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DEMEGI DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA E GESTÃO INDUSTRIAL ANÁLISE MATEMÁTICA I 1º Ano Mestrados Integrados: Engenharia Mecânica Engenharia Industrial e Gestão Ano lectivo: 2007/2008, Edição revista. Regente da disciplina e autor: Prof. Carlos A. Conceição António
ii PREFÁCIO Este texto pretende ser um pequeno contributo para os estudantes de Análise Matemática do primeiro ano do Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica (MIEM) e do Mestrado Integrado em Engenharia Industrial Gestão (MIEIG) da Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto. O livro tem como objectivo apresentar o conteúdo programático da disciplina de Análise Matemática I focando os aspectos essenciais da matéria leccionada. Para além da exposição teórica apresentam-se exercícios de aplicação no final de cada capítulo. Aconselha-se a leitura complementar da bibliografia indicada na respectiva Ficha da Disciplina. Porto, FEUP, 10 de Setembro de 2007 O autor, Carlos Alberto da Conceição António, Prof. Associado, Agreg.
iii ÍNDICE página A. DIFERENCIAÇÃO EM R 1. Revisão de alguns conceitos e resultados 1 1.1 Conceito de derivada 2 1.2 Interpretação física do conceito de derivada 5 1.3 Derivação de funções compostas (regra da cadeia) 6 1.4 Derivação da função inversa 8 1.5 Teorema dos acréscimos finitos 9 1.6 Aplicações 12 2. Noção de diferencial e regras de cálculo 17 3. Teorema de Cauchy e regra de L’Hôpital 22 4. Aproximação Polinomial 26 4.1 Introdução 27 4.2 Polinómio de Taylor 28 4.3 Fórmula de Taylor com Resto 31 4.4 Aplicações 33 5. Série de Taylor como limite dos polinómios de Taylor 39 6. Séries numéricas 45 6.1 Propriedades das séries 47 6.2 Séries telescópicas 48 6.3 Séries geométricas 48 6.4 Critérios de convergência 49 6.5 Séries alternadas 52
iv ÍNDICE página B. INTEGRAL DE RIEMANN EM R 7. O conceito de Integral definido 55 7.1 Motivação para a noção de integral: o conceito e cálculo de áreas 56 7.2 Definição e construção do Integral de Riemann 60 7.3 Definição de função integrável 61 7.4 Propriedades do integral definido 63 7.5 Integrabilidade das funções monótonas e limitadas 65 7.6 Cálculo do integral definido duma potência e das funções trigonométricas básicas 67 7.7 Aplicações 68 8. Cálculo de áreas e Teoremas do valor médio para integrais 69 8.1 Aplicação do integral definido ao cálculo de áreas 70 8.2 Teorema do valor médio para integrais 74 8.3 Teorema do valor médio ponderado para integrais 75 9. Teoremas Fundamentais do Cálculo 77 9.1 Integral como função do limite superior 78 9.2 Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo 78 9.3 Demonstração do primeiro teorema baseada em argumento geométrico 81 9.4 Definição de Primitiva 82 9.5 Segundo Teorema Fundamental do Cálculo 84 9.6 Aplicações 85 10. Primitivação por substituição e por partes 87 10.1 Método de substituição para integrais 88 10.2 Método de integração por partes 90 11. Cálculo de volumes usando integrais 96 11.1 Caso geral 97
v página 11.2 Sólidos de revolução 100 11.2.1 Método das secções transversais 100 11.2.2 Método das cascas cilíndricas 103 11.3 Aplicações 105 12. Definição de funções e cálculo de áreas usando coordenadas polares 109 12.1 Gráficos de funções em coordenadas polares 110 12.2 Cálculo de áreas usando coordenadas polares 112 12.3 Aplicações 115 13. Outros métodos de primitivação 119 13.1 Primitivação de fracções racionais 120 13.2 Primitivação de expressões racionais trigonométricas 128 13.3 Primitivação de expressões irracionais por substituição trigonométrica 130 13.4 Primitivação usando a substituição universal 132 C. TÓPICOS ADICIONAIS 14. Funções hiperbólicas 134 15. Integrais impróprios 141 15.1 Definição de integral impróprio 142 15.2 Integrais impróprios de primeira e segunda espécie 142 15.3 Aplicações 144 16. Introdução às equações diferenciais de primeira ordem 146 16.1 Equações diferenciais de variáveis separáveis 148 16.2 Equações diferenciais lineares de primeira ordem 149 16.3 Equação de Bernoulli 152
vi BIBLIOGRAFIA: [1] Larson, R., Hostetler, R.P., Edwards, B.H.; “Cálculo”, 8ª Edição, McGraw-Hill Interamericana. ISBN: 85-86804-56-8 (vol.1), 85-86804-82-7 (vol.2). [2] Tom M. Apostol, “Cálculo”, Editora Reverté, Ltd. (editor), Vol.1. [3] Michael Spivak, "Cálculo Infinitesimal", Editora Reverté, S.A. (editor), Vol.1. [4] G.H. Edwards e D.E. Penney, “Calculus with analytic geometry”, Fifth Edition, Prentice Hall, New Jersey, ISBN: 0-13-736331-1
