Algunos ejemplos de reflexiones sobre la docencia extraídos de textos matemáticos antiguos

Sociedad Cana ia Isaac New on de P o eso es de Ma emá icas h p://www.sinew on.o g/nume os ISSN: 1887-1984 Volumen 100, mayo de 2019, páginas 171-174 Algunos ejemplos de e lexiones sob e la docencia ex aídos de ex os ma emá icos an iguos An onio M. Olle -Ma cén (Cen o Uni e si a io de la De ensa de Za agoza. España) 1. In oducción Que las ma emá icas o man pa e insepa able de cualquie cul u a humana (Bishop, 1991) es ac ualmen e una idea ela i amen e acep ada. Es e hecho pa ece queda apun alado po la exis encia de obje os, como el Hueso de Lebombo o el Hueso de Ishango, que mues an que en iempos muy an iguos ya se lle aban a cabo acciones que implicaban una cie a ac i idad ma emá ica (Figu a 1). Figu a 1. Análisis de las muescas del Hueso de Ishango. Fuen e: Real Ins i u o Belga de Ciencias Na u ales Si bien el concep o de cul u a esul a di ícil de de ini de mane a p ecisa y uní oca (K oebe y Kluckhohn, 1952), la enseñanza y la educación juegan un papel c ucial en su ansmisión (Siegel, 1996). Así pues, como pa a cualquie elemen o cul u al de una sociedad, la necesidad de enseña ma emá icas debió apa ece de o ma muy emp ana. De hecho, el Papi o de Rhind (Chace, 1979) puede e se en cie o modo como el documen o dedicado explíci amen e a la enseñanza de las ma emá icas más an iguo que se conse a. El p opio esc iba Ahmes pone de mani ies o la in ención didác ica del ex o al desc ibi la ob a que copia como “la en ada al conocimien o de odas las cosas que exis en” (Chace, 1979, p. 27). Desde el mismo momen o en que se da una si uación de enseñanza y ap endizaje, apa ece necesa iamen e la necesidad de aquel que enseña de e lexiona sob e aspec os ales como la selección y secuenciación de con enidos, las di icul ades de los po enciales alumnos, los posibles modos de sol en a es as di icul ades, e c. Todas es as p eocupaciones, que son amilia es a cualquie p o eso de ma emá icas ac ual, ue on ya a on adas con o al segu idad po nues os colegas en el pasado. En es e b e e abajo p esen amos algunos agmen os p o enien es de ex os ma emá icos españoles an iguos en los que se pone de mani ies o lo que acabamos de expone y que mues an que cie as si uaciones a las que se en en an los docen es ac ualmen e no son ni mucho menos no edosas. Algunos ejemplos de e lexiones sob e la docencia ex aídos de ex os ma emá icos an iguos A.M. Olle -Ma cén 172 NÚMEROS Vol. 100 mayo de 2019 2. Algunas e lexiones de au o es an iguos Comenzamos con un b e e agmen o ex aído de la A i hme ica P ac ica (Ycia , 1549) esc i a po el calíg a o y izcaíno Juan de Ycia (Alzuga ai, 1988) y publicada en Za agoza el año 1549. Los con enidos ma emá icos de es a ob a, que ocupa 56 olios, no p esen an no edades con espec o a o as ob as simila es publicadas en su época (Sala e , 1990). Desde un pun o de is a didác ico, el lec o in e esado puede encon a un análisis del ex o en Maz-Machado, López y Sie a (2013). Figu a 2. Juan de Ycia a la edad de 25 años (izquie da) y agmen o comen ado (de echa) Hacia el inal de la ob a, leemos lo siguien e ( o. 50 ): “To nando pues al con a , ambién se enseña indi e en emen e de cómo yo lo he is o en muchas pa es a muy g andes con ado es. Po que enseñan los en e os sin queb ados y con da les es a egla se despiden. Y he yo is o sabe un discípulo eglas de alsas posiciones y no sabe suma po queb ados y a la e dad no puede uno se con ado sin que sepa las cua o eglas po queb ados y a es a causa no he is o an g andes esc ibanos en es a ie a”. Con es as palab as el au o expone su opinión ace ca del pe juicio que puede causa sob e el ap endizaje de los alumnos una mala labo del maes o. Ycia conside a imp escindible el abajo con las acciones y se asomb a de que haya alumnos que saben aplica la egla de alsa posición sin un dominio de las mismas debido a que sus maes os únicamen e les enseña on a ope a con núme os na u ales. A con inuación, p esen a emos un agmen o ex aído de la Fo mación de po encias y ex acción de aíces de can idades numé icas y li e ales (Á ila, s. .). Es e b e e ex o en o ma de diálogo ue compues o po Ven u a de Á ila en una echa inde e minada en e 1764 y 1774 y o ma pa e de una colección de 108 diálogos dedicados a la enseñanza de la a i mé ica y del álgeb a. En Olle -Ma cén (2018) se puede encon a un pequeño es udio sob e los aspec os didác icos de la ob a de es e au o . En la in oducción de es a ob a podemos lee lo siguien e: “Que son muy pocos los que saben la Ma emá ica, al paso que odos alaban es a ciencia, es no o io. Vi o en el concep o, que uno de los dos p incipales mo i os po que noso os expe imen amos es e las imoso e ec o es, po que en llegando al Cálculo Li e al, o mación de Po encias y ex acción de Raíces, como po una pa e no as ean a que se di igen las ope aciones de es as ma e ias, y po o a no encuen an complacencia en ap ende las, lo abandonan luego, y pasan a egis a o os T a ados, que es imposible comp ende sin el conocimien o de aquellos”. En es as in e esan es líneas Á ila indica que, pa a él, el ap endizaje del lenguaje algeb aico supone un obs áculo pa a el a ance los alumnos. T a a además de explica lo obse ando que los es udian es no encuen an sen ido a lo que hacen y que ampoco les esul a ag adable. El esul ado, que se a anza en el es udio de concep os más a anzados con lagunas en el ap endizaje. Algunos ejemplos de e lexiones sob e la docencia ex aídos de ex os ma emá icos an iguos A.M. Olle -Ma cén 173 Sociedad Cana ia Isaac New on de P o eso es de Ma emá icas Vol. 100 mayo de 2019 Figu a 3. G abado que ab e la ob a de Ulloa (izquie da) y po ada del lib o de Á ila (de echa) Po úl imo, p esen amos un agmen o de la dedica o ia de los Elemen os Ma hema icos (Ulloa, 1706), ob a en dos omos esc i a po el jesui a Ped o de Ulloa y que ue publicada en Mad id en 1706. Es e ex o es in e esan e pues se conside a como el p ime lib o español que menciona la geome ía analí ica de Desca es (Dou, 1990). Como decíamos, en un momen o de la dedica o ia que el au o ealiza al Conde de Luna leemos: “Como ni la Na u aleza, ni la con ención de los Ingenios, ha de e minado lo que se ha de conside a en cada cosa, nunca los Elemen os Ma hema icos me pa ece pueden queda su icien emen e de e minados a gus o de odos. Según la di e sidad de conside aciones, a unos les pa ece á sob an muchas p oposiciones Elemen a es, a o os que al an”. En es e b e e comen a io Ulloa señala la di icul ad que supone pa a el docen e el diseño de un cu so de ma emá icas en cuan o a la selección de los con enidos y ambién espec o al ca ác e elemen al o no de los mismos. Además, pone de mani ies o que es el maes o, y sólo él, quién ha de lle a a cabo dicha selección. 3. Conclusiones y comen a ios inales Hemos p esen ado es agmen os p o enien es de ob as de muy dis in as ca ac e ís icas, que es án aco des a la época en que se esc ibie on y al público obje i o al que se di igen. El ex o de Juan de Ycia es de ca ác e elemen al y posee un ma cado ca ác e didác ico. Po su pa e, la ob a de Ven u a de Á ila compa e es e ca ác e didác ico pe o sus con enidos son más a anzados y es á concebida explíci amen e pa a el au oap endizaje. Finalmen e, los Elemen os de Ped o de Ulloa son una ob a de un al o ni el ma emá ico y iene una cie a ocación enciclopédica. En consonancia con lo an e io , cada uno de los es agmen os hace mención especial a una de las es a is as del iángulo didác ico (Houssaye, 1988): la in e acción en e el docen e y sus alumnos, la in e acción en e los alumnos y el sabe y la in e acción en e el p o eso y el sabe . Así,Ycia comen a que algunos p o eso es no enseñan odo lo que debe ían, con el pe juicio que ello causa a sus discípulos. Po su pa e, Á ila a a de comp ende po qué algunos alumnos a as an di icul ades con el lenguaje algeb aico. Po úl imo, Ulloa pone de mani ies o la di icul ad de elegi los con enidos de un cu so de ma emá icas. Como podemos ap ecia , odas es as conside aciones o p eocupaciones son plenamen e ac uales. Es o pone de mani ies o que la labo del docen e de ma emá icas es compleja y equie e de Algunos ejemplos de e lexiones sob e la docencia ex aídos de ex os ma emá icos an iguos A.M. Olle -Ma cén 174 NÚMEROS Vol. 100 mayo de 2019 una e lexión de enida y p o unda po pa e de los que la eje cen. Pensamos que la lec u a de ex os an iguos y el abajo con uen es documen ales o iginales no sólo pueden con ibui al desa ollo de las compe encias p o esionales de los p o eso es (Mos old, Jakobsen y Jank is , 2014), sino que ambién puede omen a de o ma signi ica i a una e lexión sob e su p o esión. Animamos al p o eso ado en eje cicio a lee ex os an iguos y a los o mado es de p o eso es a diseña e implemen a ac i idades u ilizando uen es o iginales. Además, ecomendamos que las lec u as ayan más allá de lo me amen e ma emá ico y se cen en en aquellas secciones (p ólogos, dedica o ias, e c.) en las que puede sali a la luz el lado más humano y pe sonal de los au o es. Bibliog a ía Alzuga ai, J.J. (1988).Vascos uni e sales del siglo XVI. Mad id: Encuen o. Á ila, V. de (s. .). Fo mación de po encias, y ex acción de aíces de can idades numé icas, y li e ales, dis ibuida en quince b e es Diálogos, po cuyo medio en o os an os días puede ins ui se po sí mismo el que se halle impues o en los se en a y dos Diálogos, que iene dados a luz el Au o . Ba celona: F ancisco Su ià y Bu gada. Bishop, A.J. (1991). Ma hema ical encul u a ion. Do d ech : Kluwe . Chace, A. B. (1979). The Rhind ma hema ical papy us. Res on: Na ional Council o Teache s o Ma hema ics Dou, A. (1990). Las ma emá icas en la España de los Aus ias. En Español, L. (coo d.) Es udios sob e Julio Rey Pas o (1888-1962), 151-172. Ins i u o de Es udios Riojanos: Log oño. Houssaye, J. (1988). Le iangle pédagogique. Be na: Pe e Lang. K oebe , A.L. y Kluckhohn, C. (1952). Cul u e. A c i ical e iew o concep s and de ini ions. Camb idge, MA: Peabody Museum o Ame ican A chaeology and E hnology. Maz‐Machado, A., López, C. y Sie a, M. (2013).Fenomenología y ep esen aciones en la A i hme ica P ac ica de Juan de Ycia . En Rico, L., Cañadas, M. C., Gu ié ez, J., Molina, M. y Sego ia, I. (eds.) In es igación en Didác ica de la Ma emá ica. Homenajea Enca nación Cas o, 77‐84. Edi o ial Coma es: G anada. Mos old, R., Jakobsen, A. y Jank is , U.T. (2014). How ma hema ical knowledge o eaching may p o i om he s udy o his o y o ma hema ics. Science & Educa ion, 23, 47–60. Olle -Ma cén, A. M. (2018). Aspec os didác icos de las ob as ma emá icas del ilus ado Ven u a de Á ila. En Rod íguez-Muñiz, L.J., Muñiz-Rod íguez, L, Aguila -González, A., Alonso, Ga cía Ga cía, P.F.J. y B uno, A. (eds.), In es igación en Educación Ma emá ica XXII, 417-426.SEIEM: Gijón. Siegel, H. (1996) Educa ion and cul u al ansmission/ ans o ma ion. Philosophical e lec ions on he his o ian's ask. Paedagogica His o ica, 32 (1), 25-46. Ycia , J. de (1549). Lib o in i ulado A i hme ica p ac ica muy u il y p o echoso pa a oda pe sona que quie e exe ci a se en ap ende a con a ago a nue amen e hecho po Juan de Ycia Vizcaino. Za agoza: Casa de Ped o Be nuz. An onio M. Olle Ma cén. Cen o Uni e si a io de la De ensa de Za agoza. Nacido en Za agoza en 1981, Licenciado en Ma emá icas (2004) po la Uni e sidad de Za agoza y Doc o po la Uni e sidad de Valladolid (2012). Ha sido p o eso en la Facul ad de Ciencias Sociales y Humanas de Te uel (2008- 2011) y ac ualmen e es p o eso con a ado doc o en el Cen o Uni e si a io de la De ensa de Za agoza. Au o de unos 100 abajos an o en ma emá ica pu a, como en his o ia y didác ica de las ma emá icas. Email: olle @uniza .es.