Elasticidade e forma

FCUP Elasticidade e Forma 2 FCUP Elasticidade e Forma 3 Agradecimentos A todos os que me acompanharam e tornaram possível este trabalho, o meu reconhecimento, em especial ao meu marido. Não posso deixar de destacar e agradecer em especial, à minha orientadora Maria de Fátima Pires de Carvalho, por toda a dedicação, apoio, por ter sido incansável sempre que a ela recorri e sobretudo por ser uma profissional de enorme competência sem a qual este trabalho não teria sido possível. Aos meus filhos Miguel e Sofia FCUP Elasticidade e Forma 4 FCUP Elasticidade e Forma 5 A fábrica do universo é a mais perfeita e reflete o trabalho do mais sábio criador. Nada tem lugar no universo que não obedeça a alguma lei de máximo ou mínimo. Leonhard Euler FCUP Elasticidade e Forma 6 Figura de Methodus inveniendi lineas curvas, de Leonhard Euler. FCUP Elasticidade e Forma 7 Resumo Por sugestão de Daniel Bernoulli, Leonhard Euler investigou qual a forma de um fio quando está sujeito a forças aplicadas aos seus extremos e em equilíbrio. A resposta depende de dois parâmetros que Euler identificou e resume-se a nove tipos de curvas possíveis. No mesmo trabalho, foi obtida uma fórmula que nos permite saber qual o peso máximo que uma coluna, de diâmetro, altura e material especificados, pode suportar sem dobrar. Neste texto, depois de descrever pormenorizadamente as abordagens e conclusões de Euler, aplicamos este estudo a um grupo de árvores dos distritos de Lisboa e Porto. Finalmente, e porque Euler utilizou frequentemente na sua pesquisa tabelas de logaritmos e de raízes quadradas, apresentamos um método da sua autoria para o cálculo de valores aproximados de logaritmos e um algoritmo para determinar aproximações da raiz quadrada de um número dado em forma decimal, processo que há algumas décadas fazia parte do programa de Matemática do oitavo ano de escolaridade. Palavras-chave: Curva elástica; Cálculo Variacional; Equilíbrio; Integral elíptico; Momento; Carga crítica. Summary Challenged by Daniel Bernoulli, Leonhard Euler worked on the problem of finding the curve adopted by a wire in equilibrium when subject to a force applied to its extremes. This study led Euler to a pair of relevant parameters with which he identified all the solutions and classified them into nine types. In the same essay, Euler deduced a formula that allows us to know the maximum weight a column, with fixed dimensions and built with a specified material, can sustain so as not to bend or break. In this dissertation, after describing in detail Euler’s approach and conclusions, we have applied his results to a sample of trees from streets and gardens of Lisbon and Porto. Finally, and given that Euler made frequent use of tables of logarithms and square roots, we have deduced Euler’s method for computing approximations of logarithms and also an algorithm, which was once part of the Mathematics program for eighth year schooling, used for estimating the square root of a number given in decimal form. Keywords: Elastic curve; Variational calculus; Equilibrium; Elliptic integral; Moment; Time critical load. FCUP Elasticidade e Forma 8 FCUP Elasticidade e Forma 9 Índice Introdução ................................................................................................................................... 11 Capítulo I: A curva elástica de Bernoulli-Euler .......................................................................... 15 1.1 Caracterização da curva elástica usando causas finais................................................ 16 1.2 Máximos e mínimos condicionados ............................................................................ 18 1.3 Integrais do tipo ................................................................................... 20 1.4 Exemplo: A braquistócrona ......................................................................................... 24 1.5 Integrais do tipo sob condições iniciais ................................................... 29 1.5.1 Exemplo: Um problema isoperimétrico .............................................................. 30 1.6 Integrais do tipo ............................................................................... 35 1.7 Aplicação: A equação da curva elástica ...................................................................... 38 1.8 A elástica usando causas efetivas ................................................................................ 44 1.9 Parâmetros ................................................................................................................... 48 Capítulo II: As espécies de elástica ............................................................................................. 49 2.1 Escolha do referencial ....................................................................................................... 49 2.2 Considerações gerais sobre a curva solução ...................................................................... 50 2.3 Resolução aproximada da equação ................................................................................... 54 2.4 Classificação das curvas elásticas ..................................................................................... 56 2.5 Aplicação ........................................................................................................................... 68 2.6 Comentário final ................................................................................................................ 69 Capítulo III: Colunas ................................................................................................................... 71 3.1 A robustez das colunas ...................................................................................................... 71 3.2 A robustez das árvores ...................................................................................................... 74 3.3 Contributo dos ramos ........................................................................................................ 77 Capítulo IV: Método de Euler para calcular logaritmos ............................................................. 79 4.1 Logaritmos à mão .............................................................................................................. 79 4.2 Raízes quadradas ............................................................................................................... 83 4.2.1 Justificação do algoritmo ........................................................................................... 85 Bibliografia ................................................................................................................................. 91 FCUP Elasticidade e Forma 16 1.1 Caracterização da curva elástica usando causas finais As duas imagens que se seguem reproduzem duas figuras feitas por Euler. Na que se segue (figura 1.1.1) , Fig.- 1.1.1 a linha que une os pontos e representa uma banda elástica que foi curvada numa direção arbitrária, é um ponto da banda, é o comprimento do arco da banda entre estes dois pontos e é o raio de curvatura da curva no ponto Na figura 1.1.2, a curva foi recolocada de modo que representa o eixo das abcissas com origem em e a curva é o gráfico de uma função definida em . E há um dado adicional: ds, o elemento infinitesimal de comprimento de arco ao longo da curva entre e m. Fig.- 1.1.2 FCUP Elasticidade e Forma 17 Designemos por     e      as coordenadas do ponto ; o ponto é vizinho de e tem coordenadas e ; como é aproximadamente um segmento (ver fig 1.1.4), pelo Teorema de Pitágoras, tem-se . (1.1.3) Fig.- 1.1.4 Sejam ou, equivalentemente, e , isto é, . Fazendo a substituição em (1.1.3), obtemos E portanto, √ . Nesta notação, uma das condições do problema, a de que todas as curvas têm o mesmo comprimento, reescreve-se como ∫ ∫√ . Dada uma curva , gráfico de uma função f, cada um dos seus pontos tem coordenadas ( ) e a curvatura em é dada por ⁄ . Na notação anterior, temos √ . Substituindo na fórmula da curvatura, obtém-se a igualdade . O objetivo de Euler é então o de minimizar o valor do integral ∫ ∫ . FCUP Elasticidade e Forma 18 Seja ; tem-se e, como , uma vez que não depende explicitamente de nem de , , sendo ⁄ ⁄ ⁄. Em resumo, pretende-se o mínimo de ∫ sujeito à condição ∫ ∫√ sendo uma constante estritamente superior à distância entre os extremos da banda. A partir daqui, Euler utiliza cálculo de variações cujo funcionamento depende de um modo expedito de determinar os pontos onde uma função real de uma ou mais variáveis reais, sujeita a um número finito de condições, atinge o máximo ou mínimo global. É o que explicaremos na próxima secção. 1.2 Máximos e mínimos condicionados Recordemos o uso de multiplicadores de Lagrange para calcular o máximo ou mínimo global de uma função real num subconjunto do seu domínio determinado por um número finito de restrições. Consideremos uma função de variáveis e funções de restrição , ..., . Suponhamos que estas funções têm derivadas de primeira ordem contínuas e que, para qualquer ponto do domínio, existe algum para o qual . Se f tiver um extremo local no conjunto onde as condições , ..., são satisfeitas, ele ocorre num ponto onde o gradiente de f é combinação linear dos gradientes das funções . Ou seja, têm de existir números reais , que se dizem multiplicadores de Lagrange, tais que ∑ FCUP Elasticidade e Forma 19 A solução (ou soluções) obtém-se resolvendo este sistema com equações (as equações obtidas pela diferenciação, e as restrições gi = 0) e incógnitas (as coordenadas dos pontos e os multiplicadores de Lagrange). Como se decide se é mínimo ou máximo? É frequente que haja informação adicional que simplifica o processo mas, em geral, depois de conhecidos os pontos críticos, eles são classificados recorrendo-se ao estudo dos sinais dos valores próprios da matriz Hessiana da função. Vejamos um exemplo [B, pag.152]. Suponhamos que, de todos os triângulos retângulos cuja soma dos catetos é igual a 10, queremos encontrar aquele que tem maior área. Sejam e as medidas dos referidos catetos. Então e a área de qualquer triângulo retângulo com catetos dessas dimensões é dada por onde . O problema é assim o de maximizar f no subconjunto de pares do seu domínio que satisfazem a condição , onde . Notese que: (i) Podemos supor que , correspondendo os casos e a triângulos degenerados com área nula. (ii) Desse modo, o subconjunto do domínio de f sob a condição é o conjunto de todos os pontos do segmento de reta de equação , com extremos em (0,10) e (10,0) Trata-se de um conjunto fechado e limitado, portanto a função , que é contínua, atinge nesse conjunto um máximo e um mínimo globais. Como f é não negativa, o valor mínimo global é atingido nos pontos extremos do segmento onde vale 0; e portanto o máximo global é atingido obrigatoriamente num ponto interior ao segmento. Como a função g é polinomial, as suas derivadas parciais de primeira ordem são contínuas; além disso qualquer que seja o ponto . Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, sabemos que, se a função tiver um extremo relativo no conjunto de pares onde é válida a condição , terá de ser uma solução do sistema { FCUP Elasticidade e Forma 20 que é equivalente a { isto é, { cuja solução é { Obtivemos uma única solução, o ponto de coordenadas (5,5 . Logo é aqui que o máximo global tem de ser atingido. O que significa que o triângulo de área máxima é retângulo e isósceles, com catetos que medem 5 unidades. 1.3 Integrais do tipo ∫ Voltemos ao problema de Euler. Trata-se de minimizar uma função do tipo ∫ num conjunto de curvas sujeitas a uma condição isoperimétrica. Comecemos, contudo, por estudar integrais ∫ para entendermos em contexto mais simples o que é o cálculo de variações [F]. Dados dois pontos do plano = e = , consideremos o conjunto de todas as curvas do plano que são gráficos de funções, com extremos nestes dois pontos e comprimento estritamente superior à distância entre e { }. FCUP Elasticidade e Forma 21 Seja a função definida por ∫ . Fig. 1.3.5 Dada uma curva de extremos nos pontos ( ) e e um ponto estacionário (isto é, máximo ou mínimo) do funcional , examinemos o valor do funcional numa curva de . Esta curva pode escrever-se como o gráfico de , sendo uma constante arbitrária, independente de e de , e uma função derivável arbitrária de e independente de . Como estas curvas também passam nos pontos e , podemos concluir que Assim, fixado x e à medida que tende para zero, o valor aproxima-se Suponhamos que, qualquer que seja , as curvas e têm derivadas iguais nos pontos extremos. Esta hipótese implica que . Denotemos, como anteriormente, e admitamos também que tem derivadas parciais contínuas pelo menos até à primeira ordem com respeito a O que se pretende é traduzir a propriedade de a curva ser um ponto crítico do funcional através de uma condição a ser satisfeita por e, ainda, encontrar um modo de decidir se esse ponto crítico é um máximo ou um mínimo. Isso pode conseguir-se através da variável . Consideremos a função que a cada arbitrário associa ( ) ∫ . FCUP Elasticidade e Forma 22 Dizer que é um ponto crítico do funcional é equivalente a afirmar que a derivada de é nula em . Ou seja, que ( ) . Ora, se e designam as derivadas parciais de em ordem à segunda e à terceira variáveis da função , tem-se ( ) (∫ ) ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ . Calculemos o segundo destes dois integrais usando integração por partes: ∫ | ∫ ( ) ( ) ∫ ∫ visto que . Conclui-se então que ( ) ∫ ( ) . Como queremos que este integral seja zero qualquer que seja a função , devemos ter (por estarmos a lidar com funções contínuas, [ ]) (1.3.6) equação que se chama de Euler-Lagrange. No caso particular em que não depende explicitamente de , o integral a minimizar é ∫ e a equação anterior obriga a verificar a equação FCUP Elasticidade e Forma 23 (1.3.7) para alguma constante [Oprea, página 322]. De facto, note-se que e ( ) ( ) logo a equação isto é, ( ) 0 implica que ( ) 0 ou seja, ( ) o que é o mesmo que ( ) . Daqui resulta que . O argumento anterior pode ser invertido para curvas cuja derivada nunca se anula, provando-se que a condição (1.3.6) é equivalente à condição (1.3.7). Note-se que esta equação não chega para decidir a natureza do ponto crítico, isto é, para sabermos se é máximo ou mínimo. Isso pode ser obtido através da análise da segunda derivada do funcional. Uma apresentação completa dessa estratégia pode ser lida na página 102 e seguintes de [F]. FCUP Elasticidade e Forma 24 1.4 Exemplo: A braquistócrona Dado um ponto no plano, com e , pretende-se encontrar uma curva plana que una à origem (ver figura 1.4.8) de tal modo que, se um objeto de massa m se move sem deslizamento nem atrito ao longo da curva, sujeito apenas à força da gravidade, então o tempo gasto para chegar de a seja mínimo. Este é um problema difícil porque a quantidade que queremos minimizar, o tempo de descida para todas as possíveis curvas que unem os dois pontos, depende de toda a curva que, além disso, está a ser descrita à custa de um movimento. Fig.-1.4.8 Convençamo-nos primeiro de que deve existir uma curva que é percorrida no menor tempo possível. Os traços das curvas que ligam os dois pontos que nos interessam, estão contidos no retângulo com vértices , , e . Os bordos destes retângulos são curvas que ligam estes pontos mas, se a única ação é a da força da gravidade, levam um tempo infinito a serem percorridas. Além disso, as curvas que começam em quase horizontais e depois se desviam para baixo, na vertical, têm tempos de descida arbitrariamente grandes. Por outro lado, o segmento de reta que FCUP Elasticidade e Forma 25 une os dois pontos, e que minimiza a distância percorrida, tem um tempo de descida superior ao de um arco de circunferência com extremos nesses pontos. Parece portanto natural procurar uma curva com tempo de descida mínimo, suspeitando-se que o seu traço se situe entre o do segmento de reta e o do arco de circunferência que nos pontos e é tangente às retas vertical e horizontal, respetivamente. Fig.- 1.4.9 Como deve ser o traço de uma curva mais rápida? Observe-se que, se o ponto estivesse na vertical relativamente a , isto é, se fosse 0, a curva com tempo de descida mínimo seria a única que a ação da gravidade permitiria: a linha reta vertical que une os dois pontos. Por isso, quando , esperamos que uma curva de descida mais rápida tenha uma inclinação acentuada no início, perto de , como acontece, por exemplo, com o arco de circunferência a que nos referimos. Isso permite ao objeto acelerar e ganhar tempo relativamente a outras curvas de menor declive, como o segmento de reta que une os dois pontos. Contudo, para a curva terminar em (0,0), tem depois de suavizar a inclinação, sem com isso aumentar a distância (logo o tempo) do percurso, o que o tal arco de circunferência não consegue evitar. É neste ajuste perfeito que está o mérito de uma curva que tenha tempo de descida mínimo. FCUP Elasticidade e Forma 32 ( √ ) ou seja, e portanto ( ) ( ) ou, equivalentemente, ( ) ( ) Daqui resulta que √ . Uma vez que é estritamente decrescente, visto que reduzimos a busca à família de curvas côncavas, mantém o sinal no domínio até se anular. Em cada intervalo em que o sinal é fixo podemos resolver a equação diferencial anterior, que é de primitivação imediata, com uma escolha específica do sinal. Qualquer que seja essa escolha, tem-se √ ) e portanto Trata-se da equação cartesiana FCUP Elasticidade e Forma 33 de um arco da circunferência centrada em ( ) e de raio . Os valores de , e são determinados pelas condições e ∫√  Das equações { isto é { deduzimos que logo e portanto Mas, como sabemos, daí que se tenha .  Assim, a equação do arco de circunferência é onde uma vez que o ponto pertence ao arco.  A condição ∫√ indica que ∫√ ( √ ) ou seja, FCUP Elasticidade e Forma 34 ∫ √ ( ) e portanto ( ) . Fixados e nas condições anteriores, esta igualdade tem uma única solução (que pode contudo ser difícil de determinar explicitamente).  Resta-nos encontrar . Voltemos à equação onde só é desconhecido. Sabendo que o ponto pertence ao arco de circunferência, temos logo √ Na figura 1.5.13 estão representadas as duas circunferências correspondentes a estas duas possibilidades (e √ ). Como foi imposta a condição de a curva procurada ser tal que o seu traço está no semiplano superior do referencial cartesiano, devemos ter √ e a sua equação é ( √ ) sendo o seu centro o ponto de coordenadas ( √ ) e o raio igual a . FCUP Elasticidade e Forma 35 Fig.- 1.5.13 Como a solução encontrada é única, e convencemo-nos de que deve haver um máximo absoluto, este arco de circunferência é a curva procurada. Refira-se, a propósito, que o problema isoperimétrico pode ser resolvido sem recurso ao cálculo variacional (e até com formulação mais geral do que a que considerámos aqui). A prova (de Steiner e Niven, detalhes em [N]) de que a circunferência de perímetro é a curva que engloba maior área entre todas as curvas simples e fechadas de igual perímetro, é de natureza geométrica mas não dispensa uma justificação prévia sobre a existência de uma curva que maximize a área. 1.6 Integrais do tipo ∫ O tratamento deste tipo de integrais, em que depende também de , é semelhante ao utilizado nas secções anteriores. Dados dois pontos do plano A e B , consideramos o conjunto de todas as curvas do plano que são gráficos de funções com extremos nestes dois pontos FCUP Elasticidade e Forma 36 { } e o operador dado por ∫ Como anteriormente, perturbamos a curva dentro da família e procuramos aí os pontos críticos do funcional . Fig.- 1.6.14 Designemos e seja uma perturbação da curva de equação em sendo é uma constante arbitrária independente de e de , é uma função arbitrária de independente de . Como estas curvas também passam nos pontos e , tal que Supomos que as curvas e têm derivadas iguais nos pontos extremos, o que implica que , e tem derivadas parciais contínuas pelo menos até à segunda ordem com respeito a O que se pretende, é encontrar uma condição a ser satisfeita por de modo que o funcional tenha um máximo ou mínimo na curva . Como anteriormente, seja a função que a cada arbitrário associa ( ) ∫ . Queremos que a derivada de seja zero quando . Ora FCUP Elasticidade e Forma 37 ( ) (∫ ) ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ Calculemos o segundo e o terceiro destes três integrais por partes. Comecemos pelo segundo: ∫ | ∫ ∫ ∫ visto que . Quanto ao terceiro, ∫ | ∫ ∫ ∫ já que , e podemos utilizar outra vez integração por partes, obtendo ∫ | ∫ ∫ ∫ Em resumo, FCUP Elasticidade e Forma 38 ( ) ∫ ( ) e o que se pretende é que este integral seja zero qualquer que seja a função . Logo devemos ter [ ] . Voltemos então ao problema inicial: temos um integral ∫ que queremos minimizar, mas sujeito a uma restrição ∫ . Então, da secção 1.2 resulta que uma tal solução se determina resolvendo a equação ( ) para algum multiplicador de Lagrange [Bo,pag. 125]. 1.7 Aplicação: A equação da curva elástica Retornemos ao problema de Euler. Nele tem-se { √ Para que o integral ∫ ∫ seja mínimo, sujeito à condição ∫ ∫√ ), terá que ser satisfeita a condição FCUP Elasticidade e Forma 39 ( ) para algum multiplicador , ou seja, ( √ ) √ √ onde e . Integrando obtemos √ para alguma constante . Ou seja, sabendo que , √ e, como , ( √ ) Integrando, deduzimos que √ para alguma constante . Mais precisamente, uma vez que e ⁄, tem-se √ Resolvendo em ordem a q, podemos escrever ( √ ) logo FCUP Elasticidade e Forma 40 √ √ (*) Neste momento, é necessário impor uma condição adicional às curvas que estamos a estudar: a curvatura não se anula. Uma consequência desta condição, é que então também não se anula e portanto, como se trata de uma função contínua não muda de sinal. Fixemos o sinal positivo, isto é, suponhamos que a solução que procuramos é o gráfico de uma função convexa. Se pelo contrário, mantivermos o sinal negativo, o argumento é análogo e chegaremos à solução (côncava) simétrica desta relativamente ao segmento de reta que une os pontos e . Uma vez que , a equação (*) é √ √ desde que o denominador (ou seja, q) não se anule. Como , a equação anterior reescreve-se √ √ Observe-se que [ √ √ ]= √ √ e, como √ √ , tem-se [ √ √ ]= ou, visto que , FCUP Elasticidade e Forma 41 [ √ √ ]=( ) Consequentemente, √ √ para alguma constante Como a posição do eixo das abcissas foi escolhida de forma arbitrária, podemos sem perda de generalidade tomar Temos agora de resolver esta equação diferencial. Para a simplificar, façamos a seguinte mudança de referencial √ e √ Esta mudança de coordenadas corresponde a uma rotação de ângulo , isto é, ( ) ( )( ) sendo √ e √ . Deste modo, se definirmos , então √ e √ e portanto √ √ Resolvendo esta equação em ordem a , obtemos logo Substituindo esta expressão na equação FCUP Elasticidade e Forma 48 caracteriza a forma que um fio, ligando os dois pontos e sujeito a uma força externa nos extremos que o verga, assume quando está em equilíbrio. Mais uma vez, Euler não prova que, no contexto desta abordagem física, a equação é solúvel. 1.9 Parâmetros Precisamos agora de resolver a equação (1.8.20). A dificuldade em o fazer e a natureza das soluções dependem naturalmente dos parâmetros. Para os fixarmos, convirá que recordemos o seu papel na equação (1.8.21) e na figura 1.8.16. Tem-se:  e , logo      e portanto       , daí que     FCUP Elasticidade e Forma 49 Capítulo II: As espécies de elástica Neste capítulo, vamos verificar como varia com os parâmetros a solução da equação diferencial √ e a elástica que descreve. 2.1 Escolha do referencial Comecemos por efetuar a mudança de variável (recorde-se que é constante não nula) que tem como efeito somar a cada raiz do polinómio metade da soma das duas raízes (que é igual a ) e, desse modo, anular o coeficiente de : ( ) ( ) Com nova mudança de variável e de origem, a equação (2.1.22) transforma-se em √ e, como , reescreve-se √ onde Note-se que, adotando a equação esta forma, se tem agora o coeficiente de igual a 1. No que se segue poderemos atestar outras vantagens destas mudanças. FCUP Elasticidade e Forma 50 2.2 Considerações gerais sobre a curva solução Na figura 2.2.24, de Euler, é a origem do sistema de coordenadas, e definem as direções positivas dos eixos dos e , respetivamente, e é um ponto genérico da curva , que satisfaz a equação (2.1.23). E obriga a que, em particular, os parâmetros e µ sejam tais que √ e (*) pois (cuja abcissa é ) pertence à curva. Recorde-se que estamos a supor que a força externa , de intensidade , atua segundo a direção e sentido do eixo dos , acordado como positivo. Euler imaginou que os pontos e podem ser entendidos como estando ligados por uma linha de modo a ser plausível que uma força oposta a atue em e o fio consiga ficar em equilíbrio. Fig.- 2.2.24 Como no numerador da equação (2.1.23) o coeficiente de é nulo, concluímos que     (veja-se a Secção 1.8) e portanto que a força externa normal a atua no ponto com a direção de Em , a derivada da curva é igual a √ FCUP Elasticidade e Forma 51 expressão que nos dá a tangente ao ângulo que a curva faz com o eixo em . Então, como e é um ângulo de ]0, [, temos . Note-se agora que o ângulo que a curva faz com o eixo no ponto diminui à medida que decresce. Isto é, se a resistência do fio à dobragem diminui, esta é mais acentuada e fica mais próximo do eixo dos Por outras palavras, como a intensidade da força é , se diminui esperamos que o efeito da força aumente. Da equação (2.1.23), que constitui a base do estudo que se segue, conclui-se também que, quando se aproxima de µ, a derivada tende para infinito (na figura 2.2.24, o ponto correspondente à abcissa está assinalado com a letra ; a linha que contém o segmento é tangente à curva e     ). Por outro lado, se e forem substituídos na equação por e , então fica inalterada. Logo a curva é simétrica relativamente a que é um ponto de inflexão uma vez que ( ) e, portanto, a segunda derivada anula-se quando . Isto é, para , a curva consiste no arco Amc que é congruente com mas localizado no lado oposto do eixo dos ; e portanto, na figura 2.2.24 os pontos p, m, c e e são tais que e . Basta por isso analisar a curva para valores positivos de . A equação 2.1.10 permite ainda deduzir que há restrições aos valores de . De facto, equação obriga a que se tenha e, para que este produto seja positivo, devemos ter ou FCUP Elasticidade e Forma 52  e uma conjunção de condições impossível uma vez que, sendo , então é uma soma de dois quadrados, logo é não-negativa; ou  e o que, como (*), significa que apenas a primeira desigualdade é uma restrição aos valores de e, como ela impõe que se tenha , isto é, que e que a curva está contida entre as retas e Vejamos agora em que condições pode a curva ir além do ponto (ou, por simetria, além do ponto c). Consideremos a reta que contém o segmento paralela a (figura 2.2.24), como um eixo (em vez do eixo dos mas com igual orientação) e a origem em . Neste novo referencial, denotemos     e      ; então         e         . Logo , , e . Esta mudança equivale a transferir a origem do referencial para o ponto e inverter o sentido dos eixos. Efetivando esta mudança de variável na equação (2.1.23), obtemos uma nova equação da curva em função das novas coordenadas e : √ Se é suficientemente pequeno, então a equação (2.2.25) é aproximadamente √ isto é, √ FCUP Elasticidade e Forma 53 e portanto √ . O que indica que, na figura 2.2.24, o arco da curva entre os pontos e é idêntico ao que liga e : são ambos arcos da parábola , que é simétrica relativamente a Ou seja, perto de a curva elástica é aproximadamente uma parábola. Por outro lado, se supusermos que está próximo de zero, a equação original (2.1.23) reescreve-se como √ √ logo √ Trata-se da equação de uma reta, o que significa que, perto de a curva é aproximadamente linear. Note-se que, sendo ( um ponto de inflexão, o raio de curvatura neste ponto é infinitamente grande [ ] e a curvatura nula. Recorde-se que, por simetria, se substituirmos por cd (figura 2.2.24) o segmento de reta , assim como a curva cb em vez de , a conclusão á análoga. Assim, toda a curva elástica fica determinada se conhecermos apenas a pequena porção . Podemos resumir estas considerações dizendo que a curva que é solução da equação (2.1.23) é simétrica relativamente às retas cd e Naturalmente, poderíamos agora procurar a solução da equação diferencial com condição inicial . As considerações que fizemos anteriormente mantêm-se válidas, o que significa que o pedaço de curva elástica que analisámos se estende periodicamente a partir de . Note-se, contudo, que esta análise qualitativa só é válida nas hipóteses da figura 2.2.24. FCUP Elasticidade e Forma 54 2.3 Resolução aproximada da equação Apesar de estas considerações serem relevantes, por nos permitirem intuir sobre a forma da curva elástica, o ideal seria obter a solução da equação explicitamente. De facto, se conhecermos a distância     e pudermos integrar a equação √ , determinamos a distância , ou seja, a função . De igual modo, integrando a equação √ que se obtém da anterior usando a igualdade , ficamos a conhecer o valor do comprimento de arco Lamentavelmente não é possível integrar em termos elementares nenhuma destas equações diferenciais na sua forma geral. Para contornar este problema, Euler considerou o desenvolvimento em série de Taylor em torno de zero das funções integrandas, para valores de entre 0 e , o que lhe permitiu obter expressões aproximadas para o comprimento do segmento (que designaremos por     ) e do arco (que se denotará por     ). Analisemos este procedimento em detalhe. Denotemos por a raiz √ Então ∫( ) √ e ∫ √ . O desenvolvimento da função √ é em torno de zero é dado por √ √ ( ) FCUP Elasticidade e Forma 55 para valores de z no intervalo ] √ , √ [, logo √ ∫( ) Como ∫ √ ∫ √ tem-se √ ∫( ) daí que √ ∫( ) √ ∫( ) Integrando termo a termo a série de , obtemos ∫ ∫ √ ( )] ∫ ∫√ ∫ ∫ (√ ) ∫ ∫ (√ ) ∫ ∫ (√ ) etc. Com a ajuda destes integrais podemos então escrever FCUP Elasticidade e Forma 56     √ ( ) (2.3.26) e     √ ( ) (2.3.27) Graças a estas fórmulas, conhecidos os valores de     e de podemos determinar valores aproximados do comprimento     do arco e a constante . Inversamente, dado o comprimento do arco e a constante , é possível calcular aproximações das distâncias e , uma vez que         . 2.4 Classificação das curvas elásticas Variando os parâmetros e µ da equação (2.1.23) √ Euler descreveu os diferentes tipos de curvas elásticas que, à semelhança da classificação de Lineu para os géneros botânicos, designou por espécies. As diferentes espécies de curvas elásticas foram obtidas considerando a amplitude do ângulo (figura 2.2.24) a variar entre e Esse procedimento é equivalente a representar as configurações assumidas pelo fio à medida que a intensidade da força , exercida no ponto , aumenta. FCUP Elasticidade e Forma 57 1ª Espécie Suponhamos que µ é uma constante muito próxima de zero, de tal forma que o quociente é muito pequeno. Então o ângulo na figura 2.2.24 mede aproximadamente 90 visto que é aproximadamente igual a 1. Nestas condições, como não pode ser maior do que  o fio tem uma curvatura pequena, é quase um segmento de reta vertical;  as expressões e são aproximadamente e e a equação (2.1.23) está próxima de √ E portanto, para √ ( ) descreve aproximadamente o arco da curva elástica que contém e se situa entre os pontos e . É o que se representa na figura 2.4.29. Note-se que, neste caso, o arco mede aproximadamente √ (veja-se a igualdade 2.3.27) e, visto que o ângulo é muito pequeno, também o comprimento do arco está próximo deste valor. Logo a força necessária para produzir esta curvatura muito pequena do fio, é aproximadamente igual a FCUP Elasticidade e Forma 64 √ √ que na variável corresponde a √ √ | √ √ | A curva solução é a que se ilustra na Figura que se segue. O traço é obtido como reunião do gráfico da função dada pela expressão acima (que tem concavidade voltada para cima, ou seja, está definida num intervalo onde a segunda derivada de mantém o sinal positivo) com o seu simétrico relativamente ao eixo dos ’s. O ponto é a origem do referencial e     ,      são as coordenadas de um ponto genérico da curva. O traço da curva intersecta o eixo no ponto e no ponto , as soluções da equação Usando tabelas de logaritmos, Euler obteve a aproximação para a abcissa do ponto . Fig.- 2.4.35 8ª Espécie Trata-se agora de estudar o caso em que . Substituindo por , para algum , ou seja, se então a equação (2.1.23) toma a forma FCUP Elasticidade e Forma 65 ∫( ) √ Os valores (positivos) de devem variar (estritamente) entre e , uma vez que têm de verificar a desigualdade e que . Euler conclui experimentalmente que a curva tem a forma da figura 2.4.36. Note-se que as séries (2.3.26) e (2.3.27), que constituem a base da sua investigação, já não são válidas neste contexto pois as séries que as definem divergem. Contudo, os arcos e têm comprimento finito. As curvas solução, obtidas a partir de condições iniciais distintas, unem-se e formam infinitos laços, embora no fio vejamos apenas um número finito deles. Fig.- 2.4.36 9ª Espécie Partindo das curvas de 8ª Espécie, consideremos a situação extrema em que e tendem ambos para infinito mas a sua diferença é finita. Isso corresponde essencialmente a manter a força que atua nos extremos mas a supor que a resistência do fio está a aumentar para valores arbitrariamente grandes. Para encontrar a configuração que, nestas circunstâncias, o fio assume, reescrevamos FCUP Elasticidade e Forma 66 onde . Recorde-se que varia (estritamente) entre e ; por isso, podemos fazer a mudança da origem do referencial de modo que se tenha, para constante, onde . Então, como os termos , e são muito pequenos quando comparados com e, portanto, a equação ∫ ( ) √ é, na nova variável , aproximadamente √ ou seja √ Esta equação tem como solução √ ou seja, por simetria da curva, FCUP Elasticidade e Forma 67 que é a equação cartesiana da circunferência no plano centrada em (0,0) e de raio . O que significa que, neste caso, os extremos do fio unem-se e ele curva-se numa circunferência. Fig.- 2.4.37 A figura que se segue resume as conclusões a que chegámos nesta secção Fig.- 2.4.38 FCUP Elasticidade e Forma 68 2.5 Aplicação Uma vez enumeradas todas as espécies de curvas elásticas, dada uma destas curvas é simples determinar a espécie a que pertence. Imaginemos que um fio elástico está fixo numa parede no ponto e que, no outro extremo (que designamos por ), está apoiado um peso de tal modo que o fio assume a forma (Figura 2.4.39). Fig.- 2.4.39 Consideremos a tangente à curva no ponto . Tal como foi descrito na Secção 2.4, a espécie a que pertence cada curva depende dos diferentes valores que pode tomar o ângulo . Nomeadamente: 1. Se o ângulo for agudo, a curva é de 2ª espécie. 2. Se o ângulo for reto, a curva é de 3ª espécie e portanto uma elástica retangular. 3. Se o ângulo for obtuso mas menor do que aproximadamente , então a curva é de 4ª espécie. 4. Se o ângulo for igual a cerca de , então a curva é de 5ª espécie. 5. Se o ângulo for obtuso mas maior do que aproximadamente , então a curva é de 6ª espécie. FCUP Elasticidade e Forma 69 6. Se o ângulo valer , temos uma curva de 7ª espécie (mas, na prática, esta classe e as seguintes não podem ser obtidas apenas colocando um peso no ponto do fio). 2.6 Comentário final No trabalho de Euler, há duas formas de encarar o problema de determinar uma curva elástica. Ambos conduzem à equação diferencial √ cujas soluções Euler classificou de um ponto de vista meramente matemático sem, contudo, se esquecer da sua interpretação física. Por isso, teve em atenção que a origem do problema é um fio feito de algum tipo de material e, portanto, que a configuração da curva solução da equação diferencial depende desse material e da força que provoca a deformação. Mesmo quando considera que a força tem intensidade infinita e que a curva deixa de ter pontos extremos, Euler parece tão interessado na solução matemática da equação diferencial como na informação que ela dá para o problema real, sobre a deformação do fio. Assim temos uma curva híbrida, visto que é um objeto com identidade física mas, por vezes, apenas com existência matemática. Por outras palavras, ao classificarmos as soluções da equação diferencial, a teoria é independente de qualquer interpretação mecânica. No entanto, as variáveis da equação que foi estudada têm um significado físico: são a intensidade da força exercida sobre o fio e o deslocamento lateral do fio (ou seja, o valor mínimo e máximo que pode ter a abcissa de qualquer ponto da curva). O propósito de Euler, ao classificar as diferentes espécies de curvas elásticas, foi o de as enumerar tal como Newton tinha feito com as curvas algébricas. Porém, Euler foi mais longe: desenvolveu uma teoria matemática que tem uma interpretação física. Por exemplo, as curvas de 1ª espécie são, do ponto de vista dos parâmetros, indistinguíveis das de 2ª espécie, mas do ponto de vista físico é essencial considerá-las separadamente. Como veremos na próxima secção, é a abordagem relativa à elástica de 1ª espécie que permite entender o comportamento de colunas sujeitas a forças de compressão, como uma palmeira sob o peso do seu tronco e da folhagem que o encima. FCUP Elasticidade e Forma 70 FCUP Elasticidade e Forma 71 Capítulo III: Colunas Euler discutiu a estabilidade de uma coluna na secção De vi columnarum (Sobre a força das colunas) da obra De curvis elasticis [Ol, Du]. O problema consiste em determinar a força mínima necessária para deformar uma coluna cilíndrica com uma altura e largura dadas. Trata-se de um exemplo de aplicação à física e à engenharia de um resultado matemático notável e mostra que, na época em que Euler escreveu este tratado, a separação entre a física e a matemática não era tão acentuada como atualmente. 3.1 A robustez das colunas Quando a altura da coluna é muito maior do que o seu diâmetro, este problema é semelhante ao de determinar a força mínima necessária para curvar um fio elástico vertical com comprimento dado. Neste contexto, e tal como nas curvas elásticas, Euler considerou o peso das colunas desprezável. Ora, quando estudámos as curvas de 1ª espécie, utilizámos a expressão (2.4.29)     que define a força mínima necessária para produzir uma ligeira flexão no fio. Recordese que, na Secção 2, eram dois parâmetros, que dependiam do material que constitui o fio e da sua espessura, cujo produto se designa elasticidade absoluta do fio; e que     denota o comprimento de arco da curva . Euler não apresenta uma justificação para esta fórmula; admitimos que se trate de uma lei experimental, deduzida através da comparação de vários tipos de fios. Euler estudou a aplicabilidade desta fórmula a colunas com uma base fixa e com um peso a atuar no outro extremo na direção do eixo da coluna. FCUP Elasticidade e Forma 72 Imaginemos que uma coluna (Figura 3.1.41) de altura sustém um peso que atua segundo a direção vertical, de modo que o extremo da coluna está fixo e a força atua na extremidade livre . Fig.- 3.1.41 Se a coluna for tal que a força não lhe pode provocar um deslizamento, então a coluna poderá manter-se direita, sofrer uma ligeira flexão ou dobrar. Se a coluna tiver estas características é considerada elástica. Apliquemos, como fez Euler, a fórmula (2.4.29) a uma coluna de altura nestas condições. A fórmula (3.1.40) é, neste contexto, (3.1.42) onde designa a altura da coluna. O que nos permite desde já concluir que o peso máximo que uma coluna pode suster sem dobrar é inversamente proporcional ao quadrado do seu comprimento. Qualquer força com intensidade inferior à da fórmula (3.1.42) não conseguirá mover a coluna da sua posição vertical. Por outro lado, se a força for superior a , a coluna será incapaz de resistir a ser dobrada. A fórmula (3.1.42) é utilizada atualmente em engenharia e é conhecida como carga crítica de Euler. À força , da mesma fórmula, passou a chamar-se força crítica FCUP Elasticidade e Forma 73 e: ● Se , a coluna após a aplicação da força, assume a posição de equilíbrio inicial, na vertical. Dizemos então que o sistema é estável. ● Se, pelo contrário, a coluna afasta-se da posição inicial e estabiliza numa nova posição de equilíbrio após ter fletido. O sistema diz-se instável. ● Se a coluna sofre uma flexão pequena, isto é, após a perturbação, quando a coluna volta à sua posição de equilíbrio, está numa posição ligeiramente diferente da vertical. A importância da fórmula (3.1.42) em engenharia justifica-se: ela permite saber quão estável é uma estrutura vertical que suporta uma força axial. Na prática, isto traduz-se em conhecer previamente qual a capacidade que uma coluna tem de suportar determinado peso sem sofrer uma mudança abrupta na sua configuração. A figura que se segue ilustra o que acabou de ser escrito. Fig.- 3.1.43 FCUP Elasticidade e Forma 80 Daqui resulta que, se , , e , então √ uma vez que √ [ ] Ou seja, o logaritmo da média geométrica de dois números é a média aritmética dos seus logaritmos. Exemplifiquemos o método de Euler. Suponhamos que queremos calcular o logaritmo, na base 10, de 5. Observemos que logo, como a função é estritamente crescente, temos isto é, Além disso, a média geométrica de 1 e 10 (que é √ ) tem como logaritmo a média aritmética de e : √ Temos agora dois intervalos, de extremos , e , C respetivamente, e sabemos que está num (e num só) deles: De novo, porque a função logaritmo é estritamente crescente, deduzimos que pelo argumento anterior, se √ , então FCUP Elasticidade e Forma 81 e, como 5 está entre e , Prosseguindo, usando médias geométricas e aritméticas e considerando em cada etapa intervalos mais pequenos, Euler construiu a tabela que se segue. Nela os números surgem com sete dígitos corretos, tal como acontecia com as tabelas de Briggs e Vlacq, e a função logaritmo na base escolhida é representada pela letra . Fig.- 4.1.50 FCUP Elasticidade e Forma 82 Em geral, dados dois reais positivos e , se queremos determinar uma boa aproximação do logaritmo de na base , começamos por situar entre duas potências naturais consecutivas de , digamos e . Isso determina um intervalo de amplitude 1, de extremos e , onde está Ou seja, (ou ) é uma aproximação do valor de ). Para melhorar esta estimativa, consideramos a média geométrica de e , isto é, e determinamos em que intervalo, de extremos e ou e está . Desse modo, situa-se entre e ou e Prosseguindo com este argumento, bissetamos sucessivamente o intervalo onde está obtendo assim aproximações cada vez melhores deste valor. Com a estimativa de , é agora fácil calcular, por exemplo, uma aproximação de . Sigamos Euler: como , tem-se ( ) Com estes dois valores, podemos obter valores aproximados dos logaritmos de 4, 8, 16, 32, 64, etc, qualquer outra potência natural de base dois. Ou dos logaritmos de 20, 40, 80, 25, 50, etc. Exemplifiquemos: 00 e, em geral, para qualquer natural, E, analogamente, FCUP Elasticidade e Forma 83 4.2 Raízes quadradas Para beneficiar do procedimento anterior, Euler precisava de um método expedito para calcular raízes quadradas. Para elas, havia também vastas tabelas de apoio que poderão ter sido obtidas com o método de Heron (que mais tarde Newton generalizou) ou, quem sabe, com o algoritmo que há duas décadas era ainda ensinado no terceiro ciclo do ensino básico, mas que neste momento, não faz parte dos programas de Matemática do ensino básico ou secundário. Recordemo-lo. Suponhamos que pretendíamos calcular, por exemplo, a raiz quadrada de 144. Comecemos por separar este número, da direita para a esquerda, em pares de dígitos, assinalando essa partição com um ponto: Fig.- 4.2.51 FCUP Elasticidade e Forma 84 Obtemos resto zero, o que significa que 144 é um quadrado perfeito, isto é, que √ . Se quisermos calcular a raiz quadrada de um número com mais do que três algarismos basta prosseguir repetindo os passos referidos listados anteriormente. Vejamos um tal exemplo. Trata-se agora de calcular √ . Como indicado, comecemos por dividir o número em grupos de dois dígitos da direita para a esquerda: Fig.- 4.2.52 O que podemos observar na figura 4.2.52, é o resultado de um processo semelhante ao descrito anteriormente para o par 12.45. Prossigamos com o algoritmo que, neste caso, ainda não terminou. Juntemos à direita do último resto o par e continuemos: Fig.- 4.2.53 FCUP Elasticidade e Forma 85 Depois de duplicarmos 35, obtendo 70, procuramos um algarismo de {0,1,…,9} que é colocado na posição azul e tal que o resultado da multiplicação indicada seja menor ou igual a 2032 e o mais próximo possível deste número: Fig.- 4.2.54 Chegamos à conclusão de que 352 é um valor aproximado da √ , com um erro igual a 628. Ou seja, Poderíamos continuar, colocando à direita de 32 uma vírgula e dois zeros, e repetindo o processo utilizado até agora; obtemos desse modo uma aproximação de √ melhor que a anterior. 4.2.1 Justificação do algoritmo Fixemos um número positivo com representação decimal finita de que pretendemos um valor aproximado da raiz quadrada. 1º passo: Dividimos em pares de dígitos da direita para a esquerda antes da vírgula (caso exista), e da esquerda para a direita a partir da vírgula Exemplo: 2º passo: Começando pelo par de algarismos mais à esquerda, que designamos por , determinamos o quadrado mais próximo de e menor ou igual a , digamos . Calculemos FCUP Elasticidade e Forma 86 3º passo: Multiplicamos por 100 e de seguida adicionamos-lhe os dois dígitos seguintes de . Seja o número obtido. 4º passo: Determinamos o maior algarismo { } tal que . Este é o novo dígito da raiz quadrada. Seja 5º passo: Calculamos o resto . Se não for zero, repetimos o procedimento desde o 3º passo usando e em vez de e 6º passo: Acertamos a posição da vírgula. Sigamos num outro exemplo os seis passos anteriores. Fig.- 4.2.55 Relacionando com o que foi enunciado em seis etapas, temos: FCUP Elasticidade e Forma 87 O algoritmo termina e a raiz quadrada de é Verifiquemos agora por que o algoritmo funciona. Façamo-lo num exemplo que ilustra o caso geral: calculemos um valor aproximado de √ . 1º passo: O quadrado menor que 10 e o mais próximo possível de 10 é E portanto, √ para algum número real positivo . Elevando ambos os membros desta igualdade ao quadrado, obtemos ou seja, . Como não conhecemos , procuremos o algarismo de { } tal que e esteja o mais próximo possível de . Ao fim de um número finito de cálculos, verificamos que devemos ter . E é o algarismo das décimas de √ , isto é, √ , uma vez que as condições sobre a escolha de asseguram que √ De facto, e, se { } verifica as desigualdades √ então é o dígito das décimas. Ora, a expressão é equivalente a ou seja, FCUP Elasticidade e Forma 88 [ ] E, portanto, o valor de que escolhemos para cumprir as condições satisfaz também ( ). 2º passo: Gostaríamos de conhecer o número real tal que √ . Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos ou seja, [ ] Como não sabemos quem é , procuremos o algarismo de { } tal que [ ] e esteja o mais próximo possível de [ ] . Depois de verificarmos que o valor de que satisfaz esta exigência é 6 concluímos, pelo modo como foi escolhido, que é o dígito das centésimas de √ , uma vez que √ Ou seja, √ e 6 é o dígito correcto da segunda casa decimal. Caso queiramos um valor aproximado de √ com mais do que duas casas decimais certas, basta repetir a rotina anterior. Apesar de ser mais lento do que o método de Herão ou do que o de Newton ([Y]), este processo tem algumas vantagens: FCUP Elasticidade e Forma 89 1. Trata-se de um cálculo à mão, e por isso um bom exercício de aritmética. 2. Cada dígito que se encontra é o correto de uma das representações decimais da raiz quadrada. 3. O procedimento lembra, no esquema que o representa, a divisão inteira de dois naturais, surgindo o resultado na posição do divisor.