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PROYECTO FIN DE CARRERA Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ___________________________________________________ Realizado por Ignacio Barreras Bernad Dirigido por Mauro Malvè Área de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Departamento de Ingeniería Mecánica Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Ingeniería Técnica Mecánica Zaragoza, Febrero 2011 1 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 2 ____________________________________________________________________________________ Me gustaría desde estas líneas agradecer a Mauro Malvè, director de este proyecto, su amabilidad y simpatía, su gran dedicación y constante disponibilidad y en definitiva su invaluable colaboración para que este trabajo saliese adelante. También a Amaya Pérez del Palomar y al resto de los componentes del MMCyTE que en algún momento de mis estudios me han podido enseñar algo de esta interesante área. Por último, gracias a mis padres y hermano por su paciencia, y a todos aquellos que me han aguantado este tiempo mientras realizaba el proyecto. Zaragoza, Febrero 2011 Ignacio Barreras Bernad 3 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 4 ____________________________________________________________________________________ ÍNDICE LISTADO DE IMÁGENES .......................................................................................................... 6 1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 8 1.1 Motivación ..................................................................................................................... 8 1.2 Estado del arte ............................................................................................................ 14 1.3 Objetivos y descripción ............................................................................................... 14 2 BASES BIOLÓGICAS ....................................................................................................... 16 2.1 El aparato respiratorio. Generalidades ...................................................................... 16 2.2 Anatomía del aparato respiratorio ............................................................................. 16 2.3 Ventilación Pulmonar ................................................................................................. 21 2.4 La Tráquea .................................................................................................................. 23 2.4.1 Morfología ........................................................................................................... 23 2.4.2 Estructura ............................................................................................................ 25 2.4.3 Vascularización de la tráquea ............................................................................. 26 3 FUNDAMENTOS MECÁNICOS DEL AIRE ................................................................... 28 3.1 Introducción a la dinámica de fluidos ......................................................................... 29 3.2 Ecuaciones fundamentales .......................................................................................... 30 3.2.1 Ecuaciones de Euler ............................................................................................ 30 3.2.2 Ecuaciones de Navier-Stokes. Flujo incompresible ............................................ 32 4 FUNDAMENTOS MECÁNICOS DE LA TRÁQUEA..................................................... 36 4.1 Stents endotraqueales y terapia de implantes en medicina ......................................... 38 4.2 Modelos de comportamiento del material de las paredes de la tráquea..................... 39 4.2.1 Formulación de la mecánica de medios continuos ............................................. 39 4.3 Particularidades del modelo de este estudio ............................................................... 42 5 METODO NUMÉRICO ..................................................................................................... 44 5.1 Introducción al método de los elementos finitos ......................................................... 44 5.1.1 Discretización intuitiva de una estructura en elementos finitos ......................... 45 5.1.2 Funciones de aproximación ................................................................................ 46 5.1.3 Aplicación del método de los elementos finitos ................................................... 47 5.2 Formulación CFD, mecánica de fluidos computacional. ........................................... 48 5 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ 5.2.1 Ecuación de conservación de la masa ................................................................ 48 5.2.2 Ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento .............................. 49 5.3 Formulación para la mecánica de sólido computacional ........................................... 49 5.3.1 Lagrangiano en mecánica de medios continuos ................................................. 50 5.3.2 Lagrangiano de un sólido elástico ...................................................................... 50 5.4 Formulación FCBI-C .................................................................................................. 51 6 MODELOS NUMÉRICOS ................................................................................................. 52 6.1 Geometría del modelo ................................................................................................. 52 6.2 Mallado del modelo y condiciones de contorno .......................................................... 56 6.2.1 Condiciones de contorno ..................................................................................... 57 7 RESULTADOS Y DISCUSIÓN ......................................................................................... 60 8 CONCLUSIONES .............................................................................................................. 72 8.1 Resumen ...................................................................................................................... 72 8.2 Limitaciones y líneas futuras de este estudio. ............................................................. 72 BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................... 74 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 6 ____________________________________________________________________________________ LISTADO DE IMÁGENES Capítulo 1 Figura: 1.1 Imagen MRI de una tráquea con estenosis Figura: 1.2 Stent Dumon Figura: 1.3 Stent Montgomery Figura: 1.4 Stents Hood Figura: 1.5 Stents Ultraflex Figura: 1.6 Stents Polyflex Figura: 1.7 Stents Dynamic Capítulo 2 Figura: 2.1 Aparato respiratorio Figura: 2.2 Intubación Figura: 2.3 Anatomía del aparato respiratorio Figura: 2.4 Ley de Boyle Figura: 2.5 Anatomía de la tráquea Capítulo 3 Figura: 3.1 Viscosidad de los fluidos Figura: 3.2 Componentes de una fuerza aerodinámica Figura: 3.3 El aire como fluido Figura: 3.4 Paralelepípedo elemental Capítulo 4 Figura: 4.1 Diagrama tiempo-desplazamiento para diferentes fluidos Figura: 4.2 Campo de deformación de un medio continuo Figura: 4.3 Definición geométrica del gradiente de deformación Capítulo 5 Figura: 5.1 Discretizacion por elementos finitos Figura: 5.2 Elemento triangular Figura: 5.3 Significado geométrico de las funciones de aproximación Capítulo 6 Figura: 6.1 Corte longitudinal de los stents diseñados. Figura: 6.2 Modelos geométricos de stent Figura: 6.3 Stent con entrada a 30º Figura: 6.4 Stent con entrada a 45º Figura: 6.5 Stent con entrada parabólica Figura: 6.6 Stent sobre paredes de tráquea 7 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ Figura: 6.7 Diseño de stent parabólico (redondeado) Figura: 6.8 Etapas de mallado Figura: 6.9 Mallado de cuerpo fluido y stent por separado Figura: 6.10 Diagrama velocidad-tiempo de la simulación Figura: 6.11 Diagrama presión-tiempo de la simulación Figura: 6.12 Planteamiento del modelo con las cargas aplicadas Capítulo 7 Figura: 7.1 Localización de zonas importantes del análisis Figura: 7.2 Plano de corte Figura: 7.3 Plano de corte de la malla Figura: 7.4 Vista general y ampliaciones. t=1o de corte de la malla Figura: 7.5 Representación esquemática de la entrada de flujo Figura: 7.6 Vista general y ampliaciones. t=3 Figura: 7.7 Representación esquemática Figura: 7.8 Distribución de velocidades stent 45º. t=1 Figura: 7.9 Representación esquemática entrada a 45º Figura: 7.10 Distribución de velocidades stent 45º. t=3 Figura: 7.11 Representación esquemática Figura: 7.12 Distribución de velocidades stent 30º. t=1 Figura: 7.13 Representación esquemática entrada 30º Figura: 7.14 Distribución de velocidades stent 30º. t=3 Figura: 7.15 Representación esquemática salida aire. Stent 30º Figura: 7.16 Distribución de velocidades stent redondeado. t=1 Figura: 7.17 Representación esquemática entrada aire. Stent redondeado. Figura: 7.18 Distribución de velocidades stent redondeado. t=3 Figura: 7.19 Salida aire en stent redondeado Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 8 ____________________________________________________________________________________ 1 INTRODUCCIÓN 1.1 Motivación La biomecánica es una disciplina científica cuyo objeto principal es el estudio de las estructuras de carácter mecánico presentes en los seres vivos, particularmente en el ser humano. Con base en los conocimientos de diversas ramas de la ciencia, como la mecánica, la anatomía o la fisiología entre otras, se analizan comportamientos para resolver problemas derivados de diferentes condiciones a las que puede ser sometido el cuerpo humano. Debido a su gran utilidad para obtener avances en el campo de la medicina, la biomecánica es una disciplina en auge en la actualidad. A través del uso de herramientas informáticas hasta ahora sólo utilizadas en ingeniería es posible modelar estructuras biológicas para observar su comportamiento. Aquí se va a estudiar una parte del sistema de conducción del aparato respiratorio. En cifras de la Organización Mundial de la Salud (OMS) para el año 2004 [1], la mortalidad por cáncer de tráquea, bronquios y pulmón en el mundo está entre las 10 causas principales, representando un 2.3% del total de la mortalidad mundial, por encima de, por ejemplo, las ocasionadas por accidentes de tráfico y siendo este dato especialmente alto en países con altos ingresos económicos, donde es la tercera causa de mortalidad y el porcentaje se eleva hasta el 5.9%. En los países con economías más avanzadas, más de las dos terceras partes de la población vive más de 70 años y la principal causa de muerte son las enfermedades crónicas: enfermedad cardiovascular, enfermedad pulmonar obstructiva crónica, cánceres, diabetes o demencia. La infección pulmonar sigue siendo la única causa principal de defunción por infecciones. En los países de medianos ingresos, casi la mitad de la población vive hasta los 70 años, y las enfermedades crónicas son las más mortíferas, al igual que en los países de altos ingresos. A diferencia de éstos, sin embargo, la tuberculosis y los accidentes de tráfico se cuentan también entre las causas principales de defunción. En los países con pocos recursos económicos, menos de una cuarta parte de la población llega a los 70 años, y más de una tercera parte de todos los fallecimientos se produce entre los menores de 14 años. Las enfermedades infecciosas como las infecciones pulmonares, las enfermedades diarreicas, el VIH/SIDA, la tuberculosis y el paludismo, son las que se cobran más vidas en esos países. Las complicaciones del embarazo y el parto juntas siguen siendo una de las principales causas de defunción, ya que acaban con la vida de madres y lactantes [2]. El consumo de tabaco es una de las principales causas de muchas de las enfermedades más mortíferas del mundo y, en particular, tiene un efecto muy negativo en las enfermedades del sistema respiratorio, además de las enfermedades cardiovasculares. Se calcula que el tabaco es la causa oculta de la enfermedad que queda registrada como causa de defunción en uno de cada 10 adultos en todo el mundo. En muchos de tratamientos de enfermedades del sistema respiratorio se precisa de una intubación del paciente. Si ésta es muy prolongada aumenta el riesgo de padecer estenosis 15 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ El objetivo de este estudio es:  Realizar una serie de modelos 3D del fluido circulante a través de una tráquea humana partiendo de estudios previos, suavizando la geometría a la entrada y salida del stent.  Realizar la comparación entre las distintas geometrías realizadas, observando el régimen más o menos turbulento del aire en los puntos clave dependiendo del modelo.  Comprobar si es realmente determinante la geometría de los stents propuestos frente al modelo existente estudiado, en cuanto a la mejora que puede suponer en las condiciones de respiración normal del paciente. Este estudio se lleva a cabo como complemento a otros estudios realizados por el Grupo de Mecánica Estructural y Modelado de Materiales (GEMM) del Área de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras (MMCyTE) de la Universidad de Zaragoza en el campo de la biomecánica y en concreto del comportamiento de la tráquea ante diferentes formas de ventilación. Exactamente este estudio se centra en determinar la necesidad de alterar la geometría actualmente existente de un stent de tráquea para mejorar las condiciones de circulación del flujo de aire a través de él en pacientes con estenosis. Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 16 ____________________________________________________________________________________ 2 BASES BIOLÓGICAS 2.1 El aparato respiratorio. Generalidades Las células requieren continuamente oxígeno (O2) para realizar las reacciones metabólicas que les permiten captar la energía de las moléculas de los nutrientes y producir ATP. Al mismo tiempo, esas reacciones liberan dióxido de carbono (CO2). El exceso de CO2 produce acidez que puede ser tóxica para las células, por lo cual debe eliminarse de manera rápida y eficaz. Los dos sistemas que contribuyen al aporte de O2 y la eliminación de CO2 son el cardiovascular y el aparato respiratorio. Este último realiza un intercambio de gases (suministro de O2 y excreción de CO2), mientras que por el segundo fluye la sangre, que transporta gases entre los pulmones y las células de los tejidos. La falla de uno y otro altera la homeostasis al causar la muerte rápida de las células por falta de oxígeno y la acumulación de productos de desecho. Además de llevar a cabo el intercambio gaseoso, el aparato respiratorio participa en la regulación del pH sanguíneo; posee receptores para el sentido de la olfacción; filtra el aire inhalado, produce sonidos y elimina una parte del agua y calor corporales en el aire exhalado [20]. El proceso de intercambio de gases en el cuerpo, llamado respiración, se compone de tres partes básicas: 1. La ventilación pulmonar, también llamada simplemente respiración, es el flujo mecánico de aire hacia los pulmones (inhalación o inspiración) y su salida de éstos (espiración o exhalación). 2. La respiración externa consiste en el intercambio de gases entre los alveolos pulmonares y la sangre, en los capilares de estos órganos. En este proceso, el flujo sanguíneo de los capilares recibe O2 y entrega CO2. 3. La respiración interna es el intercambio de gases entre la sangre de los capilares del resto del cuerpo y las células de los tejidos. En este proceso, la sangre entrega O2 y recibe CO2. Se llama respiración celular a las reacciones metabólicas, en el interior de las células, en las que se consume O2 y se produce CO2 durante la síntesis de ATP. 2.2 Anatomía del aparato respiratorio El aparato respiratorio consta de nariz, faringe (garganta), laringe, tráquea, bronquios y pulmones. En lo estructural, se divide en dos porciones: 1) Vías respiratorias superiores, que comprenden la nariz, faringe y estructuras acompañantes, y 2) vías respiratorias inferiores, que incluyen laringe, tráquea, bronquios y pulmones (fig. 2.1). Desde el punto de vista funcional, este aparato también se divide en dos partes: 1) la porción de conducción, que forma un conjunto de cavidades y conductos conectados entre sí, fuera y dentro de los pulmones (nariz, faringe, laringe, tráquea, bronquios, bronquiolos y bronquiolos terminales), los cuales filtran, calientan, humectan y conducen el aire hacia los pulmones, y 2) la porción respiratoria, formada por los tejidos pulmonares en los que ocurre el intercambio gaseoso, a saber, bronquiolos respiratorios, conductos y sacos alveolares, así como alveolos; estos últimos constituyen el sitio 17 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ principal de intercambio gaseoso entre el aire y la sangre [22]. El volumen de la conducción en adultos es de unos 150 ml y el de la porción respiratoria, de cinco a seis litros. La rama de la medicina que estudia el diagnóstico y tratamiento de enfermedades de los oídos, nariz y garganta es la otorrinolaringología. Un neumólogo es un especialista en el diagnóstico y tratamiento de enfermedades pulmonares. Figura 2.1 – Aparato respiratorio NARIZ La nariz se divide en las porciones interna y externa. Esta última está formada por una estructura de sostén de hueso y cartílago hialino, cubiertos de músculos, piel y revestimiento de mucosa. La estructura ósea de la nariz consta de huesos frontales, nasales y maxilares superiores. La cartilaginosa consiste en el cartílago septal, que integra la porción anterior del tabique nasal; los cartílagos nasales laterales, y los cartílagos alares, que constituyen una parte de la pared de los orificios anteriores de la nariz. Como tiene un cartílago hialino plegable, el resto de la nariz externa es un tanto flexible. En la parte caudal de la nariz externa hay dos aberturas llamadas orificios nasales. Las estructuras anteriores de la porción externa de la nariz desempeñan tres funciones: 1) calentar, humectar y filtrar el aire inhalado; 2) detectar los estímulos olfatorios, y 3) modificar las vibraciones de la voz a su paso por las cámaras resonantes huecas de gran tamaño. FARINGE La faringe o garganta es un conducto ahusado de unos 13 cm de longitud que se inicia en los orificios posteriores de la nariz y llega hasta el nivel del cartílago cricoides, el más inferior de la laringe. La faringe se sitúa justo en plano posterior a la boca y nariz, arriba de la laringe y por Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 18 ____________________________________________________________________________________ delante de las vértebras cervicales. Su pared se compone de músculos y tiene revestimiento de mucosa. La faringe constituye un conducto para el paso del aire y alimentos, una cámara de resonancia para la voz y el sitio donde se alojan las amígdalas, que participan en respuestas inmunitarias contra microbios invasores. Se divide en tres regiones anatómicas: 1) nasofaringe; 2) bucofaringe, y 3) laringofaringe. LARINGE La laringe es un conducto corto que conecta la laringofaringe con la tráquea. Se ubica en la línea media del cuello, por delante de las vértebras cervicales C4 a C6. La pared de la laringe está integrada por nueve cartílagos. Tres de ellos son nones (cartílagos tiroides), y otros tres, pares (aritenoides, cuneiformes y corniculados). De los cartílagos pareados, los aritenoides son los más importantes porque influyen en la posición y tensión de las cuerdas vocales verdaderas. Los músculos extrínsecos de la laringe conectan los cartílagos con otras estructuras de la garganta, en tanto que los intrínsecos relacionan los cartílagos entre sí. El cartílago tiroides (también llamado nuez) consta de dos placas fusionadas de cartílago hialino que forman la pared anterior de la laringe y le confieren forma angular. Normalmente es mayor en los varones que en las mujeres por influencia de las hormonas sexuales masculinas, que inducen su crecimiento. La epiglotis constituye una gran estructura de cartílago elástico en forma de hoja que está cubierta con epitelio. El tallo de la epiglotis se une al borde anterior del cartílago tiroides. Durante la deglución se elevan la faringe y laringe. El cartílago cricoides consiste en un anillo de cartílago hialino que forma la pared inferior de la laringe. El ligamento cricotiroideo medio lo conecta con el cartílago tiroides. El primero de estos dos es la marca de referencia anatómica para la traqueotomía de urgencia. El par de cartílagos aritenoides, estructuras triangulares que constan principalmente de cartílago hialino, se localiza en el borde posterosuperior del cricoides. Une las cuerdas vocales con los músculos faríngeos intrínsecos. Con el sostén de estos cartílagos, dichos músculos se contraen y, como resultado, mueven las cuerdas vocales. El par de cartílagos corniculados, en forma de cuernos e integrados por cartílago elástico, se localiza en el vértice de cada cartílago aritenoides. Por último, los dos cartílagos cuneiformes, estructuras en forma de maza situadas en plano anterior a los corniculados, brindan sostén a las cuerdas vocales y porciones laterales de la epiglotis. TRÁQUEA Se trata de un conducto tubular por el que fluye aire, tiene unos 12 cm de longitud y aproximadamente 2 cm de diámetro. Se localiza por delante del esófago y abarca desde la laringe hasta el nivel del borde superior de la vértebra T5, donde se divide en los bronquios primarios derecho e izquierdo. Las capas que integran la pared traqueal, de la más profunda a la superficial, son: 1) mucosa; 2) submucosa; 3) cartílago hialino, y 4) adventicia; esta última consta de tejido conectivo areolar. La mucosa de la tráquea se compone de una capa de epitelio cilíndrico ciliado pseudoestratificado y otra subyacente de lámina propia, que incluye fibras elásticas y reticulares 19 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ [25]. El epitelio contiene células caliciformes y cilíndricas ciliadas, que llegan a la superficie luminal, además de células basales, que no alcanzan dicha superficie. El epitelio brinda la misma protección contra el polvo que la membrana de revestimiento de la nariz y laringe. La submucosa es tejido conectivo areolar formado por glándulas seromucosas y sus conductos. Los 16 a 20 anillos horizontales incompletos de cartílago hialino conforman una letra C y se apilan uno encima del otro. Pueden palparse a través de la piel en plano inferior de la laringe. Su parte abierta se dirige hacia el esófago; esta disposición permite que el esófago se contraiga levemente durante la deglución. El extremo abierto de los anillos cartilaginosos se estabiliza gracias a fibras de músculo liso transverso, el llamado músculo traqueal, y tejido conectivo elástico. Dichos anillos constituyen un sostén semirrígido que evita el colapso de la pared traqueal (especialmente durante la inhalación) y la consecuente obstrucción de las vías respiratorias. La adventicia de la tráquea está formada por tejido conectivo areolar que une a la tráquea misma con los tejidos circundantes. Aplicación clínica: Traqueotomía e intubación Figura 2.2 - Intubación Diversos factores pueden bloquear el flujo de aire al obstruir la tráquea. Por ejemplo, es posible que se colapsen los anillos cartilaginosos que brindan sostén a dicho conducto como resultado de una lesión torácica por aplastamiento, o la inflamación de la mucosa puede ocasionar la oclusión de las vías respiratorias; también cabe la posibilidad de que ocurra la broncoaspiración de vómito o un objeto extraño. Se utilizan dos métodos para restaurar el flujo de aire más allá de un punto de obstrucción traqueal. Si ésta se localiza en plano superior a la laringe, suele emprenderse la traqueotomía. En este procedimiento se practica una incisión cutánea seguida de otra longitudinal breve en la tráquea, por debajo del cartílago cricoides. Luego, el paciente respira por una sonda traqueal metálica o plástica que se introduce en la incisión. El segundo método consiste en la intubación (fig. 2.2), conforme a la cual se introduce una sonda por la nariz o boca y se desplaza en sentido inferior por la laringe y tráquea. La pared firme de la sonda empuja hacia un lado cualquier obstrucción flexible y la luz misma de este tubo sirve como conducto para el flujo de aire, además de que permite aspirar el moco que causa la obstrucción [23,24]. Por tratarse la tráquea del objeto del estudio, se abordará un análisis más detallado de ésta en adelante. Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 20 ____________________________________________________________________________________ BRONQUIOS En el borde superior de la vértebra T5, la tráquea se bifurca en los bronquios primarios derecho e izquierdo, que se dirigen a los pulmones respectivos. El bronquio primario derecho es más vertical, corto y ancho que el izquierdo (fig 2.3). En consecuencia, los objetos broncoaspirados tienden a entrar por este conducto y alojarse en él con mayor frecuencia que el izquiero. A semejanza de la tráquea, los bronquios primarios poseen anillos incompletos de cartílago y revestimiento de epitelio cilíndrico ciliado pseudoestratificado. PULMONES Los pulmones son dos órganos cónicos situados en la cavidad torácica. Los separan el corazón y otras estructuras del mediastino, que divide la cavidad torácica en dos partes anatómicamente distintas. En consecuencia, si un pulmón se colapsa como resultado de un traumatismo, el otro suele permanecer expandido. Dos capas de membrana serosa, la pleura, envuelven y protegen cada pulmón. La capa superficial reviste la pared de la cavidad torácica y se denomina pleura parietal, mientras que la profunda, o pleura visceral, sirve como envoltura de ambos pulmones. Entre ambos existe un pequeño espacio llamado cavidad pleural. Los pulmones abarcan desde el diafragma hasta un punto situado apenas en plano superior a las clavículas y llegan hasta las costillas tanto en plano anterior como posterior. La porción inferior amplia o base pulmonar es cóncava y se ubica sobre la superficie convexa del diafragma. La porción superior angosta de los pulmones es su vértice. La parte de los pulmones dispuesta contra las costillas, o superficie costal, se adapta a la curvatura de las propias costillas. Todas estas estructuras, que se mantienen unidas por la pleura y tejido conectivo, constituyen la raíz del pulmón. En el plano medial, el pulmón izquierdo también posee una concavidad, la escotadura cardiaca que da cabida al corazón. En virtud del espacio que ocupa este último, el pulmón izquierdo es casi un 10% menor que el derecho. Aunque éste tiene mayor anchura y profundidad, también es poco más corto que el izquierdo, ya que el diafragma está más arriba en el lado derecho, para dar lugar al hígado subyacente. 21 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ Figura 2.3 – Anatomía del aparato respiratorio [32] 2.3 Ventilación Pulmonar La ventilación pulmonar, comúnmente llamada respiración, es el proceso mediante el que se intercambian gases entre la atmósfera y los alveolos pulmonares. El flujo de aire entre los pulmones y la atmósfera se debe a diferencias de presión alternadas que generan la contracción y relajación de los músculos auxiliares de la respiración [21]. La magnitud del flujo de aire y el esfuerzo necesario para la respiración también reciben influencia de la tensión en la superficie alveolar, distensibilidad de los pulmones y resistencia de las vías respiratorias. Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 22 ____________________________________________________________________________________ Cambios de presión durante la ventilación pulmonar El aire entra a los pulmones cuando la presión dentro de estos órganos es menor que la presión atmosférica del aire y sale de dichas vísceras si la presión intrapulmonar es mayor que la atmosférica. Inspiración La inspiración o inhalación es la parte de la ventilación pulmonar en que entra aire en los pulmones. Justo antes de cada inspiración, la presión de aire intrapulmonar es casi igual a la atmosférica, o sea de unos 760 milímetros de mercurio (mmHg) o 1 atmósfera (atm) a nivel del mar. A fin de que el aire entre a los pulmones, la presión en los alveolos debe ser menor que la atmosférica. Ello se logra con el aumento del volumen pulmonar. La presión de un gas en un recipiente cerrado es inversamente proporcional al volumen de dicho recipiente, lo cual significa que si el tamaño de éste aumenta disminuye la presión en su interior y que si se incrementa el tamaño del recipiente aumenta la presión que ejerce el gas. Esta relación inversa entre volumen y presión es la llamada Ley de Boyle: P1V1=P2V2 (fig. 2.4) Figura 2.4 – Ley de Boyle Las diferencias de presión resultantes de cambios en el volumen pulmonar fuerzan la entrada del aire a los pulmones durante la inhalación y su salida en la exhalación. A fin de que ocurra la primera, deben expandirse los pulmones, con lo cual aumenta su volumen y, en consecuencia, la presión dentro de ellos es menor que la atmosférica. Durante la respiración tranquila normal, el diafragma desciende cerca de 1 cm, lo cual produce una diferencia de presión de 1 a 3 mmHg y la inhalación de casi 500 ml de aire. Cuando se respira de forma agitada, el diafragma puede llegar a descender hasta 10 cm, lo cual genera una diferencia de presión de 100 mmHg y hace posible que se inhalen entre 2 y 3 litros de aire. 23 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ Espiración La espiración o exhalación, proceso por el que sale aire por el sistema respiratorio, también se debe a un gradiente de presión, que en este caso es opuesto: la presión en los pulmones es mayor que la atmosférica. La espiración normal durante la respiración tranquila, a diferencia de la inspiración, es un proceso pasivo porque en él no participan contracciones musculares. En vez de ello, la respiración ocurre por el rebote elástico de la pared torácica y de los pulmones, que tienden de manera natural a contraerse después de su estiramiento. La espiración se vuelve activa sólo durante la respiración forzada, como al interpretar música en un instrumento de viento o durante el ejercicio físico. En tales circunstancias, se contraen los músculos auxiliares de la respiración (abdominales e intercostales) lo cual aumenta la presión en el abdomen y tórax. Resistencia de las vías respiratorias Como ocurre con el flujo de la sangre por los vasos sanguíneos, el de aire por las vías respiratorias depende de las diferencias de presión y de la resistencia: el flujo de aire es igual a la diferencia de presión entre los alveolos y la atmósfera, dividida entre la resistencia. La pared de las vías respiratorias, en especial de los bronquiolos, brinda cierta resistencia al flujo normal de aire en ambas direcciones. Al expandirse los pulmones durante la inhalación, los bronquiolos aumentan de diámetro porque su pared se desplaza hacia fuera en todas las direcciones. Las vías respiratorias de mayor diámetro tienen menor resistencia. Por ende, dicha resistencia aumenta durante la exhalación, al reducirse el diámetro bronquiolar. Además, el grado de contracción o relajación del músculo liso en la pared de las vías respiratorias regula su diámetro y, por tanto, su resistencia. El aumento de la actividad del sistema nervioso simpático produce la relajación de ese músculo liso, lo cual da por resultado broncodilatación y menor resistencia. Todo factor que estreche u obstruya las vías respiratorias aumenta su resistencia, de modo que se requiere mayor presión para mantener el mismo flujo de aire. El signo cardinal del asma o las enfermedades pulmonares obstructivas crónicas (EPOC: enfisema o bronquitis crónica) es el incremento de la resistencia debido a la obstrucción o colapso de las vías respiratorias. 2.4 La Tráquea 2.4.1 Morfología La tráquea se extiende desde el borde inferior de la 6ª vértebra cervical hasta la 5ª vértebra dorsal (a nivel del disco que separa la 5ª de la 6ª dorsal) [31]. Es un conducto que sigue a la laringe y termina en el tórax bifurcándose en dos estructuras que son los bronquios (fig 2.5). El segmento cervical traqueal se extiende del borde inferior del cartílago cricoides hasta el plano horizontal que pasa por el borde superior del esternón, mide entre 50 a 70 mm y se compone de 6 a 7 anillos. El segmento torácico ocupa un plano medio por delante del esófago, comprende desde el borde superior del esternón (incisión yugular del esternón) hasta su bifurcación en bronquios principales, su longitud es de 50 a 70 mm al igual que su par cervical. Se trata de un conducto impar, medio, y simétrico, situado primeramente en la parte anterior e inferior del cuello. Abandona esta región desciende por detrás del esternón y ocupa la parte superior del tórax. En todo su trayecto está situada delante del esófago. Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 24 ____________________________________________________________________________________ La tráquea tiene forma de tubo cilíndrico aplanado hacia atrás. La curvatura cilíndrica no es regular, esta aplanada transversalmente hacia arriba. Presenta dos depresiones en el lado izquierdo, en el tercio superior corresponde a la impresión tiroidea del 2º al 5º anillo traqueal (el istmo tiroideo está fuertemente adherido por tractos fibrosos llamados ligamentos de Gruber) y la otra, denominada “impresión aórtica” que se debe al cayado aórtico por encima de su bifurcación. El diámetro de la tráquea aumenta gradualmente de arriba abajo, por tanto no es un verdadero cilindro, sino que es en realidad una especie de cono truncado muy prolongado cuya base corresponde a su extremo inferior y ocupa la parte superior del tórax. En toda su longitud está situada delante del esófago. Figura 2.5 – Anatomía de la tráquea 31 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ descubrió las leyes que rigen el movimiento de los fluidos ideales, antes del descubrimiento de las leyes que gobiernan el movimiento de los cuerpos rígidos. Se quiere determinar el movimiento de un fluido para un observador que usa un sistema de referencia cartesiano, con los valores de las componentes de la velocidad en función del tiempo t y de las coordenadas x, y, z. Esta determinación obliga también a calcular la presión p con la que las partículas de fluido actúan mutuamente entre ellas, de modo que toda partícula es presionada por todos sus lados por sus adyacentes. Dado que esta presión no es la misma en todas partes su acción se traducirá en generar el movimiento de la partícula. Esta descripción se denomina Euleriana, para distinguirla de la descripción Lagrangiana, también introducida por Euler, en la que la posición de cada partícula fluida sustituye a la velocidad como variable cinemática independiente. Esta posición ha de determinarse como función del tiempo y de las coordenadas iniciales. Según la teoría de Euler, la ecuación correspondiente se deduce exigiendo que cualquier parte del fluido no pueda ser forzada a ocupar un volumen menor ni a que su continuidad sea interrumpida. Euler aplica esta consideración a la evolución de la parte del fluido que en un instante dado ocupa un paralelepípedo de aristas infinitesimales paralelas a los ejes de coordenadas (fig. 3.4). Así se obtiene la ecuación (3.6) que hoy llamamos de continuidad. Teniendo en cuenta las consideraciones cinemáticas, para calcular las tres componentes de la aceleración que tienen las partículas fluidas, cuando se utiliza esta descripción Euleriana se obtiene: (3.7) (3.8) (3.9) A continuación se introducen las consideraciones dinámicas imprescindibles para poder determinar el movimiento de las partículas, aislando el fluido que en un instante t ocupa un paralelepípedo de tamaño diferencial, con aristas paralelas a los ejes coordenados dx, dy, dz, centrado en el punto x, y, z; para identificar después, de acuerdo con la segunda ley de Newton, el producto de su masa por su aceleración con la resultante de las fuerzas que ejerce el exterior sobre esa masa infinitesimal de fluido. Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 32 ____________________________________________________________________________________ Figura 3.4 – Paralelepípedo elemental La resultante de las fuerzas de presión está asociada a las variaciones espaciales de p. Para una partícula infinitesimal de fluido, se obtiene una fuerza igual y contraria al producto del volumen, dxdydz, por el gradiente local de las presiones. Sus componentes son: (3.10) Así, eligiendo un sistema de coordenadas en las que z es la coordenada vertical, se deduce: (3.11) (3.12) (3.13) que junto a la ecuación de continuidad, constituyen el sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas que describen los movimientos de fluidos ideales incompresibles, de densidad constante , sometidos a la fuerza gravitatoria, caracterizada por la aceleración g. 3.2.2 Ecuaciones de Navier-Stokes. Flujo incompresible Al conjunto de las ecuaciones de continuidad, de cantidad de movimiento y de la conservación de la energía dadas en su forma diferencial se le denomina ecuaciones de Navier-Stokes. En un fluido en movimiento, las tensiones tangenciales debidas a la viscosidad son proporcionales a los gradientes de velocidad, lo cual permite calcular las pérdidas existentes en un flujo laminar. Éstas originan una disipación de energía por frotamiento viscoso tal que las pérdidas de carga totales son mucho más importantes que las que resultarían de considerar solamente la viscosidad en el citado movimiento medio. Es por esto que si a las ecuaciones de Euler se añaden las que ocasiona la viscosidad, se obtiene como resultado las ecuaciones de Navier-Stokes en su forma más simplificada. Para su cálculo y determinación se va a estudiar lo que acontece a lo largo del eje OX, teniendo en cuenta la ecuación de Newton de la viscosidad μ 33 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ para la velocidad , y que tendrá por componentes ( según los ejes (x,y,z) respectivamente, en la forma: (3.14) Correspondientes al flujo entrante por las caras dy-dz, dx-dz y dx-dy, respectivamente. Para las caras opuestas del cubo teórico elemental se tiene: (3.15) (3.16) (3.17) que restadas de las primeras quedan: Eje Ox: (3.18) Eje Oy: (3.19) Eje Oz: (3.20) y multiplicadas por la sección correspondiente, permiten obtener las fuerzas de naturaleza viscosa debidas a la variación de la componente de la velocidad según los citados ejes: (3.21) (3.22) (3.23) Si se suman se obtiene la fuerza total debida a la viscosidad μ para la velocidad : (3.24) Se puede realizar el mismo proceso para las velocidades y actuando sobre las mismas caras anteriormente definidas. Añadiendo estas expresiones a las ecuaciones de Euler, se tiene para la velocidad en su proyección para los ejes coordenados X, Y, Z: (3.25) Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 34 ____________________________________________________________________________________ que se puede simplificar con u=f(x,y,z,t) y se reduce a: (3.26) Que junto con las obtenidas para las velocidades v y w, de la forma: (3.27) (3.28) Que definen muy bien el régimen laminar, aunque no el turbulento. La ecuación general también se puede poner en forma vectorial: (3.30) donde representa el gradiente de presiones y es el producto escalar del operador Nabla y el vector velocidad. o ∆ representa el operador de Laplace aplicado a : (3.31) (3.32) ∆ (3.33) La parte izquierda de la ecuación general describe la aceleración local y la aceleración convencional o . También hay variación de la aceleración que hay en un flujo variable como son las presiones. 35 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 36 ____________________________________________________________________________________ 4 FUNDAMENTOS MECÁNICOS DE LA TRÁQUEA Las vías respiratorias superiores son el conducto primario para la inspiración en el proceso de respiración en el ser humano. El aire entra por la boca o nariz, atraviesa la faringe y llega a la tráquea por la región glótica. La tráquea es capaz de adaptarse para regular la presión durante diferentes condiciones de ventilación, como la respiración, los estornudos o la tos. Los componentes principales de la tráquea son los anillos de cartílago y la membrana muscular que recorre longitudinalmente la parte posterior, pegada al esófago. La función principal de la estructura cartilaginosa de anillos es mantener la tráquea abierta al paso de aire a pesar de la presión inter-torácica durante los movimientos de respiración. La contracción del músculo liso y la presión generan tensiones de flexión y tracción en los cartílagos para regular el flujo de aire y modular el diámetro del conducto respiratorio. Atendiendo al comportamiento de las paredes de la tráquea, hay una gran dispersión de las propiedades mecánicas de los distintos tejidos que la componen, y tan sólo unos pocos trabajos han analizado su comportamiento mecánico en humanos [41, 42, 43, 44]. En la mayoría de estos estudios el cartílago traqueal aislado ha sido considerado como un material isótropo elástico lineal. Con respecto al músculo liso, varios trabajos coinciden en su plasticidad, rigidez y extensibilidad [43,45]. Trabelsi et al. [46] analiza experimentalmente las propiedades mecánicas de esta membrana, que hace posible el colapso de los anillos y por tanto afecta al balance de presión dentro de la tráquea, demostrando que el músculo traqueal liso es más rígido en dirección longitudinal. Según esto existen dos familias de fibras coexistentes orientadas en dos direcciones. La mayor parte de las fibras del músculo liso de la tráquea son transversales y están situadas a nivel de los límites del cartílago para crear una conexión transversal entre ellos, por lo que su contracción altera el área transversal de la tráquea. Sin embargo hay también algunas fibras longitudinales externas que actúan en los movimientos de la tráquea como al tragar. Todos los tejidos biológicos son viscoelásticos, y en particular el cartílago. En los estudios mecánicos su comportamiento se simplifica por varias razones, en primer lugar porque la mayoría de la no linealidad de la tráquea se debe a su tejido muscular. Su deformación y su capacidad para el colapso hacen posible tragar, respirar o toser y por tanto se dedica más esfuerzo en comprender el comportamiento de las fibras musculares y no de las cartilaginosas, que actúan casi como elementos rígidos que solo sufren algo de flexión cuando el músculo se contrae. Pérez del Palomar et al. [47] analizan la influencia de la implantación de stents en el comportamiento general de la tráquea. El stent más comúnmente utilizado es el de tipo Dumon, de geometría cilíndrica y un rango de diámetros variable. En el citado trabajo se estudian las tensiones que soporta la tráquea antes y después de realizar el implante. Se realiza un análisis de la secuencia de deglución antes del implante y se presenta la distribución de esfuerzos y desplazamientos. La introducción de un stent en la tráquea provoca tensiones en su superficie interna. Durante el movimiento de deglución la tensión máxima soportada por las paredes de la 37 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ tráquea con stent es casi 2.5 veces superior, y además aparecen tensiones localizadas en los puntos de contacto al principio y final del stent con la tráquea. Basándose en la experiencia clínica de los cirujanos torácicos puede clasificarse la deglución como el movimiento que causa más daños a la tráquea cuando ésta tiene un stent interno. Durante este proceso la tráquea asciende acompasada con la laringe, causándose así una elongación no homogénea de sus segmentos. Cuando hay un stent presente este movimiento se ve dificultado ya que la prótesis endurece estos segmentos. Actualmente el avance del conocimiento clínico facilita la elección del correcto stent para cada paciente, pero desafortunadamente la mayoría de ellos deben pasar por quirófano en más de una ocasión. El flujo aéreo a través de tráquea y árbol bronquial depende de la fuerza muscular respiratoria y del calibre de las vías aéreas. Habitualmente se considera el estado contráctil del músculo tráqueo-bronquial como factor fundamental de su calibre, sin embargo tanto el grosor de la pared como la ocupación de la luz por secreciones pueden disminuir el diámetro traqueal o bronquial [48]. La retención de secreciones facilita la pululación bacteriana local y puede ser origen de infecciones reiteradas con lesión de las paredes traqueales, además de ser conocidos los alivios de la disnea que experimentan los pacientes con neumopatía obstructiva cuando es posible expectorar adecuadamente [49]. La mucosa traqueal está recubierta por mucus, de acuerdo al modelo descrito por Lucas y Douglas [50], esta capa de gel mucoso está en contacto con el aparato ciliar, cuyo batido transporta el mucus hacia la faringe para su deglución. La mucosa respiratoria es ciliada desde los 2/3 posteriores nasales hasta el bronquiolo terminal. Superficialmente aparecen glándulas secretoras de mucus y en mucha menor proporción células calciformes de una dimensión entre 5 y 7 μm. El mucus respiratorio tiene cualidades viscoelásticas [49] que imprimen cierta complejidad a sus movimientos. Idealmente un sólido al que se le aplica una fuerza se deforma y la proporcionalidad entre fuerza y deformación es una constante: el módulo de elasticidad o módulo de Young, característico para cada material. Al suprimir la fuerza el material ideal revierte a la posición inicial. En un fluido ideal el flujo es la deformación continua o deslizamiento secundario a la gravedad o al efecto de una fuerza tangencial aplicada. Considerando el tiempo: la tasa de deslizamiento es proporcional a la fuerza y el flujo se detiene al cesar ésta. La constante de proporcionalidad, denominada viscosidad (μ), mide la fricción o resistencia al movimiento del fluido. Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 38 ____________________________________________________________________________________ Figura 4.1 – Diagrama tiempo-desplazamiento para diferentes fluidos. En el diagrama 4.1 se representa la respuesta a la presión aplicada a distintos tipos de material y su desplazamiento en función del tiempo [51]. 4.1 Stents endotraqueales y terapia de implantes en medicina En comparación con la terapia quirúrgica convencional, la colocación de stents endotraqueales tiene la ventaja de ser una terapia mínimamente invasiva, con una mejora inmediata de las condiciones clínicas del paciente y unos menores tiempos de cirugía y de recuperación. Para el tratamiento de obstrucción central de las vías respiratorias, tanto benigno como maligno, existen varios tipos de stents. Generalmente éstos son plásticos (de silicona), metálicos o híbridos. Idealmente un stent debe tener las siguientes características [64]:  Facilidad para su colocación en una localización precisa.  Dimensiones suficientes y rigidez radial necesaria para mantener abierto el paso de aire.  Estabilidad. Para evitar su movimiento a lo largo de la tráquea una vez colocado.  Gran recuperación elástica, sin fatiga del material.  Flexibilidad longitudinal. No debe dañar las paredes de la tráquea.  Optima biocompatibilidad.  Facilidad para ser retirado en caso de ser necesario. Por desgracia en la actualidad no existe un stent que cumpla con total satisfacción todas las condiciones deseables. En este trabajo se está estudiando el comportamiento para uno de los 39 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ tipos más utilizados por aproximarse en algunos aspectos a lo idealmente necesario: El stent de silicona Dumon. Éste es considerado como tratamiento de referencia para obstrucción central de la tráquea. Las principales ventajas que muestran los stents de este tipo son su gran facilidad para ser colocados y retirados, además de ser un tratamiento relativamente poco costoso en el aspecto económico. Por el contrario su estabilidad no es tan buena como sería deseable, se dan casos de inflamación y formación de granulaciones e incluso en algunas ocasiones obstrucción secundaria provocada por la dificultar para la evacuación de secreciones acumuladas. Según datos del estudio de Dumon et al [65], realizado sobre una muestra de 1058 pacientes con obstrucciones malignas y benignas, en torno al 12% sufrió migración del stent, un 13% formación de granulaciones y un 6% problemas de obstrucción derivados de la imposibilidad de esputar correctamente. 4.2 Modelos de comportamiento del material de las paredes de la tráquea El comportamiento de la pared de la tráquea se estudia mediante la mecánica de medios continuos aplicada a un sólido deformable. Es posible determinar su campo de tensiones y deformaciones. 4.2.1 Formulación de la mecánica de medios continuos Matemáticamente un cuerpo continuo se define como un conjunto B de partículas, denominadas P1, P2,…, con una propiedad especial: existe un conjunto de aplicaciones biyectivas y diferenciables K= {X} que transforman B en conjuntos abiertos de . Es decir, para toda partícula P ϵ B (4.1) Las configuraciones de referencia y deformada definen una aplicación entre Breferencia y Bdeformada que se denomina deformación: (4.2) La deformación es una función que opera entre conjuntos de y es muy útil, pues hace innecesario referirse constantemente al cuerpo físico B. Se trata del concepto más importante para el tratamiento matemático de la cinemática de medios continuos, pues proporciona la posición de cada partícula de un cuerpo. Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 40 ____________________________________________________________________________________ Figura 4.2 – Campo de deformación de un medio continuo Las funciones φ que definen los campos de deformación de los medios continuos pueden ser muy variadas pero existen varias restricciones que han de cumplir. Deben ser diferenciables e inyectivas. Si X e Y son dos puntos distintos de la configuración de referencia entonces . Dos puntos no pueden deformarse de tal manera que acaben en la misma posición pues la materia siempre es impenetrable. Resulta útil referirse también al campo de desplazamientos, especialmente para la teoría de deformaciones infinitesimales: (4.3) La interpretación geométrica de este campo es que representa al vector que une las posiciones sin deformar y deformada de cada partícula(fig 4.2). Figura 4.3 – Definición geométrica del gradiente de deformación 47 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ Estudiando las coordenadas de los nodos se llega a la expresión del desplazamiento de un punto interior del elemento: (5.3) donde son las submatrices de desplazamientos nodales. La siguiente imagen muestra gráficamente el significado de las funciones N. Debido a la linealidad de la forma hay continuidad. Figura 5.3 – Funciones de aproximación 5.1.3 Aplicación del método de los elementos finitos Definida geométrica y mecánicamente la estructura, y conocido su estado de solicitación, se procede al análisis de comportamiento de la misma. Los pasos lógicos a seguir son:  Discretización de la estructura.  Numeración de nodos, elementos y grados de libertad respecto de los ejes coordenados con el correspondiente convenio de signos.  Establecimiento de funciones de forma y matrices de rigidez elementales.  Determinación de las matrices de rigidez globales.  Cálculo del vector de cargas nodales equivalentes, incrementado con las cargas concentradas si las hubiera.  Determinación de las reacciones.  Determinación de los vectores de tensión {σ} y deformación {ε}.  Definición, finalmente, del estado de tensiones representativo de cada elemento. Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 48 ____________________________________________________________________________________ 5.2 Formulación CFD, mecánica de fluidos computacional. Desde sus inicios, el método de los elementos finitos experimentó un amplio éxito en su aplicación a problemas estructurales y de transmisión de calor. A pesar de sus ventajas frente a los métodos de diferencias finitas, en el campo de la simulación de la mecánica de fluidos computacional (CFD) no experimentó tal éxito. Las razones de esto se debían fundamentalmente a la estructura matemática del problema. Para analizar el problema de Navier-Stokes, el primer paso es plantear la formulación matemática subyacente. En el caso de flujo incompresible son suficientes dos ecuaciones:  Ecuación de Conservación de la Masa o Ecuación de Continuidad.  Ecuación de Conservación de la Cantidad de Movimiento. 5.2.1 Ecuación de conservación de la masa La masa contenida en un determinado dominio se puede expresar como (Ω) = (5.4) donde es la densidad del material. La conservación de la masa implica que ésta se conserva en cualquier dominio dado, es decir (5.5) Aplicando el teorema de Reynolds se llega a (5.6) La arbitrariedad del dominio asegura que para cualquier punto se cumple (5.7) En general, la densidad sigue una ecuación de estado del tipo . Para flujos isotérmicos se cumple la siguiente relación (5.8) Donde K es el módulo de Bulk y c es la velocidad de propagación de la onda. Muchos fluidos reales bajo ciertas condiciones de flujo adoptan un comportamiento incompresible, en este caso, la dependencia de la necesidad respecto del tiempo desaparece y se reduce a (5.9) la cual se utiliza en el tratamiento de flujos incompresibles. 49 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ 5.2.2 Ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento relaciona las fuerzas que actúan sobre un determinado cuerpo con sus aceleraciones. Dado un dominio Ω con contorno Γ sujeto a unas fuerzas de volumen b y a unas fuerzas de superficie s, la fuerza total que actúa sobre el dominio se puede calcular como (5.10) El momento lineal se define como (5.11) La segunda ley de Newton (conservación de la cantidad de movimiento en un medio continuo) es de la forma (5.12) Usando el teorema de Reynolds se llega a (5.13) Teniendo en cuenta la conservación de la masa (5.14) Por otro lado, usando el teorema de la divergencia (5.15) Agrupando los términos convenientemente y teniendo en cuenta la arbitrariedad del dominio, se obtiene finalmente (5.16) Que es la forma fuerte de la ecuación de la cantidad de movimiento. 5.3 Formulación para la mecánica de sólido computacional La diferencia entre la energía cinética, Ek, y potencial, Ep, de un sistema conservativo se denomina en la mecánica clásica como la función lagrangiana, denotada con la letra L. El dominio apropiado del lagrangiano es un espacio de fases y debe obedecer a las ecuaciones de Euler-Lagrange. Estos conceptos se utilizan desde una reformulación de la mecánica clásica conocida como mecánica lagrangiana. El lagrangiano, en coordenadas generalizadas, toma la forma siguiente: (5.17) Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 50 ____________________________________________________________________________________ donde gij(q) es el tensor métrico del espacio euclídeo expresado en las coordenadas generalizadas correspondientes, que sólo depende de las propias coordenadas de las velocidades . 5.3.1 Lagrangiano en mecánica de medios continuos En mecánica de medios continuos las magnitudes que evolucionan con el tiempo y definen el estado físico del sistema están relacionadas con los campos vectoriales de los desplazamientos. En mecánica de sólidos y elasticidad el lagrangiano depende del campo de desplazamientos y sus derivadas, mientras que en mecánica de fluidos el lagrangiano depende del campo de velocidades y sus derivadas (en último término relacionados con los desplazamientos de las partículas). 5.3.2 Lagrangiano de un sólido elástico Un problema elástico queda definido por la geometría del cuerpo antes de ser deformado, las fuerzas exteriores que dan lugar al término “potencial” del lagrangiano y las componentes del tensor de constantes elásticas. La densidad lagrangiana puede escribirse, según el convenio de Einstein, como: (5.18) donde: son las componentes de la matriz o tensor de constantes elásticas. ) son las componentes del tensor de deformación. ui se define para cada punto del cuerpo, siendo las componentes del vector de desplazamientos. bi son las fuerzas por unidad de masa, como el peso o las fuerzas centrífugas, que actúan sobre cada punto del cuerpo. Sustituyendo la anterior densidad lagrangiana en las ecuaciones de Euler-Lagrange y aplicando las condiciones de simetría del tensor de constantes elásticas a continuación se llega a lo siguiente: (5.19) Finalmente las ecuaciones de Euler-Lagrange dan como resultado las ecuaciones de equilibrio de un sólido elástico: (5.19) 51 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ 5.4 Formulación FCBI-C Para la realización de los cálculos que conlleva este trabajo se ha elegido en ADINA un tipo de formulación FCBI (Flow Condition Based Interpolation). Esta formulación elemental es especialmente efectiva para resolver problemas de mecánica de fluidos computacional grandes, incluso con millones de grados de libertad. Algunas de las características propias de este método son las siguientes:  En la formulación FCBI-C se usa el centro del elemento para la interpolación de la condición de flujo. De ahí el apéndice “-C” (Center) en el nombre de la formulación.  Los elementos FCBI-C sólo se utilizan con el método de segregación de la iteración no lineal de equilibrio general. Para cada instante se realizan las siguientes iteraciones: 1. Resolución de ecuaciones de continuidad y momentos (VP-MAXIT times); 2. Resolución de ecuación de la energía; 3. Resolución de ecuaciones de régimen turbulento; 4. Repetición de los pasos anteriores, hasta que se ha llevado a cabo un mínimo de iteraciones y la solución es convergente.  Para cada sistema de ecuaciones es posible usar diferentes solvers, como AMG1, AMG2, RPBCG o el solver directo SPARSE. En este estudio ha sido éste último el elegido. Algunos de los parámetros que se han tenido en cuenta son: 1. Factores de relajación para cada variable; 2. Mínimo y máximo número de iteraciones; 3. Criterio de convergencia y definición residual; 4. Número de sub-iteraciones para velocidad y presión (VP-MAXIT); 5. Uso de formulación de segundo orden en el espacio.  El solver SPARSE presenta una considerable ventaja frente a los algoritmos y estructuras de resolución de matrices de densidad estándar. El proceso para resolver éstas es lento y consume grandes cantidades de memoria cuando se aplica a grandes matrices, sin embargo, el solver SPARSE es comprimido por sí mismo, lo que hace que necesite menos capacidad de almacenamiento, de hecho, es inviable el cálculo de algunas matrices por métodos estándar por su altísimo consumo de memoria. Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 52 ____________________________________________________________________________________ 6 MODELOS NUMÉRICOS Para este estudio se ha partido del estudio realizado por Malvè et al. [53] en el que se genera un modelo de elementos finitos para estudiar la interacción entre el fluido y la tráquea bajo distintas condiciones de ventilación. La geometría de las paredes de la tráquea es obtenida mediante imágenes de tomografía computatizada (computed tomography; CT) de un hombre sano. En el modelo del que se parte considera la geometría del stent traqueal como un cilindro hueco perfecto. Los trabajos realizados en este estudio se centran en suavizar la geometría a la entrada y salida del cilindro para favorecer el tránsito de flujo en esas zonas que se pueden considerar críticas por la aparición de pequeños reflujos y turbulencias. Se ha utilizado un software de diseño 3D para generar rediseñar los modelos. Con las nuevas geometrías realizadas se han hecho diferentes mallas con el programa ANSYS ICEM y FEMAP. Es necesario subrayar que el objeto de este estudio es el volumen de flujo circulante a través de la tráquea, así que lo que se toma en cuenta es el volumen interno vacío que queda después de situar las diferentes geometrías de stents realizadas dentro de la cavidad traqueal. Finalmente el cálculo del modelo se ha desarrollado con ADINA CFD. Las condiciones de respiración normal se han simulado suponiendo unas funciones senoidales de velocidad y presión aplicadas la primera en la entrada y salida de la tráquea respectivamente. Los valores de estas funciones fueron calculados experimentalmente para estudios anteriores. Dadas las reducidas dimensiones de la tráquea, el valor de presión se puede considerar en la práctica como constante, y dado este valor y el diámetro de la vía respiratoria, son conocidos los valores de la velocidad. El tiempo de simulación son 4 segundos, suponiendo una cadencia de 15 respiraciones por minuto. 6.1 Geometría del modelo Se han realizado 3 supuestos distintos para suavizar la geometría de entrada de un cilindro de diámetro exterior D0 =18mm. y diámetro interior d0=14mm. Éstos han sido:  Suavizar los bordes con una entrada y salida en ángulo de 45º (fig 6.1-A)  Suavizar los bordes con una entrada y salida en ángulo de 30º (fig 6.1-B)  Suavizar los bordes con una entrada y salida parabólicas que obedecen a la función (fig. 6.1-C) 53 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ Figura 6.1 – Corte longitudinal de los stents diseñados. Figura 6.2 – Modelos geométricos de stent En la figura 6.2 se pueden observar las propuestas (2: ángulo de 45º-A; 3: ángulo de 30º-B, 4: formas redondeadas-C) integradas en el diseño 3D realizadas con en contraposición al modelo existente (1: stent clásico Dumon). En todos los casos se ha prescindido para esta presentación de la pared externa del stent. Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 54 ____________________________________________________________________________________ En una vista más detallada de cada uno (fig 6.3-6.4-6.5): Figura 6.3 - Stent con un ángulo de 45º-A. Figura 6.4 -Stent con un ángulo de 30º-B Figura 6.5 - Geometría parabólica-C 55 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ Para realizar estas modificaciones de la geometría se han utilizado unas capas de apoyo que después han sido unidas mediante una superficie de transición entre curvas (fig 6.6). La parte central de cada stent se ha realizado a través de una superficie de extrusión que une las curvas de diámetro menor (diámetro interior del stent; fig. 6.7). Figura 6.6 – Stent sobre paredes de tráquea Figura 6.7 – Diseño de stent parabólico (redondeado) Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 56 ____________________________________________________________________________________ 6.2 Mallado del modelo y condiciones de contorno Se ha generado para cada geometría un modelo de elementos finitos. En las zonas donde el comportamiento del fluido puede ser inestable se ha realizado un refinamiento mucho mayor de la malla. Estas zonas son los estrechamientos y lo que tomamos como entrada y salida del fluido de la tráquea. Las mallas para este estudio se han realizado mediante el programa ANSYS ICEM CFD [28]. Para simular el comportamiento de un fluido ha sido necesario generar las mallas con elementos tetraédricos (fig 6.8), que muestran unos resultados que se asemejan a la realidad. Figura 6.8 – Etapas del mallado En el presente estudio se parte de la pared interna de un modelo sólido de tráquea para generar una malla de elementos tetraédricos que se toma como canal de flujo de aire. Sobre ella se superponen los diferentes stents, eliminando del cuerpo fluido el volumen que éstos ocupan (fig 6.9). Así finalmente obtenemos 3 mallas distintas que representan exclusivamente el fluido que atraviesa la tráquea para cada caso a analizar. Para llevar a cabo este trabajo se ha supuesto que el stent es un cuerpo rígido que queda perfectamente adherido a la pared interna de la tráquea en todo momento, aunque es sabido que esas condiciones ideales, no se llegan a dar en la realidad, donde este tipo de stent sufre pequeños desplazamientos cuando las paredes de la tráquea se contraen durante, por ejemplo, la deglución o la tos. 63 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ En las siguientes figuras se pueden ver los resultados obtenidos para los distintos modelos: Figura 7.4 – Vista general y ampliaciones. t=1 El aire presenta una correcta circulación en las zonas alejadas de las paredes, con mayor velocidad dentro del stent, consecuencia lógica por la reducción de área (fig 7.4). En los puntos de interés 1 y 2 se observa una zona de velocidades muy baja, e incluso nula en la zona 1. El reflujo generado causa una recirculación en esa pequeña zona en concreto, creando espacios por los que el aire no circula, propensos a la acumulación de moco y secreciones. Se puede entender mejor este resultado viendo la ilustración esquemática 7.5: Figura 7.5 – Representación esquemática de la entrada de flujo Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 64 ____________________________________________________________________________________ Algo parecido se puede observar para el instante t=3 segundos, cuando el aire asciende por tráquea y stent: Figura 7.6 – Vista general y ampliaciones. t=3 En este instante el reflujo en 1 y 2, especialmente en 1, es incluso más evidente, creándose un flujo circular que no sigue la línea del resto del fluido y zonas de velocidad muy baja (fig 7.6). En la figura 7.7 se aprecia esquemáticamente: Figura 7.7 – Representación esquemática 65 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ Conocido así el comportamiento en las condiciones de flujo atravesando la tráquea con un stent convencional, es posible analizar y valorar las mejoras que se producen suavizando la geometría. El primer caso propuesto reduce el ángulo de entrada de 90º a 45º. Aquí se pueden observar los resultados, de nuevo para los instantes t=1 y t=3 segundos. (fig. 7.8-7.10) Figura 7.8 – Distribución de velocidades stent 45º. t=1 (stent A) Se empieza a atisbar una mejoría respecto al modelo anterior. Las zonas azules (de menor velocidad) parecen estár más cerca de las paredes de la tráquea en los puntos de análisis 1 y 2, aunque todavía persisten pequeñas zonas “vacías” en las que puede aparecer reflujo (fig. 7.9) Figura 7.9 – Representación esquemática entrada a 45º Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 66 ____________________________________________________________________________________ Se puede ver también el campo de vectores para t=3 segundos: Figura 7.10 – Distribución de velocidades stent 45º. t=3 (stent A) Pese a existir una mejoría en la fase de inspiración, en este caso, para t=3 (fig.7.10) todavía se genera un pequeño vórtice de vectores de velocidades bajas (azules) en la parte superior del stent (zona 1. Ver figura 7.11) que sería deseable poder evitar. Figura 7.11 – Representación esquemática 67 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ Siguiendo con las hipótesis, vista la mejoría pero todavía no satisfechos con los resultados obtenidos, se realiza una nueva redimensión de la geometría de entrada y salida del stent. En este caso se va a dejar un ángulo de 30º en la entrada del stent. Es posible ver los resultados en las siguientes imágenes: Figura 7.12 – Distribución de velocidades stent 30º. t=1 (stent B) En este caso (fig 7.12) la mejoría comienza a ser mucho más evidente. Siguen existiendo zonas de baja velocidad en 1 y 2, pero la densidad de vectores en esas partes del modelo es mayor que en los casos anteriores, por lo que podemos concluir que aun no siendo del todo buena la circulación de aire ahí, sí es mejor que en casos previos. (Ver figura 7.13) Figura 7.13 – Representación esquemática entrada 30º Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 68 ____________________________________________________________________________________ Se puede observar el caso para la salida de aire en t=3 segundos: Figura 7.14 – Distribución de velocidades stent 30º. t=3 (stent B) Practicamente desaparecen en 1 y 2 las zonas “blancas” que representarían zonas donde el fluido no circula (fig. 7.14). Se puede ver más claro en la representación simplificada 7.15. Figura 7.15 – Representación esquemática salida aire. Stent 30º 69 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ Este resultado puede considerarse satisfactorio, pero aun se va a realizar un nuevo análisis con otra geometría que en las hipótesis previas se considera la más apropiada. En ella la entrada y salida no van a ser angulosas, sino redondeadas siguiendo una función parabólica. Los siguientes resultados corresponden a este análisis: Figura 7.16 – Distribución de velocidades stent redondeado. t=1 (stent C) La mejoría aquí ya es notable (fig 7.16). El objetivo inicial parece cumplido y tanto en (1) como en (2) el reflujo es mínimo o inexistente. La velocidad del flujo es más homogénea en los alrededores de las zonas críticas y apenas hay zonas de baja velocidad en torno a las paredes del stent y sus cercanías. Es interesante ver la representación simplificada 7.17 Figura 7.17 – Representación esquemática entrada aire. Stent redondeado. Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 70 ____________________________________________________________________________________ Estos avances son también visibles para t=3 segundos: Figura 7.18 – Distribución de velocidades stent redondeado. t=3 (stent C) El resultado es plenamente satisfactorio (fig 7.18). Si se sigue la evolución desde el primer caso hasta este último, el objetivo parece cumplido (fig 7.19), por lo que procede sugerir la necesidad de que esta geometría sea tenida en cuenta en adelante como una alternativa al stent tradicional, ya que a priori y sin entrar en un estudio detallado, no parece inviable su fabricación dados los avanzados métodos de mecanizado actuales y la facilidad que presenta la silicona para ser adaptada a distintas formas geométricas. Figura 7.19 – Salida aire en stent redondeado. 71 Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea ____________________________________________________________________________________ Optimización fluido-dinámica de un stent de tráquea 72 ____________________________________________________________________________________ 8 CONCLUSIONES 8.1 Resumen Este estudio se ha podido llevar a cabo gracias a los anteriores existentes [47, 52, 53] y a los trabajos realizados en el área de la biomecánica, y más concretamente los estudios realizados de la tráquea, por el Grupo de Mecanica Estructural y Modelado de Materiales (GEMM) del área de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras (MMCyTE) de la Universidad de Zaragoza. Aquí se ha modificado la geometría interna de un stent de tráquea para estudiar la influencia que ésta tiene sobre la circulación de aire a través de tráqueas que han sufrido un implante de stent debido, como causa principal, a la estenosis. Se ha hecho una simulación por elementos finitos del flujo circulante y se ha hecho una comparativa de los resultados obtenidos. Se ha podido corroborar satisfactoriamente las hipótesis previas del estudio, es decir, que una modificación geométrica del stent produce una disminución de reflujos y turbulencias en zonas consideradas como críticas por experiencia clínica. Partiendo de la geometría real, la adecuación de los nuevos modelos ha sido progresiva, pudiendo así ver como pequeñas modificaciones producían mejoras visibles. 8.2 Limitaciones y líneas futuras de este estudio. Las condiciones reales en las que un stent interactúa con las paredes de la tráquea ya se ha explicado con anterioridad que no son exactamente las supuestas en este estudio, ya que además del flujo interno, al no ser la tráquea ni mucho menos un cilindro hueco perfecto, pueden darse pequeños flujos circulantes entre la pared externa del stent e interna de la tráquea. Además en ciertos movimientos como el de deglución, donde la tráquea se mueve solidaria con el esófago, o la tos, el stent de silicona puede sufrir pequeños desplazamientos que no han sido tenidos en cuenta en este estudio, ya que lo que aquí se quería comprobar era la influencia de la geometría interna del stent. Un estudio más amplio podría tener en cuenta también que con el paso del tiempo, las paredes internas del propio stent acumulan secreción, lo cual hace que aparezcan turbulencias dentro del propio stent, no consideradas en este estudio. De hecho, ya se ha comentado anteriormente que por desgracia muchos de los pacientes que han sido sometidos a un implante de stent traqueal, han necesitado con el paso del tiempo otras operaciones para sustituir el stent de silicona. El stent ha sido considerado en todo momento un sólido rígido. Se sabe que aunque ésta es una buena aproximación, no se ciñe exactamente a las condiciones reales. Realizadas estas consideraciones, y tras considerar los resultados de este estudio satisfactorios, se proponen una serie de líneas futuras de estudio:  Realizar el estudio de la interacción fluido-estructura con estas mismas geometrías de stent.