Repositorio Institucional de Documentos

Universidad de Zaragoza Centro Polit´ecnico Superior Proyecto Fin de Carrera Ingenier ´ ıa Industrial Modelizaci´on del flujo circulante en estructuras hidr´aulicas en canales y r´ıos Autor: H´ector Ratia S´anchez Director: Dr. Javier Murillo Castarlenas Zaragoza, Junio de 2010 Departamento de Ciencia y Tecnolog´ıa de Materiales y Fluidos. ´ Area de Mec´anica de Fluidos RESUMEN Modelizaci´on del flujo circulante en estructuras hidr´aulicas en canales y r´ıos En este proyecto fin de carrera se aborda el problema de la modelizaci´on de estructuras hidr´aulicas en el contexto de la simulaci´on num´erica de flujos transitorios y estacionarios. En este trabajo el objetivo principal es la modelizaci´on de estructuras hidr´aulicas mediante una representaci´on correcta de los efectos que estas causan en el flujo aguas arriba y aguas abajo en un modelo bidimensional promediado en la vertical. Los efectos de la interacci´on estructura-flujo determinan un disipaci´on de energ´ıa que puede explicarse en su mayor parte a trav´es del estudio de los fen´omenos de contracci´on y expansi´on el plano horizontal. La modelizaci´on propuesta evita el c´alculo en detalle de los patrones de flujo inmediatamente alrededor de la estructura, mediante la caracterizaci´on de las perdidas de energ´ıa a trav´es de un modelo que promedia las cantidades relevantes del problema en secciones virtuales que sustituyen por completo la discretizaci´on espacial de las estructuras participantes. A cambio, el modelo propuesto se puede integrar en c´alculos que ofrezcan resultados para operaciones de gesti´on hidr´aulica en tiempo real. El modelo propuesto involucra los tres reg´ımenes de flujo en los que puede encontrarse una estructura inmersa en el flujo: l´amina libre, en presi´on, o sumergida. En este trabajo se exploran diversas formulaciones para cada caso y han sido incluidos en el m´etodo num´erico de tal forma que las estructuras puedan pasar por cualquiera de los tres reg´ımenes, incluso de forma transitoria. A pesar de ser costoso computacionalmente, en el caso de l´amina libre, se pueden obtener soluciones correctas con el m´etodo num´erico b´asico modelando las estructuras como parte del terreno, Esto permite, en un primer paso, estudiar el r´egimen de l´amina libre y comprobar la influencia de distintos factores como la resoluci´on de la malla y la disposici´on geom´etrica de los puentes. En un segundo paso, utilizando resultados experimentales se valora el correcto funcionamiento de las diversas modelizaciones planteadas mediante la comparaci´on de los resultados de simulaci´on con los datos experimentales. Tambi´en se ha comparado con los resultados proporcionados por HEC-RAS, el programa de simulaci´on m´as com´unmente aceptado en la hidr´aulica computacional. Finalmente se han simulado casos transitorios, observando que el comportamiento de las modelizaciones es correcto y permite el paso de un reg´ımen a otro sin discontinuidades y de forma estable. ´ Indice general 1. Introducci´on 3 2. Modelo matem´atico del flujo y m´etodo num´erico 7 2.1. Modelo de aguas poco profundas . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. M´etodo de volumenes finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. Esquema expl´ıcito de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. Formulaci´on de las p´erdidas para l´amina libre 13 3.1. Ecuaci´on de Borda-Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1. Aplicaci´on a tuber´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1.2. Aplicaci´on a canales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2. Ecuaciones de energ´ıa y momento en canales . . . . . . . . . . 16 3.2.1. Expansi´on abrupta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3. El puente como contracci´on m´as expansi´on . . . . . . . . . . . 18 3.4. F´ormula de Manning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4. Simulaci´on en l´amina libre como elevaci´on del fondo 21 4.1. Validez de las simulaciones y resoluci´on de la malla . . . . . . 22 4.2. Influencia de la longitud de los pilares . . . . . . . . . . . . . . 23 4.3. Influencia de la posici´on de los pilares . . . . . . . . . . . . . . 25 5. Simulaci´on en l´amina libre como p´erdidas singulares 29 5.1. Comparaci´on de las formulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.2. Comparaci´on con resultados experimentales en puentes . . . . 32 5.3. T´ermino de fricci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6. Comparaci´on de transitorios en l´amina libre 37 6.1. Rotura de presa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.2. Oscilaci´on de caudal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1 ´ Indice general 7. El puente en presi´on 43 7.1. Formulaci´on de las p´erdidas en presi´on . . . . . . . . . . . . . 43 7.2. Simulaci´on y comparaci´on con resultados experimentales . . . 44 8. El puente completamente sumergido 47 8.1. Simulaci´on y comparaci´on con resultados experimentales . . . 48 8.2. Transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 9. Conclusiones 51 A. Resumen de los experimentos con puentes 53 B. El programa de simulaci´on 55 Bibliograf´ıa 59 2 Cap´ıtulo 1 Introducci´on La simulaci´on de flujos transitorios de l´amina libre es una herramienta ´util en la predicci´on de las posibles consecuencias que las inundaciones tienen tanto desde el punto de vista socio-econ´omico como desde el punto de vista medio ambiental. Las herramientas computacionales permiten obtener a un bajo coste predicciones de valores de calado y velocidad del agua en posibles eventos y dise˜nar medidas para evitar o mitigar posibles da˜nos. La necesidad de controlar y conocer c´omo afectan las estructuras hidr´aulicas inmersas en los cauces naturales o en canales forma parte de los an´alisis que deben ser realizados para obtener conclusiones realistas. Los puentes son uno de los tipos de elementos m´as comunes que obstaculizan y afectan al flujo de agua en canales y r´ıos, y su correcta modelizaci´on dentro de los modelos de simulaci´on es fundamental para obtener resultados fiables. Mediante la resoluci´on num´erica de modelos bidimensionales, como el modelo de aguas poco profundas que va a ser empleado en este trabajo, podemos obtener informaci´on de la evoluci´on de la l´amina de inundaci´on en el tiempo y en el espacio, generando mapas de calado y velocidad entre otros. El an´alisis en profundidad de la influencia de las estructuras requiere una modelizaci´on detallada de las caracter´ısticas del flujo circulante y puede dar lugar a un coste computacional extremadamente alto cuando se realizan simulaciones en tramos de r´ıos y canales de varios kil´ometros. En este trabajo se van a estudiar estrategias de modelizaci´on que eviten tener que describir con gran detalle el flujo circulante en las estructuras de inter´es. De esta forma se proporcionar´an resultados equivalentes, que ofrecer´an menor informaci´on en las zonas que alberguen estructuras (zona B en la figura 1.1), ofreciendo a cambio informaci´on correcta sobre las consecuencias de su existencia en las regiones aguas arriba y aguas abajo (zonas A y C respectivamente en la figura 1.1) de las mismas a un bajo coste computacional. Con este fin, en este proyecto, se va a estudiar la modelizaci´on de los 3 Cap´ıtulo 1. Introducci´on A B C b1b2 h1 2 h h flujo Figura 1.1: Esquema del problema de una estructura hidra´ulica en un canal, visto en planta (arriba) y de perfil (abajo). puentes atendiendo a la forma en que se disipa la energ´ıa del flujo en estos procesos. Sobre la base de un modelo de simulaci´on de flujos bidimensionales transitorios existente en el departamento, el trabajo de este proyecto evaluar´a diversas opciones de modelizaci´on de la presencia de una estructura tipo puente. Para ello, en un primer paso, la misma herramienta de simulaci´on ofrece la posibilidad de estudiar diferentes configuraciones con detalle y evaluar esta disipaci´on energ´etica. Mediante el an´alisis de estos resultados, se definir´an formulaciones de la p´erdida de energ´ıa que sustituir´an la necesidad de implementar en detalle la geometr´ıa de las estructuras a simular. Se comparar´an con formulaciones cl´asicas y se analizar´a el rango de validez de las mismas. Adem´as se diferenciar´an tres situaciones: flujo en l´amina libre (sin llegar al tablero del puente), flujo a presi´on (el flujo llega al tablero sin sobrepasarlo) y flujo sobre el puente completamente sumergido (sobrepasa el tablero). Los modelos ser´an contrastados con experimentos de laboratorio (experimentos realizados en un trabajo anterior del ´area[Burguete et ´al., 2008]) y con el programa de c´alculo de flujo unidimensional com´unmente aceptado [HEC-RAS 4.1, 2010]. En el cap´ıtulo 2 se presenta brevemente el modelo matem´atico de aguas poco profundas y el m´etodo num´erico utilizado para discretizarlo, que es el m´etodo con el que trabaja el programa de simulacion. En los cap´ıtulos 3 a 6 se trata la situaci´on de flujo en l´amina libre. En el cap´ıtulo 3 se introducen distintas formulaciones de la p´erdida de energ´ıa para la situaci´on de flujo en l´amina libre. En el cap´ıtulo 4 se estudia el comportamiento de los puentes en l´amina libre representando los puentes como 4 elevaci´on del fondo. En el cap´ıtulo 5 se utilizan las formulaciones introducidas en el cap´ıtulo 3 y se compara con los resultados experimentales y los del cap´ıtulo 4. Finalmente en el cap´ıtulo 6 se comparan situaciones transitorias simuladas con la formulaci´on aproximada y con la altura del fondo. En el cap´ıtulo 7 se trata la situaci´on de flujo a presi´on. Se presenta la formulaci´on utilizada y los resultados obtenidos. De manera similar se trata la situaci´on del puente completamente sumergido en el cap´ıtulo 8. En este cap´ıtulo tambi´en se presentan casos transitorios en los que el puente pase por las tres posibles situaciones: l´amina libre, presi´on y sumergido. Finalmente, en el cap´ıtulo 9 se presentan las conclusiones y el trabajo futuro. Al final de la memoria se pueden consultar los anexos y la bibliograf´ıa. El anexo A contiene un resumen de los experimentos. El anexo B explica el funcionamiento y uso del programa de simulaci´on de flujos bidimensiones del ´area utilizado en este trabajo. 5 Cap´ıtulo 3 Formulaci´on de las p´erdidas para l´amina libre En este cap´ıtulo se presenta la formulaci´on utilizada para modelar los puentes en el caso de l´amina libre. Las p´erdidas de energ´ıa que ocasiona el puente son tres: P´erdidas por el proceso de contracci´on al entrar al puente. P´erdidas por el proceso de expansi´on al salir del puente. P´erdidas por fricci´on. Las m´as importantes cuantitativamente son la contracci´on y expansi´on, para las que se presentan tres formulaciones diferentes. Adicionalmente se utilizar´a la f´ormula de Manning para valorar las p´erdidas por fricci´on en puentes de distinta longitud. 3.1. Ecuaci´on de Borda-Carnot La ecuaci´on de Borda-Carnot es una descripci´on emp´ırica de las p´erdidas de energ´ıa mec´anica del fluido debidas a expansiones abruptas del flujo. La ecuaci´on recibe su nombre de Jean-Charles de Borda (1733-1799) y Lazare Carnot (1753-1823). Esta ecuaci´on se utiliza tanto para flujo en canales como para flujo en tuber´ıas. La ecuaci´on de Borda-Carnot es: ∆E=ξ1 2ρ(v1−v2)2(3.1) en la que ∆Ees la p´erdida de energ´ıa del fluido por unidad de volumen, ξ es un coeficiente de p´erdidas emp´ırico (adimensional y de valor entre 0 y 1), 13 Cap´ıtulo 3. Formulaci´on de las p´erdidas para l´amina libre ρes la densidad del fluido, v1yv2son las velocidades medias del flujo aguas arriba y aguas abajo de la expansi´on. En el caso de una expansi´on grande y abrupta el coeficiente de p´erdidas es uno. En otros casos, el coeficiente se ha de determinar por otros medios, frecuentamente a trav´es de f´ormulas emp´ıricas basadas en datos experimentales. La ecuaci´on de p´erdidas de Borda-Carnot es v´alida solo para velocidades decrecientes, v1> v2, en caso contrario la p´erdida de energ´ıa ∆Ees cero ya que sin trabajo mec´anico de fuerzas externas no puede haber una ganancia de energ´ıa mec´anica del fluido. El suavizado de los contornos afecta al coeficiente ξ. Por ejemplo en las expansiones de tuber´ıas se pueden reducir las p´erdidas de energ´ıa utilizando un difusor que provoque una expansi´on gradual. 3.1.1. Aplicaci´on a tuber´ıas Expansi´on abrupta 2 1 Figura 3.1: Expansi´on abrupta Se aplica la ecuaci´on de Borda-Carnot al flujo a trav´es de una expansi´on abrupta en una tuber´ıa horizontal (figura 3.1). En la secci´on 1, la velocidad media del flujo es v1, la presi´on p1y el ´area de la secci´on A1. Las cantidades correspondientes en la secci´on 2 tras la expansi´on son v2,p2yA2. El coeficiente de p´erdidas ξpara esta expansi´on abrupta es 1. Aplicando la conservaci´on de la masa, y suponiendo que la densidad del fluido es constante, el caudal que fluye por ambas secciones es el mismo: A1v1=A2v2. De acuerdo a la ecuaci´on de Borda-Carnot sigue que las p´erdidas de energ´ıa en esta expansi´on son: ∆E=1 2ρA2 A1−12 v2 2 Y la correspondiente p´erdida de altura total es: ∆H=∆E ρg =v2 2 2gA2 A1−12 (3.2) 14 3.1. Ecuaci´on de Borda-Carnot Contracci´on abrupta En el caso de una reducci´on abrupta del diametro de la tuber´ıa (figura 3.2), sin suavizar, el flujo no puede adaptarse al giro brusco hacia la tuber´ıa m´as estrecha. Como consecuencia hay desprendimiento de flujo creando zonas de recirculaci´on a la entrada de la tuber´ıa estrecha. La vena de flujo principal se contrae entre las zonas de recirculaci´on y m´as adelante se vuelve a expandir para llenar toda la secci´on de la tuber´ıa. No hay grandes p´erdidas de energ´ıa 1 3 2 Figura 3.2: Contracci´on abrupta entre la secci´on 1, aguas arriba de la contracci´on, y la secci´on 3, en la que la contracci´on del flujo es m´axima. Sin embargo las perdidas en la expansi´on entre las secciones 2 y 3 son considerables. Estas p´erdidas se pueden expresar a trav´es de la ecuaci´on de Borda-Carnot, usando un coeficiente de contracci´on µ: µ=A3 A2 (3.3) con A3el ´area de la secci´on 3, la de mayor contracci´on del flujo, y A2el ´area de la secci´on de la tuber´ıa estrecha. Dado que A3≤A2, el coeficiente de contracci´on ser´a siempre inferior a la unidad: µ≤1. Se puede aplicar de nuevo conservaci´on de la masa, y suponiendo densidad del fluido ρconstante el caudal en las tres secciones es constante: A1v1=A2v2=A3v3 con v1,v2yv3las velocidades medias del flujo en las secciones correspondientes. De acuerdo a la ecuaci´on de Borda-Carnot (con coeficiente de p´erdidas ξ= 1) la p´erdida de energ´ıa debida a la contracci´on de la tuber´ıa ser´ıa: ∆E=1 2ρ(v3−v2)2=1 2ρ1 µ−12 v2 2=1 2ρ1 µ−12A1 A22 v2 1(3.4) 15 Cap´ıtulo 3. Formulaci´on de las p´erdidas para l´amina libre y la p´erdida de altura total correspondiente: ∆H=v2 1 2g1 µ−12A1 A22 (3.5) De acuerdo a los experimentos de Weisbach, el coeficiente de contracci´on para contracciones abruptas es aproximadamente: µ= 0.63 + 0.37 A2 A13 (3.6) 3.1.2. Aplicaci´on a canales Expansi´on abrupta La p´erdida de altura total ∆Hen una expansi´on abrupta (figura 3.1), de A1aA3, de acuerdo a la f´ormula de Carlier[Carlier, 1972]: ∆Hexp =ξexp v2 2 2g(3.7) ξexp ="A2 A1−12 +1 9#(3.8) Contracci´on abrupta La p´erdida de altura total ∆Hen una contracci´on abrupta, de A1aA2 (figura 3.2) viene dada por Carlier como: ∆Hcon =ξcon v2 2 2g(3.9) ξcon ="1 m−12 +1 9#(3.10) donde mes un coeficiente de contracci´on. Un valor t´ıpico sugerido para mes m= 0.63 en [Soares-Frazao, 2008]. 3.2. Ecuaciones de energ´ıa y momento en canales 3.2.1. Expansi´on abrupta Se puede obtener una f´ormula te´orica bajo ciertas hip´otesis[Henderson, 1966]. En la figura 3.3 se considera que E1=E2y que M2=M3, siendo Ela energ´ıa 16 3.2. Ecuaciones de energ´ıa y momento en canales 1 3 2 b1b2 Figura 3.3: Expansi´on abrupta E=hρg +v2ρ/2, y Mel momento M=Qv/g +h2b/2. Suponiendo: a) que el calado en la secci´on 2 es constante e id´entico al de la secci´on 1 h1=h2 b) que el ancho del agua en movimiento en la seccion 2 es igual a b1 De la aplicaci´on de la ecuaci´on del momento: M2=M3 Q2v2 g+h2 2b2 2=Q3v3 g+h2 3b2 2 De la condici´on a) h2=h1y de la condici´on b) v2=v1. Adem´as Q3=Q2= Q1=h1b1v1yv3=v1h1b1 h3b2 h1b1v2 1 g+h2 1b2 2=h1b1v2 1 g h1b1 h3b2 +h2 3b2 2 Dividiendo esta ecuaci´on entre h2 1b1: v2 1 h1g+b2 2b1 =v2 1 gh1 h1b1 h3b2 +h2 3b2 2h2 1b1 Ahora se puede introducir el n´umero de Froude Fr2 1=v2 1 gh1y los coeficientes r=b2/b1ys=h3/h1. Fr2 1+r 2=Fr2 1 rs +rs2 2(3.11) De la ecuaci´on de la energ´ıa se puede obtener: ∆H=H1−H3=h1+v2 1 2g−h3−v2 3 2g 17 Cap´ıtulo 3. Formulaci´on de las p´erdidas para l´amina libre ∆H=h1−h3+v2 1 2g−v2 1 2g h2 1b2 1 h2 3b2 2 ∆H=h1(1 −s) + v2 1 2g1−1 r2s2 Utilizando el numero de Froude h1=v2 1 gF r2 1: ∆H=v2 1 gFr2 1 (1 −s) + v2 1 2g1−1 r2s2 ∆H=v2 1 2g2 Fr2 1−2s Fr2 1+v2 1 2g1−1 r2s2 ∆H=v2 1 2g1 + 2 Fr2 1−1 r2s2−2s Fr2 1(3.12) De la ecuaci´on 3.11 se puede despejar ssuponiendo que Fr1es lo suficientemente peque˜no como para hacer despreciable Fr4 1y potencias superiores. Introduciendo sen la ecuaci´on 3.12 se puede calcular la p´erdida de altura total entre las secciones 1 y 3 como: H1−H3= ∆H=v2 1 2g"1−b1 b22 +2Fr2 1b3 1(b2−b1) b4 2#(3.13) 3.3. El puente como contracci´on m´as expan- si´on Utilizando las f´ormulas de las secciones anteriores se puede modelar el puente como una contracci´on en el flujo seguida de una expansi´on: ∆Hpuente = ∆Hcontracci´on + ∆Hexpansi´on (3.14) De acuerdo a la figura 3.4 se tendr´ıan ∆Hcontracci´on =v2 1 2gfcontracci´on ∆Hexpansi´on =v2 4 2gfexpansi´on donde los factores fdepender´ıan del conjunto de f´ormulas elegido. Se pueden comparar los factores fseg´un las distintas formulaciones en la tabla 3.3. 18 3.4. F´ormula de Manning 1 2 3 4 Figura 3.4: Secciones de referencia en un puente Formulaci´on fcontracci´on fexpansi´on B-C tuber´ıas 1 µ−12A1 A22A4 A3−12 Carlier h1 m−12+1 9iA1 A22A4 A3−12+1 9 Henderson 1−b3 b42+2Fr2 3b3 3(b4−b3) b4 4A4 A32 Tabla 3.1: Resumen de las formulaciones. 3.4. F´ormula de Manning La f´ormula emp´ırica de Manning en una dimensi´on adopta la siguiente forma v=1 nR2/3 hS1/2 fricci´on (3.15) se puede utilizar para calcular las p´erdidas por fricci´on despejando la pendiente Sfricci´on: Sfricci´on =v2n2 R4/3 h (3.16) donde ves la velocidad promedio de la secci´on, v=Q/A,nes el n´umero de Manning, y Rhes el radio hidr´aulico obtenido de dividir el ´area por el per´ımetro mojado: Rh=A Pm (3.17) donde Aes una secci´on mojada representativa del puente. Y finalmente la p´erdida de energ´ıa por rozamiento en el puente se ha formulado como: ∆Hfricci´on =LpuenteSfricci´on (3.18) 19 Cap´ıtulo 4 Simulaci´on en l´amina libre como elevaci´on del fondo Una posible representaci´on de los puentes en el caso de l´amina libre es mediante la altura del fondo. Cambiando convenientemente la elevaci´on de algunas de las celdas de la malla se pueden representar puentes con formas rectangulares (esta t´ecnica no sirve para arcos), como si fueran una parte m´as del cauce por donde discurre el r´ıo o canal. Un ejemplo de este tipo de representaci´on de los puentes se puede ver en la figura 4.1. X Y Z Figura 4.1: Puente representado como elevaci´on del fondo. Este cap´ıtulo tiene tres secciones, en la primera los objetivos son: 1. Comprobar la correcci´on de los resultados obtenidos mediante simulaci´on comparando con resultados experimentales. 21 Cap´ıtulo 5 Simulaci´on en l´amina libre como p´erdidas singulares En este cap´ıtulo se presentan resultados para puentes modelados utilizando las formulaciones presentadas en el cap´ıtulo 3. Estas formulaciones sirven s´olo para el caso de l´amina libre, pero permiten separar el puente de la malla y por tanto incluir puentes en mallas m´as bastas que no permiten representar el puente por elevaci´on del fondo. Adem´as se pueden definir puentes como el de arco, que no se pueden representar como altura del fondo. El puente se define mediante las celdas de la malla a las que afecta, que se sit´uan a ambos lados de una l´ınea y determinan una secci´on de entrada y otra de salida. Para aplicar las formulaciones se siguen los pasos: 1. Calcular valores promedio en las secciones para las variables de interes: ´areas, velocidades, n´umero de froude... 2. Calcular el valor de las p´erdidas de acuerdo con la formulaci´on elegida, utilizando los valores promedio calculados. 3. Introducir las p´erdidas en las celdas correspondientes, a trav´es de los t´erminos SHx ySHy del modelo matem´atico presentado en el cap´ıtulo 2. Este proceso se repite en todos los pasos de tiempo del c´alculo, permitiendo obtener soluciones en transitorio de la misma manera que cuando los puentes se representan como elevaci´on del fondo. El objetivo en este cap´ıtulo es comprobar los resultados obtenidos con las formulaciones presentadas. Para ello se compara primero con los resultados experimentales, y luego se valora la respuesta ante transitorios. 29 Cap´ıtulo 5. Simulaci´on en l´amina libre como p´erdidas singulares 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 f=∆H / vu2/2g Fr Simulacion Carlier B-C tuberias 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 f=∆H / vu2/2g Fr Simulacion Carlier B-C tuberias 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 f=∆H / vu2/2g Fr Simulacion Carlier B-C tuberias Figura 5.1: Comparaci´on de la simulaci´on y las formulaciones para contracciones de 24 a 12,16 y 20 cm. 30 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 f=∆H / vd2/2g Fr Simulacion Carlier B-C tuberias Henderson 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 f=∆H / vd2/2g Fr Simulacion Carlier B-C tuberias Henderson 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 f=∆H / vd2/2g Fr Simulacion Carlier B-C tuberias Henderson Figura 5.2: Comparaci´on de la simulaci´on y las formulaciones para expansiones de 12,16 y 20 cm a 24cm. 31 Cap´ıtulo 5. Simulaci´on en l´amina libre como p´erdidas singulares 5.1. Comparaci´on de las formulaciones Se ha simulado una bater´ıa de casos para comparar las distintas formulaciones entre s´ı y con la simulaci´on por elevaci´on del fondo. En una malla de 4800 celdas representando un canal de 0.24mpor 6m(dimensiones del canal disponible para ensayar en el laboratorio del ´area) se han simulado expansiones o contracciones puras, representadas mediante la elevaci´on del fondo. Se ha simulado sin fricci´on y solo flujo puramente subcr´ıtico para evitar que aparezcan p´erdidas de energ´ıa distintas de la causada por la expansi´on o contracci´on. Las geometr´ıas que se han simulado son 24cm a 20cm,16cm y 12cm para las contracciones y los correspondientes para las expansiones. La condici´on de contorno se fija mediante una curva de descarga a la salida. Para cada geometr´ıa se han simulado distintos caudales. Para cada simulaci´on se han promediado los valores de velocidad, calado, etc en una secci´on aguas arriba y en otra secci´on aguas abajo, que permiten aplicar las f´ormulas, y tambien calcular el valor de freal. Los resultados obtenidos son las figuras 5.1 y 5.2. En estas figuras se representa el valor del factor adimensional ffrente al n´umero de Froude. Se representa el valor del factor fseg´un los resultados de la simulaci´on como elevaci´on del fondo (tomado como valor real) en l´ınea continua, y en discontinua el valor que predicen las distintas formulaciones. 5.2. Comparaci´on con resultados experimentales en puentes Sobre una malla de 4800 celdas (elegida por compromiso entre la velocidad del c´alculo y el nivel de detalle) que representa el canal en el que se realizaron los experimentos, se han modelizado los puentes con los que se experiment´o usando las f´ormulas de p´erdida de energ´ıa. Como resultado de estas simulaciones se obtienen los valores de calado aguas arriba hude la tabla 5.1. Al representar los puentes de esta manera se pierde toda la informaci´on de detalle, como se puede apreciar en la figura 5.3. En la tabla 5.1 en la ´ultima l´ınea se muestra el error est´andar (definido como estd =pe2), para los 5 puentes en los que se pueden utilizar los 4 m´etodos de representaci´on del puente. A la vista de estos resultados, queda claro que la representaci´on por elevaci´on del fondo es la que mejores resultados da. Entre las formulaciones aproximadas, se elige la de Carlier a pesar de dar resultados ligeramente peores que la de Henderson porque: El resultado para el puente Arco es mejor. 32 5.3. T´ermino de fricci´on hu(cm) Puente Q(m3/h) Exp. B.C. Tub. Carlier Hend. Fondo HEC-RAS Rect 1 9.2 5.7 4.60 5.20 5.53 5.75 6.06 Rect 2 9.2 4.2 3.91 4.36 4.44 4.36 4.78 Rect 2 14.8 6.0 5.25 5.91 6.03 5.96 6.52 T 5.8 3.2 2.97 3.27 3.29 3.13 3.49 T 8.2 4.0 3.58 3.98 4.03 3.84 4.29 Arco 5.8 5.0 4.64 5.03 5.36 5.82 E. std. 12 % 4 % 3 % 3 % 9 % Tabla 5.1: Comparaci´on de resultados experimentales y de simulaci´on con puentes representados por expansi´on m´as contracci´on. La formulaci´on de Henderson no se puede aplicar exactamente dentro de la simulaci´on, ya que no se dispone de los datos de la secci´on en la que se calcula el n´umero de Froude y hay que aproximarlos. En la columna HEC-RAS de la tabla 5.1 se recogen los resultados de simular los puentes con el programa HEC-RAS del US Army Corps of Engineers, que es el programa m´as comunmente utilizado y aceptado para simulaciones hidrol´ogicas. Se puede comprobar que los resultados obtenidos con HEC-RAS son peores que los obtenidos con la modelizaci´on presentada en este trabajo. 5.3. T´ermino de fricci´on Para valorar el inter´es de incluir el t´ermino de fricci´on presentado en la secci´on 3.4 se comparan los casos de la secci´on 4.2 con los resultados obtenidos al simular el puente solo con el modelo de contracci´on m´as expansi´on, o con este modelo y el t´ermino de fricci´on. En la figura 5.4 se muestran los resultados de estas simulaciones. Parece que la inclusi´on del t´ermino de fricci´on es interesante cuando el n´umero de Froude aumenta. 33 Cap´ıtulo 5. Simulaci´on en l´amina libre como p´erdidas singulares 0.45 0.35 0.25 0.15 0.05 Figura 5.3: Informaci´on de detalle en una simulaci´on del puente T por elevaci´on del fondo (arriba) y por p´erdidas de expansi´on m´as contracci´on (debajo). Representado en c´odigo de colores el m´odulo de la velocidad (m/s). 34 5.3. T´ermino de fricci´on 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ∆H Fr Fondo Carlier Friccion 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ∆H Fr Fondo Carlier Friccion 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ∆H Fr Fondo Carlier Friccion Figura 5.4: Influencia de la inclusi´on del t´ermino de fricci´on. De arriba a abajo, simulaciones con pilares de relaci´on 1:4, 1:7 y 1:13. 35 Cap´ıtulo 6 Comparaci´on de transitorios en l´amina libre La simulaci´on en 2D con el m´etodo de aguas poco profundas permite calcular transitorios correctos, a diferencia de lo habitual en los programas de c´alculo de flujo en r´ıos y canales que solo calculan la situaci´on estacionaria. En esta secci´on se comparan los transitorios que se producen en puentes representados como elevaci´on del fondo con los transitorios producidos representando los puentes como contracci´on m´as expansi´on con las formulaciones propuestas. Se compara la respuesta a dos tipos de reg´ımenes transitorios: uno r´apido (el problema de rotura de presa) y otro lento (oscilaci´on del caudal). 6.1. Rotura de presa En la rotura de presa no hay entradas o salidas de caudal, sino que se libera en el instante inicial una cantidad de agua remansada aguas arriba del puente (figura 6.1) y se permite que rebote en el canal. Se han estudiado tres Figura 6.1: Vista de perfil del problema de rotura de presa para el an´alisis de transitorios en el instante inicial. El agua remansada aguas arriba (izquierda) tiene un calado mucho mayor que el agua en el resto del canal. 37 Cap´ıtulo 7. El puente en presi´on 1 2 3 h1h3 w Figura 7.1: Esquema del puente a presi´on. convertirla a p´erdidas de energ´ıa. Partiendo de la definici´on de p´erdida de energ´ıa: ∆H=H1−H3=h1+v2 1 2g−h3−v2 3 2g=h1−h3+v2 1−v2 3 2g(7.5) La diferencia de calados entre 1 y 3 se puede despejar de la ecuaci´on 7.4: h1−h3=1 2g Q2 A2 2C2 d (7.6) Los t´erminos de velocidad se pueden desarrollar con la sustituci´on v=Q A para llegar a la ecuaci´on de p´erdida de energ´ıa empleada: ∆H=1 2g Q2 A2 2C2 d1−C2 dA2 2 A2 3−A2 2 A2 1 (7.7) El valor del coeficiente Cdse determina experimentalmente. Para este trabajo se ha ajustado el valor de Cden base a un experimento con un puente a presi´on en el que tanto la secci´on 1 aguas arriba, como la secci´on 3 aguas abajo superaban la altura bajo el tablero del puente. En la tabla 7.1 se refleja la influencia de este coeficiente. El valor ajustado elegido es Cd= 1.1. Para la simulaci´on de puentes a presi´on, se ha incorporado en el c´odigo la detecci´on de esta situaci´on. Cuando el calado a la entrada del puente supera la altura bajo el tablero del puente se dejan de calcular las p´erdidas de energ´ıa como expansi´on m´as contracci´on para calcularlas seg´un la ecuaci´on 7.7. 7.2. Simulaci´on y comparaci´on con resultados experimentales Se dispone de los datos de 4 experimentos con puentes a presi´on. Estos 4 casos se han simulado utilizando la formulaci´on presentada en este cap´ıtulo y tambi´en con las formulaciones de l´amina libre sin modificaci´on. Tambi´en se dispone de los resultados de simular los casos con el programa HEC-RAS. 44 7.2. Simulaci´on y comparaci´on con resultados experimentales Cdhu(cm) 0.80 6.03 0.85 5.54 0.90 5.37 0.95 5.06 1.00 4.80 1.05 4.62 1.10 4.47 1.15 4.34 1.20 4.22 Exp. 4.30 Tabla 7.1: Ajuste del coeficiente de descarga Cd. hu(cm) Puente Q(m3/h) Exp. Ec. 7.1 Ec. 7.2 Ec. 7.3 Ec. 7.4 Rect1 12.8 7.5 6.92 6.17 6.68 6.54 T 15.9 6.5 5.15 5.37 5.15 6.09 Rect3 5.9 4.3 4.56 4.31 4.62 4.47 Arch 8.26 5 7.49 5.45 7.05 5.65 E. std. 27 % 13 % 24 % 10 % Tabla 7.2: Comparaci´on de las f´ormulas para el puente en presi´on. 45 Cap´ıtulo 7. El puente en presi´on hu(cm) Puente Q(m3/h) Exp. Carlier B.C. Tub. Hend. Pres. HEC-RAS Rect1 12.8 7.5 6.92 6.25 7.44 6.54 8.39 T 15.9 6.5 6.12 5.24 6.29 6.09 6.87 Rect3 5.9 4.3 4.69 4.31 4.9 4.47 5.29 Arch 8.26 5 7.35 6.76 7.54 5.65 8.38 E. std. 24 % 22 % 26 % 10 % 36 % Tabla 7.3: Resultados de los experimentos y las simulaciones para el caso del puente en presi´on. Los resultados de estas simulaciones se recogen en la tabla 7.3, donde Pres. representa la simulaci´on con la f´ormula para el puente en presi´on presentada en este cap´ıtulo. La formulaci´on presentada en este cap´ıtulo ofrece el mejor comportamiento para los 4 casos experimentales, y cualquiera de las formulaciones supera a HEC-RAS. 46 Cap´ıtulo 8 El puente completamente sumergido En el caso del puente completamente sumergido, el calado aguas arriba es superior al tablero del puente. Es la situaci´on m´as compleja porque una parte del agua fluye a presi´on y otra en l´amina libre. Se pueden dar dos situaciones, representadas en la figura 8.1, que se diferencian en si el calado aguas abajo tambi´en es superior al tablero del puente o no. Para modelar ambas situaciones se ha optado por usar las mismas formulaciones de p´erdidas en l´amina libre, pero corrigiendo las ´areas para que incluyan el flujo que circula por encima del puente. Siguiendo el mismo esquemas de secciones de la figura 3.4 se definen las ´areas de las secciones 1, 2, 3 y 4 como se muestra en la figura 8.2. La secci´on 1 es el ´area total aguas arriba. La secci´on 2 es el ´area por la que circula el flujo en la zona del puente, por lo que el espacio material que ocupa el puente no se cuenta. La secci´on 3 se calcula de manera similar, pero contando el calado aguas abajo, y se le a˜nade el ´area del flujo que circula por encima del puente. La secci´on 4 es el ´area total de acuerdo con el calado aguas abajo. Figura 8.1: Esquema del puente sumergido. En la situaci´on de la izquierda el nivel aguas abajo no sumerge el puente. En la situaci´on de la derecha el nivel aguas abajo tambi´en sumerge el puente. 47 Cap´ıtulo 8. El puente completamente sumergido 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 000000000 000000000 000000000 111111111 111111111 111111111 000000000 000000000 111111111 111111111 0000000 0000000 0000000 0000000 1111111 1111111 1111111 1111111 000000 000000 000000 111111 111111 111111 00000000 00000000 11111111 11111111 hu hd Figura 8.2: Areas 1,2, 3 y 4 para el puente sumergido. hues el calado aguas arriba y hdaguas abajo. hu(cm) Puente Q(m3/h) Exp. Carlier HEC-RAS Rect3 10.7 7.60 8.35 7.86 Rect3 13.9 8.20 9.00 8.59 E. std. 10 % 4 % Tabla 8.1: Resultados de los experimentos y las simulaciones para el caso del puente sumergido. 8.1. Simulaci´on y comparaci´on con resultados experimentales En este caso solo se dispone de datos experimentales de 2 casos. Se han simulado con la formulaci´on de Carlier con las ´areas corregidas, y se comparan con los datos experimentales y los resultados de HEC-RAS en la tabla 8.1. Para los puentes sumergidos HEC-RAS proporciona mejores resultados que la formulaci´on presentada en este trabajo. 8.2. Transitorio Se han simulado varios casos transitorios en los que el puente trabaja primero en l´amina libre, luego en presi´on, y por ´ultimo sumergido; con el objetivo de mostrar como se integran las formulaciones propuestas para cada situaci´on para dar una soluci´on coherente. Se han hecho las simulaciones con dos juegos de formulas distintos: “Carlier” se ha realizado utilizando para las tres situaciones la formulaci´on Carlier (ecuaciones 3.8 y 3.10), tomando las ´areas apropiadas en cada situaci´on. 48 8.2. Transitorio Caso Hidrograma Conjunto de formulas Tiempo de simulaci´on D1 A - 100s Carlier 800s D2 A - 100s Carlier+f´ormula de presi´on 800s D3 B - 10s Carlier 620s D4 B - 10s Carlier+f´ormula de presi´on 620s Tabla 8.2: Casos para la simulaci´on del transitorio con puente sumergido. 0 2 4 6 8 10 12 14 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Caudal (m3/h) Tiempo (s) (a) Subida de caudal en 100s 0 2 4 6 8 10 12 14 0 100 200 300 400 500 600 Caudal (m3/h) Tiempo (s) (b) Subida de caudal en 10s Figura 8.3: Hidrogramas A y B para la simulaci´on del transitorio con puente sumergido. “Carlier+f´ormula de presi´on” se ha realizado utilizando Carlier para el puente en l´amina libre y sumergido, y la ecuaci´on 7.7 propuesta en el cap´ıtulo 7 para el puente en presi´on. El puente simulado ha sido el Rect3 recibiendo los dos hidrograma de la figura 8.3, que se diferencian en la velocidad con la que aumenta el caudal. Los casos simulados se resumen en la tabla 8.2. Como resultado de esta simulaci´on se ha registrado el calado en dos sondas, situadas aguas arriba y aguas abajo del puente, de la misma manera que en la figura 6.2, y se ha representado en la figura 8.4. En esta figura se han incluido tambi´en los l´ımites inferior y superior del tablero para distinguir facilmente si el puente esta en l´amina libre, en presi´on o sumergido. Se puede observar que las transiciones entre estas situaciones son suaves, y que una vez que el puente queda completamente sumergido permite m´as paso de flujo. 49 Cap´ıtulo 8. El puente completamente sumergido 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Calado (m) Tiempo (s) Aguas arriba Aguas abajo Tablero (a) Caso D1 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Calado (m) Tiempo (s) Aguas arriba Aguas abajo Tablero (b) Caso D2 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Calado (m) Tiempo (s) Aguas arriba Aguas abajo Tablero (c) Caso D3 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Calado (m) Tiempo (s) Aguas arriba Aguas abajo Tablero (d) Caso D4 Figura 8.4: Calado registrado por las sondas en las simulaciones del transitorio con puente sumergido. 50 Cap´ıtulo 9 Conclusiones En este trabajo se ha estudiado en profundidad la modelizaci´on de puentes en la simulaci´on del flujo de r´ıos y canales. Se ha valorado la influencia de varios par´ametros tales como la resoluci´on de la malla, la longitud de los pilares o posici´on de los pilares. Se ha visto que la longitud y posici´on de los pilares tienen una influencia peque˜na sobre los resultados, comprobando las hip´otesis de Yarnell, y que el par´ametro m´as importante es la obstrucci´on frontal total al paso del flujo, es decir, el espacio del ancho del canal que ocupa el puente. Se han implementado en el c´odigo y comparado varios modelos de representaci´on de puentes en l´amina libre en diversas situaciones, obteni´endose una medida fiable de las capacidades de cada modelo. En el caso de l´amina libre el modelo de Carlier o el de Henderson permiten obtener resultados mejores que el programa com´unmente usado HEC-RAS. Tambi´en se han estudiado formas de representar los puentes a presi´on y completamente sumergidos con resultados similares a los del programa HEC-RAS. Estos modelos permiten incluir los puentes en la simulaci´on transitoria de una manera din´amica y en cualquier r´egimen de flujo: l´amina libre, presi´on o sumergido, sin necesidad de utilizar mallas finas y costosas de calcular. Algundas ideas que se podr´ıan tratar en trabajos futuros continuando en la l´ınea de este proyecto fin de carrera son: Explorar la influencia de la forma de los pilares (cuadrados, triangulares, el´ıpticos, cil´ındricos, etc.) e incluirla en el modelo. Llevar a cabo experimentos de laboratorio sistem´aticos. Estudiar m´as detalladamente los casos de puente a presi´on y puente sumergido. 51 Cap´ıtulo 9. Conclusiones Estudiar la aplicaci´on en r´ıos y canales reales, comparando con datos de campo. 52 Anexo A Resumen de los experimentos con puentes En este anexo se resume el art´ıculo del que se han obtenido los datos experimentales[Burguete et ´al., 2008] con los que comparar el modelo. Los puentes utilizados en los experimentos son los de la figura A.1, cuyas dimensiones se reflejan en la tabla A.1. Los resultados registrados de estos experimentos son el caudal, el r´egimen(l´amina libre, presi´on, sumergido), el calado aguas arriba huy el calado aguas abajo hd. Tambi´en se proporciona el valor de calado aguas arriba simulando con HEC-RAS. El conjunto de resultados se muestra en la tabla A.2. Para simular estos experimentos en las simulaciones de este proyecto se ha fijado una curva de descarga Q(h) en base al calado aguas abajo. El punto Q−hdse ha unido con el origen para formar una recta que se utiliza como curva de descarga. Puente a (cm) b (cm) c (cm) d (cm) e (cm) f (cm) g (cm) Rect1 24 11 7 6 12 4,5 – Rect2 24 12 10 3.5 17 7 – Rect3 24 6 7 6 12 2.5 – RC 24 16.5 7 6 12 12 2.5 Arch 24 8 7 7.3 9.4 – – T 24 8.5 6 9 6 4.5 4 Tabla A.1: Dimensiones de los puentes utilizados en los experimentos. 53 Bibliograf´ıa [Murillo et ´al., 2009] Murillo, J., Garc´ıa-Navarro, P., Burguete, J. (2009), Time step restrictions for well balanced shallow water solutions in nonzero velocity steady states, International Journal of Numerical Methods in Fluids, doi: 10.1002/fld.1939. [Roe, 1986] Roe, P.L. (1986), A basis for upwind differencing of the twodimensional unsteady Euler equations, Numerical Methods in Fluid dynamics, vol II , (Oxford University Press, Oxford) [Rosatti et ´al., 2007] Rosatti, G., Murillo, J., Fraccarollo, L. (2007), Generalized Roe schemes for 1D two-phase, free-surface flows over a mobile bed, Journal of Computational Physics,54, 543–590. [Soares-Frazao, 2008] Soares-Frazao, S. (2008), Two dimensional shallowwater model with porosity for urban flood modelling, Journal of Hydraulic Research,46, 45–64. [V´azquez-Cend´on, 1999] V´azquez-Cend´on, M.E. (1999), Improved treatment of source terms in upwind schemes for the shallow water equations in channels with irregular geometry, Journal of Computational Physics, 148, 479–498. [Yarnell, 1934a] Yarnell, D.L. (1934), Pile Trestles as Channel Obstructions, U.S. Department of Agriculture, Tech. Bull.,429. [Yarnell, 1934b] Yarnell, D.L. (1934), Bridge Piers as Channel Obstructions, U.S. Department of Agriculture, Tech. Bull.,442. 60