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ANALISIS DE PROCESOS DE REMALLADO BASADOS EN ESTIMACIONES DE ERROR EN FLUIDODINAMICA COMPUTACIONAL Titulación: Ingeniero Industrial Autor: Sergio Fuentes Berdala Director: Guillermo Hauke DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIA DE MATERIALES Y FLUIDOS JULIO 2010 CENTRO POLITÉNICO SUPERIOR UNIVERSIDAD DE ZARAGOZA PROYECTO FINAL DE CARRERA TITULO ANALISIS DE PROCESOS DE REMALLADO BASADOS EN ESTIMACIONES DE ERROR EN FLUIDODINAMICA COMPUTACIONAL RESUMEN Este proyecto investiga técnicas de remallado para el análisis computacional de fluidos mediante el empleo de estimadores de error basados en el método variacional de las mulltiescalas (VMS). Esta tecnología será aplicada a la ecuación convectiva-difusiva del transporte de mecánica de fluidos con el objetivo de comparar distintas estrategias de remallado. Dichas estrategias consistirán en llevar a cabo procesos iterativos de remallado, donde emplearemos herramientas como GiD o Tecplot, sobre una geometría en ‘L’, que darán lugar a mallas adaptadas. Esta geometría en ‘L’ será atravesada por fluidos de distintas viscosidades, lo que hará que la solución exacta del problema, calculada por el Método de Elementos Finitos, sea muy distinta en cada caso. El objetivo de estos procesos es generar mallas que tiendan, a lo largo de las iteraciones, a minimizar el error estimado en cada uno de los elementos finitos que las conforman, a fin de obtener mallas que proporcionen soluciones lo más cercanas posible a la solución exacta. Estos procesos iterativos, que estarán caracterizados por distintos parámetros, como por ejemplo el estimador de error que usemos en el proceso o la norma sobre la que estimamos dicho error, darán como resultado mallas diferentes en función de cuáles sean estos parámetros. Por otra parte, la interacción del usuario mediante un algoritmo le permitirá obtener mallas con la exactitud deseada. El análisis de los distintos procesos desembocará en estrategias concretas para un correcto remallado a partir de las conclusiones extraídas en las distintas fases del estudio. 3 TABLA DE CONTENIDOS 1. INTRODUCCION ...................................................5 2. OBJETIVOS ........................................................7 3. ESTRATEGIA DE SIMULACION CON ADAPTATIVIDAD .............8 3.1 ESTIMADORES DE ERROR..................................................... 9 3.2 FÓRMULAS DE REMALLADO..................................................11 3.2.1 Reparto uniforme en la norma L2 ....................................13 3.2.2 Reparto uniforme en la norma L1 ....................................14 3.2.3 Tamaño de elemento e h ................................................15 3.2.4 Relación entre la tolerancia introducida y el nuevo tamaño de elemento ' e h.........................................................................16 3.3 ESTRATEGIA DE REMALLADO ...............................................16 4. RESULTADOS....................................................18 4.1 APLICACIÓN: ECUACIÓN DEL TRANSPORTE ...........................18 4.2 DOMINIO DE GEOMETRIA EN L.............................................19 4.3 COMPARATIVA HORIZONTAL: COMPARACION DE CODIGOS.....25 4.4 COMPARATIVA VERTICAL.....................................................26 4.4.1 Relación entre valores de TOL e y TOL u en las normas L1 y L2 para un fluido de viscosidad k=1.0e-6 .................................28 4.4.2 Relación entre valores de TOL e y TOL u en las normas L1 y L2 para un fluido de viscosidad k=1.0 ......................................31 4.4.3 Relación entre valores de TOL e de las normas L1 y L2 para un fluido de viscosidad k=1.0e-6.............................................35 4.4.4 Relación entre valores de TOL e de las normas L1 y L2 para un fluido de viscosidad k=1.0..................................................36 4.5 Valores numéricos ..............................................................37 4 5. CONCLUSIONES .................................................39 5.1 Conclusión Comparativa Horizontal .......................................39 5.2 Conclusión comparativa vertical............................................39 5.2.1 Resultados obtenidos para fluido de viscosidad k=1.0e-6 ...39 5.2.2 Resultados obtenidos para fluido de viscosidad k=1.0........40 5.3 Diferencia entre mallas con elementos triangulares y rectangulares...........................................................................41 6. BIBLIOGRAFIA...................................................42 INDICE DE FIGURAS.................................................................43 ANEXOS Anexo 1. Cálculo del área e Ω ...............................................47 Anexo 2. Resultados comparativa horizontal .............................48 Anexo 3. Resultados comparativa vertical: Viscosidad k=1.0e-6, Elementos triangulares...........................................................52 Anexo 4. Resultados comparativa vertical: Viscosidad k=1.0e-6, Elementos rectangulares. .......................................................58 Anexo 5. Resultados comparativa vertical: Viscosidad k=1.0, Elementos triangulares...........................................................63 Anexo 6. Resultados comparativa vertical: Viscosidad k=1.0, Elementos rectangulares. .......................................................69 Anexo 7. Leyendas de las gráficas ...........................................75 5 1. INTRODUCCION Hoy día, la mecánica computacional ha alcanzado un alto grado de madurez mostrado por el nivel de robustez de los presentes solvers. Por lo tanto, el desafío en este campo está pasando de tan solo calcular una solución, a lograr una solución fiable con el nivel de exactitud deseado. Para lograr soluciones fiables, en el pasado la validez de los resultados estaba normalmente evaluada por el usuario y su experiencia como tal. Para soluciones simples esto podría ser adecuado, pero los errores encontrados en niveles superiores de ingeniería alertaron de que esta no es la estrategia adecuada, principalmente en problemas con capas límite y capas internas, ambas presentes tanto en mecánica de sólidos como en mecánica de fluidos. Estas conclusiones han derivado en que esas prácticas estén siendo sustituidas por técnicas matemáticas para predecir y controlar el error numérico. Por otra parte, el alcance de los ordenadores no es ilimitado, siendo más bien escaso principalmente en usos tridimensionales. Asimismo, los recursos humanos y económicos de una empresa o institución también son limitados. De esta forma, el control de error matemático no sólo puede aumentar la exactitud de la solución, sino que también puede optimizar ambos, ordenador y recursos humanos. Desde el nacimiento del concepto de estimación de error, la mayor parte de la atención sobre el asunto ha sido dedicada a la mecánica del sólido, mientras que la estimación del error a-posteriori para problemas de flujos dominados por la convección y flujos hiperbólicos representa uno de los desafíos más grandes en cuanto a mecánica computacional. En este contexto, la ecuación escalar del transporte está compuesta por una parte difusiva y otra convectiva, que generalmente domina sobre la primera. El análisis matemático y la solución numérica de las ecuaciones convectivas-difusivas dominadas por la convección han sido de gran interés en las últimas décadas. La solución de estas ecuaciones presenta, en general, capas, que son pequeñas subregiones donde las derivadas de la solución son muy complejas. Por sus propiedades matemáticas, podemos distinguir entre capas límite regulares o exponenciales, capas límite parabólicas, capas 6 internas o en esquina. El cálculo exacto de estas singularidades es de gran importancia en la solución numérica de este tipo de ecuaciones. Durante los años 80 y principios de los 90, se desarrollaron numerosos estudios con el fin de probar cómo respondían los estimadores de error en la resolución por elementos finitos de distintos tipos de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, se observaba cómo estos estimadores de error no daban información fiable del error. De esta forma, además de para estimar el error global, el uso de estimadores de error para adaptar mallas formadas por elementos finitos utilizados en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales, han hecho que en estos últimos años se haya acrecentado el interés en perfeccionar este tipo de herramientas. Siguiendo este camino, recientemente ha sido desarrollada una nueva tecnología que deriva del método variacional de las multiescalas (VMS), y que pondremos en práctica en este proyecto. Esta novedosa tecnología, que utiliza una aproximación de la función de Green, ofrece un nuevo punto de partida para desarrollar la eficiencia y nivel de exactitud de los estimadores de error, y que aplicaremos a la ecuación del transporte. De este modo, estimaremos el error en los elementos finitos que resuelven las ecuaciones diferenciales que rigen dicha ecuación del transporte. El objetivo final propuesto por este proyecto va algo más lejos: lograr una solución con el nivel de exactitud que el usuario solicite. Para ello, haremos uso de mallas de elementos finitos a través de procesos de remallado, que nos permitirán llegar a una malla solución conformada por unos elementos finitos cuyo error estimado no vulnere la exactitud solicitada por el usuario. 7 2. OBJETIVOS Este proyecto de investigación va destinado a obtener la malla correcta, controlando el error en los elementos finitos que conforman las mallas. La estrategia seguida para controlar el error conllevará, además de desarrollar una herramienta fiable de predicción del error, controlar dicho error escogiendo el tamaño de los elementos. Esto permitirá ir adaptando la malla en un proceso iterativo de remallado, de forma que en cada iteración iremos reduciendo el error cometido a fin de obtener una malla solución lo más próxima posible a la solución exacta. Estos procesos de remallado vendrán caracterizados por algunos parámetros tales como el estimador de error que usemos o en qué norma estimemos ese error a lo largo del proceso. De esta forma, los procesos de remallado darán como resultado mallas distintas para un mismo problema en función de qué parámetros utilicemos. Compararemos los efectos de llevar a cabo distintos procesos de remallado modificando estos parámetros. Para ello, compararemos la calidad cualitativa de las mallas adaptadas obtenidas en dichos procesos, a fin de que proporcionen soluciones fiables. Para ello, realizaremos dos tipos de comparativas: Comparativa horizontal: Compararemos las mallas adaptadas obtenidas con distintos estimadores de error, manteniendo constantes el resto de parámetros que pueden condicionar el proceso de adaptación de la malla a lo largo del proceso de remallado. Comparativa vertical: Mantendremos fijo el estimador de error, y compararemos las distintas mallas resultantes de modificar el resto de parámetros que condicionan el proceso de adaptación de la malla en el proceso de remallado. 14 β η 1 2 2 '      ≈e L L TOL e ee h h 1 1 2 2 '+       ≈ β η e L L TOL e ee h h e e L eTOL e h u h β η 1 2 '       Ω = e e L uΩ≅ ' 1 η ' 1 eTOL L TOL ue Ω≅ eTOL L TOL ue Ω≅ 1 ● Reparto uniforme de TOL e sobre la malla inicial de la que partimos: (12) ● Reparto uniforme de TOL e sobre la nueva malla que vamos a generar: (13) ● Reparto uniforme del error puntual: (14) 3.2.2 Reparto uniforme en la norma L1 Para obtener las fórmulas de remallado en la norma L1, se nos plantea un sistema de ecuaciones en el que, además de estar presente la ecuación de la teoría de la convergencia (8), contaremos con las siguientes: (15) (16) Siendo: 1L TOL e≡ tolerancia del error en la norma L1 e L1 η ≡ error estimado con norma L1 Al igual que ocurría en la norma L2, en la norma L1, al hacer el reparto uniforme del error sobre la malla inicial, la segunda ecuación pasará a ser: (17) 15 β η 1 1 1 '      ≈e L L TOL e ee h h 2 1 1 1 '+       ≈ β η e L L TOL e ee h h e e L eTOL eh u h β η 1 1 '     Ω = 4 2 e e h π =Ω π e e hΩ =2 A continuación, las distintas fórmulas de remallado obtenidas en la norma L1: ● Reparto uniforme de TOL e sobre la malla inicial de la que partimos: (18) ● Reparto uniforme de TOL e sobre la nueva malla que vamos a generar : (19) ● Reparto uniforme del error puntual: (20) 3.2.3 Tamaño de elemento e h El tamaño de elemento e h es una dimensión característica del elemento que puede obtenerse a partir del área del propio elemento. Suponiendo que dicho área puede equipararse al de una circunferencia cuyo diámetro es la dimensión característica del elemento, (21) de donde obtenemos (22) En los procesos de remallado que llevaremos a cabo emplearemos mallas conformadas tanto por elementos triangulares como rectangulares. El valor real de sus áreas , e Ω , se obtendrán 16 computacionalmente (ver Anexo 1) en el algoritmo de remallado que utilicemos en el proceso. 3.2.4 Relación entre la tolerancia introducida y el nuevo tamaño de elemento ' e h En las distintas fórmulas de remallado expuestas para ambas normas, observamos que sea TOL e ó TOL u lo que introduzca el usuario en función de la ecuación que utilice, a mayor valor introducido, mayor será el nuevo tamaño ' e h de los elementos, lo que generará mallas más gruesas. Asimismo cuanto menor sea la tolerancia introducida, menor será el nuevo tamaño de los elementos, lo que conformará mallas más finas. En el apartado ‘Resultados’ podremos ver un gran número de casos donde queda patente esta relación. 3.3 ESTRATEGIA DE REMALLADO A continuación se expone el proceso iterativo, esquematizado en la figura 1, que desarrollaremos para alcanzar una malla final que se aproxime a la solución exacta. Estos procesos iterativos, llevados a cabo con un algoritmo, abarcan tanto la estimación del error como la adaptatividad de la malla. Figura 1. Estrategia de remallado 17 Primeramente es necesario definir la geometría que queramos estudiar con las condiciones de contorno que nos interesen, y seguidamente hacer un primer mallado grueso, esta será la malla inicial del proceso iterativo. Usaremos como mallador el programa comercial GiD [8]. Una vez definida la geometría, habrá que concretar con qué fluido queremos trabajar, esto se implementará en un archivo que acompañará al proceso en cada iteración. Entonces ejecutaremos el algoritmo introduciendo la tolerancia al error que deseemos. Nuestro estimador de error (MS08, MS06_L2 o MS06_P0) estimará un error η, que unido a dicha tolerancia , nos permitirá, a través de las fórmulas de remallado vistas anteriormente, calcular un nuevo tamaño para cada elemento, lo que nos proporcionará una nueva malla al final de cada iteración. En caso de que consideráramos que nuestra malla aún no ha convergido, es decir, que todavía no hemos llegado a una malla que sufre pocas variaciones entre una iteración y otra, repetiremos el proceso tomando como malla inicial la malla obtenida en nuestra última iteración. Este proceso se llevará a cabo manteniendo constante en cada una de las iteraciones la tolerancia introducida por el usuario, a fin de ir aproximándonos iteración tras iteración a la malla más adecuada en función como ya hemos dicho de la geometría, fluido y tolerancia que se introduce. De ese modo digamos que la malla va convergiendo hacia una malla final, acercándonos así a la solución exacta, a medida que hacemos que el residuo del estimador de error se vaya también acercando a cero. Llamamos adaptatividad de malla al proceso que parte del error estimado hacia la creación de una nueva malla, pasando por el cálculo de los nuevos tamaños de los elementos. La adaptatividad cosiste en analizar el error estimado que se ha obtenido, mediante los códigos ya expuestos, para determinar en qué zonas es más compleja y, por lo tanto, más complicada su resolución, y en qué zonas la solución es más sencilla y fácil de resolver. Es decir, en qué zonas necesitamos un mayor número de nodos y en qué otra zona el tamaño de la malla puede ser mayor. A partir de este análisis se genera una nueva malla con elementos más pequeños en las zonas complicadas, y más grandes en las zonas sencillas. Con esto se conseguirá mejorar la solución y el proceso de cálculo en las zonas complicadas, al tener elementos más pequeños en estas zonas, y la vez se consigue disminuir el tiempo de cálculo y los recursos de CPU necesarios para la resolución al aumentar el tamaño de los elementos en zonas donde la solución es sencilla. 18 4. RESULTADOS 4.1 APLICACIÓN: ECUACIÓN DEL TRANSPORTE En nuestro estudio aplicaremos los estimadores de error vistos a la ecuación del transporte, cuyo operador diferencial es [2]: (23) Donde: = Velocidad = término convectivo = término difusivo = coeficiente de difusión. = término fuente propio del fluido, puede ser, por ejemplo, un modelo linealizado de reacción química o adición de calor. Y cuyas condiciones de contorno vienen determinadas por [2]: (24) Siendo: = (25) g = Condiciones de contorno esenciales h = Condiciones de contorno naturales El orden de valores que adquiera en nuestro problema la variable coeficiente de difusión k, y que trataremos a lo largo del estudio como viscosidad, convertirá el problema en convectivo o difusivo. Así, en el operador podemos ver que para valores de k razonablemente altos dominará el término difusivo, mientras que para valores bajos dominará el término convectivo. En el siguiente apartado podremos extraer estas mismas conclusiones a través del número adimensional de Péclet. 19 ε La Pe = 4.2 DOMINIO DE GEOMETRIA EN L Nuestro estudio se centrará en el problema de una geometría en L [5] con dominio ( ) [ ] [ ] 5.0,01,5.01,0 2 x , sobre la que compararemos distintas estrategias de remallado. Dicha geometría no tiene condiciones de contorno naturales, y su condición de contorno esencial es g=0. Los parámetros del problema son el vector velocidad a=(1,3), dos valores de viscosidad k=1.0e-6, 1.0, s=-1, y el término fuente independiente que es: )2/1)(5.0(100),( −−= rrryxf con 222 )5.0()5.0( −+−= yxr (26) Trataremos el problema de un modo adimensional a través del número de Péclet: (27) Donde: a ≡ Módulo del vector velocidad L ≡ Longitud característica ε ≡ Viscosidad El módulo de la velocidad tomará valor 10 y la longitud característica valdrá 1. Según el valor de viscosidad que tomemos, k=1.0e-6 o 1.0, el número de Péclet tomará los siguientes valores: k=1.0e-6: 6 6 103 0 . 1 10 x e Pe ≈= − El hecho de que esté en el orden de 6 10 hará que nuestro flujo esté dominado por la convección (Problema convectivo). k=1.0: 3 0 . 1 10 ≈=Pe En este caso, al estar en un orden de 1 10 , nuestro flujo estará dominado por la difusión (Problema difusivo). 20 Desarrollaremos distintas estrategias de remallado en función de la combinación de condiciones que caracterice el proceso iterativo con el que lleguemos a una malla solución del problema. Es decir, dichas condiciones harán que se obtengan mallas solución distintas para el mismo problema. Las condiciones que van a caracterizar los procesos de remallado son: - Qué estimador de error utilizamos: MS08, MS06_L2 o MS06_P0 - Sobre qué norma estimamos el error: L1 ó L2. Como ya se dijo anteriormente, sólo MS08 puede trabajar sobre la norma L1 y L2. MS06_L2 y MS06_P0 sólo pueden estimar el error sobre la norma L2. - Qué tolerancia al error introducimos a lo largo del proceso iterativo. - Qué fórmula de remallado usamos. - Qué geometría tienen los elementos de la malla. - Qué viscosidad tiene el fluido que estudiamos: k=1.0e-6 ó k=1.0. Como referente para los resultados que obtengamos en los distintos procesos de remallado, se muestra a continuación la solución exacta a nuestro problema tanto para un fluido de viscosidad k=1.0e-6, como para otro de viscosidad k=1.0. Figura 2. Solución exacta 2D con viscosidad k=1.0e-6 21 Figura 3. Solución exacta 3D con viscosidad k=1.0e-6 En las figuras 2 y 3 vemos que en el caso con viscosidad k=1.0e-6, la solución posee una capa interna en la dirección de la convección que comienza en la esquina (0.5, 0.5), y capas límite en y=1, en ( ) { } 5.00:,5.0 << yy , y en ( ) { } 15.0:,1 << yy . Estas capas hacen que la resolución del problema sea muy compleja, lo que convierte en un reto alcanzar la malla adecuada que nos proporcione una solución si no exacta, lo más próximo a ella. Figura 4. Solución exacta 2D con viscosidad k=1.0 22 Figura 5. Solución exacta 3D con viscosidad k=1.0 Por otro lado, como vemos en las figuras 4 y 5, el caso con viscosidad k=1.0 no presentará este tipo de dificultades por tener una solución suave sin ese tipo de capas, y cuyo único punto comprometedor será una singularidad en la esquina (0.5, 0.5). Todos los procesos iterativos que contiene el estudio comenzarán con una malla inicial no estructurada, homogénea y preconfigurada, y estará formada bien por elementos triangulares (figura 6) o rectangulares (figura 7). Así pues, según qué geometría de elemento utilicemos, las siguientes mallas iniciales que se muestran serán comunes en todos lo procesos de remallado, independientemente de qué estimador de error, norma o fórmula de remallado usemos, así como de qué tolerancia introduzca el usuario o de la viscosidad. Figura 6. Malla inicial de elementos triangulares 23 Figura 7. Malla inicial de elementos rectangulares De esta forma, los procesos iterativos de remallado que llevaremos a cabo en el problema expuesto, y que como ya dijimos abarcarán tanto estimación de error como adaptatividad de malla, darán como resultado una serie de mallas, cada una resultante de una iteración. A continuación mostramos a modo de ejemplo dos de los procesos que realizaremos, entre otros, a lo largo del estudio. Ejemplo de proceso de remallado 1: Estimador de error: MS06_L2 Norma: L2 Fórmula de remallado: Reparto uniforme de TOL e sobre la malla inicial Viscosidad del fluido: k=1.0e-6 Tolerancia introducida por el usuario durante todo el proceso: 1.0e-5 Elementos triangulares Malla inicial: 1ª iteración: 2ª iteración: 30 e TOL L TOL ue Ω≅ 1 Figura 15. Resultado de aplicar 'Reparto uniforme de etol sobre la nueva malla', norma L1, fluido de viscosidad k=1.0e-6, tolerancia introducida 1.0e-7 Figura 16. Resultado de aplicar 'Reparto uniforme del error puntual', norma L1, fluido de viscosidad k=1.0e-6, tolerancia introducida 1.0e-3 Esto se debe a la ecuación (17): donde 0002.0=Ω e . Lo que hace que si queremos mantener el tamaño de elemento en los tres tipos de reparto, deberemos introducir valores de TOL u del rango de 1.0e-2 ó 1.0e-3 cuando introduzcamos valores de 1 L TOL e de 1.0e-6 ó 1.0e-7 respectivamente. Estas relaciones de valores entre tolerancias a introducir han sido calculadas en base a un tamaño típico de elemento. Este tamaño típico es un tamaño medio de los elementos que integran una malla media. 31 La diferencia entre el tamaño típico considerado y el verdadero tamaño de los elementos de las mallas hará que en los resultados expuestos observemos cómo cualitativamente existen ciertas diferencias entre las mallas obtenidas para el reparto uniforme del error puntual, donde introducimos TOL u , y las obtenidas con los otros dos tipos de reparto. Así, en las mallas finas (Anexo 3/b.2 y Anexo 4/b.2) esa diferencia es prácticamente inexistente por tener sus elementos un tamaño muy próximo al típico considerado. Sin embargo en las mallas gruesas (Anexo 3/a.2 y Anexo 4/a.2) hay mayor diferencia entre el tamaño de lo elementos y el tamaño típico, lo que provoca que sea visible cierto desnivel en cuanto al número de elementos entre las mallas obtenida con el reparto uniforme del error puntual y las obtenidas con los otros dos tipos de reparto. 4.4.2 Relación entre valores de TOL e y TOL u en las normas L1 y L2 para un fluido de viscosidad k=1.0 En la norma L2 (Anexo 5/a.1 y 5/b.1, y Anexo 6/a.1 y 6/b.1): Partimos de nuevo de la siguiente ecuación (11), válida para la norma L2: e TOL L TOL ue Ω≅ 2 Sin embargo, esta vez consideraremos un lado típico de nuestro elemento genérico mayor que para la viscosidad k=1.0e-6. Esto se debe a que la resolución del problema con un fluido de viscosidad k=1.0 no precisa del mismo refinamiento en los elementos de la malla que para una viscosidad de k=1.0e-6. Con un fluido de viscosidad k=1.0e-6 aparecen capas límite y capas internas que hacen que la resolución del problema sea muy compleja, lo que lleva a que necesitemos que el tamaño de los elementos de las mallas en determinadas zonas sea mucho más pequeño que los que requerimos en el mismo problema con k=1.0. Esto hace que el tamaño medio de los elementos con k=1.0 sea mayor, pues en su caso no aparecen los problemas de capas internas y límite, siendo una solución mucho más suave, y permitiendo que los elementos sean más grandes. Así pues, el cálculo del área esta vez será: 00125.0 2 05.005.0 = x 32 Y que aplicándolo a la ecuación, resulta: 03535.0 2 TOL L TOL ue ≅ luego, 2 30 L TOLTOL eu ≅ (29) De esta forma cuando el usuario introduce como TOL u valores de 1.0e-2 ó 1.0e-3 en el reparto uniforme del error puntual, esta vez equivaldrá aproximadamente a que introduzca como TOL e valores de 1.0e-3 ó 1.0e-4 respectivamente en cualquiera de los otros dos tipos de reparto, es decir, esta vez sólo un orden superior. Es decir, a diferencia de lo que ocurría con k=1.0e-6 donde 22 70 L TOL L TOL eu ≅, donde aproximábamos a un valor de 100 con k=1.0, donde 22 30 L TOL L TOL eu ≅ , aproximamos a un valor de 10. Figura 17. Resultado de aplicar 'Reparto uniforme de etol sobre la malla inicial', norma L2, viscosidad k=1.0, tolerancia introducida 1.0e-4 Figura 18. Resultado de aplicar 'Reparto uniforme del error puntual', norma L2, fluido de viscosidad k=1.0, tolerancia introducida 1.0e-3 33 En la norma L1 (Anexo 5/a.2 y 5/b.2, y Anexo 6/a.2 y 6/b.2): El hecho de que el lado típico sea distinto afectará también a la relación entre TOL u y TOL e en la norma L1. A través de la ecuación (17): e TOL L TOL ue Ω≅ 1 donde 00125.0=Ω e , llegamos a la conclusión de que deberemos introducir valores de TOL u del rango de 1.0e-3 ó 1.0e-4 cuando introduzcamos valores de 1 L TOL e de 1.0e-6 ó 1.0e-7 respectivamente para obtener un tamaño de elemento similar: Figura 19. Resultado de aplicar 'Reparto uniforme de etol sobre la nueva malla', norma L1, fluido de viscosidad k=1.0, tolerancia introducida 1.0e-6 Figura 20. Resultado de aplicar 'Reparto uniforme del error puntual', norma L1, fluido de viscosidad k=1.0, tolerancia introducida 1.0e-3 34 Sin embargo, comprobaremos que estas relaciones entre tolerancias, por encima de que sepamos que son aproximadas, en ocasiones no se ajustarán exactamente a los resultados expuestos. Al contrario de lo que ocurría en las mallas con viscosidad k=1.0e-6, el hecho de que el tamaño de los elementos sea relativamente elevado, hace que entre la mallas gruesas y las finas con k=1.0, ese tamaño varíe también más, lo que puede derivar en alejarnos demasiado del tamaño típico considerado en los cálculos. Esto hará que en ocasiones nuestros resultados expuestos no respondan a las relaciones arriba explicadas, sino que habrá que ajustarlas para poder obtener tamaños de elemento parecidos entre las mallas obtenidas con las distintas fórmulas de remallado. Más concretamente podemos ver cómo en las mallas finas hemos optado por mostrar en el reparto uniforme del error puntual, las mallas resultantes de iterar introduciendo como tolerancia TOL u valores de un orden superior a los que hemos deducido en los cálculos. Esto es fácilmente razonable si, basándonos en las mismas ecuaciones y pasos seguidos anteriormente, partimos de un tamaño de elemento menor al típico considerado, lo que llevará a que deduzcamos que la relación numérica entre tolerancias anteriormente calculada cambie. Esa nueva relación nos indicará que la TOL u que debemos introducir tiene que ser mayor que la calculada anteriormente para que el tamaño de los elementos de malla sea similar en los otros dos tipos de reparto uniforme manteniendo TOL e constante. En las mallas gruesas se dará el efecto contrario, al tener elementos mayores que los de tamaño típico elegidos para realizar los cálculos, la tendencia será que el reparto uniforme del error puntual sea más grueso que con los otros repartos. Podríamos también recalcular una nueva relación partiendo de un tamaño de elemento mayor al tamaño típico del que partíamos. Sin embargo, esta vez el tamaño de los elementos tiene un parecido razonable con el tamaño típico considerado en los cálculos realizados, lo que hace que nos sirvan las relaciones entre tolerancias ya halladas. 35 e L TOL e TOL L TOL eue Ω≅Ω≅ 21 e L TOL L TOL ee Ω≅ 21 4.4.3 Relación entre valores de TOL e de las normas L1 y L2 para un fluido de viscosidad k=1.0e-6 Para un fluido de viscosidad k=1.0e-6 podremos comprobar (Ver Anexos 3 y 4) que al usar la norma L1, si queremos obtener un tamaño de elemento similar que en la norma L2, la tolerancia TOL e que el usuario deberá introducir en el reparto uniforme de TOL e sobre la malla inicial y en el reparto uniforme de TOL e sobre la nueva malla deberá ser entorno a 2 órdenes inferior a las introducidas en las mismas fórmulas de remallado en la norma L2. Esto se debe a la ecuación resultante de unir las ecuaciones (11) y (17): (30) de donde (31) siendo, como ya vimos, 014142.0=Ω e . Esto hace que cuando en la norma L2 introduzcamos valores de 2 L TOL e de 1.0e-4 ó 1.0e-5, su equivalente en la norma L1, será aproximadamente 1.0-6 ó 1.0e-7 respectivamente: Figura 21. Resultado de aplicar 'Reparto uniforme de etol sobre la nueva malla', norma L2, fluido de viscosidad k=1.0e-6, tolerancia introducida 1.0e-4 36 Figura 22. Resultado de aplicar 'Reparto uniforme de etol sobre la nueva malla', norma L1, fluido de viscosidad k=1.0e-6, tolerancia introducida 1.0e-6 4.4.4 Relación entre valores de TOL e de las normas L1 y L2 para un fluido de viscosidad k=1.0 Volviendo a la ecuación (31): e L TOL L TOL ee Ω≅ 21 y teniendo en cuenta que el tamaño del elemento para k=1.0 es mayor, resulta 03535.0=Ω e . Esto hace que cuando en la norma L2 introduzcamos valores de 2 L TOL e de 1.0e-4 ó 1.0e-5, su equivalente en la norma L1, seguirá siendo aproximadamente 1.0-6 ó 1.0e-7 respectivamente (Ver Anexos 5 y 6). Sin embargo, a diferencia de lo que ocurría con viscosidad k=1.0e-6, donde teníamos que 014142.0=Ω e , el valor de 03535.0=Ω e hará que la relación entre 1 L TOL e y 2 L TOL e no se ajuste tanto a 2 10 − , con lo que podremos observar cómo el tamaño de los elementos se diferencian algo más entre las normas con k=1.0 que entre las normas con k=1.0e-6 con la misma fórmula de remallado (Ver figuras 23 y 24). 37 Figura 23. Resultado de aplicar 'Reparto uniforme de etol sobre la nueva malla', norma L2, fluido de viscosidad k=1.0, tolerancia introducida 1.0e-5 Figura 24. Resultado de aplicar 'Reparto uniforme de etol sobre la nueva malla', norma L1, fluido de viscosidad k=1.0, tolerancia introducida 1.0e-7 4.5 Valores numéricos En los resultados expuestos podemos ver cómo en los casos con viscosidad k=1.0e-6, al variar la geometría de los elementos, el estimador de error utilizado, así como la norma o la estrategia de remallado, las sucesivas mallas proporcionan soluciones 2D con distintos rangos de colores. Esto podría llevar a pensar que los valores numéricos son diferentes, sin embargo esto no tendría sentido, ya que se trata del mismo problema definido por una misma geometría, con mismas condiciones de contorno y con el mismo fluido. La razón de esas diferencias no es otra que el programa con el que hemos extraído esas soluciones 2D, Tecplot [9], ha escalado los colores a lo largo del perfil obtenido de distinta forma según el caso, 38 aunque lo que realmente nos interesa, el valor numérico, permanece constante en todos ellos. Podemos ver (Anexo7) algunos casos tomados como ejemplo con distintas escalas de colores acompañados de su leyenda. Variaremos de estimador de error, geometría de elementos, norma y estrategia de remallado. Vemos que para el mismo fluido de viscosidad k=1.0e-6, se obtienen los mismos valores numéricos en todos los casos, y que coinciden con los de la solución exacta mostrada en las figuras 2 y 3. En los casos estudiados con un fluido con viscosidad k=1.0, vemos que en los resultados 2D proporcionados por las mallas no hay variación en la escala de colores, variando sólo el nivel de resolución resultante de usar una geometría de elemento, norma o fórmula de remallado. En el ejemplo mostrado en el Anexo 7 tomado de un caso al azar, vemos cómo coinciden los valores numéricos con los de la solución exacta (figuras 4 y 5), lo que ocurrirá en el resto de casos. 39 5. CONCLUSIONES 5.1 Conclusión Comparativa Horizontal En los casos con tolerancia introducida 1.0e-5 los tres estimadores de error proporcionan mallas que se ajustan muy bien a lo que la solución exacta requiere. Generan elementos más pequeños, se afinan, en las capas límite e interna que son las zonas de más difícil resolución, de lo que resultan soluciones muy cercanas a la solución exacta. En los casos más gruesos, con tolerancia al error introducida 1.0e-4, vemos cómo la malla sólo aporta una clara concentración de elementos en algunas de las capas límite, aunque menor que en los casos con tolerancia 1.0e-5. Aunque sí se diferencie cierto refinamiento, esta alta concentración de elementos no existe en todas las capas límite ni en la capa interna, lo que lleva a que la solución aportada por estas mallas gruesas no tengan la exactitud aportada por las finas, alejándose así de la solución exacta. Al comparar los distintos estimadores de error con una misma geometría de elemento y una misma tolerancia introducida, observamos que las mallas son muy parecidas, las tres tecnologías tienen resultados muy similares. Sin embargo en las cuatro tandas comparativas observamos que cualitativamente MS08 ofrece más calidad resolutiva, concentrando más elementos que MS06_L2 y MS06_P0 en las zonas donde la solución lo requiere. 5.2 Conclusión comparativa vertical 5.2.1 Resultados obtenidos para fluido de viscosidad k=1.0e-6 En las mallas gruesas se observan para los tres tipos de reparto las mismas deficiencias que veíamos en las mallas gruesas de la comparativa vertical. La falta de concentración de elementos en una de las capas límite, pero sobre todo en la capa interna, hacen que la solución aportada por dichas mallas se aleje de la solución exacta. Por otra parte, en las mallas finas obtenidas vemos cómo los tres tipos de reparto generan mallas que captan excelentemente la capa