação do ensaio de resistência ao corte para σn=2 MPa. .................. 95 Tabela I.6 - Resultados da simulação do ensaio de resistência ao corte para σn=4 MPa. .................. 95 Tabela II.4 - Valores de tensão tangencial para a situação limite de rotura para as juntas com i=20°. 98 Tabela II.5Valores de tensão tangencial para a situação limite de rotura para as juntas com i=15°. 99 Tabela II.6 - Valores de tensão tangencial para a situação limite de rotura para as juntas com i=10°. ............................................................................................................................................................. 100 Tabela II. 7 Valores de tensão tangencial para a situação limite de rotura para as juntas com i=5... 101 Tabela II.8 - Ensaio de resistência ao corte para σn=0.5 MPa para junta com i=20° e n=6 (dilatância). ............................................................................................................................................................. 102 Tabela II.9 - Ensaio de resistência ao corte para σn=2 MPa para junta com i=20° e n=6 (corte e dilatância). ........................................................................................................................................... 102 Tabela III.1 - Valores de SRF obtidos para diferentes orientações das asperezas para σn=0.1 MPa e T=0.3 MPa. .......................................................................................................................................... 101 Tabela III.2 - Ensaio de resistência ao corte para σn=0.5 MPa para junta com i=20° e n=6 para os diferentes valores de θ. ....................................................................................................................... 101 Tabela III.3 - Ensaio de resistência ao corte para σn=2 MPa para junta com i=20° e n=6 para os diferentes valores de θ. ....................................................................................................................... 102 Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida xvi Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida xvii SIMBOLOS E ABREVIATURAS A - Área da superfície da descontinuidade c - Coesão; e - Espaçamento entre famílias de descontinuidades Is - Índice relativo à carga de rotura ISRM - International Society for Rock Mechanics i - Ângulo de inclinação médio das saliências iθ - Ângulo de inclinação aparente JCS - Resistência à compressão das paredes da descontinuidade (joint wall compression strength) JRC - Coeficiente de rugosidade da descontinuidade (joint roughness coefficient) [K] - Matriz rigidez; L - Comprimento da base das asperezas para θ=0 Lθ - Comprimento da base das asperezas para θ≠0 m - Constante adimensional do critério de Hoek-Brown N - Carga normal aplicada nos ensaios de resistência ao corte e deslizamento n - número de saliência de uma junta {𝑄}(Pereira)(Pereira)(Pereira)(Pereira)(Pereira) - Vetor das forças nodais. {𝑞} - Vetor deslocamentos; R - Valor do ressalto de uma superfície sã, medido no martelo de Schmidt r - Valor do ressalto de uma superfície no estado natural, medido no martelo de Schmidt S - Carga tangencial aplicada nos ensaios de resistência ao corte e deslizamento SRF - Stength Reduction Factor SSR - Shear Strength Reduction s - constante adimensional do critério de Hoek Brown α - Ângulo de inclinação medido no ensaio “tilt test” α1 e α2Ângulos correspondente à direção de mergulho β1 e β2 - Ângulos correspondente ao mergulho δt - deslocamento tangencial θ - Ângulo de orientação das asperezas σc - Resistência à compressão simples da matriz rochosa σn - Tensão normal τ - Tensão de corte τp - Tensão de corte de pico Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida xviii ϕ - Ângulo de atrito interno da matriz rochosa ϕb - Ângulo de atrito de básico ϕp - Ângulo de atrito de pico ϕr - Ângulo de atrito de residual Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 1 1 INTRODUÇÃO 1.1 ENQUADRAMENTO O estudo das características geotécnicas de um maciço rochoso no qual se insere uma obra de engenharia civil é fundamental para garantir a sua segurança e fiabilidade. Por vezes, a precisão deste estudo é função da complexidade da obra, sendo tando mais pormenorizado quanto maior a importância da obra. Um maciço rochoso é uma estrutura geológica que se desenvolve na Natureza e, independentemente do seu estado de formação e posterior evolução, apresenta sempre superfícies de descontinuidade. Estes planos que interrompem a continuidade do maciço rochoso conferem condições de anisotropia e heterogeneidade, afetando as características de resistência e deformação do elemento onde se inserem. O comportamento resistente e deformacional do elemento geotécnico poderá ser essencialmente condicionado pelos planos de descontinuidade. Mesmo quando se trata de um maciço rochoso de elevada qualidade, se estas interfaces apresentarem orientação, características físicas, mecânicas ou hidráulicas desfavoráveis, o comportamento global do maciço é afetado pela sua presença. Esta condição é confirmada nos problemas de engenharia civil, onde as superfícies de compartimentação influenciam de forma negativa a deformação e resistência do maciço, a distribuição de tensões e a presença de água (Pereira 1994). Tendo em consideração estes fatores, compreende-se a necessidade da análise geotécnica de um maciço rochoso integrar não só o estudo da massa rochosa que o compõe mas também os planos que o intersectam. A presente dissertação está inserida na análise das características das descontinuidades, em especial a resistência ao deslizamento em função da sua geometria. Este estudo pode ser efetuado recorrendo a ensaios de resistência ao corte em laboratório ou in-situ. Por sua vez, estes ensaios de idêntica conceção, consistem na preparação de uma amostra que contenha uma descontinuidade que se pretenda analisar, e de seguida, com material adequado, é aplicada uma tensão normal constante e uma tensão de corte que deve aumentar progressivamente, provocando um deslizamento de um dos blocos sob a superfície de descontinuidade que interseta o provete. Os resultados deste ensaio exprimem a resistência ao deslizamento da descontinuidade. Neste trabalho efetuou-se uma análise computacional em alternativa aos ensaios físicos mencionados. Simulando as condições físicas e morfológica de um ensaio de resistência ao corte. O software analisa de forma detalhada do comportamento mecânico do elemento recorrendo ao método dos elementos finitos. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 2 1.2 OBJETIVOS A rugosidade é um parâmetro que afeta a resistência ao corte e deslizamento de um maciço rochoso, sendo a sua estabilidade condicionada por este parâmetro. Com o presente trabalho pretende compreender-se em que medida a geometria da superfície de uma descontinuidade presente num provete influência o comportamento mecânico global do elemento. Com recurso a software de cálculo baseado no método de elementos finitos, objetiva-se a simulação numérica do comportamento mecânico de juntas em modelos bidimensionais e tridimensionais. A criação de diversas juntas com diferentes geometrias contribui para este estudo na medida em que a comparação entre elas poderá representar um índice importante no que diz respeito à influência das mesmas na resistência ao corte e deslizamento do provete, podendo efetuar-se uma analogia com os efeitos em larga escala. A análise do comportamento das juntas, nomeadamente a resistência ao deslizamento, é efetuada recorrendo a ensaios laboratoriais ou in-situ, que, na generalidade dos casos, são morosos e implicam custos elevados. Um adequado suporte numérico poderá representar uma alternativa ou uma ferramenta complementar rápida, económica e podendo ser igualmente fiável. Como é sabido, na Natureza a rugosidade das descontinuidades não é uniforme, no entanto, ao criar-se modelos com diferentes geometrias procura-se uma similaridade com as descontinuidades existentes nos maciços rochosos. Assim, em casos práticos de engenharia civil, em particular problemas geotécnicos, pretende compreender-se a influência da geometria dos planos de descontinuidade na estabilidade de estruturas rochosas. 1.3 ORGANIZAÇÃO Este trabalho está dividido em seis capítulos, sendo que o primeiro capítulo é introdutório. Os capítulos apresentam-se da forma que se considerou mais adequada para a melhor compreensão do trabalho desenvolvido. No capítulo 2, ”Descontinuidades”, são abordados os aspetos essenciais das descontinuidades presentes nos maciços rochosos. Apresentam-se e descrevem-se os tipos de descontinuidades existentes, bem como os parâmetros de caracterização das descontinuidades individualmente. Neste capítulo são também descritos os critérios teóricos mais comuns de resistência das descontinuidades. No capítulo 3, “Ensaios de resistência ao corte”, são referidos os ensaios de resistência ao corte in situ e laboratoriais frequentemente utilizados e também o tratamento dos dados obtidos neste tipo de ensaios. Este capítulo integra ainda a descrição do equipamento presente na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto e a apresentação de alguns provetes ensaiados com este equipamento. No capítulo 4, “Modelos numéricos”, é efetuada uma breve descrição do software utilizado, bem como do método em que se baseia o cálculo automático, método dos elementos finitos. De seguida são definidas as características gerais do modelo, adotadas para as análises numéricas efetuadas. Ainda neste capítulo, são apresentadas as características geométricas e morfológicas de cada uma das descontinuidades utilizadas na análise computacional. Para as descontinuidades com rugosidade com orientação oblíqua relativamente ao plano de corte, são apresentados os modelos que definem o seu desenvolvimento num plano tridimensional. No capítulo 5, “Análise paramétrica”, são expostos os resultados obtidos com recurso ao software apresentado no capítulo 4. Neste capítulo é efetuado o tratamento dos dados, apresentando-se esquemas Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 3 representativos dos resultados. As teorias de resistência ao corte apresentadas no capítulo 2 são aplicadas aos modelos desenvolvidos e comparadas com os resultados obtidos com a modelação. Para finalizar, no capítulo 6, “Conclusões e desenvolvimentos futuros”, é efetuado um resumo dos aspetos mais importantes e das conclusões obtidas no decorrer da presente dissertação. Tendo por base o trabalho realizado, são sugeridas algumas linhas de orientação para futuro desenvolvimento do tema. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 10 Figura 2.4 - Definição da orientação de descontinuidades (González de Vallejo 2002). 2.3.2 ESPAÇAMENTO O espaçamento é definido pela distância entre planos de descontinuidades de uma mesma família medidos na direção perpendicular, como se pode observar na Figura 2.5. Figura 2.5 - Representação do espaçamento de descontinuidades (ISRM 1977). O comportamento do maciço rochoso pode variar em função da distância entre descontinuidades, na medida em que um espaçamento demasiado pequeno manifesta-se pela perda de coesão do maciço rochoso. Por outro lado, em maciços rochosos com descontinuidades muito afastadas prevalecem as propriedades da matriz rochosa nos processos de deformação e rotura. 2.3.3 RUGOSIDADE A rugosidade é um parâmetro das descontinuidades com elevada importância na avaliação da resistência ao corte, especialmente para descontinuidades não preenchidas, sem coesão. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 11 O termo rugosidade refere-se não só às irregularidades das superfícies de descontinuidade (variabilidades em pequena escala), mas também à ondulação das mesmas (variabilidades em larga escala). Assim sendo, é simples compreender que para situações de maior rugosidade existe um incremento de resistência ao corte, porque o deslizamento tangencial fica dificultado. A análise da rugosidade pode ser efetuada recorrendo a métodos quantitativos ou qualitativos, consoante a precisão pretendida, a escala medida ou a acessibilidade à superfície. Estes métodos baseiam-se na análise de perfis de rugosidade, sendo que no caso das análises quantitativas é ainda possível a realização de perfis lineares. De acordo com o ISRM, o efeito dos diferentes tipos de rugosidade requer que na análise qualitativa deste parâmetro sejam distinguidas duas escalas:  Decimétrica e métrica, para caracterizar a ondulação: superfície plana, ondulada ou em patamares;  Milimétrica e centimétrica, para caracterizar a rugosidade: superfície polida, lisa ou rugosa. Figura 2.6 - Tipos de escalas e respetivos ensaios para definição da rugosidade e ondulação (ISRM 1977). Com estas características, o ISRM definiu os perfis de rugosidade apresentados na Figura 2.7, permitindo que seja feita uma análise qualitativa por comparação visual da rugosidade com os perfis propostos. De acordo com estes perfis, a resistência tangencial da superfície vai diminuindo de Ι a ΙΧ. Também Barton e Choubey propuseram uma série de perfis típicos de rugosidade associando a cada um deles um valor de coeficiente de rugosidade JRC. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 12 Figura 2.7 - Perfis de rugosidade típicos considerando as duas escalas (ISRM 1977). 2.3.4 NÚMERO DE FAMÍLIAS DE DESCONTINUIDADES O número de famílias de descontinuidades condiciona o comportamento mecânico e deformacional, e os mecanismos de rotura de um maciço rochoso (González de Vallejo 2002). O tamanho dos blocos e o grau de fracturação presentes no maciço são formados pelo número, espaçamento e orientação das famílias de descontinuidade. Por sua vez, uma família de descontinuidades é caracterizada pela sua orientação no espaço e pelas propriedades e características dos planos. Este parâmetro permite determinar a extensão do maciço rochoso que se pode formar sem que ocorra rotura da matriz rochosa (Coutinho 2009). Assim sendo, compreende-se que o número de famílias, bem como a sua orientação, são determinantes para garantir a estabilidade de uma obra de engenharia. A figura 2.8 apresenta três blocos com diferentes números de famílias de descontinuidades, sendo estas definidas segundo uma orientação e espaçamento. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 13 Figura 2.8 - Representação do número famílias de descontinuidades (González de Vallejo 2002). 2.4 RESISTÊNCIA DAS DESCONTINUIDADES Como foi visto no início do presente capítulo, o estudo de um maciço rochoso implica uma caracterização e análise não só da matriz rochosa como também das descontinuidades presentes no elemento rochoso. Assim sendo, a resistência das descontinuidades tem um papel muito importante no comportamento do maciço. No caso de maciços rochosos em que a rocha intacta é de elevada resistência, o comportamento global do maciço dependerá particularmente da capacidade resistente da matriz rochosa (Coutinho 2009). É então fundamental o conhecimento das resistências de ambos os elementos (rocha intacta e descontinuidades), para que seja avaliada a resistência de acordo com o elemento que mais condiciona a estrutura. Outro motivo pelo qual as descontinuidades devem ser estudadas é o facto de a sua distribuição ser mais ou menos aleatória, conferindo ao maciço elevada anisotropia particularmente no que diz respeito às propriedades resistentes. Os deslizamentos sobre descontinuidades em maciços à superfície ou subterrâneos, como aberturas subterrâneas, fundação de barragens, túneis e taludes, podem ocorrer em qualquer direção dependendo das condições fronteira e das tensões exteriores atuantes na estrutura. Posto isto, torna-se imperativo compreender a variação da resistência tangencial das descontinuidades rochosas para se proceder a uma correta análise de estabilidade destas estruturas rochosas (Budi, Rao, and Deb 2014). A Figura 2.9 ilustra o comportamento em termos de resistência ao corte para três tipos de descontinuidades e dois tipos de rocha. A inclinação da envolvente representa o ângulo de atrito do elemento e o valor da coesão corresponde à interseção com o eixo da tensão de corte. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 14 Figura 2.9 - Representação gráfica da relação tensão normal-tensão de corte para dois maciços rochosos e três tipos de descontinuidades (Neyra 2006). Analisando a Figura, no caso (1) é apresentada uma fratura com preenchimento. Nestes casos, são considerados valores de coesão. Na envolvente (2), a coesão é nula pelo facto da descontinuidade ser lisa e não apresentar preenchimento. Para estes dois primeiros casos, a inclinação da envolvente é dependente do ângulo de atrito da rocha. Quando se analisa a situação (3), pode destacar-se o elevado ângulo de atrito porque o seu valor depende do ângulo de atrito da rocha e de uma componente ligada às irregularidades da superfície da descontinuidade. Para esta situação, o aumento da tensão normal provoca uma diminuição progressiva do ângulo de atrito fruto da redução das asperezas. Relativamente aos maciços rochosos, em (4) a rotura ocorre através da rocha intacta e ao longo das superfícies de descontinuidades e em (5) está representado um material de grão fino e por isso apresenta um baixo ângulo de atrito, que na ausência de fraturas apresentará elevada coesão (Neyra 2006). Como se pode verificar, o comportamento mecânico de um maciço rochoso é condicionado pela massa rochosa e pelas descontinuidades, sendo que, na generalidade dos casos, as descontinuidades são mais condicionantes. Para a determinação da resistência das juntas têm sido desenvolvidos alguns critérios ao longo dos tempos. Neste trabalho serão abordados com maior detalhe o critério linear de Mohr-Coulomb, o critério bilinear de Patton e o critério empírico de Barton e Choubey. 2.4.1 CRITÉRIO DE MOHR-COULOMB O critério de Mohr-Coulomb é um critério de deformação linear aplicado com o objetivo de avaliar a resistência ao corte em função da tensão normal, do ângulo de atrito e da coesão. Este critério é utilizado na avaliação da resistência da rocha intacta podendo estender-se para a análise de descontinuidades. Tendo por base um bloco sobre um plano inclinado, o autor concluiu que se a resultante das forças que atuam num dado elemento formassem um ângulo com a normal ao plano de descontinuidade inferior ao ângulo de atrito, este permaneceria imóvel na superfície plana. Com base nesta premissa, MohrCoulomb formulou uma equação para o cálculo da resistência ao corte de descontinuidades, dependendo Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 15 este valor da fricção entre as superfícies e da coesão, no caso de existir preenchimento na descontinuidade. 𝜏𝑝=𝑐+𝜎𝑛𝑡𝑎𝑛𝜙𝑝 (2.1) Onde:  σn é a tensão normal aplicada sobre o plano de descontinuidade;  c é a coesão;  ϕp é o ângulo de atrito de pico. Para o caso de continuarem a ocorrer deslocamentos tangenciais após se atingir a resistência de pico, a resistência ao corte vai diminuindo até atingir um valor residual, como se observa na Figura 2.10. Para essa situação o valor da resistência ao corte (τr) é dado em função do ângulo de atrito residual (φr), deixando de existir coesão entre as superfícies de descontinuidade. 𝜏𝑟=𝜎𝑛𝑡𝑎𝑛𝜙𝑟 (2.2) Figura 2.10 - Representação do comportamento de descontinuidades lisas no ensaio de corte ou deslizamento (Hoek 2000). Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 16 2.4.2 CRITÉRIO DE PATTON Com os desenvolvimentos na abordagem das descontinuidades, compreendeu-se que as irregularidades ao longo das superfícies das descontinuidades teriam um papel importante na determinação da resistência tangencial. Em 1966, Patton estudou o efeito das irregularidades presentes nas rochas em estado natural em mais de 300 taludes rochosos. Pelo facto dos resultados dos ensaios de corte serem complexos mesmo quando eram ensaiados provetes da mesma rocha, o autor utilizou provetes de material artificial, podendo assim avaliar separadamente o efeito da forma, tamanho e forças internas das irregularidades presentes nas descontinuidades. Como seria de esperar, os estudos de campo e laboratoriais de Patton mostraram que a resistência ao corte de um maciço é fortemente influenciada pelas irregularidades existentes na superfície das descontinuidades. Figura 2.11 - Representação da geometria de alguns dos provetes de gesso utilizados por Patton (Patton 1966). Com os resultados obtidos nas descontinuidades geometricamente definidas, Patton concluiu que considerando uma superfície com a rugosidade representada por um ângulo i em relação ao plano médio horizontal, o valor do ângulo de atrito total (ou ângulo de atrito de pico (ϕp)) é a soma do ângulo médio das irregularidades (i) com o ângulo de atrito básico (ϕb), de acordo com a equação apresentada. 𝜙𝑝=𝜙𝑏+𝑖 (2.3) No critério de Patton a coesão não é contabilizada no cálculo da resistência ao corte para descontinuidades que não apresentam preenchimento entre as paredes. Segundo este critério, quando se exerce um esfoço tangencial sobre uma descontinuidade que se encontra submetida a baixos valores de tensão normal, para que ocorra deslocamento no sentido do plano é necessário que o ângulo i seja superado. A este fenómeno dá-se o nome de dilatância, sendo a tensão tangencial caracterizada pela Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 17 equação 2.4, que se encontra representada na Figura 2.12 pelo primeiro trecho da curva de tensão tangencial - tensão normal. 𝜏𝑝=𝜎𝑛𝑡𝑎𝑛(𝜙𝑏+𝑖) (2.4) Com o incremento da tensão normal (σn) aplicada na superfície das descontinuidades e da tensão de corte até um determinado valor, verifica-se que, para a ocorrência de rotura (confirmada por deslocamento horizontal de um dos blocos) é necessário que ocorra o corte dos bordos das asperezas, aproximando assim as superfícies das irregularidades à horizontal. Nesta fase, a resistência tangencial passa a depender maioritariamente do ângulo de atrito básico (𝜙𝑏). No caso de continuar a haver um aumento da tensão normal para valores que impossibilitam a ocorrência de dilatância, é necessário o corte total das irregularidades para que se verifiquem deslocamentos horizontais. Para esta situação, a resistência ao corte passa a ser função de um ângulo de resistência residual de acordo com a equação 2.5, representada graficamente pelo segundo trecho da curva tensão de corte - tensão normal, Figura 2.12. 𝜏𝑝=𝜎𝑛𝑡𝑎𝑛𝜙𝑟 (2.5) Figura 2.12 - Representação gráfica Tensão-Deslocamento tangencial para descontinuidades com rugosidade; Representação do critério bi-linear de Patton (González de Vallejo 2002). Com as experiências efetuadas, o autor concluiu que a envolvente de rotura para amostras com descontinuidades que apresentam irregularidades é não linear, tendo nos seus cálculos aproximado a envolvente de rotura a duas retas. Segundo o autor as alterações no declive da envolvente de rotura estão relacionadas com as propriedades físicas das irregularidades ao longo da superfície de descontinuidade (Patton 1966). Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 18 2.4.3 CRITÉRIO DE BARTON E CHOUBEY Em 1977, Barton e Choubey desenvolveram outro método para a quantificação da resistência das descontinuidades. Trata-se de um método empírico obtido a partir de ensaios laboratoriais, onde a influência das propriedades das descontinuidades no valor da resistência ao corte é notória. Tendo por base os estudos efetuados em juntas naturais e artificiais, o critério foi sendo aperfeiçoado e atualmente a sua lei empírica é utilizada universalmente para a determinação da resistência ao corte de descontinuidades rugosas, sendo a sua expressão: 𝜏=𝜎𝑛𝑡𝑎𝑛[𝐽𝑅𝐶𝑙𝑜𝑔10(𝐽𝐶𝑆 𝜎𝑛)+𝜙𝑟] (2.6) Onde:  τ é a tensão tangencial aplicada ao plano de descontinuidade;  σn é a tensão normal aplicada ao plano de descontinuidade;  JRC é o coeficiente de rugosidade da descontinuidade (joint roughness coefficient);  JCS é a resistência à compressão das paredes da descontinuidade (joint wall compression strength);  𝜙𝑟 é o ângulo de atrito residual. Com este critério, a resistência tangencial da descontinuidade para além de depender do valor de tensão normal aplicada, define-se através de três componentes: uma componente de fricção dependente do ângulo de atrito da descontinuidade, uma componente geométrica dada pelo parâmetro JRC e uma componente de aspereza que resulta da relação entre JCS e a tensão normal (σn). 2.4.3.1 Coeficiente de rugosidade da descontinuidade, JRC O valor do parâmetro JRC, Joint Roughness Coefficient, depende da rugosidade das paredes da descontinuidade. Este valor varia entre 0 e 20, sendo que o mínimo é referente a juntas lisas que não apresentam dilatância e o máximo refere-se a juntas com alta rugosidade. O valor da rugosidade pode ser obtido por comparação visual do perfil em estudo com a tabela de perfis típicos realizada por Barton e Choubey, Figura 2.13. Esta tabela foi obtida ao agrupar 136 amostras de juntas de acordo com o seu perfil de rugosidade, obtendo-se estes 10 perfis tipo. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 19 Figura 2.13 - Tabela com os valores de JRC para cada perfil tipo (Barton and Choubey 1977). Em alternativa a esta metodologia, o cálculo do valor de JRC pode ser obtido recorrendo ao tilt test. O ensaio consiste em colocar no aparelho blocos de rocha separados pela descontinuidade e progressivamente inclinar a base do suporte até que a parte superior do bloco deslize sobre a parte inferior fixa, Figura 2.14. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 26 Para se estudar a tridimensionalidade de uma descontinuidade, numa primeira fase é importante que esta seja caracterizada por uma rugosidade constante, apresentando uma geometria regular que pode ser facilmente definida. Nestas condições geométricas torna-se mais simples a consideração da orientação das asperezas. De forma a provar a influência da orientação das asperezas de uma descontinuidade no comportamento resistente e de deformação de um elemento, Khorsravi, Ali, et al. (2013) estudaram este efeito recorrendo a ensaios de resistência ao corte em juntas com geometria e orientação definidas. Na Figura 2.18 esquematiza-se a metade inferior dos provetes ensaiados, onde se pode observar a rugosidade tridimensional da superfície, bem como os fatores influentes na sua geometria. Figura 2.18 - Representação tridimensional da orientação das asperezas (Khosravi et al. 2013). Na Figura 2.18 importa identificar os seguintes elementos:  θ - Ângulo de orientação das asperezas  L - Comprimento da base das asperezas quando θ=0  Lθ - Comprimento da base das asperezas quando θ≠0  iθ - Ângulo de inclinação aparente Para a realização dos ensaios, os autores optaram por definir 3 níveis diferentes de tensões (60, 100 e 140 kPa) em 2 tipos de juntas com diferentes inclinações (15 e 30 graus). Numa primeira fase, efetuaram-se ensaios considerando um plano de corte com orientação normal ao plano da junta. Numa segunda fase, consideraram dois ângulos de orientação das descontinuidades diferentes de zero, ou seja, nesta fase o plano de corte foi considerado oblíquo relativamente ao plano das descontinuidades. A consideração de orientação das asperezas presentes na superfície de uma descontinuidade relativamente ao plano de corte implica que as cargas que se encontram aplicadas deixem de ser orientadas de forma perpendicular ao plano da junta, formando assim um ângulo que representa a orientação da rugosidade relativamente à direção de carregamento. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 27 Figura 2.19 - a) Carregamento perpendicular à orientação das asperezas (θ=0); b) Carregamento oblíquo à orientação das asperezas (θ≠0). Os resultados obtidos com os ensaios realizados na primeira fase permitiram constatar que o valor da tensão tangencial de pico aumenta não só com o aumento da tensão normal aplicada, mas também com o aumento da inclinação das saliências. Este resultado é coerente com outros critérios anteriormente formulados. Relativamente às deformações verificadas nos ensaios, os autores observaram que depois de se atingir o valor de tensão tangencial de pico, as deformações são bastante dependentes do valor das inclinações das descontinuidades. Para inclinações com menores valores, o valor da dilatância acompanha a inclinação das asperezas, não se verificando o corte das mesmas. Para valores de inclinação superiores, a resistência ao deslizamento é ultrapassada causando o corte das saliências, especialmente para valores de tensão normal mais elevados. Figura 2.20 - Resultados dos ensaios sob tensão normal constante de 140 KPa (Khosravi et al. 2013). Como se pode observar na Figura, sob uma tensão normal elevada o valor da tensão tangencial de pico é superior para as saliências que apresentam uma inclinação de 30º e o posterior corte das asperezas implica uma maior área. Na segunda fase dos ensaios realizados por Khorsravi, Ali, et al. (2013), a resposta das descontinuidades é significativamente afetada pela direção de carregamento, através da redução da resistência tangencial ao longo da direção do plano da junta provocada pelo aumento do ângulo de orientação das asperezas. θ 90°-θ 90° a) b) Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 28 Figura 2.21 - Resultados das tensões tangenciais de pico num gráfico tensão tangencial - tensão normal para inclinação das saliências igual a 15°. Figura 2.22 - Resultados das tensões tangenciais de pico num gráfico tensão tangencial - tensão normal para inclinação das saliências igual a 30°. Os gráficos apresentam os resultados obtidos pelos autores nos ensaios para diferentes ângulos de inclinação e orientação das asperezas. Como se pode observar, a resistência tangencial das descontinuidades decresce com o aumento do ângulo que define a orientação das asperezas relativamente ao plano de corte. Associado ao aumento do ângulo de orientação das asperezas (θ), está uma redução do ângulo de inclinação aparente (iθ), que pode ser obtida recorrendo à seguinte expressão: 𝑡𝑎𝑛(𝑖𝜃)=𝑡𝑎𝑛(𝑖)𝑐𝑜𝑠(𝜃) (2.11) 0 50 100 150 200 250 300 60 100 140 Tensão tangencial, τ(KPa) Tensão normal, σn(KPa) i=15° θ=0° θ=30° θ=45° 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 60 100 140 Tensão tangencial, τ(KPa) Tensão normal, σn(kPa) i=30° θ=0° θ=15° θ=30° Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 29 Como é fundamentado por alguns critérios existentes, a resistência tangencial é função da inclinação das asperezas. Posto isto, associado ao aumento do ângulo que define a orientação das saliências (θ), está uma redução da inclinação aparente (iθ), e consequentemente a diminuição da resistência tangencial das descontinuidades. Em termos de deformabilidade, para os ensaios em que se considera um maior ângulo de orientação das asperezas o valor da dilatância é menor. Mesmo para situações de tensão normal mais baixas, o valor da dilatância é inferior ao valor da inclinação aparente da correspondente saliência. Esta situação acontece pelo facto do movimento horizontal da descontinuidade não ocorrer exatamente na direção do plano de corte, ou seja, o movimento horizontal não se dá na direção em que se considera o ângulo aparente, mas sim numa direção oblíqua que apresenta um ângulo inferior ao ângulo aparente, como ilustra a Figura 2.23. Figura 2.23 - Representação da direção do movimento para asperezas com ângulo de orientação das saliências diferente de zero (Khosravi et al. 2013). Posto isto, o ângulo de inclinação aparente na direção de movimento pode ser definido através da seguinte expressão: 𝑡𝑎𝑛(𝑖𝜃)=𝑡𝑎𝑛(𝑖)𝑐𝑜𝑠(𝜃+𝛼) (2.12) Onde:  α é o ângulo do movimento que corresponde ao ângulo entre a direção de corte e a direção do movimento durante o carregamento de corte. Em suma, os estudos efetuados permitiram aos autores concluir que:  A tensão tangencial das descontinuidades depende da direção de corte relativamente à direção das descontinuidades e da magnitude das tensões normais aplicadas;  Um aumento do ângulo de orientação (θ) corresponde a uma diminuição do ângulo de inclinação aparente (iθ) e consequentemente uma diminuição da resistência ao corte;  O deslocamento lateral para este tipo de descontinuidades conduz a uma diminuição da dilatância. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 30 Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 31 3 ENSAIOS DE RESISTÊNCIA AO CORTE E DESLIZAMENTO 3.1 INTRODUÇÃO Como foi explicado anteriormente, o comportamento mecânico de um maciço rochoso é fortemente condicionado pela presença de descontinuidades, em especial quando a resistência ao corte destes planos é inferior à da matriz rochosa envolvente. Posto isto, é necessária a realização de ensaios que analisem as propriedades que condicionam a deformabilidade e resistência das descontinuidades, bem como a magnitude e os movimentos da mesma, para que possa ser compreendido ou previsto o comportamento mecânico global do elemento (Goodman 1989). As propriedades acima referidas podem ser obtidas de duas formas:  Pela observação de geólogos ou engenheiros geotécnicos que, de acordo com a sua experiência e julgamento, selecionam os valores que lhe parecem razoáveis para as propriedades das descontinuidades;  Recorrendo a ensaios laboratoriais ou in situ para a determinação das propriedades em causa. Como se pode compreender com facilidade, o segundo método apresenta uma maior exatidão, sendo as observações visuais técnicas preteridas em relação aos ensaios; excetuando os casos onde não é possível a obtenção de boas amostras (Goodman 1989). Relativamente aos ensaios realizados in situ, que como o próprio nome indica são ensaios realizados em campo, devem efetuar-se nas condições naturais do maciço rochoso, isto é, todas as propriedades da rocha e das descontinuidades devem apresentar-se como se encontram na Natureza. Em alternativa a estes, utilizam-se os ensaios laboratoriais onde se ensaiam amostras retiradas de sondagens ou amostras em que todas as características e propriedades da descontinuidade são reproduzidas com a maior precisão possível. A escolha do método de medição da resistência tangencial a aplicar em determinada situação depende da natureza do problema em estudo, dos recursos disponíveis, do tempo e do dinheiro que foi disponibilizado para a resolução do problema (Hoek and Bray 1999). Os ensaios de resistência ao corte e deslizamento de descontinuidades rochosas permitem a obtenção da relação tensão-deslocamento, e a quantificação da resistência ao corte de pico e residual de uma determinada junta. De um modo geral, os ensaios de resistência tangencial de uma descontinuidade baseiam-se na aplicação de uma força normal e outra tangencial. Com o incremento da segunda, ocorre Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 32 translação horizontal de um dos blocos; deslocamento tangencial. As tensões normais e tangenciais aplicadas são deduzidas a partir da divisão das respetivas forças pela área da superfície da junta em que se encontram aplicadas. Figura 3.1 - Configuração do ensaio de resistência ao corte (Brady and Brown 2004). Na Figura 3.1 apresenta-se o esquema representativo do ensaio de corte. Como se pode observar, uma das metades da amostra é impedida de se deslocar, enquanto a outra metade é submetida a um carregamento na direção do plano (força de corte S) e outro na direção normal ao plano (força normal N). Esta é a configuração geral de um ensaio de resistência ao corte, porque propicia a ocorrência de deslocamentos pelo plano da descontinuidade. É de notar que o carregamento responsável pelas tensões tangenciais poderá apresentar inclinação de forma a evitar a rotação de um dos blocos da amostragem em relação ao outro. Neste capítulo serão abordados os métodos e os instrumentos usados na medição da resistência tangencial das descontinuidades, feita através de ensaios laboratoriais e de campo. Será também descrito o material disponível na Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto (FEUP) para a análise deste parâmetro e posteriormente apresentados alguns exemplos de provetes ensaiados com a caixa de corte. Entendeu-se que seria fundamental esta abordagem pelo facto do modelo estudado ao longo da presente dissertação ter por base as condições impostas pela caixa de corte presente na FEUP. 3.2 ENSAIOS IN SITU Os ensaios in situ, executados no local onde se pretende efetuar o estudo, podem ser realizados por equipamentos portáteis ou por equipamentos fixos, dependendo a sua escolha das características e exigências das descontinuidades e do projeto em análise. A Figura 3.2 ilustra o instrumento fixo para ensaios de corte direto realizado in situ. Com este equipamento é possível fazer análises a provetes com dimensões em larga escala, superiores às ensaiadas em laboratório, variando entre 0.4×0.4 m2 e 1×1 m2. Este ensaio pode ser aplicado na superfície do maciço ou numa galeria subterrânea e está dividido em duas fases:  Aplicação de uma carga normal à descontinuidade sobre o bloco. Esta carga permanece constante ao longo do ensaio;  Progressivo incremento de carga tangencial até se atingir a rotura do bloco a favor do plano de descontinuidade, sendo medida a magnitude da carga e dos deslocamentos tangenciais e normais. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 33 Pela análise da Figura, observa-se que a carga normal é aplicada recorrendo a um macaco hidráulico e é repartida ao longo de uma chapa de aço. Relativamente à tensão tangencial, esta também é aplicada através de um macaco hidráulico com uma determinada inclinação, de acordo com as características geológicas e mecânicas da descontinuidade. Na generalidade dos casos, os ensaios in situ realizam-se em galerias onde é mais fácil encontrar pontos de apoio para equipamentos de atuação hidráulica. Figura 3.2 - Esquema representativo do ensaio da máquina fixa de resistência ao corte in situ (ISRM 1974a) A aplicação deste método implica que sejam ensaiadas três ou quatro amostras, sendo que em cada um dos ensaios é aplicado um valor de tensão normal constante diferente. Os resultados obtidos representam-se através de um gráfico tensão tangencial versus tensão normal onde cada ensaio corresponde a um ponto. A partir da curva formada por estes pontos é possível obter-se uma aproximação ao valor da coesão e do ângulo de atrito da descontinuidade. Contudo, a sua aplicação torna a quantificação da resistência ao corte da descontinuidade extremamente dispendiosa pelo facto de envolver um grande número de recursos e de o ensaio se realizar em larga escala. Assim sendo, a sua utilização apenas se justifica em projetos de grandes dimensões com condições geotécnicas adversas. Em alternativa ao ensaio de corte direto in situ apresentado, é possível efetuar o ensaio através de uma máquina de corte portátil (Ross-Brown and Walton 1975). O instrumento em causa encontra-se esquematizado na Figura 3.3 e a aplicação desta máquina contempla os seguintes passos: 1. A amostra da rocha que contém a descontinuidade é cortada de acordo com as dimensões do molde da máquina de corte. De seguida, as duas partes da rocha separadas pela descontinuidade são ligadas entre si e retiradas cuidadosamente para prevenir deslocamentos ao longo da superfície de descontinuidade, sendo colocadas num molde de gesso ou betão. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 34 2. De seguida, o molde é colocado na máquina de corte para se proceder ao ensaio. Este inicia-se com a aplicação de uma tensão normal de baixo valor para prevenir deslocamentos do provete. Os fios de ligação das duas metades da amostra são cortados. 3. Nesta fase a amostra está preparada para o ensaio, iniciando-se este com o gradual aumento da tensão normal até atingir os valores estabelecidos para o ensaio. De seguida, o valor da tensão normal mantém-se constante e é aumentada a tensão tangencial, sendo registado o deslocamento durante a aplicação desta. 4. Assim que a resistência de pico é ultrapassada, o deslocamento continua a ser permitido e é encontrado um valor mais baixo de tensão tangencial para que continue a haver movimento. 5. Por restrições de movimento, para a determinação da tensão de corte residual é necessário que a tensão normal seja libertada e a metade superior do provete seja recolocada na posição inicial. 6. Neste tipo de ensaio, o carregamento aplicado na amostra é medido e posteriormente dividido pela área da descontinuidade para se obter a tensão normal e tangencial. Deve-se determinar a área inicial por medição direta e, posteriormente, deve calcular-se a redução da área de superfície com o deslocamento ocorrido. Figura 3.3 - Esquema representativo dos elementos que compõem a máquina de resistência ao corte portátil (Hoek and Bray 1999). Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 35 Figura 3.4 - Máquina de resistência ao corte portátil. (Ross-Brown and Walton 1975) Este instrumento portátil, apesar de possibilitar a obtenção de informação de forma imediata, apenas permite ensaios para baixos valores de tensões normais e de corte. É de notar que alguns destes aparelhos não efetuam a medição de deslocamentos produzidos na amostra. Apresenta ainda desvantagens relativas à dimensão das amostras que permite analisar, uma vez que os provetes preparados para este instrumento têm a dimensão de 10×10 cm2. Em suma, torna-se difícil testar rugosidades que sejam representativas da descontinuidade recorrendo a este método (Hoek and Bray 1999). Para a realização de ensaios in situ são necessárias condições específicas para aceder às descontinuidades e retirar as amostras sem que ocorram perturbações, o que confere elevada complexidade a este tipo de ensaios 3.3 ENSAIOS LABORATORIAIS Em alternativa aos ensaios in situ existem os ensaios laboratoriais, que tal como os anteriormente mencionados medem a resistência tangencial de pico e a residual, em função da tensão normal e de um plano de corte. Neste tipo de ensaios, as amostras obtidas em campo podem ser conseguidas através da perfuração de um largo diâmetro, de forma a retirar uma porção de rocha que contenha o plano da descontinuidade, como se encontra representado na Figura 3.5(a). Outra solução para a obtenção destas amostras é moldar a superfície da descontinuidade através de um líquido, que funciona como scanner das irregularidades presentes na junta, Figura 3.5(b). Desta forma, obtém-se a geometria da descontinuidade permitindo moldar em gesso ou cimento os blocos superior e inferior do provete a analisar, como se apresenta na Figura 3.5(c) (Goodman 1989). Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 42 Figura 3.12 - Caixa de corte do equipamento de laboratório de ensaio de resistência ao corte da FEUP (Menezes 2006) . Este equipamento possui transdutores de elevada precisão que permitem a medição de deslocamentos horizontais, na caixa inferior, e verticais, na caixa superior. A colocação estratégica dos transdutores na caixa superior permite a avaliação não só da dilatância, como de eventuais rotações que possam ocorrer na parte superior da amostra durante o ensaio. A força vertical é aplicada à amostra por um atuador hidráulico e a força horizontal é aplicada através do movimento do parafuso sem fim. Pelo facto do deslizamento ser imposto de forma mecânica é possível garantir um movimento horizontal constante no tempo. Assim, na condição de deslocamento horizontal muito lento, é favorecida a avaliação dos parâmetros mecânicos em condições estáticas. Todo o sistema encontra-se ligado a um computador que controla os procedimentos mecânicos e hidráulicos e permite a obtenção da informação relativa às células de carga, aos transdutores de deslocamentos e à velocidade de rotação. Também de forma eletrónica é garantida a segurança do dispositivo. 3.5.2 ENSAIOS Para se efetuar a ligação com o presente trabalho, considerou-se fundamental fazer referência a ensaios efetuados com o equipamento de corte e deslizamento de juntas existente na FEUP. Como será abordado no capítulo 4, o presente trabalho refere-se à simulação numérica de ensaios de resistência ao corte e deslizamento com as dimensões da caixa de corte do equipamento, Figura 3.12. As descontinuidades que foram modeladas numéricamente neste trabalho possuem rugosidade definida por saliências, rugosidade “dente de serra”. Nestas condições geométricas já foram efectuados alguns ensaios laboratoriais com o equipamento presente na Faculdade (Dumbliauskaite 2006). Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 43 Figura 3.13 - Provete com rugosidade “dente de serra” submetido ao ensaio de resistência ao corte (Dumbliauskaite 2006). A Figura 3.13 é um exemplo de um provete de 5 saliências que foi submetido ao ensaio de resistência ao corte e deslizamento no laboratório da FEUP que apresenta uma junta com geometria semelhante às modeladas. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 44 Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 45 4 MODELOS NUMÉRICOS 4.1 INTRODUÇÃO O presente trabalho visa um estudo detalhado do comportamento mecânico relativo ao deslizamento em juntas com um tipo de rugosidade geometricamente definida. O estudo poderia ser efetuado com o recurso a ensaios físicos laboratoriais. Em alternativa, ou por complementação destes, poderá efetuarse uma abordagem computacional deste tipo de problemas. A presente dissertação está inserida nesta abordagem computacional através da criação de modelos numéricos de juntas. De modo que todas as características do modelo em estudo pudessem ser analisadas em simultâneo e no contexto global do elemento, utilizou-se o software de cálculo automático que se considera mais adequado para a abordagem do problema, Phase2. No presente capítulo será inicialmente efetuada uma breve abordagem ao método no qual se baseiam as análises com recurso ao software indicado que utiliza o método dos elementos finitos. Ainda numa fase introdutória será referido de forma sucinta o funcionamento do software. Para melhor compreensão do leitor, a apresentação da modelação e das análises numéricas efetuadas encontra-se dividida em dois estágios:  O primeiro é referente à apresentação e caracterização geral do modelo onde serão inseridas diferentes descontinuidades, contemplando as definições de projeto, geometria, propriedades dos materiais, malha de elementos finitos e condições fronteira.  De seguida serão abordados separadamente os modelos de dois tipos de juntas: lisa e rugosa. Nesta fase serão descritas as características geométricas e morfológicas de cada junta, bem como as metodologias aplicadas para a criação e análise de cada modelo. 4.1.1 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS O software adotado para a investigação em causa tem por base a aplicação do método dos elementos finitos de forma automatizada. Por este motivo considerou-se importante uma breve abordagem deste método. Na atualidade, o método dos elementos finitos é o melhor e mais usado método para a previsão do comportamento estrutural. Este método permite uma previsão com fiabilidade dos deslocamentos e tensões a que uma estrutura pode estar sujeita. Posto isto, compreende-se a utilidade deste método em análises geotécnicas, por se tratar do estudo de um elemento de elevada complexidade. A aplicação do método pode sintetizar-se considerando os seguintes passos: Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 46 1. Divisão de um modelo físico em pequenas porções, subdivisão. Estes elementos são tratados de forma individual e com formulação própria. 2. Definição do elemento por funções que caracterizam a variação das incógnitas no interior do elemento em função da variação nodal. Assim sendo, pode obter-se uma maior aproximação da solução numérica dum meio contínuo aumentando o grau das funções de interpolação, ou diminuindo a dimensão dos elementos, aumentando o número de elementos que compõem o global. 3. Formulação das equações. Existem diferentes métodos para a formulação das equações, no entanto qualquer método conduz à equação elementar que rege o comportamento de um sistema solicitado por um conjunto de forças exteriores: [𝐾]{𝑞}={𝑄} (4.1) Onde:  [K] é a matriz rigidez;  {𝑞} é o vetor deslocamentos;  {𝑄} é o vetor das forças nodais. 4. Determinação da matriz de rigidez global. Para cada elemento que constitui a estrutura obtémse uma equação do tipo 4.1, e a combinação destas equações conduz ao sistema que rege o comportamento da estrutura. Neste método a estrutura é mantida contínua, sendo imposta a compatibilidade de deslocamentos nos pontos nodais em elementos adjacentes. 5. Determinação das incógnitas do problema. Na formulação de um problema de métodos de deslocamentos, as incógnitas são os deslocamentos nodais, a partir dos quais são determinadas as tensões e deformações. (Fortunato 1994) 4.1.2 PROGRAMA PHASE 2 O Phase2, ou RS2 (nova denominação), foi desenvolvido pela Rocscience em conjunto com a universidade de Toronto. Este software permite a análise do comportamento de maciços rochosos tendo por base um modelo bidimensional, no qual é aplicado o método dos elementos finitos. O seu vasto campo de aplicação permite que este programa seja uma poderosa ferramenta de trabalho em projetos de Engenharia, sendo muito utilizado na análise de escavações, estabilidade de taludes, consolidação, percolação, análise dinâmica e probabilística, entre outros. O software em causa permite a análise da estrutura como um elemento em meio elástico, em que cada elemento resiste aos esforços nele atuantes independentemente da resistência de pico definida, ou em meio plástico onde as tensões, quando são superiores à resistência de pico, sofrem uma redistribuição para elementos vizinhos. Após a ocorrência da plastificação, passam a atuar sobre o elemento apenas tensões equivalentes à resistência residual. É de notar que a definição do comportamento em meio plástico é a que mais se assemelha com o comportamento dos materiais na realidade. No entanto, pelo facto de definir um comportamento não linear, a simulação do comportamento neste meio implica o Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 47 conhecimento de alguns parâmetros que nem sempre estão estabelecidos ou são do conhecimento do utilizador (Leite 2004). Relativamente à geometria de um projeto, o software permite a importação de ficheiros em dxf, ficando a geometria do problema definida de acordo com o que foi desenhado com outro programa CAD. No caso em estudo, a geometria definida é relativamente simples, como tal pode ser definida com o próprio programa. Outro aspeto de relevância que confere a este software grande utilidade é a possibilidade de gerar a malha de elementos finitos de forma automática. O utilizador pode escolher o tipo de malha (variável, uniforme ou radial), o tipo de elemento (triangular de 3 ou 6 nós, ou quadrilateral de 4 ou 8 nós), e o número de nós a incluir na envolvente do modelo definido de acordo com o que mais se adequa à análise do problema em questão. Após a definição destes parâmetros característicos da malha, esta é gerada automaticamente. Ainda relativamente às potencialidades do RS2, este permite uma análise da estabilidade dos elementos usando o método de redução de resistência tangencial (Shear Strength Reduction -SSR). Este cálculo é totalmente automatizado e pode ser calculado de acordo com os parâmetros de resistência de MohrCoulomb ou Hoek Brown. Ao executar esta funcionalidade, o programa calcula um valor denominado Strength Reduction Factor - SRF. Este fator é calculado de forma iterativa até encontrar o valor de tensão tangencial correspondente ao estado crítico. Outra valência deste software está relacionada com o facto de ser possível a análise por “stages”, ou seja, o faseamento de um projeto. A utilização desta funcionalidade implica a definição do número de estágios, bem como os valores de um ou mais parâmetros a variar em cada estágio para a simulação pretendida. Na definição e caracterização de um modelo em Phase2, é fundamental a definição da geometria, a caracterização dos materiais constituintes e a discretização da malha, podendo ainda considerar-se a presença de água no modelo. Terminada esta caracterização, é possível a obtenção de resultados específicos em formato gráfico relativamente a qualquer variável que se pretenda analisar com maior detalhe. As funcionalidades mencionadas anteriormente, nomeadamente o fator de redução de tensões e a análise faseada “stages”, foram muito explorados para a resolução do problema em causa. O fator SRF permitiu o cálculo do valor aproximado para o qual a tensão de corte pode ser aumentada ou reduzida de forma a encontrar-se a situação crítica. Relativamente ao processo de divisão em estágios, este permitiu simular os ensaios de resistência ao corte definindo para cada estágio um carregamento de corte diferente e mantendo-se a tensão normal constante. 4.2 APRESENTAÇÃO E CARACTERIZAÇÃO GERAL DO MODELO EM PHASE2 4.2.1 DEFINIÇÕES DO PROJETO Em termos gerais, no que diz respeito às características adotadas para o projeto optou-se por definir a análise em estado plano de deformação, isto é, assume-se que o modelo apresenta um comprimento infinito na direção normal ao plano, e por conseguinte a tensão nessa direção é nula. O modelo utilizado para a resolução da matriz que representa o sistema de equações do problema foi o método de eliminação de Gauss. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 48 Quanto à análise de tensões, utilizou-se um número máximo de 500 iterações com uma tolerância de 0.001, procurando desta forma obter a convergência do método para resultados mais fiáveis. Em contrapartida, esta opção contribuiu para alguma demora nos cálculos efetuados. Ainda relativamente à análise de tensões, foi selecionada a opção de reduzir as tensões tangenciais para o valor residual na ocorrência de rotura por tração. As análises de sensibilidade relativas ao comportamento das descontinuidades foram realizadas com o cálculo automático do fator de redução da tensão tangencial (SRF) através de uma análise automática de diferença entre duas iterações consecutivas, com uma tolerância de 0.01. Para as situações em que foram consideradas análises por “stages”, definiu-se o número de estágios pretendidos e, para cada estágio, definiu-se diferentes valores de carregamento. 4.2.2 GEOMETRIA A geometria utilizada para a análise computacional em duas dimensões foi definida tendo por base o equipamento para ensaios de corte e deslizamento de juntas da FEUP. Posto isto, a geometria definida com o software contempla não só o provete e as descontinuidades, mas também as chapas metálicas existentes no aparelho. As dimensões em área dos elementos são 0,025×0,07 m2 e 0,2×0,025 m2 para os blocos metálicos rígidos superior e laterais, respetivamente; 0,2×0,01 m2 para a área onde serão introduzidas a diferentes juntas e 0,2×0,07 m2 na parte superior e inferior do provete, como se apresenta na Figura 4.1. Figura 4.1 - Representação da geometria do modelo em estudo. Como este trabalho visa a análise da resistência tangencial de diferentes descontinuidades geometricamente definidas, a Figura apresentada contém apenas a área onde será inserida a descontinuidade, situada a meia altura do provete entre os 0,07m e 0,08m, sendo que os diferentes tipos de descontinuidades analisados serão abordados mais adiante. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 49 Aquando da definição da geometria, foi necessário caracterizar geometricamente os blocos metálicos presentes nos ensaios laboratoriais uma vez que estes têm a função de redistribuição de tensões no provete. Estes blocos metálicos estão dispostos ao longo da superfície de contacto entre os dois materiais, permitindo que as tensões exteriores aplicadas sejam distribuídas igualmente ao longo das superfícies da amostra modelada. 4.2.3 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS Na definição das propriedades dos materiais foram efetuadas algumas considerações importantes, nomeadamente no que se refere aos parâmetros de resistência e deformabilidade. Para garantir o correto efeito dos blocos metálicos de redistribuição de tensões, considerou-se um comportamento elástico para que estas não atingissem a rotura e para que o comportamento mecânico do elemento não fosse condicionado pelas mesmas. Assim sendo, na definição deste material considerou-se um módulo de Young elevado correspondente ao aço, 210000MPa. Relativamente ao material representativo do provete, atribuiu-se um comportamento plástico e um módulo de elasticidade de 12000MPa, sendo o seu comportamento definido pelo critério de Hoek Brown. Os parâmetros mencionados foram escolhidos de forma a possibilitar a ocorrência de eventuais plastificações e roturas considerando-se os parâmetros de um gesso. De notar ainda que, aquando da escolha do critério de rotura, escolheu-se Hoek-Brown em detrimento de Mohr Coulomb, porque este está associado a uma linearidade que não satisfaz as condições reais dos solos e para além disso sobrestima a resistência à tração da rocha, bem como a resistência para baixas tensões de confinamento (Eberhardt 2012). Na definição dos parâmetros relativos às descontinuidades, considerou-se o critério de Mohr-Coulomb com um ângulo de atrito de 30°, resistência à tração e coesão nulas. Assim, a resistência das descontinuidades será controlada apenas pela geometria definida e pelo ângulo de atrito considerado. Ainda no que diz respeito às descontinuidades, definiu-se uma rigidez normal de 500Mpa/m e rigidez tangencial de 250Mpa/m. As propriedades dos materiais e descontinuidades mencionadas e justificadas anteriormente apresentam-se nas tabelas 4.1 e 4.2, respetivamente. Tabela 4.1 - Características gerais adotadas para os materiais do modelo. Tabela 4.2 - Características gerais adotadas para as descontinuidades. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 50 4.2.4 MALHA DE ELEMENTOS FINITOS Na caracterização da malha de elementos finitos, considerou-se que seria apropriado ao problema uma malha graduada com elementos triangulares de três nós. O facto da malha escolhida ser graduada permite que, aquando da discretização, esta não se distribua igualmente ao longo do modelo, sendo que existe um maior número de elementos nas proximidades da descontinuidade. Assim, os cálculos serão mais precisos nestas zonas que, possivelmente, serão as zonas mais determinantes no estudo em causa. O parâmetro que determina a quantidade de elementos utilizados inicialmente é o número de nós nos limites exteriores, neste projeto foram escolhidos 200 nós. Posteriormente a esta definição da malha, optou-se por se fazer um aumento de densidade de elementos em zonas específicas, particularmente em zonas envolventes da descontinuidade de forma a obter-se uma malha com maior. Na aplicação da malha procurou-se que o número de elementos fosse da mesma ordem de grandeza para as diferentes geometrias das descontinuidades definidas. Importa referir que como a malha de elementos finitos definida é graduada, seria impossível obter exatamente o mesmo número de elementos em todas as análises visto que a malha varia em função da geometria das descontinuidades. Assim, procurou-se que as malhas apresentassem uma densidade semelhante para todos os modelos. 4.2.5 CONDIÇÕES FRONTEIRA O modelo criado em Phase2 simula o ensaio de resistência ao corte realizado pela caixa de corte existente na FEUP, tendo sido necessário aplicar as condições fronteira que se verificam no ensaio de resistência ao corte e deslizamento. Por este motivo, aquando da criação do modelo em duas dimensões, impediu-se o movimento horizontal na fronteira vertical do bloco superior e o movimento vertical na base do bloco inferior. Estas condições são impostas para os ensaios de resistência tangencial na descontinuidade porque o seu modelo propícia a ocorrência de deslizamentos pela descontinuidade que se situa entre as duas partes do provete. Posto isto, compreende-se que o modelo, de um modo geral, sofrerá em grande parte deslocamentos horizontais no bloco inferior, bem como deslocamentos verticais no bloco superior para o caso de ocorrência de dilatância. Importa referir que, aquando da introdução de uma descontinuidade no modelo, é necessário definir as condições dos extremos da descontinuidade, ou seja, definir se as extremidades são fechadas ou abertas. No caso de serem fechadas, os movimentos relativos são impedidos nos extremos. De forma a definir-se as condições reais de um ensaio de resistência ao corte num modelo intersetado por um plano de descontinuidade, os extremos desta devem estar abertos, permitindo a ocorrência relativa de deslocamentos. 4.3 JUNTA LISA Como é sabido, os processos naturais de formação e desenvolvimento das juntas levam a que estas apresentem sempre rugosidade, mesmo que aparentemente insignificante. Neste trabalho, a junta plana foi criada de forma a verificar-se a congruência dos resultados da modelação com o critério que define este tipo de descontinuidades, critério de Mohr-Coulomb. Para esta análise, foram realizadas seis simulações de ensaios de resistência ao corte. Cada uma das simulações foi efetuada sob diferentes valores de tensão normal constante, nomeadamente 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 2.0 e 4.0 MPa. Para cada valor de tensão normal procedeu-se a um incremento da carga horizontal Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 51 aplicada através da criação de “stages”. Desta forma, simulou-se o princípio dos ensaios de resistência ao deslizamento de juntas. Figura 4.2 - Representação do modelo da caixa de corte com o modelo de junta lisa em Phase2. Na Figura 4.2 apresenta-se o modelo numérico para a junta lisa com todos os parâmetros definidos, nomeadamente as condições de apoio, a malha de elementos finitos e os carregamentos normal e tangencial aplicados. Com os resultados extraídos do programa, em especial os gráficos de tensão tangencial-deslocamento horizontal, é possível retirar o valor da tensão de corte máxima, a partir do qual os valores de deslocamento tangencial disparam. Assim, obtém-se um valor de tensão tangencial de pico (τp) para cada uma das simulações efetuadas. Com estes valores é possível definir a envolvente de rotura aproximada para a junta plana. Os valores obtidos foram comparados com a envolvente de rotura definida através do critério de Mohr Coulomb para uma descontinuidade com ângulo de atrito de 30º. 4.4 JUNTAS COM RUGOSIDADE COM ORIENTAÇÃO NORMAL AO PLANO DE CORTE Para uma análise do comportamento das descontinuidades em função da sua geometria, foram criadas e analisadas 20 juntas com características geométricas diferentes. Os modelos desenvolvidos diferem na inclinação e número de saliências que compõem a descontinuidade. Para melhor compreensão das características geométricas envolvidas no estudo, encontra-se na Figura 4.3 um esquema representativo das mesmas. Como se pode verificar, a variação do número de saliências e da sua respetiva inclinação implica uma variação do valor da amplitude, da largura e do seu espaçamento. Posto isto, definiram-se os modelos de análise presentes na tabela 4.3, onde se encontram as características geométricas associadas a cada junta. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 58 Para melhor compreensão do processo de cálculo efetuado, apresenta-se um esquema que facilita a determinação do ângulo de inclinação aparente, que se encontra representado no modelo aquando da definição da orientação das descontinuidades. Figura 4.10 - Processo de cálculo do ângulo α apresentado na vista de frente. Na Figura 4.10 encontram-se representados os três ângulos influentes:  Ângulo de orientação das asperezas ;  Ângulo de inclinação da descontinuidade i;  Ângulo de inclinação aparente . Simplificando as expressões trigonométricas, o ângulo de inclinação aparente (α) pode ser calculado de acordo com a seguinte expressão:  =𝑡𝑎𝑛−1(𝑡𝑎𝑛𝑖 𝑐𝑜𝑠  𝑡𝑎𝑛  2+1) (4.5) Para a quantificação da influência do ângulo de orientação das rugosidades, presentes na superfície de descontinuidade na resistência ao corte e deslizamento das juntas, fez-se variar o ângulo  entre 0 e 50 graus. Para cada uma destas situações foi necessário calcular o espaçamento das descontinuidades, bem como definir o valor de mergulho e a direção do mesmo. Na tabela seguinte apresentam-se as características utilizadas na caracterização das famílias de descontinuidades consideradas. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 59 Tabela 4.5 - Características adotadas para a definição de orientação das asperezas. Ângulo de inclinação das asperezas, i (graus) Ângulo de orientação das asperezas,  (graus) Largura aparente “a” (mm) Ângulo de inclinação aparente, α (graus) Espaçamento entre famílias de descontinuidades, e (mm) Dip/ DipDirection das duas famílias 20 0 16,7 20 11,4 20/90 20/270 10 16,9 19,72 11,42 20/100 20/280 20 17,7 18,88 11,48 20/110 20/290 30 19,2 17,5 11,57 20/120 20/300 40 21,8 15,58 11,69 20/130 20/310 50 25,9 13,17 11,81 20/140 20/320 15 0 16,7 15 8,627 15/90 15/270 10 16,9 14,78 8,636 15/100 15/280 20 17,7 14,13 8,661 15/110 15/290 30 19,2 13,06 8,70 15/120 15/300 40 21,8 11,6 8,749 15/130 15/310 50 25,9 9,77 8,80 15/140 15/ 320 10 0 16,7 10 5,788 10/90 10/270 10 16,9 9,85 5,791 10/100 10/280 20 17,7 9,41 5,8 10/110 10/290 30 19,2 8,68 5,81 10/120 10/300 40 21,8 7,69 5,825 10/130 10/310 50 25,9 6,47 5,84 10/140 10/320 5 0 16,7 5 2,905 5/90 5/270 10 16,9 4,92 2,906 5/100 5/280 20 17,7 4,5 2,906 5/110 5/290 30 19,2 4,33 2,908 5/120 5/300 40 21,8 3,83 2,91 5/130 5/310 50 25,9 3,22 2,912 5/140 5/ 310 Os valores da largura aparente (a), foram calculados de acordo com a seguinte expressão: Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 60 𝑎= ∆𝑙 2 𝑐𝑜𝑠(𝜃) (4.6) De forma a verificar-se a influência da variação do ângulo de orientação da rugosidade, utilizou-se o cálculo automático do fator de redução de tensões para uma tensão normal de 0.1 MPa e uma tensão horizontal aplicada no bloco inferior do modelo de 0.3 MPa. Em função dos resultados de SRF é possível verificar a influência do ângulo  na resistência ao corte das juntas. Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 61 5 ANÁLISE PARAMÉTRICA 5.1 ASPETOS GERAIS Neste capítulo serão apresentados todos os resultados obtidos com a modelação numérica exposta anteriormente. O diagrama que se apresenta de seguida pretende esquematizar as análises que foram efetuadas de forma a facilitar a apresentação e compreensão dos resultados. Análises de juntas Junta Lisa Análise por "Stages" fazendo variar o carregamento de corte, para 7 valores de tensão normal diferentes: 0.1, 0.2, 1, 0.5, 2 e 4 MPa Junta com rugosidade Ângulo de orientação das asperezas θ=0 Definição da envolvente de rotura para 20 descontinuidades Simulação de um ensaio de corte para σn=0.5 MPa, ocorrência de dilatância Simulação de um ensaio de corte para σn=2 MPa, ocorrência de dilatância e corte Cálculo de SRF σn=0.1 MPa; 𝝉=0.3MPa Junta criada pela interseção de 2 famílias de descontinuidades juntas com translação de l/2 (juntas simétricas) Ângulo de orientação das asperezas ≠0 Cálculo de SRF para diferentes valores de θ Simulação de dois ensaios de corte para σn=0.5 MPa e σn=2 MPa Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 62 Como se pode observar, as análises foram divididas em dois tipos de juntas: Junta plana e Juntas com rugosidade. O comportamento resistente e deformacional das juntas planas foi analisado recorrendo à análise por “Stages” para seis valores diferentes de tensão normal. Relativamente às juntas com rugosidade estas dividiram-se em dois grupos distintos consoante a consideração ou não do ângulo de orientação das asperezas. Para a análise sem consideração deste ângulo, definiu-se a envolvente de rotura para 20 descontinuidades com diferentes inclinações e número de asperezas. Ainda na análise de juntas com o plano de corte perpendicular ao plano da junta, efetuou-se o cálculo automático de SRF para as juntas definidas por coordenadas geométricas, para as juntas criadas pela interseção de duas famílias e para as juntas simétricas, com uma tensão normal de 0.1 MPa e uma tensão tangencial de 0.105 MPa. Para a simulação de juntas com plano de corte oblíquo relativamente ao plano de junta, efetuou-se uma variação do ângulo de orientação das asperezas (θ) entre 0º e 50º e calculou-se o valor de SRF para uma tensão normal e tangencial igual a 0.1 e 0.105 MPa, respetivamente. 5.2 JUNTA LISA A análise da junta lisa contempla a simulação de seis ensaios de resistência ao corte. Em cada um dos ensaios definiu-se o valor de tensão normal aplicada e aumentou-se carregamento perpendicular ao plano de descontinuidade por aplicação de estágios. As capacidades do software permitiram que, para cada ensaio realizado, fossem extraídos os resultados dos deslocamentos horizontais na parte inferior do provete, decorrentes dos incrementos de carregamento horizontal. Os gráficos apresentados referem-se à tensão tangencial, já que a carga horizontal aplicada foi dividida pela área da descontinuidade. 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 Tensão de corte, 𝝉(MPa) Deslocamento horizontal (m) σn=0,1 MPa 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0 0,005 0,01 0,015 0,02 Tensão de corte, 𝝉(MPa) Deslocamento horizontal (m) σn=0,2 MPa 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0 0,01 0,02 0,03 Tensão de corte, 𝝉(MPa) Deslocamento horizontal (m) σn=0,5 MPa 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0 0,02 0,04 0,06 0,08 Tensão corte, 𝝉(MPa) Deslocamento horizontal (m) σn=1 MPa Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 63 Figura 5.1 - Gráficos tensão de corte (𝝉)–deslocamento horizontal obtidos com recurso ao Phase2 para cada valor de tensão normal (σn) constante. Numa primeira análise à Figura anterior, é de notar que os gráficos obtidos apresentam escalas diferentes. Esta disparidade é justificada pelo facto da rotura da descontinuidade ocorrer para diferentes valores de tensão tangencial máxima em função da tensão normal aplicada, e associados a estes valores de tensão estão deslocamentos com grandezas diferentes. Os incrementos de tensão horizontal aplicados em cada “stage” não são constantes, tendo-se efetuado menores incrementos nas proximidades da tensão tangencial máxima obtida analiticamente. Recorrendo aos gráficos de tensão tangencial-deslocamento horizontal, é possível obter-se o valor de tensão tangencial de pico (τp) para cada tensão normal aplicada. Este valor corresponde ao valor de tensão de corte máxima para o qual a partir deste os deslocamento aumentam em grande escala. A resistência tangencial máxima obtida para uma dada tensão normal constante corresponde a um ponto da envolvente de rotura. Posto isto, serão apresentados os seis pontos obtidos e comparados com a envolvente de rotura teórica de Mohr-Coulomb. Figura 5.2 - Gráfico comparativo de resultados obtidos com recurso à modelação e a envolvente teórica de MohrCoulomb. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 0 0,1 0,2 0,3 Tensão corte, 𝝉(MPa) Deslocamento horizontal (m) σn=2 MPa 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Tensão corte, 𝝉(MPa) Deslocamento horizontal (m) σ n =4 MPa 0 0,5 1 1,5 2 2,5 012345 Tensão tangencial, 𝝉(MPa) Tensão de Normal, σn(MPa) Gráfico tensão normal-tensão tangencial Tensões tangenciais de pico obtidas na modelação Envolvente de Rotura de Mohr Coulomb Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 64 Como se pode observar por comparação entre as curvas apresentadas, os valores obtidos na modelação são muito próximos dos teóricos sugeridos pela equação de Mohr-Coulomb que definem a envolvente de rotura para uma descontinuidade com um ângulo de atrito igual a 30º e coesão nula. 5.3 JUNTAS COM RUGOSIDADE COM ORIENTAÇÃO PERPENDICULAR AO PLANO DE CORTE 5.3.1 ENVOLVENTES DE ROTURA No capítulo 2, foi efetuado uma abordagem relativamente aos critérios de resistência das descontinuidades. Como as descontinuidades com rugosidade adotadas para a realização da modelação apresentam uma rugosidade de “dente de serra”, os resultados da modelação foram comparados com o critério de Patton (1996), apresentado em 2.4.3. De acordo com este critério, o aumento da inclinação das asperezas presentes na superfície de uma junta contribui para o incremento da sua resistência ao corte para baixas tensões normais, que é definida pela primeira reta do critério. No entanto, para tensões normais mais elevadas a equação que define a envolvente de rotura altera-se, deixando a inclinação das saliências de ser influente na resistência ao corte das juntas (segunda reta do critério bi-linear). Para os modelos estudados, a Figura 5.3 representa o comportamento teórico expectável. O completo traçado das curvas de Patton só será possível quando conhecida a tensão normal que corresponde à mudança de comportamento mecânico, representada pelo ponto A. Figura 5.3. - Representação esquemática da bilinearidade de Patton, equações que definem a envolvente. Relativamente ao gráfico apresentado, para tensões normais inferiores ao valor “a”, ocorrem deslizamentos tangenciais provenientes da capacidade de serem ultrapassadas as saliências presentes na superfície das juntas sem que ocorra o corte das mesmas. Estas condições conduzem à ocorrência de rotura por dilatância, confirmada através de deslocamentos verticais do bloco superior na direção ascendente. Dilatância Corte e dilatância 𝜏=𝜎𝑛tan(𝜙+𝑖) Tensão normal, 𝜎𝑛 Tensão de corte, 𝜏 a 𝜏=𝑐+𝜎𝑛tan(𝜙) c A b Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 65 Para valores de tensão superiores a “a” ocorre corte das saliências presentes na superfície da junta seguindo-se a ocorrência de dilatância. Para esta situação a equação teórica que define o comportamento da junta deixa de considerar o valor do ângulo de inclinação i, pelo facto deste deixar de existir perante a ocorrência de corte. Assim, a envolvente passa a ter uma inclinação que apenas depende do valor do ângulo de atrito, tal como acontece para descontinuidades lisas. Importa referir que, o valor da coesão (c), que integra a equação da segunda reta que define a envolvente, calcula-se tendo em consideração que interseta o ponto “A” e que tem uma inclinação definida pelo ângulo de atrito (ϕ). Para descrever e caracterizar o comportamento de cada uma das vinte descontinuidades apresentadas na tabela 4.3, definiu-se a envolvente de rotura de cada junta recorrendo ao cálculo automático do valor de Strenght Reduction Factor. Utilizando esta potencialidade do software, para uma dada tensão normal testaram-se valores de tensão tangencial de forma a obter-se o valor de carregamento de corte que permite a obtenção de um SRF unitário. Os carregamentos que correspondem a um fator de redução de tensões unitário definem o limite do estado de tensão que um elemento pode estar sujeito sem que ocorra rotura. As tensões tangenciais e normais que são aplicadas para se atingir este limite definem a envolvente de rotura. Para cada uma das descontinuidades consideradas foram variados os valores de tensão normal entre 0 e 6 MPa, com um intervalo de 0.25 MPa, de forma a caracterizar-se de forma precisa a envolvente de rotura. De seguida apresentam-se os resultados das envolventes de rotura obtidos em gráficos tensão tangencial - tensão normal para cada uma das inclinações estudadas. Cada um destes gráficos apresenta cinco casos de diferentes geometrias que variam em função do número de saliências e consequentemente a amplitude considerada. Figura 5.4 - Gráfico Tensão tangencial 𝜏–Tensão normal σn ,obtidos na modelação para os diferentes números de saliências com i=20°. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 0 1 2 3 4 5 6 Tensão tangencial, 𝝉(MPa) Tensão normal, σn(MPa) i=20° n=20 n=10 n=8 n=6 n=4 Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 66 Figura 5.5 - Gráfico Tensão tangencial 𝜏–Tensão normal σn obtidos na modelação para os diferentes números de saliências com i=15°. Figura 5.6 - Gráfico Tensão tangencial 𝜏-Tensão normal σn obtidos na modelação para os diferentes números de saliências com i=10°. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 0123456 Tensão tangencial, 𝝉(MPa) Tensão normal, σn (MPa) i=15° n=20 n=10 n=8 n=6 n=4 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 0 1 2 3 4 5 6 Tensão tangencial, 𝝉(MPa) Tensão normal, σn(MPa) i=10° n=20 n=10 n=8 n=6 n=4 Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 67 Figura 5.7 - Gráfico Tensão tangencial 𝜏-Tensão normal σn obtidos na modelação para os diferentes números de saliências com i=5°. Analisando os gráficos obtidos, observa-se que até se atingir um determinado valor de tensão normal, a resistência tangencial não depende do número de saliências consideradas, mas sim da sua inclinação, ou seja, a envolvente de rotura é igual para todas as descontinuidades que apresentem a mesma inclinação. É possível então determinar para cada inclinação, o valor de tensão normal a partir do qual os valores de tensão tangencial passam a ser dependentes do número de saliências consideradas. Esta variação poderá estar relacionada com a amplitude das descontinuidades. No quadro 5.1 apresentam-se, para cada inclinação, os valores de tensão normal e tensão tangencial para o qual se verifica a alteração da tendência da envolvente de rotura. Tabela 5.1 - Valores de tensão normal e tangencial correspondentes ao ponto A da figura 5.3 para cada uma das inclinações consideradas. Inclinação, i (graus) Tensão normal, σn (MPa) Tensão tangencial, 𝝉 (MPa) 20 1 1.19 15 1.5 1.5 10 2.5 2.1 5 3.25 2.28 Estes valores são muito importantes para esta análise porque definem a mudança de comportamento deformacional das juntas. Assim, os pontos apresentados no quadro referem-se aos pontos para o qual passa a ocorrer o fenómeno do corte das asperezas presentes na superfície das juntas, seguido de dilatância. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 0 1 2 3 4 5 6 Tensão tangencial, 𝝉(MPa) Tensão normal, σn(MPa) i=5° n=20 n=10 n=8 n=6 n=4 Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 74 Ao longo dos diferentes estágios a que o modelo foi submetido, verificou-se que não houve qualquer tipo de alteração da malha, ficando assim comprovado que para este valor de tensão normal não ocorre o corte das saliências, permanecendo estas intactas depois de se atingir a tensão de corte de pico. 5.3.3 CASO DE OCORRÊNCIA DE CORTE E DILATÂNCIA (σn=2 MPA) Para se verificar a ocorrência do corte das saliências presentes na superfície da descontinuidade repetiu-se o processo efetuado em 5.3.2 para uma tensão normal constante superior. Para a realização da modelação deste ensaio considerou-se uma tensão normal de 2 MPa e incrementou-se o carregamento horizontal. Importa referir que, como se trata de uma tensão normal muito superior a rotura acontece para valores de tensão tangencial superiores pelo que os incrementos de tensão considerados não são iguais, tendo-se efetuado menores incrementos para valores próximos da rotura. Figura 5.17 - Gráfico tensão tangencial-deslocamento horizontal para σn=2 MPa. Com o gráfico tensão tangencial-deslocamentos horizontais (Figura 5.17), podemos destacar um comportamento faseado ao contrário do que acontece para tensões mais baixas. Numa fase inicial, o aumento da tensão tangencial provoca deslocamentos baixos, até que atinge um ponto em que os deslocamentos aumentam em diferente escala, este ponto ocorre para uma carga distribuída aplicada de 6 MPa (τ=2.1 MPa). Como se pode observar na Figura 5.18, este valor de tensão tangencial corresponde ao ponto em que todas as áreas envolventes da descontinuidade cederam. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 Tensão tangencial, τ(MPa) Deslocamentos horizontais (m) σn=2 MPa Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 75 Figura 5.18. - Evolução dos elementos de cedência ao longo do ensaio para uma tensão normal de 2 Mpa e uma carga distribuída horizontal de 1, 2, 4, 5.2, 5.4, 5.6, 5.8,5.9, 6 MPa Para este valor de carga, a cedência do material origina deslocamentos horizontais do bloco inferior do modelo acompanhado por um progressivo aumento do corte das saliências. O corte das saliências ocorre até ao valor de carregamento horizontal de 6.8 MPa, que corresponde a uma tensão tangencial aplicada na descontinuidade de 2.38 MPa. A partir deste valor de tensão, os deslocamentos horizontais disparam para valores muito superiores aos verificados. Esta mudança de comportamento ao nível dos deslocamentos é justificada pela ocorrência de dilatância. Figura 5.19 – Deslocamentos horizontais para um carregamento horizontal de 6.8 MPa e 6.9 MPa Através da observação dos deslocamentos horizontais apresentados para um carregamento horizontal de 6.8MPa confirma-se a ocorrência de corte das saliências presentes na superfície da descontinuidade pelo Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 76 facto de apresentar diferentes valores de deslocamento horizontal ao longo do modelo. Assim, observase que junto aos vértices da descontinuidade no bloco inferior os deslocamentos são menores, o que significa que não acompanham os deslocamentos registados no restante bloco. Depois de se verificar o corte das asperezas, com o incremento da tensão horizontal sucede o fenómeno de dilatância e a partir do qual os deslocamentos são muito elevados resultantes da separação total dos blocos pela descontinuidade. 5.3.4 CÁLCULO DE SRF PARA σn=0.1 MPA E 𝜏=0.105 MPA Como foi visto anteriormente, as descontinuidades com saliências podem ser obtidas recorrendo à introdução das coordenadas geométricas dos vértices ou pela criação de famílias de descontinuidades. Para se poder obter uma comparação entre elas e uma verificação da congruência destas com os valores teóricos procedeu-se ao cálculo do fator de redução de tensões (Strength Reduction Factor, SRF) Os valores de carregamento para o qual foram efetuados os cálculos automáticos e analíticos de fator de redução de tensões são iguais em todos as situações de estudo e assumem os valores carregamento normal e tangencial de 0.1 MPa e 0.3 MPa, respetivamente. De referir que neste estudo não foram analisadas as descontinuidades com 20 saliências. Como este cálculo foi realizado para um valor de tensão normal reduzido (σn=0.1 MPa), a envolvente de rotura que define o comportamento para as diferentes inclinações vêm dado pela equação de Patton que define a primeira reta do critério bi-linear, sendo a tensão tangencial dependente do ângulo de atrito e da inclinação das asperezas. Figura 5.20 - Representação do ponto de análise para o cálculo de fator de segurança. A Figura 5.20 representa as envolventes teóricas para as diferentes inclinações das juntas. O ponto de análise corresponde ao carregamento a que os modelos das juntas foram submetidos (tensão normal e tangencial iguais a 0.1 e 0.105 MPa, respetivamente). Como se pode observar diretamente pelo gráfico, 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0 0,05 0,1 0,15 0,2 Tensão tangencia,τ(MPa) Tensão normal,σn (MPa) Envolventes de rotura i=5 i=10 i=15 i=20 Ponto de análise σ=0.1; τ=0.07 σ=0.1; τ=0.0839 σ=0.1; τ=0.1 σ=0.1; τ=0.1192 Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 77 o ponto correspondente ao carregamento do ensaio encontra-se entre as envolventes de rotura das descontinuidades com inclinação igual a 20º e 15 º. Isto significa que apenas a descontinuidade com 20º apresentará um fator de segurança superior à unidade, porque para se atingir a situação limite é necessário um aumento da tensão tangencial aplicada na descontinuidade. Ao contrário, para as restantes inclinações, o fator de segurança apresentará um valor inferior à unidade, pelo que estas condições de carregamento encontram-se fora das envolventes de rotura das respetivas descontinuidades. Numa primeira fase efetuou-se o cálculo analítico do fator para a situação de carregamento mencionada de forma a obter-se um valor de comparação entre as descontinuidades. De notar que a carga distribuída horizontal introduzida no software não corresponde à tensão tangencial aplicada na descontinuidade pelo que esta tem de ser calculada. De seguida apresentam-se as equações utilizadas no cálculo analítico do fator segurança e os respetivos resultados para cada inclinação. 𝜏𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑛𝑡𝑒=𝑇×𝐿 𝐴=0.3×0.07 0.2 =0.105 𝑀𝑃𝑎 (5.1) 𝜏𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑃𝑎𝑡𝑡𝑜𝑛)=𝜎𝑛×𝑡𝑎𝑛(𝜙+𝑖)=0.1× 𝑡𝑎𝑛(30+𝑖) (5.2) 𝐹𝑆=𝜏𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 𝜏𝑎𝑐𝑡𝑢𝑎𝑛𝑡𝑒 (5.3) Tabela 5.2 - Fatores de segurança obtidos analiticamente. Inclinação, i (graus) 𝜏 resistente (KPa) 𝜏 actuante (KPa) Fator de segurança 5 70.0 105 0.55 10 83.9 105 0.667 15 100 105 0.952 20 119.2 105 1.135 Relativamente aos resultados obtidos com a modelação das descontinuidades, obteve-se resultados de SRF (Strength Reduction Factor) iguais quer para as juntas obtidas por introdução de coordenadas geométricas, quer para as juntas que resultam da interseção de duas famílias de descontinuidades. Este facto permite concluir que o material onde estão inseridas as famílias de descontinuidades foi criado com os parâmetros de Mohr-Coulomb correspondentes aos de Hoek Brown e que a interseção entre as famílias de descontinuidades define corretamente a geometria da junta similar. Como seria de esperar, os resultados obtidos com a modelação demonstram que quanto maior o valor da inclinação considerada nas saliências presentes na superfície da descontinuidade, maior o valor de SRF obtido, e que não existe variação do fator de segurança associado a uma alteração do número de saliências. Este resultado é coerente com as envolventes de rotura obtidas em 5.3.1. Como o valor da Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 78 tensão normal aplicada é muito reduzido (σn=0.1 MPa), num gráfico tensão normal-tensão tangencial a envolvente de rotura não depende do número de saliências. Procurando analisar o efeito da posição horizontal das descontinuidades, procedeu-se à comparação dos resultados de SRF entre as juntas apresentadas no quadro 4.3 e as respetivas descontinuidades com translação de ∆l/2 (juntas simétricas). A comparação entre elas apresenta-se no gráfico da Figura 5.21. Figura 5.21 - Gráfico comparativo de valores de SRF para as juntas normais e simétricas. Analisando os resultados obtidos compreende-se que as descontinuidades simétricas apresentam valores de SRF muito semelhantes aos das descontinuidades normais. A diferença pouco significativa dos valores de SRF poderá dever-se ao facto da malha ser graduada, apresentando diferentes valores de número de elementos em função das geometrias consideradas. No entanto, pelo facto da diferença de valores ser pouco expressiva pode concluir-se que a consideração da posição horizontal da junta não apresenta um efeito relevante na sua resistência ao corte e deslizamento, sendo este valor maioritariamente dependente da inclinação das saliências. Para se verificar a congruência dos resultados conseguidos através da modelação com os valores de fator de segurança calculados analiticamente de acordo com o critério de Patton, efetuou-se a representação gráfica apresentada na Figura 5.22. Como os valores para a descontinuidade simétrica apresentam uma ligeira variação de SRF com a consideração de diferentes números de saliências, os valores apresentados no gráfico para esta situação resultam da média entre eles para cada uma das inclinações. 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 4 6 8 10 SRF -Strength Reduction Factor número de saliências (n) Juntas simétricas i=20 i=15 i=10 i=5 i=20 (junta simétrica) i=15 (junta simétrica) i=10 (junta simétrica) i=5 (junta simétrica) Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 79 Figura 5.22 - Gráfico comparativo dos valores de SRF para as diferentes situações. Por observação do gráfico apresentado pode concluir-se que os valores obtidos com recurso à modelação são muito semelhantes aos valores teóricos obtidos de acordo coma equação de Patton para todas as situações modeladas. De referir que, à medida que a inclinação aumenta, existe uma maior diferença entre os valores de fator de redução de tensões, no entanto a diferença não é significativa. 5.4 JUNTAS COM RUGOSIDADE COM ORIENTAÇÃO OBLÍQUA AO PLANO DE CORTE Os cálculos efetuados com as descontinuidades criadas pela interseção de duas famílias de descontinuidades e a sua posterior comparação com as descontinuidades definidas por coordenadas geométricas e com os valores teóricos de fator de segurança permitiram concluir que as juntas podem ser definidas pela caracterização da orientação e do espaçamento de duas famílias de descontinuidades. Esta consideração permite, através da definição da orientação de famílias de descontinuidades, criar juntas que apresentem rugosidades com orientação num plano oblíquo relativamente ao plano de corte. Assim, com o auxílio do software foi possível obter-se resultados relativamente à influência da orientação das saliências presentes numa junta na avaliação da sua resistência ao corte e deslizamento. Para se realizar esta análise considerou-se como base as descontinuidades com seis saliências na direção perpendicular ao plano de corte. Posto isto, definiram-se os valores da orientação (dip e dip direction) e do espaçamento apresentados na tabela 4.5. A aplicação de um ângulo de orientação das saliências através da alteração dos valores da direção de mergulho e do espaçamento, implica alguns aspetos relativos à geometria da descontinuidade que são visíveis logo após a introdução destes parâmetros no software:  Alteração da inclinação da descontinuidade na vista perpendicular ao plano de corte (ângulo de inclinação aparente (α);  Alteração do número de saliências da junta, na vista perpendicular ao plano de corte. Estes aspetos encontram-se representados na Figura 5.23, onde se apresenta a descontinuidade com inclinação igual a 20 graus e seis saliências orientadas perpendicularmente ao plano de corte (Figura 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 510 15 20 SRF -Strength Reduction Factor Inclinação das saliências (graus) Fatores de segurança automáticos e analíticos Fator de segurança teórico das juntas SRF - juntas criadas por coordenadas geométricas ou por interseção de 2 famílias SRF - juntas simétricas Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 80 5.23a) e a mesma descontinuidade com um ângulo de orientação das rugosidades de 50º (Figura 5.23b). Como se pode observar, associado a um aumento do ângulo θ está não só uma alteração na inclinação das saliências, mas também um aumento da sua largura aparente verificada por uma redução do número de saliências. Figura 5.23 - a) Junta com θ=0; b) Junta com θ=50º Relativamente ao primeiro aspeto, que apresenta maior relevância, importa referir que, a alteração da inclinação aparente (α) é tanto maior quanto maior for o ângulo de orientação das asperezas (θ), sendo que quanto maior for o valor do ângulo θ, menor será o valor do ângulo de inclinação aparente, tal como se apresenta no gráfico da Figura 5.24. Figura 5.24 - Gráfico representativo da variação da inclinação aparente das asperezas (α) em função do aumento do ângulo de orientação das asperezas (θ). 5.4.1 CALCULO DE SRF PARA DIFERENTES VALORES DE INCLINAÇÃO DAS ASPEREZAS, Θ Para se verificar a variação da resistência ao corte e deslizamento efetuou-se o cálculo do valor de SRF para uma tensão normal de 0.1 MPa e um carregamento horizontal de 0.3 MPa. A Figura 5.25 representa graficamente a variação do valor de SRF para cada uma das inclinações das saliências consideradas em função do ângulo de orientação das saliências. Como se pode observar, o aumento do ângulo de orientação das saliências traduz-se numa redução do valor de SRF. 0 5 10 15 20 25 010 20 30 40 50 Inclinação aparente das asperezas, α(graus) Ângulo de orientação das asperezas, θ(graus) Variação do ângulo aparente das asperezas, α i=20 i=15 i=10 i=5 Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 81 Figura 5.25 - Variação do SRF em função do ângulo de orientação das asperezas (θ). Importa referir que, o decréscimo do valor de SRF com o aumento da inclinação das asperezas é em tudo semelhante ao que acontece com a variação do ângulo de inclinação aparente. Observa-se ainda que surge uma redução mais acentuada do valor de SRF para as juntas com maiores valores de inclinação das saliências, porque para estes valores o aumento do ângulo de orientação das saliências tem maior efeito na redução do ângulo de inclinação aparente. Como o valor de SRF é um fator que relacionado com o valor das tensões de corte que devem ser aplicadas para que se atinja a situação limite, podemos concluir que o progressivo aumento do ângulo de orientação das asperezas (θ) traduz-se numa redução do ângulo de inclinação aparente (α), que por sua vez contribui para uma redução da resistência tangencial das descontinuidades. Outro fator que importa ter em conta é o facto do aumento do ângulo de orientação das asperezas (θ) ter um efeito de alteração das tensões que nela se encontram aplicadas, deixando estas de estar aplicadas de forma perpendicular à orientação das asperezas. 5.4.2 SIMULAÇÃO DE ENSAIOS DE RESISTÊNCIA AO CORTE PARA σn=0.5 MPA E σn=2 MPA Para se verificar o efeito da orientação das asperezas presentes na superfície da descontinuidade no comportamento mecânico dos modelos, simularam-se ensaios de resistência ao corte para dois níveis de tensão normal constantes, 0.5 MPa e 2 MPa. Com estes ensaios foi possível observar o comportamento de deformação para diferentes estágios de carregamento horizontal. A descontinuidade utilizada nestes ensaios foi a descontinuidade com 6 saliências de inclinação igual a 20 graus. No ensaio sob tensão normal constante de 0.5 MPa, efetuaram-se estágios com carregamento horizontal entre 0.1 e 1.9 MPa com intervalos de 0.1 MPa. Nestas condições obteve-se os deslocamentos horizontais na parte inferior do provete, apresentados na Figura 5.26. Como se pode observar pelo gráfico tensão tangencial-deslocamentos horizontais (Figura 5.26), a resistência tangencial de pico varia em função da orientação das asperezas, na medida em que um aumento do ângulo de orientação das asperezas implica uma redução da tensão tangencial de pico. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 010 20 30 40 50 Strength Reduction Factor - SRF Ângulo de orientação das asperezas, θ(graus) Variação do valor de SRF i=20 i=15 i=10 i=5 Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 82 Figura 5.26 - Gráfico tensão tangencial-deslocamentos horizontais para diferentes orientações das asperezas sob tensão normal constante igual a 0.5 MPa. Como é normal neste tipo de ensaios, depois de se atingir a tensão de pico para cada uma das situações apresentadas, os deslocamentos horizontais aumentam em grande escala. Como a resistência tangencial de pico apresenta menores valores para as descontinuidades com maior ângulo de inclinação das asperezas, é normal que quando estas são solicitadas com o carregamento horizontal de 1.9 MPa apresentem maiores valores de deslocamentos horizontais. Para este nível de tensão normal, como seria de esperar, as saliências permaneceram intactas, verificando-se a ocorrência apenas de dilatância. Relativamente à simulação do ensaio realizado para uma tensão normal constante de 2 MPa, efetuaram-se estágios com carregamento horizontal entre 0.5 e 6.75 MPa, com incrementos de 0.25 MPa, tendo-se obtido os deslocamentos apresentados na Figura 5.27. 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 00,2 0,4 0,6 0,8 1 Tensão tangencial, τ(MPa) Deslocamentos horizontais (m) σn=0,5 MPa θ=0° θ=10° θ=20° θ=30° θ=40° θ=50° Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 83 Figura 5.27 - Gráfico tensão tangencial-deslocamentos horizontais para diferentes orientações das asperezas sob tensão normal constante igual a 2MPa. Tal como acontece para menores valores de tensão normal, o comportamento resistente da descontinuidade é afetado pela orientação das asperezas presentes na descontinuidade. Nestas condições, todas as descontinuidades apresentaram o corte das asperezas quando se aplicaram maiores valores de carregamento horizontal. No entanto, o corte das asperezas não se verificou igual para todas elas. Assim, de forma a efetuar-se uma comparação entre a magnitude do corte em cada uma das situações analisadas, foram observados com maior atenção os esquemas de deslocamentos horizontais para os estágios correspondentes às tensões máximas de pico. Figura 5.28 - Esquema representativo dos deslocamentos horizontais nas proximidades da descontinuidade para os diferentes ângulos de orientação das asperezas, θ. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 Tensão tangencial, τ(MPa) Deslocamento horizontam (m) σn=2 MPa θ=0° θ=10° θ=20° θ=30° θ=40° θ=50° Estudo do deslizamento em descontinuidades com rugosidade definida 90 Khosravi, Ali, Mohammad H Sadaghiani, Mohammad Khosravi, and Christopher L Meehan. 2013. "The Effect of Asperity Inclination and Orientation on the Shear Behavior of Rock Joints." Geotechnical Testing Journal 36 (3). Leite, E. 2004. Estudo do Comportamento Geomecânico do Pilar Superior da Mina Ipueira V (Ferbasa Mineração–Andorinha, BA). Mestrado em Engenharia Mineral. Universidade Federal de Ouro Preto. Ouro Preto. Menezes, J. 2006. "Um protótipo para ensaios de corte e deslizamento de juntas." 10º Congresso Nacional de Geotecnia, Campus de Campolide da Universidade Nova de Lisboa, Lisboa. Neyra, Arturo Fausto Maldonado. 2006. "Caracterização das estruturas geológicas e estimativa da resistência ao cisalhamento das descontinuidades na mineração de cobre de Tintaya, Perú." INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS. Patton, F. D. 1966. "Multiple Modes of Shear Failure In Rock." 1966/1/1/. Pereira, Joaquim Jorge da Costa Paulino. 1994. O comportamento mecânico das descontinuidades em maciços rochosos. Lisboa: Instituto Superior Técnico. Ross-Brown, Dermot M, and Geoffrey Walton. 1975. "A portable shear box for testing rock joints." Rock mechanics 7 (3):129-153. 91 ANEXOS 92 93 ANEXO I JUNTA LISA – SIMULAÇÃO DE ENSAIOS DE RESISTÊNCIA AO CORTE Tabela I.1 - Resultados da simulação do ensaio de resistência ao corte para σn=0,1 MPa. Carga distribuída horizontal (KPa) Tensão tangencial, 𝝉 (KPa) Deslocamento horizontal (mm) 0 0 0,000 10 3,5 0,000 20 7 0,014 30 10,5 0,028 4 14 0,042 50 17,5 0,056 60 21 0,070 70 24,5 0,084 80 28 0,098 90 31,5 0,112 100 35 0,126 110 38,5 0,141 120 42 0,155 130 45,5 0,169 140 49 0,183 150 52,5 0,197 160 56 0,211 165 57,75 0,231 170 59,5 1,647 Tabela I.2 - Resultados da simulação do ensaio de resistência ao corte para σn=0,2 MPa. Carga distribuída horizontal (kPa) Tensão tangencial, 𝝉 (kPa) Deslocamento horizontal (mm) 0 0 0,000 20 7 0,029 40 14 0,057 60 21 0,085 80 28 0,113 100 35 0,141 120 42 0,169 140 49 0,197 160 56 0,225 180 63 0,254 200 70 0,282 220 77 0,310 240 84 0,338 260 91 0,366 280 98 0,395 300 105 0,423 320 112 0,451 330 115,5 0,490 340 119 14,874 94 Tabela I.3 - Resultados da simulação do ensaio de resistência ao corte para σn=0.5 MPa. Carga distribuída horizontal (KPa) Tensão tangencial, 𝝉 (KPa) Deslocamento horizontal (mm) 0 0 0,003 50 17,5 0,073 100 35 0,143 150 52,5 0,213 200 70 0,284 250 87,5 0,354 300 105 0,424 350 122,5 0,495 400 140 0,565 450 157,5 0,636 500 175 0,706 550 192,5 0,777 600 210 0,847 650 227,5 0,918 700 245 0,988 750 262,5 1,059 800 280 1,130 820 287 1,158 830 290,5 26,479 Tabela I.4 - Resultados da simulação do ensaio de resistência ao corte para σn=1 MPa. Carga distribuída horizontal (KPa) Tensão tangencial, 𝝉 (KPa) Deslocamento horizontal (mm) 0 0 0,592 200 70 0,873 400 140 1,154 600 210 1,436 800 280 1,717 1000 350 2,000 1100 385 2,141 1200 420 2,283 1300 455 2,424 1350 472,5 2,502 1400 490 2,594 1450 507,5 2,695 1500 525 2,804 1550 542,5 2,923 1600 560 3,050 1620 567 3,104 1640 574 3,164 1650 577,5 5,738 1660 581 70,959 95 Tabela I.5 - Resultados da simulação do ensaio de resistência ao corte para σn=2 MPa. Carga distribuída horizontal (KPa) Tensão tangencial, 𝝉 (KPa) Deslocamento horizontal (mm) 0 0 0,643 400 140 1,205 800 280 1,766 1200 420 2,329 1400 490 2,612 1600 560 2,902 1800 630 3,184 2000 700 3,468 2200 770 3,753 2400 840 4,043 2600 910 4,325 2800 980 4,607 3000 1050 4,918 3100 1085 5,115 3150 1102,5 5,224 3200 1120 5,336 3250 1137,5 5,464 3300 1155 8,815 3350 1172,5 263,537 Tabela I.6 - Resultados da simulação do ensaio de resistência ao corte para σn=4 MPa. Carga distribuída horizontal (KPa) Tensão tangencial, 𝝉 (KPa) Deslocamento horizontal (mm) 0 0 4,828 500 0,175 5,535 1000 0,35 6,239 1500 0,525 6,942 2000 0,7 7,645 2500 0,875 8,348 3000 1,05 9,102 3500 1,225 9,806 4000 1,4 10,510 4500 1,575 11,243 5000 1,75 12,235 5200 1,82 13,462 5400 1,89 14,747 5600 1,96 15,294 5800 2,03 15,599 6000 2,1 15,879 6200 2,17 16,174 6400 2,24 19,412 6600 2,31 655,740 96 97 ANEXO II JUNTA COM RUGOSIDADE COM ORIENTAÇÃO PERPENDICULAR AO PLANO DE CORTE Tabela II.1 - Valores de SRF para σn=0,1 MPa e T=0,3MPa para juntas definidas por coordenadas geométricas. Tabela II.2 - Valores de SRF para σn=0,1 MPa e T=0,3MPa para juntas definidas pela interseção de duas famílias de descontinuidades. Tabela II.3 - Valores de SRF para σn=0,1 MPa e T=0,3MPa para juntas com translação de ∆/2 (juntas simétricas). Número de saliências n=10 n=8 n=6 n=4 Inclinação das saliências (graus) i=5 0,65 0,65 0,65 0,65 i=10 0,78 0,78 0,78 0,78 i=15 0,94 0,94 0,94 0,94 i=20 1,16 1,16 1,16 1,16 Número de saliências n=10 n=8 n=6 n=4 Inclinação das saliências (graus) i=5 0,65 0,65 0,65 0,65 i=10 0,78 0,78 0,78 0,78 i=15 0,94 0,94 0,94 0,97 i=20 1,16 1,16 1,16 1,16 Número de saliências n=10 n=8 n=6 n=4 Inclinação das saliências (graus) i=5 0,66 0,66 0,66 0,66 i=10 0,8 0,8 0,8 0,79 i=15 0,97 0,97 0,97 0,95 i=20 1,16 1,17 1,18 1,17 98 Tabela II.4 - Valores de tensão tangencial para a situação limite de rotura para as juntas com i=20°. Tensão normal, σn (Mpa) 1ª recta do critério de Patton, 𝝉 (MPa) 2ª recta do critério de Patton, 𝝉 (MPa) n=20 n=10 n=8 n=6 n=4 Carga horizontal T para SRF=1 (MPa) 𝝉 para SRF=1 (Mpa) Carga horizontal T para SRF=1 (MPa) 𝝉 para SRF=1 (Mpa) Carga horizontal T para SRF=1 (MPa) 𝝉 para SRF=1 (Mpa) Carga horizontal T para SRF=1 (MPa)1 𝝉 para SRF=1 (Mpa) Carga horizontal T para SRF=1 (MPa) 𝝉 para SRF=1 (Mpa) 0 0,00 0,61 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,25 0,30 0,76 0,9 0,3 0,9 0,3 0,9 0,3 0,9 0,3 0,9 0,3 0,5 0,60 0,90 1,7 0,6 1,7 0,6 1,7 0,6 1,7 0,6 1,7 0,6 0,75 0,89 1,05 2,6 0,9 2,6 0,9 2,6 0,9 2,6 0,9 2,6 0,9 1 1,19 1,19 3,4 1,2 3,4 1,2 3,4 1,2 3,4 1,2 3,4 1,2 1,25 1,49 1,33 4,0 1,4 4,2 1,5 4,2 1,5 4,2 1,5 4,2 1,5 1,5 1,79 1,48 4,4 1,5 4,8 1,7 4,9 1,7 4,8 1,7 4,9 1,7 1,75 2,09 1,62 4,9 1,7 5,4 1,9 5,4 1,9 5,4 1,9 5,5 1,9 2 2,38 1,77 5,3 1,8 5,9 2,1 5,9 2,1 6,0 2,1 6,1 2,1 2,25 2,68 1,91 5,7 2,0 6,4 2,2 6,5 2,3 6,5 2,3 6,7 2,3 2,5 2,98 2,06 6,2 2,2 6,9 2,4 7,0 2,5 7,0 2,5 7,2 2,5 2,75 3,28 2,20 6,5 2,3 7,4 2,6 7,5 2,6 7,5 2,6 7,8 2,7 3 3,58 2,34 6,9 2,4 7,9 2,7 8,0 2,8 8,1 2,8 8,3 2,9 3,25 3,87 2,49 7,3 2,6 8,5 3,0 8,5 3,0 8,5 3,0 8,8 3,1 3,5 4,17 2,63 8,1 2,8 8,8 3,1 8,9 3,1 9,0 3,2 9,3 3,3 3,75 4,47 2,78 8,9 3,1 9,4 3,3 9,3 3,3 9,5 3,3 9,8 3,4 4 4,77 2,92 9,1 3,2 9,8 3,4 9,8 3,4 9,8 3,4 10,2 3,6 4,25 5,06 3,07 9,5 3,3 10,2 3,6 10,1 3,5 10,4 3,6 10,7 3,7 4,5 5,36 3,21 9,9 3,4 10,5 3,7 10,5 3,7 10,8 3,8 11,1 3,9 4,75 5,66 3,36 10,1 3,5 10,7 3,7 10,7 3,7 11,2 3,9 11,5 4,0 5 5,96 3,50 10,4 3,6 11,5 4,0 10,9 3,8 11,7 4,1 12,0 4,2 5,25 6,26 3,64 10,8 3,8 11,9 4,2 12,0 4,2 12,0 4,2 12,4 4,3 5,5 6,55 3,79 11,3 4,0 12,4 4,3 12,5 4,4 12,6 4,4 12,8 4,5 5,75 6,85 3,93 11,5 4,0 12,7 4,4 13,0 4,5 12,9 4,5 13,2 4,6 6 7,15 4,08 11,9 4,2 13,1 4,6 13,5 4,7 13,5 4,7 13,6 4,8 99 Tabela II.5Valores de tensão tangencial para a situação limite de rotura para as juntas com i=15°. Tensão normal, σn (Mpa) 1ª recta do critério de Patton, 𝝉 (MPa) 2ª recta do critério de Patton, 𝝉 (MPa) n=20 n=10 n=8 n=6 n=4 Carga horizontal T para SRF=1 (MPa) 𝝉 para SRF=1 (Mpa) Carga horizontal T para SRF=1 (MPa) 𝝉 para SRF=1 (Mpa) Carga horizontal T para SRF=1 (MPa) 𝝉 para SRF=1 (Mpa) Carga horizontal T para SRF=1 (MPa)1 𝝉 para SRF=1 (Mpa) Carga horizontal T para SRF=1 (MPa) 𝝉 para SRF=1 (Mpa) 0,00 0,00 0,63 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,25 0,25 0,78 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3 0,50 0,50 0,92 1,4 0,5 1,4 0,5 1,4 0,5 1,4 0,5 1,4 0,5 0,75 0,75 1,07 2,1 0,8 2,1 0,8 2,1 0,8 2,1 0,8 2,1 0,8 1,00 1,00 1,21 2,9 1,0 2,9 1,0 2,9 1,0 2,9 1,0 2,9 1,0 1,25 1,25 1,36 3,6 1,2 3,6 1,2 3,6 1,2 3,6 1,2 3,6 1,2 1,50 1,50 1,50 4,3 1,5 4,3 1,5 4,3 1,5 4,3 1,5 4,3 1,5 1,75 1,75 1,64 4,9 1,7 4,9 1,7 4,9 1,7 4,9 1,7 4,9 1,7 2,00 2,00 1,79 5,5 1,9 5,5 1,9 5,5 1,9 5,5 1,9 5,6 2,0 2,25 2,25 1,93 5,9 2,1 6,0 2,1 6,2 2,2 6,0 2,1 6,2 2,2 2,50 2,50 2,08 6,4 2,2 6,5 2,3 6,8 2,4 6,5 2,3 6,7 2,3 2,75 2,75 2,22 6,5 2,3 6,9 2,4 7,2 2,5 7,2 2,5 7,0 2,4 3,00 3,00 2,37 6,9 2,4 6,9 2,4 7,6 2,7 7,7 2,7 7,8 2,7 3,25 3,25 2,51 7,2 2,5 7,1 2,5 8,0 2,8 8,3 2,9 8,0 2,8 3,50 3,50 2,65 7,4 2,6 7,5 2,6 8,3 2,9 8,8 3,1 8,9 3,1 3,75 3,75 2,80 7,6 2,7 8,2 2,9 8,6 3,0 9,3 3,3 9,3 3,3 4,00 4,00 2,94 7,9 2,8 8,7 3,1 9,0 3,1 9,8 3,4 9,9 3,5 4,25 4,25 3,09 9,0 3,2 9,1 3,2 9,1 3,2 10,4 3,6 10,0 3,5 4,50 4,50 3,23 9,9 3,5 10,0 3,5 9,6 3,3 10,8 3,8 10,5 3,7 4,75 4,75 3,38 10,6 3,7 10,6 3,7 10,5 3,7 11,0 3,9 11,0 3,9 5,00 5,00 3,52 11,3 4,0 11,4 4,0 11,2 3,9 11,3 4,0 11,5 4,0 5,25 5,25 3,67 11,7 4,1 11,7 4,1 11,5 4,0 11,3 4,0 12,0 4,2 5,50 5,50 3,81 12,3 4,3 12,3 4,3 12,3 4,3 12,4 4,3 12,6 4,4 5,75 5,75 3,95 12,6 4,4 12,6 4,4 12,5 4,4 12,6 4,4 13,0 4,6 6,00 6,00 4,10 13,0 4,6 13,0 4,6 13,2 4,6 13,2 4,6 13,5 4,7