Notas al pie en la Aritmética (1884) de los Coroneles Salinas y Benítez.

ISSN: 2603-9982 Muñoz-Escolano, J.M., Olle -Ma cén, A.M. (2021). No as al pie en la A i mé ica (1884) de los co oneles Salinas y Bení ez. Ma emá icas, Educación y Sociedad, 4(1), 17-33 Recibido: 29/01/2021; Acep ado: 18/02/2021 NOTAS AL PIE EN LA ARITMÉTICA (1884) DE LOS CORONELES SALINAS Y BENÍTEZ José M. Muñoz-Escolano, Uni e sidad de Za agoza An onio M. Olle -Ma cén, Cen o Uni e si a io de la De ensa de Za agoza Resumen Den o de la His o ia de la Educación Ma emá ica, el análisis de lib os de ex o an iguos es una impo an e línea de abajo y el siglo XIX esul a un pe iodo de especial in e és debido a su p oli e ación du an e esa época. El es udio de cie os elemen os de una ob a (p ólogos, no as al pie, e c.) p opo ciona in o mación ele an e pa a los in es igado es. Aquí, abo damos el es udio de las no as al pie de una ob a de Manuel Bení ez y Pa odi e Ignacio Salinas y Angulo, di igida a es udian es de academias mili a es. Se de ec a una mayo p esencia en es a ob a que en o as de la época. Al analiza las po su unción y emá ica, se ap ecia que su unción más común es plan ea dig esiones al discu so p incipal, en muchos casos o eciendo in o mación sob e aspec os e imológicos e his ó icos. Palab as cla e: His o ia de la Educación Ma emá ica, siglo XIX, lib os de ex o, pa a ex os, no as al pie. Foo no es in he A i hme ic (1884) by he Colonels Salinas and Bení ez Abs ac In he ield o His o y o Ma hema ics Educa ion, he analysis o old Ma hema ics ex books is an impo an line o wo k and he 19 h cen u y is a pa icula ly in e es ing pe iod due o i s p oli e a ion du ing ha ime. The s udy o ce ain elemen s o a wo k (p e aces, oo no es, e c.) p o ides ele an in o ma ion o esea che s. He e, we s udy he oo no es om a ex book w i en by Manuel Beni ez y Pa odi and Ignacio Salinas y Angulo add essed o mili a y academy s uden s. We de ec a highe p esence in his book han in o he s om ha ime. A e analyzing hem ega ding hei unc ions and hemes, we see ha hei mo e common ole is o dig ess om he main discou se, o en p o iding in o ma ion abou e ymological and his o ical aspec s. Keywo ds: His o y o Ma hema ics Educa ion, 19 h cen u y, ex books, pa a ex s, oo no es Muñoz-Escolano, J.M. y Olle -Ma cén, A.M. 18 INTRODUCCIÓN Du an e el siglo XIX se desa olla on las p ime as leyes educa i as en España que e mina ían desembocando en la denominada Ley Moyano de 1857 cuyo espí i u se man u o igen e p ác icamen e has a la Ley Gene al de Educación de 1970. También es en el siglo XIX cuando se undan las Escuelas No males (Ca illo Gallego, 2005). Es a p eocupación po la educación se hizo ex ensi a al con ex o de la o mación mili a con la c eación de múl iples cen os de o mación mili a , el diseño y e o ma de dis in os cu ículos y la p omoción de la edacción de lib os de ex o especí icos (Ruiz, 2004). En cuan o a las ma emá icas, el e cio inal del siglo XIX supuso en España “un pe iodo de consolidación y en el que se aco a la dis ancia que has a en onces sepa aba el cul i o de es a ciencia en España de la de o os países a anzados” (Ga cía Cama e o, 1984, p. 126). No es de ex aña , po lo an o, que “el ámbi o en el que se mo ie on los ísicos y ma emá icos españoles de aquella cen u ia ue, con muy pocas excepciones, el de la enseñanza” (Sánchez Ron, 1992, p. 58). En elación con es o, du an e la época se p odujo un g an aumen o en la p oducción de lib os de ex o de ma emá icas, así como una popula ización de los mismos que ha lle ado a que algunos au o es hayan denominado el siglo XIX como el “pe iodo del lib o de enseñanza” (Gómez, 2011, p. 13). En e los múl iples au o es de ex os ma emá icos de la época, Maz (2005) señala la exis encia de un buen núme o de mili a es p o esionales. Po ci a unos pocos, podemos encon a a Miguel O ega y Sala, An onio Te y y Ri as, Juan Mon e o Gabu i, Ci ilo Aleixand e, Manuel Bení ez y Pa odi e Ignacio Salinas y Angulo. Las ob as de odos es os au o es, aunque inicialmen e di igidas a es udian es de academias mili a es, u ie on una g an in luencia y ue on ex ensi amen e u ilizadas ambién ue a de ese ámbi o. El análisis de lib os an iguos de Ma emá icas es una impo an e línea de abajo en el ámbi o de la His o ia de la Educación Ma emá ica en e o os mo i os po que pe mi e con ex ualiza los concep os ma emá icos y conoce di e sos ace camien os (López- Es eban, 2019). Fan, Zhu y Miao (2013) señalan que a ni el in e nacional los es udios más ecuen es son aquellos que se cen an en el análisis del a amien o ecibido po algún con enido y en el caso de la in es igación his ó ica es a endencia pa ece man ene se. Así, a modo de ejemplo, podemos ci a los abajos de González As udillo y Sie a Vázquez (2004) sob e los pun os c í icos de unciones, de Picado (2012) sob e el sis ema mé ico decimal o de Ma a í Zabale a (2019) sob e los núme os complejos. En cualquie caso, aunque un buen núme o de abajos se cen an de o ma p io i a ia en el análisis del con enido ma emá ico (Gómez, 2018), cabe señala que exis en cues iones no di ec amen e ma emá icas que me ece la pena ene en cuen a a la ho a de analiza globalmen e un ex o ma emá ico an iguo. La o iginalidad de la ob a, los p incipios didác icos seguidos po el au o , e c. son aspec os que pe mi en con ex ualiza la ob a, alo a su impo ancia o e alua su posible impac o en la o mación ma emá ica de la época (Maz-Machado & Rico, 2015). Muchos de es os elemen os, además, no se encuen an p esen es en el cue po del ex o, sino que pueden iden i ica se en o os elemen os como los p ólogos, las dedica o ias, las po adas, las no as al pie de página, e c. OBJETIVOS La in es igación que p e endemos abo da su ge en elación a la siguien e p egun a de in es igación: ¿Qué in o mación ele an e desde el pun o de is a de la His o ia de la Educación Ma emá ica es á p esen e en las no as al pie de los lib os de ex o y manuales No as al pie en la A i mé ica (1884) de los co oneles Salinas y Bení ez 19 escola es del siglo XIX? Más en pa icula , el p esen e abajo se conc e a en los siguien es obje i os especí icos: ● Es udia la p esencia de no as al pie en una ob a de con enido elemen al, pe o di igida a es udian es de educación supe io a inales del siglo XIX. ● Analiza el con enido de las no as al pie, de e minando an o sus posibles unciones, como los emas a ados en ellas. MARCO TEÓRICO Con el é mino ‘pa a ex o’ se de inen odos aquellos acompañamien os de un ex o esc i o que hacen que dicho ex o “se con ie a en un lib o” (Gene e, 2001). En la Tabla 1 se p opo ciona un lis ado ela i amen e exhaus i o de posibles pa a ex os. Tabla 1. Posibles pa a ex os de una ob a li e a ia (Gene e, 2001) Pe i ex os del edi o (po ada, po adilla, anexos, e c.) Epig amas Nomb e del au o P e acios Tí ulo In e í ulos P iè e d’insé e No as Dedica o ias (del abajo y del ejempla ) Epi ex os (públicos o p i ados) La p esencia de pa a ex os es especialmen e impo an e y ele an e en ob as de ca ác e li e a io, pe o se encuen an, de hecho, en odo ipo de lib os. De hecho, es posible encon a abajos cen ados en el análisis de pa a ex os de lib os de ex o de ma emá icas. Po ejemplo, Ba bosa (2014) analiza los pa a ex os de aducciones al po ugués de manuales anceses u ilizados en la Real Academia Mili a de Río de Janei o. Po su pa e, And ade y de Souza Fe ei a (2015) ilus an la con ibución que el análisis de los pa a ex os puede hace a la His o ia de la Educación Ma emá ica es udiando en de alle los pa a ex os p esen es la ob a A i hme ica heo ico-p a ica de And é Pe ez y Ma ín. Den o del ámbi o de la His o ia de la Educación Ma emá ica, los p ólogos son los pa a ex os que más a ención han ecibido. Posiblemen e, es o se debe a que los p ólogos apa ecen en p ác icamen e cualquie ex o ma emá ico ya desde la an igüedad (Vi ac, 2008). Además, como Ch is iansen (2017) pone de mani ies o, es posible encon a in e esan e in o mación con ex ual y sob e aspec os didác icos en los p ólogos de ex os dedicados a la enseñanza de las ma emá icas. En es e sen ido, exis en abajos cen ados en di e sas ob as españolas de los siglos XVI y XVIII que mues an que los p ólogos cons i uyen e ec i amen e una unidad de análisis in e esan e pa a iden i ica concepciones y c eencias del au o de la ob a sob e dis in os aspec os de las ma emá icas (Olle -Ma cén & Muñoz-Escolano, 2019; Muñoz-Escolano & Olle -Ma cén, 2020a, 2020b). Al ma gen de los p ólogos, no conocemos apenas abajos cen ados en analiza la p esencia y el con enido de o os pa a ex os conc e os en lib os de ex o o manuales de ma emá icas. Puig (2006), con su análisis del con enido de una no a al pie del T a ado Elemen al de Ma emá icas de Vallejo ya puso de mani ies o que las no as al pie pueden con ene in o mación de in e és desde el pun o de is a de la his o ia de la educación ma emá ica. Olle -Ma cén y Mea illa-Seguí (2018) señalan que las no as al pie e an u ilizadas po algunos au o es pa a apo a in o mación que podía esul a o ma i a o in e esan e pa a el lec o al ma gen del p opio con enido del ex o (sob e aspec os his ó icos, po ejemplo). Recien emen e, y de un modo más sis emá ico, Muñoz-Escolano y Olle -Ma cén (en p ensa) han analizado las no as al pie de algunas ob as del ma emá ico Muñoz-Escolano, J.M. y Olle -Ma cén, A.M. 20 bilbaíno Juan Co áza , obse ando que su p esencia es ela i amen e impo an e en las ob as conside adas y que el uso de las no as al pie po pa e del au o (en cuan o a unciones y emas a ados) pa ece a ia según los des ina a ios obje i os del ex o. Gene e de ine las no as (2001, p. 272) del siguien e modo: Una no a es un enunciado de ex ensión a iable (una palab a es su icien e) ela i o a un segmen o más o menos de e minado del ex o, y dispues o ya sea jun o a ese segmen o o en e e encia a él. El ca ác e siemp e pa cial del ex o de e e encia, y en consecuencia el ca ác e siemp e local de enunciado de la no a, me pa ece el asgo o mal más dis in i o de es e elemen o del pa a ex o, que lo opone al p e acio en e o os. De en e los di e sos ipos exis en es (en unción de elemen os como el emi en e, el des ina a io, la empo alidad, e c.), nos cen amos aquí en las no as más usuales, es deci , en aquellas esc i as po el p opio au o p esen es en ex os de ca ác e discu si o. Gene e (2001) señala que la unción básica de es e ipo de no as es la de se i como un suplemen o, una dig esión o un comen a io. No obs an e, el p opio Gene e especi ica has a ocho unciones posibles pa a las no as: p opo ciona de iniciones o explicaciones de é minos usados en el ex o, apo a aducciones de ci as que apa ecen en el ex o, p opo ciona e e encias de ci as y uen es empleadas, exhibi au o idades o documen os de apoyo o con i ma i os, p ecisa un hecho mencionado de o ma aga o descuidada en el ex o, señala ince idumb es o complejidades que el au o igno ó en el ex o po conside a que no in e esan al lec o o dina io, apo a a gumen os suplemen a ios o an icipaciones a objeciones y, po úl imo, ealiza dig esiones a p opósi o. MÉTODO Pa a alcanza los obje i os indicados an e io men e, ealizamos un es udio de caso de ipo explo a o io (Lune & Be g, 2017). Más en pa icula , abo damos una in es igación de ca ác e documen al (McCulloch, 2004) que se lle a a cabo según las ases clásicas del mé odo de in es igación his ó ico (Ruíz Be io, 1976): heu ís ica, c í ica (in e na y ex e na) y he menéu ica. Es e mé odo se puede pa icula iza de o ma uc í e a en el ámbi o de la His o ia de la Educación Ma emá ica (González As udillo, 2009; Conejo, 2015). La ase heu ís ica consis e en la búsqueda, selección y clasi icación de los documen os ele an es; en la ase c í ica se de e mina la au en icidad de los ci ados documen os y se analizan los mismos y, po úl imo, la ase he menéu ica in oluc a la in e p e ación de los esul ados ob enidos en la ase an e io . El es udio ealizado se cen a en una pa eja de au o es de ex os de a i mé ica de g an in luencia en España du an e los úl imos años del siglo XIX y a lo la go de oda la mi ad del siglo XX, a juzga , en e o os aspec os, po el muy ele ado núme o de eediciones de odas sus ob as (Olle -Ma cén & Mea illa-Seguí, 2018). Se a a del binomio o mado po Ignacio Salinas y Angulo y Manuel Bení ez y Pa odi. Es os au o es, ambos o iciales del Ejé ci o de España, publica on di e sos manuales sob e a i mé ica y álgeb a a inales del siglo XIX que se ían ampliamen e u ilizados, y no solo en el ámbi o mili a , has a muy en ado el siglo XX. En es e abajo nos cen a emos en su p ime a ob a publicada, la A i mé ica (Salinas y Angulo & Bení ez y Pa odi, 1884). Sob e Ignacio Salinas y Angulo no se posee in o mación biog á ica al ma gen de su hoja de se icios y no se le conoce labo pedagógica o p oducción cien í ica más allá de los lib os publicados con Manuel Bení ez y Pa odi. Sob e es e úl imo, sin emba go, se posee mayo in o mación que pone de mani ies o una in ensa ac i idad cien í ica. Cabe señala , po ejemplo, que en 1893 ganó un accési de la Real Academia de Ciencias Exac as, No as al pie en la A i mé ica (1884) de los co oneles Salinas y Bení ez 21 Físicas y Na u ales po la memo ia i ulada Exposición azonada y me ódica de los desa ollos en se ie de las unciones ma emá icas (Oc a io de Toledo, 1912). Además, ue colabo ado de El P og eso Ma emá ico, miemb o de la Real Academia de Ciencias Exac as, Físicas y Na u ales y icep esiden e de la Sociedad Ma emá ica Española (Olle - Ma cén & Mea illa-Seguí, 2018). La A i mé ica de Salinas-Bení ez (Figu a 1) ue elegida como lib o de ex o pa a odas las Academias Mili a es, po Real O den de 28 de junio de 1884, en el concu so celeb ado el 30 de ab il del mismo año po la Di ección Gene al de Ins ucción Mili a (Gace a de Mad id, nº 191, 9 de julio de 1884). Fue además p emiada con medalla de o o en la Exposición Uni e sal de Ba celona celeb ada en 1888. De su éxi o da buena cuen a el g an núme o de eediciones de la ob a. An es de e mina el siglo apa ecie on es nue as ediciones (en 1890, 1895 y 1898) y du an e el siglo XX se siguió eedi ando p o usamen e, siendo la edición más a día de la que enemos no icia la decimono ena, de 1955. El ex o, cuyos con enidos y ex ensión ap oximada se ijaban en las bases del ci ado concu so, se di ide en dos pa es. La p ime a pa e, dedicada aspec os eó icos, se di ide en cua o lib os; mien as que la segunda, dedicada a aplicaciones, se di ide en dos lib os. A con inuación, indicamos el í ulo de cada uno de los seis lib os que componen la ob a, lo que da una idea de los con enidos de cada uno de ellos. Pa a una desc ipción más de allada se puede consul a el abajo de Olle -Ma cén y Mea illa-Seguí (2018). ● Lib o p ime o: Núme os en e os. ● Lib o segundo: F acciones. ● Lib o e ce o: Po encias y aíces. ● Lib o cua o: Núme os inconmensu ables y ap oximados. ● Lib o quin o: Núme os conc e os. ● Lib o sex o: Magni udes p opo cionales. Muñoz-Escolano, J.M. y Olle -Ma cén, A.M. 22 Figu a 1. Po ada del ejempla u ilizado en el abajo (izda.) y decla ación de la ob a como lib o de ex o (dcha.). Fuen e: Elabo ación p opia Pa a es e abajo hemos u ilizado el ejempla de la segunda edición de la ob a que o ma pa e de la colección p i ada del segundo au o (Salinas y Angulo & Bení ez y Pa odi, 1890). Exis e una e sión digi alizada de la cua a edición en la Biblio eca Nacional de España. Una inspección de es as dos ediciones ha pues o de mani ies o que no exis en di e encias sus anciales en e su con enido. Del mismo modo, las no as al pie p esen es en ambas ediciones son las mismas. De odo lo an e io se puede conclui que los c i e ios señalados po Sco (1990) pa a in es igaciones de ipo documen al (au en icidad, c edibilidad, ep esen a i idad y signi icado) se cumplen en es e abajo. Siguiendo la me odología es ablecida en (Muñoz-Escolano & Olle -Ma cén, en p ensa) el análisis que se ha lle ado a cabo es de ipo deduc i o y se ha ealizado en dos ni eles. Una ez iden i icadas odas las no as al pie p esen es en la ob a, en el p ime ni el de análisis se ha asignado a cada no a al menos una de las ocho unciones dis inguidas po Gene e (columna izquie da de la Tabla 2). El segundo ni el de análisis se cen a en los emas a ados en las no as. Además de las ca ego ías señaladas po Maz-Machado y Rico (2015), se ha enido en cuen a que en la ob a analizada “los au o es incluyen algunos in e esan es comen a ios e imológicos e his ó icos en la o ma de no as al pie” (Olle - Ma cén & Mea illa-Seguí, 2018, p. 175). De es e modo, las ca ego ías u ilizadas en es e segundo ni el de análisis son las que se p esen an en la columna de echa de la Tabla 2. No as al pie en la A i mé ica (1884) de los co oneles Salinas y Bení ez 23 Tabla 2. Ca ego ías pa a en las dos ases del análisis Funciones Temas F1 – De ini o explica é minos. T1 – Ac ualización. F2 – T aduci agmen os del ex o. T2 – O iginalidad. F3 – Menciona e e encias o uen es. T3 – Rigo y p ecisión. F4 – Exhibi au o idades y/o documen os de apoyo. T4 – In e és social de las ma emá icas. F5 – P ecisa a i maciones o enunciados. T5 – P incipios ilosó icos. F6 – Señala complejidades igno adas en el ex o. T6 – P incipios didác icos F7 – Apo a a gumen os suplemen a ios o an icipa objeciones. T7 – Aspec os e imológicos F8 – Realiza dig esiones. T8 – Aspec os his ó icos Pa a mejo a la iabilidad de las in e p e aciones ealizadas y aumen a la legi imación del es udio en el sen ido de Onwuegbuzie y Leech (2007) se ha seguido una es a egia de iangulación de in es igado es (Flick, 2004) en las dos ases del análisis. De es e modo, cada uno de los in es igado es implicados en el es udio asigna on independien emen e ca ego ías a cada no a y, en los casos de disc epancia, es as se asigna on inalmen e as un p oceso ansaccional. RESULTADOS Y DISCUSIÓN P esencia y densidad de no as En p ime luga , p esen amos un esumen sob e el núme o de no as al pie iden i icadas en cada una de los seis lib os en los que se di ide la ob a analizada (Tabla 3). Tabla 3. No as al pie en las dis in as pa es de la ob a analizada No as al pie Páginas Densidad Lib o p ime o 41 82 0,50 Lib o segundo 35 51 0,69 Lib o e ce o 15 40 0,38 Lib o cua o 42 48 0,88 Lib o quin o 19 25 0,76 Lib o sex o 50 36 1,39 TOTAL 202 282 0,72 Como podemos obse a , en é minos absolu os las no as son especialmen e abundan es (po o den) en los Lib os sex o, p ime o, cua o y segundo. En é minos ela i os, los Lib os e ce o y p ime o p esen an una densidad de no as al pie cla amen e po debajo de la global, mien as que el Lib o sex o mues a una densidad de no as al pie que p ác icamen e duplica la densidad global de la ob a. La densidad de no as en es a ob a es mucho mayo que la de ec ada en algunas de las ob as de o o impo an e au o de la época, Juan Co áza (Muñoz-Escolano & Olle - Ma cén, en p ensa). Olle -Ma cén y Mea illa-Seguí (2018) señalan que la A i mé ica de Salinas y Bení ez abo da con enidos que aba can y ex ienden los de la Educación Secunda ia de la época. De es e modo, si compa amos la densidad de no as de la A i mé ica con la de ob as de Co áza di igidas a un público simila , emos que llegan a mul iplica la po 7. Quizás una posible explicación pueda encon a se en que la A i mé ica se di igía especí icamen e a un ámbi o mili a . Pa a pone a p ueba es a hipó esis pod ía se in e esan e analiza las no as al pie de la adap ación de la ob a que hicie on los au o es en 1887, di igida a la Escuela P epa a o ia de Ingenie os y A qui ec os; así como analiza más ob as publicadas en España du an e la época en el ámbi o del Ejé ci o (Velamazán, 1994) o de la A mada (Comas Roque a, 2015). Muñoz-Escolano, J.M. y Olle -Ma cén, A.M. 24 Funciones de las no as En cuan o a las unciones de las no as al pie iden i icadas en la ob a, es as se ecogen en la Tabla 4. Des aca la escasez de las no as co espondien es a F2 y la ausencia o al de las ela i as a F4. La ausencia de es as úl imas se puede explica quizás po a a se de una ob a ma emá ica que p obablemen e no equie e de a gumen os de au o idad. Tabla 4. F ecuencia de las unciones de las no as p esen es en las dis in as pa es de la ob a F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 Lib o p ime o 17 1 16 0 3 7 3 26 Lib o segundo 11 4 2 0 10 14 5 10 Lib o e ce o 1 0 1 0 4 6 1 5 Lib o cua o 6 2 3 0 25 13 7 2 Lib o quin o 3 1 0 0 4 3 1 12 Lib o sex o 17 1 1 0 7 15 9 9 TOTAL 55 9 23 0 53 58 26 64 Den o de la inalidad F2, que Gene e de ine como “ aduci agmen os de ex o”, ubicamos aquellas no as al pie dedicadas a acla a aspec os no acionales y de simbolismo u ilizados en el ex o. En la Figu a 2 damos un ejemplo. La escasez de es as no as se debe, p obablemen e, a la ela i a ausencia de lenguaje simbólico especializado en una ob a de con enido a i mé ico. Figu a 2. No a al pie co espondien e a F2 (Salinas y Angulo & Bení ez y Pa odi, 1890, p. 186) Como se obse a, las no as al pie se plan ean mayo i a iamen e con el obje i o de ealiza dig esiones (F8). Como e emos más adelan e cuando se p esen en los esul ados po emá ica, es a unción suele ealiza se habi ualmen e pa a abo da aspec os de la e imología del nomb e de un concep o ma emá ico p esen ado en el ex o o pa a señala alguna no a sob e el o igen his ó ico de un concep o ma emá ico. Po es os mo i os, es a unción como dig esión de las no as al pie suele apa ece acompañada de o as unciones como la de de ini y p ecisa é minos (F1) o la de menciona o exhibi uen es (F3). En consecuencia, las dig esiones es án p esen es mayo i a iamen e en los Lib os I, II y V, que son p incipalmen e aquellos en los que se in oducen po p ime a ez concep os ma emá icos más básicos, suscep ibles de apun es his ó icos o e imológicos. Figu a 3. No a al pie co espondien e a F8 (Salinas y Angulo & Bení ez y Pa odi, 1890, p. 229) La abundan e p esencia de la unción F8 ( e un ejemplo en la Figu a 3) en es e lib o ma ca una nue a di e encia con los esul ados ob enidos a pa i del análisis de las no as No as al pie en la A i mé ica (1884) de los co oneles Salinas y Bení ez 25 p esen es en di e en es ob as de Co áza (Muñoz-Escolano y Olle -Ma cén, en p ensa). Es o pone de mani ies o una cla a di e encia en e el es ilo exposi i o de los dis in os au o es. Además de la unción de dig esión, son ambién bas an e abundan es las elacionadas con las unciones F1 (de ini y p ecisa é minos), F5 (p ecisa a i maciones o enunciados) y F6 (señala complejidades igno adas en el ex o). La p esencia de la unción F1 ( e Figu a 4) es especialmen e habi ual en los dos p ime os lib os, cuando se in oducen é minos o concep os, y nue amen e en el Lib o VI de p opo cionalidad. En ellas se p ecisan aspec os de una de inición de un concep o que no ha quedado e lejadas en el ex o. Figu a 4. No a al pie co espondien e a F1 (Salinas y Angulo & Bení ez y Pa odi, 1890, p. 85) Po su pa e, las unciones F5 y F6 es án especialmen e p esen es en el Lib o IV, que es el que abo da un con enido ma emá ico de ca ác e más abs ac o y complejo. De hecho, como sucede en la Figu a 5, es ela i amen e común encon a no as que se co esponden con ambas unciones. Figu a 5. No a al pie co espondien e a F5 y F6 (Salinas y Angulo & Bení ez y Pa odi, 1890, p. 209) Po úl imo, las unciones menos habi uales, al ma gen de las ya comen adas F2 y F4, son F3 y F7. Gene e de ine la unción F7 como “apo a a gumen os suplemen a ios o an icipa objeciones” ( e Figu a 6). En es a unción, podemos clasi ica ambién algunas no as en las que se a isa o indica al lec o que un esul ado o un é mino pudie a apa ece o posee o o uso en o o pun o de la ob a. Figu a 6. No a al pie co espondien e a F7 (Salinas y Angulo & Bení ez y Pa odi, 1890, p. 265) La unción F3, de la que ya hemos hablado, es escasa en é minos absolu os en la ob a comple a, pe o es muy abundan e en el Lib o I. Su p esencia ma ca una cla a dis inción en el modo en que los au o es abo dan el a amien o de las uen es. Mien as que Salinas y Bení ez incluyen e e encias incluso en el cue po de la ob a (Olle -Ma cén & Mea illa- Seguí, 2018), en Co áza , la mención explíci a a uen es es á p ác icamen e ausen e (León Man e o, 2017). Sob e es e asun o ol e emos más adelan e. Muñoz-Escolano, J.M. y Olle -Ma cén, A.M. 32 doc o al inédi a. G anada: Uni e sidad de G anada. Maz-Machado, A., & Rico, L. (2015). P incipios didác icos en ex os españoles de ma emá icas en los siglos XVIII y XIX. Re is a La inoame icana de In es igación en Ma emá ica Educa i a, 18(1), 49-76. McCulloch, G. (2004). Documen a y esea ch in educa ion, his o y, and he social sciences. New Yo k: Rou ledge/Falme . 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