Problemas Clássicos de Índole Geotécnica - Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte
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PROBLEMAS CLÁSSICOS DE ÍNDOLE GEOTÉCNICAESTADO ATIVO E PASSIVO EM MUROS DE SUPORTE DOLORES CRISTINA RODRIGUES AMORIM Dissertação submetida para satisfação parcial dos requisitos do grau de MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL — ESPECIALIZAÇÃO EM GEOTECNIA Orientador: Professor Doutor José Couto Marques JUNHO DE 2016
MESTRADO INTEGRADO EM ENGENHARIA CIVIL 2015/2016 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Tel. +351-22-508 1901 Fax +351-22-508 1446 [email protected] Editado por FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO Rua Dr. Roberto Frias 4200-465 PORTO Portugal Tel. +351-22-508 1400 Fax +351-22-508 1440 [email protected] http://www.fe.up.pt Reproduções parciais deste documento serão autorizadas na condição que seja mencionado o Autor e feita referência a Mestrado Integrado em Engenharia Civil - 2015/2016 - Departamento de Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Porto, Portugal, 2016. As opiniões e informações incluídas neste documento representam unicamente o ponto de vista do respetivo Autor, não podendo o Editor aceitar qualquer responsabilidade legal ou outra em relação a erros ou omissões que possam existir. Este documento foi produzido a partir de versão eletrónica fornecida pelo respetivo Autor.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte A meus Pais e Irmão If I can take it I can make it Loius Zamperini
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Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte Versão de discussão i AGRADECIMENTOS A presente dissertação é também fruto do contributo de outras pessoas e a quem, desde já, quero manifestar o meu agradecimento. Em primeiro lugar quero agradecer ao Prof. Doutor José Couto Marques pela disponibilidade prestada, pela partilha de conhecimento e esclarecimentos de dúvidas, mas acima de tudo pela sua serenidade transmitida ao longo destes meses. Ao corpo docente da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto pela formação ao longo destes anos, mas em específico à secção de Geotecnia pelas competências adquiridas. Aos meus pais pelos princípios transmitidos, pelo apoio e confiança depositada em mim. Ao meu irmão pela ajuda prestada ao longo do curso e também por todo o apoio. Aos meus amigos Carolina, Sara, Raquel, Susana, Filipa, Emanuel, Ricardo, André, Filipe pelos momentos de estudo intensivo, mas também de muita gargalhada partilhados ao longo do meu percurso académico e que me fizeram sentir na minha segunda casa. Sem esquecer os meus colegas de Geotecnia, em especial, à Filipa Costa, Francisca e Catarina pela amizade, confiança e muito boa disposição que me passaram neste último ano. Os meus colegas de Vias, Madeiras e Ivo por também estarem presentes nestes últimos meses. À “quinta” por me lançar para o mundo de trabalho e por todas as competências profissionais passadas ao longo destes anos, que sem dúvida serão úteis no futuro. Mas acima de tudo, por me ter proporcionado conhecer pessoas fantásticas, que além de colegas, são hoje grandes amigos. Dedico assim, um especial agradecimento aos meus grandes companheiros à Olinda, Hugo, Diogo, Ricardo e Letícia pelos momentos partilhados e pela preocupação demonstrada nestes últimos meses.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte ii Versão de discussão
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte iii RESUMO Ao longos dos anos a Engenharia Geotécnica tem vindo a desenvolver estudos sobre os problemas clássicos próprios dos muros de suporte. A relevância do seu estudo justifica-se face às graves consequências que advêm do incorreto dimensionamento deste tipo de estruturas rígidas. Em muito causado pela dificuldade em determinar o exato comportamento do solo em condição de equilíbrio limite. Com o intuito de dar continuidade a esses estudos, no presente trabalho, pretende-se constituir uma biblioteca que incida sobre a temática dos muros de suporte e que apresente as respetivas soluções teóricas e numéricas. Contudo, o objetivo não é analisar as especificidades inerentes ao dimensionamento dos diferentes tipos de muros de suporte. Mas sim perspetivar o comportamento do solo e da respetiva estrutura de suporte perante os dois estados de equilíbrio limite – Ativo e Passivo. Deste modo, numa primeira fase faz-se uma breve exposição dos conceitos gerais envolvidos na modelação pelo Método dos Elementos Finitos e descrevem-se sucintamente as teorias clássicas desenvolvidas neste âmbito e mais utilizadas em Engenharia Geotécnica. Para de seguida, se proceder à aplicação das referidas teorias a casos práticos definidos pelo autor e os quais se distinguem por diferentes caraterísticas mecânicas. Por último, com recuso ao software, Plaxis 8.0, de análise por MEF procede-se à modelação dos casos práticos e comparam-se os resultados obtidos com os alcançados pelas teorias clássicas. PALAVRAS – CHAVE: Impulso de terras, cunha de rutura, análise paramétrica, método dos elementos finitos, paramento
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte iv
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte v ABSTRACT Over the years Geotechnical Engineering has been developing studies about classic problems inherent to retaining walls. The relevance of their study is justified by the serious consequences arising from the incorrect sizing of this type of rigid structures, in part caused by the difficulty in determining the exact behavior of the soil in limit balance. In order to continue these studies, the present thesis is intended to be a library that focuses on the theme of retaining walls and to present the respective theoretical and numerical solutions. However, the goal is not to analyze the specificities inherent in the design of different types of retaining walls, but predict soil behavior and their support structure before the two limit equilibrium states – Active and Passive. Thus, a first stage is a brief statement of the general concepts involved in modeling by MEF and describe briefly the classical theories developed in this area and more used in Geotechnical Engineering. Posteriorly, proceeds to the application of these theories to practical cases defined by the author and which are distinguished by different mechanical characteristics. Finally, using the software Plaxis 8.0, analysis by FEM proceeds to the modeling of practical cases and compare the results with those obtained by the classical theory. KEY WORDS: Land boost, Collapse surface, parametric analysis, finite elements method, vestment
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte xii Versão de discussão Fig. 4.5 – Configuração da cunha de deslizamento para o Estado Ativo se: a) ϕ’ = δ = 20º; b) ϕ’ = δ = 35º .......................................................................................................................................................... 35 Fig. 4.6 – Configuração da cunha de deslizamento para o Estado Passivo, se ϕ’ = δ = 20º ................ 35 Fig. 4.7 – Configuração da cunha de deslizamento para o Estado Passivo, se ϕ’ = δ = 35º ................ 36 Fig. 5.1 - Posição dos nós e correspondentes pontos de Gauss em elementos de 15 nós (adaptado de Brinkgreve, Swofls & Engin, 2010) ......................................................................................................... 39 Fig. 5.2 - Posição dos nós e correspondentes pontos de Gauss em elementos de 6 nós (adaptado de Brinkgreve, Swofls & Engin, 2010) ......................................................................................................... 39 Fig. 5.3 - Modelo elástico perfeitamente plástico representativo do comportamento do solo (adaptado de Wood & Rahim, 2007) ....................................................................................................................... 40 Fig. 5.4.- Superfície de cedência de Mohr-Coulomb no campo de tensões principais, em solos não coesivo (c=0) (adaptado de Brinkgreve, Swofls & Engin, 2010) ............................................................ 41 Fig. 5.5 - Circunferências de Mohr representativas de estados de tensão, desde o repouso até se atingir a rotura, pelo critério de Mohr Coulomb, depois de aplicados três incrementos de deslocamento horizontal sobre o paramento (adaptado de Matos Fernandes, 2006) .................................................. 42 Fig. 5.6 – Malha definida para o modelo base, com respetivas condições de fronteira, extraída do software Plaxis 8.0 ................................................................................................................................ 44 Fig. 5.7 – Deslocamento imposto ao paramento para simulação do Estado Ativo, dHmax=0,01m ......... 45 Fig. 5.8– Representação da deformação do solo após a imposição do deslocamento horizontal, no modelo base, sem consideração da interface do solo - paramento ...................................................... 46 Fig. 5.9 – Representação da deformação do solo após a imposição do deslocamento horizontal para o modelo com interface definida ............................................................................................................... 46 Fig. 5.10. Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rutura, referentes ao modelo base, em estado ativo ............................................................................................................... 47 Fig.5.11 – AGL6VC - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo ......... 51 Fig.5.12 – AGNL6VC - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo ...... 52 Fig.5.13 – AGL15VC - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo ....... 53 Fig.5.14 – AGNL15VC - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo .... 54 Fig.5.15 – AGL6M - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo ........... 55 Fig.5.16 – AGNL6M - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo ........ 56 Fig.5.17 – AGL15M - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo ......... 57 Fig.5.18 – AGNL15M - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo ...... 58 Fig.5.19 – AGL6VF - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo ......... 59 Fig.5.20 – AGNL6VF - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo ....... 60 Fig.5.21 – AGL15VF - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo ....... 62 Fig.5.22 – AGNL15VF - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo ..... 63 Fig. 5.23 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rutura, referentes à malha de elementos com 6 nós ............................................................................................................. 63
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte Versão de discussão xiii Fig. 5.24 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rutura, referentes à malha de elementos com 15 nós........................................................................................................... 64 Fig.5.25 - Tempo decorrido para cada um dos casos em estudo ......................................................... 64 Fig.5.26 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rutura, referentes à análise com consideração da não linearidade geométrica ................................................................... 65 Fig.5.27 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rotura, referentes à análise plástica convencional ................................................................................................................ 65 Fig. 5.28 - Tempo decorrido para cada um dos casos em estudo ....................................................... 66 Fig. 5.29 - Evolução da zona plastificada com a redução do valor da tolerância de convergência para ϕ’=30º ..................................................................................................................................................... 67 Fig. 5.30 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rutura, para uma malha fina composta por elementos de 15 nós ............................................................................................... 68 Fig. 5.31 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rutura, para uma malha muito fina composta por elementos de 6 nós ........................................................................................ 68 Fig. 5.32 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rutura, para, ϕ’=20º 70 Fig. 5.33 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rutura, para ϕ’=25º . 70 Fig. 5.34 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rotura, para ϕ’=30º . 70 Fig. 5.35 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rotura, para ϕ’=35º . 70 Fig. 5.36 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rotura, para ϕ’=20º e δ=0 ......................................................................................................................................................... 72 Fig. 5.37 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rotura, para ϕ’=20º e δ=0.1 ϕ’ .................................................................................................................................................. 72 Fig. 5.38 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rotura, para ϕ’=20º e δ=2⁄3 ϕ’ .................................................................................................................................................. 73 Fig.6.1 - Deslocamento imposto ao paramento para simulação do Estado Passivo (dHmax=0,1m) ..... 76 Fig.6.2 - Desenvolvimento da zona plastificada para o modelo base adotado inicialmente................. 76 Fig.6.3 – Curva representativa da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, vs. deslocamento, dH, quando se impõe um deslocamento de 0,01 m ............................................................................... 77 Fig.6.4 – Curva representativa da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, vs. deslocamento, dH, quando se impõe um deslocamento de 0,700 m ............................................................................. 77 Fig.6.5 - Representação da deformação do solo após a imposição do deslocamento horizontal, no novo modelo base .......................................................................................................................................... 78 Fig.6.6 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rutura, referentes ao modelo base, em estado passivo .......................................................................................................... 78 Fig.6.7 - Evolução da zona plastificada e configuração da superfície de rotura para uma malha pouco refinada composta por elementos de 6 nós .......................................................................................... 81 Fig.6.8 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, d, para uma malha pouco refinada, composta por elementos de 6 nós, com a consideração da não linearidade geométrica ........................................................................................ 82
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte xiv Versão de discussão Fig.6.9 – Zona plástica correspondente a uma malha pouco refinada, composta por elementos de 6 nós, e para uma tolerância de convergência de 10-1 ..................................................................................... 83 Fig.6.10 – Malha deformada para o caso de estudo com tolerância 10-4 e para a consideração da linearidade geométrica ........................................................................................................................... 84 Fig.6.11 – Evolução da Força, Fx, com o deslocamento até à interrupção do cálculo .......................... 84 Fig.6.12 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, dH, para uma malha pouco refinada e sem a consideração da não linearidade geométrica .............................................................................................................................................. 85 Fig.6.13 - Evolução da zona plastificada e configuração da superfície de rotura para uma malha pouco refinada composta por elementos de 15 nós ......................................................................................... 86 Fig.6.14 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, d, para uma malha pouco refinada e com a consideração da não linearidade geométrica ................................................................................................................................................................ 87 Fig.6.15 - Zona plástica correspondente a uma malha pouco refinada composta por elementos de 15 nós e para uma tolerância 10-1 ............................................................................................................. 88 Fig.6.16 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, d, para uma malha pouco refinada e considerando linearidade geométrica ............... 88 Fig.6.17 - Evolução da zona plastificada e configuração da superfície de rotura para uma malha de refinamento médio, composta por elementos de 6 nós, e com a consideração da não linearidade geométrica .............................................................................................................................................. 89 Fig.6.18 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, dH, para uma malha de refinamento médio e com a consideração da não linearidade geométrica .............................................................................................................................................. 90 Fig.6.19 - Zona plástica correspondente a uma malha de refinamento médio, composta por elementos de 15 nós, e para uma tolerância 10-1 ................................................................................................... 91 Fig.6.20 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, dH, para uma malha de refinamento médio e considerando linearidade geométrica .. 91 Fig.6.21 - Evolução da zona plastificada e configuração da superfície de rotura para uma malha de refinamento médio, composta por elementos de 15 nós, e com a consideração da não linearidade geométrica .............................................................................................................................................. 92 Fig.6.22 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, dH, para uma malha de refinamento médio e considerando a não linearidade geométrica ................................................................................................................................................................ 93 Fig.6.23 - Zona plástica correspondente a uma malha de refinamento médio, composta por elementos de 15 nós, e para uma tolerância 10-1 ................................................................................................... 94 Fig.6.24 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, dH, para uma malha de refinamento médio e considerando linearidade geométrica .. 94 Fig.6.25 - Evolução da zona plastificada e configuração da superfície de rotura para uma malha muito refinada, composta por elementos de 6 nós, e com a consideração da não linearidade geométrica ... 95 Fig.6.26 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, dH, para uma malha muito refinada, composta por elementos de 6 nós e considerando a não linearidade geométrica ................................................................................................................. 96
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte Versão de discussão xv Fig.6.27 - Evolução da zona plastificada e configuração da superfície de rotura para uma malha muito refinada, composta por elementos de 15 nós, e com a consideração da não linearidade geométrica 97 Fig.6.28 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, d, para uma malha muito refinada, composta por elementos de 15 noós e considerando linearidade geométrica .......................................................................................................................... 98
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte xvi Versão de discussão
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte Versão de discussão xvii ÍNDICE DE TABELAS Tabela 3.1 – Análise Comparativa dos Métodos de Rankine, Caquot-Kérisel e Coulomb (adaptado de Matos Fernandes, 2011) ....................................................................................................................... 28 Tabela 4.1 – Propriedades geométricas e parâmetros de deformação arbitrados para o paramento em betão ...................................................................................................................................................... 30 Tabela 4.2 – Parâmetros geomecânicos constantes da massa de solo arenoso ................................. 30 Tabela 4.3 – Casos de Estudo e correspondentes parâmetros geomecânicos, experimentados no cálculo dos Impulsos Ativos e Impulsos Passivos ............................................................................... 31 Tabela 4.4. Coeficientes de Impulso e respetivos Impulsos de Terras para um solo puramente atrítico, através do Método de Rankine .............................................................................................................. 32 Tabela 4.5. Cálculo dos coeficientes de Impulso e respetivos Impulsos de Terras para, através do Método de Coulomb, depreender qual a influência do atrito solo-paramento ..................................... 34 Tabela 5.1 - Parâmetros base constituintes do modelo de Mohr-Coulomb .......................................... 41 Tabela 5.2 - Parâmetros do solo e propriedades do paramento referentes ao modelo base............... 45 Tabela 5.3 - Resultados obtidos pelos métodos tradicionais de Rankine e de Coulomb e pelo método numérico, no Estado Ativo ..................................................................................................................... 47 Tabela 5.4 - Propriedades referentes à discretização da malha de elementos finitos e tolerâncias de erro ............................................................................................................................................................... 48 Tabela 5.5 - Número de elementos, nós e pontos de Gauss de cada uma das malhas empregues no estudo paramétrico ................................................................................................................................ 49 Tabela 5.6 - Impulsos ativos obtidos pelo Método de Coulomb e pelo Método Numérico para uma malha com elementos de 6 e 15 nós ............................................................................................................... 64 Tabela 5.7 - Resultados obtidos pelo Método de Coulomb e pelo Método Numérico para o caso de análise plástica convencional e para o caso de análise com a consideração da não linearidade geométrica ............................................................................................................................................. 66 Tabela 5.8 - Impulsos ativos obtidos pelo método numérico para um solo com ϕ’=30º, com a redução do valor da tolerância de convergência ................................................................................................. 69 Tabela 5.9 - Tempo decorrido e número de steps necessários para cada um dos casos em estudo . 69 Tabela 5.10 - Impulsos ativos obtidos com o incremento do ângulo de resistência ao corte do solo, ϕ’, para o método numérico, Coulomb e de Rankine ................................................................................. 71 Tabela 5.11 - Tempo decorrido para cada um dos casos em estudo ................................................... 71 Tabela 6.1 - Resultados obtidos pelos Métodos tradicionais de Rankine e de Coulomb e pelo Método Numérico, no Estado Passivo ............................................................................................................... 79 Tabela 6.2. Número de elementos, nós e pontos de Gauss de cada uma das malhas empregues na análise paramétrica referente ao estado passivo .................................................................................. 80 Tabela 6.3 - Resultados obtidos pelos Métodos tradicionais de Rankine e de Coulomb e pelo Método Numérico, no Estado Passivo e para uma malha pouco refinada com elementos de 6 nós ................ 81 Tabela 6.4 - Resultados obtidos pelos Métodos tradicionais de Rankine e de Coulomb e pelo Método Numérico, no Estado Passivo e para uma malha pouco refinada com elementos de 15 nós .............. 87
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte xviii Versão de discussão Tabela 6.5 - Resultados obtidos pelos Métodos tradicionais de Rankine e de Coulomb e pelo Método Numérico, no Estado Passivo e para uma malha de refinamento médio com elementos de 6 nós ..... 90 Tabela 6.6 - Resultados obtidos pelos Métodos tradicionais de Rankine e de Coulomb e pelo Método Numérico, no Estado Passivo e para uma malha de refinamento médio com elementos de 15 nós ... 93 Tabela 6.7 - Resultados obtidos pelos Métodos tradicionais de Rankine e de Coulomb e pelo Método Numérico, no Estado Passivo e para uma malha muito refinada com elementos de 6 nós ................. 96 Tabela 6.8 - Resultados obtidos pelos Métodos tradicionais de Rankine e de Coulomb e pelo Método Numérico, no Estado Passivo e para uma malha muito refinada com elementos de 15 nós ............... 98
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte Versão de discussão xix SÍMBOLOS, ACRÓNIMOS E ABREVIATURAS ALFABETO LATINO c - coesão [kPa] 𝑐𝑠𝑜𝑖𝑙 – coesão do solo [kPa] 𝑐𝑖 – coesão da interface [kPa] E – módulo de deformabilidade ou módulo de Young [kPa] e – espessura do muro de suporte [m] h – altura do paramento [m] H – carga distribuída aplicada na superfície do terreno [kN/m] I0 – impulso de repouso [kN] Ia – impulso ativo [kN] Ia H – impulso ativo provocado pela sobrecarga H [kN] Ia t – impulso ativo devido ao peso das terras [kN] Ia,t H – impulso ativo provocado pela sobrecarga H, pelas teorias clássicas [kN] Ip – impulso passivo [kN] 𝐾 – coeficiente de impulso 𝐾𝑜 – coeficiente de impulso em repouso 𝐾𝑎 – coeficiente de impulso ativo 𝐾𝑝 – coeficiente de impulso passivo 𝐾𝑐𝑎 – coeficiente de impulso ativo, relativo a maciços coesivos 𝐾𝑐𝑝 – coeficiente de impulso passivo, relativo a maciços coesivos l – comprimento do paramento [m] RH – resultante da carga distribuída H 𝑅𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟 – fator de redução da resistência na interface 𝑊 – peso do cunha de rutura [kN] z – profundidade [m] ALFABETO GREGO 𝛼 – inclinação da cunha de deslizamento com a horizontal 𝛽 – inclinação da superfície do terreno com a horizontal λ – inclinação do paramento com a vertical – coeficiente de Poisson δ – ângulo de resistência tangencial solo – paramento [º] 𝜎 – tensão normal total [kPa]
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte xx Versão de discussão 𝜎′ℎ – tensão normal efetiva horizontal [kPa] 𝜎′ℎ𝑜 – tensão normal efetiva horizontal de repouso [kPa] 𝜎′ℎ𝑎 – tensão normal efetiva horizontal no estado ativo [kPa] 𝜎′ℎ𝑝 – tensão normal efetiva horizontal no estado passivo [kPa] 𝜎′𝑣 – tensão normal efectiva vertical [kPa] 𝜎′𝑣𝑜 – tensão normal efetiva vertical de repouso [kPa] 𝜎′𝑣𝑎 – tensão normal efetiva vertical no estado ativo [kPa] 𝜎′𝑣𝑝 – tensão normal efetiva vertical no estado passivo [kPa] 𝜎′𝑓 - tensão normal efetiva no mesmo par de facetas desse ponto ou plano de rutura [kPa] 𝜙′ – ângulo de atrito (efectivo) ou ângulo de resistência ao corte do solo [º] 𝛾 – peso volúmico do solo [kN/m3] ψ – ângulo de dilatância [º] - tensão tangencial de rotura [kPa] f - tensão tangencial de rotura num par de facetas do ponto ou planos de rutura [kPa] 𝜀 – deformações totais [%] 𝜀𝑝 - deformações plásticas [%] 𝜀𝑝 – deformações elásticas [%] ACRÓNIMOS MEF – Método dos Elementos Finitos TRI – Teorema da Região Inferior TRS – Teorema da Região Superior NLG – Não Linearidade Geométrica AG(N)L6VC – Análise Geométrica (Não) Linear com elementos de 6 nós, com uma malha Very Coarse (muito pouco refinada) AG(N)L6M – Análise Geométrica (Não) Linear com elementos de 6 nós, com uma malha Medium (mediamente refinada) AG(N)L6VF – Análise Geométrica (Não) Linear com elementos de 6 nós, com uma malha Very Fine (muito refinada) AG(N)L15VC – Análise Geométrica (Não) Linear com elementos de 15 nós, com uma malha Very Coarse (muito pouco refinada) AG(N)L15M – Análise Geométrica (Não) Linear com elementos de 15 nós, com uma malha Medium (mediamente refinada) AG(N)L15VF – Análise Geométrica (Não) Linear com elementos de 15 nós, com uma malha Very Fine (muito refinada)
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 1 1 INTRODUÇÃO 1.1. ENQUADRAMENTO Ao longo dos tempos têm sido várias as alterações demográficas com particular realce a partir do século XX. Com o grande desenvolvimento industrial, científico e tecnológico gerou-se um crescimento populacional que, por conseguinte, levou ao aumento progressivo e muito significativo do território ocupado. Surgiu assim, a necessidade de criação de novas infra-estruturas, tanto de habitação, como de vias de comunicação. Como forma de acautelar o risco de rotura desse tipo de infra-estruturas que possa pôr em causa a segurança das vidas humanas e de bens materiais, deve-se avaliar as condições do espaço ocupado através de estudos de caraterização geológica e geotécnica em diferentes pontos do local. O conhecimento da estabilidade do espaço envolvente é essencial para prevenir a ocorrência de catástrofes de grandes dimensões, como exemplo, os fenómenos de deslizamento de terras. Todavia quando existe a possibilidade de situações de risco, como as especificadas, recorre-se à construção de estruturas de vários tipos com o objetivo de garantir a contenção do solo. Em Engenharia Civil são diversos os casos de estruturas que interatuam com maciços terrosos, e que são construídas com o intuito de os suportar, resistindo aos impulsos de terras, forças com componente predominantemente horizontal. No caso particular dos muros de suporte de gravidade, a determinação da pressão das terras sobre o paramento, assim como a estimativa da intensidade, direção e ponto de aplicação da respetiva resultante, é um problema altamente hiperestático que não pode ser simplesmente resolvido com as equações da estática, dependendo também das relações tensão – deformação – resistência, tanto do solo como da estrutura. Para abordar este problema foram desenvolvidas teorias clássicas com o intuito de providenciar processos de cálculo fidedignos. Ainda hoje são de aplicação corrente e primam pela simplicidade e qualidade de resultados (Matos Fernandes, 2011). Mais recentemente, o surgimento de potentes ferramentas de cálculo numérico permitiu melhorar a rapidez das análises realizadas pelas teorias clássicas e veio facultar a possibilidade de efetuar estudos mais detalhados e sofisticados. Uma dessas técnicas é o Método dos Elementos Finitos (MEF), que desde a sua aparição em meados do século passado tem tido uma maturação muito rápida, quer em termos da abrangência dos domínios de aplicação, quer quanto à evolução exponencial das capacidades de cálculo, obviamente potenciadas pelos progressos registados nos computadores. A utilização do MEF tem-se intensificado nas múltiplas áreas de intervenção da Engenharia Civil, sendo de referir em particular a abordagem cada vez mais corrente de problemas complexos em que interatuam no espaço e no tempo diversas grandezas físicas, como, por exemplo, tensão, deslocamento, pressão intersticial, temperatura, aceleração, e em que se procura esclarecer o papel desempenhado por fenómenos como a não linearidade material e/ou geométrica, a mudança de fase ou a presença de fenómenos químicos.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 8 A seleção das funções, 𝜙𝑖, está relacionada com os parâmetros incógnitos, sendo alguns conjuntos mais relevantes por apresentarem um significado físico mais preciso. Como se referiu anteriormente, pode-se obter uma maior aproximação da solução numérica diminuindo a dimensão dos elementos, e consequentemente aumentando o seu número, e/ou elevando o grau das funções de interpolação adotadas para os elementos. iii. Formulação das equações de equilíbrio – O comportamento dos sistemas é regido por equações capazes de estabelecer a condição de equilíbrio em qualquer ponto. Para formulação destas equações são utilizados diferentes métodos, entre eles, os métodos variacionais e os de resíduos pesados. Os métodos de resíduos pesados, como o método de Galerkin, são adequados a problemas com equações lineares e não lineares. Enquanto os métodos variacionais, que postulam que um dado funcional, como por exemplo, a energia potencial mínima satisfaça a condição mínima, são adequados para determinar deslocamentos. Contudo com qualquer um destes métodos obtêm-se a seguinte relação que rege o comportamento de um sistema solicitado por um conjunto de forças exteriores: 0 fK (2.2) onde, [K] é a matriz de rigidez α é o vetor dos deslocamentos nodais f é o vetor das forças nodais estaticamente equivalentes às forças de volume e de superfície aplicadas ao elemento iv. Estruturação da matriz de rigidez global – A associação da expressão 2.2 a cada elemento em que o domínio foi dividido conduz a um sistema de equações que rege o comportamento desse mesmo domínio, em que cada uma das equações traduz o equilíbrio numa determinada direção nodal. A condição física fundamental de manter a estrutura contínua é garantida ao impor a compatibilidade de deslocamentos nos pontos nodais em elementos adjacentes. A resolução do sistema só é possível após o estabelecimento das condições fronteira, que normalmente se traduz na introdução de deslocamentos impostos em certos nós. v. Determinação das incógnitas – Com a determinação dos deslocamentos nodais é então possível conhecer os deslocamentos e tensões em qualquer ponto da estrutura, assim como as reações nos pontos de ligação ao exterior. 2.3. FIABILIDADE DO MÉTODO A qualidade dos resultados conseguidos com o método dos elementos finitos depende de vários fatores, alguns já citados neste capítulo, e que devem ser devidamente avaliados de modo a se aumentar a confiança nas soluções obtidas. São estes: i. Características geométricas e mecânicas da estrutura/maciço, tais como, modelação do domínio, das condições fronteira e das leis que regem o comportamento dos materiais. ii. Rigor dos modelos numéricos e dos meios de cálculos disponíveis. iii. Erros na modelação e na interpretação dos resultados.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 9 Tal como já foi referido ao longo deste capítulo, o método dos elementos finitos é uma das técnicas mais aplicadas para soluções numéricas de problemas complexos devido à precisão que apresenta. O rigor alcançado nas soluções através deste método é, no entanto, função de uma adequada definição da malha. Por isso, para além dos fatores acima mencionados, a discretização utilizada é também um fator de grande influência na precisão das soluções atingidas. (Verfiirth, 1994). Contudo, o erro numérico é intrínseco em situações de simulação computacional de problemas físicos, pois no processo de discretização, que envolve a transformação de um problema contínuo num modelo do comportamento mecânico tratável pelo computador, pode ser perdida alguma da informação incorporada nas equações diferenciais ou equações integrais regentes do fenómeno em causa. (Ainsworth & Oden, 1997). Desde modo, é essencial recorrer a estimativas a posteriori do erro resultante da discretização e analisar técnicas de minimização do erro com vista a obter soluções mais precisas e rápidas. As estimativas a posteriori dão informação sobre a convergência e estabilidade de um programa e podem dar alguma indicação sobre o comportamento assintótico do erro nos cálculos em que os parâmetros de malha são variáveis. (Ainsworth & Oden, 1997). A estimativa do erro é um processo genérico e bastante questionável e que, resumidamente, se processa do seguinte modo: inicia-se com uma malha arbitrada, baseada na experiência adquirida em casos semelhantes, e a partir da qual se estima o erro da solução. Caso o erro estimado exceda a tolerância definida, procede-se ao refinamento da malha, de acordo com a técnica numérica e com o indicador de erro adotado. Constata-se que, devido aos avanços realizados nos estudos referentes à estimativa do erro, e mesmo que a solução exata do problema em análise não seja exequível, é ainda assim possível estimar os seus erros. De forma a melhorar as análises, com o mínimo erro e soluções cada vez mais transparentes, têm sido desenvolvidas estratégias de refinamento de malhas de elementos finitos. A malha gerada automaticamente pode não ser solução para muitos problemas por acarretar significativas desvantagens, ou por algumas delas não poderem ser aplicadas a situações específicas, com inteira confiança por parte dos utilizadores. Verifica-se assim que um engenheiro, além de um vasto conhecimento em mecânica dos solos e elementos finitos, deve igualmente ter a noção das limitações inerentes aos principais modelos que são correntemente aplicados, assim como estar profundamente familiarizado com o modo de funcionamento dos programas em uso. Pois, atualmente, devido ao desenvolvimento do MEF, verifica-se que alguns engenheiros apenas se preocupam com a aplicação do programa comercial e a interpretação dos resultados obtidos, admitindo que os mesmos são credíveis. Esta atitude acrítica por parte do utilizador pode estar na origem de eventuais riscos de segurança causados pela não perceção de erros na introdução de dados, ou pela falta de associação adequada entre o modelo definido e o caso real em estudo, entre outros. (Azevedo, 2003)
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Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 11 3 IMPULSOS DE TERRAS 3.1. INTRODUÇÃO O presente capítulo reúne a apresentação das teorias clássicas de maior utilização em Engenharia Civil para o cálculo dos impulsos sobre muros de suporte. Com os conceitos expostos pretende-se consolidar os conhecimentos necessários ao desenvolvimento das análises dos capítulos subsequentes. A interação solo-estrutura dá-se de dois modos distintos, mas que podem ocorrer em simultâneo: a estrutura suporta o solo, ou seja, esta está a sofrer uma solicitação por parte do solo; a estrutura exerce sobre o solo uma ação. A determinação destas pressões sobre o paramento, assim como a estimativa dos impulsos, são problemas altamente hiperestáticos que não podem ser simplesmente resolvidos com as equações da estática, dado dependerem também das relações tensão-deformação-resistência, tanto do solo como da estrutura. Deste modo, foram desenvolvidas teorias clássicas com o intuito de servirem como processos de cálculo fidedignos. Destacam-se a Teoria de Rankine (1857) e Teoria de Coulomb (1773). (Matos Fernandes, 2011) 3.2. ESTADOS DE EQUILÍBRIO LIMITE DE RANKINE Um maciço está em equilíbrio plástico se todos os pontos que o constituem estiverem na iminência de entrar em rotura – estado geral de equilíbrio plástico. Todavia num estrato real de um solo granular é muito pouco provável se atingir este estado, a menos que derive de fenómenos geológicos, tais como os devidos à atuação de forças tectónicas. Efeitos locais, como os causados pelo deslizamento de muros de suporte, não produzem uma mudança radical nas tensões interiores do solo granular, exceto nas zonas circundantes da fonte dos fenómenos – estados locais de equilíbrio plástico. O remanescente de massa de solo permanece em estado de equilíbrio elástico. (Terzaghi, 1975) Os estados locais de equilíbrio plástico são devidos aos mais distintos processos de deformação, enquanto que os estados de tensão na zona plástica, assim como a forma da mesma, dependem preponderantemente do tipo de deformação que a causa e do grau de rugosidade da superfície de contacto entre o solo e a estrutura de suporte. (Terzaghi, 1975) Rankine (1857) após investigar os estados de tensão correspondentes aos estados de equilíbrio limite, introduziu os conceitos de estado de equilíbrio limite ativo e estado de equilíbrio limite passivo, que aplicados a uma massa semi-infinita, servem de base a estados mais complicados de equilíbrio.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 12 O método de Rankine, para o cálculo da pressão instalada num paramento vertical, baseia-se nas seguintes hipóteses: i. o solo é não coesivo e emerso; ii. o solo homogéneo e isotrópico; iii. a superfície do terreno é horizontal; iv. o paramento é vertical e rígido; v. é nulo o atrito entre o solo e o paramento. Tendo conhecimento que a base deste método está no Teorema da Região Inferior (TRI), que nos diz que se a “distribuição de tensões aplicada a um corpo for estaticamente admissível podemos estar seguros que a distribuição equivalente (𝑃𝑅𝑖) constitui um valor inferior às forças que se podem aplicar ao corpo sem que este entre em colapso ((𝑃 𝑢)..” (Silva Cardoso, 2016) Sendo assim, uRi PP (3.1) 3.2.1. COEFICIENTE DE IMPULSO O coeficiente de impulso, K, é a relação entre as tensões efetivas horizontais e verticais atuantes num dado ponto do maciço. v h K' ' (3.2) Se as tensões representadas dizem respeito a um estado de repouso, ou seja, são exclusivamente devidas ao peso próprio de uma massa de solo na qual não foi introduzida qualquer deformação, este designase coeficiente de impulso de repouso, K0. 0, 0, 0' ' v h K (3.3) Para solos normalmente consolidados, o coeficiente referido, pode ser obtido pela expressão semiempírica de Jaky (1944). (Matos Fernandes, 2011): 'sin1 0 K (3.4) Como exposto na Fig. 3.1, caso a massa de solo experimente um movimento de expansão ou contração no sentido horizontal, o valor de K0 do solo em repouso passa a adquirir um valor distinto. Dado que o peso da massa de solo situada sobre um plano horizontal qualquer, não sofre alterações com estes movimentos, então a tensão vertical não se altera. Contudo, a tensão horizontal diminui se a massa se expande ou aumenta se a mesma se contrai.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 13 Caso o muro se afaste progressivamente, o elemento de solo A, que se encontra do lado da solicitação atuante (Lado Ativo) experimenta tensões de tração, as quais têm como resultante o impulso ativo. Em que o quociente entre a tensão efetiva horizontal no estado ativo e a respetiva tensão vertical expressa o coeficiente de impulso ativo: av ah a K , , ' ' (3.5) No elemento de solo B acontece o oposto, isto é, o muro desloca-se contra o terreno comprimindo-o, mobilizando-se assim o impulso passivo. pv ph p K , , ' ' (3.6) Fig.3.1 - Tensões aplicadas num elemento de solo, no estado ativo e passivo de Rankine As circunferências de Mohr, na Fig.3.2, são elementos representativos dos estados de equilíbrio acima descritos. A situação de estado limite ativo, dada pela circunferência 𝐴𝐵1 , é atingida pela redução progressiva do valor da tensão efetiva horizontal mantendo-se constante a tensão efetiva vertical. Quando a circunferência de Mohr tangencia a envolvente de rotura, (pontos C e C’), significa que se atingiu o limite inferior da tensão horizontal, (𝜎′ℎ𝑎 – tensão horizontal ativa). Corresponde assim à situação para a qual se mobiliza integralmente a resistência ao corte do solo. A superfície crítica formada é aproximadamente uma superfície plana que faz com a horizontal um ângulo de )2'4( , como exposto na Fig. 3.3a. n. f. inicial n. f. (suspenso) Precipitação n. f. final (a) (b) (c) (d)
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 14 Relativamente à situação de estado passivo, a tensão efetiva horizontal aumenta, mantendo-se fixa a tensão efetiva vertical. Deste modo, a tensão principal máxima passa a ser a horizontal, e tal como no caso ativo, aumenta até a circunferência de Mohr atingir a envolvente de rotura, (pontos D e D’). O que indica que se alcançou o patamar de total mobilização de resistência do solo, isto é, conhece-se o valor limite superior tensão de interação do terreno com a estrutura (𝜎′ℎ𝑝 – tensão horizontal passiva). Sendo assim, após instalados os estados ativo e passivo, mesmo que o paramento se continue a movimentar, o valor da tensão horizontal não aumenta. As superfícies de cedência, continuam a ser praticamente planas, contudo passam a estar inclinadas de )2'4( mas com a vertical, (Fig.3.3b). Fig.3.2 - Circunferências de Mohr representativas dos estados de repouso, ativo e passivo (Matos Fernandes, 2011) Através da análise das circunferências de Mohr é possível deduzir, a partir das expressões 3.5 e 3.6, as seguintes expressões para Ka e Kp: 2 ' 4 tan 'sin1 'sin1 2 a K (3.7) 2 ' 4 tan 'sin1 'sin1 2 p K (3.8)
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 15 Fig.3.3 - Inclinação da cunha de rotura formada com uma superfície plana: (a) Estado Ativo; (b) Estado Passivo (Lambe & Whitman, 1969) 3.2.2. IMPULSO ATIVO E IMPULSO PASSIVO DE RANKINE Atendendo aos pressupostos inerentes ao método de Rankine, considerando por simplicidade o nível freático profundo e admitindo a mesma massa de solo ilustrada na Fig. 3.1, verifica-se assim que o elemento de solo a uma profundidade z, e de peso volúmico γ, fica submetido às seguintes tensões nos distintos estados de equilíbrio mencionados: zz v )(' (3.9) zKKz vh 000, ')(' (3.10) zK)z('K)z(' avaa,h (3.11) zK)z('K)z(' pvpp,h (3.12) Quando se trata de um maciço homogéneo, as pressões de terras sobre o paramento aumentam proporcionalmente ao aumento da tensão efetiva vertical e de forma linear com a profundidade. Obtendo-se assim um diagrama de pressões triangular em que a resultante de tensões é o designado impulso ativo e passivo respetivamente: 2 00 2 1hKdzzKdz'KI a h a h vaa (3.13) 2 00 2 1hKdzzKdz'KI p h p h vpp (3.14)
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 16 3.3. DESLOCAMENTOS ASSOCIADOS AO ESTADO ATIVO E ESTADO PASSIVO 3.3.1. EXPERIÊNCIAS DE TERZAGHI De forma a estimar a greandeza do deslocamento dos paramentos estruturais suscetível de mobilizar o estado ativo e o estado passivo, Terzaghi (1920, 1934) realizou um modelo em laboratório representativo da situação da Fig. 3.1. Tratava-se de uma caixa paralelepipédica preenchida com areia e com uma das faces verticais articulada na base e devidamente munida de dispositivos para medir as pressões de terras sobre a referida face. Os ensaios efetuados revelaram que a mobilização do estado ativo necessita de deslocamentos horizontais do topo da face da ordem de 0,1% a 0,2% da respetiva altura, enquanto que a mobilização do estado passivo requer deslocamentos de cerca de 5% a 20% dessa mesma altura. (Matos Fernandes, 2011) Estudos realizados posteriormente, com recurso a ensaios sobre amostras consolidadas sob o estado de tensão efetiva de repouso, de compressão triaxial e de extensão triaxial, explicam os valores atingidos pela experiência de Terzaghi. Numa amostra de areia compacta, submetida aos dois ensaios, obteve-se o diagrama apresentado na Fig.3.5. Fig.3.4 - Diagrama de pressões ativas e passivas e respetivos impulsos sobre um paramento vertical e liso (Mirante, 2014)
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 17 Fig.3.5 - Experiências de Terzaghi (Matos Fernandes, 1990) Pela análise do diagrama de tensões de corte máximas versus extensão horizontal, Fig. 3.6 conclui-se que: são necessárias deformações por ordem de 0,5% para atingir o estado limite ativo; para atingir o estado limite passivo, são precisas deformações de cerca de 2%. Fig.3.6 - Resultados de ensaios de uma areia compacta sob trajetórias de tensões do tipo ativo e passivo (Matos Fernandes, 1990)
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 24 Resumidamente, o método inicia-se com a seleção, de forma arbitrária, de uma superfície de deslizamento definida pelo ângulo θ, como mostra a Figura 3.14. Sabendo que: sin sin WPa (3.21) Pode-se afirmar que a superfície previamente selecionada é a crítica, se para 0 ddP c a força 𝑃 𝑎 atinge o valor máximo. (Taylor, 1948). A comprovação é feita através de deduções de expressões até se atingir uma igualdade de triângulos. Fig.3.14 - Condição de Rebhann: Impulso Ativo (Venkatramaiah, 2003) 3.5.2 CONSTRUÇÃO DE PONCELET Na mesma linha de pensamento que a condição de Rebhann, e usado em concordância com este, há o processo gráfico dado por Poncelet (1840). A construção gráfica de Poncelet, da Fig. 3.15, segue os passos detalhados abaixo: i. Desenhar BD inclinado de ϕ com a horizontal, desde o pé do muro (B) até à superfície do terreno (D); ii. Desenhar BK inclinado de ψ (=α - δ) com BD, a designada linha ψ; iii. Desde A desenhar AE, paralela à linha ψ, até encontrar BD no ponto E; iv. Desenhar um semi-circunferência com o diâmetro BD; v. Desde E lançar uma perpendicular a BD até encontrar a semi-circunferência no ponto F; vi. Considerando B como centro, e BF como raio, desenhar um arco que cruze BD no ponto G; vii. Desde G, desenhar uma paralela à linha ψ para encontrar AD no ponto C;
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 25 viii. Sendo G o centro e GC o raio, desenha-se um raio que corte BD em L; junta-se CL e desenhase também uma perpendicular CM, desde C até LG; A validade da teoria de Poncelet, que, como já referido, implica o raciocínio tido por Rebhann, é comprovada após a construção gráfica descrita e recorrendo à dedução de expressões que advém da própria construção. Fig.3.15 - Construção de Poncelet: Impulso Ativo (Venkatramaiah, 2003) 3.5.3 CONSTRUÇÃO DE CULMANN Mais tarde surge Culmann (1875) com o seu próprio método gráfico que permite determinar a magnitude das pressões de terras e localizar a mais perigosa superfície de rotura de acordo com a Teoria de Coulomb. Comparativamente à construção de Poncelet, este é mais aplicável e é de fato uma versão mais simplificada do método geral da cunha de deslizamento. O processo de construção tem a seguinte sequência (Matos Fernandes, 2011): i. Traça-se a reta horizontal bb’; ii. Desenha-se a reta bg com uma inclinação ϕ’ com a anterior; iii. Com um ângulo de ψ com a reta bg, traça-se a reta bf; iv. Escolhe-se a primeira superfície de deslizamento bc1, calcula-se o peso do solo correspondente e marca-se o ponto d1 sobre a reta bg, de forma que o segmento bd1 represente o peso da cunha abc1; v. Marca-se o segmento e1d1, paralelo a bf, que representa a reação que o paramento tem de exercer para evitar o deslizamento da cunha abc1;
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 26 Fig.3.16 - Construção de Culmann (Matos Fernandes, 2011) Após repetir os mesmos passos para outras cunhas, pode-se traçar a curva – linha de Culmann – que expressa a relação entre a magnitude de P e o ângulo θ. O ponto máximo dessa curva, e, correspondente à maior força de interação é o impulso ativo requerido, Ia. No caso passivo segue-se o mesmo raciocínio, recorrendo a uma construção análoga. 3.5.4. SOLUÇÃO ANALÍTICA Em alternativa aos métodos gráficos atrás descritos, os impulsos segundo a teoria de Coulomb podem ser calculados analiticamente em casos de geometria simples, Sucintamente esta metodologia consiste em determinar o ângulo α ao qual corresponde a superfície crítica de deslizamento. Fig.3.17 - Método de Coulomb (Matos Fernandes, 2011) Fig.3.18 - Polígono de forças (Matos Fernandes, 2011)
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 27 Sabe-se que W depende: Peso especifico do solo, γ; Ângulos que definem a geometria da cunha, α, β e λ; Altura do paramento, h; )h,,,(WW (3.22) Como a única variável desconhecida no estudo de um determinado solo, é o ângulo α, então: )(II (3.23) É com base na expressão anterior que se determina o valor do impulso, tanto ativo como passivo. Apesar das expressões para o cálculo dos impulsos serem as mesmas que as usadas no Método de Rankine, os coeficientes de impulso já diferem, pois são obtidos em função de ϕ’, δ, β e λ: 2 212 2 1 / a ) )cos()cos( )'sin()'sin( ()cos(cos )'(cos K (3.24) 2 212 2 1 / p ) )cos()cos( )'sin()'sin( ()cos(cos )'(cos K (3.25) 3.6. ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE OS MÉTODOS DE RANKINE, CAQUOT – KÉRISEL E COULOMB É essencial proceder-se a uma análise comparativa que auxilie na escolha do método que melhor se ajusta ao caso prático em questão. A seleção é feita com base no valor dos coeficientes de impulso ativo e passivo dados por cada uma das diferentes teorias supracitadas. De seguida, na Tabela 3.1, expõe-se de forma sucinta, mas evidente, as principais caraterísticas de cada um dos métodos e a que casos se adequam, como descrito ao longo do presente capítulo.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 28 Tabela 3.1 - Análise Comparativa dos Métodos de Rankine, Caquot-Kérisel e Coulomb (adaptado de Matos Fernandes, 2011) Método Considerações Vantagens Limitações Rankine Teorema da Região Inferior; Expressões Analíticas; Solução exata no caso de superfície horizontal, paramento vertical e atrito terras-paramento nulo (β=λ=δ=0); Simples e fácil utilização; Apenas se adequa para o caso de β=δ=λ=0; Caquot - Kérisel Teorema da Região Superior; Integração Numérica Soluções pelo lado da segurança; Aconselhável para o cálculo dos coeficientes do impulso passivo; Caso Passivo: Valores dependentes do ângulo δ; Se δ>ϕ’/3, ocorrem erros elevados; Coulomb Teorema da Região Inferior; Superfície de deslizamento é plana; Expressões Analíticas; A estimativa do coeficiente do impulso ativo é aceitável e muito cómoda; Caso Passivo: Valores dependentes do ângulo δ; Se δ>ϕ’/3, ocorrem erros elevados; (Craig, 2005)
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 29 4 CÁLCULO DOS IMPULSOS DE TERRAS ATRAVÉS DE MÉTODOS ANALÍTICOS 4.1. INTRODUÇÃO Um dos objetivos do presente trabalho é compreender o comportamento mecânico do solo em interação com estruturas de suporte de terras, em ambos os estados de equilíbrio limite. Desta forma, antes de avançar para a modelação numérica é exequível proceder ao cálculo analítico que posteriormente sirva como base de comparação. Com os fundamentos teóricos e métodos de cálculo, descritos no capítulo anterior, procede-se à sua aplicação para obtenção dos impulsos de terras e da configuração das superfícies de deslizamento, em cada um dos casos de estudo. A cada caso de estudo é atribuído uma distinta gama de valores para os parâmetros geomecânicos característicos do solo. Os parâmetros destacados são o ângulo de resistência ao corte do solo, (ϕ’) e ao ângulo de resistência da interface solo-paramento (δ). 4.2. APRESENTAÇÃO DO MECANISMO SOLO – ESTRUTURA DE SUPORTE Na Figura 4.1 é ilustrado o paramento estrutural, considerado para o estudo, a sustentar uma massa de solo granular, emerso e com superfície horizontal. As dimensões representadas na Fig.4.1 e em seguida também expostas na Tabela 4.1, partem de casos reais já estudados. Fig.4.1 - Representação das dimensões da estrutura de suporte γ ϕ’
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 30 Os parâmetros atribuídos ao paramento em betão, foram consultados no Eurocódigo 2 (EN 1992 -1-1, 2010), que indica que para um betão de classe 25/30 e não fendilhado, o módulo de Young e coeficiente de Poisson são os dispostos na Tabela 4.1. Tabela 4.1 - Propriedades geométricas e parâmetros de deformação arbitrados para o paramento em betão Propriedades Valor admitido Altura - H [m] 5.0 Espessura - e [m] 0.3 Área – A [m2] 0.3 Módulo de Young - E [GPa] 31 Coeficiente de Poisson - 0.2 EA [kN/m] 9,3E6 EI [kN.m2/m] 7.75E5 No que se refere ao solo, os valores considerados para o seu peso volúmico, γ, e módulo de Young, E, e coeficiente de Poisson, , dizem respeito a um solo granular. Estes dois parâmetros mantêm-se constantes ao longo trabalho, enquanto os restantes apresentados na Tabela 4.3, também alusivos a um solo granular, tomam diferentes valores. Tabela 4.2 - Parâmetros geomecânicos constantes da massa de solo granular Propriedades Valor adotado Peso Volúmico – γ [kN/m3] 20 Módulo de Young – E [kN/m2] 13E3 Coeficiente de Poisson - ν 0.2 Na Tabela 4.3 sintetizam-se os casos de estudo e correspondentes valores atribuídos aos parâmetros geomecânicos. Tal como as propriedades do paramento, também estes parâmetros foram pensados em conformidade com casos reais estudados. Como os dois primeiros, se referem ao solo arenoso com comportamento puramente friccional (caraterizado por ϕ’), o Método de Rankine torna-se mais adequado além de ser o de mais fácil aplicabilidade. Enquanto que nos seguintes casos que têm em consideração a existência de resistência na interface solo–paramento é apropriado o Método de Coulomb, pelos critérios já especificados no capitulo anterior.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 31 Apesar de o coeficiente de Poisson, , ser um parâmetro de deformabilidade em que há interesse em perceber a sua influência no comportamento mecânico do solo, a verdade é que com a aplicação dos métodos de cálculo analítico dos impulsos não é possível ter essa perceção. Apenas na secção dedicada à análise numérica se poderá constatar a relevância deste parâmetro. Os pressupostos assumidos para o estado ativo, são exatamente os que se tem em conta para o estado passivo, considerando-se a mesma variabilidade de parâmetros geomecânicos. Este é um meio de apreender analiticamente de que forma um solo reage, em cada um dos estados de equilíbrio, quando sujeito a idênticas condições. Tabela 4.3 - Casos de estudo e correspondentes parâmetros geomecânicos, experimentados no cálculo dos Impulsos Ativos e Impulsos Passivos Método Caso de Estudo ϕ = ψ [º] γ [kN/m3 ] c [kPa] δ [º] Rankine 1 20 20 - - 2 25 20 - - 3 30 20 - - 4 35 20 - - Coulomb 5 20 20 - 0.1ϕ’ 6 20 20 - ' 3 2 7 20 20 - ’ 8 25 20 - 0.1ϕ’ 9 30 20 - ' 3 2 10 30 20 - 0.1ϕ’ 11 35 20 - 0.1ϕ’ 4.3. CÁLCULO ANALÍTICO DOS IMPULSO ATIVOS E IMPULSOS PASSIVOS 4.3.1. APLICAÇÃO DO MÉTODO DE RANKINE Conforme indica a Tabela 4.3, neste trabalho o Método de Rankine é aplicável aos dois primeiros casos de estudo, em que se considera nula a resistência tangencial entre o solo e o paramento e nula a coesão do próprio solo. Pode-se então definir que esses dois primeiros casos são benéficos para avaliar a influência do ângulo de resistência ao corte do solo, ϕ, no comportamento do solo, visto ser este apenas o parâmetro que o carateriza. 4.3.1.1. Influência do ângulo de resistência ao corte do solo, ϕ’ O material colocado adjacente ao muro tem significativa importância no dimensionamento de muros de suporte, sendo sugerida a conveniência de um material com caraterísticas granulares. Se se apresentar
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 32 um cenário em que o material de aterro exibir essas caraterísticas, deve-se ter em atenção o grau de compactação que lhe é conferido. Pois apesar de a compactação incrementar a compacidade do solo e, deste modo, a resistência ao corte do solo também aumenta as pressões sobre o muro. Pelo que se torna essencial atender ao valor do ângulo correspondente à resistência ao corte do solo (ângulo de atrito) quando se efetivam os cálculos de dimensionamento. (Matos Fernandes, 2011). Com fundamento no atrás exposto, delineou-se o estudo sobre a influência que este parâmetro revela em situações de equilíbrio limite. Deste modo, através da aplicação das equações 3.7 e 3.8, efetiva-se o cálculo dos coeficientes de impulso ativo e passivo, respetivamente para os quatro valores de ângulo de atrito considerados. Com o mesmo procedimento, mas recorrendo às equações 3.13 e 3.14, obtêm-se os valores dos impulsos correspondentes aos dois estados de equilíbrio. Tabela 4.4 - Coeficientes de Impulso e respetivos Impulsos de Terras para um solo puramente atrítico, através do Método de Rankine Casos de estudo Parâmetros Coeficiente de Impulso Passivo, Kp Coeficiente de Impulso Ativo, Ka Impulso Passivo, Ip [kN] Impulso Ativo, Ia [kN] γ [kN] ϕ’ [°] Caso 1 20 20 2,040 0,490 509,900 122,570 Caso 2 20 25 - 0,406 - 101,475 Caso 3 20 30 - 0,333 - 83,333 Caso 4 20 35 - 0,271 - 67,748 Além dos impulsos, com o conhecimento do ângulo de atrito, é também possível antever a configuração das superfícies de escorregamento, que no presente caso, se ilustra nas Fig. 4.2. e Fig.4.3. Ia Fig.4.2 - Configuração das cunhas de deslizamento no Estado Ativo, segundo o Método de Rankine: a) ϕ’ =20º; b) ϕ’ =35º a) b) Ia -Ia -Ia
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 33 As superfícies de deslizamento da Fig.4.2, representativas do estado ativo de equilíbrio limite, apresentam uma configuração plana, de acordo com o referido no capítulo 3. As inclinações das superfícies de deslizamento assinaladas, em cada uma das figuras, correspondem ao ângulo 24 ' , no momento que se mobiliza integralmente a resistência do solo. Note-se que quanto maior o ângulo de resistência a corte do solo, ϕ’, maior a inclinação das superfícies de deslizamento em relação à horizontal e menor o volume de terras em cedência. Em relação ao estado passivo, verifica-se que as superfícies de deslizamento decorrentes da total mobilização da resistência do solo, se inclinam de 24 ' com a horizontal, como retratado nas Fig.4.3 e Fig.4.4. Fig.4.3 - Configuração das cunhas de deslizamento no Estado Passivo, segundo o Método de Rankine, ϕ’ =20º Fig.4.4Configuração das cunhas de deslizamento no Estado Passivo, segundo o Método de Rankine,ϕ’ =35º Quando comparadas as cunhas de deslizamento em ambos os estados constata-se que as do estado passivo envolvem um maior volume de terras que as do estado ativo. Ao contrário do estado ativo, quanto maior o ângulo de resistência ao corte, menor a inclinação das superfícies de deslizamento com a horizontal e por conseguinte maior o volume de terras em cedência.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 40 Para cálculos plásticos, (assim como para cálculos de consolidação e análises dinâmicas), o software apresenta a particularidade de permitir análises com a consideração da atualização da malha deformada, referenciada pelo software como Updated Mesh. Este processo de cálculo baseia-se na abordagem Updated Lagragian para a formulação da Não Linearidade Geométrica. De forma a ter perceção dos efeitos que acarreta este tipo de análise, considera-se interessante incorporar o seu estudo aquando das restantes variáveis do software adiante descritas. 5.1.3.1. Modelo Constitutivo de Mohr – Coulomb A plasticidade está associada com o desenvolvimento de deformações permanentes e irreversíveis que sucedem ao se ultrapassar um limite até ao qual as deformações são elásticas. De modo a avaliar se num cálculo o material entra ou não em plasticidade, geralmente, em programas numéricos introduz-se a designada função de cedência, 𝑓, como uma função de tensão e de deformação. A função de cedência pode ser representada por uma superfície de cedência no espaço das tensões principais e é normalmente estabelecida a seguinte condição 𝑓 = 0, que define a cedência plástica. Um modelo elástico perfeitamente plástico é um modelo constitutivo com uma superfície de cedência contante, isto é, com uma superfície de cedência que é inteiramente definida por parâmetros do modelo e não é afetada pela deformação plástica (Fig.5.3). Para estados de tensão, representados por pontos contidos na superfície de cedência, o comportamento é perfeitamente elástico e as deformações são reversíveis (Brinkgreve, Swofls & Engin, 2010). Fig.5.3 - Modelo elástico perfeitamente plástico representativo do comportamento do solo (adaptado de Wood & Rahim, 2007) A superfície de cedência caraterística do modelo de Mohr Coulomb apresenta uma configuração de um cone hexagonal, como se constata pela fig. 5.4.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 41 Fig.5.4 - Superfície de cedência de Mohr-Coulomb no campo de tensões principais, em solo não coesivo (Brinkgreve, Swofls & Engin, 2010) Os parâmetros expostos na Tabela 5.1 são fundamentais para caraterizar o modelo de Mohr – Coulomb, contudo a modelação do solo não fica completa apenas com introdução dos mesmos, é necessário estabelecer o peso volúmico, γ. Tabela 5.1 - Parâmetros base constituintes do modelo de Mohr – Coulomb Tipo Parâmetro Unidades Deformabilidade Coeficiente de Poisson, - Módulo de Young, E kPa Resistência Coesão, c kPa Ângulo de atrito, ϕ Graus (º) Ângulo de dilatância, ψ Graus (º) O princípio básico da elastoplasticidade assume que as deformações se decompõem numa parte plástica e numa parte elástica: ep (5.1) Onde, ε – deformações totais 𝜀𝑝 – deformações plásticas 𝜀𝑒 – deformações elásticas
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 42 O modelo de Mohr – Coulomb integrado no software segue o critério de rotura definido com o mesmo nome, critério de rutura de Mohr – Coulomb. O mesmo postula, segundo Matos Fernandes (2011), que um material entra em rotura quando “num par de facetas ou planos que passam nesse ponto é atingida uma dada relação entre a componente normal e a componente tangencial de tensão”. Reformulando, a rotura acontece quando o círculo de Mohr correspondente a um estado de tensão de um ponto atinge a envolvente de rotura. Tem-se então 'tan''c ff (5.2) Em que, f - Tensão tangencial de rotura num par de facetas do ponto ou plano de rotura 'c - Coesão efetiva f ' - Tensão normal efetiva no mesmo par de facetas desse ponto ou plano de rotura ' - Ângulo de atrito (efetivo) ou ângulo de resistência ao corte A Fig. 5.5 é representativa das circunferências de Mohr - Coulomb para diferentes estados de tensão e resultantes de três incrementos de deslocamento horizontal sobre uma estrutura que suporta um maciço com coesão, c’ e ângulo de atrito, ' . O deslocamento imposto leva o solo à rotura, que pelo critério de Mohr Coulomb se traduz na interseção da circunferência de Mohr com a envolvente de rotura. Fig.5.5 - Circunferências de Mohr representativas de estados de tensão, desde o repouso até se atingir a rotura, pelo critério de Mohr Coulomb, depois de aplicados três incrementos de deslocamento horizontal sobre o paramento (adaptado de Matos Fernandes, 2006)
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 43 5.1.3.2. Não Linearidade Geométrica (Updated Lagrangian) A Não Linearidade Geométrica, NLG, tem em conta os efeitos devidos a grandes deformações, isto é, considera os efeitos provenientes da mudança de posição da estrutura no espaço. (Silva Pinto & Ramalho, 2002). As equações discretas são, deste modo, formuladas para a configuração final de equilíbrio, a qual se assume como a nova configuração de referência. (Wikiversity, 2016) A matriz de rigidez é também baseada na geometria já deformada. (Brinkgreve, Swofls & Engin, 2010) Deve-se ter em conta este tipo de análise, quando for de esperar que as deformações influenciem significativamente a forma da geometria. É o exemplo das estruturas de suporte de terras, em estudo no presente trabalho, mas também é relevante na análise de cargas de colapso de sapatas largas ou no estudo de projetos que envolvam solos moles. Contudo, na maioria das estruturas de engenharia, em que as deformações são relativamente pequenas, a influência da alteração da geometria da malha tornase irrelevante nas condições de equilíbrio. (Brinkgreve, Swofls & Engin, 2010) Quando considerada esta particularidade, no contexto do funcionamento de um programa de elementos finitos, é necessário algumas considerações especiais, desde incluir termos adicionais na matriz de rigidez da estrutura de forma a modelar os efeitos das grandes deformações estruturais nas equações de elementos finitos, até à integração de um procedimento para modelar as alterações de tensões que surjam devido às deformações ocorridas. Por último, é necessário atualizar a geometria da malha de elementos finitos de acordo com o desenvolvimento dos cálculos. Todavia, na ferramenta de cálculo em uso este passo é feito automaticamente (Brinkgreve, Swofls & Engin, 2010). Se se optar pela análise atendendo à não linearidade geométrica, deve-se estar ciente que serão exigidos cálculos mais prolongados no tempo. Sendo, por este motivo, recomendado que se proceda a um primeiro cálculo convencional, principalmente quando se está perante o estudo de um novo projeto. Apesar dos avanços verificados ao longo dos tempos, continua a não ser possível indicar para que problemas é apropriado optar por uma análise de NLG. Porém, no presente trabalho simulam-se as duas situações, isto é, a consideração ou não da NLG, por forma a apreender quais as implicações inerentes a cada um destes tipos de análise, e qual a sua relevância em termos práticos. 5.2. MODELAÇÃO NUMÉRICA DO ESTADO ATIVO A simulação, no software Plaxis, do estado ativo é análoga às experiências de Terzaghi com a “caixa de areia”. Assume-se, deste modo, tal como nas experiências supracitadas, que a massa de solo está contida numa “caixa” com um dos paramentos articulado na base de forma a simular o comportamento do muro de suporte. Para a mobilização do estado ativo do solo, aplica-se sobre o paramento um deslocamento horizontal, no sentido oposto ao solo suportado, visto este estado ocorrer com o afastamento progressivo do muro de suporte em relação ao solo. Numa primeira fase define-se um modelo base com caraterísticas e propriedades que se mantêm constantes ao longo da procedente análise. Partindo de um caso base e das soluções associadas ao mesmo, torna-se percetível a influência que cada uma das variáveis em causa tem sobre o sistema solo e estrutura de suporte. É também uma forma de realçar os possíveis erros numéricos associados às opções usualmente tomadas por parte do utilizador do software Plaxis. 5.2.1. CARACTERIZAÇÃO DO MODELO BASE
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 44 A geometria empregue contempla uma massa de solo arenoso, com 5x13 m2, e uma placa em betão com 5x0.3 m2, dimensões consideráveis para simular um caso real e baseado em problemas já estudados. A dimensão horizontal estabelecida neste modelo base, foi pensada por forma a assegurar o pleno desenvolvimento da cunha de deslizamento. O comportamento do solo é simulado através do modelo de Mohr Coulomb, descrito na secção 5.1.3.1, enquanto a placa é modelada com comportamento elástico linear definido pelas propriedades sintetizadas na Tabela 4.1, e novamente transcritas na Tabela 5.2. Por se considerar que na direção normal ao plano de estudo o modelo tem comprimento infinito, assume-se que esta é uma análise em estado plano de deformação, que se traduz por deformações e tensões nulas nessa mesma direção. Fig.5.6 - Malha definida para o modelo base, com respetivas condições de fronteira, extraída do software Plaxis 8.0 Atendendo que numa situação real as condições fronteiras solo - estrutura não são desprezáveis, definese no software uma interface, entre os dois elementos, com o intuito de simular essa ligação. Em que o grau de rugosidade da interface é modelado com a atribuição de um valor apropriado para o fator de redução de resistência da interface, Rinter. No entanto, num primeiro cálculo, a interface não é tida em conta, por forma a verificar a influência no comportamento do solo muito próximo do paramento se se considerar a plena ligação entre o solo e o paramento. Os parâmetros necessários para avançar com a modelação, tanto do solo como do paramento, já definidos aquando da aplicação das teorias, no capítulo 4, contudo voltam-se a sintetizar na Tabela 5.2, mas com os valores específicos para o modelo base. O deslocamento de 0,01m imposto, correspondente a 0,2% da altura do paramento, como já mencionado foi baseado nos resultados obtidos nas experiências de Terzaghi, referenciadas no capítulo 3. Por forma a confirmar se ao se impor um deslocamento superior ocorria alguma variação no valor do impulso, repetiu-se o mesmo processo, para um deslocamento de 0,020 m. Verificou-se que os resultados se mantinham e que o equilíbrio ocorria para o deslocamento de 0,01m.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 45 Tabela 5.2 - Parâmetros do solo e propriedades do paramento referentes ao modelo base Solo (Areia) Paramento (Betão) Parâmetros Valor atribuído Parâmetros Valor atribuído E [kN/m2] 13E3 E [kN/m2] 31E6 0,2 e (m) 0,3 γ [kN/m3 ] 20 EA [kN/m] 9,3E6 ϕ [°] 20 EI [kN.m2/m] 7,75E5 ψ [°] 20 W [kN/m/m] 720 c [kN/m2] 0 0,2 Fig.5.7 - Deslocamento imposto ao paramento para simulação do Estado Ativo, dHmax=0,01m No que diz respeito à malha de elementos finitos, esta apresenta um grau de refinamento médio com elementos de 6 nós, resultando assim, numa malha composta por 312 elementos triangulares e 712 nós, como esquematizado na Fig.5.6. Note-se, que apesar de se definir para este primeiro modelo uma malha pouco discretizada, tem-se desde já a perceção que os resultados obtidos, a partir desta, não serão os mais precisos. Outro aspeto ao qual se tem especial atenção ao longo deste capítulo é a tolerância de convergência que se deve atribuir para se obterem soluções fiáveis. Para o caso do modelo base admite -se o valor atribuído por defeito pelo software, uma tolerância de convergência de 0,01. Após estabelecida a geometria do modelo, as condições fronteira, discretização da malha e imposto o deslocamento necessário para atingir o estado de equilíbrio, passa-se à análise dos resultados obtidos, e ao confronto com os valores calculados no capítulo anterior. 5.2.1.1. Resultados Obtidos para o Caso Base Na Fig.5.8 apresenta-se a deformada do solo para o modelo base em estudo, no qual não foi considerada para fins de cálculo a interface entre o solo e o paramento. Denota-se, assim, que solo adjacente ao muro acompanha o movimento do mesmo verificando-se uma sobreelevação do solo, junto ao topo do paramento. Contudo, esta não é uma situação real em casos práticos pois está-se a admitir que a ligação entre os dois elementos não apresenta rugosidade.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 46 Fig. 5.8 - Representação da deformação do solo após a imposição do deslocamento horizontal, no modelo base, sem consideração da interface solo–paramento De modo a comprovar a ideia anterior, os efeitos que se manifestam em considerar ou não interface, no comportamento mecânico do solo, efetiva-se um novo cálculo tendo em conta a dita condição fronteira e atribuindo-lhe um fator Rinter = 0,1, valor mínimo admissível pelo software. A nova deformada da malha que resulta desse modelo, vai em conta com o previsto, o solo revela o comportamento descendente mesmo junto topo do paramento. Fig. 5.9 - Representação da deformação do solo após a imposição do deslocamento horizontal para o modelo com interface definida Quando se considera a interface solo–paramento, verifica-se que o cálculo é mais demorado, comparativamente ao anterior, contudo como se tratam de discretizações fracas e tolerâncias de convergências altas continuam a ser cálculos rápidos, de cerca de 50 segundos. À semelhança do capítulo anterior, e tendo em consideração que é um dos objetos de estudo do presente trabalho, passa-se à análise da cunha rotura. Mediante a zona de maior condensação de pontos plásticos, representados na Fig. 5.10, estima-se e configura-se a superfície de deslizamento. Com a prévia delineação da superfície de deslizamento definida pelo valor teórico, º55220452'4 teórico , (linha verde), verifica-se que a solução numérica, º53 num , não é discrepante.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 47 Fig.5.10 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rotura, referentes ao modelo base, em estado ativo Atente-se que sendo 0,1 o valor mínimo admitido pelo software para o fator Rinter = tan ϕ’interface/tan ϕ’solo, significa que o impulso, resultante das pressões do solo sobre o paramento, atua sobre este com uma inclinação de cerca de 2 em relação à normal, ou seja, o software assume que se mobiliza uma muito pequena parcela de resistência tangencial entre o solo e o paramento. Na Tabela 5.3 indicam-se os resultados obtidos para o modelo base no que diz respeito ao impulso ativo, na sua componente horizontal e coeficiente de impulso ativo. A aplicação do Método de Coulomb tem em consideração o valor atribuído pelo software para o fator de redução de resistência da interface, Rinter, isto é, assume = ϕ’interface 2. Tabela 5.3 - Resultados obtidos pelos métodos tradicionais de Rankine e de Coulomb e pelo método numérico, no Estado Ativo h a I [kN] 2 2 1h I Kh a a % Método de Rankine 122,570 0,490 4,25% Método Numérico 117,718 0,471 1,74% Método de Coulomb 119,769 0,479 Como é visível na Tabela 5.3, os valores numéricos são concordantes com os obtidos através do Método de Coulomb. A discrepância entre os valores dos impulsos obtidos por cada um dos métodos é irrelevante quando comparada com a grandeza destes. No entanto, deve-se salientar que as soluções obtidas apesar de se aparentarem fidedignas podem na verdade não ser as mais precisas, pelo fato de no presente caso se recorrer a uma malha pouco discretizada. Significa assim, que apesar do caminho seguido pelo utilizador do software resultar em soluções sensivelmente próximas das analíticas, não deve ser tomado como único e correto É nesse sentido que os estudos prosseguem, com o intuito de chegar a soluções de confiança e que tendam a convergir para as soluções analíticas.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 48 5.3. ANÁLISE PARAMÉTRICA EM ESTADO ATIVO No capítulo 4, em função dos parâmetros geomecânicos selecionados efetua-se o estudo de distintos casos com recurso aos métodos teóricos lecionados em Engenharia Civil. Como complemento, no presente capítulo, realizam-se as análises para os mesmos casos de estudo, mas agora através do software Plaxis e aos parâmetros geomecânicos elegidos como variáveis de estudo, acresce-se ainda as propriedades deste software que se consideram importantes para o rigor dos resultados. Ou seja, os casos de estudo sintetizados, anteriormente, na Tabela 4.3 são avaliados para malhas de diferentes graus de refinamento e/ou com distintas tolerâncias de convergência. 5.3.1. DESCRIÇÃO DOS CASOS ANALISADOS Na seguinte análise paramétrica o processo de cálculo, pelo método numérico, é o mesmo que o adotado no caso base. Tomam-se as dimensões estipuladas na Fig.5.6, mas variam-se os valores dos parâmetros já analisados no capitulo 4: ângulo de resistência ao corte do solo, (ϕ’), coesão, (c), e resistência da interface solo-paramento (δ). Como já referido, além destes parâmetros são ainda tidas em conta caraterísticas do software associadas à discretização da malha, de forma ao utilizador também poder apreender qual o caminho que leva a melhores soluções em termos de tempo de cálculo e precisão. Com esse fim, a investigação numérica procedente é preconizada para diferentes padrões de malhas, diferentes valores para a tolerância de convergência e para os dois tipos de elementos específicos do software (Tabela 5.4). Uma investigação numérica devidamente conduzida resulta em dados quantitativos detalhados que realçam a influência dos parâmetros geométricos e físicos (Marques, 2015). Tabela 5.4 - Propriedades referentes à discretização da malha de elementos finitos e tolerâncias de erro Propriedades a analisar Refinamento da Malha Pouco Refinada Refinamento Médio Muito Refinada Tipo de Elementos 6 nós 15 nós Tolerância de erro 10-4 10-3 10-2 10-1 Na Tabela 5.5 estão detalhadas as malhas empregues ao longo deste trabalho no estudo dos diferentes casos, especificando-se o número de elementos, nós e pontos de Gauss provenientes de cada uma das combinações.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 49 Tabela 5.5. Número de elementos, nós e pontos de Gauss das malhas empregues no estudo paramétrico Grau de refinamento Elementos de 6 nós Elementos de 15 nós Muito baixo (very coarse) 79 elementos 203 nós 237 pontos de Gauss 79 elementos 720 nós 948 pontos de Gauss Médio (medium) 312 elementos 712 nós 936 pontos de Gauss 312 elementos 2670 nós 3744 pontos de Gauss Muito alto (very fine) 1379 elementos 2937 nós 4137 pontos de Gauss 1379 elementos 11388 nós 16548 pontos de Gauss No conjunto de estudos numéricos de seguida apresentados, com a aplicação de malhas cada vez mais discretizadas, em conjugação com a adoção de valores progressivamente mais apertados para a tolerância de convergência, pretende-se ilustrar a exigência requerida quando se quer que a precisão da simulação dos estados limites últimos seja atingida. Contudo, sendo muito extenso o número de combinações possíveis de analisar, tendo em conta as referidas variáveis, opta-se por uma apresentação faseada, em que numa primeira parte apenas se fazem variar os parâmetros inerentes ao software. No entanto, mesmo as combinações de parâmetros, relativas ao software, possíveis de estudar, são variadas. Desta forma, elegem-se os parâmetros de maior relevância e especificados na Tabela 5.4, além desses, é ainda tida em consideração a influência da não linearidade geométrica. Para cada um dos três tipos de refinamento de malhas indicadas na Tabela 5.5, malha muito pouco refinada, malha mediamente refinada e malha muito refinada divide-se o estudo por elementos de 6 nós ou 15 nós. Atendendo que para cada um desses casos de estudo, ainda se faz dois tipos de análises, uma com a consideração da não linearidade geométrica e outra com a consideração da linearidade geométrica. O seguinte método de estudo consiste, como referido, em partir de condições mais básicas, isto é, malhas menos discretizadas, por forma a visualizar quais as alterações nos resultados quando se opta por condições mais exigentes. Por esta razão, cada caso de estudo é realizado para uma sequência de valores para a tolerância de convergência cada vez mais apertados, de 10-1 a 10-4. Sendo assim, os diferentes cálculos numéricos, que se seguem, e referentes ao estudo das variáveis do software, têm em conta um solo friccional com ângulo de resistência ao corte, ϕ, igual a 30º, e para um ângulo de atrito solo – paramento, δ, igual a 0,1 ϕ’ , mantendo os restantes parâmetros e dimensões do modelo base. Entende-se assim, que o valor teórico de referência para a inclinação da superfície de rutura é dado por 𝛼𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 = 𝜋 4 ⁄+ ∅′ 2 = 45 +30/2 ⁄=60°. Quanto ao valor do impulso ativo tem-se que Ia = Ka h2/2 = (1-sin ϕ’)/(1+sin ϕ’) h2/2 = 1/3 20 25 0,5= 83,33 kN/m. Com as soluções obtidas e de seguida apresentadas, contata-se que para malhas muito pouco refinadas não se podem retirar conclusões decisivas No entanto para elementos de 15 nós, e através de uma análise geometricamente não linear, já de denota que a configuração da cunha de deslizamento é mais percetível.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 56 5.3.3.2. Elementos de 6 nós (análise geometricamente não linear) - AGNL6M Fig.5.16 – AGNL6M - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo Tol=1E-1 dHmax=0,02 m Ia = 84,67 kN/m Tol=1E-2 dHmax=0,02 m Ia = 85,26 kN/m Tol=1E-3 dHmax=0,02 m Ia = 85,26 kN/m Tol=1E-4 dHmax=0,02 m Ia = 85,35 kN/m
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 57 5.3.3.3. Elementos de 15 nós (análise geometricamente linear) – AGL15M Fig.5.17 – AGL15M - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo Tol=1E-1 dHmax=0,02 m Ia = 83,45 kN/m Tol=1E-2 dHmax=0,02 m Ia = 84,12 kN/m Tol=1E-3 dHmax=0,02 m Ia = 84,09 kN/m Tol=1E-4 dHmax=0,024 m Ia = 83,41 kN/m
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 58 5.3.3.4. Elementos de 15 nós (análise geometricamente não linear) – AGNL15M Fig.5.18 – AGNL15M - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo Tol=1E-1 dHmax=0,02 m Ia = 83,44 kN/m Tol=1E-2 dHmax=0,02 m Ia = 84,54 kN/m Tol=1E-3 dHmax=0,02 m Ia = 84,15 kN/m Tol=1E-4 dHmax=0,024 m Ia = 84,00 kN/m
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 59 5.3.4. MALHA MUITO REFINADA (VERY FINE) 5.3.4.1. Elementos de 6 nós (análise geometricamente linear) - AGL6VF Fig.5.19 – AGL6VF - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo Tol=1E-1 dHmax=0,024 m Ia = 84,92 kN/m Tol=1E-2 dHmax=0,024 m Ia = 85,10 kN/m Tol=1E-3 dHmax=0,024 m Ia = 85,15 kN/m Tol=1E-4 dHmax=0,032 m Ia = 84,27 kN/m
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 60 5.3.4.2. Elementos de 6 nós (análise geometricamente não linear) - AGNL6VF Fig.5.20 – AGNL6VF - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo Tol=1E-1 dHmax=0,024 m Ia = 84,75 kN/m Tol=1E-2 dHmax=0,024 m Ia = 85,13 kN/m Tol=1E-3 dHmax=0,024 m Ia = 84,89 kN/m Tol=1E-4 dHmax=0,024 m Ia = 84,89 kN/m
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 61 5.3.4.3. Elementos de 15 nós (análise geometricamente linear) – AGL15VF Fig.5.21 – AGL15VF - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo Tol=1E-1 dHmax=0,024 m Ia = 84,48 kN/m Tol=1E-2 dHmax=0,024 m Ia = 84,49 kN/m Tol=1E-3 dHmax=0,024 m Ia = 84,51 kN/m
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 62 5.3.4.4. Elementos de 15 nós (análise geometricamente não linear) – AGNL15VF Fig.5.22 – AGNL15VF - Zona plastificada e configuração da superfície de rutura em estado ativo Tol=1E-1 dHmax=0,024 m Ia = 84,18 kN/m Tol=1E-2 dHmax=0,024 m Ia = 84,51 kN/m Tol=1E-3 dHmax=0,024 m Ia = 84,55 kN/m Tol=1E-4 dHmax=0,024 m Ia = 84,55 kN/m
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 63 Fig. 5.23 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rutura, referentes à malha de elementos com 6 nós Fig. 5.24 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rutura, referentes à malha de elementos com 15 nós 5.3.5. ELEMENTOS DE 6 NÓS VS ELEMENTOS DE 15 NÓS Como mencionado anteriormente, a modelação por elementos finitos requer a definição, por parte do utilizador, da malha e do tipo de elementos que a compõe. Um maior número de elementos finitos e de ordem de interpolação mais elevada estão associados a uma maior precisão dos resultados. Pode-se obter a mesma precisão para elementos de baixa ordem de interpolação mas recorrendo ao elevado refinamento da malha (Sousa, 2014). No entanto, é difícil estabelecer regras para a definição adequada do número e tipo de elementos necessários para a análise de um problema em particular (Woods & Rahim, 2007). Nos cálculos precedentes pretende-se aferir os elementos apropriados para a obtenção de resultados mais precisos e claros em problemas de estados de equilíbrio limite. Pressupõe-se que com base nos resultados obtidos para cada um dos casos modelados, tendo em conta os diferentes tipos de elementos disponibilizados pela ferramenta de cálculo, elementos de 6 nós ou 15 nós, seja possível retirar ilações desse tipo. Com esse intuito, para dois modelos com mesmas propriedades geomecânicas e geométricas já supracitadas, adota-se, uma tolerância de convergência de 10-2, (tolerância padrão adotada pelo software), e uma malha muito fina, distinguindo-se assim pelo tipo de elementos que compõem a referida malha. Ao equiparar a zona plastificada correspondente a cada um dos modelos em estudo, Fig.5.23 e 5.24, verifica-se que elementos de 15 nós definem com maior clareza a configuração da cunha de rotura. No entanto, um maior refinamento da malha não corresponde necessariamente a uma aproximação da solução analítica, como se constata pelo afastamento das retas representativas da inclinação teórica (linha verde) e numérica (linha azul) da superfície de rotura. No que diz respeito à resultante das pressões instaladas pelo solo no paramento, indicadas na Tabela 5.6, verifica-se que não há grande disparidade dos valores recolhidos pelo método numérico do calculado pelo Método de Coulomb. Uma modelação por meio de elementos de 15 nós dão uma perceção, próxima da real, das cargas a que fica sujeito o paramento em estado ativo. Tol=1E-2 Tol=1E-2
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 64 Tabela 5.6 - Impulsos ativos obtidos pelo Método de Coulomb e pelo Método Numérico para uma malha com elementos de 6 e 15 nós Ih a [kN] Método Numérico Método de Coulomb % Elementos de 6 nós 69,900 71,973 2,88 Elementos de 15 nós 70,970 1,40 Apesar dos tempos registados, e indicados na Fig.5.25, serem muito baixos devido à malha adotada ser pouco exigente, refletem o esperado, que elementos de 15 nós implicam cálculos mais demorados comparativamente aos elementos de 6 nós. Para análises seguintes com tolerâncias de convergência mais estritas, isto é, em análises mais exigentes a diferença entre optar por um estudo por elementos de 6 nós em detrimento de estudo por 15 nós pode ser essencial. Fig.5.25 - Tempo decorrido para cada um dos casos em estudo 5.3.6. INFLUÊNCIA DA CONSIDERAÇÃO DA NÃO LINEARIDADE GEOMÉTRICA (UPDATED LAGRANGIAN) Anteriormente, referiu-se a particularidade do software Plaxis, que permite durante o processo de cálculo atualizar a malha, em função das deformações a que fica sujeita. Este processo de cálculo é baseado na formulação da não linearidade geométrica, (Updated Lagrangian), também já elucidada. Com os conhecimentos assimilados procede-se assim à sua aplicação prática, por meio, da modelação de dois casos para os quais apenas se difere no processo de cálculo. Para os dois modelos, com as caraterísticas geométricas e as propriedades geomecânicas iguais às do modelo em estudo na secção anterior, adota-se uma malha muito fina composta por elementos de 15 nós e uma tolerância de convergência de 10-2. Nas figuras seguintes, Fig.5.26 e Fig.5.27, encontram-se representadas as zonas plastificadas para uma análise com consideração de não linearidade geométrica e para uma análise plástica convencional, respetivamente. Pode-se assim observar e aferir que com a consideração de um cálculo plástico convencional, que na linguagem do software corresponde ao avanço do cálculo sem selecionar a opção Duração do Cálculo e Número de passos (steps) Elemento de 6 nós ≈ 80 seg Step: 84 Elementos de 15 nós Step: 95 ≈ 300 seg
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 65 Updated Mesh., não é possível obter a perceção correta, ou próxima, da configuração da cunha de rotura, Fig.5.27. Fig.5.27 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rotura, referentes à análise plástica convencional No que se refere aos impulsos ativos constata-se, pela observação da Tabela 5.7, que a análise com não linearidade geométrica conduz a valores sensivelmente superiores quando comparados com os obtidos por uma análise plástica convencional, tendendo para a solução analítica. No entanto, a discrepância entre as duas análises é em termos práticos irrelevante, o que permite aferir, se apenas for pretendido obter as pressões a que a estrutura fica sujeita, que não há nenhuma contradição pertinente que impeça a aplicação de qualquer uma das vias. Se às observações anteriores se anexar o registo do tempo dispendido em cada um dos casos, reconhecese assim, que sendo o estudo convencional, (sem atualização da malha deformada), mais rápido, podese tornar vantajoso em muitas situações Fig.5.26 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rutura, referentes à análise com consideração da não linearidade geométrica Tol=1E-2 Tol=1E-2
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 72 a força da interface com a resistência do solo. Pelo que em vez de contar como uma propriedade direta da interface é discriminado em conjunto com os parâmetros do solo. Segue as seguintes relações: soilericRc int (5.3) soileriR'tan'tan int (5.4) Onde, i c é a coesão da interface soil c é a coesão do solo i ' é o ângulo de resistência ao corte da interface soil ' é o ângulo de resistência ao corte do solo Visto se tratar de uma análise com recurso ao software Plaxis, esta vai incidir essencialmente sobre o fator de redução, Rinter. Procede-se assim ao cálculo, com adoção da tolerância de convergência mais precisa, de grandeza 10-4, e uma malha de refinamento muito fino composta por elementos de 15 nós. Note-se que para a aplicação da tolerância nesta ordem de grandeza, teve-se também em atenção as contrariedades atrás deparadas. Para um solo com ϕ’=20º, conduzem-se os estudos fazendo variar o ângulo de atrito solo-paramento, δ, entre os valores de 0º, 0,1 ϕ’ e 2⁄3 ϕ’. Com a análise da Fig.5.36 e Fig. 5.37, representativas da zona plástica, denota-se o que foi vindo a ser referenciado ao longo do trabalho, que a consideração de Rinter=0,1 que se traduz em δ = 0.1ϕ’, dá soluções próximas das obtidas para δ = 0.1 ϕ’. Relativamente à Fig.5.38, que ilustra a zona plástica para δ =2⁄3 ϕ’, denota-se que a superfície de deslizamento apresenta ligeira curvatura, o que vai de encontro com o detalhado nos capítulos 3 e 4. Fig. 5.36 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rotura, para ϕ’=20º e δ = 0 Fig. 5.37 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rotura, para ϕ’=20º e δ = 0.1 ϕ’
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 73 Fig. 5.38 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rotura, para ϕ’=20º e δ =2⁄3 ϕ‘
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 74
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 75 6 MODELAÇÃO NUMÉRICA E ANÁLISE PARAMÉTRICA NO ESTADO PASSIVO 6.1. CONSIDERAÇÕES INICIAS Neste ponto, à semelhança da análise realizada para o estado ativo, apresentada no capítulo anterior, é efetuada a modelação do comportamento mecânico de estruturas de suporte de terras em estado de equilíbrio limite passivo. A análise paramétrica passa também pela exploração do software Plaxis 8.0 e pela consideração de algumas das suas variáveis, tal como no caso ativo, por forma, a obter uma análise comparativa dos estados de equilíbrio limite. No entanto, devido ao fato do comportamento do solo no estado passivo requerer uma maior capacidade de análise por parte do utilizador, bem como, uma maior exigência da ferramenta de cálculo, no presente capítulo, o número de análises é restrito. 6.2. MODELAÇÃO NUMÉRICA DO ESTADO PASSIVO A simulação do estado passivo segue, como para o estado ativo, a analogia com as experiências de Terzaghi da “caixa de areia”. Assume-se, deste modo, tal como nas experiências supracitadas, que a massa de solo está contida numa “caixa” com um dos paramentos articulado na base de forma a simular o comportamento do muro de suporte. Para a mobilização do estado passivo do solo, aplica-se sobre o paramento um deslocamento horizontal, no sentido do solo suportado. Define-se, da mesma forma que para estado ativo, um modelo inicial base com caraterísticas e propriedades que se mantêm constantes ao longo da seguinte análise. 6.2.1. CARATERIZAÇÃO DO MODELO BASE À semelhança do procedimento que se tomou no estado ativo, é também neste estado, modelado um caso base a partir do qual se efetiva um leque de simulações relativas aos parâmetros e caraterísticas selecionadas. Adota-se o mesmo modelo base que no caso ativo, por forma a ter um nível de comparação entre os dois estados de equilíbrio e perceber as diferenças que cada estado apresenta aquando da modelação. Parte-se assim do modelo ilustrado na Figura 5.6, com exatamente as mesmas caraterísticas geométricas e geomecânicas, isto é, para além de definido pelos parâmetros e propriedades detalhadas na Tabela 5.2, também segue as caraterísticas abaixo sintetizadas e já aludidas na secção anterior. Supõese que: É uma análise em Estado Plano de Deformação;
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 76 O solo segue comportamento regido pelo modelo de Mohr – Coulomb; A placa tem comportamento elástico linear; A malha com refinamento médio é composta por elementos de 6 nós: 312 elementos triangulares e 712 nós; O parâmetro Rinter e tomado igual a 0,1; A tolerância de convergência é fixada em 10.-1. Um dos aspetos em que a modelação em estado passivo difere da do estado ativo reside nos deslocamentos impostos no paramento, que neste caso, são aplicados no sentido do solo suportado. Ao contrário do simulado no estado ativo, a grandeza do deslocamento imposto foi atribuída com base nos resultados obtidos pelos ensaios triaxiais de Lambe & Whitman, e tendo conhecimento que para este estado o equilíbrio se atinge para maiores deformações. Aplica-se assim um deslocamento de 0,1 m que corresponde a 2% da altura do paramento. Fig.6.1 - Deslocamento imposto ao paramento para simulação do Estado Passivo (dHmax=0,1m) 6.2.1.1. Resultados Obtidos – Modelo Base Após se correr o cálculo do modelo base em questão, verifica-se que os resultados não são os esperados e que o estado limite último não é atingido. O valor do impulso passivo alcançado pelo software difere em grande escala do dado pelos métodos tradicionais. Além de não ser atingido o valor do impulso previsto, também se verifica, pela Fig.6.2, que o modelo adotado não permite o completo desenvolvimento da zona plastificada. Fig.6.2 - Desenvolvimento da zona plastificada para o modelo base adotado inicialmente
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 77 Com o traçado da curva representativa da força horizontal, Fx, aplicada sobre o paramento em função dos deslocamentos por este sofridos, é possível depreender que o deslocamento imposto de 0,01 não é suficiente para a mobilização do impulso passivo. É de notar que o valor inicial da curva se refere ao impulso de repouso, I0. Fig.6.3 – Curva representativa da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, vs. deslocamento, dH, quando se impõe um deslocamento de 0,01 m Uma das razões que também justifica o término antecipado do cálculo é o fato do modelo não apresentar a geometria exigida em estado passivo. Com o conhecimento teórico detalhado no capítulo 3, acerca do desenvolvimento da cunha de rotura, depreende-se que em estado passivo a zona plastificada é mais extensa que a referente ao estado ativo, em consequência da diminuição do ângulo α, dado neste caso por π/4 – ϕ’/2. Por forma a solucionar esta questão procede-se ao aumento da geometria do modelo, bem como ao aumento do deslocamento prescrito. Depara-se que para um novo modelo 6x19 m2 e ao se impor um deslocamento de 0,700 m, o valor do impulso passivo estabiliza, tal como transparece do gráfico da Fig.6.4. Fig.6.4 – Curva representativa da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, vs. deslocamento, dH, quando se impõe um deslocamento de 0,700 m 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 Fx[kN/m] d [m] 0 100 200 300 400 500 600 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 Fx[kN/m] d [m]
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 78 Definida a geometria do modelo, as condições fronteira e imposto o deslocamento necessário para se atingir o estado de equilíbrio limite, passa-se à análise dos resultados obtidos e ao confronto com os valores calculados pelas teorias clássicas. A deformada do solo, representada na Fig.6.5, referente ao modelo de cálculo em estudo reflete o que seria espectável para o comportamento do mesmo em estado passivo, ou seja, a ocorrência de empolamento à superficie. Fig.6.5 - Representação da deformação do solo após a imposição do deslocamento horizontal, no novo modelo base Quanto à zona plastificada, Fig.6.6, verifica-se que o volume de terras abrangido é superior ao do estado ativo, como já havia sido referido anteriormente. Atendendo que a solução teórica da inclinação da superfície de deslizamento, para um solo com ϕ’ = 20º, é igual a 𝛼𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 = 𝜋 4 − ∅′ 2 ⁄⁄ , ou seja, 𝛼𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 =45 − 20 2 ⁄=35°, (linha verde), denota-se uma ligeira discrepância, de cerca de 9º, para a solução numérica (linha vermelha). Fig.6.6 - Representação da zona plastificada e configuração da superfície de rutura, referentes ao modelo base, em estado passivo Assim como sucede no estado ativo, também neste caso a análise realizada tem em conta o valor mínimo admitido pelo software, para o fator de redução de resistência da interface, Rinter, igual a 0,1. Visto que se trata de um valor reduzido, a sua influência nas soluções pode ser desprezável. No entanto, é importante perceber se o valor admitido, por defeito, pelo programa tem influência na solução numérica quando comparada com as soluções teóricas. Deste modo, a Tabela 6.1 pretende comparar as soluções obtidas pelo Método de Coulomb e Método de Rankine, por forma a inferir a qual dos métodos se aproxima a simulação. Tol=1E-2
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 79 Tabela 6.1 - Resultados obtidos pelos Métodos tradicionais de Rankine e de Coulomb e pelo Método Numérico, no Estado Passivo Ih p [kN] 2 21 h I K h p p % Método de Rankine 509,900 2,040 0,41 Método Numérico 512,000 2,050 4,71 Método de Coulomb 536,160 2,144 Na Tabela 6.1 verifica-se assim que apesar de se considerar que haja atrito entre o solo e o paramento o valor do impulso passivo é muito próximo do teórico, referente ao método de Rankine. No entanto, tratando-se de uma malha pouco discretizada pode não ser correto retirar ilações nesta análise inicial. Até certo ponto, pode-se considerar esta primeira a solução razoável, visto a grandeza da discrepância entre a solução numérica e as soluções teóricas ser irrelevante quando comparada com a própria grandeza dos impulsos. Contudo, os estudos que se seguem pretendem chegar a soluções de maior confiança, com o objetivo de indicar a futuros utilizadores da ferramenta numérica o melhor caminho a seguir em análises relativas ao estado passivo. 6.3. ANÁLISE PARAMÉTRICA EM ESTADO PASSIVO Como mencionado anteriormente, o número de simulações realizadas para o estado passivo é mais restrito por se tratar de análises mais exigentes. Limitam-se assim os estudos apenas ao ângulo de atrito, ϕ’, de 20º. A linha de pensamento tida neste capítulo é a mesma do capítulo anterior, que resumidamente, passa por analisar as particularidades do software e depreender qual o caminho que aproxima as soluções numéricas das teóricas. Pretende-se com este trabalho contribuir para a elaboração de um guia de aplicação do software ao estudo dos estados de equilíbrio limite, com o intuito de indicar ao utilizador o processo mais expedito na obtenção de valores mais fidedignos, neste caso no que ao estado passivo diz respeito. 6.3.1. DESCRIÇÃO DOS CASOS ANALISADOS A análise paramétrica processada ao longo do presente capítulo, através do método numérico, segue em parte o procedimento adotado no caso ativo. No entanto, enquanto que a análise relativa ao estado ativo incluía como variáveis de estudo os parâmetros do solo e do programa, no estado passivo esta centra-se apenas nas diferentes funcionalidades do programa, mantendo os parâmetros do solo constantes durante o processo de cálculo. Assim sendo, toma-se as novas dimensões estipuladas, 6x19 m2, e varia-se caraterísticas específicas do software associadas à discretização da malha, à tolerância de convergência e aos dois tipos de elementos (6 e 15 nós) disponibilizados pelo software (Tabela 5.4).
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 80 Na Tabela 6.2 estão detalhadas as malhas empregues ao longo deste trabalho no estudo dos diferentes casos, especificando-se o número de elementos, nós e pontos de Gauss provenientes de cada uma das combinações. Tabela 6.2. Número de elementos, nós e pontos de Gauss de cada uma das malhas empregues na análise paramétrica referente ao estado passivo Refinamento da malha Elementos de 6 nós Elementos de 15 nós Muito baixo (very coarse) 75 elementos 197 nós 225 pontos de Gauss 75 elementos 692 nós 900 pontos de Gauss Médio (medium) 355 elementos 801 nós 1065 pontos de Gauss 355 elementos 3020 nós 4260 pontos de Gauss Muito alto (very fine) 1370 elementos 2920 nós 4110 pontos de Gauss 1370 elementos 11318 nós 16440 pontos de Gauss Sendo assim, os cálculos numéricos seguintes referem-se ao estudo das variáveis do software, fixando os parâmetros do solo, nomeadamente o ângulo de resistência ao corte, ϕ’, igual a 20º, e o ângulo de atrito solo – paramento, δ, igual a cerca de 0,1ϕ’. Os restantes parâmetros do solo e geometria do modelo apresentam os mesmo valores que no modelo base. Importa ainda salientar que o valor teórico de referência para a inclinação da superfície de rotura é dado por 𝜋 4 − ∅′ 2 ⁄⁄ = 45 − 20 2 ⁄=35°. Adota-se ao longo das seguintes secções uma metodologia de cálculo quee se repete para os diferentes graus de refinamento considerados. 6.3.2 ANÁLISE PARA UMA MALHA POUCO REFINADA (VERY COARSE) A análise do estado passivo inicia-se com recurso a uma malha pouco refinada. A importância deste estudo centra-se na perceção da variabilidade dos resultados comparativamente a malhas com maior discretização. O facto de se tratar de uma malha pouco refinada implica um menor esforço por parte do programa e consequentemente uma maior rapidez na solução encontrada. Assim sendo, no caso dos valores obtidos não serem muito discrepantes comparativamente aos correspondentes a malhas mais refinadas, é vantajoso para o utilizador optar por esta via. 6.3.2.1. Elementos de 6 nós Neste ponto é realizada uma análise para elementos de 6 nós, na qual se avalia a influência da consideração da não linearidade geométrica do solo através da formulação Updated Lagrangian.
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 81 a. Consideração da não Linearidade Geométrica (Updated Lagrangian) Atendendo à possibilidade de limitar os erros induzidos pelo software, importa ainda considerar a análise das diferentes tolerâncias de convergência já aplicadas no estado ativo. Assim sendo, em seguida será exposto o output do programa relativo a cada um dos casos supracitados. Fig.6.7 - Evolução da zona plastificada e configuração da superfície de rotura para uma malha pouco refinada composta por elementos de 6 nós Da análise da evolução da zona plastificada ilustrada na Fig.6.7 constata-se que à medida que se opta por tolerâncias de convergência mais estritas, os valores da inclinação tendem a aumentar e a aproximarTol=1E-1 Tol=1E-2 Tol=1E-3 Tol=1E-4
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 88 Fig.6.15 - Zona plástica correspondente a uma malha pouco refinada composta por elementos de 15 nós e para uma tolerância 10-1 No caso da tolerância de convergência 10-4, ocorre o mesmo erro com o qual se deparou para os elementos de 6 nós, a interrupção do cálculo devido ao antecipado colapso do solo. No entanto, para as restantes tolerâncias as soluções são bastantes convergentes, como se pode observar nas curvas abaixo representadas. Fig.6.16 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, d, para uma malha pouco refinada e considerando linearidade geométrica 6.3.3 ANÁLISE PARA UMA MALHA MÉDIA Atendendo a uma malha de refinamento médio, subdivide-se da mesma forma, a análise em elementos de 6 nós e 15 nós. 6.3.3.1. Elementos de 6 nós a. Consideração da não Linearidade Geométrica (Updated Lagrangian) Pela visualização da evolução da zona plastificada, detalha na Fig.6.13 pode-se constatar que se se optar por tolerâncias de convergência progressivamente mais apertadas os valores do ângulo αnumérico, referentes à inclinação da superfície de deslizamento com a horizontal, tendem a aproximar-se da solução teórica. 0 100 200 300 400 500 600 0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 Fx [kN/m] d [m] 10^-1 10^-2 10^-3
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 89 Repare-se que, apesar das tolerâncias de convergência serem cada mais exigentes, os resultados não apresentam significativa variabilidade. Fig.6.17 - Evolução da zona plastificada e configuração da superfície de rotura para uma malha de refinamento médio, composta por elementos de 6 nós, e com a consideração da não linearidade geométrica A convergência manifestada ao longo desta análise é também confirmada pelo traçado das curvas representadas na Fig.6.18 Tol=1E-1 Tol=1E-2 Tol=1E-3 Tol=1E-4
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 90 Fig.6.18 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, dH, para uma malha de refinamento médio e com a consideração da não linearidade geométrica Pela análise das curvas nota-se a qualidade dos resultados apresentados, no entanto, transcreveram-se para a Tabela 6.5 os valores dos impulsos passivos obtidos para cada uma das tolerâncias. É assim visível que para uma malha de refinamento médio, composta por elementos de 6 nós as soluções apresentadas se revelam de confiança. Com a diminuição da tolerância de convergência a solução aproxima-se da teórica dada pelo Método de Coulomb. Tabela 6.5 - Resultados obtidos pelos Métodos tradicionais de Rankine e de Coulomb e pelo Método Numérico, no Estado Passivo e para uma malha de refinamento médio com elementos de 6 nós Tolerância Ih p [kN] Método Numérico Método de Coulomb Método de Rankine 10 -1 550,420 536,160 509,900 10-2 539,420 10-3 536,160 10-4 537, 680 b. Consideração da Linearidade Geométrica (Updated Lagrangian) Neste presente caso sucede mais uma vez o mesmo que tem vindo a ser referido para análises em que há consideração da lineridade geométrica. O aumento gradual dos deslocamento impostos acarreta da mesma forma o aumento progressivo da força, não se atingindo o colapso do solo. 0 100 200 300 400 500 600 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 Fx [kN/m] d [m] 10^-1 10^-2 10^-3 10^-4
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 91 Fig.6.19 - Zona plástica correspondente a uma malha de refinamento médio, composta por elementos de 15 nós, e para uma tolerância 10-1 Fig.6.20 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, dH, para uma malha de refinamento médio e considerando linearidade geométrica As soluções repetitivas e relativas a este caso de estudo demonstram que para o estado passivo não é exequivel optar por um cálculo com consideração da linearidade geométrica. Visto este estado acarretar incrementos de deslocamentos consideráveis, como se tem vindo a referenciar, para a otimização da modelação numérica e obtenção de soluções precisas é indispensável entrar em linha de conta com a progressiva alteração da geometria da malha no decorrer do cálculo. 6.3.3.2. Elementos de 15 nós a. Consideração da não Linearidade Geométrica (Updated Lagrangian) O fato se manter a malha com o mesmo refinamento mas optar-se por elementos compostos de 15 nós já permite obter uma maior qualidade das soluções, como se pode observar na Fig.6.21. Para a tolerância de 10-4 o valor do ângulo α, diverge em apenas cerca de 5º do valor teórico, αteórico=35º. 0 100 200 300 400 500 600 0,000 0,200 0,400 0,600 0,800 1,000 1,200 Fx [kN/m] d [m] 10^-1 10^-2 10^-3
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 92 De seguida, a Fig.6.22 permite observar a semelhança das curvas força-deslocamanto respeitantes às análises realizadas para as tolerâncias em estudo. A curva correspondente à tolerância 10-1 difere ligeiramente das restantes. No entanto, atendendo à grandeza dos impulsos obtidos a referida diferença pode-se considerar desprezável. Fig.6.21 - Evolução da zona plastificada e configuração da superfície de rotura para uma malha de refinamento médio, composta por elementos de 15 nós, e com a consideração da não linearidade geométrica Tol=1E-1 º27 Tol=1E-2 º27 Tol=1E-3 º28 Tol=1E-4 º30
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 93 Fig.6.22 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, dH, para uma malha de refinamento médio e considerando a não linearidade geométrica Com os valores de pico extraidos de cada uma da curvas estrutura-se a Tabela 6.6, onde se pode verificar maior proximidade da solução teórica. Tabela 6.6 - Resultados obtidos pelos Métodos tradicionais de Rankine e de Coulomb e pelo Método Numérico, no Estado Passivo e para uma malha de refinamento médio com elementos de 15 nós Tolerância Ih p [kN] Método Numérico Método de Coulomb Método de Rankine 10 -1 517,673 536,160 509,900 10-2 536,474 10-3 521,676 10-4 536,600 0 100 200 300 400 500 600 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 0,800 Fx[kN/m] d [m] 10^-1 10^-2 10^-3 10^-4
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 94 b. Consideração da Linearidade Geométrica (Updated Lagrangian) Fig.6.23 - Zona plástica correspondente a uma malha de refinamento médio, composta por elementos de 15 nós, e para uma tolerância 10-1 Fig.6.24 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, dH, para uma malha de refinamento médio e considerando linearidade geométrica 6.3.4 ANÁLISE PARA UMA MALHA MUITO FINA Por último, repete-se mesma metodologia para uma malha muito refinada. Com esta malha espera-se que as soluções sejam de inteira confiança atendendo à exigência de cálculo e ao tempo dispendido. 6.3.2.1. Elementos de 6 nós Os pontos anteriores, específicos da malha pouco refinada e da malha de refinamento médio, subdividem-se num estudo por elementos de 6 nós e por elementos de 15 nós, para os quais ainda se processa uma análise por linearidade geométrica ou pela consideração da não linearidade. No entanto, visto os resultados e as soluções se apresentarem semelhantes para o caso da consideração da não linearidade geométrica, assume-se pesada a apresentação repetitiva das mesmas soluções. Deste modo, para um malha muito fina apenas se analisam as situações para as quais se segue a formulação Updated Langrangian. 0 100 200 300 400 500 600 0,00E+00 2,00E-01 4,00E-01 6,00E-01 8,00E-01 1,00E+00 1,20E+00 Fx[kN/m] d [m] 10^-1 10^-2 10^-3
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 95 a. Consideração da não Linearidade Geométrica (Updated Lagrangian) Apesar da última zona plastificada, representada na Fig.6.25,ser muito dispersa e não ser tão nítida a superfície de deslizamento, note-se que é a solução a mais próximo encontrada no presente estudo. E atendendo à discretização da malha, bem como à tolerância de convergência empregue, pode-se assumir como uma solução fiável. º86,30 10:3 Tol Fig.6.25 - Evolução da zona plastificada e configuração da superfície de rotura para uma malha muito refinada, composta por elementos de 6 nós, e com a consideração da não linearidade geométrica Tol=1E-1 Tol=1E-2 Tol=1E-3 Tol=1E-4
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 96 Fig.6.26 - Curvas representativas da força horizontal aplicada sobre o paramento, Fx, versus deslocamentos, dH, para uma malha muito refinada, composta por elementos de 6 nós e considerando a não linearidade geométrica Quanto aos resultados apresentados na Tabela 6.7, continua-se a constatar que a discrepância entre o valor dos impulsos passivos é no máximo cerca de 10 kN, o que relativamente à grandeza destas forçasse pode considerar aceitável. Tabela 6.7 - Resultados obtidos pelos Métodos tradicionais de Rankine e de Coulomb e pelo Método Numérico, no Estado Passivo e para uma malha muito refinada com elementos de 6 nós Tolerância Ih p [kN] Método Numérico Método de Coulomb Método de Rankine 10 -1 529,000 536,160 509,900 10-2 526,850 10-3 520,350 10-4 530,000 6.3.2.2. Elementos de 15 nós O último estudo refere-se então a malhas mais refinadas, compostas por elementos de 15 nós. Como já foi mencionado ao longo deste trabalho, este tipo de elemento é o mais adequado ao estudo dos estados de equilíbrio limite, devido à nitidez que permite obter na definição da cunha de deslizamento. 0 100 200 300 400 500 600 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700 Fx [kN/m] d [m] 10^-1 10^-2 10^-3 10^-4
Problemas Clássicos de Índole Geotécnica – Estado Ativo e Passivo em Muros de Suporte 97 a. Consideração da não Linearidade Geométrica (Updated Lagrangian) Fig.6.27 - Evolução da zona plastificada e configuração da superfície de rotura para uma malha muito refinada, composta por elementos de 15 nós, e com a consideração da não linearidade geométrica Tol=1E-1 Tol=1E-2 Tol=1E-3 Tol=1E-4